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Matemática Aplicada
AdministraçãoEconomiaCiências Contábeis
a b
Prof. Hiroshi Ouchi
0
y
x
a
b
f(x) dx
Agradecimentos
O meu agradecimento a Deus pela vida e pelo
privilegio de ser um profissional da Educacao;
a minha querida esposa Silvinha, pelo incen-
tivo, carinho e apoio em todos os meus projetos
de vida; a meus filhos e neto, razoes da minha
existencia.
A meus alunos pelo crescimento profissional e
pessoal e ao licenciado em matematica Sidclay
Silva, pelo excelente trabalho de digitacao e for-
matacao.
Sumario
Introducao 3
O Calculo 5
Historico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 A Derivada 7
1.1 A reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Calculo do coeficiente angular da reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Definicao da reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Definicao de derivada de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Funcao derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 A derivada como taxa de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Regras de derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1 Funcao afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.2 Funcao potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.3 Regra da homogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.4 Regra da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.5 Regra do produto de uma constante por uma funcao . . . . . . . . . 21
1.7.6 Regra do produto ou regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7.7 Regra do quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7.8 Derivada de uma funcao composta (Regra da Cadeia) . . . . . . . . 27
1.7.9 Derivada de funcoes implıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.10 Derivada da funcao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7.11 Derivada da funcao logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.12 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8 Taxa de variacao percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9 A analise marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.9.1 Custo marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9.2 Receita marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.9.3 Lucro marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
1.9.4 Custo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.10 Estudo da variacao das funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10.1 Funcao crescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10.2 Funcao descrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.10.3 Funcao constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10.4 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10.5 Criterio da derivada para funcoes crescentes e decrescentes . . . . . 53
1.10.6 Extremos relativos ou locais de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . 55
1.10.7 Teste da derivada primeira para determinacao de extremos relativos 58
1.10.8 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.10.9 Teste da concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.10.10Ponto de inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.10.11O teste da derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.11 Estudo das assıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.11.1 Assıntota horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.11.2 Assıntota vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.11.3 Maximos e mınimos absolutos de uma funcao . . . . . . . . . . . . . 77
1.11.4 Teorema do valor extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.12 Otimizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 A Integral 93
2.1 Antiderivacao: A integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 As antiderivadas de uma funcao f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3 Notacao de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.4 Regras basicas para integrar funcoes simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.5 Propriedades algebricas da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.1 Regra da multiplicacao por uma constante . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.2 Regra da soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.3 Regra da diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.5.4 Curvas integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.5.5 Movimento em linha reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5.6 Regra da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5.7 Integracao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.6 Equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.6.1 Equacoes diferenciais com variaveis separaveis . . . . . . . . . . . . . 111
2.6.2 Aplicacoes das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.7 Integracao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.8 Teorema Fundamental do Calculo: A integral definida . . . . . . . . . . . . 126
[Prof. Hiroshi Ouchi] 1
2.8.1 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.8.2 Area da regiao compreendida entre duas curvas . . . . . . . . . . . . 140
A Teorema de Rolle 145
B Teorema do Valor Medio 149
C O teste da derivada segunda para extremos relativos 157
D O teste da concavidade 159
Referencias Bibliograficas 163
2 [Matematica Aplicada]
Introducao
A apostila foi desenvolvida para atender a alunos dos cursos de Administracao, Economia
e Ciencias Contabeis.
Cabe informar que este material didatico nao dispensa a utilizacao do livro-texto e de
outros livros citados na bibliografia.
Como a apostila foi desenvolvida com o objetivo de facilitar a aprendizagem, alguns
topicos de excelentes livros foram copiados na ıntegra, nao tendo o autor da apostila
pretensao de usufruir dos meritos profissionais dos autores citados, mas tao somente de
apresentar de maneira clara, eficiente e didatica os principais conceitos e varios exemplos
basicos.
Professor Hiroshi Ouchi - Licenciado em Matematica pela UFJF e com curso de pos-
graduacao em Matematica pela UFF.
3
4 [Matematica Aplicada]
O Calculo
Historico
O Calculo e regularmente dividido em duas partes principais, Calculo Diferencial e
Calculo Integral.
Quase todas as ideias e aplicacoes do Calculo tiveram origem em questoes envolvendo
o conceito de limite relacionado a dois problemas geometricos, que se referem ao grafico de
uma funcao y = f(x). Para simplificar, consideremos o grafico de y = f(x) inteiramente
acima do eixo x.
Problema 1
O problema basico do Calculo Diferencial e o problema das tangentes: como calcular
o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f num dado ponto P da sua curva.
Figura 1: reta tangente
Problema 2
O problema basico do Calculo Integral e o problema das areas: como calcular a area
entre o grafico de y = f(x), o eixo x e as retas verticais x = a e x = b.
5
6 [Matematica Aplicada]
Figura 2: area
Os dois problemas basicos foram objeto de estudo de muitos cientistas no seculo XVII,
dentre os quais se destacam Fermat, Newton e Leibniz.
A grande realizacao de Newton e Leibniz foi descobrir e explorar a estreita conexao
entre os dois problemas. Foram os primeiros a entender o significado do Teorema Fun-
damental do Calculo, de que a solucao do problema da tangente pode ser usado para
resolver o problema da area. O teorema foi reconhecido por cada um independentemente
do outro e seus sucessores usaram-no posteriormente numa arte de resolucao de problemas
da Matematica Aplicada, de longo alcance em inumeros ramos da atividade humana.
NOTA: Calculus, na Roma antiga, era uma pedra utilizada para contagem e jogo, e o
verbo latino calculare passou a significar “figurar”, “calcular”.
Capıtulo 1
A Derivada
1.1 A reta tangente
O problema da tangente consiste em determinar uma equacao que descreva a tangente em
um ponto M do grafico de uma funcao y = f(x).
A ideia da tangente a uma curva origina-se da palavra latina tangere, que significa
“tocar”. Portanto, uma reta tangente a uma curva e uma reta que “toca” a curva. Por
outro lado a palavra secante vem de secare, que significa “cortar”.
No caso de uma circunferencia, nao ha dificuldade em assimilar o conceito inicial de
tangente como a reta que intercepta a circunferencia em um ponto M da mesma, que e
chamado, ponto de tangencia. No caso e a reta perpendicular ao raio R, no ponto M .
Figura 1.1: ponto de tangencia
Esta situacao sugere a possibilidade de definir a tangente a uma curva em um ponto
M , como a reta que intercepta a curva apenas no ponto M .
O conceito atual de reta tangente originou-se com Fermat, em torno de 1630.
A definicao inicial mostra-se inadequada ao considerarmos curvas mais complicadas,tais
como a curva (c), apresentada a seguir:
7
8 [Matematica Aplicada]
Figura 1.2: pontos de interseccao
A reta (t) toca a curva em M e tambem a intercepta em N e P . Nas proximidades
de M , a reta (t) se confunde com a curva (c), tendo entretanto, outros pontos em comum
com a mesma, tais como N e P . A reta (l) intercepta a curva (c) somente uma vez em
M , mas na realidade nao constitui uma tangente a curva no ponto M , de acordo com o
conceito inicial.
Para definirmos tangente a uma curva em um de seus pontos, devemos abandonar a
ideia de unicidade do ponto comum da reta tangente com a curva e adotar uma propriedade
notavel que a mesma possui, de carater local, significando que ao tomarmos arcos cada
vez menores_
aa′,_
bb′, ...,_
nn′, contendo o ponto M , o arco da curva aparentara ser um
segmento de reta (t), dando a impressao de que arcos suficientemente pequenos confundem-
se, aproximadamente, com um segmento de reta tangente (t).
Figura 1.3: arcos em (c)
Seja (c) uma curva de equacao y = f(x), definida em um intervalo que contenha os
pontos M e P , e seja (s) a reta secante que passa por M e P .
[Prof. Hiroshi Ouchi] 9
Figura 1.4: reta limite
Quando o ponto P desloca-se sobre a curva aproximando-se de M , a reta secante MP ,
tambem muda de posicao ao girar em torno de M . Se a reta secante (s) tende para a
posicao-limite (t), consideramos que esta reta limite e a tangente a curva (c) no ponto M ,
sendo este ponto denominado ponto de tangencia ou ponto de contato.
Figura 1.5: inclinacao das restas (s) e (t)
NOTA: A inclinacao ms da reta secante tende para a inclinacao mt da reta tangente,
quando P tende a M sobre a curva (c).
OBSERVACOES: (revisao de Matematica I)
1. Coeficiente angular da reta (r) que passa por A(xA, yA) e B(xB, yB)
mr =yB − yA
xB − xAou mr =
yA − yB
xA − xB
2. Equacao da reta (r) que passa por M(xM , yM ) e de coeficiente angular mr
y − yM = mr · (x− xM )
3. Condicao de perpendicularismo das retas (r) e (s)
mr ·ms = −1
10 [Matematica Aplicada]
4. Condicao de paralelismo das retas (r) e (s)
mr = ms
1.2 Calculo do coeficiente angular da reta tangente
Seja y = f(x), M(a, f(a)) um ponto do grafico de y = f(x) e P (a+h, f(a+h)) um ponto
proximo de M .
Figura 1.6: coeficiente angular da reta (t)
Temos:
tg β = ms (inclinacao de (s))
tg α = mt (inclinacao de (t))
h = ∆x (suficientemente pequeno, pois P 6= M)
∆y = f(a + h)− f(a) ou ∆y = f(a + ∆x)− f(a)
Encontrar a reta tangente em um ponto M da curva (c) consiste na determinacao da
inclinacao mt da reta tangente (t) procurada. Para isto, utilizamos uma reta secante (s),
que passa pelo ponto de tangencia M e por um ponto P da curva (c).
ms = tg β =f(a + h)− f(a)
hou ms = tg β =
f(a + ∆x)− f(a)∆x
NOTA: A razao correspondente a ms recebe o nome de quociente de Newton, taxa
de acrescimo, razao incremental.
Obtemos aproximacoes cada vez mais exatas da inclinacao da reta tangente, escolhendo
uma sequencia de pontos P cada vez mais proximos do ponto M na curva (c). Neste caso,
x tende para a, quando h = ∆x, tende para zero.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 11
Temos:
P tende para M =⇒
(h = ∆x) −→ 0
ms −→ mt
β −→ α
1.3 Definicao da reta tangente
Seja y = f(x) uma funcao contınua em um intervalo aberto contendo o ponto M(a, f(a))
e P (a + h, f(a + h)) (figura 1.6).
Definicao
Reta tangente ao grafico de y = f(x) no ponto M(a, f(a)), e a reta que passa por M
e tem inclinacao (coeficiente angular) dada por:
1. mt = lim∆x→0
∆y
∆x
2. mt = lim∆x→0
f(a + ∆x)− f(a)∆x
3. mt = limh→0
f(a + h)− f(a)h
A inclinacao existe se o limite existir.
OBSERVACOES:
1. A equacao da reta (t), tangente ao grafico de f em M e y − f(a) = mt(x− a)
2. A reta paralela ao eixo x, tem coeficiente angular nulo (mt = 0)
Sua equacao e y = f(a)
3. A equacao da reta (n), normal ao grafico de f em M , e a reta que passa por M e e
perpendicular a reta tangente (t) no ponto M
Como mt ·mn = −1, temos: mn = − 1mt
Sua equacao e y − yM = − 1mt
(x− xM ) ou y − f(a) = − 1mt
(x− a)
4. Se limh→0
f(a + h)− f(a)h
= ∞, entao a reta tangente e vertical e a equacao da reta
tangente e x = a.
Exemplo, f(x) = 1 + 3√
x− 2 no ponto de abscissa x = 2.
12 [Matematica Aplicada]
Definicao Alternativa
No grafico apresentado em 1.6, consideremos M(a, f(a)) e P (x, f(x)). Assim, x = a+h.
Figura 1.7: definicao alternativa
Temos:h = x− a
∆y = f(x)− f(a)
h → 0 =⇒ x → a
ms =f(x)− f(a)
x− a
Assim, mt = limx→a
f(x)− f(a)x− a
1.4 Definicao de derivada de uma funcao
A derivada de uma funcao y = f(x) em um ponto M de abscissa a e denotada por f ′(a)
e definida por:
1. f ′(a) = lim∆x→0
f(a + ∆x)− f(a)∆x
2. f ′(a) = limh→0
f(a + h)− f(a)h
3. f ′(a) = limx→a
f(x)− f(a)x− a
NOTA: A definicao e valida se o limite existir.
Outras notacoes(dy
dx
)x=a
;dy
dx
∣∣∣∣x=a
[Prof. Hiroshi Ouchi] 13
Seja a funcao f definida por f(x) = x2.
(a) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de f no ponto M de
abscissa 2.
(b) Determine a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto M de abscissa 2.
(c) Determine a equacao da reta normal ao grafico de f no ponto M de abscissa 2.
(d) Trace o grafico de f(x) = x2 e no mesmo sistema cartesiano os graficos da tangente
e da normal no ponto M de abscissa 2.
Solucao
f(2) = 22 = 4 . Logo, M(2, 4)
(a) mt = f ′(2)
f ′(2) = limh→0
f(2 + h)− f(2)h
= limh→0
(2 + h)2 − 4h
= limh→0
4 + 4h + h2 − 4h
= limh→0
h(4 + h)h
= limh→0
(4 + h) = 4
Assim, mt = f ′(2) = 4
Definicao alternativa
mt = limx→2
f(x)− f(2)x− 2
= limx→2
x2 − 4x− 2
= limx→2
(x + 2) · (x− 2)x− 2
= limx→2
(x + 2) = 4
(b) y − yM = mt · (x− xM )
y − 4 = 4 · (x− 2)
y = 4x− 4 equacao reduzida
4x− y − 4 = 0 equacao geral
(c) y − yM = − 1mt
(x− xM )
y − 4 = −14(x− 2)
y = −14x +
92
equacao reduzida
x + 4y − 18 = 0 equacao geral
(d)
14 [Matematica Aplicada]
Exercıcios Propostos
1. Seja a funcao f definida por f(x) = x2 − 2x.
(a) Determine a derivada da funcao no ponto P de abscissa 4.
(b) Determine as equacoes da tangente e da normal a curva no ponto P de abscissa
igual a 4.
2. Determine f ′(3), sabendo que f(x) = x2 + 2x − 1 e escreva a equacao da tangente
no ponto P de abscissa 3.
3. Seja f(x) = x2 + 5x + 2. Determine a taxa de variacao de f no ponto de abscissa
x = −1 e escreva a equacao da tangente ao grafico de f nesse ponto.
4. Escreva a equacao da reta tangente e da reta normal a curva de equacao
y = 3x2 − 4x + 3, no ponto P de abscissa 1.
Respostas
1. (a) mt = 6
(b) 6x− y − 16 = 0 e x + 6y − 52 = 0
2. f ′(3) = 8 e 8x− y − 10 = 0
3. f ′(−1) = 3 e 3x− y + 1 = 0
4. 2x− y = 0 e x + 2y − 5 = 0
1.5 Funcao derivada
Seja f uma funcao derivavel em um intervalo aberto I.
Definicao
A derivada de uma funcao f em relacao a x e a funcao f ′(x) definida por:
1. f ′(x) = lim∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)∆x
2. f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
O domınio da funcao derivada f ′(x) e o conjunto de todos os numeros x do domınio
da funcao f para os quais o limite existe. Se o limite nao existir, dizemos que a funcao f
nao e derivavel, ou diferenciavel, no intervalo I.
Dizemos que uma funcao y = f(x) e derivavel no ponto de abscissa a, se existe f ′(a),
ou seja, se o limite existe no ponto x = a.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 15
Notacoes de funcao derivada
Seja y = f(x)
1. Leibniz:dy
dxou
df
dx
2. Lagrange: y′ ou f ′(x)
3. Cauchy: Dyx ou Df
x
NOTA: D e chamado operador diferenciacao.
OBSERVACOES:
Newton usou a notacao S para indicar a taxa de variacao no tempo lim∆t→0
∆S
∆tde uma
quantidade variavel S = f(t). A notacao de Newton e usada com certa frequencia em
cursos de mecanica tecnica e teorica.
Seja f(x) = 3x2 − 12x + 4
(a) Determine f ′(x).
(b) Determine f ′(1).
(c) Determine a equacao da tangente ao grafico de f no ponto P de abscissa 1.
(d) Detemine o ponto do grafico em que a reta tangente e paralela ao eixo das abscissas
(reta horizontal).
Solucao
f(x + h) = 3(x + h)2 − 12(x + h) + 4
f(x + h) = 3(x2 + 2xh + h2)− 12x− 12h + 4
f(x + h) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 12x− 12h + 4
f(x + h)− f(x) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 12x− 12h + 4− (3x2 − 12x + 4)
f(x + h)− f(x) = 3x2 + 6xh + 3h2 − 12x− 12h + 4− 3x2 + 12x− 4
f(x + h)− f(x) = 6xh− 12h + 3h2
(a) f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
= limh→0
h(6x− 12 + 3h)h
= limh→0
(6x− 12 + 3h) = 6x− 12
f ′(x) = 6x− 12
(b) f ′(1) = 6(1)− 12 = 6− 12 = −6
f ′(1) = −6
16 [Matematica Aplicada]
(c) x = 1 ⇒ y = f(1) = 3(1)2 − 12(1) + 4 = 3− 12 + 4 = −5
Temos P (1,−5)
y − yP = f ′(1)(x− xP )
y + 5 = −6(x− 1)
y + 5 = −6x + 6
(t) 6x + y − 1 = 0
(d) f ′(x) = 0 ⇒ 6x− 12 = 0 ⇒ x = 2
x = 2
f(2) = 3(2)2 − 12(2) + 4
f(2) = 12− 24 + 4
f(2) = −8
M(2,−8)
1.6 A derivada como taxa de variacao
Se y = f(x), entao a taxa de variacao instantanea de uma grandeza f(x) em relacao a x
no ponto de abscissa a e f ′(a).
Um empresario calcula que quando x unidades de um certo produto sao fabricadas, a
receita bruta associada ao produto e dada por R(x) = (0, 5)x2 + 3x− 2 milhares de reais.
Qual e a taxa de variacao da receita com o nıvel de producao x quando 9 unidades sao
fabricadas? Para esse nıvel de producao, a receita aumenta ou diminui com o aumento de
producao?
Solucao
R(x + h) = 0, 5(x + h)2 + 3(x + h)− 2
R(x + h) = 0, 5(x2 + 2xh + h2) + 3x + 3h− 2
R(x + h) = (0, 5)x2 + xh + (0, 5)h2 + 3x + 3h− 2
R(x + h)−R(x) = (0, 5)x2 + xh + (0, 5)h2 + 3x + 3h− 2− (0, 5)x2 − 3x + 2
R(x + h)−R(x) = xh + 3h + (0, 5)h2
R(x + h)−R(x) = h[x + 3 + (0, 5)h]
R′(x) = limh→0
R(x + h)−R(x)h
= limh→0
h[x + 3 + (0, 5)h]h
= limh→0
[x + 3 + (0, 5)h] = x + 3
R′(x) = x + 3 (funcao afim crescente, coeficiente positivo)
R′(9) = 9 + 3 = 12
R′(9) = 12
[Prof. Hiroshi Ouchi] 17
A receita aumenta de R$12.000,00 por unidade com o aumento da producao, quando
9 unidades estao sendo fabricadas.
Como R′(9) = 12 > 0, entao a reta tangente a funcao receita no ponto a = 9 tem
inclinacao positiva.
Conclusao: a receita aumenta com o aumento da producao.
Suponha que o lucro de um fabricante de camisetas seja dado pela funcao P (x), tal
que, P (x) = 400(15 − x)(x − 2), onde x e o preco pelo qual as camisas sao vendidas.
Encontre o preco de venda que maximiza o lucro.
Solucao
Temos, P (x) = −400x2 + 6800x− 12000
P (x + h) = −400(x + h)2 + 6800(x + h)− 12000
P (x + h) = −400x2 − 800xh− 400h2 + 6800x + 6800h− 12000
P (x + h)− P (x) = h(−800x− 400h + 6800)
P ′(x) = limh→0
P (x + h)− P (x)h
P ′(x) = limh→0
(−800x− 400h + 6800)
P ′(x) = −800x + 6800
P ′(x) = 0
0 = −800x + 6800
800x = 6800
x = 8, 5Resposta: O preco de venda que proporciona lucro maximo e de R$8,50.
Exercıcios Propostos
1. Em que ponto P da curva y = x2 +8 o coeficiente angular da tangente e 16? Escreva
a equacao da tangente.
2. Em que ponto da curva y = 3x2 + 5x + 6 a tangente e paralela ao eixo x?
Respostas
1. P (8, 72); (t) y = 16x− 56
2. P
(−5
6,4712
)
18 [Matematica Aplicada]
1.7 Regras de derivacao
As tecnicas de derivacao sao regras praticas cuja utilizacao direta nos leva a calcular a
derivada de uma funcao sem recorrer a definicao. Naturalmente essas tecnicas sao obtidas
mediante o emprego da definicao e de conceitos estudados anteriormente.
1.7.1 Funcao afim
f(x) = mx + p
f(x + h) = m(x + h) + p
f(x + h)− f(x) = mx + mh + p−mx− p
f(x + h)− f(x) = mh
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
= limh→0
hm
h= lim
h→0m = m
Portanto: f(x) = mx + p =⇒ f ′(x) = m
Exemplo
f(x) = 3x− 2
f ′(x) = 3
OBSERVACOES:
1. m = 0 e p 6= 0
f(x) = p (funcao constante)
f(x + h) = p
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
= limh→0
p− p
h= lim
h→0
0h
= limh→0
0 = 0
f(x) = p =⇒ f ′(x) = 0 A derivada de uma constante e zero
2. m = 1 e p = 0
f(x) = x (funcao identidade)
De acordo com a primeira conclusao, temos:
f(x) = 1x
f ′(x) = 1
Portanto: f(x) = x =⇒ f ′(x) = 1
[Prof. Hiroshi Ouchi] 19
1.7.2 Funcao potencia
f(x) = xn, sendo n inteiro positivo e x 6= 0
f(x + h) = (x + h)n
De acordo com a teoria do Binomio de Newton, temos:f(x + h) = xn +
(n1
)xn−1h +
(n2
)xn−2h2 + . . . + hn
f(x + h)− f(x) = xn +(
n1
)xn−1h +
(n2
)xn−2h2 + . . . + hn − xn
f(x + h)− f(x) =(
n1
)xn−1h +
(n2
)xn−2h2 + . . . + hn
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
f ′(x) = limh→0
(n1
)xn−1h +
(n2
)xn−2h2 + . . . + hn
h
f ′(x) = limh→0
h[(
n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h + . . . + hn−1
]h
f ′(x) = limh→0
[(n1
)xn−1 +
(n2
)xn−2h + . . . + hn−1
]Como cada termo dentro dos colchetes tem uma potencia de h como fator, exceto o
primeiro, por teoria de limites podemos concluir:
f ′(x) = limh→0
(n1 )xn−1
Como (n1 ) = n, de acordo com a Analise Combinatoria, temos:
f ′(x) = limh→0
(n · xn−1) = n · xn−1
Portanto: f(x) = xn =⇒ f ′(x) = n · xn−1
Para encontrar a derivada de xn, devemos subtrair 1 do expoente de x e multiplicar pelo expoente
original n
Exemplos:
1. f(x) = x5
f ′(x) = 5x5−1
f ′(x) = 5x4
2. f(x) = x3
f ′(x) = 3x3−1
f ′(x) = 3x2
3. f(x) = x
f ′(x) = 1x1−1
f ′(x) = 1x0
f ′(x) = 1
20 [Matematica Aplicada]
OBSERVACAO:
A regra e tambem valida quando o expoente e inteiro negativo ou uma fracao
1. f(x) = x−4
f ′(x) = −4x−4−1 = −4x−5
2. f(x) =√
x = x1/2
f ′(x) =12· x1/2−1 =
12· x−1/2 =
12· 1x1/2
=12· 1√
x=
12√
x
1.7.3 Regra da homogeneidade
f(x) = c · xn
De acordo com item anterior, temos:
f ′(x) = c · n · xn−1
A derivada de uma constante vezes uma funcao e a constante vezes a derivada da
funcao.
Exemplos:
1. f(x) = 2x5
f ′(x) = 2 · 5x5−1 = 10x4
2. f(x) =2x3
= 2x−3
f ′(x) = 2 · (−3)x−3−1 = −6x−4 = − 6x4
1.7.4 Regra da soma
Seja f(x) = u(x) + v(x)
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
f ′(x) = limh→0
u(x + h) + v(x + h)− u(x)− v(x)h
f ′(x) = limh→0
u(x + h)− u(x) + v(x + h)− v(x)h
f ′(x) = limh→0
u(x + h)− u(x)h
+ limh→0
v(x + h)− v(x)h
f ′(x) = u′(x) + v′(x)
Portanto: f(x) = u(x) + v(x) =⇒ f ′(x) = u′(x) + v′(x)
ou f = u + v =⇒ f ′ = u′ + v′
A derivada de uma soma de funcoes e a soma das derivadas das funcoes parcelas.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 21
Podemos estender a regra para n funcoes de x
f(x) = u1(x) + u2(x) + . . . + un(x)
f ′(x) = u1′(x) + u2
′(x) + . . . + un′(x)
Exemplos:
1. f(x) = 6x4 + 2x3 + 4x2 + 5x + 1
f ′(x) = 24x3 + 6x2 + 8x + 5
2. f(x) = x4 +23x3 + 4x + 2
f ′(x) = 4x3 + 2x2 + 4
OBSERVACOES:
1. f(x) = u(x)− v(x)
De maneira analoga, concluimos:
f ′(x) = u′(x)− v′(x)
2. Podemos derivar qualquer funcao polinomial termo a termo, usando as regras da
soma, subtracao, homogeneidade, potencia, identidade e constante.
f(x) = x3 − 5x2 + 4x− 2
f ′(x) = 3x2 − 10x + 4
1.7.5 Regra do produto de uma constante por uma funcao
f(x) = c · v(x)
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
f ′(x) = limh→0
c · v(x + h)− c · v(x)h
f ′(x) = limh→0
c · limh→0
v(x + h)− v(x)h
f ′(x) = c · v′(x)
Portanto: f(x) = c · v(x) =⇒ f ′(x) = c · v′(x)
ou f = c · v =⇒ f ′ = c · v′
A derivada do produto de uma constante por uma funcao e igual ao produto da constante pela derivada
da funcao.
