Matematica C3 - Algebra 1, quarta edizione (versione completa a

MATEMATICA C3

ALGEBRA 1

Testo per il primo bienniodella Scuola Superiore di II grado

Matematicamente.it

4◦Edizione - 2013

Matematica C3– Algebra 1Copyright © 2013 Matematicamente.it

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COORDINATORI DEL PROGETTO Antonio Bernardo, Anna Cristina Mocchetti, Claudio Carboncini.

AUTORI Claudio Carboncini, Antonio Bernardo, Erasmo Modica, Anna Cristina Mocchetti, Germa-no Pettarin, Francesco Daddi, Angela D’Amato, Nicola Chiriano.

HANNO COLLABORATO Laura Todisco, Daniele Zambelli, Michela Todeschi, Nicola De Rosa, Pao-lo Baggiani, Luca Tedesco, Vittorio Patriarca, Francesco Speciale, Alessandro Paolino, Luciano Sarra,Maria Rosaria Agrello, Alberto Giuseppe Brudaglio, Lucia Rapella, Francesca Lorenzoni, Sara Gobbato,Mauro Paladini, Anna Maria Cavallo, Elena Stante, Giuseppe Pipino, Silvia Monatti, Andrea Celia, Gem-ma Fiorito, Dorotea Jacona, Simone Rea, Nicoletta Passera, Pierluigi Cunti, Francesco Camia, Anna Ri-ta Lorenzo, Alessandro Castelli, Piero Sbardellati, Luca Frangella, Raffaele Santoro, Alessandra Marrata,Mario Bochicchio, Angela Iaciofano, Luca Pieressa, Giovanni Quagnano.

PROGETTAZIONE E IMPLEMENTAZIONE IN LATEX Dimitrios Vrettos.

COLLABORATORI Claudio Carboncini, Silvia Cibola, Tiziana Manca.

COLLABORAZIONE, COMMENTI E SUGGERIMENTI Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiorna-mento del manuale Matematica C3 - Algebra 1 o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivia [email protected].

Versione del documento: 4.0 del 10 aprile 2013.Stampa quarta edizione: aprile 2013.ISBN 9788896354438

DATI TECNICI PER L’ADOZIONE DEL LIBRO A SCUOLA

Titolo: Matematica C3, Algebra 1 - quarta edizione.Codice ISBN: 9788896354438Editore: Matematicamente.it.Anno di edizione: 2013.Prezzo: e 0,00.Formato: ebook (PDF).

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Indice

Prefazione v

I Numeri 1

1 Numeri naturali 31.1 L’origine dei numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Il sistema di numerazione decimale posizionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 I numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Rappresentazione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Operazioni con i numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Addizione e moltiplicazione di numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Sottrazione e divisione di numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Proprietà delle operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1 Proprietà commutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Proprietà associativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.3 Elemento neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.4 Proprietà distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.1 Proprietà delle potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Numeri Primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8 Criteri di divisibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9 Scomposizione in fattori primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo . . . . . . . . . . . . . . 151.11 Espressioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11.1 Regole per semplificare le espressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.12.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.12.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Numeri interi relativi 292.1 I numeri che precedono lo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 I numeri relativi e la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3 Confronto di numeri relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Le operazioni con i numeri relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.3 Somma algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

iii

iv Indice

2.4.4 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.5 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.6 Potenza di un numero relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi . . . . . . 362.4.8 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione . . . . 37

2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Frazioni e numeri razionali 473.1 Premessa storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3 Dalle frazioni ai numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4 La scrittura dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4.1 Numeri periodici particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 I numeri razionali e la retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6 Confronto tra numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.7 Le operazioni con i numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7.2 Sottrazione di frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7.4 Operazione inversa e aritmetica dell’orologio . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7.5 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.8 Potenza di una frazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.8.1 Potenza con esponente uguale a zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.8.2 Potenza con esponente un numero intero negativo . . . . . . . . . . . . . 64

3.9 Notazione scientifica e ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.9.1 Come trasformare un numero in notazione scientifica? . . . . . . . . . . 653.9.2 Ordine di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.10 Problemi con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.10.1 Problemi diretti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.10.2 Problemi inversi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.11 Le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.11.1 Problemi con le percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.11.2 Problemi con gli sconti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.12 Proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.12.1 Calcolo di un medio o un estremo incognito . . . . . . . . . . . . . . . . 733.12.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali . . . . . . . . . . 74

3.13 Espressioni con le frazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.14 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


4 Introduzione ai numeri reali 1094.1 La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante . . . . . . . . . 109

Indice v

4.2 I numeri irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.3 Operazioni con le radici quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.1 Prodotto di radicali quadratici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.3.2 Trasporto di un fattore fuori dalla radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3.3 Potenza di un radicale quadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3.4 Quoziente di radicali quadratici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3.5 Somma algebrica di radicali quadratici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3.6 Razionalizzazione del denominatore di una frazione . . . . . . . . . . . 1154.3.7 Espressioni con i radicali quadratici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 I sistemi di numerazione 1195.1 La scrittura in base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2 Scrittura di un numero in una base qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.2.1 Convertire un numero da una base diversa da 10 a base 10 . . . . . . . . 1215.2.2 Convertire un numero da base 10 a una base diversa da 10 . . . . . . . . 121

5.3 Conversione da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10 . . . . . . 1235.3.1 Conversione tra base 4, base 8, base 16 e base 2 . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4 Operazioni in base diversa da dieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4.1 Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.4.2 Sottrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.4.3 Moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.4.4 Divisione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.5.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

II Insiemi 133

6 Generalità sugli insiemi 1356.1 Insiemi ed elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.2 Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2.1 Cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7 Rappresentazione degli insiemi 1417.1 Rappresentazione tabulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.3 Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.4.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8 Operazioni con gli insiemi 1498.1 Sottoinsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.2 Insieme delle parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

vi Indice

8.3 Insieme unione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.3.1 Proprietà dell’unione tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.4 Insieme intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.4.1 Proprietà dell’intersezione tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4.2 Proprietà distributiva dell’intersezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4.3 Insieme differenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.4.4 Proprietà della differenza tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.5 Insieme complementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.6 Leggi di De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.7 Prodotto cartesiano fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.7.1 Proprietà del prodotto cartesiano tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.7.2 Rappresentazione del prodotto cartesiano tra insiemi . . . . . . . . . . . 157

8.8 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema . . . . . . . . . . . . 1598.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163


III Calcolo Letterale 175

9 Espressioni letterali e valori numerici 1779.1 Lettere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

9.1.1 Lettere per esprimere formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.1.2 Lettere per descrivere schemi di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.1.3 Lettere per esprimere proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

9.2 Il valore numerico di un’espressione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1789.3 Condizione di esistenza di un’espressione letterale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1799.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10 Monomi 18710.1 L’insieme dei monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.2 Valore di un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18910.3 Moltiplicazione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.3.1 Proprietà della moltiplicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.4 Potenza di un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.5 Divisione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.6 Addizione di due monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

10.6.1 Addizione di due monomi simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.6.2 Addizione di monomi non simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10.7 Espressioni con i monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19410.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi . . . . . . . 195

10.8.1 Massimo Comune Divisore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19510.8.2 Minimo comune multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

10.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Indice vii


11 Polinomi 20711.1 Definizioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.2 Somma algebrica di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20911.3 Prodotto di un polinomio per un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20911.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.5 Prodotto di polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21011.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212


12 Prodotti notevoli 21912.1 Quadrato di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21912.2 Quadrato di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22012.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza . . . . . . . . . . . 22012.4 Cubo di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22112.5 Potenza n-esima di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22112.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223


13 Divisione tra due polinomi 23313.1 Polinomi in una sola variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23313.2 Polinomi in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23713.3 Regola di Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

13.3.1 Calcolo del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24113.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242


IV Equazioni 247

14 Identità, equazioni, equivalenza 24914.1 Identità ed equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

14.1.1 Ricerca dell’insieme soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25114.2 Prinicipi di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

14.2.1 Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado . . . . . . . . 25214.3 Equazioni a coefficienti frazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

14.3.1 Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1 . . . . . . 25514.3.2 Equazioni in cui l’incognita scompare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25514.3.3 Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

14.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25814.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

viii Indice

14.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

15 Problemi di I grado in un’incognita 26715.1 Un po’ di storia e qualche aneddoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

15.1.1 Risoluzione dei problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26815.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

15.2.1 Problemi con i numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27215.2.2 Problemi dalla realtà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27315.2.3 Problemi di geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27615.2.4 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

V Scomposizione e Frazioni 281

16 Scomposizione in fattori 28316.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28316.2 Raccoglimento totale a fattore comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28316.3 Raccoglimento parziale a fattore comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28516.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287


17 Riconoscimento di prodotti notevoli 29317.1 Quadrato di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29317.2 Quadrato di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29417.3 Cubo di un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29517.4 Differenza di due quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29617.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298


18 Altre tecniche di scomposizione 30318.1 Trinomi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30318.2 Scomposizione con la regola Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30518.3 Somma e differenza di due cubi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30718.4 Scomposizione mediante metodi combinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30818.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313


19 MCD e mcm tra polinomi 32319.1 Divisore comune e multiplo comune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32319.2 Massimo Comun Divisore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32319.3 Minimo comune multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32419.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325


Indice ix

20 Frazioni algebriche 32720.1 Definizione di frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32720.2 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 32820.3 Semplificazione di una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32920.4 Moltiplicazione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33020.5 Potenza di una frazione algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

20.5.1 Casi particolari dell’esponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33120.6 Divisione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33220.7 Addizione di frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

20.7.1 Proprietà della addizione tra frazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . 33320.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335


VI Algebra di Primo Grado 349

21 Equazioni 35121.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado . . . . . . . . . 35121.2 Equazioni numeriche frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35221.3 Equazioni letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

21.3.1 Equazioni con due parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35521.3.2 Equazioni letterali, caso in cui il denominatore contiene il parametro . . 35621.3.3 Equazioni letterali frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

21.4 Equazioni letterali e formule inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35821.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360


22 Disequazioni 37322.1 Intervalli sulla retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37322.2 Disequazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

22.2.1 Ricerca dell’insieme soluzione di una disequazione . . . . . . . . . . . . 37622.2.2 Problemi con le disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

22.3 Sistemi di disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37922.4 Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo . . . . . . . . . . . . . . . 38322.5 Disequazioni frazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38622.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389


23 Sistemi di equazioni 40123.1 Equazione lineare in due incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

23.1.1 Rappresentazione di un’equazione lineare sul piano cartesiano . . . . . 40223.2 Definizione di sistema di equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

23.2.1 Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema . . . . . . . . 40423.2.2 Metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

x Indice

23.2.3 Metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40723.2.4 Metodo di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40823.2.5 Metodo di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41023.2.6 Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . 41123.2.7 Il metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

23.3 Sistemi fratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41523.4 Sistemi letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41723.5 Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41923.6 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 42123.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423


VII Statistica 443

24 Statistica descrittiva 44524.1 Indagine statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44524.2 Fasi di un’indagine statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

24.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44724.2.2 Rappresentazione grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

24.3 Indici di posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45524.3.1 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45524.3.2 Media aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45624.3.3 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

24.4 Indici di variabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45824.4.1 Scarto medio assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45924.4.2 Varianza e scarto quadratico medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45924.4.3 Coefficiente di variazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

24.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46224.5.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46224.5.2 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46924.5.3 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

VIIIRelazioni e funzioni 479

A Relazioni 481A.1 Proposizioni e predicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481A.2 Relazioni in un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

A.2.1 Grafico di una relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482A.2.2 Matrice o tabella di una relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483A.2.3 Grafo di una relazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

A.3 Proprietà delle relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484A.3.1 Proprietà riflessiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484A.3.2 Proprietà antiriflessiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

Indice xi

A.3.3 Proprietà simmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484A.3.4 Proprietà antisimmetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485A.3.5 Proprietà transitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

A.4 Relazioni di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486A.5 Relazioni di ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489A.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

A.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

B Corrispondenze fra insiemi 503B.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503B.2 Rappresentazione di una corrispondenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

B.2.1 Rappresentare una corrispondenza con un grafico cartesiano . . . . . . 504B.2.2 Rappresentare una corrispondenza con un grafico sagittale . . . . . . . . 504

B.3 Caratteristiche di una corrispondenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506B.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

B.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

C Funzioni 513C.1 Funzioni o applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

C.1.1 Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514C.1.2 Diagramma riepilogativo sui diversi tipi di corrispondenze . . . . . . . 515

C.2 Funzioni tra insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515C.2.1 Funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

C.3 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518C.4 La retta e gli insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518C.5 Il metodo delle coordinate cartesiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

C.5.1 Introduzione al sistema di riferimento cartesiano ortogonale . . . . . . . 522C.5.2 Distanza di due punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524C.5.3 Punto medio di un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

C.6 Il grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528C.6.1 Funzione di proporzionalità diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529C.6.2 La funzione costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530C.6.3 La funzione lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531C.6.4 La funzione di proporzionalità inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533C.6.5 La funzione di proporzionalità quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . 535C.6.6 Funzione lineare a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536C.6.7 Funzione valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

C.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539C.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

D Approfondimenti su relazioni e insiemi 547D.1 Particolari relazioni d’equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

D.1.1 La costruzione dell’insieme dei numeri interi relativi . . . . . . . . . . . 547D.1.2 La costruzione dell’insieme dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . 551D.1.3 Classi di resti modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

D.2 Insiemi finiti e insiemi infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555D.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

xii Indice

D.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

IX Vettori e funzioni circolari 565

E Vettori 567E.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567E.2 Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

E.2.1 Somma di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570E.2.2 Differenza tra vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573E.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore . . . . . . . . . . . . . 573

E.3 Dipendenza e indipendenza lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574E.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

E.4.1 Esercizi dei singoli capitoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

F Trigonometria 579F.1 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579F.2 Due identità fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580F.3 Angoli particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

F.3.1 Angoli di 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581F.3.2 Angoli di 30° e 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582F.3.3 Angoli di 0° e 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

F.4 Usare la calcolatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583F.5 Operazioni con i gradi sessagesimali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585F.6 Risoluzione di triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

F.6.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione . . . . . . . . . . . . . . 587F.7 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . 587

F.7.1 Quadrilateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588F.7.2 Applicazioni alla topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

F.8 Risoluzione di un triangolo qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590F.8.1 Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti . . . . . . . . . . . . . . 591F.8.2 Caso II: tre lati congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592F.8.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592F.8.4 Riflessioni sull’uso del teorema dei seni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593

F.9 Le funzioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594F.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

F.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597F.10.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

Prefazione

Guardando i libri di testo sia con gli occhi dell’insegnante che li usa, sia dell’autore che liscrive, ci si rende conto di un fatto banale: chi scrive i manuali scolastici sono gli insegnanti,chi li usa sono sempre gli insegnanti. Dal momento che oggi ci sono gli strumenti, sia quellielettronici, sia il sistema della stampa su richiesta, che permettono di circuitare direttamenteautori e fruitori, mi sono deciso a intraprendere la creazione di un manuale di matematica“libero”, nel senso più ampio che oggi, nell’era delle tecnologie dell’informazione e dellacomunicazione, si usa dare a questo termine. Tuttavia, adottare “ufficialmente” un testoscolastico nella scuola italiana è un fatto semplice solo se si segue un percorso consolidato neltempo, fatto più che altro di prassi e abitudini che non di leggi specifiche. Per rispondere aqueste esigenze questo Manuale è fatto di Autori, Contenuti, Supporti e Dati legali.

Obiettivi Il progetto Matematica C3 ha per obiettivo la realizzazione di un manuale dimatematica, per tutto il percorso scolastico e per ogni tipologia di scuola, scritto in formacollaborativa e con licenza Creative Commons. Si propone, quindi, di abbattere i costi dell’istru-zione, ridurre il peso dei libri, invogliare gli studenti che non avrebbero comprato un libro adusarlo almeno in forma gratuita, promuovere l’autoformazione per chi è fuori dai percorsiscolastici. Ha inoltre l’ambizione di avviare una sfida culturale più ampia di una scuola piùdemocratica, più libera, dove ognuno possa accedere gratuitamente almeno alle risorse dibase.

Autori Il manuale è scritto in forma collaborativa da diverse decine di docenti di matematicasulla base della loro esperienza reale di insegnamento nelle diverse scuole. Alla sua realizza-zione hanno contribuito anche studenti e appassionati. Tutti hanno contribuito in manieragratuita e libera.

Contenuti Matematica C3 si presenta come un work in progress sempre aggiornato e miglio-rabile da parte di tutti, docenti e studenti. Può essere liberamente personalizzato da ciascuninsegnante per adeguarlo alla scuola in cui insegna, al proprio modo di lavorare, alle esigenzedei suoi studenti. È pensato non tanto per lo studio della teoria, che resta principalmente uncompito dell’insegnante, quanto per fornire un’ampia scelta di esercizi da cui attingere per“praticare” la matematica. Lo stile scelto è quello di raccontare la matematica allo stesso modoin cui l’insegnante la racconta in classe di fronte agli studenti. Il libro quindi non è rivolto aun pubblico di studenti immaginari, ma agli studenti che noi docenti siamo abituati ad averein classe. Gli argomenti sono trattati secondo un approccio laboratoriale, senza distinguereeccessivamente tra teoria ed esercizi; teoria, esempi svolti, esercizi guidati, esercizi da svolgerevengono presentati come un tutt’uno.

Supporti Matematica C3 è scaricabile dal sito http://www.matematicamente.it. È dispo-nile in formato elettronico pdf completamente gratuito; è disponibile anche nella versione

xiii

http://www.matematicamente.it

xiv Prefazione

per software liberi e gratuiti come OpenOffice o LibreOffice; è disponibile anche la versionein LATEX. I diversi volumi che compongono l’opera possono essere stampati, fotocopiati inproprio o stampati in tipografia per le sole le parti che occorrono, in nessun caso ci sonodiritti d’autore da pagare agli autori o all’editore. Il docente che vorrà sperimentare nuoveforme d’uso può usarlo in formato elettronico su tablet pc, netbook o più semplicemente pcportatili, può proiettarlo direttamente sulla lavagna interattiva (LIM) interagendo con il testo,svolgendo direttamente esempi ed esercizi, personalizzando con gli alunni definizioni edenunciati; ricorrendo eventualmente a contenuti multimediali esterni presenti sui siti internet,confrontando definizioni e teoremi su Wikipedia, cercando sull’enciclopedia libera notiziestoriche sugli autori. A casa lo studente potrà usare il libro sullo stesso dispositivo che ha usatoin classe (tablet pc, netbook, notebook) con le annotazioni e le modifiche fatte dall’insegnante,potrà svolgere gli esercizi direttamente nel formato aperto di LibreOffice, quindi direttamentesul libro senza ricopiare la traccia degli esercizi, potrà scambiare file attraverso i social networko i sistemi di messaggistica istantanea, particolarmente diffusi tra i ragazzi.

Dati legali Matematica C3 è rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione– Condividi allo stesso modo 3.0 Italia (CC BY-SA 3.0) il cui testo integrale è disponibile al sitohttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/it/legalcode.

L’approccio di Matematica C3 è coerente con quanto sollecitato dallo stesso Ministero dellaPubblica Istruzione. La circolare n.18 del 09.02.2012 afferma: “Le adozioni da effettuare nelcorrente anno scolastico, a valere per il 2012/2013, presentano una novità di assoluto rilievo,in quanto, come è noto, i libri di testo devono essere redatti in forma mista (parte cartacea eparte in formato digitale) ovvero debbono essere interamente scaricabili da internet. Pertanto,per l’anno scolastico 2012/2013 non possono più essere adottati né mantenuti in adozionetesti scolastici esclusivamente cartacei.”

Dati tecnici per l’adozione del libro a scuola: Titolo: Matematica C3, Algebra 1 - CodiceISBN: 9788896354438 - Editore: Matematicamente.it - Anno di edizione: 2013 - Prezzo: e 0,00(zero) - Formato: ebook (PDF, ODT).

Il coordinatore del progettoprof. Antonio Bernardo.


Numeri I

“One door, one key. . . ”Foto di Silv3rFoX

http://www.flickr.com/photos/12030514@N08/2272118558/Licenza: Creative Commons Attribution

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Numeri naturali 11.1 L’origine dei numeri

L’origine del sistema dei numeri naturali si perde nella notte dei tempi. Non abbiamodocumenti sufficienti per capire come l’uomo li abbia costruiti o scoperti; è possibile che ilnostro sistema di numerazione sia nato contemporaneamente al linguaggio stesso della specieumana. Sono stati ritrovati tronchi fossili risalenti a più di trentamila anni fa, recanti delleincisioni a distanza regolare. In particolare, è stato ritrovato un osso di babbuino, detto “Ossodi Ishango” (figura 1.1) 1 in quanto è stato rinvenuto presso la città di Ishango nel Congotra il Nilo e il lago Edoardo, che riporta delle tacche disposte in modo tale da farci pensareche rappresentino dei numeri o dei calcoli. L’osso risale a un periodo tra il 20 000 a.C. eil 18 000 a.C.

FIGURA 1.1: Osso di Ishango

Possiamo immaginare che i pastori per contarei capi del proprio gregge, facessero delle tacche sudei bastoni mano a mano che le pecore entravanonel recinto una alla volta: una tacca per ogni peco-ra. Tuttavia, questo metodo di associazione uno aduno (una tacca per una pecora) non è efficace pergreggi, o oggetti da contare, di grandi dimensioni.Si immagini, per esempio, la difficoltà di tracciarecinquecento tacche su un bastone. È possibile al-lora che per rappresentare numeri grandi si sianocominciati a usare simboli specifici che richiamas-sero alla mente i numeri grandi e che contemporaneamente siano state fissate alcune regoleper associare questi simboli.

Sappiamo per certo che circa 6 000 anni fa gli antichi Egizi scrivevano, incidendo sullapietra, i numeri utilizzando geroglifici per le potenze di 10:

* ( T + 3

1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1

Ripetendo questi simboli è possibile scrivere, per esempio, il numero 3673 così:

+++

3 3 3

3 3 3 3

I Romani usavano invece sette simboli con i quali, seguendo determinate regole, rap-presentavano qualunque numero. I simboli sono I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100,D = 500, M = 1000. Il numero MM rappresenta 1000 + 1000 = 2000; il numero VIrappresenta 5 + 1 = 6 , mentre il numero IV rappresenta 5 − 1 = 4 .

1http://it.wikipedia.org/wiki/Osso_d’Ishango

3

http://it.wikipedia.org/wiki/Osso_d'Ishango

4 Capitolo 1. Numeri naturali

1.2 Il sistema di numerazione decimale posizionale

Il modo di scrivere i numeri dei romani risultava piuttosto complicato sia nella scritturadei numeri sia nell’esecuzione dei calcoli. Il sistema moderno di scrittura dei numeri fa usodei soli dieci simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che vengono detti cifre. Un numero non è altroche una sequenza ordinata di cifre, eventualmente ripetute.

Per rappresentare il numero dieci che segue il 9 non si fa uso di un simbolo diverso ma siscrivono due cifre: il simbolo 1 a sinistra e il simbolo 0 a destra. Per chiarire questo metodoutilizziamo un pallottoliere (figura 1.2) con aste verticali capaci di contenere fino a 9 dischetti:per rappresentare il numero 10 dispongo un dischetto nell’asta a sinistra e vuoto la prima asta:il numero dieci viene rappresentato dalla scrittura 10.

FIGURA 1.2: Il pallottoliere

I dischetti sull’ultima asta rappresenta-no il numero 9; un dischetto sulla penul-tima rappresenta il numero 10. Per rap-presentare il numero cento si fa uso dellascrittura 100. Ovvero si sposta il nume-ro 1 ancora a sinistra ponendo uno zero nelposto lasciato vuoto. Questo metodo puòessere ripetuto per rappresentare tutti i nu-meri che risultino potenza di dieci, ovverodieci, cento, mille. . .

Le potenze di 10 sono importanti nelsistema decimale poiché rappresentano ilpeso di ciascuna cifra di cui è composto il numero. Nel pallottoliere ciascuna asta indica unapotenza di dieci. Il valore di un numero si ottiene moltiplicando ciascuna cifra per il suo pesoe sommando i valori ottenuti.

Per esempio, tre dischetti nella terza asta rappresentano il numero 3 · 102 = 300 . Ilnumero 219 si rappresenta tenendo conto di questa scrittura 2 · 102 + 1 · 10 + 9 .

Per quanto detto, il sistema di numerazione che usiamo è decimale o a base dieci, perchéusiamo dieci simboli (cifre) per scrivere i numeri, posizionale perché una stessa cifra assumeun peso (valore) diverso a seconda della posizione che occupa.

1.3 I numeri naturali

I primi numeri che abbiamo usato sin da bambini per contare gli oggetti o le persone sichiamano numeri naturali

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 . . .

L’insieme di tutti questi numeri si indica con la lettera N.Cosa hanno in comune le dita di una mano, con 5 mele, 5 penne, 5 sedie? Evidentemente

il numero 5. Una caratteristica cioè che è comune a tutti gli insiemi formati da 5 oggetti.Questa caratteristica può essere vista come un oggetto a sé stante, un oggetto astratto di tipomatematico.

Ma i numeri naturali non servono solo per indicare quanti oggetti ci sono (aspetto cardinaledel numero), vengono usati anche per rappresentare l’ordine con cui si presentano gli oggetti,(aspetto ordinale), l’ordine per esempio con cui i corridori arrivano al traguardo: primo,secondo, terzo. . .

Sezione 1.4. Operazioni con i numeri naturali 5

Nonostante i numeri naturali e le operazioni su di essi ci vengano insegnati fin da piccoli, enonostante l’umanità li usi da tempi antichissimi una loro piena comprensione non è semplice,come dimostra il fatto che ancora oggi i matematici ne discutono. Il dibattito su cosa siano inumeri e su cosa si fondano è stato particolarmente animato nei primi decenni del XX secolo,quando ne hanno discusso matematici e filosofi come Frege, Peano, Russell, Hilbert e tantialtri. Oggi ci sono diversi punti di vista.

1.3.1 Rappresentazione geometrica

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta: si identifica il numero 0con l’origine della semiretta, come verso di percorrenza si prende quello da sinistra versodestra e come unità di misura un segmento AB . Si riporta questa unità di misura più voltepartendo dall’origine e a ogni passo si va al numero successivo.

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A Bunità

Ogni numero naturale si costruisce a partire dal numero 0 e passando di volta in voltaal numero successivo: 1 è il successore di 0, 2 è il successore di 1, 3 è il successore di 2, etc.Ogni numero naturale ha il successore e ogni numero, a eccezione di 0, ha il precedente.L’insieme N ha 0 come elemento minimo e non ha un elemento massimo.

I numeri rappresentati sulla retta sono sempre più grandi man mano che si procede dasinistra verso destra. Ogni numero è maggiore di tutti i suoi precedenti, quelli che stannoalla sua sinistra, e minore di tutti i suoi successivi, quelli che stanno alla sua destra. Tra inumeri naturali esiste quindi una relazione d’ordine, che si rappresenta con il simbolo didisuguaglianza (6) o disuguaglianza stretta (<). Grazie a questo ordinamento, è sempre possibileconfrontare due numeri naturali qualsiasi n,m, ottenendo uno solo dei seguenti tre casi:

Legge 1.1 (di tricotomia). n > m, n < m, n = m.

1.4 Operazioni con i numeri naturali

1.4.1 Addizione e moltiplicazione di numeri naturali

Tra i numeri naturali è definita l’operazione di addizione come segue:

Definizione 1.1. Dati due numeri naturali n e m, detti addendi, l’operazione di addizioneassocia ai due addendi un terzo numero s, detto somma, che si ottiene partendo da n eprocedendo verso i successivi di n tante volte quante indica il secondo addendo m. Siscrive n+m = s.

Ad esempio se vogliamo eseguire la somma 3 + 5, dobbiamo partire da 3 e contare 5 numerisuccessivi:

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


Definizione 1.2. Dati due numeri naturali n, m, detti fattori, l’operazione di moltiplicazioneassocia ai due fattori un terzo numero p, detto prodotto, che si ottiene sommando n addenditutti uguali am.

L’operazione di moltiplicazione si indica con diversi simboli:

p = n×m, p = n ·m, p = n ∗m.

Per eseguire la moltiplicazione 4 · 2 dobbiamo addizionare 2 + 2 + 2 + 2, otteniamo 8.Le operazioni di addizione e moltiplicazione si dicono operazioni interne all’insieme dei

numeri naturali, esse infatti danno sempre come risultato un numero naturale.�� b Esercizio proposto: 1.1

1.4.2 Sottrazione e divisione di numeri naturali

Diamo la seguente definizione:

Definizione 1.3. Dati due numeri naturali n e m, il primo detto minuendo e il secondosottraendo, si dice differenza il numero naturale d, se esiste, che aggiunto ad m dà comesomma n. Si scrive n−m = d.

Per esempio, 7 − 5 = 2 perché 5 + 2 = 7.Non esiste invece la differenza tra 5 e 7, in quanto nessun numero naturale aggiunto a 7

può dare 5.Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differen-

za tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni.

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Diventa allora evidente perché non è possibile trovare la differenza tra 5 e 7, infattipartendo dal 5 non è possibile andare indietro di 7 posizioni, poiché non è possibile andareoltre il numero 0 che è il più piccolo dei numeri naturali.

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Si può osservare allora che in N la sottrazione a− b è possibile solo se b 6 a.

Definizione 1.4. Dati due numeri naturali n e m, con m 6= 0, il primo detto dividendo e ilsecondo divisore, si dice quoziente esatto un numero naturale q, se esiste, che moltiplicatoperm dà come prodotto n. Si scrive n : m = q.

Se il quoziente esiste, il numerom si dice divisore di n, oppure n è divisibile perm.

Sezione 1.4. Operazioni con i numeri naturali 7

Definizione 1.5. Un numero naturale a si dice multiplo di un numero naturale b se esisteun numero c che moltiplicato per b dà a, cioè a = c · b.

Esempio 1.1. 12 : 3 = 4 perché 3× 4 = 12. Quindi, 12 è divisibile per 3; 3 è un divisoredi 12; 12 è un multiplo di 3.

Esempio 1.2. 20 è divisibile per 4 perché 20 : 4 = 5.

Esempio 1.3. 7 è divisore di 35 perché 35 : 7 = 5.

Esempio 1.4. 6 è multiplo di 3 perché 6 = 2× 3.

Esempio 1.5. 5 non è multiplo di 3, non esiste alcun numero naturale che moltiplicato per 3dà 5.

q Osservazione In N la divisione tra due numeri a e b, è possibile solo se a è multiplo di b.�� b Esercizio proposto: 1.2

Come hai potuto notare dagli esercizi precedenti la divisione tra due numeri naturali nonè sempre possibile. Con i numeri naturali però è sempre possibile eseguire la divisione con ilresto.

Definizione 1.6. Dati due numeri naturali n em, conm 6= 0, si dice quoziente tra n em, ilpiù grande numero naturale q che moltiplicato perm dà un numero minore o uguale a n.Si dice resto della divisione tra n e m la differenza r tra il dividendo n e il prodotto tra ildivisorem e il quoziente q. In simboli r = n−m× q o anche n = m× q+ r.

Esempio 1.6. Nella divisione con resto tra 25 e 7 si ha quoziente 3 (infatti 7 × 3 = 21,mentre 7 × 4 = 28 supera il dividendo) e resto 4 (infatti 25 − 21 = 4). Pertanto si puòscrivere 25 = 7× 3 + 4.

73

2521

4

divisorequoziente

dividendo

resto

Esempio 1.7. 0 : 2 = 0.

Esempio 1.8. 1 : 2 = 0 con resto 1.

Esempio 1.9. 5 : 2 = 2 con resto 1.


q Osservazione Nella definizione di quoziente abbiamo sempre richiesto che il divisoresia diverso da zero. In effetti, se il divisore è 0 non c’è nessun numero che moltiplicato per 0ci possa dare un dividendo diverso da zero. Per esempio, nella divisione 5 : 0 dobbiamoottenere un numero che moltiplicato per 0 dà 5; ciò non è possibile in quanto qualsiasi numeromoltiplicato per 0 dà 0. Invece nella divisione 0 : 0 un qualsiasi numero è adatto comequoziente, infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come prodotto.

Nel linguaggio matematico diciamo che una divisione del tipo n : 0, con n 6= 0, èimpossibile; mentre la divisione 0 : 0 è indeterminata.

Definizione 1.7. Dati due numeri naturali n e m, con m 6= 0, la divisione intera ndivm èl’operazione che dà il più grande numero naturale q (il quoziente) per il quale si ha q×m 6n.

Esempio 1.10. 0 div 5 = 0.

Esempio 1.11. 9 div 2 = 4.

Esempio 1.12. 3 div 5 = 0.

Esempio 1.13. Non è possibile, invece, la divisione intera per 0.

3 div 0 = non si può fare.

Definizione 1.8. Dati due numeri naturali n em, conm 6= 0, l’operazione che restituisceil resto della divisione intera tra n em si chiama modulo di n rispetto am e viene indicatacon n mod m.

Esempio 1.14. 3 mod 0 = non si può fare; 0 mod 5 = 0.

Esempio 1.15. 9mod = 1; 10 mod 5 = 0.

Esempio 1.16. 3 mod 5 = 3; 11 mod 5 = 1.�� b Esercizi proposti: 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6

Ripassiamo l’algoritmo della divisione intera per numeri a più cifre; questo algoritmorisulterà particolarmente utile per la divisone di polinomi che studierai nel seguito.

3 2 7 2 3 1 3 2 9 1 0 7 1 2 5 9 4 3 1 7 1- 2 3 1 4 - 1 0 7 1 2 - 1 1 9 7 7 3 6

9 7 2 5 9 6 2 4- 9 2 - 2 1 4 - 5 1 3

5 4 5 1 1 1 3- 1 0 2 6

8 7

(a) (b) (c)

Sezione 1.5. Proprietà delle operazioni 9

a ) 327 : 23 = quoziente 14 e resto 5;b ) 1329 : 107 =quoziente 12 e resto 45;c ) 125943 : 171 = quoziente 736 e resto 87.�� b Esercizio proposto: 1.7

1.5 Proprietà delle operazioni

1.5.1 Proprietà commutativa

Una operazione gode della proprietà commutativa se, cambiando l’ordine dei numeri suiquali essa va eseguita, il risultato non cambia.

La proprietà commutativa vale per le seguenti operazioni:

addizione a+ b = b+ a. Es. 3 + 5 = 5 + 3 = 8;moltiplicazione a · b = b · a. Es. 3 · 5 = 5 · 3 = 15.

La proprietà commutativa non vale per le seguenti operazioni:

sottrazione a− b 6= b− a. Es. 8 − 3 = 5 6= 3 − 8 = non si può fare in N ;divisione a : b 6= b : a. Es. 8 : 4 = 2 6= 4 : 8 = non si può fare in N ;divisione intera adivb 6= bdiva. Es. 17 div 5 = 3 6= 5 div 17 = 0;modulo a mod b 6= b mod a. Es. 9 mod 2 = 1 6= 2 mod 9 = 2;potenza ab 6= ba. Es. 32 = 9 6= 23 = 8.

1.5.2 Proprietà associativa

Un’operazione gode della proprietà associativa se, presi arbitrariamente tre numeri legatida due operazioni, è indifferente da quale operazione si inizia, in quanto il risultato che siottiene è sempre lo stesso.

La proprietà associativa vale per le seguenti operazioni:

addizione (a+ b) + c = a+ (b+ c). Es. (3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) = 10;moltiplicazione (a · b) · c = a · (b · c). Es. (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2) = 30.

La proprietà commutativa non vale per le seguenti operazioni:

sottrazione (a− b) − c 6= a− (b− c). Es. (10 − 5) − 2 = 3 6= 10 − (5 − 2) = 7;divisione (a : b) : c 6= a : (b : c). Es. (16 : 4) : 2 = 2 6= 16 : (4 : 2) = 8;divisione intera (adivb)div c 6= adiv(bdiv c). Es. (17 div 5)div 2 = 1 6= 17 div(5 div 2) = 8;modulo (a mod b) mod c 6= a mod (b mod c).

Es. (17 mod 7) mod 1 = 1 6= 17 mod (7 mod 2) = 0.

1.5.3 Elemento neutro

Un’operazione ha un elemento neutro se composto con qualsiasi altro numero lo la-scia invariato, sia quando il numero è a destra, sia quando è a sinistra. L’elemento neutrodell’addizione è 0, sia che si trovi a destra che a sinistra:

a+ 0 = 0 + a = a.


L’elemento neutro della moltiplicazione è 1, sia che si trovi a destra sia che si trovi a sinistra:

a · 1 = 1 · a = a.

La divisione ha l’elemento neutro a destra, che è 1, ma non ha elemento neutro a sinistra:

a : 1 = a, 1 : a 6= a, se a 6= 1.

1.5.4 Proprietà distributiva

La proprietà distributiva coinvolge due operazioni differenti.

Proprietà distributiva della moltiplicazione

Rispetto all’addizione Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altronumero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare iprodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra.

a · (b+ c) = a · b+ a · c (a+ b) · c = a · c+ b · c3 · (2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4 = 18 (2 + 4) · 3 = 2 · 3 + 4 · 3 = 18.

Rispetto alla sottrazione In maniera analoga:

a · (b− c) = a · b− a · c (a− b) · c = a · c− b · c6 · (10 − 4) = 6 · 10 − 6 · 4 = 36 (10 − 4) · 6 = 10 · 6 − 4 · 6 = 36.

Proprietà distributiva della divisione

Rispetto all’addizione Solo se le somme sono a sinistra:

(a+ b+ c) : d = a : d+ b : d+ c : d (20 + 10 + 5) : 5 = 20 : 5 + 10 : 5 + 5 : 5 = 7.

Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovanoa destra: 120 : (3+ 5) Eseguendo prima l’operazione tra parentesi si ottiene correttamente 120 :

8 = 15. Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene 120 : 3+ 120 : 5 = 40+ 24 =

64. Il risultato corretto è il primo.

Rispetto la sottrazione Solo se la sottrazione è a sinistra:

(a− b) : c = a : c− b : c (20 − 10) : 5 = 20 : 5 − 10 : 5 = 4 − 2 = 2

Se, però, la sottrazione è a destra:

120 : (5 − 3) = 120 : 2 = 60 6= 120 : 5 − 120 : 3 = 24 − 40 = non si può fare.

Legge 1.2 (Annullamento del Prodotto). Il prodotto di due o più numeri naturali si annulla sealmeno uno dei fattori è nullo.

a · b = 0⇔ a = 0 oppure b = 0.�� b Esercizi proposti: 1.8, 1.9

Sezione 1.6. Potenza 11

1.6 Potenza

La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione particolare con tutti i fattori uguali.

Definizione 1.9. Dati due numeri naturali a e b, con b > 1 il primo detto base, il secondoesponente, la potenza di a con esponente b è il numero p che si ottiene moltiplicando fraloro b fattori tutti uguali ad a. Si scrive ab = p e si legge “a elevato a b uguale a p”.

Per esempio 53 = 5× 5× 5 = 125.

53 = 5× 5× 5︸︷︷︸3 volte

= 125

esponente

base potenza

Alla definizione precedente vanno aggiunti i seguenti casi particolari che completano ladefinizione:

a1 = a,

a0 = 1, se a 6= 0,

00 = non ha significato.

Queste definizioni trovano giustificazione nelle proprietà delle potenze.

1.6.1 Proprietà delle potenze

I Il prodotto di due potenze con la stessa base è uguale a una potenza che ha per base lastessa base e per esponente la somma degli esponenti.

an · am = an+m

25 · 26 = 25+6 = 211.

La proprietà segue da questa osservazione:

an · am = (a · a · . . . · a)︸︷︷︸n volte

· (a · a · a · . . . · a)︸︷︷︸m volte

= (a · a · a · a · a · . . . · a · a)︸︷︷︸n+m volte

= an+m.

II Il quoziente di due potenze con la stessa base, la prima con esponente maggiore o ugualeall’esponente della seconda, è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e peresponente la differenza degli esponenti.

an : am = an−m

45 : 43 = 45−3 = 42.



an : am = (a · a · . . . · a)︸︷︷︸n volte

: (a · a · a · . . . · a)︸︷︷︸m volte

(1.1)

= (a : a) · (a : a) · . . . · (a : a)︸︷︷︸n volte

· (a · a · a · . . . · a)︸︷︷︸n−m volte

(1.2)

= an−m. (1.3)

Il passaggio dalla (1.1) alla (1.2) avviene per via della proprietà invariantiva della divisione.

III La potenza di una potenza è uguale a una potenza che ha la base della prima potenza eper esponente il prodotto degli esponenti.

(an)m = an·m

(62)5 = 62·5 = 610.


(an)m =

m volte︷︸︸︷an · an · . . . · an =

m volte︷︸︸︷(a · a · . . . · a)︸︷︷︸

n volte

· (a · a · . . . · a)︸︷︷︸n volte

· . . . · (a · a · . . . · a)︸︷︷︸n volte

= an·m.

IV Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è uguale al prodotto delle potenze deisingoli fattori.

(a · b)n = an · bn

(2 · 5)8 = 28 · 58.


(a · b)n = (a · b) · (a · b) · . . . · (a · b)︸︷︷︸n volte

= (a · a · . . . · a)︸︷︷︸n volte

· (b · b · . . . · b)︸︷︷︸n volte

= an · bn.

V La potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze dei singoli fattori.

(a : b)n = an : bn

(4 : 2)8 = 48 : 28.

Le definizioni dei casi particolari di potenze si giustificano nel seguente modo:

a0 = a5−5 = a5 : a5 = 1,

a1 = a5−4 = a5 : a4 = a.

A 00 non si assegna nessun valore perché applicando la definizione di a0 si dovrebbe avere 1;applicando la definizione 0a si dovrebbe avere 0.�� b Esercizi proposti: 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14, 1.15

Sezione 1.7. Numeri Primi 13

1.7 Numeri Primi

Osserva il seguente schema

18è multiplo di−−−−−−−−−→è divisibile per

6è sottomultiplo di−−−−−−−−−−−→

è divisore di18

In esso sono descritte alcune caratteristiche del numero 18 e i suoi legami con il numero 6.

Definizione 1.10. Chiamiamo divisore proprio di un numero un divisore diverso dal numerostesso e dall’unità.

Osserva ora il seguente schema

31è multiplo di−−−−−−−−−→è divisibile per

. . . è sottomultiplo di−−−−−−−−−−−→

è divisore di31

Nella casella centrale, al posto dei puntini, puoi inserire soltanto i numeri 31 o 1.

Definizione 1.11. Un numero p > 1 si dice primo se è divisibile solo per se stesso e perl’unità. Un numero naturale maggiore di 1 si dice composto se non è primo.

0 non è primo né composto1 non è primo né composto2 è primo3 è pimo4 è composto

5 è primo6 è composto7 è primo8 è composto9 è composto

10 è composto11 è primo12 è composto13 è primo. . .�� b Esercizio proposto: 1.16

Ma quanti sono i numeri primi? La risposta a questa domanda venne data da Euclide conil seguente teorema che porta il suo nome:

Teorema 1.3 (di Euclide). I numeri primi sono infiniti.

Euclide infatti ci ha fatto vedere come sia possibile costruire numeri primi comunquegrandi, dato un numero primo. Infatti è sempre possibile costruirne uno più grande.�� b Esercizio proposto: 1.17

Esempio 1.17. Per verificare se 31 è primo, calcolo il valore approssimato√

31 ' 5, 5 e verificose è divisibile per i numeri primi 6 5, cioè 2, 3, 5. Allora 31 è primo, in quanto non è divisibileper 2 in quanto è dispari, non è divisibile per 3 poiché la somma delle sue cifre è 4 e 4 non èdivisibile per 3, non è divisibile per 5 in quanto non finisce per 0 o 5.

Esempio 1.18. Per verificare se 59 è un numero primo calcolo√

59 ' 7, 6 e verifico se 59 èdivisibile per un numero primo 6 7, cioè per 2, 3, 5, 7. Eseguendo le divisioni si vede che 59non è divisibile per nessuno dei numeri precedenti, quindi è primo.


q Osservazione Un numero è primo quando non è divisibile per nessun numero primocompreso tra 2 e la radice quadrata del numero.

1.8 Criteri di divisibilità

Per verificare se un numero è divisibile per i primi numeri interi si possono applicare iseguenti criteri di divisibilità.

Divisibilità per 2 Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra, quella delleunità, è un numero pari, cioè è 0, 2, 4, 6, 8.

á 1236 finisce per 6 quindi è divisibile per 2;á 109230 finisce per 0 quindi è divisibile per 2;á 10923 finisce per 3 quindi non è divisibile per 2.

Divisibilità per 3 Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle cifre che locompongono è divisibile per 3.

á 24 è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 2 + 4 = 6, dato che 6 è divisibileper 3 anche 24 è divisibile per 3;

á 1236 è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 1+ 2+ 3+ 6 = 12; 12 è divisibileper 3 dato che la somma delle sue cifre è 1 + 2 = 3, quindi anche 1236 è divisibile per 3;

á 31 non è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 3 + 1 = 4, dato che 4 non èdivisibile per 3 neanche 31 è divisibile per 3.

Divisibilità per 5 Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5.

á 1230 finisce per 0 quindi è divisibile per 5;á 59235 finisce per 5 quindi è divisibile per 5;á 109253 finisce per 3 quindi non è divisibile per 5;á 5556 finisce per 6 quindi non è divisibile per 5.

Divisibilità per 7 Un numero (maggiore di 10) è divisibile per 7 se la differenza (in valoreassoluto) fra il numero ottenuto togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unitàè 7 o un multiplo di 7.

á 252 è divisibile per 7, infatti |25 − 2 · 2| = 21 è multiplo di 7;á 49 è divisibile per 7, infatti |4 − 2 · 9| = 14 è multiplo di 7;á 887 non è divisibile per 7, infatti |88 − 2 · 7| = 74 non è divisibile per 7.

Divisibilità per 11 Un numero è divisibile per 11 se e solo se la differenza, in valore assoluto,fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0, 11 o unmultiplo di 11.

á 253 è divisibile per 11, infatti |5 − (2 + 3)| = 0;á 9482 è divisibile per 11, infatti |(9 + 8) − (4 + 2)| = 11;á 887 non è divisibile per 11, infatti |8 − (8 + 7)| = 7.�� b Esercizi proposti: 1.18, 1.19

Sezione 1.9. Scomposizione in fattori primi 15

1.9 Scomposizione in fattori primi

Possiamo pensare di scrivere un numero naturale qualsiasi come prodotto di altri numeri.Scomporre in fattori un numero significa appunto scriverlo come prodotto di altri numerinaturali.�� b Esercizi proposti: 1.20, 1.21

Teorema 1.4 (fondamentale dell’Aritmetica). Ogni numero naturale n > 1 si può scrivere inmodo unico come prodotto di numeri primi.

Esempio 1.19. Scomporre in fattori primi il numero 630.

6 3 0 23 1 5 31 0 5 3

3 5 57 71

630 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra è pari;315 è divisibile per 3, la somma delle sue cifre è 9 divisibile per 3;105 è divisibile per 3, la somma delle sue cifre è 6 divisibile per 3;35 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5.

630 = 2 · 32 · 5 · 7.

In generale, quindi, un numero può essere scomposto in fattori in più modi. Per esem-pio, 12 = 3 · 4, ma anche 12 = 6 · 2. Il teorema fondamentale dell’aritmetica ci assicura che, sesi scompone un numero in fattori primi, questa scomposizione è unica, a meno dell’ordinecon cui si scrivono i fattori. Tornando all’esempio precedente 12 = 22 · 3 è l’unico modo in cuiil 12 si può scomporre in fattori primi, a meno che non si scambino di posto i fattori 12 = 3 · 22.�� b Esercizio proposto: 1.22, 1.23, 1.24

1.10 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo

Definizione 1.12. Il massimo comune divisore di numeri naturali a e b, viene indicatocon MCD(a,b), è il più grande tra tutti i divisori comuni ad a e b.

Applicando la definizione, il massimo comune divisore tra 18 e 12 si ottiene prendendotutti i divisori di 18 e 12:

divisori di 18 : 18, 9, 6, 3, 2, 1;

divisori di 12 : 12, 6, 4, 2, 1.

I divisori comuni sono 6, 2, 1. Il più grande dei divisori comuni è 6.�� b Esercizio proposto: 1.25

Per calcolare il massimo comune divisore di due o più numeri si può applicare la seguente


Procedura 1.5. Calcolo del MCD di due o più numeri naturali:

a ) si scompongono i numeri in fattori primi;b ) si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con il minore esponente.

Esempio 1.20. Calcolare MCD(60, 48, 36).Si scompongono in fattori i singoli numeri 60 = 22 · 3 · 5, 48 = 24 · 3, 36 = 22 · 32. I fattori

comuni sono 2 e 3, il 2 compare con l’esponente minimo 2; il 3 compare con esponenteminimo 1.

Pertanto MCD(60, 48, 36) = 22 · 3 = 12.

Esempio 1.21. Calcolare MCD(60, 120, 90).Si scompongono in fattori i singoli numeri 60 = 22 · 3 · 5, 120 = 23 · 3 · 5 e 90 = 2 · 32 · 5.

I fattori in comune sono 2, 3, 5. L’esponente minino è 1 per tutti.Pertanto MCD(60, 120, 90) = 2 · ·5 = 30.

Definizione 1.13. Due numeri a e b si dicono primi tra loro o coprimi se MCD(a,b) = 1.

Esempio 1.22. Numeri primi tra loro:

á 12 e 25 sono primi tra loro. Infatti il MCD(12, 25) = 1 dato che nelle loro scomposizioniin fattori non si hanno fattori comuni: 12 = 22 · 3 e 25 = 52;

á 35 e 16 sono primi tra loro. Infatti 35 = 5× 7, 16 = 24. I due numeri non hanno divisoricomuni e il loro MCD = 1;

á 11 e 19 sono primi tra loro infatti il MCD(11, 19) = 1 dato che 11 e 19 sono numeri primi;á 12 e 15 non sono primi tra di loro in quanto hanno 3 come divisore comune.

Definizione 1.14. Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b, si indicacon mcm(a,b), è il più piccolo tra tutti i multipli comuni di a e di b.

Per calcolare il minimo comune multiplo tra 6 e 15 applicando la definizione occorrecalcolare i primi multipli dei due numeri:

multipli di 6 : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, . . . ;

multipli di 15 : 15, 30, 45, 60, 75, 90, . . .

Sono multipli comuni 30, 60, 90,. . . Il più piccolo dei multipli comuni è 30.Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente

Procedura 1.6. Calcolo del mcm di due o più numeri naturali:

a ) si scompongono i numeri in fattori primi;b ) si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il maggiore

esponente.

Sezione 1.11. Espressioni numeriche 17

Esempio 1.23. Calcolare il mcm(60, 48, 36).Scomponendo in fattori i numeri si ha 60 = 22 · 3 · 5; 48 = 24 · 3; 36 = 22 · 32. Tut-

ti i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l’esponente più grande con cuicompaiono: 24, 32, 5.

Il mcm è 24 · 32 · 5 = 720.

Esempio 1.24. Calcolare il mcm(20, 24, 450).Scomponendo in fattori si ha 20 = 22 · 5; 24 = 23 · 3; 450 = 2 · 32 · 52. Moltiplicando i fattori

comuni e non comuni con il massimo esponente si ha 23 · 32 · 52 = 1800.

Esempio 1.25. Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di 315 cm per 435 cm conmattonelle quadrate più grandi possibili, senza sprecarne alcuna. Quali sono le dimensionidelle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie?

Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numerointero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere undivisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandipossibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune.

3 1 5 3 4 3 5 31 0 5 3 1 4 5 5

3 5 5 2 9 2 97 7 11

315 = 32 · 5 · 7435 = 3 · 5 · 29

La soluzione del problema è data quindi dal MCD(315, 435) = 3 · 5 = 15. Le mattonelle devonoavere il lato di 15 cm. Ci vogliono 435 : 15 = 29 mattonelle per ricoprire il lato di 435 cme 315 : 15 = 21 mattonelle per ricoprire il lato da 315 cm. In tutto occorrono 29 · 21 = 609mattonelle.�� b Esercizi proposti: 1.26, 1.27, 1.28, 1.29, 1.30, 1.31, 1.32

1.11 Espressioni numeriche

Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue. Per esempio «Luca hadetto Mario è stato promosso» può avere due significati diversi a seconda di come si inseriscela punteggiatura: scrivendo «Luca, ha detto Mario, è stato promosso» significa che è statopromosso Luca; scrivendo «Luca ha detto: Mario è stato promosso» significa che è statopromosso Mario.

Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire dobbiamo chiarirel’ordine con cui si devono eseguire le operazioni. Per esempio, l’espressione 2 + 3 · 4 puòvalere 20 oppure 14, infatti:


á eseguendo per prima la moltiplicazione diventa 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14;á eseguendo per prima l’addizione diventa 2 + 3 · 4 = 5 · 4 = 20.

Per eliminare queste ambiguità sono state fissate alcune regole che bisogna rispettarenell’esecuzione dei calcoli. Intanto diamo la seguente definizione:

Definizione 1.15. Un’espressione aritmetica è una successione di operazioni da eseguiresu più numeri.

1.11.1 Regole per semplificare le espressioni

I Se un’espressione contiene solo addizioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasiordine, grazie alla proprietà associativa dell’addizione.

Esempio 1.26. 3 + 2 + 5.

á 3 + 2 + 5 = 5 + 5 = 10. In questo caso si sono eseguite le operazioni nell’ordine in cuicompaiono;

á 3+ 2+ 5 = 3+ 7 = 10. In questo caso si è eseguita per prima l’ultima addizione indicata.Il risultato ottenuto è lo stesso;

á 5 + 6 + 15 = 6 + 20 = 26. In questo caso abbiamo applicato anche la proprietàcommutativa.

II Se un’espressione contiene solo moltiplicazioni, le operazioni si possono eseguire inqualsiasi ordine, anche in questo caso grazie alla proprietà associativa della moltiplicazione.

Esempio 1.27. Dovendo moltiplicare 2 · 3 · 4 si può procedere in più modi.

á 2 · 3 · 4 = 6 · 4 = 24. In questo caso si è seguito l’ordine in cui compaiono;á 2 · 3 · 4 = 2 · 12 = 24. In questo caso si è seguito l’ordine opposto; il risultato è lo stesso.

III Se un’espressione, senza parentesi, contiene più sottrazioni, si deve procedere eseguendo-le nell’ordine in cui sono scritte, la sottrazione infatti non gode né della proprietà associativané di quella commutativa.

Esempio 1.28. 10 − 6 − 3.

á 10 − 6 − 3 = 4 − 3 = 1;á 10 − 6 − 3 = 10 − 3 = 7, errato!

IV Se un’espressione senza parentesi contiene solo addizioni e sottrazioni, le operazioni sidevono eseguire nell’ordine con cui sono scritte.

Esempio 1.29. 12 + 6 − 5 − 1.

12 + 6 − 5 − 1 = 18 − 5 − 1 = 13 − 1 = 12.

Sezione 1.11. Espressioni numeriche 19

V Se un’espressione senza parentesi contiene solo divisioni, le operazioni si devono eseguirenell’ordine con cui sono scritte.

Esempio 1.30. 360 : 12 : 3.

á 360 : 12 : 3 = 30 : 3 = 10;á 360 : 12 : 3 = 30 : 4 = 90, errato!

VI Se un’espressione senza parentesi contiene addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divi-sioni e potenze, si eseguono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, rispettandol’ordine con cui sono scritte, e poi addizioni e sottrazioni, rispettando l’ordine.

Esempio 1.31. 18 : 2 : 9 + 52 − 2 · 32 : 3 − 1.

18 : 2 : 9 + 52 − 2 · 32 : 3 − 1 = 18 : 2 : 9 + 25 − 2 · 9 : 3 − 1

= 9 : 9 + 25 − 18 : 3 − 1

= 1 + 25 − 6 − 1

= 26 − 6 − 1

= 20 − 1

= 19.

VII Se l’espressione contiene una coppia di parentesi si devono eseguire prima le operazioniracchiuse nelle parentesi, rispettando le regole precedenti; si eliminano poi le parentesi e siottiene un’espressione senza parentesi.

Esempio 1.32. 5 · (4 + 32 − 1).

5 · (4 + 32 − 1) = 5 · (4 + 9 − 1)

= 5 · 13 − 1

= 65 − 1

= 64.

VIII Se l’espressione contiene più ordini di parentesi, si eseguono per prima le operazioniracchiuse nelle parentesi tonde, rispettando le regole precedenti, si eliminano le parentesitonde e si procede con le operazioni racchiuse nelle parentesi quadre. Dopo aver eliminato leparentesi quadre, si eseguono le operazioni nelle parentesi graffe. Si ottiene così un’espressionesenza parentesi.

L’uso di parentesi di diverso tipo rende visivamente più semplice l’ordine da seguire nelleoperazioni ma in un’espressione tutte le parentesi possono essere tonde. Ciò accade, peresempio, quando si usano gli strumenti di calcolo elettronico come il computer e la calcolatrice.�� b Esercizio proposto: 1.33


1.12 Esercizi

1.12.1 Esercizi dei singoli paragrafi

1.4 - Operazioni con i numeri naturali

1.1. Rispondi alle seguenti domande:

a ) Esiste il numero naturale che aggiunto a 3 dà come somma 6?b ) Esiste il numero naturale che aggiunto a 12 dà come somma 7?c ) Esiste il numero naturale che moltiplicato per 4 dà come prodotto 12?d ) Esiste il numero naturale che moltiplicato per 5 dà come prodotto 11?

1.2. Inserisci il numero naturale mancante, se esiste:

a ) 7 − . . . = 1;b ) 3 − 3 = . . . ;c ) 5 − 6 = . . . ;

d ) 3 − . . . = 9;e ) 15 : 5 = . . . ;f ) 18 : . . . = 3;

g ) . . . : 4 = 5;h ) 12 : 9 = . . . ;i ) 36 · . . . = 9.

1.3. Vero o falso?

a ) 5 : 0 = 0 V Fb ) 0 : 5 = 0 V Fc ) 5 : 5 = 0 V Fd ) 1 : 0 = 1 V F

e ) 0 : 1 = 0 V Ff ) 0 : 0 = 0 V Fg ) 1 : 1 = 1 V Fh ) 1 : 5 = 1 V F

1.4. Se è vero che p = n×m, quali affermazioni sono vere?

a ) p è multiplo di n V Fb ) p è multiplo dim V Fc ) m è multiplo di p V Fd ) m è multiplo di n V F

e ) p è divisibile perm V Ff ) m è divisibile per n V Fg ) p è divisore dim V Fh ) n è multiplo dim V F

1.5. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

a ) 6 è un divisore di 3 V Fb ) 3 è un divisore di 6 V F

c ) 8 è un multiplo di 2 V Fd ) 5 è divisibile per 10 V F

1.6. Esegui le seguenti operazioni:

a ) 18 div 3 = . . .;b ) 18 mod 3 = . . .;c ) 20 div 3 = . . .;d ) 20 mod 3 = . . .;e ) 185 div 7 = . . .;

f ) 185 mod 7 = . . .;g ) 97 div 5 = . . .;h ) 97 mod 5 = . . .;i ) 240 div 12 = . . .;j ) 240 mod 12 = . . ..

Sezione 1.12. Esercizi 21

1.7. Esegui le seguenti divisioni con numeri a più cifre, senza usare la calcolatrice.

a ) 311 : 22;b ) 429 : 37;c ) 512 : 31;d ) 629 : 43;e ) 755 : 53;

f ) 894 : 61;g ) 968 : 45;h ) 991 : 13;i ) 1232 : 123;j ) 2324 : 107;

k ) 3435 : 201;l ) 4457 : 96;

m ) 5567 : 297;n ) 6743 : 311;o ) 7879 : 201;

p ) 8967 : 44;q ) 13455 : 198;r ) 22334 : 212;s ) 45647 : 721;t ) 67649 : 128.

1.5 - Proprietà delle operazioni

1.8. Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false indicando la proprietà utilizzata:

a ) 33 : 11 = 11 : 33 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fb ) 108 − 72 : 9 = (108 − 72) : 9 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fc ) 8 − 4 = 4 − 8 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fd ) 35 · 10 = 10 · 35 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fe ) 9 · (2 + 3) = 9 · 3 + 9 · 2 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Ff ) 80 − 52 + 36 = (20 − 13 − 9) · 4 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fg ) (28 − 7) : 7 = 28 : 7 − 7 : 7 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fh ) (8 · 1) : 2 = 8 : 2 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fi ) (8 − 2) + 3 = 8 − (2 + 3) proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Fj ) (13 + 11) + 4 = 13 + (11 + 4) proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V F

k ) 0 + (100 + 50) = 100 + 50 proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V F

1.9. Data la seguente operazione tra i numeri naturali a ◦ b = 2 · a+ 3 · b, verifica se è:

a ) commutativa, cioè se a ◦ b = b ◦ a;b ) associativa, cioè se a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c;c ) 0 è elemento neutro.

1.6 - Potenza

1.10. Inserisci i numeri mancanti:

a ) 31 · 32 · 33 = 3...+...+... = 3...;b ) 34 : 32 = 3...−... = 3...;c ) (3 : 7)5 = 3... : 7...;d ) 63 : 53 = (6 : 5)...;

e ) 73 · 53 · 23 = (7 · 5 · 2)...;f ) (26)2 = 2...·... = 2...;g ) (186) : (96) = (. . . . . .)... = 2...;h ) (56 · 54)4 : [(52)3]6 = . . . . . . . . . = 5....

1.11 (∗). Calcola applicando le proprietà delle potenze:

a ) 25 · 23 : 22 · 36;b ) (52)3 : 53 · 5;

c ) {[(23)2 : 23]3 : 25} : (28 : 26)2;d ) [(21)4 · 34]2 : 65 · 60.

1.12. Calcola:

a ) 22 · (23 + 52);b ) [(36 : 34)2 · 32]1;

c ) 44 · (34 + 42);d ) 34 · (34 + 42 − 22)0 : 33 + 0 · 100.


1.13. Completa, applicando le proprietà delle potenze:

a ) 74 · 7... = 75;b ) 39 · 59 = (. . . . . .)9;c ) 515 : 5... = 55;d ) (. . . . . .)6 · 56 = 156;

e ) 84 : 24 = 2...;f ) (185 : 65)2 = 3...;g ) 207 : 200 = 20...;h ) (. . .3)4 = 1;

1.14. Il risultato di 35 + 53 è:

A 368 B (3 + 5)5 C 15 + 15 D 88.

1.15. Il risultato di (73 + 27)2 è:

A 200 B 732 + 272 C 104 D 1000.

1.7 - Numeri Primi

1.16. Per ognuno dei seguenti numeri indica i divisori propri

a ) 15 ha divisori propri . . . ,. . . ,. . . ,. . . ;b ) 19 ha divisori propri . . . ,. . . ,. . . ,. . . ;c ) 24 ha divisori propri . . . ,. . . ,. . . ,. . . ;d ) 30 ha divisori propri . . . ,. . . ,. . . ,. . .

1.17 (Crivello di Eratostene). Nella tabella chesegue sono rappresentati i numeri naturalifino a 100. Per trovare i numeri primi, selezio-na 1 e 2, poi cancella tutti i multipli di 2. Sele-ziona il 3 e cancella i multipli di 3. Selezionail primo dei numeri che non è stato cancellato,il 5, e cancella tutti i multipli di 5. Procedi inquesto modo fino alla fine della tabella. Qualisono i numeri primi minori di 100?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1.8 - Criteri di divisibilità

1.18. Per quali numeri sono divisibili? Segna i divisori con una crocetta.

a ) 1320 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11b ) 2344 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11c ) 84 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11d ) 1255 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11e ) 165 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11f ) 720 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


g ) 792 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11h ) 462 è divisibile per 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1.19. Determina tutti i divisori di:

a ) 32 . . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . .b ) 18 . . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . .

c ) 24 . . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . .d ) 36 . . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . . ,. . .

1.9 - Scomposizione in fattori primi

1.20. I numeri sotto elencati sono scritti come prodotto di altri numeri: sottolinea le scritturein cui ciascun numero è scomposto in fattori primi.

a ) 68 = 17 · 4 = 17 · 22 = 2 · 34;b ) 45 = 5 · 9 = 15 · 3 = 5 · 32;c ) 36 = 6 · 6 = 62;d ) 44 = 2 · 22 = 4 · 11 = 22 · 11;e ) 17 = 17 · 1;f ) 48 = 6 · 8 = 12 · 4 = 3 · 24 = 16 · 3;

g ) 60 = 2 · 30 = 15 · 4 = 22 · 3 · 5 = 10 · 6;h ) 102 = 6 · 17 = 3 · 34 = 2 · 3 · 17 = 2 · 51;i ) 200 = 2 · 102 = 23 · 52 = 2 · 4 · 25 =

22 · 50;j ) 380 = 19 · 10 · 2 = 19 · 5 · 22.

1.21. Rispondi alle domande:

a ) ci può essere più di una scomposizione in fattori di un numero?b ) ci può essere più di una scomposizione in fattori primi di un numero?c ) quando un numero è scomposto in fattori primi?

1.22. Descrivi brevemente la differenza tra le seguenti frasi

a ) a e b sono due numeri primi;b ) a e b sono due numeri primi tra di loro.

Fai degli esempi che mettano in evidenza la differenza descritta.

1.23 (∗). Scomponi i seguenti numeri in fattori primi:

a ) 16;b ) 18;c ) 24;d ) 30;

e ) 32;f ) 36;g ) 40;h ) 42;

i ) 48;j ) 52;

k ) 60;l ) 72;

m ) 81;n ) 105;o ) 120;p ) 135;

q ) 180;r ) 225;s ) 525;t ) 360.

1.24 (∗). Scomponi i seguenti numeri in fattori primi:

a ) 675;b ) 715;c ) 1900;

d ) 1078;e ) 4050;f ) 4536;

g ) 12150;h ) 15246;i ) 85050;

j ) 138600;k ) 234000;l ) 255000;

m ) 293760;n ) 550800;o ) 663552.


1.10 - Massimo Comune Divisisore e minimo comune multiplo

1.25. Applicando la definizione 1.10 trova il MCD tra i numeri 54 e 132.

1.26. Calcola MCD e mcm dei numeri 180, 72, 90.Scomponendo in fattori si ha 180 = 22 · 32 · 5, 72 = 23 · 32, 90 = 2 · 32 · 5.

MCD = 2... · 3... = . . . ;

mcm = 2... · 3... · 5... = . . .

1.27 (∗). Calcola mcm e MCD tra i seguenti gruppi di numeri:

a ) 6; 15b ) 12; 50c ) 1; 6; 10; 14d ) 15; 5; 10e ) 2; 4; 8

f ) 2; 1; 4g ) 5; 6; 8h ) 24; 12; 16i ) 6; 16; 26j ) 6; 8; 12

k ) 50; 120; 180l ) 20; 40; 60

m ) 16; 18; 32n ) 30; 60; 27o ) 45; 15; 35

1.28 (∗). Calcola mcm e MCD tra i seguenti gruppi di numeri:

a ) 6; 8; 10; 12b ) 30; 27; 45c ) 126; 180d ) 24; 12; 16e ) 6; 4; 10

f ) 5; 4; 10g ) 12; 14; 15h ) 3; 4; 5i ) 6; 8; 12j ) 15; 18; 21

k ) 12; 14; 15l ) 15; 18; 24

m ) 100; 120; 150n ) 44; 66; 12o ) 24; 14; 40

1.29 (∗). Tre funivie partono contempora-neamnte da una stessa stazione sciistica. Laprima compie il tragitto di andata e ritornoin 15 minuti, la seconda in 18 minuti, la ter-za in 20. Dopo quanti minuti partiranno dinuovo insieme?

1.30 (∗). Due aerei partono contemporanea-mente dall’aeroporto di Milano e vi ritorne-ranno dopo aver percorso le loro rotte: il pri-mo ogni 15 giorni e il secondo ogni 18 giorni.Dopo quanti giorni i due aerei si troverannodi nuovo insieme a Milano?

1.31. Disponendo di 56 penne, 70matite e 63gomme, quante confezioni uguali si pos-sono fare? Come sarà composta ciascunaconfezione?

1.32. Una cometa passa in prossimità dellaTerra ogni 360 anni, una seconda ogni 240 an-ni e una terza ogni 750 anni. Se quest’annosono state avvistate tutte e tre, fra quanti an-ni sarà possibile vederele di nuovo tutte e trenello stesso anno?

1.11 - Espressioni numeriche

1.33. Esegui le seguenti operazioni rispettando l’ordine.

a ) 15 + 7 − 2;b ) 16 − 4 + 2;c ) 18 − 8 − 4;d ) 16× 2 − 2;

e ) 12 − 2× 2;f ) 10 − 5× 2;g ) 20× 4 : 5;h ) 16 : 4× 2;

i ) 2 + 22 + 3;j ) 4× 23 + 1;

k ) 24 : 2 − 4;l ) (1 + 2)3 − 23;

m ) (32)3 − 32;n ) 24 + 23;o ) 23 × 32;p ) 33 : 32 × 32.


1.12.2 Esercizi riepilogativi

1.34. Quali delle seguenti scritture rappresentano numeri naturali?

a ) 5 + 3 − 1;b ) 6 + 4 − 10;c ) 5 − 6 + 1;

d ) 7 + 2 − 10;e ) 2 · 5 : 5;f ) 2 · 3 : 4;

g ) 3 · 4 − 12;h ) 12 : 4 − 4;i ) 11 : 3 + 2;

j ) 27 : 9 : 3;k ) 18 : 2 − 9;l ) 10 − 1 : 3.

1.35. Calcola il risultato delle seguenti operazioni nei numeri naturali; alcune operazioni nonsono possibili, individuale.

a ) 5 : 5 = . . .;b ) 5 : 0 = . . .;c ) 1 · 5 = . . .;d ) 1 − 1 = . . .;

e ) 10 : 2 = . . .;f ) 0 : 5 = . . .;g ) 5 · 1 = . . .;h ) 0 : 0 = . . .;

i ) 10 : 5 = . . .;j ) 1 : 5 = . . .;

k ) 0 · 5 = . . .;l ) 5 : 1 = . . .;

m ) 0 · 0 = . . .;n ) 1 · 0 = . . .;o ) 1 : 0 = . . .;p ) 1 : 1 = . . .

1.36. Aggiungi le parentesi in modo che l’espressione abbia il risultato indicato.

2 + 5 · 3 + 2 = 35 2 + 5 · 3 + 2 = 37

1.37 (∗). Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi e calcola il risultato:

a ) aggiungi 12 al prodotto tra 6 e 4;b ) sottrai il prodotto tra 12 e 2 alla somma tra 15 e 27;c ) moltiplica la differenza tra 16 e 7 con la somma tra 6 e 8;d ) al doppio di 15 sottrai la somma dei prodotti di 3 con 6 e di 2 con 5;e ) sottrai il prodotto di 6 per 4 al quoziente tra 100 e 2;f ) moltiplica la differenza di 15 con 9 per la somma di 3 e 2;g ) sottrai al triplo del prodotto di 6 e 2 il doppio del quoziente tra 16 e 4.h ) il quadrato della somma tra il quoziente intero di 25 e 7 e il cubo di 2;i ) la somma tra il quadrato del quoziente intero di 25 e 7 e il quadrato del cubo di 2;j ) la differenza tra il triplo del cubo di 5 e il doppio del quadrato di 5.

1.38 (∗). Calcola il valore delle seguenti espressioni:

a ) (1 + 2 · 3) : (5 − 2 · 2) + 1 + 2 · 4 ;b ) (18 − 3 · 2) : (16 − 3 · 4) · (2 : 2 + 2) ;c ) 2 + 2 · 6 − [21 − (3 + 4 · 3 : 2)] : 2 ;d ) {[15 − (5 · 2 − 4)] · 2} : (30 : 15 + 1) − {[25 · 4] : 10 − (11 − 2)} .


a ) [6 · (2 · 4 − 2 · 3) − 6] + {3 · (21 : 7 − 2) · [(6 · 5) : 10] − 3 · 2} ;b ) 100 : 2 + 32 − 22 · 6 ;c ) 27 : 23 − 22 ;d ) 30 − 5 · 3 + 7 · 22 − 2 .



a ) (3 + 4)2 − (32 + 42) ;b ) 5 · 53 · 54 : (52)3 + 5 ;c ) 325 : 164 − 29 ;d ) [30 + (24 − 23)2 : (43 : 42) + 3] : (26 : 24) .


a ) [(45 : 43) − 23] · [(34 · 33) : (32 · 3)] : (22 + 20 + 31) ;b ) (12 − 52 : 5) · 42 : 23 + 22 − 1 + [(24 : 23)3 + 43 : 4 + 25] : 7 ;c ) (52 · 22 − (25 − 25 : (22 · 3 + 42 : 4) + 23 · (32 − 22))) : (3 · 2) · 5 ;d ) (34 · 33 : 36)2 + (72 − 52) : 22 .


a ) (3 · 22 − 10)4 · (33 + 23) : 7 − 10 · 23 ;b ) (195 : 15) · {[32 · 6 + 32 · 42 − 5 · (6 − 1)2]} : (42 − 3) ;c ) 5 + [(16 : 8) · 3 + (10 : 5) · 3] · (23 · 5 − 1)2 − [(3 · 10) : 6 − 1] ;d ) [4 · (3 · 2 − 3 · 12) − 5] − { 2 · (14 : 7 + 4) : [2 · (3 + 2)2 : 10 + 1 − 42 : 8]} .

1.43 (∗). Un’automobile percorre 18 km con 1litro di benzina. Quanta benzina deve aggiun-gere il proprietario dell’auto sapendo che l’au-to ha già 12 litri di benzina nel serbatoio, chedeve intraprendere un viaggio di 432 km e chedeve arrivare a destinazione con almeno 4 litridi benzina nel serbatoio?

1.44 (∗). Alla cartoleria presso la scuola unapenna costa 10 centesimi più di una matita.Gianni ha comprato 2 penne e 3 matite e haspeso 17 euro. Quanto spenderà Marco cheha comprato 1 penna e 2 matite?

1.45. In una città tutte le linee della metropoli-tana iniziano il loro servizio alla stessa ora. Lalinea rossa fa una corsa ogni 15 minuti, la lineagialla ogni 20 minuti e la linea blu ogni 30 mi-nuti. Salvo ritardi, ogni quanti minuti le trelinee partono allo stesso momento?

1.46. Tre negozi si trovano sotto lo stesso por-ticato, ciascuno ha un’insegna luminosa in-termittente: la prima si spegne ogni 6 se-condi, la seconda ogni 5 secondi, la terzaogni 7 secondi. Se le insegne vengono acce-se contemporaneamente alle 19.00 e spentecontemporaneamente alle 21.00, quante volte

durante la serata le tre insegne si spegnerannocontemporaneamente?

1.47. In una gita scolastica ogni insegnante ac-compagna un gruppo di 12 studenti. Se alla gi-ta partecipano 132 studenti, quanti insegnantioccorrono?

1.48. Un palazzo è costituito da 4 pianicon 2 appartamenti per ogni piano. Se ogni ap-partamento ha 6 finestre con 4 vetri ciascuna,quanti vetri ha il palazzo?

1.49. Spiega brevemente il significato delleseguenti parole:

a ) numero primo;b ) numero dispari;c ) multiplo;d ) cifra.

1.50. Rispondi brevemente alle seguentidomande:

a ) cosa vuol dire scomporre in fattori unnumero?

b ) ci può essere più di una scomposizionein fattori di un numero?

c ) cosa vuol dire scomporre in fattori primiun numero?


1.12.3 Risposte

1.11. a) 66, b)54, c) 1, d) 63.

1.23. s) 3 · 52 · 7.

1.24. d) 2 · 72 · 11, e) 2 · 34 · 52, f) 23 · 34 · 7, g) 2 · 35 · 52, h) 2 · 32 · 7 · 112, i) 2 · 35 · 52 · 7,j) 23 · 32 · 52 · 7 · 11, k) 24 · 32 · 53 · 13, l) 23 · 3 · 54 · 17, m) 27 · 33 · 5 · 17, n) 24 · 34 · 52 · 17,o) 213 · 34.

1.27. a) 30; 3, b) 300; 2, c) 210; 1, d) 5; 30, e) 2; 8, f) 1; 4.

1.28. m) 600; 10, n) 132; 2, o) 840; 2.

1.29. 3 ore.

1.30. 90 giorni.

1.37. a) 36, b) 18, c) 126, d) 2, e) 26, f) 30.

1.38. a) 16, b) 9, c) 8, d) 5.

1.39. a) 9, b) 35, c) 12, d) 41.

1.40. a) 24, b) 30, c) 0, d) 5.

1.41. a) 81, b) 25, c) 25, d) 15.

1.42. a) 0, b) 73, c) 18253, d) 4.

1.43. Almeno 16.

1.44. 10; 18.

Numeri interi relativi 22.1 I numeri che precedono lo zero

Con i numeri naturali non sempre è possibile eseguire l’operazione di sottrazione. Inparticolare, non è possibile sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, peresempio 5 − 12. Tuttavia ci sono situazioni in cui una sottrazione di questo tipo deve essereeseguita.

Per esempio, è possibile acquistare un’auto di e 12 000 pur avendo soltanto risparmi inbanca di soli e 5 000. In questo caso si tratta di togliere dai e 5 000 i e 12 000 che servono peracquistare l’auto: materialmente non è possibile e si ricorre a un prestito.

Pensiamo ad una comunicazione dei meteorologi relativa alle previsioni del tempo: «do-mani la temperatura, a causa di una perturbazione proveniente dai paesi nordici, potrebbesubire un drastico calo e scendere anche di 10 gradi». Riflettiamo: se oggi la temperatura èdi 9 gradi, come possiamo esprimere numericamente la temperatura prevista per domani?Alcuni diranno: «il liquido contenuto nel termometro si posizionerà al di sotto dello zero»,altri «domani la temperatura sarà di un grado sotto lo zero» e altri ancora «la temperaturasarà di −1 grado».

0 m

+8 855 m

−10 916 m

Monte Everest

Livello del mare

Fossa delle Marianne

FIGURA 2.1: Il monte Everest e la fossa delleMarianne.

Leggiamo nel testo di geografia: «Il puntopiù profondo della Terra si trova nella fossa delleMarianne; esso supera di 2 061 metri l’altezza delmonte Everest e si trova a 10 916 metri sotto illivello del mare». Se attribuiamo al livello delmare il valore zero, allora potremmo esprimerela profondità della Fossa con il numero −10 916 el’altezza del monte Everest con il numero +8 855(figura 2.1).

Per rappresentare le grandezze che hannodue sensi, come temperature, crediti e i debiti,latitudine nord e sud, altezze sopra il livello delmare e profondità marine i numeri naturali nonbastano. I matematici in queste situazioni usanoi numeri interi relativi che si scrivono utilizzan-do gli stessi numeri naturali ma preceduti dal segno “+” se sono numeri maggiori di 0 e dalsegno “−” se sono numeri minori di 0. L’insieme di questi numeri si costruisce raddoppiandoi numeri naturali N e facendo precedere ciascun numero dal segno “+” o “−”, ad eccezionedello 0, al quale non si attribuisce segno.

Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3,+4,+5, . . .}

29

30 Capitolo 2. Numeri interi relativi

2.2 I numeri relativi e la retta

I numeri relativi possono essere rappresentati su una retta. Disegniamo una retta, su di essaprendiamo un punto di riferimento al quale associamo il numero zero, il verso di percorrenzada sinistra verso destra, un segmento AB come un’unità di misura. Riportiamo questa unitàdi misura più volte partendo da zero e procedendo nel verso stabilito aggiungiamo ogni voltauno: ai punti trovati associamo gli interi positivi. Ripetiamo l’operazione partendo dallo zero,ma con il verso di percorrenza a sinistra: ai punti trovati associamo gli interi negativi.

Z

−5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5

A Bunità

Possiamo interpretare questi numeri come il numero di passi da fare sulla retta, partendodallo zero verso destra se il segno è positivo, verso sinistra se il segno è negativo.

L’insieme dei numeri relativi si indica con il simbolo Z. In particolare, l’insieme dei solinumeri interi relativi con segno positivo si indica con il simbolo Z+, l’insieme dei soli numeriinteri negativi si indica con il simbolo Z−.

Definizione 2.1. Due numeri relativi si dicono concordi, se hanno lo stesso segno; si diconodiscordi se hanno segni opposti.

Esempio 2.1. Concordi-discordi.

á +3 e +5 sono concordi;á +3 e −5 sono discordi;á −5 e −2 sono concordi.

Definizione 2.2. Il valore assoluto di un numero relativo è il numero senza il segno; quindiun numero naturale.

Il valore assoluto si indica inserendo il numero relativo tra due barre verticali (| |). Inlinguaggio matematico:

|a| = a, se a > 0, |a| = −a, se a < 0.

Esempio 2.2. Valore assoluto.

á |+2| = 2;á |−5| = 5;á |−73| = 73;á |+13| = 13.

Definizione 2.3. Due numeri interi relativi sono uguali se hanno lo stesso segno e lo stessovalore assoluto; si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto ma segni diversi.

Sono numeri opposti +3 e −3; +5 e −5; +19 e −19.

Sezione 2.3. Confronto di numeri relativi 31

q Osservazione Per indicare un numero positivo è possibile scrivere il numero senza ilsegno “+”. Per esempio si può scrivere indifferentemente +1 o 1, +12 o semplicemente 12.

2.3 Confronto di numeri relativi

Dati due numeri interi relativi quello più grande è quello che sulla retta è rappresentatopiù a destra. In particolare:

a ) ogni numero intero positivo è maggiore di 0 e di ogni numero negativo;b ) tra due numeri positivi il più grande è quello che ha valore assoluto maggiore;c ) ogni numero negativo è minore di 0 e di ogni numero positivo;d ) tra due numeri negativi il più grande è quello che ha valore assoluto minore;e ) 0 è minore di ogni numero positivo e maggiore di ogni numero negativo.

Per indicare che un numero è maggiore di un altro si usa separare i due numeri con ilsimbolo “>”; per indicare che il primo è minore del secondo si usa mettere tra i due numeri ilsimbolo “<”.

Esempio 2.3. Confronto di numeri relativi.

á +4 > +2: i numeri sono positivi, il maggiore è +4 perché ha valore assoluto maggiore;á −1 > −3: i due numeri sono negativi, il maggiore è −1 perché ha valore assoluto minore;á +4 > −2: il numero positivo è maggiore del numero negativo;á +4 > 0: ogni numero positivo è maggiore di 0;á 0 > −2: ogni numero negativo è minore di 0.

Usando la rappresentazione dei numeri sulla retta l’ordinamento risulta più facile daverificare: il verso di percorrenza della retta (la freccia) indica la direzione nella quale i numericrescono.�� b Esercizi proposti: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

2.4 Le operazioni con i numeri relativi

Con i numeri relativi è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni e lesottrazioni. Questo significa che se si addizionano, si sottraggono o si moltiplicano duenumeri relativi il risultato si trova sempre nella retta dei numeri relativi.

2.4.1 Addizione

Osserviamo prima di tutto che il simbolo di addizione (+) è lo stesso che si usa perindicare il segno dei numeri positivi, pertanto occorre prestare attenzione quando si incontrail segno “+” al significato che esso ha. Almeno all’inizio è bene usare una scrittura deltipo (+2) + (+5) per indicare la somma tra i numeri +2 e +5.

L’addizione di due numeri relativi si esegue in due modi diversi a seconda che gli addendisiano concordi o discordi.

La somma di due numeri relativi concordi è il numero che per ha valore assoluto la sommadei singoli valori assoluti e come segno lo stesso segno degli addendi.


Esempio 2.4. (+3) + (+5) = . . .: i due numeri da sommare sono concordi, il loro segno è “+”,i loro valori assoluti sono 3 e 5, la loro somma è 8. Pertanto (+3) + (+5) = +8.

Esempio 2.5. (−2) + (−5) = . . .: i due numeri sono entrambi negativi, quindi sono concordi,i loro valori assoluti sono 2 e 5, la somma ha valore assoluto 7, il segno è “−”. Pertanto

(−2) + (−5) = −7.

La somma di due numeri relativi discordi è il numero che ha per valore assoluto la differenzadei valori assoluti e come segno il segno del numero che ha valore assoluto maggiore.

Esempio 2.6. (−5) + (+2) = . . .: i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assolutisono 5 e 2, la differenza è 3, il numero che ha valore assoluto maggiore è −5, pertanto ilrisultato ha lo stesso segno di −5, cioè è negativo. In definitiva (−5) + (+2) = −3.

Esempio 2.7. (+5) + (−2) = . . .: i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assolutisono 5 e 2, la loro differenza è 3, il numero che ha valore assoluto maggiore è +5, pertanto ilrisultato ha lo stesso segno di +5, cioè è positivo. In definitiva (−5) + (−2) = +3.

Esempio 2.8. (+3) + (−7) = . . .: i due numeri da sommare sono discordi, i loro valori assolutisono 3 e 7, la loro differenza è 4, il numero che ha valore assoluto maggiore è −7, quindi ilrisultato ha segno negativo. In definitiva (+3) + (−7) = −4.

L’addizione si può rappresentare nella retta dei numeri come l’azione di muoversi nelverso indicata dal segno del secondo addendo: se è positivo si va verso destra, se è negativo siva verso sinistra iniziando dal punto che rappresenta il primo addendo.

(−3) + (+5) = 2

Z

−5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3

(−1) + (−3) = −4

Z

−5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3�� b Esercizi proposti: 2.6, 2.7, 2.8

2.4.2 Sottrazione

La sottrazione tra due numeri relativi si esegue facendo la somma del primo numero conl’opposto del secondo.

Esempio 2.9. Sottrazione di numeri relativi.

a ) (+2) − (+3) = (+2) + (−3) = −1;

Sezione 2.4. Le operazioni con i numeri relativi 33

(+2) − (+3) = (+2) + (−3)

Cambio il numero +3 con il suo opposto −3

Cambio la sottrazione in addizione

FIGURA 2.2: Esempio 2.9.a.

b ) (+1) − (+3) = (+1) + (−3) = −2;c ) (−2) − (−1) = (−2) + (+1) = −1;d ) (+3) − (−7) = (+3) + (+7) = +10;e ) (−5) − (+5) = (−5) + (−5) = −10.�� b Esercizi proposti: 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13

2.4.3 Somma algebrica

Poiché la sottrazione può essere trasformata in addizione, si può semplificare la scritturadi addizione e sottrazione di numeri relativi utilizzando soltanto l’operazione di addizionee omettendo di scrivere il segno “+” dell’addizione. Questo tipo di addizione tra numerirelativi si chiama somma algebrica.

Esempio 2.10. (+1) + (−2) = −1: se omettiamo il segno di addizione (+) e le parentesiotteniamo 1 − 2.

Esempio 2.11. (+1)−(+3) = −2: si trasforma la sottrazione in addizione con l’opposto (+1)+(−3) omettendo il segno di addizione (+) ed eliminando le parentesi si ottiene 1 − 3.

Esempio 2.12. (−1) + (+2) + (−3) + (+2) + (−7) + (−5) = −12: si scrive in modo sintetico

−1 + 2 − 3 + 2 − 7 − 5.

La somma algebrica gode delle proprietà associativa e commutativa, pertanto per sommarepiù numeri relativi si può procedere senza necessariamente rispettare l’ordine in cui sonoscritti. Per esempio per calcolare il risultato di −1+ 2− 3+ 2− 7− 5 si possono prima sommaretra di loro i numeri positivi e +2 + 2 = +4 e poi tra di loro i numeri negativi −1 − 3 − 7 − 5 =

−16. Quindi +4 − 16 = −12.�� b Esercizi proposti: 2.14, 2.15

2.4.4 Moltiplicazione

Dati due interi relativi da moltiplicare si chiamano fattori i due numeri e prodotto ilrisultato dell’operazione.


Il prodotto di due numeri interi relativi è il numero intero avente come valore assoluto ilprodotto dei valori assoluti dei fattori e come segno il segno “+” se i fattori sono concordi, ilsegno “−” se i fattori sono discordi.

Esempio 2.13. (+3) · (−2) = −6: il numero 6 si ottiene da 3 · 2, il segno è negativo perché ifattori sono discordi.

Esempio 2.14. (−2) · (−3) = +6: il numero 6 si ottiene da 3 · 2, il segno è positivo perché ifattori sono concordi.

Esempio 2.15. (+5) · (+3) = +15: il numero 15 si ottiene da 5 · 3, il segno è positivo perché ifattori sono concordi.

Esempio 2.16. (−1) · (+2) = −2: il numero 2 si ottiene da 1 · 2, il segno è negativo perché ifattori sono discordi.

· + −+ + −− − +

Per determinare il segno di un prodotto si può ricorrere alla seguenteregola dei segni: nella prima riga e nella prima colonna sono collocati isegni dei fattori, all’incrocio tra la riga e la colonna c’è il segno del risultato.

Nel caso si debbano eseguire più moltiplicazioni il segno del prodottoè negativo se il segno meno è presente in un numero dispari di fattori; seil segno negativo è presente un numero pari di volte il prodotto è positivo.

Perché meno per meno fa più; una possibile spiegazione.

0 = 0 · (−2) = (−3 + 3) · (−2) = (−3) · (−2) + (+3) · (−2) = (−3)(−2) − 6.

Quale valore dobbiamo assegnare a (−3) · (−2) affinché il numero ottenuto sommato a −6dia 0? Evidentemente il numero +6.

Esempio 2.17. (+3) · (+2) · (−2) = −12: il risultato è negativo perché vi è un solo segno “−”tra i fattori.

Esempio 2.18. (−2) · (−3) · (+5) · (−2) · (−1) = +60: il risultato è positivo perché ci sonoquattro segni “−”.

Esempio 2.19. (−1) · (−2) · (−3) · (−2) · (+2) · (−3) = −72: il risultato è negativo poiché cisono cinque “−”.�� b Esercizi proposti: 2.16, 2.17, 2.18

2.4.5 Divisione

La regola della divisione è del tutto analoga a quella della moltiplicazione. Per divideredue numeri relativi si dividono i valori assoluti e si attribuisce al risultato il segno “+” se inumeri da dividere sono concordi, il segno “−” se i numeri sono discordi.

Osserva che mentre addizione, sottrazione e moltiplicazione sono operazioni semprepossibili tra numeri interi relativi, ossia il risultato di queste operazioni è sempre un numerointero relativo, il risultato della divisione non sempre è un numero intero relativo. La divisionetra numeri relativi è possibile se è possibile la divisione tra i loro valori assoluti, ossia se ildivisore è diverso da zero ed è un sottomultiplo del dividendo.


Esempio 2.20. (+8) : (+2) = +4: il risultato è 4 perché 8 : 2 = 4, il segno è “+” perché sonoconcordi.

Esempio 2.21. (+9) : (−3) = −3: il risultato è 3 perché 9 : 3 = 3, il segno è “−” perché sonodiscordi.

Esempio 2.22. (−12) : (−4) = +3: il risultato è 3 poiché 12 : 4 = 3, il segno è “+” perché sonoconcordi.�� b Esercizi proposti: 2.19, 2.20, 2.21

2.4.6 Potenza di un numero relativo

La definizione di potenza per un numero relativo è la stessa di quella data per i numerinaturali (in questo caso la base è un numero relativo ma l’esponente è un numero naturale). Simoltiplicano tra di loro tanti fattori uguali alla base quante volte è indicato dall’esponente.L’unica attenzione che dobbiamo avere è quella relativa al segno:

á se la base è un numero positivo il risultato della potenza sarà sempre positivo;á se la base è un numero negativo il segno dipende dall’esponente: se l’esponente è dispari

il risultato è negativo, se l’esponente è pari il risultato è un numero positivo.

Esempio 2.23. Potenze di numeri relativi.

á (+3)2 = (+3) · (+3) = +9;á (+3)3 = (+3) · (+3) · (+3) = +27;á (−2)2 = (−2) · (−2) = +4;á (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8;á (−2)4 = +16;á (−2)5 = −32;á (−1)6 = +1;á (−1)7 = −1.

Ricordiamo che un qualsiasi numero, diverso da 0, elevato a 0 dà come risultato il numero 1e che qualsiasi numero elevato a 1 rimane invariato.

a0 = 1 con a 6= 0, a1 = a.

Esempio 2.24. Potenze di numeri relativi, con esponente 0 o 1.

(−3)0 = 1, (+5)0 = 1, (−2)1 = −2, (+7)1 = +7

�� b Esercizi proposti: 2.22, 2.23, 2.24, 2.25, 2.26, 2.27


2.4.7 Le proprietà delle operazioni nell’insieme dei numeri relativi

Proprietà commutativa

Un’operazione gode della proprietà commutativa se cambiando l’ordine dei termini ilrisultato non cambia.

Somma algebrica a+ b = b+ a.Vale la proprietà commutativa: −3 + 5 = 5 − 3 = +2.

Moltiplicazione a · b = b · a.Vale la proprietà commutativa: (−3) · (−5) = (−5) · (−3) = +15.

Potenza ab 6= ba.Non vale la proprietà commutativa: 32 = 9 6= 23 = 8.

Proprietà associativa

Un’operazione gode della proprietà associativa se presi tre numeri si ottiene sempre lostesso risultato indipendentemente da come si raggruppano i numeri per eseguire l’operazio-ne.

Somma algebrica (a+ b) + c = a+ (b+ c).Dovendo sommare +3 − 5 − 2 e raggruppando i primi due numeri si ha

(+3 − 5) − 2 = −2 − 2 = −4.

Raggruppando gli ultimi due numeri si ha 3 + (−5 − 2) = 3 − 7 = −4 .Nella somma algebrica tra numeri relativi vale la proprietà associativa.

Moltiplicazione (a · b) · c = a · (b · c).Dovendo moltiplicare tre o più numeri relativi si può procedere scegliendo a piacere da

quale moltiplicazione iniziare. Per esempio, dovendo moltiplicare (−3) · (−5) · (−2), si puòcominciare dalla prima moltiplicazione [(−3) · (−5)] · (−2) = (+15) · (−2) = (−30). Oppure sipuò cominciare dalla seconda moltiplicazione (−3) · [(−5) · (−2)] = (−3) · (+10) = (−30).

Nella moltiplicazione tra numeri relativi vale quindi la proprietà associativa.

Elemento neutro

Un’operazione su uno specifico insieme numerico ha elemento neutro se esiste, ed è unico,un numero che composto con un qualsiasi altro numero lo lascia inalterato.

Nella somma algebrica l’elemento neutro è 0 sia che si trovi a destra sia che si trovi asinistra dell’operazione:

+3 + 0 = +3, −2 + 0 = −2, 0 + 5 = +5, 0 − 4 = −4.

Nella moltiplicazione l’elemento neutro è +1 sia a destra sia a sinistra:

−5 · (+1) = −5, +3 · (+1) = +3, +1 · (−3) = −3, +1 · (+7) = +7.


Nella divisione l’elemento neutro è +1 solo se si trova a destra:

a : (+1) = a, +1 : a = . . . .

Dividendo +1 per un numero intero relativo si ottiene un numero intero solo se il divisoreè +1 o −1.

2.4.8 Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione

Moltiplicare il risultato dell’addizione di più numeri per un altro numero dà lo stessorisultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore e addizionare i prodotti ottenuti. Questaproprietà, detta distributiva, vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra.

a · (b+ c) = a · b+ a · c, (a+ b) · c = a · c+ b · c.

Esempio 2.25. +3(−2 + 5) = (+3)(−2) + (+3)(+5) = −6 + 15 = +9. Stesso risultato troviamose eseguiamo per prima la somma algebrica tra parentesi tonda (+3)(−2 + 5) = (+3)(+3) =+9.�� b Esercizi proposti: 2.28, 2.29, 2.30


2.5 Esercizi


2.3 - Confronto di numeri relativi

2.1. Riscrivi in ordine crescente (dal più piccolo al più grande) i seguenti numeri relativi:

+11 − 3 0 + 2 − 5 − 7 + 1

2.2. Riscrivi in ordine decrescente (dal più grande al più piccolo) i seguenti numeri relativi:

−5 − 2 + 3 − 1 0 + 7 − 9 + 13 − 21

2.3. Disponi sulla retta orientata i seguenti numeri relativi−3;+2;+5;−7;−5;−1;+3.

Z

+10

2.4. Per ciascuno dei seguenti numeri relativi scrivi il valore assoluto.

a ) |+ 3| = . . .;b ) |− 5| = . . .;

c ) |− 1| = . . .;d ) |+ 10| = . . .;

e ) |− 11| = . . .;f ) |+ 7| = . . .

2.5. Scrivi tra le seguenti coppie di numeri relativi il simbolo corretto tra “>” e “(<)”.

a ) −5 . . . − 2 ;b ) −3 . . . + 5 ;c ) −2 . . . + 2 ;d ) −5 . . . 0 ;e ) −3 . . . − 5 ;f ) −1 . . . + 1 ;

g ) +3 . . . − 3 ;h ) −1 . . . − 5 ;i ) 0 . . . + 1 ;j ) +3 . . . 0 ;

k ) 0 . . . − 2;l ) +7 . . . + 2;

m ) −11 . . . − 101 ;n ) +100 . . . − 99 ;o ) −101 . . . + 110 ;p ) −1010 . . . − 1100 ;q ) +324 . . . − 282;r ) −714 . . . − 851.

2.4 - Le operazioni con i numeri relativi

2.6. Esegui le seguenti addizioni di numeri relativi.

a ) (+3) + (+2) =b ) (−5) + (−5) =c ) (−3) + (+5) =d ) (+12) + (+2) =e ) (−2) + (−3) =

f ) (−3) + (+13) =g ) (+10) + (−5) =h ) (+1) + (+1) =i ) (−10) + 0 =

j ) (−4) + (+4) =

k ) (+7) + (−6) =l ) (−9) + (−3) =

m ) (−101) + (+2) =n ) 0 + (−9) =o ) (−10) + (+10) =

2.7. Per ognuno dei seguenti numeri relativi scrivi il numero opposto.

a ) +3→ . . .;b ) −2→ . . .;

c ) +1→ . . .;d ) −11→ . . .;

e ) −3→ . . .;f ) +5→ . . .

2.8. Completa la seguente tabella.

a +1 −2 0 +2 −3 +3 −1 +4 −5 −10b 0 −2 −3 +1 −5 −3 −10 −5 +4 +4

a+ b


2.9. Esegui le seguenti sottrazioni di numeri relativi.

a ) (−1) − (+2) =b ) (−5) − (+3) =c ) (−2) − (+5) =d ) (+12) − (+2) =e ) (+1) − (−3) =

f ) (−3) − (+1) =g ) (+11) − (−5) =h ) (+21) − (+11) =i ) (−1) − 0 =

j ) (−3) − (+4) =

k ) (+7) − (−2) =l ) (−3) − (−3) =

m ) 0 − (−11) =n ) (−6) − (−6) =o ) (+5) − (−5) =


a −2 −2 −3 +2 −10 +3 −1 −7 +8 −9b 0 −3 −3 −5 −5 −1 −10 −5 +8 +4

a− b


a −2 +2 −1 +2 −10 −5 −1 −7 +8 −9b +1 −3 −2 −1 +11 +1 −7 −2 −3 −4c −3 −5 −6 +1 −1 −2 −2 −5 −3 +2

a− (b+ c)


a +1 +2 −2 −3 +4 −5 −1 +6 −7 +10b −1 0 −3 −2 +4 −2 +1 −4 −3 +4c 0 −1 +1 −2 +3 −3 +4 −5 +5 −6

a− (b+ c)

a− b+ c

a− b− c


a −2 +2 −1 +1 0 +1 −1 +2 −2 +3b −1 +1 0 +1 −1 +2 −2 +3 −3 +3

a+ b

−a+ b

−a− b

−(a+ b)

−(a− b)

−(−a+ b)

2.14. Esegui le seguenti somme algebriche.

a ) +3 − 1 = + . . .;b ) +2 − 3 = − . . .;c ) −5 + 2 = − . . .;

d ) −2 + 2 = . . . . . .;e ) −5 − 2 = . . . 7;f ) −3 + 5 = . . . 2;

g ) +8 − 0 = . . . . . .;h ) −9 + 0 = . . . . . .;i ) 0 − 5 = . . . . . .;


j ) +1 − 1 = . . . . . .;k ) −2 − 2 = . . . . . .;

l ) +9 − 3 = . . . 6;m ) +7 − 6 = + . . .;

n ) −101 + 9 = − . . .;o ) −10 + 5 = . . . 5

2.15. Esegui le seguenti somme algebriche.

a ) −5 − 2 =

b ) +3 − 4 =

c ) −1 + 2 =

d ) −3 + 4 =

e ) −6 + 7 =

f ) −1 − 9 =

g ) +8 − 7 =

h ) +2 − 1 =

i ) −6 + 2 =

j ) +5 − 2 =

k ) +4 − 3 =

l ) +4 + 1 =

m ) +4 − 6 =

n ) −10 + 5 =

o ) −16 − 4 =

p ) −3 − 9 =

q ) +14 − 7 =

r ) −10 − 10 =

2.16. Calcola i seguenti prodotti.

a ) (+3) · (−2) = − . . .;b ) (−5) · (−2) = + . . .;c ) (+2) · (+4) = . . . 8;

d ) (+1) · (−1) = . . . 1;e ) (+3) · 0 = . . . . . .;f ) (−2) · (−2) = . . . . . .;

g ) 0 · (−3) = . . . . . .;h ) (−2) · (+2) = . . . . . .;i ) (+10) · (−1) = . . .

2.17. Esegui le seguenti moltiplicazioni.

a ) (+3) · (+1) =b ) (+1) · (−2) =c ) (+3) · (−3) =d ) (−5) · (−1) =

e ) (+3) · (−3) =f ) (−2) · (+5) =g ) (−1) · (−7) =h ) (+3) · (+11) =

i ) (+1) · (−10) =j ) (−4) · (+3) =

k ) (+5) · (−6) =l ) (−3) · (−2) =


a −2 +2 −1 +2 −10 −5 −1 −7 +8 −9b +1 −3 −2 −1 +11 +1 −7 −2 −3 −4

a · b

2.19. Esegui le seguenti divisioni.

a ) (+4) : (+2) =b ) (+5) : (−1) =c ) (+6) : (+2) =d ) (+8) : (−2) =

e ) (−8) : (+4) =f ) (−4) : (+2) =g ) (−10) : (+5) =h ) (+10) : (−2) =

i ) (−12) : (+6) =j ) (−12) : (+4) =

k ) (+12) : (−3) =l ) (−12) : (+1) =


a −2 +12 −6 +20 −10 −5 −21 −16 +8 −32b +1 −3 −2 −1 −5 +1 −7 −2 −4 −4

a : b



a 0 +2 +1 −4 −6 −8 +10 +12 −14 −16b +1 −1 −1 +2 −3 +2 −5 −6 −7 +8

a : b

−a : b

−(a : b)

a : (−b)

2.22. Calcola il valore delle seguenti potenze.

a ) (+3)2 =

b ) (−1)2 =

c ) (+1)3 =

d ) (−2)2 =

e ) (−2)3 =

f ) (+2)3 =

g ) (−3)2 =

h ) (−3)3 =

i ) (−4)1 =

j ) (+4)1 =

k ) (−4)2 =

l ) (−2)4 =

m ) (−3)0 =

n ) (−1)5 =

o ) (−2)4 =

2.23. Applica le proprietà delle potenze.

a ) (−3)2 · (−3)3 = (−3)...;b ) (−2)4 · (−2)5 = (−2)...;c ) (−5) · (−5)2 = (−5)...;d ) (−10)2 · (−5)2 = (. . . . . .)2;e ) (−3)4 : (−3)2 = (−3)...;f ) (−7)3 : (−7)3 = (−7)...;g ) (−2)4 : (−2)2 = (−2)...;

h ) (−6)4 : (+2)4 = (. . . . . .)4;i )[(−3)2]3 = (−3)...;

j )[(−5)2]3 = (+5)...;

k ) (−3)3 · (+3)3 = . . .;l ) (−8)2 : (−4)2 = . . .;

m )[(−7)2]3 : (−7)3 = . . .;

n )[(−3)3]2 : (−3)4 = . . .;


a −2 +1 +2 −1 +3 −3 −4 −2 +2 −3b 1 3 2 4 2 3 2 4 5 2

ab


a −2 +12 −6 +20 −10 −5 −21 −16 +8 −12b +1 −3 −2 −1 −5 +1 +19 −14 −4 −8

(a− b)2


a −1 −2 +3 0 +1 +2 −4 +5 −5 −3

a2

−a2

−(−a)2



a −2 −3 +3 −1 0 −2 −4 −3 +4 +5b 0 +1 −1 −2 +2 −3 +2 −2 −3 −5

a · b

−a · b

(−a) · (−b)

−a2 · b


a −2 +2 −1 +2 −10 −5 −1 −7 +8 −9b +1 −3 −2 −1 +11 +1 −7 −2 −3 −4c −3 −5 −6 +1 −1 −2 −2 −5 −3 +2

(a+ b) · c


a −2 +12 −6 +20 −10 −5 −21 −16 +8 −12b +1 −3 −2 −1 −5 +1 +19 −14 −4 −8

(a+ b)(a− b)


a +1 0 −1 +2 −2 0 +3 −3 +4 −10b +2 0 +1 −1 −2 −3 +2 +3 +4 +8c +3 +1 +1 −2 −2 +3 −2 0 0 +2

−2a+ (b− c)


2.31. In quali delle seguenti situazioni è utile ricorrere ai numeri relativi?

a ) misurare la temperatura;b ) contare le persone;c ) esprimere la data di nascita di un personaggio storico;d ) esprimere l’età di un personaggio storico;e ) indicare il saldo attivo o passivo del conto corrente;f ) indicare l’altezza delle montagne e le profondità dei mari.


2.32. La somma di due numeri relativi è sicuramente positiva quando:

A i due numeri sono concordi.B i due numeri sono discordi.

C i due numeri sono entrambi positivi.D i due numeri sono entrambi negativi.

2.33. La somma di due numeri relativi è sicuramente negativa quando:



2.34. Il prodotto di due numeri relativi è positivo quando (più di una risposta possibile):



2.35. Il prodotto di due numeri relativi è negativo quando:



2.36. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

a ) ogni numero relativo è minore di zero V Fb ) la somma di due numeri discordi è zero V Fc ) il cubo di un numero intero relativo è sempre negativo V Fd ) la somma di due numeri opposti è nulla V Fe ) il quoziente di due numeri opposti è l’unità V Ff ) il quoziente di due numeri concordi è positivo V Fg ) il prodotto di due numeri opposti è uguale al loro quadrato V Fh ) il doppio di un numero intero negativo è positivo V Fi ) la somma di due interi concordi è sempre maggiore di ciascun addendo V Fj ) il quadrato dell’opposto di un intero è uguale all’opposto del suo quadrato V F

2.37. Inserisci l’operazione corretta per ottenere il risultato.

a ) (+2) . . . (−1) = −2;b ) (−10) . . . (+5) = −2;c ) (−18) . . . (−19) = +1;

d ) (+15) . . . (−20) = −5;e ) (−12) . . . (+4) = −3;f ) (−4) . . . 0 = 0;

g ) (+1) . . . (+1) = 0;h ) (+5) . . . (−6) = +11;i ) −8 . . . (−2) = +16.

2.38. Inserisci il numero mancante.

a ) +5 + (. . . . . .) = −5b ) −8 + (. . . . . .) = −6c ) +7 − (. . . . . .) = 0

d ) 0 − (. . . . . .) = −2e ) +3 · (. . . . . .) = −3f ) −5 · (. . . . . .) = 0

g ) (+16) : (. . . . . .) = −2h ) (−6) : (. . . . . .) = −1i ) (−10) : (. . . . . .) = +5

2.39. Scrivi tutti i numeri:

a ) interi relativi che hanno valore assoluto minore di 5;


b ) interi relativi il cui prodotto è −12;c ) interi negativi maggiori di −5.

2.40. Inserisci “+” o “−” in modo da ottenere il numero più grande possibile:

−3 . . . (−3) . . . 3 . . . (−6).

2.41. Inserisci le parantesi in modo da ottenere il risultato indicato.

a ) −5 ·+3 − 1 + 2 = −20;b ) −5 + 2 ·−1 + 2 = +6;c ) −5 + 7 − 3 + 2 = +7;d ) −1 ·+3 − 5 ·−1 − 2 = +12;e ) +1 − 1 · 1 − 1 + 3 − 2 ·−3 − 2 = +5.

2.42 (∗). Calcola il valore delle seguenti espressioni.

a ) −5 + 7 + 4 − 9;b ) +1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1;c ) +1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6;d ) +1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + 5 − 6 + 6 − 7 + 7 − 8 + 8 − 9 + 9 − 10;e ) (−3 + 10) − (2 − 3).


a ) (+5 − 2 − 1) + (+2 + 4 + 6);b ) (−5 + 7 − 9) + (+1 − 2 + 3) − (+4 − 6 + 8);c ) +4 − 3 − [+2 − 1 − (8 − 3) − (−5 − 2)] − (2 + 3);d ) −2 + (−5 + 1) + (−7 + 4) − 2 · (−6 + 1);e ) 15 − 9 · (−14 + 12) + 8 · (−3 + 6) + 5 · (−3 + 1).


a ) (50 − 36 − 25) · (−15 + 5 + 20) − 10 · (−3 − 7);b ) [+3 − (10 − 5 + 25)] · [−16 + 5 − (−2 − 14)] : (9 + 6);c ) 20 : (+15 − 5) − 30 : (−10 + 5) + 40 : (15 − 20);d ) 18 : (−3) + 6 · [1 − 5 · (−2 + 4) + 3] : (−6);e ) 3 · 4 − 3 · [18 : (−2) − 17 + (14 − 26 + 5) · 3 − 12] + [16 − 1 · (−1 − 3 + 5) − 37 + 16].

2.45 (∗). Calcola il valore delle seguenti espressioni e indica dove puoi applicare le proprietàdelle potenze.

a ) 100 : 2 + 32 − 22 · 6 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b ) 27 : 23 − 22 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c ) 30 − 5 · 3 − 7 · 22 − 2 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d ) (32 + 42) − (−3 − 4)2 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.46 (∗). Calcola il valore delle seguenti espressioni e indica dove puoi applicare le proprietàdelle potenze.

a ) 5 · 53 · 54 :(52)3

+ 5 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . .b ) 325 : 164 + (−2)9 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . .


c )(34 · 33 : 36)2

+ (72 − 52) : 22 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . .

d )(3 · 22 − 10

)4 · (33 + 23) : 7 − 10 · 23 Hai applicato le proprietà delle potenze? . . . . . . . . .


a ) −5 · (12 − 3 + 4) − 2 ·[3 − 16 : (−2 + 4)

]2;

b )[− 3 + (−5) · (−1)

]3+[− 4 − (1 − 2)

]2;

c )[2 · (−3)2 + 2 · (−3) · (−2)

]2:[24 − 3 · (+6)

]2;

d )[3 · (−1)2 − 3 · (−3) · (−3)

]3:[22 + 5 · (−2)2]3.


a ) (−3)2 · (4 − 1)5 : [(−4)3 : (25) − 33 : (−3)3];b ) [−(−2) · 2 + (−10)2 : (−5)2] · [3 − 5 + 2 · (−3)2 − 5];c ) 13 − 3 − 4 · (−2)2 − 53 : 52 + 3 · (23 − 32) − 6 : (−3) − (4 − 7 + 3)4;d ) −1 − 3 · (−3)2 − 43 : 42 + (−3 − 3) · (22 + 32) − (−12) : (−3).


a ) [10 − 6 · (−2)2] : (−7) + (32 : 3) · 23 − 15 : (−3) + [(−3)3 : (−3)0];b ) |− 5 + 8|− |− 11|+ (−|+ 4| · |− 2 · (+5)|)2;c ) (−29 + 37)5 · (−5 + |23 − 28|)7;d ) −2 · (−2 · |− 2|)2 −

(|3 − 5| · (3 − 5)

)2 · (−2);e ) (−1)3 · (−1 · |− 1|)2 − (|− 3 − 2| · (−5 + 3))2 · (−2 + 1)3.

2.50. Traduci in una espressione matematicale seguenti frasi e motivane la verità o falsità:

a ) il cubo del quadrato di un numerodiverso da zero è sempre positivo;

b ) il quadrato della somma di un numerocon il suo opposto è sempre positivo;

c ) la differenza tra il triplo di 5 e l’unità èuguale all’opposto di 5;

d ) il prodotto tra il quadrato di un nu-mero negativo e l’opposto dello stessonumero è uguale all’opposto del suocubo.

2.51. Sottrarre dal cubo di −3 la somma deiquadrati di +2 e −2. Il risultato è?

2.52. Sottrarre dalla somma di −15 e +27 ilprodotto di −3 e +7.

2.53. Aggiungere al prodotto di −5 e +3 lasomma di +5 e −10.

2.54. Sottrarre dal prodotto di +7 e +4 lasomma di +1 e −8.

2.55. Moltiplica la somma tra −3 e +3 con ladifferenza tra +3 e −3.

2.56. Partendo dal pian terreno scendo di 15gradini, salgo 12 gradini, scendo di 7 gradinie risalgo di 8. A che punto mi trovo rispettoal pian terreno?

2.57. Giocando a carte contro due avversarinella prima partita ho vinto 50 gettoni conil primo giocatore e perso 60 gettoni con ilsecondo giocatore, nella seconda partita hoperso 30 gettoni con il primo e vinto 10 get-toni con il secondo. Quanti gettoni ho vintocomplessivamente?

2.58 (∗). Un polpo congelato è stato appe-na tolto dal congelatore, la sua temperaturaè −12°; viene immerso nell’acqua bollente e lasua temperatura media è aumentata di 6°. Aquale temperatura media si trova ora il polpo?

2.59. Una lumaca sale su un muro alto 10 me-tri, di giorno sale di due metri ma di notte


scende di un metro. In quanti giorni la lumacaarriva in cima al muro?

2.60 (∗). Un termometro segna all’inizio −5°,poi scende di 3°, quindi sale di 2°, infine di-scende di 6°. Quale temperatura segna allafine?

2.61 (∗). Il prodotto di due numeri interi rela-tivi è +80, aumentando di 1 il primo numeroil prodotto è +72. Quali sono i due numeri?

2.62. Il prodotto di due numeri interi relativiè +6, la loro somma è −5. Quali sono i duenumeri?

2.63. Determina due numeri relativi aventicome prodotto +12 e come somma −7.


2.65. Determina due numeri relativi aventicome prodotto +2 e come somma +1.



2.68. Determina due numeri relativi aventicome prodotto −15 e come somma −8.

2.69. Determina due numeri relativi aventicome prodotto −7 e come somma +6.

2.5.3 Risposte

2.42. a) −3, b) +1, c) −3, d) −8, e) +8.

2.43. a) +14, b) −11, c) −7, d) +1, e) +47.

2.44. a) −10, b) −9, c) 0, d) 0, e) +183.

2.45. a) +35, b) +12, c) −15, d) −24.

2.46. a) +30, b) 0, c) +15, d) 0.

2.47. a) −115, b) +17, c) +225.

2.48. a) −37, b) +88, c) −12.

2.49. a) +4, b) +1592, c) 0, d) 0.

2.60. −6°.

2.61. −10; −8.

Frazioni e numeri razionali 33.1 Premessa storica

Quando si deve dividere una certa grandezza o totalità in un certo numero di parti ugualinon sempre sono sufficienti i numeri interi per rappresentare il risultato della divisione. Peresempio, per dividere l’unità in due parti uguali i numeri interi non sono sufficienti.

Gli antichi hanno affrontato questo tipo di problema utilizzando varie scritture perrappresentare le parti in cui dividere l’unità, ossia le frazioni.

I Babilonesi scrivevano frazioni aventi come denominatore una potenza di 60, la base dellaloro numerazione; tuttavia non usavano una notazione specifica per le frazioni ed il valorecorretto andava interpretato dal contesto.

Gli Egizi facevano largo uso dei numeri frazionari che rappresentavano come somme difrazioni unitarie, ossia frazioni con numeratore uno. La frazione unitaria 1

n (con n numeronaturale diverso da zero) veniva rappresentata in forma geroglifica ponendo il denominatore nscritto con la normale rappresentazione del numero n sotto ad un ovale. La frazione 1

12 , peresempio, veniva così rappresentata:

43

.

Nel papiro di Ahmes (detto anche papiro di Rhind) troviamo una tabella che dà la scomposi-zione in frazioni unitarie delle frazioni del tipo 2

n , con n dispari: la frazione 243 è rappresentata

come somma di frazioni unitarie nel seguente modo:

243

=1

42+

186

+1

129+

1301

.

12

18

116

164

14

132

Alcune unità frazionarie più comuni venivano in-dicate con le parti dell’occhio di Horus; secondo laleggenda Horus, nella lotta contro lo zio Seth, reo diavergli ucciso il padre, perse un occhio le cui partivennero ritrovate e ricomposte dal dio Toth a menodi una piccola parte.

I Romani fecero poco uso dei numeri frazionari; silimitarono a considerare le parti delle misure in usoche venivano divise in 12, 24, 36, 48. . . Avevano per-tanto simboli e nomi particolari per indicare alcunefrazioni. Semis per indicare 1

2 , il cui simbolo era S op-pure Z; sextans per indicare 1

6 , dracma per indicare 196

e obolus per indicare la sesta parte della dracma.Furono gli arabi a introdurre l’attuale scrittura delle frazioni e i termini numeratore e

denominatore.

47

48 Capitolo 3. Frazioni e numeri razionali

La notazione attuale per le frazioni si deve sostanzialmente agli arabi, in Europa fu diffusada Leonardo Pisano (Fibonacci) che con il suo Liber Abaci (1202) scrive e opera con le frazionicome oggi le conosciamo.

3.2 Frazioni

Definizione 3.1. Una frazione è una coppia ordinata di numeri naturali in cui il primo sichiama numeratore e il secondo denominatore. Il denominatore deve essere diverso dazero.

an

numeratore

denominatoren 6= 0

Quando si chiede, per esempio un quarto di litro di latte, 14 l, si danno le informazioni su

come operare sulla grandezza unitaria litro per ottenere la quantità desiderata. Le frazionipossono essere viste come operatori che si applicano a una grandezza fissata, consideratacome l’intero o il tutto, per ottenere una nuova grandezza ben determinata e omogenea allaprima.

Una frazione con numeratore uguale a 1 è detta frazione unitaria; indicata con A unagrandezza (segmento, peso, superficie, angolo. . . ) la scrittura 1

nA sta ad indicare l’operazionedi divisione della grandezza A, intesa come il ‘tutto’, in n parti uguali.

Nella figura, il segmento unitario da 0 a 1 è stato diviso in due parti uguali ottenendo lafrazione 1

2 ; dividendolo in quattro parti uguali si ottiene la frazione 14 ; dividendolo in otto

parti uguali si ottiene la frazione 18 ; dividendolo in sedici parti uguali si ottiene la frazione 1

16 .

0 116

18

14

12

1

Definizione 3.2. Il denominatore di una frazione è quel numero che indica in quante par-ti uguali si è diviso l’intero. Poiché non ha senso dividere un intero in zero parti, ildenominatore deve essere diverso da zero.

Vediamo un altro esempio. Il quadrato Q della figura è stato diviso in quattroparti uguali e una parte è stata colorata di grigio; questa parte viene indicata conla frazione unitaria 1

4Q.Una frazione 1

nA significa l’ennesima parte di A, dove A è il tutto che si devedividere in n parti uguali. In altre parole, A si può ottenere moltiplicando per n lafrazione 1

nA.

Sezione 3.2. Frazioni 49

Partendo da 1nA si possono considerare i suoi multipli interi:

2nA,

3nA, . . . ,

n

nA

che rappresentano il doppio di un ennesimo, il triplo di un ennesimo, l’intera grandezza A.Riferendoci all’esempio del quadrato:

24Q

34Q

44Q

La frazione mnA (si legge emme ennesimi di A) con m < n indica il multiplo secondo mdella frazione unitaria 1

nA; essa indica la grandezza che si ottiene dividendo A in n partiuguali e prendendonem.

Definizione 3.3. Il numeratore di una frazione è quel numero che esprime quante parti,dell’intero suddiviso in parti secondo il denominatore, sono state prese.

Per leggere una frazione si legge prima il numeratore e poi il denominatore. Quest’ultimosi legge come numero ordinale (terzo, quarto, quinto,. . . ) fino a 10 e se è maggiore di dieci siaggiunge la terminazione -esimo.

Esempio 3.1. Lettura di frazioni.

a )12

si legge un mezzo;

b )110

si legge un decimo;

c )23

, si legge due terzi;

d )1

11si legge un undicesi-

mo;

e )57

si legge cinque settimi;

f )112

si legge un dodicesi-mo.

A volte per scrivere le frazioni si utilizza la scrittura del tipo a/b, quindi 2/3; 4/6; 6/9. . .

Definizione 3.4. Si chiamano proprie le frazioni che hanno il numeratore minore deldenominatore. Esse rappresentano sempre una grandezza minore dell’intero.

Vi sono frazioni che pur essendo formate da numeratori e denominatori diversi rappresen-tano la stessa parte dell’intero.

23

46

69�� b Esercizi proposti: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4


Definizione 3.5. Si dicono equivalenti due frazioni che rappresentano la stessa partedell’intero.

Proprietà 3.1 (Invariantiva delle frazioni). Se si moltiplica, o si divide, numeratore e denomina-tore di una stessa frazione per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalentealla frazione data.

Per trovare una frazione equivalente a una frazione assegnata è sufficiente moltiplicareper uno stesso numero il numeratore e il denominatore della frazione assegnata.

Esempio 3.2. Trovare due frazioni equivalenti a47

.Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 si ha la frazione equivalente:

4 · 27 · 2

=8

14.

Moltiplicando numeratore e denominatore per 3 si ha la frazione equivalente:

4 · 37 · 3

=1221

.

Definizione 3.6. Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e ildenominatore sono due interi primi tra loro.

Per ridurre ai minimi termini una frazione occorre dividere numeratore e denominatoreper il loro Massimo Comune Divisore.

Esempio 3.3. Ridurre ai minimi termini la frazione812

.

Scompongo in fattori 8 e 12, ottengo 8 = 23 e 12 = 3 · 22. Calcolo il MCD prendendo ifattori comuni con l’esponente più piccolo; in questo caso 22 cioè 4. Divido numeratore edenominatore per 4:

812

=8 : 4

12 : 4=

23

.

Tutte le frazioni che hanno il denominatore (numero di parti in cui va divisa l’unità) ugualeal numeratore (numero delle parti che vanno considerate) rappresentano l’intero:

22=

33=

1010

= 1.

22= 1

33= 1

Per esempio, se divido un quadrato in due partiuguali e ne prendo due parti ottengo l’intero; se dividoun quadrato in tre parti uguali e ne prendo tre partiottengo l’intero,. . .

Cosa significa costruire la grandezza 62 del quadra-

toQ? Tutte le frazioni che hanno il numeratore che è multiplo del denominatore rappresentanoun multiplo dell’intero:

62= 3,

153

= 5,726

= 12.

Sezione 3.3. Dalle frazioni ai numeri razionali 51

Definizione 3.7. Si chiamano apparenti le frazioni che hanno il numeratore multiplo deldenominatore; esse rappresentano una grandezza multipla di quella presa come interounitario.

Le frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore rappresentano grandezzepiù grandi dell’intero. Infatti le parti da considerare (indicate dal numeratore) sono di piùdelle parti in cui è divisa l’unità (indicate dal denominatore).

I54

si ottengono dividendo il quadrato in 4 parti uguali;

dovendone prenderne 5 l’unità non basta.

La grandezza ottenuta è formata da44

con l’aggiunta di14

. Cioè

54=

44+

14

.

Definizione 3.8. Si chiamano improprie le frazioni che hanno il numeratore maggiore deldenominatore; esse rappresentano una grandezza maggiore della grandezza assegnatacome intero.�� b Esercizi proposti: 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15, 3.16

3.3 Dalle frazioni ai numeri razionali

Abbiamo visto che ci sono delle frazioni che, pur essendo diverse tra di loro, rappresentanola stessa parte dell’intero: queste frazioni vengono chiamate frazioni equivalenti. Possiamoformare dei raggruppamenti di frazioni tra loro equivalenti, come nella figura 3.3.

Definizione 3.9. Ogni raggruppamento di frazioni equivalenti è definito come un numerorazionale assoluto ed è rappresentato da una qualunque frazione del raggruppamento;solitamente si sceglie la frazione ridotta ai minimi termini.

Nel nostro esempio 23 è il numero razionale rappresentante del raggruppamento

23=

{23

,46

,69

,1015

,1421

, . . .}

.

In questo modo abbiamo dato al simbolo a/b un nuovo significato, quello di numero ecome tale la scrittura a/b rappresenta il quoziente indicato tra i due numeri naturali a e b.Scriveremo 2 : 3 = 2/3.

Definizione 3.10. Un numero razionale assoluto preceduto dal segno è detto numerorazionale. L’insieme dei numeri razionali relativi si indica con il simbolo Q.


46

812 16

2476

2118 35

3042

84 30

15. . . . . . . . .2

1827

69

23

1015 28

24

1412

7060 20

10

63

6030

23

76 2

FIGURA 3.1: Esempi di frazioni equivalenti.

Il segno del numero razionale relativo è quello che si ottiene dalla regola della divisionedei segni tra numeratore e denominatore.

Esempio 3.4. Segno di numeri razionali.

−2−3

= +23

;2−3

= −23

;−23

= −23

.

Le frazioni proprie, che hanno numeratore minore del denominatore, rappresentanosempre un numero compreso tra 0 e 1.

Le frazioni improprie, che hanno numeratore maggiore del denominatore, si possonoscrivere come somma di un numero naturale e di una frazione propria:

á il numero naturale è il risultato della divisione intera tra numeratore e denominatore;á il numeratore della frazione propria è il resto della divisione tra numeratore e denomi-

natore;á il denominatore della frazione propria è il denominatore stesso della frazione.

Le frazioni apparenti, del tipo 22 , 6

3 , 205 , 12

4 , 123 , . . . corrispondono a un numero intero, rispet-

tivamente a 1, 2, 4, 3, 4.

Esempio 3.5.113

= 3 +23

.

á 11÷ 3 = 3 il numero naturale;á 11 mod 3 = 2 numeratore della frazione propria;á 3 = denominatore della frazione propria.

Esempio 3.6.197

= 2 +57

.

á 19÷ 7 = 2 il numero naturale;á 19 mod 7 = 2 numeratore della frazione propria;á 5 = denominatore della frazione propria.�� b Esercizi proposti: 3.17, 3.18

Sezione 3.4. La scrittura dei numeri razionali 53

3.4 La scrittura dei numeri razionali

I numeri razionali, rappresentati finora come frazioni, possono essere scritti come numeridecimali: basta fare la divisione tra numeratore e denominatore, il quoziente ottenuto è larappresentazione della frazione sotto forma decimale.

1 3 1 1 81 0 0 , 3 3 3 3 . . . 3 1 , 3 7 5

1 0 3 01 0 6 0

1 0 4 0. . . 0

13= 0, 3333 . . . 11

8= 1, 375

I numeri decimali che si ottengono sono di due tipi: numeri decimali finiti come 1, 375 enumeri decimali periodici come 1, 333333 . . .; quest’ultimo si scrive mettendo una barra sullaparte periodica: 1, 3 oppure racchiudendo la parte periodica tra parentesi tonde 1, (3).

I numeri decimali finiti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore ha come fattori soloil 2, solo il 5 o entrambi, eventualmente elevati a una potenza.

I numeri decimali periodici semplici si ottengono dalle frazioni il cui denominatore non haper fattori né 2 né 5.

I numeri decimali periodici misti si ottengono dalle frazioni il cui denominatore contienealtri fattori oltre al 2 e al 5.

Esempio 3.7. Alcuni numeri decimali finiti.

a )118

=1123 =

11 · 53

23 · 53 =13751000

= 1, 375;

b )7

25=

752 =

7 · 22

52 · 22 =28

100= 0, 28 ;

c )1340

=13

23 · 5=

13 · 52

23 · 53 =325

1000= 0, 325;

d )507

=. . .10

, non è possibile, non è un decimale finito.

�� b Esercizio proposto: 3.19

Procedura 3.2. Trasformare una frazione in numero decimale:

a ) eseguire la divisione tra numeratore e denominatore;b ) se la divisione ha un resto mettere la virgola al quoziente e moltiplicare per 10 il resto;c ) continuare la divisione finché il resto è zero oppure fino a che non si trova un resto già trovato

prima;d ) se la divisione si conclude con resto 0 si ottiene un numero decimale finito;e ) se la divisione si conclude perché si è ritrovato un resto ottenuto in precedenza si ottiene un

numero decimale periodico.


Esempio 3.8. Trasformazione di frazioni in numeri decimali.

1 1 3 2 0

- 1 0 0 5 , 6 5

1 3 0

- 1 2 0

1 0 0

- 1 0 0

0

1 7 6

- 1 2 2 , 8 3

5 0

- 4 8

2 0

- 1 8

2

1 5 7

- 1 4 2 , 1 4 2 8 5 7

1 0

- 7

3 0

- 2 8

2 0

- 1 4

6 0

- 5 6

4 0

- 3 5

5 0

- 4 9

1

a) b) c)

a )11320

= 5, 65, numero decimale finito;

b )176

= 2, 83, numero decimale periodico misto di periodo 3;

c )157

= 2, 142857, numero decimale periodico di periodo 142857.

�� b Esercizio proposto: 3.20, 3.21

Viceversa un numero decimale finito o periodico può essere sempre scritto sotto forma difrazione.

Procedura 3.3. Trasformare un numero decimale finito in una frazione:

a ) contare le cifre significative dopo la virgola;b ) moltiplicare numeratore e denominatore per la potenza del 10 che ha esponente uguale al

numero delle cifre significative dopo la virgola.

Per facilitare questa operazione possiamo considerare i numeri decimali finiti come frazioniparticolari che hanno il numeratore uguale al numero decimale e il denominatore uguale a 1.

1,360 ha due cifre significative dopo la virgola:

1, 361

=1, 36 · 102

1 · 102 =136100

=3425

.

0,00043000 ha cinque cifre significative dopo la virgola:

0, 000431

=0, 00043 · 105

1 · 105 =43

100000.

Un numero decimale periodico, generalmente, presenta tre elementi:

Sezione 3.4. La scrittura dei numeri razionali 55

la parte intera composta dalle cifre poste prima della virgola;

il periodo che è composto da una o più cifre che si ripetono all’infinito dopo la virgola;

l’antiperiodo la parte, talvolta assente, composta da una o più cifre poste tra la virgola e ilperiodo.

Per esempio, nel numero 253,485795795795795. . . la parte intera è 253, il periodo è 579,l’antiperiodo è 48.

Dato che il numero è infinito non può essere scritto con tutte le sue cifre, si usano duemodi per scriverlo in forma compatta, mettendo una lineetta sopra le cifre del periodo oracchiudendo le cifre del periodo tra parentesi tonde.

Il numero 253,485795795795795. . . può essere scritto 253, 48579, oppure 253, 48(579).I numeri decimali periodici si dividono in:

semplici se subito dopo la virgola è presente il periodo;

misti se dopo la virgola è presente l’antiperiodo.

Anche i numeri periodici possono essere trasformati in una frazione, che si dice frazionegeneratrice del numero.

Procedura 3.4. Determinare la frazione generatrice di un numero periodico:

a ) scrivere il numero senza la virgola;b ) il numeratore della frazione si ottiene sottraendo dal numero senza la virgola il numero

costituito dalle cifre che precedono il periodo;c ) il denominatore della frazione si ottiene scrivendo tanti 9 quante sono le cifre del periodo e

tanti 0 quante sono le eventuali cifre dell’antiperiodo.

Passo a 2, 512→ 2512.

Passo b 2512 − 25 = 2487.

Passo c 2, 512 =2487990

.

Ma perché questa regola? Una possibile spiegazione Consideriamo il numero periodicosemplice 2, 3. Considero la frazione 2,3

1 moltiplico numeratore e denominatore per 10 2,3·101·10 e

ottengo 23,310 .

L’obiettivo è quello di eliminare dal numeratore della frazione la parte decimale. Perottenere questo risultato tolgo 2, 3 da 23, 3, cioè 23, 3 − 2, 3 = 21.

Come mai 2, 3 e non 1, 3 o 0, 3? Perché in questo modo posso sapere quanto vale ildenominatore: se 23, 3 è il risultato della moltiplicazione di 2, 3 · 10, 21 è il risultato dellamoltiplicazione di 2, 3 · 9 in quanto 23, 3 − 2, 3 = 21. In definitiva

2, 3 =23 − 2

9=

219

=73

.

Possiamo usare lo stesso procedimento per il numero periodico misto 2, 512.


Considero la frazione 2,5121 , moltiplico numeratore e denominatore per 1000 e ottengo:

2512,121000 . L’obiettivo è quello di eliminare dal numeratore della frazione la parte decimale che

contiene il periodo che si ripete all’infinito. Per ottenere questo risultato tolgo da 2512, 12questa volta 25, 12, cioè 2512, 12 − 25, 12 = 2487. Per avere una frazione equivalente occorreche al denominatore abbia 990 in quanto dal numeratore ho tolto 10 volte 2, 512.

2, 512 =2512 − 25

990=

2487990

.�� b Esercizi proposti: 3.22, 3.23

3.4.1 Numeri periodici particolari

Numeri periodici particolari sono quelli che hanno come periodo il numero 9, come 2, 9,1, 19, 21, 229 ecc. Se, per esempio, applichiamo la regola per il calcolo della frazione generatriceal numero periodico otteniamo un risultato inatteso

2, 9 =29 − 2

9=

279

= 3.

Quindi 2, 9 coincide con il numero intero 3.Per lo stesso motivo 1, 19 = 2, 21, 229 = 21, 23.

0, 9 1

Questo fatto si può anche dimostrare in modo grafico, rappresentando, adesempio, il numero 0, 9 e il numero 1 sulla retta reale.

Se i due numeri fossero veramente diversi sarebbero rappresentati da duepunti distinti come in figura. Dato che la retta reale non può avere “buchi”,tra un suo punto e un altro ci deve essere almeno un altro numero compreso tra i due. Maqual è questo numero? Qualunque numero decimale minore di 1 è sicuramente superato dalnumero 0, 9, ad esempio 0,9999999998 è sicuramente più piccolo di 0, 9. Quindi non esistenessun numero tra 0, 9 e 1, di conseguenza i due numeri coincidono.�� b Esercizi proposti: 3.24, 3.25

3.5 I numeri razionali e la retta

Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata. Per fare questooccorre scegliere un punto O sulla retta e associare ad esso il numero zero. Fissiamo poi unsegmento unitario e scegliamo un verso di percorrenza.

Dato un numero razionale positivo, rappresentato dalla frazione an , il punto corrispondenteal numero razionale sulla retta viene determinato nel seguente modo. Dividiamo il segmentounitario u in tante parti uguali quante sono quelle indicate dal denominatore n della frazione,ottenendo così la frazione unitaria 1

n . A partire dal punto O procedendo verso destra, sicontano a frazioni unitarie. L’ultimo punto rappresenta il numero razionale an .

Per le frazioni improprie la singola unità u non è sufficiente, occorre prendere la unitàsuccessiva di u e dividere anche questa in n parti. Il procedimento si ripete fino a che siconsiderano tutte le frazioni unitarie indicate da a. Anche in questo caso, il punto indivi-duato dall’ultima frazione unitaria rappresenta il numero razionale an . In alternativa si puòscomporre la frazione impropria nella somma di un numero intero e di una frazione propria,quindi si rappresenta la frazione impropria a partire dal suo numero intero invece che partire

Sezione 3.6. Confronto tra numeri razionali 57

da 0. Per esempio, per rappresentare la frazione 32 trasformiamo la frazione in 1 + 1

2 , quindirappresentiamo partendo dal numero 1 invece che da 0.

Se il numero razionale è negativo, ci comportiamo come prima con l’avvertenza dimuoverci nel senso opposto a quello precedente cioè da destra verso sinistra.

Q

−2 − 138

−1 − 12

0 38

1 32

2

�� b Esercizi proposti: 3.26, 3.27, 3.28

3.6 Confronto tra numeri razionali

Il numero razionale rappresentato dalla frazione an è minore del numero razionale rap-presentato dalla frazione b

m , se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazioneanprecede il punto che corrisponde alla frazione bm e si scrive

a

n<b

m.

Il numero razionale an è maggiore di bm , se nella retta orientata il punto che corrispondealla frazione an segue il punto che corrisponde alla frazione b

m e si scrive

a

n>b

m.

Il numero razionale an è equivalente a bm se nella retta orientata i punti che corrispondono

alle frazioni an e bm coincidono.

Esempio 3.9. Confronto tra numeri razionali.

Q

−2 − 138

−1 − 12

0 38

1 32

2

−138< −

12

,38> −

12

,38<

32

, −1 > −138

.

Per certe frazioni è facile vedere se una frazione precede o segue un’altra. Per altre non ècosì semplice.

Consideriamo per esempio le frazioni 79 e 6

7 . Quale frazione precede e quale segue? Ilconfronto non è immediato perché con la prima frazione si conta per unità frazionarie ditipo 1

9 , con la seconda per unità frazionarie di tipo 17 .

In generale, senza ricorrere alla rappresentazione sulla retta, come si possono confrontare inumeri razionali?

Conviene sostituire le frazioni date con altre equivalenti che hanno unità frazionarie dellostesso tipo: cioè occorre ridurre le frazioni allo stesso denominatore.


Procedura 3.5. Confrontare due frazioni:

a ) si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni;b ) si trasforma ciascuna frazione come segue:

il nuovo denominatore è il mcm trovato;il nuovo numeratore si ottiene dividendo il mcm per il denominatore della frazione data

e moltiplicando il quoziente ottenuto per il numeratore della frazione data.c ) si confrontano i nuovi numeratori: la frazione più grande è quella che ha il numeratore più

grande.

Un altro modo per confrontare due frazioni consiste nel moltiplicare in croce numeratori edenominatori delle frazioni, come nei seguenti esempi.

Esempio 3.10. Confronta 32 con 5

3 .Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione con il denominatore della seconda

frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda, così:

32<

53

, perché 3 · 3 < 2 · 5.

Esempio 3.11. Confronta le frazioni 79 e 6

7 .mcm(7.9) = 63.

79=

7 · 79 · 7

=4963

,67=

6 · 97 · 9

=5463

.

5463>

4963⇒ 6

7>

79

.

�� b Esercizi proposti: 3.29, 3.30, 3.31, 3.32, 3.33, 3.34, 3.35, 3.36, 3.37, 3.38,3.39, 3.40, 3.41,�� 3.42, 3.43

3.7 Le operazioni con i numeri razionali

Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, lesottrazioni e le divisioni. In altre parole, poiché un numero razionale può essere scritto sottoforma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioniil risultato è sempre una frazione.

3.7.1 Addizione

Se due frazioni hanno la stessa unità frazionaria allora è sufficiente sommare i numeratoridelle frazioni e prendere come denominatore l’unità frazionaria comune.

53+

23=

5 + 23

=73

.

Definizione 3.11. La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che haper denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la sommadei numeratori.

Sezione 3.7. Le operazioni con i numeri razionali 59

Se le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti a quelledate che abbiano la stessa unità frazionaria e poi eseguire l’addizione come indicato nel puntoprecedente e cioè sommando i numeratori e lasciando lo stesso denominatore comune.

+53=

2515

23=

615

3115

In generale data l’addizione di due frazioni mn + pq la somma si può scrivere come

mq+ pn

nq.

+m

n=mq

nq

p

q=pn

nq

mq+ pn

nq

Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore comune,tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo possibile, cioè il minimocomune multiplo dei denominatori delle frazioni da sommare.

