Matem´atica Discreta - Principalmatematicadiscretaunsl.weebly.com/uploads/2/.../relaciones_binarias... · Relaciones Binarias ... Si todo par de elementos de X es comparable, Res

Relaciones Binarias

Matematica Discreta

Agustın G. Bonifacio

UNSL

Relaciones Binarias

Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta

Relaciones BinariasDefinicion y PropiedadesRelaciones de EquivalenciaConjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados

Relaciones Binarias (Seccion 3.1 del libro)

Definicion

Una relacion (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es unsubconjunto del producto cartesiano X × Y. Si (x, y) ∈ R,escribimos xRy y decimos que “x esta relacionada con y”. SiX = Y, R es una relacion binaria sobre X.

El dominio de R es el conjunto

{x ∈ X | (x, y) ∈ R para algun y ∈ Y }.

La imagen de R es el conjunto

{y ∈ Y | (x, y) ∈ R para algun x ∈ X}.



Observacion

Una funcion es un tipo especial de relacion. Una funcionf : X → Y es una relacion de X a Y que cumple:

1 domf = X,

2 para cada x ∈ X, existe un unico y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f.

Ejemplo

Sean X{2, 3, 4} y Y = {3, 4, 5, 6, 7}. si definimos una relacion Rde X a Y de la siguiente forma:

(x, y) ∈ R ⇐⇒ x divide a y

se obtiene

R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.

Notemos que domR = {2, 3, 4} y ImR = {3, 4, 6}.Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta


Ejemplo

Sea R sobre {1, 2, 3, 4} definida por

xRy ⇐⇒ x ≤ y.

Entonces

R = {(1, 1), . . . , (1, 4), (2, 2), . . . , (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

y domR = ImR = X.

Una forma informativa de visualizar una relacion es a traves de undigrafo (grafo dirigido). Para ello:

1 Se dibujan vertices para representar los elementos de X.

2 Si (x, y) ∈ R, se dibuja una arista dirigida de x a y.

3 Una arista dirigida de x a x se denomina lazo.



Ejemplo

Mostrar a traves de un digrafo la relacion

R = {(a, b), (b, c), (c, b), (d, d)}.



Propiedades

Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se dicereflexiva si (x, x) ∈ R para todo x ∈ X.

Observacion: El digrafo asociado a una relacion reflexivatiene un lazo en cada vertice.

Ejemplo: R sobre {1, 2, 3, 4} definida por xRy ⇐⇒ x ≤ y esreflexiva.

Ejemplo: La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} sobreX = {a, b, c, d} NO es reflexiva, ya que (b, b) /∈ R.

Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se dicesimetrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R, entonces(y, x) ∈ R.

Observacion: El digrafo asociado a una relacion simetricacumple que siempre que existe una arista dirigida de v a w,tambien existe una arista dirigida de w a v.



Ejemplo: La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} essimetrica.

Ejemplo: La relacion R sobre {1, 2, 3, 4} definida porxRy ⇐⇒ x ≤ y NO es simetrica, ya que (2, 3) ∈ R pero(3, 2) /∈ R.

Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se diceantisimetrica si para todo par x, y ∈ X, si (x, y) ∈ R y x 6= y,entonces (y, x) /∈ R.

Observacion: una forma equivalente de enunciar laantisimetrıa es la siguiente. Si (x, y) ∈ R y (y, x) ∈ R,entonces x = y. (Ejercicio)

Ejemplo: La relacion R sobre {1, 2, 3, 4} definida porxRy ⇐⇒ x ≤ y es antisimetrica.

Observacion: El digrafo asociado a una relacion antisimetricatiene la propiedad de que entre dos vertices cualesquiera existea lo sumo una arista dirigida.



Ejemplo: La relacion {(a, a), (b, b), (c, c)} sobre X = {a, b, c}es antisimetrica, y tambien es simetrica.

Definicion: Una relacion R sobre un conjunto X se dicetransitiva si para toda terna x, y, z ∈ X : si (x, y) ∈ R y(y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R.

