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5/20/2018 Matemtica Bsica (Matemtica Aplicada I)....docx
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EMENTA
Noes de conjuntos numricos e expresses numricas. lgebra elementar. Produtos
Notveis, Fatorao e Fraes Algbricas. Funes e grficos do 1 e 2 grau. Equaes e
sistemas de 1 e 2 grau. Funo Exponencial e Funo Logartmica. Trigonometria no
Tringulo retngulo e na circunferncia.
CONTEDO DA DISCIPLINA
1. Noes de Conjuntos Numricos e Expresses Numricas
2. lgebra Elementar
3. Produtos Notveis
4. Fatorao
5. Fraes Algbricas
6. Funes e Grficos do 1 Grau
7. Equaes e Sistemas de 1 Grau
8. Funes e Grficos do 2 Grau
9. Equaes e Sistemas do 2 Grau
10.Funo Exponencial
11.Funo Logartmica
12.Trigonometria no Tringulo retngulo
13.Trigonometria na circunferncia
BIBLIOGRAFIA ADOTADA
SILVA, Sebastio Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da.
Matemtica bsica para cursos superiores. So Paulo: Atlas, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemtica: volume nico: contexto & aplicaes: ensino mdio. 3.ed.
So Paulo: tica, 2008.
LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica: volume 1. 3.ed. So Paulo: Harbra, 1994.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIEZZI, Gelson; DEGENSZAJN, David; PRIGO, Roberto; DOLCE, Osvaldo. Matemtica: volume
nico. 2.ed. So Paulo: Atual, 2002.
LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P; EDWARDS, Bruce H. Clculo com aplicaes. 6.ed Rio de
Janeiro: LTC - Livros Tcnicos e Cientficos, 2005.
STEWART, James. Clculo: volume 1. 6.ed. So Paulo: Cengage Learning, 2009.
SIMMONS, George Finley. Clculo com geometria analtica: volume 1. So Paulo: Makron
Books,1987.
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1.Noes de Conjuntos Numricos e Expresses Numricas
1.Introduo
Em uma pesquisa com 50 pessoas sobre preferncia de esportes, o resultado obtido
foi: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vlei; 10 gostam de futebol e debasquete; 9 de futebol e vlei; 8 de basquete e de vlei e 5 gostam das trs
modalidades.
a) Quantas pessoas no gostam de nenhum desses esportes?
b) Quantas gostam somente de futebol?
c) Quantas gostam s de basquete?
d) Quantas gostam apenas de vlei?
e)
Quantas no gostam nem de basquete nem de vlei?Para resolver questes deste tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.
2.
A noo de conjunto
Um conjunto uma coleo qualquer de objetos. Por exemplo:
Conjunto dos nmeros primos: B={2,3,5,7,11,13,...}
Conjunto dos nmeros naturais: N={0,1,2,3,4,5,...}
Obs: um conjunto formado por elementos.
3. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos so iguais quando possuem os mesmos elementos. Por
exemplo, se A={nmeros naturais pares} e B={0,2,4,6,8,...}, ento A=B.
Obs: Se A no igual a B ento A diferente de B (AB).
4. Conjunto vazio, unitrio e universo
O conjunto vaziopossui notao . Utiliza-se o conjunto vazio, para
representar uma propriedade contraditria. O conjunto vazio no possui elementos.
Ele pode ser representado por { }.
O conjunto unitrio formado por um nico elemento. Exemplo: {nmeros
naturais pares e primos}={x/x um nmero natural par e primo}={2}, pois o nico
nmero natural e primo.
Obs: {} conjunto unitrio que tem como nico elemento o conjunto vazio.
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O conjunto Universo o conjunto formado por todos os elementos com os
quais estamos trabalhando num determinado assunto. Exemplo: se U o conjunto
dos nmeros naturais, ento a equao no tem soluo; porm, se U o
conjunto dos nmeros inteiros ento a equao tem soluo .
5. Subconjuntos e a relao de incluso
Considere dois conjuntos A e B, se todos os elementos de A forem tambm
elementos de B, dizemos que A um subconjunto de B, dizemos que A um
subconjunto de B, indicamos por .
L-se: A subconjunto de B; A est contido em B; A parte de B.
Se A no for subconjunto de B, escrevemos .
Exemplo: Considerando P o conjunto dos nmeros naturais pares e N oconjunto dos nmeros naturais, temos:
P={0,2,4,6,8,...}, N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}
Nesse caso, .
Obs: Caso houvesse um elemento de P que no fosse de N, logo: .
6. Conjunto das partes
Dado o conjunto A={a, e, i}, possvel escrever todos os subconjuntos
(todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A
chamado conjunto das partes de A e indicado por P(A). Assim, temos:
P(A)={,{a},{e},{i},{a,e},{a,i},{e,i},{a,e,i}}
7. Complementar de um conjunto
Dado o universo U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e o conjunto A={1,3,5,7},dizemos que o complementar de A em relao a U {0,2,4,6,8,9}, ou seja, oconjunto formado pelos elementos de U que no pertencem a A. Indica-se ou ou
. Logo, .
8. Operaes entre conjuntos
Diferena
Dados os conjuntos A={0,1,3,6,8,9} e B={1,4,9,90}, podemos escrever o
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conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que no pertencem a B.
Assim, C={0,3,6,8}.
O conjunto C chamado diferenaentre A e B e indicado por A-B (l-se:
A menos B).De modo geral, escrevemos:Obs: A diferena A-B igual ao .
Reunio ou unio
Dados os conjuntos A={0,10,20,30,50} e B={0,30,40,50,60}, podemos
escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B
ou ambos. Assim, C={0,10,20,30,40,50,60} indicado por AUB (l-se:A reunio de B
ou A unio B)De modo geral, escrevemos:
Exemplo: Se A={3,6} e B={5,6}, ento A U B={3,5,6}
Interseco
Dados os conjuntos A={a,e,i,o,u} e B={a,e,u,b}, podemos escrever o
conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou
elementos comuns a A e B. Assim, C={a,e,u}
O conjunto C chamado intersecode A e B e indicado por (l-se:
A interseco B ou, simplesmente, A inter B).De modo geral, escrevemos:
Propriedades da reunio e da interseco 1
Comutativa
2 Associativa
3 Distributiva
Nmeros de elementos da reunio de
conjuntos
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1 Caso: Sejam A={1,3,5,7,9} e B={0,2,4,6,8}. Observamos que cada conjunto tem
cinco elementos.
