Matemática

Administração - UFMTModalidade – Educação a Distância

Capitulo 1 - Conjuntos

Introdução Subconjuntos Operações Envolvendo Conjuntos Conjunto das Partes de um Conjunto Produto Cartesiano

Objetivo do Capítulo

Reconhecer o que é um Conjunto e um subconjunto

Conhecer alguns conjuntos específicos

Saber realizar operações com conjuntos

Introdução

Conceito: Conjunto é uma coleção de objetos de qualquer tipo. Exemplo

Pessoas residentes no Mato Grosso do Sul Números inteiros entre 1 e 100. Numeros reais entre 0 e 1.

Nomenclatura Designamos conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C... Os elementos do conjunto são representados por letras minúsculas: a, b,

c... Conjuntos são apresentados entre chaves. Exemplo: A = {a,b,c}

Introdução

Relação de Pertinência Elemento e conjunto

a A, x A.

Formas de designar um conjunto Listar explicitamente os elementos

A = { 2, 4, 6 } Designar uma propriedade que permita identificar quem

é e, quem não é elemento A = { x | x é impar }

Introdução

Um conjunto que não possui elementos será denominado Conjunto Vazio e representado por .

Subconjuntos

Subconjuntos Sejam A e B dois conjuntos tal que todo

elemento de A pertence a B. Quando isto ocorre dizemos que A é subconjunto de B, isto é,

A B x A x B leia-se: o conjunto A esta contido no conjunto B

(é subconjunto de B), é equivalente a afirmar que todo elemento pertencente ao conjunto A pertence ao conjunto B

Subconjuntos

Subconjuntos Exemplos: {0,1} {0, 1, 2, 3} {0, 1} {0, 1} {0, 2} {0, 1, 3, 5}

Obs1: Se A B também dizemos que B ASe o conjunto A esta contido no B, então o conjunto B contém o conjunto A.

Obs 2: O conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto

Subconjuntos

IMPORTANTISSIMO O símbolo relaciona elemento e conjunto. O símbolo relaciona dois conjuntos.

Assim dizemos que 1 {0, 1, 2, 3} e que

{1} {0, 1, 2, 3}

Subconjuntos

Admitiremos a existência de um conjunto que contém todos os elementos com os quais estamos trabalhando. Denominaremos este conjunto de Conjunto Universo e representaremos pela letra E.

Subconjuntos

Dizemos que o conjunto A e o conjunto B são iguais se, e somente se, todo elemento de A estiver em B, e todo elemento de B estiver em A.

A = B A B e B A

Diagrama de Venn (A B)

Operações Envolvendo Conjuntos

Intersecção de conjuntosSejam P e Q conjuntos de um universo E. A intersecção de P e

Q é o conjunto de elementos de E que pertencem simultaneamente a P e Q.

P Q = { xE / x P e x Q} Exemplo: P ={1,2,3,4} e Q={3,4,5,6} P Q = {3,4} Em geral, se A B A B= A A=, AE=A e AA=A, para todo conjunto A ( A) Quando AB=, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos

Operações Envolvendo Conjuntos

União de conjuntosSejam P e Q conjuntos de E. A união entre P e Q é o conjunto

de elementos de E que pertencem a P ou a Q (isto é, a pelo menos um dos conjuntos) e é denotado por:

P Q = {xE / x P ou x Q} Exemplo: P ={1,2,3,4} e Q={3,4,5,6} P Q = {1,2,3,4,5,6} Em geral, se A B A B = B A=A, A E=E e AA=A, para todo conjunto A ( A)

Operações Envolvendo Conjuntos

Complementar de um ConjuntoSeja um conjunto P contido num universo E. Chama-se complementar de um conjunto P o conjunto de elementos de E que não pertencem a P, denotado por:

PC = {x / x E e x P}A AC = E, A AC = (A e AC são disjuntos) e (AC)C=A

(isto é, o complementar do complementar é o próprio conjunto), para todo conjunto A. EC = e C =E

Exemplo: A= {1,2,3} e E={1,2,3,4,5} Ac={4,5}

Operações Envolvendo Conjuntos

Diferença de Conjuntos Sejam dois conjuntos P e Q contidos num universo E. A

diferença entre P e Q é o conjunto dos elementos que pertencem a P e não pertencem a Q, denotado por:

P – Q = { x E / x P e x Q} Ou ainda que P – Q = P Qc

Exemplo: P={1,2,3,4} , Q={3,4,5} então P-Q={1,2}

Conjunto das Partes de um Conjunto

DefiniçãoTrata-se do conjunto de subconjuntos de um conjunto A, denotado por P(A).

“ Se um conjunto tem n elementos, então seu conjunto de partes tem 2n elementos ”

ExemploSeja A={1,2}. Daí P(A)={{1},{2},{1,2},}. Vemos que A tem dois

elementos e P(A) = 22 = 4.Seja B={1,2,3}.Daí P(B)={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}, }. B tem 3

elementos e P(B) tem 23 = 8 elementos.

Produto Cartesiano

Par Ordenado Seja o ponto P(4,3) no plano, isto é, a abscissa de

P é 4 e a ordenada de P é 3, diferente do ponto (3,4), neste caso, a ordem dos elementos faz diferença.