22 [Matematica Aplicada]
1.7.6 Regra do produto ou regra de Leibniz
Seja f(x) = u(x) · v(x).
Utilizamos o artifıcio subtrair e somar
f(x + h)− f(x) = u(x + h) · v(x + h)− u(x) · v(x)
Subtraindo e somando a expressao u(x + h) · v(x), temos:
f(x + h)− f(x) = u(x + h) · v(x + h)− (u(x + h) · v(x)) + (u(x + h) · v(x))− u(x) · v(x)
f(x + h)− f(x) = u(x + h) · [v(x + h)− v(x)] + v(x) · [u(x + h)− u(x)]
Temos:
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
f ′(x) = limh→0
u(x + h)[v(x + h)− v(x)] + v(x)[u(x + h)− u(x)]h
Aplicando propriedades de limites temos:
f ′(x) = limh→0
[u(x + h)] · limh→0
v(x + h)− v(x)h
+ limh→0
v(x) · limh→0
u(x + h)− u(x)h
f ′(x) = u(x) · v′(x) + v(x) · u′(x) ou
f ′(x) = u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)
Portanto: f = uv =⇒ f ′ = u′v + uv′
A derivada do produto de duas funcoes e igual a derivada da primeira vezes a segunda, mais, a primeira
vezes a derivada da segunda.
OBSERVACOES:
A regra pode ser aplicada para mais de duas funcoes
f = uvw = (uv)w
f ′ = u′vw + uv′w + uvw′
Calcule a derivada da funcao f(x) = (x + 4)(3x− 2).
(a) Expandindo f(x) e usando a regra do produto de polinomios.
(b) Usando a regra do produto.
Solucao
(a) f(x) = 3x2 − 2x + 12x− 8
f(x) = 3x2 + 10x− 8
f ′(x) = 6x + 10
[Prof. Hiroshi Ouchi] 23
(b) f ′(x) = (x + 4)′(3x− 2) + (x + 4)(3x− 2)′
f ′(x) = 1(3x− 2) + (x + 4)3
f ′(x) = 3x− 2 + 3x + 12
f ′(x) = 6x + 10
OBSERVACOES:
A derivada de um produto e diferente do produto das derivadas.
1.7.7 Regra do quociente
Seja f(x) =u(x)v(x)
, definida nos pontos em que v(x) 6= 0.
Por comodidade, podemos determinar a regra do quociente utilizando a regra do pro-
duto.
f =u
vfv = u
Aplicando a regra do produto, temos:f ′v + fv′ = u′
f ′v = u′ − fv′
f ′v = u′ − u
v· v′
f ′v =vu′ − uv′
v
f ′ =vu′ − uv′
v2
Portanto: f =u
v=⇒ f ′ =
vu′ − uv′
v2
ou f =u
v=⇒ f ′ =
u′v − uv′
v2
Determine a derivada da funcao racional f(x) =4x2 + 2x + 3
x− 1Solucao
f ′(x) =(x− 1)(4x2 + 2x + 3)′ − (4x2 + 2x + 3)(x− 1)′
(x− 1)2
f ′(x) =(x− 1)(8x + 2)− (4x2 + 2x + 3)1
(x− 1)2
f ′(x) =8x2 + 2x− 8x− 2− 4x2 − 2x− 3
(x− 1)2
f ′(x) =4x2 − 8x− 5
(x− 1)2
24 [Matematica Aplicada]
OBSERVACOES:
A regra do produto e, muitas vezes, usada para evitar o uso desnecessario da regra do
quociente, que e mais complicada.
1. f(x) =2x3
= 2x−3
f ′(x) = −6x−3−1 = −6x−4 = − 6x4
2. f(x) =2
3x2− x
5+
43
+x + 1
x
f(x) =23x−2 − 1
5x +
43
+ 1 +1x
f(x) =23x−2 − 1
5x +
43
+ 1 + x−1
f ′(x) = −43x−2−1 − 1
5− 1x−1−1
f ′(x) = −43x−3 − 1
5− x−2
f ′(x) = − 43x3
− 15− 1
x2
Casos particulares em que o numerador e 1.
f(x) =1
g(x), e g(x) 6= 0
f ′(x) =g(x) · (1)′ − 1 · g′(x)
(g(x))2
f ′(x) =g(x) · 0− g′(x)
(g(x))2
Portanto: f(x) =1
g(x)=⇒ f ′(x) = − g′(x)
(g(x))2
Encontre a derivada de f(x) =1x
.
Solucao
f ′(x) = − g′(x)(g(x))2
= − x′
x2= − 1
x2
Exercıcios Propostos
1. Usando a definicao de derivada, determine f ′(x) das seguintes funcoes:
(a) f(x) = 2x2 − x
(b) f(x) = −3x2 + 5x− 4
2. Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao grafico da funcao f(x) = x3 + 2x,
no ponto P de abscissa 1 e escreva as equacoes das retas tangente e normal a curva
neste ponto P .
[Prof. Hiroshi Ouchi] 25
3. Calcule a derivada das seguintes funcoes:
(a) y = x4 − 2x3− 8
x+ 2
(b) y = 3x2/3 − 4x1/4 − 2
(c) f(x) =3
4x4
(d) g(x) =3
4x−2
(e) h(x) = 5√
x
(f) l(x) =3
2 3√
x2
4. Calcule a derivada das seguintes funcoes:
(a) y = (1− 2x)(2x− 4)
(b) y = (3x2 − 5)(2x3 − 4x)
(c) f(x) = (2x + 3x2)(5x− 1)
(d) y =(
1 +1x2
)(x− 2)
5. Calcule a derivada das seguintes funcoes:
(a) y = (2x− 5)(x + 2)(x2 − 1)
(b) y = (1− 3x)2(2x + 5)
6. Calcule a derivada f ′(x) das seguintes funcoes:
(a) f(x) =2x− 1x2 + 2x
(b) f(x) =3x2 + 7x2 − 1
7. Escreva a equacao da tangente e da normal as curvas seguintes nos pontos pedidos
(a) f(x) =√
x no ponto P de abscissa 4.
(b) f(x) = 7− 7x2 + 2x3 no ponto P de abscissa 2.
8. Determine a inclinacao da curva g(x) = x2
x2+1no ponto P de abscissa x = 1 e escreva
a equacao da reta tangente neste ponto.
9. Estima-se que, em x meses, a partir de agora, a populacao de uma certa comunidade
sera de P (x) = x2 +20x+8000. A que taxa a populacao estara variando em relacao
ao tempo 15 meses, a partir de agora?
10. O lucro obtido com a venda de x unidades de um certo produto e P (x) = −x3+27x2+160x+7x+5 ,
em milhares de reais. Determine a taxa de variacao do lucro em relacao as vendas
para x = 2.
26 [Matematica Aplicada]
Respostas
1. (a) f ′(x) = 4x− 1
(b) f ′(x) = −6x + 5
2. f ′(1) = 5; y = 5x− 2; y = −15x + 16
5
3. (a) y′ = 4x3 + 6x4 + 8
x2
(b) dydx = 2
3√x− 1
4√x3
(c) f ′(x) = − 3x5
(d) g′(x) = 32x
(e) h′(x) = 52√
x
(f) l′(x) = − 13√
x5
4. (a) dydx = −8x + 10
(b) y′ = 30x4 − 66x2 + 20
(c) f ′(x) = 45x2 + 14x− 2
(d) y′ = − 1x2 + 4
x3 + 1 ou y′ = x3−x+4x3
5. (a) y′ = 8x3 − 3x2 − 24x + 1
(b) y′ = 54x2 + 66x− 28
6. (a) f ′(x) = −2x2+2x+2(x2+2x)2
(b) f ′(x) = −20x(x2−1)2
7. (a) x− 4y + 4 = 0
4x + y − 18 = 0
(b) y = −4x + 3
y = 14x− 11
2
8. m = 12 ; y = 1
2x
9. A taxa de variacao da populacao, 15 meses a partir de agora, sera de 50 pessoas por
mes.
10. O lucro estara aumentando a razao de R$27.857,00.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 27
1.7.8 Derivada de uma funcao composta (Regra da Cadeia)
y = f(u) e u = g(x) =⇒ y = f [g(x)]
Exemplos:
y = u5 e u = x3 + 5
Assim, y = (x3 + 5)5 =⇒ y = f [g(x)]
Se y e uma funcao de u edy
duexiste, e se u e uma funcao de x e
du
dxexiste, entao y e
uma funcao de x edy
dxexiste, e e dada por
dy
dx=
dy
du· du
dx.
Uma demonstracao rigorosa da regra da cadeia e bastante complicada e sera omitida,
devido a proposta de nosso curso. Entretanto daremos um argumento valido para inumeras
funcoes.
Iniciaremos a demonstracao com a variacao usual ∆x 6= 0, na variavel independente x.
Esta produz uma variacao ∆u na variavel u, e esta, produz uma variacao ∆y na variavel
y. Sabemos ainda que a derivabilidade implica continuidade, e assim ∆u → 0 quando
∆x → 0.
Sabemos que:dy
dx= lim
∆x→0
∆y
∆x;
dy
du= lim
∆u→0
∆y
∆ue
du
dx= lim
∆x→0
∆u
∆x
Por algebra simples, temos:∆y
∆x=
∆y
∆u· ∆u
∆xse ∆u 6= 0
Logo,
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
∆x→0
∆y
∆u· lim∆x→0
∆u
∆xse ∆u 6= 0
Quando ∆x → 0, ∆u → 0
lim∆x→0
∆y
∆x= lim
∆u→0
∆y
∆u· lim∆x→0
∆u
∆xse ∆u 6= 0
Logo,dy
dx=
dy
du· du
dx
OBSERVACOES:
Pode acontecer que ∆x nao induza uma variavel real em u, de modo que ∆u = 0, e
esta possibilidade invalida a nossa demonstracao. Esta dificuldade pode ser administrada
por um engenhoso artifıcio matematico que nao sera utilizado devido a sua complexidade.
28 [Matematica Aplicada]
RESUMO:
1. Notacao de Leibniz
Se y = f(u) e u = g(x), entaody
dx=
dy
du· du
dx
2. Notacao de Lagrange
Se y = f(g(x)), entaody
dx= f ′(g(x)) · g′(x)
A derivada da funcao e obtida multiplicando-se a derivada da funcao externa pela
derivada da funcao interna.
Exemplos: Ache a derivada das funcoes
1. y = (x3 + 2)5
Seja y = u5 e u = x3 + 2
Logo,dy
du= 5u4 e
du
dx= 3x2
dy
dx=
dy
du· du
dxdy
dx= 5u4 · 3x2
dy
dx= 15(x3 + 2)4x2
dy
dx= 15x2(x3 + 2)4
2. y =√
x2 + 1
Seja y =√
u e u = x2 + 1
y = u1/2
Logo,dy
du=
12· u−1/2 =
12· 1u1/2
=1
2√
ue
du
dx= 2x
dy
dx=
dy
du· du
dxdy
dx=
12√
u· 2x =
x√u
dy
dx=
x√x2 + 1
Exercıcios Propostos
Determinedy
dx, sabendo que
(a) y = (3x2 + 1)2
(b) y =√
u e u = 2x3 − 4x + 5
[Prof. Hiroshi Ouchi] 29
Respostas
(a) dydx = 36x3 + 12x
(b) dydx = 6x2−4
2√
2x3−4x+5ou dy
dx = 3x2−2√2x3−4x+5
NOTA: A regra da cadeia pode ser extendida para os casos em que a composicao e de
mais de duas funcoes
y = h(v) , v = g(u) e u = t(x)dy
dx=
dy
dv· dv
du· du
dx
Caso particular da regra da cadeia
A funcao composta e do tipo y = f(u) = (u(x))n, sendo u = g(x) uma funcao difer-
enciavel de x e n um numero qualquer.
Aplicando a regra da cadeia, temos:dy
dx=
dy
du· du
dxdy
dx=
d
du(u(x))n · du
dxdy
dx= n(u(x))n−1 · du
dxLeibniz
ou
y′ = n(u)n−1 · u′ Lagrange
Exemplos:
1. Calcule a derivada de y =√
x2 + 1
y = (x2 + 1)1/2
y′ =12· (x2 + 1)1/2−1 · (x2 + 1)′
y′ =12· (x2 + 1)−1/2 · 2x
y′ =x√
x2 + 1
2. Calcule a derivada de f(x) =2
(4x2 + 6x− 7)3
Temos: f(x) = 2 · (4x2 + 6x− 7)−3
f ′(x) = 2 · (−3) · (4x2 + 6x− 7)−3−1 · (4x2 + 6x− 7)′
f ′(x) = −6 · (4x2 + 6x− 7)−4 · (8x + 6)
f ′(x) = − 6(4x2 + 6x− 7)4
· (8x + 6)
f ′(x) =−48x− 36
(4x2 + 6x− 7)4
30 [Matematica Aplicada]
NOTA: Esta regra e conhecida como regra da potencia generalizada.
Aplicacao Pratica
O custo para produzir x unidades de um certo produto e C(x) =x2
3+ 4x + 53 em
reais e o numero de unidades produzidas em t horas de trabalho e x(t) = (0, 2)t2 +(0, 03)t
unidades. Determine a taxa de variacao do custo com o tempo apos 4 horas de trabalho.
Solucao
Temos:
C = f(x) e x = g(t)
C =x2
3+ 4x + 53 e x = (0, 2)t2 + (0, 03)t
Temos:dC
dx=
23x + 4 e
dx
dt= (0, 4)t + (0, 03)
Regra da cadeiadC
dt=
dC
dx· dx
dtdC
dt=
(23x + 4
)· [(0, 4)t + (0, 03)]
t = 4 =⇒ x = (0, 2)(16) + (0, 03)(4) = 3, 32dC
dt=
[23(3, 32) + 4
]· [(0, 4)(4) + (0, 03)]
dC
dt= 10, 1277
Conclusao: Apos 4 horas de trabalho, o custo esta aumentando a razao de aproxi-
madamente R$ 10,13 por hora.
1.7.9 Derivada de funcoes implıcitas
A maioria das funcoes que estudamos ate o momento foi da forma y = f(x), em que y
e expressa diretamente, ou explicitamente, em termos de x. Entretanto, acontece com
frequencia que y e definida como uma funcao de x por meio de uma equacao da forma
F (x, y) = 0 que nao esta resolvida para y, mas em que x e y estao intimamente relacionadas
entre si. Quando e dado um conveniente valor a x, a equacao resultante determina nor-
malmente um ou mais valores correspondentes para y. Nesse caso, dizemos que a equacao
F (x, y) = 0 determina y como uma ou mais funcoes implıcitas de x. Para cada valor de
x, existe um valor correspondente de y que satisfaz a equacao.
Exemplos:
1. A equacao xy = 1 determina uma funcao implıcita de x, que pode ser escrita na
[Prof. Hiroshi Ouchi] 31
forma y =1x
(forma explicita).
2. A equacao x2 + y2 = 36 determina duas funcoes implıcitas de x, que podem ser
escritas explicitamente como y =√
36− x2 e y = −√
36− x2.
OBSERVACOES:
Muitas vezes nao e possıvel definir y explicitamente como funcao de x.
Para determinardy
dx, usamos um processo simples, baseado na regra da cadeia pensando
conscientemente em y como uma funcao de x, sempre que aparecer. Esse processo e
denominado derivacao implıcita.
Regra pratica
1. Devemos derivar termo a termo, ambos os membros da equacao, em relacao a x,
usando a regra da cadeia ao derivar os termos que contem y.
2. Resolvemos a equacao resultante considerandody
dxcomo incognita.
A derivacao implıcita da, normalmente uma expressao parady
dxem termos, tanto de x
como de y, em vez de somente em termos de x.
Exemplos:
Determinedy
dxsabendo que 2x2 − 2xy = 9− y2.
Solucao
Derivando em relacao a x, temos:
4x− 2y − 2xdy
dx= −2y
dy
dx
2x− y − xdy
dx= −y
dy
dx
xdy
dx− y
dy
dx= 2x− y
(x− y)dy
dx= 2x− y
dy
dx=
2x− y
x− y
NOTA: Pode-se tambem obter derivadas de ordem superior por diferenciacao implıcita.
1.7.10 Derivada da funcao exponencial
Se f(x) = ax; a ∈ R∗+, a 6= 1 e x ∈ R, entao f ′(x) = ax · ln a
Portanto, f(x) = ax =⇒ f ′(x) = ax · ln a
32 [Matematica Aplicada]
Seja y = au e u e uma funcao de x.
Aplicando a regra da cadeia, temos:dy
dx= au · ln a · dy
dxou y′ = au · ln a · u′
Caso Particular:
f(x) = ex =⇒ f ′(x) = ex · ln e = ex · 1 = ex
Portanto, f(x) = ex =⇒ f ′(x) = ex
Seja y = eu e u e funcao de x.
Aplicando a regra da cadeia, temos:dy
dx= eu · du
dxou y′ = eu · u′
1.7.11 Derivada da funcao logarıtmica
Vimos que loge a · loga e = 1
Assim,
loga e =1
loge a
loga e =1
ln a
Seja f(x) = loga x onde a > 0 e a 6= 1 e x ∈ R∗+
f(x) = loga x =⇒
f ′(x) =
1x· loga e
ou
f ′(x) =1
x · ln a
Seja y = loga u onde u e funcao de x
Aplicando a regra da cadeia, temos:
1.dy
dx=
1u· loga e · du
dxou y′ =
1u· loga e · u′
ou
2.dy
dx=
1u · ln a
· du
dxou y′ =
u′
u · ln a
Caso Particular:
y = ln x ou y = loge x
dy
dx=
1x · ln e
=1x
Seja y = ln u onde u e funcao de x
dy
dx=
1u· du
dxou y′ =
u′
u
[Prof. Hiroshi Ouchi] 33
Exemplos:
1. f(x) = 5x3+2x
2. f(x) = ex2+4
3. f(x) = ln (2x4 + 5)
4. f(x) = log2 (3x2 − 5)
1.7.12 Derivadas de ordem superior
Se uma funcao y = f(x) e diferenciavel em um certo intervalo, sua derivada f ′(x) e tambem
diferenciavel nesse intervalo. Se f ′(x) tambem for diferenciavel, entao a sua derivada e
chamada derivada segunda da funcao y = f(x) e e representada por f ′′(x).
A derivada terceira da funcao e a derivada de sua derivada segunda, isto e, f ′′′(x) = [f ′′(x)]′.
A derivada de ordem n, ou derivada n-esima de f(x) e indicada por f (n)(x). Assim
f ′′(x) tambem se escreve f (2)(x). Podemos escrever f(x) = f (0)(x).
Notacao de Leibnizd
dx
(dy
dx
)=
d2y
dx2: derivada segunda
d
dx
(d2y
dx2
)=
d3y
dx3: derivada terceira
· · ·
· · ·d
dx
(dn−1y
dxn−1
)=
dny
dxn: derivada n-esima
Em Geometria, o sinal de f ′′(x) nos informa se a curva de y = f(x) e concava para
cima ou para baixo.
Em Fısica, se s = f(t) da a posicao de um corpo movel no instante t, entao a primeira
derivada corresponde a velocidade do movel e a segunda derivada corresponde a aceleracao
do corpo movel no instante t, isto e, v =ds
dte a =
dv
dt=
d2s
dt2.
Exercıcios Propostos
1. Determine a derivada das seguintes funcoes:
(a) f(x) = (2x3 − 5x2 + 4)5
(b) f(x) =1
4x3 + 5x2 − 7x + 8(c) f(x) =
√2x3 − 4x + 5
(d) f(x) = 3√
x2 + x + 1
34 [Matematica Aplicada]
2. Calcule a derivadady
dxdas funcoes seguintes, aplicando a regra da cadeia.
(a) y =√
u e u = x2 + 1
(b) y =√
u e u = x2 + 3x + 2
(c) y =1
u− 1e u = x2
(d) y =1√u
e u = x2 + 9
3. Uma projecao do aumento de populacao indica que daqui a t anos a populacao de
certa cidade sera P (t) = (−t3 + 9t2 + 48t + 200) mil habitantes.
(a) Qual sera a taxa de aumento da populacao daqui a 3 anos?
(b) Qual sera a taxa de variacao da taxa de aumento da populacao daqui a 3 anos?
4. Um estudo de eficiencia realizado no turno da manha de uma certa fabrica revela que
um operario que chega ao trabalho as 8 horas tera produzido Q(t) = −t3 +6t2 +24t
unidades t horas mais tarde.
(a) Calcule a taxa de producao dos operarios as 11 horas.
(b) Qual e a taxa de variacao da taxa de producao dos operarios as 11 horas?
5. Um estudo ambiental realizado em certo municıpio revela que a concentracao media
de monoxido de carbono no ar e c(p) =√
(0, 5)p2 + 17 partes por milhao, onde p
representa a populacao, em milhares de habitantes. Calcula-se que daqui a t anos
a populacao do municıpio sera p(t) = (3, 1) + (0, 1)t2 milhares de habitantes. Qual
sera a taxa de variacao da concentracao de monoxido de carbono daqui a 3 anos?
6. Determine a equacao da tangente ao grafico de f(x) =5
1 + x2no ponto P de abscissa
x = −2.
7. Determinedy
dxsabendo que xy − x2y3 + 3x = 4.
8. Determine a tangente e a normal a curva x3 + y3 − 9xy = 0 no ponto P (2, 4)
9. Escreva a equacao da tangente e da normal a curva x6 − y4 + 2x2y = 2 no ponto
P (1, 1)
10. Numa certa industria, se C e o custo total da producao de x unidades, entao
C =14x2 + 2x + 1000. Se x unidades sao produzidas durante t horas desde o inıcio
da producao, entao x = 3t2 + 50t. Determine a taxa de variacao do custo total em
relacao ao tempo, 2 horas apos o inıcio da producao.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 35
Respostas
1. (a) f ′(x) = 5(2x3 − 5x2 + 4)4 · (6x2 − 10x)
(b) f ′(x) = −12x2−10x+7(4x3+5x2−7x+8)2
(c) f ′(x) = 3x2−2√2x3−4x+5
(d) f ′(x) = 2x+1
3 3√
(x2+x+1)2
2. (a) dydx = x
x2+1
(b) dydx = 2x+3
2√
x2+3x+2
(c) dydx = −2x
(x2−1)2
(d) dydx = − x√
(x2+9)3
3. (a) 75.000 habitantes por ano
(b) zero
4. (a) 33 unidades por hora
(b) a taxa de decrescimo de eficiencia as 11 horas e de 6 unidades por hora ao
quadrado
5. dcdt = 0, 24 por milhao por ano
6. 4x− 5y + 13 = 0 ou y = 45x + 13
5
7. dydx = −y+2xy3−3
x−3x2y2
8. y = 45x + 12
5 e y = −54x + 13
2
9. 5x− y − 4 = 0 e x + 5y − 6 = 0
10. O custo total esta aumentando a uma taxa de R$ 3.596,00 por hora.
Exercıcios Diversos
1. Estima-se que daqui a t anos, a circulacao de um jornal sera c(t) = 100t2+400t+5000.
(a) Encontre uma expressao para a taxa de variacao da circulacao com o tempo
daqui a t anos
(b) Determine a taxa de variacao da circulacao com o tempo daqui a 5 anos. Nessa
ocasiao a circulacao estara aumentando ou diminuindo?
(c) Qual sera a variacao da circulacao durante o sexto ano?
36 [Matematica Aplicada]
2. Um estudo realizado em certa fabrica mostra que os operarios do turno da manha,
que chegam para trabalhar a 8 horas, terao montado em media f(x) = −x3 + 6x2 + 15x
receptores de radio, x horas mais tarde.
(a) Determine uma expressao para o numero de receptores por hora que os operarios
estarao montando x horas depois de comecarem a trabalhar.
(b) Quantos receptores por hora estarao montando as 9 horas?
(c) Quantos receptores os operarios estarao montando entre 9 e 10 horas?
3. Um fabricante de relogios pode produzir determinado tipo de relogio a um custo de
R$ 15,00 por peca. Estima-se que se o preco do relogio for x cada, entao o numero de
relogios vendidos por semana sera 125−x. Seja P (x) o lucro semanal do fabricante.
Determine o preco de venda para que o lucro semanal seja maximo. Determine o
lucro maximo.
4. Numa certa industria, se C e o custo total de producao de x unidades, entao
C(x) =14x2 + 2x + 1000 reais. Se x unidades sao produzidas durante t horas desde
o inıcio da producao, entao x = 3t2 + 50t. Determine a taxa de variacao do custo
total em relacao ao tempo, duas horas apos o inıcio da producao.
5. Quando um determinado modelo de liquidificador e vendido a p reais a unidade, sao
vendidos D(p) =8000
pliquidificadores por mes. Calcula-se que daqui a t meses o
preco dos liquidificadores sera p(t) = (0, 04)t3/2+15 reais. Calcule a taxa de variacao
da demanda mensal de liquidificadores com o tempo daqui a 25 meses. A demanda
estara aumentando ou diminuindo nessa ocasiao?
6. Ache a equacao da reta tangente a curva y = 2x2 + 3 que e paralela a reta
(s) 8x− y + 3 = 0
7. Determine o ponto P da curva de equacao f(x) = 5x − x2, onde a inclinacao da
tangente e 45o.
