2. Baskı

Matemat�kEğ�t�m�ndeMatemat�kselModellemeAraştırmacılar, Eğitimciler veÖğrenciler İçinEd�tör: Prof. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

Editör: Prof. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

MATEMATİK EĞİTİMİNDE MATEMATİKSEL MODELLEMEAraştırmacılar, Eğitimciler ve Öğrenciler İçin

ISBN 978-605-318-544-4DOI 10.14527/9786053185444

Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© 2018, PEGEM AKADEMİ

Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ'ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elekt-ronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan ki-taplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca ta-nınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevri-miçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye’de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazar-lara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir.

1. Baskı: Eylül 2016, Ankara2. Baskı: Şubat 2018, Ankara

Yayın-Proje: Özlem SağlamDizgi-Grafik Tasarım: Ayşe Nur Yıldırım

Kapak Tasarım: Pegem Akademi

Baskı: Özyurt MatbaacılıkBüyük Sanayi Zübeyde Hanım Mah.

Süzgün Cad. No: 9İskitler/Altındağ/ANKARA

Tel: (0312) 384 15 36

Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 13385

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.netE-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme adlı kitabımızda matema-tiksel modellemeyi çok yönlü ele alarak başta matematik eğitimcileri, araştır-macılar ve öğrenciler olmak üzere geniş bir kitleye hitap etmeye çalıştık. Gerçek yaşam ile matematiğin ilişkilendirilmesini sağlayan matematiksel modellemenin her düzeyde önemli olduğu fikrini yansıtan bu kitap, ortaokul, lise ve lisans sevi-yeleri için modelleme uygulamaları örneklerini içermektedir. Diğer yandan, ma-tematiksel modelleme alanında araştırmalar yürütmek isteyenlere kuramsal bir taban sunarken matematik öğretmenlerine ve matematik öğretmeni adaylarına da uygulamaya dönük deneyim kazanacakları altyapı sağlamaktadır. Matema-tiksel modellemeyi kavramak ve modelleme uygulamalarını gerçekleştirmek için okuyuculara ışık tutacak olan bu kitap alan yazına da önemli katkılar sağlaya-caktır. Kitabın içeriğini belirleme ve yazma sürecinde uzun yıllardır yürüttüğüm Matematiksel Modelleme Dersi'nden edindiğim deneyimlerim ve diğer yazarlarla birlikte matematik öğretmenlerine ve öğrencilere yönelik 2011 yılından itibaren her yıl düzenli olarak gerçekleştirdiğimiz çalıştaylardan edindiğimiz deneyimler bize yol gösterdi. Bazen alan yazındaki çalışmalara atıf yaparak okuyucuları bilgi-lendirmeye çalışırken bazen okuyucuları sıkmamak adına deneyimlerimize dayalı edindiğimiz bilgilere yer verdik. Kitapta; matematiksel modelleme, matematiksel modelleme süreci, modelleme yeterlikleri ve gelişimi, modelleme yeterliklerinin değerlendirilmesi, modelleme etkinliklerinin öğretimde kullanımı ve modelleme problemleri örneklerini ele aldık.

Uzun süreli bir emeğin ürünü olan kitabımızın hazırlık sürecinden itibaren bizleri sabırla destekleyen eşlerimize, kendisinden edindiğim bilgi ve deneyimler-le her zaman bana ışık tutmuş Sayın Hocam Prof. Dr. Hüseyin ALKAN’a ve kitabın hazırlanma sürecinde hızla büyüyen bebeğimiz Erdem DEDE'ye ve biricik oğlum Alp GÜZEL'e teşekkürlerimizi sunuyorum.

Editör

Prof. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

YAZARLAR

Prof. Dr. Esra BUKOVA GÜZEL

Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi

Dr. Ayşe TEKİN DEDE

Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi

Yrd. Doç. Dr. Çağlar Naci HIDIROĞLU

Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi

Yrd. Doç. Dr. Semiha KULA ÜNVER

Dokuz Eylül Üniversitesi Buca Eğitim Fakültesi

Dr. Aytuğ ÖZALTUN ÇELİK

Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi

İÇİNDEKİLER

Ön Söz .................................................................................................................................... iiiYazarlar ....................................................................................................................................v

1. BÖLÜM

Matematiksel Modellemeye Giriş .........................................................................................1

1.1. Matematiksel Model ve Matematiksel Modelleme ....................................................9

1.2. Matematiksel Modelleme Perspektifleri .....................................................................12

2. BÖLÜM

Matematiksel Modelleme Süreci ........................................................................................17

3. BÖLÜM

Modelleme Yeterlikleri ve Gelişimi ....................................................................................35