Procedura 3.6. Sommare due o più frazioni:

a ) ridurre le frazioni ai minimi termini;b ) calcolare il mcm dei denominatori;c ) mettere il mcm come denominatore della frazione somma;d ) per ogni frazione dividere il mcm per il suo denominatore e moltiplicare il risultato per il

numeratore della frazione mantenendo il segno;e ) calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;f ) mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;g ) ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.

Esempio 3.12. Sommare le frazioni 812 − 5

6 + 85 − 1.

Passo a riduco ai minimi termini le frazioni23−

56+

85−

11

Passo b calcolo mcm(3, 6, 5, 1) = 30.

Passo c la frazione somma avrà come denominatore il mcm trovato. . .30

.


Passo d per ogni frazione divido il mcm per il suo denominatore e moltiplico il risultato peril numeratore:

2 · (30 : 3) − 5 · (30 : 6) + 8 · (30 : 5) − 1 · (30 : 1)30

=2 · 10 − 5 · 5 + 8 · 6 − 1 · 30

30

=20 − 25 + 48 − 30

30.

Passo e calcolo la somma algebrica dei numeri ottenuti al numeratore +13.

Passo f metto la somma ottenuta al numeratore della frazione somma +1330

.

Passo g vedo se posso ridurre la frazione, in questo caso no, il risultato è +1330

.

Esempio 3.13. Sommare i numeri razionali −0, 2 − 1, 2 + 25% + 712 .

Trasformo i numeri razionali in frazioni:

−2

10−

12 − 19

+25

100+

712

= −15−

119

+14+

712

.

Quindi mcm(5, 9, 4, 12) = 180.

−1 · (180 : 5) − 11 · (180 : 9) + 1 · (180 : 4) + 7 · (180 : 12)180

=−1 · 36 − 11 · 20 + 1 · 45 + 7 · 15

180

=−36 − 220 + 45 + 105

180

= −106180

= −5390

.

3.7.2 Sottrazione di frazioni

La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la prima frazionee l’opposto della seconda frazione. Come per i numeri relativi, quando si parla di somma difrazioni si intende sempre somma algebrica di frazioni.�� b Esercizi proposti: 3.44, 3.45, 3.46, 3.47


Il risultato della moltiplicazione tra frazioni può essere interpretato come l’area di unrettangolo in cui le frazioni fattori sono la base e l’altezza.

Sezione 3.7. Le operazioni con i numeri razionali 61

15

15

15

15

15

15

15

15

15

1 unità

1unità

45

23

Moltiplicare 45 ·

23 è come calcolare l’area del rettangolo di base 4

5 e altezza 23 . Ogni

rettangolino di base 15 e altezza 1

3 ha area 115 . I rettangolini da prendere in considerazione

sono 8. Il risultato è quindi 815 . Il denominatore indica in quante parti è stato diviso il quadrato

unitario: sono 3 · 5 = 15 parti. Il numeratore indica quante parti prendiamo, sono le parti2 · 4 = 8 in grigio.

Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratorie per denominatore il prodotto dei denominatori.

·m

n

p

q

mp

nq

�� b Esercizi proposti: 3.48, 3.49, 3.50, 3.51

3.7.4 Operazione inversa e aritmetica dell’orologio

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Ma cosa significa operazioneinversa? Una operazione può essere interpretata come qualsiasi azione che provoca uncambiamento di stato.

Consideriamo come esempio l’addizione nell’orologio che segna le ore dodici (12 = 0).Addizionare significa spostare le lancette in avanti di un determinato numero di ore. Si riportala tabella dell’addizione dell’orologio.

Consideriamo l’addizione 9 + 7 = 4. Il primo elemento 9 può essere interpretato comestato iniziale, + 7 come operatore formato dall’operazione «spostare le lancette avanti di. . . » edall’argomento 7; il risultato 4 è lo stato finale.

Si indica come operazione inversa quella operazione che applicata allo stato finale conargomento uguale a quello precedente dell’operazione diretta, riporta allo stato iniziale.

Notiamo che anche nella matematica dell’orologio l’addizione gode della proprietà com-mutativa e associativa, ha l’elemento neutro che è 0, ogni numero ha l’inverso.


+ 0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

4

5

6

7

8

9

10

11

4

5

6

7

8

9

10

11

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

7

8

9

10

11

8

9

10

11

9

10

11

10

11

11

0 1

0

2

1

0

3

2

1

0

4

3

2

1

0

5

4

3

2

1

0

6

5

4

3

2

1

0

7

6

5

4

3

2

1

0

8

7

6

5

4

3

2

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

3

2

112

11

10

9

8

76

5

4

indi

etro

di7

avan

tidi

7

OperatoreInizio Fine

9

avanti di 7

indietro di 7

4

á L’inverso di 0 è 0 perché 0 + 0 = 0;á l’inverso di 1 è 11 perché 1 + 11 = 0;á l’inverso di 2 è 10 perché 2 + 10 = 0;

á l’inverso di 3 è 9 perché 3 + 9 = 0;á l’inverso di 4 è 8 perché 4 + 8 = 0;á l’inverso di 5 è 7 perché 5 + 7 = 0.

L’elemento inverso è molto importante in quanto ci permette di sostituire l’operazioneinversa, con l’operazione diretta che ha come argomento l’elemento inverso dell’argomentodell’operazione diretta.

3

2

112

11

10

9

8

76

5

4

avantidi5

avan

tidi

7

OperatoreInizio Fine

9

avanti di 7

avanti di 5

4

Così per tornare allo stato iniziale invece di operare con portare indietro le lancette di 7,otteniamo lo stesso risultato portando avanti le lancette di 5 che è appunto l’inverso di 7.

3.7.5 Divisione

La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione. Dato che nell’insieme dei numerirazionali esiste sempre l’inverso di una frazione rispetto alla moltiplicazione, esclusa lafrazione zero, si può sempre eseguire la divisione di due qualsiasi frazioni.

Sezione 3.8. Potenza di una frazione 63

: = ·m

n

p

q

mq

np

m

n

q

p

m

n:p

q=m

n· qp=mq

np.

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione perl’inverso della seconda frazione.

Esempio 3.14. Quoziente di due frazioni.

á23:

74

.

Il reciproco di 74 è 4

7 . Pertanto23:

74→ 2

3· 4

7=

821

.

á −23:

(−

34

).

Il reciproco di − 34 è − 4

3 . Pertanto

−23:

(−

34

)→ −

23·(−

43

)= +

89

.

á23: 0.

Il reciproco di 0 non esiste, quindi la divisione non è eseguibile.

á 0 :23

.

Il reciproco di 23 è 3

2 . Pertanto

0 :23→ 0 · 3

2= 0.


3.8 Potenza di una frazione

Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro cheun prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quanto è il valore dell’esponente,pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all’esponente dellapotenza. (

a

b

)n=a

b· ab· ab· . . . · a

b︸︷︷︸n volte

=an

bn.


Esempio 3.15. Potenza di frazioni.

á

(−

23

)3= −

827

; á −23

3= −

83

; á

(−

23

)2= +

49

.

3.8.1 Potenza con esponente uguale a zero

La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l’esponente è zero.Consideriamo l’esempio della divisione di due potenze con la stessa base e con lo stesso

esponente:

á an : an = 1, la divisione di due numeri uguali è 1;á an : an = a0, applicando le proprietà delle potenze.

Possiamo allora concludere che per ogni frazione o numero razionale a diverso dazero a0 = 1. Non è invece possibile la potenza 00.

3.8.2 Potenza con esponente un numero intero negativo

La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l’esponente sia uguale a unnumero intero negativo:

a−n = a0 : an = 1 : an =1an

=1n

an=

(1a

)n.

Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero

a−n =

(1a

)n.

La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale auna potenza che ha per base il reciproco della base rispetto alla moltiplicazione e per esponentel’opposto dell’esponente rispetto all’addizione.

Non è definita invece la potenza con esponente negativo di 0. Il numero 0 infatti non ha ilreciproco. Pertanto, 0−n è una scrittura priva di significato.�� b Esercizi proposti: 3.56, 3.57, 3.58, 3.59, 3.60

3.9 Notazione scientifica e ordine di grandezza

Le discipline scientifiche quali la fisica, la biologia, l’astronomia etc, si trovano spessoa doversi confrontare con misurazioni di grandezze espresse da numeri molto grandi. Peresempio:

á il raggio della Terra è circa 6 400 000 m;á la velocità della luce nel vuoto è 299 790 000 m/s;á un globulo rosso ha il diametro di 0, 000007 m.

Sezione 3.9. Notazione scientifica e ordine di grandezza 65

I primi due numeri sono ‘molto grandi’, mentre l’ultimo è ‘molto piccolo’ e operare connumeri simili, non è affatto semplice.

Per renderci conto di ciò, consideriamo un rettangolo di dimensioni b = 0, 00000006 me h = 0, 0000002 m e calcoliamone l’area:

A = b · h = 0, 00000006 · 0, 0000002 = 0, 000000000000012.

b

h

A

B C

D

Come si può notare, per scrivere il risultato di un’operazione tra due numeri in questocaso ‘molto piccoli’, è necessario fare particolare attenzione in quanto, per l’eccessiva quantitàdi cifre decimali, è facile commettere degli errori.

Per risolvere questo problema, si preferisce utilizzare una scrittura compatta che permettedi scrivere questo tipo di numeri in forma più agevole. Una tale scrittura prende il nome dinotazione scientifica.

Definizione 3.12. Un numero α è scritto in notazione scientifica se si presenta nella forma:

α = k · 10n,

dove k è un numero decimale maggiore o uguale a 1 e minore di 10 e n è un numero intero.

Esempio 3.16. I numeri 3, 5 · 107 e 8, 9 · 10−5 sono scritti in notazione scientifica, mentre inumeri 0, 5 · 103 e 10, 3 · 10−8 non sono scritti in notazione scientifica in quanto il numerodavanti alla potenza di 10 nel primo caso è 0,5 che è minore di 1, nel secondo caso è 10,3 che èmaggiore di 10.

3.9.1 Come trasformare un numero in notazione scientifica?

Consideriamo la misura del diametro del globulo rosso, ovvero 0, 000007 m. Per esprimerequesta misura in notazione scientifica basta considerare la sua frazione generatrice, ovvero:

0, 000007 m = 7 · 11000000

m = 7 · 10−6 m.

Allo stesso modo il numero 0,000000026 viene scritto in notazione scientifica come segue:

0, 000000026 = 2, 6 · 1100000000

= 2, 6 · 1108 = 2, 6 · 10−8.

Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore 2,6 anziché 26,in quanto il numero k deve essere minore di 10.


Consideriamo ora la misura del raggio della Terra, ovvero 6 400 000 m, la sua espressionein notazione scientifica sarà: 6, 4 · 106.

Allo stesso modo il numero 340 000 000 000 viene scritto in notazione scientifica 3, 4 · 1011.Si osservi che in questo secondo caso abbiamo preso in considerazione il valore 3,4 anziché 34,in quanto, come si è già detto, il numero k deve essere minore di 10.

q Osservazione A numeri ‘piccoli’, corrisponde una potenza di dieci con esponente negati-vo; a numeri ‘grandi’, corrisponde una potenza di dieci con esponente positivo.

Procedura 3.7. Scrivere un numero decimale positivo a in notazione scientifica, se a > 1:

a ) si divide il numero decimale per una potenza del 10 in modo da avere un numero decimalecompreso maggiore o uguale a 1 e minore di 10;

b ) per trovare la potenza del 10 per la quale dividere il numero bisogna contare le cifre significativedel numero prima della eventuale virgola e togliere 1;

c ) per scrivere il numero a in notazione scientifica occorre moltiplicare il numero trovato al passoprecedente per la potenza di 10 utilizzata.

Esempio 3.17. 348 000 000 000 000.

Passo b Per esempio le cifre significative di 348 000 000 000 000 sono 15, si divide quindi ilnumero per 1014 e si ottiene 3,48.

Passo c 3, 48 · 1014.

Procedura 3.8. Scrivere un numero decimale positivo a in notazione scientifica, se 0 < a < 1:

a ) si moltiplica il numero decimale per una opportuna potenza del 10 in modo da ottenere unnumero maggiore o uguale a 1 e minore di 10;

b ) per trovare la potenza del 10 bisogna contare gli zeri che si trovano tra la virgola e la primacifra significativa del numero e aggiungere 1;

c ) per scrivere il numero a in notazione scientifica occorre moltiplicare il numero ottenuto alpasso precedente per la stessa potenza di 10 utilizzata presa però con esponente negativo.

Esempio 3.18. 0,000034.

Passo b Nel caso di 0,000034 gli zeri sono 4, si moltiplica allora il numero per 105 e siottiene 3,4.

Sezione 3.9. Notazione scientifica e ordine di grandezza 67

Passo c Nell’esempio considerato si ottiene 3, 4 · 10−5.

Esempio 3.19. Riprendendo il problema della lamina rettangolare, le sue dimensioni innotazione scientifica vengono scritte come: b = 6 · 10−8 m,h = 2 · 10−7 m. L’area sarà quindi:

A = b · h

= 6 · 10−8 m× 2 · 10−7 m

= 12 · 10−15 m2

= 1, 2 · 101 · 10−15 m2

= 1, 2 · 10−14 m2.

Com’è possibile vedere, utilizzando le note proprietà delle potenze, si riesce ad eseguirel’operazione in maniera molto agevole.

Esempio 3.20. Trasforma in notazione scientifica e calcola3000 : 6 milioni5000 · 0, 000002

.

3000 : 6 milioni5000 · 0, 000002

=3 · 103 : (6 · 106)

5 · 103 · (2 · 10−6)

=3 : 6 · 10−3

5 · 2 · 10−3

=0, 510· 10−3+3

= 0, 05 · 100

= 0, 05

= 5 · 10−2.

�� b Esercizi proposti: 3.61, 3.62, 3.63, 3.64, 3.65, 3.66, 3.67, 3.68, 3.69, 3.70, 3.71

3.9.2 Ordine di grandezza

Spesso, nel trattare i numeri ‘molto grandi’ o ‘molto piccoli’, non è importante conoscere lamisura con precisione, ma basta conoscere “quanto è grande”, cioè l’entità della sua grandezza.Per fare ciò si introduce il seguente concetto.

Definizione 3.13. Dato un numero, si definisce ordine di grandezza (abbreviato con la siglao.d.g.), la potenza di 10 più vicina al numero.

Procedura 3.9. Determinare l’ordine di grandezza di un numero:

a ) scrivi il numero dato in notazione scientifica k · 10n;b ) se k < 5 l’ordine di grandezza è 10n;c ) se k > 5 l’ordine di grandezza è 10n+1.


Esempio 3.21. Determinare l’ordine di grandezza dei numeri 0,000074 e 47000000000.Scriviamo dapprima i numeri in notazione scientifica:

0, 000074 = 7, 4 · 10−5 e 47000000000 = 4, 7 · 1010.

L’o.d.g. del primo numero è 10−4 in quanto il numero 7,4 è maggiore di 5. L’o.d.g del secondonumero è 1010 in quanto il numero 4,7 è minore di 5.


3.10 Problemi con le frazioni

3.10.1 Problemi diretti

Nei problemi diretti si conosce il valore di una grandezza e se ne deve calcolare la parteche corrisponde a una frazione. In questo caso basta moltiplicare la frazione per la grandezzaintera.

Esempio 3.22. Una pasticceria produce 568 cornetti a settimana: i 3/4 sono alla crema, 1/8sono al cioccolato e 1/8 alla marmellata. Quanti cornetti di ciascun tipo produce?

Per risolvere il problema occorre calcolare la parte che corrisponde a ciascuna frazione:

á cornetti alla crema:34· 568 = 426;

á cornetti al cioccolato:18· 568 = 71

á cornetti alla marmellata: 71.

3.10.2 Problemi inversi

Nei problemi inversi si conosce il valore numerico di una frazione di una certa grandezzasi deve calcolare il valore dell’intera grandezza. In questo caso occorre dividere il valorenumerico dato per la frazione, si ottiene così l’intero.

Esempio 3.23. Mario ha speso e 21 che corrispondono ai 3/5 della somma che possedeva.Quanto possedeva?

In questo problema si sa che e 21 corrispondono ai 3/5 della somma da cercare. È

sufficiente dividere 21 per la frazione: e 21 :35= e 21·5

3= e 35.

Esempio 3.24. Giuseppe possiede e 150. Se spende i 3/5 della somma posseduta e poi i 2/3della somma rimanente, quanto gli rimane?

Per risolvere il problema si può procedere in più modi.Calcoliamo prima i 3/5 di 150, cioè e 150· 35 = e 90. Quindi la prima volta Giuseppe

spende e 90, perciò gliene rimangono 60. La seconda volta spende i 2/3 di e 60, cioè e 60 23 =

e 40. In tutto ha speso e 90 + e 40 = e 130, gli rimangono e 20.

Sezione 3.11. Le percentuali 69

Un altro modo per risolvere il problema è tenere conto che, se la prima volta ha speso i 35

della somma che possedeva, significa che gli rimane la frazione 1 − 35 = 2

5 . La seconda voltaspende i 2

3 dei 25 , cioè 2

3 ·25 = 4

15 . In tutto ha speso la frazione

35+

415

=3 · 3 + 4

15=

1315

,

gli rimane perciò la frazione 215 , pertanto gli rimangono e 150· 2

15 = e 20.


3.11 Le percentuali

Avrai sentito parlare spesso che il prezzo di un oggetto è stato scontato del 10 per cento,oppure che un partito politico ha preso il 25 per cento di voti e altre espressioni simili checoinvolgono le percentuali.

Le percentuali sono un altro modo per scrivere le frazioni.

Definizione 3.14. Le percentuali sono frazioni che hanno come denominatore 100 e comenumeratore un numero intero o decimale.

La percentuale si indica con un numero intero o decimale seguita dal simbolo %.

35% =35

100; 7% =

7100

; 12, 5% =12, 5100

=125

1000.

Per passare dalla scrittura percentuale alla scrittura decimale basta dividere per 100 ilnumero che esprime la percentuale:

35% =35

100= 0, 35; 7% =

7100

= 0, 07; 12, 5% =12, 5100

= 0, 125.

Per passare dalla scrittura decimale alla scrittura in percentuale basta moltiplicare numera-tore e denominatore per 100:

0, 02 =0, 02

1=

2100

= 2%; 0, 23 =0, 23

1=

23100

= 23%; 1, 21 =1, 21

1=

121100

= 121%.

Per passare da una frazione alla percentuale conviene prima scrivere la frazione comenumero decimale e poi da questo passare alla percentuale:

23= 0, 6 =

0, 61

=66, 6100

= 66, 6%.



3.11.1 Problemi con le percentuali

Per calcolare la percentuale di una grandezza è sufficiente moltiplicare il valore dellagrandezza per la percentuale espressa in frazione.

Esempio 3.25. In una scuola che ha 857 alunni ne sono stati promossi il 95%. Quanti sonostati i promossi?

Per rispondere, si moltiplica il numero totale di alunni per la frazione 95/100. Precisa-mente 95

100 · 857 = 814, 15. Poiché il risultato non è un numero intero la percentuale è stataapprossimata. Gli alunni promossi sono stati 814.

A volte è nota una parte della grandezza e si vuole conoscere che percentuale è la partenota rispetto al totale. In questo caso occorre dividere la parte nota per l’intera grandezza,moltiplicare il risultato per 100 ed esprimere il numero in percentuale.

Esempio 3.26. Di una scolaresca di 652 alunni ben 126 hanno avuto il debito in matematica.Qual è la percentuale di alunni che hanno avuto il debito in matematica?

Per rispondere alla domanda eseguiamo i seguenti calcoli:

126652· 100% ≈ 0, 19 · 100% = 19%.

3.11.2 Problemi con gli sconti

Esempio 3.27. Un pantalone costava e 70 e viene venduto con il 20% di sconto, a quantoviene venduto?

Si tratta di calcolare prima lo sconto e po il prezzo scontato. Lo sconto è dato da

20% · 70 e =20100· 70 e = 14.

Il prezzo scontato è e 70− e 14 = e 56.In alternativa si può tenere conto che, se 20% esprime lo sconto, la parte rimanente, quella

da pagare, è 100% − 20% = 80%. Quindi per calcolare quanto costano i pantaloni scontati sipuò calcolare

80% · 70 e =80100· 70 e = 56 e.

Esempio 3.28. Un paio di scarpe da e 120 viene venduto scontato a e 75 Qual è stata lapercentuale di sconto praticato?

Per rispondere alla domanda, calcolo lo sconto e 120 − e 75 = e 45.Calcolo la percentuale che e 45 rappresentano di e 120,

45120· 100% = 0, 375 · 100% = 37, 5%.

Esempio 3.29. Mario ha trovato in un negozio il computer che stava cercando; per fortunaera scontato del 15%, ha risparmiato cosi 120 euro. Quanto costa il computer di listino?e 120 corrispondono al 15% del prezzo di listino. Per calcolare il prezzo di listino occorre

dividere 120 per la frazione che corrisponde a 15%.

Sezione 3.12. Proporzioni 71

120 : 15% = 120 :15

100= 120 · 100

15= e 800.

�� b Esercizi proposti: 3.83, 3.84, 3.85, 3.86, 3.87, 3.88, 3.89, 3.90, 3.91, 3.92, 3.93, 3.94, 3.95,�� 3.96, 3.97, 3.98, 3.99, 3.100, 3.101, 3.102, 3.103, 3.104, 3.105, 3.106, 3.107, 3.108, 3.109,�� 3.110, 3.111, 3.112, 3.113, 3.114

3.12 Proporzioni

Definizione 3.15. Il rapporto tra due numeri, di cui il secondo è diverso da zero, è ilquoziente che si ottiene dividendo il primo numero per il secondo. Il primo numero si diceantecedente, il secondo conseguente.

A B:

termini

antecedente conseguente

Definizione 3.16. Una proporzione è una uguaglianza tra due rapporti, del tipo

A : B = C : D,

che si legge A sta a B come C sta a D, con B e D diversi da zero.

A B = C D: :

estremi

medi

antecedenti conseguenti

Esempio 3.30. 4 : 2 = 12 : 6.Formano una proporzione perché i due quozienti valgono entrambi 2.

Esempio 3.31. 7 : 14 = 16 : 4.Non formano una proporzione perché il primo rapporto vale 0,5 mentre il secondo rapporto

vale 4.

Proprietà 3.10 (Fondamentale delle proporzioni). In ogni proporzione il prodotto dei medi èuguale al prodotto degli estremi.

A : B = C : D⇒ A ·D = B ·C.


Esempio 3.32. 4 : 6 = 6 : 9.Il prodotto dei medi è 6 · 6 = 36 e il prodotto degli estremi è 4 · 9 = 36. Quindi è una

proporzione.

Esempio 3.33. 20 : 30 = 30 : 40.Il prodotto dei medi è 30 · 30 = 900 il prodotto degli estremi è 20 · 40 = 800. Quindi non è

una proporzione.

Proprietà 3.11 (del permutare). Se in una proporzione scambiamo tra di loro i medi otteniamoancora una proporzione; in modo analogo otteniamo ancora una proporzione se scambiamo tra diloro gli estremi, o ancora se scambiamo tra di loro sia i medi sia gli estremi.

A : B = C : D⇒ A : C = B : D⇒ D : B = C : A⇒ D : C = B : A.

Esempio 3.34. Data la proporzione 12 : 16 = 18 : 24 e scambiando tra di loro:

á i medi si ottiene la proporzione 12 : 18 = 16 : 24;á gli estremi si ottiene la proporzione 24 : 16 = 18 : 12;á sia i medi sia gli estremi si ottiene la proporzione 24 : 18 = 16 : 12.

Proprietà 3.12 (dell’invertire). Se in una proporzione scambiamo ogni antecedente con il rispettivoconseguente otteniamo ancora una proporzione.

A : B = C : D⇒ B : A = D : C.

Esempio 3.35. Data la proporzione 15 : 9 = 5 : 3, applicando la proprietà dell’invertireotteniamo la proporzione 9 : 15 = 3 : 5.

Proprietà 3.13 (del comporre). In una proporzione la somma dei primi due termini sta al primotermine come la somma del terzo e del quarto termine sta al terzo termine. Analogamente, la sommadei primi due termini sta al secondo termine come la somma del terzo e del quarto termine sta alquarto termine.

A : B = C : D⇒ (A+B) : A = (C+D) : C.

A : B = C : D⇒ (A+B) : B = (C+D) : D.

Esempio 3.36. Data la proporzione 16 : 10 = 40 : 25, applicando la proprietà del comporresi ottengono le proporzioni

26 : 16 = 65 : 40, 26 : 10 = 65 : 25.

Analogamente alla proprietà del comporre si ha la seguente:


Proprietà 3.14 (dello scomporre). In una proporzione la differenza dei primi due termini sta alprimo termine come la differenza del terzo e del quarto termine sta al terzo termine. Analogamente,la differenza dei primi due termini sta al secondo termine come la differenza del terzo e del quartotermine sta al quarto termine.

A : B = C : D⇒ (A−B) : A = (C−D) : C.

A : B = C : D⇒ (A−B) : B = (C−D) : D.

Esempio 3.37. Data la proporzione 16 : 10 = 40 : 25, applicando la proprietà dello scomporresi ottengono le proporzioni

6 : 16 = 15 : 40, 6 : 10 = 15 : 25.

3.12.1 Calcolo di un medio o un estremo incognito

Il medio incognito di una proporzione si calcola moltiplicando gli estremi e dividendo peril medio noto:

a : b = x : d⇒ x =a · db

.

L’estremo incognito di una proporzione si calcola moltiplicando i medi e dividendo perl’estremo noto:

x : b = c : d⇒ x =b · cd

.

Esempio 3.38. Calcola il termine incognito di ciascuna proporzione.á 5 : 7 = 20 : x⇒ x = 7·20

5 = 28;á 2 : x = 3 : 16⇒ x = 2·16

3 = 323 ;

á 23 : 1

2 = x : 56 ⇒ x = 2

3 ·56 : 1

2 = 23 ·

56 ·

21 = 10

9 .

Definizione 3.17. Una proporzione si dice continua se ha i medi uguali.

Una proporzione continua è del tipo A : B = B : C, per esempio

3 : 9 = 9 : 27, 5 : 10 = 10 : 20, 4 : 16 = 16 : 64.

Calcolo del medio in una proporzione continua

In una proporzione continua il medio proporzionale incognito si ottiene moltiplicando gliestremi e calcolando la radice quadrata del prodotto ottenuto.

a : x = x : d⇒ x =√a · d.

Esempio 3.39. Trovare il valore di x nella seguente proporzione continua 36 : x = x : 9.Svolgimento x =

√36 · 9 = 18.


Calcolo di un termine incognito per mezzo delle proprietà del comporre e dello scomporre

Esempio 3.40. (11 − x) : x = 15 : 5.Applicando la proprietà del comporre si ha la proporzione

(11 − x+ x) : x = (15 + 5) : 5⇒ 11 : x = 20 : 5

⇒ x =11 · 5

20=

114

.

Esempio 3.41.(

12+ x

):

58= x : 5.

Permutando i medi si ha(

12+ x

): x =

58: 5. Applicando la proprietà dello scomporre si

ha: (12+ x− x

): x =

(58− 5)

: 5

⇒12: x =

−358

: 5

⇒x = 12· 5 :

(−35

8

)=

12· 5 ·

(−

835

)= −

47

.

3.12.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Si consideri il perimetro di un triangolo equilatero; sappiamo che esso varia al variaredella lunghezza del suo lato. Se si indica con l la lunghezza del lato del triangolo, allora ilperimetro è dato dalla relazione:

2p = 3l.

È possibile notare che se raddoppia il lato, raddoppia anche il perimetro; se si triplica illato, allora triplica anche il perimetro etc.

Lato l 0,5 1 1,5 2,4 3,1 4,4Perimetro 1,5 3 4,5 7,2 9,3 13,2

Rapporto2pl

3 3 3 3 3 3

Definizione 3.18. Due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se il loro rapportoè costante, cioè

y

x= k, con k 6= 0.

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta èespressa da una formula del tipo:

y = kx, con k 6= 0.

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da una retta che passa perl’origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali (figura 3.2).


Esaminiamo ora un altro esempio. Se quando vai a fare benzina allo scooter chiedi ognivolta e 10 di benzina, noterai che se aumenta il prezzo della benzina diminuirà la quantità dicarburante che ricevi e viceversa se diminuisce il prezzo aumenterà la quantità di carburanteche ricevi. Ciò che rimane costante è il prodotto tra il prezzo della benzina e la quantità dibenzina ricevuta che deve essere sempre e 10.

Prezzo benzina al litro p (e ) 1,126 1,156 1,212 1,248Benzina ricevuta b ( l) 8,881 8,650 8,251 8,013Costo c = p · b (e ) 10,00 10,00 10,00 10,00

Definizione 3.19. Due grandezze x e y si dicono inversamente proporzionali se il loro prodottoè costante, cioè se:

x · y = k, con k 6= 0.

In generale, da quest’ultima scrittura, possiamo dedurre che una proporzionalità diretta èespressa da una formula del tipo:

y =k

x, con k 6= 0.

Graficamente un tale tipo di proporzionalità è rappresentato da un ramo d’iperboleequilatera in un sistema di assi cartesiani ortogonali (figura 3.3).�� b Esercizi proposti: 3.115, 3.116, 3.117, 3.118, 3.119, 3.120, 3.121, 3.122, 3.123, 3.124, 3.125�� 3.126, 3.127

0 1 2 3 4 5

123456789

1011121314

lato l

peri

met

rop

FIGURA 3.2: Proporzionalità diretta.

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

volume V

pres

sion

eP

FIGURA 3.3: Proporzionalità inversa.


3.13 Espressioni con le frazioni

Esempio 3.42. Calcola il valore della seguente espressione.{3

20·[(

49−

13

): 5 +

(37−

25

):

114

+15· 1

9

]+

215

}: 2.

{320·[(

49−

13

): 5 +

(37−

25

):

114

+15· 1

9

]+

215

}: 2 =

=

{3

20·[(

4 − 39

): 5 +

(15 − 14

35

):

114

+1

45

]+

215

}: 2

=

[3

20·(

19: 5 +

135

:1

14+

145

)+

215

]: 2

=

[3

20·(

19· 1

5+

135· 14

1+

145

)+

215

]: 2

=

[3

20·(

145

+1

7 · 5· 7 · 2

1+

145

)+

215

]: 2

=

[3

20·(

145

+25+

145

)+

215

]: 2

=

[3

20·(

1 + 18 + 145

)+

215

]: 2

=

(320· 20

45+

215

): 2

=

(320· 4

9+

215

): 2

=

(15· 1

3+

215

): 2

=

(115

+2

15

): 2

=3

15: 2

=15· 1

2

=1

10.

Sezione 3.13. Espressioni con le frazioni 77

Esempio 3.43. Calcola il valore della seguente espressione.[135

:

(3 +

910

)+

78+

(134

− 2)· 4

15−

78

]· 11

3:

(6 −

12

).

[135

:

(3 +

910

)+

78+

(134−2)· 4

15−

78

]· 11

3:

(6 −

12

)=

=

[135

:

(30 + 9

10

)+

78+

(13 − 8

4

)· 4

15−

78

]· 11

3:

(12 − 1

2

)=

(135

:3910

+78+

54· 4

15−

78

)· 11

3:

112

=

(135

:3910

+78+

13−

78

)· 11

3· 2

11

=

(23+

78+

13−

78

)· 11

3· 2

11

=

(23+

78+

13−

78

)· 2

3

=

(23+

13

)· 2

3

= 1 · 23

=23

.


Esempio 3.44. Calcola il valore della seguente espressione.[(75−

12

)2:

(9

10

)2−

(1 +

23− 2)2]2

:

(109

)2−

(1 +

85+

125

).

[(75−

12

)2:

(9

10

)2−

(1 +

23− 2)2]2

:

(109

)2−

(1 +

85+

125

)=

=

[(14 − 5

10

)2:

(9

10

)2−

(3 + 2 − 6

3

)2]2:

(109

)2−

(25 + 40 + 1

25

)=

[(9

10

)2:

(9

10

)2−

(−

13

)2]2:

(109

)2−

(6625

)=

[1 −

19

]2:

(109

)2−

(6625

)=

[89

]2·(

910

)2−

6625

=

(45

)2−

6425

=1625

−6625

=−5025

=− 2.


3.14 Esercizi


3.2 - Frazioni

3.1. Da un cartoncino rettangolare quadrettato di lati rispettivamente 5 unità e 8 unità vieneritagliata la forma colorata in grigio, come mostrato nella figura.

8 unità

5unità

Quale delle seguenti espressioni ti sembra più corretta per esprimere la relazione tra ilcartoncino e la forma ritagliata?

a ) La forma ottenuta è più piccola del cartoncino;b ) la forma ottenuta è un poligono con un numero maggiore di lati rispetto al cartoncino

dato;c ) la forma ottenuta rappresenta i 12/40 del cartoncino.

Sbaglio se affermo che la parte colorata è i 3/10 del cartoncino?

3.2. Il monte-premi di una lotteria è di e 50 000. Il primo premio è di e 25 000, il secondo di e10 000, il terzo di e 5 000, il quarto di e 4 000, il quinto e il sesto premio sono uguali. Nellafigura un quadretto rappresenta e 1 000.

a ) Colora con colori diversi i quadretti quanti servono per rappresentare i sei premi, uncolore per ogni premio;

b ) quale parte del monte-premi è stata incassata da chi ha vinto il secondo premio? Esprimiquesta parte con una frazione;

c ) Marco ha vinto il sesto premio: quanto ha vinto?

3.3. La figura seguente è composta da 11 quadratini, alcuni bianchi altri grigi.

Completa: la figura è divisa in due parti mediante la colorazione: la parte grigia rappresenta. . . . . . . . . dell’intera figura, mentre la parte bianca ne è . . . . . . . . .


3.4. Di ciascuna figura colora la parte indicata dalla frazione.

35

23

12

3.5. Indica se le frazioni sono proprie (P), improprie (I) o apparenti (A).

a )34

P I A

b )83

P I A

c )123

P I A

d )52

P I A

e )53

P I A

f )32

P I A

3.6. Trova le frazioni equivalenti completando.

a )34=

. . .12

; b )1216

=3

. . .; c )

52=

. . .10

; d )2135

=. . .5

.

3.7. Indica almeno tre frazioni equivalenti a ciascuna delle seguenti.

a )56

; b )35

; c )1260

; d )23

; e )12

; f )52

.

3.8. Nella figura che segue il quadratino colorato rappresenta 1/4 del quadrato grande;costruisci una figura che rappresenti 8/4 del quadrato grande accostando opportunamentealtri quadrati uguali.

3.9. Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.

a )46

;

b )82

;

c )2

10;

d )1816

;

e )3

12;

f )6

20;

g )80

100;

h )8

12;

i )96

;

j )1015

;

k )1449

;

l )1521

;

m )166

;

n )1815

;

o )2012

;

p )219

;

q )2430

;

r )2515

.

3.10. Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni.

a )2721

;

b )2814

;

c )3016

;

d )3224

;

e )3510

;

f )3681

;

g )406

;

h )4221

;

i )4527

;

j )4860

;

k )1230

;

l )13577

;

m )12122

;

n )8799

;

o )15

360;

p )11030

;

q )24075

;

r )140294

.


FIGURA 3.4: Esercizio 3.11 FIGURA 3.5: Esercizio 3.12

3.11. Si può dire che la parte colorata in grigio della figura corrisponde a 15 della figura stessa?

3.12. Costruisci una figura che corrisponde a 116 della figura seguente.

3.13. Per ciascuno dei seguenti disegni la parte colorata in grigio rappresenta sempre la

frazione34

del quadrato bianco?

3.14. Il segmento nel disegno rappresenta i 3/5 dell’intero.

A B

Ti basta questa informazione per costruire l’intero? Come procederesti?

3.15. Disegna un segmento come grandezza unitaria e dimostra che la frazione 3/5 è equiva-lente a 6/10 ma non a 9/25.

3.16. Usando una grandezza unitaria arbitraria, stabilisci quale delle seguenti frazioni rappre-senta l’intero e quale un suo multiplo:

24

63

55

84

94

.

3.3 - Dalle frazioni ai numeri razionali

3.17. Raggruppa le seguenti frazioni in insiemi di frazioni equivalenti. Etichetta l’insieme conun numero razionale, prendendo per ogni gruppo la frazione ridotta ai minimi termini.

13

;24

; −52

;6

−14;−12

4;

36

;−3−9

;10−4

;1020

;−1842

;5

15; −

921

; −156

;4

12.

3.18. Riscrivi le seguenti frazioni improprie come somma di un numero naturale e una frazionepropria.

103

;179

;112

;253

;1710

;156

.


3.4 - La scrittura dei numeri razionali

3.19. Senza eseguire le divisioni indica quali di queste frazioni possono essere scritte comenumero decimale finito (DF), quali come numero decimale periodico (DP) e quali comenumero intero (I):

a ) −32

DF DP I

b ) −65

DF DP I

c )2

25DF DP I

d )58

DF DP I

e )56

DF DP I

f ) −5

12DF DP I

g )126

DF DP I

h )510

DF DP I

3.20. Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali.

a )132

b )113

c )35

d )156

e )177

f )158

g )129

h )12710

i )12211

j )1312

k )35121

l )12135

m )1210

n )127100

o )1221100

p )13100

q )35

1000

r )121

10000

s )125

t )137

u )154

v )58

w )329

x )2120

y )3718

z )2

21

3.21 (∗). Trasforma in frazioni i seguenti numeri decimali.

a ) 12,5b ) 4,2c ) 6,25d ) 3,75e ) 0,1f ) 2,5

g ) 100,100h ) 0,12i ) 1,1030j ) 0,00100

k ) 100,0010l ) 0,0001

m ) 1,25n ) 0,08o ) 1,002p ) 15,675q ) 1,7r ) 1,46

s ) 0,13t ) 0,149

u ) 5,015v ) 3,21

w ) 2,3x ) 1,086

3.22. Completa la tabella.

ParteNumero decimale intera decimale Periodo Antiperiodo Frazione

1,75213, 7512, 1241, 050, 1357


3.23. Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni.

a ) −1, 25;b ) 0,03;c ) −2, 1;d ) 0, 13;e ) 5,080;f ) 3, 752;

g ) −0, 38;h ) 11, 175;i ) 0, 0102j ) 0, 12345;

k ) 100, 100;l ) 100, 001;

m ) 0,08;n ) 0,2;o ) 0,1;p ) 0,03;q ) 23, 5;r ) 22, 32;

s ) 0,25;t ) 31, 02;

u ) 0, 21;v ) 2, 34;

w ) 3, 218;x ) 0, 034.

3.24. Scrivi la frazione generatrice di 12, 345. Qual è la 614-esima cifra decimale del numero?

3.25. Calcola 0, 9 − 3, 9. Cosa osservi?

3.5 - I numeri razionali e la retta

3.26. Rappresenta su una retta orientata, dopo aver scelto una opportuna unità di misura, iseguenti gruppi di numeri razionali, ciascun gruppo su una retta.

a )23

, −34

,52

, −7

12,

32

, −116

,94

;

b )04

,54

,94

,12

,198

,32

,74

,42

;

c )103

,53

, 2,03

,43

,23

,56

,136

;

d )12

,34

, −54

, −12

,78

, −5

16;

e )85

,12

,3

10, −

74

, −35

, −1110

.

3.27. Scrivi i numeri razionali rappresentati dai punti segnati sulla retta nella figura.

−2 −1 0 1 2

A B C D E F

3.28. Disegna su una retta orientata i seguenti numeri decimali, ciascun gruppo su una retta.

a ) 0, 6 2, 3 − 1, 2 − 0, 06;b ) +1, 4 − 0, 3 − 1, 5 0, 2;c ) −0, 8 − 1, 6 + 4, 91 − 1, 17;d ) 1, 55 2, 01 − 3, 0 − 2, 10.

3.6 - Confronto tra numeri razionali

3.29. Inserisci tra le seguenti coppie di numeri razionali i simboli di maggiore (>), minore (<)o uguale (=).

a )45

. . .57

;

b ) −95

. . . −83

;

c ) −1 . . .112

;

d )27

. . .6

21;

e ) −12

. . . −34

;

f )35

. . .69

.


3.30. Quale dei seguenti numeri razionali è il maggiore?

23

,34

,58

,35

,712

.

3.31. Quale dei seguenti numeri razionali è il minore?

−23

, −34

, −56

, −12

, −25

.

3.32. Scrivi in ordine crescente (dal più piccolo al più grande).

−23

,34

, −56

,12

, −1, −25

, 0.

3.33. Scrivi in ordine decrescente (dal più grande al più piccolo).

−32

,43

, −65

,25

, −1,52

, 0

3.34. Qual è la minore delle seguenti frazioni?

A23

B27

C32

D12

.

3.35. Metti in ordine le seguenti frazioni.

34

;43

;1112

;53

.

3.36. Ordina dal più piccolo al più grande.

a ) 10,011 10,110 11,001 11,100;b ) 10,01 11,11 10,101 10,001;c ) 0,101 0,011 0,110 0,0101;d ) 1,0101 1,1001 1,0011 1,0110;

3.37. Scrivi una frazione molto vicina a − 29 .

3.38. Scrivi una frazione compresa tra:

a )35

e7

10; b )

53

e17

; c )12

e23

.

3.39. Quali disuguaglianze sono vere?

a ) −76< −

67

; V F

b ) −76> +

67

; V F

c ) −76< +

67

; V F

d ) +76< −

67

; V F

e ) +76< +

67

; V F

f ) +76> −

67

. V F

3.40. Quale dei seguenti numeri è più vicino a 1?

A 0, 10 B 0, 99 C 0, 01 D 0, 90


3.41. Quale dei seguenti numeri è più vicino alla frazione 110 ?

A 0, 01 B 0, 90 C 1, 01 D 0, 19

3.42. Scrivi due numeri compresi tra:

a ) 2,3 e 3,4;b ) 3,4 e 3,6;

c ) 2, 3 e 2, 4;d ) 1, 13 e 1, 23;

e ) 3, 4 e 3, 6;f ) 1, 35 e 1, 36.

3.43. Rappresenta su una opportuna retta numerica le seguenti frazioni e poi riscrivile inordine crescente:

34

;38

;13

;54

;25

;63

;56

;124

;198

;165

.

3.44. Calcola le seguenti somme algebriche tra frazioni.

a )12+ 3

2 ;

b )711

+ 411 ;

c )32− 5

2 ;

d )818

+ 59 ;

e )65+ 0;

f ) −32+

43

;

g ) −23+

34

;

h )43−

65

;

i )25+

58

;

j )58+

56

;

k )56−

512

;

l ) 1 −32

;

m )115

+ 5;

n )73−

64

;

o ) 3 −23

;

p )15− 1;

q ) 4 +32−

34

;

r )43+ 3 −

12

;

s )34+

14−

54

;

t ) 1 −12+

13−

14

.

3.45. Calcola le seguenti somme algebriche fra numeri razionali.

a ) 1, 6 +23

;

b ) 5, 1 − 1, 5;

c ) 0, 03 +03

;

d ) 0, 16 − 1, 45;

e ) 50% +12

;

f )25− 1, 2 + 5% ;

g ) −1, 2 + 25% +5

18;

h )32− 13% + 0, 15;

i ) 1, 2 + 1, 2 +12+ 1, 2% ;

j ) 7, 9892 + 3, 1218;

k ) 3, 999 + un centesimo.


a −23

+34

−1 0 −1, 6 −5 −0, 21

b +73

−58

+25

15% +2, 3 +173

+35

a+ b

a− b

b− a

−a− b

−a+ b


3.47. Calcola a mente:

a ) 0, 1 + 0, 1;b ) 0, 2 + 0, 8;c ) 0, 01 + 0, 9d ) 0, 91 + 0, 19;

e ) 1, 10 + 1, 01;f ) 0, 999 + 0, 10;g ) 1, 1 − 0, 9;h ) 100 − 0, 99;

i ) 2 − 0, 1;j ) 3 − 1, 1;

k ) 4 − 1, 4;l ) 10 − 0, 10.

3.48. Calcola i seguenti prodotti fra frazioni.

a )32· 4

3;

b ) 6 · 52

c ) −65·

(−

43

);

d )23· 2

9d;

e )55· 5

8·

(−

56

);

f )32·

(−

89

)· 5

6;

3.49. Calcola i seguenti prodotti fra numeri razionali.

−1, 1 · 185

; 2% · 5%; −34· (−120%).


a −23

+34

−58

15% −1, 6 +173

−0, 21

b +73

−52

+2, 3 +53

a · b 1 −1 0


a ) 0, 1 · 0, 1;

b )1

10· 1

10;

c ) 0, 1 · 100;

d ) 1 · 0, 1;

e ) 2 · 0, 1;

f ) 20 · 0, 02;

g ) 0, 01 · 10;

h )1

100· 10;

i ) 0, 1 · 0, 2;

j )310· 30;

k ) 0, 01 · 0, 1;

l ) 1000 · 0, 0001.

3.52. Calcola i seguenti quozienti fra frazioni.

a )32:

43

; b ) −65:

(−

23

); c )

+32

:

(−32

); d )

25:

58:

(−

56

).

3.53. Calcola i seguenti quozienti fra numeri razionali.

a ) −1, 1 :185

;

b ) 2% : 5%;

c )12: 0, 5;

d ) −34: 1, 4 : (−120%).



a −23

+34

−1 0 −1, 6 −5 −0, 21

b +73

−58

+25

15% +2, 3 +173

+35

a : b

b : a


a ) 0, 30 · 0, 40;

b ) 0, 5 : 0, 1;

c ) 0, 5 · 0, 2;

d ) 0, 1 · 0, 1;

e ) 0, 4 · 3;

f ) 0, 1 : 0, 1;

g ) 0, 5 · 20;

h ) 0, 1 · 0, 010.

3.8 - Potenza di una frazione

3.56. Calcola il valore delle seguenti potenze.

a )(−

23

)2;

b )(−

12

)3;

c )(−

32

)2;

d )(

12− 1)3

;

e )(−

35

)0;

f )(−

35

)1;

g ) −24;

h ) (−2)4;

i )(−

23

)−2;

j )(−

12

)−3;

k ) −

(32

)−2;

l ) −2−4;

m ) (−2)−4;

n ) −

(56

)−1.

3.57. Indica quali proprietà delle potenze sono state applicate nelle seguenti uguaglianze.

a )(−

32

)2·(−

32

)3=

(−

32

)5= −

35

25 ; proprietà

b )(−

32

)2:

(−

32

)3=

(−

32

)−1= −

23

;

c )

((−

32

)2)3

=

(−

32

)6= +

36

26 ;

d )(

52

)2:

(2510

)2=

(52:

52

)2=

(52· 2

5

)2= 12;

e )(−

52

)2·(

625

)2=

(−

52· 6

25

)2=

(−

35

)2= +

32

52 .



a a2 a−2 −a2 (−a)3 a−1 a0 a3(−

23

)−1, 6−0, 1

310

3.59. Calcola a mente.

a ) 3, 4 · 102;b ) 3, 4 : 102;

c ) 0, 34 · 104;d ) 34, 4 : 102;

e ) 0, 34 · 103;f ) 34, 10 · 103;

g ) 3, 04 · 10;h ) 0, 34 : 102.

3.60. Calcola le seguenti potenze prestando particolare attenzione ai segni.

a ) −(−2)2;

b ) [−(−1)2]3;

c ) −(−2)−4;

d ) −[−(−1)−1]−2;

e )2−1 + 3−2

2−2 + 3−1 ;

f )2−2 − 3−1

2−2 + 3−1 ;

g ) (−3)3 · 2−2 − 5−1

2−2 + 52 .

3.9 - Notazione scientifica e ordine di grandezza

3.61. Esprimere in notazione scientifica i seguenti numeri.

a ) 780000000000000 = 7, 8 · 10...;b ) 423000000000 = 4, 23 · 10...;c ) 76000000000000 = . . . · 10...;

d ) 0, 00000000098 = 9, 8 · 10...;e ) 0, 0000045 = 4, 5 · 10...;f ) 0, 000000987 = . . . · 10....

3.62. Quale tra i seguenti numeri non è scritto in notazione scientifica?A 5, 67 · 10−12 B 4, 28 · 108 C 10, 3 · 10−2 D 9, 8 · 107

3.63. Determina in notazione scientifica l’area di una lamina di ferro quadrata avente il lato dimisura 0, 00000000021 m.

3.64. Scrivi in notazione scientifica i seguenti numeri.

34000; 0, 000054; 26; 0, 54000; 5; 0, 00001; 990000; 222.

3.65. Trasforma i numeri in notazione scientifica e scrivi nella stessa forma il risultato.

a ) 0, 00036 · 20000000 = . . .b ) 8400 : 42 = . . .

c ) 900000000 : 0, 0003 = . . .d ) 3 : 10000000 = . . .


3.66. Calcola ed esprimi il risultato in notazione scientifica.

a ) 3 · 1024 + 4 · 1024;b ) 0, 3 · 10104 + 4 · 10103;

c ) 6 · 10101 · 0, 15 · 10101;d ) 12 · 102000 : 6 · 10200.

3.67 (∗). Trasforma i numeri in notazione scientifica e scrivi nella stessa forma il risultato.

(0, 00002)2 : 30000000 · (0, 1)5

4000 · 0, 02 : 0, 000003.


(3000)2 : 0, 000003 : 200000000, 00002 : 0, 00000004

.


(2000)3 · (0, 000001)5 : 20(0, 0003)2 : 3.000.000

.


40002 · 0, 0000123 · 109 · 20003 .

3.71. Disponi in ordine di distanza dal Sole i seguenti pianeti, in base alla distanza mediariportata tra parentesi: Mercurio (5, 8 · 107), Nettuno (4, 5 · 109), Giove (7, 8 · 108), Plutone (6, 1 ·109), Urano (2, 7 · 109), Terra (1, 5 · 108), Marte (2, 3 · 108).

3.72. Determina l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.

a ) 126 000 000; b ) 0, 0000098; c ) 7 000 000; d ) 0, 0000000027.

3.73. Completare la seguente tabella.

Numero 26000000 0, 000083 490000 0, 0000081

Notazione scientificao.d.g.

3.74. Determina l’ordine di grandezza del risultato dei seguenti calcoli.

a ) 5, 3 · 105 · 1, 2 · 103 − 2, 5 · 106; b ) (5 · 102 · 4 · 103)3.

3.10 - Problemi con le frazioni

3.75. La distanza Roma - Bari è di 450 km. Se ho percorso i 2/5 del tragitto quanti chilometrimancano ancora da percorrere?

3.76 (∗). Lucia ha letto 3/5 di un libro, gli rimangono da leggere 120 pagine. Quante pagineha il libro?

3.77. Una persona possiede e 525. Se spende i 3/5 della somma e poi i 2/3 della rimanente,quale somma di denaro gli rimane?

3.78. Luigi ha 18 anni, cioè i 3/7 dell’età di sua madre, che a sua volta ha i 4/5 dell’età delmarito. Quali sono l’età del padre e della madre di Luigi?


3.11 - Le percentuali

3.79. Trasforma i seguenti numeri percentuali in numeri decimali.

12%; 0, 03%; 4, 3%; 80%; 3, 5%; −0, 2%; 15%; −0, 38%.

3.80. Trasforma i seguenti numeri decimali in percentuali.

−1, 25; 0, 03; −2, 1; 0, 13; 5, 080; 3, 752; −0, 38.

3.81. Trasforma i seguenti numeri percentuali in frazioni ridotte ai minimi termini.

12%; 0, 03%; 4, 3%; 80%; 3, 5%; −0, 2%; 15%; −0, 38%.

3.82. Trasforma le seguenti frazioni in numeri percentuali.

−32

;43

; −65

;225

;58

;56

; −5

12.

3.83. A una scuola di ballo si sono iscritte 120 persone; il 20% frequentano i corsi di balloliscio. In quanti frequentano i corsi di liscio?

3.84. Una scuola attiva dei corsi di lingue. 32 studenti si iscrivono al corso di inglese, 24 alcorso di francese e 16 al corso di tedesco. Qual è la percentuale degli alunni iscritti al corso diinglese, rispetto al totale degli iscritti?

3.85. A una scuola di ballo sono iscritte 120 persone. Di queste il 68% sono donne. Quantisono gli uomini?

3.86. Una bici viene venduta con uno sconto del 10%, il prezzo di listino prima dello scontoera e 175. Quanto costa ora?

3.87. Una canna da pesca da e 125 è in vendita promozionale a e 70. Qual è la percentuale disconto applicata?

3.88. Per l’acquisto di un armadio Maria è riuscita a spuntare, dopo lunghe discussioni, unosconto del 25% risparmiando ben e 120. Qual era il prezzo senza sconto dell’armadio?


Prezzo di listino (e ) Sconto (e ) sconto (%) Prezzo scontato (e )

120 12 10 108250 10125 5170 10

1 100 15220 20

12 000 70015 1530 50

25 140120 30


3.90. Calcola:

a ) il 10% di 100;b ) il 30% di 700;

c ) il 20% di 500;d ) il 15% di 150;

e ) il 25% di 1250;f ) il 16% di 120.

3.91. Quale percentuale è:

a ) 10 bocciati su 120 alunni: la percentuale di bocciati è . . . . . . ;b ) 15 alunni su 45 giocano a calcio: la percentuale di alunni che giocano a calcio è . . . . . . ;c ) 10 alunni su 28 suonano il piano: la percentuale di alunni che suonano il piano è . . . . . . ;d ) 20 alunni su 120 frequentano il corso di teatro: la percentuale di alunni che fanno teatro

è . . . . . .

3.92. Se aumenta il prezzo:

a ) un chilo di pane lo scorso anno costava e 1,20, quest’anno è aumentato del 3%, alloracosta . . . . . . ;

b ) un litro di benzina lo scorso anno costava e 1,514, quest’anno costa e 1,629 allora èaumentata del . . . . . . %;

c ) un litro di latte lo scorso anno costava e 1,25, quest’anno è aumentato di 0, 05%, alloracosta e . . . . . . ;

d ) un chilo di formaggio parmigiano lo scorso anno costava e 23,50 quest’anno costa e25,80 allora è aumentato del . . . . . . %.

3.93. Se il prezzo diminuisce:

a ) un chilo di pomodori lo scorso anno costava e 1,20, quest’anno è diminuito del 5%,allora costa e . . . . . . ;

b ) un chilo di peperoni lo scorso anno costava e 2,10, quest’anno costa e 1,80 allora èdiminuito del . . . . . . %;

c ) un chilo di cicoria lo scorso anno costava e 0,80, quest’anno due chili costano e 1,20,allora la cicoria è diminuita del . . . . . . %;

d ) un chilo di arance lo scorso anno costava e 1,40, quest’anno le arance sono diminuitedel 15%, allora costano al chilo e . . . . . .

3.94. Dato il costo di un oggetto IVA esclusa, calcola il prezzo IVA inclusa.

Costo IVA esclusa (e ) IVA (%) Costo IVA inclusa (e )

130 211 250 2117,40 4

21 17021 12 240

101,00 105,60

3.95. Dati imponibile (costo senza IVA) e IVA determina il costo comprensivo di IVA, eviceversa


Imponibile (e ) IVA (%) IVA (e ) Totale

100 21 21 1211 100 21

l 23 1 1001 000 1 100

21 1411 100 100

3.96. La seguente tabella riporta i dati relativi alla provenienza di una classe prima di unascuola secondaria.

Scuola di provenienzaSesso Scuola A Scuola B Scuola C Altre scuole

M 6 4 4 2F 5 3 4 2

a ) Qual è la percentuale di alunni provenienti dalla Scuola A?b ) qual è la percentuale di maschi provenienti dalla Scuola C?c ) qual è la percentuale di alunni che non provengono dalle scuole A o B o C?d ) qual è la percentuale di alunni che provengono dalle scuola A o C?

3.97. Agli esami di stato un gruppo di allievi (A) ha riportato i seguenti punteggi (P) incentesimi.

P 60 64 68 70 74 75 80 82 83 84 85 86 87 88 89 90 92 94 98 100A 2 3 1 5 4 2 1 2 3 2 4 1 3 2 1 3 2 4 6 8

Per poter partecipare a un concorso occorre aver conseguito il diploma con un punteggiosuperiore a 75. Quale la percentuale di diplomati potrà partecipare al concorso? Se soloil 10% di quelli che si sono presentati al concorso lo hanno superato, quanti degli allievi hannosuperato il concorso?

3.98. Tra i dipendenti di un’azienda si effettua un sondaggio per decidere se è opportu-no introdurre un nuovo tipo di turno di lavoro. Nella tabella sono riportati i risultati delsondaggio.

favorevoli contrari

uomini 75 49donne 81 16

a ) Tra le donne, qual è la percentuale di lavoratrici favorevoli al nuovo turno?b ) qual è la percentuale di lavoratori (uomini e donne) che non sono favorevoli al nuovo

turno?

3.99. Sapendo che AB = 12 cm e che BC =34AB calcola la lunghezza di BC.

3.100. Sapendo che AB = 36 cm e che AB =65BC calcola la lunghezza di BC.

3.101. Sapendo che AB + BC = 15 cm eche AB = 2

3BC calcola le lunghezze di ABe BC.

3.102. Sapendo che AB − BC = 4 cm eche AB = 4

3BC calcola le lunghezze di ABe BC.


3.103. Determina le ampiezze di due ango-li complementari sapendo che uno è la metàdell’altro.

3.104. Determina le ampiezze di due ango-li supplementari sapendo che uno è i 2/3dell’altro.

3.105. Determina le misure dei due lati di unrettangoli sapendo che ha perimetro di 128 cme che l’altezza è 3/2 della base.

3.106. La superficie della Toscana è divisa trale seguenti provincie, calcola per ciascuna diesse la percentuale del territorio posseduta:Arezzo (3 235 km2), Firenze (3 514 km2), Gros-seto (4 504 km2), Livorno (1 211 km2), Lucca(1 773 km2), Massa e Carrara (1 156 km2), Pisa(2 444 km2), Pistoia (965 km2), Prato (365 km2),Siena (3 821 km2).

3.107. La superficie della Terra è per il 70%ricoperta di acqua e per il 30% di terraferma.Per 1/5 la terraferma è coperta da ghiaccio edeserto, per 2/3 da foreste e montagna. Laparte rimanente è terreno coltivato. Qual è inpercentuale la parte della superficie terrestrecoltivata?

3.108 (∗). In 30 kg di sapone concentratoal 30% quanta acqua e quanto sapone ci sono?

3.109. Una soluzione di 6 kg è concentrataal 45%. Quanta sostanza concentrata devoaggiungere per avere una nuova soluzioneconcentrata al 60%.

3.110. Quanta acqua bisogna aggiungere auna soluzione di 2 kg concentrata al 12% perottenere una nuova soluzione concentrataal 10%?

3.111. Si hanno due soluzioni delle stessesostanze, una concentrata al 10% e l’altraal 30%. In quale proporzione occorre miscela-re le due soluzioni in modo da ottenere 6 kgdi soluzione concentrata al 15%?

3.112. Una società ha acquistato dei PC nuoviper i propri dipendenti. Pagandoli in contantiha ottenuto uno sconto dell’8%, versando diconseguenza l’importo di e 24 500. Qual è ilvalore iniziale della merce acquistata?

3.113. Una persona paga un tappeto e 1200,lo stesso tappeto l’anno precedente costava e900. Quanto è stato l’aumento percentuale daun anno all’altro?

3.114. Quanto vale il 2012% di 2012?

3.12 - Proporzioni

3.115. Verifica se i gruppi di numeri formano nell’ordine scritto una proporzione.

a )15

;35

;12

;32

b )35

;23

;34

;56

c ) 35; 7; 48; 6 d ) 14; 3, 5; 4; 1 e )15

;43

;4

27;

89

3.116. Applica la proprietà fondamentale delle proporzioni per verificare quale delle seguentiscritture formano una proporzione.

a ) 10 : 11 = 12 : 13 Sì Nob ) 7 : 14 = 21 : 42 Sì Noc ) 64 : 48 = 8 : 6 Sì No

d ) 18 : 15 = 12 : 10 Sì Noe ) 10 : 6 = 5 : 3 Sì Nof ) 1, 2 : 1, 4 = 3, 6 : 4, 2 Sì No

3.117. Disponi opportunamente i numeri in modo che formino una proporzione.

a ) 7 5 20 28;b ) 8 3 2 12;c ) 5 6 2 15;

d ) 3 5 9 15;e ) 6 7 2 21;f ) 3 8 6 16.



1° termine 2° termine Antecedente Conseguente Rapporto Rap. inverso

32 8 32 8 32 : 8 = 48

32=

14

12 1335

314:

32=

16

710

=2130


Proporzione Antecedenti Conseguenti Medi Estremi Valore rapporto

3 : 5 = 21 : 35 3 e 21 5 e 35 5 e 21 3 e 35 0,654 : 12 = 36 : 87 : 21 = 9 : 2754:

158

= 4 : 6

3.120. Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni.

a ) 269 2 : 24 = 3 : x;

b ) x : 0, 6 = 0, 8 : 1, 3;

c )73: x =

43:

835

;

d )(

1 −5

12

):

(56+

13

)= x :

(98−

58

).

3.121. Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni.

a )(

320

+38

): x =

(1 −

13

):

(113

+17

);

b )(

1 +14−

18

):

(58+

14

)=

(58+

12

): x;

c )(

45+ 1)

:

(3 −

15

)= x :

(2 +

13

).

3.122 (∗). Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni.

a )(

53+

83− 3)

: x = x :

(1 +

516

+38

);

b ){

52:

[12·(

3 +13:

53−

145

)]}: x = x :

{311

[(5 −

32

)· 2

21+

32

]};

c ) (70 − x) : 6 = x : 8;

d )(

56− x

):

(1 −

12

)= x :

(16+

23

).


3.123 (∗). Calcola il termine incognito delle seguenti proporzioni.

a ) x : y = 5 : 3, con x+ y = 24;

b )(

6 +35

): y =

(43−

215

): x, con x+ y =

134

;

c )(

12+

56

):

(34+

120

)= x : y, con x− y =

13

;

d ) x :27= y :

12= z :

314

, con x+ y+ z =12

.

3.124. Per ciascuna funzione costruisci la tabella dei valori (almeno 5) e stabilisci se sonoriferite a grandezze direttamente proporzionali, inversamente proporzionali o nessuno deidue casi.

a ) y = 5x;

b ) y =1

2x;

c ) y =23x;

d ) y =1x+ 3;

e ) y = 6x+ 1;

f ) y =24x

;

g ) y = 4x;

h ) y =18x

;

i ) y =12x;

j ) y =6x

;

k ) y = 5 + x;

l ) y = 3x+ 2;

m ) y =2x

;

n ) y = 2x;

o ) y = 2x− 1;

p ) y =1

2x+ 1;

q ) y = 2x− 2.

3.125. Osserva i grafici e rispondi alle domande:

x

y

0 1 2 3

1.5

3

4.5

x

y

0 2 3 6 9

23

6

9

a ) quale grafico rappresenta una funzione di proporzionalità diretta e quale di proporzio-nalità inversa?

b ) qual è il coefficiente di proporzionalità? Del primo grafico è . . . . . . del secondo è . . . . . .c ) qual è la funzione? Del primo grafico è . . . . . . . . . del secondo grafico è . . . . . . . . .


3.126. La tabella seguente riporta alcuni valori che esprimono il variare della grandezza y alvariare di x:

x 1 2 3 4 6 8 12 24y 8 4 2 1

a ) Completa la tabella sulla base dei valori noti;b ) si tratta di grandezze direttamente o inversamente proporzionali?c ) qual è la legge che lega y a x?d ) rappresenta su un piano cartesiano questa relazione.

3.127. La tabella seguente riporta alcuni valori che esprimono il variare dello spostamento s(espresso in km) in funzione del tempo t (espresso in ore) relativo a un corpo che si muovecon velocità costante.

t 1 2 3 4 5 6 7 8s 7 21 35 49 56

a ) Completa la tabella sulla base dei valori noti;b ) si tratta di grandezze direttamente o inversamente proporzionali?c ) qual è la legge che lega s a t?d ) rappresenta su un piano cartesiano questa relazione.


3.128. Esegui le seguenti operazioni con le frazioni, quando è possibile.

a )23· 0;

b )12−

12

;

c )12· 2

0;

d )12· 0

2;

e )12· 1

2;

f )23: 0;

g )23− 0;

h ) 1 :23

;

i )14· 4;

j )14: 4;

k ) 0, 3 : 3;

l ) 1, 5 : 1, 5;

m ) 1, 5 : 1, 5;

n ) 1, 50;

o ) (1 − 1)0;

p ) (−1)−1;

q ) 30 : 20;

r ) (−2)−2 : (−1)−1.

3.129. Verifica le seguenti uguaglianze trovando la frazione generatrice.

1, 71, 3

= 1, 3;2, 71, 6

= 1, 6;1, 162, 3

= 0, 5;2, 31, 6

= 1, 4.

3.130. Sottolinea le frazioni equivalenti a 35 tra le seguenti.

610

;25100

;1210

;5

25.


3.131. Completa le seguenti uguaglianze.

a )35=

. . .10

; b )7510

=. . .100

; c )7

. . .=

12

; d ) 3 =24. . .

.

3.132. Completa:

34+ . . . = 1; 1 − . . . =

413

;1112· . . . =

855

; . . . :53=

35

.

3.133. Correggi le seguenti operazioni.

34+

27=

3 · 7 + 4 · 24 + 7

;8

25−

310

=8 − 3

50; 3 · 11

13=

3339

.


−23

14

37

32

2312

132

94

Sottraendo

Min

uend

o


× 13

25

38

114

34

52

73

85

Primo fattore

Min

uend

o

3.136. Riscrivi in simboli e motiva la verità o falsità di ciascuna proposizione:

a ) il triplo di un terzo è l’unità;


A

B

FIGURA 3.6: 3.137 FIGURA 3.7: 3.138 FIGURA 3.8: 3.139 FIGURA 3.9: 3.140

b ) la somma di un quinto con il doppio di un mezzo è sei quinti;c ) un ottavo è maggiore di un quinto.

3.137. Relativamente alla figura 3.6, quale proposizione è vera?

a ) Il segmento AB la divide in due parti uguali;b ) il segmento AB la divide in due quadrilateri.

3.138. La parte in grigio rappresenta 1/4 della figura 3.7?

3.139. Costruisci una figura che sia gli 11/6 della figura 3.8.

3.140. Colora i 3/4 della figura 3.9.

3.141. Costruire la frazione ND significa dividere l’unità in . . . parti uguali e prendere . . . parti.

3.142. Rappresenta su una opportuna retta numerica le seguenti frazioni.

34

;38

;13

;54

;25

;63

;56

;124

;198

;165

.


a )(− 1 +

12

):

(32+

54

);

b )(−

23+

12

)·(

12−

34

);

c )12·(−

14+

32

):

(32−

34

);

d )13−

(23−

56

)+

32−

[34−

(7

30−

45

)+

56

].


a )56−

23· 12

5+

32·[

34·(

127

−52

)+

56

];

b )56· 2

3· 12

5−

34:

[0, 75 −

56

];

c )13:

(32−

23

)+

16−

115

;


d ) −

(34+ 1, 4

)·(

23−

38

)+

65

.


a )(

23−

76

)−

(1 +

56

):

(2 −

13

);

b )(

53−

72

)· 4

5+

[(13−

115

)· 5

2

]2;

c )6355· 44

45+

1475· 15

35+

225· 10 −

1625

:35+

115

;

d ){[(

12−

23

):

(56−

512

)· 1

2+

34

]:

14

}−

23· (−0, 6).


a )45−

277· 1

12+

821

:86+

132· 1

7−

914

+17−

1225

:35

;

b )[(

13−

17

)· 7

2−

(1018

−7

15

):

29

]:

1415· 1

4+ 1;

c )[(

43−

110

):

375

+

(12

)2−

13

]2:

[(12

)2−

(13

)2+

(14

)2−

(16

)2+

(512

)2];

d )(

35−

14

)·(

75+

34

)−

(23−

54· 3

7

):

214

−1

400.


a )(

3 −185

−56

)·(−

94+

34

)−

22

3+

160

;

b )(

35− 1)−

(18+

75−

1720

)+

(76−

25

):

415

−

(32−

52:

15

):

2217

−310

;

c )193·(

35+

32− 2)

:

(3

10− 1, 25

)−

(12−

15− 1)+

32·(−

310

+12

)·(−

53

)2;

d )[(

1 +12

): 3 −

(2 +

32

)+ 1]+

(3 −

34

)+

(13+

32

)− 1(− 2 +

32

)2.


a )[

23−

(−

14+

25

)]−

[35−

(34−

13

)];

b ) 2 −

[3 + 1 −

(2 −

12

)]−

(− 2 −

12

)·(

12−

34+

16

):

(−

12

);

c )(

83−

16

)−1−

(12−

38

)+

108·(

57

)−2+

(13

)−3· 1

62 ;

d ){(

25

)4·[(

25

)8:

(25

)3]2}2:

[(25

)3· 2

5·(

25

)3]4.



a ) 1 −

[(32

)3·(

32

)2:

(32

)4−

(45

)3:

(45

)3+

(13

)4:

(13

)3];

b )(

14

)−2−

(12

)−2+

22

3·(

23

)−3−

(−2)−2

5− 24;

c ){[

16+

12:

(68+ 1 −

34

)]3·(

35−

38

)+

35

}:

15

;

d ){

12+

152

:

[12:

(1 −

34

)+ 1]}·[(

13

)5:

(13

)4]2.


a ){[(

54

)2:

(12

)]·[(

15+

110

+120

)· 4

5

]· 1

14

}2:

(1 −

56· 3

10

)2;

b )[(0, 4 − 1)2 : 0, 01 −

(−

23

)−2]·(−

12

)−4;

c )7

15

{(94+

34· 1

2−

1116· 1

2+

18

):

[(47+

54

):

177

]}· 9

5;

d )(

2 +12

)2:

(2 −

12

)−2+

[(2 +

13

)·(

73

)−2]−1.


a )[(

3 +12−

53

)·(

12

)2]:

{32−

[23+

(2

11+

522

+733

):

8233

+1

12

]5}3:

14

;

b ){[(

83

)10:

(83

)6]2·[(

83

)8:

(83

)3]}:

(83

)11;

c )(

1 +32

)2·(

2 −52

)−2·[(

12

)2]−2;

d )(

13− 1)−

(16−

14

)· 6

5−

(29−

15

)· 3 −

130

.


a )

(1 +

23

): 5 +

(2 −

23

)3 +

(12− 1) :

(5 −

15

)+

(73−

235

)(

32−

14

)·(

3 −13

) ;

b ) 8, 75 ·(

25− 0, 2

)·{[

2 − 1, 6 −

(0, 2 +

23

)]·(

17−

174

)}−

23·(

2 −12

)+ 7, 5 − 0, 3;

c )[(

75−

12

)2:

(9

10

)2−

(1 +

23− 2)2]2

:

(109

)2−

(1 +

85−

125

);


d )(

16+ 0, 1

)· 0, 16 · (1 − 1, 01)−1.


a )

{[12−

(2 −

114

)]: (−3, 5)

}·(

1 −45

): 7−2(

−13

)−3(−3)2(−1)2 : (−3)2

;

b )(

43− 2)(

−12

):

[57

(25−

16

)+

(2 +

25

)(34−

43+

12

)]:

116

;

c )(

1 −12

)−2·[(

1 +12

)2]−2:

(52− 2)−3

.

3.154 (∗). Calcola il valore della seguente espressione.

{[(1 −

35

)3:

(25

)4]:

(35− 1)2}6

:

{[(45−

25

)4·(

75− 1)2]2

·[(

1 −35

)5:

(15+

15

)4]2}2.


a )(

15−

14

)(− 1 −

13

)+

[(1 +

43

)·(

4 −92

)]· 3

4+ 3 −

(2

27· 9

10−

110

)−

940

;

b )[0, 625 + 4, 5 · (0, 75 − 0, 6)

]:[0, 875 + 0, 75 · (2, 5 − 2, 3)

];

c ){

3 −

[0, 6 −

(0, 16 +

512

)]: 0, 25

}2· (0, 6 − 0, 625);

d )(

129

− 1)2·(

281

: 3)−1

· 12+

(74

)3·[−

(43−

13

)3·(

549

−3

147

)]−

1(−4)2 .


a )(

15

)2−

(16

)−1−

(13 + 0, 5

)−2

(13 − 0, 5

)−2 +

(0, 5 − 0, 11 − 0, 5

)−2− 4−2;

b )[0, 16 + (0, 136 + 0, 416 − 0, 227) : 0, 390

]:[0, 36 + 2.25 · (0, 5 − 0, 27)

];

c )1, 6 − 0, 5 · (0, 6 − 0, 5) : (1 − 0, 6)2 − 0, 7

3 · (1 − 0, 5)2 + 0, 875 − (1 − 0, 5)2 : 0, 2 − 0, 6 · 0, 5;

d ) 0, 162+[1, 5 : 1, 52 +

(1, 6 − 0, 5

):(2 − 0, 3

)+(0, 6 + 0, 5 − 0, 2

)· 0, 75 : 5, 8

]· 0, 6.


a ){

0, 83 −[0, 6 + (0, 75 − 0, 62

− (1 − 2, 3 · 0, 25))]+ 0, 6 : 0, 8

}: 1, 027;


b )1√

32 + 42+

1√132 − 123

−

√136

+18−

124

;

c )√

20 − 2 · (2 + 3) + (2 + 1) · 5 +√

48 : 6 − 3 · 2 + 10 : 5;

d )

√19·{[

113−

(13−

14

)]:

[(2 −

74

)+

103

]}.


a )

√{[(54

)2:

(14

)2][(15+

110

+1

20

)·

45

]·

14

}2:

(1 −

56·

310

)2;

b )

1 +1

1 −12

−2

·

1 −1

1 +12

2

·(

4 −92

)−3.


a )

2 +

1 +12

1 −12

−3

·

12−

13

32−

53

−18

·(− 310

)−2

−2

;

b )

[−

(94+

95

)−

120

]·

(114−

52

)

1 −

[1 −

(−

177

)]−

(−1 +

27−

114

)−

[(17+

3321

)−

(1 −

15−

27

)].

3.160 (∗). Calcola il valore della seguente espressione.(76−

54

):

(1

12−

12

)−

310

+

{[2 −

(2 +

12−

34+

18

):

(−

12

)]· 2 −

710

}·(−

23+

12

)+

[13+

(1 −

14

):

(−

92

)+

115

].

3.161 (∗). Calcola il valore della seguente espressione.(−

32− 1)·(−

32+ 1)+

(34− 2)·(−

34− 2)· 4

11+

(23−

34

)−

[19−

(32−

23

):

(94+ 1 +

23−

16

)+

23:

(94−

94+

13

)]+

(76− 1)2

.

3.162 (∗). Calcola il valore della seguente espressione.[−

(−

15

)2:

(35− 1)−2]

·(− 1 −

15

)−2·(− 2)−2

· 302

−

{−

[(− 3 −

14+

134

)2: (−4)−2

]}.



[− (−1)3 +

(23− 1)−2]

·(− 1 −

17

)−1·(−15

)2

+

{−

12·[(

− 1 −12

)−2·(−

32− 1)2]−1

: (−5)−2}2

.


1 −

(12−

34

)2−

[34+

(−

12

)3− 1 +

45

]:

[−

(45

)0−

(75− 2)2]

−32+

[(−

45

)−3]2:

(−

45

)−5.

3.165. Calcola il valore dell’espressione E = A−B, dove

A =

(((−

37

)4:

(−

73

)−2)·(

37

)−1)−2

, B =

((37

)−6·(

1 −47

)5)2

.

3.166 (∗). L’età di Paolo è i 5/11 di quella dellamadre che ha 44 anni. Quanti anni ha Paolo?

3.167 (∗). L’età di Marco è 1/2 di quella diPaolo che è 1/3 di quella del padre che ha 54anni. Quanti anni ha Marco?

3.168 (∗). I 2/5 del libro che stiamo leggendo èla parte più noiosa. Le rimanenti 63 pagine so-no invece le più avvincenti. Di quantepagineè formato il libro?

3.169 (∗). Gli alunni del primo e del secondoanno di una scuola media sono rispettivamen-te i 3/7 e i 2/7 del totale. Sapendo che glialunni che frequentano la terza media sono 54,quanti sono tutti gli alunni della scuola?

3.170 (∗). Al supermercato ho speso 7/10della somma di denaro che possedevo; suc-cessivamente ho incassato un credito ugualeai 13/20 della somma iniziale e ho speso 2/15sempre della somma iniziale per un riforni-mento di benzina. Sapendo che sono rima-sto con 220,50 euro, quale somma di denaropossedevo inizialmente?

3.171 (∗). In una fattoria ci sono vitelli, capree animali da cortile per un totale di 75 capi. Ivitelli sono i 2/5 di tutti gli animali, mentre

le capre sono i 2/3 degli animali da cortile.Quanti vitelli, capre e animali da cortile cisono?

3.172 (∗). Tre casse pesano complessivamen-te 220 kg; la seconda pesa 1/2 della prima e laterza pesa 1/3 della seconda. Calcola il pesodi ciascuna cassa.

3.173 (∗). Tre operai devono eseguire un lavo-ro. Il primo da solo lo farebbe in 12 giorni, ilsecondo in 18 giorni e il terzo in 36 giorni. La-vorando insieme, in quanti giorni i tre operaipotrebbero eseguire tutto il lavoro?

3.174 (∗). Un collezionista vende i 3/7 dellasua collezione costituita da 385 pezzi. Quantipezzi gli rimangono?

3.175 (∗). In un terreno agricolo sono statipiantati ulivi e mandorli per 266 alberi com-plessivi. Se gli ulivi sono i 4/10 degli alberi dimandorle, quanti sono gli ulivi e i mandorli

3.176 (∗). Il prezzo di copertina di un libroè di 29 euro; quanto verrà pagato con unosconto del 15%?

3.177 (∗). Su 1020 alunni di una scuola, 153sono stati respinti; qual è la percentuale deipromossi?


3.178 (∗). La differenza di età fra Marco e An-tonio è di 18 anni e l’età di Marco è i 7/4 diquella di Antonio. Quanti anni hanno Marcoe Antonio?

3.179. Un oggetto è costituito da una lega dizinco e rame. Il suo peso è di 280 g e la per-centuale di rame è il 20%. Quanti grammi dizinco contiene?

3.180 (∗). Mario va in pizzeria e, nell’attesadi essere servito, conta le persone che vi sitrovano: gli uomini sono i 5/9 delle donne,queste superano gli uomini di 8 unità, infinevi sono 17 bambini. Quante persone ci sonoin tutto? Quanti sono gli uomini e le donne?

3.181 (∗). Gino compra un auto da 5 400 euro.Paga i 4/9 in contanti ed il resto in 5 rate. Qualè l’ammontare di ogni rata? A quale frazionecorrisponde ogni rata?

3.182 (∗). Il serbatoio di una macchina contie-ne benzina per i 3/4 della sua capacità. Dopoaver consumato i 2/3 della benzina che c’è, sifa un pieno aggiungendone 66 litri. Qual è lacapacità del serbatoio?

3.183. Un misurino contiene 1/8 di kg di fari-na. Quanti misurini di farina sono necessariper riempire un sacchetto di 5 kg?

3.184 (∗). Due gruppi di scavatori scavanouna galleria, ciascun gruppo comincia da unadelle due parti opposte; se fino a oggi hannoscavato rispettivamente 5/9 e 3/7 dell’inte-ra galleria e restano ancora da scavare 2 m,quanto è lunga l’intera galleria?

3.185 (∗). L’aria è composta per 39/50 di azotoe per 21/100 di ossigeno, la parte rimanenteè composta da gas diversi. Quale frazione diaria occupano tutti gli altri gas?

3.186 (∗). Luca ha pagato la tassa scolastica inritardo, ha pagato e 56,16 compresa la moradel 4% per il ritardo nel pagamento. Quantoavrebbe dovuto pagare senza mora?

3.187. In un’azienda 3/10 degli impiegati so-no addetti contabilità. Qual è la percentua-le degli addetti contabilità rispetto a tutti gliimpiegati azienda?

3.188. A un gruppo di 200 intervistati è statochiesto quale quotidiano leggono. Le rispostesono state le seguenti:

á 90 leggono “La Repubblica”;á 70 leggono “Il Corriere della sera”;á 30 leggono “La stampa”;á 10 leggono “La gazzetta dello sport”.

Trasforma in percentuali i dati ottenuti.

3.189. A un concorso si sono presentati 324candidati. 22 hanno superato il concorso.Qual è stata la percentuale dei candidati chenon hanno superato il concorso?

3.190 (∗). Un’auto usata è stata acquistata ae 11 800 in questo modo: il 5% come caparraper la prenotazione, il 20% al momento dellaconsegna e il resto in 12 rate di pari importo.Qual è l’importo della rata?

3.191 (∗). Un gestore di un bar acquista icornetti a e 0,60 rivende a e 0,75. Qualè la percentuale di guadagno sul prezzo diacquisto?

3.192. In un supermercato si vende il pomo-doro pelato a e 0,60 in confezioni da 250 ge a 1,00 euro in confezioni da 500 g. Qual èla percentuale di sconto che usufruisce chicompra la confezione da mezzo chilo?

3.193 (∗). In una piscina contenente 2800 m3

di acqua si devono aggiungere 15 litri di cloro.Quanto cloro occorre per 1000 m3 di acqua?

3.194 (∗). La somma di due segmenti misu-ra 34 cm, sapendo che le loro lunghezze so-no in proporzione con 3/2, calcola la lorolunghezza.

3.195 (∗). Gli angoli interni di un triangolohanno misure proporzionali ai numeri 1; 3; 5.Ricordando che la somma degli angoli internidi un triangolo misura 180°, calcola le misuredegli angoli.


3.196. Un televisore a 16/9 ha la base di 18pollici. Quanti pollici misura l’altezza?

3.197. Per preparare una torta bisogna mette-re 3 parti di zucchero ogni 4 parti di farina. Sesi utilizzano 500g di farina, quanto zuccherobisogna utilizzare?

3.198 (∗). Un negoziante, durante il periododi Natale, aumenta tutti i prezzi del 10%. Seil prezzo iniziale di un paio di scarpe era e70,00 qual è ora il suo prezzo? Dopo le feste,il negoziante abbassa i nuovi i prezzi del 10%.Quanto costano ora le scarpe?

3.199 (∗). Al cinema “Pegaso” hanno decisodi aumentare il biglietto del 10%; il numerodegli spettatori è calato, però, del 10%. È statoun affare? Spiega perché.

3.200. Anna entra in una cartoleria e compradue penne, di cui una costa il doppio dell’al-tra; riceve lo sconto 15% sulla penna più co-stosa e del 40% su quella meno costosa. Qualè lo sconto che riceve complessivamente?

3.201 (∗). Pierino oggi ha incrementato il suocapitale del 10%. Se anche domani l’incre-mento sarà del 10%, quanto sarà l’incrementototale in percentuale?

3.202. Tizio ha perso il 20% dei suoi soldi;quanto dovrà guadagnare, in percentuale, perrecuperare?

3.203 (∗). Un paio di scarpe scontato del 20%costa e 40 quanto costava prima dello sconto?

3.204. Per pavimentare una piazza 8 operaiimpiegano 10 giorni lavorando 8 ore al gior-no; quanti giorni impiegherebbero 5 operai selavorassero 6 ore al giorno?

3.205. Pierino si reca in un negozio di giocat-toli, dove ne acquista uno. A Pierino vengonoofferti due tipi di sconti, uno del 10% e unodel 35%. In quale ordine converrà ricevere idue sconti? Spiega il motivo.

3.206 (∗). Una tariffa telefonica ha un costodi 10 cent al minuto per i primi 5 minuti diconversazione. Per i minuti successivi aumen-ta del 5%. Dopo 15 minuti di conversazioneaumenta del 20% del costo iniziale. Quantosi spende se si effettua una telefonata di 20minuti?

3.207. Un ingegnere incassa per la realizzazio-ne di un progetto una certa somma. Di essail 20% deve essere restituita allo stato comeIVA e della parte rimanente il 40% deve esserepagata come tasse. Qual è la percentuale dellasomma che rimane all’ingegnere?

3.208. Nel paese di Vattelapesca il 20% degliabitanti è europeo il restante 80% è asiatico.La lingua inglese è parlata dal 50% degli eu-ropei e dal 40% degli asiatici. Se a Vattelape-sca 5 930 persone parlano inglese, quanti sonogli abitanti di Vattelapesca?

3.209. Un liquido viene filtrato con un primofiltro che toglie il 40% delle impurità. Suc-cessivamente viene filtrato con un secondofiltro che toglie il 30% delle impurità. Infi-ne viene filtrato con un terzo filtro che elimi-na il 50% delle impurità. Quale percentualecomplessiva delle impurità è stata eliminata?

3.210. Una prova di ammissione consiste didue test. Solo i 2/3 dei candidati superanoil primo test e 1/5 di quelli che hanno supe-rato il primo test superano anche il secondo.Qual è la percentuale di candidati che hannosuperato tutti e due i test?

3.211. L’acquisto di un’auto può essere fattocon due tipi di pagamento: pagando l’interoimporto di e 23 000 all’acquisto il 1° genna-io 2011; oppure dividendo il pagamento in trerate annuali di 8000, da pagare il 1° genna-io 2011, il 1° gennaio 2012, il 1° gennaio 2013.Avendo tutto il denaro su un conto correntebancario a un interesse annuo del 3% qualeforma di pagamento è più vantaggiosa? Diquanto?


3.212. Una forte influenza ha colpito il 60%dei bambini di età inferiore o uguale a 10 annie il 15% delle persone di età maggiore. Se lapercentuale di persone che si sono ammalatedi questa influenza è stata del 20%, qual è lapercentuale di bambini in quella popolazione?

3.213. Una maglietta costava lire 65.000 primadell’entrata in vigore dell’euro, dopo costavae 40. Di quanto è aumentato in %, il prez-zo della maglietta? Si tenga conto che 1 evaleva 1936,77 lire.

3.214. Una ragazza, di 46 kg, va dal dietologo,che le consiglia di restare entro il 5% del pesoattuale. Tra quali valori può oscillare il suopeso?

3.215. Per raccogliere le foglie cadute nel corti-le della scuola, Mario impiega 6 ore, Marco 10ore, Matteo 15 ore. Se i tre si mettessero a la-vorare insieme, in quante ore pulirebbero ilcortile?

3.216. Una certa bevanda è ottenuta mesco-lando 1 parte di sciropppo con 5 parti di acqua.Per errore Adolfo ha mescolato 5 parti di sci-roppo con 1 di acqua, ottenendo 3 litri di mi-scuglio. Aggiungendo una opportuna quanti-tà di acqua, Adolfo può ottenere una bevandain cui sono rispettate le proporziioni stabilite?Quanti litri di acqua deve aggiungere?

3.14.3 Risposte

3.21. a) 25/2, b) 21/5, c) 25/4, d) 15/4,e) 1/10, f) 5/2.

3.67. 5 · 10−30.

3.68. 3 · 102.

3.69. 1, 3 · 10−8.

3.70. 8 · 10−18.

3.76. 300.

3.108. 21 kg, 9 kg.

3.122. a) ±32

, b) ±52

, c) 40, d)2548

.

3.123. a) x = 15;y = 9, b) x =12

;y =114

,

c) x =56

;y =12

, d) x =17

;y =14

; z =3

28.

3.143. a) −2

11, b)

124

, c)56

, d) −3

20.

3.144. a) −673

1680, b)

313

, c)12

, d)5596

.

3.145. a) −85

, b) −4645

, c) 1, d)135

.

3.146. a)1128

, b)1514

, c)150

, d)53

.

3.147. a)56

, b) 10, c)1315

, d)116

.

3.148. a) 13 , b) −

112

, c)13940

, d) 1.

3.149. a)16

, b)920

, c)103

, d)13

.

3.150. a)1

144, b) 540, c)

7750

, d)469

.

3.151. a)443

, b)649

, c) 400, d) −23

.

3.152. a)100303

, b) 10, c) −2 , d) −4.

3.153. a) −2

27, b) −

6011

, c)8

81,

3.154.(

25

)−46.


3.155. a) 2, b) 1, c)8

27, d)

254

.

3.156. a) −92

, b) 1, c) 2, d)3845

.

3.157. a)4037

, b)1

15, c) 7, d)

13

.

3.158. a)73

, b) −8

81.

3.159. a) 100, b) −12

.

3.160. −53

.

3.161.59

.

3.162. −1.

3.163.19910

.

3.164. −32

.

3.166. 20.

3.167. 9.

3.168. 105.

3.169. 189.

3.170. 270.

3.171. 30, 18, 27.

3.172. 132, 66, 22.

3.173. 6.

3.174. 220.

3.175. 76, 190.

3.176. e 24,65.

3.177. 85%.

3.178. 42, 24.

3.180. 45, 10, 18.

3.181. e 600, 1/9.

3.182. 88.

3.184. 126.

3.185. 1/100.

3.186. e 54.

3.190. e 737,50.

3.191. 25%.

3.193. 5, 36 l.

3.194. 13, 6 cm, 20, 4 cm.

3.195. 20°, 60°, 100°.

3.198. e 77; e 69,30.

3.199. No, perde l’1% deiricavi.

3.201. 21%.

3.203. e 50.

3.206. e 2,15.

Introduzione ai numeri reali 44.1 La leggenda di Pitagora e la scoperta di un numero inquietante

La vita e l’opera di Pitagora hanno costituito oggetto di approfondite ricerche da partedegli storici di tutti i tempi. Nonostante le indagini più accurate, i fatti della vita di Pitagorarealmente accertati sono veramente pochi. Si dice sia nato a Samo nel 572 a.C.1 dove viregnava il tiranno Policrate; non sopportando la tirannia, si trasferì in Egitto con un incaricodi lavoro presso il faraone Amasi. Sembra che poi abbia viaggiato in Babilonia prima diapprodare a Crotone dove fondò una Scuola che accolse numerosi discepoli. Pitagora proposeun sistema matematico della natura: la spiegazione dei fenomeni naturali doveva avvenireattraverso la ricerca di relazioni tra numeri. Pensava che tutti i corpi fossero formati dapunti materiali o monadi combinate in modo da formare le varie figure geometriche e ilnumero totale di tali unità rappresentava l’oggetto materiale. Da qui nasceva la dottrinasecondo la quale tutte le cose che si conoscono hanno un numero; senza questo nulla sarebbepossibile pensare, né conoscere; la spiegazione dei fenomeni naturali può essere raggiuntasolo attraverso l’aritmetica.

Per i pitagorici esistono due soli tipi di numeri: gli interi e le frazioni. Ogni numero avevasia una rappresentazione simbolica che un significato simbolico: il numero 5 veniva assunto arappresentare il matrimonio, essendo la somma del primo numero dispari, il 3, con il primonumero pari, il 2.

Fu dunque terribile la scoperta di un nuovo tipo di numero che non è né intero néfrazionario, questo numero si ottiene calcolando per mezzo del teorema di Pitagora la misuradella diagonale di un quadrato di lato uno. Questo nuovo numero, che oggi scriviamo

√2,

non poteva essere espresso in nessun modo come frazione, cioè rapporto di numeri interi.Ad esso i pitagorici diedero il nome di arreton, cioè indicibile, inesprimibile. La scopertafu mantenuta segreta. La leggenda narra che Ippaso, discepolo della Scuola, morì affogatoperché violò il giuramento che aveva fatto di non diffondere questa terribile verità.

Oggi questi numeri li chiamiamo numeri irrazionali, termine che riflette la stessa idea diinesprimibilità attribuita loro dai pitagorici 2.

4.2 I numeri irrazionali

Applicando il teorema di Pitagora a un quadrato di lato unitario per calcolare la misuradella diagonale i pitagorici individuarono un nuovo tipo di numero, oggi indicato con

√2.

Fissiamo sulla retta orientata r l’unità di misura e disegniamo il quadrato di lato 1. Ciproponiamo di calcolare la misura della sua diagonale OB.

1O nel 575 a.C. per altri autori.2Per approfondire l’argomento: G. Masini, Storia della matematica, SEI; John D. Barrow, La luna nel pozzo cosmico,

CDE; Ludovico Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, Garzanti, vol. 1; David Bergamini e redattori di Life,La matematica, Mondadori; Morris Kline, Matematica la perdita della certezza, A. Mondadori.

109

110 Capitolo 4. Introduzione ai numeri reali

rO A

C B

rO A

C B

K

Il triangolo OAB è retto in A, quindi per il teorema di Pitagora OB2= OA

2+ AB

2.Sostituiamo le misure: OB2

= 12 + 12 = 2. Per ottenere OB dobbiamo estrarre la radicequadrata e quindi OB =

√2.

Sappiamo che ‘estrarre la radice quadrata’ di un numero significa trovare quel numero cheelevato al quadrato dà 2. Questo numero deve esistere, nel senso che esiste un punto sullaretta r che lo rappresenta, per costruirlo graficamente si può tracciare l’arco di circonferenzadi centro O e raggio OB e determinando su r il punto K estremo del segmento con OK = OB.

Dalla posizione del punto K possiamo dire che 1 <√

2 < 2. Il valore cercato evidentementenon è un numero intero. Può essere un numero decimale finito? Compiliamo una tabellache contenga nella prima riga i numeri con una sola cifra decimale compresi tra 1 e 2 e nellaseconda riga i rispettivi quadrati:

x 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6x2 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,89

Osserviamo che il numero 2 è compreso tra 1, 42 e 1, 52, di conseguenza 1, 4 <√

2 < 1, 5,ma ancora non possiamo precisare il suo valore, anche se abbiamo ristretto l’intervallo in cuisi trova il punto K. Diciamo che 1,4 è un valore approssimato per difetto di

√2 mentre 1,5 è

un valore approssimato per eccesso; scrivendo√

2 = 1, 4 oppure√

2 = 1, 5 commettiamo unerrore minore di 1/10.

Per migliorare l’approssimazione e tentare di ottenere√

2 come numero razionale costruia-mo la tabella dei numeri decimali con due cifre compresi tra 1,4 e 1,5:

x 1,41 1,42 1,43 1,44x2 1,9881 2,0164 2,0049 2,0776

Ora possiamo dire che 1,41 è un valore approssimato per difetto di√

2 mentre 1,42 èun valore approssimato per eccesso, con un errore dell’ordine di 1/100. Abbiamo quindimigliorato l’approssimazione e di conseguenza abbiamo ristretto l’intervallo in cui cade ilpunto K. Ma ancora non abbiamo trovato un numero razionale che sia uguale a

√2.

Continuando con lo stesso procedimento costruiamo due classi di numeri razionali cheapprossimano una per difetto e una per eccesso il numero cercato, restringendo ogni voltal’ampiezza dell’intervallo in cui cade il punto K. Il procedimento continua all’infinito e le cifredecimali che troviamo non si ripetono periodicamente.

Valore per difetto Numero Valore per eccesso Ordine dell’errore

1√

2 2 11,4

√2 1,5 10−1

1,41√

2 1,42 10−2

1,414√

2 1,415 10−3

1,4142√

2 1,4143 10−4

. . .√

2 . . . . . .

Sezione 4.3. Operazioni con le radici quadrate 111

Per arrivare a concludere che√

2 non è un numero razionale, possiamo ragionare nel se-guente modo. Supponiamo per assurdo che

√2 sia un numero razionale e precisamente

√2 =

ab con a e b primi tra loro; si avrebbe, elevando al quadrato, 2 = a2

b2 .Se si eleva un numero al quadrato significa elevare al quadrato le singole potenze dei

fattori primi in cui questo si scompone. I fattori primi di a2 e di b2 sono gli stessi di a e di bcon gli esponenti raddoppiati. Quindi anche a2 e b2 sono primi tra di loro e a2 non può essereil doppio di b2. Se lo fosse dovrebbe essere almeno il quadruplo. Quindi 2 6= a2

b2 e√

2 6= ab .

Oltre a√

2 vi sono altri infiniti numeri che non possono essere scritti come frazione. Peresempio tutte le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti e tutte leradici quadrate di frazioni che non sono il quadrato di alcuna frazione.

Le radici quadrate dei numeri che non sono quadrati perfetti e che non sono il quadrato dialcuna frazione sono numeri decimali con infinite cifre decimali non periodiche; essi perciòpossono essere scritti solo in maniera approssimata. Questi numeri sono detti numeri irrazionalie insieme ad altri, che conoscerete in seguito, costituiscono l’insieme J dei numeri irrazionali.

4.3 Operazioni con le radici quadrate

Definizione 4.1. Si chiama radice quadrata del numero razionale non negativo a, il numeronon negativo b che elevato al quadrato è uguale ad a. In simboli

√a = b ⇔ b2 = a.

In particolare si ha (√a)2 = a per ogni a > 0.

√0 = 0 infatti 02 = 0;

√1 = 1 infatti 12 = 1.

Il simbolo√a si chiama radicale quadratico e a si chiama radicando.

q Osservazione Il radicando di un radicale quadratico deve essere non negativo. Infattidalla definizione di radice quadrata

√a = b ⇔ b2 = a ogni numero elevato al quadrato dà

un numero positivo.Dato che (

√a)2 = a possiamo scrivere

√a come a

12 in quanto per le regole delle potenze

anche(a

12

)2= a.

Esempio 4.1. Radicali quadratici.

√2 = 2

12 ;

√3 = 3

12 ;

√23=

(23

) 12

.

Quindi un radicale quadratico si può scrivere come una potenza che ha per base il radican-do e come esponente 1

2 . Naturalmente la base della potenza deve essere maggiore o ugualea 0.

4.3.1 Prodotto di radicali quadratici

Esempio 4.2. Determina l’area del triangolo rettangolo avente un cateto di 8 m e l’ipotenusadi 12 m.


Per calcolare l’area del triangolo rettangolo applicola formula A = 12 · c1 · c2, occorre allora

calcolare l’altro cateto per mezzo del Teorema di Pitagora:

c2 =√i2 − c2

1 =√

122 − 82 =√

144 − 64 =√

80 m.

Si è ottenuto un numero irrazionale. L’area è

A =12· c1 · c2 =

12· 8 ·√

80 m2.

Come si fa ora a moltiplicare dei numeri razionali come 12 e 8 per

√80? Si moltiplicano

tra di loro i numeri razionali e si mette il risultato davanti alla radice omettendo il segno dimoltiplicazione che resta sotto inteso.

A =12· 8 ·√

80 m2 = 4√

80 m2.

q Osservazione Per moltiplicare un numero razionale per un radicale si riscrive il numerodavanti alla radice, omettendo il segno della moltiplicazione, che resta sottinteso.

Esempio 4.3. Determina l’area del rettangolo avente base e altezza rispettivamente di 5√

7 cme 2√

3 cm.Calcoliamo l’area A = b · h = 5

√7 · 2√

3 m2. Per ottenere il risultato moltiplichiamo tradi loro i numeri razionali fuori dalle radici e subito dopo riportiamo una radice avente perradicando il prodotto dei radicandi.

A = b · h = 5√

7 · 2√

3 m2 = 10√

21 m2.

q Osservazione Il prodotto di due radicali quadratici è il radicale quadratico avente perradicando il prodotto dei radicandi

Possiamo sempre eseguire la moltiplicazione tra radicali quadratici. Infatti se applichiamole regole delle potenze abbiamo:

√a ·√b = a

12 · b

12 = (ab)

12 =√ab.

4.3.2 Trasporto di un fattore fuori dalla radice

Consideriamo il numero√

12, se scomponiamo in fattori primi il 12 possiamo scrive-re√

12 =√

3 · 22, applicando al contrario la regola precedente sul prodotto dei radicaliquadratici possiamo scrivere

√12 =

√3 · 22 =

√3 ·√

22 =√

3 · 2 = 2√

3.

q Osservazione Scomponendo in fattori il radicando di un radicale quadratico, se uno opiù fattori compaiono con esponente pari, questi fattori possono essere trasportati fuori dallaradice dividendo per 2 il loro esponente.

In generale dato il radicale quadratico√an con n > 2 abbiamo:

á n pari√an = a

n2 ;

á se n è dispari√an = a

n−12 ·√a.


Esempio 4.4. Scomposzione in fattori.

a )√

16 =√

24 = 22;b )√

32 =√

25 = 22 ·√

2;c )√

12 ·√

21 scompongo in fattori i radicandi:

√12 ·√

21 =√

3 · 22 ·√

3 · 7 =√

32 · 22 · 7 = 3 · 2 ·√

7 = 6√

7.

4.3.3 Potenza di un radicale quadratico

Esempio 4.5. Calcola il volume di un cubo il cui lato misura√

5 cm.Il volume di un cubo di lato noto si ottiene elevando alla terza potenza la misura del lato,

quindi V = l3 = (√

5)3 cm3.

Per calcolare la potenza di un radicale possiamo applicare la definizione di potenza e cioèmoltiplicare il radicale per se stesso tante volte quanto indica l’esponente:

V = (√

5)3 cm3 =√

5 ·√

5 ·√

5 cm3 = 5√

5 cm3.

q Osservazione La potenza di un radicale quadratico è il radicale quadratico avente perradicando la potenza del radicando. In simboli (

√a)n =

√an.

Se trasformiamo il radicale quadratico in potenza con esponente 12 per la regole delle

potenze abbiamo:

(√a)n =

(a

12

)n= a

n2 = (an)

12 =√an.

4.3.4 Quoziente di radicali quadratici

q Osservazione Il quoziente di due radicali quadratici è il radicale quadratico avente perradicando il quoziente dei radicandi.

Esempio 4.6. Calcolare il quoziente di√

15 :√

12.Applichiamo la regola precedente, otteniamo:

√15 :√

12 =

√3 · 53 · 4

=

√54=

√5√4=

√5

2.

Possiamo sempre eseguire la divisione tra radicali quadratici se√b 6= 0. Infatti se

applichiamo le regole delle potenze abbiamo:

√a :√b = a

12 : b

12 = (a : b)

12 =

(ab

) 12=

√a

b.


4.3.5 Somma algebrica di radicali quadratici

Non esistono regole per sommare un numero razionale ad uno irrazionale. Per sommare,per esempio 7 +

√50 possiamo sostituire la radice con un suo valore approssimato

√50 ≈

7, 07107, sommando ora i due numeri razionali avremo un valore approssimato della sommacercata: 7 +

√50 ≈ 7 + 7, 07107 = 17, 07107. Oppure, se vogliamo conservare il valore esatto

dobbiamo lasciare indicata la somma e scrivere 7 +√

50.

Esempio 4.7. Calcola il perimetro del triangolo rettangolo avente i cateti che misurano ri-spettivamente 1 m e 7 m. Per calcolare il perimetro devo conoscere le misure dei tre lati deltriangolo. Applico il teorema di Pitagora per ottenere la misura dell’ipotenusa:

i =√

72 + 12m =√

49 + 1m =√

50 m.

Per calcolare il perimetro sommo le misure dei lati

2p = 1 m + 7 m +√

50 m = (8 +√

50)m.

Oppure ne calcolo un valore approssimato

2p = 1 m + 7 m +√

50 m ≈ 1 m + 7 m + 7, 07107 m = 15, 07107 m.

q Osservazione Non esistono regole per sommare due radicali quadratici con radicandidiversi. Il valore esatto si scrive lasciando indicate le somme delle radici con i loro simboli.Un valore approssimato si ottiene sostituendo i radicali con valori approssimati.

Non esistono regole delle potenze per sommare due potenze con basi diverse. Per esem-pio 32 + 82 è diverso da (3 + 8)2; infatti 32 + 82 = 9 + 64 = 73, mentre (3 + 8)2 = 112 = 121. Ingenerale quindi a2 + b2 6= (a+ b)2 e

√a+√b 6=√a+ b.

Esempio 4.8. Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo avente i cateti che misuranorispettivamente

√2 m e

√3 m.

Applichiamo il teorema di Pitagora per calcolare la misura dell’ipotenusa:

i =

√(√

3)2 + (√

2)2 m =√

3 + 2 m =√

5 m.

Il valore esatto del perimetro è dato da: 2p = (√

2 +√

3 +√

5)m.Un valore approssimato è

2p =√

2 m +√

3 m +√

5 m ≈ 1, 4142 m + 1, 7320 m + 2, 2361 m = 5, 3823 m.

q Osservazione Per sommare due radicali con lo stesso radicando si sommano i coeffi-cienti delle radici e si moltiplica quanto ottenuto per il radicale stesso, lasciando indicata lamoltiplicazione.

Esempio 4.9. Calcola il perimetro di un rettangolo che ha la base di 5√

3 m e l’altezza di 2√

3 m.Il perimetro si ottiene sommando le due misure e moltiplicando il risultato per 2:

2p = 2 · (b+ h) = 2 · (5√

3 + 2√

3)m = 2 · (5 + 2)√

3 m = 2 · 7√

3 m = 14√

3 m.


4.3.6 Razionalizzazione del denominatore di una frazione

In alcune situazioni è utile trasformare una frazione che ha un radicale al denominatore inuna ad essa equivalente che ha per denominatore un numero intero.

q Osservazione Per razionalizzare il denominatore irrazionale di una frazione, si moltiplicanumeratore e denominatore per il denominatore stesso.

Esempio 4.10. Razionalizzare i seguenti numeri:

√35

;34√

2;√

33 ·√

2.

á

√35=

√3√5=

√3 ·√

5√5 ·√

5=

√155

;

á34√

2=

34 ·√

22

= 17√

2;

á

√3

3 ·√

2=

√3 ·√

23 · 2

=

√6

6.

4.3.7 Espressioni con i radicali quadratici

Esempio 4.11. Espressioni con i radicali quadratici.

á

√2 +

12·√

3 −13+ 3

√53

;

√2 +

12·√

3 −13+ 3

√53=

√52·√

83+ 3

√53=

√52· 8

3+ 3

√53

=

√5 · 4

3+ 3

√53=

√5 · 22

3+ 3

√53

= 2

√53+ 3

√53= 5

√53

.

á

(√4 +

12:

√362

):

(−

38

)2.

(√4 +

12:

√362

):

(−

38

)2=

(√92:

√362

):

964

=

√92· 2

36:

964

=

√14· 64

9

=12· 64

9=

329

.


Esempio 4.12. Sommare√

12 − 2√

27 + 8√

75.Ricordiamo che possiamo sommare solo radicali con lo stesso radicando e possiamo portare

fuori dalla radice i fattori che hanno esponente pari. Scomponiamo in fattori radicandi.

√12 − 2

√27 + 8

√75 =

√22 · 3 − 2

√33 + 8

√52 · 3

= 2√

3 − 2 · 3√

3 + 8 · 5√

3

= 2√

3 − 6√

3 + 40√

3

= 36√

3.

Possiamo concludere questa breve rassegna sui numeri irrazionali osservando che la rettageometrica sembra avere ‘più punti’ di quanti siano i numeri razionali; gli infiniti puntilasciati scoperti dai razionali sono immagine di numeri irrazionali. L’insieme che si ottienedall’unione dell’insieme Q con l’insieme J degli irrazionali è l’insieme R dei numeri reali. Laretta geometrica orientata è l’immagine di tale insieme: ogni suo punto è immagine o di unnumero razionale o di un numero irrazionale.


4.4 Esercizi

4.1. Calcola il perimetro del rombo avente la diagonale maggiore che misura 12 cm e ladiagonale minore che misura 8 cm.

Applico il teorema di Pitagora, utilizzo come cateti la metà delle basi e trovo il lato delrombo:

l =

√(d1

2

)2+

(d2

2

)2= . . .

4.2. Razionalizza il seguente numero:

3√18

=3√

32 · 2=

3. . . ·√

2=

3 · √. . .

3 ·√

2 · √. . .=

. . .

. . .

.

4.3. Tra quali numeri interi è compreso il numero β =(3 + 1

3)√

3 −(

1√3+ 1)

?

4.4. Razionalizzare i denominatori delle seguenti frazioni.

4√48

;2√8

;√

7√21

;16√12

;5

3√

3· 36√

5;

48√3:

3√24

.

4.5. Il lato di un quadrato misura√

200 m. Calcolare la misura della sua diagonale. Talediagonale è il lato di un triangolo equilatero di cui si vuole determinare l’area.

4.6. La base di un rettangolo misura 20−√

5√5

cm e il perimetro è (3√

80 + 6)cm. Determinare lamisura dell’altezza.

4.7. Sulla retta reale r è rappresentato il segmento unitario:

r0 1

a ) costruire il segmento√

2;b ) determinare sulla retta r il punto che rappresenta il numero a =

√2;

c ) calcolare il valore approssimato a meno di un millesimo di a utilizzando la tabella:

√2

Ordine dell’errore 1 10−1 10−2 10−3

Valori per difettoValori per eccesso

4.8. Semplifica i seguenti radicali.

a )√

5 ·√

10 ·√

3 −83:

√527

;

b )

√2 +

12·√

3 +13:

(√3 −

13:

√2 −

12

);


c )

√38:

(√125

:

√35

);

d )√

5 ·(

15

√3 +√

27 −35

√12)− 2√

15;

e ) 7√

8 +35

√50 − 18

√2.

4.9. Per ciascuna uguaglianza dire se è vera o falsa.

a )√

3 ·√

7 ·√

21 = 21 V Fb )√

3 +√

7√

10 = 10 V Fc )√

36 + 25 = 6 + 5 = 11 V Fd )√

30 +√

30 =√

60 V F

4.10. Completa la tabella.

a b a · b a : b a2 b3 a2 · b3

√8

√12√

35

√2 −

13√

12+ 1

√52− 2

4.11. Trasportare fuori dal segno di radice i possibili fattori.

a )√

17258 = . . . . . . . . . . . . .

b )√

127 = . . . . . . . . . . . . . . . .

c )√

128 = . . . . . . . . . . . . . . .

d )√

320 = . . . . . . . . . . . . . . .

e )√

25032 = . . . . . . . . . . . . . . .

f )√

0, 125 = . . . . . . . . . . . . .

g )√

116 + 25 = . . . . . . . . . . .

h )√

8 · 10−5 = . . . . . . . . . . .

i )√

49 − 2581 = . . . . . . . . . . .

4.12. I due numeri α =√

5 ·√

135 :

(√17

)3e β =

√1 − 5

8 :√

2 ·( 1

2 − 516)

sono le misure,

rispetto al centimetro, dei lati di un triangolo rettangolo. Determinare perimetro e area deltriangolo.

I sistemi di numerazione 55.1 La scrittura in base 10

Il nostro sistema di numerazione è il sistema decimale. Ciò ha probabilmente originedal fatto che abbiamo 10 dita. Forse se fossimo nati ragni avremmo contato fino ad otto eduseremo un sistema di numerazione ottale, se fossimo nati gatti avremmo contato fino a 4 euseremo un sistema quattrale, millepiedi fino a mille. Come conta un computer? Un computercapisce solo due stati: passa corrente o non passa corrente: è come se avesse due dita. Tutti isistemi che oggi usiamo nell’informatica sono a due stati, si dicono bistabili: i circuiti elettricipossono trovarli nello stato di acceso o di spento, i dischi magnetici dell’hard disk sono fattidi microscopici magneti che possono essere magnetizzati in un verso o nel verso opposto, idischi ottici come i CD-ROM e i DVD si comportano come microscopici specchi che riflettonola luce oppure non la riflettono.

Nell’antichità si usava uno strumento chiamato abaco. Gli abachi erano tavolette suddivisein colonne su cui si spalmavano cera o sabbia e si incidevano segni o si mettevano sassolini.

Per contare un certo numero di oggetti e ricordarci quanti sono, utilizziamo un abaco:

103 102 101 100

1 2 3

Cominciamo a contare con le mani: per ogni raggruppamento di 10 segniamo un’unità diordine superiore, fino a contare tutti gli elementi del nostro insieme. Le unità che rimangono,perché non riescono a formare un raggruppamento di 10, vengono segnate con la cifra che lerappresenta: nel nostro caso 3.

Passiamo all’unità di ordine superiore: le decine. Anche con queste formiamo raggruppa-menti di 10, se ci riusciamo. Ogni raggruppamento forma un’unità di ordine superiore. Serimangono unità di questo ordine esse rappresentano decine. Se non rimane alcuna unitàscriviamo 0. Nel nostro caso ne rimangono 2.

Il procedimento continua finché non abbiamo finito di contare tutti gli elementi. Nel nostroesempio finiamo dopo aver formato un’unità di ordine superiore. Il nostro numero è 123.

Naturalmente i due numeri 123 e 312 sono due numeri diversi anche se sono formati dallestesse cifre: sono diversi perché la posizione delle cifre è diversa.

In generale, il valore dei numeri è diverso a seconda della posizione delle sue cifre. Ilsistema di numerazione che solitamente usiamo è dunque un sistema posizionale: è chiamato

119

120 Capitolo 5. I sistemi di numerazione

decimale o a base dieci perché dieci unità di un determinato ordine formano un’unità diordine superiore.

Riassumendo, abbiamo una serie di dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il significato deisimboli dipende dalla posizione che assumono nella “parola” che rappresenta un numero.

Ad esempio: 1846 = 1 · (1000) + 8 · (100) + 4 · (10) + 6 · (1).In particolare, scritto con le potenze del 10: 1846 = 1 · (10)3 + 8 · (10)2 + 4 · (10)1 + 6 · (10)0.Se il numero è indicato come somma delle cifre per le potenze della base la scrittura si

chiama notazione polinomiale.Dieci è la base della rappresentazione, ovvero il numero di simboli usati, la potenza del 10

indica il peso (la posizione) che i simboli hanno nel numero.Una volta compreso il meccanismo fondamentale su cui si basa il sistema di numerazione

decimale, il procedimento si può estendere ad una base qualunque.Se B è la base di un sistema, quando si formano B unità di un certo ordine, queste formano

un’unità di ordine superiore. In questo modo si può costruire un sistema di numerazione conqualsiasi base maggiore di 1.

5.2 Scrittura di un numero in una base qualsiasi

Il procedimento usato per scrivere un numero in base 10 può essere usato per scrivere unnumero in una base qualsiasi.

Esempio 5.1. Contare 29 oggetti in base 5.

53 52 51 50

1 0 4

Come nel caso della numerazione inbase 10, utilizziamo un abaco.

Invece di contare per dieci proviamo a con-tare per cinque. Invece di raggruppare perunità, decine, decine di decine e così via, con-teremo raggruppando per unità, per cinquine,per cinquine di cinquine e così via.

Il numero rappresentato nell’abaco si scrive (104)5 e si legge uno-zero-quattro in base cinqueper distinguerlo da centoquattro scritto in base 10.

Per ottenere il numero decimale che corrisponde al numero scritto in base 5 occorresviluppare il numero in base 5 nella sua scrittura polinomiale: (104)5 = 1 · 52 + 0 · 51 + 4 · 50 =

25 + 0 + 4 = (29)10.

Esempio 5.2. Contare 29 oggetti in base 3.

33 32 31 30

1 0 0 2

Questa volta dobbiamo contare per tre.

Il numero che otteniamo si scrive (1002)3e si legge uno-zero-zero-due in base tre perdistinguerlo da milledue scritto in base 10.

Per ottenere il numero decimale che corri-sponde al numero scritto in base 3 occorre svi-luppare il numero in base 3 nella sua scritturapolinomiale.

Sezione 5.2. Scrittura di un numero in una base qualsiasi 121

(1002)3 = 1 · 33 + 0 · 32 + 0 · 31 + 2 · 50 = 27 + 0 + 0 + 2 = (29)10.

Riflettiamo su quanto abbiamo fatto negli esempi precedenti: i simboli che occorronoper scrivere un numero in base 10 sono dieci: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; i simboli necessari perscrivere un numero in base 5 sono cinque: {0, 1, 2, 3, 4}; i simboli necessari per scrivere unnumero in base 3 sono tre: {0, 1, 2}. Analogamente i simboli che serviranno per scrivere unnumero in base 2 sono due {0, 1}. Possiamo generalizzare e dire che i simboli necessari perscrivere un numero in una base B qualsiasi sono B e precisamente {0, 1, . . . ,B− 1}

Possiamo scrivere i numeri anche in una base superiore a 10. Una base molto usatanell’informatica, insieme alla base 2, è la base esadecimale: cioè la base 16.

In questo caso, per contare devo fare raggruppamenti di 16. Sono necessari perciò 16simboli per indicare questi raggruppamenti, pertanto occorrono simboli anche per i numeri 10,11, 12, 13, 14, 15. . .

I simboli convenzionalmente usati sono i seguenti:

(A)16 = (10)10; (B)16 = (11)10; (C)16 = (12)10; (D)16 = (13)10; (E)16 = (14)10; (F)16 = (15)10.

I numeri seguenti sono

(10)16 = (16)10; (11)16 = (17)10; (12)16 = (18)10;

(13)16 = (19)10; (14)16 = (20)10; (15)16 = (21)10.

5.2.1 Convertire un numero da una base diversa da 10 a base 10

Per scrivere un numero da una base diversa da 10 a base 10 bisogna sviluppare il numeronella sua forma polinomiale.

Se (x)B è un numero qualsiasi scritto nella base B e se anan−1 . . .a2a1a0 sono le cifre delnumero da 0 a B− 1 avremo:

(x)10 = an ·Bn + an−1 ·Bn−1 + . . . + a2 ·B2 + a1 ·B1 + a0 ·B0.�� b Esercizi proposti: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5

5.2.2 Convertire un numero da base 10 a una base diversa da 10

Successivedivisioni

per 3 di 29

Quozienti dellesuccesive

divisioni per 3

Resti dellesuccesive

divisioni per 3

29 : 3 9 2

9 : 3 3 0

3 : 3 1 0

1 : 3 0 1

Abbiamo visto che per contare e scrive-

re un numero in una base diversa da dieci,per esempio 29 in base 3, dobbiamo raggrup-pare per 3. Raggruppare per 3 ha lo stessosignificato che dividere per 3. Nella primadivisione per tre dei 29 oggetti il quozienteindica quante terzine otteniamo, mentre il re-sto indica quante unità di ordine 0 verrannoconsiderate.

Nel nostro esempio si ottengono nove terzine, mentre rimangono 2 unità di ordine 0. Il 2sarà il primo numero a destra che verrà considerato. Con nove terzine si ottengono tre terzinedi terzine con resto 0. Questo 0 diventa la cifra che scriviamo a sinistra del 2. Con tre terzine


di terzine otteniamo una terzina di terzina di terzina, mentre rimangono 0 terzine di terzine.Questo 0 diventa il numero che scriviamo a sinistra dello zero precedente. Ora il quozientedi 1 diviso 3 dà come quoziente 0 con resto 1. Qui ci fermiamo e scriviamo 1 a sinistra dello 0trovato precedentemente.

Il numero si scrive da destra verso sinistra prendendo i resti dal basso verso l’alto, siha (29)10 = (1002)3.

Controlliamo con la notazione polinomiale: 1 · 33 + 0 · 32 + 0 · 31 + 2 · 30 = 27 + 2 = 29.

Esempio 5.3. Convertire nel sistema binario (in base 2) il numero 59.

Successivedivisioni

per 3 di 59


divisioni per 2


divisioni per 2

59 : 2 29 1

29 : 2 14 1

14 : 2 7 0

7 : 2 3 1

3 : 2 1 1

1 : 2 0 1

Dividiamo successivamente 59 per 2 finoa che non otteniamo zero come quoziente eprendiamo come risultato della conversionela successione dei resti partendo dall’ultimo.Il numero 59 scritto in base 2 sarà (111011)2.

Verifichiamo con la scrittura polinomia-le 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 =

32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 59.

Esempio 5.4. Trasforma da base 10 a base diversa di 10.

3 1 5 33 1 5 1 0 5 3

0 1 0 5 3 5 30 3 3 1 1 3

2 9 3 32 3 1

0

31510 = 1022003

base 3

3 1 5 43 1 2 7 8 4

3 7 6 1 9 42 1 6 4 4

3 4 10

31510 = 103234

base 4

3 1 5 53 1 5 6 3 5

0 6 0 1 2 53 1 0 2

2

31510 = 22305

base 5

Un altro metodo per trasformare un numero decimale in un numero binario

Per trasformare i numeri da base 10 a base 2 basta scrivere il numero come somma dellepotenze del 2:

a ) si parte dalla potenza del 2 più vicina, per difetto, al numero da convertire;b ) si vede se la potenza precedente di ordine inferiore può fare parte della sequenza, cioè

se la somma tra le potenze non diventa più grande del numero. Se può farne parte allorasi scrive 1, altrimenti 0;

c ) si prosegue in questo modo fino ad arrivare a 20;d ) la sequenza di 1 e 0, da sinistra verso destra, ottenuti è il numero binario corrispondente.

Esempio 5.5. Consideriamo ancora il numero 59:

á qual è la potenza del 2 più vicina, per difetto al 59? Il numero 32, cioè 25. Quindi 25 faparte del numero binario. Scrivo 1 come primo numero della sequenza

Sezione 5.3. Conversione da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10 123

á vediamo ora 24 = 16. Anche 16 può far parte del numero binario perché 32 + 16 = 48 cheè minore di 59. Segno 1 come secondo numero della sequenza;

á per lo stesso ragionamento anche 23 = 8 fa parte del numero binario. Infatti 32 + 16 + 8= 56, minore di 59. Segno ancora 1 come terzo numero della sequenza;

á invece 22 = 4 non può farne parte perché 32 + 16 + 8 + 4 = 60, maggiore di 59. Segno 0come quarto numero della sequenza;

á 21 = 2 e 20 = 1 vanno bene e si arriva al totale voluto 59. Segno 1 come quinto e 1 comesesto numero della sequenza.

Riassumendo: 59 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = (111011)2.�� b Esercizi proposti: 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.14

5.3 Conversione di un numero da una base diversa da 10 a un’altra basediversa da 10

Esempio 5.6. Scrivere il numero (1023)4 in base 7.Per scrivere un numero da una base B a una base K tutte e due diverse da 10 occorre:

a ) trasformare il numero in base B in un numero decimale attraverso la sua scritturapolinomiale;

b ) trasformare il numero decimale nella base K attraverso i resti delle divisione successiveper K.

Applichiamo la procedura indicata:

a ) (1023)4 = 1 · 43 + 0 · 42 + 2 · 41 + 3 · 40 = 64 + 0 + 8 + 3 = (75)10;b ) Il numero scritto da destra verso sinistra con i resti delle successive divisioni per 7 presi

dal basso verso l’alto è (135)7.

Successivedivisioni

per 7 di 75


divisioni per 7


divisioni per 7

75 : 7 10 5

10 : 7 1 3

1 : 7 0 1

Le trasformazioni eseguite sono: (1023)4 → (75)10 → (135)7.�� b Esercizi proposti: 5.15, 5.16, 5.17

5.3.1 Conversione tra base 4, base 8, base 16 e base 2

Consideriamo il numero scritto in base 2 (11010011100101)2 vogliamo scriverlo in base 4,in base 8, in base 16 senza passare dalla sua scrittura in base 10. Infatti gruppi di due cifre inbase 2 rappresentano tutte le cifre della base 4, gruppi di 3 cifre in base 2 rappresentano tutte


le cifre della base 8, e gruppi di 4 cifre nella base 2 rappresentano tutte le cifre della base 16,come indicato nella seguente tabella.

Base 10 Base 2 Base 4 Base 8 Base 16

0 0 00 = 0 000 = 0 0000 = 01 1 01 = 1 001 = 1 0001 = 12 10 = 2 010 = 2 0010 = 23 11 = 3 011 = 3 0011 = 34 100 = 4 0100 = 45 101 = 5 0101 = 56 110 = 6 0110 = 67 111 = 7 0111 = 78 1000 = 89 1001 = 9

10 1010 = A

11 1011 = B

12 1100 = C

13 1101 = D

14 1110 = E

15 1111 = F

Da base 2 a base 4

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di due cifre partendo dasinistra e tradurre con la corrispondente cifra in base 4.

Numero scritto in base 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1Numero scritto in base 4 3 1 0 3 2 1 1

(11010011100101)2 = (3103211)4.

Convertire il numero da base 2 a base 8

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 in gruppi di tre cifre partendo da sinistrae tradurre con la corrispondente cifra in base 8.

Numero scritto in base 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1Numero scritto in base 8 3 2 3 4 5

(11010011100101)2 = (32345)8.

Convertire il numero da base 2 a base 16

Dobbiamo raggruppare il numero scritto in base 2 partendo da sinistra in gruppi di quattrocifre e tradurre con la corrispondente cifra in base 16.

Numero scritto in base 2 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1Numero scritto in base 16 3 4 E 5

(11010011100101)2 = (34E5)16.�� b Esercizi proposti: 5.18, 5.19

Sezione 5.3. Conversione da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10 125

Perché è importante la base 2?

Tutti gli strumenti elettronici che utilizziamo hanno bisogno di tradurre le informazioniche inseriamo in stati fisici della macchina. Il metodo più semplice per tradurre in linguaggiomacchina le nostre informazioni è utilizzare la base 2: composta solo dai simboli 0 e 1. Labase due è quindi l’alfabeto a disposizione delle macchine per comprendere e risponderealle nostre richieste. Se si utilizzasse la base 10 dovremo far riconoscere dall’apparato diecidifferenti simboli che devono essere tradotti in dieci differenti stati.

A partire da questa informazione elementare detta bit (compressione dall’inglese di binarydigit) è possibile costruire informazioni più complesse sotto forma di sequenze finite di zero edi uno. Attraverso la codifica binaria si è in grado di rappresentare caratteri, numeri, istruzionidi programma ma anche immagini, suoni e video.

Il primo multiplo del bit è il Byte che è formato da una sequenza di 8 bit:

0 1 0 1 0 0 0 0

Con una sequenza di 8 bit possiamo codificare fino a 256 caratteri attraverso il codice ASCII1.Quando digitiamo un carattere nella tastiera del calcolatore mandiamo un impulso che è unasequenza di 8 bit. Vediamo alcuni esempi della codifica binaria dei caratteri.

Carattere In base 2 Numero decimale

A 0 1 0 0 0 0 0 1 65a 0 1 1 0 0 0 0 1 97M 0 1 0 0 1 1 0 1 77m 0 1 1 0 1 1 0 1 1090 0 0 1 1 0 0 0 0 481 0 0 1 1 0 0 0 1 49à 1 0 1 0 0 0 0 0 160ò 1 0 1 0 0 0 1 0 162

Anche il byte ha i suoi multipli. Eccone alcuni indicati nella seguente tabella.

Sistema internazionale Utilizzo in informaticaNome Marca Potenze del 10 Valore decimale rispetto

ai bytePotenze del 2 Valore decimale rispetto

ai byte

byte B 100 1 20 1kilobyte kB 103 1.000 210 1.024megabyte MB 106 1.000.000 220 1.048.576gigabyte GB 109 1.000.000.000 230 1.073.741.824terabyte TB 1012 1.000.000.000.000 240 1.099.511.627.776

q Osservazione È noto che i prefissi kilo-, Mega- e Giga- corrispondono a 1.000, 1.000.000(un milione) e 1.000.000.000 (un miliardo), mentre nell’informatica vengono impropriamenteusati per indicare particolari potenze di 2.

1Acronimo di American Standard Code for Information Interchange.


Tutto questo genera confusione; per esempio un disco fisso che da specifiche dovrebbegarantire una capacità di archiviazione pari a 160 gigabyte, quando ne viene visualizzatala dimensione arriva poco oltre 149 gigabyte e i produttori giocano su questa “incertezza”.I produttori fanno i conti “imbrogliando”. Un PC che viene dichiarato con un hard diskda 160 GB vengono trasformati in byte moltiplicando per 109. Ma quando verifichiamo lagrandezza del disco sull’elaboratore, il computer divide per 230.

(1, 6 · 1011) : (1, 074109) = 1, 49 · 102. Solo per questo “imbroglio” ci siamo persi 11 GB.�� b Esercizio proposto: 5.20

5.4 Operazioni in base diversa da dieci

Le quattro operazioni con i numeri in base diversa da dieci possono effettuarsi con glistessi algoritmi utilizzati per i numeri naturali.

5.4.1 Addizione

Esempio 5.7. Eseguire l’addizione in base 2 tra 1010112 e 100112.

+ 0 10 0 11 1 10

Riporti 1 1

1 0 1 0 1 1 +

1 0 0 1 11 1 1 1 1 0

Dobbiamo tradurre in base due quello chefacciamo in base dieci. Abbiamo perciò bisognodi costruire la tavola di addizione in base dueche riportiamo a lato. La tavola, o tabellina, èpiuttosto semplice, bisogna solo fare attenzioneche in base due si ha 1 + 1 = 10, perché il 2 siscrive appunto 10 in base due.

Mettiamo i numeri in colonna (vedi a fianco) e cominciamo ad addizionare a partire dalleunità: 1 + 1 = 0, scrivo 0 e riporto 1. Nella colonna di ordine superiore trovo (1 + 1) + 1 =

10 + 1 = 11, scrivo 1 e riporto 1. Nella colonna di ordine superiore trovo 1 + 0 + 0 = 1,scrivo 1 senza riportare alcunché. Continuo in questo modo fino ad esaurire tutte le cifre daaddizionare.

Facciamo la verifica nell’usuale sistema decimale:

(1010112 = 43) + (100112 = 19) = (1111102 = 62).

Esempio 5.8. Eseguire la somma in base 5 tra 342315 e 43415.Costruiamo la tavola di addizione in base cinque: ricordiamo che 4 + 1 = 10, 4 + 2 = 11,

ecc.Mettiamo i numeri in colonna e cominciamo ad addizionare a partire dalle unità: 1+ 1 = 2,

scrivo 2 senza riporto. Nella colonna di ordine superiore trovo 3 + 4 = 12. Scrivo 2 eriporto 1. Nella colonna di ordine superiore trovo (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 11 scrivo 1 eriporto 1. Procedendo verso sinistra ora trovo (1 + 4) + 4 = 10 + 4 = 14 scrivo 4 e riporto 1.Infine 1 + 3 = 4. L’addizione è terminata.

Sezione 5.4. Operazioni in base diversa da dieci 127

+ 0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

0

1

2

3

4

1

2

3

4

2

3

4

3

4

4

10 11

10

12

11

10

13

12

11

10

Riporti 1 1 1

3 4 2 3 1 +

4 3 4 14 4 1 2 2

Verifica nel sistema decimale:

(342315 = 2441) + (43415 = 596) = (441225 = 3037).�� b Esercizi proposti: 5.21, 5.22, 5.23

5.4.2 Sottrazione

Per la sottrazione ci possiamo servire delle stesse tabelle dell’addizione.

Esempio 5.9. 1010112 − 111112.

Riporti -1 -1 -1

1 0 1 0 1 1 −

1 1 1 1 10 0 1 1 0 0

Mettiamo i numeri in colonna e cominciamo a sottrarrepartendo dalle unità: 1 − 1 = 0 scrivo 0. Nella colonna diordine superiore trovo di nuovo 1 − 1 = 0 scrivo 0. Proce-dendo verso sinistra trovo 0 − 1 devo quindi prendere inprestito un unità di ordine superiore che messa davanti a 0diviene 10− 1 = 1. scrivo 1 e riporto −1. Mi sposto ancoraa sinistra e trovo (−1 + 1) − 1 = 0 − 1. Occorre prenderein prestito un’unità di ordine superiore 10 − 1 = 1. Scrivo 1 e riporto −1. Nella colonna asinistra ho 0 del minuendo, −1 del riporto e −1 del sottraendo. Occorre prendere a prestitoun’unità di ordine superiore quindi 10 − 1 = 1 a cui devo togliere 1 del sottraendo: 1 − 1 = 0.Infine nella unità di ordine superiore devo addizionare il riporto −1 a 1 e scrivo ancora 0. Ilrisultato della sottrazione è: 1100

Verifica nel sistema decimale: (1010112 = 43) − (111112 = 31) = (11002 = 12).

Esempio 5.10. 342315 − 43415.Ci serviamo della tavola di addizione in base cinque.

+ 0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

0

1

2

3

4

1

2

3

4

2

3

4

3

4

4

10 11

10

12

11

10

13

12

11

10

Riporti -1 -1 -1

3 4 2 3 1 −

4 3 4 12 4 3 4 0

Verifica: (342315 = 2441) − (43415 = 596) = (243405 = 1845).�� b Esercizi proposti: 5.24, 5.25, 5.26



Adoperiamo lo stesso algoritmo usato per moltiplicare due numeri decimali utilizzando latabella della moltiplicazione.

Esempio 5.11. 1010112 × 1012.Dobbiamo tradurre in base due quello che facciamo in base dieci. Abbiamo perciò bisogno

di costruire la tavola della moltiplicazione in base due.

× 0 10 0 01 0 1

1 0 1 0 1 1 ×1 0 1

1 0 1 0 1 10 0 0 0 0 0 −

1 0 1 0 1 1 −

1 1 0 1 0 1 1 1

Verifica nel sistema decimale: (1010112 = 43)× (1012 = 5) = (110101112 = 215).

Esempio 5.12. 2315 × 245.

× 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 11 133 0 3 11 14 224 0 4 13 22 31

2 3 1 ×2 4

2 0 2 41 0 1 2 -

1 2 1 4 4

Verifica nel sistema decimale: (2315 = 66)× (245 = 14) = (121445 = 924).�� b Esercizi proposti: 5.27, 5.28, 5.29

5.4.4 Divisione

Anche per la divisione il procedimento è del tutto analogo a quello usato nel sistemadecimale, la tavola da utilizzare è quella della moltiplicazione.

Esempio 5.13. 111012 : 1012.

Dobbiamo tradurre in base due quello che facciamo in base dieci.

1 1 1 0 1 1 0 1− 1 0 1 1 0 1

1 0 00 0 01 0 0 1− 1 0 1

1 0 0

La cifra di ordine più alto si ottiene dalla divisione di 111con 101. Il quoziente è 1, il resto si ottiene dalla differenza tra ildividendo e il prodotto del quoziente per il divisore. In questocaso il resto è 10.

Si abbassa lo 0 e otteniamo 100. Si ha 100 : 111 = 0. Laseconda cifra del divisore è 0.

La moltiplicazione di 0 per il divisore dà 0. Il nuovo restoè 100 a cui aggiungiamo l’ultima cifra del dividendo.

Otteniamo 1001 che viene divisa 101. Il quoziente terminacon 1 con il resto uguale a 100.

Sezione 5.4. Operazioni in base diversa da dieci 129

Verifica nel sistema decimale:

(111012 = 29) : (1012 = 5) = (Quoziente : 1012 = 5; Resto : 110 = 4).

Eseguiamo la prova della divisione diret-tamente in base 2: dividendo = quoziente ×divisore + resto.

Il quoziente moltiplicato il divisore è ugua-le a 11001. Se a questo risultato aggiungiamoil resto 100 otteniamo il dividendo 11101.

1 0 1 ×1 0 11 0 1

0 0 0 −

1 0 1 −

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1 +

1 0 01 1 1 0 1

Esempio 5.14. 34025 : 425.

3 4 0 2 4 23 2 3 4 1

1 2 24 23 0

Dobbiamo tradurre in base due quello che facciamo in base dieci.Il 42 nel 34 non ci sta. Prendiamo allora tre cifre 340. Il 4 nel 34 ci sta 4

volte. 4 è la cifra di ordine più alto del quoziente. Dobbiamo trovare ilresto. Il resto si ottiene sottraendo il risultato della moltiplicazione tra 4e 42 che è 323. Il resto è uguale 12. Si abbassa il 2 e otteniamo 122. Il 4nel 12 in base 5 ci sta una sola volta, infatti 4× 2 = 13. La seconda cifra deldivisore è 1. La moltiplicazione di 1 per il divisore dà 42. Sottraendo 42da 122 si ottiene 30. Dato che 30 è minore di 42 la divisione intera èterminata.

Verifica: (34025 = 477) : (425 = 22) = (Quoziente : 415 = 21; Resto : 30 = 15).�� b Esercizi proposti: 5.30, 5.31


5.5 Esercizi


5.2 - Scrittura di un numero in una base qualsiasi

5.1. Stabilire il valore di verità delle seguenti proposizioni:

a ) la scrittura 1234 può esprimere un numero in base 4. V Fb ) il valore numerico espresso in base 10 della cifra 2 nel numero (1523)6 è 72. V Fc ) il valore numerico espresso in base 10 della cifra 3 nel numero (321)4 è 12. V Fd ) il valore numerico espresso in base 10 del numero (321)4 è 57. V F

5.2. Scrivi il numero (3411)5 in forma polinomiale e trova il corrispondente numero decimale.

(3411)5 = 3 · 5... + . . . · 52 + 1 · 51 + . . . . . . = 375 + . . . . . . + 5 + . . . . . . = . . . . . .

5.3. Trasforma i seguenti numeri scritti in base diversa da 10 in un numero decimale

(11101)2; (2001)3; (3023)4; (41)5; (3005)6.

5.4. Trasforma i seguenti numeri scritti in base 2 in un numero decimale.

(110111)2; (1001)2; (111)2; (111111)2; (101)2.

5.5. Trasforma i seguenti numeri scritti in base 16 in un numero decimale.

(20F)16; (AA)16; (19)16; (3E)16.

5.6. Scrivere in base 2 i seguenti numeri in base dieci: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: . . . . . . ; (100)2; . . . . . . ; (1100)2; . . . . . . . . . ; (100001)2.

5.7. Scrivere in base 3 i seguenti numeri: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (2)3; (. . . . . .)3; (120)3; (. . . . . .)3; (1000)3; (. . . . . . . . .)3.

5.8. Scrivere in base 4 i seguenti numeri: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (. . . . . .)4; (10)4; (33)4; (. . . . . .)4; (. . . . . .)4; (201)4.

5.9. Scrivere in base 5 i seguenti numeri: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (2)5; (. . . . . .)5; (. . . . . .)5; (22)5; (. . . . . . . . .)5; (113)5.

5.10. Scrivere in base 6 i seguenti numeri: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (. . . . . .)6; (4)6; (. . . . . .)6; (20)6; (. . . . . .)6; (. . .)6.

5.11. Scrivere in base 7 i seguenti numeri decimali: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (2)7; (. . . . . .)7; (. . . . . .)7; (. . . . . .)7; (. . . . . .)7; (45)7.

5.12. Scrivere in base 8 i seguenti numeri: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (. . .)8; (. . .)2; (17)8; (. . . . . .)8; (33)8; (. . . . . .)8.

5.13. Scrivere in base 9 i seguenti numeri: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (. . . . . .)9; (. . . . . .)9; (16)9; (. . . . . .)9; (. . . . . .)9; (36)9.

5.14. Scrivere in base 16 i seguenti numeri: 2; 4; 15; 12; 27; 33.Risultati: (2)16; (. . . . . .)16; (F)16; (. . . . . .)16; (1B)16; (. . . . . .)16.


5.3 - Conversione di un numero da una base diversa da 10 a un’altra base diversa da 10

5.15. Trasformare in base 7 i seguenti numeri scritti in base 4.

(103)4; (120)4; (203)4; (1301)4; (123)4; (301)4.

Risultati: (25)7; (. . . . . .)7; (50)7; (. . . . . .)7; (36)7; (. . . . . .)7.


(10002)3; (2020)3; (11201)3; (120122)3; (1001)3.

Risultati: (102)9; (. . . . . .)9; (. . . . . .)9; (518)9; (. . . . . .)9.


(133)4; (120)4; (203)4; (2301)4; (223)4.

Risultati: (1F)16; (. . . . . .)16; (23)16; (. . . . . .)16; (2B)16.

5.18. Convertire in base 4, 8 e 16 i seguenti numeri scritti in base 2:

(101)2; (100011)2; (1111110101)2; (10100100)2; (1101)2.

5.19. Convertire in base 2 i seguenti numeri scritti in base 16:

(12)16; (A)16; (1C3)16; (AB)16; (223)16.

5.20 (*). Perché un DVD scrivibile quando si compra dichiara una capacità di 4, 7 GB e inveceha una capacità reale di 4,3? Un CD-R dichiara una capacità di 700 MB. Qual è la sua capacitàreale?