8. Determine o ponto P em que a reta tangente ao grafico de f(x) = x3 +10 e paralela
ao eixo x.
9. Determime a equacao da reta tangente a curva dada no ponto P especificado pelos
valores de x.
(a) f(x) = (3x2 + 1)2 ; x = −1
(b) f(x) =1
(2x− 1)6; x = 1
[Prof. Hiroshi Ouchi] 37
10. Determine todos os valores de x para os quais a reta tangente a funcao dada e
horizontal.
(a) f(x) = (x2 + x)2
(b) f(x) =√
x2 − 4x + 5
11. Determine a funcao derivada das seguintes funcoes:
(a) f(x) =x
(x2 − 1)4
(b) f(x) =1
(8x− 7)5
(c) f(x) = 3√
8x3 + 27
(d) y = 5√
x2 + 3
(e) y =x + 1√x2 − 3
(f) y = x8 + (2x + 4)3 +√
x
12. Seja y =√
u e u = 1− x2, determinedy
dx.
13. Considere y =1
u− 1e u = x2. Determine
dy
dx.
14. Considere c =√
s e s = 2t3 − 4t + 5. Determinedc
dt.
15. Use a regra da cadeia para calculardy
dxsabendo que y = 3u4−4u+5; u = x3−2x−5.
Determinedy
dxpara x = 2.
16. Seja y =√
u onde u = 2 + v3 e v = x2 − 3x + 2. Determinedy
dx.
17. Seja y =√
u onde u = x2 − 2x + 6. Determinedy
dxpara x = 3.
18. Considere y =1u
onde u = 3− 1x2
. Determinedy
dxpara x =
12.
19. Determinedy
dxatraves da derivacao implıcita.
(a) x2 + y2 = 25
(b) x3 + y3 = xy
(c) y2 + 2xy2 − 3x + 1 = 0
(d) xy + 2y = x2
(e) xy − x = y + 2
(f) x6 − 2x = 3y6 + y5 − y2
(g) 3x4y2 − 7xy3 = 4− 8y
38 [Matematica Aplicada]
(h) x3 + y3 = 9
20. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grafico de y4 +3y−4x3 = 5x+1
no ponto P (1,−2).
Respostas
1. (a) c′(t) = 200t + 400
(b) c′(5) = 1400; aumentando
(c) 1.500 exemplares
2. (a) f ′(x) = −3x2 + 12x + 15
(b) f ′(1) = 24; 24 receptores de radio por hora
(c) 26 receptores de radio
3. O preco de venda e de R$ 70,00.
O lucro semanal maximo sera de R$ 3.025,00.
4. Duas horas apos o inıcio da producao o custo estara aumentando a uma taxa de
R$3.596,00 por hora.
5.(
ddtD
)t=25
= −6
6. y = 8x− 5
7. P (2, 6)
8. P (0, 10)
9. (a) y = −48x− 32
(b) y = −12x + 13
10. (a) x = 0, x = −1 e x = −12
(b) x = 2
11. (a) f ′(x) = −7x2−1(x2−1)5
(b) f ′(x) = −40(8x−7)6
(c) f ′(x) = 8x2
3√
(8x3+27)2
(d) dydx = 5x√
x2+3
(e) y′ = −x−3(x2−3)
√x2−3
(f) dydx = 8x7 + 6(2x + 4)2 + 1
2√
x
12. dydx = − x√
1−x2
[Prof. Hiroshi Ouchi] 39
13. dydx = −2x
(x2−1)2
14. dcdt = 3t2−2√
2t3−4t+5
15.(
dydx
)x= 1
2
= −16
16. dydx = 3(x2−3x+2)2·(2x−3)
2√
2+(x2−3x+2)3
17.(
dydx
)x=3
= 23
18.(
dydx
)x= 1
2
= −16
19. (a) dydx = −x
y
(b) dydx = y−3x2
3y2−x
(c) dydx = − 3−2y2
2y(1+2x)
(d) dydx = −2x−y
x+2 = x(4+x)(x+2)2
(e) dydx = − y−1
1−x = −3(x−1)2
(f) dydx = 6x5−2
18y5+5y4−2y
(g) dydx = 7y3−12x3y2
6x4y−21xy2+8
(h) dydx = −x2
y2
20. dydx
∣∣∣(1,−2)
= −1729
1.8 Taxa de variacao percentual
[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 85]
Definicao
Seja Q(x) a grandeza da qual se quer calcular a taxa de variacao percentual.
tp = 100 · taxa de variacao de Q(x)valor de Q(x)
tp = 100 · Q′(x)Q(x)
Exemplos:
1. O produto interno bruto (PIB) de um certo paıs e dado por P (t) = t2 + 5t + 106
bilhoes de dolares, onde t e o numero de anos apos 1990.
(a) Qual foi a taxa de variacao do PIB em 1998?
(b) Qual foi a taxa de variacao percentual do PIB em 1998?
(c) Qual foi a taxa relativa de crescimento do PIB em 1998?
40 [Matematica Aplicada]
Solucao
(a) A taxa de variacao do PIB e a derivada P ′(t) = 2t + 5. A taxa de variacao em
1998 foi
P ′(8) = 2(8) + 5 = 16 + 5 = 21.
t(8) = 21 bilhoes de dolares por ano
(b) A taxa de variacao percentual do PIB em 1998 foi de
tp(8) = 100 · P ′(8)P (8)
= 100 · 21210
= 10%
tp = 10% ao ano
(c) A taxa relativa de crescimento do PIB em 1998 foi
tr =P ′(8)P (8)
=21210
=110
= 0, 1
tr = 0, 1
2. Calcula-se que daqui a x meses a populacao de certa cidade sera P (x) = 2x + 4x3/2 + 5000.
(a) Qual sera a taxa de variacao da populacao com o tempo daqui a 9 meses?
(b) Qual sera a taxa de variacao percentual da populacao com o tempo daqui a 9
meses?
Solucao
(a) P ′(x) = 2 + 4 · 32x3/2 −1 = 2 + 6x1/2 = 2 + 6
√x
P ′(x) = 2 + 6√
x
t = P ′(9) = 2 + 6√
9 = 2 + 6(3) = 2 + 18 = 20
A taxa de variacao dapopulacao daqui a 9 meses sera de 20 habitantes por mes.
(b) P (9) = 2(9) + 4(32)3/2 + 5000 = 18 + 4(27) + 5000 = 5126
tp = 100 · P ′(9)P (9)
= 100 · 205126
= 0, 39
Logo, tp = 0, 39%
A taxa de variacao percentual da populacao daqui a 9 meses sera de 0, 39%.
Exercıcios Propostos
1. Os registros mostram que depois de 1994, o imposto predial medio que incidia sobre
um apartamento de tres quartos em um certo municıpio era T (x) = 20x2 + 40x + 600
reais.
(a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial no inıcio do ano 2000?
(b) Qual era a taxa de aumento percentual do imposto predial no inıcio do ano
2000?
[Prof. Hiroshi Ouchi] 41
2. O lucro bruto anual de uma dada empresa t anos apos 1o de janeiro de 1981 e p
milhoes de reais e p(t) =25t2 + 2t + 10.
(a) Determine a taxa segundo a qual o lucro estava crescendo em 1o de janeiro de
1983.
(b) Determine a taxa relativa de crescimento do lucro bruto em 1o de janeiro de
1983.
(c) Determine a taxa de variacao percentual do crescimento do lucro bruto em 1o
de janeiro de 1983.
3. Espera-se que a populacao de uma certa cidade, t anos apos 1o de janeiro de 1982
seja f(t) = 30t2 + 100t + 5000.
(a) Ache a taxa segundo a qual se espera que a populacao esteja crescendo em 1o
de janeiro de 1990.
(b) Ache a taxa relativa de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990.
(c) Ache a taxa percentual de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990.
Respostas
1. (a) T ′(6) = R$280,00 por ano
(b) 17, 95% ao ano
2. (a) Em 1o de janeiro de 1983 o lucro bruto devera estar crescendo a uma taxa de
3,6 milhoes de reais.
(b) A taxa relativa de crescimento do lucro bruto foi de 0,231.
(c) A taxa percentual de crescimento do lucro bruto foi de 23,1%.
3. (a) Espera-se que a populacao esteja crescendo a uma taxa de 580 habitantes por
ano.
(b) A taxa relativa de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990 seria de
0,075.
(c) A taxa percentual de crescimento da populacao em 1o de janeiro de 1990 seria
de 7,5%.
1.9 A analise marginal
[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 100-101]
[LEITHOLD, 1998: 106-108]
42 [Matematica Aplicada]
E uma parte da Economia qua analisa o que ocorre com grandezas como o custo, a
receita e o lucro, quando o nıvel de producao varia de um valor unitario.
Seja C(x) o custo total para produzir x unidades de um determinado produto.
O custo real para produzir a unidade (x1 + 1) apos produzidas x1 unidades e
Cr = C(x1 + 1)− C(x1) e o custo marginal, e C ′(x1) a ser estudado a seguir.
1.9.1 Custo marginal
1. Seja a funcao custo C e n um inteiro positivo.
C ′(n) = limh→0
C(n + h)− C(n)h
Se h e pequeno, entao C ′(n) ' C(n + h)− C(n)h
Quando o numero n de unidades fabricadas e grande, os economistas costumam fazer
h = 1 na ultima formula para aproximar o custo marginal, obtendo
C ′(x1) ' C(x1 + 1)− C(x1)
Para o nıvel de producao x = x1, o custo exato ou real para produzir uma unidade
a mais a partir de x1 unidades e aproximadamente igual ao custo marginal C ′(x1)
associado a producao de x1 unidades, desde que o numero de unidades x1 seja grande.
Figura 1.8: custo marginal
2. O custo real para produzir a unidade (x1 + 1) e Cr = C(x1 + 1)− C(x1)
Cr = C(x1 + 1)− C(x1)
Conclusao: C ′(x1) ≈ Cr
1.9.2 Receita marginal
Seja R(x) a funcao receita proveniente da venda de x unidades de um produto.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 43
Figura 1.9: custo real
Denomina-se receita marginal da funcao receita R(x) a funcao RM(x) = R′(x).
A receita marginal quando x = x1 e dada por R′(x1) e corresponde a receita aproxi-
mada da venda de uma unidade adicional a partir de x1 unidades, desde que o numero de
unidades seja grande.
Assim, R′(x1) ≈ R(x1 + 1)−R(x1)
1.9.3 Lucro marginal
Seja P (x) a funcao lucro.
Denomina-se lucro marginal quando x = x1 (unidades) o lucro aproximado da producao
e venda de uma unidade adicional, a partir de x1 unidades.
PM(x1) = P ′(x1) ' P (x1 + 1)− P (x1)
RESUMO:
Custo, Receita e Lucro Marginal
Se C(x) e o custo total para produzir x unidades de um produto e R(x) e P (x) =
R(x)− C(x) sao a receita e o lucro correspondentes, entao:
• a funcao de custo marginal e CM(x) = C ′(x);
• a funcao de receita marginal e RM(x) = R′(x);
• a funcao de lucro marginal e PM(x) = P ′(x).
1.9.4 Custo medio
Seja C(x) o custo total da producao de x unidades de um certo produto.
O custo medio da producao de cada unidade do produto e obtido dividindo-se o custo
total pelo numero de unidades produzidas. Seja C(x) ou Q(x) o custo medio.
C(x) =C(x)
xou Q(x) =
C(x)x
44 [Matematica Aplicada]
1. A receita total de um produto e R(x) = 240x+(0, 05)x2 em reais, quando x unidades
sao produzidas e vendidas durante o mes. Atualmente o produtor produz 80 unidades
por mes, e esta planejando aumentar a producao em uma unidade.
(a) Use a Analise Marginal para determinar a receita adicional aproximada que
sera gerada pela producao e venda da 81a unidade.
(b) Use a funcao receita para calcular a receita adicional real que sera gerada pela
producao e venda da 81a unidade
Solucao
R′(x) = 240 + (0, 1)x
R′(80) = 240 + (0, 1)(80)
R′(80) = 240 + 8
R′(80) = 248
RM(80) = R$248,00
R(81) = 240(81) + (0, 05)(81)2
R(81) = 19440 + (0, 05)6561
R(81) = 19440 + (328, 05)
R(81) = 19768, 05
R(80) = 240(80) + (0, 05)(80)2
R(80) = 19200 + (0, 05)6400
R(80) = 19200 + 320
R(80) = 19520
Rr = Re = R(81)−R(80)
Rr = (19768, 05)− 19520
Rr =R$248,05
Conclusao, RM(80) ' Rr
2. Seja C(x) o custo total de fabricacao de x unidades de um produto e
C(x) = 110 + 4x + (0, 02)x2. Determine:
(a) a funcao custo marginal;
(b) o custo marginal quando 50 unidades sao produzidas, isto e, o custo aproximado
da quinquagesima primeira unidade;
(c) o custo real da quinquagesima primeira unidade;
[Prof. Hiroshi Ouchi] 45
(d) o custo medio.
Solucao
(a) CM(x) = C ′(x) = 4 + (0, 04)x
(b) CM(50) = C ′(50) = 4 + (0, 04)50 = 4 + 2 = 6
C ′(50) =R$6,00 e o custo aproximado da producao da quinquagesima primeira
unidade apos a producao da quinquagesima unidade. O custo marginal e a taxa
de variacao instantanea de C(x) em relacao a uma unidade de variacao em x.
(c) C(51) = 110 + 4(51) + (0, 02)(51)2 = 366, 02
C(50) = 110 + 4(50) + (0, 02)(50)2 = 360
Cr = C(51)− C(50)
Cr = (366, 02)− 360 = 6, 02
O custo real de producao da quinquagesima primeira unidade e de R$6,02.
OBSERVACAO:
Os economistas frequentemente aproximam o custo de producao de uma unidade
adicional usando a funcao custo marginal pois o calculo de C ′(50) e muito mais
simples do que o calculo de C(51)− C(50).
(d) Q(x) =C(x)
x=
110x
+ 4 + (0, 02)x
Q(50) =11050
+ 4 + (0, 02)(50) = 7, 20
OBSERVACAO:
Quando as 50 primeiras unidades tiverem sido produzidas, o custo medio de
producao de uma unidade e de R$7,20.
3. Um fabricante estima que quando x unidades de um certo produto sao fabricadas,
o custo total e C(x) =x2
8+ 3x + 98 reais e que todas as x unidades sao vendidas
quando o preco e p(x) = 25− x
3reais por uinidade.
(a) Use a funcao de custo marginal para estimar o custo para produzir a nona
unidade. Determine o custo exato para produzir a nona unidade.
(b) Determine a funcao de receita do produto. Em seguida, use a funcao de receita
marginal para estimar a receita obtida com a venda da nona unidade. Calcule
a receita exata obtida com a venda da nona unidade.
(c) Determine a funcao de lucro associada a producao de x unidades e calcule o
nıvel de producao para o qual o lucro e maximo. Determine o lucro marginal
associado ao nıvel otimo de producao.
46 [Matematica Aplicada]
Solucao
(a) CM(x) = C ′(x) =x
4+ 3
CM(8) = C ′(8) =84
+ 3 = 5
CM(8) = R$5,00 (custo aproximado da nona unidade)
Cr = C(9)− C(8) = 5, 13
Cr = R$5,13 (custo real de producao da nona unidade)
CM(8) ' Cr
(b) R(x) = x · p(x)
R(x) = x(25− x
3
)R(x) = 25x− x2
3
RM(x) = R′(x) = 25− 2x
3
RM(8) = R′(8) = 25− 163
= 19, 67 (receita aproximada com a vanda da nona
unidade)
RM(8) = R(9)−R(8) = 19, 33
RM(8) =R$19,33 (receita exata obtida com a venda da nona unidade)
(c) P (x) = R(x)− C(x)
P (x) = 25x− 13
x2 −(
18
x2 + 3x + 98)
P (x) = −1124
x2 + 22x− 98
O grafico da funcao lucro e uma parabola com a concavidade voltada para baixo
e o maximo (vertice) e o ponto de abscissa,
xv = − b
2a=
−222(−11
24)= 22 · 24
22= 24
P ′(x) = −2224
x + 22
Seja P ′(x) = 0
0 = −2224
x + 22 =⇒ 2224
x = 22 =⇒ x =24 · 22
22= 24
O lucro e maximo quando sao produzidas e vendidas 24 unidades e o preco
neste caso e p(24) = 25− 243
= 25−8 = 17. Logo, o preco e R$17,00 a unidade.
Para o nıvel otimo de producao x = 24, o lucro marginal e
P ′(24) = −1112
x · 24 + 22 = 0.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 47
OBSERVACAO:
O lucro e maximo para o nıvel de producao no qual o lucro marginal e nulo.
OBSERVACOES IMPORTANTES SOBRE ANALISE MARGINAL:
1. Quando o numero de unidades x e um pouco grande, o custo marginal C ′(x) pode
ser observado como uma boa aproximacao do custo C(x+1)−C(x) da producao de
uma unidade a mais.
Exemplo:
A empresa E acha que o custo da producao total de x unidades do produto p e dado
por C(x) = R$ (500 + 30√
x). Se 5000 unidades sao produzidas, ache o custo exato
da producao de mais uma unidade e compare isto com custo marginal.
Solucao
(a) O custo exato de fabricacao de mais uma unidade e:
Ce = C(5001)− C(5000)
Ce = 500 + 30√
5001− (500 + 30√
5000) = 30(√
5001−√
5000)
Ce = R$0,21212
(b) Custo marginal:
C ′(x) =30
2√
x=
15√x
C ′(5000) =15√5000
C ′(5000) ≈ R$0,21213
OBSERVACAO:
O erro cometido no uso do custo marginal para estimar o verdadeiro custo de fab-
ricacao de mais uma unidade e menos que R$0,00002.
2. Se R(x) denota o rendimento obtido quando x unidades de uma mercadoria sao de-
mandadas, entao o rendimento marginal R′(x) denota a taxa de variacao do rendi-
mento por variacao da demanda. Para grandes valores de x o rendimento marginal
R′(x) e uma boa aproximacao do rendimento adicional R(x + 1)−R(x) gerado por
uma unidade adicional da demanda.
Suponha-se que o rendimento total atinge um valor maximo quando x unidades sao
demandadas. Entao o rendimento marginal R′(x) precisa ser zero. Isto significa que
quando o rendimento maximo e gerado por x unidades de demanda, praticamente
nao sera gerado rendimento adicional por mais uma unidade de demanda.
48 [Matematica Aplicada]
Exemplo:
Uma fabricacao em serie varia R$24,00 por serie. O custo total de producao de x
series por semana e dado pela equacao C(x) = 150 + (3, 9)x + (0, 003)x2 reais.
(a) Determine o custo aproximado para se fabricar a serie de ordem 1001.
(b) Determine o custo exato de fabricacao da serie de ordem 1001.
(c) Determine o lucro total do fabricante, por semana, em funcao de x.
(d) Quantas series deverao ser fabricadas e vendidas por semana para o fabricante
obter lucro maximo?
(e) Determine o lucro maximo.
Solucao
(a) C ′(x) = (3, 9) + (0, 006)x
C ′(1000) = R$9,90
(b) Ce = C(1001)− C(1000)
Ce = (7059, 903)− (7050, 00)
Ce = R$9,903
(c) R(x) = p x
R(x) = 24x
P (x) = R(x)− C(x) onde P (x) denota o lucro
P (x) = (20, 1)x− 150− (0, 003)x2
(d)dP
dx= (20, 1)− (0, 006)x
dP
dx= 0 =⇒ x =
20, 10, 006
x = 3350 series
Deverao ser fabricadas e vendidas 3.350 series para ser obtido lucro maximo.
(e) Para x = 3350, P (x) = 33517, 50
O lucro maximo por semana sera de R$33.517,50.
A equacao da demanda para um determinado produto e 5x + 3p = 15. Ache as
funcoes receita total e marginal. Faca esbocos das curvas de demanda, receita total
e receita marginal no mesmo conjunto de eixos.
Solucao
Seja x o numero de unidades vendidas e p o preco.
Assim, p = −53x + 5
[Prof. Hiroshi Ouchi] 49
R(x) = p x
R(x) =(−5
3x + 5
)x
R(x) = −53x2 + 5x
R′(x) = −103
x + 5
R′(x) = 0 =⇒ x =32
Figura 1.10: curva de demanda
OBSERVACOES:
(a) A equacao de demanda e aquela que da a relacao entre p e x, onde x unidades
de um produto sao demandadas quando p e o preco por unidade.
(b) A curva de receita marginal, R′(x), corta o eixo x no ponto cuja abscissa e o
valor de x para o qual a receita total e maxima. A curva de demanda corta o
eixo x no ponto cuja abscissa e igual ao dobro da abscissa de ponto maximo.
Exercıcios Propostos
1. Suponha que R(x) seja a receita total recebida da venda de x mesas, e
R(x) = 300x− x2
2.
(a) Determine a receita marginal quando x = 40.
(b) Determine a receita efetiva da quadragesima primeira mesa.
2. Seja C(x) = 40 + 3x + 9√
2x. Determine:
(a) O custo medio quando x = 50.
(b) O custo marginal quando x = 50.
50 [Matematica Aplicada]
3. A funcao receita total para um dado produto e dada por R(x) = 6x− 32
x2. Deter-
mine:
(a) A equacao da demanda.
(b) A funcao receita marginal.
4. Se a equacao da demanda para um dado produto e 5x + 4p = 20, ache:
(a) A funcao receita total.
(b) A funcao receita marginal.
Respostas
1. (a) R$260,00 por mesa.
(b) R$259,50 por mesa.
2. (a) R$5,60
(b) R$3,90
3. (a) 3x + 2p = 12
(b) R′(x) = 6− 3x
4. (a) R(x) = −54x2 + 5x
(b) R′(x) = −52x + 5
1.10 Estudo da variacao das funcoes
Funcoes: crescente, decrescente e constante
1.10.1 Funcao crescente
Uma funcao f e denominada crescente em um intervalo A, se f(x2) > f(x1) sempre que
x2 > x1, onde x1 e x2 pertencem ao intervalo A.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 51
Figura 1.11: funcao crescente
Se f e crescente em um intervalo A, entao o grafico de f e ascendente quando o ponto
que o descreve se move da esquerda para a direita.
OBSERVACAO:
A derivada em cada ponto do grafico de y = f(x) e o coeficiente angular da reta
tangente ao grafico de f(x).
Se f ′(x) = tgα > 0 (0 < α < π2 ), no intervalo A, entao a funcao f e crescente no
intervalo A.
1.10.2 Funcao descrescente
Uma funcao f e denominada decrescente em um intervalo A, se f(x1) > f(x2), sempre
que x1 < x2, onde x1 e x2 pertencem ao intervalo A.
Figura 1.12: funcao decrescente
Se a funcao f e decrescente em um intervalo A, entao o grafico de f e descendente
quando o ponto que o descreve se move da esquerda para a direita.
Se f ′(x) = tg α < 0 (π2 < α < π) em todo o intervalo A, entao f e decrescente em A.
52 [Matematica Aplicada]
1.10.3 Funcao constante
Uma funcao f e constante em um intervalo A, se x1 6= x2 tivermos f(x1) = f(x2),
∀x1, x2 ∈ A.
Figura 1.13: funcao constante
Se uma funcao e constante em um intervalo A, entao f(x) admite derivada nula em
todos os pontos do intervalo A. ∀x ∈ A, f ′(x) = 0 =⇒ f(x) e constante em A.
1.10.4 Casos especiais
1. Se a funcao f(x) e crescente no intervalo A, a tangente a curva de f(x), em cada
ponto da mesma, forma com eixo x um angulo agudo e, em alguns pontos, pode ser
paralela ao eixo. Assim, f ′(x) ≥ 0.
Figura 1.14: tangente em agulo agudo
2. Se a funcao f(x) e decrescente no intervalo A, a tangente a curva de f(x), em cada
ponto da mesma, forma com eixo x um angulo obtuso e, em alguns pontos, pode ser
paralela ao eixo. Assim, f ′(x) ≤ 0.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 53
Figura 1.15: tangente em agulo obtuso
Portanto:
1. ∀x ∈ A, f ′(x) ≥ 0 =⇒ f(x) e crescente em A.
2. ∀x ∈ A, f ′(x) ≤ 0 =⇒ f(x) e decrescente em A.
1.10.5 Criterio da derivada para funcoes crescentes e decrescentes
1. f(x) e crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0
2. f(x) e decrescente nos intervalos em que f ′(x) < 0
Exemplo:
Considere a funcao f(x) = −x3 + 6x2 − 9x + 5.
(a) determine o(s) intervalo(s) onde a funcao e crescente e onde e decrescente.
(b) trace o esboco do grafico de f .
Solucao
Temos:
f ′(x) = −3x2 + 12x− 9
Seja f ′(x) = 0 =⇒ −3x2 + 12x− 9 = 0 =⇒ −x2 + 4x− 3 = 0
Raızes de f ′(x): 1 e 3
Temos: f ′(1) = f ′(3) = 0
f(x) pode mudar de sinal apenas em x = 1 e x = 3.
O sinal da derivada deve permanecer constante nos intervalos x < 1, 1 < x < 3 e
x > 3.
Em cada um desses intervalos, devemos escolher um numero de teste c e devemos
determinar o sinal de f ′(x) em todo o intervalo achando o sinal de f ′(c).
54 [Matematica Aplicada]
Sejam 0, 2 e 4 os numeros de teste escolhidos.
f ′(0) = −3(0)2 + 12(0)− 9 = −9 < 0
f ′(2) = −3(2)2 + 12(2)− 9 = 3 > 0
f ′(4) = −3(4)2 + 12(4)− 9 = −9 < 0
Figura 1.16: exemplo do criterio da derivada
Intervalo Numero de teste (c) Sinal de f ′(c) Conclusao
x < 1 0 f ′(0) < 0 f(x) e decrescente
1 < x < 3 2 f ′(2) > 0 f(x) e crescente
x > 3 4 f ′(4) < 0 f(x) e decrescente
A funcao f e decrescente em x < 1 ou x > 3.