Ejemplo: La relacion R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por(x, y) ∈ R ⇐⇒ x ≤ y es transitiva.

Observacion: El digrafo asociado a una relacion transitivatiene la propiedad de que siempre que haya una arista dirigidade x a y y otra de y a z, tambien habra una de x a z.

Ejemplo: La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO estransitiva, ya que (b, b) /∈ R y (c, c) /∈ R.



Las relaciones resultan utiles para ordenar conjuntos . Por ejemplo,la relacion “menor o igual” ≤ para ordenar los enteros.

Definicion

Una relacion R sobre un conjunto X es un orden orden parcial sies reflexiva, antisimetrica y transitiva.

Ejemplo: La relacion R definida en los naturales por(x, y) ∈ R ⇐⇒ “x divide a y” es un orden parcial.

Si R es orden parcial, a veces (x, y) ∈ R se escribe x � y, loque sugiere ordenacion.

Los elementos x, y ∈ X son comparables si x � y o y � x. Sino, son incomparables. Si todo par de elementos de X escomparable, R es un orden total.

El “menor o igual” definido en los enteros es un orden total.

La relacion “divide” definida en los naturales es un ordenparcial (ya que 2 y 3, por ejemplo, son incomparables).



Definicion: Sea R una relacion de X a Y. La inversa de R,denotada R−1, es la relacion de Y a X definida por

R−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ R}.

Ejemplo: Si R es la relacion “divide” de X = {2, 3, 4} aY = {3, 4, 5, 6, 7}, se obtiene

R = {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}.

Entonces

R−1 = {(4, 2), (6, 2), (3, 3), (6, 3), (4, 4)}.

R−1 se lee “es divisible entre” o “es multiplo de”.



Definicion: Sean R1 una relacion de X a Y y R2 unarelacion de Y a Z. La composicion de R1 y R2, denotada porR2 ◦R1, es la relacion de X a Z definida por:

R2◦R1 = {(x, z) | (x, y) ∈ R1 y (y, z) ∈ R2 para algun y ∈ Y }

Ejemplo: La composicion de

R1 = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

yR2 = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

es

R2 ◦R1 = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}



Relaciones de Equivalencia (Seccion 3.2 del libro)

Sean X un conjunto y S una particion de X. Se puede definir unarelacion R en X si relacionamos entre sı a los elementos de X quepertenecen a un mismo elemento S de la particion S. (Ejemplo: serdel mismo color.)

Teorema 1

Sean X un conjunto no vacıo y S una particion de X. Definamosuna relacion sobre X de la siguiente manera: xRy si y solo si tantox como y pertenecen a S ∈ S. Entonces R es reflexiva, simetrica ytransitiva.



Teorema 1

Sean X un conjunto no vacıo y S una particion de X. Definamos unarelacion sobre X de la siguiente manera: xRy si y solo si tanto x como ypertenecen al mismo S ∈ S. Entonces R es reflexiva, simetrica ytransitiva.

Demostracion:

Sea x ∈ X. Por definicion de particion, existe un S ∈ S tal quex ∈ S. Esto implica que xRx y, por lo tanto, R es reflexiva.

Sean x, y ∈ X. Supongamos que xRy. Entonces, tanto x como ypertenecen a un mismo S ∈ S. Equivalentemente, tanto y como xpertenecen a un mismo S ∈ S. Se sigue que yRx y, enconsecuencia, R es simetrica.

Sean x, y, z ∈ X. Supongamos que xRy y que yRz. Entonces,tanto x como y pertenecen a un mismo S ∈ S y tanto y como zpertenecen a un mismo T ∈ S. Como S es particion, y pertenece aun unico miembro de S. Por lo tanto S = T, lo que significa quetanto x como z pertenecen a S ∈ S. Se sigue que xRz, esto es, Res transitiva. � Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta


Ejemplo

Consideremos la particion S = {{1, 3, 5}, {2, 6}, {4}} de{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Entonces

R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1),

(5, 3), (5, 5), (2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6), (4, 4)}.

