Matemática Básica (Ing.) 1

Sesión 11.3

Álgebra de matrices

Matemática Básica (Ing.)

Algebra de matrices

• Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta.• Necesidad de la modelación usando SEL.• Matrices.• Suma y resta de matrices.• Multiplicación de una matriz por un escalar y matriz cero.• Multiplicación de matrices.• Matriz identidad.• Inversa de una matriz cuadrada.• Verificación de una matriz inversa.• Inversa de una matriz 2x2.• Determinante de una matriz.• Determinante de una matriz.• Menores y cofactores.• Existencia de la inversa de una matriz .• Propiedades de matrices.

Matemática Básica (Ing.) 3

Consideraciones previas

2. Determine las dimensiones de un jardín rectangular que tiene perímetro de 100 pies y área de 300 pies2.

xy

1. La compañía Ruiz invierte un total de $30 000. Una parte al 6% y el resto al 9 %. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa.

Matemática Básica (Ing.) 4

Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta

3. Resuelva los siguientes sistemas

Sistema compatible

determinado

Sistema incompatible

Sistema compatible

indeterminado

2153

532

yx

yx

462

23

yx

yx

61512

254

yx

yx

x

y

x

y

x

y

3

-2

Matemática Básica (Ing.) 5

Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio.

• Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio. • Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y • Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio.

Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre.

Plantee un modelo matemático que permita determinar cuántas bolsas de cada marca de fertilizante deben usarse por acrepara lograr un crecimiento ideal.

Necesidad de la modelación usando SEL

Matemática Básica (Ing.) 6

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de números

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

de m filas y n columnas de números reales y se lee matriz de m n. El orden de la matriz es m n.Si m = n, la matriz es cuadrada.

m filas

n columnas

Matemática Básica (Ing.) 7

Ejemplos

a) La matriz

402

321 tiene orden 2 x 3.

tiene orden 4 x 2.

tiene orden 3 x 3.

b) La matriz

23

12

40

11

c) La matriz

987

654

321

Matemática Básica (Ing.) 8

Notación abreviada para la matriz

También se usa la notación abreviada A = [aij] paraesta matriz.

mnmm

n

n

ij

aaa

aaa

aaa

a

21

22221

11211

A

El elemento aij está en la fila i y la columna j.

Matemática Básica (Ing.) 9

Ejemplo

Determine la matriz A, si:

ji

jiji

ji

,1

4,13,1,1

,0

A

Matemática Básica (Ing.) 10

Suma y resta de matrices

Sean A = [aij] y B = [bij], matrices de orden m n

1. La suma A + B es la matriz de m n.

A + B = [aij + bij]

2. La resta A - B es la matriz de m n.

A - B = [aij - bij]

Matemática Básica (Ing.) 11

Multiplicación de una matriz por unescalar y la matriz 0.

El producto de un número real k y la matrizA = [aij] de orden m n, es la matriz de orden m n

kA = [kaij]

La matriz kA = [kaij] es un múltiplo escalar de A.

La matriz 0 = [0] de orden m n, contieneúnicamente ceros, es la matriz cero.

Si A = [aij], entonces: A + 0 = A

Matemática Básica (Ing.) 12

EjemploSean A = [aij] y B = [bij], matrices de 2 2, conaij = 3i – j y bij = i2 + j2 – 3, para i = 1, 2 y j = 1, 2

1. Determine A y B.

2. Determine el inverso aditivo, -A de A y verifique que A + (-A) = [0].¿Cuál es el orden de [0]?

3. Determine 3A - 2B.

Matemática Básica (Ing.) 13

Sea A = [aij] una matriz de m r y B = [bij] una matriz de r n

El producto AB = [cij] es la matriz m n, donde

Multiplicación de matrices

rjirjijiij bababac 2211

rnrr

n

n

mrmm

r

r

ijij

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

ba

21

22221

11211

21

22221

11211i

j

Matemática Básica (Ing.) 14

La manera de hallar el producto AB con A y B es:

210

312A

01

20

41

B

11)3(0112

1

0

1

31211

c

60)3(21)4(2

0

2

4

31212

c

2120110

1

0

1

21021

c

20221)4(0

0

2

4

21022

c

22

61C

Multiplicación de matrices

¿Existe el producto BA?