4. BÖLÜM

Modelleme Etkinliklerinin Öğretimde Kullanımı ...........................................................45

4.1. Modelleme Uygulamalarına İlişkin Alan Öğretimi Modelleri ................................47

4.2. Modelleme Etkinliklerinin Özellikleri .......................................................................48

4.3. Modelleme Uygulaması İçin Bir Örnek: Model Oluşturma Etkinlikleri ...............50

4.3.1. Bir MOE Örneği: Büyük Ayak Problemi ..........................................................54

4.4. Modelleme Etkinliklerinin Öğretim Sürecine Entegrasyonu için Yaklaşımlar .....58

4.5. Matematik Derslerinde Modelleme Etkinliklerinden Yararlanma Önerileri ........59

4.6. Modelleme Etkinliklerinin Uygulama Süreci ............................................................65

4.7. Modelleme Uygulamalarında Karşılaşılabilecek Zorluklar ve Öğretmen Müdahaleleri ......................................................................................................75

5. BÖLÜM

Matematiksel Modelleme Problemleri ..............................................................................83

5.1. Salıncak Problemi..........................................................................................................84

5.1.1.Salıncak Problemi’nin GeoGebra ile Desteklenen Çözüm Örneği ...............85

5.2. Boy-Ayak Uzunluğu Problemi.....................................................................................89

İçindekilerviii Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

5.3. Stat Problemi ..................................................................................................................91

5.3.1. Stat Problemi’nin Çözüm Örneği ......................................................................925.4. Buca Arena Stadyumu Problemi ................................................................................97

5.4.1. Buca Arena Stadyumu Problemi’nin Çözüm Örneği .....................................985.5. Obezite Problemi ........................................................................................................ 1005.6. Atatürk Rölyefi Problemi .......................................................................................... 102

5.6.1. Atatürk Rölyefi Problemi’nin Çözüm Örneği ............................................... 1035.7. Adım Problemi ........................................................................................................... 1055.8. Antik Tiyatro Problemi ............................................................................................. 106

5.8.1. Antik Tiyatro Problemi’nin Çözüm Örneği .................................................. 1075.9. Atlet Problemi ............................................................................................................. 1105.10. Kargo Problemi ........................................................................................................ 1115.11. Sultan Kösen Problemi ............................................................................................ 1125.12. Piramit Problemi ...................................................................................................... 1135.13. Yakıt Problemi .......................................................................................................... 114

5.13.1. Yakıt Problemi’nin Çözüm Örneği .............................................................. 1155.14. Düşme Problemi (Uzaydan Dünya’ya Atlayış) ..................................................... 1185.15. Tiyatro Problemi ...................................................................................................... 1215.16. Köprü Problemi (Yavuz Sultan Selim Köprüsü) .................................................. 1235.17. İzmir Saat Kulesi Problemi ..................................................................................... 1255.18. Karşıyaka Vapur İskelesi Problemi ........................................................................ 1275.19. Yatak Problemi ......................................................................................................... 128

5.19.1. Yatak Problemi’nin 6. Sınıf Öğrencilerine Ait Çözüm Örneği ................. 1295.19.2. Yatak Problemi’nin Lisans Öğrencilerine Ait Çözüm Örneği .................. 130

5.20. Saman Balyası Problemi .......................................................................................... 1315.21. Adenauer Problemi .................................................................................................. 132

5.21.1. Adenauer Problemi’nin Çözüm Örneği ....................................................... 1335.22. Akaryakıt İstasyonu Problemi ................................................................................ 1365.23. Pisa Kulesi Problemi ................................................................................................ 137

5.23.1. Pisa Kulesi Problemi’nin Lisans Öğrencilerine ait Çözüm Örneği .......... 1385.24. Deniz Feneri Problemi ............................................................................................ 1415.25. Elmalı Turta Problemi ............................................................................................. 142

5.25.1. Elmalı Turta Problemi’nin Çözüm Örneği .................................................. 1435.26. Eşme Kilim Problemi............................................................................................... 144

İçindekiler ixMatematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

5.27. Merdiven Problemi .................................................................................................. 1455.28. Okulda Zaman Problemi......................................................................................... 1465.29. Diş Fırçalama Problemi ........................................................................................... 1475.30. Futbol Sahası Problemi ............................................................................................ 148

5.30.1. Futbol Sahası Problemi’nin Çözüm Örneği ................................................ 149

Kaynakça ...............................................................................................................153

İçindekilerx Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

Şekiller ListesiŞekil 2.1. Modelleme Sürecinin Yapısı (Müller ve Wittmann,1984) .............................19

