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UUNIVERSIDADENIVERSIDADE SALGADOSALGADO DEDE OLIVEIRAOLIVEIRA

CCAMPUSAMPUS R RECIFEECIFE

DDISCIPLINAISCIPLINA E ENGENHARIANGENHARIA E ECONÔMICACONÔMICA

MMATEMÁTICAATEMÁTICA F FINANCEIRAINANCEIRA

PPROFROF . A. ANTÔNIONTÔNIO C CERQUEIRAERQUEIRA

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CCAPÍTULOAPÍTULO I – C I – CONCEITOSONCEITOS G GERAISERAIS EE J JUROSUROS S SIMPLESIMPLES

A matemática financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações do vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.

1.1 – Juros

Refere-se á remuneração de um valor (capital), que incide sobre o mesmo.

1.2 – Taxas de Juros

As taxas de juros devem remunerar:

a) o risco envolvido na operação;b) a perda do poder de compra (aquisitivo) motivada pela inflação;c) o capital emprestado/aplicado.

As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo: mês, semestre, ano etc. Podem ser representadas por taxa percentual e taxa unitária.

a) Taxa Percentual – refere-se aos “contos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital.

Ex.: um capital de R$ 1.000,00, aplicado a uma taxa de 20% ao mês, renderá quando de juros, ao final deste período?

juros = R$ 1.000,00 x 20100

juros = R$ 10,00 x 20 = R$ 200,00

O capital de R$ 1.000,00 tem dez centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é, portanto, de R$ 200,00.

b) Taxa Unitária – centra-se na unidade de capital. Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo.

Ex.: no exemplo anterior, a taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20/100) por unidade de capital aplicada, ou seja:

Juros = R$ 1.000,00 x 20 100

Juros = R$ 1.000,00 x 0,20 = R$ 200,00.

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Taxa Percentual Taxa Unitária1,50% 0,0158,00% 0,0817,00% 0,1786,00% 0,86120,00% 1,20

1500,00% 15,00

Na matemática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros. Todavia, os resultados sempre são representados pela taxa percentual.

1.3 – Diagrama do Fluxo de Caixa

Permite que se visualize no tempo, o que ocorre com o capital.

Ex.: + + + + tempo

saída de 0 1 2 3 4 5 6 7 8 caixa - (-)

A linha horizontal registra a escala do tempo, ou seja, o horizonte financeiro da operação. O ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam os períodos de tempo (datas). As setas acima da linha do tempo refletem as entradas (recebimentos) de dinheiro, e as setas para baixo da linha indicam saídas (ou aplicações) de dinheiro.

1.4 – Regras Básicas

Nas fórmulas de matemática financeira, tanto a taxa de juros como o período de capitalização devem estar na mesma unidade de tempo.

Ex.: juros de 2% ao mês e rendimentos creditados mensalmente.

Se a aplicação foi efetuada pelo prazo de 1 mês, mas os juros definidos em taxa anual, não há coincidência nos prazos. Nesse caso é preciso que haja uma transformação de uma variável para a unidade da outra.

1.5 – Regime de Capitalização de Juros

• Regime Simples = linear;• Regime Composto = exponencial.

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Regime Simples – comporta-se como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.

Ex.: empréstimo de R$ 1.000,00, pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros simples, à razão de 10% ao ano.

(R$)

Ano Saldo Inicial Juros Saldo Devedor Crescimento Anual

do Saldo DevedorInício 1° - - 1.000,00 -

Fim 1° 1.000,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.100,00 100,00

Fim 2° 1.100,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.200,00 100,00

Fim 3° 1.200,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.300,00 100,00

Fim 4° 1.300,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.400,00 100,00

Fim 5° 1.400,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.500,00 100,00

Regime Composto – equivale a uma progressão geométrica (PG), no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial).

