Matemática 1

1

DESIGUALDADES

Son aquellas relaciones de orden en los números reales denotadas mediante los símbolos “ ”; “ ” que se leen

“mayor que” y “menor que” respectivamente.

Ejemplos:

cinco es mayor que dos

tres es menor que seis

La relación “mayor o igual que” ( ) se define como:

La relación “menor o igual que”( ) se define como:

Ejemplos:

*

*

(*) Es suficiente que se verifique una de las relaciones de orden

Definiciones

1. “ ” es positivo ø

2. “ ” es negativo ø

3. “ ” es no negativo ø

4. “ ” es no positivo ø

AXIOMAS

I. Ley de Tricotomía

Si: solamente una de las siguientes relaciones de orden es válida:

II. Ley Aditiva

Si:

Walter Ramos Melo Matemática 1

2

Ejemplos

01. Si

para despejar la incógnita, sumamos a sus miembros

ˆ

02. Si


ˆ

III. Ley Multiplicativa

Si:

Ejemplos

01. Si


÷

÷

multiplicado por a sus miembros, por ser positiva, la desigualdad no se altera

÷

ˆ

02. Si


÷

÷

multiplicado por a sus miembros, por ser positiva, la desigualdad no se altera

÷

ˆ


3

IV. Ley Transitiva

Si:

Ejemplos

01. Si

pero

ˆ

02. Si

pero

ˆ

= Reales positivos

= Reales negativos

PROPIEDADES

1. Dos desigualdades del mismo sentido se pueden sumar, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo

sentido.

Si:

2. Dos desigualdades de sentidos contrarios se pueden restar, como resultado se obtiene una desigualdad del

sentido de la desigualdad que hizo las veces de minuendo.

Si:

3. Dos desigualdades del mismo sentido y términos positivos se pueden multiplicar, como resultado se obtiene una

desigualdad del mismo sentido.

Si:


4

4. Dos desigualdades de sentidos contrarios y de términos positivos se pueden dividir, como resultado se obtiene

una desigualdad igual a la desigualdad que hizo las veces de dividendo

Si:

5. Si a ambos términos de una desigualdad se multiplica o divide por una cantidad negativa, la desigualdad cambia

de sentido

Si:

÷

6. Si: ÷

Si: ÷

7. En toda desigualdad con términos o positivos o negativos, se pueden invertir, como desigualdad se obtendrá

una desigualdad de sentido contrario

Si: ÷

Si: ÷

Ejemplos

01. Si

todos los términos son positivos, por lo que se puede invertir

÷

multiplicando por , como es positivo la desigualdad no se altera

÷

sumando a sus miembros


5

ˆ

02. Si

expresando la fracción impropia en propia.

Dando forma el numerador igual al denominador

÷

÷

sumando

÷

como todos sus términos son negativos entonces se puede invertir, cambiando el sentido de la desigualdad

÷

÷

ˆ

8. Si:

Ejemplos:

01. Si

como todos los términos son positivos se pueden elevar al cuadrado

ˆ

02. Si

como todos los términos son negativos se eleva al cuadro pero se cambia el sentido

ˆ


6

03. Si

como los términos son contrarios (negativo y positivo), entonces, y

prevalece el sentido de la desigualdad

ˆ

LA RECTA REAL

Una de las propiedades más importantes de los números reales es poderlos representar por puntos en una línea

recta. Resulta así una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales es decir cada

punto representa un único número real y cada número real viene representado por un punto único, llamaremos a

esta recta La Recta Real

22&B&B & 3& 31212

Los números a la derecha del 0, son llamados positivos y los números a la izquierda del 0, son llamados negativos,

el 0 no es ni negativo ni positivo

INTERVALOS

Un intervalo es un subconjunto de los números reales

Clases

I. Intervalo abierto . Es aquel conjunto de valores comprendidos entre dos extremos sin tomar los extremos

Notación:

gráfica:

II. Intervalo cerrado . Es aquel conjunto de valores comprendidos entre dos extremos incluyendo los extremos

Notación:

gráfica:


7

III. Intervalo semiabierto (semicerrado) . Es aquel conjunto de valores comprendidos entre dos extremos donde

uno de los extremos no está incluido

Notación:

gráfica:

Notación:

gráfica:

IV. Intervalos infinitos

Notación:

gráfica:

Notación:

gráfica:

Notación:

gráfica:

Notación:

gráfica:

* En el caso del conjunto completo de los números reales se tiene:


8

Operaciones entre intervalos

Si los conjuntos A y B representan un intervalo de números reales, se realizan entre ellas las siguientes operaciones:

1. Unión:

2. Intersección:

3. Diferencia:

4. Complemento:

Ejemplos:

Sean los conjuntos: ; ;

realizar las siguientes operaciones:

1) 2)

3) 4)

Resoluciones

1)

Como: y

Graficando:

ˆ

2)

Como: y

Graficando:


9

ˆ

3)

Como: y

Graficando:

ˆ

4)

Como:

Graficando:

ˆ


10

Ejercicios

01. Resolver

Resolución

eliminando el paréntesis

÷

÷

÷

dividiendo entre

÷

ˆ

02. Resolver

Resolución

efectuando

÷

reduciendo

÷

÷

÷

ˆ

03. Resolver


11

Resolución

efectuando la suma

÷

Por la ley de tricotomía

es siempre verdadero

ˆ

04. Resolver

Resolución

efectuando la diferencia

÷

÷

reduciendo y multiplicando por 12

÷

÷

÷

dividiendo entre

÷

ˆ


12

05. Hallar la cantidad de empleados que laboran en una empresa, si al tomar vacaciones la cuarta parte de los

empleados quedan menos de 18 personas trabajando, y si se van de vacaciones la tercera parte de empleados

los que quedan laborando son más de 15.

Resolución

Sea la cantidad de empleados que laboran en la empresa

Del dato

“si al tomar vacaciones la cuarta parte de los empl eados quedan menos de 18 personas trabajando”

si la cuarta parte toma vacaciones, entonces quedan laborando las tres cuartas partes, entonces:

÷ ... (1)

Del dato

“si se van de vacaciones la tercera parte de emplea dos los que quedan laborando son más de 15"

si la tercera parte toma vacaciones, entonces quedan laborando las dos terceras partes, entonces:

÷ ... (2)

de (1) y (2)

÷

ˆ

06. El fabricante de cierto artículo puede vender lo que produce al precio de S/.70 la unidad, gasta S/.50 en materia

prima y mano de obra al producir cada artículo, y tiene costos, adicionales (fijos) de S/.4 000 a la semana en la

operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad

de al menos S/.1 200 a la semana.

Resolución

De los datos


13

Precio de venta:

Costo unitario:

Costo fijo:

Cantidad producido y vendido:

Costo total:

Ingreso:

Utilidad:

Como:

÷

Como:

÷

Como:

÷

÷

Por dato

“una utilidad de al menos S/.1 200 a la semana”

÷

÷

÷

ˆ


14

INECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

Son aquellas que se reducen a la forma:

Ejemplos:

Procedimiento

1. Se despeja la expresión a un solo miembro, dejando cero en uno de sus miembros, luego se factoriza.

2. Se elimina los factores positivos, porque pueden pasar a dividir al otro miembro, y los que están elevados a un

exponente par, porque también son positivos, pero debemos de tener cuidado, analizando si pueden ser ceros.

Los factores que tienen exponentes impares se eliminan los exponentes, porque se puede separar como un

factor de exponente uno y el otro de exponente par, la cuál ese factor es positivo

3. De la expresión simplificada, se iguala cada factor a cero para hallar los puntos críticos (PC), éstos se disponen

en la recta real, determinando zonas.