5.4 - Operazioni in base diversa da dieci

5.21. Eseguire le seguenti addizioni in base 2.

1 1 1 1 0 1 +

1 0 1 1 01 0 1 1 0 1 +

1 1 1 1 11 0 1 1 +

1 1 11 0 1 1 +

1 1 0 11 0 1 1

1 0 1 1 1 +

1 1 0 0 11 1 0 0


3 4 2 4 0 1 +

2 3 1 4 22 0 2 4 0 1 +

4 3 42 3 4 1 +

4 4 41 4 0 1 +

3 1 1 23 4 4

4 3 2 1 +

1 2 3 43 4 0


2 1 0 2 0 1 +

2 1 2 1 22 0 2 1 0 1 +

1 2 1 1 02 2 1 1 +

2 0 21 0 2 2 1 +

1 2 0 21 1 2 0 1

2 2 2 +

1 2 12 1 2


5.24. Eseguire le seguenti sottrazioni in base 2.

1 1 1 1 0 1 −

1 0 1 1 01 0 1 1 0 1 −

1 1 1 1 11 0 1 1 −

1 1 11 1 1 1 −

1 1 11 0 0 0 1 −

1 1 1 1


3 4 2 4 0 1 −

2 3 1 4 22 0 2 4 0 1 −

4 3 42 3 4 1 −

4 4 43 4 4 4 −

3 1 2 31 3 2 4 2 −

4 2 2 4


2 1 0 2 0 1 −

2 1 2 1 22 0 2 1 0 1 −

1 2 1 1 02 2 1 1 −

2 0 21 2 0 1 −

2 2 22 1 0 0 1 −

1 2 1 0 2

5.27. Moltiplica in base 2: 1111012 × 101102; 1011012 × 111112; 10112 × 1112.



5.30 (*). Eseguire le seguenti divisioni in base 2.

a ) 11101 : 11; b ) 1011101 : 100; c ) 100011 : 10.

5.31 (*). Eseguire le seguenti divisioni in base 5.

a ) 2304 : 43; b ) 3310 : 24; c ) 2012 : 31.

5.5.2 Risposte

5.3 29, 55, 203, 21, 653.

5.4 55, 9, 7, 63, 5.

5.5 527, 170, 25; 62.

5.20 667, 57 MB.

5.30 a) Q=11; R=1, b) Q=1011; R=1, c) Q=10001; R=0.

5.31 a) Q=24; R=12, b) Q=112; R=12, c) Q=31; R=1.

Insiemi II

“Stonehenge”Foto di radical.librarian

http://www.flickr.com/photos/radical_librarian/3564677324Licenza: Attribuzione 2.0 Generico (CC BY 2.0)

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Generalità sugli insiemi 66.1 Insiemi ed elementi

In matematica usiamo la parola insieme per indicare un raggruppamento, una collezione,una raccolta di oggetti, individui, simboli, numeri, figure che sono detti elementi dell’insieme eche sono ben definiti e distinti tra di loro.

La nozione di insieme e quella di elemento di un insieme in matematica sono consideratenozioni primitive, nozioni che si preferisce non definire mediante altre più semplici.

Esempio 6.1. Sono insiemi:

a ) l’insieme delle lettere della parola RUOTA;b ) l’insieme delle canzoni che ho ascoltato la settimana scorsa;c ) l’insieme delle città della Puglia con più di 15 000 abitanti;d ) l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano;e ) l’insieme dei numeri 1, 2, 3, 4, 5;f ) l’insieme delle montagne d’Italia più alte di 1 000 metri.

Per poter assegnare un insieme occorre soddisfare le seguenti condizioni:

á bisogna poter stabilire con certezza e oggettività se un oggetto è o non è un elementodell’insieme;

á gli elementi di uno stesso insieme devono essere differenti tra loro, cioè un elementonon può essere ripetuto nello stesso insieme.

Non possono essere considerati insiemi:

á i film interessanti (non c’è un criterio oggettivo per stabilire se un film è interessante op-pure no, uno stesso film può risultare interessante per alcune persone e non interessanteper altre);

á le ragazze simpatiche di una classe (non possiamo stabilire in maniera oggettiva se unaragazza è simpatica);

á le montagne più alte d’Italia (non possiamo dire se una montagna è tra le più alte poichénon è fissata un’altezza limite);

á l’insieme delle grandi città d’Europa (non c’è un criterio per stabilire se una città ègrande);�� b Esercizio proposto: 6.1

In generale, gli insiemi si indicano con lettere maiuscole A,B,C . . .; gli elementi con lettereminuscole a,b, c . . .. Se un elemento a sta nell’insieme A si scrive a ∈ A e si legge “aappartiene ad A”. Il simbolo “∈” si chiama simbolo di appartenenza.

135

136 Capitolo 6. Generalità sugli insiemi

Se un elemento b non sta nell’insieme A si dice che esso non appartiene all’insieme, siscrive b /∈ A, si legge “b non appartiene ad A”. Il simbolo ”/∈” si chiama simbolo di nonappartenenza.

Il criterio che stabilisce se un elemento appartiene a un insieme si chiama proprietàcaratteristica.

Gli elementi di un insieme si elencano separati dalla virgola e racchiusi tra parentesigraffe: A = {a,b, c,d}.

Alcuni simboli sono utilizzati per indicare alcuni insiemi specifici:

á N si utilizza per indicare l’insieme dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .};á Z si utilizza per indicare i numeri interi relativi: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3, . . .};

á Q si utilizza per indicare i numeri razionali: Q = {12

,−35

,51

,−4

17, 12, 34, 0, 25 . . .}.

Esempio 6.2. Indica con il simbolo opportuno quali dei seguenti elementi appartengono onon appartengono all’insieme A dei giorni della settimana: lunedì, martedì, gennaio, giovedì,dicembre, estate.

Gennaio e dicembre sono mesi dell’anno, perciò scriviamo:

lunedì ∈ A, martedì ∈ A, gennaio /∈ A, giovedì ∈ A, dicembre /∈ A, estate /∈ A.

Consideriamo l’insieme A = {r, s, t} e l’insieme B delle consonanti della parola “risate”.Possiamo osservare che A e B sono due insiemi costituiti dagli stessi elementi; diremo chesono insiemi uguali.

Definizione 6.1. Due insiemi A e B si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi,anche se disposti in ordine diverso: in simboli A = B. Due insiemi A e B si dicono diversi senon contengono gli stessi elementi: in simboli A 6= B.

�� b Esercizi proposti: 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.6, 6.7, 6.8, 6.9

6.2 Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità

Consideriamo l’insieme A = {consonanti della parola “AIA”}. Poiché la parola “AIA” noncontiene consonanti, l’insieme A è privo di elementi.

Definizione 6.2. Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto, lo si indica con ilsimbolo ∅ o { }.

q Osservazione { }= ∅ma {∅} 6= ∅ dato che {∅} rappresenta un insieme che ha come unicoelemento l’insieme vuoto.

Esempio 6.3. Alcuni insiemi vuoti.

a ) L’insieme dei numeri negativi maggiori di 5 è vuoto;

b ) l’insieme delle capitali europee con meno di 50 abitanti è vuoto;

Sezione 6.2. Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità 137

c ) l’insieme dei numeri naturali minori di 0 è vuoto.

La frase «l’insieme degli studenti che vengono a scuola con il motorino» non definisce uninsieme particolare. Occorre definire il contesto, l’ambiente che fa individuare gli elementi del-l’insieme. Se l’ambiente è la classe 1C gli elementi saranno certamente diversi, probabilmentemeno numerosi, di quelli che compongono l’ambiente di un’intera scuola o di un’intera città.Quando si identifica un insieme, occorre indicare anche l’ambiente di riferimento da cui trarregli elementi che appartengono al nostro insieme. Questo insieme si chiama Insieme Universoe rappresenta il contesto, l’ambiente su cui faremo le nostre osservazioni. In generale uninsieme universo per un insieme A è semplicemente un insieme che contiene A. Solitamentesi indica con U l’insieme universo.

6.2.1 Cardinalità

Definizione 6.3. Si definisce cardinalità (o potenza) di un insieme finito il numero deglielementi dell’insieme. Viene indicata con uno dei seguenti simboli |A|, #(A) o cardA.

Per poter parlare di cardinalità di un insieme qualsiasi, che comprenda anche insiemiinfiniti come gli insiemi numerici, occorre una definizione più complessa che qui non daremo.

Esempio 6.4. Esempi di cardinalità.

a ) L’insieme A delle vocali dell’alfabeto italiano ha 5 elementi, quindi cardA = 5;b ) l’insieme B dei multipli di 3 minori di 10 ha 3 elementi, quindi cardB = 3.�� b Esercizi proposti: 6.10, 6.11, 6.12, 6.13, 6.14, 6.15


6.3 Esercizi


6.1 - Insiemi ed elementi

6.1. Barra con una crocetta i raggruppamenti che ritieni siano degli insiemi.

a ) I fiumi più lunghi d’Italia;b ) le persone con più di 30 anni;c ) i numeri 1, 20, 39, 43, 52;d ) i libri più pesanti nella tua cartella;e ) i punti di una retta;

f ) gli animali con 2 zampe;g ) le vocali dell’alfabeto italiano;h ) i professori bravi;i ) i gatti con due code;j ) i calciatori che hanno fatto pochi gol.

6.2. Per ciascuno dei seguenti casi inserisci il simbolo adatto fra ”∈” e ”/∈”. A è l’insieme dellelettere dell’alfabeto italiano. b . . .A, i . . .A, j . . .A, e . . .A, w . . .A, z . . .A.

6.3. Le vocali delle parole che seguono formano insiemi uguali, tranne in un caso. Quale?

A sito B micio C zitto D fiocco E lecito F dito.

6.4. Individua tra i seguenti insiemi quelli che sono uguali:

a ) vocali della parola “SASSO”;b ) consonanti della parola “SASSO”;

c ) vocali della parola “PIETRA”;d ) vocali della parola “PASSO”.

6.5. Quali delle seguenti frasi rappresentano criteri oggettivi per individuare un insieme?Spiega perché.

a ) Le città che distano meno di 100 Km da Lecce; V Fb ) i laghi d’Italia; V Fc ) le città vicine a Roma; V Fd ) i calciatori della Juventus; V Fe ) i libri di Mauro; V Ff ) i professori bassi della tua scuola; V Fg ) i tuoi compagni di scuola il cui nome inizia per M; V Fh ) i tuoi compagni di classe che sono gentili; V Fi ) gli zaini neri della tua classe. V F

6.6. Scrivi al posto dei puntini il simbolo mancante tra ”∈” e ”/∈”.

a ) La Polo . . . . . . all’insieme delle automobili Fiat;b ) il cane . . . . . . all’insieme degli animali domestici;c ) la Puglia . . . . . . all’insieme delle regioni italiane;d ) Firenze . . . . . . all’insieme delle città francesi;e ) il numero 10 . . . . . . all’insieme dei numeri naturali;f ) il numero 3 . . . . . . all’insieme dei numeri pari.

6.7. Quali delle seguenti proprietà sono caratteristiche per un insieme?

a ) Essere città italiana il cui nome inizia per W; V F


b ) essere un bravo cantante; V Fc ) essere un monte delle Alpi; V Fd ) essere un ragazzo felice; V Fe ) essere un numero naturale grande; V Ff ) essere un ragazzo nato nel 1985; V Fg ) essere gli alunni della classe 1aC; V Fh ) essere le lettere dell’alfabeto inglese; V Fi ) essere le rette del piano; V Fj ) essere i libri interessanti della biblioteca; V F

k ) essere gli italiani viventi nati nel 1850; V Fl ) essere gli italiani colti. V F

6.8. Scrivi al posto dei puntini il simbolo mancante tra ”=” e ”6=”.

a ) L’insieme delle lettere della parola “CANE” e della parola “PANE” sono . . . . . . ;b ) l’insieme delle vocali della parola “INSIEME” e della parola “MIELE” sono . . . . . . ;c ) l’insieme delle consonanti della parola “LETTO” e della parola “TETTO” sono . . . . . . ;d ) l’insieme delle lettere della parola “CONTRO” e della parola “TRONCO” sono . . . . . . ;e ) l’insieme delle vocali della parola “LIBRO” e della parola “MINISTRO” sono . . . . . . ;f ) l’insieme delle vocali della parola “DIARIO” e della parola “RAMO” sono . . . . . . ;g ) l’insieme delle lettere della parola “MOUSE” e della parola “MUSEO” sono . . . . . . ;h ) l’insieme delle consonanti della parola “SEDIA” e della parola “ADESSO” sono . . . . . . ;i ) l’insieme dei numeri pari minori di 5 e l’insieme vuoto sono . . . . . . ;j ) l’insieme dei numeri pari e l’insieme dei multipli di 2 sono . . . . . .

6.9. Le stelle dell’universo formano un insieme, le stelle visibili a occhio nudo formano uninsieme? Spiega il tuo punto di vista.

6.2 - Insieme vuoto, insieme universo, cardinalità

6.10. Indica se gli insiemi G = {gatti con 6 zampe} e P = {polli con 2 zampe} sono o non sonovuoti.

6.11. Barra con una croce gli insiemi vuoti.

a ) L’insieme dei numeri positivi minori di 0;b ) l’insieme dei numeri negativi minori di 100;c ) l’insieme dei numeri pari minori di 100;d ) l’insieme delle capitali europee della regione Lombardia;e ) l’insieme dei triangoli con quattro angoli;f ) l’insieme delle capitali italiane del Laziog ) l’insieme dei punti di intersezione di due rette parallele.

6.12. Quali delle seguenti scritture sono corrette per indicare l’insieme vuoto?

A ∅ B 0 C {∅} D {0} E { }.

6.13. Quali dei seguenti insiemi sono vuoti? Per gli insiemi non vuoti indica la cardinalità.

a ) L’insieme degli uccelli con 6 ali;b ) l’insieme delle lettere della parola “VOLPE”;


c ) l’insieme dei cani con 5 zampe;d ) l’insieme delle vocali della parola “COCCODRILLO”;e ) l’insieme delle vocali dell’alfabeto italiano;f ) l’insieme degli abitanti della luna;g ) l’insieme dei numeri sulla tastiera del telefonino.

6.14. Scrivi per ciascun insieme un possibile insieme universo.

a ) l’insieme dei rettangoli;b ) l’insieme dei multipli di 3;c ) l’insieme delle lettere della parola “MATEMATICA”;d ) l’insieme dei libri di matematica;e ) l’insieme dei ragazzi che hanno avuto un’insufficienza in matematica.

6.15. Dato l’insieme A = {0, 3, 5} determina se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a ) 0 ∈ A. V Fb ) 5 ∈ A. V Fc ) ∅ ∈ A. V Fd ) ∅ ∈ A. V Fe ) A ∈ A. V Ff ) 3, 5 ∈ A. V F

Rappresentazione degli insiemi 7Esistono diversi modi per rappresentare un insieme e quindi per indicare con precisione i

suoi elementi.

7.1 Rappresentazione tabulare

La rappresentazione tabulare è la descrizione più elementare di un insieme; consistenell’elencare tutti gli elementi dell’insieme separati da virgole e racchiusi tra le parentesigraffe.

Per esempio, definiamo un insieme X con la scrittura: X = {1, 2, 3, 5}. Non è importantel’ordine in cui vengono scritti gli elementi, cioè

X = {1, 2, 3, 5} = {2, 1, 5, 3}.

È invece necessario che gli elementi dell’insieme compaiano ciascuno una sola volta. Adesempio per rappresentare l’insieme Y delle lettere della parola autunno, scriviamo

Y = {a, u, t, n, o}.

Si può utilizzare questa rappresentazione anche per insiemi numerosi e addirittura infiniti.In questi casi si elencano i primi elementi dell’insieme e in fondo all’elenco si mettono trepunti di sospensione lasciando intendere come continuare la serie.

Per esempio, l’insieme dei multipli di 3 si può indicare con la seguente rappresentazionetabulare:

X = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...}.

Esempio 7.1. Rappresentazione degli insiemi:

a ) l’insiemeG dei primi 3 giorni della settimana si indica:G = {lunedì, martedì, mercoledì};b ) l’insieme A delle lettere della parola “Associazione” si indica: A = {a, s, o, c, i, z, n, e}.�� b Esercizi proposti: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5

7.2 Rappresentazione per proprietà caratteristica

Per quegli insiemi i cui elementi soddisfano una certa proprietà che li caratterizza, possia-mo usare proprio questa proprietà per descrivere più sinteticamente un insieme.

Per esempio, l’insieme Y dei divisori di 10 può essere definito come:

Y = {x/x è un divisore di 10}

e si legge “Y è l’insieme degli elementi x tali che x è un divisore di 10”.

141

142 Capitolo 7. Rappresentazione degli insiemi

In questa scrittura si mette in evidenza la caratteristica degli elementi dell’insieme. Larappresentazione tabulare dello stesso insieme è Y = {1, 2, 5, 10}.

La rappresentazione per caratteristica dell’insieme X dei naturali minori di 15 è:

X = {x ∈N/x < 15}

e si legge “X è l’ insieme dei numeri naturali x tali che x è minore di 15”.L’insieme che viene indicato nella prima parte della rappresentazione (nell’ultimo esempio

è l’insieme dei numeri naturali N ) è l’insieme universo definito precedentemente. Questometodo è particolarmente utile quando l’insieme da rappresentare contiene molti elementi.

Esempio 7.2. Esempi di proprietà caratteristica:

a ) l’insieme A delle rette incidenti a una retta t assegnata si può rappresentare come:

A = {r/r è una retta incidente a t}.

b ) l’insieme B dei numeri naturali maggiori di 100 può essere rappresentato come:

B = {n ∈N/n > 100}.

c ) l’insieme P dei numeri pari può essere rappresentato come:

P = {n ∈N/n = 2 ·m conm ∈N}.

d ) l’insieme C dei numeri interi relativi compresi tra −10 e +100, estremi inclusi:

C = {n ∈ Z/− 10 6 n 6 100}.�� b Esercizi proposti: 7.6, 7.7, 7.8, 7.9, 7.10, 7.11, 7.12, 7.13, 7.14, 7.15,7.16, 7.17, 7.18, 7.19�� 7.20

7.3 Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn)

In questa rappresentazione grafica, detta anche rappresentazione di Eulero-Venn1 si disegnauna linea chiusa all’interno della quale gli elementi dell’insieme si indicano con dei punti.Solitamente si scrive all’esterno il nome dell’insieme e vicino ai punti i nomi degli elementi.

Esempio 7.3. A è l’insieme dei numeri naturali minori di 6, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

A

0 1 2

3 4 5

Esempio 7.4. B è l’insieme delle lettere della parola “TARTARUGA”, B = {t,a, r,u,g}.

1In onore dei matematici Leonhard Euler (1707-1783) e John Venn (1834-1923).

Sezione 7.3. Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn) 143

B

t a r

u g

Un insieme può essere rappresentato con una qualsiasi delle rappresentazioni indicate. Seun insieme è infinito o è costituito da un numero elevato di elementi la rappresentazione piùpratica è quella per caratteristica.

Esempio 7.5. Rappresentare l’insieme C dei multipli di 5.Per caratteristica: C = {n ∈N/n è multiplo di 5} oppure C = {n ∈N/n = 5 ·m,m ∈N}

Tabulare: C = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, . . . }. I puntini di sospensione indicano che l’elencocontinua.

Rappresentazione con diagramma di Eulero-Venn:

C 5 10 15

20 25 30

30 35

�� b Esercizi proposti: 7.21, 7.22


7.4 Esercizi


7.1 - Rappresentazione tabulare

7.1. Dai una rappresentazione tabulare dell’insieme A dei numeri naturali minori di 6.

7.2. Dai una rappresentazione tabulare dei seguenti insiemi

a ) delle vocali della parola “ESERCIZI”;b ) delle lettere della parola “RIFLETTERE”;c ) dei numeri naturali compresi tra 6 e 12, estremi esclusi;d ) dei numeri dispari compresi tra 10 e 20;e ) delle lettere dell’alfabeto italiano;f ) dei numeri naturali minori di 10;g ) dei multipli di 7;h ) delle preposizioni con più di due lettere.

7.3. Indica in rappresentazione tabulare i seguenti insiemi.

a ) A = {x ∈N/x < 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b ) B = {x ∈N/2 6 x < 5} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c ) C = {x ∈N/5 6 x 6 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d ) D = {x ∈N/2x 6 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .e ) E = {e ∈N/5 6 e < 10} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .f ) F = {f ∈N/f è multiplo di 3 e f < 15} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .g ) G = {g ∈N/g è una cifra del numero 121231} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .h ) H = {h ∈N/h = 3n+ 1, con n ∈N} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4. Elenca per tabulazione gli elementi di A = {x|x ∈N, x è pari, x 6 10, x 6= 0}.

7.5. Elenca per tabulazione gli elementi di L = {l è una lettera della parola MATEMATICA}.

7.2 - Rappresentazione caratteristica

7.6. Descrivi mediante la proprietà caratteristica l’insieme D = {S, T, U, D, I, A, R, E}.

D = {x/x è . . .}

7.7. Descrivi mediante la proprietà caratteristica l’insieme

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}.

X = {x ∈N/x . . .}

7.8. Descrivi mediante la proprietà caratteristica l’insieme dei numeri primi minori di 1000.

7.9. Elenca gli elementi dell’insieme I = {n ∈N/n è divisore di 12}.

7.10. Elenca gli elementi dell’insieme I = {n ∈N/n è multiplo di 3 minore di 20}.


7.11. Dato l’insieme A = {2, 4, 8, 16, 32, 64} quale delle seguenti proprietà caratterizzano i suoielementi?

a ) A = {n ∈N/n è numero pari minore di 65};b ) A = {n ∈N/n è una potenza di 2};c ) A = {n ∈N/n è una potenza di 2 minore di 65};d ) A = {n ∈N/n = 2m, conm = 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

7.12. Indica con una proprietà caratteristica l’insieme B = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}.

7.13. Indica con una proprietà caratteristica l’insieme B = {4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}.

7.14. Quale delle seguenti frasi indica la proprietà caratteristica di A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, . . .}

A I multipli di 2; B i numeri pari; C i multipli di 4; D i divisori di 20

7.15. Rappresenta in forma caratteristica i seguenti insiemi.

a ) A = {5, 6, 7, 8, 9, 10};b ) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , 98, 99, 100};c ) C = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.

7.16. Quale delle seguenti è una rappresentazione per caratteristica dell’insieme

D = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18}.

a ) D = {x ∈N/x 6 18};b ) D = {x ∈N/x è multiplo di 3 e x < 20};c ) D = {x ∈N/x = 3x};d ) D = {x ∈N/x = 3}.

7.17. Rappresenta i seguenti insiemi con la proprietà caratteristica.

a ) A = {gennaio, maggio, giugno, luglio, agosto};b ) B = {Gorizia, Pordenone, Trieste, Udine};c ) C = {sabato, domenica};d ) D = {10, 20, 30, 40, 50};e ) E = {Puglia, Piemonte}.

7.18. Individua una proprietà caratteristica dei seguenti insiemi numerici.

a ) A = {4, 9, 16, 25, . . .};

b ) B =

{14

,19

,116

,1

25, . . .}

;

c ) C =

{2,

32

,43

,54

,65

, . . .}

;

d ) D =

{15

,110

,1

15,

120

, . . .}

;

e ) E =

{14

,29

,3

16,

425

,5

36, . . .}

;


f ) F = {+1,−2,+4,−8,+16,−32,+64, . . .}.

7.19. Elenca gli elementi dei seguenti insiemi.

a ) A = {x ∈ Z/− 3 6 x < 2};b ) B = {x ∈N/− 4 6 x 6 1 o 5 < x 6 7}.

7.20. Rappresenta in forma caratteristica i seguenti insiemi.

a ) A = {0, 2, 4, 6, 8, 10};b ) B = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . .};c ) C = {3, 4, 5, 6, 7};d ) D = {−5,−4,−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3,+4,+5};e ) E = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100};f ) F = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}.

7.3 - Rappresentazione grafica (Diagramma di Venn)

7.21. Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn l’insieme:

a ) dei multipli di 3 compresi tra 10 e 30, estremi inclusi;b ) delle note musicali;c ) dei numeri primi minori di 20;d ) delle consonanti della parola “MATEMATICA”;e ) delle province della Toscana.

7.22. In base agli insiemi A e B rappresentati dai diagrammi di Venn, stabilisci quali afferma-zioni sono vere.

a ) 5 /∈ B V Fb ) A = ∅ V Fc ) 3 + 2 ∈ A V Fd ) B 6= ∅ V Fe ) 6 ∈ B V Ff ) 9 /∈ A V F

A 1

3

5

7

9

B 2

4

6

8


7.23. Scrivi i primi dieci elementi dei seguenti insiemi.

a ) A = {x/x ∈N, x = 2n};

b ) B = {x/x ∈N, x = n2};

c ) C = {x/x ∈N, x = 2n2};

d ) D = {x/x ∈N, x = 2n+ 2};

e ) E = {x/x ∈N, x = n2 −n};

f ) E = {x/x ∈ Z, x =n+ 1n− 1

}.


7.24. Rappresenta i seguenti insiemi con rappresentazione tabulare, caratteristica e grafica.

a ) Insieme A dei divisori di 30;b ) insieme B dei numeri pari minori o uguali a 10;c ) l’insieme C delle province della Puglia;d ) l’insieme D delle lettere della parola “COCCO”.

7.25. Rappresenta nel modo che ritieni più opportuno gli insiemi i cui elementi sono:

a ) i numeri naturali multipli di 5 compresi tra 10 e 10000;b ) i colori dell’arcobaleno;c ) i numeri razionali maggiori o uguali a 2/7;d ) i punti di una superficie S;e ) le lettere di cui è composto il tuo nome.

7.26. Rappresenta con una modalità a tua scelta l’insieme dei numeri interi multipli di 5maggiori di 10 e minori di 100 che non sono dispari.

7.27. Dati gli insiemi: X = {8, 9, 10}, Y = {0, 8, 9, 10}, H = {10, 9, 8},W = {w ∈N/ 8 6 w 6 10},Z = {z ∈N/ 8 < z 6 10} e J = {j ∈N/ 7 < j < 11}, individua le uguaglianze corrette.

a ) X = Y;b ) X = H;

c ) W = H;d ) X = Z;

e ) cardZ = 2;f ) X = J.

7.28. Dati gli insiemi: A ={g, a, t, o}, B ={o, g, t, a}, C = {c/c è una lettera della parola “gatto”},D ={g, t}, E ={gatto}, F = {f/f è una consonante della parola “gatto”}, segna con una crocettale uguaglianze corrette:

a ) A = B;b ) A = D;c ) A = C;

d ) E = A;e ) C = E;f ) D = F;

g ) C = D:h ) D = E.

i ) cardC = 5;j ) cardE = 5;

7.29. Per ciascuno dei seguenti insiemi indica alcuni elementi.

a ) X = {x ∈N/ x− 1 è pari } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b ) Y = {y ∈N/ y = 3n, con n ∈N} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c ) Z = {z ∈N/ z = 3n e z non è divisibile per 2,n ∈N} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d ) W = {w ∈N/ w < 0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.30. Quali delle seguenti scritture sono vere?

a ) 5 ∈ {10, 8, 6, 4, 2} V Fb ) 15 ∈ {n ∈N/n > 10} V Fc ) 7 ∈ {n ∈N/n+ 5 < 10} V Fd ) l /∈ {x/x è una lettera della parola “scuola”} V F

7.31. Quali dei seguenti insiemi sono uguali?

a ) A = {1 + 3, 5 − 2, 1 + 1, 9 − 8, 1 − 1};b ) B = {n ∈N/n < 5};c ) C = {6 − 4, 6 + 4, 6 − 6}.


7.32. Quali dei seguenti insiemi sono uguali?

a ) A = {x ∈N/ 3 6 x 6 12};b ) B = {x ∈N/x = 3n con 1 6 n 6 4};

c ) A = {x ∈N/ 2 < x < 13};d ) B = {x ∈N/x = 3n con n = 1, 2, 3, 4}.

Operazioni con gli insiemi 88.1 Sottoinsieme

Consideriamo l’insieme A degli abitanti di Milano e l’insieme B degli abitanti di Milanocon età superiore ai 40 anni. Gli abitanti ultra quarantenni di Milano fanno parte dellapopolazione di Milano, cioè tutti gli elementi dell’insieme B sono anche elementi di A: si diceche B è sottoinsieme di A, si scrive B ⊆ A.

Nel caso in cui tutti gli elementi di Y siano elementi di X e tutti gli elementi di X sianoelementi di Y si ha che X = Y, e Y si dice sottoinsieme improprio di X. Se X ⊆ Y e Y ⊆ X,allora Y = X.

Tra i sottoinsiemi di un insieme si considera anche l’insieme vuoto ∅, cioè qualunquesia l’insieme X risulta che ∅ ⊂ X. L’insieme vuoto è considerato un sottoinsieme improprio diqualunque insieme. Ogni insieme è sottoinsieme improprio di se stesso.

Se Y è un sottoinsieme di X e X ha altri elementi oltre a quelli di Y si dice che Y è unsottoinsieme proprio di X e si scrive Y ⊂ X. La scrittura A ⊆ B si usa quando non si sa in modocerto se A = B o A ⊂ B.

Definizione 8.1. Dati due insiemi X e Y, si dice che Y è un sottoinsieme di X se ogni elementodi Y è anche elemento di X.

In simboli: Y ⊆ X, che si legge “Y è incluso in X” o “Y è sottoinsieme di X”.

La rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn è la seguente:

X Y

Se a è un elemento del sottoinsieme Y, allora lo sarà anche dell’insieme X:

se a ∈ Y e Y ⊆ X, allora a ∈ X.

Dalla stessa definizione, si deduce che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, in simbo-li X ⊆ X. Tra i sottoinsiemi di un insieme si considera anche l’insieme vuoto. Cioè, qualunquesia l’insieme X risulta ∅ ⊆ X.

Esempio 8.1. Consideriamo l’insieme X = {lettere della parola “autunno”} e l’insieme Y =

{lettere della parola “notaio”}; possiamo affermare che “ogni” elemento di Y è anche elementodi X? La risposta è negativa: i ∈ Y ma i /∈ X quindi Y non è sottoinsieme di X e si scrive Y 6⊂ X.

149

150 Capitolo 8. Operazioni con gli insiemi

Esempio 8.2. SiaA l’insieme delle lettere dell’alfabeto italiano e V l’insieme delle vocali, allorasi può scrivere V ⊂ A; cioè V è un sottoinsieme proprio di A, come si può anche vedere dallarappresentazione grafica.

Aa

e

io

u

b

c d

f

gh

l

mn

p

qr

s

t

v z

V

Esempio 8.3. Sia C = {1}, allora C non ha sottoinsiemi propri; mentre i suoi sottoinsiemiimpropri sono C = {1} e l’insieme vuoto ∅.

Esempio 8.4. Sia A l’insieme delle auto esposte in un autosalone e U l’insieme delle autousate esposte nello stesso autosalone. Si ha che U è un sottoinsieme di A, ma senza avereulteriori informazioni non possiamo escludere che tutte le auto esposte siano usate, dobbiamoperciò scrivere U ⊆ A. Se invece sappiamo che nessuna auto esposta è usata, allora U = ∅.�� b Esercizio proposto: 8.1

8.2 Insieme delle parti

Consideriamo l’insieme A dei numeri naturali compresi tra 0 e 100, a partire da questoinsieme possiamo formare gruppi costituiti dai soli numeri multipli di 10, dai numeri pari,da quelli dispari, da quelli divisibili per 7 e così via. Quindi con gli elementi dell’insieme Apossiamo formare molti altri insiemi che sono sottoinsiemi di A.

Esempio 8.5. Determinare tutti i sottoinsiemi di A = {1, 2, 3}.∅ ⊂ A, infatti l’insieme vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme.Elenchiamo tutti i sottoinsiemi costituiti da un solo elemento: {1}, {2}, {3}. Elenchiamo ora

tutti i sottoinsiemi costituiti da due elementi: {1,2}, {1,3}, {2,3}. L’unico sottoinsieme costituitoda tre elementi è A stesso, possiamo scrivere: {1, 2, 3} ⊆ A. In tutto 8 sottoinsiemi.

Definizione 8.2. Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti l’insieme che ha comeelementi tutti i sottoinsiemi propri ed impropri di A. In simboli: ℘(A).

L’insieme delle parti di un insieme A ha sempre come elementi ∅ e A quindi ∅ ∈ ℘(A) eA ∈ ℘(A).

Il numero degli elementi di ℘(A), cioè dei suoi possibili sottoinsiemi, propri e impropri,dipende dal numero degli elementi di A.

Esempio 8.6. L’insieme vuoto ha come unico sottoinsieme se stesso, quindi ℘(∅) = {∅}.

Esempio 8.7. Dato l’insieme A = {a}, i suoi possibili sottoinsiemi propri ed impropri so-no: S1 = ∅, S2 = {a}; allora ℘(A) = {S1,S2}.

Sezione 8.3. Insieme unione 151

Esempio 8.8. Dato l’insieme B = {matita, penna} i suoi possibili sottoinsiemi propri ed im-propri sono: S1 = ∅, S2 = B = {matita, penna}, S3 = {matita}, S4 = {penna}; allora ℘(A) =

{S1,S2,S3,S4}.

Esempio 8.9. Dato l’insieme B = {1, 2, 3}, i suoi possibili sottoinsiemi propri ed improprisono: S1 = ∅, S2 = B = {1, 2, 3}, S3 = {1}, S4 = {2}, S5 = {3}, S6 = {1, 2}, S7 = {1, 3}, S8 = {2, 3};allora ℘(A) = {S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,,S8}.

Riassumendo:

á se A = ∅ l’insieme delle parti ha 1 solo elemento;á se A ha 1 elemento allora l’insieme delle parti ha 2 elementi;á se A ha 2 elementi, l’insieme delle parti ne ha 4;á se A ha 3 elementi, l’insieme delle parti ne ha 8.

Generalizzando, se A ha n elementi, l’insieme delle parti ne ha 2n.�� b Esercizi proposti: 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6

8.3 Insieme unione

Prendiamo l’insieme P dei numeri pari e l’insieme D dei numeri dispari; allora l’insieme N

dei numeri naturali è dato dall’unione dei due insiemi P e D.

Definizione 8.3. Dati due insiemi A e B, si dice insieme unione l’insieme C, composto datutti gli elementi appartenenti ad A o a B o a entrambi. In simboli: C = A∪B, si legge “Aunito a B” o “A unione B”.

A B

A∪B

Mediante la proprietà caratteristica si scrive: C = A∪B = {x/(x ∈ A) o (x ∈ B)}.

8.3.1 Proprietà dell’unione tra insiemi

a ) A∪B = B∪A: proprietà commutativa dell’unione;b ) (A∪B)∪C = A∪ (B∪C): proprietà associativa dell’unione;c ) se B ⊂ A, allora A∪B = A;d ) A∪ ∅ = A;e ) A∪A = A: proprietà di idempotenza dell’unione.


Esempio 8.10. Siano D = {1, 3, 5} e P = {2, 4, 6} allora N = P ∪D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

D

P

N

1

3

5

6

4

2

1

3

56

4

2

Esempio 8.11. Siano X = {do, re, mi, fa, sol, la, si} e Y = {do, re, mi}, allora, poiché Y ⊂ X,W = X∪ Y = X = {do, re, mi, fa, sol, la, si}.

X

Y

W = X

Y

do

re

mifa

sol

lasi

do

mi

re

do re

mi

fa

sol la

si


8.4 Insieme intersezione

Esempio 8.12. Se A è l’insieme delle lettere della parola “matematica” e B è l’insieme dellelettere della parola “materia”. Quali elementi di A stanno in B? Quali elementi di B stannoin A? Quali sono gli elementi che stanno in entrambi gli insiemi?

á L’insieme degli elementi di A che stanno in B è {m, a, t, e, i};á l’insieme degli elementi di B che stanno in A è {m, a, t, e, i};á l’insieme degli elementi che stanno sia in A sia in B è {m, a, t, e, i}.

Definizione 8.4. Dati due insiemi A e B, si dice insieme intersezione di A e B, l’insieme Ccomposto da tutti gli elementi appartenenti contemporaneamente ad A e a B, ossia comunia entrambi. In simboli: C = A∩B, che si legge “A intersecato a B” o “A intersezione B”.

Sezione 8.4. Insieme intersezione 153

A B

A∩B

Mediante proprietà caratteristica si scrive: C = A∩B = {x/(x ∈ A) e (x ∈ B)}.Se A ∩ B = ∅, ossia se A e B non hanno elementi in comune, i due insiemi si dicono

disgiunti.

8.4.1 Proprietà dell’intersezione tra insiemi

a ) A∩B = B∩A: proprietà commutativa dell’intersezione;b ) (A∩B)∩C = A∩ (B∩C): proprietà associativa dell’intersezione;c ) Se B ⊂ A, allora A∩B = B;d ) A∩ ∅ = ∅;e ) A∩A = A: proprietà di idempotenza dell’intersezione;f ) ∅ ∩ ∅ = ∅.

8.4.2 Proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione e viceversa

a ) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C): proprietà distributiva dell’intersezione rispetto l’unione;b ) A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C): proprietà distributiva dell’unione rispetto l’intersezione.

Esempio 8.13. Siano X = {do, re, mi. fa, sol, la, si} e Y = {do, re, mi}. Allora poiché, Y ⊂ X, siha:W = X∩ Y = Y = {do, re, mi}.

Esempio 8.14. Siano D = {1, 3, 5} e P = {2, 4, 6} allora N = P ∩D = ∅.

D

P

D P1

3

5

0

4

2

1

3

5 0

4

2



8.4.3 Insieme differenza

Consideriamo gli insiemi A e B formati rispettivamente dalle lettere dell’alfabeto italianoe dalle consonanti dell’alfabeto italiano cioè: A ={a, b, c, d, e, f, g, h, i, l, m, n, o, p, q, r, s, t,u, v, z} e B ={b, c, d, f, g, h, l, m, n, p, q, r, s, t, v, z}, le lettere “a, e, i, o, u” che compaiononell’insieme Ama non in B formano un nuovo insieme chiamato insieme differenza.

Definizione 8.5. Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza l’insieme C, composto datutti gli elementi di A che non appartengono a B. In simboli: C = A− B che si legge “Adifferenza B”.

A B

A−B

Mediante proprietà caratteristica si scrive: C = A−B = {x/(x ∈ A) e (x /∈ B)}.

8.4.4 Proprietà della differenza tra insiemi

a ) Se A∩B = ∅, ossia sono disgiunti allora A−B = A, e B−A = B;b ) se B ⊂ A, ossia B è sottoinsieme proprio di A allora B−A = ∅;c ) A−A = ∅;d ) A− ∅ = A.

Esempio 8.15. Siano A = {8, 9, 10, 12, 13} e B = {9, 10, 11, 13} allora C = A − B = {8, 12}e D = B−A = {11}.

Poiché A−B 6= B−A nella differenza non vale la proprietà commutativa.

Esempio 8.16. Siano D = {1, 3, 5} e P = {0, 2, 4}. I due insiemi sono disgiunti P ∩D = ∅allora D− P = {1, 3, 5} = D e P−D = {0, 2, 4} = P.

A

B

A B

8

9

1213

10

10

9

1113

13

8

12 10

9 11

Sezione 8.5. Insieme complementare 155

Esempio 8.17. Siano X = {do, re, mi, fa, sol, la, si} e Y = {do, re, mi} allora poiché Y ⊂ X,W = X− Y = {fa, sol, la, si}.

X

Y

X

Y

do

re

mifa

sol

lasi

do

mi

re

do re

mi

fa

sol la

si


8.5 Insieme complementare

Sia W = {sabato, domenica} l’insieme dei giorni della settimana che non finiscono per“dì”. L’insieme W può essere considerato come sottoinsieme dell’insieme G formato da tutti igiorni della settimana G ={lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica}.L’insieme degli elementi di G che non appartengono aW forma un insieme che chiameremocomplementare diW rispetto aG. L’insiemeG invece si dice in questo caso insieme universo. Adesempio nella rappresentazione caratteristica A = {x ∈ N/x 6 100}, N è l’insieme universodi A.

Definizione 8.6. Dato un insieme A, uno dei possibili insiemi che contengono A comesottoinsieme si dice insieme universo o insieme ambiente.

Definizione 8.7. Dato l’insieme A e scelto U come suo insieme universo, l’insieme deglielementi di U che non appartengono ad A si dice insieme complementare di A rispetto a U. Insimboli: A oppure AU oppure {UA.

Il diagramma di Eulero-Venn dell’insiemecomplementare è:

U

A

Nella figura la parte in grigio è il complemen-tare di A rispetto a U, cioè AU. Come si puòvedere dal disegno, essendo A ⊆ U il comple-mentare coincide con la differenza tra insiemi:AU = U−A.

Esempio 8.18. Insiemi complementari.

a ) Il complementare dell’insieme D dei numeri dispari rispetto all’insieme N dei numerinaturali è l’insieme P dei numeri pari: DN = P;


b ) Il complementare dell’insieme V delle vocali dell’alfabeto italiano rispetto all’insieme Adelle lettere dell’alfabeto italiano è l’insieme C delle consonanti: VU = C;

c ) Dati gli insiemi U = {x ∈ N/1 6 x 6 10} e B = {x ∈ N/1 6 x 6 5}, poiché B ⊂ U si puòdeterminare BU = {x ∈ N/6 6 x 6 10}.�� b Esercizi proposti: 8.15, 8.16, 8.17

8.6 Leggi di De Morgan

Dati due insiemi A e B ci sono alcune proprietà, dette leggi di De Morgan che semplificanolo svolgimento di alcune operazioni:

a ) A∩B = A∪B: Prima legge di De Morgan;b ) A∪B = A∩B: Seconda legge di De Morgan.

Dimostriamo la prima legge di De Morgan utilizzando i diagrammi di Eulero-Venn.

= ∪ =A A A AB B B B

(A∩B) A B A∪B�� b Esercizio proposto: 8.18

8.7 Prodotto cartesiano fra insiemi

Supponiamo che la partita di calcio Lecce - Juventus sia terminata 3-2; in questo caso ilrisultato della partita non rappresenta un insieme di numeri dato che nella rappresentazionedi un insieme scrivere {3, 2} e {2, 3} è la stessa cosa. Infatti, se avessimo scritto 2-3 al postodi 3-2 la partita avrebbe avuto un esito differente. Ci troviamo nel caso di una coppia ordinatadi numeri.

Definizione 8.8. Un insieme di due elementi a e b presi in un certo ordine si dice coppiaordinata. Se il primo elemento della coppia è a ed il secondo è b si scrive: (a,b).

Definizione 8.9. Dati due insiemi A e B non vuoti, l’insieme formato da tutte le coppieordinate tali che il primo elemento appartiene ad A e il secondo a B, si chiama prodottocartesiano diA per B. In simboli:A×B che si legge “A per B” oppure “A prodotto cartesianocon B” o ancora “A cartesiano B”.

Mediante proprietà caratteristica si scrive: A× B = {(x;y)/x ∈ A e y ∈ B}. Nel caso incui B = A, il prodotto cartesiano diventa A×A = A2 = {(x;y)/x ∈ A e y ∈ A}.

Esempio 8.19. Sia C = {x,y, z}, il prodotto cartesiano C× C è dato dalle seguenti coppieordinate: C×C = {(x; x), (x;y), (x; z), (y; x), (y;y), (y; z), (z; x), (z;y), (z; z)}.

Sezione 8.7. Prodotto cartesiano fra insiemi 157

8.7.1 Proprietà del prodotto cartesiano tra insiemi

a ) A× ∅ = ∅;b ) ∅ ×A = ∅;c ) ∅ × ∅ = ∅.

Esempio 8.20. Sia A = {a,b} e B = {1, 2, 3}. Il prodotto cartesiano A×B è dato dalle seguenticoppie ordinate: A×B = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b; 3)}, mentre il prodotto cartesia-no B×A è dato dalle seguenti coppie ordinate: B×A = {(1;a), (2;a), (3;a), (1;b), (2;b), (3;b)}.

Si può notare che A×B 6= B×A.

Poiché A×B 6= B×A nel prodotto cartesiano non vale la proprietà commutativa.�� b Esercizi proposti: 8.19, 8.20, 8.21, 8.22, 8.23, 8.24

8.7.2 Rappresentazione del prodotto cartesiano tra insiemi

Tabulazione delle coppie ordinate Come fatto nei precedenti esempi, si combina il primoelemento di A con tutti gli elementi di B, il secondo elemento di A con tutti gli elementi di B ecosi via fino ad esaurire tutti gli elementi di A.

A×B = {(a; 1), (a; 2), (a; 3), (b; 1), (b; 2), (b; 3)}.

Diagramma a frecce Si rappresentano i due insiemi graficamente con i diagrammi diEulero-Venn e si tracciano degli archi orientati che escono dagli elementi del primo insiemee raggiungono gli elementi del secondo insieme formando coppie ordinate del prodottocartesiano.

A Ba

b

1

2

3

Tabella a doppia entrata Si costruisce una tabella nella quale si riportano gli elementi delprimo insieme sulla prima colonna e gli elementi del secondo insieme sulla prima riga. Lecaselle di incrocio rappresentano le coppie ordinate del prodotto cartesiano.

1 2 3

a (a; 1) (a; 2) (a; 3)

b (b; 1) (b; 2) (b; 3)

B

A


A

B

(a; 1)

(a; 2)

(a; 3)

(b; 1)

(b; 2)

(b; 3)

a b

1

2

3

Diagramma cartesiano Si tracciano due semiretteuna orizzontale e l’altra verticale, orientate, perpen-dicolari, con l’origine in comune. Si riportano gli ele-menti del primo insieme sulla semiretta orizzontalee quelli del secondo su quella verticale. Tali semirettevengono chiamate assi cartesiani. Si tracciano prima leparallele all’asse verticale dai punti sull’asse orizzon-tale che rappresentano gli elementi del primo insieme,poi le parallele all’asse orizzontale dai punti sull’as-se verticale; i punti di intersezione rappresentano lecoppie ordinate del prodotto cartesiano.

Diagramma ad albero È un grafico formato da un nodo iniziale dal quale si ripartono alcunirami che a loro volta possono ramificarsi e così via fino a che nello schema figurano tutte lepossibili situazioni.

Si può raggiungere un particolare nodo solo muovendosi lungo i rami ed il percorso checollega due nodi qualsiasi deve essere unico.

La rappresentazione mediante diagramma ad albero è vantaggiosa nel caso si voglia fare ilprodotto cartesiano tra più insiemi.

Nodo iniziale

a

1

2

3

b

1

2

3

A B

B

Esempio 8.21. Una compagnia aerea deve organizzare delle rotte aeree per collegare fraloro alcune città effettuando uno scalo in un’altra città. Sia P = {Brindisi, Bari, Palermo}l’insieme delle città di partenza, S = {Roma, Milano} l’insieme delle città di scalo e A =

{Parigi, Berlino, Londra} l’insieme delle città di arrivo. Per conoscere tutte le possibili rotte ae-ree dobbiamo determinare il prodotto cartesiano tra i 3 insiemi P×S×A. Rappresentiamo P×S×A tramite un diagramma ad albero:

Sezione 8.8. I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema 159

Brindisi

RomaBerlino

LondraParigi

Milano

Berlino

LondraParigi

Bari

RomaBerlino

LondraParigi

Milano

Berlino

LondraParigi

Palermo

RomaBerlino

LondraParigi

Milano

Berlino

LondraParigi

8.8 I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema

Alcune volte, trovandoci di fronte a un problema, possiamo rappresentare la situazione condiagrammi di Eulero-Venn, ciò agevola la comprensione e facilita la risoluzione del problema.Attraverso alcuni esempi mostreremo come usare la teoria degli insiemi per risolvere problemi.

Esempio 8.22. Nel seguente diagramma di Eulero-Venn, l’insieme A rappresenta un gruppodi amici appassionati di ballo; gli insiemi T , R, S rappresentano rispettivamente coloro cheballano il tango, la rumba, il samba; ogni puntino rappresenta uno degli amici.

Quanti sono gli amici appassionati diballo?

Quanti tra loro ballano

a ) nessuno dei balli indicati?b ) almeno uno dei balli tango, samba,

rumba?c ) almeno il samba?d ) solo la rumba?e ) la rumba e il tango?f ) tutti i balli indicati?

A

T R

S

Per rispondere alle domande dobbiamo contare gli elementi che formano determinatiinsiemi.


Quanti sono gli amici appassionati di ballo? Per rispondere a questa domanda, contiamotutti i puntini che compaiono nel disegno. Si ha cardA = 20.

Rispondiamo ora alle altre domande.

a) Quanti tra loro ballano nessuno dei balli indicati? Chi non balla nessuno dei balli indicatista nell’insieme A, ma in nessuno degli insiemi R, S,T quindi appartiene al complementaredi R∪ S∪ T rispetto all’insieme A, dunque card(R∪ S∪ T) = 6.

b) Quanti tra loro ballano almeno uno dei balli tra tango, samba, rumba? Chi balla almeno unodi quei balli è rappresentato dagli elementi dell’insieme R∪ S∪ T , quindi card(R∪ S∪ T) = 14.

c) Quanti tra loro ballano almeno il samba? Gli amici che ballano almeno il samba sononell’insieme S, quindi cardS = 6.

d) Quanti tra loro ballano solo la rumba? Nell’insieme R sono rappresentati gli amici cheballano almeno il rumba, quindi dobbiamo togliere dall’insieme R gli elementi che stanno in So in T : card(R− (T ∪ S)) = 4.

e) Quanti tra loro ballano la rumba e il tango? Quelli che ballano sia la rumba che il tangosono gli elementi dell’insieme intersezione R∩ T , quindi card(R∩ T) = 2.

f) Quanti tra loro ballano tutti i balli indicati? Quelli che ballano tutti e tre i balli indicatisono elementi dell’insieme intersezione R∩ S∩ T , quindi card(R∩ S∩ T) = 1.

Esempio 8.23. A settembre, per la festa delle contrade, a Lainate è arrivato un luna park doveoltre ad una grande giostra era stato allestito un tiro a segno con palline di gomma piuma,proprio per i bambini. Alcuni bambini, accompagnati dalla loro maestra si sono recati alluna park: 7 sono stati sulla giostra, 3 sono stati sia sulla giostra che al tiro a segno, 3 si sonodivertiti solamente col tiro a segno e altri 2 sono stati a guardare. Quanti bambini sono andatiquel giorno al luna park?

Per risolvere il problema rappresentiamocon diagrammi di Eulero-Venn la situazione;indichiamo con B l’insieme dei bambini re-catisi al luna park, con G l’insieme di quelliche sono stati sulla giostra e con T l’insiemedi quelli che hanno provato il tiro a segno.Dall’enunciato sappiamo che card(G) = 7,card(G∩ T) = 3, card(T −G) = 3 e card(B−

(G∪ T)) = 2.

B

G

T

Completa la rappresentazione segnando i bambini con dei puntini e rispondi al quesito.

Esempio 8.24. Alla palestra Anni Verdi, il giovedì, si tengono due allenamenti di pallavolo ecalcio dalle 17.00 alle 18.30. Frequentano il corso di pallavolo 15 persone e sono 28 quelli chefrequentano l’allenamento di calcio. Quante persone frequentano pallavolo o calcio in questoorario?

Sezione 8.8. I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema 161

Dati P = {iscritti a pallavolo}, C = {iscritti a calcio}, card(P) = 15, card(C) = 28.

Obiettivo Il problema chiede di determinare la cardinalità di P ∪C.

Soluzione Osserviamo che non ci sono persone che frequentano sia l’uno che l’altro sportessendo gli allenamenti nello stesso orario; gli insiemi P e C sono disgiunti: P ∩ C = ∅.Quindi: card(P ∪C) = card(P) + card(C) = 15 + 28 = 43.

Esempio 8.25. Alla palestra Anni Verdi, il lu-nedì si tengono allenamenti di pallavolo, dal-le 17.00 alle 18.30 e dalle 19.00 alle 20.30 gliallenamenti di calcio. Quelli che frequentanola pallavolo sono 15, quelli che frequentano ilcalcio sono 28, però ce ne sono 7 di loro chefanno entrambi gli allenamenti. Quanti sonogli sportivi che si allenano il lunedì?

P C

Dati P = {iscritti a pallavolo}, C = {iscritti a calcio}, card(P) = 15, card(C) = 28 e card(P ∩C) = 7.

Obiettivo Il problema chiede di determinare la cardinalità di P ∪C.

Soluzione card(P ∪C) = card(P) + card(C) − card(P ∩C) = 15 + 28 − 7 = 36.Generalizzando possiamo affermare che dati due insiemi finiti A e B la cardinalità del-

l’insieme A∪ B è data dalla seguente formula: card(A∪ B) = card(A) + card(B) − card(A∩B).

Esempio 8.26. A scuola si sono aperti i corsi di lingue. Della classe di Piero, che è compostada 28 ragazzi, 17 frequentano il corso di inglese, 12 quello di francese, 5 di loro frequentanosia il corso di inglese, sia quello di francese. Quanti sono i ragazzi della classe di Piero chenon frequentano alcun corso di lingue?

Rappresentiamo la situazione con un diagramma di Eulero-Venn.

L’insieme universo è costituito dai 28 ra-gazzi che compongono la classe. I ragaz-zi che frequentano almeno un corso non so-no 17 + 12 = 29, perché ce ne sono 5 che fre-quentano entrambi i corsi e vengono conteg-giati due volte. Quindi i ragazzi che frequen-tano almeno un corso sono 17 + 12 − 5 = 24.Di conseguenza quelli che non frequentanonessun corso sono 28 − 24 = 4.

classe 28

inglese francese

517

12

Esempio 8.27. Il professore di matematica di Piero è piuttosto severo; nella sua classe, di 28alunni, ha messo solo 6 sufficienze allo scritto e solo 8 all’orale. I ragazzi che sono risultatiinsufficienti sia allo scritto sia all’orale sono stati 18. Quanti sono i ragazzi che hanno avutouna votazione sufficiente sia allo scritto che all’orale?

Rappresentiamo la situazione con un diagramma di Eulero-Venn.


C è l’insieme degli alunni della classe diPiero, è costituito da 28 elementi. S è l’insiemedei ragazzi sufficienti allo scritto, è costituitoda 6 alunni. O è l’insieme dei ragazzi che sonosufficienti all’orale, è costituito da 8 elementi.

Gli elementi di S∪O sono 18, cioè i ragaz-zi che non sono sufficienti né allo scritto, néall’orale.

C 28

S O

186 8

L’insieme S∪O è quindi costituito da 28 − 18 = 10 elementi.Ricordiamo che

card(S∪O) = card(S) + card(O) − card(S∩O)⇒ card(S∩O) = card(S) + card(O) − card(S∪O)⇒ card(S∩O) = 6 + 8 − 10 = 4.

In conclusione i ragazzi sufficienti allo scritto e all’orale sono 4.�� b Esercizi proposti: 8.25, 8.26, 8.27, 8.28, 8.29, 8.30, 8.31, 8.32, 8.33, 8.34, 8.35, 8.36, 8.37�� 8.38


8.9 Esercizi


8.1 - Sottoinsieme

8.1. Siano T = {t/t un triangolo}, R = {r/r un rettangolo}, E = {e/e un triangolo equilatero}.Quale affermazione è vera?

a ) R ⊂ T ; b ) E ⊂ T ; c ) E ⊂ R; d ) T ⊂ E.

8.2 - Insieme delle parti

8.2. Se A = {x ∈N/1 6 x < 3}, allora ℘(A) ha:

A 2 elementi, B 3 elementi, C 4 elementi, D 8 elementi

8.3. Considera l’insieme B = {x ∈ N/1 < x < 5} e ℘(B). Quali delle seguenti affermazionisono vere o false?

a ) {1} ∈ ℘(B) V Fb ) ∅ ⊂ ℘(B) V Fc ) {2, 5} ∈ ℘(B) V Fd ) {∅} ∈ ℘(B) V F

e ) 0 ∈ ∅ V Ff ) ∅ ⊆ B V Fg ) {1, 2, 3} ∈ ℘(B) V Fh ) {1, 2, 3} /∈ ℘(B) V F

8.4. Scrivi l’insieme che ha come insieme delle parti {∅, {8, 10}, {8}, {10}}.

8.5. Dato H = {h/h è una lettera della parola “MAMMA”} scrivi tutti gli elementi di ℘(H).

8.6. Dato A = {x ∈N/n < 5 e n divisore di 12} scrivi tutti gli elementi di ℘(A).

8.3 - Insieme unione

8.7. Dati A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 3, 4, 5, 8} determina la loro unione dopo aver rappresentatogli insiemi mediante diagrammi di Eulero-Venn.

8.8. Dati gli insiemi L = {1, 2, 5, 6, 7, 8}, M = {4, 5, 6, 7, 10} e N = {2, 3, 5, 7, 9, 10} determinal’insieme unione completando prima la rappresentazione grafica poi quella tabulare.

L M

N


8.9. Dati gli insiemi C delle lettere della parola “GIARDINO” e D delle lettere della parola“ORA”, determina la loro unione aiutandoti con la rappresentazione grafica.

8.4 - Insieme intersezione

8.10. Dati A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 3, 4, 5, 8} determina la loro intersezione dopo aver rappre-sentato gli insiemi mediante diagrammi di Eulero-Venn.

8.11. Dati gli insiemiC delle lettere della parola “LIBRO” eD delle lettere della parola “PASTA”determina la loro intersezione aiutandoti con la rappresentazione grafica.

8.12. Considerando i 3 insiemi S = {a, b, c, e, f, s, t}, T = {a, c, g, h, l, s} e U = {b, c, d, g, s, t},determina l’insieme intersezione dando sia la rappresentazione grafica sia quella tabulare.

8.13. Determina l’intersezione tra i seguenti insiemi:

a ) A = {−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3}, B = {−2,−1, 0,+1,+2,+3,+4}; A∩B = . . .b ) A = {x ∈N/2 6 x 6 5}, B = {x ∈N/3 < x < 7}; B∩A = . . .c ) A = {x ∈ Z/− 5 6 x 6 +5}, B = {x ∈ Z/− 15 6 x < 3}; A∩B = . . .d ) A = {x ∈N/x > 100}, B = {x ∈N/10 < x < 20}; B∩A = . . .e ) A = {l lettera di “SATURNO”}, B = {l lettera di “NETTUNO”}; A∩B = . . .

8.5 - Insieme differenza

8.14. Dati gli insiemi E = {x/x è una lettera della parola “cartellone”} e F = {x/x è una letteradella parola “martello”}, determina E− F e F− E.

8.5 - Insieme complementare

8.15. Verifica, utilizzando la rappresentazione grafica, che

a ) AU ∪A = U; b ) (A−B)∪ (B−A)∪ (A∪B) = A∩B.

8.16. Dati E ed F sottoinsiemi di un insieme U, l’insieme definito da E∩ F è uguale a:

A E∪ F B E∪ F C E∩ F D E∪ F

8.17. Dati G ed H sottoinsiemi di un insieme U, l’insieme definito da G∪H è uguale a:

A G∩H B G∩H C G∩H D nessuno dei precedenti

8.6 - Leggi di De Morgan

8.18. Dimostra la seconda legge di De Morgan, annerendo gli spazi opportuni.

= ∩ =A A A AB B B B

(A∪B) A B A∩B


8.7 - Prodotto cartesiano fra insiemi

8.19. Sia E = {x ∈ N/1 6 x < 3}, F = {x/x è una vocale della parola “TELEFONO”}e G = {x ∈ N/x < −6}. Allora:

a ) E = {1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };b ) F = {e, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };c ) G = { . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };d ) E× F = {(1; e), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };e ) F× E = {(e; 1), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };f ) F×G = { . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };g ) G× E = { . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }.

8.20. Quanti sono gli elementi del prodotto cartesiano A×B, dove A ha 6 elementi, B ne ha 3:

A 9 B 18 C 6 D Non si può sapere.

8.21. Sapendo che E× F = {(x; x), (x;y), (x; z), (y; x), (y;y), (y; z)}, indica gli elementi di E edi F:

a ) E = { . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }; b ) F = { . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }.

8.22. Se A×B ha 5 elementi, da quanti elementi possono essere costituiti A e B?

A 1; 5 B 3; 2 C 6; 1 D 2; 3.

8.23. Dati gli insiemi A = {3, 5, 6} e B = {−2, 1} costruisci il diagramma cartesiano di A×B edelencane gli elementi.

8.24. Dato A = {0, 1, 2} calcola A×A.

8.8 - I diagrammi di Eulero-Venn come modello di un problema

8.25. La scuola “Step” organizza corsi di Salsa, Hip Hop e Break Dance.

a ) Gli iscritti ai corsi sono in tutto 98;b ) 6 frequentano tutti e tre i corsi;c ) 37 frequentano il corso di Salsa;d ) 15 solo i corsi di Salsa e di Hip Hop;e ) 7 solo i corsi Salsa e Break Dance;f ) 9 almeno Hip Hop e Break Dance;g ) 28 Salsa o Break Dance ma non Hip Hop.

Quanti praticano solo Hip Hop?Rappresentiamo la situazione con un diagramma di Eulero-Venn.


“Step” 98

S B

H

S è l’insieme degli iscritti al corso di Salsa, B l’insieme degli iscritti al corso di Break Dance, Hl’insieme degli iscritti al corso di Hip Hop.

8.26. Il club “Argento vivo” ha 2500 iscritti; nel mese di gennaio ha organizzato alcunemanifestazioni sportive alle quali hanno partecipato 850 degli iscritti e alcuni tornei di scacchiai quali hanno partecipato in 780. 320 iscritti al club hanno potuto partecipare, grazie allaperfetta organizzazione, sia alle manifestazioni sportive sia ai tornei di scacchi. Quanti socidel club non hanno partecipato a nessuna delle iniziative e quanti invece hanno partecipatoad almeno una?

8.27 (∗). In una scuola di musica si tengono 4 corsi di cui quello di pianoforte è obbligatorioper tutti i 100 studenti iscritti, mentre quelli di violino, flauto e chitarra sono facoltativi. Peressere ammessi agli esami di fine anno bisogna frequentare almeno un corso oltre a quello dipianoforte. Se gli alunni:

a ) che frequentano il corso di flauto sono 25 e non frequentano né quello di violino, néquello di chitarra;

b ) iscritti sia al corso di violino sia a quello di chitarra sono 20;c ) che frequentano il corso di violino sono 46;d ) che frequentano solo il corso di violino sono tanti quanti quelli che frequentano solo il

corso di chitarra.

Quanti alunni non possono sostenere l’esame finale? Quale dei seguenti diagrammi diVenn può essere preso come modello della situazione?

A B C


8.28 (∗). I componenti di una compagnia tea-trale sanno almeno cantare, ballare, recita-re. Al termine di una rappresentazione si sache 12 hanno almeno ballato, 8 hanno alme-no cantato e 16 hanno almeno recitato. Laversatilità dei componenti ha permesso che 5abbiano almeno ballato e cantato, 3 abbianoalmeno cantato e recitato, 8 abbiano ballatoe recitato, 2 ballerini hanno ballato, cantatoe recitato. Quanti sono i componenti dellacompagnia?

8.29 (∗). Da un’indagine condotta su consu-matori adulti è risultato che 605 bevono alme-no vino, 582 bevono almeno latte, 348 bevonoalmeno birra, 140 bevono almeno vino e bir-ra, 85 bevono almeno vino e latte, 56 bevonoalmeno latte e birra, 25 bevono tutte e tre lebevande mentre 71 non bevono alcuna dellebevande citate.

a ) Quante persone bevono una sola bevan-da?

b ) quante bevono almeno una bevanda?c ) quante sono le persone intervistate?

8.30 (∗). In una scuola di lingue sono iscrit-ti 164 studenti; 80 seguono il corso di france-se e 120 il corso di tedesco. Quanti studentiseguono entrambi i corsi? Quanti studentiseguono solo il corso di tedesco?

8.31. In un classe di 28 allievi, 18 frequenta-no il laboratorio di teatro, 22 il laboratoriodi fotografia, 3 non frequentano alcun labora-torio. Rappresenta la situazione con un dia-gramma di Eulero-Venn. Quanto allievi fre-quentano entrambi i laboratori? Quanti fre-quentano almeno un laboratorio? Quanti nonfrequentano il laboratorio di teatro?

8.32. In una pizzeria, domenica sera, eranopresenti 140 persone: 50 hanno mangiato piz-za e calzone, 20 hanno mangiato solo calzonee 15 non hanno mangiato né pizza né calzone.Il pizzaiolo si chiede se può conoscere in basealle precedenti informazioni, quante pizze hapreparato. Aiutalo a risolvere il suo problemaillustrando la situazione con un diagramma

di Venn, assegnando a ciascun insieme la suacardinalità.

8.33. In un paese di 3200 abitanti arrivano duequotidiani: il primo è letto da 850 persone, ilsecondo da 780. Poiché 320 persone leggo-no entrambi i quotidiani, quante persone nonleggono alcun quotidiano e quante almenouno?

8.34 (Test di ammissione a architettura 2008).Nella classe di Asdrubale ci sono 37 allievi.Tutti si sono iscritti ad almeno una delle dueattività extracurriculari (musica e pallavolo).Alla fine 15 fanno musica e 28 fanno pallavo-lo. Quanti allievi, frequentando entrambe leattività, hanno la necessità di programmaregli orari per evitare sovrapposizioni?

A 13 B 9 C 16 D 22 E 6

8.35 (Test di ammissione a medicina 2008). Inun’aula scolastica, durante la ricreazione, 14studenti stanno seduti, 8 mangiano la pizza.Con questi dati si può concludere con certezzache il numero totale N degli studenti è:

A N > 14 B N < 14 C N > 22D N = 22 E N > 14

8.36. In una scuola di 150 alunni ci sono 23studenti che frequentano il corso ECDL, 41studenti che frequentano solo il corso di In-glese, 3 studenti che frequentano tutti e duei corsi. Quanti sono gli studenti che frequen-tano solo il corso ECDL? Quanti studenti nonfrequentano nessuno dei due corsi?

8.37. In un giorno di vacanza, 20 alunni do-vrebbero studiare latino e matematica per re-cuperare le lacune: 8 non studiano latino, 10studiano matematica e 4 non studiano niente.Quanti alunni studiano entrambe le materie?

8.38. In una classe di 20 alunni si sta organiz-zando una gita scolastica. Durante l’assem-blea gli alunni raccolgono informazioni sullemete già visitate: 18 hanno visitato Venezia,14 Roma, 5 Firenze. Solo 3 hanno visitato tuttee tre le città, 5 hanno visitato Firenze e Vene-zia, 3 solo Venezia. Quanti hanno visitato solo


Firenze? Quanti hanno visitato Firenze e Ro-ma? Quanti non hanno visitato nessuna delle

tre città? Quanti non hanno visitato Roma?


8.39. Siano A = {x ∈N/1 6 x 6 15} e B = {x ∈N/2 6 x 6 20}.

NA

B

1 2 15 20

Quale delle seguenti affermazioni è vera:

A A ⊂ B B B ⊃ A C A = B D B 6⊂ A

8.40. Siano A = {x ∈ N/x è pari e (1 6 x 6 20)} e B = {x ∈ N/x è multiplo di 6 e (2 6x 6 18)}. Quale affermazione è vera?

A A ⊂ B B B ⊃ A C A = B D B ⊂ A

8.41. Siano A = {x ∈ N/3 6 x 6 10} e B = {x ∈ N/2 6 x 6 20}. Quali delle seguentiaffermazioni è vera:

A A ⊂ B B B ⊃ A C A = B D B 6⊂ A

8.42. Individua tutti i possibili sottoinsiemi propri formati da tre elementi dell’insieme C ={a,e, i, o, u}.

8.43. Sia A = {1, 2, 3, 4} scrivi i possibili sottoinsiemi propri e impropri di A.

8.44. Associa a ogni diagramma la corretta rappresentazione grafica. Attenzione ci può esserepiù di una risposta corretta.

a ) M ⊂ P A B C D Eb ) P ⊇M A B C D Ec ) M ⊆ (M∪ P) A B C D Ed ) M 6⊂ P A B C D Ee ) P ⊂ (P ∪M) A B C D Ef ) M 6= P A B C D E

M P

A

M P

B

M

P

C

P

M

D

M = P

E


8.45. Determina l’unione tra i seguenti insiemi.

a ) A = {−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3}, B = {−2,−1, 0,+1,+2,+3,+4}. A∪B = . . . . . . . . . . . . . . . ;b ) A = {x ∈N/2 6 x 6 5}, B = {x ∈N/3 < x < 7}. A∪B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;c ) A = {x ∈ Z/− 5 6 x 6 +5}, B = {x ∈ Z/− 15 6 x < 3}. A∪B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;d ) A = {x ∈N/x > 100}, B = {x ∈N/10 < x < 20}. A∪B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;e ) A = {l lettera di SATURNO}, B = {l lettera di NETTUNO}.A∪B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.46. SiaM3 l’insieme dei multipli 3 eM4 l’insieme dei multipli di 4, in generaleMn l’insiemedei multipli del numero n.

a ) CalcolaM3 ∩M4. Si tratta diM . . . l’insieme dei multipli di . . . ;b ) calcolaM6 ∩M4. Si tratta diM . . . l’insieme dei multipli di . . . ;c ) calcolaM60 ∩M48;d ) sai dedurre una regola che, dati due numeri naturali m e n calcoli Mm ∩Mn? Può

accadere che questo insieme sia vuoto?

8.47. SiaD4 l’insieme dei divisori di 4 eD6 l’insieme dei divisori di 6, in generaleDn l’insiemedei divisori del numero n.

a ) Calcola D4 ∩D6. Si tratta di D . . . l’insieme dei divisori di . . . ;b ) calcola D60 ∩D48;c ) sai dedurre una regola che, dati due numeri naturali m e n, calcoli Dm ∩Dn? Può

accadere che questo insieme sia vuoto? Qual è il numero minimo di elementi che puòcontenere?

8.48. A = {x/x ∈ Q, 0 < x <32} e B = {x/x ∈ Q, 1 < x < 6}, calcola A∩B = . . .

8.49. A = {x/x ∈ Q,−1 < x < 0} e B = {x/x ∈ Q,13< x < 6}, calcola A∩B = . . .

8.50. A = {x/x ∈ Q,−5 < x < 10} e B = {x/x ∈ Q,13< x < 6}, calcola A∩B = . . .

8.51. A = {x/x ∈ Q, 0 6 x < 10} e B = {x/x ∈ Q,13< x 6 6}, calcola A∩B = . . .

8.52. Dato l’insieme A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 32} e il suo sottoinsieme B dei multipli di 3,determina gli insiemi A−B e B−A.

8.53. Dato l’insieme X = {x ∈ N/10 6 x 6 100} e Y = {y ∈ N/10 < y < 100} determina X− Y

e Y −X.

8.54. Determina la differenza tra i seguenti insiemi:

a ) A = {−3,−2,−1, 0,+1,+2,+3}, B = {−2,−1, 0,+1,+2,+3,+4}. A−B = . . .;b ) A = {x ∈N/2 6 x 6 5}, B = {x ∈N/3 < x < 7}. B−A = . . .;c ) A = {x ∈ Z/− 5 6 x 6 +5}, B = {x ∈ Z/− 15 6 x < 3}. A−B = . . .;d ) A = {x ∈N/x > 100}, B = {x ∈N/10 < x < 20}. B−A = . . .;e ) A = {l lettera di SATURNO}, B = {l lettera di NETTUNO}. A−B = . . .

8.55. Dati gli insiemi C e D tali che C ⊂ D completa le seguenti relazioni aiutandoti con larappresentazione grafica


a ) D−C =

b ) D∩C =

c ) C∩D =

d ) C∪C =

e ) C−D =

f ) C∩C =

8.56. Quale delle seguenti scritture corrisponde a X∩ Y:

a ) X∪ Y b ) X∩ Y c ) X∪ Y d ) X∪ Y

8.57. Esegui le operazioni indicate A∪B, A∩B, A−B.

a ) A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 3, 6, 9}b ) A ={a,e,i,o,u} B ={a,b,c,d,e}c ) A = ∅ B = {0}d ) A = {x ∈N/x è pari} B = {x ∈N/x è dispari}e ) A = {x ∈N/x è multiplo di 2} B = {x ∈N/x è multiplo di 4}f ) A = {x ∈ Z/− 5 6 x 6 5} B = {x ∈ Z/− 2 6 x 6 8}g ) A = {x ∈N/x è lettera di casa} B = {x ∈N/x è lettera di caserma}

8.58. Dato A = {x ∈N/x è multiplo di 2} determina {NA.

8.59. Dato A = {I, II, III} e B = {a,b} determina A×B.

8.60. Dato B = {1, 2, 3} calcola (B∪B)∩B.

8.61. A ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, B ={3, 6, 9, 12, 15, 18}, C ={1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19} calcola A∩B, A∪C, (A∩B)∪C, B∩C, (A∪B)∩ (B∪C).

8.62. A = {x ∈ Z/− 5 6 x < 2}, B = {x ∈ N/− 3 < x 6 2} calcola A∪ B, A∩ B, B−A, {AB,A× (A∩B) e ℘(B−A).

8.63. Per ciascuna delle seguenti affermazioni false dai un controesempio.

a ) A∪B = A;b ) A∩B = ∅ ⇒ A = ∅;c ) se x è multiplo di 2 allora è anche multiplo di 4;d ) se cardA = 2 e cardB = 5 allora cardA∪B = 7;e ) se cardA = 2 e cardB = 5 allora cardA∩B = 2.

8.64. In base alla figura rispondi alle domande:

a ) L’insieme E ha 5 elementi V Fb ) 2 ∈ E V Fc ) 3 /∈ G V Fd ) F ⊂ G V Fe ) F ⊂ E V Ff ) ∅ ⊆ G V Fg ) card(E) = 8 V Fh ) 10 ∈ E V Fi ) F∩ E = F V Fj ) F∪G = E V F

k ) (E− F) −G = {1, 4} V F

E

FG

2

5

3

10

9

1

4

6


8.65. Dato l’insieme A = {0; 1; 5; 6; 9} stabilisci quali dei seguenti sono o no suoi sottoinsiemi,completando con gli opportuni simboli le scritture a fianco indicate.

a ) B = {1; 5; 6} B . . . . . . . . .Ab ) C = {0; 1; 3; 5} C . . . . . . . . .Ac ) D = {} D . . . . . . . . .A

d ) E = {0} E . . . . . . . . .Ae ) F = {5; 6; 7} F . . . . . . . . .Af ) G = {6; 0; 1; 5; 9} G . . . . . . . . .A

8.66. Siano dati i seguenti insiemi C = {x/x è una lettera della parola “REMARÈ’}, D = {x/x èuna lettera della parola “VOLARÈ’}, E = {x/x è una lettera della parola “AMARÈ’}, indicaquali delle seguenti relazioni sono vere:

A D ⊆ C B D 6⊂ E C C = E D E ⊇ C

8.67. Completa la seguente tabella:

Simbologia Significato

A = {a,b, c,d} A è formato dagli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a,b, c,d.a ∈ A L’elemento a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . all’insieme A.

. . . . . . . . . . . . . . L’elemento f non appartiene all’insieme A.B ⊂ A L’insieme B è . . . . . . nell’insieme A, ovvero B è un . . . . . . di A.

. . . . . . . . . . . . . . L’insieme vuoto è un sottoinsieme di A.

. . . . . . . . . . . . . . L’insieme C è l’unione degli insiemi A e B.D = A∩B L’insieme D è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .degli insiemi A e B.A∩ F = ∅ A e F sono insiemi . . . . . . . . . . . . cioè non hanno . . . . . . . . . . . .L = {AB L’insieme L è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . L’insiemeM è la differenza tra A e B.

8.68. Rappresenta graficamente l’insieme A = {x ∈ N/x 6 25 e x è pari} e B = {x ∈N/x 6 27 e x è multiplo di 4} e stabilisci se A ⊇ B.

8.69. Verifica usando i diagrammi di Eulero-Venn che se A ⊂ B e B ⊂ C allora A ⊂ C. Lerelazioni valgono anche se il simbolo ⊂ viene sostituito con ⊆?

8.70. Dato A = {do, re, mi} determina l’insieme delle parti ℘(A).

8.71. Considerato l’insieme X = {a, c,d, t,o} stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere ofalse.

a ) {x/x è una vocale della parola “CAROTA”} ⊂ X V Fb ) {a, t} 6⊂ ℘(X) V Fc ) {a, t} ∈ ℘(X) V Fd ) 0 ∈ X V Fe ) ∅ ∈ ℘(X) V Ff ) X ∈ ℘(X) V F


8.72. Se U è l’insieme universo degli italiani, D l’insieme delle donne italiane, L l’insiemedegli italiani laureati, S l’insieme degli italiani sposati, cosa rappresentano i seguenti insiemi?

a ) D;b ) L∩D;

c ) L∪D∪ S;d ) L− S;

e ) L∩ S;f ) L∩D∩ S.

8.73. Quanti elementi ha ℘(H) sapendo che H ha 7 elementi?

A 49 B 64 C 128 D 7 E 14

8.74. Scrivi l’insieme che ha per insieme delle parti: {∅, {Mauro}, {Mario}{Mauro, Mario}}.

8.75. Se A∪B = B cosa puoi dire di A e B?

A B ⊆ A B A /∈ B C A ⊆ B D A ⊂ B E A∩B = ∅

8.76. Dati gli insiemi A = {10, 20, 30, 40, 50}, B = {20, 30, 50}, determina un insieme C tale che:

a ) B∪C = A; b ) A∩C = B; c ) C∪C = B; d ) C∩C = A.

8.77. Dati gli insiemi A = {x ∈ N/x 6 10 e x pari}, B = {x ∈ N/x 6 20 e x divisibile per 4},C = {1, 2} determina (A∩B)xC.

8.78. Dimostra la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto l’unione annerendo gli spaziopportuni.

= ∪ =

X∩ (Y ∪Z) X∩ Y X∩Z (X∩ Y)∪ (X∩Z)

8.79. Se E− F = E cosa puoi dire di E e F?

A E∪ F = E B E = F C E ⊆ F D F ⊂ E E E∩ F = ∅

8.80. Dimostra la proprietà distributiva dell’unione rispetto l’intersezione annerendo gli spaziopportuni e inserendo le formule opportune.

= ∩ =

. . . . . . . . . . . .


8.81. Dati i seguenti insiemiA = {x ∈ N/x 6 25}, B = {x ∈ N/4 < x 6 9}, C = {x ∈ N/x < 25}e D = {x ∈ N/x > 7}. Scegli fra i seguenti i loro complementari.

a ) E = {x ∈ N/x > 25};b ) F = {x ∈ N/x 6 6};c ) G = {x ∈ N/x > 25};d ) H = {x ∈ N/x < 7};

e ) I = {x ∈ N/x < 4 e x > 8};f ) L = {x ∈ N/x < 4 o x > 10};g ) M = {x ∈ N/x 6 4 e x > 9}.

8.82. Quali dei seguenti sono sottoinsiemi dei numeri pari? L’insieme dei

A multipli di 4 B multipli di 3 C multipli di 6 D numeri primi

8.83 (∗). In una classe di 30 allievi 16 hanno debito in matematica, 20 in italiano, 10 non hannoavuto nessun debito. Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn.

a ) quanti allievi hanno debito in entrambe le materie;b ) quanti allievi hanno almeno un debito;c ) quanti allievi non hanno debito in italiano;d ) quanti allievi non hanno debito in matematica.

8.84. Quali dei seguenti insiemi possono essere sottoinsiemi dell’insieme dei quadrilateri?L’insieme dei:

a ) quadrati;b ) rombi;c ) trapezi;

d ) triangoli equilateri;e ) poligoni;f ) cerchi;

g ) parallelogrammi.

8.85. Dati gli insiemi A = {x/x ∈ N, x < 10}, B = {x/x ∈ N, 5 < x 6 16}, C = {x/x ∈N, x > 7} determina:

a ) A∪B∪C; b ) A∩B∩C; c ) (A∪B)∩C; d ) (B∩C)∪A.

8.86. Dato A = {x/x è un numero naturale, x è pari e x > 12} determina l’insieme comple-mentare di A.

8.87. Quanti sono i sottoinsiemi dell’insieme che contiene come elemento l’insieme vuoto?

8.88. A = {x/x è divisore di 12}, B = {x/x è divisore di 6}, C = {x/x è divisore di 15}, determi-na:

a ) A∪B;b ) A∪C;

c ) A∪B∪C;d ) A∩B;

e ) B∩C;f ) A∩C;

g ) A∩B∩C;h ) A∩ (B∪C).

8.89. Dato l’insieme U = {x/x = 2n+ 1,n ∈N, 0 6 n 6 5}:

a ) rappresenta U in forma tabulare;b ) costruisci due sottoinsiemi propri A e B di U tali che A∩B = ∅;c ) determina A ∪ B e A − B, dai il risultato con rappresentazione tabulare e mediante

diagrammi di Eulero-Venn.


8.90. In base agli insiemi rappresentati con il diagramma di Eulero-Venn determina gli insiemirichiesti:

a ) A∪B;b ) A∪B∪C;c ) A∩B;d ) B∩C;e ) A∩B∩C;f ) A∩ (B∪C);g ) A∪ (B∩C);h ) B∩C;i ) (A∪B) −C;j ) B∩C

k ) C− (A∩B);l ) (A∪B) −C.

U

A B

C

b d e f

c g h i j

a o p n m

8.91. Determina l’insieme ℘(A), insieme delle parti di A, dove A è l’insieme delle lettere dellaparola “NONNA”.

8.92. Nel seguente diagramma di Eulero-Venn gli insiemi r, s, t sono rette, gli elementi A,B, C, D sono punti. Dai una rappresentazione geometria, rappresentando le rette e checorrispondono alla seguente situazione.

rs

t

u

A

B

C

D

8.9.3 Risposte

8.27. 3; A

8.28. 22.

8.29. a) 1048, b) 1279, c) 1350.

8.30. 36; 84.

8.84. a) 16, b) 20, c) 10, d) 14.

Calcolo Letterale III

“Ernest!”Foto di Ssmallfry

http://www.flickr.com/photos/ssmallfry/2262374892/Licenza: Attribuzione 2.0 Generico (CC BY 2.0)

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Espressioni letterali e valori numerici 99.1 Lettere

9.1.1 Lettere per esprimere formule

Esempio 9.1. In tutte le villette a schiera di recente costruzione del nuovo quartiere Stella, viè un terreno rettangolare di larghezza 12 m e lunghezza 25 m. Quanto misura la superficie delterreno?

25 m

12 m

Il prodotto delle dimensioni rappresenta la misura richiesta: S = (25 · 12)m2 = 300m2.

Il semplice problema che abbiamo risolto è relativo ad un caso particolare; quel terrenocon quelle dimensioni. Ma se le dimensioni fossero diverse?

La procedura per determinare la misura della superficie ovviamente è sempre la stessa e lapossiamo esprimere con la formula A = b · h nella quale abbiamo indicato con b la misura diuna dimensione e con h la misura dell’altra dimensione, assegnate rispetto alla stessa unità dimisura.

q Osservazione La formula ha carattere generale; essa serve ogni qualvolta si chiede dideterminare la superficie di un rettangolo, note le misure delle dimensioni (base e altezza)rispetto alla stessa unità di misura.

In geometria si utilizzano tantissime formule che ci permettono di determinare perimetro earea delle figure piane, superficie laterale e totale e volume dei solidi. Nelle formule le letteresostituiscono le misure di determinate grandezze, tipiche di quella figura o di quel solido.�� b Esercizio proposto: 9.1

9.1.2 Lettere per descrivere schemi di calcolo

Esempio 9.2. L’insegnante chiede agli alunni di scrivere «il doppio della somma di duenumeri».

á Antonella scrive: 2 · (3 + 78);á Maria chiede «Quali sono i numeri? Se non li conosco non posso soddisfare la richiesta»;á Giulia scrive: 2 · (a+ b).

177

178 Capitolo 9. Espressioni letterali e valori numerici

Maria si è posta il problema ma non ha saputo generalizzare la richiesta. Antonella si èlimitata ad un caso particolare. Giulia ha espresso con una formula l’operazione richiestadall’insegnante.

q Osservazione L’uso di lettere dell’alfabeto per indicare numeri ci permette di generalizza-re uno schema di calcolo.

Definizione 9.1. Un’espressione letterale o espressione algebrica è uno schema di calcolo in cuicompaiono numeri e lettere legati dai simboli delle operazioni.

Per scrivere un’espressione letterale ci si deve attenere a regole precise, quelle stesse cheutilizziamo per scrivere espressioni numeriche.

Per esempio, la scrittura “3 · 4+” non è corretta, in quanto il simbolo “+” dell’addizionedeve essere seguito da un altro numero per completare l’operazione. Analogamente non ècorretta l’espressione letterale “a · c+”.

Come nelle espressioni numeriche, anche nelle espressioni letterali le parentesi indicano lapriorità di alcune operazioni rispetto ad altre. La formula a · (x+ y) specifica “il prodotto diun numero per la somma di due altri”. Essa è diversa da a · x+ y che rappresenta “la sommadel prodotto di due numeri con un terzo numero”.�� b Esercizi proposti: 9.2, 9.3, 9.4

9.1.3 Lettere per esprimere proprietà

Le proprietà delle operazioni tra numeri si esprimono con lettere per indicare che valgonoper numeri qualsiasi. La scrittura “(a+b)+ c = a+(b+ c)” per esempio esprime la proprietàassociativa dell’addizione. In essa le lettere a, b, c indicano numeri qualsiasi. I due schemi dicalcolo ci dicono che per sommare tre numeri è indifferente aggiungere alla somma dei primidue il terzo oppure aggiungere al primo la somma degli altri due.�� b Esercizi proposti: 9.5, 9.6, 9.7, 9.8, 9.9, 9.10, 9.11, 9.12

9.2 Il valore numerico di un’espressione letterale

Ogni espressione letterale rappresenta uno schema di calcolo in cui le lettere che vi compa-iono sostituiscono numeri. L’espressione letterale 2 · x2 + x traduce una catena di istruzioni chein linguaggio naturale sono così descritte: “prendi un numero; fanne il quadrato; raddoppiaquanto ottenuto; aggiungi al risultato il numero preso inizialmente”.

Questa catena di istruzioni si può anche rappresentare in modo schematico

x→ x2 → 2 · x2 → 2 · x2 + x

e può essere usata per istruire un esecutore a “calcolare” l’espressione letterale quando alposto della lettera x si sostituisce un numero.

Calcoliamo il valore dell’espressione 2 · x2 + x, sostituendo alla lettera il numero naturale 5.Seguiamo la schematizzazione x→ x2 → 2 · x2 → 2 · x2 + x e otteniamo: 5→ 25→ 50→ 55.Il risultato è 55. Più brevemente scriviamo 5 nell’espressione letterale al posto di x: otteniamol’espressione numerica 2 · 52 + 5 il cui risultato è 55.

Sezione 9.3. Condizione di esistenza di un’espressione letterale 179

E se al posto di x sostituiamo −5? Cambia il risultato?Eseguiamo la sostituzione: 2 · (−5)2 + (−5) = . . . Lasciamo a te il calcolo finale. Ti sarai

accorto che il risultato è cambiato.

Definizione 9.2. In un’espressione letterale le lettere rappresentano le variabili che assu-mono un preciso significato quando vengono sostituite da numeri. Chiamiamo valore diun’espressione letterale il risultato numerico che si ottiene eseguendo le operazioni indicatedallo schema di calcolo quando alle lettere sostituiamo un numero. Il valore dell’espressioneletterale dipende dal valore assegnato alle sue variabili.

Esempio 9.3. Calcolare il valore numerico della seguente espressione: 3a(a− b) per a = 1,b = 1.

Svolgimento: 3 · 1 · (1 − 1) = 3 · 1 · 0 = 0.�� b Esercizi proposti: 9.13, 9.14, 9.15, 9.16, 9.17, 9.18, 9.19, 9.20, 9.21, 9.22, 9.23, 9.24

9.3 Condizione di esistenza di un’espressione letterale

Ti proponiamo adesso alcuni casi particolari per l’espressione E =x− y

3 · x.

Caso I

x y E

1 1 0

Il numeratore della frazione è 0, mentre il denominatore vale 3; il calcolo finale è dun-que 0

3 = 0. Vi sono secondo te altre coppie che fanno assumere ad E quello stesso valore?

Caso II

x y E

0 25 ?

Invece di mettere un valore ad E, abbiamo messo punto di domanda perché in questocaso il numeratore della frazione è −25 mentre il denominatore vale 0; il calcolo finale èdunque − 25

0 , impossibile. Vi sono secondo te altre coppie che rendono impossibile il calcolodel valore per E?

Non possiamo allora concludere che per ogni coppia di numeri razionali (x,y) l’espressio-ne E assume un numero razionale. Per poter calcolare il valore di E non possiamo sceglierecoppie aventi x uguale a zero. Scriveremo quindi come premessa alla ricerca dei valori di E laCondizione di Esistenza (C.E.) x 6= 0.

L’esempio appena svolto ci fa capire che di fronte a un’espressione letterale dobbiamoriflettere sullo schema di calcolo che essa rappresenta prima di assegnare valori alle variabiliche vi compaiono.


Se l’espressione letterale presenta una divisione in cui il divisore contiene variabili, dobbia-mo stabilire la C.E., eliminando quei valori che rendono nullo il divisore. Per comprendere lanecessità di porre le condizioni d’esistenza ricordiamo la definizione di divisione.

Quanto fa 15 diviso 5? Perché? In forma matematica: 15 : 5 = 3 perché 3 · 5 = 15. Quindi,generalizzando a : b = c se c · b = a.

Vediamo ora cosa succede quando uno dei numeri è 0:

á quanto fa 0:5? Devo cercare un numero che moltiplicato per 5 mi dia 0: trovo solo 0;infatti 0 · 5 = 0.

á quanto fa 15:0? Devo cercare un numero che moltiplicato per 0 mi dia 15: non lo trovo;infatti nessun numero moltiplicato per 0 fa 15. Quindi, 15 : 0 è impossibile perché nonesiste x per il quale x · 0 = 15.

á quanto fa 0:0? Devo cercare un numero che moltiplicato per 0 mi dia 0: non ne trovo solouno. Infatti, qualunque numero moltiplicato per 0 fa 0. Per esempio, 0 : 0 = 33; infatti33 · 0 = 0. Anche 0 : 0 = −189, 6; infatti −189, 6 · 0 = 0. Anche 0 : 0 = 0; infatti 0 · 0 = 0.Ancora 0 : 0 = 1099 infatti 1099 · 0 = 0. Quindi 0 : 0 è indeterminato, perché non èpossibile determinare un x tale che x · 0 = 0, per qualunque valore di x si ha x · 0 = 0.

Consideriamo l’espressione letterale E = a−ba+b dove a e b rappresentano numeri razionali.

Premettiamo:

a ) la descrizione a parole dello schema di calcolo: “divisione tra la differenza di due numerie la loro somma”;

b ) la domanda che riguarda il denominatore: “quando sommando due numeri razionaliotteniamo 0 al denominatore?”;

c ) la C.E.: “a e b non devono essere numeri opposti”.

Siamo ora in grado di completare la tabella:

a 3 0 34 − 5

8 − 192

b −3 − 12 0 5

8 − 192

E = a−ba+b

Dalla C.E., ci accorgiamo subito che la prima coppia e la quarta sono formate da numeriopposti, pertanto non possiamo con esse calcolare il valore di E. L’ultima coppia è formata danumeri uguali pertanto la loro differenza è 0; il numeratore si annulla e quindi il valore di Eè 0. Per la coppia

(0,− 1

2)

il valore di E è −1 mentre è 1 per la coppia( 3

4 , 0). La tabella verrà

quindi così completata:

a 3 0 34 − 5

8 − 192

b −3 − 12 0 5

8 − 192

E impossibile −1 1 impossibile 0

Cosa succede per la coppia (0,0)?�� b Esercizi proposti: 9.25, 9.26, 9.27, 9.28, 9.29, 9.30, 9.31, 9.32


9.4 Esercizi


9.1 - Espressioni letterali e valori numerici

9.1. Esprimi con una formula l’area della su-perficie della zona colorata, ù indicando con lla misura del lato AB e con b la misura di AC.

Svolgimento: l’area del quadrato è . . . . . . ,l’area di ciascuno dei quadratini bianchi è. . . . . . . Pertanto l’area della superficie in grigioè . . . . . .

9.2. Scrivi l’espressione algebrica letterale re-lativa alla frase “eleva al quadrato la differen-za tra il cubo di un numero e il doppio del suoquadrato”.

Svolgimento: detto a il numero generico, ilcubo di a si indica con . . . , il doppio quadratodi a si indica con . . . e infine il quadrato delladifferenza sarà: . . .

9.3. Traduci in parole della lingua italiana ilseguente schema di calcolo: (a− b)3

Svolgimento: “Eleva al . . . . . . la differenzatra . . . . . . ”

9.4. Individua tra le espressioni letteralisottostanti, quelle scritte correttamente:

a ) b · 45 +

(3 − 7

2)· a− a;

b ) a ·+2 − b4;

c ) x · (a− b)2 + (x− 3);

d ) xy − a : 2;

e ) −a+ 4b+ c;

f ) a·12 − a

2 .

9.5. Collega con una freccia la proprietà dell’operazione con la sua scrittura attraverso lettere:

Commutativa dell’addizioneAssociativa della moltiplicazioneDistributiva prodotto rispetto alla somma

a · (x+ y) = a · x+ a · y(a · b) · c = a · (b · c)a+ b = b+ a

9.6. Esprimere con le lettere la proprietà commutativa della moltiplicazioneSvolgimento: “considerati a e b due numeri qualsiasi, la proprietà commutativa si esprime

per mezzo dell’espressione . . . . . . ; cioè . . . . . . . . . ”

A

B

C

FIGURA 9.1: Esercizio 9.1

a

b

c

FIGURA 9.2: Esercizio 9.10


9.7. Scrivi la formula che ci permette di calco-lare l’area di un trapezio avente base mag-giore B = 5 cm, base minore b = 2 cme altezza h = 4 cm. Determina l’altez-za h relativa all’ipotenusa BC del triangolorettangolo ABC.

9.8. Scrivi la formula che ci consente dicalcolare il perimetro di un quadrato dimisura l.

9.9. Determina l’altezza h relativa all’ipotenu-sa BC del triangolo rettangolo ABC.

Caso numerico: AB = 8 m, AC = 15 m.Caso generale: Indica con x e y le misure

dei cateti, e determina la formula per calcolarela misura di hi.

9.10. Il volume della scatola (figura 9.2)avente le dimensioni di 7 cm, 10 cm, 2 cm è . . .

Generalizza la questione indicando con a,b, c la misura delle sue dimensioni . . . . . .

Se raddoppiamo ciascuna dimensioneallora il volume diventa

a ) 2 · a · b · c;b ) a2 · b2 · c2;c ) 6 · a · b · c;d ) 8 · a · b · c.

9.11 (∗). Scrivi sotto forma di espressioniletterali le seguenti frasi:

a ) moltiplica a per l’inverso di a;b ) sottrai ad a l’inverso di b;c ) sottrai il doppio di a al cubo di a.

9.12. Scrivi sotto forma di espressioni letteralile seguenti frasi:

a ) moltiplica a per l’opposto del cubo di a:b ) somma al triplo di a il doppio quadrato

di b;c ) moltiplica l’inverso di b per il quadrato

dell’inverso di a;d ) somma al cubo di a il quadrato della

somma di a e b;e ) dividi il quadrato di a per il triplo cubo

di b;f ) moltiplica il quadrato di b per l’inverso

del cubo di a;g ) il cubo di un numero, aumentato di 2, è

uguale al quadrato della differenza tralo stesso numero e uno;

h ) il reciproco della somma dei quadratidi a e di b;

i ) il cubo della differenza tra 1 e il cubodi a;

j ) la somma dei quadrati di a e di b per ilquadrato della differenza tra a e b.

9.2 - Il valore numerico di un’espressione letterale

9.13. Consideriamo l’espressione letterale E = −3 · a+ 2 · (−a+ 1).Osserviamo che vi compare una sola variabile, la lettera a; supponiamo che E rappresenti

uno schema di calcolo tra numeri interi relativi. Determiniamo il valore dell’espressione peralcuni valori della variabile:

a = −2→ E = −3 · (−2) + 2 · (−(−2) + 1) = 6 + 2 · (2 + 1) = 6 + 6 = 12

a = +1→ E = −3 · (1) + 2 · (−(1) + 1) = −3 + 2 · (−1 + 1) = −3 + 0 = −3

a = −1 → E = −3 · (. . .) + 2 · (. . . + 1) = . . . . . . . . .

Completa la seguente tabella.

a −2 1 −1 0, 145

−75

−11 0

E = −3a+ 2(−a+ 1) 12 −3


9.14 (∗). Calcola il valore dell’espressione letterale E = 37 · a · b−

12 · (a− b) + a− b le cui

variabili a, b rappresentano numeri razionali, per i valori assegnati nella tabella sottostante.Svolgimento: se vogliamo calcolare il valore dell’espressione letterale dobbiamo scegliere

due numeri razionali, uno da assegnare alla variabile a, l’altro alla variabile b.

a 3 0 2 −32

b −3 −12

0 −32

E =37ab−

12(a− b) + a− b

9.15. Calcolare il valore numerico dell’espressione:a

a− 3+

b

3 − bper a = −1, b = 0.

Svolgimento:−1

−1 − 3+

03 − 0

= . . . . . .

9.16. Calcola il valore dell’espressione E =x− y

3xcostruita con le variabili x e y che rappre-

sentano numeri razionali. L’espressione letterale assegnata traduce il seguente schema dicalcolo:”la divisione tra la differenza di due numeri e il triplo del primo numero”. Completala seguente tabella:

x34

193

34

−4 . . . . . .

y −12

0 0 −2 . . . . . .

E =x− y

3xTi sarai accorto che in alcune caselle compare lo stesso valore per E: perché secondo te

succede questo fatto?Vi sono, secondo te, altre coppie che fanno assumere ad E quello stesso valore?

9.17 (∗). Scrivi con una frase le seguenti espressioni

a ) 3a; b )2a3b2 .

9.18. Scrivi con una frase le seguenti espressioni

a ) 2b− 5a; b ) a1a

; c ) (a+ b)2; d )3x+ y

2x2 .


9.19. Completa la tabella sostituendo nella espressione della prima colonna i valori indicati.

Espressione x = 1 x = −1 x = 0 x = 2 x =12

x = −12

x = 0, 1 x =1

102x+ 1−(3x− 2)x2 + 2x+ 2x2 − x

−x2 + x− 1x3 − 1x3 + 3x2

−x3 + x2 − x

−(x+ 1)2

x+ 11 − x

9.20. Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

a ) 3x2 −14x2 per x =

12

Svolgimento: 3 ·(

12

)2−

14·(

12

)2= . . . . . . . . . =

1116

;

b ) 5a2b per a = −12

, b =35

Svolgimento: 5 ·(−

12

)2·(

35

)= . . . . . . . . . . . .;

c )32· a2 +

12a− 1 per a = 0, per a = −1 e a = 2;

d ) 2 · x5 − 8 · x4 + 3 · x3 + 2 · x2 − 7 · x+ 8 per x = +1 e x = −1.

9.21. Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

a ) (x− 1) · (x− 2) · (x+ 3) per x = 0, x = −1 e x = 2;

b ) x2 + 2x+ 1 per x = 0, x = −1 e x = 1;

c ) −a2 · b · c3 per a = 1, b = −1, c = −2 e a = −1, b =9

16, c =

43

;

d ) −32a+ 2b2 + 11 per a = −20, b = −

12

e a =23

, b = 0;

e ) −a2 +1a− 3 · a3 per a =

13

, a = −1 e a = +1.

9.22 (∗). Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni algebriche:

a ) 4a+ a3 per a = 2 e a = 1;

b ) 2a+ 5a2 per a = −1 e a = 0;

c ) 3x+ 2y2(xy) per x = 1, y = −12

e x =13

, y = −1;

d ) a2 − b−1 + ab per a = 1, b =12

e a = 0, b = −1;

e ) 3a2b− 7ab+ a per a = 1, b = 3 e a = −1, b = −3.



a ) 3xy− 2x2 + 3y2 per x =12

, y = 2 e x = 2, y =12

;

b )23a(a2 − b2) per a = −3, b = −1 e a =

13

, b = 0;

c )xy

x+ 3xy3 per x = 2, y = −1 e x = −2, y = +1;

d )12(a+ b)2

a2b2 + 2a+ 3b per a =14

, b = −2 e a =12

,b = −12

;

e ) 3x3 + 2xy(x2

y

)+ 2y2 per x = −2, y =

34

e x = −1, y = −1.


a )4a− 7b

(2a+ 3b)3 · ab3 per a = −

12

, b = 1 e a = −14

, b =23

;

b )4x2 − 5xy+ 3y

6x+ y2 per x = −1, y = 2 e x = 0, y = −2;

c )x

x+ 3+ y2 −

xy− 3x+ y(xy)2 per x = 3, y =

13

e x = 1, y = −1;

d )(4a− 2b) · 2a2

3b3 · 34ab+ a3 per a = 1, b = −1 e a = 0, b = −3.

9.3 - Condizione di esistenza di un’espressione letterale

9.25. Se E = −x− 2

2x2 completa la tabella:

x 2 034

−58

E

9.26. Calcola il valore numerico dell’espressione:3x− 1x

per x = 0.Svolgimento: Sostituendo alla x il valore assegnato si ha una divisione per . . . e quindi . . .

9.27 (∗). Sostituendo alle lettere i numeri, a fianco indicati, stabilisci se le seguenti espressionihanno significato:

a )x+ 3x

per x = 0. Sì No

b )x2 + y

xper x = 3,y = 0. Sì No

c )(a+ b)2

(a− b)2 per a = 1,b = 1 Sì No

d )5x2 + 3y− xy

(x2 + y)3 per x = 2,y = −2 Sì No

e )a3 + b+ 6a2

a2 + b2 + 3ab− 3a2 per a = 1,b =43

Sì No


9.28. Sostituendo alle lettere numeri razionali arbitrari, determina se le seguenti uguaglianzetra formule sono vere o false

a ) a2 + b2 = (a+ b)2 V Fb ) (a− b) · (a2 + a · b+ b2) = a3 − b3 V Fc ) (5a− 3b) · (a+ b) = 5a2 + ab− 3b2 V F

9.29. Se n è un qualunque numero naturale, l’espressione 2 ·n+ 1 dà origine:

A ad un numero primoB ad un numero dispari

C ad un quadrato perfettoD ad un numero divisibile per 3

9.30. Quale formula rappresenta un multiplo di 5, qualunque sia il numero naturale attribuitoad n?

A 5 +n B n5 C 5 ·n Dn

5

9.31. La tabella mostra i valori assunti da y al variare di x. Quale delle seguenti è la relazionetra x e y?

x 1 2 3 4y 0 3 8 15

A y = x+ 1 B y = x2 − 1 C y = 2x− 1 D y = 2x2 − 1

9.32. Verifica che sommando tre numeri dispari consecutivi si ottiene un multiplo di 3. Utilizzaterne di numeri dispari che compinciano per 3; 7; 11; 15; 21. Per esempio 3 + 5 + 7 = . . .multiplo di? Vero. Continua tu.

9.4.2 Risposte

9.11. a) a · 1a , b) a− 1

b , c) a3 − 2a.

9.14. a = 3; b = −3 → − 67 , a = 0;

b = − 12 →

14 , a = − 3

2 ; b = − 32 → − 27

28 .

9.17. a) Il triplo di a, b) Dividi il doppiodi a per il triplo del quadrato di b.

9.22. a) a = 2 → 16; a = 1 → 5,b) a = −1 → 3; a = 0 → 0, c) x = 1;y = − 1

2 →114 , d) a = 1; b = 1

2 → − 12 ,

e) a = 1; b = 3→ −11.

9.23. a) x = 12 ; y = 2→ 29

2 , b) a = −3; b =

−1→ −16, c) x = 2,y = −1→ −7, d) a = 14 ;

b = −2→ 58 , e) x = −2; y = 3

4 → − 3118 ,

9.24. a) a = − 12 ; b = 1 → 9

16 , b) x = −1;y = 2 → −10, c) x = 3; y = 1

3 →14918 ,

d) a = 1; b = −1→ 4.

9.27. Non ha significato perché 40 non è un

numero.

Monomi 1010.1 L’insieme dei monomi

D’ora in poi quando scriveremo un’espressione letterale in cui compare l’operazione dimoltiplicazione, tralasceremo il puntino fin qui usato per evidenziare l’operazione. Cosìl’espressione 5 · a2 + 3

8 · a · b− 7 · b2 verrà scritta in modo più compatto 5a2 + 38ab− 7b2.

Definizione 10.1. Una espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla solamoltiplicazione si chiama monomio.

Esempio 10.1. L’espressione nelle due variabili a e b, E = 5 · 2a2 38ab7b2 è un monomio perché

numeri e lettere sono legate solo dalla moltiplicazione.

Esempio 10.2. L’espressione E = 2a2 −ab2 non è un monomio poiché compare anche il segnodi sottrazione.�� b Esercizio proposto: 10.1

q Osservazione Gli elementi di un monomio sono fattori, perché sono termini di una molti-plicazione ma possono comparire anche potenze, infatti la potenza è una moltiplicazione difattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari. In un monomiogli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali.

Definizione 10.2. Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto comeprodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse.

Esempio 10.3. Il monomio E = 5 · 2a2 38ab7b2 non è scritto in forma normale: tra i suoi fattori

vi sono numeri diversi e le potenze letterali hanno basi ripetute, la a e la b compaiono duevolte ciascuna.

Moltiplichiamo tra loro i fattori numerici e otteniamo 1054 ; eseguiamo il prodotto di potenze

con la stessa base otteniamo a3b3. Il monomio in forma normale è E = 1054 a

3b3.

Procedura 10.1. Ridurre in forma normale un monomio:

a ) moltiplicare tra loro i fattori numerici;b ) moltiplicare le potenze con la stessa base.

187

188 Capitolo 10. Monomi


Definizione 10.3. La parte numerica del monomio ridotto a forma normale si chiamacoefficiente.

Esempio 10.4. Nella tabella seguente sono segnati alcuni monomi e i rispettivi coefficienti.

monomio − 12abc 3x3y5 a5b7 −k2

coefficiente − 12 3 1 −1

Definizione 10.4. Se il coefficiente del monomio è zero il monomio si dice nullo.Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne

costituisce la parte letterale.

Esempio 10.5. L’espressione letterale 35a

3bc2 è un monomio; il numero 35 e le lettere a3, b,

c2 sono legate dall’operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero 35 e la parte

letterale è a3bc2.

Esempio 10.6. Controesempi:

a ) l’espressione letterale 35a

3 + bc2 non è un monomio dal momento che numeri e letteresono legati oltre che dalla moltiplicazione anche dalla addizione;

b ) l’espressione letterale 35a

−3bc2 non è un monomio in quanto la potenza con esponentenegativo rappresenta una divisione, infatti a−3 = 1

a3 .

Definizione 10.5. Due o più monomi che hanno parte letterale identica si dicono simili.

Esempio 10.7. Il monomio 35a

3bc2 è simile a 68a3bc2 e anche a −0, 5a3bc2, ma non è similea 3

5a2bc3. L’ultimo monomio ha le stesse lettere degli altri ma sono elevate ad esponenti

diversi.

q Osservazione Il monomio nullo si considera simile a qualunque altro monomio.

Definizione 10.6. Due monomi simili che hanno coefficiente opposto si dicono monomiopposti.

Esempio 10.8. I monomi 35a

3bc2 e − 35a

3bc2 sono opposti, infatti sono simili e hanno coeffi-cienti opposti.

Sezione 10.2. Valore di un monomio 189

Esempio 10.9. Non sono opposti 35a

3bc2 e −7a3bc2 ma semplicemente simili. I loro coeffi-cienti hanno segno diverso, ma non sono numeri opposti.


Definizione 10.7. Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti dellaparte letterale.

Quando il monomio è ridotto a forma normale, l’esponente di una sua variabile ci indicail grado del monomio rispetto a quella variabile.

Esempio 10.10. Il monomio 35a

3bc2 ha grado complessivo 6, ottenuto sommando gli esponentidella sua parte letterale (3 + 1 + 2 = 6). Rispetto alla variabile a è di terzo grado, rispetto allavariabile b è di primo grado, rispetto alla variabile c è di secondo grado.

Abbiamo detto che gli esponenti della parte letterale del monomio sono numeri naturali,dunque possiamo anche avere una o piùvariabili elevate ad esponente 0. Cosa succede alloranel monomio?

Consideriamo il monomio 56a3b0c2, sappiamo che qualunque numero diverso da zeroelevato a zero è uguale a 1, quindi possiamo sostituire la variabile b che ha esponente 0 con 1 eotteniamo 56a3 · 1 · c2 = 56a3c2. Se in un monomio ogni variabile ha esponente 0, il monomiorimane solamente con il suo coefficiente numerico: per esempio −3a0x0 = −3 · 1 · 1 = −3.

q Osservazione Esistono monomi di grado 0; essi presentano solo il coefficiente e pertantosono equiparabili ai numeri razionali.

10.2 Valore di un monomio

Poiché il monomio è un’espressione letterale, possiamo calcolarne il valore quando allesue variabili sostituiamo numeri.

Esempio 10.11. Calcola il valore del monomio 3x4y5z per i valori x = −3, y = 5 e z = 0.Sostituendo i valori assegnati otteniamo 3 · (−3)4 · 55 · 0 = 0 essendo uno dei fattori nullo.

q Osservazione Il valore di un monomio è nullo quando almeno una delle sue variabiliassume il valore 0.

Molte formule di geometria sono scritte sotto forma di monomi: area del triangolo 12bh;

area del quadrato l2; perimetro del quadrato 4l; area del rettangolo bh; volume del cubo l3

ecc. Esse acquistano significato quando alle lettere sostituiamo numeri che rappresentano lemisure della figura considerata.�� b Esercizi proposti: 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12


10.3 Moltiplicazione di due monomi

Ci proponiamo ora di introdurre nell’insieme dei monomi le operazioni di addizione,sottrazione, moltiplicazione, potenza, divisione.

Ricordiamo che definire in un insieme un’operazione significa stabilire una legge cheassocia a due elementi dell’insieme un altro elemento dell’insieme stesso.

La moltiplicazione di due monomi si indica con lo stesso simbolo della moltiplicazione tranumeri; i suoi termini si chiamano fattori e il risultato si chiama prodotto, proprio come negliinsiemi numerici.

Definizione 10.8. Il prodotto di due monomi è il monomio avente per coefficiente ilprodotto dei coefficienti, per parte letterale il prodotto delle parti letterali dei monomifattori.

Esempio 10.12. Assegnati i monomim1 = −4x2yz3 em2 = 56x

3z6 il monomio prodotto è

m3 =

(− 4 · 5

6

)(x2 · x3) · y · (z3 · z6) = −

103x5yz9.

Procedura 10.2 (per moltiplicare due monomi). La moltiplicazione tra monomi si effettuamoltiplicando prima i coefficienti numerici e dopo le parti letterali:

a ) nella moltiplicazione tra i coefficienti usiamo le regole note della moltiplicazione tra numerirazionali;

b ) nella moltiplicazione tra le parti letterali applichiamo la regola del prodotto di potenze con lastessa base.

10.3.1 Proprietà della moltiplicazione

a ) commutativa:m1 ·m2 = m2 ·m1;b ) associativa:m1 ·m2 ·m3 = (m1 ·m2) ·m3 = m1 · (m2 ·m3);c ) 1 è l’elemento neutro: 1 ·m = m · 1 = m;d ) se uno dei fattori è uguale a 0 il prodotto è 0, cioè 0 ·m = m · 0 = 0.�� b Esercizi proposti: 10.13, 10.14, 10.15, 10.16

10.4 Potenza di un monomio

Ricordiamo che tra i numeri l’operazione di elevamento a potenza ha un solo termine, labase, sulla quale si agisce a seconda dell’esponente.

Potenza = base esponente = ( base · base · base · . . . · base )︸︷︷︸tanti fattori quanti ne indica l’esponente

.

Analogamente viene indicata la potenza di un monomio: la base è un monomio el’esponente è un numero naturale.

Sezione 10.5. Divisione di due monomi 191

Definizione 10.9. La potenza di un monomio è un monomio avente per coefficiente la potenzadel coefficiente e per parte letterale la potenza della parte letterale.

Esempio 10.13. Calcoliamo il quadrato e il cubo del monomiom1 = − 12a

2b.

m1 = −12a2b elevo al quadrato(

−12a2b

)2=

(−

12

)2·(a2)2 · (b)2 =

14a4b2.

m1 = −12a2b elevo al cubo(

−12a2b

)3=

(−

12

)3·(a2)3 · (b)3 = −

18a6b3.

Esempio 10.14. Calcoliamo il quadrato e il cubo del monomiom2 = 5a3b2c2.

m2 = 5a3b2c2 elevo al quadrato(5a3b2c2)2

=(5)2 ·(a3)2 ·

(b2)2 ·

(c2)2

= 25a6b4c4.

m2 = 5a3b2c2 elevo al cubo(5a3b2c2)3

=(5)3 ·(a3)3 ·

(b2)3 ·

(c2)3

= 125a9b6c6.

Procedura 10.3. Eseguire la potenza di un monomio:

a ) applichiamo la proprietà relativa alla potenza di un prodotto, eseguiamo cioè la potenza di ognisingolo fattore del monomio;

b ) applichiamo la proprietà relativa alla potenza di potenza, moltiplicando l’esponente dellavariabile per l’esponente delle potenza.


10.5 Divisione di due monomi

Premessa: ricordiamo che assegnati due numeri razionali d1 e d2 con d2 6= 0, eseguire la di-visione d1 : d2 significa determinare il numero q che moltiplicato per d2 dà d1. Nell’insieme Q

basta la condizione d2 6= 0 per affermare che q esiste ed è un numero razionale.

Definizione 10.10. Assegnati due monomi m1 e m2 con m2 diverso dal monomio nullo,se è possibile determinare il monomio q tale che m1 = q ·m2, si dice che m1 è divisibileperm2 e q è il monomio quoziente.


Esempio 10.15. (36x5y2) : (−18x3y).Per quanto detto sopra, vogliamo trovare, se esiste, il monomio q tale che (36x5y2) =

q · (−18x3y) e ripensando alla moltiplicazione di monomi possiamo dire che q = −2x2y.Infatti (−2x2y) · (−18x3y) = (36x5y2). Il monomio q è quindi il quoziente della divisioneassegnata.

Procedura 10.4 (Calcolare il quoziente di due monomi). Il quoziente di due monomi è cosìcomposto:

a ) il coefficiente è il quoziente dei coefficienti dei monomi dati;b ) la parte letterale ha gli esponenti ottenuti sottraendo gli esponenti delle stesse variabili;c ) se la potenza di alcune lettere risulta negativa il risultato della divisione non è un monomio.

Esempio 10.16.(

72a

3x4y2)

:

(− 21

8 ax2y

).

Seguiamo i passi descritti sopra(72a3x4y2

):

(−

218ax2y

)=

72·(−

821

)a3−1x4−2y2−1 = −

43a2x2y.

Nell’eseguire la divisione non abbiamo tenuto conto della condizione che il divisore deveessere diverso dal monomio nullo; questa condizione ci obbliga a stabilire per la divisione leCondizioni di Esistenza (C.E.): C.E. = a 6= 0 e x 6= 0 e y 6= 0.

Esempio 10.17.(

920a

2b4)

:

(− 1

8a5b2)

.

La C.E. a 6= 0 e b 6= 0, il quoziente è(9

20a2b4

):

(−

18a5b2

)=

(9

20

)· (−8)a2−5b4−2 = −

185a−3b2.

Osserviamo che il quoziente ottenuto non è un monomio perché l’esponente della variabi-le a è negativo. Il risultato è un’espressione frazionaria o fratta.

In conclusione, l’operazione di divisione tra due monomi ha come risultato un monomio seogni variabile del dividendo ha esponente maggiore o uguale all’esponente con cui comparenel divisore.�� b Esercizi proposti: 10.21, 10.22, 10.23

10.6 Addizione di due monomi

L’addizione di due monomi si indica con lo stesso simbolo dell’addizione tra numeri; isuoi termini si chiamano addendi e il risultato si chiama somma.

Sezione 10.6. Addizione di due monomi 193

10.6.1 Addizione di due monomi simili

La somma di due monomi simili è un monomio simile agli addendi e avente comecoefficiente la somma dei coefficienti.

Esempio 10.18. Calcoliamo 3x3 + (−6x3).I due addendi sono monomi simili dunque la somma è ancora un monomio ed è simile ai

singoli addendi. Precisamente 3x3 + (−6x3) = (3 + (−6))x3 = −3x3.Osserva che la somma di monomi simili si riduce alla somma algebrica di numeri.�� b Esercizio proposto: 10.24

Proprietà della addizione

a ) commutativa:m1 +m2 = m2 +m1;b ) associativa:m1 +m2 +m3 = (m1 +m2) +m3 = m1 + (m2 +m3);c ) 0 è l’elemento neutro: 0 +m = m+ 0 = m;d ) per ogni monomio m esiste il monomio opposto, cioè un monomiom∗ tale chem+m∗ =

m∗ +m = 0.

L’ultima proprietà enunciata ci permette di definire nell’insieme dei monomi simili anchela sottrazione di monomi. Essa si indica con lo stesso segno della sottrazione tra numeri e ilsuo risultato si chiama differenza.

q Osservazione Per sottrarre due monomi simili si aggiunge al primo l’opposto del secondo.

Esempio 10.19. Assegnatim1 = 12a

2b,m2 = −5a2b determinam1 −m2.L’operazione richiesta 1

2a2b− (−5a2b) diventa 1

2a2b+ 5a2b = 11

2 a2b.

Sulla base di quanto detto, possiamo unificare le due operazioni di addizione e sottrazionedi monomi simili in un’unica operazione che chiamiamo somma algebrica di monomi.

q Osservazione La somma algebrica di due monomi simili è un monomio simile agliaddendi avente per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

Esempio 10.20. Determiniamo la somma 35x

4 − 13x

4 + x4 + 45x

4 − 2x4 − 12x

4.Osserviamo che tutti gli addendi sono tra loro simili dunque:

35x4 −

13x4 + x4 +

45x4 − 2x4 −

12x4 =

(35−

13+ 1 +

45− 2 −

12

)x4 = −

1330x4.

10.6.2 Addizione di monomi non simili

Analizziamo il caso della seguente addizione: 7a3b2 − 5a2b3 + a3b2. Si vuole determinarela somma. I monomi addendi non sono tutti tra loro simili; lo sono però il primo e il terzo.

Le proprietà associativa e commutativa ci consentono di riscrivere l’addizione precedente“avvicinando” i monomi simili e sostituendo ad essi la loro somma: 7a3b2 − 5a2b3 + a3b2 =

(7a3b2 + a3b2) − 5a2b3 = 8a3b2 − 5a2b3


L’espressione così ottenuta è la somma richiesta.�� b Esercizio proposto: 10.25

Il procedimento che abbiamo seguito per determinare il risultato dell’addizione assegnataviene chiamato riduzione dei termini simili.

In conclusione, l’operazione di addizione tra monomi ha come risultato un monomio solose gli addendi sono monomi simili; in caso contrario la somma viene effettuata riducendo imonomi simili e lasciando indicata l’addizione tra gli altri monomi.

Esempio 10.21. Calcola la seguente somma: 3a− 7a+ 2a+ a.Il risultato è un monomio poiché gli addendi sono monomi simili, precisamente −a.

Esempio 10.22. Calcola la seguente somma: 12a

3 + b− 34a

3 − 65b.

Il risultato non è un monomio poiché gli addendi non sono monomi simili: − 14a

3 − 15b.

�� b Esercizi proposti: 10.26, 10.27, 10.28, 10.29, 10.30, 10.31, 10.32

10.7 Espressioni con i monomi

Consideriamo l’espressione letterale E = (− 12a

2b)3 : (a5b) + (−2ab) · ( 12b+ b) + 5ab2

Vediamo che è in due variabili, le variabili sono infatti a e b. Inoltre, i termini delleoperazioni che vi compaiono sono monomi.

Se volessimo calcolare il valore di E per a = 10; b = −2 dovremmo sostituire nell’espressio-ne tali valori e risolvere l’espressione numerica che ne risulta. Inoltre se dovessimo calcolare ilvalore di E per altre coppie dovremmo ogni volta applicare questo procedimento.

Dal momento che abbiamo studiato come eseguire le operazioni razionali con i monomi,prima di sostituire i numeri alle lettere, applichiamo le regole del calcolo letterale in modo daridurre E, se possibile, in una espressione più semplice.

Prima di procedere, essendovi una divisione poniamo innanzi tutto la C.E. a 6= 0 e b 6= 0ed eseguiamo rispettando la precedenza delle operazioni come facciamo nelle espressioninumeriche.

Esempio 10.23.(−

12a2b

)3: (a5b) + (−2ab) ·

(12b+ b

)+ 5ab2 sviluppiamo per prima il cubo

=

(−

18a6b3 : a5b

)+ (−2ab) · 3

2b+ 5ab2 eseguiamo divisione e moltiplicazione

=−18ab2 − 3ab2 + 5ab2 sommiamo i monomi simili

=158ab2.

Ora è più semplice calcolarne il valore: per a = 10 e b = −2 si ha = 158 · 10 · (−2)2 = 15

8 · 10 · 4 =

75.

Sezione 10.8. Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi 195

Esempio 10.24.(23ab2c

)2:(− 3ab3)− 2

9abc2 Sviluppiamo le potenze

=49a2b4c2 :

(− 3ab3)− 2

9abc2 eseguiamo la divisione e moltiplichiamo le frazioni

=−4

27abc2 −

29abc2 somiamo i monomi simili

=−4 − 6

27abc2 il risultato è

=−1027abc2

Esempio 10.25.

[(− 14

16x2y2)

:

(− 14

4 xy

)]3

+ 12xy ·

14x

2y2. Eseguiamo per prima la divisione

tra le parentesi quadre.

=

[+

1416· 4

14xy

]3+

12xy · 1

4x2y2 eseguiamo la moltiplicazione tra le frazioni

=

[14xy

]3+

12xy · 1

4x2y2 sviluppiamo il cubo

=1

64x3y3 +

12xy · 1

4x2y2 moltiplichiamo i due monomi

=1

64x3y3 +

18x3y3 sommiamo i monomi simili

=1 + 8

64x3y3 il risultato è

=9

64x3y3.


10.8 Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi

10.8.1 Massimo Comune Divisore

Il calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore, studiato per inumeri, si estende anche ai monomi. Premettiamo intanto le seguenti definizioni.

Definizione 10.11. Un monomioA si dice multiplo di un monomioB se esiste un monomioCper il quale A = B ·C; in questo caso diremo anche che B è divisore del monomio A.

Definizione 10.12. Il massimo comune divisore tra due o piùmonomi è il monomio che,tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, ha grado massimo.

Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tuttiinteri è opportuno scegliere il loro MCD, se non sono interi è opportuno scegliere 1.


Esempio 10.26. Dati i monomi 12a3b2 e 16a2b sono divisori comuni:

1; 2; 4;a;a2;b;ab;a2b; 2a.

2a2; 2b; 2ab; 2a2b; 4a; 4a2; 4b; 4ab; 4a2b.

Il monomio di grado massimo è a2b, il MCD tra i coefficienti è 4. Pertanto il MCD deimonomi è 4a2b.

Procedura 10.5 (Calcolare il MCD tra monomi). Il MCD di un gruppo di monomi è il monomioche ha:

a ) per coefficiente numerico il MCD dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questisiano numeri interi, se non sono interi si prende 1;

b ) la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una solavolta e con l’esponente minore con cui compare.

Esempio 10.27. Calcolare MCD(14a3b4c2; 4ab2; 8a2b3c).Per prima cosa calcoliamo il MCD tra i coefficienti numerici 14, 4 e 8 che è 2. Per ottenere

la parte letterale si mettono insieme tutte le lettere comuni, ciascuna con l’esponente minorecon cui compare: ab2.

In definitiva, MCD(14a3b4c2; 4ab2; 8a2b3c) = 2ab2.

Esempio 10.28. Calcolare il massimo comune divisore tra 5x3y2z3; − 18xy

2z2; 7x3yz2.Si osservi che i coefficienti numerici dei monomi non sono numeri interi quindi si prende 1

come coefficiente del MCD. Le lettere in comune sono xyz, prese ciascuna con l’esponenteminore con cui compaiono si ha xyz2.

Quindi, MCD(5x3y2z3;− 18xy

2z2; 7x3yz2) = xyz2.

q Osservazione La scelta di porre uguale a 1 il coefficiente numerico del MCD, nel caso incui i monomi abbiano coefficienti razionali, è dovuta al fatto che una qualsiasi frazione dividetutte le altre e quindi una qualsiasi frazione potrebbe essere il coefficiente del MCD Ad esserepiù precisi, occorrerebbe, quando si parla di monomi e polinomi, chiarire a quale degli insieminumerici N, Z, Q e R appartengono i loro coefficienti. Qui stiamo considerando coefficientinumerici in R.

Definizione 10.13. Due monomi si dicono monomi primi tra loro se il loro MCD è 1.

10.8.2 Minimo comune multiplo

Estendiamo ora ai monomi la nozione di minimo comune multiplo.

Definizione 10.14. Il minimo comune multiplo di due o più monomi è il monomio che, tra tuttii monomi multipli comuni dei monomi dati, ha il grado minore.

Sezione 10.8. Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi 197

Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tuttiinteri è opportuno scegliere il loro mcm, se non lo sono è opportuno scegliere 1.

Esempio 10.29. Per calcolare il minimo comune multiplo tra 5a3b e 10a2b2 dovremmo co-struire i loro multipli finché non incontriamo quello comune che ha coefficiente numericopositivo più piccolo e grado minore:

5a3b alcuni multipli: 10a3b, 10a3b2, 10a4b, 15a3b . . .

10a2b2 alcuni multipli: 10a2b3, 10a3b2, 10a4b2, 20a2b2 . . .

Il minimo comune multiplo è 10a3b2.

In realtà applicando la definizione è poco pratico calcolare il mcm, è utile invece la seguenteprocedura.

Procedura 10.6 (Calcolo del mcm tra due o più monomi). Il mcm di un gruppo di monomi è ilmonomio che ha:

a ) per coefficiente numerico il mcm dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questisiano numeri interi, se non sono interi si prende 1;

b ) la parte letterale formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi dati, ciascunapresa una sola volta e con l’esponente maggiore con cui compare.

Esempio 10.30. Calcola il minimo comune multiplo tra 5a3bc, 12ab2c e 10a3bc2.Il mcm tra i coefficienti 5, 12, 10 è 60. Per ottenere la parte letterale osservo il grado

maggiore delle lettere componenti i monomi, riporto tutte le lettere, comuni e non comuni,una sola volta con il grado maggiore con cui ciascuna compare: a3b2c2.

In definitiva, mcm(5a3bc; 12ab2c; 10a3bc2) = 60a3b2c2.

Esempio 10.31. Calcola il minimo comune multiplo tra 6x2y;− 12xy

2z; 23x

3yz.I coefficienti numerici dei monomi non sono interi quindi il mcm avrà come coefficiente 1.La parte letterale si costruisce mettendo insieme tutte le lettere che compaiono, prese una

sola volta, x, y, z ciascuna presa con l’esponente massimo, quindi x3y2z.In definitiva mcm(6x2y;− 1

2xy2z; 2

3x3yz) = x3y2z.

Assegnati due monomi, per esempio x2y e xy2z, calcoliamo MCD e mcm.MCD(x2y; xy2z) = xy e mcm(x2y; xy2z) = x2y2z.Moltiplichiamo ora MCD e mcm, abbiamo: xy · x2y2z = x3y3z.Moltiplichiamo ora i monomi assegnati, abbiamo: (x2y) · (xy2z) = x3y3z.Il prodotto dei due monomi è uguale al prodotto tra il MCD e il mcm. Si può dimostrare

che questa proprietà vale in generale.

Proprietà 10.7. Dati due monomi, il prodotto tra il loro massimo comun divisore e il loro minimocomune multiplo è uguale al prodotto tra i monomi stessi.�� b Esercizi proposti: 10.41, 10.42, 10.43, 10.44, 10.45, 10.46, 10.47


10.9 Esercizi


10.1 - L’insieme dei monomi

10.1. Individua tra le espressioni letterali di seguito elencate, quelle che sono monomi.

E1 = 35x2 + y2;E2 = −4−1ab4c6;E3 =4xy2;E4 = −

872x2z.

Per rispondere in modo corretto devo individuare quelle espressioni in cui comparesolamente la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; pertanto sono monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2. Scrivi in forma normale i seguenti monomi:

49ab18c32−2a3b =

. . .

. . .a...b...c...; −x5 1

9y4(− 1 + 5

)2y7 = . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3. Nell’insiemeM ={− 34

5 a3b, 32a2b4, 1

3ab3,a3b,−a, 7a2b4,− 1

3ab3,−89a3b

}, determina

i sottoinsiemi dei monomi simili; rappresenta con un diagramma di Venn.

10.2 - Valore di un monomio

10.4. Calcola l’area di un triangolo che ha altezza h = 2, 5 e base b = 34 .

10.5. Un monomio è:

a ) un’espressione algebrica letterale nella quale figurano soltanto operazioni di moltiplica-zione e potenza con esponente intero;

b ) un’espressione algebrica letterale nella quale figurano soltanto addizioni e moltiplica-zioni tra termini numerici e termini letterali;

c ) un’espressione algebrica letterale nella quale figurano soltanto prodotti di fattori nume-rici e letterali;

d ) un’espressione algebrica letterale nella quale numeri e lettere sono legati dalle operazionirazionali.

10.6. Il grado complessivo di un monomio è:

a ) l’esponente della prima variabile che compare nel monomio;b ) la somma di tutti gli esponenti che compaiono sia ai fattori numerici sia a quelli letterali;c ) il prodotto degli esponenti delle variabili che compaiono nel monomio;d ) la somma degli esponenti di tutte le variabili che vi compaiono.

10.7. Due monomi sono simili se:

a ) hanno lo stesso grado;b ) hanno le stesse variabili;c ) hanno lo stesso coefficiente;d ) hanno le stesse variabili con rispettivamente gli stessi esponenti.


10.8. Individua e sottolinea i monomi tra le seguenti espressioni letterali:

3 + ab;−2a;−73ab2;−(

43)3;a2bc · −2

a3 ; 4a−3b2c5;−x; 8x4 − 4x2;−y · (2x4 + 6z);abc9

3 + 7−2

10.9. Nel monomio m = − 52a

3x2y4z8 distinguiamo: coefficiente = . . ., parte letterale = . . .,grado complessivo = . . ., il grado della lettera x = . . .

10.10. Motiva brevemente la verità o falsità delle seguenti proposizioni:

a ) “Se due monomi hanno ugual grado allora sono simili”V F perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b ) “Se due monomi sono simili allora hanno lo stesso grado”V F perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.11. Quale diagramma di Venn rappresenta in modo corretto la seguente proposizione:«alcune espressioni letterali non sono monomi». L: insieme delle espressioni letterali, M:insieme dei monomi.

M

L

A

L

M

B

10.12. Attribuisci il valore di verità alle seguenti proposizioni:

a ) Il valore del monomio −a è negativo per qualunque a diverso da zero. V Fb ) Il valore del monomio −a2 è negativo per qualunque a diverso da zero. V Fc ) Il monomio b6 è il cubo di b2. V Fd ) L’espressione ab−1 è un monomio. V Fe ) Il valore del monomio ab è nullo per a = 1eb = −1. V F

10.3 - Moltiplicazione di due monomi

10.13. Determina il prodotto dei seguenti monomi.

a )(− x2y4) ·(−

85x2y

);

b )(−

1528xy3)·(−

7200

x2y2)

;

c )(a5b5y2) ·(−

85a2y2b3

);

d ) 2, 5ab2 ·(−

12a2b

)· 1, 5a;

e )(−

29xz

)(−

14z3)(27x);

f ) −8(

14x

)(45x3a4

);

g ) 5x3y2 ·(−

13x3y2

)·(−

13

);

h ) 6ab ·(−

13a2)· 1

2ab · 4a2;

i )(

72a3x4y2

)·(−

821ax2y

).


10.14. Determina il prodotto dei seguenti monomi.

a ) (−2xy) · (+3ax);

b ) 6a(−2ab)(− 3a2b2); c ) (−1)(−ab);

d ) 1, 5a2b ·(−

23a2b

);

e ) −75xy3(−

103xy2z

);

f ) −x(14x2).

10.15. Determina il prodotto delle seguenti coppie di monomi.

a ) 1, 6xa(1, 2xy2);

b )(

127m2n3

)(−

74mn

);

c )(−

54ax2)(

310x3y

);

d ) 12ab(−

12a3b3

);

e )(−

158at2)(

65t3x

);

f )(

124a2n2

)(−

74ax

).

10.16. Sulla base degli esercizi precedenti puoi concludere che il grado del monomio prodottoè:

a ) il prodotto dei gradi dei suoi fattori;b ) la somma dei gradi dei suoi fattori;c ) minore del grado di ciascuno dei suoi fattori;d ) uguale al grado dei suoi fattori.

10.4 - Potenza di un monomio

10.17. Esegui le potenze indicate.

a )(−

35abx3y5

)3=

. . .

. . .a3b3x...y...;

b )(− a4b2)7

= . . .;

c )(− 3x3y4z

)2= 9x6y...z...;

d )(

12a2bc5

)4=

1. . .a...b...c...;

e )(a3b2)8

= . . .;

f )(− 5ab2c

)3= . . .

10.18. Esegui le potenze indicate.

a )(+ 2ax3y2)2;

b )(−

12axy2

)3;

c )(

34x4y

)3;

d )(

23xy2)3

;

e )(−

12ab

)4;

f )(−

32a5)2

.

10.19. Esegui le operazioni indicate.

a )[(

− rs2t)2]3

;

b )

[(−

12x2y3

)2]3

;

c )

[(−

32a2b3

)2]2

;

d )(− xy

)2(−

12xy2)3

;


e ) −

(32xy2)0·(−

16xy

)2; f ) −

(−

13x3y2

)2·(−

13

)−3.


a )(

23ab2c

)2·(− 3ab3)2;

b )

[(−

12a2b

)2· 2

3a2b

]2

;

c )(

23x · 1

6x · 1

2x

)2·(−

16ab2

)2.

10.5 - Divisione di due monomi

10.21. Esegui le divisioni indicate e poni le C.E.:

a ) 15b8 :

(−

403b3)

;

b )(−

1372x2y5z3

):

(−

2627xyz

);

c ) (−a7) : (8a7);

d )(

12a3)

: (−4a5);

e )(−

122a7b5c2

): (−18ab4c);

f ) (−34x5y2) : (−2yz3).

10.22. Esegui le divisioni indicate e poni le C.E.:

a ) 21a3x4b2 : 7ax2b;b ) a6 : 20a2;

c ) 20ax4y : 2xy;d ) −72a4b2y2 : (−3ab2).

10.23. Esegui le operazioni indicate e poni le C.E.:

a ) 48a5bx : a2b;

b )

[−

(−

13x3y2

)2:

(−

13

)]2

: (x3y2)2;

c )

[35x4 :

(13x4)]·

[x4 :

(45x4)]

;

d )(

23ab2c

)2: (−3ab3).

10.6 - Addizione di due monomi simili

10.24. Determina la somma dei monomi simili 8a2b+ (− 23 )a

2b+ 16a

2b.La somma è un monomio . . . . . . . . . agli addendi; il suo coefficiente è dato da 8− 2

3 + 16 = . . .,

la parte letterale è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quindi la somma è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.25. Determina la somma S = 2a− 3ab− a+ 17ab+ 41a.I monomi addendi non sono tra loro simili, modifico la scrittura dell’operazione applicando

la proprietà associativa in modo da affiancare i monomi simili:

S = 2a− 3ab− a+ 17ab+ 41a = (. . . . . . . . .) + (. . . . . . . . .) = . . . . . . . . .

La somma ottenuta non è un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


10.26. Esegui la somma algebrica dei seguenti monomi.

a ) 6x+ 2x− 3x;b ) −3a+ 2a− 5a;

c ) 5a2b− 3a2b;d ) a2b2 − 3a2b2;

e ) 2xy− 3xy+ xy;f ) 2y2 − 3y2 + 7y2 − 4y2.


a ) −2xy2 + xy2;b ) −3ax− 5ax;

c ) 5ab− 2ab;d ) −3xy2 + 3xy2;

e ) 7xy3 − 2xy3;f ) +2xy2 − 4xy2.


a )12a2 − a2;

b ) +2xy2 − 4xy2 + xy2;c ) −5x2 + 3x2;

d )12a+ 2a;

e ) 5a2b+ 2a2b+ a2b− 3a2b− a2b;f ) 0, 1x− 5x− 1, 2x+ 3x.


a )14a3b2 −

12a3b2;

b )23x−

25x− 2x+

310x;

c )25ab−

12ab+

272ab−

110ab−

52ab;

d ) −

(−

12ax2)− 3ax2;

e ) −92xy− (−xy);

f ) 2xy2 −32xy2 − xy2.


a )12a+ 2a+ (2a− a) −

(3a−

12a

);

b ) 6xy2 +13xy2 −

14xy2 − 6xy2;

c )12xy2 +

32xy2;

d )(

23a+ a

)−

(23a− a

);

e ) 5ab− 2ab+ (−ab) − (+2ab) + ab;

f ) −1, 2x2 + 0, 1x2 + (−5x)2 − (−25x)2.


a ) 6ab−13a2 +

12ab+ 4a2;

b )(

14x2 −

34x2 + x2

)−

(−

13x2 +

12x2)

;

c ) −43a2b3 − 2a2b3 +

13a2b3 − a2b3;

d )(− xy

)2(−

12xy2)+

32xy2(−

16xy

)2.


a )12x2 − 2x2 −

(−

12x2 +

34x2 − 2x2 −

35x2)

;

b ) 5x3y2 +

(−

13x3y2

)+

(−

13

)−(x3y2)+(−

14x3y2

)−

(−

13

);

c )(

2xy2 −32xy2)−(xy2 + 2xy2 − 4xy2)+(xy2 +

12xy2)

.


10.7 - Espressioni con i monomi

10.33 (∗). Esegui le operazioni tra monomi.

a )(

12a2 − a2

)(12a+ 2a

)+ (2a− a)

(3a−

12a

)a;

b )(

23a−

52a

)a+

(7a−

13a

)2: 2;

c )12x2(x2 +

12x2)−

16x3(

12x−185x

);

d )(−

34x4a2b

):

(12x2ab

)+

23x2a;

e )(

12a−

14a

)2:

(32a− 2a

);

f ) (3a− 2a)(2x+ 2x) : 2a.


a )(

14x2 −

23x2 + x2

)(−

13x+

12x

);

b )(

15x−

52x+ x

)−

(2x−

83x+

14x+ x

)−

760x;

c ) 5a+

{−

34a−

[2a−

12a+

(3a− a

)+ 0, 5a

]− a

};

d ) −12x2(

13x

)2+

[0, 1x2(− 5x

)2−(− x2)2

];

e ) −35x2y2

(−

109xz2)(−15xy) − 0, 6x4yz

(− 0, 7xy2z

);

f )12ab2c+

[34a3b6c3 −

(−

14ab2c

)3−

(−

12ab2

)2(−

116ab2c3

)]:

(−

54a2b4c2

).


a )(

2xy2 −32xy2)−(xy2 + 2xy2 − 4xy2)+(xy2 +

12xy2)

;

b )14x4y2 −

[32x5y4 :

(12xy

)2− 3x3y2

](−

13x

)+

(−

12x2y

)2;

c ) a2 −

{a−

[2(a

2−a

3

)]}2

+

(23a+ a

)(23a− a

);

d )[(

−12a2b

)2·(−

23b2)2

−

(+

13b3a2

)2]:

(23x−

16x+

12x

)+

(−

16ab2

)(−

25ab

);

e ) [(2x+

74x

)2:

(13x+ x+

34x

)]2

:

(18x−

92x+

272x

)

+

[(−

23abx

)2−

(13abx

)2]: (a2b2x) − x;


f ) (14xy2)(

−165x2y

)− 8x2y2

(− 2xy

)−

25x

(−

53x2)(

+ 3y3)

+

(127xy2)(

−74x2y

)+

95x3y3.


a )23a2b−

[3a−

13a2b−

(25a+

12a− 3a

)+

(25a2b+

12a2b− 2a2b

)]−

110a2b+

5110a;

b )(

13x+

12x− 2x

)(−

12x2)+

(34x2 − 2x2

)(−

35x

)−

43

(x3 +

12x3)

;

c ) [35ab2 +

12b− ab2 ·

(−

310

+45−

12

)− 2b+

32b+

115ab2

]2

:

[(b+

32b

)2−

510b2 +

12b2]·(−

52ab

)2;

d )[(

32xy

)2· ( 4

15y

)2−

(32xy2)2·(

23

)3+

875x2y4

]:

(103x2y

);

e )(

12x+ 2x

)(12x− 2x

)(14x2 − 4x2

)−

14x

(274x3 −

613x3)− 16(x4 + x4)−

112x2 · x2 +

18x4.