A funcao f e crescente em 1 < x < 3.
Figura 1.17: grafico do criterio da derivada
Exercıcios Propostos
1. Seja a funcao f(x) = x3 +x2− 5x− 5. Determine os intervalos em que f e crescente
e os intervalos em que f e decrescente.
2. Determine os intervalos em que a funcao f(x) = x2 − 4x + 5 esta aumentando ou
diminuindo.
3. Determine o intervalo em que a funcao f(x) = −x2+x+6 e crescente ou e decrescente.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 55
4. Especifique os intervalos nos quais a derivada da funcao dada e positiva e os intervalos
nos quais e negativa.
(a) (b)
5. Determine os intervalos em que a funcao f(x) =x3
3− 7
2x2 + 12x + 3 e crescente ou
e decrescente.
Respostas
1. f e crescente em x < −53 ou x > 1.
f e decrescente em −53 < x < 1.
2. f esta aumentando em x > 2.
f esta diminuindo em x < 2.
3. f e crescente em x < 12 .
f e decrescente em x > 12 .
4. (a) f ′(x) > 0 para −2 < x < 2.
f ′(x) < 0 para x < −2 ou x > 2
(b) f ′(x) > 0 para x < −4 ou 0 < x < 2.
f ′(x) < 0 para −4 < x < −2, para −2 < x < 0 ou para x > 2.
5. f e crescente em x < 3 ou x > 4.
f e decrescente em 3 < x < 4.
1.10.6 Extremos relativos ou locais de uma funcao
Seja a funcao y = f(x) cujo grafico esta representado abaixo.
56 [Matematica Aplicada]
Figura 1.18: extremos relativos ou locais
Dizemos que uma funcao f(x) possui um maximo relativo em x = c, se f(c) ≥ f(x)
para todos os valores de x em um intervalo a < x < b, que contenha o ponto c. No exemplo
dado os maximos relativos sao f(x2) e f(x4).
Dizemos que uma funcao f(x) possui um mınimo relativo em x = c, se f(c) ≤ f(x)
para todos os valores de x em um intervalo a < x < b, que contenha o ponto c. No exemplo
dado os mınimos relativos sao f(x1), f(x3) e f(x6).
OBSERVACOES:
1. Uma funcao pode admitir mais de um maximo local ou mais de um mınimo local.
2. E possıvel um mınimo local ser maior do que um maximo local, dependendo da
vizinhanca a ser considerada no domınio da funcao.
3. Usa-se o termo local ou relativo porque focalizamos nossa atencao em uma vizinhanca
de x = c. Fora dessa vizinhanca a funcao f pode tomar outros valores maximos ou
mınimos locais.
4. Existem funcoes que nao admitem nem maximo nem mınimo relativos.
Exemplo: f(x) = x3
5. Os maximos e mınimos relativos de f sao conhecidos por extremos relativos e os
valores x = c sao chamados extremantes de f .
6. Como uma funcao f(x) e crescente quando f ′(x) > 0 e decrescente quando f ′(x) < 0,
entao os pontos nos quais f(x) possui um extremo relativo sao aqueles em que
f ′(x) = 0 ou f ′(x) nao existe.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 57
Figura 1.19: f(x) = x3
Definicao
[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 146-147-149]
Numeros crıticos e Pontos crıticos
Um numero x = c pertencente ao domınio da funcao f e chamado de numero crıtico
se f ′(c) = 0 ou se f ′(c) nao existe. O ponto correspondente P (c, f(c)) no grafico de f(x)
e chamado de ponto crıtico.
Exemplos de pontos crıticos nos quais a derivada e nula, isto e, f ′(c) = 0
Figura 1.20: pontos crıticos (f´(x)=0)
OBSERVACAO:
Nos tres casos, a reta tangente ao grafico da funcao no ponto crıtico P (c, f(c)) e
horizontal (f ′(c) = 0).
Exemplos de pontos crıticos nos quais a derivada nao existe ( 6 ∃ f ′(c)).
58 [Matematica Aplicada]
Figura 1.21: pontos crıticos (6 ∃ f ′(c))
Nos casos (b) e (c), a reta tangente e vertical no ponto (c, f(c)) pois f ′(c) nao existe.
No caso (a) nao e possıvel tracar uma unica tangente passando pelo “vertice” situado
em P (c, f(c)).
1.10.7 Teste da derivada primeira para determinacao de extremos rela-
tivos
[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 146-147-149]
Seja x = c um numero crıtico de f(x), isto e, f ′(c) = 0 ou f ′(c) nao existe. Neste caso,
o ponto crıtico P (c, f(c)) e:
1. um ponto de maximo relativo se f ′(x) > 0 a esquerda de c e f ′(x) < 0 a direita de
c.
Figura 1.22: Maximo relativo
2. um ponto de mınimo relativo se f ′(x) < 0 a esquerda de c e f ′(x) > 0 a direita de c.
Figura 1.23: Mınimo relativo
[Prof. Hiroshi Ouchi] 59
3. um ponto ordinario se f ′(x) > 0 ou f ′(x) < 0 em ambos os lados de c.
Figura 1.24: Ponto ordinario (f ′(x) > 0)
Figura 1.25: Ponto ordinario (f ′(x) < 0)
Roteiro pratico para tracar um grafico da funcao y = f(x), usando a derivada primeira
de f :
1. Assinalam-se os numeros crıticos de f sobre uma reta (eixo x), dividindo o domınio
de f em intervalos. Calcula-se f ′(x) para os numeros de teste p, como o objetivo de
determinar os intervalos em que f e crescente (f ′(p) > 0) e em que f e decrescente
(f ′(p) < 0).
2. Para cada numero crıtico c, calcula-se o valor f(c) e determina-se o ponto crıtico
P (c, f(c)) em um sistema de coordenadas cartesianas.
3. Traca-se o grafico de f com uma curva suave ligando os pontos destacados, de modo
que a curva seja crescente nos intervalos em que f ′(x) > 0 e decrescente nos intervalos
em que f ′(x) < 0.
Estude a funcao e trace o esboco do respectivo grafico.
f(x) = x3 − 3x + 1
Temos
f ′(x) = 3x2 − 3
f ′(x) = 0 =⇒ 3x2 − 3 = 0
Numeros crıticos: ±1
60 [Matematica Aplicada]
Sejam -2, 0 e 2 os numeros de teste.
f ′(−2) = 3(−2)2 − 3 = 9 > 0
f ′(0) = 3(0)2 − 3 = 3 < 0
f ′(2) = 3(2)2 − 3 = 9 > 0
Figura 1.26: Estudo da funcao
f e crescente em x < −1 ou x > 1
f e decrescente em −1 < x < 1
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3 (maximo local)
A(−1, 3): ponto de maximo local
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = 2− 3 = −1 (mınimo local)
B(1,−1): ponto de mınimo local
f(0) = (0)3 − 3(0) + 1 = 1 = 1
C(0, 1): ponto de intersecao com o eixo y
Figura 1.27: Esboco do grafico
Conclusao sobre o teste da derivada primeira
O sinal da derivada primeira f ′(x) pode ser usado para verificar se a funcao f e
crescente ou decrescente em um intervalo e se o ponto P (c, f(c)) e um ponto de maximo
relativo, mınimo relativo ou ponto ordinario.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 61
Exercıcios Propostos
1. Determine os pontos crıticos da funcao dada e classifique cada ponto crıtico como
maximo relativo, mınimo relativo ou ponto ordinario.
(a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(b) g(x) = x3 + x2 − 5x− 5
2. Determine o ponto A de maximo relativo e o ponto B de mınimo relativo da funcao
f(x) = x3 − 3x2 + 5. A seguir trace um esboco do grafico da funcao f .
3. Seja a funcao f(x) = x3−6x2+9x. Utilizando o teste da derivada primeira, determine
o ponto A de maximo local, o ponto B de mınimo local e trace o esboco do grafico
de f(x).
4. Determine o valor de m e p de modo que a funcao f(x) = x3 + mx2 + px + 3 tenha
extremos relativos em x = 1 e x = 3.
Respostas
1. (a) A(0, 2) ponto de mınimo relativo ou local
B(1, 3) ponto ordinario
(b) A(−53 , 40
27) ponto de maximo relativo
B(1,−8) ponto de mınimo relativo
2. A(0, 5) ponto de maximo relativo
B(2, 1) ponto de mınimo relativo
3. A(1, 4) ponto de maximo local
B(3, 0) ponto de mınimo local
4. m = −6 e p = 9
62 [Matematica Aplicada]
1.10.8 Concavidade
O conceito de concavidade tem muita utilidade na descricao do grafico de uma funcao f .
Seja f um funcao diferenciavel em x = c.
1. O grafico de uma funcao f tem concavidade voltada para cima em um ponto P (c, f(c)),
se ∃ f ′(c) e se existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que, ∀x, x 6= c em I, o
ponto M(x, f(x)) sobre o grafico esta acima da reta tangente.
Figura 1.28: Concavidade voltada para cima
2. O grafico de uma funcao f tem concavidade voltada para baixo em um ponto
P (c, f(c)), se ∃ f ′(c) e se existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que ∀x, x 6= c
em I, o ponto M(x, f(x)) sobre o grafico esta abaixo da reta tangente.
Figura 1.29: Concavidade voltada para baixo
Definicao
Se a funcao f(x) e derivavel no intervalo aberto I, entao o grafico de f e:
1. concavo para cima em I, se f ′(x) e crescente em I;
2. concavo para baixo em I, se f ′(x) e decrescente em I.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 63
1.10.9 Teste da concavidade
Se a derivada segunda f ′′(x) existe em um intervalo aberto I, entao o grafico de f e:
1. concavo para cima em I, se f ′′(x) > 0 em I;
2. concavo para baixo em I, se f ′′(x) < 0 em I.
1.10.10 Ponto de inflexao
Um ponto P (c, f(c)) e um ponto de inflexao se a derivada segunda muda de sinal em x = c
e neste caso, existe um intervalo aberto ]a, b[, contendo c, tal que o grafico de f e concavo
para baixo em ]a, c[ e concavo para cima em ]c, b[,ou vice-versa.
Figura 1.30: Ponto de inflexao
OBSERVACAO:
Se f ′′(c) = 0 ou 6 ∃f ′′(c) e f ′′(x) muda de sinal em x = c, entao f tem um ponto de
inflexao em P (c, f(c)).
1.10.11 O teste da derivada segunda
O teste da derivada segunda pode ser utilizado para classificar os pontos crıticos de uma
funcao, como maximos ou mınimos relativos.
Seja f uma funcao diferenciavel em um intervalo aberto I e seja c um ponto em I, tal
que f ′(c) = 0.
1. Se f ′′(c) < 0, entao f tem um maximo relativo em x = c.
2. Se f ′′(c) > 0, entao f tem um mınimo relativo em x = c.
Se f ′(c) = 0, entao a tangente ao grafico em P (c, f(c)) e horizontal. Se f ′′(c) < 0,
entao o grafico e concavo para baixo em c e neste caso existe um intervalo tal que o grafico
esta abaixo das tangentes. Assim, f(c) e um maximo local para f .
64 [Matematica Aplicada]
Figura 1.31: Teste da derivada segunda
Se f ′′(c) > 0, entao o grafico de f e concavo para cima em c, e neste caso, existe um
intervalo tal que o grafico esta acima das tangentes. Assim f(c) e um mınimo relativo.
Figura 1.32: Teste da derivada segunda
OBSERVACOES sobre o teste da derivada segunda:
O teste da derivada segunda apresenta algumas limitacoes:
1. Nao se deve aplicar o teste quando o calculo da derivada segunda e muito trabalhoso.
2. O teste nao pode ser aplicado nos pontos crıticos em que a derivada primeira nao
existe
3. O teste nao pode ser aplicado quando f ′(c) = f ′′(c) = 0, como nos exemplos a seguir:
(a) f(x) = x4
f ′(x) = 4x3
f ′′(x) = 12x2
f ′(0) = f ′′(0) = 0
[Prof. Hiroshi Ouchi] 65
Figura 1.33: (0, 0) ponto de mınimo relativo
(b) f(x) = −x4
f ′(x) = −4x3
f ′′(x) = −12x2
f ′(0) = f ′′(0) = 0
Figura 1.34: (0, 0) ponto de maximo local
(c) f(x) = x3
f ′(x) = 3x2
f ′′(x) = 6x
f ′(0) = f ′′(0) = 0
66 [Matematica Aplicada]
Figura 1.35: (0,0) ponto ordinario
Exercıcio
Seja a funcao f(x) = x3 − 3x + 1.
(a) Determine o ponto A de maximo local e o ponto B de mınimo local utilizando, o teste
da derivada segunda.
(b) Estude a concavidade da funcao.
(c) Determine o ponto de inflexao.
(d) Trace um esboco dos graficos de f(x), f ′(x) e f ′′(x).
Solucao
f ′(x) = 3x2 − 3
f ′′(x) = 6x
f ′(x) = 0 =⇒ 3x2 − 3 = 0
Numeros crıticos: −1 e 1
TDS:
f ′′(−1) = 6(−1) = −6 < 0
x = −1 e ponto de maximo local.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 1 = −1 + 3 + 1 = 3 (maximo local)
A(−1, 3) ponto de maximo local
f ′′(1) = 6(1) = 6 > 0
x = 1 e ponto de mınimo local.
f(1) = (1)3 − 3(1) + 1 = −1 (mınimo local)
B(1,−1) ponto de mınimo local
[Prof. Hiroshi Ouchi] 67
f ′′(x) = 6x
f ′′(x) = 0 =⇒ 6x = 0 =⇒ x = 0
Figura 1.36: Estudo da concavidade
Esquema
x 0
f ′′(x) − 0 +
concavidade ∩ ∪
A funcao f tem a concavidade voltado para baixo para x < 0 e a concavidade voltada
para cima para x > 0.
x = 0 e abscissa do ponto de inflexao.
f(0) = 03 − 3(0) + 1 = 1
C(0, 1) ponto de inflexao.
Figura 1.37: Esboco dos graficos
OBSERVACOES:
1.
f ′ e crescente para x > 0
o grafico de f e concavo para cima
f ′′(x) > 0 para x > 0
68 [Matematica Aplicada]
2.
f ′ e decrescente para x < 0
o grafico de f e concavo para baixo
f ′′(x) < 0 para x < 0
Estude a funcao f(x) = 3√
x.
Solucao
Temos:
f ′(x) =1
3 3√
x2; 6 ∃ f ′(0) e f ′(x) > 0, ∀x 6= 0
A funcao f e estritamente crescente (monotona).
O ponto crıtico (0, 0) e um ponto ordinario.
f ′′(x) = − 2
9 3√
x5; 6 ∃ f ′′(0)
Figura 1.38: Estudo da concavidade
Para x < 0, o grafico de f tem a concavidade para cima.
Para x > 0, o grafico de f tem a concavidade para baixo.
x = 0 e abscissa de ponto de inflexao apesar de nao existir f ′′(0).
(0, 0) e ponto de inflexao.
Figura 1.39: Esboco do grafico
[Prof. Hiroshi Ouchi] 69
IMPORTANTE:
O grafico de uma funcao f pode ter um ponto de inflexao em x = c e f ′′(c) nao existir.
Exercıcios Propostos
1. Determine atraves do TDS (teste da derivada segunda) o ponto de maximo relativo
e o ponto de mınimo relativo das seguintes funcoes:
(a) f(x) = −x3 + 2x2 − x− 1
(b) f(x) = x3 − 9x2 + 15x + 7
2. Faca um estudo completo da funcao f(x) =x3
3− 2x2 + 3x + 5.
3. Faca um estudo completo da funcao f(x) = x +1x
.
Respostas
1. (a) A(13 ,−31
27) ponto de mınimo relativo
B(1,−1) ponto de maximo relativo
(b) A(1, 14) ponto de maximo relativo
B(5,−18) ponto de mınimo relativo
2. f e crescente para x < 1 ou x > 3
f e decrescente para 1 < x < 3
A(1, 193 ) ponto de maximo local
B(3, 5) ponto de mınimo local
C(2, 173 ) ponto de inflexao
O grafico e concavo para baixo em x < 2
O grafico e concavo para cima em x > 2
70 [Matematica Aplicada]
3. f e crescente em x < −1 ou x > 1
f e decrescente para −1 < x < 0 ou 0 < x < 1
A(−1,−2) ponto de maximo local
B(1, 2) ponto de mınimo local
Caso interessante: o maximo local f(−1) = −2 e menor que o mınimo local
f(1) = 2.
O grafico de f e concavo para baixo em x < 0 e concavo para cima em x > 0
1.11 Estudo das assıntotas
[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 167]
Seja o grafico de f(x),
Figura 1.40: estudo das assıntotas
O sımbolo ∞ (infinito) nao representa um numero e e usado para representar uma
grandeza que aumenta (ou diminui) indefinidamente.
Em inumeros casos o uso do sımbolo ∞ em um limite tem uma importancia muito
relevante.
Seja a funcao y = f(x) e os numeros reais L e M .
[Prof. Hiroshi Ouchi] 71
1. limx→+∞
f(x) = L
2. limx→−∞
f(x) = M
Interpretacao geometrica
1. A curva de f(x) se aproxima da reta horizontal y = L quando x aumenta indefinida-
mente.
2. A curva de f(x) se aproxima da reta horizontal y = M quando x diminui indefinida-
mente.
Seja a funcao y = f(x) e o numero real c.
1. limx→c−
f(x) = −∞
2. limx→c+
f(x) = +∞
Interpretacao geometrica
1. f(x) diminui indefinidamente quando x tende a c pela esquerda.
2. f(x) aumenta indefinidamente quando x tende a c pela direita.
1.11.1 Assıntota horizontal
A reta y = b e uma assıntota horizontal da funcao f(x), se:
limx→−∞
f(x) = b ou limx→+∞
= b
A reta y = b e uma reta horizontal, isto e, uma reta paralela ao eixo x.
1.11.2 Assıntota vertical
A reta x = c e uma assıntota vertical da funcao f(x), se:
limx→c−
f(x) = +∞ (ou −∞) ou limx→c+
= +∞ (ou −∞)
A funcao f e descontınua em x = c.
A reta x = c e vertical, isto e, perpendicular ao eixo x.
NOTA: A funcao f(x) =p(x)q(x)
possui uma assıntota vertical x = c sempre que p(x) 6= 0
e q(x) = 0
72 [Matematica Aplicada]
Exemplos:
1. Seja o grafico de f(x)
limx→±∞
f(x) = 1
y = 1 e assıntota horizontal
limx→2−
f(x) = −∞
limx→2+
f(x) = +∞
x = 2 e assıntota vertical
2. Seja o grafico de f(x)
limx→±∞
f(x) = 1
y = 1 e assıntota horizontal
limx→0−
f(x) = +∞
limx→0+
f(x) = −∞
x = 0 (eixo y) e assıntota vertical
[Prof. Hiroshi Ouchi] 73
3. Seja o grafico de f(x)
limx→+∞
f(x) = 1
limx→−∞
f(x) = −1
y = 1 e y = −1 sao assıntotas horizontais
4. Seja o grafico de f(x)
limx→0−
f(x) = +∞
limx→0+
f(x) = −∞
A reta x = 0 (eixo y) e uma assıntota vertical
5. Seja o grafico de f(x)
74 [Matematica Aplicada]
limx→−∞
f(x) = 1
limx→+∞
f(x) = 1
y = 1 e assıntota horizontal
limx→−2−
f(x) = +∞
limx→−2+
f(x) = −∞
x = −2 e assıntota vertical
limx→2−
f(x) = −∞
limx→2+
f(x) = +∞
x = 2 e assıntota vertical
NOTA: O grafico de f e descontınuo em x = −2 e em x = 2.
Faca um estudo da funcao f(x) =1x
.
Solucao
Temos:
f ′(x) = − 1x2
; nao existe f ′(0)
Como f ′(x) < 0, ∀x 6= 0, concluimos que f e sempre decrescente.
Temos:
f ′′(x) =2x3
; nao existe f ′′(0)
x 0
f ′′(x) − 6 ∃ +
concavidade ∩ ∪
O grafico de f e concavo para baixo em x < 0 e concavo para cima em x > 0.
NOTA: x = 0 nao e abscissa de ponto de inflexao, pois x = 0 nao pertence ao domınio
da funcao, a funcao e descontınua em x = 0.
limx→±∞
f(x) = 0
y = 0 (eixo x) e assıntota horizontal
limx→0+
f(x) = +∞ e limx→0−
f(x) = −∞
x = 0 (eixo y) e assıntota vertical
[Prof. Hiroshi Ouchi] 75
Determine as assıntotas de f(x) =3x
x− 1e a seguir trace um esboco do grafico de f(x)
Solucao
limx→±∞
3x
x− 1= lim
x→±∞
31− 1
x
= 3 ou limx→±∞
3x
x− 1= lim
x→±∞
3x
x= lim
x→±∞3 = 3
y = 3 e assıntota horizontal
Temos que f e descontınua em x = 1
limx→1−
f(x) = limx→1−
3x
x− 1= −∞
limx→1+
f(x) = limx→1+
3x
x− 1= +∞
x = 1 e assıntota vertical
f ′(x) = − 3(x− 1)2
; 6 ∃f ′(1) ; f ′(x) < 0 e nao existe x tal que f ′(x) = 0
x = 1 e numero crıtico e a funcao f e sempre decrescente
f ′′(x) =6
(x− 1)3; 6 ∃f ′′(1)
f ′′(x) < 0 para x < 1 (concavidade para baixo): ∩
f ′′(x) > 0 para x > 1 (concavidade para cima): ∪
x 1
f ′(x) − 6 ∃ −
f(x) %% 99
f ′′(x) − 6 ∃ +
concavidade ∩ ∪
NOTA: Nao ha extremo (f ′(x) < 0) e nao existe ponto de inflexao pois 1 nao pertence
ao domınio de f .
76 [Matematica Aplicada]
Exercıcios Propostos
1. Determine as assıntotas e trace um esboco do grafico de f(x) = 2 +1x
.
2. Seja a funcao f(x) =
1 +
1x
se x > 0
−1 +1x
se x < 0
Determine as assıntotas e a seguir, trace um esboco do grafico de f .
3. Seja a funcao f(x) = (x−2)−3. Determine as assıntotas e trace um esboco do grafico
de f .
Respostas
1. y = 2 e assıntota horizontal
x = 0 (eixo y) e assıntota vertical
2. y = 1 e y = −1 sao assıntotas horizontais
x = 0 (eixo y) e assintota vertical
[Prof. Hiroshi Ouchi] 77
3. y = 0 (eixo x) e assıntota horizontal
x = 2 e assıntota vertical
1.11.3 Maximos e mınimos absolutos de uma funcao
Seja f uma funcao contınua em um intervalo I, que contem o numero real c.
1. f(c) e o maximo absoluto de f em I, se f(c) ≥ f(x), para todo x ∈ I;
2. f(c) e o mınimo absoluto de f em I, se f(c) ≤ f(x), para todo x ∈ I;
OBSERVACOES:
1. Os maximos e mınimos absolutos recebem a denominacao de extremos absolutos,
que nem sempre coincidem com os extremos relativos.
2. Cada um dos extremos absolutos de uma funcao f(x) contınua no intervalo fechado
[a, b] pode ocorrer em um dos extremos a ou b ou em um ponto c tal que a < c < b.
1.11.4 Teorema do valor extremo
Se uma funcao f(x) e contınua em um intervalo fechado [a, b], isto e, a ≤ x ≤ b, entao f
toma seu valor maximo absoluto e seu valor mınimo absoluto, pelo menos uma vez nesse
intervalo [a, b].
78 [Matematica Aplicada]
Diretrizes para determinar os extremos absolutos de uma funcao contınua f(x) no
intervalo [a, b]
(a) Determinar todos os numeros criticos de f
(b) Calcular f(c) para cada numero crıtico c obtido em (a)
(c) Calcular os valores extremos f(a) e f(b)
(d) Os valores maximo e mınimo absoluto de f(x) em [a, b] sao o maior e o menor dos
valores da funcao obtidos em (b) e (c)
Exemplo:
Determine o maximo absoluto e o mınimo absoluto de f(x) = x3 − 12x no intervalo
[−3, 5].
Solucao
f ′(x) = 3x2 − 12
f ′(x) = 0 =⇒ 3x2 − 12 = 0
Raızes: x = −2 e x = 2
(a) Os numeros crıticos sao −2 e 2
(b)
f(−2) = 16
f(2) = −16mınimo absoluto
(c)
f(−3) = 9
f(5) = 65maximo absoluto
O valor maximo absoluto de f(x) em [−3, 5] e 65 e ocorre em x = 5 (extremo do
intervalo).
O valor mınimo absoluto de f(x) em [−3, 5] e −16 e ocorre em x = 2 (interior do
intervalo).
Esquema
Valor de x Classificacao de x Valor de f(x)
−2 numero crıtico de f f(−2) = 16
2 numero crıtico de f f(2) = −16
−3 extremo de [−3, 5] f(−3) = 9
5 extremo de [−3, 5] f(5) = 65
Esboco do grafico de f(x) = x2 − 12x, com escalas diferentes para os eixos x e y, afim
de mostrar melhor visualizacao.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 79
Figura 1.41: esboco do grafico
Exercıcios Propostos
1. Determine os extremos absolutos de f(x) = x3 + x2 − x + 1 no intervalo [−2, 12 ].
2. Determine o maximo absoluto e o mınimo absoluto da funcao f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 7
no intervalo [−3, 0].
3. Determine o maximo absoluto e o mınimo absoluto da funcao f(x) =13
x3 − 9x + 2
para 0 ≤ x ≤ 2.