Representamos simbolicamente o nmero de elementos por:n(A)=5 e n(B)=5
Logo:
2 Caso: Considerem A={1,3,5,7,9}, B={2,3,5,7}.Ento:
Logo:
Exemplo: Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que
respondessem sim ou no: Gosta de msica? Gosta de esporte? Responderam sim
primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim segunda; 25 responderam sim a
ambas; e 40 responderam no a ambas. Quantos jovens foram entrevistados?
Soluo:
A: conjunto dos que gostam de msica.
B: conjunto dos que gostam de esporte.
: conjunto dos que gostam de ambos.: conjunto dos que s gostam de msica.
: conjunto dos que s gostam de esporte.Portanto, o nmero de entrevistados : ou
9.Conjuntos numricos
Os dois principais objetos com que se ocupa a Matemtica so os nmeros
e as figuras geomtricas. O objetivo deste tpico recordar e aprofundar o que voc
estudou sobre nmeros no ensino fundamental.
Conjunto dos nmeros naturais (N)
O conjunto dos nmeros naturais representado por: N={0,1,2,3,4,...}
N*={1,2,3,4,5,...}
Os nmeros naturais so usados: nas contagens, nos cdigos, nasordenaes.
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Conjunto dos nmeros inteiros (Z)
O conjunto dos nmeros inteiros representado: Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,...}
Z*
={...,-2,-1,1,2,3,...}Destacamos os seguintes subconjuntos de Z:
Conjunto dos nmeros racionais (Q)
Ao acrescentarmos as fraes no aparentes positivas e negativas ao
conjunto Z obtemos o conjunto dos nmeros racionais (Q).
Assim, escrevemos:
Destacamos os seguintes subconjuntos:
Representao decimal dos nmeros racionais
Dado um nmero racional a/b , a representao decimal desse nmero
obtida dividindo-se apor b, podendo resultar em:
Decimais exatas, finitas:
Decimais ou dzimas peridicas, infinitas:
Determinao da frao geratriz do decimal:
Conjunto dos nmeros irracionais (I)
So nmeros decimais que no admitem frao geratriz, so os decimais
infinitos e no-peridicos.
Alguns exemplos: ; ;
Conjunto dos nmeros reais (R)
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a reunio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros
irracionais.
10.Expresses Numricas
So expresses matemticas que envolvem operaes com nmeros.
Exemplo: 7+5-4; 3.5-2; 10/2+5
Prioridade das operaes numa expresso matemtica.
Nas operaes em uma expresso matemtica deve-se obedecer a seguinte
ordem: Potenciao ou radiciao; multiplicao ou diviso; adio ou subtrao.
Observaes quanto a prioridade:
1) Antes de cada uma das trs operaes citadas anteriormente, deve-serealizar a operao que estiver dentro do parnteses, colchetes ou
chaves.
2) A multiplicao pode ser indicada por x ou por um ponto . Ou s
vezes sem sinal, desde que fique claro a inteno da expresso.
Lista 1 Noes de Conjuntos e Expresses Numricas.
1) Escreva o conjunto expresso pela propriedade:
a) x nmero natural par;
b) x nmero natural menor que 8;
c) x nmero natural mltiplo de 5 e menor do que 31;
d) x a letra da palavra CONUNTO;e) x um quadriltero que possui 4 ngulos retos.
2) Escreva uma condio que define o conjunto:
a) {-3,3} d){7,8,9,10,11,...}
b) {1,2}
c) {5}
3) Dados os conjuntos A={1,2}, B={1,2,3,4,5}, C={3,4,5} e D={0,1,2,3,4,5},
classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
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e)
a) f)
b) g)
c) h)
d) 4) Dados U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A={0,2,4,6,8}, B={1,3,5,7,9} e C={2,4},
determine:
a) d)
b) c)
5) Dados os conjuntos A={a,b,c,d,e,f,g}, B={b,dg,h,i} e C={e,f,m,n}, determine:
a) A-B
b) A-C
c) B-C
d) B-A
6) Dados os conjuntos:
A={x/x um nmero natural primo menor do que 10};
B={x/x um nmero natural mltiplo de 2 menor do que 9};
C={x/x um nmero natural divisor de 12};Determine: a)
b)
c)
d)
e) ( )
f) ( )
g)
7)Numa pesquisa feita com 1000 famlias para verificar a audincia dos programas
de televiso, os seguintes resultados foram encontrados: 510 famlias assistem
ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C.
Sabe-se ainda que 180 famlias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos
programas B e C, 25 assistem aos programas A e C, e 10 famlias assistem aos
trs programas.
a) Quantas famlias no assistem a nenhum desses programas?
b) Quantas famlias assistem somente ao programa A?
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c) Quantas famlias no assistem nem ao programa A nem ao programa B?
8)Num levantamento entre 100 estudantes sobre o estudo de idiomas, obtivemos
os seguintes resultados: 41 estudam ingls; 29 estudam francs e 26 estudam
espanhol; 15 estudam ingls e francs, 8 estudam francs e espanhol, 19
estudam ingls e espanhol; 5 estudam os trs idiomas.
a) Quantos estudantes no estudam nenhum desses idiomas?
b) Quantos estudantes estudam apenas um desses idiomas?
9)D a representao decimal dos seguintes nmeros racionais:
a)
b)
c)
d)
10) Determine a geratriz dos seguintes decimais peridicos: a)
0,333...
b) 0,24242424...
c) 0,126126126...
11) Determine o valor de cada uma das seguintes expresses numricas:
a)b)c)d)e)f)
g)
2.Produtos Notveis
Alguns produtos que envolvem expresses algbricas apresentam um
padro, uma regularidade em seus resultados. Vamos estudar os produtos notveis
conhecidos por quadrado da soma, quadrado da diferena, produto da soma pela
diferena, cubo da soma e cubo da diferena.
Quadrado da soma: ou .
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Geometricamente temos: ao dividir o lado do quadrado em duas partes de medidas a
e b, a regio quadrada fica dividida em quatro partes: duas retangulares de rea ab
cada uma, uma quadrada de rea a2e outra quadrada de rea b2.
Exemplos:
Podemos resolver tambm por: (quadrado do primeiro termo)+(2 vezes o
primeiro vezes o segundo termo)+(quadrado do segundo termo).