10.37. Assegnati i monomi: m1 =38a2b2, m2 = −

83ab3, m3 = −3a, m4 = −

12b e m5 = 2b3.

Calcola il risultato delle seguenti operazioni, ponendo le opportune C.E.:

a ) m1 ·m2 · (m4)2;

b ) −m2 ·m1 · (m3)2 ·m5;

c ) (m3 ·m4)2 −m1;

d ) m3 ·m5 −m2;e ) m2 : m3 +m5;f ) m1 : m2.

10.38. Quando sottraiamo due monomi opposti otteniamo:

a ) il doppio del primo termine;b ) il doppio del secondo termine;c ) il monomio nullo;d ) 0.

10.39. Quando dividiamo due monomi opposti otteniamo:

A −1 B 0 C 1 D il quadrato del primo monomio

10.40. Attribuisci il valore di verità alle seguenti proposizioni:

a ) la somma di due monomi opposti è il monomio nullo V Fb ) il quoziente di due monomi simili è il quoziente dei loro coefficienti V Fc ) la somma di due monomi è un monomio V Fd ) il prodotto di due monomi è un monomio V Fe ) l’opposto di un monomio ha sempre il coefficiente negativo V F


10.8 - Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo tra monomi

10.41. Vero o falso?

a ) 12a3b2c è un multiplo di abc V Fb ) 2xy è un divisore di x2 V Fc ) 2a è divisore di 4ab V Fd ) −5b2 è divisore di 15ab V Fe ) 8ab è multiplo di a2b2 V Ff ) 12a5b4 è multiplo di 60a5b7 V Fg ) 5 è divisore di 15a V F


a ) il mcm fra monomi è divisibile per tutti i monomi dati V Fb ) il MCD fra monomi è multiplo di almeno un monomio dato V Fc ) il mcm è il prodotto dei monomi tra di loro V F

10.43 (∗). Calcola il mcm e il MCD dei seguenti gruppi di monomi.

a ) 14x3y2, xy e 4x3y4;b ) xyz5e x3y2z2;c ) 4ab2, a3b2 e 5ab5.

10.44. Calcola il mcm e il MCD dei seguenti gruppi di monomi.

a ) 2a2bc3, ab4c2 e 24a3bc;b ) 6a2x, 2ax3 e 4x2c3;c ) 30ab2c4, 5a2c3 e 12abc.

10.45. Calcola il mcm e il MCD dei seguenti gruppi di monomi.

a ) x2y4z2, xz3 e 24y2z;b ) 4a2y, y3c e 15ac5;c ) 13xyc2, x2y3c2 e 6c4.

10.46 (∗). Calcola il mcm e il MCD dei seguenti gruppi di monomi.

a ) anbmz2m+1, a3nbm+3 e a4nbm+4;b ) −2xy3z, −6x3yz e 8x3z;c ) 1

4ab2c, −3a2b2c e − 1

2ab2c2;

d ) 23x

2y2, 16xy

2 e 25xyz

2.

10.47. Dati i monomi 3xy2 e xz3

a ) calcola il loro MCD;b ) calcola il loro mcm;c ) verifica che il loro prodotto è uguale al prodotto tra il loro mcm e il loro MCD;d ) verifica che il loro MCD è uguale al quoziente tra il loro prodotto e il loro mcm.


10.9.2 Risposte

10.33. d) − 56ax

2.

10.34. a) 772x

3, b) −2x, c) − 34a, d) 1

6x4, f) − 1

8ab2c.

10.35. a) 3xy2, b) 32x

4y2, c) 0, d) 115a

2b3, e) 4948x, f) 16x3y3.

10.36. a) 2a2b, b) − 23x

3, c) 49a

4b4, d) − 325y

3.

10.43. a) 28x3y4; xy, b) x3y2z5; xyz2, c) 20a3b5;ab2.

10.46. a) a4nbm+4z2m+1;anbm, b) 24x3y3z; 2xz, c) a2b2c2;ab2c, d) x2y2z2; xy.

Polinomi 1111.1 Definizioni fondamentali

Definizione 11.1. Un polinomio è un’espressione algebrica letterale che consiste in unasomma algebrica di monomi.

Esempio 11.1. Sono polinomi: 6a+ 2b, 5a2b+ 3b2, 6x2 − 5y2x− 1, 7ab− 2a2b3 + 4.

Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice informa normale o ridotto; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire lariduzione del polinomio sommando i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili informa normale.

Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado 0che viene comunemente chiamato termine noto.

Esempio 11.2. Il polinomio 3ab+ b2 − 2ba+ 4 − 6ab2 + 5b2 ridotto in forma normale diven-ta ab+ 6b2 − 6ab2 + 4. Il termine noto è 4.�� b Esercizio proposto: 11.1

Un polinomio può anche essere costituito da un unico termine, pertanto un monomio èanche un polinomio. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due,tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.

Esempio 11.3. Binomi, trinomi, quadrinomi.

a ) xy− 5x3y2 è un binomio;b ) 3ab2 + a− 4a3 è un trinomio;c ) a− 6ab2 + 3ab− 5b è un quadrinomio.

Definizione 11.2. Due polinomi, ridotti in forma normale, formati da termini uguali sidicono uguali, più precisamente vale il principio di identità dei polinomi: due polinomi p(x)e q(x) sono uguali se, e solo se, sono uguali i coefficienti dei termini simili.

Se due polinomi sono invece formati da termini opposti, allora si dicono polinomiopposti.

Definiamo, inoltre, un polinomio nullo quando i suoi termini sono a coefficienti nulli. Ilpolinomio nullo coincide con il monomio nullo e quindi con il numero 0.

207

208 Capitolo 11. Polinomi

Esempio 11.4. Polinomi uguali, opposti, nulli.

a ) I polinomi 13xy+ 2y3 − x; 2y3 − x+ 1

3xy sono uguali;b ) i polinomi 6ab− 3a+ 2b; 3a− 2b− 6ab sono opposti;c ) il polinomio 7ab+ 4a2 − ab+ b3 − 4a2 − 2b3 − 6ab+ b3 è un polinomio nullo,

infatti riducendolo in forma normale otteniamo il monomio nullo 0.

Definizione 11.3. Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimodei gradi complessivi dei suoi termini. Si chiama, invece, grado di un polinomio rispetto aduna data lettera l’esponente maggiore con cui quella lettera compare nel polinomio, dopoche è stato ridotto a forma normale.

Esempio 11.5. Grado di un polinomio.

á Il polinomio 2ab+ 3 − 4a2b2 ha grado complessivo 4 perché il monomio con gradomassimo è −4a2b2, che è un monomio di quarto grado;

á il grado del polinomio a3 + 3b2a− 4ba2 rispetto alla lettera a è 3 perché l’esponente piùgrande con cui tale lettera compare è 3.�� b Esercizio proposto: 11.2

Definizione 11.4. Un polinomio si dice omogeneo se tutti i termini che lo compongono sonodello stesso grado.

Esempio 11.6. Il polinomio a3 − b3 + ab2 è un polinomio omogeneo di grado 3.�� b Esercizio proposto: 11.3

Definizione 11.5. Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti (crescenti) diuna lettera, quando i suoi termini sono ordinati in maniera tale che gli esponenti di talelettera decrescono (crescono), leggendo il polinomio da sinistra verso destra.

Esempio 11.7. Il polinomio 12x

3 + 34x

2y− 2xy2 + 38y

3 è ordinato secondo le potenze decrescentidella lettera x, e secondo le potenze crescenti della lettera y.

Definizione 11.6. Un polinomio di grado n rispetto ad una data lettera si dice completo secontiene tutte le potenze di tale lettera di grado inferiore a n, compreso il termine noto.

Sezione 11.2. Somma algebrica di polinomi 209

Esempio 11.8. Il polinomio x4 − 3x3 + 5x2 + 12x−

35 è completo di grado 4 e inoltre risulta

ordinato rispetto alla lettera x. Il termine noto è − 35 .

q Osservazione Ogni polinomio può essere scritto sotto forma ordinata e completa: l’or-dinamento si può effettuare in virtù della proprietà commutativa della somma, mentre lacompletezza si può ottenere mediante l’introduzione dei termini dei gradi mancanti concoefficiente uguale a 0.

Per esempio, il polinomio x4 −x+1+4x2 può essere scritto sotto forma ordinata e completacome x4 + 0x3 + 4x2 − x+ 1.�� b Esercizi proposti: 11.4,11.5,11.6,11.7,11.8,11.9,11.10

11.2 Somma algebrica di polinomi

I polinomi sono somme algebriche di monomi e quindi le espressioni letterali che siottengono dalla somma o differenza di polinomi sono ancora somme algebriche di monomi.

Definizione 11.7. La somma di due o più polinomi è un polinomio avente per termini tutti itermini dei polinomi addendi.

La differenza di polinomi si può trasformare in somma del primo polinomio con l’oppostodel secondo polinomio.

Esempio 11.9. Differenza di polinomi.

3a2 + 2b−12ab−

(2a2 + ab−

12b

)= 3a2 + 2b−

12ab− 2a2 − ab+

12b

= a2 +−1 − 2

2ab+

4 + 12b

= a2 −32ab+

52b.


11.3 Prodotto di un polinomio per un monomio

Per eseguire il prodotto tra il monomio 3x2y e il polinomio 2xy+ 5x3y2; indichiamo il pro-dotto con

(3x2y

)·(2xy+ 5x3y2). Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione

rispetto all’addizione:(3x2y

)·(2xy+ 5x3y2) = 6x3y2 + 15x5y3.

q Osservazione Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio avente cometermini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio.


Esempio 11.10. Prodotto di un monomio per un polinomio.

(3x3y

)·(

12x2y2 +

43xy3)

=(

3x3y)·(

12x2y2

)+(

3x3y)·(

43xy3)

=32x5y3 + 4x4y4.


11.4 Quoziente tra un polinomio e un monomio

Il quoziente tra un polinomio e un monomio si calcola applicando la proprietà distributivadella divisione rispetto all’addizione.

Definizione 11.8. Si dice che un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se esiste unpolinomio che, moltiplicato per il monomio, dà come risultato il polinomio dividendo; ilmonomio si dice divisore del polinomio.

Esempio 11.11. Quoziente tra un polinomio e un monomio.(6x5y+ 9x3y2

):(

3x2y)= 2x(5−2)y(1−1) + 3x(3−2)y(2−1) = 2x3 + 3xy.

q Osservazione

a ) Poiché ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da zero, allora ancheogni polinomio è divisibile per un qualsiasi numero diverso da zero;

b ) un polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni fattore letterale del mono-mio divisore compare, con grado uguale o maggiore, in ogni monomio del polinomiodividendo;

c ) la divisione tra un polinomio e un qualsiasi monomio non nullo è sempre possibile,tuttavia il risultato è un polinomio solo nel caso in cui il monomio sia divisore di tutti itermini del polinomio;

d ) il quoziente tra un polinomio e un monomio suo divisore è un polinomio ottenutodividendo ogni termine del polinomio per il monomio divisore.�� b Esercizi proposti: 11.16, 11.17, 11.18

11.5 Prodotto di polinomi

Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine delprimo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

Sezione 11.5. Prodotto di polinomi 211

Esempio 11.12. Prodotto di polinomi.

a )(a2b+ 3a− 4ab

) ( 12a

2b2 − a+ 3ab2)

. Riducendo i termini simili:

(a2b+ 3a− 4ab

)(12a2b2 − a+ 3ab2

)=

12a4b3 − a3b+ 3a3b3 +

32a3b2 − 3a2

+ 9a2b2 − 2a3b3 + 4a2b− 12a2b3

=12a4b3 − a3b+ a3b3 +

32a3b2 − 3a2 + 9a2b2 + 4a2b− 12a2b3.

b )(x− y2 − 3xy

)·(−2x2y− 3y

). Moltiplicando ogni termine del primo polinomio per

ogni termine del secondo otteniamo.(x− y2 − 3xy

)(−2x2y− 3y

)= −2x3y+ 3xy+ 2x2y3 − 3y3 + 6x3y2 + 9xy2;

c )( 1

2x3 − 2x2) ( 3

4x+ 1).(

12x3 − 2x2

)(34x+ 1

)=

38x4 +

12x3 −

32x3 − 2x2 =

38x4 − x3 − 2x2.



11.6 Esercizi


11.1 - Definizioni fondamentali

11.1. Riduci in forma normale il seguentepolinomio:

5a3 − 4ab− 1 + 2a3 + 2ab− a− 3a3.

Svolgimento: Evidenziamo i termini simili esommiamoli tra di loro:

5a3 − 4ab+ 1 + 2a3 + 2ab− a− 3a3

in modo da ottenere . . . Il termine noto è . . .

11.2. Il grado di:

a ) x2y2 − 3y3 + 5yx − 6y2x3 rispetto allalettera y è . . , il grado complessivo è . .

b ) 5a2 − b+ 4ab rispetto alla lettera b è , ilgrado complessivo è . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3. Stabilire quali dei seguenti polinomisono omogenei:

a ) x3y+ 2y2x2 − 4x4;b ) 2x+ 3 − xy;c ) 2x3y3 − y4x2 + 5x6.

11.4. Individuare quali dei seguenti polino-mi sono ordinati rispetto alla lettera x conpotenze crescenti:

a ) 2 −12x2 + x;

b )23− x+ 3x2 + 5x3;

c ) 3x4 −12x3 + 2x2 − x+

78

.

11.5. Relativamente al polinomio b2 + a4 +

a3 + a2:

á Il grado massimo è . . . . Il grado rispettoalla lettera a è . . . Rispetto alla lettera bè . . .

á il polinomio è ordinato rispetto alla a?á è completo?á è omogeneo?

11.6. Scrivere un polinomio di terzo gradonelle variabili a e b che sia omogeneo.

11.7. Scrivere un polinomio di quarto gradonelle variabili x e y che sia omogeneo e or-dinato secondo le potenze decrescenti dellaseconda indeterminata.

11.8. Scrivere un polinomio di quinto gradonelle variabili r e s che sia omogeneo e ordi-nato secondo le potenze crescenti della primaindeterminata.

11.9. Scrivere un polinomio di quarto gradonelle variabili z e w che sia omogeneo e ordi-nato secondo le potenze crescenti della primaindeterminata e decrescenti della seconda.

11.10. Scrivere un polinomio di sesto gradonelle variabili x, y e z che sia completo e or-dinato secondo le potenze decrescenti dellaseconda variabile.

11.2 - Somma algebrica di polinomi

11.11. Calcolare la somma dei due polinomi: 2x2 + 5 − 3y2x, x2 − xy+ 2 − y2x+ y3.Svolgimento: Indichiamo la somma (2x2 + 5− 3y2x) + (x2 − xy+ 2− y2x+ y3), eliminando

le parentesi otteniamo il polinomio 2x2 + 5 − 3y2x + x2 − xy + 2 − y2x + y3, sommando imonomi simili otteniamo 3x2 − 4x...y... − . . . xy+ y3 + . . .


11.12. Esegui le seguenti somme di polinomi.

a ) a+ b− b;b ) a+ b− 2b;c ) a+ b− (−2b);d ) a− (b− 2b);e ) 2a+ b+ (3a+ b);f ) 2a+ 2b+ (2a+ b) + 2a;g ) 2a+ b− (−3a− b);h ) 2a− 3b− (−3b− 2a);i ) (a+ 1) − (a− 3).

11.13 (∗). Esegui le seguenti somme di polinomi.

a )(2a2 − 3b

)+(4b+ 3a2)+ (a2 − 2b

);

b )(3a3 − 3b2)+ (6a3 + b2)+ (a3 − b2);

c )(

15x3 − 5x2 +

15x− 1

)−

(3x3 −

73x2 +

14x− 1

);

d )(

12+ 2a2 + x

)−

(25a2 +

12ax

)+

[−

(−

32− 2ax+ x2

)+

13a2]−

(32ax+ 2

);

e )(

34a+

12b−

16ab

)−

(98ab+

12a2 − 2b

)+ ab−

34a.

11.3 - Prodotto di un polinomio per un monomio

11.14. Esegui i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio.

a ) (a+ b)b;b ) (a− b)b;c ) (a+ b)(−b);d ) (a− b+ 51)b;e ) (−a− b− 51)(−b);

f ) (a2 − a)a;g ) (a2 − a)(−a);h ) (a2 − a− 1)a2;i ) (a2b− ab− 1)(ab);j ) (ab− ab− 1)(ab);

k ) (a2b− ab− 1)(a2b2);l ) (a2b− ab− 1)(ab)2;

m ) ab(a2b− ab− 1)ab;n ) −2a(a2 − a− 1)(−a2);o ) (x2a− ax+ 2)(2x2a3).

11.15. Esegui i seguenti prodotti di un monomio per un polinomio.

a )34x2y ·

(2xy+

13x3y2

);

b )(a4

4+a3

8+a2

2

)(2a2);

c )(

12a− 3 + a2

)(−

12a

);

d )(

5x+ 3xy+12y2)(

3x2y);

e )(

23xy2 +

12x3 −

34xy

)(6xy);

f ) −y2(

2x−13y

)(6x2y− 3xy

);

g ) (x+ 2)(1 − 3xy2)

(13x+ 1

);

h )(

73− b

)(a−

12b+ 1

)(3a− 2b− 1).


11.4 - Quoziente tra un polinomio e un monomio

11.16. Svolgi le seguenti divisioni tra polinomi e monomi.

a )(2x2y+ 8xy2) : (2xy);

b )(a2 + a

): a;

c )(a2 − a

): (−a);

d )(

12a−

14

):

12

;

e )(

12a−

14

): 2;

f ) (2a− 2) :12

;

g )(

12a−

a2

4

):a

2.


a )(a2 − a

): a;

b )(a3 + a2 − a

): a;

c )(8a3 + 4a2 − 2a

): 2a;

d )(a3b2 + a2b− ab

): b;

e )(a3b2 − a2b3 − ab4) : (−ab2);

f )(a3b2 + a2b− ab

): ab;

g )(16x4 − 12x3 + 24x2) : (4x2).

h )(−x3 + 3x2 − 10x+ 5

): (−5);


a )[(−3a2b3 − 2a2b2 + 6a3b2) : (−3ab)

]·(

12b2)

;

b )(

43a2b3 −

34a3b2

):

(−

32a2b2

);

c )(

2a+a2

2−a3

4

):(a

2

);

d )(

12a−

a2

4−a3

8

):

(12a

);

e )(−4x+

12x3)(

2x2 − 3x+12

);

f )(a3b2 − a4b+ a2b3) : (a2b

);

g )(a2 − a4 + a3) : (a2).

11.5 - Prodotto di polinomi

11.19. Esegui i seguenti prodotti di polinomi.

a )(

12a2b− 2ab2 +

34a3b

)·(

12ab

);

b )(x3 − x2 + x− 1

)(x− 1);

c )(a2 + 2ab+ b2) (a+ b);

d ) (a− 1)(a− 2)(a− 3);e ) (a+ 1)(2a− 1)(3a− 1);f ) (a+ 1)

(a2 + a

) (a3 − a2).


11.20 (∗). Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

a ) (−a− 1 − 2) − (−3 − a+ a);b )(2a2 − 3b

)−[(

4b+ 3a2)− (a2 − 2b)]

;c )(2a2 − 5b

)−[(

2b+ 4a2)− (2a2 − 2b)]

− 9b;


d ) 3a[

2(a− 2ab) + 3a(

12− 3b

)−

12a(3 − 5b)

];

e ) 2(x− 1)(3x+ 1) −(6x2 + 3x+ 1

)+ 2x(x− 1).

11.21. Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

a )(

13x− 1

)(3x+ 1) − 2x

(54x−

12

)(x+ 1) −

12x

(x−

23

);

b )(b3 − b

)(x− b) + (x+ b)

(ab2 − a

)+ (b+ a)

(ab− ab3)+ 2ab

(b− b3);

c ) ab(a2 − b2)+ 2b

(x2 − a2) (a− b) − 2bx2(a− b);

d )(

32x2y−

12xy

)(2x−

13y

)4x;

e )(

12a−

12a2)(1 − a)

[a2 + 2a−

(a2 + a+ 1

)].


a ) (1 − 3x)(1 − 3x) − (−3x)2 + 5(x+ 1) − 3(x+ 1) − 7;

b ) 3(x−

13y

)[2x+

13y− (x− 2y)

]− 2

(x−

13y+ 2

)(2x+ 3y);

c )1

24(29x+ 7) −

12x2 +

12(x− 3)(x− 3) − 2 −

[13−

32

(34x+

23

)];

d ) −14(2abx+ 2a2b2 + 3ax

)+ a2(b2 + x2) −

[(13ax

)2−

(23bx

)2]

;

e )(

13x+

12y−

35

)(13x−

12y+

35

)−

[(13x

)2−

(12y

)2]

.


a )(

12x− 1

)(14x2 +

12x+ 1

)+

(−

12x

)3+ 2

(12x+ 1

);

b ) (3a− 2)(3a+ 2) − (a− 1)(2a− 2) + a(a− 1)(a2 + a+ 1

);

c ) −4x(5 − 2x) +(1 − 4x+ x2) (1 − 4x− x2);

d ) −(2x− 1)(2x− 1) +[x2 −

(1 + x2)]2 − (x2 − 1

) (x2 + 1

).


a ) 4(x+ 1) − 3x(1 − x) − (x+ 1)(x− 1) −(4 + 2x2);

b )12(x+ 1) +

14(x+ 1)(x− 1) −

(x2 − 1

);

c ) (3x+ 1)(

52+ x

)− (2x− 1)(2x+ 1)(x− 2) + 2x3.

11.25 (∗). Risolvi le seguenti espressioni con i polinomi.

a )(a−

12b

)a3 −

(13ab− 1

)[2a2(a− b) − a

(a2 − 2ab

)];

b )(3x2 + 6xy− 4y2)(1

2xy−

23y2)

;

c ) (2a− 3b)(

54a2 +

12ab−

16b2)−

16a

(12a2 −

185b2)+

3730ab2 −

12a

(a2 −

112ab

);


d )13xy

[(x− y2)(x2 −

12y

)− 3x

(−

19xy

)(3y)

]−

13x

(x3y+

14xy2)

.

11.26 (∗). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.

12x

[(x− y2

)(x2 +

12y

)− 5x

(−

110xy

)(4y)

]−

12x

(x3y+

12xy2)

−12x2(x2 +

12y+ xy2

)+

14xy(y2 + 2x3 + xy

).

11.27 (∗). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.(23a− 2b

)(32a+ 2b

)(94a2 + 4b2

)−

34

(94a2)− a2

(94a2 − 5b2

)+ 5ab

(34a2 +

43b2)

.

11.28 (∗). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.(12x+ 2y

)(12x− 2y

)(14x2 − 4y2

)−

14x

(274x3 −

613xy2)

− 16(y4 + x4

)−

3712x2y2 +

1418x4.


x

(23y2 −

278x2)−

[−

(32x−

23y

)(94x2 + xy+

43y2)+

23x2(

94y2 +

13y

)]+

29y(x2 + 4y2 − 9xy

).

11.30 (∗). Risolvi la seguente espressione con i polinomi.(12ab+

23xy

)(12ab−

23xy

)−

[(12ab

)2−

(23xy

)2](

12ax

)+

32ax

(23a−

23y

)− x

(12ax+

34xy

)−

29x2y2(ax− 2) +

14a2b2

(12ax− 1

)+

34x2(y+

23a

).


16ab−

13a2 −

{34ab+

12a

[32b−

(16a−

45a · 25

3a

)(−

23ab

)−

(−

83ab

)(−

98b

)]}+

13a

(a− 5b− 9a3b+

16a2b

).


15x2 +

{[2x−

(32x2y−

74xy+

18y3)

:

(−

12y

)]2x−

710xy

}(−

16x2)

+ x2y−13x

(35x

)− x2

(y− x3 −

112xy2)

.


11.33 (∗). Operazioni tra polinomi con esponenti letterali.

a )(an+1 − an+2 + an+3) : (a1+n);

b )(1 + an+1) (1 − an−1);

c )(16an+1bn+2 − 2a2nbn+3 + 5an+2bn+1) : (2anbn);

d )(an+1 − an+2 + an+3) (an+1 − an

);

e )(an − an+1 + an+2) (an+1 − an−1);

f )(an + an+1 + an+2) (an+1 − an

);

g )(an+2 + an+1) (an+1 + an+2);

h )(1 + an+1) (an+1 − 2

);

i )(an+1 − an

) (an+1 + an

) (a2n+2 + a2n);

j )(

12xn −

32x2n)(

13xn −

12

)−

(13xn − 1

)(xn + x).

11.34. Se si raddoppiano i lati di un rettangolo,come varia il suo perimetro?

11.35. Se si raddoppiano i lati di un triangolorettangolo, come varia la sua area?

11.36. Se si raddoppiano gli spigoli a, b, e c diun parallelepipedo, come varia il suo volume?

11.37. Come varia l’area di un cerchio se sitriplica il suo raggio?

11.38. Determinare l’area di un rettangoloavente come dimensioni 1

2a e 34a

2b.

11.39. Determinare la superficie laterale diun cilindro avente raggio di base x2y ealtezza 1

5xy2.

11.6.3 Risposte

11.13. d) −x2 + x+ 2915a

2,

e) −a2

2 − 724ab+

52b.

11.20. a) −a, b) −9b, c) −18b,d) 6a2 − 63

2 a2b, e) 2x2 − 9x− 3.

11.25. a) a4 − 12a

3b− 13a

4b+ a3,b) 3

2x3y+ x2y2 − 6xy3 + 8

3y4,

c) 12b

3, d) 16xy

4 − 14x

2y2.

11.26. 0.

11.27. −16b4 − 2716a

2.

11.28. 0.

11.29. − 32x

2y2.

11.30. a2x− axy.

11.31. − 79a

4b+ 32a

2b2 − 3ab.

11.32. 12x

4 + 760x

3y.

11.33. a) 1 − a+ a2,b) 1 − an−1 + an+1 − a2n,c) 8ab2 − anb3 + 5

2a2b,

d) a2n+4 − 2a2n+3 + 2a2n+2 − a2n+1,e) a2n+3 − a2n+2 − a2n−1 + a2n,f) −a2n+ a2n+3,g) a2n+4 + 2a2n+3 + a2n+2,i) a2n+2 − an+1 − 2, h) a4n+4 − a4n,j) 7

12x2n + 3

4xn − 1

2x3n − 1

3xn+1 + x.

Prodotti notevoli 12Con l’espressione prodotti notevoli si indicano alcune identità che si ottengono in seguito

alla moltiplicazione di polinomi aventi caratteristiche particolari facili da ricordare.

12.1 Quadrato di un binomio

Consideriamo il binomio A+B in cui A e B rappresentano due monomi ed analizziamoche cosa succede moltiplicando il binomio per se stesso, eseguendo cioè la moltiplicazio-ne (A+B) (A+B), che sotto forma di potenza si scrive (A+B)2.

(A+B)2 = (A+B) (A+B) = A2 +AB+BA+B2 = A2 + 2AB+B2.

Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si ha (A+B)2 = A2 + 2AB+B2.

q Osservazione Il quadrato di un binomio è uguale alla somma tra il quadrato del primotermine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo termine per il secondo.

Analizzando il prodotto ottenuto si può notare che è costituito da tre termini ed in partico-lare due termini sono costituiti dal prodotto di ciascun monomio per se stesso, un termine ècostituito dal prodotto dei due monomi moltiplicato a sua volta per 2.

Nella identità precedente, A e B rappresentano due monomi qualsiasi, quindi la scrit-tura A+ B deve intendersi come somma algebrica di due monomi che, rispetto al segno,possono essere concordi o discordi.

Ne consegue che:

a ) A2 e B2 sono sempre positivi perché prodotto di fattori uguali e quindi concordi;b ) 2AB è positivo se A e B sono concordi, negativo se sono discordi.

a b

a2 ba

ab b2

È possibile dare anche un’interpretazione geometrica del-la formula (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 sostituendo A e Brispettivamente con le misure a e b di due segmenti.

Prendiamo due segmenti di lunghezza a e b, portiamoa coincidere il secondo estremo del segmento lungo a conil primo estremo del segmento di lunghezza b: in questomodo otteniamo un segmento di lunghezza a+ b. Costruia-mo il quadrato di lato a + b, il quale avrà area (a + b)2 edividiamolo come nella figura a fianco.

Puoi notare che il quadrato di lato a+ b è composto dadue quadrati di area rispettivamente a2 e b2 e da due rettan-goli di area ab. Di conseguenza l’area del quadrato è ugualea: (a+ b)2 = a2 + b2 + ab+ ab = a2 + b2 + 2ab.�� b Esercizi proposti: 12.1, 12.2, 12.3, 12.4, 12.5, 12.6, 12.7, 12.8, 12.9, 12.10

219

220 Capitolo 12. Prodotti notevoli

12.2 Quadrato di un polinomio

Si consideri il trinomio A+B+C, il suo quadrato sarà dato da:

(A+B+C)2 = (A+B+C) · (A+B+C)

= A2 +AB+AC+BA+B2 +BC+CA+CB+C2

= A2 +B2 +C2 + 2AB+ 2AC+ 2BC.

Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si può scrivere

(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 + 2AB+ 2AC+ 2BC.

q Osservazione Il quadrato di un polinomio è uguale alla somma dei quadrati dei monomiche lo compongono e dei doppi prodotti di ogni termine per ciascuno dei successivi.

Nel caso di un polinomio composto da quattro monomi si ha:

(x+ y+ z+ t)2 = x2 + y2 + z2 + t2 + 2xy+ 2xz+ 2xt+ 2yz+ 2yt+ 2zt.�� b Esercizi proposti: 12.11, 12.12, 12.13, 12.14, 12.15

12.3 Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza

Si consideri il seguente prodotto:

(A+B) (A−B) = A2 −AB+AB−B2 = A2 −B2. (12.1)

Pertanto, quando eseguiamo il prodotto tra due binomi che hanno due termini uguali edue termini opposti i prodotti incrociati si annullano e rimangono i due prodotti del termineuguale per se stesso e dei due termini opposti, il primo prodotto risulterà sempre positi-vo, il secondo prodotto risulterà sempre negativo. Senza eseguire i passaggi intermedi siha (A+B) (A−B) = A2 −B2.

q Osservazione Il prodotto tra due binomi che hanno due termini uguali e due terminiopposti si ottiene semplicemente moltiplicando tra di loro i due termini uguali e i due terminiopposti.

Esempio 12.1.(3a2 + 5ab

)·(3a2 − 5ab

).

Moltiplichiamo 3a2 · 3a2 e (+5ab) (−5ab), otteniamo 9a2 − 25a2b2.

Esempio 12.2. (−

14x2 + b

)·(+

14x2 + b

).

Osserviamo che il monomio che cambia di segno è 14x

2, nella forma generale (12.1) occorreporre A = b; B = 1

4x2. Il risultato è quindi A2 −B2 = b2 − 1

16x4.

Esempio 12.3. Senza utilizzare la calcolatrice, calcola mentalmente il prodotto 28 · 32.Svolgimento: 28 · 32 = (30 − 2)(30 + 2) = 900 − 4 = 896.

Sezione 12.4. Cubo di un binomio 221

Esempio 12.4. (2x+ 1 − y)(2x+ 1 + y).Possiamo riscrivere il prodotto nella forma(

(2x+ 1︸︷︷︸A

) − y︸︷︷︸B

)((2x+ 1︸︷︷︸A

) + y︸︷︷︸B

)= (2x+ 1)2︸︷︷︸

A2

− y2︸︷︷︸B2

= 4x2 + 4x+ 1 − y2.


12.4 Cubo di un binomio

Si consideri il binomio A+B, il suo cubo sarà dato da:

(A+B)3 = (A+B)2 (A+B) =(A2 + 2AB+B2

)(A+B)

= A3 +A2B+ 2A2B+ 2AB2 +AB2 +B3

= A3 + 3A2B+ 3AB2 +B3.

Pertanto, senza eseguire i passaggi intermedi si ha (A+B)3 = A3 + 3A2B+ 3AB2 +B3.

q Osservazione Il cubo di un binomio è uguale alla somma tra il cubo del primo monomio,il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo, il triplo prodotto delquadrato del secondo monomio per il primo e il cubo del secondo monomio.

Essendo (A−B)3 = [A+ (−B)]3, il cubo della differenza di due monomi si ottienefacilmente dal cubo della somma, quindi (A−B)3 = A3 − 3A2B+ 3AB2 −B3.�� b Esercizi proposti: 12.24, 12.25, 12.26, 12.27

12.5 Potenza n-esima di un binomio

Finora abbiamo calcolato le potenze del binomio a+ b fino all’ordine tre, in questo pa-ragrafo ci si propone di fornire un criterio che permetta di calcolare la potenza (a + b)n,con n ∈N. Osserviamo le potenze ottenute:

(a+ b)0 = 1

(a+ b)1 = a+ b

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

(a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3.

Si può notare che:

á lo sviluppo di ciascuna potenza dà origine a un polinomio omogeneo dello stesso gradodell’esponente della potenza, completo e ordinato secondo le potenze decrescenti di a ecrescenti di b;


á il primo coefficiente è sempre uguale a 1;á i coefficienti di ciascuna riga si ottengono utilizzando una disposizione dei numeri a

triangolo, detto triangolo di Tartaglia.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

In questo triangolo i numeri di ciascuna riga (tranne il primo e l’ultimo che sono uguali a 1)sono la somma dei due soprastanti della riga precedente. Nella figura che segue evidenziamocome costruire il triangolo:

1

1 1

1 2+

1

1 3+

3+

1

1 4+

6+

4+

1

Con questa semplice regola si hanno gli sviluppi:

á (a+ b)0 = 1;á (a+ b)1 = a+ b;á (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2;á (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3;á (a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4;á (a+ b)5 = a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.�� b Esercizi proposti: 12.28, 12.29, 12.30


12.6 Esercizi


12.1 - Quadrato di un binomio

12.1. Completa:

a ) (3x+ y)2 = (3x)2 + 2(3x)(y) + (y)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;b ) (−2x+ 3y)2 = (−2x)2 + 2(−2x)(3y) + (3y)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;c ) (−3x− 5y)2 = (−3x)2 + 2(−3x)(−5x) + (−5x)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;d ) (3x− y)2 = (3x)2 + 2(3x)(−y) + (−y)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;e ) (2x+ 3y)2 = (2x)2 + 2 · (2x) (3y) + (3y)2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

f )(x2 −

12y

)2=(x2)...

+ 2 · (. . . . . .) (− . . . . . .) +(−

12y

)...= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.2. Quali dei seguenti polinomi sono quadrati di binomi?

a ) a2 + 4ab+ 4b2 Sì No

b ) a2 − 2ab− b2 Sì No

c ) 25a2 − 15ab+ 3b Sì No

d )494a4 − 21a2b2 + 9b2 Sì No

e ) a6 + b4 + 2a3b2 Sì No

f ) 25a2 + 4b2 − 20ab2 Sì No

g ) −25a4 −116b4 +

52a2b2 Sì No

h )14a6 +

19b4 +

16a3b2 Sì No

12.3. Completa in modo da formare un quadrato di binomio.

a )916x2 + . . . + y2;

b ) x2 + 2x+ . . .;

c ) 4x2y2 − 2xyz . . .;

d )a4

4− . . . + 4b4;

e ) 9 + 6x+ . . .;

f ) 1 − x+ . . .;

g ) x2 + 4y2 − . . .;

h ) 4x2 − 4xy+ . . .;

i ) 4x2 − 20x+ . . .

12.4. Sviluppa i seguenti quadrati di binomi.

a ) (x+ 1)2;b ) (x+ 2)2;

c ) (x− 3)2;d ) (2x− 1)2;

e ) (x+ y)2;f ) (x− y)2;

g ) (2x+ y)2;h ) (x+ 2y)2.


a ) (−a+ b)2;b ) (−a− 1)2;

c ) (−a+ 3)2;d ) (−a+ 2b)2;

e ) (2a+ 3b)2;f ) (2a− 3b)2;

g ) (3a+ 2b)2;h ) (−2 + 3b)2.


a )(

12a+

34b

)2;

b )(−2x2 −

74y

)2;

c )(

5x3 −43y2)2

;

d )(−1 +

32a2x

)2;

e )(

3a−13a2)2

;

f )(−2 −

12x

)2;

g ) (x+ 1)2;h )(a2 + a

)2.



a )(

32x2 − 2x

)2;

b )(x2 −

12x

)2;

c )(

12a2 − b2

)2;

d )(−

23x−

35x2)2

;

e )(x2n −

12xn)2

;

f )(−22 −

12xn)2

;

g )(−2x2n −

14ym)2

;

h )(xn+1 + xn

)2.

12.8 (∗). Semplifica le seguenti espressioni contenenti quadrati di binomi.

a ) (x− 2y)2 − (2x− y)2;b ) 3(x− y)2 − 2(x+ 2y)2;c ) 3(2x+ 5)2 − 4(2x+ 5)(2x− 5) + 10(2x− 5)2;d )

(x2 + 1

)2− 6

(x2 + 1

)+ 8.


a )12

(x−

12

)2− 2

(x−

12

);

b )12x(y− 1)2 −

32y(x+ 1)2 +

12xy(3x− y+ 8);

c )(

3x−12y

)2−

(12x+ y

)2+ 3x(2 − y)2 − 3y2

(x−

14

)+ 4x(4y− 3);

d ) (x− 1)2 − (2x+ 3)2.


a )12

(2x+

12

)2− 2

(2x−

12

)2;

b ) (2a+ b)2(a− b)2 − 2(3 − b)2(3 + b)2 − (6b+ 2a2)2 + a2b[4a+ 3(b+ 8)];

c )(

32x2 − 2x

)2+

(x2 −

12x

)2−

(32x2 − 2x

)(x2 −

12x

);

d ) (x+ 1)2 + (x− 2)2 +

(x−

13

)2− 2x

(x−

12

)2.

12.2 - Quadrato di un polinomio

12.11. Completa i seguenti quadrati.

a ) (x+ 3y− 1)2 = x2 + . . . . . . + 1 + 6xy− 2x− 6y;

b )(x2 −

12y+ 1

)2= x4 +

14y2 + . . . . . . − x2y+ . . . . . . − y;

c )(

2x2 −x

2+

12

)2= . . . . . . +

x2

4+

14− 2x... + 2x... −

. . .

. . .. . .


12.12. Sviluppa i seguenti quadrati di polinomi.

a ) (a+ b− c)2;b ) (a− b+ c)2;c )(x2 + x+ 1

)2;

d )(x− x2 + 1

)2;

e )(3x2 + 2z− y2)2;

f ) (−a+ b− c)2;g )(6a− 3y3 − 2z2)2;

h )(1 − x− x2)2;

i )(−2ba+ 4 − 6ab2 + 5b2

)2;

j )(2ab+ 3 − 4a2b2 − 2b3)2.

12.13. Sviluppa i seguenti quadrati di polinomi.

a )(

13x3 −

45x2 −

14x

)2;

b )(

3x3 +12y2 −

34

)2;

c )(

5a3 −12ab− 1 − a

)2;

d )(

12x+ 2y2 − 3

)2;

e )(

23y2 − 3x4 +

74z

)2;

f )(

2a+12ab2 − 3b

)2;

g )(

2x3y2 − y2x+ 5x2 +12

)2;

h )(

12x2 +

34x2x− 2xy+

38y

)2;

i )(

23y2 − 3x2 +

34xy

)2;

j )(a− b+

12

)2.

12.14 (∗). Semplifica le seguenti espressioni che contenengono quadrati di polinomi.

a ) (x+ y− 1)2 − (x− y+ 1)2;b ) (2a+ b− x)2 + (2x− b− a)2 − 5(x+ a+ b)2 + b(4a+ 3b);c )(x2 + x+ 1

)2− (x+ 1)2;

d ) (a+ b+ 1)2 − (a− b− 1)2.

12.15. Semplifica le seguenti espressioni che contenengono quadrati di polinomi.

a ) (a− 3b+ 1)2 − (a− 3b)2 − (3b− 1)2 + (a− 3b)(a+ 3b− 1);

b )(

12a2 − b2

)2+

(a− b+

12

)2−

(a+ b−

12

)2;

c ) (a+ b− 1)2 − (a+ b)2 − (a− 1)2 − (b− 1)2.

12.3 - Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza

12.16. Calcola a mente i seguenti prodotti applicando la regola (A+B)(A−B) = A2 −B2.

a ) 18 · 22; b ) 15 · 25; c ) 43 · 37; d ) 195 · 205.


12.17. Esegui i seguenti prodotti applicando la regola (A+B) (A−B) = A2 −B2.

a ) (x− 1) (x+ 1);b ) (a+ 1) (a− 1);c ) (b− 2) (b+ 2);

d ) (2a+ b) (2a− b);e ) (a+ 2b) (a− 2b);f ) (2a+ 3b) (2a− 3b).


a )(l+

12m

)(l−

12m

);

b )(

12u+ v

)(12u− v

);

c )(x−

12

)(x+

12

);

d ) (3a− 5y) (−3a− 5y);

e )(

23x+

32y

)(23x−

32y

);

f )(−

25x−

37y

)(−

25x+

37y

).


a )(x2 +

12z

)(x2 −

12z

);

b )(

23x2 + 3y2

)(−

23x2 + 3y2

);

c )(

23a3 +

12y3)(

−23a3 +

12y3)

;

d )(−2a3 −

73y

)(−2a3 +

73y

);

e )(

5x2 −65y3)(

5x2 +65y3)

;

f )(a5 +

12y4)(

a5 −12y4)

.


a )(−

83x4 −

12x3)(

83x4 −

12x3)

;

b )(

2x5 +32y5)(

2x5 −32y5)

;

c )(−x−

12

)(−x+

12

);

d )(−x−

12

)(−

12+ x

);

e )(−

23x−

35x2)(

23x−

35x2)

;

f )(−

23x−

35x2)(

35x2 −

23x

);

g )(

23x−

35x2)(

−23x−

35x2)

;

h )(

23x+

35x2)(

23x−

35x2)

.

12.21 (∗). Applica la regola della somma per differenza ai seguenti casi.

a ) (2a+ b+ 1)(2a+ b− 1);b ) (3x− b+ c)(3x+ b− c);c ) [(2x+ y) + (3y− 1)] [(2x+ y) − (3y− 1)];d ) (ab− 2b− a)(−ab+ 2b− a);

e )(

12a+ 1 + b+ ab

)(12a+ 1 − b− ab

);

f )(a−

25b+

15ab

)(12a−

25− 5ab

);

g ) (3x− y− 1)(3x+ y− 1).


12.22 (∗). Semplifica le seguenti espressioni con prodotti notevoli.

a ) (a+ b)(a− b) − (a+ b)2;b ) [(x− 1)(1 + x)]2;

c )(

23a− b

)(23a+ b

)−

23(a− b)2 + 2

(13a

)2;

d ) (2x−

12y

)(12y+ 2x

)+

(5x−

15

)(5x+

15

)+

(15− 5x

)(5x+

15

)−

(2x+

12y

)(12y− 2x

).

12.23 (∗). Semplifica le seguenti espressioni con prodotti notevoli.

a )(

23a− b

)(23a+ b

)(b2 +

49a2)

;

b )(−

23x−

23y

)(23x−

23y

)+

(x−

12

)(−x−

12

)+ 2x

(x−

14

)2;

c ) (a+ b− 1)2 + (a− b)2 +

(a−

12b

)(a+

12b

)+ 2a

(a−

12

)− a(5a+ 3) − (2b− 1);

d )(x2 + 2x

)(12x+ 1

)+

(12x− 1

)2−

(12x+ 1

)(−

12x+ 1

)−

12x2(x+ 5).

12.4 - Cubo di un binomio

12.24. Riconosci quali dei seguenti polinomi sono cubi di binomi.

a ) −a3 − 3a2b+ 3ab2 + b3 Sì Nob ) a9 − 6a4b− 12a2b2 − 8b3 Sì Noc ) 8a9 − b3 − 6b2a3 + 12a6b Sì No

d )127a6 − 8b3 + 4a2b2 −

23a4b Sì No

12.25. Sviluppa i seguenti cubi di binomio.

a )(2a+ b2)3

= (2a)3 + 3 · (2a)2 · b2 + 3 (2a) ·(b2)2

+(b2)3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b ) (x− 2y)3 = x... − 6x...y+ 12xy... − . . .y...

c ) (a+ b)2 + (a+ b)(a− b) + (a+ b)3 − a3 − b3 − a2 − b2 − ab.


a ) (x+ y)3;b ) (x− y)3;c ) (−x+ y)3;d ) (a+ 2)3;

e )(

12a+ b

)3;

f ) (a+ 1)3;g ) (a− 1)3;h ) (x+ 2y)3;i ) (y− 2x)3;

j )(a−

23b

)3;

k ) (2x+ y)3;l )(x2y− 3

)3;m ) (xy− 1)3;n )(x2 − 2y

)3;

o )(

12a−

23b

)3.



a ) (a− 3)3;

b )(

12a2 −

32a

)3;

c )(

23x− 1

)3;

d )(x−

13

)3;

e )(

12xy− 2x

)3;

f ) (x+ 3)3;

g )(

25x2y− 5yx2a

)3;

h )(

12x2 + 1

)3;

i )(

34a2b3c2 −

13a2bc2

)3;

j )(−

12+

14xy2z3

)3;

k )(x2 − y2)3;

l )(−3xy2 +

32zx2)3

;

m )(

2x2z+23y2z3x

)3;

n ) −

(12x2 − 1

)3;

o )(

14ab2c− 4a2b

)3.

12.5 - Potenza n-esima di un binomio

12.28. Sviluppa la seguente potenza del binomio.(2a− b2

)4= (2a)4 + 4 · (2a)3 ·

(−b2

)+ 6 (2a)2 ·

(−b2

)2+ . . . (2a) ·

(−b2

)...+(−b2

)...

12.29. Sviluppa le seguenti potenze di binomio.

a ) (a+ 1)5;

b ) (x− 1)6;

c )(a−

12

)4;

d ) (1 − y)7;

e ) (a+ 2)5;

f )(

12a− 1

)4;

g ) (a− 2)6;

h ) (2a− 1)2;

i )(

2 −12a

)5;

j )(3x2a− a2)5;

k )(2x2 − 1

)6;

l )(

13− 2x

)5.

12.30. Trova la regola generale per calcolare il cubo del trinomio (A+B+C)3.


12.31 (∗). Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.

a ) [a+ 2 (b− c)] [a− 2 (b− c)] + 4b(b− 2c);b )[(a− 2b)2 − a3

] [−a3 − (a− 2b)2

]+ a2(a2 − 8ab+ 24b2 − a4);

c ) x(x− 1)2 + (x+ 1)(x− 1) − x(x+ 1)(x− 3) − (x+ 2)2;d ) (x+ 1)2 − (x− 1)2;e ) (x+ 1)3 − (x− 1)3 − 6x2.


a ) (x+ 1)2 + (x− 2)2 − (x− 1)2 − (x+ 1)(x− 1);b ) (x+ 2)(x− 2) + (x+ 2)2;c ) (x+ 1)3 − (x− 1)

(x2 + x+ 1

)+ 3x(x− 1);

d ) (x+ 1)(x− 1) + (x+ 1)2 + (x− 1)2;e ) (x+ y+ 1)(x+ y− 1) + (x+ y)2 − 2(x+ y)(x− y) − (2y− 1)(2y+ 1).



a )(

12a+

23− 3b+

13ab

)(12a−

23− 3b−

13ab

)+

19ab(31+ab) −

(12a−

23

)(12a+

23

);

b ) (x− y)2 + (x+ y)(y− x);c ) (x+ y− z)2 + (x− y+ z)2 − 2(x− y− z)2;d ) (a− 3b)2 + (2a+ 3b)(2a− 3b) − (a+ 2b)(b− 2a);

e )[3x2 − (x+ 2y)(x− 2y)

]2− 2x

(12x−

32y

)2− 3xy

(x+

32y

)−(2x2 + 4y2)2.

12.34. Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.

a )[(x+ 2y)2 −

(x2 − 2y

)2] [

(x+ 2y)2 +(x2 − 2y

)2];

b ) (a+ 2b− 3c)(a+ 2b+ 3c)(a2 − b

) (−a2 − b

)+ (2a− b)3;

c )(x2 + yx+

23

)2−

(3b2 +

12a4 + 2a3 +

13a2)2

;

d )(

3x2 − 4xy+25− y2x+

12y3)2

+

(2x2y2 +

32y2)(

2x2y2 −32y2)

.


a ) −2x(x− 1)2 + 2x(x−

13

)2−

43x

(2x−

43

);

b ) (a− 2b)4 − b(2a− b)3 − a2(a+ 6b)2;c ) [(x− 1)2 − 2]2 −

(x2 + x− 1

)2+ 6x(x− 1)(x+ 1);

d ) (x+ 1)4 − (x+ 1)2(x− 1)2 − 4x(x+ 1)2;

e )(x− 2)(x+ 2)

4+

(x− 2)2

(−2)2 + x.


a )(

2x−13

)3+ 4

(x+

12

)2;

b ) (x+ 1)3 − 3(x− 1)(−1 − x) + (x− 4)(x+ 1);

c )(x−

13

)2+

(x+

13

)2− (x+ 1)2 −

(x−

43

)(x+

43

);

d ) (x− 3)3 − x2(x− 9) − 9(x− 3) − 9;e ) x(x− 1)2(x+ 1) + (x− 1)2 − x(x− 1)3.


a ) −12x

(x+

34

)(2x+ 1) −

[x+ 1

(x−

12

)(3x+

12

)2]+

18(5x+ 1);

b )19(x− 4)(x+ 4) +

13(x− 1)2 −

19x(x− 2) +

(x−

52

)(x+

13

)+

4118

;

c )(

12x2 + 1

)3+

16x2 −

(12x2 − 1

)3−

16(x+ 1)3 −

32x4 +

16(x3 − 11

);

d ) −x2 (x2 − 1)+(x2 − 4x+ 2

)2+ 4(x− 1)2 + 8(x− 1)3;


e ) x(2x2 + 3x

)2− 2x3

(2x−

12

)2+ x3(x− 2)3 − x2 (x3 + 2x2) (x− 12).


(x− y)3 − (y− x)3 + 2xy(x+ y)(x− y) − 7(x− y)(x2 + xy+ y2

)+ 5

(x3 − y3

)− 2xy(x+ y)(x− y+ 3).


(3ab−

12a

)2+

12a+ 2b

(12a− b

)(12a+ b

)−

(1 −

32a

)3

− 9a2(

38a+ b2 −

1318

)+ 5a

(12ab− 1

).


13x

{x2 − 1 −

[3x(x−

13

)2−

23x

(x−

23

)3]}

−29x(x− 3x2

)(x+ 3x2

)−

19x2(

20x3 − 13x2 +293x−

4327

).


(x−

12y

)2−

(2x+

12y2)2

+

(x+

12y

)(−x+

12y

)+ (x− y)3 + x2(3y+ 4)

+ xy(1 − y) +12y2(y− 1)(y+ 1).

12.42. Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.

a )(

25zx3 − 3x2y

)(25zx3 + 3x2y

)+

(2x2y2z3 +

12z2x2y

)3;

b ) −2t(t− x) − 3t2 + x(x+ t)(t− x) + (x− t)2 −12

(x−

12t

)3;

c )19(x− 4)(x+ 4) +

13(x− 1)2 −

19x(x− 2)2 − x

(x−

52

)(52− x

)+

52

(12x−

13

)2.


a )

[(13x+

23y

)2−

(13x

)2]:

(13y

)+

(13y− 1

)3+

13(y− 8)(y− 7) +

13(1 + 8y);

b ) −

(14x+ 1

)2−

116

(2x− 1)2 −12(3 − x)2 −

316x2 + 5 +

(x+

34

)2;

c )(x−

12

)(x2 +

14+

12x

)−

(x+

12

)(x−

12

)−

(x+

12

)3−

12

(7x2 −

34

)+

38(2x− 1);


d ) (1 − xn)2 − (2xn − 1)2 −(2xn+1)2

+(x2n − 1

) (x2n + 1

).

12.44 (∗). Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.(13ab−

25xy

)(−

13ab−

25xy

)− 4x2

(15y−

32

)2−

(x−

13ab

)(x+

13ab

)+ 10x2

(1 −

625y

).

12.45 (∗). Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.(x+

12

)2+ 2

(x−

12

)3− 2

(x+

12

)(x−

12

)− x

[(x+ 1)(x+ 2) + (x+ 1)2 +

12x

]+

12

(x2 + x− 1

).

12.46 (∗). Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.(32x− 2y

)(32x+ 2y

)(94x2 + 4y2

)+ x

(12x− 2y

)2+

(32x+ 2y

)3

−34x

(x−

23y

)(x+

23y

)+

(4y2 −

94x2)(

4y2 +94x2)

+12xy

(y−

16x

)−

(52x+ 2y

)3+

514x3.

12.47 (∗). Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.(x+

13y

)(x−

13y

):

13−

(x+

12xy

)2:

(−

12x2)+

13(−3x+ y)(3x+ y)

−12

(y2 + 4y+ 4

).


14(x+ 1)4 +

12(x+ 1)2 +

18

(x2 + 1

)(x+ 1)(x− 1) −

(2x2 − 2x+ 1

)2

+ 9x3(

38x− 1

)+

14x2(x2 + 16

)+ 6x−

38

.

12.49 (∗). Risolvi utilizzando i prodotti notevoli.[2(a−

12b

)(a+

12b

)]2−(

2a2 − b)(

2a2 + b)− 6a2(a− 2b)(2b− a)

− b2(

22a2 +14b2 + 1

)− 6a3(a− 4b).

12.6.3 Risposte

12.8. a) 3y2 − 3x2, b) x2 − 14xy− 5y2.


12.9. b) 12x−

32y, c) 35

4 x2, d) −3x2 − 14x− 8.

12.10. a) −6x2 + 5x− 38 , b) 2ab3 − b4 − 162.

12.14. a) 4xy− 4x, b) −18ax− 16bx, c) x4 + 2x3 + 2x2, d) 4ab+ 4a.

12.21. d) a2 −a2b2 + 4ab2 − 4b2, e) −a2b2 + 14a

2 − 2ab2 +a−b2 + 1, g) 9x2 − 6x−y2 + 1.

12.22. a) −2ab− 2b2, b) x4 − 2x2 + 1, c) 43ab−

53b

2, d) 8x2 − 12y

2.

12.23. a) 1681a

4 − b4, c) 74b

2 − 4b− 6a+ 2, d) x.

12.31. a) a2 − 4c2, b) +32ab3 − 16b4, c) −5, d) 4x, e) 2.

12.32. a) 5, b) 2x2 − 4x, c) 6x2 + 2, d) 3x2 + 1, e) 4xy.

12.33. a) 9b2, b) 2y2 − 2xy, c) 7a2 − 3ab− 2b2, d) 4xy+ 4xz− 8yz, e) − 12x

3 − 9xy2.

12.35. a) 0, b) 17b4 − 38ab3 − 28a3b, c) 3x2, d) 0, e) 12x

2.

12.36. a) 8x3 + 143 x+

2627 , b) x3 + 7x2 − 6, c) 1 − 2x, d) 18x− 9, e) 2x3 − 3x2 + 1.

12.37. a) 8x3 − 114 x

2, b) 43x

2 − 4718x, c) − 1

2x−13x

2, d) x2, e) 52x4 + 12x

3.

12.38. −12x2y.

12.39. 2b3 − 3.

12.40. − 13x

12.41. x3 − y3 + 14y

4.

12.43. a) 43x+

y3

27 + 18, b) 174 x, c) −6x2, d) −1 + 2xn − 3x2n − 4x2n+2 + x4n.

12.44. 0.

12.45. −9x2.

12.46. − 436 xy

2y− 31312 x

2y.

12.47. 0.

12.48. −2x2 + 12x− frac34.

12.49. 0.

Divisione tra due polinomi 1313.1 Polinomi in una sola variabile

Ricordiamo la divisione tra due numeri, per esempio 147 : 4. Si tratta di trovare unquoziente q e un resto r < 4, in modo che 147 = q× 4 + r. Un algoritmo per trovare questidue numeri è il seguente:

1 4 7 41 2 3 6

2 72 4

3

dividendo

resto

divisore

quoziente

Verifichiamo che 147 = 36× 4 + 3, dunque q = 36 e r = 3 soddisfano la nostra richiesta.In questo paragrafo ci proponiamo di estendere questo algoritmo dal calcolo numerico al

calcolo letterale, in particolare alla divisione tra polinomi.Nell’insieme dei polinomi in una sola variabile, ad esempio x, vogliamo definire l’ope-

razione di divisione, cioè, assegnati due polinomi, A(x) dividendo e B(x) divisore, vogliamodeterminare altri due polinomi,Q(x) quoziente e R(x) resto, con grado di R(x) minore del gradodi B(x), per i quali: A(x) = B(x)·Q(x) + R(x).

Per eseguire l’operazione si usa un algoritmo molto simile a quello usato per la divisionetra numeri interi. Illustriamo l’algoritmo con un esempio.

Esempio 13.1. Eseguire la divisione tra i polinomi A(x) = 3x4 + 5x− 4x3 − 1 e B(x) = 3x2 − 1.Prima di eseguire l’algoritmo dobbiamo sempre controllare che:

á il dividendo sia di grado maggiore o uguale a quello del divisore: A(x) ha grado 4, B(x)grado 2;

á i polinomi siano ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile, in questo casola x; poiché ciò non è vero, riscriviamo A(x) ordinato: A(x) = 3x4 − 4x3 + 5x− 1;

á dividendo e divisore siano in forma completa, cioè abbiano i termini con tutti i gradi; nelnostro esempio, i due polinomi non sono in forma completa, quindi inseriamo i terminimancanti ponendo 0 come coefficiente delle potenze mancanti:

A(x) = 3x4 − 4x3 + 0x2 + 5x− 1;B(x) = 3x2 + 0x− 1.

Passo I Disponiamo i polinomi secondo il seguente schema, del tutto simile a quello usatoper la divisione tra numeri.

233

234 Capitolo 13. Divisione tra due polinomi

3x4 −4x3 +0x2 +5x −1 3x2 +0x −1

dividendo

Spazio per i calcoli

divisore

Spazio per il quoziente

Passo II Dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore, ot-teniamo x2 che è il primo termine del quoziente; esso va riportato nello spazio dedicato alquoziente.

3x4 −4x3 +0x2 +5x −1 3x2 +0x −1

x2

:

Passo III Moltiplichiamo il primo termine ottenuto per tutti i termini del divisore e trascri-viamo il risultato del prodotto sotto il dividendo, avendo cura, per essere facilitati nel calcolo,di:

á incolonnare i termini con lo stesso grado, ossia scrivere i risultati del prodotto in ordineda sinistra verso destra;

á cambiare tutti i segni ottenuti, in questo modo risulta più pratico eseguire la sommaalgebrica dei polinomi invece della sottrazione.

3x4 −4x3 +0x2 +5x −1 3x2 +0x −1

−3x4 −0x3 +x2 x2

Passo IV Sommiamo il dividendo con il polinomio sottostante e riportiamo il risultato inun’altra riga. Questo polinomio si chiama primo resto parziale. Notiamo che ha grado 3,maggiore del grado 2 del divisore, pertanto la divisione va continuata.

3x4 −4x3 +0x2 +5x −1 3x2 +0x −1

−3x4 −0x3 +x2 x2

−4x3 +x2 +5x −1

Passo V Ripetiamo il procedimento tra il resto parziale ottenuto, −4x3 + x2 + 5x− 1 e ildivisore 3x2 + 0x− 1. Dividiamo il primo termine del resto che è −4x3 per il primo terminedel divisore che è 3x2. Otteniamo − 4

3x che è il secondo termine del quoziente.

Sezione 13.1. Polinomi in una sola variabile 235

3x4 −4x3 +0x2 +5x −1 3x2 +0x −1

−3x4 −0x3 +x2 x2 −43x

−4x3 +x2 +5x −1

Passo VI Proseguiamo moltiplicando − 43x per B(x), riportiamo il risultato del prodotto, con

segno opposto, sotto i termini del primo resto parziale e addizioniamo i due polinomi.

3x4 −4x3 +0x2 +5x −1 3x2 +0x −1

−3x4 −0x3 +x2 x2 −43x

−4x3 +x2 +5x −1

−4x3 +0x2 −43x

x2 +113x −1

Passo VII Possiamo ripetere per l’ultima volta il procedimento precedente tra il resto par-ziale Rp(x) = x2 + 11

3 x− 1 e il divisore B(x) in quanto hanno lo stesso grado. Dividendo iltermine di grado maggiore di Rp(x), che è x2, per il termine di grado maggiore di B(x) cheè 3x2 si ottiene 1

3 che è il terzo termine del polinomio quoziente.

3x4 −4x3 +0x2 +5x −1 3x2 +0x −1

−3x4 −0x3 +x2 x2 −43x +

13

−4x3 +x2 +5x −1

+4x3 +0x2 −43x

x2 +113x −1

−x2 +0x +13

+113x −

23

Non possiamo più ripetere l’algoritmo poiché il resto ottenuto ha grado minore del gradodel divisore.

In conclusione A(x) : B(x) ha quoziente Q(x) = x2 −43x+

13

e resto R(x) = +113x−

23

.


Verifica Verifichiamo se abbiamo svolto correttamente i calcoli; dovrebbe risultare, comedetto sopra: A(x) = Q(x) ·B(x) + R(x).(

3x2 − 1)(x2 −

43x+

13

)+

113x = 3x4 − 4x3 − x2 +

43x−

13+

113x−

23

= 3x4 − 4x3 +153x−

33

= x4 − 4x3 + 5x− 1

= A(x).

I polinomi Q(x) e R(x) soddisfano quindi le nostre richieste. Ma sono unici? È semprepossibile trovarli? A queste domande risponde il seguente teorema.

Teorema 13.1 (Divisione euclidea). SianoA(x) e B(x) due polinomi in una sola variabile, esistonoe sono unici due polinomi Q(x) e R(x), con grado di R(x) minore o uguale del grado di B(x), taliche A(x) = Q(x) ·B(x) + R(x).

q Osservazione Nel caso in cui il grado di A(x) sia minore del grado di B(x) il teoremaresta valido, in questo caso Q(x) = 0 e R(x) = A(x). Nel caso di polinomi in più variabili ilteorema della divisione euclidea non vale.

Definizione 13.1. Si dice che un polinomio A (dividendo) è divisibile per un polinomio B(divisore) se esiste un polinomio Q (quoziente) per il quale A = Q ·B.

Esempio 13.2. Eseguiamo la divisione tra A(x) = x3 − 2x2 + x− 2 e B(x) = x2 + 1. I duepolinomi sono ordinati secondo potenze decrescenti della variabile, il grado di A è maggioredel grado di B e quest’ultimo deve essere completo. Inseriamoli nello schema per eseguirel’algoritmo. Risulta:

(x3 − 2x2 + x− 2

):(x2 + 1

)= (x− 2); il resto R(x) è il polinomio nullo

e A(x) è divisibile per B(x). Infatti(x2 + 1

)· (x− 2) =

(x3 − 2x2 + x− 2

).

x3 −2x2 +x −2 x2 +0x +1

−x3 −0x2 −x x −2

−2x2 +0x −2

−2x2 +0x −2

0

In conclusione, se A(x) è un polinomio di grado n e B(x) un polinomio di grado mcon n > m, quando si esegue la divisione tra A e B si ottiene un polinomio quoziente Q(x)

di grado n−m e un polinomio R(x) di grado g < m. Si dimostra che i polinomi Q(x) e R(x)sono unici.

Se R(x) è il polinomio nullo, la divisione è esatta e il polinomio A è divisibile per ilpolinomio B. Se n < m, allora la divisione non si può eseguire e si ottiene la frazionealgebrica AB .�� b Esercizi proposti: 13.1, 13.2, 13.3, 13.4, 13.5

Sezione 13.2. Polinomi in più variabili 237

13.2 Polinomi in più variabili

Per la divisione tra polinomi in più variabili riportiamo soltanto qualche esempio

Esempio 13.3. Siano A(a,b) = 3a2b+ 4ab2 + 3a3 − 2b3 e B(a,b) = a− 3b rispettivamentedividendo e divisore di una divisione tra polinomi; essi sono due polinomi omogenei nelledue variabili a e b rispettivamente di grado 3 e grado 1.

Per eseguire la divisione procediamo come nel caso di polinomi in una sola variabile.Dividiamo il polinomio A(a,b) = 3a2b+ 4ab2 + 3a3 − 2b3 per il polinomio B(a,b) = a− 3brispetto alla variabile a. Controlliamo le condizioni:

á A e B sono ordinati rispetto alla variabile a? No. A non lo è. Quindi ordiniamo A:

A(a,b) = 3a3 + 3a2b+ 4ab2 − 2b3;

á il grado di A è maggiore o uguale al grado di B? Sì;á A e B sono completi rispetto alla variabile a? Sì.

Costruiamo lo schema per eseguire l’algoritmo e procediamo:

3a3 +3a2b +4ab2 −2b3 a −3b

. . . 3a2 -. . .

Il quoziente è Q = . . . . . . . . .; il resto R = 118b3

Verifica . . . . . . . . . . . . . . . . . .Se avessimo eseguito la divisione rispetto alla variabile b, avremmo ottenuto stesso

quoziente e stesso resto? Proviamo. Controlliamo le condizioni:

á A e B sono ordinati rispetto alla variabile b? No. Ordinando A, risulta:

A(a,b) = −2b3 + 4ab2 + 3a2b+ 3a3 + 3a2b;

e ordinando B, risultaB(a,b) = −3b+ a;

á il grado di A è maggiore o uguale al grado di B? Sì;á A e B sono completi rispetto alla variabile b? Sì.

Costruisci lo schema dell’algoritmo e concludi.�� b Esercizi proposti: 13.6, 13.7

13.3 Regola di Ruffini

Per eseguire la divisione tra due polinomi, nel caso in cui il divisore sia di grado 1 si puòapplicare una regola nota come regola di Ruffini e che si basa sui seguenti teoremi.

Teorema 13.2. Il resto della divisione di un polinomio A(x) per un binomio del tipo x− k è ugualeal valore che A(x) assume quando al posto della variabile x si sostituisce il valore k, R = A(k).


Dimostrazione. Dalla divisione di A(x) per x− k otteniamo la seguente uguaglianza:

A(x) = (x− k) ·Q(x) + R

in cui si è scritto R anziché R(x), poiché è una costante.Essendo tale relazione valida per qualsiasi valore che si attribuisce alla variabile x, sosti-

tuiamo al suo posto il valore k e otteniamo:

A(k) = (k− k)︸︷︷︸0

·Q(k) + R = R.

Ciò vuol dire che il valore assunto da A(x) quando x = k è proprio uguale al resto delladivisione.

Teorema 13.3 (di Ruffini). Condizione necessaria e sufficiente affinché un polinomio A(x) siadivisibile per un binomio del tipo x− k è che risulti A(k) = 0.

Dimostrazione. Prima implicazione: A(x) divisibile per x− k⇒ A(k) = 0.Poiché A(x) è divisibile per x− k, per definizione di divisibilità deve essere R = 0. Ma,

per il teorema del resto, A(k) = R = 0, quindi, per la proprietà transitiva dell’uguaglianza,A(k) = 0.

Seconda implicazione: A(k) = 0⇒ A(x) divisibile per x− k.Il resto della divisione del polinomio A(x) per il binomio x− k, per il teorema del resto

risulta R = A(k) e per ipotesi A(k) = 0, ne segue che R = 0. Per definizione di divisibilità,essendo il resto della divisione zero, segue che A(x) è divisibile per x− k.

Procedura 13.4. Dividere un polinomio con la regola di Ruffini:

a ) calcolo del resto;b ) applicazione del procedimento di divisione;c ) verifica.

Esempio 13.4.(a2 − 3a+ 1

): (a− 1).

Dividiamo con la regola di Ruffini il polinomio A(a) = a2 − 3a+ 1 per il binomio B(a) =a− 1; cerchiamo quoziente Q(a) e resto R(a).

Passo I Calcolo del polinomio resto.Si considera il termine numerico del polinomio divisore cambiato di segno (nell’esempio

è 1) e si sostituisce alla lettera del polinomio dividendo A(a): (1)2 − 3(1) + 1 = 1 − 3 + 1 = −1.Il resto della divisione è −1.

Passo II Applicazione del procedimento di divisione.Disegnare il seguente schema di Ruffini: scrivere i coefficienti numerici del polinomio

dividendo, secondo le potenze decrescenti della variabile. Se manca un termine occorremettere 0. L’ultimo termine numerico è messo esternamente alla griglia. Nell’angolo asinistra dello schema si pone il termine numerico del polinomio divisore cambiato di segno,nell’esempio è 1.

Sezione 13.3. Regola di Ruffini 239

1 −3 1

1

Coefficienti numerici del divendo

Termine noto del di-visore cambiato disegno

Termine noto deldividendo

Il primo termine si riporta inalterato nellaparte sottostante: 1 −3 1

1

1

Moltiplicare il termine noto del divisore(cambiato di segno) per il primo coefficienteappena trascritto e riportare il risultato sottoil secondo coefficiente

1 −3 1

1 1

1

Sommare i due termini appena incolonna-ti −3 + 1 = −2. 1 −3 1

1 1

1 −2

Moltiplicare il termine noto del divisore(cambiato di segno) per la somma appenaottenuta 1 · (−2) = −2.

1 −3 1

1 1 −2

1 −2


Addizionare gli ultimi due numeri inco-lonnati 1 − 2 = −1. 1 −3 1

1 1 −2

1 −2 −1

quozienteresto

Infine si ricostruisce il polinomio quoziente, tenendo presente che i coefficienti numericisono quelli trovati da questa divisione, cioè 1 e −2. Quoziente e resto sono alloraQ(x) = a− 2e R = −1.

Passo III VerificaCome nella divisione con i numeri si moltiplica il polinomio risultato per il polinomio

divisore e si somma il polinomio resto. Il risultato deve essere il polinomio dividendo.

(a− 2)(a− 1) + (−1) = a2 − a− 2a+ 2 − 1 = a2 − 3a+ 1.

Esempio 13.5. (4x3 − 5x+ 6) : (x+ 1).Applicazione del procedimento di divisione

4 0 −5 6

−1 −4 +4 +1

4 −4 −1 7

Termine noto deldivisore cambiato disegno

Coefficienti delpolinomio quoziente

Resto

Q(x) = 4x2 − 4x− 1 R = 7.

Verifica.

Q(x) ·B(x) + R = A(x)

(4x2 − 4x− 1

)· (x+ 1) + 7 = 4x3 + 4x2 − 4x− x− 1 + 7 = 4x3 − 5x+ 6

Vediamo il caso in cui il binomio che fa da divisore ha coefficiente numerico della variabilediverso da 1.

Sezione 13.3. Regola di Ruffini 241

Esempio 13.6. Dividere con la regola di Ruffini(2x4 − x3 − 4x2 + 2x+ 7

): (2x− 1).

In questo tipo di esercizi si deve rendere il divisore del tipo x + n, quindi nel nostrocaso si deve dividere sia il dividendo sia il divisore per 2; sappiamo, infatti, dalla proprietàinvariantiva della divisione che dividendo per uno stesso numero dividendo e divisore ilquoziente della divisione non cambia. Il resto invece risulterà diviso per 2. Quindi applichiamol’algoritmo precedente e ricordiamoci al termine della divisione di moltiplicare il resto per 2.

La divisione allora diventa(x4 − 1

2x3 − 2x2 + x+ 7

2):(x− 1

2).�� b Esercizi proposti: 13.8, 13.9, 13.10, 13.11, 13.12

13.3.1 Calcolo del resto

Si considera il termine numerico del polinomio divisore cambiato di segno (nell’esempioè + 1

2 ) e si sostituisce alla lettera del polinomio dividendo. Il risultato che si ottiene è il

resto della nuova divisione( 1

2)4

− 12( 1

2)3

− 2( 1

2)2

+ 12 + 7

2 = − 116 − 1

2 + 12 + 7

2 = 72 resto della

divisione.Applicazione del procedimento di divisione.

1 − 12 −2 +1 7

2

12

12 0 −1 0

1 0 −2 0 72

Adesso si pone la lettera per ogni termine del polinomio risultato partendo dal gradodel polinomio dividendo diminuito di 1. Il risultato è quindi il polinomio x3 − 2x, il restoè 7

2 · 2 = 7.

Verifica Per la proprietà della divisione si moltiplica il quoziente per il polinomio divisore esi somma il resto ottenuto. Il risultato deve essere il polinomio dividendo.(

x3 − 2x)(2x− 1) + 7 = 2x4 − x3 − 4x2 + 2x+ 7.

In generale, se si vuole dividere il polinomio A(x) per il binomio (nx−α), utilizzando laproprietà invariantiva della divisione, basta dividere dividendo e divisore per n. Si ottengo-no Q(x) e resto. Per ottenere il resto della divisione di partenza occorre moltiplicare per ilcoefficiente n. Infatti si ha: A(x) = (nx−α)Q(x) + R e, dividendo ambo i membri per n, si ha:

A(x)

n=(x−

α

n

)Q(x) +

R

n.�� b Esercizi proposti: 13.13, 13.14, 13.15, 13.16, 13.17, 13.18


13.4 Esercizi


13.1 - Divisioni in una variabile

13.1. Completa la divisione

7x4 +0x3 −5x2 +x −1 2x2 +0x −1

. . .72x . . .

−32x2 +x −1

. . .

x −74

13.2 (∗). Esegui le divisioni tra polinomi.

a )(3x2 − 5x+ 4

): (2x− 2);

b )(4x3 − 2x2 + 2x− 4

): (3x− 1);

c )(5a3 − a2 − 4

): (a− 2);

d )(6y5 − 5y4 + y2 − 1

):(2y2 − 3

).


a )(−7a4 + 3a2 − 4 + a

):(a3 − 2

);

b )(x7 − 4

):(x3 − 2x2 + 3x− 7

);

c )(x3 −

12x2 − 4x+

32

):(x2 + 3x

);

d )(

2x4 + 2x3 −152x2 − 15x− 7

): (2x+ 3).


a )(6 − 7a+ 3a2 − 4a3 + a5) : (1 − 2a3);

b ) (a6 − 1) : (1 + a3 + 2a2 + 2a);

c )(a4 −

54a3 +

118a2 −

a

2

):(a2 −

a

2

);

d )(2x3 − 6x2 + 6x− 2

): (2x− 2).

13.5. Esegui le divisioni tra polinomi.

a )(2x5 − 11x3 + 2x+ 2

):(x3 − 2x2 + 1

);

b )(15x4 − 2x+ 5

):(2x2 + 3

);

c )(−

92x2 − 2x4 +

12x3 −

698x−

94−

43x5)

:

(−2x2 − 3x−

34

).


13.2 - Polinomi in più variabili

13.6. Dividi il polinomio A(x,y) = x3 + 3x2y+ 2xy2 per il polinomio B(x,y) = x+ y rispettoalla variabile x. Il quoziente è Q(x,y) = . . . . . . . . ., il resto è R(x,y) = 0.

Ordina il polinomio A(x,y) in modo decrescente rispetto alla variabile y ed eseguinuovamente la divisione. Il quoziente è sempre lo stesso? Il resto è sempre zero?

13.7. Esegui le divisioni tra polinomi rispetto alla variabile x.

a )(3x4 + 5ax3 − a2x2 − 6a3x+ 2a4) : (3x2 − ax− 2a2);

b )(−4x5 + 13x3y2 − 12y3x2 + 17x4y− 12y5) : (2x3 − 3yx2 + 2y2x− 3y3);

c )(x5 − x4 − 2ax3 + 3ax2 − 2a

):(x2 − 2a

).

13.3 - Regola di Ruffini

13.8. Completa la seguente divisione utilizzando la regola di Ruffini:(x2 − 3x+ 1

): (x− 3).

á Calcolo del resto: (+3)2 − 3(+3) + 1 = . . .;á calcolo del quoziente: Q(x) = 1x+ 0 = x R = . . .;á verifica: (x− 3) · x+ . . . = x2 − 3x+ 1.

13.9 (∗). Risolvi le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini.

a )(3x3 − 4x2 + 5x− 1

): (x− 2);

b )(x5 − x3 + x2 − 1

): (x− 1);

c )(x4 − 10x2 + 9

): (x− 3).


a )(x4 + 5x2 + 5x3 − 5x− 6

): (x+ 2);

b )(4x3 − 2x2 + 2x− 4

): (x+ 1);

c )(

43y4 − 2y2 +

32y− 2

):

(y+

12

).


a )(

13x5 −

32x− 2

): (x+ 2);

b )(

2a−43a4 − 2a2 −

13

):

(a−

12

);

c )(

43y4 −

32y3 +

32y− 2

): (y+ 3).

13.12. Risolvi le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini.

a )(27x3 − 3x2 + 2x+ 1

): (x+ 3);

b )(2x4 − 5x3 − 3x+ 2

): (x− 1);

c )(

34x2 −

x3

3+ 2x4

):

(2x−

32

).


13.13. Risolvi le seguenti divisioni utilizzando la regola di Ruffini.

a )(6a3 − 9a2 + 9a− 6

): (3a− 2);

b ) (2x4 − 3x2 − 5x+ 1) : (2x− 3);

c )(x5 +

13x4 − 2x2 −

23x

):

(x+

13

).


a )(x3 − 2x2 + 2x− 4

): (2x− 2);

b )(3x4 − 2x3 + x− 1

): (2x− 3);

c )(

32a4 − 2a2 + a−

12

): (3a− 1).

13.15 (∗). Risolvi le seguenti divisioni nella variabile a.

a )(3a4b4 + a2b2 + 2ab+ 2

): (ab− 1);

b )(3a4b2 − 2a2b

): (a2b− 3).

13.16 (∗). Risolvi le seguenti divisioni nella variabile x utilizzando la regola di Ruffini.

a )(x4 − ax3 − 4a2x2 + 7a3x− 6a4) : (x− 2a);

b )(x4 − 2ax3 + 2a3x− a4) : (x+ a).

13.17 (∗). Risolvi utilizzando, quando puoi, il teorema di Ruffini.

a ) Per quale valore di k il polinomio x3 − 2x2 + kx+ 2 è divisibile per x2 − 1?b ) Per quale valore di k il polinomio x3 − 2x2 + kx è divisibile per x2 − 1?c ) Per quale valore di k il polinomio x3 − 3x2 + x− k è divisibile per x+ 2?d ) Scrivi, se possibile, un polinomio nella variabile a che, diviso per a2 − 1 dà come

quoziente a2 + 1 e come resto −1.

13.18 (∗). Risolvi utilizzando il teorema di Ruffini.

a ) Trovare un polinomio di secondo grado nella variabile x che risulti divisibile per (x− 1)e per (x− 2) e tale che il resto della divisione per (x− 3) sia uguale a −4;

b ) Per quale valore di a la divisione(2x2 − ax+ 3

): (x+ 1) dà resto 5?

c ) Per quale valore di k il polinomio 2x3 − x2 + kx− 3k è divisibile per x+ 2?d ) I polinomiA(x) = x3 + 2x2 − x+ 3k− 2 e B(x) = kx2 −(3k− 1)x− 4k+ 7 divisi entrambi

per x+ 1 per quale valore di k hanno lo stesso resto?

13.4.2 Risposte

13.2. a) Q(x) = 32x− 1;R(x) = 2, b) Q(x) = 4

3x2 − 2

9x+1627 ;R(x) = − 92

27 , c) Q(a) = 5a2 +

9a+ 18; R(a) = 32, d) Q(y) = 3y3 − 52y

2 + 92y−

134 ; R(y) = 27

2 y−434 .

13.3. a) Q(a) = −7a;R(a) = 3a2 − 13a− 4, b) Q(x) = x4 + 2x3 + x2 + 3x+ 17;R(x) = 32x2 − 30x+ 115, c) Q(x) = x − 7

2 ; R(x) = 132 x +

32 , d) Q(x) = x3 − 1

2x2 − 3x − 3;

R(x) = 2.

13.4. a) Q(a) = 2 − 12a

2;R(a) = 72a

2 − 7a + 4, b) Q(a) = a3 − 2a2 + 2a − 1;R(a) = 0,c) Q(a) = a2 − 3

4a+ 1;R(a) = 0, d) Q(x) = x2 − 2x+ 1;R(x) = 0.


13.9. a) Q(x) = 3x2 + 2x+ 9;R(x) = 17, b) Q(x) = x4 + x3 + x+ 1;R(x) = 0,c) Q(x) = x3 + 3x2 − x− 3;R(x) = 0.

13.10. a) Q(x) = x3 + 3x2 − x− 3;R(x) = 0, b) Q(x) = 4x2 − 6x+ 8;R(x) = −12,c) Q(y) = 4

3y3 − 2

3y2 − 5

3y+73 ;R(y) = − 19

6 .

13.11. a) Q(x) = 13x

4 − 23x

3 + 43x

2 − 83x+

236 ;R(x) = − 29

3 , b) Q(a) = − 43a

3 − 23a

2 − 73a+

56 ;

R(a) = 112 , c) Q(y) = 4

3y3 − 11

2 y2 + 33

2 y− 48;R(y) = 142.

13.14. a) Q(x) = 12x

2 − 12x+

12 ; R(x) = −3, b) Q(x) = 3

2x3 + 5

4x2 + 15

8 x+5316 ; R(x) = 143

16 ,c) Q(a) = 1

2a3 + 1

6a2 − 11

18a+7

54 ; R(a) = − 1027 .

13.15. a) Q(a) = 3a3b3 + 3a2b2 + 4ab+ 6; R(a) = 8, b) Q(a) = 3a2b+ 7; R(a) = 21.

13.16. a)Q(x) = x3 +ax2 − 2a2x+ 3a3; R(x) = 0 b)Q(x) = x3 − 3ax2 + 3a2x−a3; R(x) = 0.

13.17. a) k = −1, b) nessuno, c) k = −22, d) a4 − 2.

13.18. a) −2x2 + 6x− 4, b) a = 0, c) k = −4, d) k = 2.

Equazioni IV

“FIFA FCC Packing”Foto di fdecomite

http://www.flickr.com/photos/fdecomite/2624192405/Licenza: Attribuzione 2.0 Generico (CC BY 2.0)

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Identità, equazioni, equivalenza 1414.1 Identità ed equazioni

Analizziamo le proposizioni:

a ) “cinque è uguale alla differenza tra sette e due”;b ) “la somma di quattro e due è uguale a otto”;c ) “il doppio di un numero naturale è uguale alla differenza tra nove e il numero stesso”;d ) “la somma di due numeri interi è uguale a dieci”.

Notiamo che sono tutte costruite con il predicato “essere uguale a”. Riscriviamo in formulaciascuna di esse:

a ) 5 = 7 − 2; b ) 4 + 2 = 8; c ) 2x = 9 − x; d ) x+ y = 10.

Notiamo che le prime due contengono solamente numeri, le seconde contengono anchevariabili.

Le formule del primo tipo si dicono chiuse e di esse si può subito stabilire se sono vere ofalse; così in N la formula 5 = 7 − 2 è vera, mentre 4 + 2 = 8 è falsa.

Definizione 14.1. Le formule chiuse costruite con il predicato «essere uguale» si chiamanouguaglianze; stabilito l’ambiente in cui vengono enunciate si può immediatamente stabilireil loro valore di verità.

Esempio 14.1. La formula chiusa 1 − 6 = −5 è un’uguaglianza vera se la consideriamonell’insieme Z degli interi relativi, è falsa se la vediamo come sottrazione tra numeri naturali.

Le formule c) e d) che contengono variabili si dicono aperte; le variabili che compaionosono chiamate incognite. Di tali formule non si può subito stabilire il valore di verità.

Quando alle incognite sostituiamo un numero, queste si trasformano in formule chiuse eallora possiamo stabilirne il valore di verità relativamente alla sostituzione effettuata.

Esempio 14.2. Nella formula 2x = 9 − x sostituiamo alla variabile x il valore 0; otteniamo: 2 ·0 = 9 − 0⇒ 0 = 9, falsa.

Sostituiamo ora alla variabile x il valore 3; otteniamo 2 · 3 = 9 − 3⇒ 6 = 6, vera.

Esempio 14.3. Nella formula x+ y = 10 sostituiamo alle variabili coppie di numeri intericome x = 2 e y = 5; otteniamo 2 + 5 = 10 ⇒ 7 = 10, falsa. Se sostituiamo x = 4 e y = 6ci rendiamo subito conto che l’uguaglianza ottenuta è vera. Esistono molte altre coppie dinumeri interi rendono vera l’uguaglianza.

249

250 Capitolo 14. Identità, equazioni, equivalenza

Definizione 14.2. Le formule aperte costruite con il predicato essere uguale si chiamanoequazioni; le due espressioni che compaiono a sinistra e a destra del segno di uguaglianza sichiamano rispettivamente primo membro e secondo membro.

L’insieme dei valori che sostituiti alle incognite trasformano l’equazione in un’u-guaglianza vera costituisce l’insieme soluzione (I. S.) o più semplicemente la soluzionedell’equazione.

Affronteremo per ora equazioni in una sola incognita che, dopo aver svolto eventuali calcolinei due membri, comparirà a grado 1 e i cui coefficienti sono numeri razionali. Cercheremo lasua soluzione nell’insieme Q dei numeri razionali, salvo esplicita indicazione differente.

Esempio 14.4. Cercare le soluzioni nell’insieme indicato.

a ) x2 = 1 con x ∈ N. Risulta vera solo se a x sostituiamo il valore 1; infatti 1 è l’uniconumero naturale il cui quadrato è 1. L’insieme soluzione è {1}.

b ) x2 = 1 con x ∈ Z. Risulta vera se a x sostituiamo il valore 1 oppure il valore −1; infattisia −1 che 1 elevati al quadrato danno 1. L’insieme soluzione è {−1, 1}.

c ) x2 + 1 = 0 con x ∈ R. Essendo la formula a sinistra dell’uguale la somma di un quadratocon il numero 1, si ottiene sempre un numero > 1 e non si può ottenere 0, pertanto èimpossibile trovare una soluzione.

d ) 2x+ 3 = (3 + x) + x con x ∈ Q. Eseguendo il semplice calcolo al secondo membro, cirendiamo conto che qualunque valore venga sostituito all’incognita l’uguaglianza risultavera. L’insieme soluzione è Q.

In generale un’equazione in una incognita può essere:

a ) determinata, quando l’insieme soluzione è un sottoinsieme proprio dell’insieme numericoconsiderato;

b ) impossibile, quando l’insieme soluzione è l’insieme vuoto ∅;c ) indeterminata o identità, quando l’insieme soluzione coincide con l’insieme considerato.

Esempio 14.5. Analizziamo le equazioni:

a ) 3 · x = 0; b ) 0 · x = 5; c ) 0 · x = 0.

Tutte e tre hanno la stessa struttura: il primo membro è il prodotto di un coefficientenumerico per un valore incognito, il secondo membro è un numero.

a) Per trovare l’insieme soluzione della prima equazione cerchiamo in Q il numero chemoltiplicato per 3 dà come prodotto 0. L’unico numero che rende vera l’uguaglianza è zero.Quindi l’insieme delle soluzioni è {0}. L’equazione è determinata.

b) Per trovare l’insieme soluzione della seconda equazione cerchiamo in Q il numero chemoltiplicato per 0 dà come prodotto 5. Per la proprietà della moltiplicazione quando molti-plichiamo per 0 il prodotto è 0, non otterremo mai 5. Quindi l’insieme soluzione è l’insiemevuoto. L’equazione è impossibile.

Sezione 14.2. Prinicipi di equivalenza 251

c) Per trovare l’insieme soluzione della terza equazione cerchiamo in Q il numero chemoltiplicato per zero dà come prodotto zero. Per la proprietà della moltiplicazione quandomoltiplichiamo per 0 il prodotto è 0 qualunque sia l’altro fattore. Quindi l’insieme dellesoluzioni è Q. L’equazione è indeterminata.

14.1.1 Ricerca dell’insieme soluzione

In alcuni casi la soluzione di un’equazione si può trovare applicando semplicemente leproprietà delle operazioni.

Esempio 14.6. Analizziamo lo schema operativo dell’equazione 3x− 1 = 17 con x ∈N.Si opera sul valore incognito x per ottenere 17:

entra x, si moltiplica per tre→ 3 · x si sottrae 1→ 3 · x− 1 si ottiene 17.

Qual è il valore in ingresso?Per determinare il valore in ingresso basterà ripercorrere lo schema effettuando le opera-

zioni inverse:da 17 aggiungi 1→ 18 dividi per tre → 18 : 3→ x.

La soluzione dell’equazione è x = 6 e I. S. (insieme soluzione) è {6}.�� b Esercizio proposto: 14.1

Per risolvere un’equazione più complessa come(

12x+ 3

)· (−5 + x) = 12x +

12x2 con

x ∈ Q, non possiamo applicare il procedimento precedente; potremmo procedere per tentativi,sostituendo all’incognita alcuni valori scelti a caso e verificando se il valore assunto dal primomembro risulta uguale a quello assunto dal secondo membro. È evidente però che questoprocedimento raramente porterà a trovare tutte le soluzioni di un’equazione.

q Osservazione Per risolvere un’equazione, cioè per determinare tutte le eventuali soluzioni,si procede applicando i principi d’equivalenza.

14.2 Prinicipi di equivalenza

Definizione 14.3. Due equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme soluzione.

Principio 14.1 (Primo principio di equivalenza). Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri diun’equazione data uno stesso numero o una stessa espressione (definita per ogni valore dell’incognita)si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Principio 14.2 (Secondo principio di equivalenza). Moltiplicando o dividendo ambo i membridi un’equazione per uno stesso numero non nullo o per un’espressione non nulla (definita per ognivalore attribuito all’incognita) si ottiene un’equazione equivalente alla data.


La forma più semplice di un’equazione di primo grado in un’incognita è del tipo:

x = numero.

L’insieme soluzione di una equazione di questo tipo è semplicemente:

I. S. = { numero}.

Per esempio, l’insieme delle soluzioni dell’equazione x = −3 è I. S. = {−3}.I principi sopra enunciati permettono di trasformare qualunque equazione nella forma

canonica che ha lo stesso insieme soluzione di quella assegnata.

14.2.1 Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado

In questo paragrafo vedremo come usare i principi d’equivalenza prima enunciati percondurre un’equazione alla forma canonica e dunque determinarne la soluzione.

Definizione 14.4. Risolvere un’equazione significa determinare il suo Insieme Soluzione.

Cominciamo con alcuni esempi.

Esempio 14.7. Applicazione del 1° principio di equivalenza.

a ) x− 5 = 3: aggiungiamo 5 a entrambi i membri: x− 5 + 5 = 3 + 5⇒ x = 8, I. S. = {8}.b ) 3x = 2 + 2x: sottraiamo 2x a entrambi i membri: 3x − 2x = 2 + 2x − 2x ⇒ x = 2,

I. S. = {2}.�� b Esercizi proposti: 14.2, 14.3, 14.4, 14.5

Esempio 14.8. Applicazione del 2° principio di equivalenza.

a ) 3x = 12 dividiamo entrambi i membri per 3, si ha

33x =

123⇒ x = 4→ I. S. = {4}.

b )12x = 2 moltiplichiamo entrambi i membri per 2, si ha

2 · 12x = 2 · 2⇒ x = 4→ I. S. = {4}.


Sezione 14.2. Prinicipi di equivalenza 253

Esempio 14.9. −2x+ 1 = 3x− 5.

a ) Sottraiamo 1 a entrambi i membri −2x+ 1 − 1 = 3x− 5 − 1 quindi −2x = 3x− 6;b ) sottraiamo 3x a entrambi i membri −2x− 3x = 3x− 3x− 6 quindi −5x = −6;

c ) dividiamo entrambi i membri per −5:−5−5x =

−6−5⇒ x =

65→ I. S. =

{65

}.


Esempio 14.10. Prendiamo l’equazione (x+ 1) + 3 · (2 + x) = 12x− 1 nella sola incognita x diprimo grado a coefficienti numerici interi. Cerchiamo di trasformarla nella forma canonica“x = numero” applicando i principi di equivalenza.

Passo I: svolgiamo i calcoli al primo e al secondo membro: x+ 1 + 6 + 3x = 12x− 1.

Passo II: sommiamo in ciascun membro i termini simili (se ce ne sono): 4x+ 7 = 12x− 1.

Passo III: sottraiamo ad ambo i membri il monomio 12x, applicando il primo princi-pio: 4x− 12x+ 7 = 12x− 1 − 12x, sommiamo i monomi simili al primo e al secondo membroe otteniamo −8x+ 7 = −1.

Passo IV: sottraiamo ad ambo i membri il numero 7, applicando il primo principio esommiamo i termini simili: −8x+ 7 − 7 = −1 − 7⇒ −8x = −8.

Passo V: dividiamo ambo i membri per −8, applicando il secondo principio:−8−8x =

−8−8⇒

x = 1.L’equazione assegnata (x+ 1) + 3 · (2 + x) = 12x− 1 risulta equivalente all’ultima trovata

x=1, pertanto il suo insieme soluzione è I. S. = {1}.�� b Esercizi proposti: 14.12, 14.13

q Osservazione La trasformazione di un’equazione nella forma canonica prevede che iltermine con l’incognita sia collocato da una parte del segno uguale mentre dall’altra parte siaposto il termine numerico.

Enunciamo alcune regole pratiche che ci possono aiutare nella procedura risolutiva e chediscendono direttamente dal primo principio d’equivalenza.

a) Spostando da un membro all’altro un addendo occorre cambiargli il segno; l’equazioneottenuta è equivalente a quella data.

2x− 3 = 2, per lasciare da sola la x al primo menbro devo aggiungere +3 al primo e alsecondo membro, ottengo 2x− 3 + 3 = 2 + 3 da cui 2x = 2 + 3.

L’effetto che si ha è che si è spostato il −3 al secondo membro cambiandolo di segno.


b) Se in entrambi i membri dell’equazione compare uno stesso addendo con lo stesso segno,esso può essere cancellato da entrambi i membri: l’equazione che si ottiene è equivalente aquella data.

Infatti: 2x−3+x = 2+x. La x che sta al secondo membro va portata al primo, cambiandoladi segno 2x− 3 + x− x = 2 da cui 2x− 3 = 2.

L’effetto che si ha è che si possono eliminare le due x che stanno una al primo membro euna al secondo membro.

c) Se il coefficiente dell’incognita è −1, l’equazione si presenta nella forma −x = n, si puòcambiare di segno ai termini del primo e del secondo membro, per ottenere la forma x = −n.Cambiare di segno equivale a moltiplicare per −1 i due membri dell’equazione.

Infatti:x− 3 = 2x+ 1. Dobbiamo portare 2x al primo membro e −3 al secondo membro, otteniamo

x− 2x = 3 + 1 da cui −x = 4.Poiché il coefficiente della x è negativo moltiplichiamo per −1 primo e secondo membro

−1 · (−x) = −1 · (4) da cui x = −4.

Problema 14.11. Risolvi la seguente equazione applicando queste regole pratiche.

5x+ 2 · (3 − x) + 1 = −(4x− 1) + 2 · (6 − x).

Soluzione I passi da effettuare sono

a ) svolgiamo i calcoli: 5x+ 6 − 2x+ 1 = −4x+ 1 + 12 − 2x;b ) eliminiamo i termini uguali che compaiono nei due membri:

5x+ 6��−2x��+1 = −4x��+1 + 12��−2x⇒ 5x+ 6 = −4x+ 12;

c ) spostiamo il monomio −4x del secondo membro a sinistra del segno uguale e il nume-ro +6 da sinista a destra, ottenendo: 5x+ 4x = −6 + 12;

d ) sommando i termini simili nei due membri, otteniamo 9x = +6 da cui divedendo pernove ambo i membri si ottiene

x =23→ I. S. =

{23

}.

�� b Esercizi proposti: 14.14, 14.15, 14.16, 14.17, 14.18

14.3 Equazioni a coefficienti frazionari

Vediamo, illustrando qualche esempio, come si procede.

Esempio 14.12.23x+ 4 −

12+ 2x =

x+ 23

−52x+ 1.

Sappiamo che il secondo principio d’equivalenza ci permette di moltiplicare ambo imembri per uno stesso numero diverso da zero per ottenere un’equazione equivalente alladata.

Passo I Calcoliamo il mcm tra i denominatori: in questo caso mcm(2,3) = 6

Sezione 14.3. Equazioni a coefficienti frazionari 255

Passo II Moltiplichiamo per 6 ambo i membri dell’equazione:

6(

23x+ 4 −

12+ 2x

)= 6

(x+ 2

3−

52x+ 1

).

Passo III Eseguiamo i calcoli: 4x+ 24 − 3 + 12x = 2x+ 4 − 15x+ 6.I coefficienti dell’equazione sono ora numeri interi, puoi procedere da solo come abbiamo

visto negli esempi precedenti.�� b Esercizio proposto: 14.19

14.3.1 Equazioni in cui l’incognita compare con grado maggiore di 1

Esempio 14.13. (2x+ 1) · (x− 2) = 2 · (x+ 1)2 − 5x.Prima di iniziare la procedura risolutiva analizziamo i membri dell’equazione: al primo

membro compare il prodotto di due polinomi di primo grado, nel secondo il quadrato diun binomio di primo grado, pertanto l’incognita comparirà a grado due. Apparentementel’equazione è di secondo grado. Iniziamo la procedura risolutiva:

Passo I svolgiamo i calcoli e otteniamo: 2x2 −4x+x−2 = 2x2 +4x+2−5x⇒ 2x2 −3x−2 =

2x2 − x+ 2.

Passo II applichiamo le regole pratiche eliminando i monomi uguali con l’incognita alsecondo grado e otteniamo −3x+ x = +2 + 2.

Abbiamo ottenuto un’equazione di primo grado; puoi procedere da solo e determinare laforma canonica e I. S..

Passo III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3.2 Equazioni in cui l’incognita scompare

Esempio 14.14.45−x

2=

2 − 5x10

.

Passo I Calcoliamo il mcm tra i denominatori: in questo caso mcm(5, 2, 10) = 10.

Passo II Moltiplichiamo per 10 ambo i membri dell’equazione: 10(

45−x

2

)= 10

(2 − 5x

10

).

Passo III Eseguiamo i calcoli: 8 − 5x = 2 − 5x.

Passo IV Applichiamo la regola pratica: −5x+ 5x = 2 − 8 i monomi in x si annullano!


Passo V Sommando i monomi simili si ottiene: 0 · x = −6.Il coefficiente dell’incognita è zero; non possiamo applicare il secondo principio e dividere

ambo i membri per zero. D’altra parte non esiste nessun numero che moltiplicato per zero diacome prodotto −6. Quindi I. S. = ∅, l’equazione risulta impossibile.

Esempio 14.15.x

6−

2x3

= −x

2.

Passo I Calcoliamo il mcm tra i denominatori: in questo caso mcm(6, 3, 2) = 6.

Passo II Moltiplichiamo per 6 ambo i membri dell’equazione: 6(x

6−

2x3

)= 6

(−x

2

).

Passo III Eseguiamo i calcoli: x− 4x = −3x.

Passo IV Applicando il primo principio si ottiene 0 · x = 0.Il coefficiente dell’incognita è zero; non possiamo applicare il secondo principio e dividere

ambo i membri per zero. D’altra parte per la proprietà della moltiplicazione qualunque nume-ro moltiplicato per zero dà come prodotto zero. Quindi I. S. = Q, l’equazione è indeterminata(identità).

14.3.3 Riassunto

A · x = B con A e B numeri razionali è la forma canonica dell’equazione di primo grado inuna incognita a coefficienti numerici.

Possono presentarsi i casi:

á se A 6= 0 possiamo applicare il secondo principio d’equivalenza dividendo ambo i

membri per A quindi I. S. ={B

A

}. L’equazione è determinata.

á se A = 0 non possiamo applicare il secondo principio d’equivalenza e dividere ambo imembri per A e si presentano due casi:

à B = 0 allora I. S. = Q. L’equazione è indeterminata.à B 6= 0 allora I. S. = ∅. L’equazione è impossibile.

Lo schema precedente si può rappresentare anche con un grafo ad albero:

A · x = B

A 6= 0→ equazione determinata e I. S. ={B

A

}

A = 0

B = 0→ equazione indeterminata e I. S. = {Q}

B 6= 0→ equazione impossibile e I. S. = ∅

Sezione 14.3. Equazioni a coefficienti frazionari 257

�� b Esercizi proposti: 14.20, 14.21, 14.22, 14.23, 14.24, 14.25, 14.26, 14.27, 14.28, 14.29, 14.30�� 14.31, 14.32, 14.33, 14.34, 14.35, 14.36, 14.37, 14.38, 14.39, 14.40, 14.41, 14.42, 14.43, 14.44�� 14.45, 14.46, 14.47, 14.48, 14.49,14.50


14.4 Esercizi


14.2 - Identità ed equazioni

14.1. Risolvi in Z la seguente equazione: −x+ 3 = −1.Suggerimento. Lo schema operativo è: entra x, cambia il segno in −x, aggiunge 3, si

ottiene −1. Ora ricostruisci il cammino inverso: da −1 togli 3 ottieni . . . cambia segno ottienicome soluzione x = . . ..

14.3 - Risoluzione di equazioni numeriche intere di primo grado

14.2. Risolvi le seguenti equazioni applicando il 1° principio di equivalenza.

a ) x+ 2 = 7;

b ) 2 + x = 3;

c ) 16 + x = 26;

d ) x− 1 = 1;

e ) 3 + x = −5;

f ) 12 + x = −22.


a ) 3x = 2x− 1;

b ) 8x = 7x+ 4;

c ) 2x = x− 1;

d ) 5x = 4x+ 2;

e ) 3x = 2x− 3;

f ) 3x = 2x− 2.


a ) 7 + x = 0;

b ) 7 = −x;

c ) −7 = x;

d ) 1 + x = 0;

e ) 1 − x = 0;

f ) 0 = 2 − x.


a ) 3x− 1 = 2x− 3;

b ) 7x− 2x− 2 = 4x− 1;

c ) −5x+ 2 = −6x+ 6;

d ) −2 + 5x = 8 + 4x;

e ) 7x+ 1 = 6x+ 2;

f ) −1 − 5x = 3 − 6x.


a ) 2x = 8;

b ) 2x = 3;

c ) 6x = 24;

d ) 0x = 1;e )

13x = −1;

f )12x =

14

.


a )32x = 12;

b ) 2x = −2;

c ) 3x =16

;

d )12x = 4;

e )34x =

1215

;

f ) 2x =12

.



a ) 3x = 6;

b )13x =

13

;

c )25x =

1025

;

d ) −12x = −

12

;

e ) 0, 1x = 1;

f ) 0, 1x = 10;

g ) 0, 1x = 0, 5;

h ) −0, 2x = 5.

14.9. Risolvi le seguenti equazioni applicando entrambi i principi.

a ) 2x+ 1 = 7;

b ) 3 − 2x = 3;

c ) 6x− 12 = 24;

d ) 3x+ 3 = 4;

e ) 5 − x = 1;

f ) 7x− 2 = 5.


a ) 2x+ 8 = 8 − x;

b ) 2x− 3 = 3 − 2x;

c ) 6x+ 24 = 3x+ 12;

d ) 2 + 8x = 6 − 2x;

e ) 6x− 6 = 5 − x;

f ) −3x+ 12 = 3x+ 18.


a ) 3 − 2x = 8 + 2x;

b )23x− 3 =

13x+ 1;

c )65x =

245

− x;

d ) 3x− 2x+ 1 = 2+ 3x− 1;

e )25x−

32=

32x+

110

;

f )56x+

32=

253

−102x.

14.12. Risolvi l’equazione 10x+ 4 = −2 · (x+ 5) − x seguendo la traccia:

1. svolgi i calcoli al primo e al secondo membro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

2. somma i monomi simili in ciascun membro dell’equazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

3. applica il primo principio d’equivalenza per lasciare in un membro solo monomi conl’incognita e nell’altro membro solo numeri: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

4. somma i termini del primo membro e somma i termini del secondo membro: . . . . . . . . ;

5. applica il secondo principio d’equivalenza dividendo ambo i membri per il coefficientedell’incognita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in forma canonica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

6. scrivi l’Insieme Soluzione: I. S. = . . . . . . . . ..

14.13. Risolvi, seguendo la traccia, l’equazione x− (3x+ 5) = (4x+ 8) − 4 · (x+ 1):

1. svolgi i calcoli: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

2. somma i monomi simili: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

3. porta al primo membro i monomi con la x e al secondo quelli senza: . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

4. somma i monomi simili al primo membro e al secondo membro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

5. dividi ambo i membri per il coefficiente dell’incognita: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

6. l’insieme soluzione è: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


14.14 (∗). Risolvi le seguenti equazioni con le regole pratiche indicate.

a ) 3(x− 1) + 2(x− 2) + 1 = 2x;b ) x− (2x+ 2) = 3x− (x+ 2) − 1;c ) −2(x+ 1) − 3(x− 2) = 6x+ 2;d ) x+ 2 − 3(x+ 2) = x− 2.


a ) 2(1 − x) − (x+ 2) = 4x− 3(2 − x);b ) (x+ 2)2 = x2 − 4x+ 4;c ) 5(3x− 1) − 7(2x− 4) = 28;d ) (x+ 1)(x− 1) + 2x = 5 + x(2 + x).


a ) 2x+ (x+ 2)(x− 2) + 5 = (x+ 1)2;b ) 4(x− 2) + 3(x+ 2) = 2(x− 1) − (x+ 1);c ) (x+ 2)(x+ 3) − (x+ 3)2 = (x+ 1)(x− 1) − x(x+ 1);d ) x3 + 6x2 + (x+ 2)3 + 11x+ (x+ 2)2 = (x+ 3)

(2x2 + 7x

).


a ) (x+ 2)3 − (x− 1)3 = 9(x+ 1)2 − 9x;b ) (x+ 1)2 + 2x+ 2(x− 1) = (x+ 2)2;c ) 2(x− 2)(x+ 3) − 3(x+ 1)(x− 4) = −9(x− 2)2 +

(8x2 − 25x+ 36

).

14.18. Risolvi le seguenti equazioni con le regole pratiche indicate.

a ) (2x− 3)2 − 4x(2 − 5x) − 4 = −8x(x+ 4);b ) (x− 1)

(x2 + x+ 1

)− 3x2 = (x− 1)3 + 1;

c ) (2x− 1)(4x2 + 2x+ 1

)= (2x− 1)3 − 12x2.

14.4 - Equazioni a coefficienti frazionari

14.19. Risolvi l’equazione3 · (x− 11)

4=

3 · (x+ 1)5

−1

10.

1. calcola mcm(4, 5, 10) = . . . . . .;

2. moltiplica ambo i membri per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ottieni: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.20. Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme a fianco indicato.

a ) x+ 7 = 8, N;

b ) 4 + x = 2, Z;

c ) x− 3 = 4, N;

d ) x = 0, N;

e ) x+ 1 = 0, Z;

f ) 5x = 0, Z.



a )x

4= 0, Q;

b ) −x = 0, Z;

c ) 7 + x = 0, Z;

d ) −2x = 0, Z;

e ) −x− 1 = 0, Z;

f )−x

4= 0, Q.


a ) x−23= 0, Q;

b )x

−3= 0, Z;

c ) 2(x− 1) = 0, Z;

d ) −3x = 1, Q;

e ) 3x = −1, Q;

f )x

3= 1, Q.


a )x

3= 2, Q;

b )x

3= −2, Q;

c ) 0x = 0, Q;

d ) 0x = 5, Q;

e ) 0x = −5, Q;

f )x

1= 0, Q.


a )x

1= 1, Q;

b ) −x = 10, Z;

c )x

−1= −1, Z;

d ) 3x = 3, N;

e ) −5x = 2, Z;

f ) 3x+ 2 = 0, Q.

14.25. Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.

a ) 3x =13

;

b ) −3x = −13

;

c ) x+ 2 = 0;

d ) 4x− 4 = 0;

e ) 4x− 0 = 1;

f ) 2x+ 3 = x+ 3.


a ) 4x− 4 = 1;

b ) 4x− 1 = 1;

c ) 4x− 1 = 0;

d ) 3x = 12 − x;

e ) 4x− 8 = 3x;

f ) −x− 2 = −2x− 3.


a ) −3(x− 2) = 3;

b ) x+ 2 = 2x+ 3;

c ) −x+ 2 = 2x+ 3;

d ) 3(x− 2) = 0;

e ) 3(x− 2) = 1;

f ) 3(x− 2) = 3.


a ) 0(x− 2) = 1;

b ) 0(x− 2) = 0;

c ) 12 + x = −9x;

d ) 40x+ 3 = 30x− 100;

e ) 4x+ 8x = 12x− 8;

f ) −2 − 3x = −2x− 4.



a ) 2x+ 2 = 2x+ 3;

b )x+ 2

2=x+ 1

2;

c )2x+ 1

2= x+ 1;

d )x

2+

14= 3x−

12

;

e ) πx = 0;

f ) 2πx = π.


a ) 0, 12x = 0, 1;

b ) −12x− 0, 3 = −

25x− 0, 15;

c ) 892x− 892 = 892x− 892;

d ) 892x− 892 = 893x− 892;

e ) 348x− 347 = 340x− 347;

f ) 340x+ 740 = 8942 + 340x.


a ) 2x+ 3 = 2x+ 4;

b ) 2x+ 3 = 2x+ 3;

c ) 2(x+ 3) = 2x+ 5;

d ) 2(x+ 4) = 2x+ 8;

e ) 3x+ 6 = 6x+ 6;

f ) −2x+ 3 = −2x+ 4.


a )x

2+

14=x

4−

12

;

b )x

2+

14=x

2−

12

;

c )x

2+

14= 3

x

2−

12

;

d )x

200+

1100

=1

200;

e ) 1000x− 100 = 2000x− 200;

f ) 100x− 1000 = −1000x+ 100.

14.33 (∗). Risolvi le seguenti equazioni nell’insieme Q.

a ) x− 5(1 − x) = 5 + 5x;

b ) 2(x− 5) − (1 − x) = 3x;

c ) 3(2 + x) = 5(1 + x) − 3(2 − x);

d ) 4(x− 2) − 3(x+ 2) = 2(x− 1);

e )x+ 1000

3+x+ 1000

4= 1;

f )x− 4

5=

2x+ 13

.


a )x+ 1

2+x− 1

5=

110

;

b )x

3−

12

=x

4−x

6;

c ) 8x−x

6= 2x+ 11;

d ) 3(x− 1) −17= 4(x− 2) + 1;

e ) 537x+ 537x

4−

537x7

= 0;

f )2x+ 3

5= x− 1.



a )x

2−x

6− 1 =

x

3;

b )4 − x

5+

3 − 4x2

= 3;

c )x+ 3

2= 3x− 2;

d )x+ 0, 25

5= 1, 75 − 0, 3x;

e ) 3(x− 2) − 4(5 − x) = 3x(

1 −13

);

f ) 4(2x− 1) + 5 = 1 − 2(−3x− 6).


a )32(x+ 1) −

13(1 − x) = x+ 2;

b )12(x+ 5) − x =

12(3 − x);

c ) (x+ 3)2 = (x− 2)(x+ 2) +13x;

d )(x+ 1)2

4−

2 + 3x2

=(x− 1)2

4;

e ) 2(x−

13

)+ x = 3x− 2;

f )32x+

x

4= 5

(23x−

12

)− x.


a ) (2x− 3)(5 + x) +14= 2(x− 1)2 −

12

;

b ) (x− 2)(x+ 5) +14= x2 −

12

;

c )(x−

12

)(x−

12

)= x2 +

12

;

d ) (x+ 1)2 = (x− 1)2;

e )(1 − x)2

2−x2 − 1

2= 1;

f )(x+ 1)2

3=

13(x2 − 1).


a ) 4(x+ 1) − 3x(1 − x) = (x+ 1)(x− 1) + 4 + 2x2;

b )1 − x

3· (x+ 1) = 1 − x2 +

23(x2 − 1

);

c ) (x+ 1)2 = x2 − 1;

d ) (x+ 1)3 = (x+ 2)3 − 3x(x+ 3);

e )13x

(13x− 1

)+

53x

(1 +

13x

)=

23x(x+ 3);

f )12

(3x+

13

)− (1 − x) + 2

(13x− 1

)= −

32x+ 1.


a ) 3 + 2x−12

(x2+ 1)−

34x =

34x+

x+ 32

;

b )12

[x+ 2

2−

(x+

12

)+x+ 1

2

]+

14x =

x− 24

−

(x+

2 − x

3

);

c ) 2(x−

12

)2+

(x+

12

)2= (x+ 1)(3x− 1) − 5x−

12

;


d )2 (x− 1)

3+x+ 1

5−

35=x− 1

5+

715x;

e )12(x− 2) −

(x+ 1

2−

1 + x

2

)=

12−

2 − x

6+

1 + x

3;

f ) −

(12x+ 3

)−

12

(x+

52

)+

34(4x+ 1) =

12(x− 1).


a )(x+ 1)(x− 1)

9−

3x− 36

=(x− 1)2

9−

2 − 2x6

;

b )(x−

12

)3−

(x+

12

)2− x(x+ 1)(x− 1) =

−52x(x+ 1);

c )12

(3x−

13

)−

13(1 + x)(−1 + x) + 3

(13x− 1

)2=

23x;

d ) (x− 2)(x− 3) − 6 = (x+ 2)2 + 5;

e ) (x− 3)(x− 4) −13(1 − 3x)(2 − x) =

13x− 5

(2x− 9

6

);

f )2w− 1

3+w− 5

4=w+ 1

3− 4.


a ) (2x− 5)2 + 2(x− 3) = (4x− 2)(x+ 3) − 28x+ 25;

b )(x− 3)(x+ 3) + (x− 2)(2 − x) − 3(x− 2)

13− 3

=

23x+

12x

2;

c ) 2(

12x− 1

)2−

(x+ 2)(x− 2)2

+ 2x = x+12

;

d )(0, 1x− 10

)2+ 0, 1(x− 0, 2) +

(13x+ 0, 3

)2=

1081x2 + 0, 07;

e ) 5x+16−

(2x+ 1

2

)2+

(3x− 1

3

)2+

13x+ (2x− 1)(2x+ 1) = (2x+ 1)2 +

136

;

f ) (1 +

12x

)3− 2

(12x− 2

)2+

(3x− 1

3

)2−

(1 −

13x

)x+

13x =

13(2x+ 1)2

+14x2 −

59+

12x

(12x+ 1

)(12x− 1

).


a )(

12x+

13

)(12x−

13

)+

(12+

13

)x =

(12x+ 1

)2;


b )320

+6x+ 8

10−

2x− 112

+2x− 3

6=x− 2

4;

c )x3 − 1

18+

(x+ 2)3

9=

(x+ 1)3

4−x3 + x2 − 4

12;

d )23x+

5x− 13

+(x− 3)2

6+

13(x+ 2)(x− 2) =

12(x− 1)2;

e )512x− 12 +

x− 62

−x− 24

3=x+ 4

4−

(56x− 6

);

f )

1 −x+

12

1 −12

1 +

12x+ 1

12− 1

+

12x+ 1

12+ 1

− 1

· 12+ x

12− 1

−

x

(12x+ 1

)12+ 1

= x2.


a ) x+12=x+ 3

3− 1;

b )23x+

12=

16x+

12x;

c )32= 2x−

[x− 1

3−

(2x + 1

2− 5x

)−

2 − x

3

];

d )x+ 5

3+ 3 +

2 · (x− 1)3

= x+ 4;

e )15x− 1 +

23x− 2 =

1015

+35x;

f )12(x− 2)2 −

8x2 − 25x+ 3618

+19(x− 2)(x+ 3) =

16(x+ 1)(x− 4).

14.44. Per una sola delle seguenti equazioni, definite in Z, l’insieme soluzione è vuoto. Perquale?

A x = x+ 1 B x+ 1 = 0 C x− 1 = +1 D x+ 1 = 1

14.45. Una sola delle seguenti equazioni è di primo grado nella sola incognita x. Quale?

A x+ y = 5 B x2 + 1 = 45 C x−7

89= +1 D x+ x2 = 1

14.46. Tra le seguenti una sola equazione non è equivalente alle altre. Quale?

A12x− 1 = 3x B 6x = x− 2 C x− 2x = 3x D 3x =

12(x− 2)

14.47. Da 8x = 2 si ottiene:

A x = −6 B x = 4 C x =14

D x = −14

14.48. Da −9x = 0 si ottiene:

A x = 9 B x = −19

C x = 0 D x =19


14.49. L’insieme soluzione dell’equazione 2 · (x+ 1) = 5 · (x− 1) − 11 è:

A I. S. ={−6}

B I. S. ={

6}

C I. S. ={

113

}D I. S. =

{16

}14.50. Per ogni equazione, individua quali tra gli elementi dell’insieme indicato a fianco sonosoluzioni:

a )x+ 5

2+

15= 0, Q =

{1,−5, 7,−

275

};

b ) x−34x = 4, Q =

{1,−1, 0, 16

};

c ) x(x+ 1) + 4 = 5 − 2x+ x2, Q =

{−9, 3,

13

,−13

}.

14.4.2 Risposte

14.14 a) x = 2, b) x = 13 , c) x = 2

11 ,d) x = − 2

3 .

14.15 a) x = 35 , b) x = 0, c) x = 5,

d) Impossibile.

14.16 a) Indeterminata, b) x = − 16 ,

c) Impossibile, d) x = −2.

14.17 a) Indeterminata, b) x = 52 , c) In-

determinata.

14.33 a) x = 10, b) Impossibile,c) x = 7

5 , d) x = −12, e) x = − 69887 ,

f) x = − 177 .

14.34 a) x = − 27 , b) x = 2, c) x = 66

35 ,d) x = 27

7 , e) x = 0, f) x = 83 .

14.35 a) Impossibile, b) x = − 722 ,

c) x = 75 , d) x = 51

16 , e) x = 265 , f) x = 6.

14.36 a) x = 1, b) Impossibile,c) x = − 39

17 , d) x = −2, e) Impossibile,f) x = 30

7 .

14.37 a) x = 6544 , b) x = 37

12 , c) x = − 14 ,

d) x = 0, e) x = 0, f) x = −1.

14.38 a) x = −1, b) Indeterminata,c) x = −1, d) Impossibile, e) x = 0,f) x = 23

28 .

14.39 a) x = 4, b) x = − 52 , c) x = − 9

8 ,d) x = 13

3 , e) Impossibile, f) x = 2.

14.40 a) x = 1, b) x = 326 , c) x = 19

7 ,d) x = −1, e) x = 23

20 , f) x = − 257 .

14.41 a) Indeterminata, b) x = 6323 ,

c) x = 72 , d) x = 9000

173 , e) x = −6,f) x = 2.

14.42 a) x = − 203 , b) x = −2, c) x = − 3

7 ,d) x = 2

7 , e) x = 12, f) x = − 15 .

Problemi di I grado in un’incognita 1515.1 Un po’ di storia e qualche aneddoto

Sin dall’antichità l’uomo si è trovato di fronte a difficoltà pratiche, legate alla vita quotidia-na e ha perciò messo a punto strategie per superarle.

Sembra che nell’antico Egitto le periodiche piene del Nilo abbiano spinto l’uomo a svi-luppare la capacità di tracciare rette parallele, rette perpendicolari, di misurare il perimetro el’area di particolari figure geometriche o viceversa di calcolare le misure dei lati di poligoni didato perimetro o data area per poter ridefinire i confini degli appezzamenti di terreno.

Il papiro di Rhind1, testo egizio scritto in ieratico, risalente al 1700 a.C., si autodefinisce“istruzioni per conoscere tutte le cose oscure” contiene più di 85 problemi con relativi metodi disoluzione riguardanti il calcolo della capacità di recipienti e di magazzini, la ricerca dell’areadi appezzamenti di terreno e altre questioni aritmetiche.

Nel problema 24 del papiro, ad esempio, viene calcolato il mucchio quando esso ed il suosettimo sono uguali a 19. Mucchio è l’incognita del problema, indicata con il termine aha il cui

segno èB .

Noi traduciamo la richiesta nell’equazione x+17x = 19.

Nel 1202 Leonardo Pisano, conosciuto col nome paterno di ‘filius Bonacci’ o Fibonacci,pubblicò il Liber Abaci in cui, a partire dall’ottavo capitolo, presenta vari metodi algebrici perla risoluzione di problemi di matematica applicata, legati alla realtà dell’epoca, in particolareall’ambiente commerciale. I nuovi “algoritmi” presentati da Fibonacci, intendevano facilitarela risoluzione dei problemi di calcolo evitando l’utilizzo dell’abaco. Nel 1223 a Pisa, l’im-peratore Federico II di Svevia, assistette a un singolare torneo tra matematici dell’epoca; ilproblema proposto era il seguente:

«Quante coppie di conigli si ottengono in un anno (salvo i casi di morte) supponendo cheogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che le coppie più giovani siano in gradodi riprodursi già al secondo mese di vita?».

Fibonacci vinse la gara dando al quesito una risposta così rapida da far persino sospettareche il torneo fosse truccato. La soluzione fu trovata tramite l’individuazione di una particolaresuccessione di numeri, nota come successione di Fibonacci.

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Fiedrich Gauss già all’età di tre anniavrebbe corretto un errore di suo padre nel calcolo delle sue finanze. All’età di 10 anni fuautorizzato a seguire le lezioni di aritmetica di un certo Buttner. Un giorno, agli studentiparticolarmente turbolenti, Buttner diede come compito di punizione il calcolo della sommadei primi 100 numeri, da 1 a 100. Poco dopo, sorprendendo tutti, il giovanissimo Carl diede larisposta esatta, “5050”. Si era accorto che mettendo in riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella

1Dal nome dell’inglese A. H. Rhind che lo comprò a Luxor nel 1858.

267

268 Capitolo 15. Problemi di I grado in un’incognita

riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101; fece dunque ilprodotto 100× 101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato: Buttner rimase sgomento.

15.1.1 Risoluzione dei problemi

La risoluzione dei problemi. . . serve ad acuire l’ingegno e adargli la facoltà di penetrarel’intera ragione di tutte le cose.

R. DESCARTES

I problemi che possono presentarsi nel corso degli studi o nell’attività lavorativa sono didiversa natura: di tipo economico, scientifico, sociale, possono riguardare insiemi numerici ofigure geometriche. La matematica ci può aiutare a risolvere i problemi quando essi possonoessere tradotti in “forma matematica”, quando cioè è possibile trascrivere in simboli le relazioniche intercorrono tra le grandezze del problema.

Analizzeremo problemi di tipo algebrico o geometrico, che potranno essere formalizzatiattraverso equazioni di primo grado in una sola incognita. Prima di buttarci alla risoluzionedel problema, procediamo a:

a ) una lettura “attenta” del testo al fine di individuare l’ambiente del problema, le parolechiave, i dati e le informazioni implicite, l’obiettivo;

b ) la scelta della grandezza incognita e la descrizione dell’insieme in cui si ricerca il suovalore, ragionando sull’obiettivo del problema (condizioni sull’incognita);

c ) la traduzione in “forma matematica” delle relazioni che intercorrono tra i dati e l’obietti-vo, cioè l’individuazione dell’equazione risolvente;

d ) la risoluzione dell’equazione trovata;e ) il confronto tra la soluzione trovata e le condizioni poste su di essa.

Problema 15.1. Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone?

Soluzione La situazione può essere materialmente descritta con una figura. Togliamo da ognipiatto della bilancia mezzo mattone, la bilancia è ancora in equilibrio come mostra la figura 2,da ciò possiamo dedurre che mezzo mattone pesa un chilo. Il mattone intero pesa dunquedue chili.

1kg

Figura 1

1kg

Figura 2

Sezione 15.1. Un po’ di storia e qualche aneddoto 269

Risolviamo ora il problema seguendo la procedura sopra suggerita:Dati: peso di un mattone = peso di mezzo mattone +1 kg.Obiettivo: peso del mattone.Procedura risolutiva:Come incognita del problema possiamo scegliere il peso del mattone: la indichiamo con p.

Il valore di p dovrà essere un numero positivo. L’equazione risolvente è la traduzione conformalismo matematico dell’unica relazione contenuta nel testo del problema: p = 1

2p+ 1.Risolviamo l’equazione: p − 1

2p = 1 ⇒ 12p = 1 ⇒ p = 2 Kg. La soluzione ottenuta è

accettabile; il problema è determinato.

�

Problema 15.2. Aggiungendo ad un numero naturale i suoi tre quarti, si ottiene il suo doppioaumentato di 10. Qual è il numero?

Soluzione L’ambiente del problema è numerico: si cerca un numero naturale. Indichiamocon n l’incognita cerchiamo quindi n ∈ N. La lettura attenta del testo mette in luce leoperazioni che dobbiamo eseguire sull’incognita e che traduciamo nei dati:

Dati: n+34n = 2n+ 10.

Obiettivo: n ∈N.Procedura risolutiva:L’equazione risolvente è già indicata nei dati n+

34n = 2n+ 10.

Per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 4, otteniamo:

4n+ 3n− 8n = 40⇒ −n = 40⇒ n = −40.

La soluzione non è accettabile per le condizioni poste; il problema non ha soluzione.

�

Problema 15.3. Il 1° gennaio 1990 Chiara aveva il doppio dell’età di Aldo; il 1° gennaio 2000Chiara aveva vent’anni più di Aldo. Quale sarà l’età di Chiara il 1° gennaio 2010?

Soluzione Leggendo attentamente il problema notiamo che le incognite sono due: l’età diChiara e l’età di Aldo. Indichiamo perciò con a l’età di Chiara al 1990 e con p quella di Aldo.

Nel 2000 la loro età sarà aumentata di 10 anni. Naturalmente la soluzione del problema sarànell’insieme dei numeri naturali. Scriviamo dati e obiettivo usando il formalismo matematico:

Dati: nel 1990: a = 2p, nel 2000: a+ 10 = (p+ 10) + 20.Obiettivo: L’età di Chiara nel 2010.Procedura risolutiva: Osserviamo che una volta determinata l’età di Chiara nel 1990, basterà

aggiungere a questa 20 per ottenere la soluzione, pertanto l’età di Chiara nel 2010 è a+ 20.Trasformiamo la seconda relazione riportata nei dati sostituendo l’informazione relativaal 1990, si ottiene 2p+ 10 = p+ 10 + 20 ⇒ 2p− p = 20 ⇒ p = 20. L’età di Aldo nel 1990era 20, quindi a = 40. Infine, l’età di Chiara nel 2010 è 40 + 20 = 60. La soluzione è accettabile;il problema è determinato.

�


Problema 15.4. Calcolare l’area di un rettangolo in cui l’altezza supera13

della base di 8m e il

perimetro è207

della base stessa.

Soluzione Il problema è di tipo geometrico e riguarda un rettangolo. Facendo riferimento allafigura abbiamo:

Dati: AD =13AB+ 8, 2p =

207AB.

Obiettivo: L’Area(ABCD).

A

D

B

C

Procedura risolutiva: Area(ABCD) = misura base · misura altezza = AB ·AD.Dobbiamo dunque determinare queste due misure. I dati del problema indicano che la

misura dell’altezza dipende da quella della base; una volta trovata questa misura basta farneun terzo e aggiungere 8 per avere quella dell’altezza; questo ragionamento ci fa scegliere comeincognita AB = x con x numero reale positivo.

Traduciamo con formalismo matematico la prima e la seconda relazione contenuta nei

dati: AD =13x+ 8 e 2p =

207x.

Sappiamo che il perimetro di un rettangolo è il doppio della somma della base con l’altezza.

Riscriviamo con linguaggio matematico anche questa relazione: 2 ·(x+

13x+ 8

)=

207x che

risulta l’equazione risolvente.Svolgiamo i calcoli e otteniamo 4x = 21 · 16 ⇒ x = 84 ⇒ AB = 84 e quindi AD = 36.

Ottenute le misure della base e dell’altezza calcoliamo Area(ABCD) = 36 · 84 = 3024 m2.

�

Problema 15.5. In un triangolo rettangolo il perimetro è 120 cm e un cateto è 3/5 dell’ipotenusa.Determinare l’area del triangolo.

Soluzione Il problema è di tipo geometrico e riguarda un triangolo rettangolo. Rappresentiamoil triangolo:

Dati: CAB = angolo retto, 2p = 120, AC =35CB.

Obiettivo: L’Area(ABC).

C

A B

Procedura risolutiva: Area(ABC) =12AB ·AC.

Per calcolare l’area, occorre determinare la misura dei cateti del triangolo rettangolo; i datidel problema ci danno una relazione tra la misura di un cateto e la misura dell’ipotenusa;conosciamo anche il perimetro del triangolo.

Scegliamo come incognita la misura in cm di CB, cioè CB = x con x ∈ R+.Formalizziamo i dati:

CB = x; AC =35x; AB+ x+

35x = 120. (15.1)

Sezione 15.1. Un po’ di storia e qualche aneddoto 271

Per poter scrivere una equazione che ci permetta di determinare il valore dell’incognita cimanca la misura di AB. Sembra che il problema sia privo di una informazione. Tuttavia, iltriangolo dato è rettangolo quindi tra i suoi lati sussiste la relazione del teorema di Pitagora:CB

2= AB

2+AC

2.Pertanto possiamo determinare la misura di AB:

AB =

√CB

2−AC

2=

√x2 −

(35x

)2=

√1625x2 =

45x.

Con questo dato riscriviamo la 15.1 che risulta essere l’equazione risolvente del problema

45x+ x+

35x = 120⇒ 12x = 120 · 5⇒ x = 50⇒ CB = 50.

Quindi AC = 30 cm e AB = 40 cm, Area(ABC) =30 · 40

2= 600 cm2.

�


Gli esercizi indicati con (†) sono tratti da Matematica 1, Dipartimento di Matematica, ITISV. Volterra, San Donà di Piave, Versione [11-12][S-A11], pg. 90; licenza CC,BY-NC-BD, pergentile concessione dei professori che hanno redatto il libro. Il libro è scaricabile da http://www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M1_1112.pdf

15.2 Esercizi

15.2.1 Problemi con i numeri

15.1 (∗). Determina due numeri, sapendo chela loro somma vale 70 e il secondo supera di 16il doppio del primo.

15.2 (∗). Determina due numeri, sapendo cheil secondo supera di 17 il triplo del primo eche la loro somma è 101.

15.3 (∗). Determinare due numeri dispari con-secutivi sapendo che il minore supera di 10i 3

7 del maggiore.

15.4 (∗). Sommando 15 al doppio di un nume-ro si ottengono i 7

2 del numero stesso. Qual èil numero?

15.5. Determinare due numeri consecutivi sa-pendo che i 4

9 del maggiore superano di 8 i 213

del minore.

15.6 (∗). Se ad un numero sommiamo ilsuo doppio, il suo triplo, il suo quintuploe sottraiamo 21, otteniamo 100. Qual è ilnumero?

15.7 (∗). Trova il prodotto tra due numeri,sapendo che: se al primo numero sottraia-mo 50 otteniamo 50 meno il primo numero;se al doppio del secondo aggiungiamo il suoconsecutivo, otteniamo 151.

15.8 (∗). Se a 125 sottraiamo un numero, otte-

niamo la quinta parte del numero stesso. Qualè questo numero?

15.9 (∗). Carlo ha 152 caramelle e vuole divi-derle con le sue due sorelline. Quante cara-melle resteranno a Carlo se le ha distribuitein modo che ogni sorellina ne abbia la metàdelle sue?

15.10 (∗). Se a 52 sottraiamo un numero, otte-

niamo il numero stesso aumentato di 23 . Di

quale numero si tratta?

15.11 (∗). Se ad un numero sottraiamo 34e sommiamo 75, otteniamo 200. Qual è ilnumero?

15.12 (∗). Se alla terza parte di un nu-mero sommiamo 45 e poi sottraiamo 15,otteniamo 45. Qual è il numero?

15.13 (∗). Se ad un numero sommiamo il dop-pio del suo consecutivo otteniamo 77. Qual èil numero?

15.14 (∗). Se alla terza parte di un numerosommiamo la sua metà, otteniamo il numeroaumentato di 2. Qual è il numero?

15.15 (∗). Il doppio di un numero equivale al-la metà del suo consecutivo più 1. Qual è ilnumero?

15.16 (∗). Un numero è uguale al suoconsecutivo meno 1. Trova il numero.

15.17 (∗). La somma tra un numero e il suoconsecutivo è uguale al numero aumentatodi 2. Trova il numero.

15.18 (∗). La somma tra un numero ed il suoconsecutivo aumentato di 1 è uguale a 18.Qual è il numero?

15.19. La somma tra un numero e lo stessonumero aumentato di 3 è uguale a 17. Qual èil numero?

15.20 (∗). La terza parte di un numero au-mentata di 3 è uguale a 27. Trova ilnumero.

http://www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M1_1112.pdf



15.21 (∗). La somma tra due numeri x e y va-le 80. Del numero x sappiamo che questo stes-so numero aumentato della sua metà è ugualea 108.

15.22 (∗). Sappiamo che la somma fra tre nu-meri (x,y, z) è uguale a 180. Il numero x èuguale a se stesso diminuito di 50 e poi molti-plicato per 6. Il numero y aumentato di 60è uguale a se stesso diminuito di 40 e poimoltiplicato per 6, trova x, y, z.

15.23 (∗). La somma tra la terza parte di un nu-mero e la sua quarta parte è uguale alla metàdel numero aumentata di 1. Trova il numero.

15.24. Determina due numeri interi consecu-tivi tali che la differenza dei loro quadrati èuguale a 49.

15.25. Trova tre numeri dispari consecutivitali che la loro somma sia uguale a 87.

15.26. Trova cinque numeri pari consecutivitali che la loro somma sia uguale a 1000.

15.27 (∗). Determinare il numero naturale lacui metà, aumentata di 20, è uguale al triplodel numero stesso diminuito di 95.

15.28 (∗). Trova due numeri dispari consecu-tivi tali che la differenza dei loro cubi suauguale a 218.

15.29 (∗). Trova un numero tale che se cal-coliamo la differenza tra il quadrato del nu-mero stesso e il quadrato del precedenteotteniamo 111.

15.30. Qual è il numero che sommato alla suametà è uguale a 27?

15.31 (∗). Moltiplicando un numero per 9 esommando il risultato per la quarta parte delnumero si ottiene 74. Qual è il numero?

15.32. La somma di due numeri pari econsecutivi è 46. Trova i due numeri.

15.33 (∗). La somma della metà di un numerocon la sua quarta parte è uguale al numerostesso diminuito della sua quarta parte. Qualè il numero?

15.34 (∗). Di y sappiamo che il suo triploè uguale al suo quadruplo diminuito di 2;trova y.

15.35. Il numero z aumentato di 60 è uguale ase stesso diminuito di 30 e moltiplicato per 4.

15.36 (∗). Determinare un numero di tre ci-fre sapendo che la cifra delle centinaia è 2

3di quella delle unità, la cifra delle decine è 1

3delle unità e la somma delle tre cifre è 12.

15.37 (∗). Dividere il numero 576 in due par-ti tali che 5

6 della prima parte meno 34 della

seconda parte sia uguale a 138.

15.38 (∗). Determina due numeri naturali con-secutivi tali che la differenza dei loro quadratiè uguale a 49.

15.2.2 Problemi dalla realtà

15.39 (∗). Luca e Andrea posseggono rispetti-vamente e 200 e e 180; Luca spende e 10 algiorno e Andrea e 8 al giorno. Dopo quantigiorni avranno la stessa somma?

15.40 (∗). Ad un certo punto del campionatola Fiorentina ha il doppio dei punti della Ju-ventus e l’Inter ha due terzi dei punti dellaFiorentina. Sapendo che in totale i punti delletre squadre sono 78, determinare i punti delle

singole squadre.

15.41 (∗). Per organizzare una gita collettiva,vengono affittati due pulmini dello stesso mo-dello, per i quali ciascun partecipante devepagare e 12. Sui pulmini restano, in tutto,quattro posti liberi. Se fossero stati occupatianche questi posti, ogni partecipante avrebberisparmiato e 1, 50. Quanti posti vi sono suogni pulmino? (”La settimana enigmistica”)


15.42. Un rubinetto, se aperto, riempie unavasca in 5 ore; un altro rubinetto riempie lastessa vasca in 7 ore. Se vengono aperti con-temporaneamente, quanto tempo ci vorrà perriempire 1

6 della vasca?

15.43 (∗). L’età di Antonio è i 38 di quella della

sua professoressa. Sapendo che tra 16 annil’età della professoressa sarà doppia di quelladi Antonio, quanti anni ha la professoressa?

15.44 (∗). Policrate, tiranno di Samos, doman-da a Pitagora il numero dei suoi allievi. Pita-gora risponde che: ” la metà studia le bellescienze matematiche; l’eterna Natura è ogget-to dei lavori di un quarto; un settimo si eserci-ta al silenzio e alla meditazione; vi sono inol-tre tre donne”. Quanti allievi aveva Pitagora?(”Matematica dilettevole e curiosa”)

15.45. Trovare un numero di due cifre sapen-do che la cifra delle decine è inferiore di 3rispetto alla cifra delle unità e sapendo cheinvertendo l’ordine delle cifre e sottraendoil numero stesso, si ottiene 27. (”Algebrariceativa”)

15.46. Al cinema ”Matematico” hanno decisodi aumentare il biglietto del 10%; il numerodegli spettatori è calato, però, del 10%. È statoun affare?

15.47. A mezzogiorno le lancette dei minuti edelle ore sono sovrapposte. Quando sarannodi nuovo sovrapposte?

15.48. Con due qualità di caffè da 3 e/ kg e 5e/ kg si vuole ottenere un quintale di miscelada 3, 25 e/ kg. Quanti kg della prima e quantidella seconda qualità occorre prendere?

15.49 (∗). In un supermercato si vendono leuova in due diverse confezioni, che ne conten-gono rispettivamente 10 e 12. In un giorno èstato venduto un numero di contenitori da 12uova doppio di quelli da 10, per un totaledi 544 uova. Quanti contenitori da 10 uovasono stati venduti?

15.50 (∗). Ubaldo, per recarsi in palestra, pas-sa sui mezzi di trasporto 20 minuti, tuttavia iltempo totale per completare il tragitto è mag-giore a causa dei tempi di attesa. Sappiamoche Ubaldo utilizza 3 mezzi, impiega i 3

10 deltempo totale per l’autobus, i 3

5 del tempo tota-le per la metropolitana e 10 minuti per il treno.Quanti minuti è costretto ad aspettare i mezzidi trasporto? (poni x il tempo di attesa)

15.51 (∗). Anna pesa un terzo di Gina e Ginapesa la metà di Alfredo. Se la somma dei trepesi è 200 kg, quanto pesa Anna?

15.52. In una partita a dama dopo i primi 10minuti sulla scacchiera restano ancora 18 pedi-ne. Dopo altri 10 minuti un giocatore perde 4pedine nere e l’altro 6 pedine bianche ed en-trambi rimangono con lo stesso numero dipedine. Calcolate quante pedine aveva ognigiocatore dopo i primi 10 minuti di gioco.

15.53 (∗). Due numeri naturali sono tali che laloro somma è 16 e il primo, aumentato di 1, èil doppio del secondo diminuito di 3. Trovarei due numeri.