Ex.: admitindo-se no exemplo anterior a dívida de R$ 1.000,00, pelo prazo de 5 anos, pagando-se juros compostos, à taxa de 10% ao ano, temos:

(R$)Ano Saldo Inicial Juros Saldo Devedor ao Final de Cada Ano

Início 1° - - 1.000,00

Fim 1° 1.000,00 0,10 x R$ 1.000,00 = R$ 100,00 1.100,00

Fim 2° 1.100,00 0,10 x R$ 1.100,00 = R$ 110,00 1.210,00

Fim 3° 1.210,00 0,10 x R$ 1.210,00 = R$ 121,00 1.331,00

Fim 4° 1.331,00 0,10 x R$ 1.331,00 = R$ 133,10 1.464,10

Fim 5° 1.464,00 0,10 x R$ 1.464,10 = R$ 146,41 1.610,51

Diante dos resultados obtidos, pode-se elaborar um quadro comparativo dos regimes de capitalização apresentados:

(R$)

AnoCapitalização Simples Capitalização Composta Diferença: composta-simplesJuros anuais

Saldo devedor

Juros anuais

Saldo devedor

Juros anuais

Saldo devedor

Início 1° - 1.000,00 - 1.000,00 - -

Fim 1° 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00 - -

Fim 2° 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00 10,00 10,00

Fim 3° 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00 21,00 31,00

Fim 4° 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10 33,10 64,10

Fim 5° 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51 46,41 110,51

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Representação Gráfica:

R$ capitalização composta (exponencial)

150 capitalização simples (linear)

140

130

120

110

100

0 1 2 3 4 5 Tempo (ano)

1.6 – Aplicações Práticas dos Juros Simples e Compostos

Os juros simples têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais segundo o regime de capitalização linear. O juros simples restringem-se principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo.

Tecnicamente mais correto por envolver a capitalização exponencial dos juros, o regime composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de capitais.

1.7 – Capitalização Contínua e Descontínua

Capitalização Contínua – se processa em intervalos de tempo bastante reduzidos. Pode ser estendida em todo fluxo monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único instante. Esse regime é pouco utilizado.

Ex.: faturamento de um supermercado; depreciação de um equipamento etc.

Capitalização Descontínua – os juros são formados somente ao final de cada período de capitalização. Esse regime é bastante generalizado.

Ex.: caderneta de poupança.

1.8 – Fórmula de Juros Simples

J = c . i . n

j = juros expressos em unidades monetárias (R$);c = capital, expresso em unidades monetárias (R$);i = taxa de juros, expressa em forma percentual;n = prazo.

Exemplo 1.

Um capital de R$ 80.000,00 é aplicado à taxa de 2,5% ao mês, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

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Solução:

c = R$ 80.000,00i = 2,5% ao mês = 0,025n = 3 mesesj = ?

J = c . i . nJ = 80.000 . 0,025 . 3J = R$ 6.000,00

Exemplo 2.

Um negociante tomou um empréstimo, pagando uma taxa de juros de 6% ao mês, durante 9 meses. Ao final deste período, calculou em R$ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.

Solução:

i = 6% ao mês = 0,06n = 9 mesesj = R$ 270.000,00c = ?

J = c . i . n270.000 = c . 0,06 . 90,54 c = 270.000c = 270.000 / 0,54c = R$ 500.000,00

Exemplo 3.

Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de R$ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros oferecida por esta operação.

Solução:

c = R$ 40.000,00n = 11 mesesj = R$ 9.680,00i = ?

J = c . i . n9.680 = 40.000 . i . 119.680 = 440.000 ii = 9.680 / 440.000i = 0,022 = 2,2% ao mês.

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Exemplo 4.

Uma aplicação de R$ 250.000,00, rendendo uma taxa de juros de 1,8% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 27.000,00. Calcular o prazo de aplicação.

Solução:

c = R$ 250.000,00i = 1,8% ao mês = 0,018j = R$ 27.000,00n = ?

J = c . i . n27.000 = 250.000 . 0,018 . n27.000 = 4.500 nn = 27.000 / 4.500n = 6 meses.

1.9 – Montante e Capital

Um determinado capital, quando aplicado à taxa periódica de juros por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante, e identificado em juros simples por M. Em outras palavras, o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros , isto é:

M = C + J (1)

No entanto, sabe-se que:

J = c . i . n (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

M = c + c . i . n

M = c (1 + i . n)

Exemplo 5.

Uma pessoa aplica R$ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês, durante 8 meses. Determinar o valor acumulado ao final do período.

Solução:

c = R$ 18.000,00i = 1,5% ao mês = 0,015n = 8 mesesM = ?

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M = c (1 + i . n)M = 18.000 (1 + 0,015 . 8)M = 18.000 (1 + 0,12)M = 18.000 . 1,12M = R$ 20.160,00.

Exemplo 6.

Uma dívida de R$ 900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está oferecendo um desconto de 7% ao mês, caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.

Solução:

M = R$ 900.000,00n = 4 mesesi = 7% ao mês = 0,07c = ?