Ejercicio: dibujar el digrafo que representa la relacion.

Definicion

Una relacion reflexiva, simetrica y transitiva en un conjunto X sellama relacion de equivalencia sobre X.



Ejemplo

La relacion R sobre X = {1, 2, 3, 4} definida por (x, y) ∈ R si ysolo si x ≤ y NO es de equivalencia porque no es simetrica.

Ejemplo

La relacion R = {(a, a), (b, c), (c, b), (d, d)} NO es de equivalenciaporque no es ni reflexiva ni transitiva, ya que (b, b) /∈ R.

Definicion

Sea R una relacion de equivalencia sobre un conjunto X. Paracada a ∈ X, el conjunto

[a] ≡ {x ∈ X | xRa}

se denomina clase de equivalencia de a.



Observacion

Las clases de equivalencia aparecen con bastante claridad en el digrafoasociado con una relacion de equivalencia. Una clase es el subgrafo masgrande que cumple que, para cualesquiera 2 vertices en el, existe unaarista dirigida entre ellos.

Ejemplo

Para la relacion del primer ejemplo, [1] = [3] = [5] = {1, 3, 5},[2] = [6] = {2, 6} y [4] = {4}.

Afirmacion

Sea R relacion de equivalencia sobre X y c, d ∈ X. Si cRd, entonces[c] = [d].

Demostracion: Supongamos c, d ∈ X tales que cRd. Tomemos x ∈ [c].Entonces xRc. Como cRd y R es transitiva, xRd. Por lo tanto, x ∈ [d].Acabamos de ver que [c] ⊆ [d]. Razonando analogamente obtenemos que[d] ⊆ [c]. Se sigue que [c] = [d]. �



Teorema 2

Sea R una relacion de equivalencia sobre un conjunto X. Entonces

S = {[a] | a ∈ X},

donde [a] denota la clase de equivalencia de a, es una particion deX.

Demostracion: Debemos ver que todo elemento de X perteneceexactamente a un miembro de S.Sea a ∈ X. Como, por reflexividad, aRa, tenemos que a ∈ [a].Esto significa que todo elemento de X pertenece al menos a unmiembro de S. Resta ver que todo elemento de X pertenece aexactamente un miembro de S. Es decir, si x ∈ [a] y x ∈ [b],entonces [a] = [b]. Supongamos entonces que x ∈ [a] y x ∈ [b].Esto implica que xRa y xRb. Por la afirmacion anterior, [x] = [a] y[x] = [b]. Por lo tanto, [a] = [x] = [b], esto es, [a] = [b]. �



Teorema 3

sea R una relacion de equivalencia sobre un conjunto finito X. Sicada clase de equivalencia tiene r elementos, existen |X|

rclases de

equivalencia.

Demostracion: Sean X1, . . . ,Xk las clases de equivalencias.Como estas clases forman una particion de X,

|X| = |X1|+ |X2|+ . . .+ |Xk| = r.k,

por lo tanto, k = |X|r. �



Hemos visto que, dado un conjunto X no vacıo,

1 Toda particion de X define una relacion de equivalencia sobreX (Teorema 1),

2 Toda relacion de equivalencia sobre X define una particion deX (Teorema 2).



Conjuntos Parcialmente Ordenados y Reticulados

Capıtulo 4 del libro de B. Kolman, R. Busby y S. Ross.

Definicion

Una relacion R sobre un conjunto X es un orden orden parcial sies reflexiva, antisimetrica y transitiva. El conjunto A con el ordenparcial R se llama conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.) y seescribe (A,R).

Ejemplo

Sea A una coleccion de subconjuntos de un cierto conjunto X. Larelacion “⊆” de inclusion de conjuntos es un orden parcial en A,por lo cual (A,⊆) es un c.p.o.



Ejemplo

Sea Z+ el conjunto de los enteros positivos. La relacion “≤”(menor o igual) es un orden parcial sobre Z+, al igual que “≥”(mayor o igual).