15.54. Un dvd recoder ha due modalità di re-gistrazione: SP e LP. Con la seconda modalitàè possibile registrare il doppio rispetto allamodalità SP. Con un dvd dato per 2 ore in SP,come è possibile registrare un film della du-rata di 3 ore e un quarto? Se voglio registrareil più possibile in SP (di qualità migliore ri-spetto all’altra) quando devo necessariamentepassare all’altra modalità LP?

15.55 (∗). Tizio si reca al casinò e gioca tuttii soldi che ha; dopo la prima giocata, perdela metà dei suoi soldi. Gli vengono prestatie 2 e gioca ancora una volta tutti i suoi sol-di; questa volta vince e i suoi averi vengonoquadruplicati. Torna a casa con e 100. Conquanti soldi era arrivato al casinò?

15.56 (∗). I sette nani mangiano in tutto 127bignè; sapendo che il secondo ne ha mangia-ti il doppio del primo, il terzo il doppio delsecondo e così via, quanti bignè ha mangiatociascuno di loro?


15.57 (∗). Babbo Natale vuole mettere in filale sue renne in modo tale che ogni fila abbialo stesso numero di renne. Se le mette in filaper quattro le file sono due di meno rispettoal caso in cui le mette in fila per tre. Quantesono le renne?

15.58 (∗). Cinque fratelli si devono spartireun’eredità di e180000 in modo tale che ciascu-no ottenga e 8000 in più del fratello immedia-tamente minore. Quanto otterrà il fratello piùpiccolo?

15.59 (∗). Giovanni ha tre anni in più di Maria.Sette anni fa la somma delle loro età era 19.Quale età hanno attualmente?

15.60 (∗). Lucio ha acquistato un paio di jeanse una maglietta spendendo complessivamen-te e 518. Calcolare il costo dei jeans e quellodella maglietta, sapendo che i jeans costanoe 88 più della maglietta.

15.61 (∗). Francesca ha il triplo dell’età diAnna. Fra sette anni Francesca avrà il dop-pio dell’età di Anna. Quali sono le loro etàattualmente?

15.62 (∗). In una fattoria ci sono tra polli e co-nigli 40 animali con 126 zampe. Quanti sono iconigli?

15.63 (∗). Due anni fa ho comprato un appar-tamento. Ho pagato alla consegna 1

3 del suoprezzo, dopo un anno 3

4 della rimanenza; oggiho saldato il debito sborsando e 40500. Qualè stato il prezzo dell’appartamento?

15.64 (∗). Un ciclista pedala in una direzionea 30 km/h, un marciatore parte a piedi dallostesso punto e alla stessa ora e va nella dire-zione contraria a 6 km/h. Dopo quanto temposaranno lontani 150 km?

15.65 (∗). Un banca mi offre il 2% di interessesu quanto depositato all’inizio dell’anno. Allafine dell’anno vado a ritirare i soldi deposi-tati più l’interesse: se ritiro e 20400, quantoavevo depositato all’inizio? Quanto dovrebbeessere la percentuale di interesse per ricevere

e 21000 depositando i soldi calcolati al puntoprecedente?

15.66 (∗). Si devono distribuiree 140800 fra 11persone che hanno vinto un concorso. Alcunedi esse rinunciano alla vincita e quindi la som-ma viene distribuita tra le persone rimanenti.Sapendo che ad ognuna di esse sono stati datie 4800 euro in più, quante sono le personeche hanno rinunciato al premio?

15.67 (∗). Un treno parte da una stazione eviaggia alla velocità costante di 120 km/h. Do-po 80 minuti parte un secondo treno dalla stes-sa stazione e nella stessa direzione alla velo-cità di 150 km/h. Dopo quanti km il secondoraggiungerà il primo?

15.68 (∗). Un padre ha 32 anni, il figlio 5. Do-po quanti anni l’età del padre sarà 10 voltemaggiore di quella del figlio? Si interpreti ilrisultato ottenuto.

15.69 (∗). Uno studente compra 4 penne, 12quaderni e 7 libri per un totale die 180. Sapen-do che un libro costa quanto 8 penne e che 16quaderni costano quanto 5 libri, determinareil costo dei singoli oggetti.

15.70 (∗). Un mercante va ad una fiera, riescea raddoppiare il proprio capitale e vi spen-de e 500; ad una seconda fiera triplica il suoavere e spendee 900; ad una terza poi quadru-plica il suo denaro e spende e 1200. Dopo ciògli sono rimasti e 800. Quanto era all’inizio ilsuo capitale?

15.71 (∗). L’epitaffio di Diofanto. ”Viandante!Qui furono sepolti i resti di Diofanto. E i nu-meri possono mostrare, oh, miracolo! Quantolunga fu la sua vita, la cui sesta parte costituìla sua felice infanzia. Aveva trascorso ormaila dodicesima parte della sua vita, quando dipeli si coprì la guancia. E la settima parte dellasua esistenza trascorse in un matrimonio sen-za figli. Passò ancora un quinquiennio e gli fufonte di gioia la nascita del suo primogenito,che donò il suo corpo, la sua bella esistenzaalla terra, la quale durò solo la metà di quella


del padre. Il quale, con profondo dolore disce-se nella sepoltura, essendo sopravvenuto soloquattro anni al proprio figlio. Dimmi quantianni visse Diofanto.”

15.72 (∗, †). Un cane cresce ogni mese di 13

della sua altezza. Se dopo 3 mesi dalla nascitaè alto 64 cm, quanto era alto appena nato?

15.73 (∗, †). La massa di una botte colma divino è di 192 kg mentre se la botte è riempitadi vino per un terzo la sua massa è di 74 kg.Trovare la massa della botte vuota.

15.74 (∗, †). Carlo e Luigi percorrono in au-to, a velocità costante, un percorso di 400 km,ma in senso opposto. Sapendo che partonoalla stessa ora dagli estremi del percorso e cheCarlo corre a 120 km/h mentre Luigi viaggiaa 80 km/h, calcolare dopo quanto tempo siincontrano.

15.75 (∗, †). Un fiorista ordina dei vasi di stel-le di Natale che pensa di rivendere a e 12 alvaso con un guadagno complessivo di e 320.Le piantine però sono più piccole del previsto,per questo è costretto a rivendere ogni vasoa e 7 rimettendoci complessivamente e 80.Quanti sono i vasi comprati dal fiorista?

15.76 (∗, †). Un contadino possiede 25 tragalline e conigli; determinare il loro numerosapendo che in tutto hanno 70 zampe.

15.77 (∗, †). Un commerciante di mele e pe-re carica nel suo autocarro 139 casse di fruttaper un peso totale di 23, 5 quintali. Sapendoche ogni cassa di pere e mele pesa rispettiva-mente 20 kg e 15 kg, determinare il numero dicasse per ogni tipo caricate.

15.78 (∗, †). Determina due numeri uno triplodell’altro sapendo che dividendo il maggioreaumentato di 60 per l’altro diminuito di 20 siottiene 5.

15.79 (∗, †). Un quinto di uno sciame di api siposa su una rosa, un terzo su una margherita.Tre volte la differenza dei due numeri volasui fiori di pesco, e rimane una sola ape chesi libra qua e là nell’aria. Quante sono le apidello sciame?

15.80 (∗, †). Per organizzare un viaggio di 540persone un’agenzia si serve di 12 autobus, al-cuni con 40 posti a sedere e altri con 52; quantisono gli autobus di ciascun tipo?

15.81 (†). Il papà di Paola ha venti volte l’etàche lei avrà tra due anni e la mamma, cinqueanni più giovane del marito, ha la metà dell’e-tà che avrà quest’ultimo fra venticinque anni;dove si trova Paola oggi?

15.2.3 Problemi di geometria

15.82 (∗). In un triangolo rettangolo uno de-gli angoli acuti è 3

7 dell’altro angolo acuto.Quanto misurano gli angoli del triangolo?

15.83 (∗). In un triangolo un angolo è il 34 del

secondo angolo, il terzo angolo supera di 10◦

la somma degli altri due. Quanto misuranogli angoli?

15.84. In un triangolo ABC, l’angolo in A

è doppio dell’angolo in B e l’angolo in C

è doppio dell’angolo in B. Determina i treangoli.

15.85. Un triangolo isoscele ha il perimetrodi 39. Determina le lunghezze dei lati deltriangolo sapendo che la base è 3

5 del lato.

15.86 (∗). Un triangolo isoscele ha il perime-tro di 122 m, la base di 24 m. Quanto misuraciascuno dei due lati obliqui congruenti?

15.87 (∗). Un triangolo isoscele ha il perimetrodi 188 cm, la somma dei due lati obliqui supe-ra di 25 cm i 2

3 della base. Calcola la lunghezzadei lati.


15.88 (∗). In un trinagolo ABC di perime-tro 186 cm il latoAB è 5

7 diAC e BC è 37 diAC.

Quanto misurano i lati del triangolo?

15.89 (∗). Un trapezio rettangolo ha la base mi-nore che è 2

5 della base minore e l’altezza è 54

della base minore. Sapendo che il perimetroè 294, 91 m, calcola l’area del trapezio.

15.90 (∗). Determina l’area di un rettangoloche ha la base che è 2

3 dell’altezza, mentre ilperimetro è 144 cm.

15.91 (∗). Un trapezio isoscele ha la base mino-re pari a 7

13 della base maggiore, il lato obliquoè pari ai 5

6 della differenza tra le due basi. Sa-pendo che il perimetro misura 124 cm, calcolal’area del trapezio.

15.92 (∗). Il rettangolo ABCD ha il perimetrodi 78 cm, inoltre sussiste la seguente relazionetra i lati: AD = 8

5AB+ 12 cm. Calcola l’areadel rettangolo.

15.93 (∗). Un rettangolo ha il perimetro chemisura 240 cm, la base è tripla dell’altezza.Calcola l’area del rettagolo.

15.94 (∗). In un rettangolo l’altezza superadi 3 cm i 3

4 della base, inoltre i 32 della base han-

no la stessa misura dei 23 dell’altezza. Calcola

le misure della base e dell’altezza.

15.95 (∗). In un triangolo isoscele la ba-se è gli 8

5 del lato ed il perimetro misu-ra 108 cm. Trovare l’area del triangolo e lamisura dell’altezza relativa ad uno dei duelati obliqui.

15.96 (∗). In un rombo la differenza tra le duediagonali è di 3 cm. Sapendo che la diago-nale maggiore è 4

3 della minore, calcolare ilperimetro del rombo.

15.97 (∗). Determinare le misure delle dimen-sioni di un rettangolo, sapendo che la minoreè uguale a 1

3 della maggiore e che la differenzatra il doppio della minore e la metà della mag-giore è di 10 cm. Calcolare inoltre il lato del

quadrato avente la stessa area del rettangolodato.

15.98 (∗). Antonello e Gianluigi hanno avutodal padre l’incarico di arare due campi, l’unodi forma quadrata e l’altro rettangolare. ”Ioscelgo il campo quadrato - dice Antonello, -dato che il suo perimetro è di 4 metri inferiorea quello dell’altro”. ”Come vuoi! - commen-ta il fratello - Tanto, la superficie è la stessa,dato che la lunghezza di quello rettangolare èdi 18 metri superiore alla larghezza”. Qual èl’estensione di ciascun campo?

15.99 (∗). In un trapezio rettangolo il lato obli-quo e la base minore hanno la stessa lunghez-za. La base maggiore supera di 7 cm i 4

3 del-la base minore. Calcolare l’area del trapeziosapendo che la somma delle basi è 42 cm.

15.100 (∗). L’area di un trapezio isosceleè 168 cm2, l’altezza è 8 cm, la base minoreè 5

9 della maggiore. Calcolare le misure dellebasi, del perimetro del trapezio e delle suediagonali.

15.101 (∗). Le due dimensioni di un rettango-lo differiscono di 4 cm. Trovare la loro misurasapendo che aumentandole entrambe di 3 cml’area del rettangolo aumenta di 69 cm2.

15.102 (∗). In un quadrato ABCD il lato misu-ra 12 cm. Detto M il punto medio del lato AB,determinare sul lato opposto CD un punto Ntale che l’area del trapezio AMND sia metàdi quella del trapezioMBCN.

15.103 (∗). Nel rombo ABCD la somma del-le diagonali è 20 cm ed il loro rapporto è 2

3 .Determinare sulla diagonale maggiore AC unpunto P tale che l’area del triangolo APD siametà di quella del triangolo ABD.

15.104. In un rettangoloABCD si sa cheAB =

91 m e BC = 27 m; dal punto E del la-to AB, traccia la perpendicolare a DC e in-dica con F il punto d’intersezione con lo stes-so lato. Determina la misura di AE, sapendoche Area(AEFD) = 3

4 Area(EFCB).


15.2.4 Risposte

15.1. 18; 52.

15.2. 21; 80.

15.3. 19; 21.

15.4. 10.

15.6. 11.

15.7. 2500.

15.8. 130 .

15.9. 76.

15.10. 1112 .

15.11. 159.

15.12. 45.

15.13. 25.

15.14. −12.

15.15. 1.

15.16. Indeterminato.

15.17. 1.

15.18. 8.

15.20. 72.

15.21. 72; 8.

15.22. 60; 60; 60.

15.23. 12.

15.27. 46.

15.28. 5; 7.

15.29. 56.

15.31. 8.


15.34. 2.

15.36. 426.

15.37. 216; 360.

15.38. 24; 25.

15.39. 10.

15.40. 36; 24; 18.

15.41. 16.

15.43. 64.

15.44. 28.

15.49. 16.

15.50. 80 ′.

15.51. 20 kg.

15.53. Impossibile.

15.55. e 46.

15.56. 1, 2, 4, 6, 16, . . .

15.57. 24.


15.58. e 20000.

15.59. 15; 18.

15.60. e 303; e 215.

15.61. 7; 21.

15.62. 23.

15.63. e 243000.

15.64. 250 ′.

15.65. e 20000; 5%.

15.66. e 3.

15.67. 800 km.

15.68. 2 anni fa.

15.69. e 2 penna; e 16 libro; e 5 quaderno.

15.70. e 483, 33.

15.71. 84.

15.72. 27 cm.

15.73. 15 kg.

15.74. 2 ore.

15.75. 80.

15.76. 15 galline e 10 conigli.

15.77. 80; 50.

15.78. 240; 80.

15.79. 15.

15.80. 7 da 40 posti e 5 da 52.

15.82. 63◦; 27◦; 90◦.

15.83. 36◦, 43; 48◦, 57; 95◦.

15.86. 49 m.

15.87. 97, 8 cm; 45, 1 cm; 45, 1 cm.

15.88. 32, 82 cm; 45, 95 cm; 107, 22 cm.

15.89. 4235 cm2.

15.91. 683, 38 cm2.

15.92. 297, 16 cm2.

15.93. 2700 cm2.

15.94. 2; 92 .

15.95. 432 cm2; 28, 8 cm.

15.96. 30 cm.

15.97. 60 cm; 20 cm; 20√

3 cm.

15.98. 1600 m2.

15.99. 189 cm2.

15.100. 27 cm; 15 cm; 62 cm; 22, 47 cm.

15.101. 12 cm; 8 cm.

15.102. DN = 2 cm.

15.103. AP = 6 cm.

Scomposizione e Frazioni V

“WIcker Composition”Foto di cobalt123

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Scomposizione in fattori 1616.1 Cosa vuol dire scomporre in fattori

Scomporre un polinomio in fattori significa scrivere il polinomio come il prodotto dipolinomi e monomi che moltiplicati tra loro danno come risultato il polinomio stesso. Sipuò paragonare la scomposizione in fattori di un polinomio alla scomposizione in fattori deinumeri naturali.

36 218 36 32 21

Per esempio, scomporre il numero 36 significa scriverlo come 22 · 32 dove 2 e 3sono i suoi fattori primi. Anche 36 = 9 · 4 è una scomposizione, ma non è in fattoriprimi. Allo stesso modo un polinomio va scomposto in fattori non ulteriormentescomponibili che si chiamano irriducibili.

Il polinomio 3a3b2 − 3ab4 si può scomporre in fattori in questo modo

3ab2(a− b)(a+ b),

infatti eseguendo i prodotti si ottiene

3ab2(a− b)(a+ b) = 3ab2(a2 + ab− ba− b2) = 3ab2(a2 − b2

)= 3a3b2 − 3ab4.

La scomposizione termina quando non è possibile scomporre ulteriormente i fattori indivi-duati. Come per i numeri la scomposizione in fattori dei polinomi identifica il polinomio inmaniera univoca (a meno di multipli).

Definizione 16.1. Un polinomio si dice riducibile (scomponibile) se può essere scritto comeprodotto di due o più polinomi (detti fattori) di grado maggiore di zero. In caso contrarioesso si dirà irriducibile.

La caratteristica di un polinomio di essere irriducibile dipende dall’insieme numerico alquale appartengono i coefficienti del polinomio; uno stesso polinomio può essere irriducibilenell’insieme dei numeri razionali, ma riducibile in quello dei numeri reali o ancora in quellodei complessi. Dalla definizione consegue che un polinomio di primo grado è irriducibile.

Definizione 16.2. La scomposizione in fattori di un polinomio è la sua scrittura comeprodotto di fattori irriducibili.


16.2 Raccoglimento totale a fattore comune

Questo è il primo metodo che si deve cercare di utilizzare per scomporre un polinomio.

283

284 Capitolo 16. Scomposizione in fattori

Il metodo si basa sulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.Prendiamo in considerazione il seguente prodotto: a(x+ y+ z) = ax+ ay+ az.Il nostro obiettivo è ora quello di procedere da destra verso sinistra, cioè avendo il poli-

nomio ax+ ay+ az come possiamo fare per individuare il prodotto che lo ha generato? Inquesto caso semplice possiamo osservare che i tre monomi contengono tutti la lettera a, chequindi si può mettere in comune, o come anche si dice “in evidenza”. Perciò scriviamo

ax+ ay+ az = a(x+ y+ z).

Esempio 16.1. Analizziamo la scomposizione in fattori 3a2b(2a3 − 5b2 − 7c

).

3a2b(

2a3 − 5b2 − 7c)= 3a2b(2a3) + 3a2b(−5b2) + 3a2b(−7c)

= 6a5b− 15a2b3 − 21a2bc.

L’ultima uguaglianza, letta da destra verso sinistra, è il raccoglimento totale a fattore comune.Partendo da 6a5b− 15a2b3 − 21a2bc possiamo notare che i coefficienti numerici 6, 15 e 21hanno il 3 come fattore in comune. Notiamo anche che la lettera a è in comune, come lalettera b. Raccogliendo tutti i fattori comuni si avrà il prodotto 3a2b

(2a3 − 5b2 − 7c

)di

partenza.

Procedura 16.1. Mettere in evidenza il fattore comune:

a ) trovare il MCD di tutti i termini che formano il polinomio: tutti i fattori in comune conl’esponente minimo con cui compaiono;

b ) scrivere il polinomio come prodotto del MCD per il polinomio ottenuto dividendo ciascunmonomio del polinomio di partenza per il MCD;

c ) verificare la scomposizione eseguendo la moltiplicazione per vedere se il prodotto dà comerisultato il polinomio da scomporre.

Esempio 16.2. Scomporre in fattori 5a2x2 − 10ax5.

a ) Tra i coefficienti numerici il fattore comune è 5;b ) tra la parte letterale sono in comune le lettere a e x, la a con esponente 1, la x con

esponente 2;c ) pertanto il MCD è 5ax2;d ) passiamo quindi a scrivere 5a2x2 − 10ax5 = 5ax2(. . . . . . . . .);e ) nella parentesi vanno i monomi che si ottengono dalle divisioni 5a2x2 : 5ax2 = a

e −10ax5 : 5ax2 = −2x3.

In definitiva 5a2x2 − 10ax5 = 5ax2(a− 2x3).

Esempio 16.3. Scomporre in fattori 10x5y3z− 15x3y5z− 20x2y3z2.

a ) Trovo tutti i fattori comuni con l’esponente minore per formare il MCD. MCD = 5x2y3z;b ) divido ciascun termine del polinomio per 5x2y3z:

á 10x5y3z : 5x2y3z = 2x3;

Sezione 16.3. Raccoglimento parziale a fattore comune 285

á −15x3y5z : 5x2y3z = −3xy2;á −20x2y3z2 : 5x2y3z = −4z;

c ) il polinomio si può allora scrivere come 5x2y3z · (2x3 − 3xy2 − 4z);d ) Il fattore da raccogliere a fattore comune può essere scelto con il segno (+) o con il se-

gno (−). Nell’esempio precedente è valida anche la seguente scomposizione: 10x5y3z−

15x3y5z− 20x2y3z2 = −5x2y3z · (−2x3 + 3xy2 + 4z).

Esempio 16.4. Scomporre in fattori −8x2y3 + 10x3y2.

a ) Poiché il primo termine è negativo possiamo mettere a fattore comune un numeronegativo. Tra 8 e 10 il MCD è 2. Tra x2y3 e x3y2 mettiamo a fattore comune le lettere xe y, entrambe con esponente 2, perché è il minimo esponente con cui compaiono. Indefinitiva il monomio da mettere a fattore comune è −2x2y2;

b ) pertanto possiamo cominciare a scrivere −2x2y2(. . . . . . . . .);c ) eseguiamo le divisioni −8x2y3 : (−2x2y2) = +4y e 10x3y2 : (−2x2y2) = −5x. I quozienti

trovati +4y e −5x vanno nelle parentesi.

In definitiva −8x2y3 + 10x3y2 = −2x2y2(4y− 5x).

Esempio 16.5. Scomporre in fattori 6a(x− 1) + 7b(x− 1).

a ) Il fattore comune è (x− 1), quindi il polinomio si può scrivere come (x− 1) · [. . . . . . . . .];b ) nella parentesi quadra scriviamo i termini che si ottengono dalle divisioni:

á 6a(x− 1) : (x− 1) = 6a;á 7b(x− 1) : (x− 1) = 7b.

In definitiva 6a(x− 1) + 7b(x− 1) = (x− 1)(6a+ 7b).

Esempio 16.6. Scomporre in fattori 10(x+ 1)2 − 5a(x+ 1).

a ) Il fattore comune è 5(x+ 1), quindi possiamo cominciare a scrivere 5(x+ 1) · [. . . . . . . . .];b ) nella parentesi quadra scriviamo i termini che si ottengono dalle divisioni:

á 10(x+ 1)2 : 5(x+ 1) = 2(x+ 1);á −5a(x+ 1) : 5(x+ 1) = a.

In definitiva 10(x+ 1)2 − 5a(x+ 1) = 5(x+ 1)[2(x+ 1) − a

].�� b Esercizi proposti: 16.2, 16.3, 16.4, 16.5, 16.6, 16.7, 16.8, 16.9, 16.10,16.11, 16.12, 16.13�� 16.14

16.3 Raccoglimento parziale a fattore comune

Quando un polinomio non ha alcun fattore comune a tutti i suoi termini, possiamo provarea mettere in evidenza tra gruppi di monomi e successivamente individuare il polinomio incomune.

Osserviamo il prodotto (a+ b)(x+ y+ z) = ax+ ay+ az+ bx+ by+ bz. Supponiamoora di avere il polinomio ax+ ay+ az+ bx+ by+ bz come possiamo fare a tornare indietroper scriverlo come prodotto di polinomi?


Esempio 16.7. Scomponiamo in fattori ax+ ay+ az+ bx+ by+ bz. Non c’è nessun fattorecomune a tutto il polinomio.

Proviamo a mettere in evidenza per gruppi di termini. Evidenziamo a tra i primi tretermini e b tra gli ultimi tre, avremo: a(x+ y+ z) + b(x+ y+ z). Ora risulta semplice vedereche il trinomio (x+ y+ z) è in comune e quindi lo possiamo mettere in evidenza ax+ ay+az+ bx+ by+ bz = a(x+ y+ z) + b(x+ y+ z) = (x+ y+ z)(a+ b).

Procedura 16.2. Eseguire il raccoglimento parziale.

a ) Dopo aver verificato che non è possibile effettuare un raccoglimento a fattore comune totaleraggruppo i monomi in modo che in ogni gruppo sia possibile mettere in comune qualchefattore;

b ) verifico se la nuova scrittura del polinomio ha un polinomio (binomio, trinomio. . . ) comune atutti i termini;

c ) se è presente il fattore comune a tutti i termini lo metto in evidenza;d ) se il fattore comune non è presente la scomposizione è fallita, allora posso provare a raggruppare

diversamente i monomi o abbandonare questo metodo.

Esempio 16.8. Scomporre in fattori ax+ ay+ bx+ ab.

a ) Provo a mettere in evidenza la a nel primo e secondo termine e la b nel terzo e quartotermine: ax+ ay+ bx+ ab = a(x+ y) + b(x+ a);

b ) in questo caso non c’è nessun fattore comune: il metodo è fallito. In effetti il polinomionon si può scomporre in fattori.

Esempio 16.9. Scomporre in fattori bx− 2ab+ 2ax− 4a2.

a ) Non vi sono fattori da mettere a fattore comune totale, proviamo con il raccoglimentoparziale: b nei primi due monomi e 2a negli altri due;

b ) bx− 2ab+ 2ax− 4a2 = b(x− 2a) + 2a(x− 2a) = (x− 2a)(b+ 2a).

Esempio 16.10. Scomporre in fattori bx3 + 2x2 − bx− 2 + abx+ 2a.

a ) Raggruppiamo nel seguente modo: bx3 + 2x2 − bx− 2 + abx+ 2a tra quelli con sottoli-neatura semplice metto a fattore comune bx, tra quelli con doppia sottolineatura mettoa fattore comune 2;

b ) bx3 + 2x2 − bx− 2+ abx+ 2a = bx(x2 − 1 + a

)+ 2(x2 − 1 + a

)=(x2 − 1+ a

)(bx+ 2

).

Esempio 16.11. Scomporre in fattori 5ab2 − 10abc− 25abx+ 50acx.

a ) Il fattore comune è 5a, quindi:

á 5ab2 − 10abc− 25abx+ 50acx = 5a(b2 − 2bc− 5bx+ 10cx

);

b ) vediamo se è possibile scomporre il polinomio in parentesi con un raccoglimentoparziale 5a(b2 − 2bc− 5bx+ 10cx) = 5a

[b(b− 2c) − 5x(b− 2c)

]= 5a(b− 2c)(b− 5x).�� b Esercizi proposti: 16.16, 16.17, 16.18, 16.19, 16.20, 16.21, 16.22, 16.23, 16.24,16.25, 16.26�� 16.27, 16.28


16.4 Esercizi


16.1 - Cosa vuol dire scomporre in fattori

16.1. Associa le espressioni a sinistra con i polinomi a destra.

a ) (a+ 2b)2;b ) 3ab2(a2 − b);c ) (2a+ 3b)(a− 2b);d ) (3a− b)(3a+ b);e ) (a+ b)3;f ) (a+ b+ c)2;

g ) 2a2 − 4ab+ 3ab− 6b2;h ) a2 + 4ab+ 4b2;i ) 9a2 − b2;j ) 3a3b2 − 3ab3;

k ) a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ac;l ) a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3.

16.2 - Raccoglimento totale a fattore comune

16.2 (∗). Scomponi in fattori raccogliendo a fattore comune.

a ) ax+ 3a2x− abx;b ) 15b2 + 12bc+ 21abx+ 6ab2;

c ) 15x2y− 10xy+ 25x2y2.


a ) −12a8b9 − 6a3b3 − 15a4b3;b ) 2ab2 + 2b2c− 2a2b2 − 2b2c2;

c ) 2m7 + 8m6 + 8m5.


a ) 9x2b+ 6xb+ 18xb2; b ) 20a5 + 15a7 + 10a4; c ) x2b− x5 − 4x3b2.

16.5. Scomponi in fattori raccogliendo a fattore comune.

a ) 3xy+ 6x2;

b ) b3 +13b;

c ) 3xy− 12y2;d ) x3 − ax2;

e ) 9a3 − 6a2;f ) 5x2 − 15x.


a ) 18x2y− 12y2;b ) 4x2y− x2;

c ) 5x3 − 2x2;d ) −2x3 + 2x;

e ) 3a+ 3;f ) −8x2y3 − 10x3y2.


a )23a2b−

43a4b3 −

59a2b2;

b ) 12a3x5 − 18ax6 − 6a3x4 + 3a2x4;

c )23a4bc2 − 4ab3c2 +

103abc2;

d ) −35a4bx+

32ab4x− 2a3b2x.



a ) −52a3b3 −

53a4b2 +

56a3b4;

b ) 91m5n3 + 117m3n4;

c )23a2x+

54ax2 −

54ax;

d ) −5a2 + 10ab2 − 15a.


a ) ab2 − a+ a2;b ) 2b6 + 4b4 − b9;

c ) 2a2b2x− 4a2b;d ) −a4 − a3 − a5;

e ) −3a2b2 + 6ab2 − 15b;f ) a2b− b+ b2.


a ) 2b6 + 4b4 − b9;b ) −5a4 − 10a2 − 30a;

c ) −a2b2 − a3b5 + b3;d ) −2x6 + 4x5 − 6x3y9;

e ) −2x2z3 + 4z5 − 6x3z3;

f ) −49x+

23x2 −

13x3.


a )12a2 +

12a;

b ) an + an−1 + an−2;

c )13ab3 +

16a3b2;

d ) an + a2n + a3n.


a ) 2x2n − 6x(n−1) + 4x(3n+1);b ) a2xn−1 − 2a3xn+1 + a4x2n;

c ) a(x+ y) − b(x+ y);d ) (x+ y)3 − (x+ y)2.


a ) an + an+1 + an+2;b ) (a+ 2)3 − (a+ 2)2 − a− 2;

c ) 2a(x− 2) + 3x(x− 2)2 − (x− 2)2.


a ) x2(a+ b)3 + x3(a+ b) + x5(a+ b)2; b ) 3(x+ y)2 − 6(x+ y) + 2x(x+ y).


a ) 5y3(x− y)3 − 3y2(x− y);b ) 5a(x+ 3y) − 3(x+ 3y);

c ) 2x(x− 1) − 3a2(x− 1);d ) 2(x− 3y) − y(3y− x).


a ) 3x2(a+ b) − 2x3(a+ b) + 5x5(a+ b); b ) (2x− y)2 − 5x3(2x− y) − 3y(2x− y)3.


16.3 - Raccoglimento parziale a fattore comune

16.17 (∗). Scomponi in fattori con il raccoglimento parziale a fattore comune, se possibile.

a ) 2x− 2y+ ax− ay; b ) 3ax− 6a+ x− 2; c ) ax+ bx− ay− by.

16.18. Scomponi in fattori con il raccoglimento parziale a fattore comune, se possibile.

a ) 3ax− 9a− x+ 3;b ) ax3 + ax2 + bx+ b;

c ) 2ax− 4a− x+ 2;d ) b2x+ b2y+ 2ax+ 2ay.


a ) 3x3 − 3x2 + 3x− 3; b ) x3 − x2 + x− 1; c ) ay+ 2x3 − 2ax3 − y.


a ) −x3 + x2 + x− 1;b ) x3 + x2 − x− 1;

c ) x3 − 1 − x+ x2;d ) −x3 − x− 1 − x2.


a ) x3 + x2 + x+ 1;b ) b2x− b2y+ 2x− 2y;

c ) b2x− b2y− 2ax− 2ay;d ) xy+ x+ ay+ a+ by+ b.


a ) 3x+ 6 + ax+ 2a+ bx+ 2b;b ) 2x− 2 + bx− b+ ax− a;

c ) 2x− 2 + bx− b− ax+ a;d ) 2x+ 2 + bx− b− ax+ a.


a ) 2x− b+ ax− a− 2 + bx;b ) a3 + 2a2 + a+ 2;

c ) a2x+ ax− a− 1;d ) 3xy3 − 6xy− ay2 + 2a.


a ) a2x3 + a2x2 + a2x− 2x2 − 2x− 2;b ) 3x4 − 3x3 + 3x2 − 3x;

c ) 2ax− 2a+ abx− ab+ a2x− a2;d ) 3x4y4 − 6x4y2 − ax3y3 + 2ax3y.


a ) b2x− 2bx+ by− 2y;

b )23x3 −

13x2 + 2x− 1;

c ) ax+ bx+ 2x− a− b− 2;d ) 3(x+ y)2 + 5x+ 5y.



a ) bx2 − bx+ b+ x2 − x+ 1;b ) a3 − a2b2 − ab+ b3;

c )15a2b+ 3ab2 −

13a− 5b.


a ) 3x4 + 9x2 − 6x3 − 18x;b ) 2a− a2 + 8b− 4ab;

c ) 4x2 + 3a+ 4xy− 4ax− 3y− 3x;d ) 3x4 − 3x3 + 2x− 2.


a ) (a− 2)(a− 3) + ab− 2b;

b )18x3 − 2xy2 +

12yx2 − 8y3;

c ) ab− bx2 −23ax+

23x3.


a ) 45x3 + 15xy+ 75x2y+ 21x2y2 + 7y3 + 35xy3;b ) 10x3 − 12x2 − 5xy+ 6y;c ) 6a3 + 3a2b− 2ab3 − b4.

16.30 (∗). Scomponi in fattori raccogliendo prima a fattore comune totale e poi parziale.

a ) a14 + 4a10 − 2a12 − 8a8;b ) 3x2(x+ y)2 + 5x3 + 5x2y;

c ) ax3y+ ax2y+ axy+ ay.

16.31. Scomponi in fattori raccogliendo prima a fattore comune totale e poi parziale.

a ) b2x+ b2y− 2bx− 2by;b ) b2x− 2bx− 2by+ b2y;

c ) 2ab2 + 2b2c− 2a2b2 − 2ab2c;d ) 3ax+ 6a+ a2x+ 2a2 + abx+ 2ab.


a ) 211x2 + 212x+ 215x+ 216;b ) 6x2 + 6xy− 3x(x+ y) − 9x2(x+ y)2;c ) 2x3 + 2x2 − 2ax2 − 2ax.

16.33. Scomponi in fattori raccogliendo prima a fattore comune totale e poi parziale.

a ) 2bx2 + 4bx− 2x2 − 4ax;b ) x4 + x3 − x2 − x;

c ) 15x(x+ y)2 + 5x2 + 5xy;d ) 2a2mx− 2ma2 − 2a2x+ 2a2.


a )23ax3 −

13ax2 +

23ax−

13a;

b )73x2 −

73xy+

19x3 −

19x2y−

59(x2 − xy);

c ) 2b(x+ 1)2 − 2bax− 2ba+ 4bx+ 4b.


16.4.2 Risposte

16.2 a) ax(3a− b+ 1), b) 3b(7ax+ 2ab+ 5b+ 4c), c) 5xy(5xy+ 3x− 2).

16.3 a) −3a3b3 (4a5b6 + 5a+ 2), b) 2b2(a+ c− a2 − c2), c) 2m5 (m+ 2)2.

16.4 a) 3bx(3x+ 6b+ 2), b) 5a4 (3a3 + 4a+ 2), c) −x2 (x3 + 4b2x− b

).

16.13 a) an(1 + a+ a2), b) (a+ 2)(a2 + 3a+ 1

), c) (x− 2)

(3x2 − 7x+ 2a+ 2

).

16.14 a) x2(a+ b)(ax3 + bx3 + x+ a2 + 2ab+ b2), b) (x+ y) (5x+ 3y− 6).

16.16 a) x2(a+ b)(5x3 − 2x+ 3), b) (2x− y)(2x− y− 5x3 − 12x2y+ 12xy2 − 3y3).

16.17 a) (x− y)(2 + a), b) (x− 2)(3a+ 1), c) (a+ b)(x− y).

16.19 a) (3x− 3)(x2 + 1

), b) (x− 1)

(x2 + 1

), c) (a− 1)

(y− 2x3).

16.26 a) (b+ 1)(x2 − x+ 1), b)(a2 − b

) (a− b2), c)

( 35ab− 1

) ( 13a+ 5b

).

16.28 a) (a− 2)(a− 3 + b), b) (x+ 4y)( 1

8x2 − 2y2), c)

(a− x2) (b− 2

3x).

16.29 a)(15x+ 7y2) (3x2 + y+ 5xy

), b)

(2x2 − y

)(5x− 6), c) (3a2 − b3)(2a+ b).

16.30 a) a8 (a2 − 2) (a4 + 4

), b) x2(x+ y)(3x+ 3y+ 5), c) ay(x+ 1)(x2 + 1).

16.32 a) 211(x+ 2)(x+ 16), b) −3x(x+ y)(3x2 + 3xy− 1

), c) 2x(x+ 1)(x− a).

16.34 a) 13a(x

2 + 1)(2x− 1), b) 19x(x− y)(16 + x), c) 2b(x+ 1)(x− a+ 3).

Riconoscimento di prodotti notevoli 1717.1 Quadrato di un binomio

Uno dei metodi più usati per la scomposizione di polinomi è legato al saper riconoscerei prodotti notevoli. Se abbiamo un trinomio costituito da due termini che sono quadrati didue monomi ed il terzo termine è uguale al doppio prodotto degli stessi due monomi, allorail trinomio può essere scritto sotto forma di quadrato di un binomio, secondo la regola chesegue.

(A+B)2 = A2 + 2AB+B2 ⇒ A2 + 2AB+B2 = (A+B)2.

Analogamente nel caso in cui il monomio che costituisce il doppio prodotto sia negativo:

(A−B)2 = A2 − 2AB+B2 ⇒ A2 − 2AB+B2 = (A−B)2.

Poiché il quadrato di un numero è sempre positivo, valgono anche le seguenti uguaglianze.

(A+B)2 = (−A−B)2 ⇒ A2 + 2AB+B2 = (A+B)2 = (−A−B)2.

(A−B)2 = (−A+B)2 ⇒ A2 − 2AB+B2 = (A−B)2 = (−A+B)2.

Esempio 17.1. Scomporre in fattori 4a2 + 12ab2 + 9b4.Notiamo che il primo ed il terzo termine sono quadrati, rispettivamente di 2a e di 3b2, ed

il secondo termine è il doppio prodotto degli stessi monomi, pertanto possiamo scrivere:

4a2 + 12ab2 + 9b4 = (2a)2 + 2 · (2a) · (3b2) +(

3b2)2

=(

2a+ 3b2)2

.

Esempio 17.2. Scomporre in fattori x2 − 6x+ 9.Il primo ed il terzo termine sono quadrati, il secondo termine compare con il segno “meno”.

Dunque: x2 − 6x+ 9 = x2 − 2 · 3 · x+ 32 = (x− 3)2, ma anche x2 − 6x+ 9 = (−x+ 3)2.

Esempio 17.3. Scomporre in fattori x4 + 4x2 + 4.Può accadere che tutti e tre i termini siano tutti quadrati. x4 + 4x2 + 4 è formato da tre

quadrati, ma il secondo termine, quello di grado intermedio, è anche il doppio prodotto deidue monomi di cui il primo ed il terzo termine sono i rispettivi quadrati. Si ha dunque:

x4 + 4x2 + 4 =(x2)2

+ 2 · (2) · (x2) + (2)2 =(x2 + 2

)2.

Procedura 17.1. Individuare il quadrato di un binomio:

a ) individuare le basi dei due quadrati;b ) verificare se il terzo termine è il doppio prodotto delle due basi;c ) scrivere tra parentesi le basi dei due quadrati e il quadrato fuori dalla parentesi;d ) mettere il segno “più” o “meno” in accordo al segno del termine che non è un quadrato.

293

294 Capitolo 17. Riconoscimento di prodotti notevoli

Può capitare che i quadrati compaiano con il coefficiente negativo, ma si può rimediaremettendo in evidenza il segno “meno”.

Esempio 17.4. Scomporre in fattori −9a2 + 12ab− 4b2.Mettiamo −1 a fattore comune −9a2 + 12ab− 4b2 = −(9a2 − 12ab+ 4b2) = −(3a− 2b)2.

Esempio 17.5. Scomporre in fattori −x4 − x2 − 14 .

−x4 − x2 −14= −

(x4 + x2 +

14

)= −

(x2 +

12

)2.

Esempio 17.6. Scomporre in fattori −x2 + 6xy2 − 9y4.

x2 + 6xy2 − 9y4 = −(x2 − 6xy2 + 9y4

)= −

(x− 3y2

)2.

Possiamo avere un trinomio che “diventa” quadrato di binomio dopo aver messo qualchefattore comune in evidenza.

Esempio 17.7. Scomporre in fattori 2a3 + 20a2 + 50a.Mettiamo a fattore comune 2a, allora 2a3 + 20a2 + 50a = 2a(a2 + 10a+ 25) = 2a(a+ 5)2.

Esempio 17.8. Scomporre in fattori 2a2 + 4a+ 2.

2a2 + 4a+ 2 = 2(a2 + 2a+ 1

)= 2(a+ 1)2.

Esempio 17.9. Scomporre in fattori −12a3 + 12a2 − 3a.

−12a3 + 12a2 − 3a = −3a(

4a2 − 4a+ 1)= −3a(2a− 1)2.

Esempio 17.10. Scomporre in fattori 38a

2 + 3ab+ 6b2.

38a2 + 3ab+ 6b2 =

32

(14a2 + 2ab+ 4b2

)=

32

(12a+ 2b

)2,

o anche38a2 + 3ab+ 6b2 =

38

(a2 + 8ab+ 16b2

)=

38(a+ 4b)2 .

�� b Esercizi proposti: 17.1, 17.2, 17.3, 17.4, 17.5, 17.6, 17.7, 17.8, 17.9, 17.10,17.11, 17.12

17.2 Quadrato di un polinomio

Se siamo in presenza di sei termini, tre dei quali sono quadrati, verifichiamo se il polinomioè il quadrato di un trinomio secondo le seguenti regole.

(A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 + 2AB+ 2AC+ 2BC.

A2 +B2 +C2 + 2AB+ 2AC+ 2BC = (A+B+C)2 = (−A−B−C)2.

Notiamo che i doppi prodotti possono essere tutt’e tre positivi, oppure uno positivo e duenegativi: indicano se i rispettivi monomi sono concordi o discordi.

Sezione 17.3. Cubo di un binomio 295

Esempio 17.11. Scomporre in fattori 16a4 + b2 + 1 + 8a2b+ 8a2 + 2b.I primi tre termini sono quadrati, rispettivamente di 4a2,b e 1, si può verificare poi che gli

altri tre termini sono i doppi prodotti: 16a4 + b2 + 1 + 8a2b+ 8a2 + 2b =(4a2 + b+ 1

)2.

Esempio 17.12. Scomporre in fattori x4 + y2 + z2 − 2x2y− 2x2z+ 2yz.

x4 + y2 + z2 − 2x2y− 2x2z+ 2yz =(x2 − y− z

)2=(−x2 + y+ z

)2.

Esempio 17.13. Scomporre in fattori x4 − 2x3 + 3x2 − 2x+ 1.In alcuni casi anche un polinomio di cinque termini può essere il quadrato di un trinomio.

Per far venire fuori il quadrato del trinomio si può scindere il termine 3x2 come somma:

3x2 = x2 + 2x2.

In questo modo si ha:

x4 − 2x3 + 3x2 − 2x+ 1 = x4 − 2x3 + x2 + 2x2 − 2x+ 1 = (x2 − x+ 1)2.

Nel caso di un quadrato di un polinomio la regola è sostanzialmente la stessa:

(A+B+C+D)2 = A2 +B2 +C2 +D2 + 2AB+ 2AC+ 2AD+ 2BC+ 2BD+ 2CD.�� b Esercizi proposti: 17.13, 17.14, 17.15, 17.16, 17.17, 17.18, 17.19

17.3 Cubo di un binomio

I cubi di binomi sono di solito facilmente riconoscibili. Un quadrinomio è lo sviluppo delcubo di un binomio se due suoi termini sono i cubi di due monomi e gli altri due termini sonoi tripli prodotti tra uno dei due monomi ed il quadrato dell’altro, secondo le seguenti formule.

(A+B)3 = A3 + 3A2B+ 3AB2 +B3 ⇒ A3 + 3A2B+ 3AB2 +B3 = (A+B)3.

(A−B)3 = A3 − 3A2B+ 3AB2 −B3 ⇒ A3 − 3A2B+ 3AB2 −B3 = (A−B)3.

Per il cubo non si pone il problema, come per il quadrato, del segno della base, perché unnumero, elevato ad esponente dispari, se è positivo rimane positivo, se è negativo rimanenegativo.

Esempio 17.14. Scomporre in fattori 8a3 + 12a2b+ 6ab2 + b3.Notiamo che il primo ed il quarto termine sono cubi, rispettivamente di 2a e di b, il

secondo termine è il triplo prodotto tra il quadrato di 2a e b, mentre il terzo termine è il triploprodotto tra 2a e il quadrato di b. Abbiamo dunque:

8a3 + 12a2b+ 6ab2 + b3 = (2a)3 + 3 · (2a)2 · (b) + 3 · (2a) · (b)2 = (2a+ b)3.

Esempio 17.15. Scomporre in fattori −27x3 + 27x2 − 9x+ 1.Le basi del cubo sono il primo e il quarto termine, rispettivamente cubi di −3x e di 1.

Dunque:

−27x3 + 27x2 − 9x+ 1 = (−3x)3 + 3 · (−3x)2 · 1 + 3 · (−3x) · 12 + 1 = (−3x+ 1)3.


Esempio 17.16. Scomporre in fattori x6 − x4 + 13x

2 − 127 .

Le basi del cubo sono x2 e − 13 i termini centrali sono i tripli prodotti, quindi

(x2 − 1

3)3

.�� b Esercizi proposti: 17.20, 17.21, 17.22, 17.23, 17.24,17.25, 17.26, 17.27, 17.28

17.4 Differenza di due quadrati

Un binomio che sia la differenza dei quadrati di due monomi può essere scomposto comeprodotto tra la somma dei due monomi (basi dei quadrati) e la loro differenza.

(A+B) · (A−B) = A2 −B2 ⇒ A2 −B2 = (A+B) · (A−B).

Esempio 17.17. Scomporre in fattori 49a

4 − 25b2.

49a4 − 25b2 =

(23a2)2

− (5b)2 =

(23a2 + 5b

)·(

23a2 − 5b

).

Esempio 17.18. Scomporre in fattori −x6 + 16y2.

−x6 + 16y2 = −(x3)2

+ (4y)2 =(x3 + 4y

)·(−x3 + 4y

).

Esempio 17.19. Scomporre in fattori a2 − (x+ 1)2. La formula precedente vale anche se A e Bsono polinomi. a2 − (x+ 1)2 = [a+ (x+ 1)] · [a− (x+ 1)] = (a+ x+ 1)(a− x− 1).

Esempio 17.20. Scomporre in fattori(2a− b2)2

− (4x)2.(2a− b2

)2− (4x)2 =

(2a− b2 + 4x

)·(

2a− b2 − 4x)

.

Esempio 17.21. Scomporre in fattori (a+ 3b)2 − (2x− 5)2.

(a+ 3b)2 − (2x− 5)2 = (a+ 3b+ 2x− 5) · (a+ 3b− 2x+ 5).

Per questo tipo di scomposizioni, la cosa più difficile è riuscire a riconoscere un qua-drinomio o un polinomio di sei termini come differenza di quadrati. Riportiamo i casiprincipali:

á (A+B)2 −C2 = A2 + 2AB+B2 −C2;á A2 − (B+C)2 = A2 −B2 − 2BC−C2;á (A+B)2 − (C+D)2 = A2 + 2AB+B2 −C2 − 2CD−D2.

Esempio 17.22. Scomporre in fattori 4a2 − 4b2 − c2 + 4bc.Gli ultimi tre termini possono essere raggruppati per formare il quadrati di un binomio.

4a2 − 4b2 − c2 + 4bc = 4a2 −(

4b2 + c2 − 4bc)

= (2a)2 − (2b− c)2 = (2a+ 2b− c) · (2a− 2b+ c).

Sezione 17.4. Differenza di due quadrati 297

Esempio 17.23. Scomporre in fattori 4x4 − 4x2 − y2 + 1.

4x4 − 4x2 − y2 + 1 =(

2x2 − 1)2

− (y)2 = (2x2 − 1 + y) · (2x2 − 1 − y).

Esempio 17.24. Scomporre in fattori a2 + 1 + 2a+ 6bc− b2 − 9c2.

a2 + 1 + 2a+ 6bc− b2 − 9c2 =(a2 + 1 + 2a

)−(b2 + 9c2 − 6bc

)= (a+ 1)2 − (b− 3c)2 = (a+ 1 + b− 3c) · (a+ 1 − b+ 3c).

�� b Esercizi proposti: 17.29, 17.30, 17.31, 17.32, 17.33, 17.34, 17.35, 17.36,17.37, 17.38, 17.39�� 17.40, 17.41


17.5 Esercizi


17.1 - Quadrato di un binomio

17.1. Quando è possibile, scomponi in fattori,riconoscendo il quadrato di un binomio.

a ) a2 − 2a+ 1;b ) x2 + 4x+ 4;c ) y2 − 6y+ 9;d ) 16t2 + 8t+ 1;e ) 4x2 + 1 + 4x;f ) 9a2 − 6a+ 1.


a ) 4x2 − 12x+ 9;

b )14a2 + ab+ b2;

c ) 9x2 + 4 + 12x;

d )49a4 − 4a2 + 9;

e )14x2 −

13x+

19

;

f ) 16a2 +14b2 − 4ab.


a ) −9x2 −14+ 3x;

b ) 4x2 + 4xy+ y2;c ) a4 + 36a2 + 12a3;

d ) 144x2 − 6xa2 +116a4;

e ) x2 − 6xy+ 9y2;f ) −x2 − 6xy− 9y2.


a ) 25 + 10x+ x2;

b )14x2 +

13xy+

19y2;

c ) 25 − 10x+ x2;

d )925a4 − 6a2 + 25;

e ) 4x2 + 2x4 + 1;f ) 4x2 − 4x4 − 1.


a ) −a3 − 2a2 − a;b ) 3a7b− 6a5b2 + 3a3b3;c ) 100 + a2b4 + 20ab2;d ) 2x13 − 8x8y+ 8x3y2;e ) x8 + 8x4y2 + 16y4;f ) −x2 + 6xy+ 9y2.


a ) 4a2b4 − 12ab3 + 9b6;b ) a2 + a+ 1;c ) 36a6b3 + 27a5b4 + 12a7b2;d ) 25x14 + 9y6 + 30x7y3;e ) −a7 − 25a5 + 10a6;f ) 25a2 + 49b2 + 35ab.


a ) 4y6 + 4 − 4y2;

b )14a2 + 2ab+ b2;

c ) 25a2 − 10ax− x2;d ) 9x2 + 4y2 − 6xy.

17.8. Individua perché i seguenti polinomi non sono quadrati di un binomio.

a ) 4x2 + 4xy− y2 non è un quadrato di binomio perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;b ) x2 − 6xy+ 9y non è un quadrato di binomio perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;c ) 25 + 100x+ x2 non è un quadrato di binomio perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

d )14x2 +

23xy+

19

non è un quadrato di binomio perché. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;


e ) 25t2 + 4 − 10t non è un quadrato di binomio perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.9 (∗). Quando è possibile, scomponiin fattori, riconoscendo il quadrato di unbinomio.

a ) 24a3 + 6a+ 24a2;b ) 3a2x− 12axb+ 12b2x;

c ) 5a2 + 2ax+15x2;

d ) x6y+ x2y+ 2x4y.


a ) x5 + 4x4 + 4x3;b ) 2y3 − 12y2x+ 18x2y;

c ) −50t3 − 8t+ 40t2;d ) 210x2 + 26 · 320 + 340.


a ) 220x40 − 226 · x50 + 230 · x60;b ) 10100x50 − 2 · 1075x25 + 1050.


a ) 1011x10 − 2 · 109x5 + 106;b ) x2n + 2xn + 1.

17.2 - Quadrato di un polinomio

17.13. Quando è possibile, scomponi in fattori,riconoscendo il quadrato di un polinomio.

a ) a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc;b ) x2 + y2 + z2 + 2xy− 2xz− 2yz;c ) x2 + y2 + 4 + 4x+ 2xy+ 4y;d ) 4a4 − 6ab− 4a2b+ 12a3 + b2 + 9a2.

17.14. Quando è possibile, scomponi in fatto-ri, riconoscendo il quadrato di un polinomio.

a ) 9x6 + 2y2z+ y4 − 6x3z− 6x3y2 + z2;

b )14a2 + b4 + c6 + ab2 + ac3 + 2b2c3;

c ) a2 + 2ab+ b2 − 2a+ 1 − 2b;

d ) x2 +14y2 + 4 − xy+ 4x− 2y.

17.15. Quando è possibile, scomponi in fattori,riconoscendo il quadrato di un polinomio.

a ) a2 + b2 + c2 − 2ac− 2bc+ 2ab;b ) −x2 − 2xy− 9 − y2 + 6x+ 6y;c ) 4a2 + 4ab− 8a+ b2 − 4b+ 4;d ) a2b2 + 2a2b+ a2 − 2ab2 − 2ab+ b2.

17.16. Individua perché i seguenti polinomi non sono quadrati.

a ) a2 + b2 + c2 non è un quadrato perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;b ) x2 + y2 + 4 + 4x+ 4xy+ 4y non è un quadrato perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;c ) a2 + b2 + c2 − 2ac− 2bc− 2ab non è un quadrato perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;d ) a2 + b2 − 1 − 2a− 2b+ 2ab non è un quadrato perché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.17 (∗). Quando è possibile, scomponi in fattori, riconoscendo il quadrato di un polinomio.

a ) a2 + 4ab− 2a+ 4b2 − 4b+ 1;b ) a2b2 + 2a2b+ a2 + 4ab2 + 4ab+ 4b2;c ) x2 − 6xy+ 6x+ 9y2 − 18y+ 9.

17.18. Quando è possibile, scomponi in fattori, riconoscendo il quadrato di un polinomio.

a ) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x+ 1 scomponi prima 3x2 = x2 + 2x2;


b ) 4a4 + 8a2 + 1 + 8a3 + 4a scomponi prima 8a2 = 4a2 + 4a2;c ) 9x4 + 6x3 − 11x2 − 4x+ 4 scomponi in maniera opportuna −11x2.

17.19. Quando è possibile, scomponi in fattori, riconoscendo il quadrato di un polinomio.

a ) 25x2 − 20ax− 30bx+ 4a2 + 12ab+ 9b2;b ) 2a10x+ 4a8x+ 2a6x+ 4a5x+ 4a3x+ 2x;c ) a2 + b2 + c2 + d2 − 2ab+ 2ac− 2ad− 2bc+ 2bd− 2cd;d ) x6 + x4 + x2 + 1 + 2x5 + 2x4 + 2x3 + 2x3 + 2x2 + 2x.

17.3 - Cubo di un binomio

17.20. Quando è possibile, scomponi in fattori,riconoscendo il cubo di un binomio.

a ) 8a3 + b3 + 12a2b+ 6ab2;b ) b3 + 12a2b− 6ab2 − 8a3;c ) −12a2 + 8a3 − b3 + 6ab;d ) −12a2b+ 6ab+ 8a3 − b3.


a ) −x3 + 6x2 − 12x+ 8;b ) −x9 − 3x6 + 3x3 + 8;c ) x3y6 + 1 + 3x2y2 + 3xy2;d ) x3 + 3x− 3x2 − 1.


a ) −5x5y3 − 5x2 − 15x4y2 − 15x3y;b ) −a6 + 27a3 + 9a5 − 27a4;c ) 64a3 − 48a2 + 12a− 1;d ) a6 + 9a4 + 27a2 + 27.


a ) x3 − x2 +13x−

127

;

b ) 0, 001x6 + 0, 015x4 + 0, 075x2 + 0, 125;

c )278a3 −

272a2x+ 18ax2 − 8x3;

d ) x3 − x2 +13x−

127

.

17.24. Individua perché i seguenti polinominon sono cubi.

a ) a10 − 8a − 6a7 + 12a4 non è un cuboperché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

b ) 27a3 − b3 + 9a2b− 9ab2 non è un cuboperché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

c ) 8x3 + b3 + 6x2b+ 6xb2 non è un cuboperché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

d ) x3 + 6ax2 − 6a2x+ 8a3 non è un cuboperché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


a ) x3 − 6x2 + 12x− 8;b ) a3b3 + 12ab+ 48ab+ 64;c ) 216x3 − 540ax2 + 450a2x− 125a3;d ) 8x3 + 12x2 + 6x+ 2.

17.26 (∗). Quando è possibile, scomponi infattori, riconoscendo il cubo di un binomio.

a ) a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6;b ) 8a3 − 36a2b+ 54ab2 − 27b3;c ) a6 + 3a5 + 3a4 + a3;d ) a10 − 8a− 6a7 + 12a4.


a ) 8x3 − 36x2 + 54x− 27;b ) x6 + 12ax4 + 12a2x2 + 8a3;c ) x300 − 1015 − 3 · 105x200 + 3 · 1010x100;d ) a6n + 3a4nxn + 3a2nx2n + x3n.

17.28. Quando è possibile, scomponi in fattori, riconoscendo il cubo di un binomio.

a ) 1015a60 + 3 · 1030a45 + 3 · 1045a30 + 1060a15;


b ) 10−33x3 − 3 · 10−22x2 + 3 · 10−11x− 1.

17.4 - Differenza di due quadrati

17.29. Scomponi i seguenti polinomi comedifferenza di quadrati.

a ) a2 − 25b2;b ) 16 − x2y2;c ) 25 − 9x2;d ) 4a4 − 9b2;e ) x2 − 16y2;f ) 144x2 − 9y2.


a ) 16x4 − 81z2;b ) a2b4 − c2;c ) 4x6 − 9y4;d ) −36x8 + 25b2;e ) −1 + a2;

f )14x4 −

19y4.


a )a2

4−y2

9;

b ) 2a2 − 50;c ) a3 − 16ab6;d ) −4x2y2 + y2;e ) −4a2 + b2;

f ) 25x2y2 −14z6.


a ) −a2b4 + 49;b ) 16y4 − z4;c ) a8 − b8;d ) a4 − 16;e ) 16a2 − 9b2;f ) 9 − 4x2.


a )14x2 − 1;

b ) a2 − 9b2;

c )2516a2 − 1;

d ) −16 + 25x2;

e ) 25a2b2 −916y6;

f ) −4x8 + y12.


a )14x2 − 0, 01y4;

b ) x6 − y8;c ) x4 − y8.

17.35 (∗). Quando è possibile, scomponi infattori, riconoscendo la differenza di duequadrati.

a ) (b+ 3)2 − x2;b ) a8 − (b− 1)2;c ) (x− 1)2 − a2.

17.36. Quando è possibile, scomponi in fattori,riconoscendo la differenza di due quadrati.

a ) (x− y)2 − (y+ z)2;b ) −(2a− 1)2 + (3b+ 3)2;c ) x2 − b2 − 9 − 6b.


a ) (2x− 3)2 − 9y2;b ) (x+ 1)2 − (y− 1)2;c ) x2 + 2x+ 1 − y2.


a ) b2 − x4 + 1 + 2b;b ) a4 + 4a2 + 4 − y2;c ) x2 − y2 − 1 + 2y.



a ) (2x+ 3)2 − (2y+ 1)2;b ) a2 − 2ab+ b2 − 4;c ) (2x− 3a)2 − (x− a)2.


a ) −(a+ 1)2 + 9;b ) 16x2y6 − (xy3 + 1)2;c ) a2 + 1 + 2a− 9;d ) x2y4 − z2 + 9 + 6xy2.


a ) a2 − 6a+ 9 − x2 − 16 − 8x;b ) x2 + 25 + 10x− y2 + 10y− 25.


a ) (a− 1)2 − (a+ 1)2;b ) a2n − 4;c ) a2m − b2n;d ) x2n− y4.

17.5.2 Risposte

17.9 a) 6a(2a+ 1)2, b) 3x(a− 2b)2, c)15(x+ 5a)2, d) x2y

(x2 + 1

)2.

17.10 a) x3(x+ 2)2, b) 2y(3x− y)2, c) −2t(5t− 2)2, d)(25x+ 320)2.

17.11 a) 220x40 (1 − 25x10)2, b) 1050 (1025x25 − 1)2.

17.12 a) 106 (105x10 − 2 · 103x5 + 1), b) (xn + 1)2.

17.17 a) (a+ 2b− 1)2, b) (ab+ a+ 2b)2, c) (x− 3y+ 3)2.

17.26 a)(a2 + b2)3, b) (2a− 3b)3, c) a3(a+ 1)3, d) a

(a3 − 2

)3.

17.35 a) (b+ 3 − x)(b+ 3 + x), b) (a4 − b+ 1)(a4 + b− 1), c) (x+ a− 1)(x− a− 1).

17.37 a) (2x+ 3y− 3)(2x− 3y− 3), b) (x+ y)(x− y+ 2), c) (x+ y+ 1)(x− y+ 1).

17.39 a) 4(x+ y+ 2)(x− y+ 1), b) (a− b− 2)(a− b+ 2), c) (3x− 4a)(x− 2a).

17.41 a) −(x+ a+ 1)(x− a+ 7), b) (x+ y)(x− y+ 10).

Altre tecniche di scomposizione 1818.1 Trinomi particolari

Consideriamo il seguente prodotto:

(x+ 3)(x+ 2) = x2 + 3x+ 2x+ 6 = x2 + 5x+ 6.

Poniamoci ora l’obiettivo opposto: se abbiamo il polinomio x2 + 5x+ 6 come facciamo atrovare ritrovare il prodotto che lo ha originato? Possiamo notare che il 5 deriva dalla sommatra il 3 e il 2, mentre il 6 deriva dal prodotto tra 3 e 2. Generalizzando:

(x+ a) · (x+ b) = x2 + ax+ bx+ ab = x2 + (a+ b) x+ a · b.

Leggendo la formula precedente da destra verso sinistra:

x2 + (a+ b) x+ a · b = (x+ a) · (x+ b) .

Possiamo allora concludere che se abbiamo un trinomio di secondo grado in una solalettera, a coefficienti interi, avente il termine di secondo grado con coefficiente 1, se riusciamoa trovare due numeri a e b tali che la loro somma è uguale al coefficiente del termine di primogrado ed il loro prodotto è uguale al termine noto, allora il polinomio è scomponibile nelprodotto (x+ a)(x+ b).

Osserva che il termine noto, poiché è dato dal prodotto dei numeri che cerchiamo, ci dicese i due numeri sono concordi o discordi. Inoltre, se il numero non è particolarmente grandeè sempre possibile scrivere facilmente tutte le coppie di numeri che danno come prodotto ilnumero cercato, tra tutte queste coppie dobbiamo poi individuare quella che ha per somma ilcoefficiente del termine di primo grado.

Esempio 18.1. x2 + 7x+ 12.I coefficienti sono positivi e quindi i due numeri da trovare sono entrambi positivi. Il

termine noto 12 può essere scritto sotto forma di prodotto di due numeri naturali solo come:

12 · 1; 6 · 2; 3 · 4.

Le loro somme sono rispettivamente 13, 8, 7. La coppia di numeri che dà per somma (S)+7 e prodotto (P) +12 è pertanto +3 e +4. Dunque il trinomio si scompone come:

x2 + 7x+ 12 = (x+ 4) · (x+ 3) .

Esempio 18.2. x2 −S8x+

P15.

I segni dei coefficienti ci dicono che i due numeri, dovendo avere somma negativa eprodotto positivo, sono entrambi negativi. Dobbiamo cercare due numeri negativi la cui

303

304 Capitolo 18. Altre tecniche di scomposizione

somma sia −8 e il cui prodotto sia 15. Le coppie di numeri che danno 15 come prodotto sono-15; −1 e −5; −3. Allora i due numeri cercati sono −5 e −3. Il trinomio si scompone come:

x2 − 8x+ 15 = (x− 5) · (x− 3) .

Esempio 18.3. x2 +S4x−

P5.

I due numeri sono discordi, il maggiore in valore assoluto è quello positivo. C’è una solacoppia di numeri che dà −5 come prodotto, precisamente +5 e −1. Il polinomio si scompone:

x2 + 4x− 5 = (x+ 5) · (x− 1) .

Esempio 18.4. x2 −S3x−

P10.

I due numeri sono discordi, in modulo il più grande è quello negativo. Le coppie di numeriche danno −10 come prodotto sono −10; +1, ma anche −5; +2. Quelli che danno −3 comesomma sono −5 e +2.

x2 − 3x− 10 = (x− 5) · (x+ 2) .

Esempio 18.5. In alcuni casi si può applicare questa regola anche quando il trinomio non è disecondo grado, è necessario però che il termine di grado intermedio sia esattamente di gradopari alla metà di quello di grado maggiore.

á x4 + 5x2 + 6 =(x2 + 3

)·(x2 + 2

);

á x6 + x3 − 12 =(x3 + 4

)·(x3 − 3

);

á a4 − 10a2 + 9 =(a2 − 9

)·(a2 − 1

)︸︷︷︸

differenze di quadrati

= (a+ 3) · (a− 3) · (a+ 1) · (a− 1);

á −x4 − x2 + 20 = −(x4 + x2 − 20

)= −

(x2 + 5

)·(x2 − 4

)= −

(x2 + 5

)· (x+ 2) · (x− 2);

á 2x5 − 12x3 − 14x = 2x ·(x4 − 6x2 − 7

)= 2x ·

(x2 − 7

)·(x2 + 1

);

á −2a7 + 34a5 − 32a3 = −2a3 (a4 − 17a2 + 16)= −2a3 (a2 − 1

) (a2 − 16

)= −2a3 (a− 1) (a+ 1) (a− 4) (a+ 4) .

È possibile applicare questo metodo anche quando il polinomio è in due variabili.

Esempio 18.6. x2 + 5xy+ 6y2.Per capire come applicare la regola precedente, possiamo scrivere il trinomio in questo

modo: x2 +S5xy+

P6y2.

Bisogna cercare due monomi A e B tali che A+B = 5y e A ·B = 6y2. Partendo dal fattoche i due numeri che danno 5 come somma e 6 come prodotto sono +3 e +2, i monomi cercatisono +3y e +2y, infatti +3y+ 3y = +5y e +3y · (+2y) = +6y2. Pertanto si può scomporrecome segue: x2 + 5xy+ 6y2 = (x+ 3y)(x+ 2y).

La regola, opportunamente modificata, vale anche se il primo coefficiente non è 1. Vediamoun esempio.

Sezione 18.2. Scomposizione con la regola Ruffini 305

Esempio 18.7. 2x2 − x− 1.Non possiamo applicare la regola del trinomio caratteristico, con somma e prodotto; con

un accorgimento, possiamo riscrivere il polinomio in un altro modo. Cerchiamo due numeri lacui somma sia −1 e il prodotto sia pari al prodotto tra il primo e l’ultimo coefficiente, o megliotra il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto, in questo caso 2 · (−1) = −2.I numeri sono −2 e +1. Spezziamo il monomio centrale in somma di due monomi in questomodo

2x2 − x− 1 = 2x2 − 2x+ x− 1.

Ora possiamo applicare il raccoglimento a fattore comune parziale

2x2 − x− 1 = 2x2 −2x+ x︸︷︷︸−x

−1 = 2x · (x− 1) + 1 · (x− 1) = (x− 1) · (2x+ 1) .

Procedura 18.1. Sia da scomporre un trinomio di secondo grado a coefficienti interi ax2 + bx+ c

con a 6= 1, cerchiamo due numeri m ed n tali che m+ n = b e m · n = a · c; se riusciamoa trovarli, li useremo per dissociare il coefficiente b e riscrivere il polinomio nella forma p =

ax2 + (m+n) · x+ c su cui poi eseguire un raccoglimento parziale.

�� b Esercizi proposti: 18.1, 18.2, 18.3, 18.4, 18.5, 18.6, 18.7, 18.8, 18.9, 18.10

18.2 Scomposizione con la regola Ruffini

Anche il teorema di Ruffini permette di scomporre in fattori i polinomi. Dato il polino-mio P(x), se riusciamo a trovare un numero k per il quale P(k) = 0, allora P(x) è divisibile peril binomio x− k, allora possiamo scomporre P(x) = (x− k) ·Q(x), dove Q(x) è il quozientedella divisione tra P(x) e (x− k).

Il problema di scomporre un polinomio P(x) si riconduce quindi a quello della ricerca delnumero k che sostituito alla x renda nullo il polinomio. Un numero di questo tipo si diceanche radice del polinomio.

Il numero k non va cercato del tutto a caso, abbiamo degli elementi per restringere il campodi ricerca di questo numero quando il polinomio è a coefficienti interi.

q Osservazione Le radici intere del polinomio vanno cercate tra i divisori del termine noto.

Esempio 18.8. p(x) = x3 + x2 − 10x+ 8.

Le radici intere del polinomio sono da ricercare nell’insieme dei divisori di 8, precisamentein {± 1;± 2;± 4;± 8}. Sostituiamo questi numeri nel polinomio, finché non troviamo quelloche lo annulla.

Per x = 1 si ha p(1) = (1)3 + (1)2 − 10 · (1) + 8 = 1 + 1 − 10 + 8 = 0, pertanto il polinomioè divisibile per x− 1.

Utilizziamo la regola di Ruffini per dividere P(x) per x− 1.


1 1 −10 8

1 1 2 −8

1 2 −8

Predisponiamo una griglia come quella a fianco, alprimo rigo mettiamo i coefficienti di P(x), al secondorigo mettiamo come primo numero la radice che abbia-mo trovato, cioè 1. Poi procediamo come abbiamo giàindicato per la regola di Ruffini.

I numeri che abbiamo ottenuto nell’ultimo rigo sonoi coefficienti del polinomio quoziente: q(x) = x2 + 2x− 8.

Possiamo allora scrivere:

x3 + x2 − 10x+ 8 = (x− 1) · (x2 + 2x− 8).

Per fattorizzare il polinomio di secondo grado x2 + 2x− 8 possiamo ricorrere al metodo deltrinomio notevole. Cerchiamo due numeri la sui somma sia +2 e il cui prodotto sia −8. Questinumeri vanno cercati tra le coppie che danno per prodotto −8 e precisamente tra le seguenticoppie (+8,−1), (−8,+1), (+4,−2), (−4,+2). La coppia che dà per somma +2 è (+4,−2). Indefinitiva si ha:

x3 + x2 − 10x+ 8 = (x− 1) · (x2 + 2x− 8) = (x− 1)(x− 2)(x+ 4).

Esempio 18.9. x4 − 5x3 − 7x2 + 29x+ 30.

Le radici intere vanno cercate tra i divisori di 30, precisamente in {± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6;± 10; ± 15; ± 30}. Sostituiamo questi numeri al posto della x, finché non troviamo la radice.

Per x = 1 si ha P(1) = 1 − 5 − 7 + 29 + 30 senza effettuare il calcolo si nota che i numeripositivi superano quelli negativi, quindi 1 non è una radice.

Per x = −1 si ha

P(−1) = (−1)4 − 5 · (−1)3 − 7 · (−1)2 + 29 · (−1) + 30

= +1 + 5 − 7 − 29 + 30

= 0.

Una radice del polinomio è quindi −1; utilizzando la regola di Ruffini abbiamo:

1 −5 −7 29 30

−1 −1 6 1 −30

1 −6 −1 30 0

Con i numeri che abbiamo ottenuto nell’ultima riga costruiamo il polinomio quoziente x3 −

6x2 − 1x+ 30. Possiamo allora scrivere:

x4 − 5x3 − 7x2 + 29x+ 30 = (x+ 1)(x3 − 6x2 − x+ 30).

Con lo stesso metodo scomponiamo il polinomio x3 − 6x2 − 1x+ 30. Cerchiamone le radicitra i divisori di 30, precisamente nell’insieme {± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15; ± 30}.Bisogna ripartire dall’ultima radice trovata, cioè da −1.

Per x = −1 si ha P(−1) = (−1)3 − 6 · (−1)2 − 1 · (−1) + 30 = −1 − 6 + 1 + 30 6= 0.Per x = +2 si ha P(+2) = (+2)3 − 6 · (+2)2 − 1 · (+2) + 30 = +8 − 24 − 2 + 30 6= 0.Per x = −2 si ha P(+2) = (−2)3 − 6 · (−2)2 − 1 · (−2) + 30 = −8 − 24 + 2 + 30 = 0.Quindi −2 è una radice del polinomio. Applichiamo la regola di Ruffini, ricordiamo che al

primo rigo dobbiamo mettere i coefficienti del polinomio da scomporre, cioè x3 − 6x2 − 1x+ 30.

Sezione 18.3. Somma e differenza di due cubi 307

1 −6 −1 30

−2 −2 16 −30

1 −8 15 0

Il polinomio q(x) si scompone nel prodotto x3 − 6x2 − x+ 30 = (x+ 2) · (x2 − 8x+ 15).Infine possiamo scomporre x2 − 8x+ 15 come trinomio notevole: i due numeri che hanno

per somma −8 e prodotto +15 sono −3 e −5. In conclusione posiamo scrivere la scomposizione:

x4 − 5x3 − 7x2 + 29x+ 30 = (x+ 1) · (x+ 2) · (x− 3) · (x− 5).

Non sempre è possibile scomporre un polinomio utilizzando solo numeri interi. In alcunicasi possiamo provare con le frazioni, in particolare quando il coefficiente del termine di gradomaggiore non è 1. In questi casi possiamo cercare la radice del polinomio tra le frazioni deltipo pq , dove p è un divisore del termine noto e q è un divisore del coefficiente del termine digrado maggiore.

Esempio 18.10. 6x2 − x− 2.

Determiniamo prima di tutto l’insieme nel quale possiamo cercare le radici del polinomio.Costruiamo tutte le frazioni del tipo pq , con p divisore di −2 e q divisore di 6. I divisori di 2sono {± 1;± 2} mentre i divisori di 6 sono {± 1;± 2;± 3;± 6}. Le frazioni tra cui cercare sono{

±11

;±12

;±21

;±23

;±26

}cioè {

± 1;±12

;± 2;±23

;±13

}.

Si ha A(1) = −3;A(−1) = 5;A(

12

)= −1;A

(−

12

)= 0.

6 −1 −2

− 12 −3 2

6 −4 0

Sappiamo dal teorema di Ruffini che il polinomio A(x) =6x2 − x− 2 è divisibile per

(x+ 1

2)

dobbiamo quindi trovare ilpolinomioQ(x) per scomporre 6x2 − x− 2 comeQ(x) ·

(x+ 1

2).

Applichiamo la regola di Ruffini per trovare il quoziente.Il quoziente è Q(x) = 6x − 4 Il polinomio sarà scompostoin (6x− 4) ·

(x+ 1

2). Mettendo a fattore comune 2 nel primo

binomio si ha:

6x2 − x− 2 = (6x− 4) ·(x+

12

)= 2(3x− 2)

(x+

12

)= (3x− 2)(2x+ 1).


18.3 Somma e differenza di due cubi

Per scomporre i polinomi del tipo A3 + B3 e A3 − B3 possiamo utilizzare il metodo diRuffini.

Esempio 18.11. x3 − 8.

Il polinomio si annulla per x = 2, che è la radice cubica di 8. Calcoliamo il quoziente.


1 0 0 −8

2 2 4 8

1 2 4 /

Il polinomio quoziente è Q(x) = x2 + 2x + 4 e lascomposizione risulta

x3 − 8 = (x− 2)(x2 + 2x+ 4).

Notiamo che il quoziente assomiglia al quadrato diun binomio, ma non lo è in quanto il termine intermedio è il prodotto e non il doppio prodottodei due termini, si usa anche dire che è un “falso quadrato”. Un trinomio di questo tipo non èulteriormente scomponibile.

Esempio 18.12. x3 + 27.

1 0 0 27

−3 −3 9 −27

1 −3 9 /

Il polinomio si annulla per x = −3, cioè P(−3) =

(−3)3 + 27 = −27 + 27 = 0. Il polinomio quindi èdivisibile per x+ 3. Calcoliamo il quoziente attraversola regola di Ruffini.

Il polinomio quoziente è Q(x) = x2 − 3x + 9 e lascomposizione risulta

x3 + 27 = (x+ 3)(x2 − 3x+ 9).

In generale possiamo applicare le seguenti regole per la scomposizione di somma edifferenza di due cubi:

A3 +B3 = (A+B)(A2 −AB+B2),

A3 −B3 = (A−B)(A2 +AB+B2).�� b Esercizi proposti: 18.16, 18.17, 18.18

18.4 Scomposizione mediante metodi combinati

Nei paragrafi precedenti abbiamo analizzato alcuni metodi per ottenere la scomposizionein fattori di un polinomio e talvolta abbiamo mostrato che la scomposizione si ottiene combi-nando metodi diversi. Sostanzialmente non esiste una regola generale per la scomposizionedi polinomi, cioè non esistono criteri di divisibilità semplici come quelli per scomporre unnumero nei suoi fattori primi. In questo paragrafo vediamo alcuni casi in cui si applicano varimetodi combinati tra di loro.

Un buon metodo per ottenere la scomposizione è procedere tenendo conto di questisuggerimenti:

1. analizzare se si può effettuare un raccoglimento totale;

2. contare il numero di termini di cui si compone il polinomio:

a) con due termini analizzare se il binomio è

i. una differenza di quadrati A2 −B2 = (A−B)(A+B);ii. una differenza di cubi A3 −B3 = (A−B)

(A2 +AB+B2);

iii. una somma di cubi A3 +B3 = (A+B)(A2 −AB+B2);

Sezione 18.4. Scomposizione mediante metodi combinati 309

iv. una somma di quadrati nel qual caso è irriducibile A2 +B2.

b) con tre termini analizzare se è

i. un quadrato di binomio A2 ± 2AB+B2 = (A±B)2;ii. un trinomio particolare del tipo x2 + Sx + P = (x + a)(x + b) con a + b = S

e a · b = P;iii. un falso quadrato, che è irriducibile A2 ±AB+B2.

c) con quattro termini analizzare se è

i. un cubo di binomio A3 ± 3A2B+ 3AB2 ±B3 = (A±B)3;ii. una particolare differenza di quadrati

A2 ± 2AB+B2 −C2 = (A±B+C)(A±B−C);iii. un raccoglimento parziale ax+ bx+ ay+ by = (a+ b)(x+ y).

d) con sei termini analizzare se è

i. un quadrato di trinomio A2 +B2 +C2 + 2AB+ 2AC+ 2BC = (A+B+C)2;ii. un raccoglimento parziale

ax+ bx+ cx+ ay+ by+ cy = (a+ b+ c)(x+ y).

3. se non riuscite ad individuare nessuno dei casi precedenti, provate ad applicare la regoladi Ruffini.

Ricordiamo infine alcune formule per somma e differenza di potenze dispari.

A5 +B5 = (A+B)(A4 −A3B+A2B2 −AB3 +B4

),

A5 −B5 = (A−B)(A4 +A3B+A2B2 +AB3 +B4

),

A7 ±B7 = (A±B)(A6 ∓A5B+A4B2 ∓A3B3 +A2B4 ∓AB5 +B6

),

(A11 −B11) = (A−B)(A10 +A9B+A8B2 +A7B3 +A6B4

+A5B5 +A4B6 +A3B7 +A2B8 +AB9 +B10).

La differenza di due potenze ad esponente pari (uguale o diverso) rientra nel caso delladifferenza di quadrati:

A8 −B10 =(A4 −B5

)(A4 +B5

).

In alcuni casi si può scomporre anche la somma di potenze pari:

A6 +B6 =(A2)3

+(B2)3

=(A2 +B2

)(A4 −A2B2 +B4

),

A10 +B10 =(A2)5

+(B2)5

=(A2 +B2

)(A8 −A6B2 +A4B4 −A2B6 +B8

).

Proponiamo di seguito alcuni esercizi svolti o da completare in modo che possiate acquisireuna certa abilità nella scomposizione di polinomi.


Esempio 18.13. a2x+ 5abx− 36b2x.Il polinomio ha 3 termini, è di terzo grado in 2 variabili, è omogeneo; tra i suoi monomi si

ha MCD = x; effettuiamo il raccoglimento totale: x ·(a2 + 5ab− 36b2). Il trinomio ottenuto

come secondo fattore è di grado 2 in 2 variabili, omogeneo e può essere riscritto

a2 + (5b) · a− 36b2.

Proviamo a scomporlo come trinomio particolare: cerchiamo due monomim ed n tali chem+

n = 5b em ·n = −36b2; i due monomi sonom = 9b ed n = −4b;

a2x+ 5abx− 36b2x = x · (a+ 9b) · (a− 4b) .

Esempio 18.14. x2 + y2 + 2xy− 2x− 2y.Facendo un raccoglimento parziale del coefficiente 2 tra gli ultimi tre monomi perché

otterremmo x2 + y2 + 2 · (xy− x− y) su cui non possiamo fare alcun ulteriore raccoglimento.I primi tre termini formano però il quadrato di un binomio e tra gli altri due possiamo

raccogliere −2, quindi(x+ y

)2− 2 ·

(x+ y

), raccogliendo (x+ y) tra i due termini si ottiene

x2 + y2 + 2xy− 2x− 2y = (x+ y) · (x+ y− 2) .

Esempio 18.15. 8a+ 10b+ (1 − 4a− 5b)2 − 2.Tra i monomi sparsi possiamo raccogliere 2 a fattore comune

p = 2 · (4a+ 5b− 1) + (1 − 4a− 5b)2 .

Osserviamo che la base del quadrato è l’opposto del polinomio contenuto nel primotermine: poiché numeri opposti hanno stesso lo quadrato possiamo riscrivere:

p = 2 · (4a+ 5b− 1) + (−1 + 4a+ 5b)2 .

8a+ 10b+ (1 − 4a− 5b)2 − 2 = (4a+ 5b− 1) · (2 − 1 + 4a+ 5b)

= (4a+ 5b− 1) · (1 + 4a+ 5b) .

Esempio 18.16. t3 − z3 + t2 − z2.Il polinomio ha 4 termini, è di terzo grado in due variabili. Poiché due monomi sono

nella variabile t e gli altri due nella variabile z potremmo subito effettuare un raccoglimentoparziale: t3 − z3 + t2 − z2 = t2 · (t+ 1) − z2 · (z+ 1), che non permette un ulteriore passo.Occorre quindi un’altra idea.

Notiamo che i primi due termini costituiscono una differenza di cubi e gli altri due unadifferenza di quadrati; applichiamo le regole:

t3 − z3 + t2 − z2 = (t− z) ·(t2 + tz+ z2

)+ (t− z) · (t+ z) .

Ora effettuiamo il raccoglimento totale del fattore comune (t− z)

t3 − z3 + t2 − z2 = (t− z) ·(t2 + tz + z2 + t+ z

).

Sezione 18.4. Scomposizione mediante metodi combinati 311

Esempio 18.17. x3 − 7x− 6.

Il polinomio ha 3 termini, è di 3° grado in una variabile. Non possiamo utilizzare laregola del trinomio particolare poiché il grado è 3. Procediamo con la regola di Ruffini:cerchiamo il numero che annulla il polinomio nell’insieme dei divisori del termine notoD =

{± 1;± 2;± 3;± 6}.Per x = +1 si ha P(+1) = (+1)3 − 7 · (+1) − 6 = 1 − 7 − 6 6= 0. Per x = −1 si ha P(−1) =

(−1)3 − 7 · (−1) − 6 = −1 + 7 − 6 = 0. quindi p = x3 − 7x − 6 = (x+ 1) · q(x) con q(x)polinomio di secondo grado che determiniamo con la regola di Ruffini:

1 0 −7 −6

−1 −1 1 6

1 −1 −6 0

Pertanto: P(x) = x3 − 7x− 6 = (x+ 1) ·(x2 − x− 6

).

Il polinomio quoziente è un trinomio di secondogrado; proviamo a scomporlo come trinomio notevo-le. Cerchiamo due numeri a e b tali che a+ b = −1e a · b = −6. I due numeri vanno cercati tra le coppieche hanno −6 come prodotto, precisamente (−6,+1),(−3,+2), (+6,−1), (+3,−2). La coppia che fa al casonostro è (−3,+2) quindi si scompone q = x2 − x− 6 = (x− 3) · (x+ 2).

In definitiva x3 − 7x− 6 = (x+ 1) · (x− 3) · (x+ 2).

Esempio 18.18.(m2 − 4

)2−m2 − 4m− 4.

Il polinomio ha 4 termini di cui il primo è un quadrato di binomio; negli altri tre possiamoraccogliere −1; (

m2 − 4)2

−m2 − 4m− 4 =(m2 − 4

)2−(m2 + 4m+ 4

)Notiamo che anche il secondo termine è un quadrato di binomio, quindi:(

m2 − 4)2

− (m+ 2)2 ,

che si presenta come differenza di quadrati, allora diviene:[(m2 − 4

)+ (m+ 2)

]·[(m2 − 4

)− (m+ 2)

].

Eliminando le parentesi tonde(m2 +m− 2

)·(m2 −m− 6

).

I due fattori ottenuti si scompongono con la regola del trinomio. In definitiva si ottiene:

(m2 +m− 2) · (m2 −m− 6) = (m+ 2) · (m− 1) · (m− 3) · (m+ 2)

= (m+ 2)2 · (m− 1) · (m− 3) .

Esempio 18.19. (a− 3)2 + (3a− 9) · (a+ 1) −(a2 − 9

).

(a− 3)2 + (3a− 9) · (a+ 1) −(a2 − 9

)= (a− 3)2 + 3 · (a− 3) · (a+ 1) − (a− 3) · (a+ 3) .

Mettiamo a fattore comune (a− 3):

(a− 3) · [(a− 3) + 3 · (a+ 1) − (a+ 3)] .


Svolgiamo i calcoli nel secondo fattore e otteniamo:

(a− 3)(a− 3 + 3a+ 3 − a− 3) = (a− 3)(3a− 3).

Esempio 18.20. a4 + a2b2 + b4.Osserva che per avere il quadrato del binomio occorre il doppio prodotto, aggiungendo e

togliendo a2b2 otteniamo il doppio prodotto cercato e al passaggio seguente ci troviamo conla differenza di quadrati:

a4 + 2a2b2 + b4 − a2b2 =(a2 + b2

)2− (ab)2 =

(a2 + b2 + ab

)(a2 + b2 − ab

).

Esempio 18.21. a5 + 2a4b+ a3b2 + a2b3 + 2ab4 + b5.

a5 + 2a4b+ a3b2 + a2b3 + 2ab4 + b5 = a3(a2 + 2ab+ b2

)+ b3

(a2 + 2ab+ b2

)=(a3 + b3

)(a2 + 2ab+ b2

)= (a+ b)

(a2 − ab+ b2

)(a+ b)2

= (a+ b)3(a2 − ab+ b2

).

Esempio 18.22. a2x2 + 2ax2 − 3x2 − 4a2 − 8a+ 12.

a2x2 + 2ax2 − 3x2 − 4a2 − 8a+ 12 = x2(a2 + 2a− 3

)− 4

(a2 + 2a− 3

)=(x2 − 4

)(a2 + 2a− 3

)= (x+ 2)(x− 2)(a− 1)(a+ 3).


18.5 Esercizi


18.1 - Trinomi particolari

18.1. Scomponi in fattori i seguenti trinomi particolari.

a ) x2 − 5x− 36;b ) x2 − 17x+ 16;

c ) x2 − 13x+ 12;d ) x2 + 6x+ 8;

e ) x2 + 7x+ 12;f ) x2 − 2x− 3.


a ) x2 + 9x+ 18;b ) x2 − 5x+ 6;

c ) x2 − 8x− 9;d ) x2 − 7x+ 12;

e ) x2 − 6x+ 8;f ) x2 − 51x+ 50.


a ) x2 − 3x− 4;b ) x2 + 5x− 14;

c ) x4 + 8x2 + 12;d ) x2 + 4x− 12;

e ) x2 − 3x+ 2;f ) x4 − 5x2 + 4.


a ) x2 + 3x− 10;b ) x2 + 13x+ 12;

c ) x2 + 2x− 35;d ) x6 − 5x3 + 4;

e ) x2 + 5x− 36;f ) x2 + 8x+ 7.


a ) x2 − 10x+ 24;b ) y2 + y− 20;

c ) x2 + 4x− 45;d ) x2 − 4x− 21;

e ) x2 + 4x− 21;f ) x2 − 10x+ 21.


a ) x4 + 9x2 − 10;b ) x6 − x3 − 30;

c ) −x6 + 7x3 − 10;d ) 2x3 + 14x2 + 20x;

e ) −3x6 + 15x4 − 12x2;f ) x4 − 37x2 + 36.


a ) x20 + 4x12 − 32x4;b ) x40 − x20 − 20;

c ) x14 − 37x7 + 36;d ) x2 + 4xy− 32y2;

e ) a2 − ax− 20x2;f ) a2 − 12xa− 64x2.


a ) m2 + 20mn+ 36n2;b ) x4 − 8x2a+ 12a2;

c ) x6 + 9x3y2 − 36y4;d ) x2y2 − 2xy− 35;

e ) a4b2 − a2b− 72;f ) x4 + 11x2 + 24.

18.9 (∗). Scomponi i seguenti polinomi seguendo la traccia.

a ) 2x2 − 3x− 5 = 2x2 + 2x− 5x− 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;b ) 3y2 + y− 10 = 3y2 + 6y− 5y− 10 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;


c ) 5t2 − 11t+ 2 = 5t2 − 10t− t+ 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;d ) −3t2 + 4t− 1 = −3t2 + 3t+ t− 1 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;e ) 2x2 − 3x− 9 = 2x2 − 6x+ 3x− 9 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18.10. Scomponi i seguenti polinomi.

a ) 3a2 − 4a+ 1;b ) 11k− 6k2 + 7;

c ) 4b2 − 4b− 3;d ) 6x2 − 13x− 15;

e ) x2 + 10ax+ 16a2;f ) 2x4 + x2 − 3.

18.2 - Scomposizione con la regola Ruffini

18.11. Scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il teorema di Ruffini.

a ) 2x2 − 5x+ 2;b ) 3x2 − 5x− 2;

c ) x3 − 4x2 + x+ 6;d ) x3 + 2x2 − 9x− 18;

e ) 2x3 − 3x2 − 8x+ 12;f ) x4 − x3 − 5x2 − x− 6.

18.12. Scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il teorema di Ruffini.

a ) x3 + 2x2 − 2x+ 3;b ) x3 + x2 − 5x+ 3;c ) 2x3 − 9x2 + 7x+ 6;d ) 3x3 + 5x2 − 16x− 12;

e ) 2x3 + 5x2 + 5x+ 3;f ) 2x3 − 13x2 + 24x− 9;g ) 6x3 − 11x2 − 3x+ 2;h ) 4x4 − 4x3 − 25x2 + x+ 6.

18.13 (∗). Scomponi in fattori i seguenti polinomi utilizzando il teorema di Ruffini.

a ) x3 − 9x− 9 + x2;b ) m3 + 2m2 −m− 2;c ) a3 + a2 − 4a− 4;d ) 3a2 + a− 2;e ) 6a3 − a2 − 19a− 6;

f ) x3 − 5x2 + 8x− 4;g ) 3t3 − t2 − 12t+ 4;h ) 3x4 + x3 − 29x2 − 17x+ 42;i ) y4 + y3 − 3y2 − 4y− 4;j ) t4 − 8t2 − 24t− 32.


a ) 2x5 + 16x4 + 25x3 − 34x2 − 27x+ 90;b ) x5 − x4 − 4x3 − 5x2 − 9x+ 18;c ) x4 + 2x3 − 3x2 − 4x+ 4;d ) a5 + 3a4 − 2a3 − 9a2 − 11a− 6;e ) 2x5 + 16x4 + 19x3 − 94x2 − 213x− 90;

f ) 6x2 − 7x+ 2;g ) 3x3 + x2 + x− 2;h ) 2x3 + x2 + 2x+ 1;i ) 3x3 + 9x− x2 − 3;j ) 1 + 5x+ 6x2 + 4x3 + 8x4.


a ) a6 + 6a4 + 11a2 + 6. Suggerimento: sostituisci a2 = x;b ) 2x2n + xn − 3. Suggerimento: xn = a;c ) x3 − ax2 − 2ax+ 2a2 Suggerimento: cerca le radici tra i monomi divisori di 2a2.


18.3 - Somma e differenza di due cubi

18.16. Scomponi in fattori tenendo presente la somma e la differenza di cubi.

a ) x3 − 1;b ) 27 − x3;c ) x3 + 1;d ) x3 + 8;e ) 64a3 − 8b3;

f ) 8x3 − 27y3;g ) 0, 0013 − x3;h ) 10−3x3 − 103y3;i ) x6 − y6;

j )18a3 −

127b3.


a ) 27x3 − 8y3;b ) a3b3 − 1;c ) a9 − 1;d ) a6 − 1;

e )278x3 − 8;

f ) a3 − 125;

g ) 0, 064x3 +127y3;

h )18a3 −

127t3;

i ) x6 − y3;j ) x9 + 27y3.


a ) 8x12 − 1;b ) a300 + 1;

c ) 5x4y3 +625

8x;

d ) a3n − 8b3;e ) a3n+3 + 1;

f )58a4 −

527ab3.


18.19 (∗). Scomponi in fattori.

a ) (x+ 1)2 − (y− 1)2;

b ) 5x4y2 + 5x2y+54

;

c ) (y− 1)2 − 2y+ 2;d ) 4 − (y− 1)2;e ) 4x2 − xy− 4x+ y;

f ) 0, 3a2 −13b2;

g ) 3x+ k+ 3x2 + kx;h ) x3 + 3x− 4x2;i ) 4x2 − 7x− 2;j ) 6x2 − 24xy+ 24y2.


a ) x2 − (2 + a)x+ 2a;b ) 2x2 + 5x− 12;

c )1

16a2 + 4b4 − ab2;

d ) 81a− 16a3b2;e ) a2 − 10a− 75;

f ) ax+ bx− 3ay− 3by;g ) x5 + x3 + x2 + 1;h ) 0, 09x4y5 − 0, 04y;i ) −a2x− 2abx− b2x+ 5a2 + 10ab+ 5b2;

j )19x2 − 0, 25b2.



a ) 8a3 − 18b

3;b ) 4a3 + 8a2 − a− 2;c ) x3 − x4 + 8 − 8x;d ) 4xy+ 4xz− 3ya− 3za− yh− zh;e ) x6 − 81x2;

f ) 54a3b− 2b4;g ) −12xyz+ 9ya+ 6x3a− 8x4z;h ) y2 + ay− 6a2;i ) 2x3 + 4x− 3x2 − 6;j ) (x2 − 7x+ 10)2 − x2 + 10x− 25.


a )49a2 − b2 +

23a+ b;

b ) x2 − 6x+ 9 − (y2 − 2y+ 1);c ) 16a4x2 − 8a2b2x2 + b4x2;d ) 4(x− 1)2 − 4y(x− 1) + y2;e ) 4a4b− 4a3b2 + 6a3b3 − 6a2b4;

f ) 8x3 − 14x2 + 7x− 1;g ) x4 − 3x3 − 10x2 + 24x;h ) 81a4 − 64a2b2;i ) 4x3 + 8x2 + x− 3;j ) 2a4b3c− 8a2bc5.


a ) x3 + 2x2 − x− 2;b ) 20x3 − 45x;c ) 18p3q2x− 2pq4x+ 18p3q2y− 2pq4y;d ) 20a6 − 16a3c− 25a4b+ 20abc;e ) 2a7 − 6a4x2 + 6a4b2 − 18ab2x2;

f ) x3 − 6x2y+ 12xy2 − 8y3;g ) 3x5 + 12x4 − 21x3 − 66x2 + 72x;h ) 32a3x2y− 48a3xy2 + 4b3x2y− 6b3xy2;i ) x5 + 3x4 − xy4 − 3y4;j ) 48a5bx+ 16a5by− 6a2b4x− 2a2b4y.


a ) x2(x4 − 18x2 + 81) − x6 + 729;b ) x5 − 2x2 − x+ 2;c ) x8 − y8 − 2x6y2 + 2x2y6;d ) 16ab− 81a5b9;e ) 6x7 + 2x6 − 16x5 + 8x4;

f ) x4 − 4x2 − 45;g ) −3a7x2 + 9a5x4 − 9a3x6 + 3ax8;h ) x3 − 13x2 + 35x+ 49;i ) 4ab3c2 + 20ab3 − 3abc2 − 15ab;j ) 6a6b3 − 12a4b5 + 6a2b7.


a ) y3 − 5y2 − 24y;b ) x2 + 4xy− 6x+ 4y2 − 12y+ 9;c ) 2x4 − 4x3 + 4x2 − 4x+ 2;d ) x2 − y2 + 2ay− a2;e ) (3 − a)2 + (5 + a) · (a− 3);f ) 3x3 − x− 1 + 3x2;

g ) x3y2 − x2y3 +14xy4;

h ) −27x6 + 9x5 − x4 +x3

27;

i ) 4x2 − 9y2 − 6yz2 − z4;

j )18a4b2 −

34a3b3 + 3

2a2b4 − ab5.


a ) a2 + 4ab+ 4b2 − x2 + 2xy− y2;b ) a4b− 2a3b2 + 4a3bc+ a2b3 − 4a2b2c+ 4a2bc2;

c ) 3a4 − 3a3x+ a2x2 −19ax3;


d ) a3x+ 4a2x+ 4ax;

e ) a3b5 −23a2b6 +

19ab7;

f ) a2 − ab− 9a+ 3b+ 18;g ) 8ab2 − 2a3;h ) a4 − 6a3 + 3a2 + 18a+ 9 − 1;i ) a3 + 3a2b+ a2 + 3ab2 + 2ab+ b3 + b2;

j )x7

3+ x5 + x3 +

x

3.


a )a2

4+ 2ab− 16b4 + 4b2;

b ) 5a4x3 − 40a4y3 − 45a2b2x3 + 360a2b2y3;c ) −24a4b2x2 − 72a4b2y2 − 3ab5x2 − 9ab5y2;d ) 2ax4y− 6bx4y− 2axy4 + 6bxy4;e ) 640a3x2y− 960a3xy2 + 10b3x2y− 15b3xy2;f ) −4x− 3 − 2(x+ 1)(16x2 + 9 + 24x);g ) (x− 2) + 3(x2 − 4x+ 4) − (x+ 1)(x− 2)2;h ) (x− 1)2 − (x+ 2)(x2 − 2x+ 1) − 2(x3 − 3x2 + 3x− 1);i ) (3x+ 6) − 5(x2 + 4x+ 4)2;j ) (y− x)2(3x+ 2) − 2(x− y)3 − 2x2 + 2y2.


a ) (−x2 + 6x− 9)2 − (4x− 12)(x+ 1);b ) x+ 1 − 2(x2 + 2x+ 1) + (3x2 + x3 + 3x+ 1)(x− 2);c ) 36x2 + 24xy− 48x+ 4y2 − 16y+ 15;d ) x5 − 2 − x+ 2x4;e ) 6a3 + 11a2 + 3a;f ) 3a4 − 24ax3;g ) x2 − 2x+ 1;h ) x2 + y2 + z4 − 2xy+ 2xz2 − 2yz2;i ) a6 + b9 + 3a4b3 + 3a2b6;j ) a3 − 6a2 + 12a− 8.

18.29. Scomponi in fattori.

a ) a2 + b2 − 1 − 2ab;b ) a4 + 2b− 1 − b2;c ) −8a2b+ 24ab2 − 18b3;d ) 6a5 − 24ab4;e ) a4 + b4 − 2a2b2;

f ) x6 − 9x4y+ 27x2y2 − 27y3;g ) x2 − 12x+ 32;h ) x2 − 8x+ 15;i ) x4 − 7x2 − 60;j ) x3 − 5x2 + 6x.



a ) 4a2 − 9 − 4b2 + 12b;b ) x5 − 13x3 + 36x;c ) 4a2 + 4a+ 1;d ) 4x2y2 − 4xy+ 1;e ) x3 + 1;

f ) a2 + 6a+ 9;g ) 12xy− 16y2;h ) 2x3 − 16;i ) 2x2 + 4x+ 8;j ) ax2 − ay2.


a ) a3 − 8 + 12a− 6a2;b ) 7t2 − 28;c ) 2x2 + 8 + 8x;d ) 25 + 9x2 + 30x;e ) z8 − 2z4 + 1;

f ) 3k4 + k6 + 1 + 3k2;g ) 3x5 − 27xy4;h ) 25y4 − 10y2 + 1;i ) 8a4b− 8a3b2 + 12a3b3 − 12a2b4;j ) 3a3x+ 3a3y− 3abx− 3aby.


a ) 81a6b3 − a2b3;b ) 6abx− 3x+ 2aby− y;c ) x3 + 6x2y+ 12xy2 + 8y3;d ) 8a7b− 8a3b3 + 12a6b− 12a2b3;e ) 4a2x− 4a2y2 − 4ab2x+ 4ab2y2;

f ) a2 + 12a+ 36;g ) x8 − y8 − 2x6y2 + 2x2y6;h ) 5x4 − 5x2y4;i ) (2x− 1)3 − (3 − 6x)2;j ) x4 − 2x3 + 6x2y+ x2 − 6xy+ 9y2.


a ) x2 + 10xy+ 25y2;b ) 27a6 − 54a4b+ 36a2b2 − 8b3;c ) 64a9 − 48a6b2 + 12a3b4 − b6;d ) 4a2x2 − 4b2x2 − 9a2y2 + 9b2y2;e ) x6 − 6x4 + 12x2 − 8;

f ) a7 − a4b2 − 4a3b2 + 4b4;g ) x4 + 6x2 − 40;h ) x5 − 13x3 + 12x2;i ) 32ab− 2a5b5;j ) 24x4y+ 36x3y3 + 18x2y5 + 3xy7.


a )49a4 +

49a2b+

b2

9;

b ) −2a10 + 12a7b− 24a4b2 + 16ab3;c ) x3 − 7x2 − 25x+ 175;d ) 2ab6 + 54a4 + 18a2b4 + 54a3b2;e ) 128a3 − 200a;

f )425

+45xy+ x2y2;

g ) x4 − 6x2 − 27;h ) x4 + 4x3 + x2 − 6x;i ) 8a5b2 − 64a2b5;j ) 4a2b5 − 81b.


a ) ax+ bx− 3ay− 3by;b ) 2ax2 + 8ay2 + 8axy;c ) 81a4 − b4;d ) 3a5b3 + 24a2b9;

e ) 4x2 + 2xy+14y2;

f ) x2 − 3a3 + ax− 3a2x;g ) x2 − 12x+ 133;h ) 3x5 − 27xy4;


i ) 25y4 − 10y2 + 1; j )1627x3 +

83x2y+ 4xy2 + 2y3.


a ) 1 − 9x+ 27x2 − 27x3;b ) 6x3y− 12x2y2 + 6xy3;c ) x4 + 3x2 − 28;d ) 2x3 − 3x2 − 5x+ 6;e ) 3x4y3 + 9x4 − 9xy3 − 27x;

f ) 81a6 − 18a4b2 + a2b2;g ) 125 + 75y+ 15y2 + y3;h ) 4a2x2 − 16a2y2 − b2x2 + 4b2y2;i ) x4 + 2x2 − 24;j ) 5x3 − 17x2 + 16x− 4.


a ) 27a6 − 54a4b+ 36a2b2 − 8b3;b ) 18a4b− 2b3;c ) x4 − 9x2 + 20;d ) 3a4b3 − 6a3b3 − 9a2b3;

e )18x6 −

14x4 +

16x2 −

127

;

f ) 4a5b2 + 32a2b5;g ) 32a− 50ab2;h ) 5x4y2 + 5x4 − 5xy4 − 5xy2;i ) 4y2 − 12y+ 9;

j )14x2 +

13ax+

19a2.


a )827x3 − 2x2 +

92x−

278

;

b )19a6 + 9a2 − 2a4;

c ) 5x4 − 5x3y2 − 5x2y+ 5xy3;d ) −8a3 + 12a2x2 − 6ax4 + x6;e ) x2 + 14x− 32;

f )4

49x2y2 −

47xyz+ z2;

g ) 1 −32x3 +

916x6;

h ) 2b6c− 8c3;i ) 16a4x2 − 8a2b2x2 + b4x2;j ) 4x3 + 7x2 − 14x+ 3.


a ) x4 − 4x2 − 45;b ) 3x3 + x2 − 8x+ 4;c ) 4a2 − 9 − 4b2 + 12b;d ) x3 + 3x2 − 6x− 8;e ) 2ax2 + 8ay2 + 8axy;

f ) x6 − 81x2 + x− 3;g ) x6 − y6 + x3 + y3;h ) x2 − 3a3 + ax− 3a2x;i ) 50a4b3 − 2b3;j ) 16x3 − 72x2 + 108x− 54.



a ) 625a4 − b4;b ) 12ax2 + 12axy+ 3ay2;c ) x4 + 5x2 − 36;d ) −4x7 + 16x6 + 28x5 − 88x4 − 96x3;

e )19x6 − 2x4 + 9x2;

f ) a4 + 4a2 − 32;g ) 4x3 + 7x2 − 14x+ 3;h ) 2ax4y− 8bx4y− 2axy4 + 8bxy4;i ) 36ab− 49a3b3;

j )425a4 +

259b2 −

43a2b.


a ) t5 − z5;b ) 3x2 + 6x+ 6;c ) t6 − 2t3 + 1;d ) tx+ x2 + y2 + ty+ 2xy;e ) 12m3 + 9m5 − 3m7;

f ) a2b− 25b+ a2 − 25;g ) 2ab− b2 + 3 · (b− 2a)2;h ) x6 − y6;i ) 3k3 − k2 + k+ 5;j ) y6 + y3 − 2.


a ) a8 − 1;b ) 32a4b3 − 2b3;c ) x6 − 8a3 + 12a2x2 − 6ax4;d ) x2 − 3a3 + ax− 3a2x;e ) 9y2 + 6y+ 1;f ) 9a3 − 9;g ) a3 + 4a− 2a2 − 3;h ) 3a+ 2a3 − 7a2;i ) 50a3b2 − 8a5;j ) 20ab2c+ 8abc+ 2abc2 + 2a2bc2 + 2a2b2c.


a ) ab4 −13a2b2 − b6 +

127a3;

b ) 2xy+ 16 − x2 − y2;c ) (a+ 2)

(a3 − 8

)+(a3 + 8

)(a− 2);

d ) (x− y)2 + 2(x− y)(3a+ b) + (3a+ b)2;e ) x6 − 27 + 26x3;f ) 4y2 − 12x2y+ 25x2y2 − 20xy2 + 9x4 + 30x3y;g ) 1

8 − 8x3y3 + 6x2y2 + 32xy;

h ) 4xy(a− 3b) + 2xy2a− 6xy2b− 2x2y(3b− a);i ) x2 − 4x− 5xy+ x2y+ 6y+ 4;j ) x6 − 8 − 7x3.


a ) xa+1 − 5xa − 4xa−2;b ) xn

2−1 + 2xn2+2 + xn

2(x− 3);

c ) x4n+1 − x3n+1yn + 2xny4n − 2y5n;

d ) xn+2 + 3xny2n − x2y3 − 3y3+2n;e ) xayb + xa − yb − 1;f ) x2n+1yh+1 − 2x2n+1 − yh+1 + 2;g ) xa+4 − 3xa+2ya + x2y2 − 3y2+a.


18.5.3 Risposte

18.9. a) (x+ 1)(2x− 5), b) (y+ z)(3y− 5), e) (x− 3) (2x+ 3).

18.13. a) (x+ 1)(x+ 3) (x− 3), b) (m− 1)(m+ 1) (m+ 2), c) (a+ 1)(a− 2) (a+ 2),d) (a+ 1) (3a− 2), e) (a− 2)(3a+ 1) (2a+ 3), f) (x− 1)(x− 2)2, g) (t+ 2)(t− 2) (3t− 1),h) (x− 3)(x− 1)(x+ 2)(3x+ 7), i) (y+ 2)(y− 2)

(y2 + y+ 1

),

j) (t+ 2)(t− 4)(t2 + 2t+ 4

).

18.14. a) (x+ 2)(x+ 3)(x+ 5)(2x2 − 4x+ 3

), b) (x+ 2)(x− 3)(x− 1)

(x2 + x+ 3

),

c) (x−1)2 (x+ 2)2, d) (a+1)(a−2)(a+3)(a2 +a+1), e) (x+2)(x+3)(x+5)(2x2 −4x−3),f) (2x− 1)(3x− 2), g) (3x− 2)

(x2 + x+ 1

), h) (2x+ 1)

(x2 + 1

), i) (3x− 1)

(x2 + 3

).

18.15. a) (a2 + 1)(a2 + 2)(a2 + 3), b) (xn − 1)(2xn + 3), c) (x− a)(x2 − 2a

).

18.19. a) (x+ y) (x− y+ 2), b) 5( 1

2 + x2y)2

, c) (y− 1) (y− 3), d) (y+ 1) (3 − y),e) (x− 1) (4x− y), f) 1

3 (a+ b) (a− b), g) (x+ 1) (3x+ k), h) x(x− 1) (x− 3),i) (x− 2) (4x+ 1), j) 6 (x− 2y)2.

18.20. a) (x− 2) (x− a), b) (x+ 4) (2x− 3), c)( 1

4a− 2b2)2, d) a(9 − 4ab)(9 + 4ab),

e) (a− 15)(a+ 5), f) (a+ b)(x− 3y), g) (x+ 1)(x2 + 1

) (x2 − x+ 1

),

h) 1100y

(3x2y2 + 2

) (3x2y2 − 2

), i) (a+ b)2 (5 − x), j) 1

36 (2x+ 3b) (2x− 3b).

18.21. a)(2a− 1

2b) (

4a2 + ab+ 14b

2), b) (a+ 2) (2a+ 1) (2a− 1),c) (1 − x) (x+ 2)

(x2 − 2x+ 4

), d) (y+ z)(4x− 3a− h), e) x2(x+ 3)(x− 3)

(x2 + 9

),

f) 2b(3a− b)(9a2 + 3ab+ b2), g) (3a− 4xz)

(2x3 + 3y

), h) (y− 2a) (y+ 3a),

i)(x2 + 2

)(2x− 3), j) (x− 5)2(x− 1)(x− 3).

18.22. a)( 2

3a+ b) ( 2

3a− b+ 1), b) (x− 4 + y)(x− 2 − y), c) x2(2a− b)2(2a+ b)2,

d) (2x− 2 − y)2, e) 2a2b(2a+ 3b2)(a− b), f) (x− 1)(2x− 1)(4x− 1),g) x(x− 2)(x+ 3)(x− 4), h) a2(9a− 8b)(9a+ 8b), i) (2x+ 3)(2x− 1)(x+ 1),j) 2a2bc(ab− 2c2)(ab+ 2c2).

18.23. a) (x − 1)(x + 2)(x + 1), b) 5x(2x − 3)(2x + 3), c) 2pq2(3p − q)(3p + q)(x + y),d) a(4a2 − 5b)(5a3 − 4c), e) 2a(a3 + 3b2)(a3 − 3x2), f) (x− 2y)3,g) 3x(x− 1)(x− 2)(x+ 3)(x+ 4), h) 2xy(2a+ b)(2x− 3y)(4a2 − 2ab+ b2),i) (x+ 3)(x− y)(x+ y)(x2 + y2), j) 2a2b(2a− b)(3x+ y)(4a2 + 2ab+ b2).

18.24. a) −9(x+ 3)(x− 3)(2x2 + 9), b) (x+ 1)(x− 1)2(x2 + x+ 2),c) (x− y)3(x+ y)3(x2 + y2), d) ab(2 − 3ab2)(2 + 3ab2)(4 + 9a2b4),e) 2x4(x− 1)(x+ 2)(3x− 2), f) (x− 3)(x+ 3)(x2 + 5), g) 3ax2(x− a)3(x+ a)3,h) (x+ 1)(x− 7)2, i) ab(4b2 − 3)(c2 + 5), j) 6a2b3(a− b)2(a+ b)2.


18.25. a) y(y+ 3)(y− 8), b) (x+ 2y− 3)2, c) 2(x2 + 1)(x− 1)2, d) (x−a+ y)(x+a− y),e) 2(a− 3)(a+ 1), f) (3x2 − 1)(x+ 1), g) xy2(x− 1

2y)2, h) x3 ( 1

3 − 3x)3

,i) (2x+ 3y+ z2)(2x− 3y− z2), j) 1

8ab2(a− 2b)3.

18.26. a) (a+ 2b+ x− y)(a+ 2b− x+ y), b) a2b(a− b+ 2c)2, c) 3a(a− 1

3x)3

,

d) ax(a+ 2)2, e) ab5 (ab− 13b

2)2, f) (a− 3)(a− b− 6), g) −2a(a+ 2b)(a− 2b),

h) (a− 4)(a+ 1)(a2 − 3a− 2), i) (a+ b)2(a+ b+ 1), j) 13x(x

2 + 1)3.

18.27. a)( 1

2a+ 2b− 4b2) ( 12a+ 2b+ 4b2), b) 5a2(a− 3b)(a+ 3b)(x− 2y)(x2 + 2xy+ 4y2),

c) −3ab2(2a+ b)(x2 + 3y2)(4a2 − 2ab+ b2), d) 2xy(a− 3b)(x− y)(x2 + xy+ y2),e) 5xy(4a+ b)(2x− 3y)(16a2 − 4ab+ b2), f) −(4x+ 3)(8x2 + 14x+ 7),g) (x− 1)(x− 2)(3 − x), h) (x− 1)2(1 − 3x), i) −(2 + x)(5x3 + 30x2 + 60x+ 37),j) (x− y)(x2 + xy− 4y− 2y2).

18.28. a) (x− 3)(x3 − 9x2 + 23x− 31), b) (x+ 1)(x3 − 5x− 3), c) (6x+ 2y− 3)(6x+ 2y− 5),d) (x+ 2)

(x2 + 1

)(x+ 1)(x− 1), e) a(3a+ 1)(2a+ 3), f) 3a(a− 2x)

(a2 + 2ax+ 4x2).

18.45. a) xa−2(x3 − 5x2 − 4), b) xn2−1(2x − 1)(x2 + x − 1), c) (xn − yn)(x3n+1 + 2y4n),

d) (xn − y3)(x2 + 3y2n), e) (xa − 1)(yb + 1), f) (x2n+1 − 1)(y1+h − 2),g) (x2+a + y2)(x2 − 3ya).

MCD e mcm tra polinomi 1919.1 Divisore comune e multiplo comune

Il calcolo del minimo comune multiplo (mcm) e del massimo comune divisore (MCD) si estendeanche ai polinomi. Per determinare MCD e mcm di due o più polinomi occorre prima di tuttoscomporli in fattori irriducibili. La cosa non è semplice poiché non si può essere sicuri di avertrovato il massimo comune divisore o il minimo comune multiplo per la difficoltà di deciderese un polinomio è irriducibile: prudentemente si dovrebbe parlare di divisore comune e dimultiplo comune.

Un polinomio A si dice multiplo di un polinomio B se esiste un polinomio C per ilquale A = B ·C; in questo caso diremo anche che B è divisore del polinomio A.

19.2 Massimo Comun Divisore

Dopo aver scomposto ciascun polinomio in fattori, il massimo comune divisore tra due opiù polinomi è il prodotto di tutti i fattori comuni ai polinomi, presi ciascuno una sola volta,con il minimo esponente. Sia i coefficienti numerici, sia i monomi possono essere consideratipolinomi.

Procedura 19.1. Calcolare il MCD tra polinomi:

a ) scomponiamo in fattori ogni polinomio;b ) prendiamo i fattori comuni a tutti i polinomi una sola volta con l’esponente più piccolo;c ) se non ci sono fattori comuni a tutti i polinomi il MCD è 1.

Esempio 19.1. Determinare il MCD(3a2b3 − 3b3; 6a3b2 − 6b2; 2a2b2 − 24ab2 + 12b2).

á Scomponiamo in fattori i singoli polinomi;

à 3a2b3 − 3b3 = 3b3 (a2 − 1)= 3b3(a− 1)(a+ 1);

à 6a3b2 − 6b2 = 6b2 (a3 − 1)= 6b2(a− 1)

(a2 + a+ 1

);

à 12a2b2 − 24ab2 + 12b2 = 12b2 (a2 − 2a+ 1)= 12b2(a− 1)2.

á i fattori comuni a tutti i polinomi presi con l’esponente più piccolo sono:

à tra i numeri il 3;à tra i monomi b2;à tra i polinomi a− 1.

á quindi il MCD = 3b2(a− 1).

323

324 Capitolo 19. MCD e mcm tra polinomi

19.3 Minimo comune multiplo

Dopo aver scomposto ciascun polinomio in fattori, il minimo comune multiplo tra due opiù polinomi è il prodotto dei fattori comuni e non comuni di tutti i polinomi, quelli comunipresi una sola volta, con il massimo esponente.

Procedura 19.2. Calcolare il mcm tra polinomi:

a ) scomponiamo in fattori ogni polinomio;b ) prendiamo tutti i fattori comuni e non comuni dei polinomi, i fattori comuni presi una sola

volta con il massimo esponente.

Esempio 19.2. Determinare il mcm(3a2b3 − 3b3; 6a3b2 − 6b2; 2a2b2 − 24ab2 + 12b2).

á Scomponiamo in fattori i singoli polinomi;

à 3a2b3 − 3b3 = 3b3 (a2 − 1)= 3b3(a− 1)(a+ 1);

à 6a3b2 − 6b2 = 6b2 (a3 − 1)= 6b2(a− 1)

(a2 + a+ 1

);

à 12a2b2 − 24ab2 + 12b2 = 12b2 (a2 − 2a+ 1)= 12b2(a− 1)2.

á i fattori comuni presi con il massimo esponente e quelli non comuni sono:

à tra i coefficienti numerici il 12;à tra i monomi b3;à tra i polinomi (a− 1)2 · (a+ 1) ·

(a2 + a+ 1

).

á quindi il mcm = 12b3(a− 1)2(a+ 1)(a2 + a+ 1

).�� b Esercizi proposti: 19.1, 19.2, 19.3, 19.4, 19.5, 19.6, 19.7, 19.8, 19.9, 19.10, 19.11


19.4 Esercizi


19.1 - MCD e mcm tra polinomi

19.1 (∗). Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di polinomi.

a ) a+ 3, 5a+ 15, a2 + 6a+ 9; b ) a2 − b2, ab− b2, a2b− 2ab2 + b3.


a ) x2 − 5x+ 4, x2 − 3x+ 2, x2 − 4x+ 3; b ) x2 + 2x− 2, x2 − 4x+ 4, x2 − 4.


a ) a3b2 − 2a2b3, a3b− 4a2b2 + 4ab3, a3b2 − 4ab4;b ) x3 + 2x2 − 3x, x3 − x, x2 − 2x+ 1.


a ) a− b, ab− a2, a2 − b2; b ) b+ 2a, b− 2a, b2 − 4a2, b2 − 4a+ 4a2.


a ) a2 − 9, 3a− a2, 3a+ a2; b ) a+ 1, a2 − 1, a3 + 1.


a ) x2 + 2xy+ y2, x2 − y2, (x+ y)2(x− y); b ) b3 + b2 − 4b− 4, b2 − a, b2 − 1.


a ) a− 2, a2 − 9, a2 + a− 6;b ) 3x+ y+ 3x2 + xy, 9x2 − 1, 9x2 + 6xy+ y2.


a ) 2x3 − 12x2y+ 24xy2 − 16y3, 6x2 − 12xy, 4x3 − 16x2y+ 16xy2;b ) x− 1, x2 − 2x+ 1, x2 − 1.

19.9. Calcola il MCD e il mcm dei seguenti gruppi di polinomi.

a ) x3 − 9x+ x2, 4 − (x− 1)2, x2 + 4x+ 3;b ) x− 2, x− 1, x2 − 3x+ 2;

c ) a2 − 1, b+ 1, a+ ab− b− 1;d ) x, 2x2 − 3x, 4x2 − 9.


a ) x− 1, x2 − 1, x3 − 1;b ) y3 + 8a3, y+ 2a, y2 − 2ay+ 4a2;

c ) z− 5, 2z− 10, z2 − 25, z2 + 25 + 10z;d ) a2 − 2a+ 1, a2 − 3a+ 2, 1 − a.

326 Capitolo 19. MCD e mcm tra polinomi


a ) 2x, 3x− 2, 3x2 − 2x, 10x2;b ) a2 − a, a2 + a, a− a2, 2a2 − 2;c ) x− 2, x2 − 4, ax+ 2a− 3x− 6, a2 − 6a+ 9;d ) x2 − a2, x+ a, x2 + ax, ax+ a2;e ) x2 − 4x+ 4, 2x− x2, x2 − 2x, x3, x3 − 2x2.

19.4.2 Risposte

19.1. a) (a+ 3); 5(a+ 3)2, b) (a− b); b(a+ b)(a− b)2.

19.2. a) (x− 1); (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4), b) 1; (x− 2)2(x+ 2)(x2 + 2x− 2

).

19.3. a) ab(a− 2b); a2b2(a− 2b)2(a+ 2b), b) (x− 1); x(x− 1)2(x+ 1)(x+ 3).

19.4. a) (a− b); a(a− b)(a+ b), b) 1; (b− 2a)(b+ 2a)(b2 − 4a+ 4a2).

19.5. a) 1; a(a− 3)(a+ 3), b) (a+ 1); (a+ 1)(a− 1)(a2 − a+ 1

).

19.6. a) (x+ y); (x+ y)2(x− y), b) 1; (b− 1)(b+ 1)(b− 2)(b+ 2)(b2 − a

).

19.7. a) 1; (a− 2)(a− 3)(a+ 3), b) 1; (x+ 1)(3x− 1)(3x+ 1)(3x+ y)2.

19.8. a) 2(x− 2y); 12x(x− 2y)3, b) (x− 1); (x− 1)2(x+ 1).

Frazioni algebriche 2020.1 Definizione di frazione algebrica

Diamo la seguente definizione:

Definizione 20.1. Si definisce frazione algebrica una espressione del tipo AB dove A e B sonopolinomi.

Osserviamo che un’espressione di questo tipo si ottiene talvolta quando ci si propone diottenere il quoziente di due monomi.

Esempio 20.1. Determinare il quoziente tram1 = 5a3b2c5 em2 = −3a2bc5.Questa operazione si esegue applicando, sulla parte letterale, le proprietà delle potenze

e sul coefficiente la divisione tra numeri razionali: q = 5a3b2c5 :(−3a2bc5) = − 5

3ab. Ilquoziente è quindi un monomio.

Esempio 20.2. Determinare il quoziente tram1 = 5a3b2c5 em2 = −3a7bc5.In questo caso l’esponente della a nel dividendo è minore dell’esponente della stessa

variabile nel divisore quindi si ottiene q1 = 5a3b2c5 :(−3a7bc5) = − 5

3a−4b.

Questo non è un monomio per la presenza dell’esponente negativo alla variabile a.Quindi: q1 = 5a3b2c5 :

(−3a7bc5) = 5b

3a4 . Il quoziente è una frazione algebrica.

Quando vogliamo determinare il quoziente di una divisione tra un monomio e un polino-mio e tra polinomi si presentano diversi casi.

Caso I Monomio diviso un polinomio.

á Determinare il quoziente tra: D = 2a3b e d = a2 + b.

Il dividendo è un monomio e il divisore un polinomio. Questa operazione non ha comerisultato un polinomio ma una frazione. q = 2a3b :

(a2 + b

)= 2a3ba2+b

.

Caso II Un polinomio diviso un monomio.

á Determinare il quoziente tra: D = 2a3b+ a5b3 − 3ab2 e d = 12ab.

q =(2a3b+ a5b3 − 3ab2) : ( 1

2ab)= 4a2 + 2a4b2 − 6b. Il quoziente è un polinomio.

á Determinare il quoziente tra: D = 2a3b+ a5b3 − 3ab2 e d = 12a

5b.

Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio assegnato: il quoziente sarà q =(2a3b+ a5b3 − 3ab2) :

( 12a

5b)

= 4a2 + 2b2 − 6b

a4 . Il quoziente è una somma di frazionialgebriche.

327

328 Capitolo 20. Frazioni algebriche

Caso III Un polinomio diviso un altro polinomio.

á Determinare il quoziente tra: D = x− 3 e d = x2 + 1.

La divisione tra polinomi in una sola variabile è possibile, quando il grado del dividendo èmaggiore o uguale al grado del divisore; questa condizione non si verifica nel caso proposto.Il quoziente è la frazione algebrica q = x−3

x2+1 .

Conclusione Una frazione algebrica può essere considerata come il quoziente indicato tradue polinomi. Ogni frazione algebrica è dunque un’espressione letterale fratta o frazionaria.

20.2 Condizioni di esistenza per una frazione algebrica

Per discussione di una frazione algebrica intendiamo la ricerca dei valori che attribuitialle variabili non la rendano priva di significato. Poiché non è possibile dividere per 0, unafrazione algebrica perde di significato per quei valori che attribuiti alle variabili rendono ildenominatore uguale a zero. Quando abbiamo una frazione algebrica tipo AB poniamo semprela condizione di esistenza (abbreviato con C.E.): B 6= 0.

Esempio 20.3. Determinare le condizioni di esistenza di 1+xx .

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: C.E. x 6= 0.

Esempio 20.4. Determinare le condizioni di esistenza di xx+3 .

Questa frazione perde di significato quando il denominatore si annulla: C.E. x 6= −3.

Esempio 20.5. Determinare le condizioni di esistenza di 3a+5b−7ab .

C.E. ab 6= 0. Sappiamo che un prodotto è nullo quando almeno uno dei suoi fattoriè nullo, dunque affinché il denominatore non si annulli non si deve annullare né a né b,quindi a 6= 0 e b 6= 0. Concludendo C.E. a 6= 0 ∧ b 6= 0.

Esempio 20.6. Determinare le condizioni di esistenza di −62x+5 .

C.E. 2x + 5 6= 0, per risolvere questa disuguaglianza si procede come per le usualiequazioni: 2x+ 5 6= 0⇒ 2x 6= −5⇒ x 6= − 5

2 si può concludere C.E. x 6= − 52 .

Esempio 20.7. Determinare le condizioni di esistenza di −x3−8xx2+2 .

C.E. x2 + 2 6= 0, il binomio è sempre maggiore di 0 perché somma di due grandezzepositive. Pertanto la condizione x2 + 2 6= 0 è sempre verificata e la frazione esiste sempre.Scriveremo C.E. ∀x ∈ R.

Esempio 20.8. Determinare le condizioni di esistenza di 2xx2−4 .

C.E. x2 − 4 6= 0; per rendere nullo il denominatore si dovrebbe avere x2 = 4 e questosi verifica se x = +2 oppure se x = −2; possiamo anche osservare che il denominatoreè una differenza di quadrati e che quindi la condizione di esistenza si può scrivere co-me C.E.(x− 2)(x+ 2) 6= 0, essendo un prodotto possiamo scrivere C.E. x− 2 6= 0∧ x+ 2 6= 0e concludere: C.E. x 6= 2 ∧ x 6= −2.

Sezione 20.3. Semplificazione di una frazione algebrica 329

Procedura 20.1. Determinare la condizione di esistenza di una frazione algebrica:

a ) porre il denominatore della frazione diverso da zero;b ) scomporre in fattori il denominatore;c ) porre ciascun fattore del denominatore diverso da zero;d ) escludere i valori che annullano il denominatore.�� b Esercizi proposti: 20.1, 20.2, 20.3, 20.4

20.3 Semplificazione di una frazione algebrica

Semplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore peruno stesso fattore diverso da zero, in questo modo infatti la proprietà invariantiva delladivisione garantisce che la frazione non cambia di valore. Quando semplifichiamo unafrazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatore per il loro MCD che è sempreun numero diverso da zero, ottenendo una frazione ridotta ai minimi termini equivalente aquella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamoporre attenzione a escludere quei valori che attribuiti alle variabili rendono nullo il MCD.

Esempio 20.9. Semplificare16x3y2z

10xy2 .

C.E. xy2 6= 0→ x 6= 0 ∧ y 6= 0. Puoi semplificare la parte numerica. Per semplificare laparte letterale applica la proprietà delle potenze relativa al quoziente di potenze con la stessabase: x3 : x = x3−1 = x2 e y2 : y2 = 1. Quindi:

16x3y2z

10xy2 =8x2z

5=

85x2z.

Esempio 20.10. Ridurre ai minimi termini la frazione:a2 − 6a+ 9a4 − 81

.

á Scomponiamo in fattori

à il numeratore: a2 − 6a+ 9 = (a− 3)2;à il denominatore: a4 − 81 =

(a2 − 9

) (a2 + 9

)= (a− 3)(a+ 3)

(a2 + 9

);

á riscriviamo la frazione (a−3)2

(a−3)·(a+3)·(a2+9);

á C.E.(a− 3) · (a+ 3) ·(a2 + 9

)6= 0 da cui C.E. a 6= +3 e a 6= −3, il terzo fattore non si

annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;

á semplifichiamo: (a−3)�2

��(a−3)·(a+3)·(a2+9)= a−3

(a+3)(a2+9).

Esempio 20.11. Ridurre ai minimi termini la frazione in due variabili:x4 + x2y2 − x3y− xy3

x4 − x2y2 + x3y− xy3 .

á Scomponiamo in fattori

à x4 + x2y2 − x3y− xy3 = x2 (x2 + y2)− xy (x2 + y2) = x (x2 + y2) (x− y);à x4 − x2y2 + x3y− xy3 = x2 (x2 − y2)+ xy (x2 − y2) = x(x+ y)2(x− y);


á la frazione diventa: x4+x2y2−x3y−xy3

x4−x2y2+x3y−xy3 =x(x2+y2)(x−y)x(x+y)2(x−y)

;

á C.E. x · (x+ y)2 · (x2 + y2) 6= 0 cioè C.E. x 6= 0 ∧ x 6= −y;

á semplifichiamo i fattori uguali: �x(x2+y2)��(x−y)

�x(x+y)2��(x−y)

= x2+y2

(x+y)2 .

Le seguenti semplificazioni sono errate.

á �a+b�a

questa semplificazione è errata perché a e b sono addendi, non sono fattori;

á ��x2+x+4

��x2+2questa semplificazione è errata perché x2 è un addendo, non un fattore;

á x�2+y�2

(x+y)�2= 1, ��3a(a−2)

��3ax−7= a−2x−7 , ��(x−y2)��(a−b)

��(y2−x)��(a−b)= 1;

á ��(2x−3y)

(3y−2x)�2= 1

3y−2x , a2+aba3 = �a(a+b)

a�32= �a+b

a�2= 1+b

a .�� b Esercizi proposti: 20.5,20.6, 20.7, 20.8, 20.9, 20.10, 20.11, 20.12

20.4 Moltiplicazione di frazioni algebriche

Il prodotto di due frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratorie per denominatore il prodotto dei denominatori.

Si vuole determinare il prodotto p = 715 ·

2021 ; possiamo scrivere prima il risultato dei

prodotti dei numeratori e dei denominatori e poi ridurre ai minimi termini la frazione ot-tenuta: p = 7

15 ·2021 = ��1404

��3159 = 49 , oppure prima semplificare i termini delle frazioni e poi

moltiplicare: p = 715 ·

2021 = �7

1

�153 ·�204

�213 = 49 .

Esempio 20.12. Prodotto delle frazioni algebriche f1 = − 3a2

10b3c4 e f2 = 25ab2c7

ab .Poniamo le C.E. per ciascuna frazione assegnata ricordando che tutti i fattori letterali dei

denominatori devono essere diversi da zero, quindi C.E. a 6= 0 ∧ b 6= 0 ∧ c 6= 0. Il prodottoè la frazione f = − 3a2

10b3c4 · 25ab2c7

ab = − 15a2c3

2b2 .

Esempio 20.13. Prodotto delle frazioni algebriche f1 = − 3a2b+1 e f2 = 10b

a−3 .L’espressione è in due variabili, i denominatori sono polinomi di primo grado irriducibili;

poniamo le condizioni di esistenza: C.E. 2b+ 1 6= 0∧a− 3 6= 0 dunque C.E. b 6= − 12 ∧a 6= 3.

Il prodotto è la frazione f = − 3a2b+1 ·

10ba−3 = − 30ab

(2b+1)(a−3) in cui non è possibile alcunasemplificazione.

q Osservazione f = − 3�a2�b+1

· 10�b�a−3

. Questa semplificazione contiene errori in quanto lavariabile a è un fattore del numeratore ma è un addendo nel denominatore; analogamente lavariabile b.

Esempio 20.14. Prodotto delle frazioni algebriche in cui numeratori e denominatori sonopolinomi f1 = 2x2−x

x2−3x+2 e f2 = 5x−5x−4x2+4x3 .

á Scomponiamo in fattori tutti i denominatori (servirà per la determinazione delle C.E.) etutti i numeratori (servirà per le eventuali semplificazioni),

Sezione 20.5. Potenza di una frazione algebrica 331

à f1 = 2x2−xx2−3x+2 =

x·(2x−1)(x−1)·(x−2) ,

à f2 = 5x−5x−4x2+4x3 =

5·(x−1)x·(2x−1)2 ;

á poniamo le C.E. ricordando che tutti i fattori dei denominatori devono essere diversida zero: C.E. x− 1 6= 0 ∧ x− 2 6= 0 ∧ x 6= 0 ∧ 2x− 1 6= 0 da cui C.E. x 6= 1 ∧ x 6= 2 ∧

x 6= 0 ∧ x 6= 12 ;

á determiniamo la frazione prodotto, effettuando le eventuali semplificazioni:

à f = �x·��(2x−1)��(x−1)·(x−2) ·

5·��(x−1)

�x·(2x−1)�2= 5

(x−2)(2x−1) .


20.5 Potenza di una frazione algebrica

La potenza di esponente n, naturale diverso da zero, della frazione algebrica AB con B6=0(C.E.) è la frazione avente per numeratore la potenza di esponente n del numeratore e perdenominatore la potenza di esponente n del denominatore:

(AB

)n= An

Bn .

Esempio 20.15. Calcoliamo(x−2x2−1

)3.

Innanzi tutto determiniamo le C.E. per la frazione assegnata

x− 2x2 − 1

=x− 2

(x− 1) · (x+ 1)(x− 1)(x+ 1) 6= 0,

da cui C.E. x 6= 1 ∧ x 6= −1. Dunque si ha(x− 2x2 − 1

)3=

(x− 2)3

(x− 1)3 · (x+ 1)3 .

20.5.1 Casi particolari dell’esponente

Se n = 0 sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1; lo

stesso si può dire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla.(AB

)0= 1

con A 6= 0 e B 6= 0.

Esempio 20.16. Quali condizioni deve rispettare la variabile a per avere(

3a− 25a2 + 10a

)0= 1?

á Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore della frazione:(

3a−25a·(a+2)

)0;

á determiniamo le C.E. del denominatore: a 6= 0∧a+ 2 6= 0 da cui, C.E. a 6= 0∧a 6= −2.Poniamo poi la condizione, affinché la frazione non sia nulla, che anche il numeratoresia diverso da zero. Indichiamo con C0 questa condizione, dunque C0: 3a− 2 6= 0, dacui a 6= 2

3 ;á le condizioni di esistenza sono allora a 6= −2 ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 2

3 .


Se n è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che haper base l’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente.

(AB

)−n=(BA

)+ncon A 6= 0 e B 6= 0.

Esempio 20.17. Determinare(x2 + 5x+ 6x3 + x

)−2

.

á Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore:(

(x+2)·(x+3)x·(x2+1)

)−2;

á C.E. del denominatore x 6= 0 e x2 + 1 6= 0 da cui C.E. x 6= 0 essendo l’altro fattoresempre diverso da 0. Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre lecondizioni perché la frazione non sia nulla e cioè che anche il numeratore sia diverso dazero, quindi si deve avere C0 : (x+ 2)(x+ 3) 6= 0 da cui C0 : x 6= −2 e x 6= −3;

á quindi se x 6= 0, x 6= −2 e x 6= −3 si ha(

(x+2)·(x+3)x·(x2+1)

)−2=

x2·(x2+1)2

(x+2)2·(x+3)2 .


20.6 Divisione di frazioni algebriche

Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima con l’inversodella seconda. Lo schema di calcolo può essere illustrato nel modo seguente, come del restoabbiamo visto nell’insieme dei numeri razionali:

m

n:p

q=m

n· qp=m · qn · p

.

Si vuole determinare il quoziente q = 512 : 7

4 . L’inverso di 74 è la frazione 4

7 dunque,

q =512

:74=

5��123 ·

�41

7=

521

.

Esempio 20.18. Determinare il quoziente delle frazioni algebriche f1 = 3a−3b2a2b

e f2 = a2−abb2 .

á Scomponiamo in fattori le due frazioni algebriche: f1 = 3a−3b2a2b

=3·(a−b)

2a2be f2 =

a2−abb2 =

a·(a−b)b2 ;

á poniamo le condizioni d’esistenza dei denominatori: 2a2b 6= 0 ∧ b2 6= 0 da cui C.E.a 6= 0 ∧ b 6= 0;

á determiniamo la frazione inversa di f2. Per poter determinare l’inverso dobbiamo porrele condizioni perché la frazione non sia nulla. Poniamo il numeratore diverso da zero,C0 : a 6= 0 ∧ a− b 6= 0 da cui C0 : a 6= 0 ∧ a 6= b;

á aggiorniamo le condizioni C.E. a 6= 0 ∧ b 6= 0 ∧ a 6= b;á cambiamo la divisione in moltiplicazione e semplifichiamo:

3 · (a− b)2a2b

:a · (a− b)

b2 =3 ·��(a− b)

2a2�b· b�2

a ·��(a− b)=

3b2a3 .


Sezione 20.7. Addizione di frazioni algebriche 333

20.7 Addizione di frazioni algebriche

20.7.1 Proprietà della addizione tra frazioni algebriche

Nell’insieme delle frazioni algebriche la somma:

á è commutativa: f1 + f2 = f2 + f1;á è associativa: (f1 + f2) + f3 = f1 + (f2 + f3) = f1 + f2 + f3;á possiede l’elemento neutro, cioè esiste una frazione F0 tale che per qualunque frazione f

si abbia F0 + f = f+ F0 = f e F0 = 0;á ogni frazione algebrica f, possiede la frazione opposta (−f) tale che

(−f) + f = f+ (−f) = F0 = 0.

Quest’ultima proprietà ci permette di trattare contemporaneamente l’operazione di addizionee di sottrazione, come abbiamo fatto tra numeri relativi; (+1) + (−2) omettendo il segnodi addizione + e togliendo le parentesi diventa 1 − 2; (+1) − (−2) omettendo il segno disottrazione − e togliendo le parentesi diventa 1 + 2. Come per i numeri relativi, quando siparlerà di somma di frazioni si intenderà “somma algebrica”.

Esempio 20.19. Le frazioni 2x−3yx+y + x+2y

x+y hanno lo stesso denominatore.Poniamo le C.E. x+ y 6=0 da cui C.E. x6=− y allora

2x− 3yx+ y

+x+ 2yx+ y

=(2x− 3y) + (x+ 2y)

x+ y=

3x− yx+ y

.

q Osservazione A questo caso ci si può sempre ricondurre trasformando le frazioni allostesso denominatore. Si potrebbe scegliere un qualunque denominatore comune, ad esempio ilprodotto di tutti i denominatori ma, scegliamo il mcm dei denominatori delle frazioni addendiper semplificare i calcoli.

Esempio 20.20.x+ y

3x2y−

2y− x2xy3 .

Dobbiamo trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore:

á calcoliamo il mcm(3x2y, 2xy3) = 6x2y3;á poniamo le C.E. 6x2y3 6=0 da cui C.E. x6=0 e y 6=0;á dividiamo il mcm per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per

il relativo numeratore:2y2 · (x+ y)

6x2y3 −3x · (2y− x)

6x2y3 ;

á la frazione somma ha come denominatore lo stesso denominatore e come numeratore lasomma dei numeratori:

2y2 · (x+ y)6x2y3 −

3x · (2y− x)6x2y3 =

2xy2 + 2y3 + 2x2y− 6xy+ 3x2

6x2y3 .

Esempio 20.21.x+ 2x2 − 2x

−x− 2

2x+ x2 +−4xx2 − 4

.