M = c (1 + i . n)900.000 = c (1 + 0,07 . 4)900.000 = c (1 + 0,28)900.000 = c . 1,28c = 900.000 / 1,28c = R$ 703.125,00.

1.10 – Taxa Equivalente e Taxa Proporcional

Toda operação envolve dois prazos: o que se refere a taxa de juros e o de capitalização (ocorrência) dos juros.

Por exemplo: i = 24% ao ano. Se os encargos incidirem sobre o principal somente no final de cada ano, as taxas serão consideradas equivalentes. Portanto, as taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume de juros.

Mas, em inúmeras outras operações estes prazos não são equivalentes. Os juros podem ser capitalizados em prazo inferior ao da taxa, devendo-se, nesta situação, ser rateado com o período de capitalização. Nesse caso, chama-se de taxa proporcional.

Por exemplo: se uma operação tiver uma taxa de juros de 18% ao ano, com a capitalização feita mensalmente, o percentual de juros que incidirá sobre o capital acada mês será:

Taxa Proporcional = 18% / 12 = 1,5% ao mês.

Por exemplo, em juros simples, um capital de R$ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante de juro. Isto é:

J (2,5% a.m.) = R$ 500.000,00 x 0,025 x 12 = R$ 150.000,00

J (15% a.s.) = R$ 500.000,00 x 0,15 x 2 = R$ 150.000,00

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Os juros produzidos pelas duas taxas de juros são iguais, logo definidos como equivalentes.

Exemplo 7.

Calcular a taxa anual proporcional a:

a) 6% ao mês;b) 10% ao bimestre.

Solução:

a) i = 6% x 12 = 72% ao ano.b) i = 10% x 6 = 60% ao ano.

Exemplo 8.

Calcular a taxa de juros semestral proporcional a:

a) 60% ao ano;b) 9% ao trimestre.

Solução:

a) i = 60% / 12 x 6 = 30% a.s.b) i = 9% / 3 x 6 = 18% a.s.

Exemplo 9.

Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre:

Solução:

12/3 = 36/12

4 ‡ 3 (portanto, falso).

Exemplo 10.

Calcular o montante de um capital de R$ 600.000,00 aplicado à taxa de 2,3% ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses.

Solução:

M = ?c = R$ 600.000,00n = 1 ano e 5 meses (17 meses)i = 2,3 ao mês (0,023)

M = c (1 + i . n)M = 600.000 (1 + 0,023 x 17)

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M = 600.000 (1 + 0,0391)M = 600.000 . 1,0391M = R$ 834.600,00

Exemplo 11.

Uma dívida de R$ 30.000,00 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes. Para sua quitação antecipada, o credor concede um desconto de 15% ao ano. Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente.

Solução:

M = R$ 30.000,00n = 3 mesesi = 15% ao ano (15% / 12 = 1,25% ao mês = 0,0125)c = ?

M = c (1 + i . n)30.000 = c (1 + 0,0125 x 3)30.000 = c (1 + 0,0375)30.000 = 1,0375 cc = 30.000 / 1,0375 = R$ 28.915,66

1.11 – juros Exato e juros Comercial

O juros exato refere-se ao calendário civil, ou seja, 365 dias. O juros comercial admite o mês com 30 dias e, portanto, o ano com 360 dias.

Por exemplo, 12% ao ano equivale, pelos critérios enunciados, à taxa diária de:

a) juros exato = 12% / 365 dias = 0,032877% ao dia;

b) juros comercial = 12% / 360 dias = 0,033333% ao dia.

Portanto, o juros comercial diário é ligeiramente superior ao juros exato, devido ao menor número de dias considerado no intervalo de tempo.

1.12 – Equivalência Financeira

O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da matemática financeira, Conceitualmente, dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum.

Por exemplo, R$ 120,00 vencíveis daqui a um ano e R$ 100,00, hoje, são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, uma vez que os R$ 100,00, capitalizados, produziriam R$ 120,00 dentro de um anos, ou os R$ 120,00, no final do primeiro ano, resultariam em R$ 100,00 se atualizados para hoje.

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Exemplo 12.

Determinar se R$ 438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje R$ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês.

Solução:

Data focal 8 meses Data focal 0 (hoje)M = c (1 + i . n)M = 296.000 (1 + 0,06 x 8)M = 296.000 (1 + 0,48)M = 296.000 x 1,48M = R$ 438.080,00.

M = c (1 + i . n)438.080 = c (1 + 0,06 x 8)438.080 = c (1 + 0,48)438.000 = 1,48 cc = 438.080 / 1,48 = R$ 296.000,00.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Exercício 1.

Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira R$ 18.000,00 resgatando R$ 21.456,00, quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação.

Solução:

c = R$ 18.000,00M = R$ 21.456,00n = 4 mesesi = ?

M = c (1 + i . n)21.456 = 18.000 (1 + i . 4)21.456 = 18.000 + 72.000 i21.456 – 18.000 = 72.000 ii = 3.456 / 72.000i = 0,048 = 4,8% a.m.

Exercício 2.

Se uma pessoa necessitar de R$ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela depositar num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano?

Solução:

M = R$ 100.000,00n = 10 mesesi = 12% ao ano = 1% ao mês = 0,01c = ?

M = c (1 + i . n)100.000 = c (1 + 0,01. 10)100.000 = c (1 + 0,1)

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100.000 = 1,1 cc = 100.000 / 1,1c = R$ 90.909,09

Exercício 3.

Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos.

Solução:

M = R$ 3,00n = 12 bimestresi = ?c = R$ 1,00

M = c (1 + i . n)3 = 1 (1 + i. 12)3 = 1 + 12 i3 - 1 + 12 i2 = 12 ii = 2 / 12i = 16,7% a. b.

Exercício 4.

Um título com valor nominal de R$ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título.

a) hoje;b) dois meses antes do seu vencimento;c) um mês após o vencimento.

Solução:

M = R$ 7.200,00n = 4 mesesi = 31,2% ao ano = 0,312/12 = 0,026c = ?

a) M = c (1 + i . n)7.200 = c (1 + 0,026 x 4)7.200 = c (1 + 0,104)7.200 = 1,104 cc = 7.200 / 1,104c = R$ 6.521,74.

b) M = c (1 + i . n)7.200 = c (1 + 0,026 x 2)7.200 = c (1 + 0,052)7.200 = 1,052 cc = 7.200 / 1,052

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c = R$ 6.844,11. c) M = c (1 + i . n)

M = 7.200 (1 + 0,026 x 1)M = 7.200 (1 + 0,026)M = 7.200 + 187,20M = R$ 7.387,20.

Exercício 5.

Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$ 25.000,00 e R$ 56.000,00 cada. O primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5° mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste pagamento único.

Solução:

25.000 56.000

0 1 2 3 4 5 meses

c1 = R$ 25.000,00 e c2 = R$ 56.000,00n1 = 2 meses e n2 = 3 mesesi = 3% ao mês = 0,03M5 = ?

M = c (1 + i . n)M5 = 25.000 (1 + 0,03 x 3) + 56.000 (1 + 0,03 x 2)M5 = 25.000 (1 + 0,09) + 56.000 (1 + 0,06)M5 = 25.000 x 1,09 + 56.000 x 1,06M5 = 27.250 + 59.360M5 = R$ 86.610,00.

Exercício 6.

Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:

• R$ 35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses;• R$ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses.

Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma conta de poupança, que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que posam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos.

Solução:

35.000 65.000

0 1 2 3 4 5 meses

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M1 = R$ 35.000,00 e M2 = R$ 65.000,00n1 = 3 meses e n2 = 5 mesesi = 66% ao ano = 5,5 ao mês = 0,055c5 = ?

M = c (1 + i . n) ou c = M / (1 + i . n)c5 = 35.000 / (1 + 0,055 x 3) + 65.000 / (1 + 0,055 x 5)c5 = 35.000 / (1 + 0,165) + 65.000 / (1 + 0,275)c5 = 35.000 / 1,165 + 65.000 / 1,275c5 = 30.042,92 + 50.980,39c5 = R$ 81.023,31

Exercício 7.

Uma dívida no valor de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende resgatar a dívida pagando R$ 4.800,00 hoje, R$ 14.000,00 de hoje a dois meses, e o restante um mês após a data de vencimento. Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da operação e sabendo-se ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação, determinar ao montante do pagamento.

Solução:

48.000

0 1 2 3 4 5 6 7 meses 4.800 14.000 data focal

c1 = R$ 48.000,00, c2 = R$ 4.800,00 e c3 = R$ 14.000,00n1 = 1 mês, n2 = 7 meses e n3 = 5 mesesi = 34,8% ao ano = 34,8 / 12 = 2,9% ao mês = 0,029.MDF = ?