Quadrado da diferena: ou .
Exemplo:
Podemos resolver tambm por: (quadrado do primeiro termo)-(2 vezes o
primeiro vezes o segundo termo)+(quadrado do segundo termo).
Produto de uma soma pela diferena:
Exemplo:
Cubo da soma:
Geometricame
nte,
indica o volume de um cubo com arestas medindo a+b. Esse cubo pode ser dividido
em: um cubo de arestas a(a3), trs paraleleppedos de arestas a, ae b , trs
paraleleppedos de arestas a, be b e um cubo de arestas b(b3).
Exemplo:
Cubo da diferena:
Exemplo:
Lista 2 Produtos Notveis.
1)Efetue:
a)
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b)
c)d)e)
f)
g)h)
i)j)
k)l)
3.Fatorao de expresses algbricas
Fatorar uma expresso algbrica transform-la em um produto. Existem
vrios casos de fatorao que devem ser utilizados de acordo com as caractersticas da
expresso algbrica a ser fatorada.
Fatorao colocando termo em evidncia.
Vamos fatorar
o fator comum s duas parcelas de . Assim,
Fatorao por agrupamento.
Analise com ateno a expresso algbrica de quatro termos
. No existe um fator comum aos quatro termos. Mas,
agrupando-os de forma conveniente, podemos fazer a sua fatorao
aplicando duas vezes a forma anterior. Veja:
Obs: a fatorao de dois grupos separadamente, deve gerar um
fator comum para uma nova fatorao.
Fatorao do trinmio quadrado perfeito.
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No estudo dos produtos notveis, o quadrado da soma e o quadrado da
diferena de dois termos, nos do trinmios como resultados. Por
exemplo:
O exemplo acima denominado de quadrado perfeito. O caminho inverso
do exemplo a fatorao do trinmio. Veja:
Fatorao da diferena de dois quadrados.
O produto da soma pela diferena igual a diferena entre o quadrado
do 1 termo e o quadrado do 2 termo. exemplo:
O caminho inverso a fatorao da diferena de dois quadrados. Veja:
Lista 3 Fatorao de expresses algbricas.
1)Fatore as expresses, colocando em evidncia o fator comum:
a)
b)c)d)
2)Fatore as expresses seguintes usando a fatorao por agrupamento:
a)
b)c)
d)
3) Escreva as diferenas como produto de uma soma por uma diferena dos
mesmos termos:
a)b)
c)
d)
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4)Faa a fatorao das expresses abaixo:
a)
b)
c)d)
e)f)
4.Fraes algbricas.
Frao algbrica a razo entre um polinmio e um polinmio de grau
no nulo.
Veja alguns exemplos:
Perceba pela definio que, quando o denominador da frao no tem grau
nulo, ele deve ser constitudo de pelo menos uma letra.
Alm disso, por ser uma frao, o denominador deve representar umnmero diferente de zero. Daqui em diante, os denominadores das fraes algbricas
sempre representaro nmeros diferentes de zero.
4.1 Simplificao de fraes algbricas
Para simplificar uma frao, dividimos o numerador e o denominador por
um mesmo nmero, determinando uma frao equivalente.
O mesmo pode ser feito com as fraes algbricas. Para isso, pode ser
necessrio fatorar o numerador e o denominador da frao. Veja dois exemplos:
Orientaes didticas ao abordar as fraes algbricas, faa uma
associao com as fraes numricas, retomando a ideia de equivalncia para
simplificao. Embora nas fraes algbricas a simplificao envolva fatoraes,
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importante o aluno perceber que est sendo realizada uma busca por uma frao que
seja equivalente, isto , escrita de modo diferente, para que possa ser simplificada.
4.2
Operaes com fraes algbricas
Operaes com fraes algbricas do mesmo modo que operamos com as
fraes. Adio algbrica
Para adicionar fraes algbricas, determinamos fraes equivalentes com
denominador comum e adicionamos os numeradores. Observe os exemplos:
Multiplicao algbrica
A multiplicao algbrica feita da mesma forma quando multiplicamos
fraes numricas, em que multiplicamos numerador com numerador e denominadorcom denominador. Na multiplicao algbrica devemos fazer primeiro as simplificaes
antes de efetuar a multiplicao. Vejamos alguns exemplos:
4.3 Equaes fracionrias
Equao fracionria toda equao em que pelo menos um dos termos
uma frao algbrica.
Agora que voc j sabe o que uma frao algbrica, vai estudar
estratgias de resoluo de outros tipos de equaes com uma incgnita. Veja dois
exemplos:
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Lista 4 Fraes algbricas.
1)Escreva uma frase para representar cada uma das fraes algbricas a seguir.
a)
b)
c)
2)Calcule o valor numrico de cada expresso para os valores indicados.
a)
b)
c)
d)
3) Determine todos os valores reais de x para os quais o denominador de cada
frao algbrica a seguir diferente de zero.
a)
b)
c)d)
4) Calcule o valor das seguintes somas. No se esquea de simplific-las quando
possvel.
a)
b)
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c)
d)
5) Calcule e simplifique o valor, quando possvel, de cada um dos seguintes
produtos algbricos.
a)
b)
c)
6)Indique o conjunto universo das seguintes equaes fracionrias e resolva-as:
a)
b)
c)
d)
e)
7)
A soma de com o inverso de um nmero real x igual a 1.a) Escreva uma equao que represente essa situao.
b)
Qual o conjunto universo dessa equao?
c) Determine o valor de x.
5.Funo e Grfico do 1 grau.
1. Introduo
Um representante comercial recebe mensalmente um salrio composto deduas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1500,00, e uma parte varivel, quecorresponde a uma comisso de 6% sobre o total das vendas que ele faz durante oms.
Salrio mensal = 1500,00 + 0,06. (total das vendas do ms)
Observamos ento que o salrio mensal desse vendedor dado em funodo total de vendas que ele faz durante o ms, ou seja:
2. Definio da funo do 1 grau
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Uma funo chama-se funo do 1 grau quando existem doisnmeros reais a e btal que para todo .
Exemplos:
(a=2; b=1)
(a=-1; b=4)
3. Casos particulares importantes da funo do 1 grau
Funo identidade definida por para
todo . Nesse caso, a=1 e b=0.
Funo linear definida por para
todo . Nesse caso, b=0.