á Scomponiamo in fattori i denominatori:

x+ 2x(x− 2)

−x− 2x(2 + x)

+−4x

(x+ 2)(x− 2),

il mcm è x · (x+ 2) · (x− 2);á poniamo le C.E. x(x+ 2)(x− 2) 6=0 da cui C.E. x 6=0, x 6=2 e x 6=− 2;á dividiamo il mcm per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per

il relativo numeratore:(x+ 2)2 − (x− 2)2 − 4x2

x · (x+ 2) · (x− 2);

á eseguiamo le operazioni al numeratore:

x2 + 4x+ 4 − x2 + 4x− 4 − 4x2

x · (x+ 2) · (x− 2)=

8x− 4x2

x · (x+ 2) · (x− 2);

á semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore:

−4�x ·��(x− 2)

�x · (x+ 2) ·��(x− 2)=

−4x+ 2

.

Esempio 20.22.x

x− 2−

2xx+ 1

+x

x− 1−

5x2 − 7x3 − 2x2 + 2 − x

.

á Scomponiamo in fattori x3 − 2x2 + 2 − x, essendo gli altri denominatori irriducibili:x3 − 2x2 + 2 − x = x2(x− 2) − 1(x− 2) = (x− 2)

(x2 − 1

)= (x− 2)(x+ 1)(x− 1) che è

anche il mcm dei denominatori;á poniamo le C.E. (x− 2)(x+ 1)(x− 1) 6=0 da cui C.E. x 6=2, x 6=− 1 e x 6=1;á dividiamo il mcm per ciascun denominatore e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per

il relativo numeratore:

x(x+ 1)(x− 1) − 2x(x− 2)(x− 1) + x(x− 2)(x+ 1) − (5x2 − 7)(x− 2)(x+ 1)(x− 1)

;

á eseguiamo le operazioni al numeratore:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(x− 2)(x+ 1)(x− 1)

;

á semplifichiamo la frazione ottenuta, dopo aver scomposto il numeratore. La frazionesomma è:

−7

(x− 2)(x+ 1).

�� b Esercizi proposti: 20.22, 20.23, 20.24, 20.25, 20.26, 20.27, 20.28, 20.29, 20.30


20.8 Esercizi


20.2 - Condizioni di esistenza per una frazione algebrica

20.1. Determinare per ciascuna frazione la condizione di esistenza.

a )−3x3 + x− 2x2 + 1

3x− 6;

b )−x3 − 8xx2 + 4x+ 4

;

c )2x

x3 − 7x2 + x− 7;

d )−54a3b5c

;

e )b− 13ab

;

f )a+ b− 1

2a(b2 − 1

) .


a )ay2

y2 − 5y+ 6;

b )3x− 8x2 ;

c )−3x3 + x− 2x2 + 1

x− 1;

d )a2 − 3ba− b

;

e )a+ 2ab− 6b

a+ b;

f )−a

2a− b.


a )−x3 − 8y2

x2 + y2 ;

b )2x+ 3y− 1x2 − 4xy

;

c )3x+ 8yx2 − y2 ;

d )a2 − 1

2a2x+ 4ax+ 2x;

e )−6a− 5ab2b2 + 4ab

;

f )y− 1

ay+ a+ y+ 1.


a )−8a+ 3ab4

a2b2 − 25b4 ; b )a3 − 2b2

a3 − b3 ; c )−8a+ 3

a3 + 3a2 + 3a+ 1.

20.3 - Semplificazione di una frazione algebrica

20.5 (∗). Semplifica le seguenti frazioni e indica le condizioni di esistenza.

a )x2 − 6x+ 9x2 − 9

;

b )4x2 − 48x2 − 8

;

c )ax+ x+ a2 + a

a2 + 2a+ 1;

d )4x2 − 4 + x3 − x

2x+ 2;

e )5x+ 5y

3x+ 3y+ ax+ ay;

f )3a3 − 3a2 − a+ 1

9a4 − 1.


a )2x− 2 − ax+ a

x2 − 2x+ 1;

b )6a2 − 4ab+ 3a− 2b

4a2 + 4a+ 1;

c )4x+ 4y

3x+ 3y+ ax+ ay;

d )a2 − b2 − ac+ bc

ab+ ac+ b2 − c2 ;

e )x2 + xy

2x+ 2y+ ax+ ay;

f )3ax+ 6a+ 3x+ 6

6ax+ 6x+ 12a+ 12.



a )2x2 − x− 13x2 − x− 2

;

b )2x2 − 5x+ 22x2 − 7x+ 6

;

c )a3 + a2 + a+ 1ax+ x+ 2a+ 2

;

d )x2 + 5x+ 6x2 + 6x+ 9

;

e )−2x+ 2 + ax− a

x2 − 2x+ 1;

f )4x3 − 4x4 + 8x− 8x2

1 − x2 .


a )2x2 − 3x+ 12x2 − 5x+ 3

;

b )x2 + x− 2x2 + 2x− 3

;

c )x2 − 2x+ 1

x3 − 3x2 + 3x− 1;

d )6a2b3 − 9a3b2

2ab− 3a2 − 2b+ 3a;

e )x2 + 7x+ 12x2 − 9

;

f )x3 − 1

x4 + 2x3 + x2 − 1.


a )2x2 + 3x− 22x2 + x− 6

;

b )x3 − x2 + x− 1

2x2 − x− 1;

c )2x2 − 4xy

ax− 2ay+ 2x− 4y;

d )8a5b5 − 4a3b5

2a3 − a− 1 + 2a2 ;

e )2x2 − x− 3

3x2 + 2x− 1;

f )x3 + x2 − 2x− 2x3 + x2 + 2x+ 2

.


a )−2a− a2

2b+ ab+ 4 + 2a;

b )x2 + 3x− 28x2 + 2x− 24

;

c )2x3 − 7x2 + 7x− 22x3 − 5x2 + x+ 2

;

d )a2 + a

ab+ b+ a+ 1;

e )x2 − x− 6x2 + 2x− 15

;

f )x3 + x2 − 2x− 2x2 + 2x+ 1

.


a )−a2 − a

ab+ b+ a+ 1;

b )2x2 − x− 3x3 + 1

;

c )4x+ 4y

6x+ 6y+ 2ax+ 2ay;

d )x3 − x2 + x− 1x3 − 3x2 + 3x− 1

;

e )x2 − xy

2x2 − 2xy+ ax2 − axy;

f )x3 − 8(

x2 + 4)2

− 4x2.


a )2x2 − x− 1

2x2 + x;

b )x2 + 2xy+ y2 − 1

x2 + y2 + 1 + 2xy− 2x− 2y;

c )2x3 − x− 1

ax2 − ax+ x2 − x;

d )x6 − 1x4 − 1

.

20.4 - Moltiplicazione di frazioni algebriche

20.13 (∗). Determinate i seguenti prodotti, indicando sempre le condizioni di esistenza.

a )3x− 6y

5xy3 · 2x2y2 + xy3

4y2 − x2 ;

b )x4 − 5x2 + 4x2 − 1

· x

x3 − 4x;

c )4x− 2ax− a

· 3a− 3xa− 2x

;

d )−1 − 2a− a2

1 + a2 − 2a· a

3 − 3a2 + 3a− 1a4 + 2a3 − 2a− 1

.



a )2a4 + 6a+ 12 + 4a3

16 − a4 · a2 − 7a+ 10

5a5 + 15a2 ;

b )−45x7

y−2 ·4y−7

36x−1 ;

c )x2 − 3x+ 2x2 − 4

· x2 + 3x+ 2x2 − 2x+ 1

;

d )x2 − 4x+ 4x3 − 8

· x2 + 2x+ 4x2 − 2x

.


a )x3 + 3x2 + 3x+ 1x2 + 2x+ 1

· ax+ xx2 + x

;

b )4x3 − 4x2 − x+ 1

8x3 − 1· 4x3 + 2x2 + x

2x2 − x− 1;

c )x2 − x− 6

2x2 − 8x+ 8· x2 + x− 6x3 + 2x2 − 9x− 18

;

d )x4 − 1

x2 − 2x+ 1· 2x2 − x− 1

2x3 + x2 + 2x+ 1· 2x2 − 2x+ 2

x3 + 1.

20.16. Determinate i seguenti prodotti, indicando sempre le condizioni di esistenza.

a )x2 − 4

x2 + 4x+ 4· 2x2 + 8x+ 8

4x2 − 16;

b )2x3 − 2x2 − 3x+ 3

2x2 − 4x+ 2· x

2 − 2x+ 1x2 − 1

;

c )a2 − b2

3x− 3y· 6x3y− 6xy3

a2x− a2y+ b2y− b2x;

d )2x2 − x− 3

3x2 + 2x− 1· x3 + 1

2x2 − x− 3.

20.17. Determinate i seguenti prodotti, indicando sempre le condizioni di esistenza.

a )x2 + x− 2x2 + 2x− 3

· x2 + 2x− 15x2 − x− 6

;

b )2x2 − 5x− 3ax− 3a+ x− 3

· 2ax+ 4a+ 2x+ 44ax− 4x+ 8a− 8

;

c )x3 − x

x3 − 2x2 − x+ 2· x3 − 8(x2 + 4

)2− 4x2

;

d )a3 + a2 + a+ 1ax+ x+ 2a+ 2

· x4 − 5x2 + 4x2 − 3x+ 2

;

e )2x2 − 5x− 3ax− 3a+ x− 3

· 2ax+ 4a+ 2x+ 44ax− 4x+ 8a− 8

;

f )2ax+ 4a+ 2x+ 44ax− 4x+ 8a− 8

· −a− b

a2 + ab+ a+ b.

20.5 - Potenza di una frazione algebrica

20.18. Determina, con le dovute condizioni sulle variabili, le seguenti frazioni.

a )(

3x2

5y3

)2

;

b )(x+ y

x2 − y2

)3;

c )

[(12ab

a2b− ab2

)2·(a− b

2a2

)−2]−1

;

d )

[(x2 + x

x2 + 4x+ 3

)2

·(

2xx+ 3

)]2

;

e )a2 − b2

a3 + ab2 + 2a2b·(

5a2 − 5ab4ab+ 4b2

)−1

;

f )(

a2 − 912a2 − 12a+ 3

)·(

12a3 − 6a2

a2 − 4a+ 3

)3

.


20.6 - Divisione di frazioni algebriche

20.19 (∗). Semplificare le seguenti espressioni, evidenziando sempre le condizioni di esistenza.

a )x2 − 5x+ 6x2 − 9

:x2 − x− 6x2 − 4

;

b )x2 + ax− x− a

x2 − 1:

x2 + 2x+ 1x2 + x+ ax+ a

;

c )2x2 − 3x+ 1

x3 − 3x2 − x+ 3:

4x2 − 1x2 − 2x− 3

;

d )x4 − 1

x4 − 2x2 + 1:x3 − x2 + x− 1x3 − 3x2 + 3x− 1

.

20.20 (∗). Semplificare le seguenti espressioni, evidenziando sempre le condizioni di esistenza.

a )xy+ x+ 2y+ 2xy+ 2x− y− 2

· x2 − 3x+ 2x2 − 5x+ 6

:x2 + 5x+ 6x2 − 9

;

b )(

a3 − a2

2a2 + a− 1· a

2 − 2a− 3a2 − 2a+ 1

):

(a2 − 9

12a2 − 12a+ 3· 12a3 − 6a2

a2 − 4a+ 3

);

c )a2 − b2 − a− b

3a2 − 3b2 :

(a2 − ab

3a2 · 5a+ 5ab− 5a2

a2 − 2ab+ b2

);

d )x3 − x2 + x− 1

2x2 − x− 1:

2x3 − 7x2 + 7x− 22x3 − 5x2 + x+ 2

· 2x2 − 5x+ 2x2 − 5x+ 6

.

20.21. Semplificare le seguenti espressioni, evidenziando sempre le condizioni di esistenza.

a )4x3 − 4x2 − 8

4x2 − 16:x2 − 1

x2 + x− 2;

b )x2 + x

5x− 10:x+ 120x

;

c )2x2 − x− 3x2 − 1

:x3 + x2 − 2x− 2x2 + 2x+ 1

;

d )

(−2ab3 ·

(−ab

4

)2)

:

(a2

2b3

)−2

.

20.7 - Addizione di frazioni algebriche

20.22. Vero o falso? Se falso calcola il risultato corretto.

a )1x2 +

1y2 =

y2 + x2

x2 + y2 = 1 V F

b )1x2 +

1x=

1 + x

x2 V F

c )1x+

1x− y

=−y+ 1x− y

V F

d )1

x− 1−

11 − x

=2

x− 1V F

20.23. Vero o falso? Se falso calcola il risultato corretto.

a ) 1 +1x=x+ 1x+ 1

= 1 V F

b )1

a− b+

1b− a

=1 + 1a− b

V F

c )1x+

2x=

3x

V F

d ) x−y

x+ y=x2 + xy− y

x+ yV F

20.24. Vero o falso? Se falso calcola il risultato corretto.1

x+ y+

1x− y

=x− y+ x+ y

x2 − y2 =2x

x2 − y2 V F


20.25. Riduci le seguenti somme di frazioni algebriche.

a )x+ 2y

15+x− y

3;

b )a

2x+ 5 −

3a4x2 ;

c )5a2 + 1

12−

4a2 − 13

+5a+ a2

4;

d )a

9−

2b27

− ab.


a )1

x− 2+ 1;

b )x

2y+ 1 −

3x4y2 ;

c )1x2 +

1x+

12

;

d )2xy

−1

xy− 1;

e ) −1x+

23x

− 6x;

f ) −3x+1

2x.


a )5x− x+

13

;

b )2x+ 1

8x−x− 14x2 ;

c )2x+ 1

3−

1x

;

d )1

x+ y− y;

e )9x3y

+x2

x2y2 ;

f ) 1 −x+ 1x− 1

.

20.28 (∗). Riduci le seguenti somme di frazioni algebriche.

a )1x2y

+1xy2 −

1x2y2 ;

b )1x+

12x

−1

3x;

c )2a+

1a2 − a

−1

a− 1;

d )a− 1a2 − a

+1

a− 2−

2a

;

e )2

a− 1+

31 − a

+a

a− 1;

f )1

1 − x+

1x− 1

+ x.


a )x+ 1x

−x

x− 1;

b )1

x− 2+

1x+ 2

+1

x2 − 4;

c )1

x− 2+

1x− 1

+1

x2 − 3x+ 2;

d )1

x− 1+

1x2 − 2x+ 1

.


a )1

a− 1+

1b+ 1

+1

a+ ab− b− 1;

b )1

2a+ 1+

1a− 1

+1

2a2 − a− 1;

c )2x− 3x

+−2x

2x+ 3− 1;

d )1

x− 1−

1x3 − 1

.

20.8 - Espressioni con le frazioni algebriche

20.31 (∗). Semplifica le seguenti espressioni.

a )2x+

3x3 −

5x2 ;

b )1

1 − x+

1x− x2 +

1x

;

c )a− 3a+ 3

+

(1a−

13

):

(1a+

13

)−

13

;

d )x2 − 4x+ 3x− 1

+2 − x

x2 − 4.



a )(

1a− 1

+1

a+ 1

)a2 − 1

2a;

b )1

a− 1+

1a+ 1

a2 − 12a

;

c ) 1 −a+ b

a− b

(2a− ba+ b

−a− b

a

);

d )x2 + 2x+ 1

1 − x2 −x3 − 1x− 1

+2 − 8x2

4x2 − 1.


a )1

x− 1+

1x2 − 2x+ 1

+1

x3 − 3x2 + 3x− 1;

b )1 − x

(x− 1)2 −x3 + 1(x+ 1)2 +

3x2 − 4x+ 11 − x2 ;

c )1

2 − 3x+

2x+ 22x

+6x+ 13x− 2

−x+ 2

3x2 − 2x;

d )3x

x2 − 2xy+ y2 −3

x− y+

92y− 2x

.

20.34. Semplifica le seguenti espressioni.

a )6x

x2 − 4+

32 − x

−1

x+ 2;

b )x2

x4 + x2 + 1−

1x2 + x+ 1

;

c )(x− 1)2

x3 − 3x2 + 3x− 1−

x− 1(1 − x)3 ;

d )1

2x− 1 − x2 −x

1 − x.


a )24x

x2 + 3x− 4+

x+ 1x2 − 3x+ 2

−18(x− 1)x2 + 2x− 8

;

b )2

x2 − 9x+ 20−

225 − x2 −

4x2 + x− 20

;

c )4ay− 4a2

y3 + 8a3 +1

y+ 2a−

y− a

y2 − 2ay+ 4a2 ;

d )8x− 12

4x2 − 12x+ 9−

5x2x2 + 3x

−20x

9 − 4x2 .


a )x2 − 2x+ 3x3 + 1

+x− 2

x2 − x+ 1−

1x+ 1

;

b )t2 − 14 + t2

−4z− 12z+ 1

+24z− 4t2 − 2t2z

2t2z+ t2 + 8z+ 4;

c )(x

y+y

x− 2)

:

(1 −

x2

y2

)+x− y

x;

d )(x+ a

x− a−x− a

x+ a

):

(1 −

x− a

x+ a

)2.


a )x2 − 4

x2 − 4x+ 4−x2 − 5x+ 6x2 − 4x+ 4

+x3 − x

x3 − 2x2 − x+ 2−

x3 − 8x2 − 4x+ 4

;

b )2x2 − 5x− 3ax− 3a+ x− 3

−2x3 − x− 1

ax2 − ax+ x2 − x;

c )b+ 1

a2 + ab+ a−

1a+

a+ 1 − b

a2 + 2a+ 1 − b2 ;

d )x4 − x2a2

4x2a2 + 4xa3 + a4 :

(x2 + ax

2x2a+ xa2 ·2xa2 + a3

x2 − ax

).


a )1

xy+ yz− y2 − xz−

1zx+ zy− xy− z2 −

1xy− x2 − yz+ xz

;


b ) 1 −2x(x− 2)x+ 2

+2 − x2

−x− 2+

6 + (3 − x)2

x+ 2;

c )a2b2

a4 − ab3 + a3b− b4 :

(a+ b

a3 − b3 −1

a2 − b2

);

d )(

2a2 + a

a3 − 1−

a+ 1a2 + a+ 1

)·(

1 +a+ 1a

−a2 + 5aa2 + a

).


a )x+ 2x− 3

−2 − x

1 − x+

x2 + 1x2 − 4x+ 3

− 1;

b )12

[2x

x2 − 4−

(x

x+ 2− 1)]

:1

2 − x;

c )(x3 − x2

1 − x2 + x− 1)

:

(1 −

x

x+ 1

);

d )(

1z−

1z+ 1

):

(z3 − z2

z− 5:z5 − z3

2z− 10

).


a )x+ y

x2 + x+ xy+ y−

1y+ 1

+x

x+ 1;

b )(

1a+

1a2 +

1a3

)·(

11 − a3 − 1

);

c )(

x

x− 1+

x

x+ 1+

2x1 − x2

)· x

2 + 2x+ 14x2 ;

d )(

1a+

1a2 − a

−1

a− 2

):

1 + a+ a2

1 − a3 .


a )(

x2 − 5x2 + 4x+ 4

+1

2 + x+

64x+ 8

)· 2x+ 4

2x2 + 5x;

b )x2

2−

(1 − x)2

x3 − x−

21 − x

+ (x− 3) · 2x− x2 − 1(1 − x2)2 ;

c )(

1a2 − 2a+ 1

+1

a2 − 3a+ 2

):

4a2 − 6a1 − a

;

d )(

x

x− a−

x

x− 1

)ax2 − ax− a2x+ a2

ax− x2 .


a )(x+ 1

2x− 2+

52x2 − 2

−x+ 3

2x+ 2

):

34x2 − 4

;

b )x3 + x2 + x+ 1x2 + 2x+ 1

−x3 − 1x2 − 1

+x2 − 3x− 4x2 + 2x+ 1

−2x2 − x− 1x2 − 1

;

c )x4 − x2a2

4x2a2 + 4xa3 + a4 :x2 + ax

2x2a+ xa2 :2xa2 + a3

x2 − ax;

d )(

a

a2 − 1−

a

a2 + 1

)· a

3 − a2 + a− 12a2 +

a

1 + a.


a )(a2 + 1

2a− 1)

:a2 − 3a+ 2

4a:a2 + a− 2a2 − 4

+a2 + 1a

;

b )(x2 +

14+ x

)(1 − 6x1 − 2x

+1 − 12x2

4x2 − 1

)(4 −

2x

)(1 +

14x2 − 1

);


c )a2 + b2 − 2ab

a− 1

(a− b+

a2 + b2

b− a

)(a+ 2a− 1

−a2 + 1a2 − a

)a− 1

2b2 − 2ab;

d )(x2

x+ 1+ 1 − x

)(1 +

2x+

1x2

)(2xx− 1

+x2

(x− 1)2 +2x3 − 3x2 + x

(x− 1)3

)+

3x

.


a )(

2a− ba− 2b

− 2)2 [(4b2

a− a

)(3a+ 2ba+ 2b

− 1)]2

;

b )

(x2 + 2x+ 2

x3 −1

x+ 2

)(10 − 3x4 − x2 −

12 − x

)(

2 + x

2 − x−

2 − x

2 + x

)2 ;

c )(a− 1a+ 4

−a+ 1a− 4

):

(a− 14 − a

+a+ 1a− 4

)· a

2 − 165a2 − 20a

;

d )(

1 −x+ 1x− 1

):x− 2x− 1

+3x+ 6x2 − 4

−2

x2 − 3x+ 2:

(x

x− 3−

x

x+ 3

)+

2x− 3x(x− 2)(x− 1)

.


a )1

x2 + 4x+ 4+

1x3 + 2x2 −

1x2 +

1x3 + 4x2 + 4x

−2

x4 + 4x3 + 4x2 ;

b )4x+ 12 − 2x

+3x+ 53x− 5

−1

3x+ 3x · x− 3

3x2 − 8x+ 5;

c )(

3x− 8

−22x− 48

x2 − 12x+ 32+

4xx− 4

):x− 12x− 8

;

d )x3 − 25x

x2 + 8x+ 15:

(x

2x+ 6+

23 − x

+6 + x

x2 − 9

).


a )x− 2

2−

(1

3x− 6+

12

)· 4

2 − x−

[12x2(x− 6) + 6x− 5

]: (x− 2)2;

b ) 2x2 · x− 3x− 1

+ (2x− 1)(1 − x) −1

1 − x+

19x− 9

+ x;

c )x+ 5

x2 − 6x+ 5+

3x+ 3x2 − 4x+ 3

−2(x+ 1)

x2 − 8x+ 15−

2x+ 4(x− 1)(x− 5)

;

d )x2 + x− 627 − 3x2 +

5x− 182x2 − 18

−11

4x− 12+

13−

112(x− 3)

.


a )(

2a−12

)a+

(2a2

2 + a+ 2 + a

)x+ (3a− 2)x− x

(8

a+ 2+ 6a− 4

);

b )(

3x2 + x− 32 − 6x

+x

2

):

3 + 2x3x− 1

+9x− 3

(6x− 2)(3 + 2x)−

x

3 + 2x;

c )8x2 − 2a2

(a− 1)2 +

(2x2 − 1a+ 1

+2x2 + 11 − a

)(a+ 1) +

4x2 − 1a− 1

−16x2 − 5a2 + a

(a− 1)2 ;

d )[(x+ 6

2+

3a− 1

):x

a− 1+ 3a+

x(1 + 2a)2

+x(1 − 7a) + 3

2x

]· 2x2

x2 + 3.



a )(

15x−

x− 1x− 5

)(x+ 1

5−

1x+ 5

)· (25 − x2) −

25x(x+ 5)(7 − x);

b )(

ax

a2 − 9· 3a+ 9b− 3

−ax

9 − 3b− 3a+ ab

)· b− 3

2;

c )(

1a+

x− a

x2 + ax−

2a+ x

)· x

2 + 3xx2 − a2 +

(x2

x2 − a2 +a− x

a+ x

)· x− a

2ax− a2 ;

d )(

a

a2 − a+

a

a2 + a+

1a−

1a− a2

):

3a+ 12a2 − 2

.


a )[(

1a2 + 9 − b2 + 6a

−1

a2 + 9 + b2 + 6a− 2ab− 6b

):

−6b3a+ 9 + 3b

]−1;

b )(

3x6 − x3 −

19x3 − 9

):

9 + x2 + 3x3x5 + 3x3 + 3x4 +

6x− 5x− 1

−x− 2x+ 2

+12

x2 + x− 2;

c )(

12b− 2 − a+ ab

+1

1 − b

):

(1

b+ 1−

12 + a+ 2b+ ab

)+

2b2 − b− 1b2 − 2b+ 1

;

d )(x+ 2x− 2

−2x2 + ax

x2 − 4+ax− 3x+ 2a− 6(x+ 2)(a− 3)

)· x

2 − 4a− 4

.


a )[(a− 3b)(b− 2)a2 − 4a+ 4

−

(2 −

1a+ 1

)a2 + 2a+ 1

2a+ 1+

3a+ b2 − a

+a3 − 4a+ 4(a− 2)2

]· a− 2b

;

b )(x+ 1a

)3· 6x2

−x3 − x4 ·(

1 −1

x+ 1

)(x2 − 1x− 1

)2

:x+ 1a3 ;

c )(

6ab+ 6ab2

ab− 3a2b−

3(a− x) + 6b1 − 3a

+2 − x

x− 1 −

2x−

11 − 3a

):

31 − 3a

;

d )((a+ 2)2 − 4(1 + ax) − 7

a2 − 16+

3ax+ aa− 4

−5a+ 17a2 − 16

+ ax− 1)

:ax+ 1a− 4

.


a )(a2 + 3ax10a2 − 4a

+x

2−

2 + ax

2a

)· 2aa2 + 4

+

[2(x+ 3)2 − 5a

−x

4 − 10a+

115a− 2

]:a2 + 4

2a;

b )(x+ 2a2 + a

+x− 6a+ 4

+x− 4−a− 2

+2xa+ 4

+ 1)· a+ 4x+ a+ 2

;

c )

(3ax+ 2ba2 +

6ax+ 8b2a2 − a2b

+8b− 2b3

a2(b2 − 4b+ 4

) + 16ba2b− 2a2

)· b− 2b− 4

;

d )(

1a−

x+ a

x2 + ax

):x2 − a2

ax2 + 3ax+

x+ a

2ax− a2

(x2

x2 − a2 −x− a

x+ a

)−

4x− axx2 + ax

+a2 − 2ax2 − a2 .


a )6x+ 1

x2 − 4x+ 4+

10x− 124x

+ 1 +1 − x2

x(x− 2)+

9x− 28x2 − 4x+ 4

;

b )(

4x2 − 4

+x

x2 − 2x+

3x2 + 2x

+24

x3 − 4x

)· x

2 + 2xx+ 6

;


c )(

6x2 − 26x− 15x− 5

:2x2 + 1

x2 − x− 20· 6xx+ 4

+90x

2x2 + 1

):

12x2

2x2 + 1;

d )(

6x+ 2x2 − 4x+ 4

+2

2x− x2

)(1 −

2x

)+

x− 1x2 − 2x

+x− 4x3 − 2x2 .


a )(a+ x+ 22a− a2 +

2x2 − a

+x

a

)· 2 − a

a+ 3−

a+ 2a2 + 3a

;

b )[

2x+ 2(a+ 1)a2 − 1

+2 − x

1 − a

]· a+ 1ax+ 3x

;

c )(x2 + 3x+ 9x3 − 27

+1

9 − 6x+ x2 −1

3 − x

):

2x− 3x2 − 9

.


a )[a+ x

a− x:

(2xa− x

+ 1)−

4a2 + x

x+ 2

]· 2x2 − 8

1 − 2a2 ;

b )(

1 − x

x− a+

3 + 2ax+ a

−5xx+ a

−6x2 − a2

a2 − x2

):

3a+ 2a2 − 2ax+ x2 ;

c )

[a− b+ 1a2 − ab

+1

a2 + ab+

2b(1 − a2)

a(a2 − b2

) − −a+ 2b+ 2ab− b2 − 2(a+ b)(a− b)

]· a2 − b2

2ab− b2 + 2b− ab2 .


a )a+ 1

a2 − 3a+ 2−

a

(4 − a2)(1 − a)+ a2 − a;

b )x4 − x2a2

4x2a2 + 4xa3 + a4 :x2 + ax

2x2a+ xa2 ·2xa2 + a3

x2 − ax;

c )14

(15x+ 3

−12x+ 1

+1

x− 1

):

[12

(3

x+ 1−

1x− 1

)];

d )(1 + x2)( 1

x− 1+

1x+ 1

):

(x

x− 1+

1x+ 1

).


a )[

a+ 3a2 + 3a+ 2

:

(1

a+ 2−

2a+ 1

)]:

[(1

2a+

1a+ 1

): (3a+ 1)

];

b )2y+ 12y− 1

(x+ 2yx− 2y

+x− 2yx+ 2y

−2x2 + 1 + 4y2

x2 − 4y2

):

4y2 + 1 + 4yx2 − 4y2 ;

c ) (x+ 2) ·(

2x2 + 5x+ 6

+2

x+ 3−

2x+ 2

)2;

d ) 2(

1 +x

y

)+

[(x

y+ 1)2

:

(x

y− 1)]·(x

y− 1)2

:

(x

y+ 1)

.


a )(

1 −2yx+ y

)[(1 −

3xyx2 + xy+ y2

):x3 + y3

x3 − y3

]2

;


b )2x− 3x− 1

·[(

3x2 − 2x− 1

+6x− 2x− 3

)· 1x− 2

−x+ 13x− 3

]2

;

c )a2 − 2a+ 1a2 + 2a+ 1

(a+

a

a+ 3· 4a+ 3

)[(2

a+ 1− 1 + a

):

2 + 3a+ a2

a2 + 2a− 3

]2

:

(2

a+ 1+ a− 1

)2;

d )(

2a+1 + 4a− 8a3

4a2 − 1

):

(2

a− 1+

42a+ 1

− 2)·(

8a2

1 + 2a− 2a

)·(a−

2a2a+ 1

)−1.


a )

[(1

x− 2−

13 − x

)·(

5 − 2xx2 + 3 − 4x

)−1+

(1 − x

x− 2

)2]·

[(x− 1x− 2

)2−

x− 1x2 − 4x+ 4

]−1

;

b )2x

x2 − 1·[

2x2 − 1

+13x

(1 +

1x− 1

+9

x3 − x2

)]:

[1

1 − x

(2

x+ 1+

3x

)−

x2

3x− 3

];

c )x3 − x

x3 − 2x2 − x+ 2+

x3 − 8x2 − 4x+ 4

+x4 − 5x2 + 4x2 − 3x+ 2

+x2 − 5x+ 6x2 − 4x+ 4

.


a )

x3n − y3n

x2n + 2xnyn + y2n

2x2n − 4xnyn + 2y2n

x2n − y2n

+12(xn − yn) −

xnyn

2 (xn + yn);

b )

xny+ xn+1 + yn+1 + xyn

xn+1 − xny− xyn + yn+1

xn + yn

xn − yn

−

x3

x3 − y3

x2

x2 + y2 + xy

;

c )

1x2 − 25 + 20y− 4y2 −

1x2 − 25 + 4y2 + 4xy

x2 − 4y2

x2 + 25 + 10x− 4y2

·(x

4+y

2−

54

):

1x

y− 2

;

d )

xn+1 + xy− xny− y2

x2n − y2

1 +y

x

xn−1 −y

x

−

−a

a+ 2+

x

x+ y−

1ax+ 2x+ ay+ 2y

2y+ 2x

;

e )

(x3 − b3

x3 − 3bx2 + 3b2x− b3 −bx

x2 − 2bx+ b2 +x+ b

b− x

):

(x+ b

x− b+ 1)

x2 − bx− 6b2

x2 + bx− 2b2

:b

x.

20.60 (∗). È vero che P =

(4a2 − 1

8a3b:

2a+ 14a4b

)·(

2a5

6a− 3:a2

27

)è sempre positiva per qualun-

que a6=0 e b 6=0?

20.61 (∗). Data Q =4 −

(a2 − 2ab+ b2)b− 2 − a

:

(4 − 2a+ 2b

3a2 :2a3

), quali condizioni dobbiamo

porre alla variabile b affinché sia vera la proposizione “Per a = 3, l’espressione Q assume ilvalore −1”?


20.8.2 Risposte

20.5. a) x−3x+3 , b) 1

2 , c) x+aa+1 , d) x2+3x−4

2 , e) 53+a , f) a−1

3a2+1 .

20.6. a) 2−ax−1 , b) 3a−2b

2a+1 , c) 4a+3 , d) a−bb+c , e) x

a+2 , f) 12 .

20.7. a) 2x+13x+2 , b) 2x−1

2x−3 , c) a2+1x+2 , d) x+2

x+3 , e) a−2x−1 , f)

4x(x2+2)x+1 .

20.8. a) 2x−12x−3 , b) x+2

x+3 , c) 1x−1 , d) 3a2b2

a−1 , e) x+4x−3 , f) x−1

x2+x−1 .

20.9. a) 2x−12x−3 , b) x

2+12x+1 , c) 2x

a+2 , d) 4a3b5

a+1 , e) 2x−33x−1 , f) x

2−2x2+2 .

20.10. a) −ab+2 , b) x+7

x+6 , c) 2x−12x+1 , d) a

b+1 , e) x+2x+5 , f) x

2−2x+1 .

20.11. a) − ab+1 , b) 2x−3

x2−x+1 , c) 2a+3 , d) x2+1

(x−1)2 , e) 1a+2 , f) x−2

x2+4−2x .

20.12. a) x−1x , b) x+y+1

x+y−1 , c) 2x2+2x+1x(a+1) , d)x

4+x2+1x2+1 .

20.13. a) −3(2x+y)5y2(x+2y) , b) 1, c) 6, d) − 1

a+1 .

20.14. a) −2(a−5)5a2(a2+4) , b) −5x

8

y5 , c) x+1x−1 , d) 1

x .

20.15. a) a+ 1, b) x, c) 12(x−2) , d) 2.

20.19. a) (x−2)2

x2−9 , b)(x+ax+1

)2, c) 12x+1 , d) x−1

x+1 .

20.20. a) y+1y+2 , b) a−3

2a+6 , c) − 15 , d) x

2+1x−3 .

20.28. a) x+y−1x2y2 , b) 7

6x , c) 1a , d) 2

a(a−2) , e) 1, f) x.

20.29. a) − 1x2−x

, b) 2x+1x2−4 , c) 2

x−2 , d) x(x−1)2 .

20.30. a) a+b+1(a−1)(b+1) , b) 3a+1

2a2−a−1 , c) −3(x+3)x(2x+3) , d) x(x+1)

x3−1 .

20.31. a) 2x2−5x+3x3 , b) 2

x(1−x) , c) − 13 , d) x

2−x−7x+2 .

20.32. a) 1, b) a2+12a(a−1) , c) b2

a(b−a) , d) x3+3x−2x−1 .

20.33. a) x2−x+1(x−1)3 , b) −x3−x2+x−1

x2−1 , c) 3x+2x , d) 3(5y−3x)

2(x−y)2 .


20.35. a) 7(x+1)(x+4)(x−1) , b) 22

(x+5)(x−5)(x−4) , c) ay2−2ay+4a2 , d) 9

2x−3 .

20.36. a) x2−2xx3+1 , b) 3−2t2

t2+4 , c) x−yx+y , d) x(a+x)a(x−a) .

20.38. a) 2(x−y)(y−z) , b) 15−x

x+2 , c) ab, d) a−1a2+a

.

20.39. a) 10x−3 , b) 2(1−x)

x+2 , c) −1, d) 12 .

20.40. a) yy+1 , b) 1

1−a , c) x+12x , d) 1

a−2 .

20.41. a) 1x+2 , b) x

6+x5−x4−x3+18x2−22x(x−1)(x+1)2 , c) −1

2a(a−1)(a−2) , d) a(a−1)a−x .

20.43. a) (a+1)2

a , b) 8x2

2x−1 , c) 2a−1a−1 , d) 4(2x−1)

(x−1)2 .

20.44. a) 36b2, b) (x−2)2(2x2+3x+2)8x5 , c) −1, d) 2x+3

3(x−2)(x−1) .

20.45. a) −2x2(x+2) , b) x+2

6x(x−1) , c) 4x−3x−4 , d) 2(x− 3).

20.46. a) 6x−53(x−2)2 , b) 45x−19

9(1−x) , c) 8(x+2)(1−x)(x−3)(x−5) , d) − 4x+111

6(x+3)(x−3) .

20.47. a) a(4a−1)2 , b) 3−2x

2x+3 , c) −8x2+a2+1(a−1)2 , d) x(2a+ 1).

20.48. a) −x4+14x3+35x2+380x25 , b) ax

a−3 , c) x+a+3a(x+a) , d) 2.

20.49. a) (a+ 3 − b)2, b) 14x+33(x−1) , c) b

b−1 , d) −x.

20.50. a) 8−3ba−2 , b) −6(x+ 1)2, c) a+ x+ 1, d) a

2+3a−8a+4 .

20.51. a) 15a−2 , b) 3, c) 3x

a , d) x2

(x+a)(x−a) .

20.52. a) 5x3−282x(x−2)2 , b) x+3

x−2 , c) 3x− 13, d) 7x−2 .

20.53. a) xa , b) 1a−1 , c) x+3

x−3 .

20.54. a) 4(x− 2), b) (x−a)(2x−a)x+a , c) 1

a .

20.59. a) x2n

xn+yn , b) yx−y , c) 1

x+2y , d) xx+y , e) b

x−3b .


20.60. Vero: P = 9a4.

20.61. b 6= 1 ∧ b 6= 5.

Algebra di Primo Grado VI

“Maze”Foto di woodleywonderworks

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Equazioni 2121.1 Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado

Le equazioni di grado superiore al primo possono, in certi casi, essere ricondotte adequazioni di primo grado, utilizzando la legge di annullamento del prodotto.

Esempio 21.1. Risolvere x2 − 4 = 0.Il polinomio a primo membro può essere scomposto in fattori: (x− 2)(x+ 2) = 0. Per la

legge di annullamento, il prodotto dei due binomi si annulla se x− 2 = 0 oppure se x+ 2 = 0.Di conseguenza si avranno le soluzioni: x = 2, x = −2.

In generale, se si ha un’equazione di grado n scritta in forma normale P(x) = 0 e se ilpolinomio P(x) è fattorizzabile nel prodotto di n fattori di primo grado:

(x− a1)(x− a2)(x− a3) . . . (x− an−1)(x− an) = 0;

applicando la legge di annullamento del prodotto, le soluzioni dell’equazione si ottengonodeterminando le soluzioni delle n equazioni di primo grado, cioè risolvendo:

x− a1 = 0, x− a2 = 0, x− a3 = 0, . . . , x− an−1 = 0, x− an = 0.

Pertanto l’insieme delle soluzioni dell’equazione data sarà: I. S. = {a1,a2,a3, . . . ,an−1,an}.

Esempio 21.2. Risolvere x2 − x− 2 = 0.Scomponendo in fattori il polinomio a primo membro, ricercando quei due numeri la cui

somma è pari a −1 e il cui prodotto è pari a −2, si ha: (x+ 1)(x− 2) = 0. Utilizzando la leggedi annullamento del prodotto, si ottiene il seguente insieme di soluzioni: I. S. = {−1, 2}.

Esempio 21.3. Risolvere x4 − 5x2 + 4 = 0.Scomponendo in fattori il polinomio a primo membro, utilizzando la regola della scomposi-

zione del particolare trinomio di secondo grado, si ottiene: (x2 − 1)(x2 − 4) = 0. Scomponendoulteriormente in fattori si ha:

(x− 1)(x+ 1)(x− 2)(x+ 2) = 0.

Per la legge di annullamento del prodotto è necessario risolvere le equazioni:

x− 1 = 0⇒ x = 1, x+ 1 = 0⇒ x = −1, x− 2 = 0⇒ x = 2, x+ 2 = 0⇒ x = −2.

L’insieme delle soluzioni: I. S. = {+1,−1,+2,−2}.�� b Esercizi proposti: 21.1, 21.2, 21.3, 21.4, 21.5, 21.6, 21.7, 21.8, 21.9, 21.10�� 21.11, 21.12, 21.13

351

352 Capitolo 21. Equazioni

21.2 Equazioni numeriche frazionarie

In un capitolo precedente abbiamo affrontato le equazioni di primo grado. Affrontiamoora le equazioni in cui l’incognita compare anche al denominatore.

Definizione 21.1. Un’equazione in cui compare l’incognita al denominatore si chiamafrazionaria o fratta.

Esempio 21.4. Risolvere 3x−21+x = 3x

x−2 .

Questa equazione si differenzia dalle equazioni affrontate in precedenza per il fatto chel’incognita compare anche al denominatore. Riflettendo sulla richiesta del problema, possiamosenz’altro affermare che, se esiste il valore che rende la frazione al primo membro ugualealla frazione al secondo membro, esso non deve annullare nessuno dei due denominatori,poiché in questo caso renderebbe priva di significato la scrittura, in quanto frazioni condenominatore 0 sono prive di significato.

Per risolvere un’equazione frazionaria, prima di tutto dobbiamo renderla nella forma

F(x)

G(x)= 0.

a ) Determiniamo il mcm dei denominatori, mcm = (1 + x) · (x − 2). Osserviamo cheper x = −1 oppure per x = 2 le frazioni perdono di significato, in quanto si annulla ildenominatore;

b ) imponiamo le condizioni di esistenza: 1 + x 6= 0 e x− 2 6= 0 cioè C.E. x 6= −1 ∧ x 6= 2.La ricerca dei valori che risolvono l’equazione viene ristretta all’insieme D = R− {−1, 2}detto dominio dell’equazione o insieme di definizione;

c ) applichiamo il primo principio d’equivalenza trasportando al primo membro la frazioneche si trova al secondo membro e riduciamo allo stesso denominatore (mcm),

(3x− 2) · (x− 2) − 3x · (1 + x)

(1 + x) · (x− 2)= 0;

d ) applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri peril mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste precedentemente. L’equazio-ne diventa: (3x− 2) · (x− 2) − 3x · (1 + x) = 0;

e ) eseguiamo le moltiplicazioni e sommiamo i monomi simili per portare l’equazione allaforma canonica: 3x2 − 6x− 2x+ 4 − 3x− 3x2 = 0⇒ −11x = −4;

f ) dividiamo ambo i membri per −11, per il secondo principio di equivalenza si ha: x = 411 ;

g ) confrontiamo il valore trovato con le C.E.: in questo caso la soluzione appartiene aldominio D, quindi possiamo concludere che è accettabile. L’insieme soluzione è: I. S. ={ 4

11}

.

Sezione 21.3. Equazioni letterali 353

Esempio 21.5. Risolvere x2+x−3x2−x

= 1 − 52x .

a ) Determiniamo il mcm dei denominatori, per fare questo dobbiamo prima scomporli infattori. Riscriviamo: x

2+x−3x·(x−1) = 1 − 5

2x con mcm = 2x · (x− 1);b ) condizioni di esistenza:

x− 1 6= 0 ∧ 2x 6= 0,

cioè x 6= 1 ∧ x 6= 0, il dominio è D = R − {1, 0};c ) trasportiamo al primo membro ed uguagliamo a zero

x2 + x− 3x · (x− 1)

− 1 +5

2x= 0

e riduciamo allo stesso denominatore (mcm) ambo i membri

2x2 + 2x− 6 − 2x2 + 2x+ 5x− 52x · (x− 1)

= 0;

d ) applichiamo il secondo principio di equivalenza moltiplicando ambo i membri peril mcm, certamente diverso da zero per le condizioni poste in precedenza. L’equazionediventa: 2x2 + 2x− 6 − 2x2 + 2x+ 5x− 5 = 0;

e ) riduciamo i monomi simili per portare l’equazione alla forma canonica: 9x = 11;f ) dividiamo ambo i membri per 9, otteniamo: x = 11

9 ;g ) confrontando con le C.E., la soluzione appartiene all’insieme D, dunque è accettabile e

l’insieme soluzione è: I. S. ={ 11

9}

.

�� b Esercizi proposti: 21.15, 21.16, 21.17, 21.18, 21.19, 21.20, 21.21, 21.22, 21.23, 21.24, 21.25�� 21.26, 21.27

21.3 Equazioni letterali

Quando si risolvono problemi, ci si ritrova a dover tradurre nel linguaggio simbolicodelle proposizioni del tipo: «Un lato di un triangolo scaleno ha lunghezza pari a k volte lalunghezza dell’altro e la loro somma è pari a 2k». Poiché la lunghezza del lato del triangolonon è nota, ad essa si attribuisce il valore incognito x e quindi la proposizione viene tradottadalla seguente equazione: x+ kx = 2k.

È possibile notare che i coefficienti dell’equazione non sono solamente numerici, macontengono una lettera dell’alfabeto diversa dall’incognita. Qual è il ruolo della lettera k?Essa prende il nome di parametro ed è una costante che rappresenta dei numeri fissi, quindi,può assumere dei valori prefissati. Ogni volta che viene fissato un valore di k, l’equazioneprecedente assume una diversa forma. Infatti si ha:

Valore di K Equazione corrispondente

k = 0 x = 0k = 2 x+ 2x = 4k = − 1

2 x− 12x = −1


Si può quindi dedurre che il parametro diventa una costante, all’interno dell’equazionenell’incognita x, ogni volta che se ne sceglie il valore.

Si supponga che il parametro k assuma valori all’interno dell’insieme dei numeri reali.Lo scopo è quello di risolvere l’equazione, facendo attenzione a rispettare le condizioni chepermettono l’uso dei principi d’equivalenza e che permettono di ridurla in forma normale.

Riprendiamo l’equazione x+ kx = 2k, raccogliamo a fattore comune la x si ha:

(k+ 1)x = 2k.

Per determinare la soluzione di questa equazione di primo grado, è necessario utilizzareil secondo principio d’equivalenza e dividere ambo i membri per il coefficiente k + 1. Siricordi però che il secondo principio ci permette di moltiplicare o dividere i due membridell’equazione per una stessa espressione, purché questa sia diversa da zero. Per questaragione, nella risoluzione dell’equazione (k+ 1)x = 2k è necessario distinguere i due casi:

á se k+ 1 6= 0, cioè se k 6= −1, è possibile dividere per k+ 1 e si ha x = 2kk+1 ;

á se k+ 1 = 0, cioè se k = −1, sostituendo tale valore all’equazione si ottiene l’equazio-ne (−1 + 1)x = 2 · (−1), cioè 0 · x = −2 che risulta impossibile.

Riassumendo si ha:

x+ kx = 2k con k ∈ R

Condizioni sul parametro Soluzione Equazione

k = −1 nessuna impossibilek 6= −1 x = 2k

k+1 determinata

Ritorniamo ora al problema sul triangolo, spesso nell’enunciato del problema sono presentidelle limitazioni implicite che bisogna trovare. Infatti, dovendo essere x un lato del triangoloesso sarà un numero reale positivo. Di conseguenza, dovendo essere l’altro lato ugualea k volte x, il valore di k deve necessariamente essere anch’esso positivo, ovvero k > 0.Di conseguenza il parametro k non può mai assumere il valore −1 e quindi il problemageometrico ammette sempre una soluzione.

Questa analisi effettuata sui valori che può assumere il parametro k, prende il nome didiscussione dell’equazione.

Procedura 21.1. Stabilire quando una equazione è determinata, indeterminata, impossibile.In generale, data l’equazione ax+ b = 0 si ha ax = −b e quindi:

a ) se a 6= 0, l’equazione è determinata e ammette l’unica soluzione x = −ba ;b ) se a = 0 e b 6= 0, l’equazione è impossibile;c ) se a = 0 e b = 0, l’equazione è soddisfatta da tutti i valori reali di x, ovvero è indeterminata.

Esempio 21.6. Risolvere e discutere 1 + x+m = (x+ 1)2 − x(x+m).Dopo aver fatto i calcoli si ottiene l’equazione (m− 1) · x = −m e quindi si ha:

á Sem− 1 6= 0, cioè sem 6= 1, è possibile dividere ambo i membri perm− 1 e si ottienel’unica soluzione x = − m

m−1 ;


á sem− 1 = 0, cioè sem = 1, sostituendo nell’equazione il valore 1 si ottiene 0 · x = −1,che risulta impossibile.

Esempio 21.7. Risolvere e discutere (k+ 3)x = k+ 4x(k+ 1).Effettuando i prodotti si ottiene l’equazione: (3k+ 1)x = −k e quindi si ha:

á Se 3k+ 1 6= 0, cioè se k 6= − 13 , è possibile dividere ambo i membri per 3k+ 1 e si ottiene

l’unica soluzione x = −k3k+1 ;

á se k = − 13 , sostituendo questo valore di k nell’equazione si ottiene 0 · x = 1

3 , che risultaun’equazione impossibile.

Esempio 21.8. Risolvere e discutere a2 · x = a+ 1 + x.Portiamo al primo membro tutti i monomi che contengono l’incognita a2 · x− x = a+ 1.

Raccogliamo a fattore comune l’incognita x ·(a2 − 1

)= a+ 1. Scomponendo in fattori si ha

l’equazione x · (a− 1) (a+ 1) = a+ 1.I valori di a che annullano il coefficiente dell’incognita sono a = 1 e a = −1.

á Se nell’equazione sostituisco a = 1, ottengo l’equazione 0x = 2 che è impossibile;á se sostituisco a = −1, ottengo l’equazione 0x = 0 che è indeterminata;á escludendo i casi a = 1 e a = −1, che annullano il coefficiente della x posso applicare il

secondo principio di equivalenza delle equazione e dividere primo e secondo membroper a+ 1, ottengo x = a+1

(a+1)·(a−1) = 1a−1 .

Ricapitolando: se a = 1, allora I. S. = ∅; se a = −1, allora I. S. = R; se a 6= +1 ∧ a 6= −1,allora I. S. =

{ 1a−1}

.�� b Esercizi proposti: 21.34, 21.35, 21.36, 21.37, 21.38, 21.39, 21.40

21.3.1 Equazioni con due parametri

Esempio 21.9. Risolvere e discutere (b+ a)x− (b+ 2)(x+ 1) = −1.Mettiamo l’equazione in forma canonica: bx+ ax− bx− b− 2x− 2 = −1. Raccogliamo a

fattore comune l’incognita (a− 2)x = b+ 1.

á Se a− 2 = 0 l’equazione è impossibile o indeterminata. In questo caso:

à se b+ 1 = 0 è indeterminata;à se b+ 1 6= 0 è impossibile;

á se a− 2 6= 0 l’equazione è determinata e la sua soluzione è x = b+1a−2 .

Riassumendo: se a = 2 ∧ b = −1 allora I. S. = R; se a = 2 ∧ b 6= −1 allora I. S. = ∅;se a 6= 2 ∧ b 6= −1 allora I. S. =

{b+1a−2}

.�� b Esercizi proposti: 21.41, 21.42, 21.43


21.3.2 Equazioni letterali, caso in cui il denominatore contiene il parametro

Esempio 21.10. Risolvere e discutere x+a2a−1 − 1

a−2a2 = xa con a ∈ R.

Questa equazione è intera, pur presentando termini frazionari. Sappiamo che ogni voltache viene fissato un valore per il parametro, l’equazione assume una forma diversa; la presenzadel parametro al denominatore ci obbliga ad escludere dall’insieme dei numeri reali queivalori che annullano il denominatore.

Per a = 0 ∨ a = 12 si annullano i denominatori quindi l’equazione è priva di significato.

Per risolvere l’equazione abbiamo bisogno delle condizioni di esistenza C.E. a 6= 0 et a 6= 12 .

Procediamo nella risoluzione, riduciamo allo stesso denominatore ambo i membri del-l’equazione: a·(x+a)+1

a·(2a−1) =x·(2a−1)a·(2a−1) , applichiamo il secondo principio moltiplicando ambo i

membri per il mcm, otteniamo: ax+ a2 + 1 = 2ax− x che in forma canonica è

x · (a− 1) = a2 + 1.

Il coefficiente dell’incognita dipende dal valore assegnato al parametro; procediamo quindialla discussione:

á se a− 1 6= 0 cioè a 6= 1 possiamo applicare il secondo principio e dividere ambo imembri per il coefficiente a− 1 ottenendo x = a2+1

a−1 . L’equazione è determinata:

I. S. ={a2 + 1a− 1

};

á se a− 1 = 0 cioè a = 1 l’equazione diventa 0 · x = 2. L’equazione è impossibile: I. S. = ∅.

Riassumendo si ha:

x+a2a−1 − 1

a−2a2 = xa con a ∈ R

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Equazione

a = 0 ∨ a = 12 priva di significato

a = 1 I. S. = ∅ impossibile

a 6= 0 ∧ a 6= 12 ∧ a 6= 1 I. S. =

{a2+1a−1

}determinata

Esempio 21.11. Risolvere e discutere a−xa−2 + 2axa2−4 − 2−x

a+2 = 0 con a ∈ R.

Scomponendo i denominatori troviamo il mcm = a2 − 4. Pertanto se a = 2 o a = −2 ildenominatore si annulla e quindi l’equazione è priva di significato. Per poter procedere nellarisoluzione poni le C.E. a 6= −2 ∧ a 6= 2.

Riduci allo stesso denominatore: (a−x)(a+2)+2ax−(2−x)(a−2)(a+2)(a−2) = 0.

Applica il secondo principio per eliminare il denominatore e svolgi i calcoli. Arrivi allaforma canonica che è 2 · (a− 2) · x = a2 + 4.

Per le C.E. sul parametro il coefficiente dell’incognita è sempre diverso da zero, pertantopuoi dividere per 2(a− 2) e ottieni x = a2+4

2(a−2) .Riassumendo si ha:


a−xa−2 + 2ax

a2−4 − 2−xa+2 = 0 con a ∈ R

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Equazione

a = −2 ∨ a = +2 priva di significato

a 6= −2 ∧ a 6= +2 I. S. ={a2+4

2(a−2)

}determinata

21.3.3 Equazioni letterali frazionarie

Caso in cui il denominatore contiene solo l’incognita

Esempio 21.12. Risolvere e discutere x+4a3x = a− 2x+2a

6x con a ∈ R.Questa equazione è frazionaria o fratta perché nel denominatore compare l’incognita.

Sappiamo che risolvere un’equazione significa determinare i valori che sostituiti all’incognitarendono vera l’uguaglianza tra il primo e il secondo membro. Non sappiamo determinaretale valore solamente analizzando l’equazione, ma certamente possiamo dire che non dovràessere x = 0 perché tale valore, annullando i denominatori, rende privi di significato entrambii membri dell’equazione.

Poniamo allora una condizione sull’incognita: la soluzione è accettabile se x 6= 0. Nonabbiamo invece nessuna condizione sul parametro.

Procediamo quindi con la riduzione allo stesso denominatore di ambo i membri dell’equa-zione 2x+8a

6x = 6ax−2x−2a6x ; eliminiamo il denominatore che per la condizione posta è diverso

da zero. Eseguiamo i calcoli al numeratore e otteniamo 4x− 6ax = −10a da cui la formacanonica:

x · (3a− 2) = 5a.

Il coefficiente dell’incognita contiene il parametro quindi procediamo alla discussione:

a ) se 3a− 2 6= 0 cioè a 6= 23 possiamo applicare il secondo principio e dividere ambo i

membri per il coefficiente 3a− 2 ottenendo x = 5a3a−2 . L’equazione è determinata: I. S. ={ 5a

3a−2}

. A questo punto dobbiamo ricordare la condizione sull’incognita, cioè x 6= 0,quindi la soluzione è accettabile se x = 5a

3a−2 6= 0⇒ a 6= 0;b ) se 3a− 2 = 0 cioè a = 2

3 l’equazione diventa 0 · x = 103 , cioè l’equazione è impossibi-

le: I. S. = ∅.

Riassumendo si ha la tabella:

x+4a3x = a− 2x+2a

6x con a ∈ R

Condizioniparametro incognita Insieme Soluzione Equazione

x 6= 0a = 2

3 I. S. = ∅ impossibilea 6= 2

3 I. S. ={ 5a

3a−2}

determinataa 6= 2

3 ∧ a 6= 0 accettabile x = 5a3a−2


Caso in cui il denominatore contiene sia il parametro che l’incognita

Esempio 21.13. Risolvere e discutere 2x+bx + 2x+1

b−1 = 2x2+b2+1bx−x con b ∈ R.

L’equazione è fratta; il suo denominatore contiene sia l’incognita che il parametro. Scom-poniamo in fattori i denominatori

2x+ bx

+2x+ 1b− 1

=2x2 + b2 + 1x · (b− 1)

.

Determiniamo le condizioni di esistenza che coinvolgono il parametro C.E. b 6= 1 e lecondizioni sull’incognita: soluzione accettabile se x 6= 0.

Riduciamo allo stesso denominatore ed eliminiamolo in quanto per le condizioni poste èdiverso da zero. L’equazione canonica è x · (2b− 1) = b+ 1.

Il coefficiente dell’incognita contiene il parametro quindi occorre fare la discussione:

a ) se 2b− 1 6= 0 cioè b 6= 12 possiamo dividere ambo i membri per 2b− 1, otteniamo:

x = b+12b−1 . L’equazione è determinata, l’insieme delle soluzioni è I. S. =

{b+1

2b−1}

; lasoluzione è accettabile se verifica la condizione di esistenza x 6= 0 da cui si ha

x =b+ 12b− 1

6= 0⇒ b 6= −1,

cioè se b = −1 l’equazione ha una soluzione che non è accettabile, pertanto è impossibile;b ) se 2b − 1 = 0 cioè b = 1

2 l’equazione diventa 0 · x = 32 . L’equazione è impossibile,

l’insieme delle soluzioni è vuoto: I. S. = ∅.

La tabella che segue riassume tutti i casi:

2x+bx + 2x+1

b−1 = 2x2+b2+1bx−x con b ∈ R

Condizioniparametro incognita Insieme Soluzione Equazione

b = 1 priva di significatob 6= 1 x 6= 0b = 1

2 ∨ b = −1 I. S. = ∅ impossibileb 6= 1 ∧ b 6= 1

2 I. S. ={b+1

2b−1}

determinatab 6= 1 ∧ b 6= 1

2 ∧ b 6= −1 accettabile x = b+12b−1�� b Esercizi proposti: 21.44, 21.45, 21.46, 21.47, 21.48, 21.49, 21.50, 21.51

21.4 Equazioni letterali e formule inverse

Le formule di geometria, di matematica finanziaria e di fisica possono essere viste comeequazioni letterali. I due principi di equivalenza delle equazioni permettono di ricavarele cosiddette formule inverse, ossia di risolvere un’equazione letterale rispetto a una dellequalsiasi lettere incognite che vi compaiono.

Sezione 21.4. Equazioni letterali e formule inverse 359

Esempio 21.14. Area del triangolo A = b·h2 .

Questa equazione è stata risolta rispetto all’incognita A, ossia se sono note le misure dellabase b e dell’altezza h è possibile ottenere il valore dell’area A.

È possibile risolvere l’equazione rispetto a un’altra lettera pensata come incognita. Note lemisure di A e di b ricaviamo h. Per il primo principio di equivalenza moltiplichiamo per 2entrambi i membri dell’equazione

A =b · h

2⇒ 2A = b · h,

dividiamo per b entrambi i membri 2Ab = h. Ora basta invertire primo e secondo membro:

h =2Ab

.

Esempio 21.15. Formula del montanteM = C(1 + it).Depositando un capitale C per un periodo di tempo t in anni, a un tasso di interesse

annuo i, si ha diritto al montanteM.Risolviamo l’equazione rispetto al tasso di interesse i, ossia supponiamo di conoscere il

capitale depositato C, il montante M ricevuto alla fine del periodo t e ricaviamo il tasso diinteresse che ci è stato applicato. Partendo da M = C(1 + it), dividiamo primo e secondomembro per C, otteniamo

M

C= 1 + it;

sottraiamo 1 al primo e al secondo membro, otteniamo

M

C− 1 = it;

dividiamo primo e secondo membro per t, otteniamo

i =

(MC − 1

)t

⇒ i =1t·(M

C− 1)⇒ i =

M−C

t ·C.

Esempio 21.16. Formula del moto rettilineo uniforme s = s0 + v · t.Un corpo in una posizione s0, viaggiando alla velocità costante v, raggiunge dopo un

intervallo di tempo t la posizione s.Calcoliamo v supponendo note le altre misure. Partendo dalla formula s = s0 + v · t

sottraiamo ad ambo i membri s0, otteniamo s− s0 = v · t; dividiamo primo e secondo membroper t, otteniamo

s− s0

t= v.

�� b Esercizi proposti: 21.53, 21.54, 21.55, 21.56, 21.57, 21.58, 21.59, 21.60, 21.61�� 21.62, 21.63, 21.64, 21.65


21.5 Esercizi


21.1 - Equazioni di grado superiore al primo riducibili al primo grado

21.1 (∗). Risolvere le seguenti equazioni riconducendole a equazioni di primo grado.

a ) x2 + 2x = 0;b ) x2 + 2x− 9x− 18 = 0;

c ) 2x2 − 2x− 4 = 0;d ) 4x2 + 16x+ 16 = 0.


a ) x2 − 3x− 10 = 0;b ) x2 + 4x− 12 = 0;

c ) 3x2 − 6x− 9 = 0;d ) x2 + 5x− 14 = 0.


a ) −3x2 − 9x+ 30 = 0;

b ) −32x2 +

32x+ 63 = 0;

c ) 7x2 + 14x− 168 = 0;

d )72x2 + 7x− 168 = 0.


a ) x4 − 16x2 = 0;b ) 2x3 + 2x2 − 20x+ 16 = 0;

c ) −2x3 + 6x+ 4 = 0;d ) −x6 + 7x5 − 10x4 = 0.


a ) x3 − 3x2 − 13x+ 15 = 0;b ) x2 + 10x− 24 = 0;

c ) 2x3 − 2x2 − 24x = 0;d ) x4 − 5x2 + 4 = 0.


a ) −x3 − 5x2 − x− 5 = 0;

b )34x3 −

34x = 0;

c ) −4x4 − 28x3 + 32x2 = 0;

d ) −65x3 −

65x2 +

545x+

545

= 0.


a ) −4x3 + 20x2 + 164x− 180 = 0;b ) 5x3 + 5x2 − 80x− 80 = 0;

c ) −3x3 + 18x2 + 3x− 18 = 0;d ) 4x3 + 8x2 − 16x− 32 = 0.


a ) x3 + 11x2 + 26x+ 16 = 0;b ) 2x3 + 6x2 − 32x− 96 = 0;

c ) 2x3 + 16x2 − 2x− 16 = 0;d ) −2x3 + 14x2 − 8x+ 56 = 0.



a ) 2x3 + 12x2 + 18x+ 108 = 0;b ) x4 − 10x3 + 35x2 − 50x+ 24 = 0;

c ) −2x3 − 12x2 + 18x+ 28 = 0;d ) −5x4 + 125x2 + 10x3 − 10x− 120 = 0.


a )76x4 −

1616x2 − 21x+

1403

= 0;

b ) (x2 − 6x+ 8)(x5 − 3x4 + 2x3) = 0;

c )(25 − 4x2)4

(3x− 2)2 = 0;

d ) (x− 4)3 (2x3 − 4x2 − 8x+ 16)9

= 0.


a ) (x3 − x)(x5 − 9x3)(x2 + 25) = 0;b ) x5 + 3x4 − 11x3 − 27x2 + 10x+ 24 = 0;

c ) 2x2 − x− 1 = 0;d ) 3x2 + 5x− 2 = 0.


a ) 6x2 + x− 2 = 0;b ) 2x3 − x2 − 2x+ 1 = 0;

c ) 3x3 − x2 − 8x− 4 = 0;d ) 8x3 + 6x2 − 5x− 3 = 0.


a ) 6x3 + x2 − 10x+ 3 = 0;b ) 4x4 − 8x3 − 13x2 + 2x+ 3 = 0;

c ) 8x4 − 10x3 − 29x2 + 40x− 12 = 0;d ) −12x3 + 68x2 − 41x+ 5 = 0.

21.14 (∗). Risolvere la seguente equazione riconducendola a una equazione di primo grado.(x4 + 3x3 − 3x2 − 11x− 6)(4x6 − 216x3 + 2916) = 0;

21.2 - Equazioni numeriche frazionarie

21.15 (∗). Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.

a )2

x+ 1=

1x+ 2

;

b )1

x− 1= 2;

c ) 1 −1

x+ 1= 0;

d )2x− 4x− 2

= 0.


a )x

x+ 1−

1x− 1

= 1;

b )1

x− 3=

x

3 − x;

c )x− 1x2 − 4

= −5

x+ 2;

d )3

x+ 1=

2x+ 1

.



a )1

3 − x−

42x− 6

= 0;

b )x2 − 1x− 1

− 1 = 2x+ 1;

c )x

x2 − 4=

1x+ 2

;

d )1x−

3x2 =

2 − 2xx3 .


a )x− 2x− 1

=x− 1x− 2

;

b )x+ 3x+ 1

= x+ 3;

c )3x+ 13x2 + x

= 1;

d )6 + x

x− 3=

x2

x− 3.


a )1

x− 2+

2x+ 1

=3

x2 − x− 2;

b )5

x− 2−

6x+ 1

=3x− 1

x2 − x− 2;

c )1

1 − x−

x

x− 1= 0;

d )x+ 1x− 1

−x

1 + x= 0.


a )2x+ 12x− 1

+4x2 + 14x2 − 1

= 2;

b )1

x− 1+

2x+

1x2 − x

= 0;

c )x− 1

x2 − 2x+ 1=

22 − 2x

;

d ) 4 − x2 =x2 + 5x+ 6x+ 2

− 1.


a )5

5x+ 1+

22x− 1

=1

1 − 2x;

b )1

x− 2+

2x+ 1

=3

x2 − x− 2;

c )30

x2 − 25+

35 − x

= 0;

d ) 1 +x− 1x+ 1

=1

x− 2+

1 − x2

x2 − x− 2.


a ) −3x

6 − 2x+

5x10 − 5x

=1 − x

4 − 2x;

b )18x2 − 9x− 45

4 − 36x2 −6x+ 19x− 3

+21x− 118x+ 6

= 0;

c )1

x+ 3−

12 − x

=x+ 3

x2 + x− 6;

d )1 + 2x1 − 2x

+1 − 2x1 + 2x

=6 − 8x2

1 − 4x2 .


a )3xx− 2

+6x

x2 − 4x+ 4=

3x2

(x− 2)2 ;

b ) (4x+ 6)(

4x+ 1

−1

x− 1

)= 0;

c )5x

3x2 − 18x+ 15−

23x− 3

=5

18x− 90;

d ) (x− 4)(x+ 3) =(x− 4)(x+ 3)

x− 2.



a )1

3x+ 2−

32 − x

=10x+ 4

3x2 − 4x− 4;

b )2x+ 1x+ 3

+1

x− 4=

4x− 9x2 − x− 12

;

c )1

x− 1−

1x=

(x+ 1)2

2(x2 − 1)+ 1;

d )x2 − 1x+ 1

−1

x+ 2=x+ 1x+ 2

− x.


a )1

x+ 3−

2x+ 2

=3x− 6

x2 + 5x+ 6;

b )2x− 3x+ 2

+1

x− 4=

2x2 − 2x− 8

;

c )x− 1x+ 2

−x+ 2x− 1

=1

x2 + x− 2;

d )3

x− 1+

1x+ 1

=12 − x

x2 − 1.


a )12

(x−

1x

)− 2

(1 −

1x

)=x2 − 1x

;

b )(40 − 10x2)3

(3x− 1x+ 2

−3xx+ 1

)= 0;

c )x

2x+ 1+

x+ 12(x+ 2)

=x− 1

2x2 + 5x+ 2;

d )3x+ 1x2 − 9

+2

3x2 − 9x=

3x+ 3

.


a )3(2x− 3)x3 + 27

+1

x+ 3=

x

x2 − 3x+ 9;

b )1

x2 − 3x+ 2+

2x− 1

= 0;

c )2x− 1

3x2 − 75−

3 − x

x+ 5+

x− 310 − 2x

=7

25 − x2 ;

d )x+ 2

(x− 3)2 −1

x− 3=

49 − 3x

.


a )(

1x+ 5

−15

):

(1

x− 5+

15

)+

x2

x2 − 5x= 0;

b )1 + 2xx2 + 2x

+x3 − 6x+ 1x2 − 4

=x2 − 2xx− 2

+1

x2 − 2x.

c )(

1 −12x

):

(1 +

12x

)=

2x+ 16x+ 3

−12x+

x2

2x+ 4;

d )3x− 11 − 2x

+x

2x− 1−x3 − 8x2 − 4

:x2 + 2x+ 4x2 + 2x+ 1

=2 − 3x2x− 6

· x2 − 9

4 − 9x2 −6x+ 7

6;

e )2x

6x− 3+

x

4 − 8x+

(1

2x+ 1−

12x− 1

)·

2x(x2 − 1

)8x2 − 4x

=x2(5x− 3)

3(2x+ 1)(2x− 1)2 ;

f )3x2 − 2x+ 3x2 − 3x

+x+ 23 − x

=

(x+ 1x

− 1)(

x2

x3 − 27+

x

x− 3

):

3x3x3 − 81

+x2 − x+ 2

3 − x.

21.29.(2x− 4x2 + 7

)6= −

1(x2 − 5x+ 7

)4 . Osservando i due membri dell’equazione, senza

svolgere i calcoli, puoi subito affermare che non esiste alcun numero reale che rende veral’uguaglianza?

21.30 (∗). Quale numero occorre aggiungere a numeratore e denominatore della frazione tresettimi perchè essa raddoppi di valore?


21.31 (∗). Quale numero occorre aggiungere a numeratore e denominatore della frazione duesettimi perchè essa triplichi di valore?

21.32. Due amici A e B partono con le loro automobili nello stesso istante da due localitàdiverse; A fa un viaggio di 100 Km a una certa velocità, B fa un viaggio di 132 Km ad unavelocità che supera quella dell’amico di 20 Km/h. I due amici arrivano nello stesso istanteall’appuntamento. Qual è la velocità di A?

A

B

100 km 32 km

Traccia di soluzione:

á se A e B partono insieme e arrivano insieme significa che hanno impiegato lo stessotempo per fare il proprio viaggio;

á il tempo è dato dal rapporto tra lo spazio percorso e la velocità;

á la velocità di A è l’incognita del problema: la indichiamo con x;

á l’equazione risolvente è110x

=132x+ 20

.

Prosegui nella risoluzione.

21.33. Per percorrere 480 Km un treno impiega 3 ore di più di quanto impiegherebbe un aereoa percorrere 1920 Km. L’aereo viaggia ad una velocità media che è 8 volte quella del treno.Qual è la velocità del treno?

21.3 - Equazioni letterali

21.34 (∗). Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell’incognita x.

a ) 1 + 2x = a+ 1 − 2x;

b ) 2x−72= ax− 5;

c ) b2x = 2b+ bx;d ) ax+ 2 = x+ 3.


a ) k(x+ 2) = k+ 2;b ) (b+ 1)(x+ 1) = 0;

c ) k2x+ 2k = x+ 2;d ) (a− 1)(x+ 1) = x+ 1.

21.36. Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali nell’incognita x.

a ) ax+ x− 2a2 − 2ax = 0;b ) 3ax− 2a = x · (1 − 2a) + a · (x− 1);

c ) x(3 − 5a) + 2(a− 1) = (a− 1)(a+ 1);d ) x+ 2a · (x− 2a) + 1 = 0.



a ) (a− 1)(x+ 1) = a− 1;b ) 2k(x+ 1) − 2 = k(x+ 2);

c ) a(a− 1)x = 2a(x− 5);d ) 3ax+ a = 2a2 − 3a.


a ) 3x− a = a(x− 3) + 6;b ) 2 + 2x = 3ax+ a− a2x;

c ) x(a2 − 4) = a+ 2;d ) (x−m)(x+m) = (x+ 1)(x− 1).


a ) (a− 2)2x+ (a− 2)x+ a− 2 = 0;b )(9a2 − 4

)x = 2(x+ 1);

c ) (a− 1)x = a2 − 1;d ) (a+ 2)x = a2 + a− 1.


a ) a(x− 1)2 = a(x2 − 1) + 2a;b ) a3x− a2 − 4ax+ 4 = 0;c ) bx

(b2 + 1

)− (bx− 1)

(b2 − 1

)= 2b2;

d ) a(a− 5)x+ a(a+ 1) = −6(x− 1):e ) (x+a)2 −(x−a)2 +(a− 4)(a+ 4) = a2;f ) b(b+ 3) + x

(6 − b2) = bx.

21.41 (∗). Risolvi e discuti le seguenti equazioni nell’incognita x con due parametri.

a ) (m+ 1)(n− 2)x = 0;b ) m(x− 1) = n;

c ) (a+ 1)(b+ 1)x = 0;d ) (m+n)(x− 1) = m−n.


a ) x(2a− 1) + 2b(x− 2) = −4a− x;b ) ax− 3 + b = 2(x+ b);

c ) (a+ 1)x = b+ 1;d ) (a+ b)(x− 2) + 3a− 2b = 2b(x− 1).


a ) x(x+ 2) + 3ax = b+ x2;b ) (x− a)2 + b(2b+ 1) = (x− 2a)2 + b− 3a2.

21.44 (∗). Risolvi e discuti le seguenti equazioni che presentano il parametro al denominatore.

a )x+ 2

6a+x− 12a2 =

13a

;

b )x− 1b

+2x+ 3

4b=x

4;

c )2x− 1

3a+x

3=

2a

;

d )x

a+

2x2 − a

=a− x+ 22a− a2 .


a )x

a− 1+ 8 = 4a−

x

a− 3;

b )x− 1a− 1

+x+ a

a=a− 1a

;

c )a2 − 9a+ 2

x = a− 3;

d )x+ 2a2 − 2a

+x

a2 + 2a+

1a

=2

a2 − 4.



a )x+ 1

a2 + 2a+ 1+

2x+ 1a2 − a− 2

−2x

(a+ 1)(a− 2)+

1a− 2

= 0;

b )x+ 1a− 5

+2x− 1a− 2

=2

a2 − 7a+ 10;

c )x+ 2b− 2

+2

b2 − 4b+ 4+

(1

b− 2+

x

b− 1

)· (b− 1) = 0;

d )3 + b3x

7b2 − b3 +(2b2 + b)x+ 1b(b− 7)

=3b2x+ 1b2 − 2x;

e )x− 2t2 + 3t

+x− 1t+ 3

=x− 2t2

+1

t+ 3;

f )x

2a+x+ 1

1 − 2a=

1a

.

21.47 (∗). Risolvi e discuti le seguenti equazioni parametriche frazionarie.

a )t− 1x− 2

= 2t;

b )x+m

x+ 1= 1;

c )3

x+ 1= 2a− 1;

d )2a− xx− 3

−ax+ 29 − 3x

= 0.


a )k− 1x

=2

k+ 1;

b )k

x+ 1=

2kx− 1

;

c )a− 1x+ 3

−a

2 − x=

ax+ 3ax2 + x− 6

;

d )a

x=

1a

.


a )x− a

x2 − 1−

x+ 3a2x− x2 − 1

=x+ 5x+ 1

− 2x

(x− 1)2 − 1;

b )3

1 + 3x+

a

3x− 1=a− 5x1 − 9x2 ;

c )2a

x2 − x− 2+

13x2 + 2x− 1

=6a2 − 13a− 4

3x3 − 4x2 − 5x+ 2;

d )a+ 1x+ 1

−2ax− 2

=3 − 5a

x2 − x− 2.


a )a

x+ a= 1 + a;

b )x

x− a+

1x+ a

= 1;

c )x+ a

x− a=x− a

x+ a;

d )2

1 − ax+

12 + ax

= 0.


a )2

x− 2+a+ 1a− 1

= 0;

b )1

x+ t−

1t+ 1

=tx

tx+ x+ t2 + t;

c )tx

x− 2+

t2

t+ 1−

t

x− 2= 0;

d )2x+ 12x− 1

=2a− 1a+ 1

.


21.52. Risolvi e discuti le seguenti equazioni parametriche frazionarie.

a )a

x+ 1=

3x− 2

;

b )x

x+ 1+

x

x− 1=

bx

1 − x2 +a+ 2x2

x2 − 1;

c )2x+ 1x

+2x2 − 3b2

bx− x2 =1

x− b;

d )x− 1x+ a

= 2 +1 − x

x− a.

21.4 - Equazioni letterali e formule inverse

21.53. Interesse Imaturato da un capitale C, al tasso di interesse annuo i, per un numero dianni t:

I = C · i · t.

Ricava le formule per calcolare: C = . . . . . . . . . . . . , i = . . . . . . . . . . . . , t = . . . . . . . . . . . . .Se il capitale è 12.000 e, il tasso di interesse 3, 5%, il tempo è di 6 anni, calcola I.

21.54. Conversione da gradi Celsius C a gradi Fahrenheit F:

C =5(F− 32)

9.

Ricava la formula per calcolare F = . . . . . . . . . . . . .Calcola il valore di C quando F vale 106 e il valore di F quando C vale 12.

21.55. Valore attuale Va di una rendita che vale Vn dopo n anni, anticipata di t anni al tassodi interesse i:

Va = Vn · (1 − i · t).

Ricava le formule per calcolare: Vn = . . . . . . . . . . . . , i = . . . . . . . . . . . . , t = . . . . . . . . . . . . .Se il valore attuale è 120.000 e, il tasso di interesse il 2%, calcola il valore della rendita

dopo 20 anni.

21.56. Sconto semplice S, per un montanteM, al tasso di interesse i, per un tempo t in anni:

S =M · i · t1 + i · t

.

Ricava le formule per calcolare:M = . . . . . . . . . . . . , i = . . . . . . . . . . . . .Se lo sconto semplice è 12.000 e, il tempo è 12 anni, il tasso di interesse il 4, 5%, calcola il

montante.

21.57. Superficie S di un trapezio di base maggiore B, base minore b, altezza h:

S =12· (B+ b) · h.

Ricava le formule per calcolare: B = . . . . . . . . . . . . , b = . . . . . . . . . . . . , h = . . . . . . . . . . . . .Se la base maggiore è 12 cm, la base minore 8 cm, la superficie 12 cm2, calcola l’altezza del

trapezio.


21.58. Superficie laterale Sl di un tronco di piramide con perimetro della base maggiore 2p,perimetro della base minore 2p ′, apotema a (attenzione 2p e 2p ′ sono da considerare comeun’unica incognita):

Sl =(2p+ 2p ′) · a

2.

Ricava le formule per calcolare: 2p = . . . . . . . . . . . . , 2p ′ = . . . . . . . . . . . . , a = . . . . . . . . . .Se la superficie laterale vale 144 cm2, il perimetro della base minore 12 cm e il perimetro

della base maggiore 14 cm, calcola l’apotema.

21.59. Volume V del segmento sferico a una base di raggio r e altezza h.

V = π · h2 ·(r−

h

3

).

Ricava la formula per calcolare r = . . . . . . . . . . . . .Se il volume misura 200 cm3 e l’altezza 10 cm, calcola la misura del raggio.

21.60. Superficie totale S del cono di raggio di base r e apotema a:

S = π · r · (r+ a).

Ricava la formula per calcolare a = . . . . . . . . . . . . .Se la superficie totale è 98 cm2 e il raggio 6 cm, calcola la misura dell’apotema.

21.61. Velocità v nel moto rettilineo uniforme con velocità iniziale v0, accelerazione costante adopo un tempo t:

v = v0 + a · t.

Ricava le formule per calcolare: v0 = . . . . . . . . . . . . , a = . . . . . . . . . . . . , t = . . . . . . . . . . . . .Se un corpo è passato in 10 secondi dalla velocità 10 m/s alla velocità 24 m/s qual è stata la

sua accelerazione?

21.62. Spazio percorso s nel moto rettilineo uniformemente accelerato in un intervallo ditempo t, per un corpo che ha posizione iniziale s0, velocità iniziale v0 e accelerazione a:

s = s0 + v0 · t+12· a · t2.

Ricava le formule per calcolare: v0 = . . . . . . . . . . . . , a = . . . . . . . . . . . . .Se un corpo ha percorso 100 m, partendo dalla posizione iniziale 0, accelerazione 3 m/s2,

in 10 secondi, qual’era la sua velocità iniziale?

21.63. Formula di Bernoulli relativa al moto di un fluido:

p+ ρ · g · h+12ρ · v2 = k.

Ricava le formule per calcolare: h = . . . . . . . . . . . . , ρ = . . . . . . . . . . . . .

21.64. Legge di Gay-Lussac per i gas:

V = V0 · (1 +α · t).

Ricava le formule per calcolare: V0 = . . . . . . . . . . . . , t = . . . . . . . . . . . . .


21.65. Equazione di stato dei gas perfetti:

pV = nRT .

Ricava le formule per calcolare: V = . . . . . . . . . . . . , t = . . . . . . . . . . . . .

21.66. Rendimento del ciclo di Carnot:

η = 1 −T1

T2.

Ricava le formule per calcolare: T1 = . . . . . . . . . . . . , T2 = . . . . . . . . . . . . .

21.67. Legge di Stevino:PB = PA + ρ · g · (zA − zB).

Ricava le formule per calcolare: ρ = . . . . . . . . . . . . , zA = . . . . . . . . . . . . , zB = . . . . . . . . . . . . .

21.68. Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta.

a ) y =2 − a

xx = . . . , a = . . . ;

b ) y = 2 −a

xx = . . . , a = . . . ;

c ) y =2x− a x = . . . , a = . . . ;

d ) y = −2 − a

xx = . . . , a = . . . .

21.69. Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta.

a )2x+ 12x− 1

=2k− 1k+ 1

k = . . . ;

b ) (m− 1)x = m− 3 m = . . . ;

c )2

x+ 2+a− 1a+ 1

= 0 a = . . . ;

d ) (a+ 1)(b− 1)x = 0 b = . . . .

21.70 (∗). Risolvi le seguenti equazioni rispetto alla lettera richiesta.

a )x

a+ b+x− b

a− b=

b

a2 − b2 a = . . . , x = . . . ;

b )2xa+ b

+bx

a2 − b2 −1

a− b= 0 a = . . . , b = . . . .

21.5.2 Risposte

21.1. a) {0,−2}, b) {−2,+9}, c) {2,−1},d) {−2}.

21.2. a) {5,−2}, b) {2,−6}, c) {3,−1},d) {2,−7}.

21.3 a) {2,−5}, b) {7,−6}, c) {4,−6}, d) {6,−8}.

21.4. a) {0,+4,−4}, b) {1,+2,−4},c) {2,−1}, d) {0,+2,+5}.

21.5. a) {1,+5,−3}, b) {2,−12},c) {0,−3,+4}, d) {1,−1,+2,−2}.

21.6. a) {−5}, b) {0,+1,−1}, c) {0,+1,−8},d) {−1,+3,−3}.

21.7. a) {1,+9,−5}, b) {−1,+4,−4},c) {1,−1,+6}, d) {2,−2}.

21.8. a) {−1,−2,−8}, b) {4,−4,−3},c) {1,−1,−8}, d) {7}.


21.9. a) {−6}, b) {1,+2,+3,+4},c) {−1,+2,−7}, d) {1,−1,−4,+6}.

21.10. a) {1,−2,+5,−4},b) {0,+1,+2,+4}, c)

{ 52 ,− 5

2 , 23}

,d) {4,+2,−2}.

21.11. a) {0,+1,−1,+3,−3},b) {1,−1,−2,+3,−4}, c)

{1,− 1

2}

,d){−2, 1

3}

.

21.12. a){ 1

2 ,− 23}

, b){

1,−1, 12}

,c){−1, 2,− 2

3}

, d){−1,− 1

2 , 34}

.

21.13. a){

1, 13 ,− 3

2}

, b){

3,−1, 12 ,− 1

2}

,c){

2,−2, 34 , 1

2}

, d){

5, 12 , 1

6}

.

21.14. {−1,+2,+3,−3}.

21.15. a) {−3}, b){ 3

2}

, c) {0}, d) ∅.

21.16. a) {0}, b) {−1}, c){ 11

6}

, d) ∅.

21.17. a) ∅, b) {−1}, c) ∅, d) {2,−1}.

21.18. a){ 3

2}

, b) {0,−3}, c) {1}, d) {−2}.

21.19. a) ∅, b){ 9

2}

, c) {−1}, d){− 1

3}

.

21.20. a) {−1}, b){ 1

3}

, c) ∅, d) {1,−2}.

21.21. a){ 2

25}

, b) ∅, c) ∅, d){− 1

3}

.

21.22. a){ 3

4}

, b){ 7

3}

, c) ∅, d) ∅.

21.23. a) R − {2}, b){− 3

2 , 53}

, c) {−5},d) {4,−3, 3}.

21.24. a) R −{− 2

3 , 2}

, b) {1}, c){− 2

3}

,d) {1}.

21.25. a){ 1

2}

, b) {2, 3}, c){− 2

3}

, d) {2}.

21.26. a) {−5,+1}, b){

2,− 14 ,−2

}, c) ∅,

d){− 3

16}

.

21.27. a) R − {−3}, b){ 3

2}

, c){ 35

3}

,d){− 3

4}

.

21.28. a){ 5

3}

, b){− 4

3}

, c) {4},d){− 26

25}

, e){ 12

5}

, f) {−30}.

21.30. x = 21

21.31. x = 28

21.34. a) ∀a ∈ R→{a4}

, b) a = 2→ ∅; a 6= 2→{

32(a−2)

},

c) b = 0→ R; b = 1→ ∅; b 6= 0 ∧ b 6= 1→{ 2b−1}

, d) a = 1→ ∅; a 6= 1→{ 1a−1}

.

21.35. a) k = 0→ ∅; k 6= 0→{ 2−kk

}, b) b = −1→ R; b 6= −1→ {−1},

c) k = 1→ R; k = −1→ ∅; k 6= 1 ∧ k 6= −1→{− 2k+1}

, d) a = 2→ R; a 6= 2→ {−1}.

21.37. a) a = 1→ R; a 6= 1→ {0}, b) k = 0→ ∅; k 6= 0→{ 2k

},

c) a = 0→ R; a = 3→ ∅; a 6= 0 ∧ a 6= 3→{ 10

3−a}

, d) a = 0→ R; a 6= 0→{ 2

3 (a− 2)}

.

21.38. a) a = 3 → R; a 6= 3 → {2}, b) a = 2 → R; a = 1 → ∅; a 6= 2 ∧ a 6= 1 →{ 1a−1}

,c) a = 2→ ∅; a = −2→ R; a 6= −2 ∧ a 6= 2→

{ 1a−2}

,d)m = 1 ∨m = −1→ R;m 6= 1 ∧m 6= −1→ ∅.


21.39. a) a = 2→ R; a = 1→ ∅; a 6= 1 ∧ a 6= 2→{ 1

1−a}

,

b) 3a2 − 2 = 0 → ∅; 3a2 − 2 6= 0 →{

23(3a2−2)

}, c) a = 1 → R; a 6= 1 → {a + 1},

d) a = −2→ ∅; a 6= −2→{a2+a−1a+2

}.

21.40. a) a = 0→ R; a 6= 0→ {0},b) a = −2 ∨ a = 2→ R; a = 0→ ∅; a 6= −2 ∧ a 6= 0 ∧ a 6= 2→

{ 1a

},

c) b = 0 → ∅; b 6= 0 →{

1+b2

2b

}, d) a = 2 → R; a = 3 → ∅; a 6= 2 ∧ a 6= 3 →

{a+33−a}

,

e) a = 0→ ∅; a 6= 0→{ 4a

}, f) b = −3→ R; b = 2→ ∅; b 6= −3 ∧ b 6= 2→

{bb−2}

.

21.41. a)m = −1 ∨n = 2→ R;m 6= −1 ∧n 6= 2→ {0},b)m = 0 ∧n 6= 0→ ∅;m = 0 ∧n = 0→ R;m 6= 0→

{m+nm

},

c) a = −1 ∨ b = −1→ R; a 6= −1 ∧ b 6= −1→ {0},d)m = n = 0→ R;m = −n 6= 0→ ∅;m 6= −n→

{ 2mm+n

}.

21.42. a) a = b = 0→ R; a = −b 6= 0→ ∅; a 6= −b→{

2(b−a)a+b

},

b) a = 2 ∧ b = −3→ R; a = 2 ∧ b 6= −3→ ∅; a 6= 2→{b+3a−2}

,c) a = −1 ∧ b = −1→ R; a = −1 ∧ b 6= −1→ ∅; a 6= −1→

{b+1a+1}

,d) a = b = 0→ R; a = b 6= 0→ ∅; a 6= b→

{ 2b−aa−b

}.

21.43. a) a = − 23 ∧ b = 0→ R; a = − 2

3 ∧ b 6= 0→ ∅; a 6= − 23 →

{b

2+3a}

,

b) a = 0 ∧ b = 0→ R; a = 0 ∧ b 6= 0→ ∅; a 6= 0→{−b

2

a

}.

21.44. a) a = 0→ assurdo; a = −3→ ∅; a 6= 0 ∧ a 6= −3→{ 3a+3}

,b) b = 0→ assurdo; b = 6→ ∅; b 6= 0 ∧ b 6= 6→

{ 16−b}

,c) a = 0→ assurdo; a = −2→ ∅; a 6= 0 ∧ a 6= −2→

{ 72+a}

,d) a = 0 ∨ a = 2→ assurdo; a = −3→ ∅; a 6= 0 ∧ a 6= 2 ∧ a 6= −3→

{a+2a+3}

.

21.45. a) a = 1 ∨ a = 3→ assurdo; a 6= 1 ∧ a 6= 3→ {2(a− 1)(a− 3)},b) a = 0 ∨ a = 1→ assurdo; a = 1

2 → ∅; a 6= 0 ∧ a 6= 12 ∧ a 6= 1→

{ 12a−1

},

c) a = −2→ assurdo; a = −3→ ∅; a = 3→ R; a 6= −3 ∧ a 6= −2 ∧ a 6= 3→{a+2a+3}

,d) a = 0 ∨ a = −2 ∨ a = 2→ assurdo; a 6= 0 ∧ a 6= −2 ∧ a 6= 2→

{−a2}

.

21.46. a) a = 2 ∨ a = −1→ assurdo; a 6= 2 ∧ a 6= −1→{a(a+4)

2−a

},

b) a = 5 ∨ a = 2→ assurdo; a = 4→ ∅; a 6= 5 ∧ a 6= 2 ∧ a 6= 4→{

13(4−a)

},

c) b = 2 ∨ b = 1→ assurdo; b 6= 2 ∧ b 6= 1→{b

2−b}

,

d) b = 0 ∨ b = 7→ assurdo; b 6= 0 ∧ b 6= 7→{− 1

2b2

},

e) t = 0 ∨ t = −3→ assurdo; t2 = 3→ R; t 6= 0 ∧ t 6= −3 ∧ t2 6= 3→ {2},f) a = 0 ∨ a = 1

2 → assurdo; a 6= 0 ∧ a 6= 12 → {2 − 6a}.


21.47. a) t = 0 ∨ t = 1 → ∅; t 6= 0 ∧ t 6= 1 →{ 5t−1

2t}

, b) m = 1 → R − {−1}m 6= 1 → ∅,c) a = 1

2 → ∅; a 6=12 →

{−

2(a−2)2a−1

},

d) a = 3 ∨ a = 79 → ∅; a 6= 3 ∧ a 6= 7

9 →{

2(3a+1)3−a

}.

21.48. a) k = −1→ assurdo; k = 1→ ∅; k 6= 1 ∧ k 6= −1→{−(k2−1)

2

},

b) k = 0→ R − {1,−1} k 6= 0→ {−3}, c) a = 1→ R − {−3, 2}; a 6= 1→ ∅,d) a = 0→ assurdo; a 6= 0→

{a2}.

21.49. a) a = −5 ∨ a = −1 ∨ a = 7 → ∅; a 6= −5 ∧ a 6= −1 ∧ a 6= 7 →{

−2(a−1)a+5

},

b) a = − 43 ∨ a = 5

9 ∨ a = 133 → ∅; a 6= − 4

3 ∧ a 6= 59 ∧ a 6= 13

3 →{ 3−2a

4+3a}

,c) a = − 1

6 → R−{−1, 2, 1

3}

; a = 73 ∨a = 4∨a = 1→ ∅; a 6= − 1

6 ∧a 6= 73 ∧a 6= 4∧a 6= 1→

{a− 2}, d) a = 1 ∨ a = −3 ∨ a = 3→ ∅; a 6= −3 ∧ a 6= 1 ∧ a 6= 3→{ 5−a

1−a}

.

21.50. a) a = −1 ∨ a = 0→ ∅; a 6= −1 ∧ a 6= 0→{− a2

1+a

},

b) a = −1 ∨ a = 0 → ∅; a 6= −1 ∧ a 6= 0 →{−a(a−1)a+1

}, c) a = 0 → R − {0}; a 6= 0 → {0},

d) a = 0→ ∅; a 6= 0→{− 5a

}.

21.51. a) a = 1→ assurdo; a = −1→ ∅; a 6= 1 ∧ a 6= −1→{ 4a+1}

,b) t = −1→ assurdo; t 6= −1→

{ 1t+1}

,c) t = −1 → assurdo; t = 0 → R − {2}; t = − 1

2 → ∅; t 6= − 12 ∧ t 6= −1 ∧ t 6= 0 →

{ 3t+12t+1}

,

d) a = −1→ assurdo; a = 2→ ∅; a 6= −1 ∧ a 6= 2→{

3a2(a−2)

}.

21.70. a) a =b(b+1)

2x−b ; x = b(a+b+1)2a , b) a =

b(x+1)2x−1 ; b =

a(2x−1)x+1 .

Disequazioni 2222.1 Intervalli sulla retta reale

Definizione 22.1. Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiamano intervalli, i seguentisottoinsiemi di R:

a ) (a,b) = {x ∈ R/a < x < b} intervallo limitato aperto, a e b sono esclusi;b ) [a,b] = {x ∈ R/a 6 x 6 b} intervallo limitato chiuso, a e b sono inclusi;c ) [a,b) = {x ∈ R/a 6 x < b} intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra, a è

incluso, b è escluso;d ) (a,b] = {x ∈ R/a < x 6 b} intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra, a è

escluso, b è incluso;e ) (a,+∞) = {x ∈ R/x > a} intervallo superiormente illimitato aperto, a è escluso;f ) [a,+∞) = {x ∈ R/x > a} intervallo superiormente illimitato chiuso, a è incluso;g ) (−∞,a) = {x ∈ R/x < a} intervallo inferiormente illimitato aperto, a è escluso;h ) (−∞,a] = {x ∈ R/x 6 a} intervallo inferiormente illimitato chiuso, a è escluso.

I numeri a e b si chiamano estremi dell’intervallo.

I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta:ogni numero reale ha per immagine un punto della retta e viceversa ogni punto della retta èimmagine di un numero reale. Di conseguenza ognuno degli intervalli sopra definiti ha perimmagine una semiretta o un segmento, precisamente gli intervalli limitati corrispondono asegmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo con degli esempi come si rappresentano idiversi tipi di intervalli.

Esempio 22.1. H = {x ∈ R/x < 3} intervallo illimitato inferiormente H = (−∞, 3).

L’insieme H è rappresentato da tutti i punti della semiretta che precedono il punto imma-gine del numero 3, esclusa l’origine della semiretta. Nella figura, la semiretta dei punti cheappartengono ad H è stata disegnata con una linea più spessa; per mettere in evidenza cheil punto immagine di 3 non appartiene alla semiretta abbiamo messo un pallino vuoto sulpunto.

r

3

Esempio 22.2. P = {x ∈ R/x > −5} intervallo illimitato superiormente chiuso a sinistraP = [−5,+∞).

Segniamo sulla retta r il punto immagine di −5; l’insieme P è rappresentato dalla semirettadi tutti i punti che seguono −5, compreso lo stesso −5. Nel disegno, la semiretta dei punti

373

374 Capitolo 22. Disequazioni

che appartengono a P è stata disegnata con una linea più spessa, per indicare che il punto −5appartiene all’intervallo abbiamo messo un pallino pieno sul punto.

r

−5

Esempio 22.3. D = {x ∈ R/− 2 < x < 6} intervallo limitato aperto D = (−2, 6).

Segniamo sulla retta reale i punti immagine degli estremi del segmento, −2 e 6. L’insiemeDè rappresentato dal segmento che ha per estremi questi due punti. Nel disegno il segmento èstato disegnato con una linea più spessa, i due estremi del segmento sono esclusi, pertanto suciascuno di essi abbiamo messo un pallino vuoto.

r

−2 6

Esempio 22.4. T = {x ∈ R/− 2 < x 6 6} intervallo limitato chiuso a destra T = (−2, 6].

Rispetto al caso precedente, il segmento che rappresenta l’insieme T è chiuso a destra,ossia è incluso nell’intervallo anche il 6, è escluso invece il punto −2.

r

−2 6

Esempio 22.5. S = {x ∈ R/− 2 6 x 6 6} intervallo chiuso e limitato S = [2, 6].

Il segmento che rappresenta l’insieme S contiene tutti e due i suoi estremi:

r

−2 6

Esempio 22.6. Altri particolari sottoinsiemi dei numeri reali sono:

á R+ = {x ∈ R/x > 0}. Semiretta di origine 0 costituita da tutti i numeri positi:

r

0

á R− = {x ∈ R/x < 0}. Semiretta di origine 0 costituita da tutti i numeri reali negativi:

r

0

Il punto 0 non appartiene a nessuna delle due semirette; il numero zero nonappartiene né a R+ né a R−: R = R+ ∪R− ∪ {0}.

á R+0 = {x ∈ R/x > 0};

á R−0 = {x ∈ R/x 6 0}.�� b Esercizi proposti: 22.1, 22.2, 22.3, 22.4, 22.5, 22.6, 22.7

Sezione 22.2. Disequazioni numeriche 375

22.2 Disequazioni numeriche

Consideriamo le seguenti proposizioni:

a ) 5 è minore di 12;b ) 48 − 90 è maggiore di 30;c ) il quadrato di un numero reale è maggiore o uguale a zero;d ) sommando ad un numero la sua metà si ottiene un numero minore o uguale a 1.

Esse possono essere tradotte in linguaggio matematico usando i simboli > (maggiore),< (minore), > (maggiore o uguale), 6 (minore o uguale) e precisamente:

a ) 5 < 12; b ) 48 − 90 > 30; c ) x2 > 0; d ) x+ 12x 6 1.

Le formule che contengono variabili si dicono aperte; quelle che contengono solo numerisi dicono chiuse. Quindi a) e b) sono formule chiuse; c) e d) sono formule aperte.

Definizione 22.2. Chiamiamo disuguaglianza una formula chiusa costruita con uno deipredicati < (essere minore); > (essere maggiore); 6 (essere minore o uguale); > (esseremaggiore o uguale).

Di essa sappiamo subito stabilire il valore di verità, quando è stabilito l’ambiente in cuivengono enunciate.

Definizione 22.3. Chiamiamo disequazione una formula aperta, definita in R e costruitacon uno dei seguenti predicati: < (essere minore); > (essere maggiore); 6 (essere minore ouguale); > (essere maggiore o uguale).

Analogamente a quanto detto per le equazioni, chiamiamo incognite le variabili che com-paiono nella disequazione, primo membro e secondo membro le due espressioni che compaiono asinistra e a destra del segno di disuguaglianza.

Esempio 22.7. Disuguaglianze vere e false.

a ) in N, la formula 5 > 0 è una disuguaglianza: vera;b ) in Z, la formula −6 > −4 è una disuguaglianza: falsa;c ) la formula 5x > 0 è una disequazione; quando all’incognita sostituiamo un numero essa

si trasforma in una disuguaglianza e solo allora possiamo stabilirne il valore di verità.Nel caso proposto è vera se sostituiamo alla variabile un qualunque numero positivo,falsa se sostituiamo zero o un numero negativo.


Definizione 22.4. L’insieme dei valori che sostituiti all’incognita trasformano la disequa-zione in una disuguaglianza vera, è l’insieme soluzione (I. S.) della disequazione.


22.2.1 Ricerca dell’insieme soluzione di una disequazione

Alcune volte l’I. S. si può trovare ragionando sulla forma della disequazione.

Esempio 22.8. Analizziamo le seguenti disequazioni in R:

á 3 · x > 0 si cercano quei valori da attribuire all’incognita che moltiplicati per 3 dianoun prodotto positivo o nullo. Per le regole dei segni e per la legge di annullamentodel prodotto, il numero x deve essere maggiore o uguale a 0: I. S. = {x ∈ R/x > 0} =R+ ∪ {0};

á x2 + 1 < 0 si cercano i valori che rendono la somma del loro quadrato con 1 un numeronegativo. Poiché il quadrato di un numero è sempre positivo, al più nullo se il numero èzero, aggiungendo ad esso 1, non troveremo mai un risultato negativo: I. S. = ∅;

á −x2 6 0 il primo membro è l’opposto del quadrato di un numero; poiché il quadrato èsempre positivo o nullo, la disequazione è verificata per qualunque numero reale: I. S. =R;

á 1x < 0 il primo membro è l’inverso di un numero reale; tale operazione ha significatoper qualunque numero tranne che per 0, 1

0 infatti è priva di significato. La frazione 1x è

negativa per qualunque valore negativo attribuito alla incognita:

I. S. = {x ∈ R/x < 0} = R−.

In questo paragrafo affronteremo disequazioni in una sola incognita, che, dopo aver svoltoeventuali calcoli nei due membri, avrà l’incognita al primo grado e i cui coefficienti sononumeri reali.

La forma più semplice o forma canonica di una disequazione di primo grado in una solaincognita a coefficienti reali è una delle seguenti ax > b; ax < b; ax > b; ax 6 b con a e bnumeri reali.

Per condurre una disequazione alla forma canonica e quindi per determinare il suo I. S. siprocede applicando dei principi analoghi a quelli delle equazioni.

Premettiamo la seguente definizione:

Definizione 22.5. Due disequazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme dellesoluzioni.

Principio 22.1 (I Principio). Addizionando o sottraendo a ciascuno dei due membri di una di-sequazione uno stesso numero o una stessa espressione (definita per qualunque valore attribuitoall’incognita), si ottiene una disequazione equivalente alla data.

Regola pratica: questo principio ci permette di “spostare” un addendo da un membroall’altro cambiandogli segno o di “eliminare” da entrambi i membri gli addendi uguali.

Principio 22.2 (II Principio). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequa-zione per uno stesso numero positivo o per una stessa espressione (definita e positiva per qualunquevalore attribuito alla variabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data.

Sezione 22.2. Disequazioni numeriche 377

Principio 22.3 (III Principio). Moltiplicando o dividendo ciascuno dei due membri di una disequa-zione per uno stesso numero negativo o per una stessa espressione (definita e negativa per qualunquevalore attribuito alla variabile), si ottiene una disequazione equivalente alla data ma con il versocambiato.

Esempio 22.9. 4 · (2x− 1) + 5 > 1 − 2 · (−3x− 6).

Passo I Eseguiamo i prodotti: 8x− 4 + 5 > 1 + 6x+ 12.

Passo II Spostiamo tutti termini con l’incognita nel primo membro e i termini noti nelsecondo membro, cambiamo i segni quando passiamo da un membro all’altro: 8x− 6x >1 + 12 + 4 − 5.

Passo III Sommando i termini simili si ottiene la forma canonica 2x > 12.

Passo IV Applichiamo il secondo principio dividendo ambo i membri per il coefficientedella x. È fondamentale a questo punto osservare che il coefficiente è 2, che è un numeropositivo, pertanto non cambia il verso della disequazione

22x >

122⇒ x > 6.

Se viceversa il coefficiente dell’incognita fosse stato un numero negativo si sarebbe dovutocambiare il verso della disequazione.

Passo V Scriviamo l’insieme delle soluzioni I. S. = {x ∈ R/x > 6} = (6,+∞) e rappresentia-mo graficamente l’intervallo:

r

6

Esempio 22.10.(x+ 1)2

4−

2 + 3x2

>(x− 1)2

4.

Il mcm è 4 numero positivo, moltiplicando per 4 si ha

4 ·[(x+ 1)2

4−

2 + 3x2

]>

4 · (x− 1)2

4.

Semplificando: (x+ 1)2 − 2 · (2 + 3x) > (x− 1)2.Eseguiamo i prodotti: x2 + 2x+ 1 − 4 − 6x > x2 − 2x+ 1Eliminiamo dai due membri i termini uguali x2 e 1, trasportiamo a sinistra i monomi con

l’incognita e a destra i termini noti; infine sommiamo i monomi simili:

��x2 + 2x��+1 − 4 − 6x >��x

2 − 2x��+1⇒ 2x+ 2x− 6x > +4⇒ −2x > 4.

Il coefficiente dell’incognita è negativo, applicando il terzo principio dividiamo ambo imembri per −2 e cambiamo il verso della disuguaglianza:

−2−2x <

4−2⇒ x < −2.


r

−2

I. S. = {x ∈ R/x < −2} = (−∞,−2).Giunti alla forma −2x > 4 potevano trasportare a destra del segno di disuguaglianza il

monomio con l’incognita e a sinistra mettere il termine noto; ovviamente per il primo principiospostando questi termini cambiano segno e otteniamo −4 > 2x. Il coefficiente dell’incognitaè positivo dunque applichiamo il secondo principio dividendo per 2, abbiamo −4

2 > 22x ⇒

−2 > x, che letta da destra a sinistra dice che i valori da attribuire ad x per soddisfare ladisequazione assegnata sono tutti i numeri reali minori di −2.

Vediamo qualche esempio in cui scompare l’incognita.

Esempio 22.11.12· (x+ 5) − x >

12· (3 − x).

Il mcm è 2, positivo; moltiplichiamo ambo i membri per 2; svolgiamo i calcoli:

2 ·[

12(x+ 5) − x

]> 2 ·

[12(3 − x)

]⇒ x+ 5 − 2x > 3 − x⇒ −x+ 5 > 3 − x.

La forma canonica è 0 · x > −2 che si riduce alla disuguaglianza 0 > −2 vera perqualunque x reale: I. S. = R.

Esempio 22.12. (x+ 2)2 − 4(x+ 1) < x2 − 1.

Svolgiamo i calcoli ed eliminiamo i monomi simili:

x2 + 4x+ 4 − 4x− 4 < x2 − 1⇒ 0 · x < −1,

che è la disuguaglianza 0 < −1 falsa per qualunque x reale: I. S. = ∅.�� b Esercizi proposti: 22.9, 22.10, 22.11, 22.12, 22.13, 22.14, 22.15

22.2.2 Problemi con le disequazioni

Problema 22.13 (Tariffe telefoniche). Sto analizzando due proposte di compagnie telefonicheper poi stipulare il contratto più conveniente per le mie esigenze. La compagnia T1 prevedeuna spesa fissa di 5 centesimi di scatto alla risposta da sommare alla spesa di 1 centesimo perogni minuto di telefonata. La compagnia T2 non prevede spesa per lo scatto alla risposta, maper ogni minuto di telefonata la spesa è di 2 centesimi. Dopo quanti minuti di telefonata laseconda tariffa è più conveniente della prima?

Soluzione Indichiamo con x la durata in minuti di una telefonata e con t1 e t2 rispettivamentela spesa con la prima e la seconda compagnia:

t1 = (5 + 1 · x) centesimi; t2 = (2 · x) centesimi.

La t2 sarà più conveniente di t1 se 2 · x < 5 + x.Il problema è formalizzato con una disequazione nell’incognita x, di primo grado. Dobbia-

mo trovare l’I. S..

Sezione 22.3. Sistemi di disequazioni 379

Risolvendo la disequazione si ottiene: 2 · x− x < 5⇒ x < 5 min.Conclusione: se le mie telefonate durano meno di 5 minuti allora mi conviene il contratto

con T2, altrimenti se faccio telefonate più lunghe di 5 minuti mi conviene T1. Le due tariffesono uguali se la telefonata dura esattamente 5 minuti.

�

Problema 22.14 (L’abbonamento). Su un tragitto ferroviario, il biglietto costa 8,25 euro. L’ab-bonamento mensile costa 67,30 euro. Qual è il numero minimo di viaggi che occorre effettuarein un mese perché l’abbonamento sia più conveniente?

Soluzione Indichiamo con x il numero di viaggi. Il costo del biglietto di x viaggi è 8, 25 · x.L’abbonamento è più conveniente quando 8, 25 · x > 67, 30 da cui x > 67,30

8,25 e quindi x > 8, 16.In conclusione se si fanno 8 viaggi in un mese conviene acquistare i biglietti singoli, da 9viaggi in poi conviene l’abbonamento.

�� b Esercizi proposti: 22.16, 22.17, 22.18, 22.19, 22.20, 22.21, 22.22, 22.23, 22.24, 22.25, 22.26�� 22.27, 22.28, 22.29, 22.30, 22.31, 22.32

22.3 Sistemi di disequazioni

In alcune situazioni occorre risolvere contemporaneamente più disequazioni. Vediamoalcuni problemi.

Problema 22.15. Il doppio di un numero reale positivo diminuito di 1 non supera la sua metàaumentata di 2. Qual è il numero?

Soluzione Incognita del problema è il numero reale che indichiamo con x. Di esso sappiamoche deve essere positivo, quindi x > 0 e che deve verificare la condizione

2x− 1 612x+ 2.

Le due disequazioni devono verificarsi contemporaneamente.Il problema può essere formalizzato con un sistema di disequazioni:{

x > 02x− 1 6 1

2x+ 2.

Risolvere un sistema di disequazioni significa trovare l’insieme dei numeri reali che sonosoluzioni comuni alle due disequazioni, cioè che le verificano entrambe.

Se indichiamo con I. S.1 e I. S.2 rispettivamente gli insiemi soluzione della prima e del-la seconda disequazione, l’insieme soluzione del sistema è dato dall’intersezione I. S. =I. S.1 ∩ I. S.2.

Risolviamo separatamente le due disequazioni e determiniamo gli insiemi delle soluzioni.

d1 : x > 0⇒ I. S.1 = {x ∈ R/x > 0},

d2 : 4x− 2 6 x+ 4⇒ 3x 6 6⇒ I. S.2 = {x ∈ R/x 6 2}.


Dobbiamo ora determinare I. S. = I. S.1 ∩ I. S.2.Questa ricerca può essere facilitata rappresentando graficamente i due intervalli in uno

stesso schema. Disegniamo l’asse dei numeri reali r e su esso indichiamo i numeri cheentrano in gioco, lo 0 e il 2. Disegniamo una prima linea dove rappresentiamo con unalinea spessa I. S.1, disegniamo una seconda linea dove rappresentiamo con una linea piùspessa I. S.2.

Su una terza linea rappresentiamo l’insieme degli elementi comuni a I. S.1 e I. S.2, che èappunto l’insieme delle soluzioni del sistema di disequazioni.

r

0 2

I. S.

Non ci rimane che descrivere l’intervallo delle soluzioni in forma insiemistica:

I. S. = {x ∈ R/0 < x 6 2} = (0, 2].

�

Problema 22.16. In un triangolo il lato maggiore misura 13 m, gli altri due lati differiscono tradi loro di 2 m. Come si deve scegliere il lato minore affinché il perimetro non superi i 100 m?

Dati: AB = 13 m, BC−AC = 2 m. Riferendoci alla figura, AC è il lato minore; indichiamocon x la sua misura.

A B

C

Obiettivo: determinare x in modo che 2p 6 100.

Soluzione AC = x;BC = 2 + x;AB = 13 con x > 0.L’obiettivo in linguaggio matematico si scrive: x+ (2 + x) + 13 6 100.Per la “disuguaglianza triangolare” si deve avere 13 < x+ (2 + x). Il problema è formaliz-

zato dal sistema: x > 0x+ (x+ 2) + 13 6 10013 < x+ (x+ 2)

,

Sezione 22.3. Sistemi di disequazioni 381

Risolvendo ciascuna disequazione si ottiene

x > 0

x 6852

x >112

.

Determiniamo l’insieme soluzione aiutandoci con una rappresentazione grafica.

r

0112

852

I. S.

Affinché il perimetro non superi 100 m la misura in metri del lato minore deve essere unnumero dell’insieme:

I. S. ={x ∈ R/

112< x 6

852

}.

�Risolviamo delle disequazioni più articolate nel calcolo algebrico.

Esempio 22.17. Risolvere il seguente sistema di disequazioni.x >

2x− 118

+19 − 2x

415(x+ 1) >

x

3−

15 + 2x9

.

Risolviamo separatamente le due disequazioni:

d1 : 8x > 2x− 11 + 38 − 4x⇒ 10x > 27⇒ x >2710→ I. S.1 =

{x ∈ R/x >

2710

},

d2 : 9x+ 9 > 15x− 75 − 10x⇒ 4x > −84⇒ x > −21→ I. S.2 = {x ∈ R/x > −21} .

Rappresentiamo graficamente le soluzioni e determiniamo I. S. = I. S.1 ∩ I. S.2:

r

−212710

I. S.


I. S. ={x ∈ R/x >

2710

}.

Esempio 22.18. Risolvere il seguente sistema di disequazioni.2 · (x+ 1) + (−2)2 · x > 3 · (2x− 3)

(x− 3)2

4−

(2x− 1)2

16<

3516

.


D1 : 2x+ 2 + 4x > 6x− 9⇒ 0x > −11→ I. S.1 = R,

D2 : 4x2 + 36 − 24x− 4x2 − 1 + 4x− 35 < 0⇒ −20x < 0⇒ x > 0→ I. S.2 = {x ∈ R/x > 0} .

Determiniamo I. S. = I. S.1 ∩ I. S.2.

r

0

IS

I. S. = {x ∈ R/x > 0} .

Esempio 22.19. Risolvere il seguente sistema di disequazioni.(x− 2) · (x+ 3) > x+ (x− 1) · (x+ 1)

(x− 1)3 6 x2 · (x− 3) + 2(−

12x+ 1

) .

Risolviamo separatamente le disequazioni:

D1 : x2 − 2x+ 3x− 6 > x+ x2 − 1⇒ 0x > 5→ I. S.1 = ∅.

Poiché la prima equazione non ha soluzioni non avrà soluzioni nemmeno il sistema. Èsuperfluo quindi risolvere la seconda disequazione. La risolviamo per esercizio.

D2 : x3 − 3x2 + 3x− 1 6 x3 − 3x2 − x+ 2⇒ 4x 6 3⇒ x 634→ I. S.2 =

{x ∈ R/x 6

34

}.

I. S. = I. S.1 ∩ I. S.2 = ∅ ∩ I. S.2 = ∅.

Esempio 22.20. Risolvere il seguente sistema di disequazioni.13·(x−

12

)−

12·(x−

13

)6

16

x+ 1 62x− 1

3+

1 − 2x4

.

Sezione 22.4. Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo 383


D1 :13x−

12x 6

16⇒ 2x− 3x 6 1⇒ x > −1→ I. S.1 = {x ∈ R/x > −1},

D2 : 12x+ 12 6 8x− 4 + 3 − 6x⇒ 10x 6 −13⇒ x 6 −1310→ I. S.2 =

{x ∈ R/x 6 −

1310

}.

Rappresentiamo le soluzioni e determiniamo I. S. = I. S.1 ∩ I. S.2.

r

−1− 1310

Il grafico mette in evidenza che i due insiemi soluzione non hanno elementi in comune,pertanto I. S. = ∅.�� 22.33, 22.34, 22.34, 22.35, 22.36, 22.37, 22.38, 22.39, 22.40, 22.41

22.4 Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo

Problema 22.21. Determinare i valori di x che rendono il polinomio p = (3x − 7)(2 − x)

positivo.

Il problema chiede di determinare l’insieme delle soluzione della disequazione di secondogrado (3x − 7)(2 − x) > 0. La disequazione si presenta nella forma di prodotto di duefattori di primo grado e proprio la sua forma di prodotto ci faciliterà la risposta al quesito.

× + −

+ + −

− − +

Sappiamo che nell’insieme dei numeri relativi il segno del prodotto di duefattori segue la regola dei segni visualizzata dalla tabella a lato: “il segno di unprodotto è positivo se i due fattori sono concordi”. Questo fatto si traduce neidue metodi risolutivi del problema proposto.

Soluzione Metodo I: impostiamo due sistemi di disequazioni, formalizzandol’osservazione precedente: {

3x− 7 > 02 − x > 0

∨

{3x− 7 < 02 − x < 0

.

Risolvendo i due sistemi e unendo le loro soluzioni otteniamo l’insieme delle soluzioni delladisequazione originaria: I. S. = I. S.1 ∪ I. S.2.

I. S.1 :

{3x− 7 > 02 − x > 0

⇒

x >73

x < 2→ I. S.1 = ∅,

I. S.2 :

{3x− 7 < 02 − x < 0

⇒

x <73

x > 2→ I. S.2 =

{x ∈ R/2 < x <

73

}.


Quindi I. S. = I. S.1 ∪ I. S.2 =

{x ∈ R/2 < x <

73

}.

Metodo II: Torniamo alla disequazione iniziale (3x − 7)(2 − x) > 0 e applichiamo unaltro metodo. Osserviamo che quando risolviamo la disequazione 3x− 7 > 0 determiniamol’insieme dei valori che attribuiti alla variabile rendono il polinomio p = 3x− 7 positivo,precisamente sono i valori x > 7

3 Rappresentiamo l’ I. S. con una semiretta in grassetto comein figura:

r

73

In realtà, nel grafico sono contenute tutte le informazioni sul segno del polinomio:

á la semiretta in grassetto rappresenta i valori che rendono il polinomio positivo;á il valore x = 7

3 è quello che annulla il polinomio;á la semiretta non in grassetto rappresenta i valori che rendono il polinomio negativo.

r

73

+−


Esempio 22.22. (3x− 7) · (2 − x) > 0.La disequazione equivale a determinare i valori che attribuiti alla variabile x rendono

positivo il polinomio p = (3x− 7) · (2 − x).Studiamo separatamente il segno dei due fattori:

F1 : 3x− 7 > 0⇒ x >73

, F2 : 2 − x > 0⇒ x < 2.

Per risolvere la disequazione iniziale ci è di particolare aiuto un grafico che sintetizzi lasituazione.

r

273

segno di F1:

segno di F2:

segno di p:

− −

− −

+

+

− −+

Applicando poi la regola dei segni otteniamo il segno del polinomio p = (3x− 7) · (2 − x).Ricordiamo che la disequazione che stiamo risolvendo (3x− 7) · (2 − x) > 0 è verificata

quando il polinomio p = (3x − 7) · (2 − x) è positivo, cioè nell’intervallo in cui abbiamoottenuto il segno “+”. Possiamo concludere I. S. =

{x ∈ R/2 < x < 7

3}

.

Esempio 22.23. (x− 3) · (2x− 9) · (4 − 5x) > 0.Determiniamo il segno di ciascuno dei suoi tre fattori:

F1 : x− 3 > 0⇒ x > 3; F2 : 2x− 9 > 0⇒ x >92

; F3 : 4 − 5x > 0⇒ x <45

.

Costruiamo la tabella dei segni:

Sezione 22.4. Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo 385

r

45 3

92

segno di F1:

segno di F2:

segno di F3:

segno di p:

− −

− − −

− − −

+ +

+

+

+ +− −

La disequazione è verificata negli intervalli dove è presente il segno “+”.

I. S. ={x ∈ R/x <

45∨ 3 < x <

92

}.

Esempio 22.24. 4x3 + 4x2 6 1 + x. La disequazione è di terzo grado; trasportiamo al primomembro tutti i monomi:

4x3 + 4x2 − 1 − x 6 0.

Possiamo risolverla se riusciamo a scomporre in fattori di primo grado il polinomio alprimo membro:

4x3 + 4x2 − 1 − x = 4x2(x+ 1) − (x+ 1) = (x+ 1)(4x2 − 1)⇒ (x+ 1)(2x− 1)(2x+ 1) 6 0.

Studiamo ora il segno di ciascun fattore, tenendo conto che sono richiesti anche i valoriche annullano ogni singolo fattore (legge di annullamento del prodotto):

F1 : x+ 1 > 0⇒ x > −1; F2 : 2x− 1 > 0⇒ x >12

, F3 : 2x+ 1 > 0⇒ x > −12

.

Possiamo ora costruire la tabella dei segni. Ricordiamo che la disequazione di partenza 4x3 +

4x2 6 1 + x è verificata dove compare il segno “−”:

r

−1 − 12

12

segno di F1:

segno di F2:

segno di F3:

segno di p:

+ + +

− − −

− − + +

−

+

+ +− −

I. S. ={x ∈ R/x 6 −1 oppure −

126 x 6

12

}.

Procedura 22.4. Determinare l’I. S. Di una disequazione polinomiale di grado superiore al primo:

a ) scrivere la disequazione nella forma p 6 0, p > 0, p < 0, p > 0;b ) scomporre in fattori irriducibili il polinomio;c ) determinare il segno di ciascun fattore, ponendolo sempre maggiore di zero, o maggiore uguale

a zero a seconda della richiesta del problema;d ) costruire la tabella dei segni, segnando con un punto ingrossato gli zeri del polinomio;e ) determinare gli intervalli in cui il polinomio assume il segno richiesto.�� b Esercizi proposti: 22.44, 22.45, 22.46, 22.47, 22.48, 22.49, 22.50, 22.51, 22.52, 22.53


22.5 Disequazioni frazionarie

Un’espressione contenente operazioni tra frazioni algebriche ha come risultato una frazionealgebrica. Con la condizione di esistenza che il denominatore della frazione sia diverso dazero la ricerca del segno di una frazione algebrica viene effettuata con la stessa proceduraseguita per il prodotto di due o più fattori.

Esempio 22.25. p =3x− 72 − x

> 0.

Poniamo innanzi tutto la C.E. : 2 − x 6= 0 cioè x 6= 2 e procediamo studiando il segnodel numeratore e del denominatore. Terremo conto della C.E. ponendo il denominatoresemplicemente maggiore di zero e non maggiore uguale.

N > 0⇒ 3x− 7 > 0⇒ x >73

,

D > 0⇒ 2 − x > 0⇒ x < 2.

r

273

segno di N:

segno di D:

segno di p:

− −

− −

+

+

+− −

Analogamente a quanto fatto per il prodotto, dalla tabella dei segni otteniamo

I. S. ={x ∈ R/2 < x 6

73

}in cui vediamo già compresa la C.E. che inizialmente avevamo posto.

Procedura 22.5. Procedura per determinare I. S. di una disequazione frazionaria:

a ) applicare il primo principio e trasportare tutti i termini al primo membro;b ) eseguire i calcoli dell’espressione al primo membro per arrivare a una disequazione nella forma:

N(x)

D(x)> 0 oppure

N(x)

D(x)> 0 oppure

N(x)

D(x)< 0 oppure

N(x)

D(x)6 0;

c ) studiare il segno del numeratore e del denominatore, ponendo N(x) > 0 (oppure N(x) > 0 asecondo della richiesta) e D(x) > 0;

d ) costruire la tabella dei segni, segnando con un punto in grassetto gli zeri del numeratore;e ) determinare gli intervalli in cui il polinomio assume il segno richiesto.

Esempio 22.26.x− 12x+ 2

+2x+ 14x− 2

>4x2(2x+ 1) + 1

8x3 + 8x2 − 2x− 2.

Trasportiamo tutti i termini al primo membrox− 1

2x+ 2+

2x+ 14x− 2

−4x2(2x+ 1) + 1

8x3 + 8x2 − 2x− 2> 0.

Scomponiamo in fattori i denominatori, determiniamo il minimo comune multiplo esommiamo le frazioni per arrivare alla forma N(x)

D(x) > 0:

Sezione 22.5. Disequazioni frazionarie 387

x− 12(x+ 1)

+2x+ 1

2(2x− 1)−

4x2(2x+ 1) + 12(x+ 1)(2x− 1)(2x+ 1)

> 0

⇒ (x− 1)(2x− 1)(2x+ 1) + (2x+ 1)(2x+ 1)(x+ 1) − 4x2(2x+ 1) + 12(x+ 1)(2x− 1)(2x+ 1)

> 0

⇒ 4x+ 12(x+ 1)(2x− 1)(2x+ 1)

> 0. (22.1)

Studiamo separatamente il segno di tutti i fattori che compaiono nella frazione, sia quelli alnumeratore sia quelli al denominatore e costruiamo la tabella dei segni:

N > 0⇒ 4x+ 1 > 0⇒ x > −14

,

D > 0⇒

x+ 1 > 0⇒ x > −12x− 1 > 0⇒ x > 1

22x+ 1 > 0⇒ x > − 1

2

.

r

−1 − 12 − 1

412

segno di N:

segno di d1:

segno di d2:

segno di d3:

segno di f:

D :

− − − + +

+ + + +

− − − −

− − + + +

−

+

+ + +− −

Non abbiamo posto le C.E. in quanto già rispettate dalle disequazioni del denominato-re. Prendiamo gli intervalli in cui il segno della frazione è positivo come richiesto dalladisequazione 22.1:

I. S. ={x ∈ R/x < −1 ∨−

12< x < −

14∨ x >

12

}.

Esempio 22.27.x

2−

23· 2x− 3x− 1

+10x− 36x− 6

632· x

2 + 23x− 2

+1

3(x− 1)(3x− 2).

Trasportiamo tutti i termini al primo membro:

x

2−

23· 2x− 3x− 1

+10x− 36x− 6

−32· x

2 + 23x− 2

−1

3(x− 1)(3x− 2)6 0.

Eseguiamo le operazioni per semplificare la frazione e ridurla alla forma N(x)D(x) 6 0:

x

2−

4x− 63(x− 1)

+10x− 36(x− 1)

−3x2 + 6

2(3x− 2)−

13(x− 1)(3x− 2)

6 0

⇒3x(x− 1)(3x− 2) − 2(4x− 6)(3x− 2) + (10x− 3)(3x− 2) − 3(3x2 + 6)(x− 1) − 26(x− 1)(3x− 2)

6 0

⇒ 11x− 26(x− 1)(3x− 2)

6 0. (22.2)


Studiamo il segno del numeratore e dei fattori del denominatore:

N > 0⇒ 11x− 2 > 0⇒ x >211

,

D > 0⇒

d1 > 0⇒ x− 1 > 0⇒ x > 1

d2 > 0⇒ 3x− 2 > 0⇒ x >23

.

r

211

23 1

segno di N:

segno di d1:

segno di d2:

segno di f:

D :

+ + +

− − −

− − + +

−

+

− −+ +

Non abbiamo posto le C.E. in quanto già rispettate dalle disequazioni del denominato-re. Prendiamo gli intervalli in cui il segno della frazione è positivo o nullo come dalladisequazione 22.2:

I. S. ={x ∈ R/x 6

211

∨23< x < 1

}.

�� b Esercizi proposti: 22.54, 22.55, 22.56, 22.57, 22.58, 22.59, 22.60, 22.61, 22.62, 22.63�� 22.64, 22.65, 22.66, 22.67, 22.68, 22.69


22.6 Esercizi


22.1 - Intervalli sulla retta reale

22.1. Determina la scrittura corretta per il seguente grafico.

r

−3

A x < −3 B x > −3 C x 6 −3 D x 6 −3


r

2

A x < 2 B x > 2 C x > 2 D x 6 2


r

−2 2

A x < +2 B x > −2 C −2 6 x 6 2 D −2 < x < 2


r

3 5

A x < 5; x > 3 B 3 > x > 5 C 3 6 x < 5 D 3 < x 6 5


r

−1 0

A R− − {−1} B −1 > x > 0 C −1 6 x 6 0 D 0 < x < −1


r

0

A x > 0 B x > −∞ C x 6 0 D 0 < x 6 0


r

1 2

A x > 1; x < 2 B 1 6 x < 2 C x 6 1 e x > 2 D 2 > 1


22.2 - Disequazioni numeriche

22.8. Completa la seguente tabella indicando con una crocetta il tipo di disuguaglianza odisequazione:

Proposizione Disuguaglianza DisequazioneVera Falsa

Il doppio di un numero reale è minore del suotriplo aumentato di 1:La somma del quadrato di 4 con 3 è maggioredella somma del quadrato di 3 con 4:Il quadrato della somma di 4 con 3 è minore ouguale a 49:In Z : (5 + 8) − (2)4 > 0:−x2 > 0:(x+ 6)2 · (1 − 9) · (x+ 3 − 9) < 0:

22.9. Rappresenta graficamente l’insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni.

a ) x− 2 > 0;b ) x+ 5 > 0;c ) x− 4 > 0;

d ) x− 5 > 0;e ) x+ 3 6 0;f ) x > 0;

g ) x > 0;h ) −1 6 x;i ) 3 > x.

22.10 (∗). Trova l’Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni.

a ) 3 − x > x;b ) 2x > 3;c ) 3x 6 4;d ) 5x > −4;

e ) x2 + x4 + 10 > 0;f ) x2 + x4 + 100 < 0;g ) −x+ 3 > 0;h ) −x− 3 6 0.


a ) 3 + 2x > 3x+ 2;b ) 5x− 4 > 6x− 4;c ) −3x+ 2 > −x− 8;d ) 4x+ 4 > 2(2x+ 8);

e ) 4x+ 4 > 2(2x+ 1);f ) 4x+ 4 > 2(2x+ 2);g ) 4x+ 4 < 2(2x+ 3);h ) 4x+ 4 > 2(2x+ 2).


a ) 4x+ 4 < 2(2x+ 2);b ) x2 + 4 > 3;c ) x2 + 3 < −1;d ) −3x− 8 > 2;

e ) −3x > 0;f ) −3x 6 0;g ) −3x+ 5 > 0;h ) −3x− 8 > 0.



a ) 4x+ 4 > 3(x+ 4

3);

b ) −43x > 1;

c ) −43x > 0;

d ) −43x >

23

;

e ) −23x 6

19

;

f ) −23x 6 9;

g )x+ 5

2> −

15

;

h ) x2 + 1 >x2 + 4x− 1

2+ 3x.


a ) x+12<

(x+ 3)3

− 1;

b )(x+ 5)

3+ 3 + 2

(x− 1)3

6 x+ 4;

c ) (x+ 3)2 > (x− 2)(x+ 2);

d )32x+

14< 5

(23x−

12

);

e ) 1 − (2x− 4)2 > −x · (4x+ 1) + 2;f ) (x+ 1)2 > (x− 1)2;

g )32· (x+ 1) −

13· (1 − x) < x+ 2;

h )x+ 0, 25

2< 1, 75 + 0, 25x.


a )12

(3x−

13

)−

13(1 + x)(1 − x) + 3

(13x− 1

)2> 0;

b ) 3(x+ 1)

2−x+ 1

3−

19> −5x+

12

;

c )(x

2− 1)(

1 +x

2

)+ x−

12> x

(x− 1)4

+5x− 6

4;

d )12

(x−

12

)+

13

(x+

13

)>x−

12

3+x−

13

2.

22.16 (∗). Sommando un numero con il dop-pio del suo successivo si deve ottenere un nu-mero maggiore di 17. Quali numeri verificanoquesta condizione?

22.17 (∗). Sommando due numeri pari con-secutivi si deve ottenere un numero che nonsupera la metà del numero più grande. Qualivalori può assumere il primo numero pari?

22.18 (∗). Il noleggio di una automobile costae 55,00 al giorno, più e 0,085 per ogni chilo-metro percorso. Qual è il massimo di chilome-tri da percorrere giornalmente, per spenderenon più di e 80,00 al giorno?

22.19. In una fabbrica, per produrre una certamerce, si ha una spesa fissa settimanale di e413, ed un costo di produzione di e 2,00 per

ogni kg di merce. Sapendo che la merce vienevenduta a e 4,00 al kg, determinare la quanti-tà minima da produrre alla settimana perchél’impresa non sia in perdita.

22.20 (∗). Per telefonare in alcuni paesi este-ri, una compagnia telefonica propone duealternative di contratto:

a ) e 1,20 per il primo minuto di con-versazione, e 0,90 per ogni minutosuccessivo;

b ) e 1,00 per ogni minuto di conversazio-ne.

Quanti minuti deve durare una telefonataperché convenga la seconda alternativa?


22.21 (∗). Il prezzo di un abbonamento men-sile ferroviario è di e 125,00. Sapendo che ilprezzo di un singolo biglietto sulla stessa trat-ta è di e 9,50, trovare il numero minimo diviaggi per cui l’abbonamento mensile risultaconveniente, e rappresentare grafica-mente lasoluzione.

22.22. Al circolo tennis i soci pagano e 12 aora di gioco, i non soci pagano e 15. Sapendoche la tessera annuale costa e 150, dopo quan-te partite all’anno conviene fare la tessera disocio?

22.23 (∗). In montagna l’abbonamento perdue settimane allo skipass costa e 220 men-tre il biglietto giornaliero costa e 20. Andan-do a sciare ogni giorno, dopo quanti giorniconviene fare l’abbonamento?

22.24 (∗). Marco ha preso alle prime tre pro-ve di matematica i seguenti voti: 5; 5,5; 4,5.Quanto deve prendere alla quarta e ultimaprova per avere almeno 6 di media?

22.25. Per produrre un tipo di frullatore un’a-zienda ha dei costi fissi per e 12 000 a setti-mana e riesce a produrre 850 frullatori a set-timana, ognuno dei quali ha un costo di pro-duzione pari a e 34. L’azienda concorrenteriesce a vendere un frullatore analogo a e 79.A quanto devono essere venduti i frullatoriin modo che l’azienda abbia un utile e che ilprezzo di vendita non sia superiore a quellodel prodotto concorrente?

22.26 (∗). Per noleggiare un’auto una compa-gnia propone un’auto di tipo citycar al costodi e 0,20 per km percorso e una quota fissagiornaliera di e 15,00, un’auto di tipo eco-nomy al costo di e 0,15 per km e una quota

fissa giornaliera di e 20,00. Dovendo noleg-giare l’auto per 3 giorni quanti km occorrefare perché sia più conveniente l’auto di tipoeconomy?

22.27. Alle 9.00 di mattina sono in autostradae devo raggiungere una città che dista 740 kmentro le 17.00 poiché ho un appuntamento dilavoro. Prevedendo una sosta di mezzora permangiare un panino, a quale velocità devoviaggiare per arrivare in orario?

22.28 (∗). Quanto deve essere lungo il latodi un triangolo equilatero il cui perimetrodeve superare di 900 cm il perimetro di untriangolo equilatero che ha il lato di 10 cm?

22.29 (∗). I lati di un triangolo sono tali cheil secondo è doppio del primo e il terzo è piùlungo del secondo di 3 cm. Se il perimetrodeve essere compreso tra 10 cm e 20 cm, traquali valori può variare il lato più piccolo?

22.30 (∗). In un triangolo isoscele l’angolo allabase deve essere minore della metà dell’an-golo al vertice. Tra quali valori deve esserecompresa la misura dell’angolo alla base?

22.31 (∗). Un trapezio rettangolo l’altezzache è il triplo della base minore, mentrela base maggiore è 5 volte la base minore.Se il perimetro del trapezio non deve supe-rare i 100 m, quali valori può assumere lalunghezza dell’altezza del trapezio?

22.32 (∗). Un rettangolo ha le dimensioni unadoppia dell’altra. Si sa che il perimetro non de-ve superare 600 m e che l’area non deve essereinferiore a 200 m2. Tra quali valori possonovariare le dimensioni del rettangolo?

22.3 - Sistemi di disequazioni

22.33. Sulla retta reale rappresenta l’insieme soluzione S1 dell’equazione:

16+

14· (5x+ 3) = 2 +

23· (x+ 1)


e l’insieme soluzione S2 della disequazione:

12− 2 ·

(1 − x

4

)> 3 −

6 − 2x3

−x

2.

È vero che S1 ⊂ S2?

22.34 (∗). Determina i numeri reali che verificano il sistema:{x2 6 02 − 3x > 0

.

22.35. L’insieme soluzione del sistema:

(x+ 3)3 − (x+ 3) · (9x− 2) > x3 + 27x+ 5

3+ 3 +

2 · (x− 1)3

< x+ 1è:

A {x ∈ R/x > 3}B {x ∈ R/x > −3}C {x ∈ R/x < −3}

D I. S. = ∅E {x ∈ R/x < 3}

22.36. Attribuire il valore di verità alle seguenti proposizioni:

a ) il quadrato di un numero reale è sempre positivo;b ) l’insieme complementare di A = {x ∈ R/x > −8} è B = {x ∈ R/x < −8};c ) il monomio −6x3y2 assume valore positivo per tutte le coppie dell’insieme R+ ×R+;

d ) nell’insieme Z degli interi relativi il sistema{x+ 1 > 08x < 0

non ha soluzione;

e ) l’intervallo[−1, −

12

)rappresenta l’I. S. del sistema

{1 + 2x < 0x+ 3

26 x+ 1

.

22.37 (∗). Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.

a ){

3 − x > x

2x > 3;

b ){

3x 6 45x > −4

;

c ){

2x > 33x 6 4

;

d ){

3x− 5 < 2x+ 7 < −2x

.


a ){

3 − x > x− 3−x+ 3 > 0

;

b ){

−x− 3 6 33 + 2x > 3x+ 2

;

c ){

2x− 1 > 2x3x+ 3 6 3

;

d ){

2x+ 2 < 2x+ 32(x+ 3) > 2x+ 5

.


a )

−3x > 0−3x+ 5 > 0−3x > −2x

;b )

−

43x >

23

−23x 6

19

;


c )

3 + 2x > 3x+ 25x− 4 6 6x− 4−3x+ 2 > −x− 8

; d )

4x+ 4 > 3 ·(x+

43

)4x+ 4 > 2 · (2x+ 2)

.


a )

{3(x− 1) < 2(x+ 1)

x−12+x+ 1

2> 0

;

b )

16(x+ 1) − 2 + (x− 3)2 6 (x+ 5)2

x+ 53

+ 3 + 2 · x− 136 x+ 4

;

c )

x+12<

13(x+ 3) − 1

(x+ 3)2 > (x− 2)(x+ 2);

d )

2x+ 3

3> x− 1

x− 45

<2x+ 1

3

.


a )

2(x−

13

)+ x > 3x− 2

x

3−

12>x

4−x

6

;

b )

32x+

14< 5 ·

(23x−

12

)x2 − 2x+ 1 > 0

;

c )

3(x−

43

)+

2 − x

3+ x−

x− 13

> 0[1 −

16(2x+ 1)

]+

(x−

12

)2< (x+ 1)2 +

13(1 + 2x)

;

d )

(x−

12

)(x+

12

)>

(x−

12

)2

2(x−

12

)(x+

12

)<

(x−

12

)2+

(x+

12

)2 .

22.4 - Disequazioni polinomiali di grado superiore al primo

22.42. Mediante il metodo 1 del problema 22.21 risolvi le seguenti disequazioni.

a ) (x+ 3) ·( 1

5x+32)< 0 e

(− 6

11 + 2x)·(−x+ 9

2);

b )(x+ 3

2)·(5x+ 1

5)< 0 e

(− 1

10x+ 2)· (−3x+ 9) > 0.

22.43. Il metodo 1 del problema 22.21 si complica se il prodotto ha più di due fattori. Provainfatti ad applicarlo alla seguente disequazione: (x− 3) · (2x− 9) · (4 − 5x) > 0.

22.44 (∗). Trovare l’Insieme Soluzione delle seguenti disequazioni.

a ) (x+ 2)(3 − x) 6 0;b ) x(x− 2) > 0;

c ) (3x+ 2)(2 − 3x) < 0;d ) −3x(2 − x)(3 − x) > 0.



a ) (x+ 1)(1 − x)( 1

2x− 2)> 0;

b ) (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4) < 0;c ) x2 − 16 6 0;d ) 4x2 − 2x < 0.


a ) x4 − 81 > 0;b ) x2 + 17x+ 16 6 0;

c ) 16 − x4 6 0;d ) x2 + 2x+ 1 < 0.


a ) x2 + 6x+ 9 > 0;b ) x2 − 5x+ 6 < 0;

c ) x2 + 3x− 4 6 0;d ) x3 > x2.


a ) x2(2x2 − x) − (2x2 − x) < 0;b ) x2 − 2x+ 1 + x(x2 − 2x+ 1) < 0;

c ) x3 − 2x2 − x+ 2 > 0;d ) x4 + 4x3 + 3x2 > 0.


a ) (6x2 − 24x)(x2 − 6x+ 9) < 0;b ) (x3 − 8)(x+ 2) < (2 − x)(x3 + 8);c ) (2a+ 1)(a4 − 2a2 + 1) < 0;

d ) x3 − 6x2 + 11 > 1 − 3x;e ) x6 − x2 + x5 − 6x4 − x+ 6 < 0.