Daqui a 6 meses:

M = c (1 + i . n)M6 = 48.000 (1 + 0,029 x 1)M6 = 48.000 x 1,029M6 = R$ 49.392,00

Hoje (R$ 4.800,00)

M = c (1 + i . n)MHoje = 4.800 (1 + 0,029 x 7)MHoje = 4.800 (1 + 0,203)MHoje = 4.800 x 1,203MHoje = R$ 5.774,40

2 meses (R$ 14.000,00)

M = c (1 + i . n)M2 = 14.000 (1 + 0,029 x 5)M2 = 14.000 (1 + 0,145)

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M2 = 14.000 x 1,145M6 = R$ 16.030,00

Dívida na Data Focal

MDF = M6 - MHoje - M2

MDF = 49.392,00 – 5.774,40 – 16.030,00MDF = R$ 27.587,60

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de:

a) 14,4% ao ano;b) 6,8% ao quadrimestre;c) 11,4% ao semestre;d) 110,4% ao ano;e) 54,72% ao biênio.

2. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de:

a) 120% ao ano;b) 3,2% ao quadrimestre;c) 1,5% ao mês.

3. Determinar a taxa de juros simples anual proporcional ás seguintes taxas:

a) 2,5% ao mês;b) 56% ao quadrimestre;c) 12,5% para 5 meses.

4. Calcular o montante de R$ 85.000,00 aplicado por:

a) 7 meses à taxa linear de 2,5% ao mês;b) 9 meses à taxa linear de 11.6% ao semestre;c) 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21% ao ano.

5. Determinar os juros e o montante de uma aplicação de R$ 300.000,00, por 19 meses, à taxa linear de 42% ao ano.

6. Calcular o valor do juros referente a uma aplicação financeira de R$ 7.500,00, que perde 15% de taxa nominal ao ano, pelo período de 2 anos e 3 meses.

7. Qual o capital que produz R$ 18.00,00 de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de:

a) 60 dias;b) 80 dias;c) 3 meses e 20 dias;d) 2 anos, 4 meses e 14 dias.

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8. Uma pessoas aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 7 meses, o montante de R$ 13.008,00. Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu?

9. Uma nota promissória de valos nominal de R$ 140.000,00 é resgatada dois meses antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9% ao mês?

10. O montante de um capital de R$ 6.600,00 ao final de 7 meses é determinado adicionando-se R$ 1.090,32 de juros. Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada.

11. Um empréstimo de R$ 3.480,00 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de R$ 3.949,80. Calcular a taxa de juros simples em base mensais e anuais desta operação.

12. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo de aplicação for de 15 meses, qual a taxa de juros simples considerada?

13. Uma mercadoria é oferecida num magazine por R$ 130,00 a vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$ 106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada.

14. Em quanto tempo um capital de R$ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano pelo regime linear renderá R$ 1.940,00?

15. Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8% ao ano?

16. Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21% ao semestre?

17. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação. Sendo 30% ao ano a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da aplicação.

18. Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro?

19. Um TV em cores é vendida nas seguintes condições:

a) Preço a vista = R$ 1.800,00;b) Condições a prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias.

Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

20. Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais. O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são devidos em 30 e 60 dias. Sendo de 4,4% ao mês à taxa linear de juros, pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem a vista.

21. Uma divida é composta de três pagamentos no valor de R$ 2.800,00, R$ 4.200,00 e R$ 7.000,00, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Sabe-se ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 4,5% ao mês. Determinar os pagamentos:

a) hoje;

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b) daqui a 7 meses;

22. Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:

• R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias;• R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias;• R$ 100.0000,00 vencíveis em 114 dias.

Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir o fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:

a) R$ 20.000,00 em 60 dias;b) R$ 50.000,00 em 100 dias;c) Restante em 150 dias.

Sendo de 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente adotado como data focal o momento atual.

23. Uma maquina calculadora esta sendo vendida a prazo nas seguintes condições:

• R$ 128,00 de entrada;• R$ 192,00 em 30 dias;• R$ 192,00 em 60 dias.

Sendo de 1,1% ao mês a taxa linear de juros, pede-se calcular até que preço é interessante comprar a máquina à vista.

24. Uma pessoa tem uma divida composta dos seguintes pagamentos:

a) R$ 22.000,00 de hoje a 2 meses;b) R$ 57.000,00 de hoje a 5 meses;c) R$ 90.000,00 de hoje a 7 meses.

Deseja trocar estas obrigações equivalentes por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6° mês e o segundo no 8° mês. Sendo de 3,7% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se o pagamento hoje.