Exemplos:
Funo constante definida por para
todo . Nesse caso, a=0.
4.Valor uma funo do 1 grau.
O valor de uma funo do 1 grau para dado por. Por exemplo, na funo do 1 grau , podemos determinar:
5. Determinaode uma funo do 1 grauconhecendo- se seus valores emdois pontos distintos.
Uma funo do 1 grau fica inteiramente determinada quandoconhecemos dois dos seus valores e para quaisquer e reais, com
. Ou seja, com esses dados determinamos os valores de ae de b. Por exemplo:Se , ento para x=2 tem-se , ou seja,Se , ento para x=1 tem-se , ou seja,Determinamos os valores de ae bresolvendo o sistema de equaes:
Resolvendo o sistema temos: a=-3 e b=4, logo:
6. Grfico da funo do 1 grau
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O grfico da funo do 1 grau uma reta. Geometricamente, b aordenada do ponto onde a reta, que grfico da funo , intercepta o eixoOy, pois para x=0 temos .
O nmero a chama-se inclinao ou coeficiente angulardessa reta emrelao ao eixo horizontal Ox. O nmero b chama-se valor inicial da funo f oucoeficiente linear da reta.
Acrescentar grfico...
7.Funo Crescente ou Decrescente
A funo do 1 grau j vimos que uma reta no vertical, ou seja, noparalela ao eixo Oy. A ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y sempre ovalor de b.
O nmero achama-se taxa de variao ou taxa de crescimento da funo.Quanto maior o valor absoluto de a, mais a reta se afasta da posio horizontal.
Para existem duas possibilidades:
Para a reta crescente.
Para a reta decrescente.
Assim, o que determina se a funo do 1 grau , com . Sea positivo, ela crescente; se a negativo, ela decrescente.
No caso de a=0, o valor de permanece constante e o grfico def a reta paralela ao eixo x que passa por (0,b).
Exemplo: dada a funo , de R em R, determine osintervalos de crescimento e decrescimento de f.
Temos duas condies:
Se , ento nesse caso , logo f crescente.
Se , ento nesse caso , logo f decrescente.
8. Estudo do sinal da funo do 1 grau.
Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de mas. Comocada ma ser vendida a R$ 2,00. Ele deseja saber quantas mas devem servendidas para que haja lucro no final da venda. Observe o resultado final dado emfuno do nmero x de mas vendidas, e alei da funo .
Vendendo 150 mas no haver lucro nem prejuzo.
Para x=150, temos . Vendendo mais de 150 mas haver lucro.
Para , temos .
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Vendendo menos de 150 mas haver prejuzo.
Para , temos .
Em situaes como esta, dizemos que foi feito o estudo do sinal da funo,que consiste em determinar os valores de x do domnio para os quais f
.
9. Zero da funo
O valor de x para o qual a funo , se anula, ou seja, parao qual , denomina-se zero da funo.
Para determinar o zero de uma funo, basta resolver a equao .
Exemplo:Geometricamente, o zero da funo a abscissa do ponto de interseo do
grfico da funo com o eixo x.
10. Inequao do 1 grau.
Sendo uma funo, chamamos de inequao toda desigualdadeque, quando reduzida, possui uma das seguintes formas:
Sendo uma funo afim, chamamos inequao do 1 grau todadesigualdade que, quando reduzida, possui uma das seguintes formas:
Exemplo: Resolva, no conjunto dos nmeros reais, a inequao .
11. Sistema de inequaes
Chamamos de sistema de inequaes todo sistema que envolve duas oumais inequaes. A soluo do sistema dada pela interseo das solues dasinequaes.
Exemplo: Resolva o sistema
Inicialmente resolvemos separadamente da uma das inequaes
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Agora, obtemos o conjunto-soluo S do sistema, fazendo a interseo dassolues das inequaes, ou seja,
.
12. Inequao-produto e inequao-quociente
As inequaes-produto e as inequaes-quociente so inequaes queenvolvem, respectivamente, a multiplicao e a diviso de funes.
Sendo f e g funes de R em R, chamamos de inequao-produto asdesigualdades:
Sendo f e g funes de R em R, chamamos de inequao quociente asdesigualdades:
Exemplo: Sendo e , qual a soma dos valoresinteiros de x, tais que
Resoluo: inicialmente, realizamos o estudo do sinal de f e g:
f crescente e tem zero igual a g decrescente e tem zero igual a
Assim, os valores inteiros de x tais que esto no intervalo
e so dados por: -1, 0, 1, 2, 3 e 4, isto : -1+0+1+2+3+4=9
Lista 4 Funo e Grfico do 1 grau.
1) Determine o valor da funo para:
a) X=1
b) X=1/3c) X=0
d) X=k+1
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2) Determine o valor de para cada uma das funes:
a)b)
c)3) Escreva a funo do 1 grau sabendo que:
a)b)
4) Na produo de peas, uma indstria tem custo fixo de R$ 8,00 maiscusto varivel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o nmero deunidades produzidas:
a) Escreva a lei da funo que fornece o custo total de x peas;
b) Calcule o custo de 100 peas;
c) Escreva a taxa de crescimento da funo.
5) Construa o grfico das seguintes funes:a)b)
c)6) Determine a lei da funo cuja reta intercepta os eixos em (-8, 0) e (0,
4). Essa funo crescente ou decrescente?7) Determine a frmula matemtica da funo tal que .8) Sem construir grficos, descubra os pontos em que as retas, cortam o
eixo x e y:a)
b)c)
d)9) Estude a variao do sinal das seguintes funes:
a)b)
c)10) Resolva os sistemas abaixo:
a)
b)c)d)
6.Equaes e Sistemas do 1 grau.
Voc j deve conhecer as equaes do 1 grau com duas incgnitas. Agoraver que nem toda situao pode ser representada por uma nica equao. Veja esteexemplo: a idade de Bia adicionada ao dobro da idade de Lusa resulta em 39; almdisso, Lusa trs anos mais velha do que Ba.
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Para representar essa situao, precisamos de duas equaes, cada umacom duas incgnitas. Acompanhe:
Como ambas as idades no so conhecidas, representamos cada uma delaspor uma letra distinta; x representa a idade de Lusa e y representa a idade de Ba,em que x e y so nmeros naturais diferente de zero. Pelo enunciado do problema,
sabemos que: A idade de Bia, y, adicionada ao dobro da idade de Lusa, 2x, resulta
em 39; ou seja , . Como Lusa trs anos mais velha do que Bia, a idade de Lusa, x,
igual a idade de Bia, y, mais trs unidades; ou seja, .
