MATEMÁTICA BÁSICA CEROSesión N°3

TEORÍA DE CONJUNTOS

Departamento de Ciencias

RECURSOS NATURALES

EXPLOTACION DE LOS RECURSOS NATURALES

Son el conjunto de bienes y materiales procedentes de la naturaleza que el ser

humano utiliza para satisfacer sus necesidades.

Son aquellos elementos

proporcionados por la naturaleza sin

intervención del hombre

El Perú cuenta con una gran variedad de recursos naturales, los cuales constituyen

la base de nuestra economía.

ACTIVIDADES PRODUCTIVAS

Es el conjunto de acciones y actuaciones de los seres

humanos con el fin de obtener bienes que cubran sus necesidades. Para la

producción de estos bienes es necesario la existencia de:

TIERRA, CAPITAL, TRABAJO, TECNOLOGÍA

CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS

2. ¿Cómo se denomina al número de elementos de un conjunto?

3.¿Cuántos conjuntos de diferentes tipos observaste?

4. ¿Qué operaciones se pueden realizar entre conjuntos?

1. ¿Qué entiendes por CONJUNTO? Mencione un ejemplo.

Se realiza una encuesta entre 600 estudiantes sobre los cursos que mas estudian, entre Matemática, Física y

Química se observó que 280 estudian el curso de Matemática ,200 estudian Física, los que no estudian Química son 150 y todos aquellos que estudian dos

asignaturas son en total 130 estudiantes .

¿Cuántos estudian los tres cursos ?

6

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante identifica la idea de conjunto, opera y resuelve ejercicios relativos a conjuntos, además de resolver problemas contextualizados aplicados en su entorno.

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1. IDEA DE CONJUNTO.

2. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO.

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA.

4. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO.

5. CONJUNTOS ESPECIALES.

6. RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS.

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.

8. EJECICIOS Y PROBLEMAS.

9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

CONTENIDOS

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1. IDEA DE CONJUNTO

Colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase.

Un conjunto no es más que la agrupación de varios elementos . ¿Has coleccionado fichas, juguetes o láminas para un álbum? pues imagina que los conjuntos son exactamente eso; la colección de varios elementos que pueden clasificarse debido a que comparten características en común (fichas, láminas, etc).

La Notación de un conjunto se da por medio de LETRAS MAYÚSCULAS.Ejemplo: Conjunto

9

Un conjunto también se puede denotar por medio de LLAVES Del ejemplo anterior, tenemos:

A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }

CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO: n (A)

El número de ELEMENTOS que tiene un CONJUNTO A, se le denomina CARDINAL DEL CONJUNTO A, y se le representa como: n (A)

Ejemplo: El CARDINAL del conjunto A es 9

ya que el conjunto A tiene 9 ELEMENTOS

2. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO

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3. RELACIÓN DE PERTENENCIA

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:

Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo:

Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}

2 M ... se lee 2 pertenece al conjunto M

5 M ... se lee 5 no pertenece al conjunto M

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4. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

POR EXTENSIÓN:

Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo:

A = { Au ; Ag ; Cu ; O }

POR COMPRENSIÓN:

Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:

A = { x / x es un elemento químico}

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5. CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO

VACÍO:Conjunto que no tiene elementos.

CONJUNTO

UNITARIO:Conjunto que tiene un elemento.

A = {x / x < 6 , x > 8}

B = {x / xєN, 4<x< 6}

A

B

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CONJUNTO

FINITO:

CONJUNTO

INFINITO:

Conjunto que tiene un número ilimitado de elementos.

Conjunto que tiene un número limitado de elementos.

D = {x / x < 6}

C = {x / xєZ, 4<x<9}

C5

6 78

N1 , 2 , 3 …

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CONJUNTO

UNIVERSAL:Conjunto referencial que contiene a todos los elementos.

U = {x / 0<x<10}

31 7

5D 2

46 8

9

U

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6. RELACION ENTRE CONJUNTOS

INCLUSIÓN:

Un conjunto A está incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de B.

Se lee : A está incluido en B, A es subconjunto de B, A está contenido en B , A es parte de B.