RESPOSTAS:

1. a) 1,2% a.m.;b) 1,7% a.m.;c) 1,9% a.m.;d) 9,2% a.m.;e) 2,28% a.m.

2. a) 30% a.t.;b) 2,4% a.t.;c) 4,5% a.t.

3. a) 30% a.a.;b) 168% a.a.;c) 30% a.a.

4. a) M = R$ 99.875,00

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b) M = R$ 99.790,00c) M = R$ 110.287,50

5. M = R$ 499.500,00J = R$ 199.500,00

6. J = R$ 2.531,257. a) c = R$ 300.000,00

b) c = R$ 225.000,00c) c = R$ 163.636,36d) c = R$ 21.077,28

8. i = 1,2% a.m.9. c = R$ 134.874,76.10. i = 28,32% a.a.11. i = 32,4% a.a.12. i = 1,7% a.m.13. i = 2,79% a.m.14. n = Ξ 20 meses.15. n = 12,5% anos16. n = 57,1428 meses17. n = 56 meses18. c = R$ 32.500,0019. i = 3,65% a.m.20. % desconto = 95,9%, ou 4,1%21. a) R$ 11.983,54

b) R$ 16.016,0022. M = R$ 94.170,1923. Ctotal = R$ 505,7824. Pagamentos = R$ 88.174,78

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CCAPÍTULOAPÍTULO II – J II – JUROSUROS C COMPOSTOSOMPOSTOS

O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando montante (capital mais juros) do período. Esse montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.

Em síntese: os juros são compostos quando, a cada período, eles são incorporados ao capital e o novo capital passa também a render juros.

2.1 Fórmulas de Juros Compostos

Considere o capital inicial (c) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês:

. Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1). Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2. Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3

Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente:

Mn = 1000 (1 + 0,1)n

De uma forma genérica, teremos para um capital (c), aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante o período n:

M = C (1 + i)n

onde: M = montante, c = capital, i = taxa de juros e n = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado.

Exemplos:

1 – Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança, que rende 1,7% de juros compostos ao mês?

Solução:

M = R$ 27.500,00n = 1 ano = 12 mesesi = 1,7% a.m. = 0,017c = ?

M = c (1 + i)n 27.500 = c (1 + 0,017)12

27.500 = c (1,017)12

27.500 = c (1,017)12

27.500 = 1,2242 c

20

c = 27.500 / 1,2242 = R$ 22.463,65

2 – Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses, à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

Solução:

M = ?c = R$ 12.000,00n = 8 mesesi = 3,5% a.m. = 0,035

M = c (1 + i)n M = 12.000 (1 + 0,035)8

M = 12.000 (1,035)8

M = R$ 15.801,60

3 – Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.

Solução:

i = ?% a.m.c = R$ 40.000,00M = R$ 43.894,63n = 4 meses

M = c (1 + i)n 43.894,63 = 40.000 (1 + i) 4

43.894,63 / 40.000 = (1 + i) 4

1,0974 = (1 + i) 4

1,09741/4 = 1 + i1,0235 = 1 + i1,0235 – 1 = i0,0235 = ii = 2,35% a.m.

4 – Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.

Solução:

c = R$ 22.000,00M = R$ 26.596,40i = 2,4% a.m. = 0,024n = ? meses

M = c (1 + i)n 26.596,40 = 22.000 (1 + 0,024)n

21

26.596,40 / 22.000 = (1,024)n

1,2089 = (1,024)nn = log 1,2089 / log 1,024n = 0,0824 / 0,0103n = 8 meses

5 – Determinar os juros pagos de um empréstimo de R$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.

Solução:

J = ?c = R$ 88.000,00M = R$ ?i = 4,5% a.m. = 0,045n = 5 meses

M = c (1 + i)n M = 88.000 (1 + 0,045i)5 M = 88.000 (1,045)5 M = 88.000 x 1,2462M = R$ 109.665,60

J = M – CJ = 109.665,60 – 88.000J = R$ 21.665,60

Outros Exercícios:

1 – Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.

Solução:

M = ?c = R$ 200.000,00n = 4 anosi = 10% a.a. = 0,1

M = c (1 + i)n M = 200.000 (1 + 0,1)4

M = 200.000 (1,1)4

M = 200.000 x 1,4641M = R$ 292.820,00

2 – Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m. A juros compostos. Qual o montante após 1 ano?