Assim, podemos fazer a representao com um sistema de equaes do 1grau com duas incgnitas.
A chave colocada no sistema de equaes indica a conjuno e. issosignifica que devemos determinar uma soluo que satisfaa as duas equaes. Comoo sistema composto de equaes do 1 grau com duas incgnitas, essa soluo serdada por um par ordenado.
Resolvendo um sistema de equaes do 1 grau com duasincgnitas.
Vamos estudar dois mtodos para resolver sistemas de equaes: o mtododa substituio e o mtodo da adio. Procure perceber qual deles voc considera mais
adequado para cada sistema.1 Mtodo da Substituio
Para resolver o sistema de equaes do 1 grau pelo mtodo dasubstituio, devemos seguir alguns passos:
Escolhemos inicialmente uma das equaes e isolamos uma das incgnitas;
Substitumos o valor da incgnita isolada anteriormente na outra equao, paradeterminar a primeira incgnita.
Voltamos equao anterior para determinar a segunda incgnita.
Exemplo: resolver o sistema pelo mtodo da substituio
2 Mtodo da Adio
Devemos seguir alguns passos para resolver o sistema de equaes pelo
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mtodo da adio.
Devemos adicionar membro a membro das duas equaes;
Aps adicionar as equaes, uma das incgnitas ser eliminada (simtrica) detal forma de determinamos o valor da primeira incgnita.
Substitumos o valor da incgnita determinada anterior em qualquer uma das
equaes para determinar a segunda incgnita.
Exemplo: resolver o sistema pelo mtodo da adio
Adicionando as duas equaes membro a membro temos:
Observaes:
Dependendo da soluo determinada pelo sistema temos:
Sistema Possvel e DeterminadoAs retas apresentadas no plano cartesiano soconcorrentes, dizemos que esse sistema tem uma nica soluo(pontos em que asretas se cruzam).Sistema Possvel e Indeterminado As retas apresentadas no plano cartesianoso paralelas coincidentes, dizemos que esse sistema tem infinitas solues(pontos na prpria reta).
Sistema Impossvel As retas apresentadas no plano cartesiano so paralelasdistintas, dizemos que esse sistema no tem soluo(no pontos de interseco).
Atividade:
1)Resolva os sistemas abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
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i)
j)
k)
7.Funes e grfico do 2 grau.
Neste captulo, vamos estudar mais detalhadamente as caractersticas dafuno polinomial do 2 grau com uma varivel, tambm chamada de funoquadrtica.
Definio
A funo dada por , com a, b e c reais e ,denomina-se funo polinomial do 2 grau ou funo quadrtica. Os nmerosrepresentados por a, b e c so os coeficientes da funo. Note que se temos umafuno do 1 grau ou uma funo constante.
Assim, so funes polinomiais do 2 grau:Coeficientes:
Coeficientes:
Coeficientes:
Coeficientes:
Grfico de uma funo quadrtica.
Para construir o grfico de uma funo quadrtica, vamos atribuir algunsvalores varivel x e determinar as respectivas imagens y, assinalando os pontosobtidos (x,y) num plano cartesiano.
Como o domnio de uma funo do 2 grau em geral, o conjunto R, noser possvel representar o seu grfico integralmente. Vamos ento representar
alguns de seus pontos, tentar descobrir a forma do grfico e verificar se h algumaregularidade.
O grfico de uma funo polinomial do 2 grau ou quadrtica uma curvaaberta chamada deparbola.
Para evitar a determinao de um nmero muito grande de pontos e obteruma boa representao grfica, vamos destacar trs importantes caractersticas dogrfico da funo quadrtica: concavidade; posio em relao ao eixo x; localizaodo seu vrtice.
Exemplo: Construir o grfico da funoX Y (x,y)
-3 9 (-3, 9)
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-2 4 (-2, 4)
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 4 (2, 4)
3 9 (3, 9)
Fazer grfico....
Exemplo: Construir grfico da funo .
X Y (x,y)
-1 9 (-1, 9)
0 3 (0, 3)
1 1 (1, 1)
2 3 (2, 3)
3 9 (3, 9)
Fazer grfico.....Exemplo: Construir grfico da funo .
X Y (x,y)
-3 0 (-3, 0)
-2 10 (-2, 10)
-1 16 (-1, 16)0 18 (0, 18)
1 16 (1, 16)
2 10 (2, 10)
3 0 (3, 0)
Fazer grfico....
Concavidade
Podemos observar que em algumas parbolas a abertura ou concavidadeest voltada para cima, enquanto em outras est voltada para baixo.
Observe:
Em , temos (Concavidade voltada para cima)
Em , temos (Concavidade voltada para cima)
Em , temos (Concavidade voltada para baixo)
Em , temos (Concavidade voltada para baixo)
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A concavidade de uma parbola que representa uma funo quadrticado 2 grau depende do sinal do coeficiente de a.
Zeros de uma funo do 2 grau.
J vimos que os zeros ou razes de uma funo f(x) so os valores dodomnio para os quais .
Assim, os zeros ou razes da funo quadrtica so asrazes da equao do 2 grau .
Vejamos o roteiro:
Equao: com .
Razes: , onde
Se , ento as duas razes so reais e diferentes: .
Se , ento as duas razes so reais e iguais:
Se , ento no h razes reais.
Por exemplo, para determinar as razes da funo ,fazemos:
Ento, os nmeros 1 e 6 so os zeros da funo .
Atividade:
1) Determinar os zeros das funes:
a)b)c)
d)
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e)f)
2) Determine o parmetro real k, de modo que a funotenha:
a) Dois zeros reais diferentes;b) Um zero real duplo;
c) Nenhum zero real.
Vrtice da parbola.Para construo do grfico da funo quadrtica e outras aplicaes que
veremos mais adiante, importante determinar as coordenadas do vrtice daparbola.
Vamos analisar, por exemplo, a funo . Nessa funo, temosque o grfico uma parbola com concavidade voltada para cima e as razes ou zerosso .
Para determinar as coordenadas do vrtice V, vamos lembrar quetoda parbola possui um eixo de simetria que passa por esse ponto. No caso emestudo, o eixo de simetria paralelo ao eixo y.