Ejemplo

La relacion “<” (menor) no es orden parcial, ya que no es reflexiva.

Ejercicio

Ver que si R es un orden parcial sobre A y R−1 es la relacioninversa de R (esto es, aR−1b ⇐⇒ bRa), entonces R−1 es un ordenparcial en A.



Definicion

El c.p.o. (A,R−1) se llama dual del c.p.o. (A,R), y al ordenparcial R−1 se le llama dual del orden parcial R.

Notacion

En general, en vez de R escribiremos 6, y en vez de R−1

escribiremos > .

Definicion

Si (A,6) es un c.p.o, dos elementos a y b de A se dicencomparables si a 6 b o b 6 a. Si cada par de elementos en unc.p.o. es comparable, se dice que A esta linealmente ordenado (ototalmente ordenado) y que 6 es un orden lineal (orden total ocadena).



Ejemplo

(Z+,≤) esta linealmente ordenado, pero (A,⊆) (del primerejemplo), no.

El siguiente teorema muestra como construir un c.p.o. a partir deotros c.p.o.

Teorema

Sean (A,6A) y (B,6B) dos c.p.o. Definamos la relacion 6A×B enel conjunto A×B de la siguiente manera:

(a, b) 6A×B (a′, b′) si y solo si a 6A a′ y b 6B b′.

Entonces (A×B,6A×B) es un c.p.o.



(a, b) 6A×B (a′, b′) si y solo si a 6A a′ y b 6B b′.

Demostracion:

Sea (a, b) ∈ A×B. Por reflexividad de 6A, a 6A a. Por reflexividad de

6B , b 6B b. Entonces, por definicion de 6A×B, (a, b) 6A×B (a, b). Porlo tanto, 6A×B es reflexiva.

Sean (a, b) y (a′, b′) en A×B. Supongamos que (a, b) 6A×B (a′, b′) yque (a′, b′) 6A×B (a, b). Por definicion de 6A×B tenemos que a 6A a′ y

que a′6A a. Por antisimetrıa de 6A, a = a′. Analogamente, como

b 6B b′ y b′ 6B b, la antisimetrıa de 6B implica que b = b′. Concluımos

entonces que (a, b) = (a′, b′), por lo que 6A×B es antisimetrica.

Sean (a, b), (a′, b′) y (a′′, b′′) en A×B. Supongamos que

(a, b) 6A×B (a′, b′) y que (a′, b′) 6A×B (a′′, b′′). Por definicion de

6A×B , tenemos a 6A a′ y a′6A a′′, y por transitividad de 6A, llegamos

a que a 6A a′′. Analogamente, como b 6B b′ y b′ 6 b′′, por transitividad

de 6B llegamos a que b 6B b′′. Concluımos entonces, por definicion de

6A×B , que (a, b) 6A×B (a′′, b′′), por lo que 6A×B es transitiva. �



Observacion

Al orden parcial 6A×B definido en el Teorema anterior se le llamaorden parcial del producto.

Definicion

Si (A,6) es un c.p.o., se escribe a < b si a 6 b pero a 6= b.

Otro orden parcial util que puede definirse en el productocartesiano de dos c.p.o. es el orden lexicografico.

Definicion

Sean (A,6A) y (B,6B) dos c.p.o. El orden lexicografico enA×B, denotado por ≺A×B , se define de la siguiente manera:

(a, b) ≺A×B (a′, b′) ⇐⇒ a <A a′ o (a = a′ y b 6B b′).



Ejemplo

Sean A = R y ≤ su orden usual. Entonces el plano R2 puede

ordenarse lexicograficamente.

Aquı p1 ≺ p2, p1 ≺ p3 y p2 ≺ p3.



Ejemplo

Sea S = {a, b, c, . . . , z} es alfabeto con el orden usual. EntoncesSn es el conjunto de palabras de longitud n. El orden lexicograficoen Sn da el orden de diccionario de las palabras.