Respostas
1. O maximo absoluto e 2 e ocorre em x = −1
O mınimo absoluto e −1 e ocorre em x = −2
2. O maximo absoluto e f(−2) = 13 e o mınimo absoluto e f(0) = −7.
Cuidado: 1 6 ∈[−3, 0]
3. O maximo absoluto e f(0) = 2 e o mınimo absoluto e f(2) = −403
1.12 Otimizacao
[HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 182-192]
[LEITHOLD, 1998: 167-168]
[MORETTIN; et al, 2001: 197-198]
[SWOKOWSKI, 1983: 178-179]
Na maioria dos problemas de otimizacao, o objetivo e encontrar o maximo absoluto
ou o mınimo absoluto de uma funcao dentro de um certo intervalo de interesse.
80 [Matematica Aplicada]
Exemplo 1:
Deve-se contruir uma caixa com base retangular utilizando-se um retangulo de cartolina
com 16 cm de largura e 21 cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada quina.
Determine as dimensoes desse quadrado para que a caixa tenha volume maximo possıvel.
A seguir determine o volume maximo dessa caixa.
Figura 1.42: otimizacao - exemplo 1
Solucao
A quantidade a ser maximizada e o volume V da caixa.
V (x) = x(16− 2x)(21− 2x)
V (x) = 4x3 − 74x2 + 336x
Como 0 ≤ 2x ≤ 16, o domınio de x e 0 ≤ x ≤ 8
V e contınua no intervalo [0, 8]
V ′(x) = 12x2 − 148x + 336
V ′(x) = 0 =⇒ 12x2 − 148x + 336 = 0
Temos, 3x2 − 37x + 84 = 0 ; raızes: 3 e283
Como x =283
nao pertence ao domınio de V (x), o unico numero crıtico no domınio e
3. Aplicando o teorema do valor extremo, temos:
V (3) = 450 valor maximo absoluto
V (0) = V (8) = 0
Deve-se cortar um quadrado de 3 cm de lado e o volume maximo da caixa e 450 cm3.
Exemplo 2:
Uma caixa fechada com uma base quadrada deve apresentar um volume de 2000 cm3.
O material para a tampa e o fundo da caixa custa $3 por cm2, e o material para os lados
custa $1,50 por cm2.
(a) Se x cm for o comprimento de um lado do quadrado da base, expresse o custo do
[Prof. Hiroshi Ouchi] 81
material como funcao de x.
(b) Determine o domınio da funcao resultante.
(c) Ache as dimensoes da caixa para as quais o custo do material seja mınimo.
Figura 1.43: otimizacao - exemplo 2
Solucao
V = x2y
Assim,
x2y = 2000
y =2000x2
C = 3(x2) + 3(x2) + (1, 5)(4xy)
C = 6x2 +32· 4xy
C(x) = 6x2 + 6x · 2000x2
C(x) = 6x2 +12000
x
Observe que x nao pode ser nulo, pois aparece no denominador de 12000x . Entretanto
x pode ser qualquer numero positivo. Entao, o domınio de C(x) e o intervalo ]0,∞[.
C ′(x) = 12x− 12000x2
; nao existe C ′(x) quando x = 0 e 0 6 ∈ D(C(x))
C ′(x) = 0 =⇒ 12x3 − 12000x2
= 0
x3 = 1000
x = 10
C ′′(x) = 12 +24000
x3
Aplicando o teste da derivada segunda, vem:
C ′′(10) = 12 +240001000
82 [Matematica Aplicada]
C ′′(10) = 36 > 0 (mınimo)
Como C ′′(10) > 0, podemos concluir que x = 10 minimiza C(x). Temos, y =2000100
= 20
Assim, o custo total do material sera mınimo quando o lado do quadrado da base e 10
cm e a profundidade e 20 cm.
Exemplo 3:
Durante varias semanas, o departamento de transito de certa cidade vem registrando
a velocidade dos veıculos qua passam em certo quarteirao.
Os resultados mostram que entre 13 h e 18 h de um dia da semana, a velocidade nesse
quarteirao e dada aproximadamente por v(t) = t3 − (10, 5)t2 + 30t + 20 quilometros por
hora, onde t e o numero de horas apos o meio-dia (12 h).
(a) Determine o instante entre 13 h e 18 h em que o transito e mais rapido.
(b) Determine o instante entre 13 h e 18 h em que o transito e mais lento.
Solucao
O objetivo e calcular o maximo absoluto e o mınimo absoluto da funcao v(t) no inter-
valo 1 ≤ t ≤ 6, isto e, [1, 6]
v′(t) = 3t2 − 21t + 30
v′(t) = 0 =⇒ 3t2 − 21t + 30 = 0
t2 − 7t + 10 = 0 ; raızes: t = 2 e t = 5
Numeros crıticos: 2 e 5
Aplicando o teorema do valor extremo, temos:
v(2) = 46 maximo absoluto
v(5) = 32, 5 mınimo absoluto
v(1) = 40, 5
v(6) = 38
(a) O transito e mais rapido as 14 h (t = 2h) e os carros passam no quarteirao com
velocidade media de 46 Km/h.
(b) O transito e mais lento as 17 h (t = 5h) e os carros passam no quarteirao com
velocidade media de 32,5 Km/h.
Outro processo
v′(t) = 3t2 − 21t + 30
v′′(t) = 6t− 21
[Prof. Hiroshi Ouchi] 83
numeros crıticos: 2 e 5
v′′(2) = −9 < 0 maximo
v′′(5) = 9 > 0 mınimo
Figura 1.44: otimizacao - exemplo 3
Exemplo 4:
Uma lata de zinco de 16π cm3 de volume deve ter a forma de um cilındro circular reto.
Determine o raio e a altura de modo que o material usado na sua fabricacao seja mınimo.
Figura 1.45: otimizacao - exemplo 4
Solucao
Seja,
r cm o raio da base
h cm a altura
84 [Matematica Aplicada]
S cm2 a area total da superfıcie do cilindro
A area lateral e 2πrh cm2, a area da tampa e da base sao πr2 cm2
V = πr2h
16π = πr2h
h =16r2
S = 2πrh + 2πr2
S(r) = 2πr16r2
+ 2πr2
S(r) =32π
r+ 2πr2
O domınio de S e ]0,+∞[ e S e contınua em seu domınio.
S′(r) = −32π
r2+ 4πr
S′(r) nao existe para r = 0, mas zero nao esta no domınio de S.
S′(r) = 0−32π + 4πr3
r2= 0
4πr3 = 32π
r3 = 8
r = 2
S′′(r) =64π
r3+ 4π
Aplicando o teste da derivada segunda, vem:
S′′(2) = 12π > 0 (mınimo)
Quando r = 2, h =1622
= 4
r = 2 minimiza S(r).
O mınimo de material usado ira ocorrer quando r = 2 cm e h = 4 cm.
Exemplo 5:
Uma empresa de turismo aluga onibus com capacidade para 50 passageiros, para trans-
portar grupos de 35 ou mais pessoas. Se o grupo contiver exatamente 35 pessoas, cada
uma paga R$60,00. Para grupos com mais turistas, a passagem de todos e reduzida R$1,00
para cada pessoa alem de 35. Determine o numero de pessoas para o qual a receita da
empresa sera maxima.
Solucao
Seja R a receita da empresa.
R = (numero de pessoas no grupo) · (preco por pessoa)
x: numero de pessoas que excede 35
[Prof. Hiroshi Ouchi] 85
35 + x: numero de pessoas no grupo
60− x: preco por pessoa
R(x) = (35 + x) · (60− x)
R(x) = −x2 + 25x + 2100
Como x representa o numero de pessoas que excede 35 e como o total de passageiros
e 50, entao x deve estar no intervalo [0, 15], isto e, 0 ≤ x ≤ 15.
Aplica-se o teorema do valor extremo no intervalo [0, 15]
R′(x) = −2x + 25
R′(x) = 0 =⇒ 0 = −2x + 25
O numero crıtico e252
= 12, 5
R(12, 5) = 2256, 25 (maximo absoluto)
R(0) = 2100
R(15) = 2250
O maximo absoluto ocorre em x = 12, 5
Figura 1.46: otimizacao - exemplo 5
Como x representa numero de pessoas, entao x deve ser um numero inteiro e 12, 5 nao
pode ser a solucao pratica do problema.
Observe que R(x) e crescente para 0 < x < 12, 5 e decrescente para x > 12, 5. Os
valores inteiros que solucionam o problema na pratica sao x = 12 ou x = 13, pois R(12) =
R(13) = 2256.
Conclusao:
A receita da empresa sera maxima quando o grupo for formado por 12 ou 13 pessoas
alem de 35, isto e, o grupo deve ser constituıdo por 47 ou 48 pessoas e a receita maxima
correspondente sera de R$2.256,00.
86 [Matematica Aplicada]
Exemplo 6:
O custo medio de fabricacao de x unidades de um produto e Cm =200x
+ 20 + x e a
funcao receita e R(x) = 200x− 2x2.
(a) Obtenha a funcao lucro.
(b) Obtenha o numero x de unidades que devem ser produzidas e vendidas para maximizar
o lucro.
(c) Obtenha o lucro maximo.
Solucao
Cm =C
xC = x · Cm
C(x) = x
(200x
+ 20 + x
)C(x) = 200 + 20x + x2
(a) Seja P (x) o lucro
P (x) = R(x)− C(x)
P (x) = 200x− 2x2 − (200 + 20x + x2)
P (x) = −3x2 + 180x− 200
(b) P ′(x) = −6x + 180
0 = −6x + 180
6x = 180
x = 30
P ′′(x) = −6 < 0 (maximo)
x = 30 maximiza P(x)
Devem ser produzidas 30 unidades para se obter lucro maximo.
(c) P (30) = −3(30)2 + 180(30)− 200 = 2500
O lucro maximo e R$2.500,00.
Exemplo 7:
O departamento de estradas de rodagem esta planejando construir uma area de lazer
para motoristas, a margem de uma rodovia bem movimentada. O terreno deve ser re-
tangular com uma area de 5000 m2 e deve ser cercado nos tres lados que nao dao para a
rodovia. Determine o menor comprimento da cerca necessaria para a obra.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 87
Solucao
Figura 1.47: otimizacao - exemplo 7
xy = 5000
y =5000
x
f = x + 2y
f(x) = x +10000
x
f ′(x) = 1− 10000x2
f ′(x) = 0 =⇒ x2 − 10000x2
= 0
x2 = 10000
x = 100
f ′′(x) =20000
x3
f ′′(100) =20000(100)3
> 0 (mınimo)
x = 100 minimiza f(x)
y =5000100
= 50
f = x + 2y
f = 100 + 2(50) = 200
O menor comprimento e 200 m.
Exercıcios Propostos
1. Obtenha dois numeros positivos cuja soma e 16 e cujo produto e o maximo possıvel.
2. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto e dado por
C(x) = x2 − 80x + 3000 em reais. Nessas condicoes, calcule:
88 [Matematica Aplicada]
(a) O numero de unidades produzidas para que o custo seja mınimo.
(b) O valor mınimo do custo
3. Deseja-se construir uma area de lazer de forma retangular de 1.600 m2 de area.
Determine as dimensoes para que o perımetro seja mınimo.
4. O custo total de fabricacao de x unidades de um produto e dado por C(x) = 3x2 + 5x + 192
em reais. Quantas unidades deverao ser fabricadas para que o custo medio seja o
menor possıvel ?
5. Uma caixa, sem tampa, de base quadrada deve ter um volume de 32 cm3. Determine
as dimensoes da caixa que exijam o mınimo de material para a sua confeccao.
6. Determine o numero cuja diferenca entre ele e o seu quadrado e o maximo possıvel.
7. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a 125π m3. De-
termine a raio e a profundidade (altura), de modo que a piscina possa ser construıda
com menos quantidade de material possıvel.
8. Numa empresa que produziu x unidades mensais, verificou-se que a receita total de
producao e dada por R(x) = 6000x− x2 e o custo total de producao e
C(x) = x2− 2000x. Nessas condicoes, verifique qual deve ser a producao x para que
o lucro seja maximo.
9. Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aerea cobra R$200,00
por pessoa quando todos o lugares sao ocupados. Se existirem lugares nao-ocupados,
ao preco de cada passagem sera acrescida a importancia de R$4,00 por cada lugar
nao-ocupado. Quantos devem ser os lugares nao-ocupados para que a companhia
obtenha faturamento maximo ?
10. Uma pessoa deseja construir uma piscina de forma circular com volume de 64π m3.
Sabendo que o preco por metro quadrado de azulejo e de R$100,00, calcule o custo
mınimo de azulejo para a construcao da piscina.
11. Quais devem ser as dimensoes de uma lata cilındrica de volume fixo V , de forma que
a quantidade de material a ser utilizado para a sua fabricacao seja a menor possıvel?
12. Uma fabrica de componentes eletronicos tem um custo para produzir x componentes
dado por C(x) =x3
3000− x2
2+ 260x + 200, com C dado em reais. Qual e o custo
marginal que essa fabrica tem para produzir mais um componente quando x = 400?
13. A demanda de um produto e D(p) = −200p + 12000 unidades por mes, quando o
preco e p reais a unidade. Nessas condicoes, determine:
[Prof. Hiroshi Ouchi] 89
(a) A funcao gasto total dos consumidores com o produto em funcao de p.
(b) O preco para o qual o gasto total dos consumidores e maximo.
14. Em um painel retangular de comprimento (60 + x) cm e de largura 80 cm, deseja-se
reservar no canto superior esquerdo um quadrado de lado x cm. Qual o valor de x de
modo que a diferenca entre a area do painel e a do quadrado seja a maior possıvel?
15. Determine o numero positivo cuja soma com seu inverso seja o menor possıvel.
Respostas
1. Os numeros 8 e 8.
2. (a) 40 unidades
(b) R$1.400,00
3. As dimensoes sao 40 m e 40 m.
4. Deverao ser fabricadas 8 unidades.
5. Arestas da base iguais a 4 cm e arestas laterais iguais a 2 cm.
6. O numero e 12 .
7. r = 5 m e h = 5 m
8. 2.000 unidades mensais
9. 25 lugares
10. R$15.072,00
11. A lata de volume fixo e area maxima tem altura igual ao dobro do raio, isto e, h = 2r.
12. R$20,00
13. (a) g(p) = −200p2 + 12000p
(b) O gasto e maximo quando o preco e R$30,00.
14. x = 40 cm
15. O numero e 1.
Exercıcios Diversos
1. Dada a funcao receita R(x) = −2x2 + 10x, obtenha o valor de x que a maximiza.
90 [Matematica Aplicada]
2. Dada a funcao demanda p = 40 − 2x, obtenha o preco que deve ser cobrado para
maximizar a receita.
3. Considere a funcao demanda p = 40− 2x. Determine o preco que deve ser cobrado
para maximizar o lucro, se a funcao custo for C(x) = 40 + 2x.
4. A funcao custo de fabricacao de um produto e C =13
x3 − 2x2 + 10x + 1 e a funcao
demanda do mesmo produto e p = 10 − x. Que preco deve ser cobrado para maxi-
mizar o lucro?
5. O custo total mensal de fabricacao de x unidades de um produto e
C(x) = (0, 1)x2 + 3x + 4000.
(a) Obtenha a funcao custo medio.
(b) Para que valor de x o custo medio e mınimo?
6. Dada a funcao custo C(x) = x3 − 20x2 + 400x:
(a) Obtenha o custo medio e o custo marginal.
(b) Mostre que, no ponto de mınimo do custo medio, a custo medio e igual ao custo
marginal.
7. Um agricultor pretende construir um viveiro de forma retangular utilizando uma tela
de 16m de comprimento. Sabendo que ele vai usar um muro da casa como um dos
lados do viveiro, determine as dimensoes do mesmo para que sua area seja maxima.
8. A demanda de um produto e dada por D(p) = −200p + 12000 unidades por mes,
quando o preco e p reais a unidade. Nessas condicoes, determine:
(a) O gasto total dos consumidores com o produto em funcao de p.
(b) O preco total para o qual o gasto total e maximo.
9. Faca um estudo completo da funcao f(x) =3x
x− 1.
Respostas
1. x = 52
2. p = 20
3. p = 21 reais
4. p = 8 reais
5. (a) Cm(x) = (0, 1)x + 3 + 4000x
[Prof. Hiroshi Ouchi] 91
(b) x = 200
6. (a) Cm = x2 − 20x + 400
C ′(x) = 3x2 − 40x + 400
(b) Cm(10) = C ′(10)
7. 4m e 8m
8. (a) G(p) = −200p2 + 12000p
(b) O gasto e maximo quando o preco e R$30,00.
9. y = 3 e assıntota horizontal e x = 1 e assıntota vertical.
A funcao e decrescente para x 6= 1 e neste nao admite extremos.
O grafico e concavo para baixo em x < 1 e concavo para cima em x > 1.
A funcao nao tem ponto de inflexao.
92 [Matematica Aplicada]
Capıtulo 2
A Integral
2.1 Antiderivacao: A integral indefinida
Denomina-se antiderivacao ou integracao indefinida a operacao que consiste na obtencao
de uma funcao F (x), a partir de sua derivada f(x).
Definicao
Primitiva de uma funcao f : Uma funcao F (x) e uma primitiva, antiderivada ou integral
indefinida de f(x) se F ′(x) = f(x), para qualquer x no domınio de f .
Seja f(x) = 12x2 e F (x) = 4x3
De acordo com a definicao dada, temos:
F ′(x) = 12x2 = f(x)
Logo, F (x) = 4x3 e uma antiderivada, ou integral indefinida, de f(x) = 12x2.
2.2 As antiderivadas de uma funcao f
Se F (x) e G(x) sao antiderivadas de f(x), entao existe uma constante C, tal que
G(x) = F (x) + C.
Seja F (x) = 4x3
G(x) = 4x3 + 2
G(x) = 4x3 − 8
G(x) = 4x3 +√
3
G(x) = 4x3 +35
. . . . . . . . .
Assim,
G(x) = 4x3 + C∫12x2 dx = 4x3 + C
Todas as antiderivadas de f(x) podem ser obtidas adicionando-se constantes a anti-
derivada particular de f(x), isto e, F (x).
93
94 [Matematica Aplicada]
Conclusao: Um funcao f tem n antiderivadas.
2.3 Notacao de integral∫f(x) dx = F (x) + C
O sımbolo∫
e chamado de sinal de integracao e se assemelha a um s alongado que e
a inicial de soma.
A funcao f(x) e o integrando de uma integral.
O sımbolo dx indica que a primitiva deve ser calculada em relacao a variavel x.
A constante C e arbitraria e e conhecida por constante de integracao.
A equacao∫
f(x) dx = F (x) + C deve ser lida como “a integral indefinida de f em
relacao a x e F (x)+C”. Quando encontramos F (x)+C, dizemos que conseguimos calcular
a integral.
Para verificar se a integral foi calculada de maneira correta, devemos determinar a
derivada de F (x) + C. Se a derivada for igual a f(x) o calculo esta correto.
A integracao e a operacao inversa da derivacao. Portanto, muitas regras de integracao
podem ser obtidas atraves das regras de derivacao correspondentes.
OBSERVACAO:∫
f(x) dx = F (x) + C
DEFINICAO:d
dx[F (x) + C] = f(x)
Conclusao: f(x) =∫
f ′(x) dx ou F (x) =∫
F ′(x) dx
2.4 Regras basicas para integrar funcoes simples
1. Regra da constante∫K dx = K
∫dx = Kx + C ; K = cte
2.∫
xn dx =1
n + 1· xn+1 + C ; ∀n 6= −1
Verificacao:d
dx
[1
n + 1· xn+1
]=
1n + 1
· (n + 1) xn+1−1 = xn
3. Regra do logarıtmo∫1x
dx = ln |x|+ C ; para n = −1 e x 6= 0
Demonstracao:
(I) x > 0 =⇒ |x| = xd
dx(ln |x|) =
d
dx· lnx =
1x
[Prof. Hiroshi Ouchi] 95
(II) x < 0 =⇒ |x| = −x e −x > 0d
dx(ln |x|) =
d
dx[ln (−x)] =
−1−x
=1x
Assim,∫
1x
dx = ln |x|+ C
As regras 2 e 3 podem ser resumidas da seguinte forma:∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C , se n 6= −1
ln |x|+ C , se n = −1
4.∫
eKx dx =1K· eKx + C ; para K = cte e K 6= 0
Verificacao:d
dx
(1K· eKx
)=
1K·KeKx = eKx
2.5 Propriedades algebricas da integral indefinida
2.5.1 Regra da multiplicacao por uma constante
Um fator constante K pode ser retirado da integral.∫Kf(x) dx = K
∫f(x) dx ; K = cte
2.5.2 Regra da soma
Uma antiderivada de uma soma e a soma das antiderivadas.∫[f1(x) + f2(x) + . . . + fn(x)] dx =
∫f1(x) dx +
∫f2(x) dx + . . . +
∫fn(x) dx
2.5.3 Regra da diferenca
Uma antiderivada de uma diferenca e a diferenca das antiderivadas.∫[f(x)− g(x)] dx =
∫f(x) dx−
∫g(x) dx
OBSERVACAO:
Quando da aplicacao das propriedades, devemos colocar uma constante na ultima etapa
dos calculos, a fim de obter respostas mais simples.
Exemplos:∫(2x4 + 6x2 + 5x) dx
Temos,∫2x4 dx +
∫6x2 dx +
∫5x dx
2∫
x4 dx + 6∫
x2 dx + 5∫
x dx
25
x5 + 2x3 +52
x2+ C
96 [Matematica Aplicada]
Exercıcios Resolvidos
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
1.∫
x4 dx =x4+1
4 + 1+ C =
15
x5 + C
2.∫
x dx =x1+1
1 + 1+ C =
12
x2 + C
3.∫
dx =∫
x0 dx =x0+1
0 + 1+ C = x + C
4.∫
x−5 dx =x−5+1
−5 + 1+ C =
x−4
−4+ C = − 1
4x4+ C
5.∫
x3/5 dx =x3/5 +1
35 + 1
+ C =x8/5
85
+ C =58
x8/5 + C
6.∫
1√x
dx =∫
1x1/2
dx =∫
x−1/2 dx =x−1/2 +1
−12 + 1
+ C =x1/2
12
+ C = 2√
x + C
7.∫
(3x4 + 6x2 + 4) dx = 3∫
x4 dx + 6∫
x2 dx + 4∫
dx =35
x5 + 2x3 + 4x + C
8.∫
x3 + 5x− 2x
dx =∫ (
x2 + 5− 2x
)dx =
∫x2 dx + 5
∫dx− 2
∫dx
x=
=x3
3+ 5x− 2 ln |x|+ C
Exercıcios Propostos
Calcule as seguintes integrais:
1.∫
5x4 dx
2.∫ (
x2 −√
x)dx
3.∫
(5− 2x5 + 3x11) dx
4.∫ √
x dx
5.∫
27x2
dx
6.∫ (
4x3
+5x2
+ 20)
dx
7.∫ (
3√
x +1
2√
x
)dx
8.∫ (√
x3 + 3√
x2)
dx
9.∫ (
3√
x− 2x3
+1x
)dx
[Prof. Hiroshi Ouchi] 97
10.∫ (√
x− 3 3√
x2 + 6)
dx
Respostas
1. x5 + C
2. 13 x3 + 2
3
√x3 + C
3. 5x− 13 x6 + 1
4 x12 + C
4. 23 x3/2 + C
5. − 27x + C
6. − 2x2 − 5
x + 20x + C
7. 2x3/2 + x1/2 + C = 2√
x3 +√
x + C = 2x√
x +√
x + C
8. 25 x5/2 + 3
5 x5/3 + C = 25
√x5 + 3
53√
x5 + C
9. 2√
x3 + 1x2 + ln |x|+ C
10. 23
√x3 − 9
53√
x5 + 6x + C
2.5.4 Curvas integrais
Os graficos das antiderivadas de uma funcao f sao denominados curvas integrais de f .
Se y = F (x) for uma curva integral de f , as infinitas curvas sao obtidas por translacao
do grafico de F (x), uma vez que tem equacoes da forma G(x) = F (x)+C ou y = F (x)+C.
Em inumeros problemas, devemos encontrar uma funcao cuja derivada satisfaca a
condicoes especıficas, denominadas condicoes de contorno.
Suponha que um ponto material movimenta-se ao longo de uma curva y = f(x) no
plano xy, de tal forma que, em cada ponto (x, y) da curva, a reta tangente tem inclinacao
2x. Determine a equacao da curva sabendo que ela passa pelo ponto P (2, 5).
Solucao
Interpretacao grafica:
Existe uma constante C, tal que G(x) = F (x) + C.
Se F e uma antiderivada de f , entao F ′(x) = f(x). Logo, f(x) e a inclinacao da
tangente ao grafico de F (x). Se G e antiderivada de f , entao G′(x) = f(x). Logo, a
inclinacao de sua tangente e tambem f(x).
98 [Matematica Aplicada]
Seja F (x) = x2, G(x) = x2 + C e f(x) = 2x
y =∫
2x dx = 2∫
x dx
y = 2x2
2+ C
y = x2 + C solucao geral ou solucao completa
Como para x = 2, y = 5, temos:
5 = 22 + C
5 = 4 + C ⇐⇒ C = 1
x2 + 1 solucao particular
Figura 2.1: curvas integrais
Vimos que a diferencial de uma funcao y = f(x) edy
dx= f ′(x) =⇒ dy = f ′(x) dx.
Propriedades
1. Os sımbolos d e∫
, nesta ordem, se anulam, isto e:
d
∫f(x) dx = f(x) dx
2. Os sımbolos∫
e d, nesta ordem, podem ser omitidos, desde que seja acrescentada
uma constante ao resultado, isto e:∫d(F (x)) = F (x) + C
Generalizacao
∫
dx = x + C∫du = u + C
Lembrete:
1) f(x) =∫
f ′(x) dx
2) y =∫
dy
dxdx
3)∫
du = u + C
[Prof. Hiroshi Ouchi] 99
Aplicacoes Praticas
1. Determine a funcao cuja tangente tem inclinacao x2, para qualquer valor de x e cuja
curva passa pelo ponto P (2, 1).