Assim, os pontos so equidistantes do ponto , onde oeixo de simetria corta o eixo x, e a mdia aritmtica dos nmeros -1 e 3.
Se , podemos determinar .
Ento, a coordenada do vrtice .
Existe uma outra maneira de determinar as coordenadas do vrtice daparbola, utilizando as expresses:
Observaes:
Se a funo possui uma raiz dupla, o seu grfico corta o eixo x num
nico ponto que evidentemente, ser o vrtice.
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Se a funo no possui zeros reais, a parbola no corta o eixo x. no
entanto, nesse caso, continuam valendo as frmulas que determinamo vrtice da parbola.
Atividade:
1)Determinar os vrtices da parbola abaixo:
a)b)
c)d)e)f)
Valor mnimo ou valor mximo da funo do 2 grau.
Pelos esboos dos grficos das funes quadrticas voc pode perceber que,dependendo da posio da parbola (concavidade para cima ou para baixo), a funopode ter um valor mnimo ou um valor mximo, e que esses valores correspondem ordenada do vrtice da parbola.
De modo geral, dada a funo tal que , com ,se o vrtice da parbola correspondente, temos ento:
o valor mnimo de
o valor mximo de
Atividade:
1) Determine o vrtice V da parbola que representa a funo quadrtica:
a)b)c)
2) Determine o valor k para que a funo admitavalor mximo.
3)
Qual o valor de m para que a funo admite valormnimo?
4) Faa o esboo do grfico das seguintes funes quadrticas e determine oconjunto imagem de cada uma delas:
a)b)c)
Estudo do Sinal da funo do 2 grau.
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Estudar o sinal da funo quadrtica , , significadeterminar os valores reais de x para os quais f(x) se anula , f(x) positiva
e f(x) negativa .
O estudo do sinal da funo quadrtica vai depender do discriminante, da equao do 2 grau correspondente , do coeficiente a
e dos zeros da funo (se existirem).Dependendo do discriminante, podem ocorrer trs casos e, em cada caso,
de acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situaes:
1 Caso:
Neste caso:
A funo admite dois zeros reais diferentes, .
A parbola que representa a funo intersecta o eixo x em dois
2 Caso:
Neste caso:
A funo admite um zero real duplo
A parbolaque representa a funotangencia o eixo x.
pontos.
=0= ="
>0
"
0
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3 Caso:
Neste caso:
A funo no admite zero real.
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Exemplo: Estudar o sinal da funo .
em que
Zeros da funo:
Para:
Exemplo: examinar o sinal da funo
Para:
Atividade: Estude os sinais das seguintes funes:
a)
b)c)
d)
e)
Inequaes do 2 grau.
Denomina-se inequao do 2 grau na varivel x, toda desigualdade quepode ser reduzida a uma das formas:
.
Exemplo: Resolver a inequao
Vamos estudar os sinais da funo
Exemplo:Determinar o
conjuntosoluo da
inequao
Vamos analisar os sinais da funo.
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Como devemos ter .
Atividade: Resolva as seguintes inequaes do 2 grau.
a)b)c)
d)
e)f)
Sistemas de inequaes do 2 grau
H alguns sistemas de inequaes que apresentam uma ou mais inequaesdo 2 grau. Para resolver esses sistemas devemos resolver cada inequaoseparadamente e depois achar a interseco das respectivas solues.
Exemplo: Resolver o sistema de inequaes
Fazendo a interseco entre as solues temos:
Atividade: Determine o conjunto dos valores de x que satisfazem o sistema deinequaes:
a)
b)c)
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d)
e)
Inequao-produto e inequao-quociente.
Vamos estudar as chamadas inequaes-produto e inequaes-quociente,onde aparecem uma ou mais funes quadrticas.
Para resolver inequaes desse tipo, procedemos da seguinte maneira:
1) fazemos os estudo dos sinais de cada funo separadamente.
2) colocamos os resultados em um quadro de sinais.
3) analisamos o sinal do produto ou do quociente das funes, levando emconta as regras dos sinais da multiplicao e diviso de nmeros reais.
Exemplo: Resolver a inequao
Vamos estudar os sinais dasfunes .
Exemplo: Resolver a
inequao
Atividade:
1)Resolva as seguintes inequaes-produto:a)b)c)d)2)Resolva as seguintes inequaes-quociente:
a)
b)
c)
d)
Equaes e Sistemas do 2 grau
1.Equao do 2 grau
Denomina-se equao do 2 grau na incgnita xtoda equao naforma:
2 + + = 0; ,, 0
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Verifique que:
2 5+ 6 = 0(= 1; = 5; = 6) 62 1 = 0(= 6; = 1; = 1) 72 = 0(= 7; = 1; = 0)
2 36 = 0(= 1; = 0; = 36)
Obs: Quando be c, em uma equao do 2 grau, so diferentes de zero, a equao completa. Ex: 2 9+ 20 = 0
Quando bou c igual a zero, ou ainda quando ambos so iguais a zero, a equao incompleta. Ex: 2 36 = 0
2.Resoluo de equaes do 2 grau
Resolver uma equao do 2 grau significa determinar suas razes.Raz de uma equao o nmero que, ao substituir a incgnita da equao,
transforma-se em uma sentena verdadeira. O conjunto formado pelas razes de umaequao denomina-se conjunto verdadeou conjunto soluo.
Resoluo de equaes incompletas
Resolver uma equao significa determinar o seu conjunto verdade.Utilizaremos, na resoluo de uma equao incompleta, as tcnicas da fatorao eduas importantes propriedades dos nmeros reais:
1aPropriedade:
Se , .= 0,= 0 = 0.
2aPropriedade:
Se .
Observe a seguir as formas de resoluo para os casos de equaesincompletas.
1 Caso: Equao do tipo:Exemplo: Determine as razes da equao .
2 Caso: Equao do tipo:
Exemplo: Determine as razes da equao
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Observaes: A equao incompleta do tipo (b=c=0) admite uma nica
soluo: x=0. S={0}. Caso existam razes na equao da forma , estas sero
simtricas.
Resoluo das equaes completas.
Para solucionar equaes completas do 2 grau, utilizaremos a frmula deBhaskara. Com base na equao , em que ,desenvolveremos da seguinte forma:
onde: (Discriminante)
Exemplo: Resolva a equao
Atividade:1)Resolva as seguintes equaes, sendo .
a)b)c)d)e)f)g)h) 3.