22.50 (∗). Determinare i valori che attribuiti alla variabile y rendono positivi entrambi ipolinomi seguenti: p1 = y4 − 13y2 + 36; p2 = y3 − y2 − 4y+ 4.

22.51 (∗). Determinare i valori di a che rendono p = a2 + 1 minore di 5.

22.52 (∗). Determina I. S. dei seguenti sistemi di disequazioni.

a ){x2 − 9 > 0x2 − 7x+ 10 < 0

; b ){x2 + 3x− 18 > 012x2 + 12x+ 3 > 0

; c ){

16x4 − 1 < 016x3 + 8x2 > 0

.

22.53 (∗). Determina I. S. dei seguenti sistemi di disequazioni.

a )

49a2 − 1 > 09a2 < 11 − a > 0

; b )

2x2 − 13x+ 6 < 0(2x2 − 5x− 3)(1 − 3x) > 0x2 + 7 > 1

.

22.54. Studia il segno della frazione

f =x3 + 11x2 + 35x+ 25

x2 − 25.

Traccia di svolgimento. Scomponi in fattori numeratore e denominatore, otterrai

f =(x+ 5)2(x+ 1)(x+ 5)(x− 5)

.


Poniamo le C.E. e semplifica la frazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Studia separatamente il segno di tutti i fattori che vi compaiono. Verifica che la tabella dei

segni sia:

r

−5 −1 5segno di n1:

segno di n2:

segno di D:

segno di f:

N :+ + +

− − + +

− − −

−

+

− −+ +

La frazione assegnata, con la C.E. : x 6= −5 e x 6= 5, si annulla se x = −1; è positiva nell’insie-me A+ = {x ∈ R/− 5 < x < −1 ∨ x > 5}, è negativa in A− = {x ∈ R/x < −5 ∨−1 < x < 5}.

22.55 (∗). Determinate I. S. delle seguenti disequazioni fratte.

a )x− 2

3x− 9> 0;

b )3x+ 12

(x− 4)(6 − 3x)> 0;

c )x+ 2x− 1

< 2;

d )4 − 3x6 − 5x

> −3.


a )x+ 8x− 2

> 0;

b )3x+ 4x2 + 1

> 2;

c )4

x+ 4+

2x− 3

6 0;

d )7

x+ 3−

6x+ 9

> 0.


a )3

2 − x6

1x− 4

;

b )2

4x− 16<

2 − 6xx2 − 8x+ 16

;

c )x− 3

x2 − 4x+ 4− 1 <

3x− 36 − 3x

;

d )2

x− 2>

2x− 2(x− 2)(x+ 3)

.


a )5

2x+ 6>

5x+ 4x2 + 6x+ 9

;

b )x

x+ 1−

1x3 + 1

6 0;

c )(x+ 3)(10x− 5)

x− 2< 0;

d )4 − 3xx− 2

<3x+ 1x− 2

.


a )5x− 4

3x− 12>x− 44 − x

;

b )2 − x

5x− 156

5x− 12x− 6

;

c )(3x− 12)(6 − x)

(24 − 8x)(36 − 18x)6 0;

d )(x− 2)(5 − 2x)

(5x− 15)(24 − 6x)> 0.



a )(x− 2)(x+ 4)(x+ 1)

(x− 1)(3x− 9)(10 − 2x)6 0;

b )(5 − x)(3x+ 6)(x+ 3)

(4 − 2x)(x− 6)x6 0;

c )(x− 5)(3x− 6)(x− 3)

(4 − 2x)(x+ 6)x6 0;

d )(x− 3)(x+ 2)(15 + 5x)

x2 − 5x+ 4> 0.


a )(x− 4)2 (x+ 3)x2 + 5x+ 6

> 0;

b )x

1 − x2 >1

2x+ 2−

24x− 4

;

c )3 − x

x− 2<x− 1x+ 3

+2

x2 + x− 6;

d )2

x+ 2−

1x+ 1

>3

2x+ 2.


a )3

2x− 16

2x2

2x2 − x−x+ 1x

;

b )2x2

2x2 − x> 1;

c )2x

2x− 1+x+ 2

2x+ 1>

32

;

d )x2 − 5x+ 6x2 − 7x+ 12

6 1.


a )

2x+ 1x2 − 1

< 0;

b )x

x+ 1−

4 − x

x+ 2>

2x+ 1x2 + 3x+ 2

;

c )3

2x2 − 4x− 6−x− 23x+ 3

<x− 1

2x− 6;

d )1

2 − 2x·(x(x− 2)x− 1

−3

3 − 3x

)> −1.


a ) −2

27 − 3x2 −x+ 1

2x− 6+

3 − 2x6x− 18

< −3

x2 − 9+ 4

x− 318 − 2x2 ;

b )2

x2 − 3x+ 2−

x

x− 2<x− 1x− 1

−1

3x− x2 − 2+

2 − x

4x− 4;

c )(x− 2)(x+ 4)(x2 + 5x+ 6)

(x2 − 9)(−4 − 7x2)(x2 − 6x+ 8)(x2 + 4)< 0.

22.65. Dopo aver ridotto ai minimi termini la frazione f =3x4 − 2x3 + 3x2 − 2x

6x2 − x− 7, completa;

a ) f > 0 per x < −1 oppure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b ) f = 0 per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c ) f < 0 per . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22.66. Determinate il segno delle frazioni, dopo averle ridotte ai minimi termini.

f1 =1 − a2

2 + 3a; f2 =

a3 − 5a2 − 3 + 7a9 − 6a+ a2 ; f3 =

11m−m2 + 26a(39 − 3m)(m2 + 4m+ 4)

.



a )

2 − x

3x2 + x> 0

x2 − x− 6 > 0

x2 − 4 6 0

;

b )

x2 − 4x+ 49 − x2 > 0

x2 − 3x 6 0;

c )

1

x− 2+

3x+ 2

< 0

2 − x

5x− 156

5x− 12x− 6

;

d )

4

8 − 4x−

62x− 4

< 0

x

x− 2−

6x3 − 8

> 1;

e )

(

1 +2

x− 2

)(1 −

2x− 2

)<x− 42 − x(

2 − x

x2 − 6x+ 9+

2 + x

x2 − 9

)· x

3 − 272x

> 0.


a )

(

1 −1x

)+ 3

(2x+ 1)>

132

7 + x

2x>

2 − x

1 − 2x

;

b )

x2 − 2x− 32x2 − x− 1

> 0

4x− 1 − 3x2

x2 − 46 0

;

c )

x2 − 3x+ 2 6 0

62 + x

−x+ 2x− 2

>x2

4 − x2

;

d )

x2 + 1 6 −2x

3x− 1 < 2(x−

12

) .

22.69. Motivare la verità o la falsità delle seguenti proposizioni riferite alle frazioni.

f1 =a3 − 81a81 − a2 ,

f2 =7a2 + 7

3 + 3a4 + 6a2 ,

f3 =20a− 50a2 − 2

4a− 20a2 ,

f4 =a4

2a4 + a2 ,

f5 =1 − 4a2

2 − 8a+ 8a2 ,

f6 =2a2 + a3 + a

2a2 − a3 − a.

a ) f1 per qualunque valore positivo della variabile è negativa V Fb ) f2 è definita per qualunque valore attribuito alla variabile V Fc ) f3 è positiva nell’insieme I. S. =

{a ∈ R/a < 0 ∨ a > 1

5}

V Fd ) f4 è positiva per qualunque valore reale attribuito alla variabile V F


e ) nell’intervallo [ − 12 , 1

2 [, f5 non si annulla V Ff ) f6 è negativa per qualunque valore dell’insieme K = R − {−1, 0, 1} V F

22.6.2 Risposte

22.10. a) x < 32 , b) x > 3

2 , c) x 6 43 ,

d) x > − 45 , e) R, f) ∅, g) x < 3,

h) x > −3.

22.11. a) x 6 1, b) x 6 0, c) x 6 5, d) ∅,e) R, f) R, g) R, h) ∅.

22.12. a) ∅, b) R, c) ∅, d) x 6 − 103 ,

e) x < 0, f) x > 0, g) x 6 53 , h) x 6 − 8

3 .

22.13. a) x > 0, b) x 6 − 34 , c) x 6 0,

d) x 6 − 12 , e) x > − 1

6 , f) x > − 272 ,

g) x > − 275 , h) R.

22.14. a) x < − 34 , b) R, c) x > − 13

6 ,d) x > 3

2 , e) x > 1, f) x > 0,g) {x ∈ R/x < 1} = (−∞, 1), h) x < 13

2 .

22.15. a) R, b) x > − 10111 , c) ∅, d) R.

22.16. x > 5.

22.17. x 6 −2/3.

22.18. Massimo 294 km.

22.20. Meno di 3 minuti.

22.21. 14

22.23. x > 11.

22.24. Almeno 9.

22.26. Più di 300 km.

22.28. x > 310 cm.

22.29. 75 cm < x < 17

5 cm.

22.30. 0◦ < α < 45◦.

22.31. h 6 1507 m.

22.32. Il lato minore tra 10 m e 100 m, il latomaggiore tra 20 m e 200 m.

22.34. x = 0.

22.37. a) ∅, b) − 45 6 x 6

43 , c) ∅,

d) x < − 73 .

22.38. a) x 6 3, b) −6 6 x 6 1, c) ∅,d) R.

22.39. a) x < 0, b) ∅, c) 0 6 x < 1,d) x > 0.

22.40. a) 0 < x < 5, b) R,c) − 13

6 6 x < − 34 , d) − 17

7 < x < 6.

22.41. a) x > 2, b) x > 32 , c) x > 9

10 ,d) x > 1

2 .

22.44. a) x 6 −2 ∨ x > 3, b) x < 0 ∨ x > 2,c) x < − 2

3 ∨ x > 23 , d) x > 0 ∨ 2 6 x 6 3.

22.45. a) x 6 −1 ∨ 1 6 x 6 4, b) 1 <

x < 2 ∨ 3 < x < 4, c) −4 6 x 6 4,d) 0 < x < 1

2 .

22.46. a) x 6 −3∨x > 3, b) −16 6 x 6 −1,c) x 6 −2 ∨ x > 2, d) ∅.

22.47. a) R, b) 2 < x < 3, c) −4 6 x 6 1,d) x > 1.

22.48. a) −1 < x < 0 ∨ 12 < x < 1,

b) x < −1, c) −1 6 x 6 1 ∨ x > 2,d) x < −3 ∨ x > −1 ∧ x 6= 0.


22.49. a) 0 < x < 4 ∧ x 6= 3, b) −2 < x < 2,c) a < − 1

2 ∧ a 6= −1, d) −1 < x < 2 ∨ x > 5,e) −3 < x < −1 ∨ 1 < x < 2.

22.50. −2 < y < 1 ∨ y > 3.

22.51. −2 < a < 2.

22.52. a) 3 6 x < 5, b) x 6 −6 ∨ x > 3,c) − 1

2 < x <12 .

22.53. a) − 13 < a 6 − 1

7 ∨ 17 6 a < 1

3 ,b) 1

2 < x < 3.

22.55. a) x < 2 ∨ x > 3, b) x 6 −4 ∨ 2 <x < 4, c) x < 1 ∨ x > 4, d) x < 6

5 ∨ x > 119 .

22.56. a) x 6 −8 ∨ x > 2, b) − 12 6 x 6 2,

c) x < −4 ∨ 23 6 x < 3,

d) −45 6 x < −9 ∨ x > −3.

22.57. a) 2 < x 6 72 ∨ x > 4, b) x < 8

13 ,c) x < 2 ∨ 2 < x < 5

2 , d) x < −3 ∨ x > 2.

22.58. a) x 6 75 ∧ x 6= −3, b) −1 < x 6 1,

c) x < −3 ∨ 12 < x < 2, d) x < 1

2 ∨ x > 2.

22.59. a) x 6 2 ∨ x > 4, b) x 6 13 ∨ x > 3,

c) x < 2 ∨ 3 < x 6 4 ∨ x > 6,d) x 6 2 ∨ 5

2 6 x < 3 ∨ x > 4.

22.60. a) x 6 −4 ∨−1 6 x < 1 ∨ 2 6 x < 3 ∨ x > 5,b) −3 6 x 6 −2 ∨ 0 < x < 2 ∨ 5 6 x < 6, c) x < −6 ∨ 0 < x 6 3 ∨ x > 5 con x 6= 2,d) −3 6 x 6 −2 ∨ 1 < x 6 3 ∨ x > 4.

22.61. a) x > −2, b) x < −1, c) x < −3 ∨−1 < x < 2 ∨ x > 52 ,

d) x 6 −6 ∨−2 < x < −1.

22.62. a) x < 0∨ 14 6 x <

12 , b) x < 1

2 ∧ x 6= 0, c) − 12 < x <

110 ∨ x >

12 , d) x < 4∧ x 6= 3.

22.63. a) x < −1 ∨−1 < x < 1, b) x < −2 ∨ x > 52 , c) x < −1 ∨ 0 < x < 2 ∨ x > 3,

d) R − {1}.

22.64. a) x < −3 ∨ x > 3, b) x < 0 ∨ 1 < x < 127 ∨ x > 2,

c) x < −4 ∨−2 < x < 3 ∨ x > 4 con x 6= 2.

22.67 a) {x ∈ R/x = −2}, b) {x ∈ R/0 6 x < 3 con x 6= 2}, c) ,x < −2 d) x > 2,e) 1 < x < 3 ∧ x 6= 2.

22.68 a) 0 < x < 717 ∨ 1

2 < x < 2, b) x < −2 ∨ 13 6 x < 1 ∨ x > 3,

c) 1 6 x < 2, d) ∅.

Sistemi di equazioni 2323.1 Equazione lineare in due incognite

Definizione 23.1. Una equazione di primo grado in due incognite si chiama equazionelineare.

Problema 23.1. Determinare due numeri naturali la cui somma sia 16.

Soluzione L’ambiente del problema è l’insieme N dei numeri naturali. Indicati con x e y i duenumeri richiesti dal quesito, il problema si formalizza con l’equazione x+ y = 16, equazionein due incognite, di primo grado.

Determiniamo l’Insieme Soluzione del problema proposto. L’obiettivo è trovare x ∈ N

e y ∈ N tali che x+ y = 16 oppure (x;y) ∈ N×N tali che x+ y = 16. Le coppie di numerinaturali che sono soluzioni dell’equazione sono facilmente determinabili e sono tutte quelleriportate nella tabella seguente.

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16y 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

L’Insieme Soluzione del problema posto è dunque formato dalle 17 coppie di numerinaturali sopra elencate. Riformuliamo il problema cercando coppie di numeri razionali la cuisomma sia 16. In simboli scriviamo x ∈ Q e y ∈ Q tali che x+ y = 16 oppure (x;y) ∈ Q×Q

tali che x+ y = 16.Possiamo subito dire che tutte le coppie precedenti sono soluzione del problema, ma

ce ne sono infinite altre, ad esempio la coppia (−7;+23) è soluzione del problema perchésostituendo a x il valore −7 e a y il valore +23 si ha (−7) + (+23) = 16. Dal procedimento sicapisce che anche la coppia (+23;−7) è soluzione del problema perché (+23) + (−7) = 16.

Se attribuiamo un valore arbitrario a x, l’altro elemento della coppia soluzione si puòottenere sottraendo da 16 il valore di x: y = 16 − x.

Completa tu:

á se x = −3 allora y = 16 − (−3) = . . . . . . e la coppia (. . . ; . . . ) è soluzione dell’equazione;á se x = 3

2 allora y = . . . . . . . . . . . . . . . , la coppia (. . . . . . ; . . . . . . ) è soluzione dell’equazione;á se x = . . . . . . . . allora y = . . . . . . . . , la coppia (. . . . . . ; . . . . . . ) è soluzione dell’equazione;á se x = . . . . . . . . allora y = . . . . . . . . , la coppia (. . . . . . ; . . . . . . ) è soluzione dell’equazione.

Quindi, se l’ambiente del problema è l’insieme Q, troviamo infinite coppie di numerirazionali che soddisfano il problema. E ancora, se formuliamo il problema nell’insieme deinumeri reali R, troveremo tutte le infinite coppie soluzione del problema: basta assegnareall’incognita x valori reali arbitrari e determinare di conseguenza il corrispondente valoredi y = 16 − x.

Se x =√

2⇒ y = 16 −√

2, la coppia(√

2; 16 −√

2)

è soluzione dell’equazione.Completa:

401

402 Capitolo 23. Sistemi di equazioni

á se x = −2√

3 + 1 allora y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .á se x = 16 + 3

√5

2 allora y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�

Definizione 23.2. Si chiama Insieme Soluzione (I. S.) di un’equazione di primo grado in dueincognite, l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali che sostituiti rispettivamente a x e a yrendono vera l’uguaglianza.�� b Esercizi proposti: 23.1, 23.2, 23.3

23.1.1 Rappresentazione di un’equazione lineare sul piano cartesiano

Esempio 23.2. Determinare l’insieme soluzione dell’equazione 3y− x+ 1 = 0 con x ∈ R

e y ∈ R.

Osserviamo che l’equazione assegnata ha due incognite ed è di primo grado; l’insiemesoluzione sarà formato dalle infinite coppie ordinate (x;y) di numeri tali che 3y− x+ 1 = 0.

Possiamo verificare che la coppia (1; 0) è soluzione dell’equazione, ma come facciamo adeterminare tutte le coppie che soddisfano quella equazione?

Fissiamo l’attenzione sull’incognita y, pensiamo l’equazione come un’equazione nellasola y, ricaviamo y come abbiamo fatto nelle equazioni di primo grado ad una sola incognita,applicando i principi di equivalenza delle equazioni:

3y− x+ 1 = 0⇒ 3y = x− 1⇒ 3y3

=x− 1

3⇒ y =

13x−

13

.

Al variare di x in R, si ottengono tutte le infinite soluzioni dell’equazione assegnata. Prova adeterminarne alcune:

x y coppia

0 . . . . . . (0;. . . . . . )1 . . . . . . (1;. . . . . . )−1 . . . . . . (−1;. . . . . . )

In verità non possiamo trovare tutte le infinite coppie che risolvono quella equazione, mapossiamo darne una rappresentazione grafica.

La formulay =

13x−

13

rappresenta una funzione lineare; riportiamo le coppie trovatein un riferimento cartesiano ortogonale e tracciamo la retta cherappresenta la funzione.

Una qualunque equazione lineare ax+ by+ c = 0 ammetteinfinite soluzioni, costituite da coppie ordinate di numeri reali;esse sono le coordinate cartesiane dei punti della retta graficodella funzione y = −abx−

cb . La formula y = −abx−

cb si chiama

equazione esplicita della retta.

Sezione 23.2. Definizione di sistema di equazioni 403

Esempio 23.3. Risolvi graficamente l’equazione y+ 23x− 2 = 0, con x ∈ R e y ∈ R.

P(0, 2)

A(3, 0)

L’equazione assegnata è in due incognite, di primogrado, è cioè una equazione lineare. Nel riferimentocartesiano ortogonale essa rappresenta una retta.

Troviamo l’equazione esplicita della retta:

y+23x− 2 = 0⇒ y = −

23x+ 2.

Individuiamo l’ordinata del punto di intersezionedella retta con l’asse y: q = 2, quindi P(0; 2) è un puntodella retta.

Troviamo un altro punto appartenente alla retta:se x = 3 allora y = 0, quindi A(3; 0) è un punto dellaretta.

Disegniamo la retta nel piano cartesiano: le cop-pie (x;y), coordinate dei punti della retta tracciata,sono le infinite soluzioni dell’equazione assegnata.�� b Esercizi proposti: 23.4, 23.5, 23.6

23.2 Definizione di sistema di equazioni

Problema 23.4. Nel rettangoloABCD, la somma del doppio diAB con la metà di BC è di 98 m;aumentando AB di 3 m e BC di 2 m il perimetro del rettangolo diventa di 180 m. Determinarel’area in m2 del rettangolo.

Dati:

2AB+12BC = 98 m,

2(AB+ 3m+BC+ 2m) = 180 m.

Obiettivo: AreaA

B

D

C

Soluzione Per determinare l’area del rettangolo dobbiamo moltiplicare le misure delle suedimensioni Area = AB ·BC che però non conosciamo; il problema ha quindi due incognite.

Analizzando i dati possiamo osservare che ci sono fornite due informazioni che legano legrandezze incognite. Se poniamo AB = x e BC = y otteniamo le due equazioni:

2x+12y = 98; 2(x+ 3 + y+ 2) = 180

che dovranno risultare soddisfatte per una stessa coppia di numeri reali.

�

Definizione 23.3. Si definisce sistema di equazioni l’insieme di più equazioni, in due o piùincognite, che devono essere verificate contemporaneamente. La scrittura formale si ottieneraggruppando le equazioni mediante una parentesi graffa.


Analizzeremo in particolare i sistemi in due equazioni e due incognite.

Definizione 23.4. L’Insieme Soluzione (I. S.) di un sistema di equazioni in due inco-gnite è formato da tutte le coppie di numeri reali che rendono vere tutte le equazionicontemporaneamente.

Definizione 23.5. Si chiama grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni che locompongono. In particolare, se le equazioni che lo compongono sono di primo grado, ilsistema si chiama sistema lineare.

La forma normale o canonica di un sistema lineare è:{ax+ by = c

a1x+ b1y = c1, con a,b, c,a1,b1, c1 numeri reali.

Il problema 23.4 si formalizza dunque con il sistema:2x+

12y = 98

2(x+ 3 + y+ 2) = 180,

composto da due equazioni in due incognite di primo grado e pertanto il suo grado è 1 edè un sistema lineare. La sua forma canonica si ottiene sviluppando i calcoli nella secondaequazione, si ottiene

2x+12y = 98

2x+ 2y = 170.

23.2.1 Procedimento per ottenere la forma canonica di un sistema

La forma canonica di un sistema lineare di due equazioni in due incognite è, come abbiamovisto, {

ax+ by = c

a1x+ b1y = c1

con a,b, c,a1,b1, c1 numeri reali.

Esempio 23.5. Scrivere in forma canonica il sistema:4x2 − (y+ 2x)2 = x+ 1 − y(4x+ y− 1)

x− 22

+y+ 3

3= 0

.

Eseguiamo i calcoli nella prima equazione e riduciamo allo stesso denominatore la secondaequazione: {

4x2 − y2 − 4x2 − 4xy = x+ 1 − 4xy− y2 + y

3x− 6 + 2y+ 6 = 0.


Per mezzo del primo principio di equivalenza delle equazioni portiamo le incognite alprimo membro e sommiamo i termini simili:{

x+ y = −13x+ 2y = 0

che è la forma canonica cercata.

23.2.2 Metodo di sostituzione

Risolvere il sistema significa determinare tutte le coppie di numeri reali che soddisfanocontemporaneamente le due equazioni.

Analizziamo i diversi metodi che permettono di ottenere l’Insieme Soluzione, cominciamodal metodo di sostituzione.

Esempio 23.6.{

−3x+ y = 25x− 2y = 7

.

Il sistema si presenta già in forma canonica. Il metodo di sostituzione si svolge nei seguentipassi:

Passo I scegliamo una delle due equazioni e una delle due incognite da cui partire. Ap-plicando i principi d’equivalenza delle equazioni, ricaviamo questa incognita. Nel nostroesempio, partiamo dalla prima equazione e ricaviamo l’incognita y.{

−3x+ y = 25x− 2y = 7

⇒{y = 2 + 3x5x− 2y = 7

.

Passo II sostituiamo nella seconda equazione, al posto dell’incognita trovata, l’espressione acui è uguale. Nel nostro esempio abbiamo{

y = 2 + 3x5x− 2y = 7

⇒{y = 2 + 3x5x− 2(2 + 3x) = 7

.

Passo III svolgiamo i calcoli nella seconda equazione. Nel nostro esempio abbiamo{y = 2 + 3x5x− 4 − 6x = 7

.

Passo IV risolviamo la seconda equazione, che ora è un’equazione di primo grado in unasola variabile. Nel nostro esempio, ricaviamo x dalla seconda equazione{

y = 2 + 3x5x− 4 − 6x = 7

⇒{y = 2 + 3x−x = 7 + 4

⇒{y = 2 + 3xx = −11

.

Passo V sostituiamo nella prima equazione il valore numerico dell’incognita trovata eavremo un’equazione di primo grado nell’altra incognita. Risolviamo quest’ultima equazione.Nel nostro esempio {

y = 2 + 3xx = −11

⇒{y = −31x = −11

.


Passo VI possiamo ora scrivere l’insieme soluzione. Nel nostro esempio I. S. = {(−11;−31)}.In conclusione, il sistema è determinato, la coppia ordinata (−11;−31) verifica contempora-

neamente le due equazioni del sistema.

Esempio 23.7.

12(x− 1) + 3

(y+

13

)=

16

y

(1 +

25

)− 2 =

45−x− 1

5

.

a ) Il sistema non si presenta nella forma canonica. Svolgiamo i calcoli e portiamo il sistemain forma canonica:

3x+ 18y = −2

x+ 7y = 15;

b ) ricaviamo x dalla seconda equazione:3x+ 18y = −2

x = 15 − 7y;

c ) abbiamo fatto questa scelta perché possiamo ottenere il valore di x con facilità e senzafrazioni. Sostituiamo nella prima equazione al posto di x l’espressione trovata:

3 · (15 − 7y) + 18y = −2

x = 15 − 7y;

d ) risolviamo la prima equazione che è di primo grado nella sola incognita y:

{−3y = −47x = 15 − 7y

⇒

y =

473

x = 15 − 7y;

e ) sostituiamo il valore di y nella seconda equazione:y =

473

x = 15 − 7(

473

) ⇒

x = −

2843

y =473

.

Possiamo scrivere l’insieme delle soluzioni:

I. S. ={(

−2843

;473

)}.

In conclusione, il sistema è determinato; la coppia ordinata(− 284

3 ; 473)

verifica le dueequazioni del sistema.


Esempio 23.8.

1y= 2

(x

y−

12

)5x+ 4y+ 19

x= −2

.

Il sistema è fratto poiché in ciascuna equazione compare l’incognita al denominatore; perpoter applicare il secondo principio di equivalenza delle equazioni eliminando i denominatori,dobbiamo porre le C.E. e individuare il Dominio del sistema assegnato, cioè l’insieme in cuisi troverà C.E. : y 6= 0 e x 6= 0 per cui D = R0 ×R0.

Portiamo a forma canonica applicando i principi di equivalenza delle equazioni:

1y= 2

(x

y−

12

)5x+ 4y+ 19

x= −2

⇒

1y=

2xy

− 1

5x+ 4y+ 19 = −2x

⇒{

2x− y = 17x+ 4y = −19

.

Applichiamo il metodo di sostituzione:

{2x− y = 17x+ 4y = −19

⇒{y = 2x− 17x+ 4y = −19

⇒{y = 2x− 17x+ 4(2x− 1) = −19

⇒{y = 2x− 115x = −15

⇒{y = 2(−1) − 1x = −1

⇒{y = −3x = −1

.

La soluzione è compatibile con le condizioni di esistenza.

�� b Esercizi proposti: 23.7, 23.8, 23.9, 23.10, 23.11, 23.12, 23.13, 23.14, 23.15

23.2.3 Metodo del confronto

Esempio 23.9.{

−3x+ y = 25x− 2y = 7

.

Passo I ricaviamo da entrambe le equazioni la stessa incognita. Nel nostro esempio ricavia-mo la y contemporaneamente da entrambe le equazioni:{

y = 2 + 3x

y =5x− 7

2.

Passo II poiché il primo membro delle equazioni è lo stesso, possiamo uguagliare anche isecondi membri, ottenendo un’equazione in una incognita. Nell’esempio 2 + 3x = 5x−7

2 .

Passo III risolviamo l’equazione trovata e determiniamo il valore di una delle due incognite.Nel nostro esempio 4 + 6x = 5x− 7⇒ x = −11.


Passo IV si sostituisce il valore trovato dell’incognita in una delle due equazioni e ricaviamol’altra incognita. Nel nostro esempio:{

x = −11y = 2 + 3x

⇒{x = −11y = −31

.

Passo V possiamo ora scrivere l’insieme soluzione. Nel nostro esempio: I. S. = {(−11;−31)}.In conclusione, il sistema è determinato, la coppia ordinata (−11;−31) verifica contempo-

raneamente le due equazioni del sistema.�� b Esercizi proposti: 23.16, 23.17, 23.18, 23.19

23.2.4 Metodo di riduzione

Il metodo di riduzione si basa sulla seguente osservazione: se un sistema è formato dalleequazioni A = B e C = D possiamo dedurre da queste la nuova equazione A+C = B+D.{

A = B

insC = D⇒ A+C = B+D.

L’equazione ottenuta potrebbe presentarsi in una sola incognita e quindi potrebbe essere faciletrovare il valore di quella incognita.

Esempio 23.10.{

3x− 5y = 12x+ 5y = −4

Sommando membro a membro le due equazioni otteniamo (3x− 5y) + (2x+ 5y) = 1− 4. Itermini in y si eliminano perché opposti, sommando i monomi simili si ha 5x = −3⇒ x = − 3

5 .

Questo metodo, applicato semplicemente sommando membro a membro le equazioni,funziona solo se i coefficienti di una delle due incognite sono opposti. Solo in questo casosommando le equazioni una delle due incognite ’sparisce’. Tuttavia con qualche accorgimentoè possibile applicarlo in ogni caso.

Sfruttiamo il secondo principio di equivalenza delle equazioni che ci permette di moltipli-care ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero. In questo modopossiamo sempre trasformare le due equazioni affinché l’incognita x appaia con coefficientiopposti nella prima e nella seconda equazione.

Esempio 23.11.{

3x− 5y = 15x− 4y = −4

.

Nel nostro esempio possiamo moltiplicare la prima equazione per 5 e la seconda per −3,otteniamo:

+5−3

{3x− 5y = 15x− 4y = −4

⇒{

15x− 25y = 5−15x+ 12y = 12

;

sommando membro a membro abbiamo

(15x− 25y) + (−15x+ 12y) = 5 + 12⇒ −13y = 17⇒ y = −1713

.


Dopo aver determinato il valore di una incognita possiamo sostituirlo in una qualsiasiequazione del sistema e determinare il valore dell’altra incognita o ripetere il procedimentoper l’altra incognita moltiplicando come segue:

+4−5

{3x− 5y = 15x− 4y = −4

⇒{

12x− 20y = 4−25x+ 20y = 20

.

Sommando le due equazioni otteniamo −13x = 24⇒ x = − 2413 .

Abbiamo così determinato la coppia soluzione del sistema(− 24

13 ;− 1713).

Generalizzazione del metodo di riduzione

Assegnato il sistema lineare{ax+ by = c

a1x+ b1y = c1con a,b, c,a1,b1, c1 numeri reali.

Passo I per eliminare ymoltiplichiamo la prima per b1 e la seconda per −b:{ab1x+ bb1y = cb1−a1bx− bb1y = −bc1

.

Passo II sommiamo le due equazioni:

ab1x− a1bx = cb1 − bc1 ⇒ (ab1 − a1b)x = cb1 − bc1.

Passo III ricaviamo l’incognita x:

x =cb1 − bc1

ab1 − a1b, con ab1 − a1b 6= 0.

Passo IV per eliminare xmoltiplichiamo la prima per −a1 e la seconda per a:{−aa1x+ ba1y = −a1c

aa1x+ ab1y = ac1

Passo V sommiamo le due equazioni

−a1by+ ab1y = −a1c+ ac1 ⇒ (ab1 − a1b)y = ac1 − a1c.

Passo VI ricaviamo l’incognita y:

y =ac1 − a1c

ab1 − a1b, con ab1 − a1b 6= 0.

La soluzione è (cb1 − bc1

ab1 − a1b;ac1 − a1c

ab1 − a1b

), con ab1 − a1b 6= 0.�� b Esercizi proposti: 23.20, 23.21, 23.22, 23.23


23.2.5 Metodo di Cramer

Definizione 23.6. Si chiama matrice del sistema lineare di due equazioni in due incognite latabella [

a b

a1 b1

]in cui sono sistemati i coefficienti delle incognite del sistema posto in forma canonica;si chiama determinante della matrice il numero reale

D =

∣∣∣∣ a b

a1 b1

∣∣∣∣ = a · b1 − b · a1

ad essa associato.

Dalla generalizzazione del metodo di riduzione(cb1 − bc1

ab1 − a1b;ac1 − a1c

ab1 − a1b

), con ab1 − a1b 6= 0

possiamo dedurre che:Un sistema lineare è determinato, ammette cioè una sola coppia soluzione se il determinante

della matrice del sistema è diverso da zero.�� b Esercizi proposti: 23.24, 23.25

La regola di Cramer 1 ci permette di stabilire la coppia soluzione di un sistema lineare didue equazioni in due incognite, costruendo e calcolando tre determinanti:

a ) D il determinante della matrice del sistema:

D =

∣∣∣∣ a b

a1 b1

∣∣∣∣ = a · b1 − b · a1;

b ) Dx il determinante della matrice ottenuta sostituendo in D agli elementi della primacolonna i termini noti.

Dx =

∣∣∣∣ c b

c1 b1

∣∣∣∣ = c · b1 − b · c1

c ) Dy il determinante della matrice ottenuta sostituendo in D agli elementi della secondacolonna i termini noti.

Dy =

∣∣∣∣ a c

a1 c1

∣∣∣∣ = a · c1 − c · a1

Se D 6= 0 il sistema è determinato e la coppia soluzione è

x =Dx

D; y =

Dy

D.

1Dal nome del matematico svizzero Gabriel Cramer (1704-1752).


Esempio 23.12.{

2x+ 3y = 44x− 3y = 2

.

Calcoliamo i determinanti.

D =

∣∣∣∣ a b

a1 b1

∣∣∣∣ = a · b1 − b · a1 ⇒ D =

∣∣∣∣ 2 34 −3

∣∣∣∣ = 2 · (−3) − 3 · 4 = −6 − 12 = −18.

Poiché D 6= 0 il sistema è determinato.

Dx =

∣∣∣∣ c b

c1 b1

∣∣∣∣ = c · b1 − b · c1 ⇒ Dx =

∣∣∣∣ 4 32 −3

∣∣∣∣ = 4 · (−3) − 3 · 2 = −12 − 6 = −18,

Dy =

∣∣∣∣ a c

a1 c1

∣∣∣∣ = a · c1 − c · a1 ⇒ Dy =

∣∣∣∣ 2 44 2

∣∣∣∣ = 2 · 2 − 4 · 4 = 4 − 16 = −12.

x =Dx

D=

−18−18

= 1; y =Dy

D=

−12−18

=23

.


23.2.6 Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni

Dato un sistema in forma canonica{ax+ by = c

a1x+ b1y = c1ricordando che:

D =

∣∣∣∣ a b

a1 b1

∣∣∣∣ = a · b1 − b · a1;

Dx =

∣∣∣∣ c b

c1 b1

∣∣∣∣ = c · b1 − b · c1;

Dy =

∣∣∣∣ a c

a1 c1

∣∣∣∣ = a · c1 − c · a1 :

á se D 6=0 il sistema è determinato, esiste una sola coppia soluzione x = DxD ;y =

DyD ;

á se D = 0 si possono verificare due casi:

à 1◦ caso: se Dx = 0 e Dy = 0 il sistema è indeterminato, ogni coppia di numeri realiche verifica un’equazione, verifica anche l’altra;

à 2◦ caso: se Dx 6= 0 e Dy 6= 0 il sistema è impossibile, non esiste alcuna coppia chesoddisfa entrambi le equazioni e I. S. = ∅.

Esempio 23.13.{

2x− 3y = 14x− 3y = 2

.

D =

∣∣∣∣ 2 −34 −3

∣∣∣∣ = 2 · (−3) + 3 · (4) = −6 + 12 = 6 6= 0;

il sistema è determinato.


Esempio 23.14.{

8x− 6y = 24x− 3y = 1

.

D =

∣∣∣∣ 8 −64 −3

∣∣∣∣ = 8 · (−3) + 6 · (4) = −24 + 24 = 0;

il sistema è indeterminato o impossibile.

Dx =

∣∣∣∣ 2 −61 −3

∣∣∣∣ = 2 · (−3) − (−6) · 1 = −6 + 6 = 0;

Dy =

∣∣∣∣ 8 24 1

∣∣∣∣ = 8 · 1 − 2 · 4 = 8 − 8 = 0.

Il sistema è indeterminato.

Esempio 23.15.{

8x− 6y = 14x− 3y = 2

D =

∣∣∣∣ 8 −64 −3

∣∣∣∣ = 8 · (−3) − 4 · (−6) = −24 + 24 = 0;

il sistema è indeterminato o impossibile.

Dx =

∣∣∣∣ 1 −62 −3

∣∣∣∣ = 1 · (−3) − (−6) · 2 = −3 + 12 = +9;

Dy =

∣∣∣∣ 8 14 2

∣∣∣∣ = 8 · 2 − 1 · 4 = 16 − 4 = 12.

Il sistema è impossibile.

Osserviamo che se D = 0 si ha

a · b1 − b · a1 = 0⇒ a · b1 = b · a1 ⇒a

a1=b

b1.

Ciò significa che, se i coefficienti delle incognite della prima equazione sono proporzionaliai coefficienti delle incognite della seconda equazione allora il sistema è indeterminato oimpossibile.

In particolare, se poi Dx = 0 si ha

c · b1 − b · c1 = 0⇒ c · b1 = b · c1 ⇒c

c1=b

b1.

Quindi se anche i termini noti delle due equazioni sono nella stessa proporzione, cioè se

a

a1=b

b1=c

c1

il sistema è indeterminato.Se invece Dx 6=0, cioè

c

c16= b

b1

il sistema è impossibile.�� b Esercizi proposti: 23.31, 23.32, 23.33, 23.34, 23.35, 23.36, 23.37, 23.38


23.2.7 Il metodo grafico

Il problema della ricerca dell’Insieme Soluzione di un’equazione lineare ci ha condotto adun proficuo collegamento tra concetti algebrici e concetti geometrici; in particolare abbiamovisto che:

Concetto algebrico Concetto geometrico

Coppia ordinata di numeri reali Punto del piano dotato di riferimentocartesiano

Equazione lineare RettaCoppia soluzione dell’equazione Punto della retta di equazioneax+ by+ c = 0 y = −abx−

cb

Vedremo ora come sia possibile sfruttare questi collegamenti per risolvere un sistema linearedi due equazioni in due incognite.

Problema 23.16. Determina due numeri reali di cui si sa che la loro somma è 6 e il doppio delprimo aumentato della metà del secondo è ancora 6.

Soluzione Indichiamo con x e y i due numeri incogniti; il problema si formalizza con dueequazioni: x+ y = 6 e 2x+ 1

2y = 6.Dobbiamo individuare una coppia di numeri reali che sia soluzione dell’una e dell’altra

equazione.

Il punto di vista algebrico La coppia di numeri reali x e y che risolve il problema è quellache risolve il sistema

x+ y = 6

2x+12y = 6

.

Applicando uno qualunque dei metodi algebrici esposti si ottiene x = 2 e y = 4.

Il punto di vista geometrico Il problema si può spostare in ambiente geometrico: la cop-pia soluzione rappresenta un punto che appartiene sia alla retta rappresentata dalla primaequazione sia alla retta rappresentata dalla seconda equazione, quindi rappresenta il punto diintersezione delle due rette.

Si rappresenta nel riferimento cartesiano ortogonale il sistema. La retta a è quella diequazione x+ y = 6, che passa per i punti (6, 0) e (0, 6).

La retta b è quella di equazione 2x+ 12y = 6, che passa per i punti (3, 0) e (0, 12).

Il punto A(2, 4) è il punto di intersezione delle due rette, le sue coordinate formano lacoppia soluzione del sistema e di conseguenza sono i due numeri che stiamo cercando nelproblema.


x

y

−2 −1 1 2 3 4 5 6 7−1

1

2

3

4

5

6

0

ab

A(2, 4)

�

Esempio 23.17.{

2x− 3y = 7x+ y+ 6 = 5(x− y)

.

Il punto di vista algebrico Portiamo in forma canonica il sistema, otteniamo:{2x− 3y = 7x+ y+ 6 = 5(x− y)

⇒{

2x− 3y = 7x+ y+ 6 = 5x− 5y

⇒{

2x− 3y = 7−4x+ 6y = −6

.

Si può notare che il sistema ha i coefficienti delle incognite in proporzione:

a

a1=

2−4

= −12

;b

b1=

−3+6

= −12

,

mentre i termini noti non sono nella stessa proporzione cc1

= 7−1 quindi il sistema è impossibi-

le: I. S. = ∅.

Il punto di vista geometrico Determiniamo le equazioni esplicite delle rette rappresentatedalle due equazioni lineari del sistema assegnato. Si ha:

y =23x−

73

y =23x− 1

.

Le due rette (figura 23.1) hanno lo stesso coefficiente angolare, il coefficiente della x equindi hanno la stessa inclinazione, pertanto sono parallele. Non hanno quindi nessun puntodi intersezione r1 ∩ r2 = ∅, il sistema è impossibile: I. S. = ∅.

Esempio 23.18.

2x+ 3y+ 1 = 0

y+13= −

23x

.

Sezione 23.3. Sistemi fratti 415

Il punto di vista algebrico Scriviamo in forma canonica il sistema{

2x+ 3y = −12x+ 3y = −1

.

Osserviamo che sono due equazioni identiche, pertanto il rapporto tra i coefficienti delleincognite e il rapporto tra i termini noti è sempre 1. Il sistema è indeterminato. D’altra parte,se le due equazioni sono identiche significa che tutte le infinite coppie (x,y) che rendono verala prima equazione, verificano anche la seconda.

Il punto di vista geometrico Rappresentiamo nel riferimento cartesiano ortogonale (fi-gura 23.2) le due rette aventi come equazioni le equazioni del sistema. È semplice ren-dersi conto che le due rette coincidono; tutti i punti di una coincidono con tutti i puntidell’altra: r1 ∩ r2 = r1 = r2.

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

3

0

a

b

FIGURA 23.1: Esempio 23.17

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4

−3

−2

−1

1

2

0

a = b

FIGURA 23.2: Esempio 23.18


23.3 Sistemi fratti

Nel seguente sistema

{2x+1 − 3

y−2 = 2x−5y+4xy+y−2−2x

3y+ 2(x− y− 1) = 5x− 8(−x− 2y+ 1)di due equazioni in due

incognite, la prima equazione presenta le incognite anche al denominatore.

Definizione 23.7. Si chiama sistema fratto o frazionario il sistema in cui almeno in una delleequazioni che lo compongono compare l’incognita al denominatore.

Poiché risolvere un sistema significa determinare tutte le coppie ordinate che verificanoentrambe le equazioni, nel sistema fratto dovremo innanzi tutto definire il Dominio o Insiemedi Definizione nel quale individuare le coppie soluzioni.

Definizione 23.8. Si chiama Dominio (D) o Insieme di Definizione (ID) del sistema fratto,l’insieme delle coppie ordinate che rendono diverso da zero i denominatori che compaiononelle equazioni.


Esempio 23.19.

2

x+ 1−

3y− 2

=2x− 5y+ 4

xy+ y− 2 − 2x

3y+ 2(x− y− 1) = 5x− 8(−x− 2y+ 1)

.

Passo I Scomponiamo i denominatori nella prima equazione per determinare il mcm.2

x+ 1−

3y− 2

=2x− 5y+ 4

(x+ 1)(y− 2)

3y+ 2(x− y− 1) = 5x− 8(−x− 2y+ 1)

⇒ mcm = (x+ 1)(y− 2).

Passo II Poniamo le Condizioni di Esistenza da cui determineremo il Dominio del sistema:

C.E. :{x 6= −1y 6= 2

⇒ D = I. S. = {(x;y) ∈ R×R |x 6= −1 e y 6= 2} .

Passo III Riduciamo allo stesso denominatore la prima equazione, svolgiamo i calcoli nella

seconda per ottenere la forma canonica:{

−5x+ 7y = 1111x+ 15y = 6

.

Passo IV Risolviamo il sistema e otteniamo la coppia soluzione(− 123

152 ; 151152)

che è accettabile.

Esempio 23.20.

3x+ y− 1

x= 3

2x+ 3yy− 1

= 7.

Passo I Per la prima equazione si ha mcm = x; per la seconda mcm = y− 1.

Passo II Poniamo le Condizioni di Esistenza da cui determineremo il Dominio:

C.E. :{x 6= 0y 6= 1

→ D = I. S. = {(x;y) ∈ R×R|x 6= 0 e y 6= 1} .

Passo III Riduciamo allo stesso denominatore sia la prima che la seconda equazione:{3x+ y− 1 = 3x2x+ 3y = 7y− 7

.

Passo IV Determiniamo la forma canonica:{y− 1 = 02x− 4y = −7

.

Passo V Determiniamo con un qualunque metodo la coppia soluzione:(− 3

2 ; 1)

che nonaccettabile poiché contraddice la C.E. e quindi non appartiene al dominio. Il sistema assegnatoè quindi impossibile I. S. = ∅.�� b Esercizi proposti: 23.44, 23.45, 23.46, 23.47, 23.48, 23.49

Sezione 23.4. Sistemi letterali 417

23.4 Sistemi letterali

Definizione 23.9. Si chiama sistema letterale il sistema in cui oltre alle incognite, solitamenteindicate con x e y, compaiono altre lettere dette parametri.

Distinguiamo tre casi distinti di discussione.

Le equazioni sono lineari e il parametro si trova solo al numeratore

Esempio 23.21.{

2ax− (a− 1)y = 0−2x+ 3y = a

.

È un sistema letterale in quanto, reso in forma canonica, presenta un parametro nei suoicoefficienti. Esso è lineare, pertanto la coppia soluzione, se esiste, dipenderà dal valore delparametro.

Per discussione del sistema letterale s’intende l’analisi e la ricerca dei valori che attribuiti alparametro rendono il sistema determinato (in tal caso si determina la soluzione) ma anchescartare i valori del parametro per cui il sistema è impossibile o indeterminato. Per discutereil sistema usiamo il metodo di Cramer.

Passo I Calcoliamo il determinante del sistema:

D =

∣∣∣∣ 2a −(a− 1)−2 3

∣∣∣∣ = 4a+ 2.

Passo II Determiniamo il valore del parametro che rende D diverso da zero: 4a+ 2 6= 0⇒a 6= 0 − 1

2 . Se a 6= − 12 il sistema è determinato.

Passo III Calcoliamo i determinanti Dx e Dy per trovare la coppia soluzione.

Dx =

∣∣∣∣ 0 −(a− 1)a 3

∣∣∣∣ = a · (a− 1); Dy =

∣∣∣∣ 2a 0−2 a

∣∣∣∣ = 2a2.

Quindi x = a·(a−1)4a+2 e y = 2a2

4a+2 .

Passo IV Il determinante è nullo se a = − 12 ; poiché per questo valore di a i determinantiDx

e Dy sono diversi da zero si ha che per a = − 12 il sistema è impossibile.

Riassumendo si ha:

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Sistema

a 6= − 12

(a·(a−1)

4a+2 ; 2a2

4a+2

)determinato

a = − 12 ∅ impossibile


Il parametro compare al denominatore in almeno una equazione del sistema

Esempio 23.22.

y+ a

3−a− x

a− 1= a

x+ 2aa

− 3 =y

2− a

.

Il sistema non è fratto pur presentando termini frazionari nelle sue equazioni; la presenzadel parametro al denominatore ci obbliga ad escludere dall’insieme R quei valori che an-nullano il denominatore. Se a = 1 oppure a = 0 ciascuna equazione del sistema è priva disignificato, pertanto lo è anche il sistema. Con le condizioni di esistenza C.E. : a 6= 1 e a 6= 0possiamo ridurre allo stesso denominatore ciascuna equazione e condurre il sistema alla forma

canonica:{

3x+ (a− 1)y = 2a2 + a

2x− ay = 2a− 2a2

Passo I Calcoliamo il determinante del sistema: D =

∣∣∣∣ 3 a− 12 −a

∣∣∣∣ = 2 − 5a.

Passo II Determiniamo il valore del parametro che rende D diverso da zero: 2 − 5a 6= 0⇒a 6= 2

5 Se a 6= 25 il sistema è determinato.

Passo III Calcoliamo i determinanti Dx e Dy per trovare la coppia soluzione

Dx =

∣∣∣∣ 2a2 + a a− 12a− 2a2 −a

∣∣∣∣ = a · (2a− 5); Dy =

∣∣∣∣ 3 2a2 + a

2 2a− 2a2

∣∣∣∣ = 2a · (2 − 5a).

Quindi x = a·(2−5a)2−5a e y =

2a·(2−5a)2−5a e semplificando (a; 2a).

Passo IV Il determinante è nullo se a = 25 ; poiché anche i determinantiDx eDy si annullano

si ha per a = 25 sistema indeterminato.

Riassumendo si ha:

Condizioni sul parametro Insieme Soluzione Sistema

a = 0 ∨ a = 1 ∅ privo di significatoa 6= 2

5 e a 6= 1 e a 6= 0 {(a; 2a)} determinatoa = 2

5 {∀(x;y) ∈ R2/3x− 35y = 18

25 } indeterminato

Il sistema è frazionario

Esempio 23.23.{ y−a

x = 2a

x+ y = 1.

Il sistema letterale è fratto e nel denominatore oltre al parametro compare l’incognita x.Se a = 0 la prima equazione, e di conseguenza tutto il sistema, è privo di significato. Per

Sezione 23.5. Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite 419

poter procedere alla ricerca dell’Insieme Soluzione poniamo sul parametro la condizione diesistenza:

C.E. : a 6= 0. (23.1)

Essendo fratto dobbiamo anche stabilire il Dominio del sistema:

D = {(x;y) ∈ R×R|x 6= 0}. (23.2)

Passo I Portiamo nella forma canonica:{

−2x+ ay = a2

x+ y = 1con a 6= 0 e x 6= 0.

Passo II Calcoliamo il determinante del sistema: D =

∣∣∣∣ −2 a

1 1

∣∣∣∣ = −2 − a = −(2 + a).

Passo III Determiniamo il valore del parametro che rendeD diverso da zero: −2 − a 6= 0⇒a 6= −2. Se a 6= −2 il sistema è determinato.

Passo IV calcoliamo i determinanti Dx e Dy per trovare la coppia soluzione

Dx =

∣∣∣∣ a2 a

1 1

∣∣∣∣ = a · (a− 1); Dy =

∣∣∣∣ −2 a2

1 1

∣∣∣∣ = −2 − a2 = −(2 + a2).

Quindi x = −a·(a−1)

2+a e y = a2+22+a è la coppia soluzione accettabile se x = −

a·(a−1)2+a 6= 0 per

quanto stabilito in 23.2; essendo a 6= 0 per la 23.1 la coppia soluzione è accettabile se a 6= 1.

Passo V il determinante D è nullo se a = −2; essendo i determinanti Dx e Dy diversi dazero si ha: se a = −2 il sistema è impossibile. Riassumendo si ha:

Parametro Incognite Insieme Soluzione Sistema

x 6= 0a = 0 privo di significato

a 6= 2,a 6= 0(−a·(a−1)

2+a ; a2+2

2+a

)determinato

a 6= −2 e a 6= 0e a 6= 1

accettabile

a = −2 impossibile

�� b Esercizi proposti: 23.50, 23.51, 23.52, 23.53, 23.54, 23.55, 23.56

23.5 Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

Problema 23.24. Determinare tre numeri reali x,y, z (nell’ordine) tali che il doppio del primouguagli l’opposto del secondo, la differenza tra il primo e il triplo del terzo sia nulla e lasomma del secondo con il terzo superi il primo di 4 unità.

Soluzione Formalizziamo le condizioni espresse nel testo attraverso equazioni lineari:


a ) il doppio del primo uguagli l’opposto del secondo: 2x = −y;b ) la differenza tra il primo e il triplo del secondo sia nulla: x− 3z = 0;c ) la somma del secondo con il terzo superi il primo di 4 unità: y+ z = x+ 4.

Le tre condizioni devono essere vere contemporaneamente, quindi i tre numeri sono la ternasoluzione del sistema di primo grado di tre equazioni in tre incognite:

2x = −y

x− 3z = 0y+ z = x+ 4

.

Si può ricavare la y dalla prima equazione e sostituire nelle altre due:y = −2xx− 3z = 0−2x+ z = x+ 4

⇒

y = −2xx− 3z = 0−3x+ z = 4

.

Dalla seconda equazione ricaviamo x in funzione di z e sostituiamo il valore di x nell’ultimaequazione

y = −2xx = 3z−3x+ z = 4

⇒

y = −2xx = 3z−3(3z) + z = 4

.

Risolviamo l’ultima equazione che è di primo grado in una sola incognita e sostituiamo ilvalore ottenuto di z nella seconda equazione:

y = −2xx = 3zz = − 4

8 = − 12

⇒

y = −2xx = 3

(− 1

2)= − 3

2z = − 4

9

.

Infine sostituiamo il valore ottenuto di x nella prima equazione:

y = 3

z = −12

x = −32

.

�

Esempio 23.25.

3x+ y− z = 7x+ 3y+ z = 5x+ y− 3z = 3

.

Procediamo con il metodo di riduzione. Sommiamo le prime due equazioni: 4x+ 4y = 12Moltiplichiamo la seconda equazione per 3 e sommiamo con la terza: 3(x+ 3y+ z) + x+ y =

3 · 5 + 3 = 4x + 10y = 18. Costruiamo il sistema di queste due equazioni nelle sole due

incognite x e y:{

4x+ 4y = 124x+ 10y = 18

.

Sezione 23.6. Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili 421

Moltiplichiamo la seconda equazione per −1 e sommiamo le due equazioni:{4x+ 4y = 12−4x− 10y = −18

⇒{

4x+ 4y = 12−4x− 10y+ 4x+ 4y = −18 + 12

⇒{

4x+ 4y = 12−6y = −6⇒ y = 1

⇒{x = 2y = 1

.

Sostituendo nella prima equazione del sistema ricaviamo la terza incognita:

x = 2y = 1z = 0

.

La terna soluzione del sistema assegnato è (2; 1; 0).�� b Esercizi proposti: 23.57, 23.58, 23.59, 23.60, 23.61, 23.62, 23.63

23.6 Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili

Alcuni sistemi possono essere ricondotti a sistemi lineari per mezzo di sostituzioni nellevariabili.

Esempio 23.26.

1x+

2y= 3

2x−

4y= −1

.

Con la seguente sostituzione di variabiliu =

1x

v =1y

, (23.3)

il sistema diventa {u+ 2v = 32u− 4v = −1

.

Per risolverlo possiamo moltiplicare per 2 la prima equazione:{2u+ 4v = 62u− 4v = −1

Sommando membro a membro abbiamo 4u = 5 dalla quale possiamo determinare u = 54 .

Per ricavare l’incognita vmoltiplichiamo la prima equazione per −2, otteniamo{−2u− 4v = −62u− 4v = −1

Sommando membro a membro abbiamo

−8v = −7⇒ v =78

.


Avendo trovato i valori delle incognite u e v possiamo ricavare x e y sostituiendo con ivalori trovati nella 23.3:

54=

1x

78=

1y

⇒

x =

45

y =87

.



23.7 Esercizi


23.1 - Equazione lineare in due incognite

23.1. Completa la tabella delle coppie di soluzioni dell’equazione x+ 2y− 1 = 0.

x −1 0 12 2,25

y 0 −1 34 2 1,5

23.2. Completa la tabella delle coppie di soluzioni dell’equazione 3x− 2y = 5.

x 0 1 16 −

√2 0,25

y 0 −1 34

√2

23.3. Completa la tabella delle coppie di soluzioni dell’equazione 3x− 2√

2y = 0.

x 0 16

√2

y 0 1 −1√

2

23.4. Risolvi graficamente le seguenti equazioni in due incognite.

a ) 2x− 2y+ 3 = 0;

b ) −15x−

52y+ 1 = 0;

c ) −2y+ 3 = 0;

d ) x+ 2y+74= 0.

23.5. Risolvi graficamente le seguenti equazioni in due incognite.

a ) −2x+ 4y− 1 = 0;

b ) 2y+23x+ 6 = 0;

c )√

2x+√

6y = 0;

d )√

3y+√

6 = −x.

23.6. Stabilisci quali coppie appartengono all’Insieme Soluzione dell’equazione.

a ) 5x+ 7y− 1 = 0(− 7

5 ; 0)

,(− 1

5 ;−1)

,(0; 1

7)

,( 2

5 ;− 17);

b ) −x+34y−

43= 0 (0;−1),

( 112 ; 7

9)

,(− 4

3 ; 0)

, (−3; 4);

c ) −x− y+√

2 = 0(√

2; 0)

,(

0;−√

2)

,(

1 +√

2;−1)

,(

1;−1 −√

2)

.

23.7. Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione.

a ){y = −22x− y+ 2 = 0

; b ){y = −x+ 12x+ 3y+ 4 = 0

.

23.8 (∗). Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione.

a ){x = 1x+ y = 1

;

b ){y = x

2x− y+ 2 = 0;

c ){

2x+ y = 12x− y = −1

;

d ){

2y = 2x+ y = 1

.



a ){

3x− y = 7x+ 2y = 14

;

b ){

3x− 2y = 14y− 6x = −2

;

c ){

3x+ y = 2x+ 2y = −1

;

d )

x+ 4y− 1 = 3

x

2+y

3+ 1 = −

x

6− 1

.


a ){

2x− 3y = 26x− 9y = 6

;

b ){x+ 2y = 143x− y = 7

;

c ){x+ 2y = 1−2x− 4y = 2

;

d ){

2x− y = 3−6x+ 3y = −9

.


a )

x− 4y

3= x− 5y

x− 2 = 6y+ 4;

b )

y2 − 4x+ 2

5=

2y2 − x

10− 1

x = −2y+ 8;

c )

3x−

34(2y− 1) =

134(x+ 1)

x+ 14

−y

2=

1 + y

2−

14

d )

x

3−y

2= 0

y− x− 12

+ x− y+ 1 =12

.


a )

y−

x

3+

34= 0

2x+ 11 − x

+2 + y

y− 1= −1

;

b )

x+ y = 2

3(x

6+ 3y

)= 4

;

c )

12y−

16x = 5 −

6x+ 104

2(x− 2) − 3x = 40 − 6(y−

13

) ;

d )

2y

3+ x+ 1 = 0

y+ 12

+x− 1

3+ 1 = 0

.


a )

(x− 2)2 + y = (x+ 1)(x− y) + (3 − y)(2 − x)

x

4− 2y = 2

;

b ){x+ y+ 1 = 0x− y+ k = 0

;


c )

y−

3 − 2x3

=x− y

3+ 1

x+ 12

+54= y+

2 − 3x4

;

d ){x− 2y− 3 = 0kx+ (k+ 1)y+ 1 = 0

.

23.14. Risolvere il sistema che formalizza il problema 23.4:2x+

12y = 98

2x+ 3y = 170,

e concludere il problema determinando l’area del rettangolo.

23.15. Determinare due numeri reali x e y tali che il triplo della loro somma sia uguale aldoppio del primo aumentato di 10 e il doppio del primo sia uguale al prodotto del secondocon 5.

23.16 (∗). Applica il metodo del confronto per risolvere i seguenti sistemi.

a ){x+ y = 0−x+ y = 0

;

b ){

3x+ y = 5x+ 2y = 0

;

c ){x = 2x+ y = 3

;

d ){x = −12x− y = 1

.


a ){y = 2x− 1y = 2x

;

b ){x− 2y = 12x− y = 7

;

c ){x+ y = 2−x− y = 2

;

d )

{2x− y = 4

x−12y = 2

.


a )

y−

3x− 42

= 1 −y

42y− 2x = −

43

;

b )

23x− y+

13= 0

x−23y+

13= 0

;

c )

12y−

16x = 5 −

6x+ 108

8(x− 2) + 3x = 40 − 6(y−

16

) ;

d )

x =

y− 43

+ 1

y =x+ 3

3

;

e ){x− y+ k = 0x+ y = k− 1

.

23.19. In un triangolo isoscele la somma della base con il doppio del lato è 168 m e la differenzatra la metà della base e 1/13 del lato è 28 m. Indicata con x la misura della base e con y quelladel lato, risolvete con il metodo del confronto il sistema lineare che formalizza il problema.Determinate l’area del triangolo.


23.20 (∗). Risolvere i seguenti sistemi con il metodo di riduzione.

a ){x+ y = 0−x+ y = 0

;

b ){

2x+ y = 12x− y = −1

;

c ){

2x+ y = 1 + y

4x+ y = 2;

d ){x+ y = 0x− y = −1

.


a ){x− y = 0−2x+ 3y = 1

;

b ){

2x = 3 − x

2x+ y = 3;

c )

23x+

23y = 3

32x−

32y = 2

;

d ){

5y+ 2x = 13x+ 2y+ 2 = 0

.


a ){

−3x+ y = 25x− 2y = 7

;

b )

2x = 3 − x

2x+ y = 3;

c )

43x−

4y− x2

+3512

−x+ y

4= 0

3(x+ y)2

−12(5x− y) =

13(11 − 4x+ y)

d ){x+ ay+ a = 02x− ay+ a = 0

;

e ){

2ax+ 2y− 1 = 0ax+ y = 3

.

23.23. Il segmento AB misura 80 cm; il punto P lo divide in due parti tali che il quadruplodella parte minore uguagli il triplo della differenza fra la maggiore e il triplo della minore.Determinare AP e PB, formalizzando il problema con un sistema lineare che risolverete con ilmetodo di riduzione.

A BP

23.24. Stabilire se è determinato il sistema:{(x− 1)(x+ 1) − 3(x− 2) = 2(x− y+ 3) + x2

x(x+ y− 3) + y(4 − x) = x2 − 4x+ y.

23.25. Verificare che il determinante della matrice del sistema è nullo:32x−

74y = 105

6x− 7y = 510.


23.26 (∗). Risolvere con la regola di Cramer i seguenti sistemi.

a ){x− 3y = 2x− 2y = 2

;

b ){

2x+ 2y = 33x− 3y = 2

;

c ){

5y+ 2x = 13x+ 2y+ 2 = 0

;

d ){

5x+ 2y = −13x− 2y = 1

.


a )

12y−

23y = 2

13x+

12y = 1

;

b )

y

5−x

2= 10

x

3+y

2= 5

;

c ){

2(x− 2y) + 3x− 2(y+ 1) = 0x− 2(x− 3y) − 5y = 6(x− 1)

;

d )

4 − 2x =

32(y− 1)

2x+ 3y2

=7 + 2x

2

.


a ){

3x+ y = −3−2x+ 3y = +2

;

b ){

6x− 2y = 5x+ 1

2y = 0;

c ){

10x− 20y = −11x+ y− 1 = 0

;

d ){

2x− 3y+ 1 = 04x+ 6y = 0

.


a ){x+ 2y = 12x+ 4y = 1

;

b ){

3x+ 2y = 432x+ y = 2

;

c ){ax+ ay = 3a2

x− 2y = −3a;

d ){

3x− 2y = 8kx− y = 3k

.

23.30. Risolvi col metodo di Cramer il sistema25x− 3y = 18

3(y+ 6)5

= 5x.

Cosa osservi?

23.31. Per ciascuno dei seguenti sistemi stabilisci se è determinato, indeterminato, impossibile.

a ){x− 2y = 34x− 8y = 12

;

b ){x− 2y = 32x− 4y = 5

;

c ){x− 2y = 32x− 6y = 12

;

d )

12x−

32y = −2

54x−

154y = −

52

.



a )

17x−

45y = 0

54x− 7y =

192

;

b ){

2x+ y = 12x− y = −1

;

c ){

−40x+ 12y = −317x− 2y = 100

;

d ){x− y = 3−x+ y = 1

.


a )

−x+ 3y = −

815

5x− 15y =23

3

; b )

x

2= −

y

2+ 1

x+ y = 2.

23.34. La somma di due numeri reali è 16 e il doppio del primo aumentato di 4 uguaglia ladifferenza tra 5 e il doppio del secondo. Stabilisci, dopo aver formalizzato il problema con unsistema lineare, se è possibile determinare i due numeri.

23.35. Stabilisci per quale valore di a il sistema{ax+ y = −2−3x+ 2y = 0

è determinato. Se a = − 32 il

sistema è indeterminato o impossibile?

23.36. Perché se a = 13 il sistema

{x+ ay = 2a3x+ y = 2

è indeterminato?

23.37. Per quale valore di k è impossibile il sistema?{2x− 3ky = 2kx− ky = 2k

.

23.38. Per quale valore di k è indeterminato il sistema?{(k− 2)x+ 3y = 6(k− 1)x+ 4y = 8

.

23.39 (∗). Risolvi graficamente i sistemi, in base al disegno verifica se le rette sono incidenti,parallele o coincidenti e quindi se il sistema è determinato, impossibile o indeterminato.

a ){y = 2x− 1y = 2x+ 1

;

b ){y = 2x− 2y = 3x+ 1

;

c ){y = x− 12y = 2x− 2

;

d ){

2x− y = 22y− x = 2

.



a ){

3x+ y = −3−2x+ 3y = −2

;

b ){x− 3y = 2x− 2y = 2

;

c ){

3x+ y = −3−2x+ 3y = +2

;

d ){

2x = 2 − y

2x− y = 1.


a ){

5x+ 2y = −13x− 2y = 1

; b ){

2x = 3 − x

2x+ y = 3; c )

{2x = 2 − y

2x− y = 1.


a ) Risolvere graficamente un sistema lineare significa trovare il punto di intersezione didue rette? V F

b ) Un sistema lineare, determinato ha una sola coppia soluzione? V Fc ) Un sistema lineare è impossibile quando le due rette coincidono? V F

23.43. Completa:

á se r1 ∩ r2 = r1 = r2 allora il sistema è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;á se r1 ∩ r2 = P allora il sistema è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;á se r1 ∩ r2 = ∅ allora il sistema è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23.3 - Sistemi fratti

23.44 (∗). Verifica l’insieme soluzione dei seguenti sistemi.

a )

4y+ x

5x= 1

x+ y

2x− y= 2

;

b )

y =

4x− 912

y+ 2y− 1

+1 + 2x1 − x

+ 1 = 0;

c )

2 + 3

y

x=

1x

3x

y− 1 =

−2y

;

d )

y

2x− 1= −1

2x

y− 1= 1

.


a )

3x

y−

7y= 1

2y

x+

5x= 1

;

b )

2x

3y−

13y

= 1

3y+ 2x

= −1;

c )

x

9y= −

12+

13y

9y

2x− 1 −

3x= 0

;

d )

x

2 −y

2− 2

= 1

x− y

x+32y− 1

= 1.



a )

x

2+

2y3

−16

x+ y− 2= 6

x+ y = 1

;

b )

x− 2y

4=

x− y

2+ 2x

4x

y

3+ 1

= 1;

c )

x+ 3y− 1x− y

=1

y− x

x = 2y− 10

;

d )

2

x− 2−

3y+ 3

= 1

5y+ 3

=6

2 − x− 4

.


a )

y−

x

3+

34= 0

2x+ 11 − x

+2 + y

y− 1= −1

;

b )

x+ y = 2

y

(x

y+ 3)

= 4;

c )

x

3−y

2= 0

y(y− x− 1)y+ 1

+ x− y+ 1 =12

;

d )

3x− 7y+ 14x2 − 9y2 =

418y2 − 8x2

4(1 − 3x)2

2− y =

(12x− 5)(6x− y)4

+ 3xy+ 2

.


a )

2x− 3yx− 2y

−3y− 1x+ 5y

=2(x2 + 2xy) − (3y− 2)2

x2 + 3xy− 10y2

x+ y = −19

;

b )

x− 3

x− 3y+ 1+

xy− y

x− 3y− 1=x2 − 3xy+ x2y− 3xy2 + 3y2

x2 + 9y2 − 6xy− 1x− 3

5y− 1−y− 3

1 + 5y=x+ 5y2 − 5xy+ 2

1 − 25y2

;

c )

x− 2y

x2 − xy− 2y2 −1y= 2

4y−

5x+ y

= −9;


d )

2x− y− 11 = 0

y+ 1x− 1

+3 − y

5x− 5−

23= 0

.

23.49. Verifica l’insieme soluzione dei seguenti sistemi.

a )

x+ 1x

=y+ 2y− 2

3x− 13x− 2

=1 + y

y− 2

;

b )

2

5x− y=

−35y− x

14x− 3y

=2x+ y− 1

3y− 4x

;

c )

√3

x−√

2+

2√

2y−√

3= 0

1x−√

3−

√6

2(y+ 2

√2) = 0

;

d )

x− y+ 1x+ y− 1

= 2

x+ y+ 1x− y− 1

= −2;

e )

2

x− 2=

3y− 3

1y+ 3

=−1

2 − x

.

23.4 - Sistemi letterali

23.50 (∗). Risolvere e discutere il seguente sistema. Per quali valori di a la coppia soluzione èformata da numeri reali positivi? {

x+ ay = 2ax

2a+ y =

32

.

23.51. Perché se il seguente sistema è determinato la coppia soluzione è accettabile? 3x− 2y = 02x− yx+ 1

=1a

.

23.52. Nel seguente sistema è vero che la coppia soluzione è formata da numeri reali positivise a > 2?

a− x

a2 + a+y− 2aa+ 1

= −1

2y = x.

23.53. Spiegate perché non esiste alcun valore di a per cui la coppia (0; 2) appartenga a I. S.del sistema: 3x− 2y = 0

2x− yx+ 1

=1a

.


23.54 (∗). Nel seguente sistema determinate i valori da attribuire al parametro a affinché lacoppia soluzione accettabile sia formata da numeri reali positivi.

y

x−y− a

3=

1 − y

3a(x+ 2) + y = 1

.

23.55 (∗). Risolvere i seguenti sistemi.

a )

x+ ay = 2a

x

2a+ y =

32

;

b )

x3 − 8x− 2

= x2 − 3x+ y− 2

x2 − 4xy+ 3y2

3y− x= k

;

c )

kx− y = 2

x+ 6ky = 0;

d )

kx− 8y = 4

2x− 4ky = 3.

23.56 (∗). Risolvere i seguenti sistemi.

a ){

4x− k2y = k

kx− 4ky = −3k;

b ){kx− 4ky = −6kx− k2y = 0

;

c ){

(k− 1)x+ (1 − k)y = 0(2 − 2k)x+ y = −1

.

23.5 - Sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

23.57 (∗). Determinare la terna di soluzione dei seguenti sistemi.

a )

x− 2y+ z = 1x− y = 2x+ 3y− 2z = 0

;

b )

x+ y+ z = 4x− 3y+ 6z = 1x− y− z = 2

;

c )

x+ 2y− 3z = 6 − 3y2x− y+ 4z = x3x− z = y+ 2

;

d )

2x− y+ 3z = 1x− 2y+ z = 5x+ 2z = 3

;

e )

x+ 2y− z = 1y− 4z = 0x− 2y+ z = 2

;

f )

x− 3y+ 6z = 1x+ y+ z = 5x+ 2z = 3

;


a )

x− 4y+ 6z = 2x+ 4y− z = 2x+ 3y− 2z = 2

;

b )

4x− y− 2z = 13x+ 2y− z = 4x+ y+ 2z = 4

;

c )

x− 3y = 3x+ y+ z = −12x− z = 0

;

d )

2x− y+ 3z = 1x− 6y+ 8z = 23x− 4y+ 8z = 2

;

e )

4x− 6y− 7z = −1x+ y− z = 13x+ 2y+ 6z = 1

;

f )

4x− 3y+ z = 4x+ 4y− 3z = 2y− 7z = 0

.



a )

3x− 6y+ 2z = 1x− 4y+ 6z = 5x− y+ 4z = 10

;

b )

4x− y− 7z = −12x+ 3y+ z = −42x− y+ 6z = 5

;

c )

2x+ y− 5z = 2x+ y− 7z = −2x+ y+ 2z = 1

;

d )

3x− y+ z = −1x− y− z = 3x+ y+ 2z = 1

;

e )

x− 4y+ 2z = 7−3x− 2y+ 3z = 0x− 2y+ z = 1

;

f )

−2x− 2y+ 3z = 42x− y+ 3z = 02x+ y = 1

.

23.60. Quale condizione deve soddisfare il parametro a affinché il sistema seguente non siaprivo di significato? Determina la terna soluzione assegnando ad a il valore 2.

x+ y+ z = a2+1a

ay− z = a2

y+ ax = a+ 1 + a2z

.

23.61. Determina il dominio del sistema e stabilisci se la terna soluzione è accettabile:

51−x + 3

y+2 = 2xxy−2+2x−y

x+1−3(y−1)xyz = 1

xy − 2yz −

3xz

x+ 2y+ z = 0

.

23.62. Verifica se il sistema è indeterminato:x+ y = 1y− z = 5x+ z+ 2 = 0

.

23.63. Determina il volume del parallelepipedo retto avente per base un rettangolo, sapendoche le dimensioni della base e l’altezza hanno come misura (rispetto al cm) i valori di x,y, zottenuti risolvendo il sistema:

3x+ 1 = 2y+ 3z6x+ y+ 2z = 79(x− 1) + 3y+ 4z = 0

.

23.6 - Sistemi da risolvere con sostituzioni delle variabili

23.64 (∗). Risolvi i seguenti sistemi per mezzo di opportune sostituzioni delle variabili.

a )

1

2x+

1y= −4

23x

+2y= 1

; sostituire u = 1x ; v = 1

y .

b ){x2 + y2 = 13x2 − y2 = 5

; sostituire u = x2; v = y2


c )

1

x+ y+

2x− y

= 1

3x+ y

−5

x− y= 2

; sostituire u = 1x+y ; v = . . ..


a )

5

2x−

2y= 2

1x+

2y= 1

;

b )

1x+

2y= 3

1x+

3y= 4

;

c )

2x+

4y= −3

2x−

3y= 4

;

d )

1

x+ 1−

2y− 1

= 2

2x+ 1

−1

y− 1= 3

.


a )

1x−

3y+

2z= 3

2x−

3y+

2z= 4

2x+

4y−

1z= −3

;

b ){x3 + y3 = 92x3 − y3 = −6

;

c ){x2 + y2 = −1x2 − 3y2 = 12

;

d )

4x2 −

2y2 −

2z2 = 0

1x2 +

1z2 = 2

2y2 −

2z2 = 0

.


Gli esercizi indicati con (†) sono tratti da Matematica 2, Dipartimento di Matematica, ITISV. Volterra, San Donà di Piave, Versione [11-12] [S-A11], pg. 53; licenza CC, BY-NC-BD, pergentile concessione dei professori che hanno reddatto il libro. Il libro è scaricabile da http://www.istitutovolterra.it/dipartimenti/matematica/dipmath/docs/M2_1112.pdf

23.67 (∗). Risolvi i seguenti sistemi con più metodi ed eventualmente controlla la soluzionegraficamente.

a ){

2x+ y = 12x− y = −1

;

b ){

2x = 1 + 3y−y− 2x = 3

;

c ){

−x+ 2y = 13x− y = 3

;

d ){

5x− y = 22x+ 3y = −1

.





a ){x+ 2y = 33x− y = 2

;

b ){

2x− y = 1x+ 2y = 2

;

c ){

5x+ 3y = 23x− 2y = 1

;

d ){

7x− 2y = 48x− 6y = 9

.


a ){

3x− 2y = 42x+ 3y = 5

;

b ){

3x− y = 7x− 2y = 5

;

c ){

3x− 2y = 22y− 2x = − 4

3;

d ){

5x− 2x = 7−x− 2y = − 1

2.


a )

23x− 2y = −

16

−y−23y =

32

;

b )

13x−

32y+ 1 = 0

9y− 2x− 6 = 0;

c )

−

13x+

32y− 1 = 0

3x−15y+

32= 0

;

d )

−

23y+ 3x = y

x−12y+ 3 = 0

.


a )

5y+

32x = −2

3x+ 10y− 3 = 0;

b ){

2x+ y = 0x− 2y = −5

;

c )

12x− 3y =

12

3(y− 2) + x = 0;

d ){x+ y = −1x− y = 5

.


a ){

2x+ 2y = 6x− 2y = −3

;

b )

13x+ 3y+ 2 = 0

2x+12y =

112

;

c ){

2x− y = 3x− 2y = 0

;

d )

12x+

12y = 1

23x+

13y = 1

.



a )

2x− y = 0

4x+12y =

52

;

b )

2x+

12y = −

310

−25x+ 5y = 6;

c )

2x+ y− 3 = 0

4x+ 2y+ 6 = 0;

d )

2x− y = −1

x+12y = −

12

.


a )

12x−

13y = 1

3x− 2y = 3;

b )

10x− 5y = 26

x+ 5y = −425

;

c )

12(x− 3) − y =

32(y− 1)

32(y− 2) + x = 6

(x+

13

) ;

d )

x+ 4y

6− 3 = 0

x

2−y

4= 0

.


a )

3(x− 4) = −

4y5

7(x+ y) + 8(x−

3y8

− 2)

= 0;

b )

25(y− x− 1) =

y− x

3−

25

(x− y)2 − x(x− 2y) = x+ y(y− 1);

c )

2x− 3(x− y) = −1 + 3y

12x+

13y = −

16

;

d )

(y+ 2)(y− 3) − (y− 2)2 + (x+ 1)2 = (x+ 3)(x− 3) −

12(

y−12

)(y+

14

)− (y− 1)2 + 2x+ 3 =

34

.



a )

x

2− y+ 5

43−

56

= x−

x

2−y

32

−x−

y

3− x

2= 1

;

b )

x2 +

y

4− 3x =

(2x+ 1)2

4−y

2

(y− 1)2 = −8x+ y2;

c )

x+ 1

2− y

2= y− 20x

x−y

4=x− y

6

;

d )

4y−

52x+

32

56

= x− 2y

x = 3y

.

23.77. Determina due numeri sapendo che laloro somma è 37, la loro differenza è 5.

23.78 (∗). Il doppio della somma di due nume-ri è uguale al secondo numero aumentato deltriplo del primo, inoltre aumentando il primonumero di 12 si ottiene il doppio del secondodiminuito di 6.

23.79 (∗). Determina tre numeri la cui sommaè 81. Il secondo supera il primo di 3. Il terzonumero è dato dalla somma dei primi due.

23.80 (∗). Determina due numeri sapendo chela loro somma è pari al doppio del minore au-mentato di 1/4 del maggiore, mentre la lorodifferenza è uguale a 9.

23.81 (∗). Determina due numeri la cui som-ma è 57 e di cui si sa che il doppio del piùgrande diminuito della metà del più grandeè 49.

23.82 (∗). Determina tre lati sapendo che iltriplo del primo lato è uguale al doppio delsecondo aumentato di 10 m; la differenza tra ildoppio del terzo lato e il doppio del secondolato è uguale al primo lato aumentato di 12;la somma dei primi due lati è uguale al terzolato.

23.83 (∗). Determina un numero di due cifresapendo che la cifrà delle diecine è il doppiodi quella delle unità e scambiando le due ci-fre si ottiene un numero più piccolo di 27 delprecedente.

23.84 (∗). Determina il numero intero di duecifre di cui la cifra delle decine supera di 2 lacifra delle unità e la somma delle cifre è 12.

23.85 (†). Determina due numeri naturali ilcui quoziente è 5 e la cui differenza è 12.

23.86 (∗, †). Determinare un numero naturaledi due cifre sapendo che la loro somma è 12e che, invertendole, si ottiene un numero chesupera di 6 la metà di quello iniziale.

23.87 (†). Determinare la frazione che diventauguale a 5/6 aumentando i suoi termini di 2e diventa 1/2 se i suoi termini diminuisconodi 2.

23.88 (∗, †). La somma delle età di due co-niugi è 65 anni; un settimo dell’età del mari-to è uguale ad un sesto dell’età della moglie.Determinare le età dei coniugi.

23.89 (∗, †). Un numero naturale diviso per 3dà un certo quoziente e resto 1. Un altro nu-mero naturale, diviso per 5, dà lo stesso quo-ziente e resto 3. Sapendo che i due numerihanno per somma 188, determinali e calcola ilquoziente.

23.90 (∗). Giulio e Giulia hanno svuotato iloro salvadanai per comparsi una bici. Nelnegozio c’è una bella bici che piace a entram-bi, costae 180 e nessuno dei due ha i soldisufficienti per comprarla. Giulio dice: «Se midai la metà dei tuoi soldi compro io la bici».


Giulia ribatte: «se mi dai la terza parte deituoi soldi la bici la compro io». Quanti soldihanno rispettivamente Giulio e Giulia?

23.91. A una recita scolastica per beneficienzavengono incassati e 216 per un totale di 102biglietti venduti. I ragazzi della scuola paga-no e 1, i ragazzi che non sono di quella scuolapagano e 1,5, gli adulti pagano e 3. Quantisono i ragazzi della scuola che hanno assisittoalla recita?

23.92. Da un cartone quadrato di lato 12 cm,si taglia prima una scriscia parallela a un latoe di spessore non noto, poi si taglia dal latoadiacente una striscia parallela al lato spes-sa 2 cm in più rispetto alla striscia precedente.Sapendo che il perimetro del rettangolo ri-masto è 33, 6 cm, calcola l’area del rettangolorimasto.

23.93 (∗). Al bar per pagare 4 caffè e 2 cor-netti si spendono e 4, 60, per pagare 6 caffée 3 cornetti si spendono e 6, 90. È possibiledeterminare il prezzo del caffé e quello delcornetto?

23.94 (∗). Al bar Mario offre la colazione agliamici perché è il suo compleano: per 4 caffée 2 cornetti paga e4,60. Subito dopo arriva-no tre altri amici che prendono un caffè e uncornetto ciascuno, questa volta paga e4,80.Quanto costa un caffé e quanto un cornetto?

23.95 (∗). Un cicloturista percorre 218 km intre giorni. Il secondo giorno percorre il 20%in più del primo giorno. Il terzo giorno per-corre 14 km in più del secondo giorno. Qual èstata la lunghezza delle tre tappe?

23.96 (∗). In un parcheggio ci sono moto e au-to. In tutto si contano 43 mezzi e 140 ruote.Quante sono le auto e quante le moto?

23.97. Luisa e Marisa sono due sorella. Ma-risa, la più grande è nata 3 anni prima dellasorella; la somma dele loro età è 59. Qual èl’età delle due sorelle?

23.98. Mario e Lucia hanno messo da partedel denaro. Lucia hae 5 in più di Mario. Com-plessivamente potrebbero comprare 45 eurodi schede prepagate per i cellulari. Quantopossiede Mario e quanto possiede Lucia?

23.99. Una macchina per giaccio produce 10cubetti di giaccio al minuto, mentre una secon-da macchina per giacchio produce 7 cubettial minuto. Sapendo che in tutto sono statiprodotti 304 cubetti e che complessivamen-te le macchine hanno lavorato per 22 minuti,quanti cubetti ha prodotto la prima macchinae quindi ne ha prodotti la seconda.

23.100 (∗). In un parcheggio ci sono automo-bili, camion e moto, in tutto 62 mezzi. Leauto hanno 4 ruote, i camion ne hanno 6 e lemoto ne hanno 2. In totale le ruote sono 264.Il numero delle ruote delle auto è uguale alnumero delle ruote dei camion. Determinaquante auto, quanti camion e quante moto cisono nel parcheggio.

23.101. Un vasetto di marmellata pesa 780 g.Quando nel vasetto rimane metà marmellata,il vasetto pesa 420 g. Quanto pesa il vasettovuoto?

23.102 (∗). Una gelateria prepara per la gior-nata di Ferragosto 30 kg di gelato. Vende iconi da due palline a e 1,50 e i coni da trepalline a e 2,00. Si sa che da 2 kg di gelato sifanno 25 palline di gelato. A fine giornata havenduto tutto il gelato e ha incassato e 272,50.Quanti coni da due palline ha venduto?

23.103 (Prove Invalsi 2004-2005). Marco e Lu-ca sono fratelli. La somma delle loro età è 23anni. Il doppio dell’età di Luca è uguale alladifferenza tra l’età del loro padre e il triplodell’età di Marco. Quando Luca è nato, il pa-dre aveva 43 anni. Determina l’età di Marco edi Luca.

23.104 (Giochi d’autunno 2010, Centro Pri-stem). Oggi Angelo ha un quarto dell’età disua madre. Quando avrà 18 anni, sua madreavrà il triplo della sua età. Quanti anni hannoattualmente i due?


23.105 (Giochi di Archimede, 2008). Pietro ePaolo festeggiano il loro onomastico in piz-zeria con i loro amici. Alla fine della cena ilconto viene diviso in parti uguali tra tutti ipresenti e ciascuno dovrebbe pagare 12 euro.Con grande generosità però gli amici decido-no di offrire la cena a Pietro e Paolo; il contoviene nuovamente diviso in parti uguali tragli amici di Pietro e Paolo (cioè tutti i presentiesclusi Pietro e Paolo), e ciascuno di loro pa-ga 16 euro. Quanti sono gli amici di Pietro ePaolo?

23.106 (∗). Al bar degli studenti, caffè e cor-netto costano e 1,50; cornetto e succo di fruttacostano e 1,80, caffè e succo di frutta costa-no e 1,70. Quanto costano in tutto 7 caffè, 5cornetti e 3 succhi di frutta?

23.107 (†). Un negozio ha venduto scatole con-tenenti 6 fazzoletti ciascuna ed altre contenen-ti 12 fazzoletti ciascuna, per un totale di 156fazzoletti. Il numero delle confezioni da 12 hasuperato di 1 la metà di quello delle confezio-ni da 6. Quante confezioni di ogni tipo si sonovendute?

23.108 (∗, †). Nella città di Nonfumo gli uni-ci negozi sono tabaccherie e latterie. L’annoscorso le tabaccherie erano i 2/3 delle latterie;quest’anno due tabaccherie sono diventate lat-terie cosicché ora le tabaccherie sono i 9/16delle latterie. Dall’anno scorso a quest’anno ilnumero cimplessivo dei negozi di Non fumoè rimasto lo stesso. Quante latterie c’eranol’anno scorso a Nonfumo?

23.109. Un rettangolo di perimetro 80 cm hala base che è i 2/3 dell’altezza. Calcolare l’areadel rettangolo.

23.110 (∗). Un trapezio isoscele ha il perime-tro di 72 cm. La base minore è i 3/4 della basemaggiore; il lato obliquo è pari alla sommadei 2/3 della base minore con i 3/2 della base

maggiore. Determina le misure delle basi deltrapezio.

23.111 (∗). Calcola l’area di un rombo le cuidiagonali sono nel rapporto 3/2. Si sa che ladifferenza tra le due diagonali è 16 cm.

23.112. In un triangolo rettangolo i 3/4 del-l’angolo acuto maggiore sono pari ai 24/13dell’angolo acuto minore. Determinarel’ampiezza degli angoli.

23.113 (∗). In un triangolo, un angolo supe-ra di 16◦ un secondo angolo; il terzo ango-lo è pari ai 29/16 della somma dei primidue. Determina le misure degli angoli deltriangolo.

23.114. In un rettangolo di perimetro 120 cm,la base è 2/3 dell’altezza. Calcola l’area delrettangolo.

23.115. Determina le misure dei tre lati x, y,z di un triangolo sapendo che il perimetroè 53 cm. Inoltre la misura z differisce di 19 cmdalla somma delle altre due misure e che lamisura x differisce di 11 cm dalla differenzatra y e z.

23.116 (∗). Aumentando la base di un rettan-golo di 5 cm e l’altezza di 12 cm, si ottieneun rettangolo di perimetro 120 cm che è piùlungo di 12 cm del perimetro del rettangoloiniziale.

23.117 (∗). In un triangolo isoscele di perime-tro 64 cm, la differenza tra la base e la metàdel lato obliquo è 4 cm. Determina la misuradella base e del lato obliquo del triangolo.

23.118 (∗). Un segmento AB di 23 cm vienediviso da un suo punto P in due parti taliche il triplo della loro differenza è uguale alsegmento minore aumentato di 20 cm. Deter-mina le misure dei due segmenti in cui restadiviso AB dal punto P.


23.7.3 Risposte

23.8. a) (1; 0), b) (−2;−2), c) (0; 1), d) (0; 1).

23.9. a) (4; 5), b) indeterminato, c) (1;−1),d) (−4; 2).

23.10. a) indeterminato, b) (4; 5), c) impossi-bile, d) indeterminato.

23.11. a) (−66;−12), b) (2; 3), d) (0; 0).

23.12. a)(− 9

8 ;− 98), b)

( 2817 ; 6

17), d) (1;−3).

23.13. a)(−4;− 3

2), c)( 1

6 ; 3524).

23.16. a) (0; 0), b) (2;−1), c) (2; 1),d) (−1;−3).

23.17. a) impossibile, c) impossibile, d) inde-terminato.

23.18. a)( 2

3 ; 0), b)

(− 1

5 ; 15), c) (3; 4), d) (0; 1).

23.20. a) (0; 0), b) (0; 1), c)( 1

2 ; 0), d)

(− 1

2 ; 12).

23.21. a) (1; 1), b) (1; 1), c)( 35

12 ; 1912),

d)(− 12

11 ; 711).

23.22. a) (−11;−31), b) (1; 1), c) (1; 2).

23.26. a) (2; 0), b)( 13

12 ; 512), c)

(− 12

11 ; 711),

d)(0;− 1

2).

23.27. a) (21,−12), b)(− 240

19 ; 35019), c)( 34

37 ; 1637),

d)(1; 7

3).

23.28. a) (−1; 0), b)( 1

2 ;−1), c)

( 310 ; 7

10),

d)(− 1

4 ; 16).

23.29. a) impossibile, b) indeterminato,c) (a; 2a), d) (2k;−k).

23.39. a) rette parallele, sistema impossibile,b) (−3;−8), c) rette identiche, indeterminato,d) (2; 2).

23.40. a) (−1; 0), b) (2; 0), c) (−1; 0), d) retteparallele, impossibile.

23.41. a)(0;− 1

2), b) (1; 1), c)

( 34 ; 1

2).

23.44. a) indeterminato, b) (3; 3),c) (− 5

11 ; 711 , d) impossibile.

23.45. a)( 9

5 ;− 85), b) (−1;−1), c) impossibile,

d)(− 1

5 ; 25).

23.46. a) (39;−38), b)( 3

4 ;− 34), c) (−6; 2),

d) (−2;−5).

23.47. a)(− 9

8 ;− 98), b) (1; 1), c) impossibile,

d)(− 3

17 ; 617).

23.48 a) (−18;−1), b)( 7

4 ; 12), c) (2;−1).

23.50. a > 0.

23.54. − 12 < a <

12 .

23.55. a) a 6= 0 → (a; 1), b) determinatoper k 6= 14, k 6= 6

7 con soluzioni(k−6

4 ; 5k−64);

se k = 14 ∨ k = 67 impossibile, c) determi-

nato ∀k con soluzioni(

12k6k2+1 ; 2

6k2+1

), d) de-

terminato per k 6= −2, k 6= 2 con solu-

zioni(

4k−6k2−4 ; 8−3k

4(k2−4)

); se k = −2 ∨ k = 2

impossibile.

23.56. a) Determinato per k 6= −4, k 6= 4,

k 6= 0 con soluzioni(

3k2+4k16−k2 ; k+12

16−k2

);

se k = −4 ∨ k = 4 impossibile; se k = 0 inde-terminato con soluzioni tipo (0; t) con t ∈ R,


b) determinato per k 6= 0,k 6= 4con soluzio-

ni(

64−k ; 6

k(4−k)

); se k = 0 ∨ k = 4 impos-

sibile, c) determinato per k 6= 1,k 6= 32 con

soluzioni( 1

2k−3 ; 12k−3

); se k = 3

2 impossibi-le; se k = 1 indeterminato con soluzioni deltipo (t;−1).

23.57. a) (0;−2; 3), b)(3; 8

9 ; 19), c) (1; 1; 0),

d) (−21,−7, 12), e)( 3

2 ;− 27 ;− 1

14), f) (−5; 6; 4).

23.58. a) (2; 0; 0), b) (1; 1; 1), c) (0;−1; 0),d)( 2

3 ;− 23 ;− 1

3), e)( 9

31 ; 1731 ;− 5

31), f)( 7

6 ; 730 ; 1

30).

23.59. a) (5; 3; 2), b)(− 60

43 ;− 5343 ; 47

43),

c)( 10

3 ;−3; 13), d) (6; 11;−8), e)

(−5;− 33

4 ;− 212),

f)(− 5

2 ; 6; 113).

23.64. a)(− 1

27 ; 219), b) (3; 2), (−3; 2), (3;−2),

(−3;−2), c)( 55

9 ;− 449).

23.65. a)( 7

6 ; 14), b) (1; 1), c) (2;−1),

d)(− 1

4 ;−2).

23.66. a)(1;− 5

8 ;− 57), b) (1; 2), c) ∅,

d) (1; 1; 1), (−1; 1; 1), (1;−1; 1), (1; 1;−1),(−1;−1; 1); (−1; 1;−1), (1;−1;−1),(−1;−1;−1).

23.67. a) (0; 1), b) (−1;−1), c)( 7

5 ; 65),

d)( 5

17 ;− 917).

23.68. a) (1; 1), b)( 4

5 ; 35), c)( 7

19 ; 119),

d)( 3

13 ;− 3126).

23.69. a)( 22

13 ; 713), b)

( 95 ;− 8

5), c) ( 2

3 ; 0),d)( 7

3 ;− 1112).

23.70. a)(− 59

20 ;− 910), b) indeterminato,

c) (− 123266 ; 75

133 ), d) (−30;−54).

23.71. a) Impossibile, b) (−1; 2), c)( 13

3 ; 59),

d) (2;−3).

23.72. a) (1; 2), b) (3;−1), c) (2; 1), d) (1; 1).

23.73. a)( 1

2 ; 1), b)

(− 1

5 ; 15), c) impossibile,

d)(− 1

2 ; 0).

23.74. a) ∅, b)( 8

5 ;−2), c) (− 50

47 ;− 1047 ), d) (2; 4).

23.75. a) impossibile, c) (1;−2),d) (−1; 1

2 ).

23.76. a) (− 9227 ; 38

9 ), b) ( 18 ; 1), c) (− 1

21 ;− 1021 ),

d) ( 2726 ; 9

26 .

23.78. (18; 18).

23.79. 18, 75; 21, 75; 40, 5.

23.80. (27; 36).

23.81. (26; 31).

23.82. (12 m, 13 m, 25 m).

23.83. 63.

23.84. 75.

23.86. 84.

23.88. (35; 30).

23.89. (70; 118; 23).

23.90. (108; 144).


23.94. e0,7 e e0,9.

23.95. 60 km; 72 km; 86 km.

23.96. 27; 16.

23.100. 30 auto; 20 camion; 12 moto.


23.102. 135.

23.106. e 11,90.

23.108. 30.

23.110. 28823 cm; 216

23 cm.

23.111. 1536 cm2.

23.113. 24◦; 40◦; 116◦.

23.116. Impossibile.

23.117. 16 cm; 24 cm.

23.118. 7 cm; 16 cm.

Statistica VII

“Lego People”Foto di Joe Shlabotnik

http://www.flickr.com/photos/joeshlabotnik/305410323/Licenza: Attribuzione 2.0 Generico (CC BY 2.0)

http://www.flickr.com/photos/joeshlabotnik/305410323/

Statistica descrittiva 2424.1 Indagine statistica

Il termine statistica significa scienza dello stato. Questo termine venne usato per la primavolta nel XVI secolo per indicare lo studio dei dati utili al governo degli stati prevalentementerelativi a fenomeni di carattere demografico (nascite, morti, etc). Negli anni, la statistica siè estesa ai campi più disparati: fisica, psicologia, ricerca di mercato, indici di gradimento,sondaggi, meteorologia. . . È nata essenzialmente con lo scopo di descrivere i fenomeni (stati-stica descrittiva), successivamente è divenuta uno strumento utile anche per fare previsioni(statistica inferenziale). In grandi linee si può definire come la scienza che si occupa dellaraccolta e dell’analisi dei dati relativi ad un certo gruppo di persone, animali o oggetti al finedi descrivere in maniera sintetica un fenomeno che li riguarda e fare eventualmente previsionisul suo andamento futuro.

Ad esempio la statistica cerca di fare previsioni su domande del tipo:

á quanta acqua sarà necessaria in Italia fra 3 anni?á quanta corrente elettrica sarà necessaria per il fabbisogno nazionale fra 5 anni?á quale sarà il tasso di disoccupazione nazionale fra 1 anno?

Definizione 24.1. L’insieme di elementi oggetto dell’indagine statistica è detta popolazioneo universo, mentre ciascun elemento della popolazione è detto unità statistica.

Sono esempi di popolazione statistica gli abitanti di una città in un certo anno, i prezzi di undeterminato bene, le temperature massime registrate in una giornata in un particolare luogo, iciclomotori circolanti in Italia, gli alunni di una scuola.

Definizione 24.2. Per ogni unità statistica si possono studiare una o più caratteristiche edognuna di tali caratteristiche costituisce un carattere della popolazione oggetto di indagine. Icaratteri possono essere di tipo qualitativo o quantitativo. Si definisce modalità del carattereindagato ciascuno dei diversi modi in cui esso può presentarsi.

Sono esempi di carattere qualitativo il colore degli occhi, il colore dei capelli, il tipo discuola frequentato, il gradimento di un certo programma televisivo. Le modalità di uncarattere qualitativo sono espresse mediante nomi o aggettivi. I caratteri qualitativi sonoa loro volta suddivisi in ordinabili (il tipo di scuola frequentato è ordinabile a partire dallascuola dell’infanzia fino alla laurea, il gradimento di un programma televisivo è ordinabile apartire dalla completa mancanza di gradimento fino al gradimento massimo) e non ordinabili osconnessi (colore degli occhi, colore dei capelli).

Sono invece caratteri quantitativi l’età, l’altezza, il numero di auto prodotte da una fabbrica.Le modalità di un carattere quantitativo sono espresse mediante numeri. I caratteri quantitativi

445

446 Capitolo 24. Statistica descrittiva

possono invece essere di tipo discreto, quando assumono solo valori puntuali, oppure ditipo continuo, quando possono assumere tutti gli infiniti valori compresi in un determinatointervallo. Sono esempi di caratteri quantitativi discreti il numero di figli in una famiglia, ipezzi prodotti in una catena di montaggio; sono esempi di caratteri continui l’altezza di unapersona, il peso di una persona, la lunghezza di un fiume.

L’indagine statistica può riguardare l’intera popolazione (in tal caso si parla di censimento)oppure solo una sua parte (in tal caso si parla di indagine a campione). Supponiamo di volereffettuare un’indagine sulle persone che fumano in Italia. Il fenomeno collettivo in esameè il fumo, la popolazione di riferimento è costituita dalla popolazione italiana in età adulta,l’unità statistica è rappresentata da ogni cittadino oggetto dell’indagine, i caratteri oggettodell’indagine possono essere “fumatore / non fumatore”, “numero di sigarette fumate”, checosa si fuma: pipa, sigaro, sigaretta. Data l’elevata numerosità della popolazione di riferimentola tipologia di indagine preferibile è quella a campione.

A sua volta, l’indagine a campione può essere effettuata su un campione casuale, quando siscelgono a caso i campioni all’interno della popolazione o su un campione stratificato, quandosi suddivide la popolazione in classi o strati senza specifici criteri e per ogni strato si prende acaso un campione.�� b Esercizio proposto: 24.1

24.2 Fasi di un’indagine statistica

Definizione 24.3. Dato un carattere oggetto di rilevazione, si definisce frequenza il numerodelle unità statistiche su cui una sua modalità si presenta.

Affinché un’indagine statistica sia rigorosa è necessario che sia strutturata secondo le seguentifasi:

a ) Studio del problema e impostazione dell’indagine statistica. Si individua in manieraprecisa lo scopo della ricerca, il fenomeno sul quale indagare, la popolazione statisticadi riferimento, le singole unità statistiche ed il carattere, o caratteri, oggetto di indagine.

b ) Rilevazione dei dati statistici. La rilevazione non è altro che la raccolta dei dati stati-stici riguardanti ogni elemento della popolazione e relativi al fenomeno che si vuoleanalizzare. La rilevazione può avvenire secondo diverse modalità:

rilevazione diretta o globale: viene eseguita direttamente su tutte le unità statistiche cheformano la popolazione;

rilevazione indiretta o parziale: eseguita solo su una parte della popolazione. Si devescegliere in tal caso un sottoinsieme della popolazione, detto campione che deveessere rappresentativo della popolazione di riferimento.

c ) Spoglio delle schede e tabulazione. Contemporaneamente o successivamente al rileva-mento, i dati raccolti vengono ordinati, suddivisi in classi omogenee e riassunti tramitetabelle dette tabelle statistiche.

d ) Rappresentazione dei dati statistici. La rappresentazione può avvenire attraverso diversitipi di grafico:

diagramma cartesiano: rappresentazione nel piano cartesiano dei valori della variabilesull’asse orizzontale e delle relative frequenze sull’asse verticale;

Sezione 24.2. Fasi di un’indagine statistica 447

ideogramma: si rappresenta un certo numero di dati con un simbolo;

diagramma a nastri o a bastoni: grafico composto da segmenti o barre (orizzontali o verti-cali) proporzionali alle frequenze;

areogramma: grafico a forma di cerchio composto da settori circolari con aree diretta-mente proporzionali alle frequenze;

istogramma: grafico composto da rettangoli aventi area proporzionale alla frequenza.

e ) Elaborazione dei dati. Vengono elaborati i dati tabulati al fine di costruire opportuniindici di sintesi.

f ) Interpretazione dei risultati. Attraverso i grafici e gli indici è possibile descrivere lecaratteristiche peculiari del fenomeno analizzato.

Analizziamo in dettaglio le singole fasi.

24.2.1 Spoglio delle schede e tabulazione

Dopo aver raccolto i dati per ciascuna modalità del carattere o per ciascuna classe indivi-duata si deve determinare:

á la frequenza assoluta, cioè il numero di volte con cui si presenta una modalità del carattereindagato;

á la frequenza relativa, cioè il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale dei casipresi in esame;

á la frequenza percentuale, cioè la frequenza relativa moltiplicata per 100.

Si compila poi una tabella di frequenza che sintetizza la raccolta dei dati, come nell’esempioseguente.

Esempio 24.1. La tabella seguente fornisce la distribuzione di frequenze assolute degli alunnidi una classe rispetto al carattere sesso.

Sesso Femmine Maschi TotaleNumero di alunni 15 12 27

Per costruirla, si è operata la classificazione della popolazione degli alunni della classerispetto ad un determinato carattere (il sesso), sono state individuate le modalità con cuiquesto si è manifestato (femmina, maschio) ed è stato effettuato il conteggio delle unità incorrispondenza di ciascuna modalità (frequenza assoluta). Dalle frequenze assolute si ricavanole frequenze relative: 15 alunni su 27 sono femmine: la frazione è di 15/27 femmine sul totaledegli alunni. Dall’operazione 15 diviso 27 otteniamo 0,56 (approssimando a due cifre decimali)che è la frequenza relativa. La frazione può essere espressa in forma percentuale: 0,56 equivalea dire 56 su 100 ed è consuetudine scriverlo in forma percentuale 56%, esso indica la frequenzapercentuale.

Ripetendo lo stesso procedimento per i maschi si ottiene la seguente tabella delle frequenze:

Sesso Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza percentuale

Femmine 15 0,56 56%Maschi 12 0,44 44%


Si può concludere che la classe è formata per il 56% da femmine e per il restante 44% damaschi.

Esempio 24.2. Supponiamo che i voti elencati di seguito siano quelli riportati in matematicaa fine trimestre nella tua classe: 5, 4, 6, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 6, 7.

Per poter effettuare una lettura più agevole si costruisce una tabella in cui vengono riportatisulla prima colonna i singoli valori rilevati in ordine crescente (modalità del carattere), nellaseconda la frequenza assoluta, cioè quante volte compare quel determinato voto e nella terzala frequenza relativa:

Voto riportato Frequenza assoluta Frequenza relativa Frequenza percentuale

4 1 1/12 = 0, 083 8, 30%5 3 3/12 = 0, 25 25, 00%6 3 3/12 = 0, 25 25, 00%7 3 3/12 = 0, 25 25, 00%8 2 2/12 = 0, 167 16, 70%Totale 12 12/12 = 1 100%

Per determinare la frequenza percentuale è sufficiente moltiplicare per 100 la frequenzarelativa.

Esempio 24.3. Misurando l’altezza di un gruppo di cani di razza pastore italiano si sonoottenute le seguenti misure in cm:

57,1 60,8 60,7 56,2 59,5 62,4 56,1 61,2 54,5 64,5 57,5 58,3 55,258,7 57,2 56,1 58,9 57,7 53,2 59,2 58,9 54,5 55,3 62,1 59,0 58,361,3 60,1 56,4 60,2 61,7 57,3 58,3 59,5 62,6 59,4 58,3 59,4 59,459,3 57,6 60,0 60,7 56,7 61,1 59,8 55,3 63,9 58,0 55,2 54,9 53,8

Il carattere indagato nella popolazione cani pastore italiano è di tipo quantitativo continuo;con questo tipo di dati è praticamente impossibile calcolare le frequenze se le altezze non siraggruppano in classi.

Vediamo come procedere: osservando i dati ottenuti si nota che il valore minore è 53, 8mentre il valore maggiore è 64, 7. Possiamo allora suddividere i dati in gruppi partendoda 53, 0 cm fino a 65, 0 cm. Si potrebbero allora formare classi di ampiezza 1 cm. Si ottiene laseguente tabella:

Classe ( cm) Frequenzaassoluta

Frequenzapercent.

Classe ( cm) Frequenzaassoluta

Frequenzapercent.

53,0-53,9 2 3, 85% 59,0-59,9 9 17, 31%54,0-54,9 3 5, 77% 60,0-60,9 6 11, 54%55,0-55,9 4 7, 69% 61,0-61,9 4 7, 69%56,0-56,9 5 9, 61% 62,0-62,9 3 5, 77%57,0-57,9 6 11, 54% 63,0-63,9 1 1, 92%58,0-58,9 8 15, 38% 64,0-64,9 1 1, 92%

Totale 52


Riassumendo

Popolazione Universo

Unità statistiche

Caratteridelle unità statistiche

Caratteri di tipo qualitativoModalità non numeriche

Aggettivi, nomi, professioni

ordinabili sconnessi

Caratteri di tipo quantitativoModalità numeriche

Intensità o classi d’intensità

continuo discreto�� b Esercizi proposti: 24.2, 24.3, 24.5, 24.6, 24.7, 24.8, 24.9

24.2.2 Rappresentazione grafica

La rappresentazione grafica dei dati statistici facilita notevolmente lo studio delle caratteri-stiche del fenomeno statistico che si sta esaminando; infatti dopo aver impostato l’indagine,raccolto, classificato ed elaborato i dati nelle tabelle, i dati non sempre si presentano in unaforma di facile lettura ed il loro significato e la loro interpretazione rimane poco chiara. At-traverso la rappresentazione grafica, i risultati dell’indagine emergono immediatamente, inmaniera diretta e sintetica.

La rappresentazione grafica può avvenire utilizzando diversi tipi di grafico a seconda dellecaratteristiche da analizzare.

Diagramma cartesiano

La rappresentazione grafica attraverso un diagramma cartesiano dà, in modo immediato,informazioni sull’andamento globale del fenomeno e viene utilizzato prevalentemente perla rappresentazione di serie storiche (per esempio, per rappresentare il numero di autoprodotte per anno da una fabbrica) oppure quando si hanno due caratteri quantitativi e sivuol analizzare il tipo di legame esistente fra di essi.

Esempio 24.4. Consideriamo la tabella statistica relativa alla domanda “quante ore al giornopassi al computer?”, posta ad un campione di 50 ragazzi dai 16 ai 24 anni.

Rappresentiamo la tabella attraverso un diagramma cartesiano costruito tracciando duerette perpendicolari, gli assi, quello verticale orientato verso l’alto e quello orizzontale orien-tato verso destra. Riportiamo sull’asse orizzontale il numero di ore e sull’asse verticale ilnumero di ragazzi e determiniamo i punti aventi come coordinate (numero ore; numeroragazzi).

Il punto A avrà come coordinate 0 e 4, il punto B avrà come coordinate 1 e 6 e cosìvia. Uniamo poi i punti con segmenti e otteniamo il diagramma cartesiano (grafico 24.1).Precisamente A(0; 4), B(1; 6), C(2; 12), D(3; 16), E(4; 8), F(5; 4), G(6; 2).


0 1 2 3 4 5 6

5

10

15

A(0, 4)

B(1, 6)

C(2, 12)

D(3, 16)

E(4, 8)

F(5, 4)

G(6, 2)

n◦ ore

n◦

raga

zzi

GRAFICO 24.1: Esempio 24.4

0 1 2 3 4 5 6

5

10

15

A(0, 4)

B(1, 6)

C(2, 12)

D(3, 16)

E(4, 8)

F(5, 4)

G(6, 2)

X(3.5, 12)

n◦ ore

n◦

raga

zzi

GRAFICO 24.2: Esempio 24.4

Numero di ore 0 1 2 3 4 5 6Numero di ragazzi 4 6 12 16 8 4 2

Dal grafico 24.2 si può notare immediatamente che la maggior parte dei ragazzi trascorredalle 2 alle 3 ore al computer dato che il picco più alto si ha proprio nei punti C e D. Sipuò notare che, ad esempio, il punto X di coordinate (3.5; 12), appartenente al segmento dicongiunzione tra i punti D ed E, non ha significato reale, dato che le sue coordinate non sonoriportate nella tabella statistica del fenomeno da studiare.

Ideogramma

Nella rappresentazione grafica attraverso ideogramma si rappresenta un certo numero didati con un simbolo che si assume come unità grafica; il simbolo richiama l’oggetto dell’in-dagine e dà quindi una visione immediata del fenomeno. Ad esempio si può utizzare unuomo stilizzato per rappresentare un dato riguardante il numero di persone che vivono in undeterminato territorio, una macchina per la produzione annua di automobili in una fabbrica,e così via. Tale tipo di rappresentazione è spesso usata in campo pubblicitario perché di largoimpatto visivo.

Esempio 24.5. Un istituto scolastico ha visto aumentare i suoi iscritti, dall’anno scolastico 2003-2004 all’anno 2008-2009 secondo questa tabella:

Anno scolastico 2003-04 2004-05 2005-06 2006-07 2007-08 2008-09Iscritti 150 200 200 325 375 450

Possiamo rappresentare mediante ideogramma i dati contenuti nella tabella statistica.Consideriamo una faccina stilizzata come unità grafica assegnandole il valore di 50 ragazziiscritti.

= 50 iscritti


Il numero degli iscritti di ogni anno scolastico sarà rappresentato da tante unità grafichequanti sono i gruppi di 50 iscritti. Per avere il grafico relativo all’anno 2003-2004 si devonousare tre faccine, in quanto 150 : 50 = 3.

a.s. 2003-2004 =

Se la divisione del numero degli iscritti per 50 dà resto, esso si dovrà rappresentare disegnandosolo una parte dell’unità grafica, corrispondente alla frazione tra resto e 50. Ad esempionell’ a.s. 2006-2007 ci sono stati 325 iscritti; 325 : 50 = 6 col resto di 25, quindi 325 sarà ugualea 6 unità grafiche e 25

50 = 12 unità grafica, cioè mezza faccina.

a.s. 2006-2007 =

Il grafico completo sarà:

a.s. 2003-2004 = 3

a.s. 2004-2005 = 4

a.s. 2005-2006 = 4

a.s. 2006-2007 = 6 e 1/2

a.s. 2007-2008 = 7 e 1/2

a.s. 2008-2009 = 9

Diagramma a barre o a colonne

Questo tipo di rappresentazione, detta anche diagramma a nastri o a bastoni, viene usataquando si vuole fornire un’idea delle frequenze delle diverse modalità di un fenomeno, ingenere si usa per caratteri qualitativi o quantitativi discreti. Per poter valutare il significatostatistico della lunghezza dei nastri o delle colonne è necessario scegliere opportunamenteuna scala di riferimento: la larghezza del nastro è arbitraria ma uguale per tutti i nastri, lalunghezza è proporzionale alla caratteristica che si deve rappresentare. I nastri e le colonnepossono inoltre essere suddivisi in parti di colori diversi per indicare le singole componenti oi singoli fenomeni che si vogliono analizzare.

La differenza fra la rappresentazione a barre e quella a colonne, detta anche istogramma,consiste soltanto nell’orientamento del grafico: nel diagramma a nastri si indicano le modalitàdel carattere sull’asse verticale e le frequenze sull’asse orizzontale, mentre in quello a colonnele modalità del carattere sono riportate sull’asse orizzontale e le frequenze su quello verticale.

Di seguito vengono riportate le due tipologie di grafico accompagnate dalla tabella diriferimento:

Materia Italiano Storia Geografia Matem. Scienze Ed. Fisica TotaleMaschi 5 4 4 2 6 5 26Femmine 3 7 2 3 4 5 24


0 1 2 3 4 5 6 7

Educazione Fisica

Scienze

Matematica

Geografia

Storia

ItalianoMaschi

Femmine

FIGURA 24.1: Diagramma a barre

E. F. Scienze Matem. Geografia Storia Italiano0

1

2

3

4

5

6

7Maschi

Femmine

FIGURA 24.2: Diagramma a colonne

Areogramma

Questo tipo di rappresentazione viene utilizzato quando si vogliono evidenziare le partiche compongono un fenomeno, per esempio per indicare come si dividono gli alunni di una


classe in maschi e femmine, o per rappresentare in che modo le varie voci di spesa incidonosul bilancio familiare. Il grafico si ottiene dividendo un cerchio in settori circolari con areedirettamente proporzionali alle frequenze che rappresentano. Per disegnare l’areogramma, sidisegna una circonferenza di diametro arbitrario e si fa corrispondere l’angolo al centro di 360◦,con il 100% di frequenza percentuale; per ottenere gli angoli corrispondenti a frequenzepercentuali minori, si risolve la proporzione 360◦ : X◦ = 100 : X. Si suddivide così lacirconferenza negli angoli ottenuti e si colorano o retinano diversamente i settori circolariottenuti.

Esempio 24.6. Consideriamo la seguente tabella statistica che indica gli studenti, divisi perclasse, frequentata di un dato istituto scolastico, in un dato anno.

Classe 1◦ 2◦ 3◦ 4◦ 5◦ TotaleStudenti 320 230 212 152 96 1010

Nella tabella sono indicate le frequenze assolute; calcoliamo ora le frequenze percentualidegli studenti. Per la 1◦ classe si ha: 320

1010 = 0, 32 arrotondato alla seconda cifra decimale, cheequivale al 32% e così via per le classi successive.

Classe 1◦ 2◦ 3◦ 4◦ 5◦ TotaleFrequenze percentuali 32,00% 23,00% 21,00% 15,00% 9,00% 100%

Rappresentiamo graficamente mediante areogramma i dati contenuti nella tabella prece-dente.

115, 2◦

82, 8◦

75, 6◦ 54◦

32, 4◦

1° Classe: 32%

2° Classe: 23%

3° Classe: 21%4° Classe: 15%

5° Classe: 9%

Per ottenere l’angolo relativo alla frequenza percentuale della 1◦ classe si fa: 360◦ · 32100 = 115, 2◦

e per la 2◦ classe: 360◦ · 23100 = 82, 2◦ e cosi via per le altre classi.

Dal grafico si può notare immediatamente che la classe frequentata di più è la prima.


Istogramma

Si utilizza la rappresentazione grafica attraverso istogramma quando il carattere analizzatoè di tipo quantitativo ed i dati sono raggruppati in classi.

Prima di tutto si distribuiscono i dati in classi o gruppi e si determina il numero di individuiappartenenti a ciascuna classe, questo numero è detto frequenza della classe. Riportando talidati in una tabella si ottiene la distribuzione delle frequenze. Poiché le classi potrebbero avereampiezze diverse si calcola la densità di frequenza, definita come rapporto fra la frequenza dellaclasse e la relativa ampiezza.

Per disegnare un istogramma si tracciano due assi; sull’asse verticale, orientato verso l’alto,si fissa un segmento unitario e si riportano le frequenze. L’asse orizzontale, orientato versodestra, è invece suddiviso in tanti segmenti la cui ampiezza è pari a quella delle singole classi.Il grafico consiste in un insieme di rettangoli aventi per base ogni classe e altezza la densitàdi frequenza corrispondente. In tal modo l’area di ogni rettangolo rappresenta la frequenzacorrispondente a ciascuna classe.

Esempio 24.7. Costruiamo un istogramma a partire dalla distribuzione di frequenza riportatanella seguente tabella:

Diametro crateri lunari ( km) Numero di crateri

0 − 50 108850 − 100 745100 − 150 20

Innanzitutto dobbiamo determinare per ogni classe la densità di frequenza che si ottienedividendo la frequenza assoluta per l’ampiezza della classe:

Diametro crateri lunari ( km) Densità

0 − 50 1088/50 = 21, 7650 − 100 745/50 = 14, 9100 − 150 20/50 = 0, 4

0 − 50 50 − 100 100 − 1500

5

10

15

20

Densità crateri

Sezione 24.3. Indici di posizione 455

Esempio 24.8. Consideriamo la seguente tabella statistica che riporta i giorni di pioggia diogni mese, in un dato anno e in una data città.

Mesi Giorni di pioggia Mesi Giorni di pioggia

Gennaio 15 Luglio 1Febbraio 10 Agosto 3Marzo 14 Settembre 3Aprile 8 Ottobre 5Maggio 5 Novembre 9Giugno 2 Dicembre 11

Dividiamo i mesi dell’anno in classi, raggruppandoli in stagioni. Luglio, Agosto e Settembreappartengono alla classe dell’Estate e la frequenza di questa classe è data dalla somma dellefrequenze di ogni mese. Cioè 1 + 3 + 3 = 7.

Stagioni Estate Autunno Inverno PrimaveraGiorni di pioggia 7 25 39 15

Si prosegue in questo modo per ogni classe ottenendo cosi la distribuzione delle frequenze cheriportiamo nella tabella. Costruire ora l’istogramma corrispondente alla tabella precedenteriportando sull’asse orizzontale le classi (stagioni) e su quello verticale le frequenze.�� b Esercizi proposti: 24.10, 24.11, 24.12, 24.13, 24.14, 24.15, 24.16, 24.17, 24.18, 24.19, 24.20

24.3 Indici di posizione

Gli indici di posizione vengono utilizzati per sintetizzare i dati di una distribuzione difrequenza per mezzo di un solo numero. A seconda del tipo di carattere oggetto dell’indaginestatistica possono essere utilizzati valori medi diversi.

24.3.1 Moda

Definizione 24.4. La moda è la modalità del carattere indagato che si presenta piùfrequentemente.

In una successione di n modalità x1, x2, . . . , xn con le relative frequenze f1, f2, . . . , fn, lamoda è la modalità che ha la frequenza maggiore. Questo valore può essere calcolato perqualunque tipo di carattere, sia qualitativo che quantitativo. Se il carattere è quantitativocontinuo con dati raggruppati in classi non è possibile determinare con esattezza la moda, cisi limita ad individuare la classe modale definita come la classe cui è associata la massimadensità di frequenza.

Esempio 24.9. Nella tabella seguente sono riportati i numeri degli studenti, divisi per classe,della sezione A di un dato istituto, in un dato anno. Si può osservare che la 1◦ classe presentala frequenza massima di 320 studenti, quindi la moda è la classe prima.



Esempio 24.10. La tabella raccoglie i dati relativi alla domanda “quante ore la settimanapratichi sport?”, posta ad un campione di 50 ragazzi dai 18 ai 25 anni. Si può osservare che 12e 18 ore presentano la frequenza massima 14, quindi si hanno due mode 12 ore e 18 ore. Ladistribuzione è bimodale.

Numero di ore 0 4 8 12 16 18 22 TotaleNumero di ragazzi 4 1 3 14 8 14 6 50

Esempio 24.11. La tabella seguente è relativa alla distribuzione delle altezze di un gruppo distudenti.

Altezza 160-165 165-170 170-175 175-185 185-200 TotaleNumero di studenti 5 8 15 10 2 40

Poiché le classi hanno ampiezza diversa è necessario calcolare la densità di frequenza.

Altezza 160-165 165-170 170-175 175-185 185-200Densità di frequenza 1 1,6 3 1 0,13

La massima densità di frequenza si ha in corrispondenza della classe 170-175, essa rappresentaquindi la classe modale.

24.3.2 Media aritmetica

Definizione 24.5. La media aritmetica semplice o media aritmetica è il valore ottenutosommando tutti i dati e dividendo tale somma per il numero dei dati.

Se abbiamo n dati x1, x2, . . . , xn la media aritmetica sempliceM è:

M =x1 + x2 + · · ·+ xn

n=

1n

n∑i=1

xi.

Esempio 24.12. Riprendiamo in esame la tabella relativa agli studenti, divisi per classe fre-quentata di un dato istituto scolastico, in un dato anno. Calcoliamo la media aritmeticasemplice.


Per calcolare la media aritmetica semplice degli studenti, sommiamo tutti gli studenti dellecinque classi e dividiamo tale somma per il numero delle classi:

M =320 + 230 + 212 + 152 + 96

5=

10105

= 202.

Possiamo dire che in media si hanno 202 studenti per ogni classe.

Sezione 24.3. Indici di posizione 457

Definizione 24.6. Si definisce scarto dalla media (aritmetica) la differenza tra i valori osservatie la media.

Se x1, x2, . . . , xn sono i valori osservati,M la media aritmetica, gli scarti sono s1 = x1 −M,s2 = x2 −M, . . . , sn = xn −M.

Esempio 24.13. Calcoliamo gli scarti dalla media per la distribuzione “studenti per tipologiadi classe frequentata”, la cui media è 1010/5 = 202.

Classe 1◦ 2◦ 3◦ 4◦ 5◦ TotaleStudenti 320 230 212 152 96 1010Scarto 118 28 10 −50 106 0

Si può osservare che vi solo valori superiori alla media e altri inferiori, tanto che lo scarto èrappresentato in alcuni casi da un numero positivo, in altri da un numero negativo. Si puòverificare che la somma degli scarti è nulla, cioè gli scarti positivi compensano sempre quellinegativi.

Definizione 24.7. La media aritmetica ponderata è il valore ottenuto moltiplicando ciascundato con la propria frequenza, sommando tutti i prodotti fra loro e dividendo tale sommaper il numero totale dei dati.

Essa si usa nel caso in cui i dati sono molti ed è già stata fatta la tabella delle frequenze.In questo caso, avendo n dati x1, x2, . . . , xn con le relative frequenze f1, f2, . . . , fn, la mediaaritmetica ponderataM è:

M =x1 · f1 + x2 · f2 + · · ·+ xn · fn

f1 + f2 + · · ·+ fn=

1n

n∑i=1

xi · fi.

Esempio 24.14. Riprendiamo la tabella dell’esempio precedente relativa alla domanda “quan-te ore al giorno passi al computer?”, posta ad un campione di 52 ragazzi dai 16 ai 24 anni.Calcoliamo la media aritmetica ponderata.

Numero di ore 0 1 2 3 4 5 6 TotaleNumero di ragazzi 4 6 12 16 8 4 2 52

Calcoliamo la media aritmetica ponderata:

M =0 · 4 + 1 · 6 + 2 · 12 + 3 · 16 + 4 · 8 + 5 · 4 + 6 · 2

4 + 6 + 12 + 16 + 8 + 4 + 2=

14252

= 2, 73.

Possiamo dire che “in media” ciascun ragazzo passa circa 3 ore al giorno al computer.


24.3.3 Mediana

Definizione 24.8. La mediana di una successione di dati disposti in ordine crescente è ildato che occupa la posizione centrale se il numero dei dati è dispari; se il numero dei dati èpari è la media aritmetica dei dati della coppia centrale.

Poiché per calcolare la mediana i dati devono essere ordinati, è bene sottolineare chetale valore medio non può essere calcolato se il carattere in esame è di tipo qualitativo nonordinabile.

Esempio 24.15. Supponiamo di avere 7 dati disposti in ordine crescente: 5, 8, 10, 14, 18, 20, 25.Allora la mediana è il valore centrale, quello che occupa la quarta posizione, il 14.

Esempio 24.16. Supponiamo di avere 8 dati disposti in ordine crescente: 1, 5, 8, 10, 14, 18,20, 25. La mediana è la media aritmetica dei dati che occupano la 4◦ e la 5◦ posizione,cioè 10+14

2 = 12.

Esempio 24.17. Supponiamo di avere la distribuzione di frequenza riportata nella tabella. Ilnumero di osservazioni è pari, quindi la mediana è il valore della variabile che corrispondealla media dei due valori centrali, rispettivamente quelli che nella serie ordinata occupanoil 13◦ e il 14◦ posto.

È necessario in questo caso determinare le frequenze cumulate, esse si ottengono sommandole frequenze che hanno un valore della variabile minore o uguale alla modalità corrispondente.La frequenza cumulata relativa al voto 3 rimane 2, quella relativa al voto 4 si ottiene sommandola frequenza del 3 e la frequenza del 4, cioè 2 + 2 = 4, la frequenza cumulata relativa al voto 5si ottiene dalla somma della frequenza del 3, del 4 e del 5 e così via. Il 14◦ posto corrispondeal voto 6, mentre il 15◦ posto è il voto 7. La mediana è 6,5.

Voto Frequenza Frequenza cumulata

3 2 24 4 4+2=65 3 3+4+2=96 5 5+3+4+2=147 7 7+5+3+4+2=218 2 2+7+5+3+4+2=239 2 2+2+7+5+3+4+2=2510 1 1+2+2+7+5+3+4+2=26

Totale 26

�� b Esercizi proposti: 24.21, 24.22, 24.23, 24.24, 24.25, 24.26, 24.27, 24.28, 24.29, 24.30, 24.31�� 24.32

24.4 Indici di variabilità

Gli indici di variabilità vengono calcolati per analizzare in che modo i termini di unadistribuzione si concentrano intorno ad un valore medio.

Sezione 24.4. Indici di variabilità 459

Definizione 24.9. Il campo di variazione è la differenza fra il valore massimo ed il valoreminimo assunti dalla variabile: CVar=xmax − xmin.

Tale indice dà un’informazione molto grossolana perché tiene conto solo del primo e del-l’ultimo termine della distribuzione e non tiene conto di tutti i valori intermedi. Si considerino,ad esempio, le seguenti distribuzioni di stature:

Gruppo A (statura in cm) 150 155 155 160 165 180 175Gruppo B (statura in cm) 150 160 175 170 170 170 180

Entrambe le distribuzioni hanno lo stesso valore massimo e lo stesso valore minimo equindi lo stesso campo di variazione, ma mentre nella prima i valori sono concentrati verso ilvalore minimo nella seconda si concentrano intorno al valore massimo.

L’indice non dà quindi alcuna indicazione su quest’ultima informazione. Né può essereutilizzato come indice di variabilità la media degli scarti fra le singole osservazioni e la loromedia aritmetica perché tale valore è sempre uguale a zero.

24.4.1 Scarto medio assoluto

Definizione 24.10. Si definisce scarto medio assoluto la media aritmetica dei valori assolutidegli scarti; esso indica quanto i valori rilevati si disperdono intorno al valore medio delladistribuzione:

s =|s1|+ |s2|+ · · ·+ |sn|

n=

1n

n∑i=1

|xi −M|.

Facendo riferimento alla distribuzione


si ha che lo scarto medio assoluto è 62,4. Si può allora affermare che in ogni tipologia di classesi hanno in media 202± 62, 4 iscritti.

24.4.2 Varianza e scarto quadratico medio

L’indice più utilizzato è la varianza.

Definizione 24.11. La varianza è la media dei quadrati degli scarti fra le singole osservazionie la loro media aritmetica:

Var=

[(x1 −M)2 + (x2 −M)2 + · · ·+ (xn −M)2]

n=

1n

n∑i=1

(xi −M)2.

Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza: σ =√

Var.


Se i dati si presentano sotto forma di distribuzione di frequenza la media deve essereponderata con le singole frequenze, cioè:

Var =

[(x1 −M)2 · f1 + (x2 −M)2 · f2 + · · ·+ (xn −M)2 · fn

]f1 + f2 + . . . + fn

=1n

n∑i=1

(xi −M)2 · fi.

La varianza assume valore zero quando tutti i valori coincidono con la media ed è tanto piùgrande quanto più i singoli valori si discostano dalla media. Poiché tale indice è influenzatosia dal valore della media che dall’unità di misura utilizzato spesso si utilizza un indice dettocoefficiente di variazione.

24.4.3 Coefficiente di variazione

Definizione 24.12. Il coefficiente di variazione è uguale al rapporto fra scarto quadraticomedio (radice quadrata della varianza) e media aritmetica:

CV =

√Var

Media

.

Tale indice risulta di particolare utilità per confrontare distribuzioni diverse.

Esempio 24.18. È dato l’elenco delle stature, in cm, dei ragazzi di una classe: 165, 182, 159,173, 160, 175, 185, 190, 175, 180, 159, 185, 176, 170, 175, 160, 175, 182, 159, 185.

a ) Ordina i dati in una tabella delle frequenze;b ) rappresenta i dati graficamente;c ) calcola la media, la mediana e la moda;d ) calcola la varianza e il coefficiente di variazione.

Tabella delle frequenze

Dati Frequenze assolute Frequenze relative Frequenze percentuali

159 3 0,15 15%160 2 0,1 10%165 1 0,05 5%170 1 0,05 5%173 1 0,05 5%175 4 0,2 20%176 1 0,05 5%180 1 0,05 5%182 2 0,1 10%185 3 0,15 15%190 1 0,05 5%

Totale 20 1 100%

á La somma delle frequenze assolute indica il numero totale degli studenti;

Sezione 24.4. Indici di variabilità 461

á la somma delle frequenze relative deve avvicinarsi il più possibile a 1;á la somma delle frequenze percentuali deve avvicinarsi il più possibile a 100.

Grafici

Areogramma159160165170173175176180182185190 160 170 180 190

0

1

2

3

4

Diagramma Cartesiano

Calcolo della media, mediana e moda

Calcoliamo la media aritmetica:

Media =1

20· (165 + 182 + 159 + 173 + 160 + 175 + 185 + 190 + 175 + 180 + 159 + 185

+ 176 + 170 + 175 + 160 + 175 + 182 + 159 + 185) = 173, 5.

Per determinare la mediana si devono ordinare in modo crescente i dati: 159, 159, 159, 160,160, 165, 170, 173, 175, 175, 175, 175, 176, 180, 182, 182, 185, 185, 185, 190. Essendo i dati innumero pari si calcola la media dei due dati centrali: Mediana = 175 + 175/2 = 175. Se i datisono molti è possibile individuare qual è o quali sono i dati centrali utilizzando la tabella dellefrequenze opportunamente costruita, cioè con i dati scritti in ordine crescente.

La moda è la modalità del carattere altezza che è più ricorrente, cioè quello con la frequenzapiù alta: Moda = 175.�� b Esercizi proposti: 24.33, 24.34, 24.35, 24.36, 24.37, 24.38


24.5 Esercizi


24.1 - Indagine statistica

24.1. In una indagine su alcune famiglie si sono rilevati i seguenti caratteri; indicane il tipoponendo una crocetta nella casella opportuna; per i caratteri quantitativi indica se sono discretio continui, per i caratteri qualitativi indica se sono ordinabili o sconnessi:

Carattere quantitativo qualitativodiscreto continuo ordinabile sconnesso

Reddito mensile del capofami-gliaTitolo di studio del capofamigliaFamiliari a caricoSettore lavorativoLuogo di nascita del capofami-gliaTempo impiegato per raggiunge-re il luogo di lavoro

24.2 - Fasi di un’indagine statistica

24.2. Compila una tabella relativa alla distribuzione degli studenti della tua classe in relazio-ne a:

á colore dei capelli (nero, castano, biondi, rosso);á anno di nascita;á città di residenza.

24.3. In una certa nazione in un dato anno si sono vendute 10540 biciclette, 7560 scooter, 2300moto e 6532 automobili. Completa la tabella:

Mezzi di trasporto venduti Freq. assoluta Freq. relativa Freq. percentuale

BicicletteScooterMotoAutomobili

Totale

24.4. Da un’indagine sulla distribuzione delle altezze in un gruppo di studenti sono statirilevati i seguenti dati grezzi (espressi in cm):

175 168 169 173 160 165 170 172 177 172 170 173 182164 174 185 188 164 175 160 177 176 184 180 176 168174 175 177 183 174 166 181 173 166 172 174 165 180190 175 176 188 171 172 181 185 184 183 175 173 181


Raggruppa i dati in classi di ampiezza 5 cm e costruisci la distribuzione di frequenza. Calcolapoi frequenza relativa e percentuale.

24.5. Dall’analisi delle paghe settimanali dei dipendenti di un’industria automobilistica si èottenuta la seguente distribuzione di frequenza, suddivisa in classi (la parentesi quadra indicache l’estremo della classe considerato è incluso nella classe stessa, la parentesi tonda indicache l’estremo della classe considerato è escluso dalla classe). Determina per ogni classe direddito frequenza relativa e percentuale.

Classi di reddito (e) Freq. assoluta Freq. relativa Freq. percentuale

50-100 50100-200 70200-300 30> 300 50

24.6. Data la seguente distribuzione dei risultati dei test d’ingresso di matematica in unascuola media, sapendo che l’indagine è stata svolta su 200 alunni, determina frequenzeassolute e relative.

Voto 3 4 5 6 7 8 9Frequenza percentuale 5% 10% 25% 40% 15% 3% 2%Frequenza assolutaFrequenza relativa

24.7. Osserva la seguente tabella:

Freq. assoluta Freq. relativa Freq. percentuale

Infanzia 950.000Primaria 2.538.000Secondaria di 1° grado 1.700.000Secondaria di 2° grado 2.425.000Totale

á Quale fenomeno descrive la tabella?á qual è la popolazione statistica oggetto dell’indagine?á quante sono le unità statistiche?á qual è stato il carattere indagato?á completa la tabella calcolando frequenza relativa e frequenza percentuale.

24.8. In un campione di ginnaste di livello agonistico si è rilevata l’altezza in metri. Bastaquesta frase per indicare la popolazione oggetto di indagine e il carattere rilevato? Il carattereanalizzato è di tipo qualitativo o quantitativo?

L’indagine ha dato i seguenti risultati:

Altezza 1,49 1,50 1,55 1,58 1,61 1,64 1,67 1,70 1,71Numero ginnaste 1 6 11 4 6 4 2 2 3


Quante sono le unità statistiche? Determina in percentuale il numero delle ginnaste la cuialtezza è non inferiore a 1, 60 m.

24.9. La tabella mostra dati relativi ad una popolazione di 20 famiglie italiane; le informazioniin essa contenute stabiliscono alcuni aspetti o caratteri dei membri della popolazione: numerodi componenti, reddito annuo (in migliaia di euro), titolo di studio del capofamiglia, residenzaper area geografica. Osserva la tabella e rispondi alle domande che seguono.

Famiglia Numero componenti Reddito annuo Titolo di studio Residenza

1 2 28 Elementare Nord2 1 35 Media inferiore Centro3 3 50 Media inferiore Nord4 1 45 Media superiore Nord5 1 40 Laurea Sud6 2 30 Media inferiore Sud7 3 55 Media inferiore Centro8 4 80 Media superiore Centro9 5 60 Laurea Sud

10 6 85 Laurea Nord11 7 90 Laurea Nord12 1 52 Media superiore Centro13 2 62 Media superiore Sud14 3 75 Media superiore Sud15 5 60 Elementare Nord16 4 45 Media inferiore Nord17 3 42 Media inferiore Centro18 2 28 Elementare Nord19 8 70 Media superiore Sud20 2 38 Laurea Sud

á Cosa si intende, in statistica, per popolazione?á quali sono le unità statistiche di cui sono trascritti i dati nella tabella precedente?á quali caratteri riportati nella tabella sono qualitativi e quali quantitativi?á quali sono le modalità dei caratteri qualitativi indagati?á bastano le informazioni della precedente tabella per stabilire:

à dove risiede la maggior parte delle famiglie oggetto di questa indagine? Se sì, comelo stabilite?

à il numero di famiglie il cui capo-famiglia ha come titolo di studio quello di ScuolaMedia Superiore? Se sì, come lo stabilite?

á costruire la tabella:

Titolo di studio Elementare Media inferiore Media superiore LaureaNumero di famiglie

á è vero che 1/4 dei capifamiglia, cioè il 25%, è laureato?á costruire un’altra tabella, sul modello della precedente, in cui è riportato il numero di

famiglie aventi 1, 2, 3 ecc. componenti. È vero che 1/3 delle famiglie è costituito da piùdi 5 persone?


á individua il reddito minimo e quello massimo, completa la tabella delle frequenze inmodo che il carattere reddito sia suddiviso in classi di ampiezza 5, come indicato intabella.

Classi di reddito Frequenza assoluta

26-3031-35. . .

á quante famiglie hanno un reddito compreso tra 46 e 90 mila euro? Indica la rispostaanche in percentuale.

24.10 (Fonte Wikipedia). Rappresenta con un diagramma cartesiano la seguente serie storicarelativa alla produzione di olio di oliva in Puglia, scegliendo una opportuna unità di misura:

Anno 2006 2005 2004 2003Produzione olio (in quintali) 1.914.535 2.458.396 2.678.201 2.508.084

24.11 (Fonte ISTAT). Rappresenta con un diagramma cartesiano la seguente serie storica,relativa al numero di società quotate in borsa, dal 1975 al 1984:

Anno 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984Società 154 156 156 148 145 141 141 148 150 155

24.12. Rappresenta graficamente mediante diagramma cartesiano la seguente tabella cheriporta le temperature misurate a Lecce durante una giornata invernale.

Ore 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22Temperatura in ◦C 5 5,5 5,5 6 7,5 10 16 18 16,5 12 8 6,5

24.13. Rappresenta attraverso un ideogramma la seguente tabella statistica, che indica le oredi studio giornaliere di uno studente, usando 2 ore come unità di misura, scegli un simboloopportuno.

Giorno Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato DomenicaOre studio 2 6 5 2 3 4 0

24.14. Costruisci un ideogramma a partire dai dati della seguente tabella:

Regione Produzione vino (in quintali)

Toscana 20500Veneto 18000Campania 14500Puglia 15500Molise 8000

24.15. La seguente tabella rappresenta i risultati di un’indagine sulla capitale europea preferitada un gruppo di studenti universitari. Rappresenta i dati utilizzando un diagramma a nastro.


Capitale preferita Frequenza

Parigi 25Roma 42Londra 30Vienna 10Amsterdam 28

24.16. Rappresenta con un diagramma a colonne i dati riportati nella seguente tabella relativialla vendita di automobili da un concessionario nell’anno 2009.

Marca automobile Auto vendute

Renault 50Fiat 270Ford 120Toyota 40Alfa Romeo 30

24.17. Consideriamo la seguente tabella statistica che indica le frequenze percentuali di forzalavoro per settore economico rilevata nel 2006 in Italia:

Forza lavoro per settore economico Frequenza percentuale

Forza lavoro occupata nell’agricoltura 4,20%Forza lavoro occupata nell’industria 30,70%Forza lavoro occupata nei servizi 65,10%Tasso di disoccupazione 8,00%

Rappresentare graficamente mediante areogramma i dati contenuti nella tabella.