4. Se calcula el signo de una zona, reemplazando un valor de esa zona en la inecuación

5. Basta encontrar el signo de una zona, los demás se calculan en forma alternada.

Una regla práctica es colocar en la última zona (última zona de la derecha), el signo del término de mayor grado

6. Si la expresión es mayor que cero se tomarán las zonas positivas y si es menor que cero se tomarán las zonas

negativas.

Ejemplos:

01. Resolver:

Resolución

Despejando a un solo miembro

Factorizando por divisores binomios:


15

El polinomio se anula para , entonces un factor es .

El polinomio se anula para , entonces un factor es

El polinomio a factorizar es de tercer grado, se encontró 2 valores que anulan al polinomio, entonces el cociente

es un polinomio de grado uno, entonces el otro factor es .

Luego tenemos

Los puntos críticos son:

graficando en la recta real

Tomemos de la primera zona, si reemplazamos en la expresión tendremos

, por lo que deducimos que en la primera zona, de es negativa, por lo que las

demás zonas tendrán signos alternados

Colocando los signos tenemos:

Los puntos críticos van abiertos si:

;

en caso contrario van cerrados:

;

y siempre van abierto


16

Como la expresión es mayor que cero, se toman las zonas positivas.

ˆ

02. Resolver:

Factorizando:

En éste caso se trabaja como si fuera un polinomio, teniendo cuidado que el denominador no puede ser cero.



Observación : se iguala a cero los factores del denominador y después se restringen estos puntos críticos, es

decir van a ir abiertos.

Como el término de mayor grado es positiva, entonces la última zona es positiva, las demás tendrán signos

alternados

Colocando los signos tenemos:

En v van cerrados por “ ” en abierto por ser del denominador

Tomando las zonas negativas

ˆ

03. Resolver:


17

Como es positiva œ x 0 ú, entonces lo eliminamos

Como , tiene exponente par, lo eliminamos, pero analizamos si puede ser cero, como (x + 1) esta en el

numerador y la expresión es mayor o igual a cero, entonces , de donde ... (1)

Como tiene exponente impar, entonces eliminamos el exponente

Simplificando tenemos:



Como el término de mayor grado es negativa, entonces la última zona es negativa, las demás tendrán signos

alternados

Como nos piden los , entonces la respuesta serán todas las zonas negativas y el valor encontrado en (1),

pero como el valor encontrado ya esta siendo considerado en la zona negativa

ˆ

Teorema

Sea: , de coeficientes reales con

÷

Ejemplos

01. Sea:

Como: v

÷ œ x 0 ú:


18

, completando cuadrados, se puede escribir de la siguiente forma

y siempre será positiva para cualquier valor que le asignemos a x

02. Ejemplo:

Sea:

Como: v

÷ œ x 0 ú:

, completando cuadrados, se puede escribir de la siguiente forma

y siempre será negativa para cualquier valor que le asignemos a x

Ejercicios

01. Determine el conjunto solución de la inecuación cuadrática

Resolución

Reduciendo

÷

÷

Colocando los puntos críticos en la recta numérica y como el término de mayor grado tiene signo positivo,

entonces la última zona es positiva

ˆ

02. Determine el conjunto solución de la inecuación polinomial

Resolución

Expresando en un solo término


19

÷

÷

Como , tiene exponente par, lo eliminamos, pero analizamos si puede ser cero, como esta en el

numerador y la expresión es menor o igual a cero, entonces de donde ... (1)

simplificando tenemos

Colocando los puntos críticos en la recta numérica y como el término de mayor grado tiene signo positivo,

entonces la última zona es positiva

ˆ

03. Modele una inecuación polinómica cuyo conjunto solución es

Resolucuón

Como existe intervalos cerrado, entonces la inecuación es .

Como debe ser -2, entonces se encuentra en el numerador con exponente par, entonces en el

numerador se encuentra .

Entonces los puntos críticos son: , , y sus factores son: , entonces el modelo mínimo será:

ˆ

04. Una compañía puede vender a un precio de $100 la unidad, todas las piezas que pueda producir. Si x unidades

es la producción diaria, el importe del costo total de la producción de un día es . ¿Cuántas

unidades deben producirse diariamente para que la compañía obtenga utilidades?