OBSERVACAO:
A inclinacao da tangente a uma curva no ponto (x, f(x)) ou (x, y) e a derivada f ′(x)
oudy
dx.
Solucao
Temos, f ′(x) = x2 oudy
dx= x2
1o processo: 2o processo:
f(x) =∫
f ′(x) dx y =∫
dy
dxdx
f(x) =∫
x2 dx y =∫
x2 dx
f(x) =x3
3+ C y =
x3
3+ C
1 =23
3+ C 1 =
23
3+ C
1 =83
+ C C = 1− 83
= −53
C = 1− 83
= −53
y =x3
3− 5
3
f(x) =x3
3− 5
3
2. O custo fixo de producao de uma empresa e de R$8.000,00. O custo marginal e dado
por C ′(x) = (0, 03)x2 + (0, 12)x + 5. Determine a funcao custo total.
Solucao
Vimos que o custo marginal e a derivada da funcao custo C(x). Para achar C(x),
devemos integrar a funcao custo marginal.
C(x) =∫
C ′(x) dx
C(x) =∫ [
(0, 03)x2 + (0, 12)x + 5]
dx
C(x) = (0, 03)∫
x2 dx + (0, 12)∫
x dx + 5∫
dx
C(x) = (0, 03)x3
3+ (0, 12)
x2
2+ 5x + C
C(x) = (0, 01)x3 + (0, 06)x2 + 5x + C
100 [Matematica Aplicada]
Se a producao for nula (x = 0) o custo fixo e de R$8.000,00. Logo,
C(0) = (0, 01)(0)3 + (0, 06)(0)2 + 5(0) + C
8000 = C
Logo, C = 8000
Conclusao: C(x) = (0, 01)x3 + (0, 06)x2 + 5x + 8000
3. Estima-se que daqui a t meses a populacao de certa cidade estara aumentando a
razao de 2 + 6√
t habitantes por mes. Sabe-se que a populacao atual e de 5.000
habitantes. Diante do exposto, determine a populacao daqui a 1 ano e 4 meses.
Solucao
Seja P (t) a populacao daqui a t meses.
dP
dt= 2 + 6
√t (taxa de variacao da populacao)
P (t) =∫
dP
dtdt
P (t) =∫ (
2 + 6√
t)
dt
P (t) = 2∫
dt + 6∫
t1/2 dt
P (t) = 2t + 4t3/2 + C
Para t = 0 (populacao inicial), P (0) = 5000
P (0) = 2(0) + 4(0)3/2 + C
5000 = C
Logo, P (t) = 2t + 4t3/2 + 5000
Para t = 16 meses, temos:
P (16) = 2(16) + 4(24)3/2 + 5000
P (16) = 32 + 4(26) + 5000
P (16) = 32 + 4(64) + 5000
P (16) = 32 + 256 + 5000
P (16) = 5288
A populacao daqui a 1 ano e 4 meses sera de 5.288 habitantes.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 101
2.5.5 Movimento em linha reta
Quando um corpo esta se movimentando em linha reta e sua posicao e dada por s(t), a
velocidade e dada por v =ds
dte a aceleracao por a =
dv
dt. Se a aceleracao do corpo e dada,
a velocidade e a posicao podem ser determinadas por integracao.
Depois que os freios sao aplicados, um carro perde velocidade a taxa constante de 6
metros por segundo. Se o carro esta com velocidade de 18 metros por segundo, quando o
motorista pisa no freio, que distancia percorre o carro ate parar?
Solucao
Seja s(t) a posicao do carro t segundos depois que o motorista pisa no freio. Se o carro
perde velocidade a razao de 6 m/segundo, isto significa que a a(t) = −6 (sinal negativo
indica que a velocidade esta diminuindo).
a(t) = −6dv
dt= −6
v(t) =∫
dv
dtdt
v(t) = −6∫
dt = −6t + C1
v(t) = −6t + C1
Quando t = 0, v = 18
18 = −6(0) + C1 =⇒ C1 = 18
Logo, v(t) = −6t + 18
ds
dt= −6t + 18
s(t) =∫
ds
dtdt
s(t) =∫
(−6t + 18) dt
s(t) = −3t2 + 18t + C2
Quando t = 0 =⇒ s(t) = 0
0 = −3(0)2 + 18(0) + C2 =⇒ C2 = 0
s(t) = −3t2 + 18t
A velocidade e zero quando o carro para.
v(t) = −6t + 18
0 = −6t + 18
6t = 18 =⇒ t = 3 segundos
102 [Matematica Aplicada]
O carro leva 3 segundos para parar e a distancia percorrida e:
s(3) = −3(9) + 18(3)
s(3) = −27 + 54
s(3) = 27
O carro percorre 27 metros ate parar.
Exercıcios Propostos
1. Determine a equacao da curva cujo coeficiente angular em um ponto qualquer (x, y)
e 5x4, sabendo que a curva passa por P (1, 3).
2. A funcao custo marginal C ′ e dada por C ′(x) = 4x − 8, onde C(x) e o custo total
da producao de x unidades. Se o custo de producao de 5 unidades e R$80,00, ache
a funcao custo total. Determine o custo de producao de 20 unidades.
3. Um fabricante estima que o custo marginal seja (6q +1) reais por unidade quando q
unidades sao fabricadas. O custo total (incluindo custo fixo) para produzir as duas
primeiras unidades e R$214,00. Determine o custo para produzir as primeiras 30
unidades.
4. Apos um perıodo de testes, um fabricante determina que se x unidades de um certo
artigo sao produzidas por semana, o custo marginal e dado por C ′(x) = (0, 3)x−11,
onde C(x) e o custo total de producao de x unidades. Se o preco de venda do artigo
esta fixado em R$19,00 por unidade e o custo fixo e R$200,00 por semana, ache o
lucro total maximo que pode ser obtido por semana.
5. Se a receita marginal e dada por R′(x) = 27− 12x + x2, ache a funcao receita total
e a equacao de demanda.
6. Se o custo marginal medio, C′(x) =
(14− 17
x2
)em reais, calcule:
(a) A funcao custo medio C′(x), sabendo que C(4) = 57.
(b) A funcao custo C(x), sabendo que C(x) =C(x)
x.
7. O custo marginal para a producao e dado por C ′(x) = 18√
x + 4. Se o custo fixo e
de R$800,00, escreva uma funcao para o custo total.
8. A inclinacao da reta tangente a uma curva em qualquer de seus pontos e1
2√
x. Se
P (1, 1) e um ponto da curva, ache sua equacao.
9. Para um certo artigo, a funcao receita marginal e dada por R′(x) = 15− 4x. Ache:
(a) a funcao receita total.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 103
(b) a equacao da demanda.
10. Estima-se que daqui a x semanas, o numero de passageiros de uma nova linha de
metro estara aumentando a razao de (18x2 + 500) passageiros por semana. No
momento, 8000 passageiros estao usando a linha. Quantos a estarao usando daqui a
5 semanas?
Respostas
1. y = x5 + 2
2. C(x) = 2x2 − 8x + 70
C(20) =R$710,00
3. R$2.930,00
4. R$1.300,00 e o lucro maximo, quando estao sendo produzidas 100 unidades por
semana.
5. R(x) = 27x− 6x2 + 13 x3
3p = 81− 18x + x2
6. (a) Cm(x) = 14 x + 17
x + 2074
(b) C(x) = 14 x2 + 207
4 x + 17
7. C(x) = 12x3/2 + 4x + 800
8. y =√
x
9. (a) R(x) = 15x− 2x2
(b) p = 15− 2x
10. 11.250 passageiros
2.5.6 Regra da exponencial∫eKx dx =
1K· eKx + C ; para K constante e K 6= 0
Calcular∫
e−3x dx no caso, K = −3∫e−3x dx =
1−3
· e−3x + C = −13· e−3x + C
104 [Matematica Aplicada]
Calcule∫ (
3e−5t +√
t)
dt
= 3∫
e−5t dt +∫
t1/2 dt = 3 · 1−5
· e−5t +t1/2 +1
12 + 1
+ C =
= −35· e−5t +
t3/2
32
+ C = −35· e−5t +
23· t3/2 + C
2.5.7 Integracao por substituicao
(Mudanca de variavel em integral indefinida)
1. Este metodo consiste em substituir a variavel de integracao x por uma variavel
auxiliar u de modo a obter uma integral imediata (simples), na qual a variavel de
integracao e u.
2. Para escrever dx em termos de u, deve-se calcular o valor dedu
dxe explicitar dx como
sedu
dxfosse um quociente.
3. Deve-se calcular a integral resultante e substituir u em termos de x para dar a solucao
da integral. Assim∫ (
f(u)du
dx
)dx =
∫f(u) du
Exercıcios Resolvidos
1. Calcule∫
(2x + 5)9 dx
Seja u = 2x + 5du
dx= 2 =⇒ du = 2 dx
Assim, dx =du
2∫(2x + 5)9 dx =
∫u9 · 1
2du =
12
∫u9 du =
12· u10
10+ C =
120· u10 + C =
=120· (2x + 5)10 + C
2.∫
5x
x2 − 1dx
u = x2 − 1
du = 2x dx =⇒ x dx =du
2
= 5∫
x dx
x2 − 1= 5
∫ du2
u=
52
∫du
u=
52· ln |u|+ C =
52· ln |x2 + 1|+ C
3.∫
dx
5x + 4u = 5x + 4
du = 5 dx =⇒ dx =du
5∫dx
5x + 4=
∫ du5
u=
15
∫du
u=
15· ln |u|+ C =
15· ln |5x + 4|+ C
[Prof. Hiroshi Ouchi] 105
4.∫ √
3x− 4 dx
u = 3x− 4
du = 3 dx =⇒ dx =du
3∫ √3x− 4 dx =
∫ √u
du
3=
13
∫u1/2 du =
13· u1/2 +1
12 + 1
+ C
=13· u3/2
32
+ C =13· 23
√u3 + C =
29
√(3x− 4)3 + C
5.∫
x2 + 1x + 1
dx
x2 + 1x + 1
= x− 1 +2
x + 1∫x2 + 1x + 1
dx =∫ (
x− 1 +2
x + 1
)dx =
∫x dx−
∫dx + 2
∫dx
x + 1u = x + 1
du = dx∫x dx−
∫dx + 2
∫du
u=
x2
2− x + 2 ln |x + 1|+ C
6.∫
3x + 6√2x2 + 8x + 9
dx
u = 2x2 + 8x + 9
du = (4x + 8) dx
du = 4(x + 2) dx
(x + 2) dx =du
4∫3x + 6√
2x2 + 8x + 9dx = 3
∫x + 2√
2x2 + 8x + 9dx = 3
∫ du4√u
=34
∫u−1/2 du =
=34· u1/2
12
+ C =34· 21√
u + C =32
√2x2 + 8x + 9 + C
7.∫
ln 5x
xdx =
∫ln 5x · dx
x
u = ln (5x)du
dx=
55x
=1x
du =dx
x∫ln 5x · dx
x=
∫u du =
u2
2+ C =
12
(ln 5x)2 + C
106 [Matematica Aplicada]
8.∫
x ex2dx =
∫ex2
x dx
u = x2
du = 2x dx
x dx =12
du∫ex2
x dx =∫
eu 12
du =12
∫eu du =
12
eu + C =12
ex2+ C
Exercıcios Propostos
1. Calcule as seguintes integrais:
(a)∫
x(3x2 + 4)7 dx
(b)∫
6(x2 + 4x + 3)8 (2x + 4) dx
(c)∫
x2 5√
3− 4x3 dx
(d)∫
5x dx
3x2 + 4
(e)∫
5x + 9x
dx
(f)∫
x
x + 1dx
(g)∫
x2 4√
(x3 + 1)3 dx
(h)∫
3u− 3(u2 − 2u + 6)2
du
(i)∫
1x(lnx)2
dx
(j)∫
e1−x dx
Respostas
1. (a) 148 (3x2 + 4)8 + C
(b) 23 (x2 + 4x + 3)9 + C
(c) − 572
5√
(3− 4x3)6 + C
(d) 56 ln |3x2 + 4|+ C
(e) 5x + 9 ln |x|+ C
(f) x− ln |x + 1|+ C
(g) 421
4√
(x3 + 1)7 + C
(h) −32(u2−2u+6)
+ C
(i) − 1ln x + C
(j) −e1−x + C
[Prof. Hiroshi Ouchi] 107
Integrais Especiais
1. Calcule a integral∫
x2√
x + 3 dx
Solucao
Artifıcio
Seja u =√
x + 3
u2 = x + 3
x = u2 − 3
dx = 2u du
Temos:∫x2√
x + 3 dx =
=∫
(u2 − 3)2 · u · 2u du =
= 2∫
(u4 − 6u2 + 9)u2 du =
= 2∫
(u6 − 6u4 + 9u2) du =
= 2∫
u6 du− 12∫
u4 du + 18∫
u2 du =
=27
u7 − 125
u5 +183
u3 + C =27
(√
x + 3)7 − 125
(√
x + 3)5 + 6(√
x + 3)3 + C
Portanto:∫x2√
x + 3 dx =27
(x + 3)7/2 − 125
(x + 3)5/2 + 6(x + 3)3/2 + C
2. Calcule a integral∫
x5√
x2 + 4 dx
Solucao
Temos:∫
x5√
x2 + 4 dx =∫
x4√
x2 + 4 x dx
Artifıcio
u =√
x2 + 4
u2 = x2 + 4
x2 = u2 − 4
2x dx = 2u du
x dx = u du
108 [Matematica Aplicada]∫x5
√x2 + 4 dx =
=∫
x4√
x2 + 4 x dx =
=∫
(u2 − 4)2 · u · u du =
=∫
(u4 − 8u2 + 16)u2 du =
=∫
(u6 − 8u4 + 16u2) du =
=∫
u6 du− 8∫
u4 du + 16∫
u2 du =
=17
u7 − 85
u5 +163
u3 + C =17
(√
x2 + 4)7 − 85
(√
x2 + 4)5 +163
(√
x2 + 4)3 + C
Temos:∫
x5√
x2 + 4 dx =17
(x2 + 4)7/2 − 85
(x2 + 4)5/2 +163
(x2 + 4)3/2 + C
Exercıcios Propostos
Calcule as integrais
1.∫
x3√
1 + x2 dx
2.∫
x2√
1 + x dx
Respostas
1. 15 (1 + x2)5/2 − 1
3 (1 + x2)3/2 + C
2. 27 (1 + x)7/2 − 4
5 (1 + x)5/2 + 23 (1 + x)3/2 + C
2.6 Equacoes diferenciais
Denomina-se equacao diferencial qualquer equacao que contem derivadas. As equacoes
diferenciais tem aplicacoes importantes em varios setores da atividade humana. Estudare-
mos apenas as equacoes diferenciais simples.
Exemplos:
(a)dy
dx= 4x + 1
(b)dy
dx= 3x2 + x− 2
(c)d2y
dx2= 4x− 3
[Prof. Hiroshi Ouchi] 109
(d)dy
dx=
2x
y2
(e) dy = e5x dx
(f)dy
dx=
y
x− 1
Seja a equacao diferencialdy
dx= f(x) ou dy = f(x) dx.
A solucao dessa equacao e a funcao y = F (x) + C, que e denominada solucao geral ou
solucao completa. Muitas vezes desejamos encontrar uma solucao que satisfaca a condicoes
especıficas, tais como, y = y1, quando x = x1, denominadas condicoes de contorno ou
condicoes iniciais.
Conhecida a solucao geral y = F (x) + C, se substituirmos x e y, respectivamente por
x1 e y1, obteremos o valor particular de C, isto e, C = C1, que substituıdo na solucao
geral nos fornece a solucao particular y = F (x) + C1.
Seja a equacao diferencialdy
dx= 2x− 3.
Determine a solucao geral e a seguir a solucao particular que satisfaz a condicao de
contorno y = 1 quando x = 2.
1o processo
y =∫
dy
dxdx
y =∫
(2x− 3) dx
y = 2∫
x dx− 3∫
dx
y = 2x2
2− 3x + C
y = x2 − 3x + C solucao geral
Considerando y = 1 quando x = 2, determinamos C1
1 = 22 − 3(2) + C
1 = 4− 6 + C
Logo, C = 3
Temos: y = x2 − 3x + 3 solucao particular
2o processo
dy = (2x− 3) dx
Integrando os dois membros, temos:∫dy =
∫(2x− 3) dx∫
dy = 2∫
x dx− 3∫
dx
y = x2 − 3x + C
110 [Matematica Aplicada]
Calculando C, temos:
y = x2 − 3x + 3
Determine a solucao particular da equacao diferencialdy
dx= e3x sabendo que y = 1
quando x = 0.
Solucao
y =∫
dy
dxdx
y =∫
e3x dx
y =13
e3x + C solucao geral
1 =13
e3(0) + C
1 =13
+ C
C = 1− 13
=23
y =13
e3x +23
solucao particular
Encontre a solucao completa ou geral da equacao diferencial de 2a ordemd2y
dx2= 4x−1.
Determine em seguida, a solucao particular que atenda as condicoes de contornody
dx= 2
quando x = 2 e y = 3 quando x = 1.
Solucao
1o processody
dx=
∫d2y
dx2dx
dy
dx=
∫(4x− 1) dx = 4
∫x dx−
∫dx = 4
x2
2− x + C1
dy
dx= 2x2 − x + C1 (I)
y =∫
dy
dxdx
y =∫
(2x2 − x + C1) dx = 2∫
x2 dx−∫
x dx + C1
∫dx
y =23
x3 − 12
x2 + C1x + C2 (II) Solucao completa
Substituindo em (I),dy
dxpor 2 e x por 2, temos:
2 = 2(2)2 − 2 + C1
Logo, C1 = −4
[Prof. Hiroshi Ouchi] 111
Considerando C1 = −4 na solucao completa, temos:
y =23
x3 − 12
x2 − 4x + C2 (III)
Como y = 3 quando x = 1, por hipotese, temos:
3 =23(1)3 − 1
2(1)2 − 4(1) + C2
Logo, C2 =416
Substituindo este valor em (III), temos:
y =23
x3 − 12
x2 − 4x +416
Solucao particular
2o processod2y
dx2= 4x− 1
d
dx
(dy
dx
)= 4x− 1
d
(dy
dx
)= (4x− 1) dx
Integrando os 2 membros, temos:∫d
(dy
dx
)=
∫(4x− 1) dx
dy
dx= 4
x2
2− x + C1
dy
dx= 2x2 − x + C1
dy = (2x2 − x + C1) dx∫dy =
∫(2x2 − x + C1) dx∫
dy = 2∫
x2 dx−∫
x dx + C1
∫dx
y =23x3 − x2
2+ C1x + C2
De acordo com o exposto no 1o processo, concluimos:
y =23x3 − 1
2x2 − 4x +
416
NOTA: A ordem de uma equacao diferencial corresponde a da derivada de maior ordem
que aparece na equacao.
2.6.1 Equacoes diferenciais com variaveis separaveis
Consideremos:dy
dx=
g(x)h(y)
Logo, h(y) dy = g(x) dx
112 [Matematica Aplicada]
O 1o membro envolve somente a variavel y e o 2o membro envolve somente a varavel
x. As variaveis sao separadas. Uma solucao geral pode ser obtida integrando os dois
membros da equacao, isto e:∫h(y) dy =
∫g(x) dx
Encontre a solucao geral da equacao diferencial x dx + y dy = 0
Solucao
x dx = −y dy
Integrando, temos:∫x dx = −
∫y dy
x2
2+ C1 = −y2
2+ C2
x2
2= −y2
2+ C2 − C1
x2
2+
y2
2= C3
x2 + y2 = C
Processo pratico∫x dx = −
∫y dy
x2
2= −y2
2+ C1
x2
2+
y2
2= C
x2 + y2 = C
Determine a solucao geral da equacao diferencialdy
dx=
x2
ySolucao
Temos:
y dy = x2 dx
Integrando, temos:∫y dy =
∫x2 dx
y2
2=
x3
3+ C
Determine a solucao particular da equacao diferencialdy
dx= x
√y que satisfaz a
condicao de contorno y = 1 quando x = 0.
Solucaody√
y= x dx
[Prof. Hiroshi Ouchi] 113
Integrando temos:∫dy
y1/2=
∫x dx∫
y−1/2 dy =∫
x dx
y1/2
12
=x2
2+ C
2y1/2 =12
x2 + C
2√
y =12
x2 + C
2√
1 =12
(0)2 + C
Logo, C = 2
Conclusao,
2√
y =12
x2 + 2
2.6.2 Aplicacoes das equacoes diferenciais
1. A inclinacao da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer (x, y) na curva e
igual a 3x2y2. Determine a equacao da curva, sabendo que o ponto P (2, 1) esta na
curva.
Solucaody
dx= 3x2y2
dy
y2= 3x2 dx∫
y−2 dy = 3∫
x2 dx
y−1
−1= 3
x3
3+ C
−1y
= x3 + C
−11
= 23 + C
Logo, C = −9
Conclusao
−1y
= x3 − 9
2. O custo de uma certa maquina e 700 dolares e seu valor e depreciado de acordo com
a formuladV
dt= −500(t+1)−2, onde V e o seu valor t anos apos a sua compra. Qual
sera o seu valor 3 anos apos sua compra?
114 [Matematica Aplicada]
Solucao
t = 0 =⇒ V = 700 (valor inicial)
V =∫
dV
dtdt
V = −500∫
(t + 1)−2 dt
calculo auxiliar:
u = t + 1
du = dt
V = −500∫
u−2 du = −500u−1
−1+ C
V (t) =500t + 1
+ C
V (0) =500
0 + 1+ C
700 = 500 + C =⇒ C = 200
Logo, V (t) =500t + 1
+ 200
V (3) =500
3 + 1+ 200
V (3) =5004
+ 200
V (3) = 325
Conclusao: O seu valor sera 325 dolares.
3. A populacao de uma certa cidade vem crescendo a uma taxa de400√t + 1
pessoas por
ano, t anos apos 1996. Sabe-se que a populacao em 1999 era de 6.000 pessoas.
(a) Qual era a populacao em 1996?
(b) Qual sera a populacao em 2004 se for mantida a mesma taxa de crescimento?
Solucao
Temos:dp
dt= 400(t + 1)−1/2 e p(3) = 6000
p(t) =∫
dp
dtdt
p(t) = 400∫
(t + 1)−1/2 dt
[Prof. Hiroshi Ouchi] 115
p(t) = 400(t + 1)1/2
12
+ C
p(t) = 800√
t + 1 + C
t = 3 =⇒ p(3) = 800√
3 + 1 + C
6000 = 800(2) + C =⇒ C = 4400
Logo, p(t) = 800√
t + 1 + 4400
(a) t = 0
p(0) = 800√
0 + 1 + 4400
p(0) = 800 + 4400 = 5200
Em 1996 a populacao era de 5.200 habitantes.
(b) t = 8
p(8) = 800√
8 + 1 + 4400
p(8) = 800(3) + 4400
p(8) = 2400 + 4400
p(8) = 6800
Em 2004 a populacao sera de 6.800 habitantes.
4. A quantidade de bacterias presentes em uma cultura cresce de 100 para 300 unidades
num intervalo de 2 horas. Suponha que a taxa de crescimento seja proporcional
a quantidade de bacterias presentes. Determine uma expressao que estabeleca a
quantidade de bacterias em qualquer instante t.
Solucao
Seja Q a quantidade de bacterias presentes em um instante t e seja K a constante
de proporcionalidade.dQ
dt= KQ =⇒ dQ
Q= K dt∫
dQ
Q= K
∫dt
lnQ = Kt + C1 =⇒ Q = eKt+C1 =⇒ Q = eKt · eC1
Q = CeKt
t = 0 =⇒ Q = 100
100 = CeK(0) =⇒ 100 = Ce0
C = 100
Logo, Q = 100eKt
116 [Matematica Aplicada]
t = 2 =⇒ Q = 300
Logo,
300 = 100e2K =⇒ e2K = 3 =⇒ 2K = ln 3
K =ln 32
Conclusao: Q = 100 eln 32
t
Exercıcios Propostos
1. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais seguintes:
(a)dy
dx= −3x2 + 6
(b)dy
dx= x4 + 2x2 − 1
x2
(c)dy
dx= (3x + 1)3
(d)dy
dx= x
√x2 + 5
2. Ache a solucao completa das equacoes diferenciais seguintes e a seguir determine a
solucao particular que satisfaz as condicoes de contorno dadas.
(a)
dy
dx= 6x2 − 1
x2+ 3
y = 10 quando x = 1
(b)
dy = x√
x2 + 5 dx
y = 8 quando x = 2
(c)
dy
dx= x2 + 3x
y = 2 quando x = 1
(d)
dy
dx= (x + 1)(x + 2)
y = −32
quando x = −3
3. Determine a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:
(a)dy
dx=
2x
y2
(b)dy
dx=
2x2
3y3
(c) x dy = −y dx
(d)dy
dx= y2
√4− x
[Prof. Hiroshi Ouchi] 117
4. Determine a solucao particular da equacao diferencial dada, que satisfaz a condicao
de contorno indicada.
(a)dy
dx=
x
y2; y = 3 para x = 2
(b) dy = e5x dx ; y = 1 para x = 0
(c)dy
dx= 4x2y2 ; y = −1 para x = 1
(d)dy
dx= y2
√4− x ; y = 2 para x = 4
5. Nos exercıcios seguintes, ache a solucao particular de cada equacao diferencial de 2a
ordem que satisfaz as condicoes de contorno dadas:
(a)d2y
dx2= 6x + 1 ; y = 2 quando x = 0 e
dy
dx= 3 quando x = 0
(b)d2y
dx2= x2 + 3x ;
dy
dx= 1 e y = 2 quando x = 1
6. O custo marginaldC
dxpara produzir x unidades de um determinado produto e dado
pordC
dx= 0, 05 +
5000x2
reais por item. Determine a funcao custo total sabendo que
C = 5500 reais quando x = 1000.