BA

NOTACIÓN : A B

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IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS:

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B

Ejemplo:

A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }

A B (A B) (B A)

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CONJUNTOS DISJUNTOS:

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA:

A B

1

7

5 3

9

2

4

8

6

1.1 UNIÓN

18

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

76

556

A B

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos.A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

19

76

556

A B

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B.A B

A B x /x A x B

Ejemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

1.2 INTERSECCIÓN

20

76

556

A B

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

1.3 DIFERENCIA

21

76

556

A B

El conjunto “B menos A” que se representa: ;es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.

B A

B A x /x B x A

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

B A 8;9

22

76

556

A B

Es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).

A B

A B x /x (A B) x (B A)

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4 8;9

1.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA

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También es correcto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A BA-B B-A

A B

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Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.

Notación: A’ o AC

Ejemplo:

U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y

Simbólicamente: A ' x /x U x A

A’ = U - A

Entonces : A’ = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 }

1.5 COMPLEMENTO

25

12 3

45

6

78

9

UAA

A’={2;4;6,8}

PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

1. (A’)’=A

2. A U A’=U

3. A ∩ A’=Φ

4. U’=Φ

5. Φ’=U

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8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. Dados los conjuntos:

A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34} B = { 2 ;4;6;...;26} C = { 3; 7;11;15;...;31}

a) Expresar B y C por comprensión

b) Calcular: n(B) + n(A)

c) Hallar: A ∩ B , C – A

27

Los elementos de A son:

1 3x1

tt4tt 1 3x2

7 1 3x3

tt tt101 3x11

tt3 tt4

1 3x0

tt1tt

...

A = { 1+3n / nЄZ 0 ≤ n ≤ 11}

Los elementos de B son:

2x2

tt4tt2x3

tt6tt 2x4

tt8tt 2x13

tt tt262x1

tt2tt ...

B = { 2n / n Є Z 1≤ n ≤ 13} n(B)=13

n(A)=12

SOLUCIÓN:

28

A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}

c) Hallar: A ∩ B , C – A

A ∩ B = { 4;10;16;22 }

C – A = { 3;11;15;23;27 }

Sabemos que A ∩ B esta formado por los elementos comunes de A y B, entonces:

Sabemos que C - A esta formado por los elementos de C que no pertenecen a A, entonces:

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2. Expresar la región sombreada en términos de operaciones entre los conjuntos A,B y C.

A B

C

A

B

C

30

B

C

A

CA

B

C

AB

C

[(A ∩ B) – C]

[(B ∩ C) – A]

[(A ∩ C) – B]

U U

SOLUCION:

31

A B

A C

Observa como se obtiene la región sombreada

Toda la zona de amarillo es A U BLa zona de verde es A ∩ B

Entonces restando se obtiene la zona que se ve en la figura : (A U B) - (A ∩ B)

C

Finalmente le agregamos C y se obtiene:

[ (A U B) - (A ∩ B) ] U C ( A Δ B ) U C=

Se realiza una encuesta entre 600 estudiantes sobre los cursos que mas estudian, entre Matemática, Física y

Química se observó que 280 estudian el curso de Matemática ,200 estudian Física, los que no estudian Química son 150 y todos aquellos que estudian dos

asignaturas son en total 130 estudiantes .

¿Cuántos estudian los tres cursos ?

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El universo es: 600

Estudian Física: 200No estudian Química: 150Entonces si estudian Química: 600 – 150 =450M F

Q

a

d

(I) a + e + d + x =280

be

xf

(II) b + e + f + x = 200

c

(III) d + c + f + x = 450

Dato: Estudian 2 cursos 130 ,entonces:

(IV) d + e + f = 130

SOLUCIÓN:

Estudian Matemática: 280

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Sumamos las ecuaciones

Sabemos que : a=280-d-e-x

Si a+b+e=150

380-2x-(d+ e + f ) = 150130

250-2x =150 x = 50Esto significa que 50 estudiantes estudian los 3 cursos

Sabemos que : b=200-e-f-x

280-d-e-x+200-e-f-x+e=150

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9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

SALVADOR TIMOTEO. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. 1° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 521 - 539.

SALVADOR TIMOTEO. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 444 - 480.

MILLER/HEEREN/HORNSBY. MATEMÁTICA RAZONAMIENTO Y APLICACIONES. 2° EDICIÓN. ED. PEARSON. PAG. 49 - 93.