Teorema

El digrafo de un orden parcial no tiene ciclos de longitud mayorque 1.

Demostracion: Supongamos que el digrafo asociado al ordenparcial 6 sobre A tiene un ciclo de longitud n ≥ 2. Entoncesexisten a1, . . . , an distintos en A tales que

a1 6 a2, a2 6 a3, . . . , an−1 6 an, an 6 a1.

Por transitividad, a1 6 an. Como ademas an 6 a1, por antisimetrıaa1 = an. �



Diagrama de Hasse

Dado un c.p.o. 6, borramos del digrafo asociado:

1 Los lazos implicados por la reflexividad,

2 Las aristas implicadas por la transitividad.

Ejemplo

Digrafo y diagrama de Hasse para (A,6) con A = {a, b, c} ya 6 b 6 c.



Ejemplo

Sean X = {a, b, c} y A = P(X). El diagrama de Hasse de Aordenado con ⊆ es el siguiente:



Observaciones

1 El diagrama de Hasse de un conjunto ordenado linealmente esuna lınea vertical.

2 Si (A,6) es un c.p.o. y (A,>) es su dual, el diagrama deHasse de (A,>) es el de (A,6) girado cabeza abajo.

Dado un c.p.o. (A,6), a veces es necesario encontrar un ordenlineal � del conjunto A que extienda al orden parcial, en el sentidode que a 6 b =⇒ a � b. El proceso de construccion de un talorden � se denomina clasificacion topologica.



Ejemplo

Existen muchas maneras de hacer una clasificacion topologica.Para el siguiente c.p.o.

existen (por lo menos) las siguientes dos:

1 a � b � c � d � e � g � f,

2 a � c � g � b � d � e � f.



Definicion

Sea (A,6) un c.p.o.

1 Un elemento a ∈ A se llama elemento maximal de A si noexiste un c ∈ A tal que a < c.

2 Un elemento b ∈ A se llama elemento minimal de A si noexiste un c tal que c < b.

Observacion

Si (A,>) es el dual de (A,6), a es maximal (minimal) de (A,6)si y solo si a es minimal (maximal) de (A,>).

Ejemplo

1 (R+,≤), el 0 es minimal y no tiene maximales.

2 (Z,≤) no tiene ni minimales ni maximales.



Ejemplo

Un c.p.o. con tres elementos maximales y tres elementosminimales.



Teorema

Sea (A,6) un c.p.o. finito. Entonces A tiene al menos un maximaly al menos un minimal.

Demostracion: Sea a ∈ A. Si a no es maximal, existe un a1 ∈ Atal que a < a1. Si a1 no es maximal, existe un a2 ∈ A tal quea1 < a2. Como A es finito este argumento no puede extenderseindefinidamente y, en el peor de los casos, obtendremos unacadena finita

a < a1 < . . . < ak−1 < ak

que no podra extenderse, por lo que ak es un elemento maximal de(A,6). Usando el mismo argumento podemos asegurar existenciade elemento maximal en el dual (A,>), por lo cual (A,6) tiene unelemento minimal. �



Definicion

Sea (A,6) un c.p.o.

1 Un elemento a ∈ A es un maximo de A si x 6 a para todo x ∈ A.

2 Un elemento a ∈ A es un mınimo de A si a 6 x para todo x ∈ A.

Ejemplo

1 Sea X = {a, b, c} y A = P(X) ordenado por la inclusion deconjuntos, ⊆ . Entonces el mınimo es ∅ y el maximo es X.

2 (Z,≤) no tiene ni mınimo ni maximo.

Teorema

Un c.p.o. tiene a lo sumo un maximo y a lo sumo un mınimo.

Demostracion: Supongamos que a y b son maximos. Entonces a 6 b yb 6 a. Por antisimetrıa, a = b. La prueba para unicidad del mınimo essimilar. �



Definicion

Sean (A,6) un c.p.o. y B ⊆ A.