7. O custo de producao de um produto e C(x) = 3, 5x + 100 reais por mes, onde x e o
numero de consumidores do produto. A renda marginal e dada pordR
dx= 13 − x
40reais por mes e R = 0 quando x = 0.
(a) Determine R como uma funcao de x.
(b) Determine o lucro total P como uma funcao de x.
8. Se a funcao receita marginal e dada por R′(x) = 3x2 − 12x + 10, ache:
(a) a funcao receita total;
(b) a equacao da demanda.
9. Para um determinado produto, a taxa de variacao da funcao custo total por unidade
de variacao em x e 3x e a curva do custo total contem o ponto (5, 45). Ache a funcao
custo total.
10. A matrıcula em certa faculdade vem crescendo a uma taxa de 1000(t + 1)−1/2 estu-
dantes por ano desde 2001. Se a matrıcula em 2004 foi de 10.000 alunos, verifique:
(a) qual foi a matrıcula em 2001?
(b) quantos alunos sao esperados em 2009 se o crescimento continuar na mesma
taxa?
118 [Matematica Aplicada]
Respostas
1. (a) y = −x3 + 6x + C
(b) y = 15 x5 + 2
3 x3 + 1x + C
(c) y = 112 (3x + 1)4 + C
(d) y = 13
√(x2 + 5)3 + C
2. (a) y = 2x3 + 1x + 3x + 4
(b) y = 13
√(x2 + 5)3 − 1
(c) y = 13 x3 + 3
2x2 + 16
(d) 6y = 2x3 + 9x2 + 12x
3. (a) y3 = 3x2 + C
(b) 9y4 = 8x3 + C
(c) xy = C
(d) 1y = 2
3
√(4− x)3 + C
4. (a) y3 = 32 x2 + 21
(b) y = 15 e5x + 4
5
(c) y = 31−4x3
(d) y = 64(4−x)3/2+3
5. (a) y = x3 + 12 x2 + 3x + 2
(b) y = 112 x4 + 1
2 x3 − 56 x + 27
12
6. C(x) = 0, 05x− 5000x + 5455 reais
7. (a) R(x) = 13x− x2
80
(b) P (x) = 9, 5x− x2
80 − 100
8. (a) R(x) = x3 − 6x2 + 10x
(b) P (x) = x2 − 6x + 10
9. C(x) = 32 x2 + 15
2
10. (a) 8.000 alunos.
(b) 12.000 alunos.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 119
2.7 Integracao por partes
Se u = f(x) e v = g(x) sao funcoes contınuas e derivaveis em um mesmo intervalo I, entao∫u dv = uv −
∫v du.
Pela regra do produto, temos:
[f(x) · g(x)]′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
f(x) · g′(x) = [f(x) · g(x)]′ − f ′(x) · g(x)
Supondo que f ′(x) · g(x) admita primitiva em I e como f(x) · g(x) e uma primitiva de
[f(x) · g(x)]′, entao f(x) · g′(x) tambem admitira primitiva em I.
Entao,∫f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x)−
∫f ′(x) · g(x) dx∫
f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x)−∫
g(x) · f ′(x) dx
Como u = f(x) e v = g(x), entao du = f ′(x) dx e dv = g′(x) dx
Portanto:∫
u dv = uv −∫
v du Formula de integracao por partes
Ao aplicar esta formula no calculo de uma integral, devemos fazer uma parte do inte-
grando corresponder a dv. A expressao que escolhermos para dv deve incluir a diferencial
dx. Indicamos a parte restante do integrando por u e calculamos du.
Como este processo implica em separar o integrando em duas partes, atribuimos a este
processo a “denominacao integracao por partes”.
OBSERVACOES:
1. No processo de integracao por partes devemos omitir a 1a constante de integracao
C1, que desaparece no decorrer do processo. Portanto, devemos indicar a constante
de integracao somente no final do processo.
2. E importante a escolha adequada de dv. Em geral, fazemos dv representar a parte
mais complicada do integrando de modo a facilitar o calculo da integral.
3. Existem muitos casos em que e necessario aplicar a integracao por partes mais de
uma vez para obter a primitiva procurada.
Exemplo 1:
Calcule∫
lnx dx.
120 [Matematica Aplicada]
Solucao
Seja u = ln x e dv = dx
Assim,
du =1x
dx e∫
dv =∫
dx =⇒ v = x + C1∫lnx dx = ln x(x + C1)−
∫(x + C1)
dx
x=
x lnx + C1 lnx−∫
dx− C1
∫dx
x= x lnx + C1 lnx− x + C1 ln |x|+ C
Conclusao∫lnx︸︷︷︸
u
dx︸︷︷︸dv
= x lnx− x + C
De acordo com a observacao (1) a constante C1 desaparece no decorrer do processo.
Logo, esta constante deve ser omitida.
Processo adequado: nao consideraremos a constante C1 nos exemplos seguintes.
u = ln x =⇒ du =dx
xe dv = dx
Assim,∫dv =
∫dx e v = x∫
lnx dx = ln x(x)−∫
xdx
x= x lnx−
∫dx = x lnx− x + C
Portanto, lnx dx = x lnx− x + C
Exemplo 2:
Calcule∫
xe2x dx
Solucao
Calculo auxiliar
u = e2x
du = 2e2x dx;
dv = x dx∫dv =
∫x dx =⇒ v =
12
x2
∫xeex dx = e2x · 1
2x2 −
∫12
x2 · 2e2x dx∫xeex dx =
12
x2 e2x −∫
x2 · e2x dx
Observamos que o expoente associado a x aumentou de 1 para 2 e nesse caso, a integral
a direita e mais complexa que a integral inicial. A escolha de dv foi incorreta.
Consideremos:
u = x
du = dx;
dv = e2x dx∫dv =
∫e2x dx =⇒ v =
12
e2x
[Prof. Hiroshi Ouchi] 121∫xe2x dx = x
12
e2x − 12
∫e2x dx∫
xe2x dx =12
x e2x − 12· 12
e2x + C
∫xe2x dx =
12
(x− 1
2
)e2x + C
Exemplo 3:
Calcule∫
x ln 3x dx
Solucao
Artifıcio(a) u = ln 3x
du =33x
dx
du =dx
x
;
(b) dv = x dx∫dv =
∫x dx
v =x2
2∫x ln 3x dx =
∫(ln 3x)︸ ︷︷ ︸
u
x dx︸︷︷︸dv∫
x ln 3x dx = (ln 3x)x2
2− 1
2
∫x2 dx
x∫x ln 3x dx =
12
x2 ln 3x− 12
∫x dx∫
x ln 3x dx =12
x2 ln 3x− 12· x2
2+ C
Portanto:∫x ln 3x dx =
12
x2
(ln 3x− 1
2
)+ C
Exemplo 4:
Calcule∫
x2e2x dx
Solucao
Calculos auxuliares
(a) u = x2
du = 2x dx ;
(b) dv = e2x dx∫dv =
∫e2x dx
v =12
e2x
∫x2e2x dx = x2 1
2e2x −
∫12
e2x2x dx∫x2e2x dx =
12
x2e2x −∫
xe2x dx (I)
122 [Matematica Aplicada]
Devemos repetir o processo
(c) u = x
du = dx;
(d) dv = e2x dx
v =12
e2x
∫xe2x dx = x
12
e2x −∫
12
e2x dx =12
xe2x − 12· 12
e2x + C1
De (I), temos:∫x2e2x dx =
12
x2e2x −(
12
xe2x − 14
e2x + C1
)∫
x2e2x dx =12
x2e2x − 12
xe2x +14
e2x + C
Portanto:∫x2e2x dx =
12
e2x
(x2 − x +
12
)+ C
Exercıcios Propostos
1. Use o metodo de integracao por partes para calcular as integrais seguintes:
(a)∫
ln (x + 1) dx
(b)∫
xn lnx dx
(c)∫
x2ex dx
(d)∫
xe−x dx
(e)∫
(1− x)ex dx
(f)∫
t ln (2t) dt
(g)∫
x2e−x dx
(h)∫
lnx
x2dx
(i)∫
x√
x + 5 dx
(j)∫ t
1x lnx dx
2. Determine a solucao particular da equacao diferencialdy
dx= xex−y que satisfaz a
equacao de contorno y = ln 2 para x = 0.
3. Determine a funcao cuja tangente tem inclinacao (x + 1) · e−x para qualquer valor
de x cujo grafico passa pelo ponto P (1, 5).
[Prof. Hiroshi Ouchi] 123
Respostas
1. (a) (x + 1) · ln (x + 1) + C
(b) xn+1
n+1
(lnx− 1
n + 1
)+ C
(c) x2ex − 2xex + 2ex + C
(d) −(x + 1) · e−x + C
(e) (2− x) · ex + C
(f) 12 t2
(ln 2t− 1
2
)+ C
(g) −e−x(x2 + 2x + 2) + C
(h) − 1x(lnx + 1) + C
(i) 23 x(x + 5)3/2 − 4
15 (x + 5)5/2 + C
(j) 12 t2 · ln t− 1
4 t2 + 14 + C
2. y = ln [ex(x + 1) + 3] + C
3. y = −e−x(x + 2) + 5 + 3e + C
Exemplos Especiais
Exemplo 5:
Calcule∫
arc tgx dx
Solucao
Calculos auxiliares(a) u = arc tg x
du =dx
1 + x2
(b) dv = dx∫dv =
∫dx
v = x
(c) t = 1 + x2
dt = 2x dx
x dx =dt
2∫arc tgx dx = ( arc tgx) x−
∫x · dx
1 + x2∫arc tgx dx = x · arc tgx−
∫ dt2
t∫arc tgx dx = x · arc tgx− 1
2
∫dt
t∫arc tgx dx = x · arc tgx− 1
2ln t + C
Conclusao:∫arc tgx dx = x · arc tgx− 1
2ln |1 + x2|+ C
124 [Matematica Aplicada]
Exemplo 6:
Calcule∫
x3 · cos x2 dx
Solucao
Temos,∫
x2 · cos x2 · x dx
Calculos auxiliares
(a) t = x2
dt = 2x dx =⇒ x dx =12
dt
Assim,∫
x3 · cos x2 dx =∫
t cos t12
dt =12
∫t cos t dt
(b) u = t
du = dt
(c) dv = cos t dt∫dv =
∫cos t dt
v = sen t
12
∫t cos t dt =
12
[t sen t−
∫sen t dt
]=
12
(t sen t + cos t) + C
Conclusao:∫x3 · cos x2 dx =
12
(x2 · senx2 + cos x2) + C
Exemplo 7:
Calcule∫
ex senx dx
Solucao
Calculos auxiliares
(a) u = ex
du = ex dx
(b) dv = senx dx∫dv =
∫senx dx
v = − cos x
∫ex senx dx = ex(− cos x)−
∫− cos x ex dx∫
ex senx dx = −ex cos x +∫
ex cos x dx (I)
Calculos auxiliares
(c) u = ex
du = ex dx
(d) dv = cos x dx∫dv =
∫cos x dx
v = senx
[Prof. Hiroshi Ouchi] 125∫ex cos x dx = ex senx−
∫senx ex dx
De (I), temos:∫ex senx dx = −ex cos x + ex senx−
∫ex senx dx∫
ex senx dx +∫
ex senx dx = ex senx− ex cos x
2∫
ex senx dx = ex( sen x− cos x)
Conclusao:∫ex senx dx =
12
ex( sen x− cos x) + C
Exemplo 8:
Calcule∫
sec3 x dx
Solucao
Temos,∫
sec3 x dx =∫
sec x · sec2 x dx
Calculos auxiliares
(a) u = sec x
du = sec x · tg x dx
(d) dv = sec2 x dx∫dv =
∫sec2 x dx
v = tg x
∫sec3 x dx = sec x · tg x−
∫tg x · sec x · tg x dx∫
sec3 x dx = sec x · tg x−∫
tg 2x · sec x dx∫sec3 x dx = sec x · tg x−
∫(sec2 x− 1) · sec x dx∫
sec3 x dx = sec x · tg x−∫
sec3 x dx +∫
sec x dx∫sec3 x dx +
∫sec3 x dx = sec x · tg x +
∫sec x dx
2∫
sec3 x dx = sec x · tg x +∫
sec x dx
Conclusao:∫sec3 x dx =
12
sec x · tg x +12
ln | sec x + tgx|+ C
Exercıcios Propostos
4. Calcule∫
x · sec2 x dx
5. Calcule∫
x · senx dx
6. Calcule∫
(x− 1) · e−x dx
126 [Matematica Aplicada]
7. Calcule∫
xe−x/5 dx
8. Calcule∫
e3x cos 4x dx
9. Calcule∫
x2 · lnx dx
10. Calcule∫
arc senx dx
Respostas
4. x tg x + ln | cos x|+ C
5. −x cos x + senx + C
6. −xe−x + C
7. −5(x + 5)e−x/5 + C
8. e3x
25 (4 sen 4x + 3 cos 4x) + C
9. 13 x3
(lnx− 1
3
)+ C
10. x arc senx +√
1− x + C
2.8 Teorema Fundamental do Calculo: A integral definida
Seja a funcao f(x), contınua no intervalo fechado [a, b], isto e, a ≤ x ≤ b e seja F (x) a
antiderivada de f(x) nesse intervalo.
Assim,∫
f(x) dx = F (x) + C
A notacao∫ b
af(x) dx indica que a integral esta definida de a ate b, onde os numeros
a e b sao denominados limites de integracao. No caso, a e o limite inferior e b e o limite
superior.
Definicao ∫ b
af(x) dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a)
onde F (x) e antiderivada da funcao f(x).
Este teorema relaciona a integral definida a antiderivacao.
NOTA: No calculo da integral definida devemos, por conveniencia, omitir a constante
C, para evitar calculos desnecessarios, uma vez que a constante C e eliminada no decorrer
do processo.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 127
Justificativa:∫ b
af(x) dx = F (x)+C
∣∣∣∣ba
= [F (b)+C]−[F (a)+C] = F (b)+C−F (a)−C = F (b)−F (a)
Conclusao ∫ b
af(x) dx = F (x)
∣∣∣∣ba
= F (b)− F (a)
Exemplo 1
Calcule∫ 3
1(3x2 + x− 2) dx
Solucao
Calculo da integral indefinida∫(3x2 + x− 2) dx = x3 +
12
x2 − 2x + C
Portanto∫ 3
1(3x2 + x− 2) dx = x3 +
12
x2 − 2x
∣∣∣∣31
=
= (3)3 +12
(3)2 − 2(3)−[(1)3 +
12
(1)2 − 2(1)]
=
= 27 +92− 6−
(1 +
12− 2
)=
= 21 +92− 1
2+ 1 = 22 +
82
= 22 + 4 = 26
Portanto,∫ 3
1(3x2 + x− 2) dx = 26
Outro processo:∫ 3
1(3x2 + x− 2) dx = x3 +
12
x2 − 2x
∣∣∣∣31
Temos, F (x) = x3 +12
x2 − 2x
F (3) = 33 +12
(3)2 − 2(3) = 27 +92− 6 = 21 +
92
F (1) = 13 +12
(1)2 − 2(1) = 1 +12− 2 =
12− 1
F (3)− F (1) = 21 +92−
(12− 1
)F (3)− F (1) = 21 + 1 +
92− 1
2= 22 +
82
= 22 + 4 = 26
Conclusao,∫ 3
1(3x2 + x− 2) dx = 26
Exemplo 2
Calcule∫ 3
−2(6x2 − 5) dx
128 [Matematica Aplicada]
Solucao
Calculo da integral indefinida∫(6x2 − 5) dx = 2x3 − 5x + C
∫ 3
−2(6x2 − 5) dx = 2x3 − 5x
∣∣∣∣3−2
=
= [2(3)3 − 5(3)]− [2(−2)3 − 5(−2)] =
= 54− 15− (−16 + 10) = 39− (−6) = 39 + 6 = 45
Portanto,∫ 3
−2(6x2 − 5) dx = 45
Outro Processo
F (x) = 2x3 − 5x
F (3) = 2(3)3 − 5(3) = 54− 15 = 39
F (−2) = 2(−2)3 − 5(−2) = −16 + 10 = −6
F (3)− F (−2) = 39− (−6) = 39 + 6 = 45
Portanto,∫ 3
−2(6x2 − 5) dx = 45
Exemplo 3
Calcule∫ 3
0(x2 − 3x) dx
Solucao∫(x2 − 3x) dx =
x3
3− 3
2x2 + C
F (3) =33
3− 3
2(3)2 = 9− 27
2
F (0) =03
3− 3
2(0)2 = 0
F (3)− F (0) = 9− 272− 0 =
18− 272
= −92
Logo,∫ 3
0(x2 − 3x) dx = −9
2
∫ 3
0(x2 − 3x) dx =
x3
3− 3
2x2
∣∣∣∣30
=33
3− 3
2(3)2 −
[03
3− 3
2(0)2
]= 9− 27
2− 0 = −9
2
Exemplo 4
Calcule∫ 3
1
2x3 − 4x2 + 5x2
dx
[Prof. Hiroshi Ouchi] 129
Solucao∫2x3 − 4x2 + 5
x2dx = 2
∫x3
x2dx− 4
∫x2
x2dx + 5
∫dx
x2=
= 2∫
x dx− 4∫
dx + 5∫
x−2 dx = x2 − 4x− 5x
+ C
Portanto:∫ 3
1
2x3 − 4x2 + 5x2
dx = x2 − 4x− 5x
∣∣∣∣31
= 32 − 4(3)− 53−
(12 − 4(1)− 5
1
)=
= 9− 12− 53− (1− 4− 5) = −3− 5
3+ 8 = 5− 5
3=
103
Conclusao:∫ 3
1
2x3 − 4x2 + 5x2
dx =103
Exemplo 5
Calcule∫ 10
2
3 dx√5x− 1
Solucao
Devemos resolver a integral indefinida utilizando o metodo da substituicao.
Seja,
u = 5x− 1
du = 5 dx =⇒ dx =15
dx
∫3 dx√5x− 1
= 3∫ 1
5 du√
u=
35
∫du
u1/2=
35
∫u−1/2 du =
35· u1/2
12
+ C =
=35· 21√
u + C =65√
u + C =65√
5x− 1 + C
1o Processo∫ 10
2
3 dx√5x− 1
=65√
5x− 1∣∣∣∣10
2
=65
[√5x− 1
]10
2
=65
(√
50− 1−√
10− 1) =
=65
(√
49−√
9) =65
(7− 3) =65
(4) =245
Assim,∫ 10
2
3 dx√5x− 1
=245
2o Processo∫3 dx√5x− 1
=65√
u + C
Logo,
x = 2 =⇒ u = 5(2)− 1 = 9
x = 10 =⇒ u = 5(10)− 1 = 49
130 [Matematica Aplicada]
∫ 10
2
3 dx√5x− 1
=65√
u
∣∣∣∣49
9
=65
(√
49−√
9) =65
(7− 3) =65
(4) =245
∫ 10
2
3 dx√5x− 1
=245
Exercıcios Propostos
1. Calcule as seguintes integrais definidas.
(a)∫ 2
0(x2 − 4) dx
(b)∫ 3
−13x2 dx
(c)∫ 4
12
dx
x
(d)∫ 9
1
√x dx
(e)∫ e
1lnx · dx
x
(f)∫ 3
0(3y − y2) dy
(g)∫ 2
1(3x2 − 4x + 1) dx
(h)∫ 2
0(4x− 2x2) dx
(i)∫ 2
1
(x2
8+
2x2
)dx
2. Calcule as integrais definidas seguintes, usando o teorema fundamental do calculo.
(a)∫ 1
0(x4 + 2x2 + 1)(x3 + x) dx
(b)∫ 2
02x2
√x3 + 1 dx
(c)∫ 4
0
4x dx√x2 + 9
(d)∫ 1
08x(x2 + 1)3 dx
(e)∫ 3
0x√
1 + x dx
(f)∫ 1
−1( 3√
x4 + 4 3√
x) dx
Respostas
1. (a) 163
(b) 28
[Prof. Hiroshi Ouchi] 131
(c) 2 ln 4
(d) 523
(e) 12
(f) 92
(g) 2
(h) 83
(i) 3124
2. (a) 76
(b) 1049
(c) 8
(d) 15
(e) 11615
(f) 67
2.8.1 A integral definida
Interpretacao geometrica (Teorema fundamental do calculo integral)
Seja f(x) uma funcao contınua definida no intervalo [a, b] e tal que f(x) ≥ 0.
A integral definida∫ b
af(x) dx representa a area da regiao compreendida entre o grafico
de f(x), o eixo x e as retas verticais x = a e x = b.
Figura 2.2: interpretacao geometrica
Indicando por A a area destacada, temos:
A =∫ b
af(x) dx
132 [Matematica Aplicada]
OBSERVACOES: A letra que representa a variavel independente pode ser escolhida
arbitrariamente.
A =∫ b
af(x) dx =
∫ b
af(t) dt =
∫ b
af(u) du , . . . , etc.
Seja A(x) a funcao que a cada x associa a area sob o grafico de f no intervalo [a, b].
Figura 2.3: A(x)
Segue-se entao que A(a) = 0 e A(b) =∫ b
af(x) dx
Devemos evitar escrever A(x) =∫ x
af(x) dx para poder destacar que a variavel x e
um dos extremos do intervalo de integracao.
Neste caso, devemos escrever A(x) =∫ x
af(t) dt.
Seja f(x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b]
Figura 2.4: Area
Temos A1 = A2 e:
1.∫ b
af(x) dx: representa a area sob o grafico de f , de a ate b.
2. f(z) · (b− a): representa a area do retangulo ABCD.
Entao, existe um numero z entre a e b tal que a area do retangulo de altura f(z) e
[Prof. Hiroshi Ouchi] 133
base (b − a) e igual a area A da regiao sob o grafico de f de a ate b. (teorema do valor
medio)
Portanto∫ b
af(x) dx = f(z)(b− a)
Demonstracao do teorema fundamental do calculo integral para o caso em que f(x) ≥ 0.
Figura 2.5: demonstracao do teorema
Para qualquer valor de x entre a e b, consideramos A(x) a area sob a curva y = f(x)
no intervalo [a, b].
Sejam x e x + h numeros no intervalo [a, b].
Por definicao, a expressao A(x + h) − A(x) representa a area sob a curva y = f(x)
entre x e x + h. Para pequenos valores de h, essa area e aproximadamente igual a area de
um retangulo de altura f(x) e largura h.
A(x + h)−A(x) ' f(x) · h
A(x + h)−A(x) = f(z) · h (TVMI)A(x + h)−A(x)
h= f(z)
limh→0+
A(x + h)−A(x)h
= limh→0+
f(z)
A′(x) = f(x)
Portanto A(x) e uma antiderivada de f(x).
Suponhamos que F (x) seja outra antiderivada de f(x). Nesse caso, de acordo com a
propriedade fundamental das antiderivadas, temos:
A(x) = F (x) + C
onde C e uma constante arbitraria e a ≤ x ≤ b. Como A(x) representa a area sob a curva
y = f(x) entre a e x, A(a) e a area entre a e a, isto e, A(a) = 0.
Assim,
A(a) = F (a) + C
0 = F (a) + C
134 [Matematica Aplicada]
Logo, C = −F (a)
A(b) representa a area sob a curva y = f(x) entre a e b.
A(b) = F (b) + C
A(b) = F (b)− F (a)
Como a area sob a curva y = f(x) e dada por∫ b
af(x) dx, concluimos:
A(b) =∫ b
af(x) dx = F (b)− F (a)
RESUMO: Teorema fundamental do calculo integral
Se f(x) e uma funcao contınua no intervalo [a, b] e F (x) e uma funcao tal que
F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b], entao∫ b
af(x) dx = F (x)
]b
a
= F (b)− F (a)
OBSERVACOES:
1. f(x) > 0
Figura 2.6: f(x) > 0
A =∫ b
af(x) dx > 0
2. f(x) < 0
Temos∫ b
af(x) dx < 0
A = −∫ b
af(x) dx
[Prof. Hiroshi Ouchi] 135
Figura 2.7: f(x) < 0
3. .
Figura 2.8: A = A1 + A2
A = −∫ c
af(x) dx +
∫ b
cf(x) dx onde A representa a area de y = f(x) de a ate b
ou A =∣∣∣∣∫ c
af(x) dx
∣∣∣∣ +∫ b
cf(x) dx
Exemplo 1
Calcule a area da regiao R limitada pelo grafico de f(x) = 8−2x e os eixos coordenados.
Figura 2.9: Exemplo 1
136 [Matematica Aplicada]
Solucao
1. Geometrica
A =4 · 82
= 16
Logo, A = 16 u.a.
2. Calculo∫(8− 2x) dx = 8x− x2 + C
A =∫ 4
0(8− 2x) dx = 8x− x2
]4
0
= 32− 16− 0 = 16
A = 16 u.a.
Exemplo 2
Determine a area limitada pela parabola y = −x2 + 4x e o eixo x.
Figura 2.10: Exemplo 2
Solucao∫(−x2 + 4x) dx = −x3
3+ 2x2 + C
A =∫ 4
0(−x2 + 4) dx = −x3
3+ 2x2
]4
0
= −643
+ 32−[−03
3+ 2(0)2
]A =
−64 + 963
− 0 =323
A =323
u.a.
Exemplo 3
Calcule a area da regiao destacada abaixo, relativa a funcao f(x) = x2 − 3x
[Prof. Hiroshi Ouchi] 137
Figura 2.11: Exemplo 3
Solucao
Seja A1 a area destacada quando f(x) e negativa e A2 a area destacada para f(x)
positiva.