Şekil 2.2. Modellemedeki Temel Basamaklar (Mason, 1988) ........................................20

Şekil 2.3. Modelleme Döngüsü (Berry ve Davies,1996) .................................................20

Şekil 2.4. Modelleme Süreci (Doerr, 1997).......................................................................21

Şekil 2.5. Matematiksel Modelleme Döngüsü (Abrams, 2001) .....................................21

Şekil 2.6. Matematiksel Modelleme Sürecindeki Temel Etkenler (Blomhøj ve Jensen, 2003; 2006) .......................................................................23

Şekil 2.7. Matematiksel Modelleme Sürecinin Akış Diyagramı (Voskoglou, 2006) ...............................................................................................23

Şekil 2.8. Modelleme Süreci (Lema, 2006) .......................................................................24

Şekil 2.9. Bilişsel Perspektif Altında Modelleme Döngüsü (Borromeo Ferri, 2006) ......................................................................................25

Şekil 2.10. Modelleme Süreci (Galbraith ve Stillman, 2006) .........................................25

Şekil 2.11. Modelleme Süreci (Mousoulides, 2007) ........................................................28

Şekil 2.12. Matematiksel Modelleme Süreci (Cheng, 2010) ...........................................28

Şekil 2.13. Matematiksel Modelleme Sürecinin Temel Yapısı (Hıdıroğlu, 2012) ........29

Şekil 2.14. Saman Balyası Problemi ..................................................................................30

Şekil 2.15. Dört Basamaklı Döngüye Göre Çözüm Yaklaşımı .......................................31

Şekil 4.1. Moelerin Özellikleri ...........................................................................................51

Şekil 4.2. Moelerin Temel Bileşenleri ................................................................................51

Şekil 4.3. Modelleme Uygulamaları Rehberi (Tekin Dede ve Bukova Güzel, 2016) ...68

İçindekiler xiMatematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

Tablolar ListesiTablo 1.1. Günlük Yaşam Örnekleri ve İlgili Matematik Konuları .................................4

Tablo 1.2. Matematiksel Modelleme Perspektiflerinin Sınıflandırılması .....................12

Tablo 2.1. Öğrencilerin Modelleme Sürecindeki Bilişsel Eylemleri ..............................26

Tablo 3.1. Matematiksel Modelleme Sürecindeki Üst Bilişsel Eylem Yapıları .............40

Tablo 4.1. MOE Prensipleri ................................................................................................54

Tablo 4.2. Modelleme Yeterlikleri Değerlendirme Rubriği ...........................................73

Yaşamımızdaki pek çok duruma veya olaya matematik sayesinde anlam kazandı-rabiliriz. Bu durumları, mimarlıktan dan-sa, coğrafyadan iktisada, müzikten spora vb. alanlara yayılan geniş bir yelpazede gö-rebiliriz. Örneğin, spor ile ilgili akla gele-bilecek örneklerden biri, bir basketbol to-punun potaya atılması halinde gerçekleşen hareketinin parabol ile ilişkilendirilmesi-dir. Basketbol oynayan kişinin, potaya olan uzaklığı, boy uzunluğu ve potanın yer-den yüksekliği şüphesiz parabolün neye benzeyeceği hakkında bir fikir verecektir. Bir diğer husus ise atıştaki topu potaya atarken kolun açısının nasıl ayarlanacağı-dır ki bu sayede parabolün kollarının açık-lığı da şekillenecektir.

MATEMATİKSEL MODELLEMEYE GİRİŞ

1. BÖLÜM

Benzer şekilde bir futbol maçında topun kaleye ulaşmasında şutu çeken oyuncunun yeri, kaleye uzaklığı, hangi açı ile topa vurması gerektiği durumu da matematiğin yaşamdaki bir yansıması olarak düşünülebilir. Bilardoda, bir topa hangi açıdan kaç defa vurulması sonucunda, topun istenen deliğe isabet etme du-rumu da matematiksel hesaplama ile bulunabilir. Biliriz ki bilardo topu hangi açı ile vuruldu ise o açıya eş bir açı ile banttan sekerek yoluna devam eder.

Seneye doğum gününüzün hangi gün olacağı, “45 gün sonra ödevlerinizi ge-tirin!” diyen bir öğretmene ödevinizi hangi gün teslim edeceğiniz gibi durumlar modüler aritmetiğin yaşamımıza yansımaları olarak düşünülebilir. Bir ressamın çizimini tamamlarken tuvalinin büyüklüğüne göre ölçeklendirme yapmasında ve belli oranları kullanmaya çalışmasında da matematiğin izlerini görürüz.