Resolución

Precio de venta:

Costo Total:

Cantidad de producción:

Ingreso:


20

Utilidad:

÷

÷

Por dato

“para que la compañía obtenga utilidades”

÷

÷

÷

÷

ˆ


21

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Programación lineal bidimensional

La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar o minimizar una función lineal con

dos variables sujeta a unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales.

Conjunto de restricciones lineales

El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema asociadas a un sistema

de ecuaciones lineales.

Ejemplo:

Encuentra la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

Región factible

La región factible de una función objetivo es un polígono convexo finito o infinito en el que toma valores la función

objetivo; es decir, son todos los puntos del plano que verifican todas las restricciones del enunciado del problema.

Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible representada en la gráfica.

Función objetivo

La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal en dos variables que se desea

optimizar.

Se representa por:


22

Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha región el valor de la función

Solución óptima

La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir,

el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias

soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.

“Si existe una solución que optimice la función obj etivo, ésta debe encontrarse en uno de los vértices de

la región factible”

Para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo cada uno de los vértices de la región factible.

Ejemplo

Continuando con el mismo ejemplo:

÷ ÷

÷ ÷

÷ ÷

÷ ÷

La solución óptima es .

Ejercicios

01. Un concesionario de autos vende dos modelos: el , con el que gana $ 1 000 por unidad vendida, y el , con

el que gana $ 500 por unidad vendida. Por motivos de contrato, el número de autos vendidos del modelo debe

ser por lo menos 50 y a lo más 75. El número de autos vendidos del modelo debe ser mayor o igual que el

número de autos vendidos del modelo .

Además se sabe que el máximo número de autos que puede vender es 400.

a) Defina las variables e a usar en el problema de programación lineal asociado.

b) Determine las restricciones y la función objetivo.

c) Grafique la región factible.

d) Determine cuántos autos se debe vender de cada modelo para que su ganancia sea máxima.


23

Resolución

a) Sea el número de autos vendidos del modelo

Sea el número de autos vendidos del modelo

b) “el número de autos vendidos del modelo debe ser po r lo menos 50 y a lo más 75 ”

entonces

“El número de autos vendidos del modelo debe ser ma yor o igual que el número de autos

vendidos del modelo ”

entonces

“el máximo número de autos que puede vender es 400 ”

entonces

Como el número de autos vendidos es mayor o igual a cero

entonces v

entonces las restricciones son:

Con el modelo , gana $ 1 000 por unidad vendida, y con el modelo , gana $ 500 por unidad vendida

entonces la ganancia será:

que es el la función objetivo.

c) Graficando


24

Los puntos críticos son: , , y

d) Como la ganancia es:

÷

÷

÷

÷

entonces la máxima ganancia se consigue con

ˆ

02. Una mueblería fabrica roperos y mesas. Ella cuenta con dos talleres: pintura y carpintería.

Un ropero requiere 2 horas de carpintería y 4 de pintura, mientras que una mesa requiere 6 horas de carpintería

y 2 de pintura. El taller de pintura tiene una disponibilidad de 160 horas, y el de carpintería 180. Si es el

número de roperos, el número de mesas, determine gráficamente el conjunto solución del sistema.

Resolución

Carpintería Pintura

Ropero 2 horas 4 horas

Mesas 6 horas 2 horas

Total 180 horas 160 horas

De los datos


25

Simplificando

graficando

03. Modele el sistema de desigualdades lineales cuya región solución sea el polígono convexo de vértices ,

, , .

Resolución

En el plano cartesiano

Los puntos y determinan la recta

÷


26

como está debajo de la recta y si reemplazamos en la recta

entonces la desigualdad será:

además varía desde 0 a 2


y la gráfica se encuentra en el lado positivo de X


ˆ El sistema de desigualdades lineales que origina la región sombreada es:

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