A1 = −∫ 3
0(x2 − 3x) dx = −
[x3
3− 3
2x2
]3
0
= −[−9
2− 0
]=
92
A2 =∫ 4
3(x2 − 3x) dx =
[x3
3− 3
2x2
]4
3
=116
A = A1 + A2 =92
+116
Portanto, A =193
u.a.
Exemplo 4
Determine a area da regiao plana compreendida pelo grafico de y = x2 − 4 e o eixo x.
(funcao par)
Figura 2.12: Exemplo 4
138 [Matematica Aplicada]
Solucao∫ 2
−2(x2 − 4) dx = 2
∫ 2
0(x2 − 4) dx = 2
[x3
3− 4x
]2
0
=
2[(
83− 8
)− 0
]= 2
(83− 8
)= 2
(−16
3
)= −32
3< 0
A = −∫ 2
−2(x2 − 4) dx = −2
∫ 2
0(x2 − 4) dx = −2
(−16
3
)=
323
A =323
u.a.
Exemplo 5
Calcule a area entre o grafico de f(x) = x2 − 5x + 9 e o eixo x no intervalo [1, 4], isto
e, 1 ≤ x ≤ 4.
Figura 2.13: Exemplo 5
Solucao∫(x2 − 5x + 9) dx =
x3
3− 5
2x2 + 9x + C
A =∫ 4
1(x2 − 5x + 9) dx =
x3
3− 5
2x2 + 9x
]4
1
=523− 41
6=
212
A =212
u.a.
Exercıcios Propostos
1. Calcule a area da regiao limitada pela curva y = x3 + 3x2 e o eixo x no intervalo
[0, 2].
2. Ache a area da regiao limitada pela curva y = x2 − 4x, o eixo x a as retas x = 1 e
x = 3.
3. Ache a area da regiao limitada pela curva y = −x2 + 4x− 3 e o eixo x.
4. Ache a area limitada pela curva y = x3 − 4x e o eixo x.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 139
5. Calcule a area da regiao R limitada pela curva y =√
x, pelas retas x = 4 e x = 9 e
pelo eixo x.
6. Obtenha as areas destacadas:
(a) (b)
(c) (d)
Respostas
1. A = 12 u.a.
2. 223 u.a.
3. 43 u.a.
4. 8 u.a.
5. 383 u.a.
6. (a) 9 u.a.
(b) 83 u.a.
(c) 83 u.a.
(d) 4 u.a.
140 [Matematica Aplicada]
2.8.2 Area da regiao compreendida entre duas curvas
Sejam f(x) e g(x) funcoes contınuas nao-negativas e tais que f(x) ≥ g(x).
Figura 2.14: area da regiao entre f(x) e g(x)
A1 = area entre a curva y = f(x), o eixo x e as verticais x = a e x = b
A2 = area entre a curva y = g(x), o eixo x e as verticais x = a e x = b
A = area entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e as verticais x = a e x = b
Logo, A = A1 −A2
A =∫ b
af(x) dx−
∫ b
ag(x) dx
A =∫ b
a[f(x)− g(x)] dx
OBSERVACOES: Para determinar a area da regiao R entre as curvas f(x) e g(x), de
x = a ate x = b, deve-se subtrair a area da curva inferior y = g(x) da area da curva
superior y = f(x).
Exemplo 1
Calcule a area da regiao limitada pela parabola y = −x2 + 2 e pela reta y = −x.
Solucao
Calculo da interseccao das curvas
−x = −x2 + 2
x2 − x − 2 = 0
x = −1
x = 2A(−1, 1) e B(2,−2) Interseccoes da parabola com a
reta
Pontos da parabola: A(−1, 1), B(2,−2), C(0, 2) e D(1, 1)
[Prof. Hiroshi Ouchi] 141
Figura 2.15: Exemplo 1
∆A = [−x2 + 2− (−x)] dx = (−x2 + x + 2) dx
Limites de integracao:
limite inferior = −1
limite superior = 2
A =∫ 2
−1(−x2 + x + 2) dx = −x3
3+
x2
2+ 2x
]2
−1
=92
A =92
u.a.
Exemplo 2
Determine a area da regiao R compreendida entre as curvas y = x2 e y = −x2 + 4x.
Solucao
Calculo dos pontos de interseccao
x2 = −x2 + 4x
2x2 − 4x = 0
x2 − 2x = 0
x = 0
x = 2Interseccoes: (0, 0) e (2, 4)
Figura 2.16: Exemplo 2 limite inferior = 0
limite superior = 2
142 [Matematica Aplicada]
A =∫ 2
0(−2x2 + 4x) dx = −2
3x3 + 2x2
]2
0
=(−16
8+ 8
)− 0 =
83
A =83
u.a.
Exemplo 3
Determine a area da regiao R compreendida entre as curvas y = x2 + 1 e y = 2x − 2
desde x = −1 ate x = 2.
Solucao
Temos: x2 + 1 = 2x− 2
x2 − 2x + 3 = 0 ; ∆ = 4− 12 = −8 < 0
A parabola nao intercepta a reta.
Figura 2.17: Exemplo 3
Temos:
∆A = [x2 + 1− (2x− 2)] dx = (x2 − 2x + 3) dx
A =∫ 2
−1(x2 − 2x + 3) dx =
x3
3− x2 + 3x
]2
−1
= 9
A = 9 u.a.
Exercıcios Propostos
1. Determine a area da regiao R compreendida pelas curvas y = x2 e y = x.
2. Determine a area da regiao limitada pelas curvas y = x3 e y = 2x2.
3. Determine a area da regiao compreendida entre as curvas y = x2 + 12 e y = 4x2.
4. Determine a area da regiao compreendida entre a curva y = x3 e a reta y = 9x.
5. Determine a area da regiao limitada pela curva y = x3 + 3x2 e a reta y = 4x.
6. Calcule a area da regiao limitada pelas retas y = x + 1, y = −2x + 7 e y =−x + 2
2.
7. Determine a area da regiao limitada pelas curvas de equacoes x = y2−2y e x = 2y−3.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 143
8. Calcule a area entre as curvas x =√
y e y2 = 8x.
Respostas
1. A = 16 u.a.
2. A = 43 u.a.
3. A = 32 u.a.
4. A = 814 u.a.
5. A = 1314 u.a.
6. A = 6 u.a.
7. A = 43 u.a.
8. A = 83 u.a.
144 [Matematica Aplicada]
Apendice A
Teorema de Rolle
O teorema tem esse nome em homenagem ao matematico frances Michel Rolle (1652-1719).
Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e tal que f seja diferenciavel
no intervalo aberto ]a, b[ e f(a) = f(b). Existe pelo menos um numero real c no intervalo
aberto ]a, b[ tal que f ′(c) = 0.
Temos dois casos a considerar:
1o caso: f(x) = f(a) = f(b) para todo x ∈ [a, b]
Nesse caso, f e uma funcao constante e entao f ′(x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. Logo,
todo numero c em ]a, b[ e um numero crıtico.
2o caso: f(x) 6= f(a) = f(b)
1. f(x) > f(a) = f(b) para x ∈ [a, b]
Nesse caso o valor maximo de f em [a, b] e maior do que f(a) = f(b) e assim, deve
ocorrer em algum numero c tal que c ∈ [a, b]. Como a derivada existe em todo ]a, b[,
concluimos que f ′(c) = 0.
2. f(x) < f(a) = f(b) para x ∈ [a, b]
O valor mınimo de f em [a, b] e menor do que f(a) = f(b) e deve ocorrer em algum
c ∈]a, b[. Como a derivada existe em todo x ∈]a, b[, concluimos que f ′(c) = 0.
OBSERVACOES:
1. O teorema mostra que existe pelo menos um ponto P da curva onde a reta tangente
e paralela ao eixo x.
2. Pode haver mais de um ponto no intervalo ]a, b[ cuja derivada seja nula.
145
146 [Matematica Aplicada]
Figura A.1: Observacao 2
f ′(c1) = f ′(c2) = f ′(c3) = 0
3. Nao e necessario que a funcao seja diferenciavel nos extremos a e b do intervalo para
garantir a existencia da reta tangente horizontal. E fundamental que f seja contınua
em [a, b] e derivavel em ]a, b[.
Figura A.2: Observacao 3
f(a) = f(b) = 0
6 ∃f ′(a) e 6 ∃f ′(b) e f ′(c) = 0
Conclusao
f deve ser contınua em [a, b] e deve ser derivavel em ]a, b[ sendo f(a) = f(b).
4. A hipotese do teorema de Rolle de que a funcao f e derivavel em ]a, b[ e fundamental
pois sem esta hipotese nao podemos aplicar o teorema.
Nao existe c tal que f ′(c) = 0 pois a funcao nao e derivavel em ]a, b[.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 147
Figura A.3: Observacao 4
Aplicacao
Verifique se a funcao f(x) = 4x3 − 9x verifica as hipoteses do teorema de Rolle em
cada um dos intervalos:[−3
2, 0
],[0,
32
]e
[−3
2,32
].
Solucao
Considerando a = −32
e b = 0, vem:
f ′(x) = 12x2 − 9
12x2 − 9 = 0
4x2 − 3 = 0
4x2 = 3
x2 =34
{x = ±
√3
2
No intervalo[−3
2, 0
]consideramos c = −1
2√
3.
No intervalo[0,
32
]consideramos c =
12√
3.
No intervalo[−3
2,32
]temos c1 = −
√3
2e c2 =
√3
2.
OBSERVACAO:
O teorema de Rolle e usado para demonstrar um dos teoremas mais importantes do
calculo, que e o teorema do valor medio, muito usado para demonstrar outros teoremas
do calculo diferencial e integral.
148 [Matematica Aplicada]
Apendice B
Teorema do Valor Medio
(teorema de Lagrange ou teorema dos acrescimos finitos)
Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e diferenciavel no intervalo aberto
]a, b[. Existe pelo menos um numero c no intervalo aberto ]a, b[ tal que f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a.
Consideremos os pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)) no grafico da funcao.
Figura B.1: Teorema do Valor Medio
O objetivo do teorema (interpretacao geometrica) e mostrar que existe pelo menos um
ponto (T ) na curva y = f(x) em que a reta tangente a curva nesse ponto T e paralela a
reta secante que passa por A e B.
Seja (s) a reta secante que passa por A e B e cujo coeficiente angular e ms =f(b)− f(a)
b− a( tg α) e cuja equacao e y − f(a) = ms (x− a)
y − f(a) =f(b)− f(a)
b− a(x− a)
y = f(a) +f(b)− f(a)
b− a(x− a)
Seja g(x) uma funcao auxiliar que determina a distancia vertical entre um ponto
(x, f(x)) no grafico de f e o ponto correspondente (x, y) na reta secante (s) que passa
149
150 [Matematica Aplicada]
por A e B.
g(x) = f(x)− y
g(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)b− a
(x− a) (I)
Esta funcao g(x) satisfaz as tres hipoteses do teorema de Rolle.
1. A funcao g(x) e contınua no intervalo fechado [a, b], pois e a soma de f com um
polinomio linear, que sao contınuos.
2. A funcao e derivavel em ]a, b[.
3. Da equacao (I), vemos que g(a) = g(b) = 0.
Logo, g(x) satisfaz as hipoteses do teorema de Rolle.
g′(x) = f ′(x)− f(b)− f(a)b− a
Existe c tal que g′(c) = 0, de acordo como teorema de Rolle.
g′(c) = f ′(c)− f(b)− f(a)b− a
0 = f ′(c)− f(b)− f(a)b− a
Conclusao, f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
OBSERVACOES:
1. A demonstracao do teorema do valor medio e uma aplicacao do teorema de Rolle,
enquanto o teorema de Rolle e uma caso especial do teorema do valor medio em que
f(a) = f(b) = 0.
2. f ′(c) e o coeficente angular da reta tangente ao grafico de y = f(x) no ponto T de
abscissa x = c.
3. Como f ′(c) =f(b)− f(a)
b− ae ms =
f(b)− f(a)b− a
, vemos que mt = ms. Logo, a reta
tangente (t) e paralela a reta secante (s).
4. Pode existir mais de uma reta tangente ao grafico de y = f(x) e que seja paralela a
reta secante (s).
[Prof. Hiroshi Ouchi] 151
Figura B.2: Observacao 4
Determine um ponto c no intervalo [1, 2] tal que a tangente ao grafico de f(x) = x2,
nesse ponto, seja paralela a reta definida pelos pontos de abscissas 1 e 2 da curva. A
seguir, determine o ponto P (c, f(c)) no grafico de f(x).
Solucao
f(2) = 22 = 4 e f(1) = 12 = 1
f ′(x) = 2x
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
2c =f(2)− f(1)
2− 12c =
4− 11
c =32
32∈ ]1, 2[
f
(32
)=
(32
)2
=94
P
(32,94
)
152 [Matematica Aplicada]
Dada a funcao f(x) = 3√
x2, trace um esboco do grafico de f . Mostre que nao existe
numero c no intervalo aberto ]− 2, 2[ tal que f ′(c) =f(2)− f(−2)
2− (−2).
Que condicao da hipotese do teorema do valor medio nao e verificada para f quando
a = −2 e b = 2?
Solucao
f ′(x) =23
x−1/3
f ′(x) =2
3 3√
xe f ′(c) =
23 3√
c
Nao existe c tal que2
3 3√
c= 0. A funcao e contınua no intervalo fechado [−2, 2].
Entretanto f nao e derivavel no intervalo aberto ]−2, 2[, pois nao existe f ′(0). A condicao
do teorema de que f deve ser derivavel no intervalo aberto ]− 2, 2[ nao e verificada.
Exercıcios Propostos
1. Seja f(x) = x2 + 5x. Verifique se existe um numero c no intervalo aberto 1 < x < 3
que atenda as hipoteses do teorema do valor medio.
2. Dada a funcao f(x) = x3 − 5x2 − 3x, verifique se a hipotese do teorema do valor
medio e satisfeita para a = 1 e b = 3. Encontre todos os numeros c no intervalo
aberto ]1, 3[ tais que f ′(c) =f(3)− f(1)
3− 1.
3. Mostre que as hipoteses do teorema de Rolle sao satisfeitas para a funcao f(x) = 6x2 − x3
no intervalo [0, 6].
Ache o valor de c no intervalo aberto ]0, 6[ para o qual f ′(c) = 0 e faca o grafico da
funcao.
Respostas
1. c = 2
2. c = 73
[Prof. Hiroshi Ouchi] 153
3. Como a funcao f e polinomial, ela e contınua e diferenciavel em todo ponto e
f(0) = f(6) = 0.
c = 4
Exercıcios Especiais
1. Mostre que a equacao ex + x = 0 admite uma unica raız real utilizando o teorema
de Rolle.
Solucao
Seja f(x) = ex + x
limx→∞
f(x) = ∞ e limx→−∞
f(x) = −∞
Observamos entao que o grafico de f(x) corta o eixo x pelo menos uma vez, pois f
e contınua em R.
Devemos verificar que o grafico de f corta o eixo x uma unica vez.
Suponhamos que x1 e x2 sejam duas raızes distintas de f(x) e tais que x1 < x2.
Consideremos o teorema de Rolle em [x1, x2].
(a) f(x) e contınua em [x1, x2].
(b) f(x) e derivavel em ]x1, x2[.
(c) f(x1) = f(x2) = 0 pois por hipotese x1 e x2 sao raızes de f(x).
De acordo com o teorema de Rolle existe um numero c ∈ ]x1, x2[ tal que f ′(c) = 0.
Mas isto e um absurdo, pois f ′(x) = ex + 1 6= 0,∀x ∈ R.
Conclusao: f(x) so pode ter uma unica raız.
154 [Matematica Aplicada]
2. Mostre que senx ≤ x para x ≥ 0.
Solucao
Seja f(x) = x− senx onde D(f) = R+
Como cos x ≤ 1 temos que f ′(x) ≥ 0
Sendo f ′(x) ≥ 0, concluimos que f e crescente para x ≥ 0.
Temos,
f(0) = 0− sen 0
f(0) = 0
Como f(0) = 0 e f(x) e crescente para x ≥ 0, entao
f(x) ≥ f(0)
f(x) ≥ 0
x− senx ≥ 0
− senx ≥ −x (−1)
Conclusao: senx ≤ x para x ≥ 0
3. Seja f uma funcao contınua no intervalo fechado [a, b] e derivavel no intervalo aberto
]a, b[. Mostre que se f ′(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, entao f e crescente em [a, b].
Solucao
Sejam x1 e x2 dois numeros quaisquer em [a, b] tais que x1 < x2. Entao f e
contınua em [x1, x2] e derivavel em ]x1, x2[. Pelo teorema do valor medio, segue-
se que ∃ c ∈ ]x1, x2[ tal que f ′(c) =f(x2)− f(x1)
x2 − x1(I).
Por hipotese f ′(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 155
Entao f ′(c) > 0. Como x1 < x2, entao x2 − x1 > 0. Assim x2 > x1.
Considerando a igualdade (I), concluimos que f(x2)−f(x1) > 0, ou seja, f(x2) > f(x1),
entao podemos concluir que f e crescente em [a, b].
4. Demonstre que, se uma funcao f e contınua em [a, b] e f ′(x) = 0 , ∀x ∈ ]a, b[, entao
f e constante em [a, b].
Solucao
Sejam x1 e x2 dois numeros quaisquer em [a, b] com x1 < x2. Entao f e contınua
em [x1, x2] e derivavel em ]x1, x2[.
De acordo com o TVM, entao existe x ∈ ]x1, x2[ e tal que f ′(x) =f(x2)− f(x1)
x2 − x1.
Como por hipotese f ′(x) = 0,
0 =f(x2)− f(x1)
x2 − x1
f(x2)− f(x1) = 0
f(x2) = f(x1) , ∀x ∈ [a, b]
Conclusao: O valor de f e constante para dois pontos quaisquer de [a, b] , o que
significa que f e constante no intervalo [a, b].
Exercıcio Proposto
Mostre que se uma funcao f e contınua em [a, b] e derivavel em ]a, b[, para qualquer
x ∈ ]a, b[, e se f ′(x) < 0 para todo x ∈ ]a, b[, entao f e decrescente em [a, b].
OBSERVACAO: Se uma funcao e crescente ou decrescente num intervalo, dizemos
que a funcao e monotona no intervalo.
5. Seja f(x) =
2x2 − 4 se x < 1
−x− 1 se x ≥ 1
Determine os intervalos em que a funcao f e crescente ou decrescente.
Solucao
Para x < 1, temos f ′(x) = 4x e f ′(1) > 0
numero crıtico: x = 0
f ′(x) > 0 para x ∈ ]0, 1[
f ′(x) < 0 para x ∈ ]−∞, 0[
156 [Matematica Aplicada]
Para x > 1, temos f ′(x) = −1
Entao f ′(x) < 0 para qualquer x ∈ ]1,∞[
x 0 1
f ′(x) − 0 + 6 ∃ −
f(x) decrescente crescente decrescente
Conclusao: f e crescente em [0, 1] e f e decrescente em x ≤ 0 ou x ≥ 1.
Apendice C
O teste da derivada segunda para
extremos relativos
Seja f(x) uma funcao contınua e derivavel no intervalo I e seja x = c tal que f ′(c) = 0 e
f ′′(c) exista nesse intervalo.
(a) Se f ′′(c) > 0, entao f(c) e o mınimo relativo em x = c
(b) Se f ′′(c) < 0, entao f(c) e o maximo relativo em x = c
Vimos que f ′(c) = limx→c
f(x)− f(c)x− c
Seja a funcao f ′(x).
De maneira analoga, concluimos que f ′′(c) = limx→c
f ′(x)− f ′(c)x− c
Demonstracao de (a)
Por hipotese, f ′′(c) existe e f ′′(c) > 0
Assim f ′′(c) = limx→c
f ′(x)− f ′(c)x− c
> 0
Por teorema de limite, temos que existe um intervalo aberto I, contendo c, tal quef ′(x)− f ′(c)
x− c> 0 para todo x 6= c no intervalo.
Seja I1 o intervalo aberto que contem todos os valores de x em I para os quais x < c.
Assim, c e o extremo direito do intervalo aberto I1.
Seja I2 o intervalo aberto que contem todos os valores de x em I para os quais x > c.
Assim, c e o extremo esquerdo do intervalo aberto I1.
Se x ∈ I1, temos:
x− c < 0 =⇒ f ′(x)− f ′(c) < 0
x < c =⇒ f ′(x) < f ′(c)
Como f ′(c) = 0, temos:
157
158 [Matematica Aplicada]
x < c =⇒ f ′(x) < 0 (I)
Se x ∈ I2, temos:
x− c > 0 =⇒ f ′(x)− f ′(c) > 0
x > c =⇒ f ′(x) > f ′(c)
Como por hipotese f ′(c) = 0, temos:
x > c =⇒ f ′(x) > 0 (II)
Temos por hipotese que f ′(c) = 0
Concluimos que
se x ∈ I1 , f ′(x) < 0
se x ∈ I2 , f ′(x) > 0Logo, f ′(x) troca seu sinal algebrico de negativo para positivo a medida que x passa
por c e pelo teste da derivada primeira podemos concluir que f tem um valor mınimo
relativo em c, isto e, f(c).
A demonstracao e analoga para o item (b), f ′′(c) < 0 (maximo relativo em x = c).
Quadro ilustrativo para f ′′(x) > 0 (mınimo relaivo).
x c
f ′(x) − 0 +
f ′′(x) > 0
Apendice D
O teste da concavidade
Se uma funcao f e diferenciavel em um intervalo aberto I contendo c e se existe f ′′(x) em
I, entao o grafico de f e:
(a) Concavo para cima em I, se f ′′(x) > 0 em I;
(b) Concavo para baixo em I, se f ′′(x) < 0 em I.
Temos: f ′′(c) = limx→c
f ′(x)− f ′(c)x− c
Se f ′′(c) > 0, entao existe um intervalo aberto I contendo c tal quef ′(x)− f ′(c)
x− c> 0
e x 6= c.
Neste caso, f ′(x)−f ′(c) e x− c tem o mesmo sinal para x ∈ I e x 6= c. Vamos mostrar
que este fato implica em concavidade voltada para cima.
Figura D.1: Teste da concavidade
Para x arbitrario em I seja T (x, y) na reta tangente, que passa por P (c, f(c)) e o ponto
M(x, f(x)), no grafico de f . Fazendo g(x) = f(x) − y, estabeleceremos a concavidade
voltada para cima mostrando que g(x) e positiva para todo x 6= c ou seja o ponto M esta
acima do ponto P da reta tangente.
159
160 [Matematica Aplicada]
Seja y − f(c) = f ′(c)(x− c) a equacao da reta tangente a curva em P (c, f(c))
y = f(c) + f ′(c)(x− c)
Temos:
g(x) = f(x)− y
g(x) = f(x)− [f(c) + f ′(c)(x− c)]
g(x) = f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)] (I)
1o processo:
Aplicando o teorema do valor medio a funcao f no intervalo [c, x], vemos que existe
um numero w no intervalo aberto ]c, x[ tal que f(x)− f(c) = f ′(w)(x− c)
Substituindo este valor em (I), temos:
g(x) = f ′(w)(x− c)− f ′(c)(x− c)
g(x) = [f ′(w)− f ′(c)](x− c) (II)
Como w esta no intervalo I, sabemos que f ′(w)− f ′(c) e w − c tem o mesmo sinal.
Como w esta entre c e x e w − c e x − c tem o mesmo sinal, consequentemente
f ′(w)− f ′(c) e x− c tem o mesmo sinal para todo x em I e x 6= c. Da forma fatorada (II)
concluimos que g(x) > 0 se x 6= c.
2o processo:
g(x) = f(x)− f(c)− f ′(c)(x− c)
g′(x) = f ′(x)− f ′(c)
g′′(x) = f ′′(x)
Para x = c, temos:
g(c) = 0
g′(c) = 0
g′′(c) = f ′′(c)
Como por hipotese f ′′(c) > 0, entao g′′(c) > 0.
Em x = c, g(x) tem um mınimo relativo, que e g(c) = 0. Logo, em I, g(x) > 0, ∀x 6= 0
ou seja g(x)− y > 0.
A concavidade esta voltada para cima.
De maneira analoga, demonstra-se que se f ′′(x) < 0 em I, o grafico de f e concavo
para baixo em I.
Conclusao: O sinal de f ′′(x) em um intervalo I indica a concavidade da curva em I.
[Prof. Hiroshi Ouchi] 161
3o processo:
Seja f uma funcao contınua em um intervalo [a, b] e derivavel ate 2a ordem em ]a, b[.
(a) Se f ′′(x) > 0 em x ∈ ]a, b[, entao f e concavo para cima em ]a, b[;
(b) Se f ′′(x) < 0 em x ∈ ]a, b[, entao f e concavo para baixo em ]a, b[.
Demonstracao
Como f ′′(x) = [f ′(x)]′, se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ [a, b], temos que f ′(x) e crescente
no intervalo ]a, b[. Logo, f e concava para cima em ]a, b[.
Exemplo
Determine o ponto de inflexao P e reconheca os intervalos onde a funcao f(x) = (x−1)3
tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Solucao
Temos:
f ′(x) = 3(x− 1)2
f ′′(x) = 6(x− 1)
f ′′(x) = 0 =⇒ x = 1
No intervalo ]−∞, 1[, f ′′(x) < 0 e f e concava para baixo.
No intervalo ]1,∞[, f ′′(x) > 0 e f e concava para cima.
Em x = 1, a concavidade muda de sentido e nesse caso, o grafico de f tem um ponto
de inflexao.
x = 1 =⇒ f(1) = (1− 1)3 = 0 P (1, 0) ponto de inflexao
162 [Matematica Aplicada]
Referencias Bibliograficas
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[5] MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN, Samuel. Calculo: funcoes
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