22

Solução:

M = ?c = R$ 400,00n = 1 ano = 12 mesesi = 2% a.m. = 0,02

M = c (1 + i)n M = 400 (1 + 0,02)12

M = 400 (1,02)12

M = 400 x 1,26 M = R$ 507,29

3 – Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

M = ?c = R$ 600,00n = 1 ano = 12 mesesi = 4% a.m. = 0,04

M = c (1 + i)n M = 600 (1 + 0,04)12

M = 600 (1,04)12

M = 600 x 1,6010 M = R$ 960,60

4 – O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

Solução:

c = R$ 500,00i = 5% = 0,05n = 8 meses

M = c (1 + i)n M = 500 (1 + 0,05)8

M = 500 (1,05)8

M = 500 x 1,4775M = R$ 738,75

J = M – CJ = 738,75 – 500,00 = R$ 238,75

5 – Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

Solução:

M = R$ 477,62

23

i = 3% = 0,03n = 6 trimestres

M = c (1 + i)n 477,62 = c (1+ 0,03)6 477,62 = c (1,03)6 477,62 = 1,1941 cc = 477,62 / 1,1941 = R$ 400,00

2.2 – Taxas Equivalentes

Já sabemos que duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período de tempo, produzem o mesmo rendimento.

Na capitalização simples, duas taxas proporcionais são também equivalentes. Na capitalização composta, não.

No regime de juros compostos, uma aplicação que paga 10% a.m. representa o rendimento, em um trimestre, de:

Atribuindo um capital R$ 100, temos:

M = 100(1,1)3 equivale a M = 10 x 1,331 equivale a M = R$ 133,10.

Portanto, o rendimento no trimestre foi de 33,1%.

Logo, 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre. Ambas podem ser utilizadas nos problemas; são efetivas.

Podemos generalizar o cálculo da equivalência entre taxas assim:

Equivalência entre ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)12

Equivalência entre ANO e TRIMESTRE: (1 + ia) = (1 + it)4

Equivalência entre SEMESTRE e MÊS: (1 + im)6 = (1 + is)

Exemplos

1 – Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano?

Solução:

Observamos que 25% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal.

a) mensal

ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + im)12

(1 + 0,25) = (1 + im)12

12√1,25 = 1 + im1,01877 – 1 = im

24

im = 0,01877 = 1,877% a.m.

b) trimestral

ANO e MÊS: (1 + ia) = (1 + it)4

(1 + 0,25) = (1 + it)4

4√1,25 = 1 + it1,05737 – 1 = itit = 0,05737 = 5,737% a.t.

2 – Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.

Solução:

a) 9,9% ao semestre

M = c (1 + i)n M = 60.000 (1 + 0,099)2

M = 60.000 (1,099)2M = 60.000 x 1,2078M = R$ 72.468,00

b) 20,78% ao ano

M = c (1 + i)n M = 60.000 (1 + 0,2078)1

M = 60.000 (1,2078)1M = 60.000 x 1,2078M = R$ 72.468,00

Portanto, as taxas são equivalentes, pois produzem resultados iguais para um mesmo período.

3 – Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalência mensal composta dessas taxas.

Solução:

TRIMESTRE e MÊS 5 MESES e MÊS

(1 + it) = (1 + im)3 (1 + im)5 = (1 + 0,204999)

(1 + 0,118387) = (1 + im)3 (1 + im)5 = 1,2049993√1,118387 = 1 + im (1 + im) = 5√1,204999

1,0380 – 1 = im (1 + im) = 1,0380

0,0380 = im Im = 1,0380 – 1

im = 3,8%Im = 0,0380

im = 3,8%

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Portanto, as taxas são equivalentes.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 – Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança, que rende 1,7% de juros compostos ao mês?

2 – Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses, à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

3 – Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.

4 – Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.

5 – Determinar os juros pagos de um empréstimo de R$ 88.000,00 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 4,5% ao mês.

6 – Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 4 anos.

7 – Joana aplicou R$ 400,00 num investimento que rende 2% a.m. A juros compostos. Qual o montante após 1 ano?

8 – Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.

9 – O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

10 – Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

11 – Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano?

12 – Explicar a melhor opção: aplicar um capital de R$ 60.000,00 à taxa de juros compostos de 9,9% ao semestre ou à taxa de 20,78% ao ano.

13 – Demonstrar se a taxa de juros compostos de 11,8387% ao trimestre é equivalente à taxa de 20,4999% para cinco meses. Calcular também a equivalência mensal composta dessas taxas.

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14 - Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 2%, num regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação serão maiores que R$ 100,00. Certo ou Errado? Demonstre.