2)Resolva as seguintes equaes:
a)b)c)d)
e)
f)
g)
h)
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i)
j)
k)
3.Relaes entre os coeficientes e as razes.
Considere a equao , com , e as razes reaisdessa equao.
Observe as seguintes relaes:
Soma das razes (S).
Produto das razes (P).
Essas relaes so denominadas relaes de Girard.
Exemplos: Determine a soma e o produto das razes da equao
Exemplo: Determine o valor de k na equao , de modo que a
soma de suas razes seja igual a 7.
Composio de uma equao do 2 grau, conhecidas as razes.
Considere a equao do 2 grau . Dividindo todos os termospor a, obtemos:
Exemplo: Componha a equao do 2 grau cujas razes so -2 e 7.
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Logo,
Forma fatorada de uma equao do 2 grau.
Considere a equao . Colocando o valor de a em
evidncia, obtemos: . Sabemos que e , logopodemos escrever:
(forma fatorada).
Exemplo: Escreva na forma fatorada a equao .
Primeiramente devemos determinar as razes da equao que so: .
Observao:
Quando o (negativo) a equao no possui razes reais, logo, aequao no possui forma fatorada.
Atividade:
1)Calcule a soma e o produto das razes sem resolver as equaes:
a)b)c)
d)e)
2) Determine o valor de p na equao , de modo que a soma desuas razes seja igual a 12.
3) Determine o valor de m na equao de modo que o produtode suas razes seja igual a -2.
4) Escreva na forma fatorada, as seguintes equaes:
a)b)c)d)e)
5) Simplifique as seguintes fraes algbricas:
a)b)
c)
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d) Equao Biquadrada
toda equao do tipo , com
Utilizamos um artifcio, fazendo . Assim obtemos uma equao do 2grau.
Exemplos:
Como , temos:
Para:
Para:
Exemplo:
Para:
Para:
Equao Irracional
Equao irracional aquela que apresenta incgnita sob radical. A soluoobtida isolando o radical num dos membros, eliminando-o e elevando os doismembros da equao a uma potncia conveniente.
Exemplo:
Exemplo:
Sistemas de equaes do 2 grau
Situao-problema: O banheiro e a cozinha da casa tm a forma de umquadrado. A soma do permetro dos dois cmodos 32 m e a soma da rea 34 m2.Quais so as dimenses dos dois cmodos?
Matematicamente, temos:
Permetro:
rea:
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Isolando y, na 1 equao:
Substituindo y na 2 equao:
Para: , obtemos logoPara: , obtemos
logo
Atividade:
1)Resolva as seguintes equaes biquadradas:
a)b)c)d)
2)Resolva as seguintes equaes irracionais:
a)b)
c)d)e)
3)Resolva os seguintes sistemas de equaes:
a)
b)
c)
d)
Boa Sorte!
FUNO EXPONENCIAL
Revendo potenciao
Sendo aum nmero real e num nmero natural, com , temos:
Observao:
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Propriedades:
i. Ex: ii.
Ex: iii.
iv.
v.
Ex:
vi.
Ex:
Ex:
Atividade:
1)
Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2) Aplicando a definio, calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
Equaes Exponenciais
Resolver equao exponencial determinar o valor da varivel (x). Para determinar a
varivel basta igualarmos as bases. Vejamos:Ex:
Para resolver algumas equaes exponenciais, vamos fazer algumas transformaes e
usar artifcios.
Exemplo:
Para:
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Exemplo:
Para:
Atividade:
1)Resolva as equaes exponenciais:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2)Resolva as equaes:
a)
b)
c)
d)
Funo Exponencial
A funo dada por denominada funo exponencial
de base a.
Exemplo:
Vamos examinar o comportamento da funo exponencial traando o seu
grfico no plano cartesiano.
Temos dois casos:
1 Caso:
Exemplo:
x
-2
-1
0
1
2
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3
Observao: Quanto maior o expoente x, maior a potncia , ou seja, se afuno crescente.
2 Caso:
Exemplo:
x
-3
-2
-1
0
1
2
Observao: Quanto maior o expoente x, menor a potncia , ou seja, se a
funo decrescente.
Observando os dois grficos, temos:
O domnio da funo D=R.
O contradomnio da funo CD=R.
A imagem da funo (reais positivos).
Para finalizar, lembramos que existem fenmenos que podem ser descritos por meio deuma funo do tipo exponencial:
Juros do dinheiro acumulado.
Crescimento ou decrescimento de populaes animais e vegetais.
Desintegrao radiotiva.
Inequaes exponenciais
Com base no crescimento e no decrescimento da funo real , com ,podemos comparar quaisquer dois de seus expoentes.
1 caso:
(o sentido da desigualdade se conserva.)
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2 caso:
(o sentido da desigualdade se inverte.)
Exemplo: Resolva a inequao
Como a base maior que 1, temos:
(o sentido da desigualdade se conserva)
Exemplo: Resolva a inequao .
Como a base est compreendida entre 0 e 1. (o sentido da desigualdade inverte).
Atividade: Resolva as inequaes exponenciais:
a)
b)
c)
d)
Boa Sorte!
Funo Logartmica
O que logaritmo
Nos sculos XVI e XVII, vrios matemticos desenvolveram estudos visando
simplificao do clculo. Nesse sentido, construram tabelas relacionando nmeros
naturais e os expoentes de 10 correspondentes a cada um. A esses expoentes deram o
nome de logaritmos.
A palavra logaritmo vem do grego: logos (razo)+arithmos (nmero).
5
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Dizemos que o logaritmo de um nmero positivo b, na base a, positiva ediferente de 1, o expoente x ao qual se deve elevar apara se obter b.
Onde: a denominado de base; b denominado de logaritmando e x ologaritmo.
O
conjunto dos logaritmos na base 10 de todos os nmeros reais positivos
chamado de sistema de logaritmos decimais ou de Briggs.
Exemplos:
Condio de existncia de um logaritmo
No existe logaritmo x quando o logaritmando negativo ou quando a base negativa ou igual a 1.
Para existir, devemos ter:
Logaritmando positivo:
Base positiva e diferente de 1:
Exemplos:
Conseqncia da definio
Supondo que estejam satisfeitas as condies de existncia dos logaritmos,
verifica-se que:
i.
O logaritmo de 1 em qualquer base e igual a zero.
ii.