1 Un a ∈ A es cota superior de B si b 6 a para todo b ∈ B.

2 Un a ∈ A es cota inferior de B si a 6 b para todo b ∈ B.

3 Un a ∈ A es cota superior mınima de B (o supremo de B) si:(i) a es cota superior de B, y (ii) si a′ ∈ A es otra cotasuperior de B, entonces a 6 a′.

4 Un a ∈ A es cota inferior maxima de B (o ınfimo de B) si: (i)a es cota inferior de B, y (ii) si a′ ∈ A es otra cota inferior deB, entonces a′ 6 a.



Ejemplo

B1 = {a, b}

No tiene cotas inferiores.

Cotas superiores:c, d, e, f, g, h.

sup(B1) = c.

No existe ınf(B1).

B2 = {c, d, e}

Cotas inferiores: a, b, c.

Cotas superiores: f, g, h.

No existe sup(B2), ya quef y g no se puedencomparar.

ınf(B2) = c.



Teorema

Sea (A,6) un c.p.o. Todo B ⊆ A tiene a lo sumo un supremo y alo sumo un ınfimo.

Demostracion: Ejercicio (similar al de unicidad de maximo). �



Reticulados

Definicion

Un reticulado (o lattice) es un c.p.o. (A,6) en el cual cadasubconjunto de dos elementos tiene ınfimo y supremo. Es decir, unreticulado es un (A,6,∧,∨) tal que para cualquier par a, b ∈ Atenemos:

1 a ∧ b ≡ ınf{a, b},

2 a ∨ b ≡ sup{a, b}.



Ejemplo

Sea X un conjunto y A = P(X). Si definimos, para cada par desubconjuntos X1 y X2 del conjunto X el ınfimo y el supremo de lasiguiente forma:

1 X1 ∧X2 ≡ X1 ∩X2,

2 X1 ∨X2 ≡ X1 ∪X2,

entonces (A,⊆,∧,∨) es un reticulado.



Con X = {a, b, c} tenemos el siguiente diagrama de Hasse:



Definicion

Sean a, b ∈ N. Decimos que a divide a b, lo que denotamos a|b, si existeun k ∈ N tal que b = a · k.

Ejemplo

Sea D6 = {1, 2, 3, 6} el conjunto de losdivisores de 6. El conjunto D6 junto con larelacion de divisibilidad forman un c.p.o. Sidefinimos el ınfimo entre dos elementos de D6

como el maximo comun divisor (MCD) entreellos y el supremo como el mınimo comunmultiplo (MCM) entre ellos, obtenemos elreticulado (D6, |,MCD,MCM). Su diagramade Hasse es el siguiente:



¿Cuales de los siguientes diagramas corresponden a un reticulado?

SI es un reticulado.

NO es reticulado(falta f ∨ g).

NO es reticulado(faltan d ∧ e, b ∨ c).



Observacion

Sea (A,6) un c.p.o. y sea (A,>) su dual. Si (A,6,∧,∨) es unreticulado, entonces (A,>,∧′,∨′) con ∧′ = ∨ y ∨′ = ∧, tambienes un reticulado.

Teorema

Si (A,6A) y (B,6B) son reticulados, entonces (A×B,6A×B)tambien es un reticulado.



Teorema

Si (A,6A) y (B,6B) son reticulados, entonces (A×B,6A×B) tambienes un reticulado.

Demostracion: Como (A,6A) es reticulado, tenemos definidos tanto elınfimo ∧A como el supremo ∨A entre dos elementos cualesquiera de A.Analogamente, tenemos definidos tanto ∧B como ∨B en B. Tenemosentonces que definir, en base a estas operaciones, las operaciones deınfimo y supremo en A×B. Dados dos elementos cualesquiera(a, b), (a′, b′) en A×B, sean:

1 (a, b) ∧A×B (a′, b′) ≡ (a ∧A a′, b ∧B b′),

2 (a, b) ∨A×B (a′, b′) ≡ (a ∨A a′, b ∨B b′).