15 - A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 25% ao ano. Certo ou Errado? Demonstre.

16 - Paguei de juros um total de R$ 9.852,00 por um empréstimo de 18 meses a uma taxa de juro composto de 2,25% a.m. O capital tomado no emprestado foi igual a R$ 20.000,00. Certo ou Errado? Demonstre.

17 - A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente à taxa mensal de 11%. Certo ou Errado? Demonstre.

18 - Resgata-se um título por R$ 4.862,00, com 4 meses de antecedência. O valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto, é igual a R$ 4.000,00. Certo ou Errado? Demonstre.

19 - Um título de R$ 8.651,50 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. O valor atual é igual a R$ 6.500,00. Certo ou Errado? Demonstre.

20 - Um capital, após 5 anos de investimento, à taxa de 12% ao ano, capitalizada semestralmente, eleva-se a R$ 5.820,10. O valor desse capital é superior a R$ 3.500,00. Certo ou Errado? Demonstre.

21 - O pagamento de um empréstimo, que seria quitado em uma única prestação de R$ 26.000,00 ao final do segundo ano, com uma taxa de juros de 2% a.m., for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a R$ 19.800,00. Certo ou Errado? Demonstre.

22 - Considerando que o regime praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, caso o saldo devedor de um empréstimo seja hoje de R$ 30.000,00, se nenhum pagamento for efetuado, esse valor será superior a R$ 39.000,00, ao final do período de um ano. Certo ou Errado? Demonstre.

23 - Demonstre porque uma aplicação efetuada durante 01 (um) mês, à mesma taxa, tem o rendimento igual tanto para juros simples como para juros compostos.

24 - A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 24% ao ano. Certo ou Errado? Demonstre.

25 - A taxa efetiva semestral de 97,38% é equivalente à taxa mensal de 12%. Certo ou Errado? Demonstre.

27

26 - Na taxa equivalente, utiliza-se o regime de juros simples e, na taxa proporcional, o regime de juros compostos. Certo ou Errado.

27 - Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,7% a.m., quanto se receberá de volta após um ano de aplicação? Quanto foi os juros obtidos?

28 - Pagou-se de juros um total R$ 2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juros compostos de 1,4% a.m. Quanto foi o capital emprestado?

29 - Planeja-se emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretende-se receber de volta R$ 26.866,57. Quanto deve ser a taxa de juros compostos para que se venha conseguir este montante?

30 - Precisa-se aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juros compostos de 0,5% a.m., para que ao final da aplicação se obtenha o dobro deste capital?

31 - R$ 10.000,00 aplicados por 6 meses a uma taxa de juros simples de 3% a.m., para produzir o mesmo montante na modalidade de juros compostos em um aplicação com a mesma duração, precisará ser aplicada a qual taxa mensal?

32 - O valor final de um empréstimo de R$ 5.000,00 por um período de 7 meses é R$ 5.862,72. Qual a taxa de juros da aplicação?

33 - Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros compostos de 1% a.m., qual é o valor total que deverá ser pago após 100 meses?

RESPOSTAS:

1. c = R$ 22.463,652. M = R$ 15.801,603. i = 2,35% a.m.4. n = 8 meses5. J = R$ 21.665,606. M = R$ 292.820,007. M = R$ 507,298. M = R$ 960,609. J = R$ 238,7510. c = R$ 400,0011. a) im = 1,877% a.m.

b) it = 5,737% a.t.12. M = R$ 72.468,00. Portanto, as taxas são equivalentes.13. im = 3,8%. Portanto, as taxas são equivalentes.14. J = R$ 101,00. Portanto, certo.15. 1,30 = 1,25. Portanto, errado.16. c = R$ 20.000,00. Portanto, certo.17. im = 12%. Portanto, errado.18. c = R$ 4.155,91. Portanto, errado.

28

19. c = R$ 6.500,00. Portanto, certo.20. c = R$ 3.250,00. Portanto, errado.21. c = R$ 20.501,50. Portanto, certo.22. M = R$ 38.046,00. Portanto, errado.23. M = R$ 110,00, para c = R$ 100,00 e i = 10% a.m.24. ia = 26,82% a.a. Portanto, errado.25. ia = 97,38% a.s. Portanto, certo.26. Errado.27. J = R$ 3.363,0028. c = R$ 20.809,7029. i = 2,25% a.m.30. n = aproximadamente 137 meses.31. i = 2,8% a.m.32. i = 2,3% a.m.33. J = R$ 170.480,00.