Görüldüğü gibi matematik yaşamımıza anlam kazandırmada önemli bir yere sahiptir. Matematik sayesinde akıl yürütme becerisine sahip oluruz. Matematiksel akıl yürütmeye sahip bir kişi günlük yaşamda karşılaştığı problemleri çözerken matematiksel mantığını kullanabilir. Örneğin, evinize yaptıracağınız bir kütüpha-nenin nasıl olması gerektiği aslında bir matematik problemi olarak düşünülebilir. Öncelikle ne tür kitaplarınız, ne kadar yeriniz ve ne kadar paranız var soruları problem çözümü için başlangıç noktanızdır. Çünkü mevcut olan bu bilgiler sonra-ki adımlarınızı şekillendireceği için önemlidir. Eğer kitapları gruplayarak yerleşti-

Matematiksel Modellemeye Giriş2 Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

recekseniz bu gruplamada neyi temel alacağınızı göz önünde bulundurmanız ge-rekecektir. Kitapların türünü veya kitapların boyutlarını dayanak noktası almak bir seçim ölçütü olabilir. Bu adım sizi probleminizi çözmede bir aşama daha ileri götürecektir. Örneğin kitapları büyüklüğüne ve küçüklüğü-ne bakarak benzer boyutlara göre gruplandıracaksanız kitaplığın rafları-nı bu boyutlara göre düzenlemeniz de etkili olabilir. Ancak kitaplarınızı belli temalara göre gruplandırmak isteme-niz sizi başka bir çözüm yoluna yönel-tecektir. Alışılagelmişin dışında yaratı-cılığınızı kullanarak farklı kitaplık modellerini de düşünebilirsiniz.

Benzer şekilde yaşayabileceğiniz bir evi kiralama da pek çok değişkeni içe-ren ve matematik sayesinde çözülmesi daha kolay olan bir problemdir. Evi nere-de kiralamak istediğiniz, ne büyüklükte bir ev düşündüğünüz, kaç kişi ile o evde yaşacağınız ve ne kadar bütçe ayıracağınız bu problemin çözümünde ele almanız gereken hususlardandır. Öğrenci iseniz okulunuza yakın ve arkadaşlarınızla büt-çesini paylaşabileceğiniz bir ev isteyebilirsiniz. Öte yandan evli iseniz evin eşler-den hangisinin işine yakın olacağı sorusunu kendinize sorabilirsiniz. Üstelik bir de çocuğunuz varsa bu seçimler daha da çeşitlenecektir. Ancak bütçenizi zorlayan bazı evleri ve yerleşim yerlerini en başında ihmal etmeniz de gerekecektir. İçine girildikçe bu konuda daha fazla değişken de aklınıza gelebilir.

Görüldüğü gibi matematik, yaşamımızda bazen doğrudan yansımalarını gör-düğümüz bazen ise yaşamımıza anlam kazandırmak için kullandığımız bir bilim-dir. Buna bağlı olarak yaşamımızı böylesine etkileyen matematiğin bir ders olarak okullarımızdaki yeri de oldukça önemlidir. Bu nedenle, matematik derslerini ger-çek yaşam problemlerine çözüm üretme becerisi kazandıracak şekilde yürütmek gerekir. Bunun için günlük yaşamda karşılaştığımız olayların hangi matematiksel kavramlar ile ilişkili olduğunu düşünmek ve bunları problem durumları olarak sunmak faydalı olabilir. Blum (1991), günlük yaşamda karşılaşılan bazı olayları ve bunlarla ilgili matematiksel kavramları örneklemektedir (bkz. Tablo 1.1). Tablo-daki örnekler matematik derslerinde yararlanılabilecek günlük yaşam uygulama-larına ilişkin farklı bir bakış açısı sağlayabilir.

Matematiksel Modellemeye Giriş 3Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

Tablo 1.1. Günlük Yaşam Örnekleri ve İlgili Matematik Konuları

Gerçek Yaşam Örnekleri

İlgili Matematik Konuları

Artış-Azalış Süreçleri

• nüfus artışı

• kimyasal tepkimeler

• salgın hastalıkların yayılımı

• gazlı içecek köpü-ğünün azalışı

• ısınma-soğuma

• soğurma…

Fonksiyonlar, Analiz ve Lineer Cebir

Gökkuşağı Geometri ve Analiz

Genetik Hesaplama, Olasılık ve (Lineer) Cebir

Faiz Oranı Hesaplama, Fonksiyonlar ve Analiz

Gelir Vergisi Hesaplama, Fonksiyonlar ve Analiz

Matematiksel Modellemeye Giriş4 Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