Se deja como ejercicio verificar que estas definiciones, de hecho, secorresponden con los ınfimos y supremos de pares de elementos de A×Bcon el orden producto. �



Definicion

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado. Un subconjunto no vacıo S de A esun subreticulado (o sublattice) si, para todo par a, b ∈ S se cumpleque a ∧ b ∈ S y a ∨ b ∈ S.

Ejemplo:

Reticulado original.NO es subreticulado(falta a ∨ b = c).

SI es subreticulado.



Definicion

Sean (A,6,∧,∨) y (A′,6′,∧′,∨′) dos reticulados. Una funcionbiyectiva f : A → A′ es un isomorfismo de (A,6,∧,∨) en(A′,6′,∧′,∨′) si, para cualquier par a, b ∈ A, se tiene

1 f(a ∧ b) = f(a) ∧′ f(b), y

2 f(a ∨ b) = f(a) ∨′ f(b).

Si f : A → A′ es un isomorfismo, decimos que A y A′ sonisomorfos.

Observaciones

Si A y A′ son isomorfos bajo el isomorfismo f : A → A′, entoncespara todo par a, b ∈ A,

a 6 b ⇐⇒ f(a) 6′ f(b).

Los diagramas de Hasse de dos reticulados isomorfos son identicos.



Ejemplo

Consideremos el reticulado (D6, |,MCD,MCM) y el reticulado

(P(X),⊆,∩,∪) donde X = {a, b}. La funcion f : D6 → P(X) definida por:

f(1) = ∅,

f(2) = {a},

f(3) = {b},

f(6) = {a, b},

es un isomorfismo. Los diagramas de Hasse de D6 y P(X) son equivalentes:



Teorema

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado. Entonces, para todo par a, b ∈ A :

1 a ∨ b = b ⇐⇒ a 6 b,

2 a ∧ b = a ⇐⇒ a 6 b,

3 a ∨ b = a ⇐⇒ a ∧ b = b.

Demostracion: Veamos (1). (=⇒) Supongamos a ∨ b = b. Pordefinicion de supremo, a 6 a ∨ b. Como a ∨ b = b, se sigue quea 6 b.(⇐=) Supongamos a 6 b. Como ademas (por reflexividad) b 6 b,tenemos que b es cota superior de a y b. Por ser a∨ b cota superiormınima (supremo) y b cota superior, a∨ b 6 b. Por otro lado, a ∨ bes cota superior de b, por lo que b 6 a ∨ b. Entonces, porantisimetrıa, al tener a∨ b 6 b y b 6 a∨ b, se deduce que a∨ b = b.La parte (2) es similar a la parte (1). La parte (3) es consecuenciainmediata de (1) y (2). �



Teorema

Sea (A,6,∧,∨) un reticulado y sean a, b y c elementos de A.Entonces valen las siguientes propiedades:

1 Idempotencia: a ∧ a = a y a ∨ a = a

2 Conmutatividad: a ∧ b = b ∧ a y a ∨ b = b ∨ a

3 Asociatividad: a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c ya ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c

4 Absorcion: a ∧ (a ∨ b) = a y a ∨ (a ∧ b) = a

Demostracion: Ejercicio. �



Definicion

Un reticulado (A,6,∧,∨) se dice distributivo si, para cualquierterna a, b, c de elementos de A se cumple que:

1 a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),

2 a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Ejemplo

Dado un conjunto X no vacıo, (P(X),⊆,∩,∪) es un reticuladodistributivo.



Ejemplo

Los siguientes reticulados NO son distributivos:

d ∧ (b ∨ c) = d ∧ e = d(d ∧ b) ∨ (d ∧ c) = b ∨ a = b

b ∧ (c ∨ d) = b ∧ e = b(b ∧ c) ∨ (b ∧ d) = a ∨ a = a



Teorema

Un reticulado es no distributivo si y solo si contiene unsubreticulado isomorfo con uno de los reticulados del ejemploanterior.

Demostracion: Fuera del alcance de este curso. �


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