O logaritmo da prpria base igual a 1.
iii.
O logaritmo de uma potncia da base igual ao expoente.
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iv. O logaritmo de bna base a o expoente ao qual devemos elevar apara obter b.
Equaes logartmicas
Elas apresentam a incgnita envolvida com logaritmos e, por esse motivo, sochamadas de equaes logartmicas.
Observe alguns exemplos de equaes:
Para resolv-las aplicaremos, alm da definio de logaritmo, a seguintepropriedade:
Propriedades dos logaritmos
O
conceito de logaritmo apareceu como uma tentativa de simplificar o
clculo em uma poca em que no existiam as calculadoras. Com os logaritmos as
operaes so substitudas por outras mais simples: potenciaes por multiplicaes,
multiplicaes por adies, divises por subtraes.
Essas transformaes de operaes mais complicadas em outras mais simplessero apresentadas na forma de propriedades. Vejamos:
i.
Logaritmo de um produto - O logaritmo de um produto igual soma doslogaritmos dos fatores, tomados na mesma base, isto :
log(.) = log+ log,> 0, > 0 1 > 0
ii.
Logaritmo de um quociente O logaritmo de um quociente igual aologaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base,
isto :
iii.
Logaritmo de uma potnciaO logaritmo de uma potncia igual ao produtodo expoente pelo logaritmo da base da potncia, isto :
log= .log,> 0,1 > 0
Exemplo: Sendo log2 = 0,301,log 3 = 0,477 log 5 = 0,699, calcule:
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log8 = log 23 = 3.log2 = 3.0,301 = 0,903log 6 = log(2.3)
= log 2 + log3 = 0,301 + 0,477 = 0,778
Mudana de base
Usando uma tabela de logaritmos decimais ou uma calculadora cientfica,
tambm possvel calcular qualquer logaritmo em uma outra base, diferente de 10. Para
facilitar os clculos apresentaremos uma frmula conhecida como frmula da mudana
de base.
Exemplo: Sendo log 2 = 0,3 log 3 = 0,4, calcule log2 6.
Funo logartmica
A funo inversa da funo exponencial a funo logartmica. Observe:
= = logpermutando as variveis, = log.
Graficamente, temos:
Base: , a funo crescente.
Base: , a funo
decrescente.
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Atividade:
1)
Usando a definio, calcule:
a)
b)
c)
d)
2)
Determine o conjunto dos valores reais de x para que seja possvel definir:
a)
b)
c)
3)
Ache os valores de x para os quais possvel determinar:a)
b)
c)
d)
4) Escreva na forma de um nico log:
a)
b)
c) 4.
d)
BOA SORTE!
TRIGONOMETRIA NO TRINGULO RETNGULO
Se ABC um tringulo retngulo em A, temos:
a a medida da hipotenusa (lado oposto aos ngulo
reto);
b e c so as medidas dos catetos (lados que formamo ngulo reto);
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so ngulos agudos; o cateto oposto ao ngulo B; o catetoadjacente ao ngulo B.
As relaes dependem apenas do ngulo (e no do tamanho do tringulo retngulodo qual um dos ngulos agudos). Ela chamada de seno de e escrevemos:
Exemplo: Examine o tringulo retngulo da figura abaixo e
calcule o valor destas razes:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERNCIA
Nesse novo contexto, o tringulo retngulo insuficiente para as definies
necessrias e precisamos estabelecer um novo ambiente para a Trigonometria: a
circunferncia unitria ou o crculo unitrio (tambm chamado circunferncia
trigonomtrica).
Unidades para medir arcos de circunferncia
As unidades mais usadas para medir arcos de circunferncia (ou ngulos) so
o grau e o radiano.
Grau: quando dividimos uma circunferncia em 360 partes congruentes, cada
uma dessas partes um arco de um grau .
Radiano: um arco de um radiano (1 rad) um arco cujo comprimentoretificado igual ao raio da circunferncia.
Relao entre as unidades para medir arcos
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:arco de 3600ou arco de rad;
:arco de 900ou arco de rad;
:arco de 1800ou arco de rad;
:arco de 2700ou arco de rad.
Observao: considerando que um arco de 1800mede rad, podemos fazera converso de unidades usando uma regra de trs simples.
Exemplo: Converta 300em radianos.
Determinao de quadrantes
Os eixos x e y dividem a circunferncia unitria em quatro partes congruentes
chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas apartir de A no sentido positivo.
0 e 1 quadrante: entre 00e 900ou
rad.
2 quadrante: entre 900e 1800ou rad.
3 quadrante: entre 1800 e 270
rad.
4 quadrante: entre 2700 e 3600 ou
rad.
Valores Notveis
0 1 0 0
1 0 0 1
0 1 0 0
Estudo da funo Seno
Dado um nmero real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ngulo (ou arco) de xradianos. Definimos a funo seno como a funo real de variveis reais que associa a cada nmero real x o
valor real , ou seja, , .
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Observaes:
I. Funo seno a funo de R em R definida por ;
II. A funo seno tem ;
III.
A funo seno funo mpar, isto , ;
IV.
A funo seno peridica de perodo ;
V.
, para ;VI. , para x do 1 e 2 quadrantes; VII. , para x do 3 e 4
quadrantes.
Estudo da funo Cosseno
Dado um nmero real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ngulo (ou arco) de
x radianos. Definimos a funo seno como a funo real de variveis reais que associa a cada nmero real x
o valor real , ou seja, , .
Observaes:
I.
Funo cosseno a funo de R em R definida por ;
II. A funo cosseno tem ;
III. A funo cosseno funo par, isto , cos ;
IV.
A funo cosseno peridica de perodo ;
V. , para ;
VI. , para x do 1 e 4 quadrantes; VII. , para x do 2 e 3
quadrantes.
Estudo da funo Tangente
Definimos a funo tangente como a funo real de variveis reais que associa a cada nmero
real x o valor , desde que x no seja nem e nenhum de seus respectivos arcos cngruos,
isto : em que .
Observaes:
I. A funo tangente funo mpar, isto , ;
II.
A funo tangente peridica de perodo , isto ,
;
III.
, para ;IV. , para x do 1 e 3 quadrantes; V. , para x do 2 e 4
quadrantes.
Outros tipos de funes trigonomtricas
A partir das idias j conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante,
secante e cotangente de x. Assim:
I.
II.
III.
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