Bisiklet Sürme Geometri ve Fonksiyonlar

Futbol Geometri, Aritmetik ve Stokastik

Golf Geometri ve Analiz

Zincirli Salıncak

Lineer Cebir, Fonksiyonlar ve Analiz

Boyama Geometri ve Analiz

Müzik Parçasındaki Nota Dizimi

Hesaplama, Cebir ve Fonksiyonlar

Araştırmalar geleneksel matematik öğrenme ve öğretme yaklaşımlarının gü-nümüz bireylerinin ihtiyaç duyacakları problem çözme, ilişkilendirme, akıl yü-rütme ve iletişim kurma gibi temel matematiksel becerilerini geliştiremeyeceğini ifade eder (English ve Watters, 2004; Greer, 1997; Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2006; Mousoulides, Christou ve Sriraman, 2006; National Council of Teachers of

Matematiksel Modellemeye Giriş 5Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme

Mathematics [NCTM], 2000; Schoenfeld, 1992; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; Zawojevski, Lesh ve English, 2003). Bu nedenle, matematik öğrenme ve öğ-retme uygulamalarının çağımızın gereklilikleri doğrultusunda gözden geçirilmesi gerekir.

Günümüz eğitim sistemlerinde Almanya, Amerika, Avustralya, Finlandiya, İsviçre, İsveç, Singapur, Türkiye ve daha birçok ülkede ilkokuldan yükseköğretime kadar her kademede uygulanmakta olan matematik dersi öğretim programlarında matematiksel modellemenin önemli bir yere sahip olduğu görülmektedir (Blomhøj ve Kjeldsen, 2006; Lingefjärd, 2006; Maaβ, 2006; MEB, 2005, 2013; NCTM, 2000; Skolverket, 1997; Stillman, Galbraith, Brown ve Edwards, 2007; Swedish Ministry of Education, 1994). Avustralya’da 1992’den bu yana hem matematik hem de geo-metri derslerinde öğrencilerin gerçek yaşamlarında karşılaştıkları durumları mo-delleyebilmeleri ve modelleme becerilerine sahip olmaları istenmektedir (Wood, 1992). İngiltere’de de matematik dersi öğretim programında, problem çözmenin bir bileşeni olarak matematiksel modelleme önemli bir yere sahiptir (Berry, 2002). Blomhøj ve Kjeldsen (2006) Danimarka’daki matematik dersi öğretim programın-da 1988’den bu yana programın en önemli üç öğesinden birinin matematiksel mo-delleme olduğunu ifade ederler. Almanya’da, matematik öğretimi için belirlenmiş olan standartlarda altı zorunlu yeterlikten birinin matematiksel modelleme oldu-ğu görülür (Blum ve Borromeo Ferri, 2009). Benzer şekilde Singapur’daki mate-matik dersi öğretim programında matematik eğitiminin önemli bileşenlerinden birinin modelleme uygulamaları olduğu (Ang, 2006), öğrencilerin problem çözer-ken modellemeden yararlandıkları (Chan, 2010) ve 1983’ten itibaren kullanılan modellemenin gittikçe artan bir popülariteye sahip olduğu vurgulanır (Yan, 2002). İsveç’te de öğrencilerden istenen matematiksel modellemeyi kullanma becerileri-ni geliştirmeleri ve modellerin kalitelerini ve sınırlıklarını değerlendirmeleridir (Lingefjärd, 2000). Peled (2010), İsrail’deki matematik dersi öğretim programın-da, problem çözmenin merkezi bir öneme sahip olduğuna ve modellemenin de problem çözme çalışmaları için kullanıldığına dikkat çeker. NCTM’in Prensipler ve Standartlar dokümanında da öğrencilerin gerçek yaşam durumlarını modelle-meleri gerektiği belirtilmektedir (NCTM, 2000).

Bu açıklamalar doğrultusunda modellemeye çoğu ülkede önemli bir vurgu yapıldığını söyleyebiliriz. Bu vurgunun yansımalarını ülkemiz matematik dersi öğretim programlarında ve dolayısıyla ders kitaplarında da görmekteyiz. Bilindi-ği gibi Türkiye’de 2005 yılında yenilenen Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı’ndaki radikal değişimlerin izleri günümüzde de görülmektedir. Yapılan değişikler doğrultusunda matematiksel modellemenin ilk kez programın önemli öğelerinden biri haline gelmiş olması dikkat çekmektedir. Her bireyin matematik

Matematiksel Modellemeye Giriş6 Matematik Eğitiminde Matematiksel Modelleme