“ Assim o par (a,b) é denominado para ordenado ”

Produto Cartesiano

DefiniçãoSejam dois conjuntos A e B. O produto cartesiano de A por B é o conjunto dos pares ordenados tal que os primeiros elementos pertencem a A e os segundos elementos a B, e é denotado por:

RepresentaçãoA x B = {(x, y) / x A e y B}

ExemploA={1,2} e B={4,5} então A x B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5)},

Importantíssimo: A x B B x A

Capitulo 2 – Conjuntos Numéricos

Números Naturais Números Inteiros Números Racionais Números Reais Equações do Primeiro Grau Inequações do Primeiro Grau Equações do Segundo Grau Intervalos Módulo ou Valor Absoluto

Objetivos do Capitulo

Reconhecer os principais conjuntos numéricos que existem;

Saber resolver equações e inequações de primeiro e segundo grau;

Operar com intervalos da reta Entender o conceito de valor absoluto ou

módulo de um número

Números Naturais

Conjunto dos Números NaturaisN={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}

Ao somarmos ou multiplicarmos dois números naturais o resultado é um número natural, por isso dizemos que o conjunto dos números naturais é fechado para as operações de soma e multiplicação.

Isto não ocorre para a operação de subtração, por exemplo: 1 N, 3 N , porém 1 – 3 = -2 N.

Números Inteiros

Conjunto dos Números Inteiros Z={. . ., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Veja que ao somarmos, multiplicarmos, ou subtrairmos, dois números inteiros, o resultado continua sendo um numero inteiro, por isso o conjunto dos números inteiros é fechado para estas operações.

Isto não ocorre para a operação de divisão, por exemplo:-3 Z, -4 Z , porém –3/-4 Z

Números Racionais

Conjunto dos Números Racionais

}0,,|{ bZbZabaQ

N* N Z Q

N* é a designação do Conjunto dos números naturais sem o zero.

Todo número racional pode ser representado sob a forma decimal e sua representação é infinita e periódica.

Números Reais

O conjunto dos números reais (R)R = Q I

onde I é o conjunto dos números irracionaisTodo número irracional pode ser representado sob a forma decimal infinita

porém a sua representação não pode ser periódica.

Exemplo: ...41421356,12

Toda raiz quadrada de numero inteiro cujo resultado não é um inteiro, é um número irracional.

Equação do 1o Grau

DefiniçãoÉ toda equação que pode ser reduzida à forma

a . x = bem que a e b são números reais com a 0. A solução da equação é obtida dividindo-se ambos os lados

da equação por a. E então o valor é a solução, ou raiz, do problema.

ab

Equação do 1o Grau

Exemplo:O custo mensal de produção de x camisas de uma fábrica é C=5000+15x. Qual a quantidade mensal produzida sabendo-se que o custo mensal é $8000?

Solução:

20015000.3

15000.315000.5000.815000.5000.8

x

xxx

Inequação do 1o Grau

São desigualdades que podem ser reduzidas a uma das seguintes formas a . x > b ou a . x b ou a . x < b ou a . x b

em que a e b são números reais com a 0. A resolução da desigualdade é similar ao das

equações de 1o grau, porém quando a inequação é dividia ou multiplicada por um valor negativo, o sentido da desigualdade muda.

Inequação do 1o Grau

Exemplo 1:Resolva a inequação 3 (x - 4) > x + 2

7142

122321232)4(3

xx

xxxxxx

O conjunto solução é S = {x R | x > 7 }

Inequação do 1o Grau

Exemplo 2:Resolva a inequação 2(x - 1) > 5x + 3

3553

2352352235)1(2

x

xxx

xxxx

O conjunto solução é S = {x R | x > -5/3 }

Equação do 2o Grau

DefiniçãoÉ toda equação que pode ser reduzida à forma

em que a, b e c são números reais com a 0.Onde a solução é dada por:

02 cxbxa

acbondea

bx 42

2

Equação do 2o Grau

Assim, o número de soluções da equação do 2o Grau depende do valor de .

Se < 0 , a equação não admite solução real Se = 0, a equação admite uma solução real Se > 0, a equação admite duas soluções

reais.

Equação do 2o Grau

Exemplo

}3,1{

1223

26

224

124)4(

,041216314)4(4

34;1034

22

2

S

oux

soluçõesduastemosComocab

cebaxx

Intervalos

Sejam os números reais a e b tais que a < b. Os seguintes intervalos são definidos:

Intervalo aberto: ] a, b [ = {x R | a < x < b}

Intervalo fechado: [ a, b ] = {x / a x b}  Intervalo semi-aberto à esquerda: ] a, b ] = {x / a < x b}

Intervalo semi-aberto à direita: [ a, b [ = {x / a x < b}

Intervalos

Sejam os números reais a e b tais que a < b. Os seguintes intervalos são definidos: Intervalo aberto: ] a, b [ = {x / a < x < b}   Intervalo fechado: [ a, b ] = {x / a x b}   Intervalo semi-aberto à esquerda: ] a, b ] = {x / a < x b}   Intervalo semi-aberto à direita: [ a, b [ = {x / a x < b}   Intervalo aberto de a até infinito: ] a, [ = {x / x > a}   Intervalo fechado de a até infinito: [ a, [ = {x / x a}   Intervalo aberto de menos infinito até b: ] -, b [ = {x / x < b}   Intervalo fechado de menos infinito até b: ] -, b ] = {x / x b}