Matemática Básica (Ing.) 15

Matriz identidadLa matriz In de n n, con unos en la diagonalprincipal y 0 en el resto de las entradas, es la matriz identidad de orden n n.

1000

0100

0010

0001

nI

Diagonal principal

Ejemplos,

10

012I

100

010

001

3I

Matemática Básica (Ing.) 16

Inversa de una matriz cuadrada

Sea A = [aij] una matriz de orden n n. Si existeuna y matriz B tal que

entonces B es la inversa de A. Escribimos B = A-1 (se lee “A inversa”)

nIBAAB

Matemática Básica (Ing.) 17

Verificación de una matriz inversa

1. Pruebe que las matrices A y B son inversa, una de la otra

12

36A

2. Pruebe que la matriz A es singular, es decir A no tiene inversa.

31

21

11

23BA

Matemática Básica (Ing.) 18

Inversa de una matriz 2 2

Si ad – bc ≠ 0, entonces

ac

bd

bcaddc

ba 11

El número ad – bc es el determinante de lamatriz 2 x 2 se expresa

bcaddc

baA det

dc

baASi entonces

Matemática Básica (Ing.)

Sea A = [aij] una matriz de orden n n (n > 2)El determinante de A, expresado como det A o |A|es la suma de las entradas de cualquier fila ocualquier columna multiplicada por sus respectivoscofactores Aij.

19

Determinante de una matriz

mnmm

n

n

ij

aaa

aaa

aaa

a

21

22221

11211

ininiiii AaAaAa 1211det AA

Matemática Básica (Ing.) 20

Determinante de una matrizPresentemos una matriz A =[aij] de 3 3.

333231

232221

131211

][

aaa

aaa

aaa

aijA

2332

232222

222112

21

232322222121

)1()1()1(

det

MaMaMa

AaAaAa

A

3332

131221 aa

aaM

Se llama cofactor de aij, en este caso de a21

M21 Se llama menor o determinante menor de aij, en este caso de a21

3331

131122 aa

aaM

3231

121123 aa

aaM

Matemática Básica (Ing.) 21

3332

131221 aa

aaM

3331

131122 aa

aaM

3231

121123 aa

aaM

Menores y cofactores

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

La manera de hallar los menores Mij es la siguiente:

i

j

i

j

i

j

En general, los cofactores Aij se determinan así:

Aij=(-1)i+jMij

Matemática Básica (Ing.) 22

Existencia de la inversa de una matrizUna matriz A de n n, tiene una inversa sí y sólosí det A ≠ 0.

Ejemplo

Determine si la matriz tiene una inversa. Si esAsí, encuentre su matriz inversa.

a) b)

24

13A

101

312

121

B

Matemática Básica (Ing.) 23

Propiedades de matricesSean I una matriz identidad; A, B y C matrices cuyos órdenes son tales que las sumas, diferencias y productos siguientes están definidos:

1. Propiedad conmutativa

Suma: A + B = B + A

Mult.: en general no se cumple

2. Propiedad de la identidadSuma: A + 0 = A

Mult.: AI = IA = A

3. Propiedad distributiva

A(B ± C) = AB ± AC

(A ± B)C = AC ± BC

4. Propiedad asociativa

Suma: (A + B) + C = A + (B + C)

Mult.: (AB)C = A(BC)

5. Propiedad del inversoSuma: A + (-A) = 0

Mult.: AA-1 = A-1A = I

Matemática Básica (Ing.) 24

Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.

Ejercicios: 16, 22, 26, 36, 38,40, 64 y 66 de las páginas590 al 593.

Sobre la tarea,

está publicada en el AV Moodle.

Importante