24.18. Rappresentare attraverso un areogramma la seguente tabella statistica, che indica lealtezze di 100 studenti maschi di una data scuola dopo aver calcolato le frequenze percentuali:

Altezze (in m) Numero di studenti Frequenze percentuali

1,50-1,55 111,60-1,65 181,70-1,75 421,80-1,85 221,90-1,95 6

Totale 100

24.19. Rappresentare attraverso un istogramma la seguente tabella statistica, che indica lealtezze di 100 studenti maschi di una data scuola:

Altezze (in m) 1,50-1,55 1,60-1,65 1,70-1,75 1,80-1,85 1,90-1,95Numero di studenti 11 18 42 22 6

24.20. Uno studente universitario di Matematica ha superato 28 esami con queste valutazioni:


18 25 26 23 30 21 24 20 29 28 24 21 23 2828 24 22 25 24 27 24 21 23 28 18 25 26 23

Organizza i dati in una tabella suddividendoli in classi e rappresentali tramite un istogramma.

24.3 - Indici di posizione

24.21. Un concessionario di moto vende delle moto di diversa cilindrata come descritto nellatabella. Determinare la moda.

Modello moto 250 350 500 750 1000Numero moto vendute 34 30 45 100 42

24.22. Calcolare la moda della distribuzione rappresentata attraverso la seguente tabellastatistica:

Dati 3 6 8 9 12 24Frequenze 23 78 67 78 89 100

24.23. Calcolare la classe modale della seguente distribuzione:

Abitanti 0-1000 1000-2000 2000-5000 5000-10000 10000-20000Numero comuni 750 1100 950 2500 3000

24.24 (∗). Trovare la media aritmetica semplice delle seguenti serie di osservazioni:

a ) 3, 4, 6, 7, 10;b ) 6, 7, 8, 12, 15, 22;

c ) 34, 53, 45, 67, 87, 90, 100, 123.

24.25. In una classe di 15 ragazzi sono stati rilevati i seguenti pesi in kg: 50, 43, 62, 41, 70,55, 76, 43, 46, 50, 78, 62, 49, 55, 48. Calcola la media aritmetica semplice del peso dei ragazzi.Costruisci la tabella delle frequenze. Calcola la media aritmetica ponderata del peso deiragazzi. Che cosa osservi?

24.26 (∗). In un insieme di numeri compaiono quattro volte il 3, cinque volte il 5, tre volte il 6,due volte il 10, due volte il 15. Calcolare la media aritmetica.

24.27 (∗). Calcola la media della seguente distribuzione di frequenza.

Punteggio 2 4 6 7 12 14Frequenza assoluta 2 4 5 4 3 2

24.28. Una rivista di auto fornisce i seguenti punteggi per tre diversi modelli di automobili.

Funzionalità Volumetria Prestazioni Sicurezza Economia

Modello 1 2,5 4 3,2 3,5 2,5Modello 2 2,5 3 4 3,5 2Modello 3 2,7 3 3,5 3,8 2,5

Quale tipo di auto viene considerato mediamente migliore se si dà lo stesso peso alle singolecaratteristiche?


24.29. Un insegnante di fisica, per mostrare che le misure di uno stesso oggetto sono soggettead errori che dipendono dall’osservatore, ha fatto misurare la lunghezza di una cattedra conun metro a ciascun alunno della propria classe. I risultati sono stati i seguenti:

Lunghezza 100,8 100,9 101,2 101,5 102Frequenza 2 8 5 4 1

Qual è la lunghezza media della cattedra?

24.30 (∗). Trovare la mediana delle seguenti serie di osservazioni:

a ) 3, 4, 6, 7, 10;b ) 6, 7, 8, 12, 15, 22;

c ) 34, 53, 45, 67, 87, 91, 100, 123, 129, 135.

24.31 (∗). In una classe di 15 ragazzi sono stati rilevati i seguenti pesi in kg: 50, 43, 62, 41, 70,55, 76, 43, 46, 50, 78, 62, 49, 55, 48. Calcola la mediana del peso dei ragazzi.

24.32 (∗). Dati i seguenti tempi di risposta ad un test sostenuto da un gruppo di 8 studenti adun concorso in un ente pubblico 19, 25, 20, 15, 8, 5, 12, 15. Calcola la mediana.

24.33. Calcola la classe mediana sulla base dei dati riportati nella tabella seguente relativaagli occupati nel settore agricolo suddivisi per età:

Età 20-25 25-30 30-35 35-40 Oltre 40Frequenza 500 750 230 400 350

24.4 - Indici di variabilità

24.34. Calcola campo di variazione e varianza della seguente distribuzione: 6, 8, 10, 12, 14.

24.35. Nella seguente tabella sono indicati i consumi bimestrali d’acqua, espressi in metricubi, di una certa famiglia in due anni consecutivi:

Bimestre 1 2 3 4 5 6

Anno 1 70 80 110 120 140 90Anno 2 80 75 100 130 120 85

Calcola per ciascun anno media, campo di variazione e varianza. Stabilisci infine, giustificandola risposta, in quale anno c’è stata una variabilità maggiore.

24.36. In un gruppo di studenti la valutazione dell’esame di biologia risulta così distribuita:27, 25, 26, 24, 24, 21, 24, 20, 29, 28, 28, 24, 22, 25, 24, 22, 24, 21, 23, 28.

a ) Organizza i dati in una tabella, indicando anche la frequenza assoluta, quella relativa infrazione e quella percentuale;

b ) rappresenta i dati in un grafico a piacere;c ) calcola moda, media e mediana dandone una breve interpretazione;d ) calcola la varianza.


24.37. Una ditta paga 5 persone 165e alla settimana, 4 persone 199e a settimana e 2 personea 218e a settimana. Trova media aritmetica, moda e mediana. Che percentuale di persone hala retribuzione che si discosta, sia in positivo che in negativo, di 20e dalla media?

24.38. È stata effettuata un’indagine statistica fra le persone presenti in una libreria riguardoal numero di libri letti nella scorsa estate. I dati sono raccolti nella seguente tabella:

N° libri letti 0 1 2 3 4 5 6 7N° persone 20 35 9 6 3 0 1 1

a ) Organizza i dati in una tabella e calcola la frequenza assoluta, quella relativa e quellapercentuale;

b ) rappresenta i dati in un grafico scelto a piacere;c ) calcola moda, media e mediana dandone una semplice interpretazione;d ) calcola varianza e coefficiente di variazione.


24.39. Scegli la risposta corretta:

1. se compi un’indagine sul peso degli allievi della tua scuola, la popolazione è costituita?

a ) dagli allievi della scuola;b ) dai pesi degli allievi della tua scuola;c ) da ciascun allievo della scuola;d ) dal peso di ciascun allievo della scuola.

2. nella stessa indagine, da cosa sarà costituita un’unità statistica?

a ) dagli allievi della scuola;b ) dai pesi degli allievi della tua scuola;c ) da ciascun allievo della scuola;d ) dal peso di ciascun allievo della scuola.

3. un’indagine statistica realizzata intervistando solo una parte della popolazione statisticaè definita

a ) incompleta;b ) universo;c ) censimento;d ) per campione;

4. la frequenza percentuale si ottiene

a ) dividendo la frequenza per il totale delle frequenze e moltiplicando il risultatoper 100;

b ) moltiplicando la frequenza per 100;c ) moltiplicando la frequenza per il totale delle frequenze e dividendo il risultato

per 100;d ) dividendo la frequenza per 100.

5. la mediana:

a ) è il valore che si ottiene dividendo la somma dei valori delle singole osservazioniper il loro numero;


b ) è il valore equidistante dagli estremi di un insieme di dati ordinati;c ) è il valore che si presenta con la massima frequenza in un insieme di dati;d ) è il valore che indica la percentuale di dati al di sopra o al di sotto della media.

6. la media aritmetica:



7. la moda:



8. nella seguente distribuzione di dati 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7:

a ) la media aritmetica è 5, la moda è 4, la mediana è 6;b ) la media aritmetica è 4, la moda è 6, la mediana è 5;c ) la media aritmetica è 5, la moda è 6, la mediana è 4;d ) la media aritmetica è 5, la moda è 4, la mediana è 5.

9. nella tua classe la mediana dell’altezza è 152 cm. Questo significa che:

a ) non ci sono studenti più bassi di 152 cm;b ) 152 cm è l’altezza più comune;c ) la metà degli studenti ha un’altezza inferiore a 152 cm, mentre l’altra metà ha

un’altezza superiore;d ) in media gli studenti sono alti 152 cm.

10. nella tua classe la moda dell’altezza è 152 cm. Questo significa che:

a ) non ci sono studenti più bassi di 152 cm;b ) 152 cm è l’altezza più comune;c ) la metà degli studenti ha un’altezza inferiore a 152 cm, mentre l’altra metà l’ha

superiore;d ) in media gli studenti sono alti 152 cm.

11. nella tua classe la media aritmetica dell’altezza è 152 cm. Questo significa che:

a ) non ci sono studenti più bassi di 152 cm;b ) 152 cm è l’altezza più comune;c ) la metà degli studenti ha un’altezza inferiore a 152 cm, mentre l’altra metà l’ha

superiore;d ) se tutti gli alunni avessero la stessa altezza questa sarebbe di 152 cm.

24.40. In un test sulla prova di velocità di lettura i candidati hanno ottenuto i seguenti risultati:

N° pagine lette in 15 minuti 10 12 11 9 14 13 7N° candidati 2 5 2 1 1 3 4


a ) Organizza i dati in una tabella indicando frequenza assoluta, frequenza relativa epercentuale;

b ) rappresenta i dati in un diagramma a bastoni;c ) calcola moda, media e mediana;d ) quanti candidati in percentuale hanno letto un numero di pagine sopra la media?

24.41. In un gruppo di ragazzi le stature (espresse in centimetri) risultano distribuite nelseguente modo: 163, 169, 171, 165, 173, 165, 163, 168, 168, 169, 171, 169, 181, 165, 168, 169, 169,163, 169, 168, 150, 168, 172, 181, 165, 169, 172, 169, 192, 173, 163, 168.

a ) Costruisci una tabella indicando i dati, la loro frequenza, la frequenza relativa e lapercentuale;

b ) suddividi i dati in 4 classi, costruisci la distribuzione di frequenza e rappresentaligraficamente con un istogramma;

c ) calcola la moda, la media e la mediana.

24.42. Sono state misurate le pulsazioni al minuto di 20 persone ottenendo i seguenti dati: 79,72, 69, 69, 72, 80, 73, 73, 70, 66, 80, 68, 70, 72, 82, 75, 72, 71, 74, 64.

a ) Organizza i dati in una tabella comprensiva di percentuale di frequenze;b ) rappresenta graficamente i dati;c ) calcola moda, media e mediana.

24.43. Ventuno ragazzi sono stati sottoposti a una verifica; i dati seguenti esprimono il numerodi errori commessi da ciascuno di loro: 3, 4, 1, 3, 6, 6, 3, 1, 4, 7, 3, 1, 1, 3, 7, 7, 1, 3, 7, 3, 3.

a ) Organizza i dati in una tabella comprensiva di percentuale di frequenze;b ) rappresenta graficamente i dati;c ) calcola moda, media e mediana;d ) quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno di 5 errori?

24.44. I dati riportati in tabella si riferiscono ai giorni di assenza degli alunni di una classe.

Alunno n° giorni Alunno n° giorni Alunno n° giorni Alunno n° giorni

Mauro 5 Romeo 2 Bruna 7 Silvia 2Antonio 7 Anna 4 Pietro 2 Alessio 2Paola 5 Luca 4 Nicola 7 Patrizia 9Luisa 5 Amedeo 5 Aldo 2 Franca 1Carla 1 Marco 7 Luigi 2 Chiara 7

a ) Organizza i dati in una tabella comprensiva di percentuale di frequenze;b ) rappresenta i dati con un istogramma;c ) calcola moda, media e mediana;d ) quanti alunni, in percentuale, hanno fatto meno assenze rispetto alla media?

24.45. Nella tabella sono riportati i punteggi ottenuti da 22 alunni in un test formato da 20quesiti a scelta multipla e il numero di risposte esatte.


N° ordine Punteggi Risposte esatte N° ordine Punteggi Risposte esatte

1 80 26 12 55 112 62 12 13 58 113 48 9 14 80 164 71 14 15 75 145 80 16 16 65 126 90 18 17 58 117 75 15 18 58 108 67 13 19 62 129 79 15 20 57 1110 62 12 21 60 1211 95 19 22 48 8

a ) Il punteggio medio è stato . . . con uno scarto quadratico medio di . . . ;b ) la mediana della distribuzione è il punteggio . . . ;c ) le risposte esatte sono state in media . . . con uno scarto quadratico di . . . ;d ) rappresenta ciascuna distribuzione con un istogramma, dopo aver aggregato i dati in

classi come indicato nelle tabelle sottostanti.

Carattere . . . Carattere . . .Punteggio Frequenza assoluta Risposte esatte Frequenza assoluta

48 6 p < 58 7 6 r.e. < 958 6 p < 68 9 6 r.e. < 1168 6 p < 78 11 6 r.e. < 1378 6 p < 88 13 6 r.e. < 1588 6 p < 98 15 6 r.e. < 17

17 6 r.e. < 1919 6 r.e. < 21

Totale Totale

24.46. Una scatola contiene 20 sacchetti di biscotti confezionati da una industria. I pesi rilevatiin grammi sono: 380, 365, 371, 375, 376, 369, 376, 377, 381, 383, 384, 377, 370, 375, 374, 376, 373,378, 383, 378.

a ) Il carattere rilevato è . . ., esso è di tipo . . . e si presenta secondo modalità . . .. Inseriscinella tabella sottostante nella colonna C1 il carattere rilevato e le sue modalità;

b ) quanto è il peso totale della scatola? Come lo hai calcolato?c ) il peso medio dei sacchetti di biscotti è Media = . . .;d ) qual è il campo di variazione del peso dei sacchetti? CVar= . . .;e ) la mediana della distribuzione è . . .;f ) nella colonna “scarto” riporta, per ciascun valore del carattere indagato, lo scarto dalla

media. Verifica la proprietà degli scarti rispetto rispetto alla media: la loro somma è . . .;g ) completa la colonna |scarto| con il valore assoluto degli scarti e determina lo scarto

medio assoluto s = . . . ;h ) completa la colonna scarto2 con il quadrato degli scarti e calcola la varianza Var= . . . e il

coefficiente di variazione CV= . . .;


i ) raggruppa i valori del carattere in classi di ampiezza 5 gr e completa la tabella;j ) metti in evidenza la classe modale e spiega il significato di moda;

k ) costruisci l’istogramma della distribuzione;

C1 scarto |scarto| scarto2 C1 scarto |scarto| scarto2

1 112 123 134 145 156 167 178 189 1910 20

Totale

l ) organizza i dati in classi:

Classi di peso Frequenza assoluta

[365; 370). . .

24.47. Dai dati di scrutinio del primo quadrimestre in una scuola secondaria di 2° grado, èstata elaborata la seguente tabella in cui compaiono i voti in matematica degli alunni delleclassi prime:

Voto 3 4 5 6 7 8 9 10 TotaleFrequenza 1 3 5 7 2 3 1 1Frequenza relativaFrequenza percentuale

a ) Indica il numero di unità statistiche oggetto dell’indagine e spiega come lo puoi ottenere;b ) il carattere rilevato è . . . ; esso è di tipo . . . e si presenta secondo modalità . . . ;c ) la tabella assegnata è di dati aggregati o disaggregati?d ) rappresenta la distribuzione attraverso un grafico a barre (o a nastro);e ) cosa si intende per frequenza assoluta?f ) completa la colonna della frequenza relativa;g ) completa la colonna frequenza percentuale;h ) determina la moda della distribuzione: Moda = . . . ;i ) il voto medio in matematica alla fine del primo quadrimestre è stato . . . ;j ) determina la mediana della distribuzione: Mediana = . . . ;

k ) amplia la tabella indicando gli scarti dalla media;l ) calcola lo scarto medio assoluto e lo scarto quadratico medio;

m ) il voto medio dei ragazzi sufficienti è stato . . . , quello dei ragazzi insufficienti è stato . . . ;


n ) rappresenta la situazione con un areogramma distinguendo tra ragazzi sufficienti eragazzi insufficienti.

24.48 (Prove Invalsi 2011). Il reddito medio annuo dei lavoratori agricoli di un certo paeseammonta a 3500 scudi e quello dei lavoratori dell’industria a 4500 scudi. È corretto affermareche il reddito medio complessivo ammonta a 4000 scudi?

24.49 (∗Prove Invalsi 2011). La settimana scorsa la mamma chiese ad Aurelia di trascrivere alcomputer un manoscritto e Aurelia le assicurò che avrebbe battuto 20 pagine al giorno. Per laprima metà del manoscritto andò piuttosto lentamente battendo 10 pagine al giorno e poi, perrecuperare il tempo perduto, trascrisse la seconda metà a 30 pagine al giorno. Quando ebbefinito portò a sua madre la trascrizione dicendole: Vedi, ho fatto una media di 20 pagine algiorno, come ti avevo promesso. Infatti (10 + 30)/2 = 20. Non è vero, replicò sua madre.

24.50 (∗Prove Invalsi 2011). In una indagine sullo stato di salute della popolazione sono stateraccolte informazioni relative al peso e alla statura di 1000 intervistati. Gli intervistati sonostati poi suddivisi in quattro gruppi, come riportato nel grafico seguente. Quante sono lepersone in sovrappeso?

a ) Più di 500, ma meno di 600;b ) più di 600;c ) meno della somma delle persone sottopeso e obese;d ) all’incirca tante quante sono le persone normopeso.

SottopesoNormopeso

Sovrappeso Obeso0

10

20

30

40

0.3

42.2 43.8

13.7Perc

entu

ale

24.51. Quattro amici sostengono l’Esame di Stato conseguendo punteggi la cui media aritme-tica è 77, 5/100. Se tre di essi hanno conseguito un punteggio, in centesimi, rispettivamentedi 70, 76, 80, quale punteggio ha conseguito il quarto studente?

24.52 (Prove Invalsi 2004-2005). La seguente tabella si riferisce alla rilevazione effettuata inuna classe prima di un Istituto Tecnico.


Scuola media di provenienzaSesso Scuola A Scuola B Scuola C Altre scuole

Maschi 5 3 4 2Femmine 6 3 4 3

Qual è la percentuale di alunni provenienti dalla Scuola B?

24.53 (Prove Invalsi 2005-2006). In una classe di 25 alunni, i punteggi (abbreviati in tabellacon p) ottenuti in un test di matematica risultano distribuiti come indicato nella seguentetabella.

Punteggio 0 6 p < 20 20 6 p < 40 40 6 p < 60 60 6 p < 80 80 6 p 6 100Numero alunni

Qual è la percentuale di alunni che ha ottenuto un punteggio inferiore a 60?

24.54 (Prove Invalsi 2005-2006). Un impiegato ha percepito per i primi 3 mesi dell’anno unostipendio mensile di 850e. Nei 9 mesi successivi ha percepito lo stipendio mensile precedenteaumentato di 200e. Quant’è lo stipendio medio nell’anno di quell’impiegato?

24.55 (Prove Invalsi 2005-2006). Nel grafico seguente si riporta l’età dei ragazzi che frequenta-no una palestra. Qual è la media aritmetica dell’età dei ragazzi se la distribuzione di frequenzaè quella indicata nel grafico?

9 10 11 120

2

4

6

8

Età

Freq

uenz

a


24.56 (Prove Invalsi 2006-2007). I 25 alunni della terza C, dopo aver raccolto i voti conseguitinella verifica scritta di matematica, hanno costruito il seguente grafico:

Voti di Matematica della classe terza C

Voto 3Voto 4Voto 5Voto 6Voto 7Voto 8Voto 9

4%

12%

28%

32%

12%

8%

4%

4%4%

Quanti ragazzi hanno conseguito come voto 7?

a ) 12; b ) 7; c ) 5; d ) 3.

24.57. La figura indica quanti romanzi leggono gli alunni di una classe in un mese. Quantisono gli alunni che leggono almeno 2 romanzi?

0 1 2 3 40

2

4

6

romanzi

24.58 (Prove Invalsi 2004-2005). Il Ministero dell’Istruzione ha diffuso le seguenti informazionisul numero di alunni stranieri della scuola italiana nell’anno scolastico 2003-2004. La tabellariporta solo le 5 nazionalità più numerose.


Nazionalità più numero-se

Numero di alunni Percentuale di alunni sultotale degli stranieri

Albania 50.000 18,00%Marocco 42.000 15,00%Romania 28.000 10,00%Cina 16.000 6,00%Ecuador 11.000 4,00%

Cosa si può dedurre da tali dati sugli alunni stranieri di nazionalità russa? Sono . . .

a ) meno di 11 000;b ) sicuramente meno di 400;c ) una percentuale compresa fra il 4% e il 18%;d ) assenti dalle scuole italiane.

24.59. La tabella mostra la superficie delle varie province del Lazio.

Provincia Frosinone Latina Rieti Roma ViterboSuperficie ( km2) 3240 2251 2749 5352 3612

Quale dei diagrammi riportati sotto descrive graficamente i dati della tabella?

1 2 3

4 5

Frosinone Latina Rieti Roma Viterbo


24.5.3 Risposte

24.24. a) 6, b) 11,7, c) 75.

24.26. 21.

24.27. 7, 1.

24.30. a) 6, b) 10, c) 89.

24.31. 43.

24.32. 15.

24.49. 15.

24.50. d.

Relazioni e funzioni VIII

“Y me llevo. . . ”Foto di Sidi Guariach

http://www.flickr.com/photos/sidi_guariach/2240000519/Licenza: Attribuzione 2.0 Generico (CC BY 2.0)

http://www.flickr.com/photos/sidi_guariach/2240000519/

Relazioni AA.1 Proposizioni e predicati

In matematica frasi come “19 è maggiore di 5” o “Giove ruota intorno alla Terra” sonoconsiderate proposizioni perché ad esse si può attribuire un preciso valore di verità, cioè si puòstabilire se sono vere oppure false: la prima è una proposizione vera, la seconda è falsa.

Non sono proposizioni in senso matematico “Cosa stai studiando?”, “domani pioverà!”,“x è un numero primo”: infatti la prima non è un’affermazione ma pone una domanda, laseconda è una esclamazione e quindi non possiamo stabilire se è vera o falsa; l’ultima contieneun elemento indeterminato e finché non si fissa il valore da attribuire a x, non si può deciderese la frase che lo riguarda è vera o falsa.

Ogni proposizione è formata da un predicato (verbo) e dai suoi argomenti (cose o personealle quali il verbo si riferisce).

Analizzando le proposizioni sopra enunciate si ha:

Soggetto Predicato Complemento

19 è maggiore di 5Giove ruota attorno alla Terra

Il soggetto e il complemento sono gli argomenti ai quali il predicato si riferisce. In alcuneproposizioni il predicato si riferisce a due argomenti (il soggetto e il complemento) in altre ad unsolo argomento: ad esempio, il predicato “essere numero primo” stabilisce semplicementeuna caratteristica del numero 5 senza porre alcuna connessione con un altro argomento.

Definizione A.1. Si dice predicato binario un predicato che si riferisce a due argomenti.

�� b Esercizio proposto: A.1

A.2 Relazioni in un insieme

Il termine relazione entra molto spesso in frasi del linguaggio naturale, lo usiamo peresprimere un generico legame tra due persone o tra due oggetti, anche senza specificarne lanatura: “si è conclusa la relazione tra Anna e Paolo”, “l’allungamento di una sbarretta di ferroè in relazione con il calore fornito”, “la frana del terreno è in relazione con il disboscamentodella zona e l’abusivismo edilizio”, “domani consegnerò la relazione di fisica”. Sono tutteespressioni che ci danno informazioni di un qualche collegamento tra gli argomenti (persone,cose) ai quali il termine relazione si riferisce.

Dal punto di vista matematico diamo la seguente definizione.

481

482 Capitolo A. Relazioni

Definizione A.2. Si dice relazione in un insiemeA un predicato binario che lega due elementidell’insieme.

Esempio A.1. Nell’insiemeA = { 3, 5, 6, 9, 30} è introdotto il predicato binario “essere multiplodi”; con esso formiamo le proposizioni vere scegliendo soggetto e complemento nell’insie-me A:

30 è multiplo di 6;9 è multiplo di 3;30 è multiplo di 3;6 è multiplo di 3;

30 è multiplo di 5;3 è multiplo di 3;5 è multiplo di 5;6 è multiplo di 6;

9 è multiplo di 9;30 è multiplo di 30.

Il predicato “essere multiplo” genera nell’insieme A una relazione matematica. Essotuttavia non è il solo che permette di collegare tra loro due elementi di quell’insieme.

�� b Esercizio proposto: A.2Se chiamiamo con R il predicato binario che definisce la relazione introdotta nell’insieme,

per indicare sinteticamente che la proposizione avente come soggetto a, come complemento be come predicato R, scriviamo aRb e diremo sinteticamente che a è in relazione con b.

Esempio A.2. Con riferimento all’esempio precedente si ha: A = { 3, 5, 6, 9, 30}, R: “esseremultiplo di”. Allora scriviamo: per qualunque a e b appartenenti ad A, aRb se e solo se a èmultiplo di b, in particolare:

30R 6; 9R 3; 30R 3; 6R 3; 30R 5; 3R 3; 5R 5; 6R 6; 9R 9; 30R 30.

Abbiamo così formato un insieme di coppie ordinate di elementi tra loro in relazione: 30R 5può anche essere indicata con (30, 5).

Definizione A.3. Chiamiamo insieme della relazione (in simboli GR) l’insieme delle coppieordinate i cui elementi sono gli argomenti del predicato binario, ossia sono in relazione tra diloro. Esso risulta essere un sottoinsieme del prodotto cartesiano dell’insiemeA con se stesso.Si rappresenta per proprietà caratteristica nel seguente modo GR = {(a,b) ∈ A×A/aRb}.

�� b Esercizi proposti: A.3, A.4, A.5, A.6

A.2.1 Grafico di una relazione

Dal momento che una relazione in un insieme Y determina un sottoinsieme del prodottocartesiano Y × Y è comodo rappresentare una relazione nello stesso diagramma usato perrappresentare il prodotto cartesiano. Una relazione può quindi essere rappresentata attraversoun grafico cartesiano.�� b Esercizi proposti: A.7, A.8

Sezione A.2. Relazioni in un insieme 483

A.2.2 Matrice o tabella di una relazione

Nella figura A.1 è rappresentata la classica griglia per il gioco della battaglia navale. Ognicella è individuata da una coppia ordinata il cui primo elemento (una lettera dell’alfabeto)indica la riga, il secondo (un numero) indica la colonna; così la coppia (D, 5) indica la cellaannerita.�� b Esercizi proposti: A.9, A.10, A.11

A.2.3 Grafo di una relazione

Definizione A.4. Un grafo è un insieme di punti detti nodi e di archi che uniscono coppiedi punti.

Abbiamo visto che con un predicato si possono formare alcune proposizioni aventi rispet-tivamente come soggetto e come complemento elementi di un insieme: solo le proposizionivere determinano la relazione tra gli elementi di quell’insieme e generano coppie di elementiin relazione.

Esempio A.3. Nel diagramma di Eulero-Venn (figura A.2) dell’insieme A = { 3, 5, 6, 9, 30}rappresentiamo la relazione R = “essere multiplo di” collegando mediante una freccia gliargomenti delle proposizione vere.

Come puoi osservare l’elemento 30 è collegato con una freccia all’elemento 6 in quanto laproposizione: “30 è multiplo di 6” è vera, ma non all’elemento 9 poiché la proposizione: “30 èmultiplo di 9” è falsa; inoltre la punta della freccia è sul numero 6 in quanto complementodel predicato “essere multiplo”; infine su ciascun elemento abbiamo messo un anello o cappioper indicare che ogni elemento è in relazione con se stesso essendo vera per ogni elemento adell’insieme A la proposizione: “a è multiplo di a”.�� b Esercizi proposti: A.12, A.13, A.14, A.15, A.16, A.17, A.18

1 2 3 4 5 6 7

A

B

C

D

E

F

FIGURA A.1: Griglia della battaglia navale.

5

306

93

FIGURA A.2: L’insieme A.


A.3 Proprietà delle relazioni

A.3.1 Proprietà riflessiva

Esempio A.4. Nell’insieme T = { 7, 8, 12, 34, 100} è introdotta la relazione R: “essere divisoredi”. Puoi osservare che ogni numero è divisore di se stesso, cioè ogni elemento dell’insieme èin relazione con se stesso. Una relazione di questo tipo si dice che gode della proprietà riflessiva.Osserva, però, che nell’insieme N dei numeri naturali la relazione “essere divisibile per” nonè riflessiva poiché zero non è divisibile per se stesso.

Definizione A.5. Una relazione R in un insieme A gode della proprietà riflessiva quandoogni elemento è in relazione con se stesso, ossia per qualunque x dell’insieme A si ha xRx.


A.3.2 Proprietà antiriflessiva

Esempio A.5. Nell’insieme delle persone P = {Marco, Antonio, Carlo} è data la relazione R:“essere più alto” rappresentata con la figura A.3. Puoi notare che nessun elemento è inrelazione con se stesso. In effetti nessuno può “essere più alto” di se stesso.

Definizione A.6. Una relazione R in un insieme A gode della proprietà antiriflessiva quandonessun elemento è in relazione con se stesso, ossia per nessun elemento x di A si ha xRx.


A.3.3 Proprietà simmetrica

Esempio A.6. Nella figura A.4 è rappresentata la relazione R: “essere concorde con” nel-l’insieme dei numeri A = {−1,+3,−7,+5,−2,+4,+10}. Per collegare elementi in relazioneabbiamo usato archi poiché, ad esempio, le proposizioni “+3 è concorde con +10” e “+10è concorde con +3” sono entrambe vere. Per questa relazione si può osservare che se unelemento dell’insieme è in relazione con un altro allora anche quest’ultimo è in relazione conil primo: −1R− 7, ma anche −7R− 1; +3R+ 5, ma anche +5R+ 3 e così via.

Definizione A.7. Una relazione R introdotta in un insieme A gode della proprietà simme-trica quando risultano vere le due proposizioni che si ottengono scambiando soggetto ecomplemento; ossia per qualunque x e y appartenenti all’insieme A se vale xRy allora valeanche yRx.


Sezione A.3. Proprietà delle relazioni 485

P

M

C

A

FIGURA A.3: Proprietà antiriflessiva.

−1

−2

−7 +10

+3+4

+5

FIGURA A.4: Proprietà simmetrica.

A.3.4 Proprietà antisimmetrica

Esempio A.7. Il diagramma di Venn, nella figura A.5, rappresenta un insieme U e alcuni suoisottoinsiemi.

Consideriamo ora l’insieme di insiemi S = {U,A,B,C,D,E, F} e la relazione R: “esseresottoinsieme proprio di”: completa il grafo della relazione.

Certamente nel completare il grafo (figura A.6) non avrai usato archi: è evidente che leproposizioni “B è sottoinsieme proprio di C” e “C è sottoinsieme proprio di B” non possonoessere entrambe vere. Anzi, la verità della prima implica necessariamente la falsità dellaseconda.

Definizione A.8. Una relazione R introdotta in un insiemeA gode della proprietà antisimme-trica quando non possono essere vere contemporaneamente le proposizioni che si ottengonoscambiando il soggetto con il complemento, se soggetto e complemento sono diversi traloro; ossia per qualunque x e y dell’insieme A se x 6= y e se xRy non è vero che yRx.�� b Esercizio proposto: A.22

A.3.5 Proprietà transitiva

Esempio A.8. Nel grafo (figura A.7) è rappresentata una relazione R introdotta in un in-sieme T . Dall’analisi della situazione rappresentata possiamo affermare che dalla verità di

A

E

B C

D F

U

FIGURA A.5: L’insieme U.

S

A

B

C D

EF

U

FIGURA A.6: L’insieme S.


T

a

b

c g

e

f

mn

t

FIGURA A.7: L’insieme T .

B

a

h

f

b

e

c

d

g

FIGURA A.8: L’insieme B.

(aRb e bRc) segue la verità di aRc. Analizzando gli altri elementi, possiamo osservare cheessendo vera (eRf e fRg) è vera anche eRg; inoltre si ha che essendo vera (nRm e mRt) èvera anche nRt.

Definizione A.9. Una relazione R introdotta in un insieme A gode della proprietà transitivaquando se aRb e bRc allora risulta anche aRc, con a, b, c elementi qualsiasi dell’insiemeA.�� b Esercizi proposti: A.23, A.24, A.25, A.26, A.27, A.28, A.29

A.4 Relazioni di equivalenza

Esempio A.9. Completa la tabella segnando le proprietà di cui gode ciascuna relazioneindicata (Ri= riflessiva, Si=simmetrica, Tr=transitiva).

Relazione Insieme Proprietà

Avere lo stesso perimetro poligoni [Ri][Si][Tr]

Essere fratello di persone [Ri][Si][Tr]

Essere figlio di persone [Ri][Si][Tr]

Essere più alto di persone [Ri][Si][Tr]

Avere gli angoli rispettivamente congruenti triangoli [Ri][Si][Tr]

Iniziare con la stessa lettera parole [Ri][Si][Tr]

Giocare nella stessa squadra calciatori [Ri][Si][Tr]

(a,b)R(x,y) se e solo se a+ b = x+ y N×N [Ri][Si][Tr]

Svolgimento: La prima relazione gode delle tre proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva;infatti:

á “il poligono p ha lo stesso perimetro di se stesso” è vera per qualunque poligono(proprietà riflessiva);

á “il poligono p1 ha lo stesso perimetro del poligono p2” implica la verità della proposi-zione “il poligono p2 ha lo stesso perimetro di p1”, qualunque siano i due poligoni p1e p2 (proprietà simmetrica);

Sezione A.4. Relazioni di equivalenza 487

á se “il poligono p1 ha lo stesso perimetro di p2” e “p2 ha lo stesso perimetro di p3” allorasi ha anche che “p1 ha lo stesso perimetro di p3”, qualunque siano i poligoni p1, p2, p3(proprietà transitiva).

Verifica tu se anche le altre relazioni godono delle tre proprietà riflessiva, simmetrica,transitiva, come “essere fratello di”, “avere gli angoli rispettivamente uguali”, “iniziare con lastessa lettera”.

Definizione A.10. Chiamiamo relazione d’equivalenza la relazione che gode delle treproprietà riflessiva, simmetrica e transitiva.�� b Esercizi proposti: A.30, A.31

Esempio A.10. Dato l’insieme B = {a,b, c,d, e, f,g,h} e la relazione rappresentata dal grafo(figura A.8) costruiamo alcuni suoi sottoinsiemi seguendo le istruzioni:

á ripeti;á scegliamo a caso un elemento di B;á formiamo un sottoinsieme contenente l’elemento scelto e tutti gli altri che con quello

sono in relazione;á finché non abbiamo esaurito tutti gli elementi.

Svolgimento:

á scegliamo l’elemento a, formiamo il sottoinsieme avente come elementi a, h, f che con asono in relazione: B1 = {a,h, f}. Gli elementi di B non sono esauriti, quindi ripetiamo ipassi scegliendo un elemento tra quelli rimasti;

á scegliamo g e formiamo il sottoinsieme B2 avente come elementi g e d, l’unico che conesso è in relazione: B2 = {g,d}. Gli elementi dell’insieme B non sono esauriti, quindiripetiamo i passi scegliendo un elemento tra quelli rimasti;

á scegliamo c e formiamo il sottoinsieme B3 avente come elementi c, e, b che con essosono in relazione: B3 = {c, e,b}.

Abbiamo esaurito gli elementi dell’insieme assegnato. Abbiamo così ottenuto tre sottoin-siemi dell’insieme B (figura A.9), che hanno queste particolari caratteristiche:

á nessuno è vuoto;á a due a due sono disgiunti;á la loro unione è l’insieme B.

Premettiamo le definizioni:

Definizione A.11. Determinare una partizione di un insieme X significa suddividere l’insiemestesso in un numero di sottoinsiemi X1,X2, . . . ,Xn, detti classi, tali che

a ) nessun sottoinsieme è vuoto,b ) a due a due sono disgiunti,c ) la loro unione è l’insieme X.

La partizione di X è l’insieme i cui elementi sono le classi X1,X2, . . . ,Xn, e viene indicatocon P(X) = {X1,X2, . . . ,Xn}.


B

a

h

f

b

e

c

d

g

B1

B2

B3

FIGURA A.9: I sottoinsiemi dell’insieme B.

P(B)

a

h

f

b

e

c

d

g

[a]

[d]

[b]

FIGURA A.10: La partizione dell’insieme B inclassi d’equivalenza.

Definizione A.12. Quando in un insieme A è stata introdotta una relazione d’equivalenza,si chiama classe d’equivalenza ogni sottoinsieme di A contenente tutti e soli gli elementitra loro in relazione. Si viene così a determinare una partizione dell’insieme A in classid’equivalenza ciascuna indicata racchiudendo in parentesi quadrate un suo qualunqueelemento.

Nell’esempio sopra riportato le classi d’equivalenza sono i sottoinsiemi di B indicaticon [a], [b], [d]; la partizione dell’insieme B in classi d’equivalenza è rappresentata con ildiagramma di Eulero-Venn nella figura A.10.

Definizione A.13. Si chiama insieme quoziente di un insieme A rispetto a una relazionedi equivalenza R, l’insieme i cui elementi sono le classi d’equivalenza determinate dallarelazione R. L’insieme quoziente si indica con il simbolo A/R.

Nel caso dell’esempio precedente si passa all’insieme quoziente B/R del seguente dia-gramma di Eulero-Venn:

B/R

[a]

[b]

[d]

q Osservazione Ogni volta che si ha una relazione d’equivalenza R in un insieme A,possiamo stabilire la seguente catena di passaggi:

insieme A→ partizione P(A)→ insieme quoziente A/R.�� b Esercizi proposti: A.32, A.33, A.34, A.35, A.36, A.37, A.38, A.39, A.40, A.41, A.42�� A.43

Sezione A.5. Relazioni di ordine 489

A.5 Relazioni di ordine

Nel linguaggio di ogni giorno avrai certamente spesso usato espressioni come “devomettere in ordine i miei libri” oppure “qui non c’è ordine” e altre espressioni simili.

Anche in matematica, fin dalla scuola elementare, hai imparato a ordinare gli elementidell’insieme dei numeri naturali: dati due numeri naturali hai imparato infatti a stabilire qualedei due è il maggiore.

Definizione A.14. Una relazione R, introdotta in un insieme A, si chiama relazione d’ordinese è antisimmetrica e transitiva.

Riguardando le varie relazioni introdotte sin qui, possiamo stabilire che esistono relazionid’ordine di vario tipo, schematizzate nel seguente diagramma:

Relazione d’ordine

parziale

in senso largo

in senso stretto

totalein senso largo

in senso stretto

Attraverso alcuni esempi, vogliamo chiarire le differenze tra i diversi tipi; a questo scopointroduciamo la seguente definizione.

Definizione A.15. Data una relazione R d’ordine in un insieme A, due elementi distinti xe y sono confrontabili se rispetto ad R si ha xRy oppure yRx.

Esempio A.11. In base al diagramma di Eulero-Venn nella figura A.5 introduciamo nell’insie-me di insiemi S = {U,A,B,C,D,E, F} la relazione R: “essere sottoinsieme di”.

Ricordiamo che, dati due insiemi X e Y, X è sottoinsieme di Y quando ogni elemento di Xappartiene a Y; in simboli X ⊆ Y e si legge X è contenuto in Y o X è uguale a Y.

Vogliamo studiare le proprietà della relazione R:

a ) poiché ogni insieme è sottoinsieme di se stesso, possiamo dire che R è riflessiva;b ) se X ⊆ Y e X 6= Y allora Y 6⊂ X quindi R è una relazione antisimmetrica;c ) se X ⊆ Y e Y ⊆ Z allora X ⊆ Z quindi R è una relazione transitiva.

Inoltre è evidente che esistono almeno due elementi dell’insieme S che non sono in alcunmodo in relazione: ad esempio A 6⊂ D e D 6⊂ A, ossia A e D non sono confrontabili.

Esempio A.12. Riprendiamo il diagramma di Eulero-Venn dell’esempio precedente e intro-duciamo nell’insieme S = {U,A,B,C,D,E, F} la relazione R: “essere sottoinsieme proprio di”.Studiamo le proprietà di questa relazione:

á cosa è cambiato rispetto alla relazione precedente? . . .á sono ancora valide le proprietà antisimmetrica e transitiva? . . .


á esistono elementi di S non confrontabili? . . .

Definizione A.16. Una relazione d’ordine si dice parziale quando almeno due elementi nonsono confrontabili.

Definizione A.17. Si dice relazione d’ordine parziale in senso largo quando la relazionegode della proprietà riflessiva.

Definizione A.18. Si dice relazione d’ordine parziale in senso stretto quando la relazionegode della proprietà antiriflessiva.

Definizione A.19. Una relazione d’ordine si dice totale quando due qualsiasi elementipossono essre messi in relazione, cioè sono confrontabili.

Definizione A.20. Si dice relazione d’ordine totale in senso largo quando la relazione godedella proprietà riflessiva.

Definizione A.21. Si dice relazione d’ordine totale in senso stretto quando la relazione godedella proprietà antiriflessiva.

Relazione d’ordine

parziale

in senso largo: riflessiva

in senso stretto: antiriflessiva

totalein senso largo: riflessiva

in senso stretto: antiriflessiva

�� b Esercizi proposti: A.44, A.45, A.46, A.47, A.48, A.49, A.50, A.51, A.52, A.53, A.54�� A.55, A.56, A.57, A.58, A.59, A.60, A.61,A.62, A.63

Sezione A.6. Esercizi 491

A.6 Esercizi

A.6.1 Esercizi dei singoli paragrafi

A.1 - Proposizioni e predicati

A.1. Completa la tabella come suggerito nella prima riga, individuando, per ciascuna propo-sizione, il predicato e gli argomenti a cui esso si riferisce:

Proposizioni Predicato Argomenti

7 è divisore di 14 essere divisore di 7, 1411 è maggiore di 10 essere maggiore di5 è numero primoAndrea frequenta la stessa palestra di MarcoMarta è moglie di PieroPaolo è padre di Marco

A.2 - Relazioni in un insieme

A.2. Nell’insieme A = {3, 5, 6, 9, 30} considerail predicato “essere minore di”; con esso for-ma proposizioni vere aventi come soggetto ecome complemento due elementi di A.

a ) p1: 9 è minore di 30;b ) p2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;c ) p3: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.3. Nell’insiemeA rappresentato con un dia-gramma di Eulero-Venn (figura A.11) introdu-ciamo il predicato R:“avere una sola letteradiversa”. Costruisci l’insieme GR.

Traccia di soluzione: Per costruire l’insie-me GR devo formare le coppie ordinate ricor-dando che per qualunque a e b appartenenti

ad A, aRb se e solo se “a ha una sola letteradiversa da b”, ad esempio preteR prese.

A.4. Nell’insieme C ={Como, Milano, Vene-zia, Parma, Brescia, Aosta, Torino, Genova,Imperia, Arezzo, Firenze, Grosseto, Napoli,Campobasso, Catanzaro, Bologna, Vercelli,Salerno} è introdotta la relazione R: “esserenella stessa regione”. Costruisci l’insieme GR.

A.5. Nell’insieme S = {x/x è il nome di ungiorno della settimana} è introdotta la relazio-ne R: x ∈ S, y ∈ S, xRy se e solo se “x halo stesso numero di sillabe di y”. Costruiscil’insieme GR.

A.6. Nell’insieme F = {1, 3, 4, 6, 5, 9, 0, 2} è in-trodotta la relazione R: “essere consecutivi”.Costruisci l’insieme GR.

A.3 - Grafico di una relazione

A.7. Considera l’insieme S = {x/x è il nomedi un giorno della settimana}, completa la rap-presentazione grafica (figura A.12) dell’insie-me S× S, evidenzia poi con una crocetta glielementi dell’insieme GR determinato dallarelazione “x ha lo stesso numero di sillabe

di y”.

A.8. Considera l’insieme F = {1, 3, 4, 6, 5, 9,0, 2}; fai la rappresentazione grafica dell’insie-me F× F e metti in evidenza con una crocet-ta gli elementi dell’insieme GR determinatodalla relazione “essere consecutivi”.


A

lettolunamani

barca

mille

ramo barbamolle

cani lanaprese

prete remotetto

FIGURA A.11: Esercizio A.3.

lunedì

lunedì

martedì

martedì


A.4 - Matrice o tabella di una relazione

A.9. Considera nell’insieme A = {−1, +3,−7, +5, −2, +4, +10} la relazione R: x ∈ A,y ∈ A, xRy se e solo se “x è concorde con y”.Costruiamo una tabella a doppia entrata (fi-gura A.13)) riportando in orizzontale e inverticale gli elementi dell’insieme A. Fissal’attenzione su una cella e segui le istruzioni:

á se aRbmetti 1 nella cella (a,b);á altrimenti metti 0 nella cella (a,b).

Prosegui tu seguendo l’esempio.

q Osservazione Alla fine tutte le celle so-no riempite: compare zero se gli elementi

della coppia ordinata non sono in relazio-ne, compare 1 al contrario. La relazione R

è completamente rappresentata.La tabella costruita si chiama matrice della

relazione. Una relazione può sempre essererappresentata attraverso una matrice.

A.10. Nell’insieme S = {x/x è il nome di ungiorno della settimana} è introdotta la relazio-ne R: x ∈ S, y ∈ S, xRy se e solo se “x ha lostesso numero di sillabe di y”. Rappresenta larelazione con una matrice.

A.11. Assegnato il predicato R: “essere divi-sibile per” introdotto nell’insieme A = { 12, 4,2, 8, 3, 21, 5, 60 }, rappresenta con una matricela relazione R.

−1 +3 −7 +5 −2 +4 +10

−1 1

+3

−7

+5 0

−2

+4

+10


A

+3

+10−7



A

a

b

c

B

1

2

3 4

5

6

C

D

EG

H

I


y

x1

1

2

2

3

3

0


A.5 - Grafo di una relazione

A.12. Completa la rappresentazione (figu-ra A.14)) con frecce della relazione R: x ∈ A,y ∈ A, xRy se e solo se “x è concorde con y”nell’insieme A ={−1, +3, −7, +5, −2, +4,+10}.

q Osservazione Nel completare il disegnodell’esercizio precedente hai dovuto utilizzareuna freccia con due punte, infatti le proposi-zioni “+3 è concorde con +10” e “+10 è con-corde con +3” sono entrambe vere. Quandosi ha questo caso si può omettere la punta del-la freccia utilizzando un arco che collega gliargomenti del predicato.

A.13. Nell’insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} èintrodotto il predicato R: “essere il doppio“;costruisci l’insiemeGR, rappresenta la relazio-ne nei tre modi descritti sopra: con un graficocartesiano, con una matrice, con un grafo.

A.14. Sono assegnati i grafi di tre relazioni R1,R2, R3 introdotte in altrettanti insiemi A, B,C (figura A.15); deduci da essi gli elementi

di ciascun insieme e costruisci per ciascunarelazione l’insieme GR.

A.15. Rappresenta nei tre modi che sono sta-ti descritti (con un grafico cartesiano, conuna matrice, con un grafo) la relazione R:“essere nati nello stesso mese” introdottanell’insieme C degli alunni della tua classe.

A.16. Nell’insieme H = {x ∈N/21 < x < 40},xRy se e solo se “la somma delle cifre di xè uguale alla somma delle cifre di y”. Co-struisciGR e rappresenta la relazione con unamatrice.

A.17. Scegli la risposta corretta: Una relazioneR introdotta in un insieme A determina:

a ) un sottoinsieme di A;b ) l’insieme A×A;c ) un insieme di coppie;d ) un grafico cartesiano;e ) un sottoinsieme di A×A.

A.18. Rappresenta con un grafo la relazio-ne R rappresentata nel grafico cartesiano dellafigura A.16.


A.6 - Proprietà riflessiva

A.19. Quali relazioni sono riflessive?

Insieme Relazione È riflessiva?

Numeri naturali essere divisibile per Sì NoLibri che hai in cartella avere lo stesso numero di pagine Sì NoRette del piano essere perpendicolare a Sì NoRette del piano essere parallela a Sì NoPoligoni avere lo stesso numero di lati Sì NoCittà della Lombardia terminare con la stessa vocale Sì NoParole italiane essere il plurale di Sì No

A.7 - Proprietà antiriflessiva

A.20. Quali delle seguenti relazioni sono antiriflessive?

Insieme Relazione È antiriflessiva?

Numeri naturali essere multiplo di Sì NoRette del piano essere perpendicolare a Sì NoPoligoni avere lo stesso perimetro Sì NoCittà del Piemonte avere più abitanti di Sì NoParole italiane essere il femminile di Sì NoFiumi italiani essere affluente Sì NoPersone essere figlio di Sì No

A.8 - Proprietà simmetrica

A.21. Riconosci le relazioni simmetriche:

Insieme Relazione È simmetrica?

Città d’Italia appartenere alla stessa regione Sì NoRette del piano essere perpendicolari Sì NoSolidi avere lo stesso volume Sì NoPersone essere il padre di Sì NoPersone essere fratello o sorella di Sì NoNumeri naturali avere lo stesso numero di cifre di Sì NoFiumi d’Europa essere affluente Sì NoNumeri interi essere il quadrato di Sì No

Le relazioni degli ultimi due casi non godono della proprietà simmetrica. Infatti:

á la proposizione “Il Ticino è un affluente del Po” è vera, ma non lo è la proposizione cheda essa si ottiene scambiando il soggetto con il complemento;

á se un numero intero è il quadrato di un altro (ad esempio +25 è il quadrato di +5), nonè vero che +5 è il quadrato di +25.


A.9 - Proprietà antisimmetrica

A.22. Riconosci le relazioni antisimmetriche:

Insieme Relazione È antisimmetrica?

Numeri naturali essere divisibile per Sì NoRette del piano essere perpendicolare a Sì NoPoligoni avere lo stesso perimetro Sì NoAngoli essere complementare a Sì NoCittà del Lazio essere nella stessa provincia di Sì No

A.10 - Proprietà transitiva

A.23. Verifica se, nell’insieme N dei numeri naturali, la relazione R: “avere lo stesso numerodi cifre” gode della proprietà transitiva. Completa le proposizioni e rappresenta R con ungrafo:

a ) da 18R 50 e 50R . . . segue . . .R . . .;b ) da . . .R 555 e . . .R 267 segue . . .R . . .

A.24. Indica quale tra le seguenti relazioni è transitiva:

Insieme Relazione È transitiva?

Numeri naturali essere multiplo di Sì NoRegioni d’Italia essere più a nord di Sì NoNumeri interi essere minore di Sì NoRette del piano essere perpendicolari Sì NoPersone essere padre di Sì NoStati d’Europa confinare con Sì No

A.25. Dai una rappresentazione tabulare dell’insieme H = {x ∈ N/0 6 x 6 12}; determinail resto della divisione di ciascun numero di H con 4, compila la tabella come suggeritonell’esempio:

operazione 0 : 4 1 : 4 2 : 4 12 : 4resto 0 1 0

Introduciamo in H la relazione xRy se e solo se “x e y hanno lo stesso resto nella divisioneper 4”. Costruisci il grafo della relazione e stabilisci se gode della proprietà transitiva.

La stessa relazione R introdotta nell’insieme dei numeri naturali N è una relazionetransitiva?

A.26. Completa il grafo (figura A.17) in mo-do che la relazione rappresentata diventitransitiva.

A.27. Indica la risposta corretta:

a ) se una relazione è simmetrica, all’in-sieme GR appartengono le coppie deltipo (a,b) e (b,a);

b ) il grafico cartesiano è un modo per


X

H

KZ


y

x1

1

2

2

3

3

4

4

0


rappresentare una relazione;c ) la matrice di una relazione riflessi-

va presenta tutti uno sulla diagonalediscendente;

d ) la matrice di una relazione antiriflessivanon presenta alcun uno sulla diagonalediscendente;

e ) se una relazione è transitiva, allora èanche simmetrica;

f ) se (x,y) ∈ GR e (y, z) ∈ GR qualchevolta si ha (x, z) ∈ GR;

g ) se (x,y) ∈ GR si ha sempre (y, x) ∈ GR;h ) una relazione riflessiva presenta nel suo

grafo il cappio su ciascun elemento;

i ) una relazione binaria è individuata daun predicato che lega due argomentidell’insieme A;

j ) una relazione binaria genera un sottoin-sieme del prodotto cartesianoA× A.

A.28. Con riferimento al grafico cartesianodisegnato nella figura A.18, quale è vera?

a ) nel suo grafo almeno un elemento nonpresenta il cappio;

b ) la relazione è antisimmetrica;c ) la relazione è transitiva;d ) l’insieme GR è costituito dalle cop-

pie (1, 2), (1, 4), (3, 4), (4, 2).

A.29. Quali proprietà verificano le seguenti relazioni?

R = riflessiva; AR = antiriflessiva; S = simmetrica; AS = antisimmetrica; T = transitiva

Insieme Relazione Proprietà

Poligoni del piano avere lo stesso numero di lati R AR S AS TNumeri naturali avere lo stesso numero di cifre R AR S AS TNumeri naturali essere minore di R AR S AS TNumeri naturali essere divisibile per R AR S AS TA = {x ∈N/1 6 x 6 5} essere multiplo di R AR S AS T


A

caso 1

a

b

c

de

f

g

h

B

caso 2

a

b

c

de

f

g

h

C

caso 3

a

b

c

de

D

caso 4

a

b

c

df

FIGURA A.19: Esercizio A.31

A.11 - Relazioni di equivalenza

A.30. Quali delle seguenti sono relazioni di equivalenza?

Relazione Insieme È d’equivalenza?

Essere multiplo numeri naturali V FAvere lo stesso numero di sillabe parole italiane V FEssere minore interi relativi V FVincere squadre di calcio V FAvere lo stesso numero di angoli poligoni V FEssere il plurale parole italiane V FEssere il cubo numeri italiani V F

A.31. Analizza i grafi nella figura A.19 e in-dividua quello che rappresenta una relazioned’equivalenza:

á nel caso 1 non è rappresentata unarelazione d’equivalenza perché . . . . . . .

á nel caso 2 la presenza del cappio su cia-scun elemento indica che la relazione go-de della proprietà . . . , il fatto che coppiedi elementi siano collegate da archi indi-ca che vale la proprietà . . . , infine ternedi elementi godono della proprietà . . .In conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

á la relazione del caso 3 non gode dellaproprietà . . . . . . . . . , pertanto . . . . . . . . .

á nel caso 4 sussistono le proprietà . . . e. . . , ma non la proprietà . . . pertanto larelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A.32. Fissa l’attenzione sulla relazione R:“frequentare la stessa classe” introdotta nel-

l’insieme S degli alunni iscritti nella tua scuo-la. Verifica che R è una relazione d’equivalen-za. Costruisci le classi d’equivalenza. Quantene hai potuto formare? Come sono indicatenella realtà che vivi quotidianamente? Deter-mina la partizione P(S) in classi d’equivalenzae infine l’insieme quoziente S/R.

A.33. Studia in N la relazione R: “avere lastessa cifra delle unità”. Verifica se è unarelazione d’equivalenza, costruisci l’insiemequoziente dopo aver risposto alle seguentidomande:

á quanti numeri naturali sono tra loroequivalenti?

á da quanti elementi è costituito l’insie-me N/R?

á qual è l’elemento che sceglieresti comerappresentante di ciascuna classe?


A.34. Considera la relazione R: “avere lo stes-so resto nella divisione per due” introdottanell’insieme N e studiane le proprietà.

á è una relazione d’equivalenza? Se la ri-sposta è affermativa, costruisci l’insiemequoziente N/R.

á quante classi d’equivalenza hai forma-to?

á puoi sfruttare quanto ottenuto per enun-ciare le definizioni di numero pari e dinumero dispari?

á giustifica, in base allo svolgimento del-l’esercizio, l’affermazione: “L’insiemedei numeri pari è il complementare in N

dell’insieme dei numeri dispari”.

A.35. Considera l’insieme A = {x ∈ N/1 6x 6 20} e i suoi sottoinsiemi: A1 ={1, 5, 9, 13,17}; A2 ={ 2, 6, 10, 14, 18 }; A3 ={ 3, 7, 11, 15,19 }; A4 ={ 4, 8, 12, 16, 20 }.

a ) Rappresenta gli insiemi con un diagram-ma di Eulero-Venn;

b ) si può affermare che quei sottoinsiemideterminano una partizione dell’insie-me A?

c ) è vero che a ciascuno dei suddetti sot-toinsiemi appartengono i numeri di Aaventi lo stesso resto nella divisioneper 4?

d ) quei sottoinsiemi sono dunque classid’equivalenza? Qual è il predicato dellarelazione che le determina?

A.36. Nell’insieme N dei numeri naturali sta-bilisci se è d’equivalenza la relazione R: “xRyse e solo se x ha le stesse cifre di y”.

A.37. Nell’insieme C degli alunni della tuaclasse verifica se la relazione R: “xRy se e

solo se il cognome di x ha la stessa letterainiziale del cognome di y” è d’equivalenza;determina in caso affermativo la partizionedell’insieme C e l’insieme quoziente C/R.

A.38. Nell’insieme delle parole della linguaitaliana verifica se la relazione “xRy se e solose x ha lo stesso numero di lettere di y” è unarelazione di equivalenza. In caso affermativoindividua alcune classi di equivalenza.

A.39. Nell’insieme dei nomi dei giorni dellasettimana considera la relazione “xRy se esolo se x e y hanno almeno tre lettere in comu-ne”. Verifica se è una relazione di equivalenzae in caso affermativo individua le classi diequivalenza.

A.40. Nell’insieme dei numeri naturali da 1a 100, verifica se la relazione “xRy se e solose x e y hanno lo stesso numero di lettere” èuna relazione di equivalenza. Individua quan-te sono le classi di equivalenza. Scrivi tutti glielementi delle classi di equivalenza [1] e [10].

A.41. Nell’insieme dei numeri naturali da 1a 100, verifica se la relazione “xRy se e so-lo se x + y è dispari” è una relazione diequivalenza.

A.42. Nell’insieme dei nomi dei mesi dell’an-no verifica se la relazione “xRy se e solo se xe y hanno almeno 3 lettere in comune” èuna relazione di equivalenza. Eventualmenteindividua le classi di equivalenza.

A.43. Sia S un insieme non vuoto in cui è defi-nita una relazione R riflessiva e transitiva; in Ssi definisca la relazione ] ponendo, per ogni x,y appartenenti a X, x]y se e solo se xRy e yRx.Verificare che ] è relazione di equivalenza in X.

A.12 - Relazioni di ordine

A.44. Nell’insieme M ={1, 8, 3, 4, 10, 2, 7, 0,5, 9, 6} viene introdotta la relazione R cosìdefinita: “xRy se e solo se y− x appartienea N”. La relazione è riflessiva? La relazione

è antisimmetrica? La relazione è transitiva?È vero che due elementi distinti sono sempreconfrontabili?

A.45. È assegnata la relazione R nell’insie-me T , rappresentata col grafo (figura A.20).


T

MZ

WJ

P


y

x5

5

7

7

10

10

20

20

0


Analizzando il grafo, rispondi alle domande:

á la relazione è riflessiva?á la relazione è antisimmetrica?á la relazione è transitiva?á due elementi distinti sono sempre

confrontabili?

Alla prima domanda avrai risposto negativa-mente: nessun elemento dell’insieme T è inrelazione con se stesso, mentre valgono le pro-prietà antisimmetrica e transitiva. Infine scel-ti due elementi qualsiasi dell’insieme T , essisono sempre confrontabili.

A.46. Verifica che la relazione R: “essere divi-sore” introdotta nell’insieme J ={3, 6, 10, 15,21} è una relazione d’ordine parziale in sensolargo.

A.47. Perché la relazione R assegnata con ilgrafico cartesiano riportato nella figura A.21,pur essendo una relazione d’ordine non puòessere classificata in nessuna delle tipologiestudiate? Dai una breve motivazione indican-do quali proprietà non sono soddisfatte dallarelazione rappresentata.

A.48. Nell’insieme degli studenti della tuaclasse determina le proprietà della relazio-ne R: “xRy se e solo se l’altezza di x non su-pera l’altezza di y”. È una relazione d’ordine?Di quale tipo?

A.49. Nell’insieme A = {12, 4, 2, 8, 3, 21, 5, 60}la relazione R: “essere divisibile” è una rela-zione d’ordine? Se lo è di che tipo di relazione

si tratta? Totale, parziale, in senso largo, insenso stretto.

A.50. Nell’insieme N − {0} la relazione “es-sere divisibile” è d’ordine totale in sensolargo?

A.51. Rappresenta nelle tre modalità studiateuna relazione che sia solo simmetrica; ripetile rappresentazioni per una relazione che siaalmeno simmetrica. Quale significato hannole due richieste formulate sopra?

A.52. L’insieme GR di una relazione intro-dotta nell’insieme A = {a,b, c,d, e} è GR = {(a,a); (a,b); (b,b); (d,d); (c,d); (d, e); (e, e)}.Quale delle seguenti affermazioni è vera

a ) R è una relazione antiriflessivab ) R è una relazione solo antisimmetricac ) R è una relazione riflessivad ) R è una relazione transitiva e antisim-

metrica

A.53. La relazione R: “essere vicini di ban-co” inserita nell’insieme degli alunni della tuaclasse è una relazione d’equivalenza? È unarelazione d’ordine?

A.54. I tre sottoinsiemi A1 = {36, 135, 432};A2 = {65}; A3 = {66, 3522, 93, 435} dell’insie-me A = {36, 65, 66, 93, 135, 432, 435, 3522} co-stituiscono una partizione dell’insieme A? Sa-presti trovare una caratteristica per gli elemen-ti di ciascun sottoinsieme? A1, A2, A3 sonoclassi d’equivalenza?


A.55. Nell’insieme N la relazione R: ”xRyse e solo se x · y è un numero dispari” èd’equivalenza?

A.56. La relazione R: ”xRy se e solo se xsta nella stessa nazione di y” nell’insie-me K = {Parigi, Madrid, Milano, Siviglia, Ba-ri, Granata, Venezia, Lione} è d’equivalenza?Costruisci A/R.

A.57. Verifica se la relazione R assegnata conla matrice rappresentata sotto è d’equivalen-za, in caso positivo determina la partizio-ne dell’insieme A = {�,♦,∞,∇} e l’insiemequoziente A/R.

� ♦ ∞ ∇

� 1 1 0 0♦ 1 1 0 0∞ 0 0 1 1∇ 0 0 1 1

A.58. In un torneo di pallavolo gareggianoquattro squadre A, B, C, D; rappresenta conun grafo a frecce le seguenti informazioni,relative alle prime tre giornate:

á 1° giorno: A vince contro B; C vincecontro D

á 2° giorno: D vince contro A; B vincecontro C

á 3° giorno: A vince contro C; B vincecontro D

Il 4° giorno si gioca la semifinale tra le pri-me due classificate e le altre due. Se per ognivittoria si ottiene un punteggio di 10 puntie per ogni sconfitta un punteggio di 2 punti,quale squadra gioca la semifinale con B? Il tor-neo è vinto dalla squadra C. Rappresenta conun grafo a frecce la situazione della semifina-le e quella della finale. È unica la risposta aquest’ultimo quesito?

A.59. Associa a ciascun grafo (figura A.22) lacorretta relazione d’ordine:

a ) d’ordine totale largo;b ) d’ordine totale stretto;c ) d’ordine parziale largo;d ) d’ordine parziale stretto.

A.60. Nell’insieme di tutti gli iscritti a Face-book determina le proprietà della relazione R:“xRy se e solo se il numero di amici di x supe-ra il numero di amici di y”. È una relazioned’ordine? Di quale tipo?

A.61. Nell’insieme delle parole della linguaitaliana verifica se la relazione “xRy se e solose x ha più lettere di y” è una relazione d’or-dine. In caso affermativo dire se è totale oparziale, in senso largo o in senso stretto.

A.62. Nell’insieme dei numeri naturali, ve-rifica se la relazione “xRy se e solo se x haun numero di cifre maggiore del numero dicifre di y” è una relazione d’ordine. In casoaffermativo dire se è totale o parziale, in sensolargo o in senso stretto.

A.63. Andrea, insegnante di grafica, ha chie-sto ai suoi alunni di usare il minimo numerodi colori per colorare il modello della figu-ra A.23, in modo che poligoni confinanti nonrisultino con lo stesso colore. Come si puòrisolvere il problema? [Risposta: 3 colori]

Traccia di soluzione: Nell’insieme Z ={1, 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} studia la relazione R: “con-finare con”, rappresentandola con un graficocartesiano e sfrutta i risultati trovati per ri-solvere il problema. La soluzione può esseretrovata fissando un punto interno a ciascunaregione: due punti sono uniti se e solo se le re-gioni confinano, il segmento che li congiungedeve attraversare solo il loro confine comu-ne; i punti che non sono congiunti indicanoregioni che avranno lo stesso colore.


1

−12−1

−15−7

2

a

b

cm

3

M

B

C

F


1

2

3

5

6

4

789


Corrispondenze fra insiemi BB.1 Prime definizioni

Ti proponiamo un semplice esercizio per introdurre l’argomento che qui vogliamo trattare.Quando camminiamo per la strada della nostra città, vediamo tanti segnali lungo il

percorso che, attraverso simboli, ci danno informazioni sul comportamento corretto chedobbiamo tenere. Sia A = {segnali stradali edlla figura sotto} e B = {descrizione del segnale}.Collega con una freccia un segnale stradale con il suo significato.

Curva pericolosa a destra

Divieto di transito

Divieto di sosta

Fermarsi e dare precedenza

Attraversamento ciclabile

Definizione B.1. Si chiama corrispondenza K fra due insiemiA e B, il predicato binario aventecome soggetto un elemento di A e come complemento un elemento di B. Essa definisce unsottoinsieme GK del prodotto cartesiano A×B, costituito dalle coppie ordinate di elementicorrispondenti:

GK = {(a,b) ∈ A×B/aKb}.

q Osservazione Nel capitolo precedente abbiamo chiamato relazione un predicato binarioche si riferisce a due elementi dello stesso insieme; la differenza di terminologia sta sem-plicemente nella sottolineatura del fatto che si considerano appartenenti allo stesso insiemeoppure appartenenti a due insiemi diversi il soggetto e il complemento del predicato binarioenunciato. A seconda del contesto in cui analizziamo un predicato binario, parleremo di corri-spondenza o di relazione. Nelle pagine che seguono tratteremo di corrispondenze, mettendoin luce le loro caratteristiche.

Definizione B.2. Si chiama dominio D di una corrispondenza l’insieme A in cui si trova ilsoggetto della proposizione vera costruita con il predicato K; codominio C l’insieme deglielementi che costituiscono il complemento della stessa proposizione.

503

504 Capitolo B. Corrispondenze fra insiemi

Per indicare in linguaggio matematico che si è stabilita una corrispondenza tra dueinsiemi A e B scriviamo:

K : A→ B predicato, oppure K : AK: predicato−−−−−−−→ B.

Formalizziamo il primo esercizio di questo capitolo:

K : A→ B significare, oppure K : AK: significare−−−−−−−−→ B, dominio A; codominio B.

Definizione B.3. Definita una corrispondenza K : A→ B, nella coppia (a,b) di elementicorrispondenti, b si chiama immagine di a nella corrispondenza K. L’insieme delle immaginidegli elementi del dominio è un sottoinsieme del codominio chiamato insieme immagine.Verrà indicato con IM. e IM. ⊆ C.

B.2 Rappresentazione di una corrispondenza

B.2.1 Rappresentare una corrispondenza con un grafico cartesiano

Esempio B.1. Consideriamo gli insiemi A = {Parigi, Roma, Atene} e B = {Italia, Francia,Grecia}. Il prodotto cartesiano A× B è rappresentato col grafico cartesiano della figura B.1(i suoi elementi sono le crocette). Esso è formato dalle 9 coppie ordinate aventi come primoelemento una città (elemento di A) e come secondo elemento uno stato d’Europa (elementodi B).

Il predicato binario K: essere la capitale di, introdotto nell’insieme A× B, determina ilsottoinsieme GK i cui elementi sono le coppie (Parigi, Francia); (Roma, Italia);(Atene, Grecia).Il dominio della corrispondenza è D = {Parigi, Roma, Atene} e il codominio è C = {Italia,Francia, Grecia} e IM. = C.�� b Esercizi proposti: B.1, B.2

B.2.2 Rappresentare una corrispondenza con un grafico sagittale

Esempio B.2. Nella figura B.2 sono rappresentati gli insiemiA eB con diagrammi Eulero-Venn.Collegando con una freccia, ciascun elemento di A con la sua forma, possiamo rappresentare

y

x

Italia

Francia

Grecia

ParigiRoma

Atene

C

FIGURA B.1: Esempio B.1.

A B

anello

cuore

freccia

pentagono

cilindro

FIGURA B.2: Esempio B.2.

Sezione B.2. Rappresentazione di una corrispondenza 505

con un grafico sagittale la corrispondenza K: “essere di forma”, tra gli insiemi assegnati. Arisulta essere il dominio e B il codominio della corrispondenza; IM. = C. La freccia che collegaogni elemento del dominio con la sua immagine rappresenta il predicato K.�� b Esercizio proposto: B.3

Esempio B.3. Consideriamo gli insiemi R = {regioni d’Italia} e M = {Ligure, Ionio, Tirreno,Adriatico} e la corrispondenza K : R → M essere bagnata/o da; R è il dominio e M ilcodominio di questa corrispondenza.

L’insieme GK delle coppie ordinate aventi come primo elemento una regione e comesecondo elemento un mare è: GK = {(Liguria, Ligure); (Toscana, Tirreno); (Lazio, Tirreno);(Campania, Tirreno); (Basilicata, Tirreno); (Calabria, Tirreno); (Calabria, Ionio); (Puglia, Ionio);(Puglia, Adriatico); (Molise, Adriatico); (Abruzzo, Adriatico); (Emilia-Romagna, Adriatico);(Marche, Adriatico); (Veneto, Adriatico); (Friuli Venezia Giulia, Adriatico)}. Se rappresentiamoquesta corrispondenza con un grafico sagittale notiamo che non tutti gli elementi del dominiohanno l’immagine in K. La corrispondenza definita si può generare solo in un sottoinsiemedel dominio.

Definizione B.4. Chiamiamo insieme di definizione della corrispondenza, indicato con I.D.,il sottoinsieme del dominio i cui elementi hanno effettivamente un corrispondente nelcodominio.

Nel grafico (figura B.3) è rappresentata una generica situazione formatasi dall’aver definitouna corrispondenza tra due insiemi; sono in grigio l’insieme di definizione, sottoinsieme deldominio, e l’insieme immagine, sottoinsieme del codominio.

Osserviamo che in alcuni casi si ha la coincidenza del dominio con l’insieme di definizionee la coincidenza del dominio con l’insieme immagine: D = I.D. e C = IM..

D

I.D.

C

IM.

K

FIGURA B.3: Corrispondenza tra due insiemi.


D

p1

p2

p3

p4p5

C

1910

1997

K

FIGURA B.4: Corrispondenza molti a uno: più persone sono nate nello stesso anno.

Regioni

Liguria

Calabria

Puglia

Umbria

I.D.

Mari

Adriatico

Ionio

Tirreno

Ligure

K

FIGURA B.5: Esempio di corrispondenza di tipo molti a molti.

B.3 Caratteristiche di una corrispondenza

Esempio B.4. Generalizziamo uno degli esercizi precedenti sulle date di nascita. Prendiamocome dominio D = {persone italiane viventi} e come codominio C = {gli anni dal 1900 al 2012}.Evidentemente I.D. = D: ogni persona ha un determinato anno di nascita, ma più personesono nate nello stesso anno. Inoltre IM. potrebbe coincidere con C, vista la presenza sulterritorio nazionale di ultracentenari. Comunque scriveremo IM. ⊆ C. Il grafico sagittale diquesta corrispondenza è del tipo rappresentato nella figura B.4.

Esempio B.5. Analizziamo la corrispondenza dell’esempio precedente K : R → M “esserebagnata/o da” tra l’insieme delle regioni d’Italia e l’insieme dei mari.

I.D. ⊂ D poiché alcune regioni non sono bagnate da alcun mare. Moltre regioni sonobagnate dallo stesso mare, ma succede che alcune regioni siano bagnate da due mari.IM = C: un mare bagna almeno una regione. Il grafico sagittale di questa corrispondenza

è del tipo rappresentato nella figura B.5.

Sezione B.3. Caratteristiche di una corrispondenza 507

Città

Roma

Parigi

Londra

Genova

I.D.

Stati

Francia

Italia

Inghilterra

K

FIGURA B.6: Esempio di corrispondenza di tipo uno a uno.

D = N0

1

5

C = Z0

+1−1

−5

+5

K

FIGURA B.7: Esempio di corrispondenza di tipo uno a molti.

Esempio B.6. Generalizziamo la corrispondenza K: “essere la capitale di” tra il dominio C =

{città d’Europa} e il codominio S = {stati d’Europa}. È evidente che I.D. ⊂ C: non tutte le cittàsono capitali, mentre IM. = C in quanto ogni stato ha la sua capitale; inoltre due città diversenon possono essere capitali dello stesso stato. Il grafico sagittale di questa corrispondenza èdel tipo rappresentato nella figura B.6.

Esempio B.7. Consideriamo, tra l’insieme N0 dei numeri naturali diversi da zero e l’insie-me Z0 degli interi relativi diversi da zero, la corrispondenza K: “essere il valore assoluto di”.Per la definizione di valore assoluto di un intero, possiamo senz’altro dire: N0 = D = I.D.;Z0 = C = IM.. Ma succede che due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, quindiogni elemento di N0 ha due immagini, per cui il grafico sagittale di questa corrispondenza ècome nella figura B.7.

Definizione B.5. Le corrispondenze di tipo molti a uno e uno a uno sono dette univoche; inesse ogni elemento dell’insieme di definizione ha una sola immagine nel codominio.


Esempio B.8. Consideriamo la corrispondenza K che associa ad ogni persona il suo codicefiscale: ogni persona ha il proprio codice fiscale, persone diverse hanno codice fiscale diverso.Dominio e I.D. coincidono e sono l’insieme P = {persone}. Codominio e IM. coincidono esono l’insieme F = {codici fiscali}. Il grafico sagittale di questa corrispondenza è del tipo uno auno. È di questo tipo il grafico sagittale della corrispondenza che associa ad ogni automobilela sua targa, ad ogni moto il suo numero di telaio, ad ogni maggiorenne, cittadino italiano, ilsuo certificato elettorale . . .

q Osservazione In tutti questi casi la corrispondenza è di tipo uno a uno, il dominio coincidecon l’insieme di definizione e l’insieme immagine coincide con il codominio.

Definizione B.6. Una corrispondenza di tipo uno a uno in cui D = I.D. e C = IM. è dettacorrispondenza biunivoca.�� b Esercizi proposti: B.4, B.5, B.6, B.7, B.8, B.9, B.10

Sezione B.4. Esercizi 509

B.4 Esercizi

B.4.1 Esercizi dei singoli paragrafi

B.2 - Rappresentazione di una corrispondenza

B.1. Rappresenta con un grafico cartesiano la corrispondenza K: essere nato nell’anno didominio l’insieme A = {Galileo, Napoleone, Einstein, Fermi, Obama} e codominio l’insie-me B ={1901, 1564, 1961, 1879, 1769, 1920, 1768}. Rappresenta per elencazione il sottoinsie-me GK del prodotto cartesiano A×B. Stabilisci infine gli elementi dell’immagine IM..

B.2. L’insieme S = {casa, volume, strada, ufficio, clavicembalo, cantautore, assicurazione}è il codominio della corrispondenza K: essere il numero di sillabe di il cui dominio è X =

{x ∈ N/0 < x < 10}. Rappresenta con un grafico cartesiano la corrispondenza assegnata,evidenzia come nel primo esempio di questo paragrafo l’insieme GK, scrivi per elencazionel’insieme IM..

B.3. Completa la rappresentazione con grafico sagittale della corrispondenza essere capitaledi. La freccia che collega gli elementi del dominio con quelli del codominio rappresenta ilpredicato K: essere la capitale di.

D

Roma

Parigi

C

Francia

Italia

Grecia

B.3 - Caratteristiche di una corrispondenza

B.4. È univoca la corrispondenza K definita tra l’insieme P = {parola del proverbio rosso di se-ra, bel tempo si spera} e l’insieme A ={lettere dell’alfabeto italiano} che associa ad ogni parolala sua iniziale? Ti sembra corretto affermare che dominio e insieme di definizione coincidono?Completa con il simbolo corretto la relazione tra insieme immagine e codominio: IM. . . .C. Faiil grafico sagittale della corrispondenza.

B.5. K è la corrispondenza tra l’insieme N dei naturali e l’insieme degli interi relativi Z

espressa dal predicato essere il quadrato di. Ti sembra corretto affermare che dominio einsieme di definizione coincidono? Perché IM. = C? La corrispondenza è univoca?


B.6. Una corrispondenza K è assegnata con il suo grafico cartesiano.

A B C D E F G H I L M

1

2

3

4

5

6

Completa e rispondi alle domande:

a ) D ={ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };b ) C ={ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };c ) I.D. ={ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };d ) IM. ={ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . };e ) la corrispondenza è biunivoca?f ) 2 è l’immagine di quali elementi dell’insieme di definizione?g ) quale elemento del codominio è l’immagine diM?

B.7. I tre grafici sagittali rappresentano altrettante corrispondenze, K1, K2, K3. Completa perciascuna di esse la descrizione schematizzata nel riquadro sottostante:

A

12

34

5

B

a

b

c

d

D = . . .C = . . .

I.D. = . . .IM. = . . .Tipo= . . .

A

a

b

c

B

mn

p

D = . . .C = . . .

I.D. = . . .IM. = . . .Tipo= . . .

A

12

34

B

a

b

c

de

D = . . .C = . . .

I.D. = . . .IM. = . . .Tipo= . . .

B.8. Il dominio della corrispondenza K è l’insieme Z×Z e Z ne è il codominio; l’immaginedella coppia (a,b) è l’intero p = a · b.

Sezione B.4. Esercizi 511

a ) Stabilisci l’insieme di definizione e l’insieme immagine;b ) perché questa corrispondenza non è biunivoca?c ) tutte le coppie aventi almeno un elemento uguale a zero hanno come immagine . . . ;d ) 1 è l’immagine di . . . ;e ) se gli elementi della coppia sono numeri concordi, allora l’immagine è . . . ;f ) un numero negativo è immagine di . . .

Fai degli esempi che illustrino le tue affermazioni precedenti.

B.9. Il dominio della corrispondenza K è l’insieme Z×Z e Z ne è il codominio; l’immaginedella coppia (a,b) è il numero razionale q = a

b .

a ) Stabilisci l’insieme di definizione e l’insieme immagine;b ) completa:

a ) lo zero è immagine delle coppie . . . ;b ) se gli elementi della coppia sono numeri opposti l’immagine è . . . ;c ) se gli elementi della coppia sono numeri concordi allora l’immagine è . . . ;d ) un numero negativo è immagine di . . .

c ) fai degli esempi che illustrino le tua affermazioni precedenti.

B.10. In un gruppo di 10 persone, due si erano laureate in medicina e tre in legge nel-l’anno 1961, mentre quattro anni dopo, una si era laureata in fisica, un’altra in scienze edue in legge. Considerate i seguenti insiemi: P = {x/x è una persona del gruppo}; A =

{1960, 1961, 1964, 1965}; F = {x/x è una facoltà universitaria}. Fatene la rappresentazione condiagramma di Eulero-Venn e studiate le corrispondenze K1, K2, espresse dai predicati: K1:essersi laureato nell’anno e K2: essere laureato in, mettendo in evidenza per ciascuna dominio,codominio, insieme di definizione, immagine, tipo.

Completate:

a ) nel gruppo ci sono . . . persone laureate in legge, di cui . . . nell’anno 1961 e le altre. . . nell’anno . . . ;

b ) nel 1961 si sono laureate . . . di cui . . . in medicina;c ) negli anni . . . non si è laureata nessuna persona del gruppo considerato;d ) tra le 10 persone . . . non si è laureata.

N.B.: ciascuno possiede una sola laurea.Maria si è laureata in fisica nello stesso anno in cui si è laureato suo marito Luca; andrea è

fratello di Luca, non è medico, ha frequentato una facoltà diversa da quella del fratello e si èlaureato in un anno diverso. Supponendo che Maria, Luca e Andrea siano tra le 10 persone dicui sopra, completate:

Maria di è laureata nell’anno . . . . Andrea di è laureato nell’anno . . . in . . . . Luca si è laureatonell’anno . . . in . . .

N.B.: ciascuno possiede una sola laurea.

Funzioni CC.1 Funzioni o applicazioni

Diamo la seguente definizione

Definizione C.1. Una corrispondenza univoca tra due insiemi A e B non vuoti si chiamafunzione o applicazione di A in B, se e solo se il dominio coincide con A : D = I.D. = A.

In altre parole ogni elemento di A è in corrispondenza con un solo elemento di B.

Esempio C.1. Analizziamo le corrispondenze rappresentate con grafico sagittale:

A

ab

c

a

B

12

34

A

b

a

b

B

12

34

A

ab

c

c

B

12

34

A

ab

c d

d

B

12

La corrispondenza di figura a rappresenta una funzione.La corrispondenza di figura b non rappresenta una funzione perché l’elemento a di A è in

corrispondenza con due elementi di B, il 2 e il 4, quindi non è una corrispondenza univoca.La corrispondenza della figura c rappresenta una funzione.La corrispondenza della figura d non è una funzione perché il dominio non coincide con

l’insieme A.

I termini funzione o applicazione sono sinonimi, tuttavia si preferisce usare il termine“funzione” quando i due insiemiA e B sono insiemi numerici. Solitamente una funzione vieneindicata con la lettera f e si intende la legge che associa ad ogni elemento x di A uno e uno soloelemento y di B.

Per indicare la legge che fa passare dall’insieme A all’insieme B usiamo la scrittura

f : A→ B, oppure A f→B

513

514 Capitolo C. Funzioni

Definizione C.2. L’elemento y di B, corrispondente di un elemento x del dominio, vienedetto immagine di x nella funzione f e si scrive y = f(x) che si legge “y uguale effe di x”.

Il sottoinsieme proprio o improprio di B formato dagli elementi che sono immagini deglielementi del dominio si chiama codominio o insieme immagine e si scrive C = IM. = f(D).Osserviamo che non necessariamente ogni elemento di B è immagine di un elemento deldominio per cui C ⊆ B.�� b Esercizi proposti: C.1, C.2, C.3, C.4

C.1.1 Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche

Esempio C.2. Nella figure sottostanti sono rappresentate alcune funzioni:

A

a

B A

b

B A

c

B

In figura a si ha IM. ⊂ B elementi distinti del dominio A hanno immagini distinte in B.In figura b si ha IM. = Bma elementi distinti di A hanno la stessa immagine in B.In figura b si ha IM. = B ed elementi distinti del dominio A hanno immagini distinte in B.

I tre esempi illustrano tre tipi diversi di funzioni:

Definizione C.3. Si dice iniettiva una funzione per la quale elementi distinti del dominiohanno immagini distinte in B: per qualunque x1, x2 di A con x1 6= x2, si ha f(x1) 6= f(x2).

Definizione C.4. Si dice suriettiva una funzione in cui IM. = B.

Definizione C.5. Si dice biunivoca o biiettiva una funzione che sia contemporaneamente iniettivae suriettiva.

Pertanto in figura a è rappresentata una funzione iniettiva, in figura b una funzionesuriettiva e in figura c una funzione biunivoca.�� b Esercizi proposti: C.5, C.6

Sezione C.2. Funzioni tra insiemi numerici 515

C.1.2 Diagramma riepilogativo sui diversi tipi di corrispondenze

C

F

I S

Legenda

C insieme delle corrispondenze

F insieme delle funzioniS insieme delle funzioni suriettiveI insieme delle funzioni iniettiveI∩ S insieme delle funzioni biunivoche

C.2 Funzioni tra insiemi numerici

Analizziamo alcune corrispondenze definite tra gli insiemi numerici. In questo caso lafunzione f può essere espressa tramite una formula o scrittura analitica, una tabella, unalgoritmo, oppure semplicemente con linguaggio comune, purché in modo preciso e inequi-vocabile. Il generico elemento x del dominio si chiama variabile indipendente; il corrispondenteelemento y = f(x) si chiama variabile dipendente.

Esempio C.3. Consideriamo la corrispondenza K: “essere il valore assoluto di” tra l’insie-me N0 dei naturali diversi da zero e l’insieme Z0 degli interi relativi diversi da zero. Questacorrispondenza non è una funzione in quanto non è una corrispondenza univoca: un elementodi N0 ha due immagini poiché ogni numero naturale è valore assoluto di due interi opposti,come rappresentato dalla figura C.1.

Esempio C.4. Consideriamo la corrispondenza K che associa ad ogni numero razionale il suoquadrato. Essa è una funzione di dominio Q: di ogni numero razionale si può determinare ilquadrato che è unico; poiché numeri opposti hanno lo stesso quadrato la funzione in esamenon è iniettiva, come rappresentato dalla figura C.2.

L’immagine y di ogni x appartenente a Q è il suo quadrato: in simboli matematici scriviamola funzione tramite una formula f : y = x2.

Per quanto riguarda l’insieme immagine o codominio della funzione esso è un sottoinsiemeproprio di Q: il numero razionale + 3

4 non è quadrato di nessun razionale e neppure −25,

N0

1

5

Z0

−1

+1

−5+5

K

FIGURA C.1: Esempio C.3.

Q

1−1

− 23

+ 23

Q

1

+ 49

K



razionale negativo, è quadrato di un numero razionale, quindi IM. ⊂ Q+ ∪ {0}, pertanto lafunzione non è suriettiva.

Esempio C.5. Analizziamo la corrispondenza che associa ad ogni intero il suo valore assoluto.Sappiamo che il valore assoluto di un intero è un numero naturale, e ogni intero ha un

solo valore assoluto. La corrispondenza è univoca e il dominio coincide con l’insieme Z,pertanto è una funzione: f : Z → N rappresentata in forma analitica con y = |x| con x ∈ Z

e y = f(x) ∈N.

x ∈ Z 0 +1 −1 −2 +2 +3 −3 . . .y ∈N 0 1 1 2 2 3 3 . . .

Nella tabella sono rappresentati alcuni elementi del dominio con le rispettive immagini: dacui si deduce che tale funzione non è iniettiva.

Esempio C.6. È assegnata la funzione f : x ∈ N → (x− 2) ∈ Z. In questo caso la funzioneassocia ad ogni numero naturale x il numero intero ottenuto sottraendo 2 da x. L’espressioneanalitica della funzione è f : y = x − 2. La legge così espressa si può descrivere ancheattraverso una tabella.

x ∈N 0 1 2 3 4 5 6 . . .(x− 2) ∈ Z −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 . . .

Ogni elemento dell’insieme N trova il corrispondente in Z; elementi diversi del dominiohanno immagini diverse pertanto la funzione è iniettiva; il codominio o insieme immagine èun sottoinsieme proprio di Z e precisamente C = IM = {y ∈ Z/y > −2}, pertanto la funzionenon è suriettiva.

Esempio C.7. Analizziamo la corrispondenza: f1 : x ∈ N → (x− 2) ∈ N e costruiamo larelativa tabella:

Vediamo che nella corrispondenza assegnata né 0 né 1 hanno l’immagine.

x ∈N 0 1 2 3 4 5 6 . . .(x− 2) ∈N 0 1 2 3 4 . . .

Fissiamo allora come dominio un sottoinsieme di N e precisamente D = I.D. = N − {0, 1},in questo modo possiamo procedere nell’analisi della funzione f1 : y = x− 2.

Esempio C.8. Consideriamo la corrispondenza che associa ad ogni numero razionale il suoinverso (o reciproco).

Sappiamo che “fare l’inverso” di un numero razionale x significa scrivere il numerorazionale 1

x , ma questa operazione ha significato solo se x è diverso da 0; operiamo dunqueuna restrizione su Q e fissiamo D = I.D. = Q0. La corrispondenza è una funzione tra Q0 e Q.In simboli matematici f : y = 1

x .�� b Esercizi proposti: C.7, C.8, C.9, C.10, C.11

Sezione C.2. Funzioni tra insiemi numerici 517

C.2.1 Funzioni inverse

È assegnata la funzione f : R→ R descritta mediante le istruzioni

prendix ∈ R

moltiplicaper 2

aggiungi 1 scrivi y

La forma algebrica è y = 2 · x+ 1; essa è definita per qualunque numero reale e l’insiemeimmagine coincide con il codominio.

Scelto arbitrariamente un valore per la variabile indipendente come x = −2 otteniamo lasua immagine y = −3, risultato delle operazioni descritte nelle istruzioni.

Preso ora y = 4, elemento dell’insieme immagine della funzione, quali istruzioni dobbiamoseguire per determinarne la controimmagine? Il problema si formalizza in questo modo: “perquale valore di x aggiungendo 1 al suo doppio si ottiene 4?”

Le due questioni sono rappresentate nel diagramma di Eulero-Venn (figura C.3) e percor-rendo le istruzioni con le operazioni inverse otteniamo il valore di x sottraendo 1 al valoredato per y e dividendo il risultato per 2. Le nuove istruzioni da eseguire sono:

da ytogli 1

dividiper 2 scrivi x

In formula x = (y− 1) : 2.La funzione così ottenuta si chiama funzione inversa di f(x) e si scrive f−1.Poiché la funzione assegnata è iniettiva, ci rendiamo subito conto che per ogni y del-

l’insieme immagine possiamo determinare la controimmagine (cioè l’unico valore di x taleche f(x) = y).

Definizione C.6. Per funzione inversa di una funzione iniettiva y = f(x) si intende quel-la funzione che permette di determinare la controimmagine di un qualunque elementodell’insieme immagine di f(x). Il simbolo della funzione inversa è f−1.

Osserviamo che D(f−1) = IM.(f) e IM.

(f−1) = D(f).�� b Esercizi proposti: C.12, C.13

D = R

−2

?

C = R

−3

4

f : y = 2x+ 1

FIGURA C.3: Funzioni inverse.


C.3 Funzioni composte

Date due funzioni f : A→ B e g : B→ C è possibile definire la funzione composta

g ◦ f : A→ C

che a un elemento a di A associa prima l’elemento b = f(a) e poi l’elemento c = g(b), inun’unica formula si può scrivere g(f(a)) = c.

A

a

b

c

B

1

2

3

f

C

do

re

mi

fa

g

Esempio C.9. Data la funzione f(x) = 2x e la funzione g(x) = x+ 1, determina l’espressioneanalitica della funzione composta.

Prima agisce la funzione f che raddoppia il valore di x. Al valore ottenuto, che è 2x, siapplica la g che fa aumentare di 1. Pertanto la funzione composta raddoppia x e poi aggiunge 1.L’espressione è g(f(x)) = 2x+ 1.

Osserva che la composizione di funzioni non è commutativa. Infatti la funzione f(g(x)) siottiene facendo agire prima la g(x) che aumenta di 1 il valore della variabile e poi la f(x) cheraddoppia il valore della variabile; allora f(g(x)) = 2(x+ 1).�� b Esercizio proposto: C.14

C.4 La retta e gli insiemi numerici

Nello studio degli insiemi numerici abbiamo visto come si possono depositare su unasemiretta i numeri naturali; la legge costruttiva di questa rappresentazione genera tra l’insie-me N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} e i punti della semiretta una corrispondenza avente come dominio N ecome codominio i punti della semiretta. Ad ogni numero naturale possiamo far corrispondereun punto della semiretta, ma non tutti i punti della semiretta sono immagine di un numeronaturale: la corrispondenza non è biunivoca.

Lo stesso fatto avviene se consideriamo l’insieme Z come dominio e i punti di una rettaorientata come codominio; nella figura viene rappresentata la corrispondenza generata con lalegge costruttiva già enunciata nel capitolo dei numeri interi.

unità

−5 −4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4

Sezione C.4. La retta e gli insiemi numerici 519

Ad ogni numero intero possiamo far corrispondere un punto della retta orientata, ma nontutti i punti della retta sono immagine di un numero intero: l’insieme immagine non coincidecon il codominio e la corrispondenza non è biunivoca.

Gli insiemi N e Z sono infiniti e la loro caratteristica comune è che tra due naturaliconsecutivi o tra due interi consecutivi non possiamo trovarne un altro. Si dice che N e Z

sono due insiemi discreti.Consideriamo ora l’insieme Q dei numeri razionali; sappiamo che anche questi numeri,

rappresentati da frazioni, possono essere disposti su una retta orientata come mostrato nellafigura sottostante.

unità

−2 − 138

−1 − 12

0 + 38

+1 + 32

+4

L’insieme Q rispetto agli insiemi N e Z presenta un’altra caratteristica: è denso, cioè tra duenumeri razionali ci sono infiniti altri numeri razionali. Come possiamo confermare questaaffermazione?

Osserviamo la figura precedente: fra 38 e 3

2 si trova certamente il numero 1. Costruiamoil numero q = 1

2 ·( 3

8 + 32)

ottenuto dividendo per due la somma dei due numeri estremidell’intervallo considerato, si ottiene q = 15

16 che è minore di 1 e, a maggior ragione, minoredi 3

2 , ma maggiore di 38 , come si può verificare trasformando la frazione in una equivalente con

denominatore 16. Con lo stesso procedimento possiamo determinare q1 = 12 ·( 3

8 + 1516)= 21

32che risulta maggiore di 3

8 e minore di q. Con questo procedimento, che non ha mai termine,possiamo determinare infiniti altri numeri razionali compresi tra 3

8 e 32 .

38

2132

1516

32

Questa possibilità ci fa supporre che tutti i punti della retta orientata possano essere imma-gine di un numero razionale, cioè che esista una corrispondenza biunivoca tra l’insieme Q ei punti della retta. Invece, no! Nel capitolo sull’introduzione ai numeri reali abbiamo vistoche benché l’insieme Q sia infinito e denso, quando pensiamo di aver disposto sull’asse deinumeri tutti i suoi elementi rimangono sulla retta ancora altri punti liberi. La retta geometricasembra avere “più punti” di quanti siano i numeri razionali: gli infiniti punti lasciati scopertidai razionali sono immagine di numeri irrazionali.

L’insieme che si ottiene dall’unione dell’insieme Q con l’insieme J degli irrazionali èl’insieme R dei numeri reali, cui Cantor attribuì cardinalità ℵ1. La retta geometrica orientata èin corrispondenza biunivoca con R, il che vuol dire che ad ogni numero reale corrispondeun punto sulla retta orientata e un punto della retta è immagine di un solo numero reale,razionale o irrazionale.

Definizione C.7. Si chiama ascissa di un punto sulla retta reale il numero reale α che è la suaimmagine nella corrispondenza biunivoca.

Esempio C.10. Determinare l’immagine del numero reale α = 1 +√

2 sulla retta reale.


Fisso la retta orientata e un suo punto O al quale attribuisco ascissa 0; fisso un segmentoarbitrario come unità di misura e quindi determino il punto A di ascissa 1 riportando ilsegmento unitario a partire da O, nel verso indicato dalla freccia.

unità

0 1O A

Costruisco il segmento rappresentativo del numero irrazionale√

2, che è la diagonale delquadrato di lato l’unità. Metto questo segmento adiacente al segmento OA, come in figura. Ilpunto B è l’immagine del numero α, scriviamo B(α).

0 1 αO A B

Sulla retta razionale si possono collocare tutti i numeri del tipo√n con n ∈N0.

Nella figura è segnato il punto K immagine del numero√

2; sulla perpendicolare allaretta r nel punto K prendiamo il segmento KD = OA e congiungiamo D con O. Per il teoremadi Pitagora sul triangolo OKD si ha

OD2= OK

2+KD

2= OK

2+OA

2

e passando alle misure

OD2= (√

2)2 + 12 = 2 + 1 = 3⇒ OD =√

3.

Puntando il compasso in O con raggio OD tracciamo l’arco che incontra la retta r in Himmagine del numero irrazionale

√3.

rO A K H

B DC

Proseguendo in questo modo possiamo ottenere sulla retta razionale i punti associati ai numeridel tipo

√n.

Un’altra classica costruzione, nota come “spirale di Teodoro” (figura C.4), permette diottenere i segmenti di misura

√n con n ∈ N0. Si inizia con la costruzione del triangolo

rettangolo isoscele di cateto 1; sappiamo già che la sua ipotenusa è il segmento di misura√

2.Sulla perpendicolare in C ad AC si prende il segmento CD di misura 1: applicando il teorema

Sezione C.5. Il metodo delle coordinate cartesiane 521

OA

B

CD

E

F

G

1

1

11

1

1 √1

√2

√3

√4

√5

√6

√7

FIGURA C.4: La spirale di Teodoro.

di Pitagora come abbiamo fatto sopra, otteniamo AD =√

3. Ripetiamo la costruzione dalvertice D e otteniamo il triangolo rettangolo ADE la cui ipotenusa è AE =

√4 e poi AF =

√5

e così via.�� b Esercizi proposti: C.15, C.16, C.17

C.5 Il metodo delle coordinate cartesiane

Abbiamo definito prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti A e B l’insieme formato datutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartenga ad A e il secondo a B. Medianteproprietà caratteristica si scrive: A×B = {(a;b)/ a ∈ A e b ∈ B}.

Esempio C.11. Il prodotto cartesiano dei due insiemi A = {1, 2, 3} e B = {x,y} è

A×B = {(1; x), (1;y), (2; x), (2;y), (3; x), (3;y)}

e graficamente si può rappresentare con un diagramma cartesiano come nella figura C.5.Sappiamo che una retta orientata, fissata una unità di misura arbitraria, è l’immagine

geometrica dell’insieme dei numeri reali: ad ogni numero reale corrisponde un punto dellaretta e un qualunque punto della retta è immagine di un solo numero reale.

A

B

1 2 3

x

y


x

y

O

FIGURA C.6: Il piano cartesiano.


C.5.1 Introduzione al sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Preso l’insieme R dei numeri reali, costruiamo il prodotto cartesiano R×R: esso è costitui-to dall’insieme delle coppie ordinate tali che il primo elemento sia un numero reale come pureil secondo elemento. In R×R avremo coppie il cui primo elemento è 0, coppie il cui primoelemento è un numero positivo e infine coppie il cui primo elemento è un numero negativo,coppie che possiamo sinteticamente rappresentare nel seguente modo:

R×R = {(0; 0), (0;+), (0;−), (+; 0), (−; 0), (+;+), (+;−), (−;+), (−;−)}.

È possibile dare una rappresentazione grafica di questo insieme di infiniti elementi?Consideriamo sul piano una coppia di rette perpendicolari, indichiamo con O il loro

punto di intersezione, fissiamo convenzionalmente un verso di percorrenza su ciascuna retta(convenzionalmente sull’orizzontale da sinistra a destra, sulla verticale dal basso all’alto)e infine scegliamo un segmento arbitrario come unità di misura. Indichiamo con x l’asseorizzontale che chiamiamo asse delle ascisse e con y l’asse verticale che chiamiamo asse delleordinate (figura C.6).

Definizione C.8. Si chiama riferimento cartesiano ortogonale monometrico la coppia di retteorientate, perpendicolari, dotate di unità di misura.

Gli assi dividono il piano in quattro zone chiamate quadranti che sono numerati come infigura C.7. Ogni punto dell’asse delle ascisse è immagine di un numero reale: O è immaginedi zero, i punti alla sua destra rappresentano i numeri reali positivi, quelli alla sua sinistratutti i numeri reali negativi; analogamente sull’asse delle ordinate il puntoO è immagine dellozero, sopra di questo si collocano i numeri positivi e sotto i numeri negativi (figura C.8). Perrappresentare gli elementi di R×R cioè le coppie ordinate di numeri reali (α;β) procediamonel seguente modo:

á determiniamo sull’asse x il punto A immagine del numero reale α ;á da A tracciamo la retta parallela all’asse y;á determiniamo sull’asse y il punto B immagine del numero reale β ;á da B tracciamo la retta parallela all’asse x.

Il punto P, intersezione delle parallele tracciate, è l’immagine della coppia ordinata (α;β).

x

y

O

I quadranteII quadrante

III quadrante IV quadrante

FIGURA C.7: I quattro quadranti del pianocartesiano.

x

y

O

R+R−

R+

R−

FIGURA C.8: Collocazione dei numeri positivie negativi sul piano cartesiano.


x

y

1

1

O

PB

Q

A


x

y

3−5

5

−2

O

K

R

H

S


x

y

O α

Rβ

FIGURA C.11: Ascissa eordinata di un punto.

Esempio C.12. Determiniamo l’immagine delle coppie ordinate (2; 3) e (−1; 1).Nella figura C.9 è tracciata la costruzione descritta sopra: P è il punto del piano immagine

della coppia (2; 3) e Q è il punto immagine della coppia (−1; 1). Rappresenta le coppie (4;−1)e (−4; 1). Quali punti rappresentano le coppie con un elemento uguale a zero?

Esempio C.13. Determiniamo l’immagine delle seguenti coppie: (0; 5), (0;−2), (−5; 0), (3; 0).Osserviamo (figura C.10) che il punto immagine dello zero sull’asse x coincide con O,

quindi la coppia (0; 5) sarà associata al punto R dell’asse y e la coppia (0;−2) al punto S dellostesso asse. Analogamente, poiché il punto immagine dello zero sull’asse y coincide con O, lecoppie (−5; 0) e (3; 0) sono associate rispettivamente ai punti H e K dell’asse x.

Il punto O è immagine della coppia (0; 0) ed è chiamato Origine.

Prima conclusione: ogni coppia di numeri reali è rappresentata da un punto del pianodotato di riferimento cartesiano ortogonale monometrico.

Prendiamo ora un punto R (figura C.11) del piano sul quale sia stato fissato un riferimentocartesiano ortogonale monometrico e tracciamo da R la parallela all’asse y che interseca l’asse xnel punto A. A questo punto è associato un numero reale α. Analogamente da R tracciamola parallela all’asse x che interseca l’asse y nel punto B immagine di un numero reale β. Alpunto R associamo la coppia di numeri reali (α;β).

Diremo che R è il punto di coordinate (α;β), α si chiama ascissa del punto R, β ordinatadel punto R.

Seconda conclusione: ogni punto del piano dotato di riferimento cartesiano ortogonalemonometrico individua una coppia ordinata di numeri reali.

In conclusione, esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme R×R e l’insieme deipunti del piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale monometrico. Possiamo dunque“confondere” coppia di numeri reali con punto del piano e anzi diremo, secondo gli esempiprecedenti, “P è il punto (2; 3), Q il punto (−1; 1)” invece di “P è il punto immagine dellacoppia (2; 3)” o “P è il punto di coordinate (2; 3)”.


x

y

unità

O

P

Q

R

S

L

F

M

E

T

K

H

N


x

y

unità

O

B

AyA

yB

H

AyA

ByB

F

A yA

ByB

K


Un po’ di storia

Nel II secolo a.C. Ipparco compilò il primo catalogo stellare in cui precisò la posizione dicirca 850 stelle sulla sfera celeste mediante due numeri: latitudine e longitudine. La posizionedi un punto era dunque individuata attraverso una coppia di numeri. Ancora oggi attraversolatitudine e longitudine viene individuato un punto sulla superficie terrestre. I romani nelfondare una città segnavano due solchi perpendicolari ai quali riferivano la posizione di case,monumenti, strade.

Nel XVII secolo con le opere di Pierre de Fermat e di René Descartes il metodo di rap-presentare punti con coppie di numeri divenne un procedimento matematico per descrivereenti geometrici attraverso numeri, equazioni, disequazioni e tradurre le relazioni tra elementidella geometria in relazioni tra enti dell’algebra.

La geometria analitica tratta quindi questioni geometriche con metodi di tipo algebrico.�� b Esercizio proposto: C.18

C.5.2 Distanza di due punti

Assegnato nel riferimento cartesiano ortogonale il punto P(α;β), il numero reale |α|

rappresenta la misura della distanza del punto P dall’asse y e il numero reale |β| rappresentala misura della distanza di P dall’asse x.

Esempio C.14. Determinare la misura della distanza dagli assi coordinati dei punti P(+1;−3),Q(+5;+5), R(−2;+3), S(−5;−1) (figura C.12).

Dati: P(+1;−3).Obiettivo: PH ⊥ asse x, il segmento PH è la distanza di P dall’asse x; PK ⊥ asse y, il

segmento PK è la distanza di P dall’asse y.


x

y

unità

O

BA

A B

A B

FIGURA C.14: I due punti hanno la stessaordinata.

x

y

unità

OA

B

C

FIGURA C.15: Il segmento ha una direzionediversa da quella degli assi coordinati.

Per quanto detto sopra si ha PH = |− 3| = −(−3) = 3; PH = |+ 1| = 1. Completate lasoluzione dell’esempio, seguendo la traccia.

Vogliamo ora determinare la misura AB di un segmento AB, inserito in un riferimentocartesiano ortogonale monometrico Oxy, conoscendo le coordinate degli estremi A e B delsegmento stesso.

Caso I i due punti hanno la stessa ascissa. Il segmento AB è parallelo all’asse y e puòpresentarsi in diverse posizioni rispetto all’asse x.

Esempio C.15. Determinare la misura della distanza dei punti A(2; 7) e B(2; 3).Dati: A(2; 7), B(2; 3).Obiettivo: AB.Procedura risolutiva: AB = AH−BH = yA − yB = 7 − 3 = 4.

Esempio C.16. Determinare la misura della distanza dei punti A(5; 5) e B(5;−3) (figura C.13).Dati: A(5; 5), B(5;−3).Obiettivo: AB.Procedura risolutiva: AB = AF+BF = yA + (−yB) = yA − yB = 5 − (−3) = 8.

Esempio C.17. Determinare la misura della distanza dei punti A(−2;−1) e B(−2;−6).Dati: A(−2;−1), B(−2;−6).Obiettivo: AB.Procedura risolutiva: AB = BK−AK = −(yB) − (−yA) = yA − yB = −1 + 6 = 5.

Osserviamo che in ogni caso abbiamo sottratto dall’ordinata maggiore l’ordinata minore;generalizzando possiamo concludere: la misura del segmento AB parallelo all’asse delle ordinateè AB = |xa − xB| indipendentemente da quale estremo abbia ordinata maggiore.

Caso II i due punti hanno la stessa ordinata. Il segmento AB (figura C.14) è paralleloall’asse x e può presentarsi in diverse posizioni rispetto all’asse y.

Seguendo il procedimento applicato nel primo caso, dopo aver rilevato le coordinate degliestremi del segmento AB nella figura accanto, verifica che in ogni caso AB = |xA − xB|.

La misura del segmento AB parallelo all’asse delle ascisse è AB = |xA − xB| indipendentementeda quale estremo abbia ascissa maggiore.


Caso III è questo il caso generale: il segmento ha una direzione diversa da quella degli assicoordinati (figura C.15).

Dati: A(xA; xB), B(yA;yB).Obiettivo: AB.Procedura risolutiva: tracciando da A la parallela all’asse x e da B la parallela all’asse y si

determina il vertice C del triangolo rettangolo ABC di cui AB è l’ipotenusa. Per il teorema

di Pitagora si ottiene: AB =

√AC

2+BC

2=

√(xA − xC)

2 + (yC − yB)2. Poiché xC = xB

e yC = yA sostituendo si ha: AB =

√(xA − xB)

2 + (yA − yB)2.

La misura del segmento AB, note le coordinate dei suoi estremi è:

AB =

√(xA − xB)

2 + (yA − yB)2.�� b Esercizi proposti: C.19, C.20, C.21, C.22, C.23, C.24, C.25, C.26, C.27, C.28, C.29, C.30�� C.31

C.5.3 Punto medio di un segmento

Ricordiamo il teorema di Talete:

Teorema C.1 (di Talete). In un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenticongruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale. Cioè,se AB = BC allora A ′B ′ = B ′C ′.

a

b

c

r r ′A

B

C

A ′

B ′

C ′

FIGURA C.16: Il teorema di Talete.

Richiamiamo anche la definizione di punto medio di un segmento:

Definizione C.9. Il punto medio di un segmento AB è il punto interno al segmento che lodivide in due parti congruenti: AM ≡MB.

A BM

FIGURA C.17: Il punto medio.


x

yA

B

M

A ′ B ′M ′O


Esempio C.18. Conoscendo le coordinate degli estremi A e B di un segmento determiniamole coordinate del suo punto medio (figura C.18).

Dati: A(xA; xB), B(yA;yB), AM ≡MB.Obiettivo:M(xM;yM).Procedura risolutiva: essendo AM ≡ MB per il teorema di Talete A ′M ′ ≡ M ′B ′; si ha

inoltre A ′(xA; 0), B ′(xB; 0),M ′(xM; 0) e quindi xM − xA = xB − xM da cui 2xM = xA + xB e

dunque xM =xA + xB

2. Con ragionamento analogo tracciando dai punti A, B,M le parallele

all’asse x si ricava yM =yA + yB

2.

Le coordinate del punto medioM di un segmento AB, con A(xA; xB),B(xB;yB) sono:

xM =xA + xB

2; yM =

yA + yB2

.

Esempio C.19. Determinare le coordinate del punto medio del segmento di estremi A(− 3

4 ; 1),

B(2;− 1

2).

Dati: A(− 3

4 ; 1), B(2;− 1

2), AM ≡MB.

Obiettivo:M(xM;yM).

Procedura risolutiva: xM = xA+xB2 =

− 34+22 = 5

8 ; yM =1+(− 1

2 )2 = 1

4 quindiM( 5

8 ; 14).�� b Esercizi proposti: C.32, C.33, C.34, C.35, C.36


C.6 Il grafico di una funzione

Ricordiamo le seguente definizione.

Definizione C.10. Una funzione f è una corrispondenza univoca tra due insiemi non vuoti:ad ogni elemento x (variabile indipendente) del dominio associa uno e un solo valore ydella variabile dipendente.

L’elemento y, corrispondente di un elemento x del dominio, viene detto immagine di xnella funzione f e si scrive y = f(x) che si legge y uguale effe di x.

Le funzioni numeriche, cioè aventi per dominio e codominio insiemi numerici, possono essereespresse:

á con linguaggio comune, purché in modo preciso e inequivocabile: esempio: La funzione f“associa ad ogni numero razionale il suo triplo”;

á attraverso un algoritmo (figura C.19), cioè una serie di istruzioni per trasformare ilvalore della variabile indipendente (in ingresso) nel valore della variabile dipendente(in uscita);

á mediante una tabella:

x −2 0 3 7 10y −6 0 9 21 30

á con una formula che indica il calcolo che si effettua sulla variabile indipendente perdeterminare in modo univoco il valore della variabile dipendente. Per esempio: y = 3x.

Esempio C.20. Traccia su un piano quadrettato un riferimento cartesiano ortogonale mo-nometrico. Completa la tabella per la funzione y = 2x avente come dominio e codominiol’insieme R dei numeri reali.

x 0 1/2 2 −3y 2 5

prendi unnumero

razionale

moltiplicaloper 3

scrivi ilrisultato

Variabileindipendente: x

Variabiledipendente: y

Valore in ingresso Valore in uscita

f

FIGURA C.19: Funzione numerica espressa tramite un algoritmo.

Sezione C.6. Il grafico di una funzione 529

Ogni coppia (x;y) determina nel riferimento cartesiano un punto; rappresenta i punti le cuicoordinate sono le coppie ordinate contenute nella tabella. Puoi osservare che i punti trovatisono allineati su una retta passante per l’origine del riferimento.

Definizione C.11. Si chiama grafico di una funzione l’insieme di tutti e soli i punti del pianocartesiano che rappresentano le coppie ordinate costruite tramite la funzione assegnata.

q Osservazione I pochi punti ottenuti dalla compilazione della tabella possono essere uniticon un tratto continuo perché assegnando alla variabile indipendente altri valori reali, adesempio compresi tra 0 e 2, si potrebbero determinare infiniti punti che risulterebbero allineaticon i precedenti.�� b Esercizi proposti: C.37, C.38

C.6.1 Funzione di proporzionalità diretta

x 0 −1 1/2 2 −3 −5/2y 0 2 −1 −4 6 5

y/x

Compila la terza riga della tabella contenente il rapporto tra la variabile dipendente y e lavariabile indipendente x. Cosa osservi? Completa:

y

x= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Definizione C.12. Una funzione in cui risulta costante e diverso da zero il rapporto tra lavariabile dipendente e la variabile indipendente si chiama funzione di proporzionalità diretta.In simboli, y direttamente proporzionale a x⇔ y

x= k con k ∈ R e k 6= 0 o anche y = k · x.

Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta passante per l’origine; la costante ksi chiama coefficiente angolare della retta.

Nella figura C.20 è rappresentata una retta passante per l’origine del riferimento; essaforma con l’asse orientato delle x un angolo α ; la costante k ci dà informazioni su tale angolo.In particolare se la costante di proporzionalità è positiva, l’angolo α è acuto, se la costante ènegativa allora l’angolo α è ottuso. Se k = 1 l’angolo è di 45° e la retta è la bisettrice.

Problema C.21. Nel quadrato ABCD (figura C.21) il cui lato misura x, determinare il perime-tro e la diagonale.

Soluzione Abbiamo i dati: AB = x con x > 0 e l’obiettivo: 2p, AC.2p = 4 · x, al variare del lato varia il perimetro, che risulta essere dunque funzione del lato.

Indicato con y il perimetro scriviamo y = 4x, funzione di proporzionalità diretta con D = R+,coefficiente k = 4. La rappresentazione grafica di questa funzione è una semiretta contenutanel primo quadrante, ma privata del suo punto origine (figura C.22).

Determiniamo ora la diagonale: per il teorema di Pitagora si ha

AC2= AB

2+BC

2= x2 + x2 = 2x2

AC =√

2 · x2 = x ·√

2.


α

x

y

O

FIGURA C.20: Coefficiente angolare di unafunzione.

A B

CD

FIGURA C.21: Il quadrato ABCD del proble-ma C.21.

Indicando con y la diagonale si ha la funzione di proporzionalità diretta y =√

2 · x concoefficiente k =

√2, di dominio D = R+. La rappresentazione grafica di questa funzione è

una semiretta contenuta nel primo quadrante, ma privata del suo punto origine (figura C.23).

�� b Esercizi proposti: C.39, C.40, C.41, C.42, C.43

C.6.2 La funzione costante

La figura C.24 rappresenta una funzione in cui D = R e l’insieme IM. = {2}.

Definizione C.13. Si chiama funzione costante la legge che associa ad ogni valore assuntodalla variabile indipendente lo stesso valore della variabile dipendente; in simboli: ∀x ∈ R

si ha y = k con k ∈ R.

lato

2p

1 2 4

2

4

8

0

FIGURA C.22: Il perimetro 2p in funzione dellato.

lato

diagonale

1 2 4

√2

2√

2

4√

2

0

FIGURA C.23: La diagonale in funzione dellato.


D

ab

c d

IM.

2

FIGURA C.24: Funzione con D = R e IM. = {2}.

x

y

−1−2 1 2

2

0

FIGURA C.25: Funzione costante.

Rappresentiamo la funzione del grafo come formula, compiliamo la tabella e infine tracciamoil suo grafico nel riferimento cartesiano ortogonale.

Formula: y = 2:

x −2 0 −3 1 2y 2 2 2 2

Il grafico di una funzione costante è una retta parallela all’asse delle ascisse (asse x,figura C.25) Osserviamo che se k è positivo la retta sta nel semipiano delle ordinate positive(I e II quadrante); se k è negativo la retta sta nel semipiano delle ordinate negative (III e IVquadrante); se k = 0 allora la retta coincide con l’asse x delle ascisse.�� b Esercizi proposti: C.44, C.45, C.46, C.47

C.6.3 La funzione lineare

Le seguenti istruzioni individuano una funzione:

f

prendi unnumeroreale x

raddopiail valore

scelto

sottrai 1al valoretrovato

scrivi y(il risultato)

Variabileindipendente: x

Variabiledipendente: y

Valore in ingresso Valore in uscita

f

Completa:


á la funzione data si esprime con linguaggio comune: “la differenza tra . . . . . . . . . . . . . . . “;á la formula che indica il legame algebrico tra la variabile indipendente e la variabile

dipendente è y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La tabella che ne rappresenta alcuni valori è:

x −2 0y 0

Rappresenta i punti del grafico in un riferimento cartesiano ortogonale. Rispondi: i puntitrovati sono allineati? la funzione è una proporzionalità diretta?

Definizione C.14. Una funzione espressa dalla formula y = m · x+ q conm ∈ R e q ∈ R ilcui grafico è una retta si dicono funzioni lineari.

Significato dei coefficientim e q nella funzione lineare y = mx+ q

á Sem = 0 la funzione è y = q, il suo grafico è una retta parallela all’asse x;á sem 6= 0 esso è il coefficiente angolare della retta; ci dà informazioni sull’angolo che la

retta forma con l’asse orientato delle ascisse;á sem > 0 l’angolo formato con l’asse delle ascisse è un angolo acuto; sem < 0 l’angolo è

ottuso;á se q = 0 la funzione è y = ax, il suo grafico è una retta passante per l’origine;á se q 6= 0 esso è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate

(asse y).

α

r

s

α

s

x

y

x

y

b

a

q > 0

q < 0

m Conclusione la funzione costante e la funzione di proporzionalità diretta sono funzionilineari.

Esempio C.22. Riferendoti ai grafici precedenti, completa con uno dei segni>, <, =.

á nella formula della funzione avente r come grafico si ham . . . 0 e q . . . 0;


á nella formula della funzione avente s come grafico si ham . . . 0 e q . . . 0;á nella formula della funzione avente a come grafico si ham . . . 0 e q . . . 0;á nella formula della funzione avente b come grafico si ham . . . 0 e q . . . 0.

Assegnata una tabella di corrispondenza è possibile determinare la formula della funzionelineare.

Esempio C.23. Stabilisci se la tabella assegnata rappresenta una funzione lineare e determinala formula che la descrive.

x −2 −1 0 1 2/3y −8 −5 −2 1 0

Procedura risolutiva: segno nel riferimento cartesiano i punti corrispondenti alle coppieordinate (x;y) date dalla tabella e osservo che il grafico è una retta non passante per l’origine.Non si tratta dunque di una proporzionalità diretta (il rapporto y/x non è costante!). Perdeterminare la formula devo stabilire il valore dim (coefficiente angolare) e di q. Dalla tabellaindividuo il valore q = −2, infatti per x = 0 si ha y = −2. Per determinarem, sommo 2 a tuttele ordinate e trovo la tabella della proporzionalità diretta y = 3x.

x −2 −1 0 1 2/3y −6 −3 0 3 2

Quindi la formula della funzione lineare cercata è y = 3x− 2. Questo procedimento è possibileperché nella tabella è già evidente il valore di q.�� b Esercizi proposti: C.48, C.49, C.50

C.6.4 La funzione di proporzionalità inversa

Problema C.24. La base e l’altezza di un rettangolo ABCD misurano rispettivamente 3 cme 4 cm. Determina la sua area.

Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

�Se le misure dei lati sono numeri interi, esistono altri rettangoli equivalenti a quello dato?

Costruisci i rettangoli equivalenti, indicando accanto a ciascuno la misura dei lati. Se le misurefossero numeri reali, potresti determinare tutti i rettangoli equivalenti a quello assegnato?

Generalizziamo: i lati x e y di tutti i rettangoli equivalenti a quello dato sono legati dallacondizione x · y = 12 con x ∈ R+ e y ∈ R+.

x 6 8 10 1/3 4/3y 2 3/2 6/5 36 9

Osserviamo che se fissiamo il valore di x il lato y vale y = 12x come nella tabella. Rappresenta

ora nel riferimento cartesiano ortogonale i punti individuati dalla tabella: essi si collocano nelprimo quadrante perché . . . . . . . . . Ti sembrano allineati?


Definizione C.15. Una funzione in cui il prodotto tra la variabile dipendente e la variabileindipendente risulta costante e diverso da zero si chiama funzione di proporzionalità inversa. In

simboli: y inversamente proporzionale a x⇔ x · y = k con k ∈ R0 e x 6= 0 o anche y =k

x.

Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è una curva chiamata iperbole.Analizziamo tale funzione e rappresentiamo il suo grafico a secondo dei valori della

costante k.

Caso k > 0 Quando ci proponiamo di costruire una tabella di valori, le variabili x e y sonosenz’altro concordi; al numero positivo x corrisponde il numero positivo y = k

x dunque i puntinel riferimento cartesiano si collocano nel primo quadrante; al numero negativo x corrispondeil numero negativo y = k

x dunque i punti nel riferimento cartesiano si collocano nel terzoquadrante.

Esempio C.25. Rappresentare graficamente la funzione y = 2x . Per far questo assegniamo a x

alcuni valori, positivi e negativi:

x −3 −1 −1/2 1 4 1/2 3y −2/3 −2 −4 2 1/2 4 2/3

Riportiamo i punti nel riferimento cartesiano ortogonale. Essi si collocano nel primo eterzo quadrante come previsto, non sono allineati. Non possiamo attribuire alla variabileindipendente il valore zero perché non si può dividere per zero, né alcun valore di x potràavere come immagine y = 0 in quanto un quoziente è zero se il dividendo è zero (in questocaso è 2). Il dominio è D = R0 e l’insieme immagine è IM. = R0.

Il grafico di questa funzione (figura C.26) non ha punti appartenenti agli assi coordinati.Questa curva è una iperbole; essa è formata da due rami che si collocano nel I e III quadrante.

Caso k < 0 Quando ci proponiamo di costruire una tabella di valori, le variabili x e y sonosenz’altro discordi; al numero positivo x corrisponde il numero negativo y = k

x dunque ipunti nel riferimento cartesiano si collocano nel quarto quadrante; al numero negativo xcorrisponde il numero positivo y = k

x dunque i punti nel riferimento cartesiano si collocanonel secondo quadrante.

Esempio C.26. Rappresentare graficamente la funzione y = − 12x . Per far questo assegniamo

a x alcuni valori, positivi e negativi.

x −2 −1 −1/2 1 2 1/2 3/2y 1/4 1/2 1 −1/2 −1/4 −1 −1/3

Riportiamo i punti nel riferimento cartesiano ortogonale. Essi si collocano nel secondo equarto quadrante come previsto, non sono allineati. Non possiamo attribuire alla variabileindipendente il valore zero perché non si può dividere per zero, né alcun valore di x potràavere come immagine y = 0 in quanto un quoziente è zero se il dividendo è zero, ma in questocaso è − 1

2 . Il dominio è D = R0 e l’insieme immagine è IM. = R0.


Il grafico di questa funzione (figura C.27) non ha punti appartenenti agli assi coordinati.Questa curva è una iperbole; essa è formata da due rami che si collocano nel II e IV quadrante.�� b Esercizi proposti: C.51, C.52

C.6.5 La funzione di proporzionalità quadratica

È assegnata la tabella che esprime il legame tra due variabili reali; determina se essarappresenta una funzione costante, una funzione lineare, una funzione di proporzionalitàdiretta, di proporzionalità inversa, oppure nessuno di questi tipi:

x −2 −1 1/2 0 2 3 3/2y 4 1 1/4 0 4 9 9/4

Come avrai notato dall’analisi delle coppie assegnate, la tabella associa ad ogni valoredella variabile indipendente il suo quadrato. Il dominio di tale funzione è D = R, mentrel’immagine è IM. = R+ ∪ {0}. La formula in cui si esprime il legame algebrico delle duevariabili è, y = x2. Costruiamo il suo grafico (figura C.28), utilizzando i punti della tabella.

Definizione C.16. Una funzione in cui risulta costante e diverso da zero il rapporto tra lavariabile dipendente e il quadrato della variabile indipendente si chiama funzione di pro-porzionalità quadratica. In simboli: y proporzionale a x2 ⇔ y

x2 = k con k ∈ R e k 6= 0 oanche y = k · x2.

Il grafico di una funzione di proporzionalità quadratica è una curva passante per l’origine,chiamata parabola. Il punto O(0; 0) si chiama vertice della parabola.�� b Esercizi proposti: C.53, C.54, C.55, C.56, C.57, C.58, C.59, C.60

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x

y

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

FIGURA C.26: La funzione y = 2x .

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x

y

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

FIGURA C.27: La funzione y = − 12x .


C.6.6 Funzione lineare a tratti

Problema C.27. La ditta “Farvit” produce viti che vengono vendute a peso in imballaggiparticolari il cui peso non supera i 10 Kg; la tabella dei prezzi esposta nel magazzino degliordini è la seguente:

Peso Costo

peso 6 4 Kg 1, 5 · peso4 Kg < peso 6 8 Kg 0, 5 · peso + 4e8 Kg < peso 6 10 Kg 12e

Soluzione Pensando il peso come variabile indipendente che possa assumere qualunque valorereale positivo, possiamo rappresentare la tabella esposta con un grafico (figura C.29).

Osserviamo che il punto C rappresenta il costo di un pacco di 8 Kg; il punto D è l’estremodi un segmento aperto a sinistra. Per un peso di 8, 1 Kg il costo è di 10e. Il grafico tracciatoè formato da segmenti appartenenti a rette diverse: in questi casi si dice che la funzione èdefinita per casi.

Qual è il costo di una confezione di 3 Kg? Costo = . . . . . . . . . Segnate il punto corrispondentesul grafico. Il punto E cosa rappresenta? . . . . . . . . . Stabilite dominio e codominio della funzioneCosto.

�

Definizione C.17. Diciamo che una funzione è definita per casi quando è definita daespressioni diverse su sottoinsiemi diversi del dominio.

Esempio C.28. È assegnata la funzione f(x) ={f1: y = 1 − x con x 6 0f2: y = 1 con x > 0

tracciate il suo

grafico.

Passo I individuiamo il dominio che risulta dall’unione dei sottoinsiemi in cui è definitaciascuna espressione; quindi Df = Df1 ∪Df2 = R.

y

1

2

3

4

−3 −2 −1 0 1 2 3 x

FIGURA C.28: La funzione y = x2.


Passo II f1 è una funzione lineare, quindi determiniamo due punti per tracciarne il grafi-co: A(0; 1) e B(−1; 2); f2 è una funzione costante.

Passo III tracciamo il grafico (figura C.30) che risulta formato dall’unione di due semiretteaventi la stessa origine A(0; 1).

Esempio C.29. Seguendo i passi dell’esempio precedente, dopo aver determinato il dominio,

tracciare il grafico della funzione f(x) =

y = 1 se x > 0y = 0 se x = 0y = −1 se x < 0

e calcolare l’ordinata dei suoi

punti A e B sapendo che xA = 34 e xB = −5.

q Osservazione I grafici dei due esempi precedenti hanno una notevole differenza: le duesemirette del primo esempio hanno la stessa origine, il grafico si può tracciare senza sollevarela matita dal foglio, le semirette del secondo esempio hanno invece origine diversa e il graficonon può essere tracciato senza sollevare la matita dal foglio. Diciamo nel primo caso che lafunzione è continua nel dominio, nel secondo caso che è discontinua.�� b Esercizio proposto: C.61

C.6.7 Funzione valore assoluto

Particolare importanza assume la funzione valore assoluto definita da R a R:

f(x) = |x| =

{y = x se x > 0y = −x se x > 0

Vogliamo tracciarne il grafico. Nel riferimento cartesiano ortogonale tracciamo la retta y =

x e su di essa evidenziamo la semiretta b avente l’origine in O i cui punti appartengonoal primo quadrante; analogamente tracciamo la retta y = −x e su di essa evidenziamo lasemiretta a avente l’origine in O i cui punti appartengono al secondo quadrante. Nella

y

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 x

B

C

D E

a

b

c

FIGURA C.29: Problema C.27.

y

1

2

3

4

−3 −2 −1 0 1 2 3 x

a

A



y

−2

−1

1

2

3

−3 −2 −1 0 1 2 3 x

a b

FIGURA C.31: Metodo per ottenere il graficodella funzione di valore assoluto.

y

−2

−1

1

2

3

−3 −2 −1 0 1 2 3 x

FIGURA C.32: La funzione valore assoluto.

figura C.31 sono rappresentati i passi descritti e nella figura C.32 il grafico della funzionevalore assoluto come unione delle due semirette evidenziate.

m Conclusione il grafico della funzione valore assoluto di equazione y = |x| è formato dadue semirette aventi come origine l’origine del riferimento cartesiano. La funzione è continua,è nulla per x = 0 e positiva per ogni x ∈ R − {0}, il codominio è C = {y ∈ R/ y > 0}.�� b Esercizi proposti: C.62, C.63, C.64

Sezione C.7. Esercizi 539

C.7 Esercizi

C.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi

C.1 - Funzioni o applicazioni

C.1. Per le funzioni rappresentate nell’esempio C.1, completa:

á figura a: D = I.D. = . . . . . . . . . . . . . . . ; C = IM. = . . . . . . . . . . . . . . . ; f(a) = . . . . . . . . . . . . . . . ;á figura c: D = I.D. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; C = IM. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; f(. . . ) = 4.

C.2. È vero che la corrispondenza che associa ad ogni regione italiana il suo capoluogo diprovincia è una funzione?

a ) Completa: D = I.D. = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;b ) è vero che IM. ={ città d’Italia}?c ) completa f(Liguria)= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; f( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ) =Cagliari?

C.3. Assegnati gli insiemi A ={mare, ruspa, fegato, generale} e B ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} la corri-spondenza che associa ad ogni elemento di A il numero di lettere di cui è composta la parolaè una funzione?

a ) Rappresentala con grafico sagittale e stabilisci l’insieme immagine;b ) quale relazione sussiste tra B e IM.?

C.4. Quali tra le seguenti corrispondenze sono funzioni?

Dominio Codominio Corrispondenza

libri autori a ogni libro associa l’autorecanzoni cantanti a ogni canzone associa il cantanteportoni di una via numeri a ogni portone associa il numero civicocomputer sistemi operativi a ogni computer associa il S.O. installato

C.5. Si è ammessi alla facoltà U se nel test d’ingresso si è avuto un punteggio compreso tra 60incluso e 100 incluso. La corrispondenza che associa ad ogni studente che ha superato il test ilpunteggio ottenuto è una funzione? Se rispondi affermativamente, sai dire di che tipo è lafunzione?

C.6. Spiega perché la funzione che associa a ciascuna persona il suo codice fiscale è biunivoca.

C.2 - Funzioni tra insiemi numerici

C.7. Nella corrispondenza che associa ad ogni intero il suo valore assoluto (esempio C.5), èvero che scelto un qualunque numero naturale è possibile determinare almeno un numerointero di cui è immagine? Completate: f(. . .. . .) = 45. L’osservazione precedente permette diconcludere che tale funzione è suriettiva? Fate la rappresentazione sagittale della funzione.

C.8. Data la funzione y = x− 2 con dominio N − {0, 1} e codomino N completa l’analisidell’esempio C.7


a ) elementi diversi del dominio hanno immagini diverse, quindi tale funzione è iniettiva; siha anche C = IM. = N e pertanto la funzione è suriettiva, quindi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

b ) preso y = 8 sapresti trovare l’elemento del dominio di cui è immagine? . . . . . . . . . . . . . . ;

C.9. Stabilisci se la funzione f : y = 1x è iniettiva. Nell’insieme immagine c’è lo zero?

Completate C = IM. = . . . Completate la tabella

x ∈ Q0 −2 −7/8 +1 −1y ∈ Q0 +1/3 −12/5 −7/8 −1

C.10. Consideriamo la funzione f che associa ad ogni numero razionale il suo triplo.

Qf→Q; la sua espressione in forma analitica è f : y = . . .. . .. . .

D = I.D. = Q; possiamo moltiplicare per 3 qualunque numero razionale.C = IM. = Q; infatti per ogni numero razionale y c’è un numero razionale x di cui y è il

triplo, basta dividere y per 3.

a ) qual è l’immagine di 0? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b ) quale elemento del dominio ha per immagine 5? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c ) è vero che ogni numero positivo ha l’immagine positiva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .d ) è vero che −1 è immagine di −3? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .e ) la funzione è iniettiva?f ) la funzione è biunivoca?

Fai il grafo sagittale della funzione.

C.11. Per ciascuna delle seguenti funzioni determinare l’insieme di definizione, l’insiemeimmagine e stabilire se la funzione è iniettiva o suriettiva.

a ) y : Z→ Z; x→ 2x;b ) y : Z→ Z; x→ x2;c ) y : N→N; x→ 1

x ;d ) y : Q→ Q; x→ 2x;e ) y : Q→ Q; x→ 1

x .

C.12. Per ciascuna delle funzioni elencate in R×R, riempite le colonne della tabella.

y = f(x) f(x) è iniettiva? x = f−1(y)

y = 2xy = x+ 2y = 2x− 2y = x2

y = 12x−

52

y =√

2 · x

C.13. Assegnata la funzione lineare f : y = m · x+ q, essendo una funzione iniettiva la suainversa è: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


C.3 - Composizione di funzioni

C.14. Date le funzioni f(x) = 2x+ 1 e g(x) = 3x+ 2 che hanno per dominio rispettivamen-te A = {x ∈ Z/− 2 6 x 6 2}, B = {x ∈ Z/ − 1 6 x 6 3}. Scrivi le espressioni analitiche dellefunzioni f ◦ g e g ◦ f.

C.4 - La retta e gli insiemi numerici

C.15. Determina sulla retta reale i punti immagine dei seguenti numeri reali: α = 32

√2;

β = 25 + 1√

2; δ = −

(√3 +√

2)

; λ =√

3 − 3.

C.16. Verifica che il numero χ =√

3 +√

2 non è uguale al numero ω =√

5, usando larappresentazione sulla retta orientata.

C.17. Stabilisci il valore di verità della proposizione: “poiché tra 2 e 3 non vi è nessun altronumero naturale, anche tra

√2 e√

3 non vi è nessun numero reale”.

C.5 - Il metodo delle coordinate cartesiane

C.18. Per ciascuna coppia di punti indica in quale quadrante si trova, se si trova su un asseindica l’asse: (0;−1),

( 32 ;− 5

4),(0; 1

3),( 5

3 ; 1),(1;− 5

3). (−8; 9),

(−2;− 1

4), (−1; 0).

Completa l’osservazione conclusiva:

á tutte le coppie del tipo (+;+) individuano punti del . . . . . . . . .;á tutte le coppie del tipo (. . . ; . . .) individuano punti del IV quadrante;á tutte le coppie del tipo (−;+) individuano punti del . . . . . . . . .;á tutte le coppie del tipo (−;−) individuano punti del . . . . . . . . .;á tutte le coppie del tipo (. . . ; 0) individuano punti del . . . . . . . . .;á tutte le coppie del tipo (. . . ; . . .) individuano punti dell’asse y.

C.19. Sono assegnati i punti A(3;−1), B(3; 5),M(−1;−1), N(−1;−7). È vero che AB =MN?

C.20. Sono assegnati i punti A(1; 5), B(−4; 5), C(−4;−2), D(5;−2). Quale poligono si ottie-ne congiungendo nell’ordine i quattro punti assegnati? Determinare l’area del quadrilate-ro ABCD.

C.21. Determina l’area del quadrilateroMNPQ sapendo cheM(6;−4),N(8; 3), P(6; 5),Q(4; 3).

C.22. Determina AB sapendo che A(7;−1) e B(−3;−6).

C.23. Determina la distanza di P (−3; 2, 5) dall’origine del riferimento.

C.24. Calcola la misura del perimetro del triangolo ABC di vertici A(3;−2), B(4; 1), C(7;−4).

C.25. Determina il perimetro del quadrilatero di vertici A(1; 5), B(−4; 5), C(−4;−2), D(5;−2).

C.26. Determina il perimetro del quadrilatero di verticiM(6;−4), N(8; 3), P(6; 5), Q(4; 3).

C.27. Determina il perimetro e la misura delle diagonali del quadrilatero di vertici A(1;−3),B(4; 3), C(−3; 1), D(−6;−5).

C.28. Verifica che il triangolo di vertici E(4; 3), F(−1; 4), G(3;−2) è isoscele.


C.29. Il triangoloABC ha il lato BC appoggiato sull’asse x; il vertice B ha ascissa 54 , il vertice C

segue B e BC = 172 . Determina le coordinate del vertice C, l’area e il perimetro del triangolo

sapendo che il terzo vertice è A(−1; 5).

C.30. I punti F(3; 0), O(0; 0), C(0; 5) sono i vertici di un rettangolo; determina le coordinatedel quarto vertice, il perimetro, l’area e la misura delle diagonali del rettangolo.

C.31. I puntiO(0; 0), A(4; 5), B(9; 5), C(3; 0) sono i vertici di un trapezio. Determina perimetroe area del trapezio OABC.

C.32. Determina le coordinate del punto medio dei segmenti i cui estremi sono le seguenticoppie di punti:

a ) A(−√

2; 0),B(0;√

2);b ) A

( 23 ;− 3

2)

,B(− 1

6 ; 3);

c ) A(−1; 4),B(1;−4);d ) A

(0;− 3

2)

,B (−2;−1);

e ) A(

1 +√

2; 1√3

),B(−√

2;−√

33

);

f ) A( 7

5 ;− 75)

,B(1;−1);g ) A

(−3; 1

2)

,B( 1

2 ;−3).

C.33. I vertici del triangolo ABC sono i punti A( 2

3 ;− 32), B(− 1

6 ; 1), C( 4

3 ; 0), determina le

coordinate dei puntiM, N, P, punti medi rispettivamente dei lati AB, AC, BC.

C.34. I vertici del triangolo ABC sono i punti A(−3; 5), B(3;−5), C(3, 5), i punti M, N, P sonoi punti medi rispettivamente dei lati AB, AC, BC. Determina il perimetro di ABC e diMNP.Quale relazione sussiste tra i perimetri ottenuti? Secondo te vale la stessa relazione anche trale aree dei due triangoli?

C.35. Verifica che il triangolo di vertici A(2; 3), B(6;−1), C(−4;−3) è rettangolo (è sufficienteverificare che le misure dei lati verificano la relazione di Pitagora). È vero cheCB è l’ipotenusa?Verifica che AM, con M punto medio di BC è metà di BC stesso. Come sono i triangoli AMCe AMB?

C.36. Verifica che i segmenti AB e CD di estremi A( 1

2 ; 2), B(− 3

4 ;−2), C(3; 1), D

(− 7

2 ;−1)

hanno lo stesso punto medio. È vero che AC = BD?

C.6 - Il grafico di una funzione

C.37. Sono assegnate alcune funzioni con una formula; compila le tabelle a seguito di ciascuna.

f1 : Q→ Q y =12x:

x 2y 1

f2 : Q→ Q y = −x:

x 1y −1

f3 : Q→ Q y = 2 − 3x:

x 0y 2


C.38. Esprimi con linguaggio comune la funzione f1 dell’esercizio precedente e rispondi alledomande:

a ) qual è l’immagine di 0? y = . . . . . .;b ) quale elemento del dominio ha per immagine 5? x = . . . . . .;c ) è vero che ogni numero positivo ha l’immagine positiva? Perché?d ) è vero che −1 è immagine di −2? Perché?

C.39. Dopo aver determinato per ciascuna delle seguenti funzioni il coefficiente angolare k,tracciane il grafico in un riferimento cartesiano ortogonale:

a ) f1 : y = 12x;

b ) f2 : y = x;c ) f3 : y = 4

3x;

d ) f4 : y = 35x;

e ) f5 : y = 5x;f ) f6 : y = − 1

2x;

g ) f7 : y = −x;h ) f8 : y = − 3

4x.

C.40. Riporta in uno stesso riferimento cartesiano ortogonale le prime cinque funzioni dell’e-sercizio precedente. Evidenzia con un colore diverso la funzione f2, calcola poi il coefficienteangolare k compilando la seguente tabella:

f f1 f2 f3 f4 f5k

Cancella i termini errati nella seguente analisi: “Tutte le funzioni hanno coefficiente angolarepositivo/negativo; tutte le rette formano con l’asse orientato delle x un angolo ottuso/acuto;tutte le rette aventi coefficiente minore di 1 stanno sopra/sotto la f2; tutte le rette aventicoefficiente maggiore di 1 stanno sopra/sotto la f2”.

C.41. Ripeti l’esercizio precedente per le altre tre funzioni, evidenziando la funzione f7; co-struisci l’analoga tabella e cancella i termini errati nella seguente analisi: “Tutte le funzionihanno coefficiente angolare positivo/negativo; tutte le rette formano con l’asse orientato del-le x un angolo ottuso/acuto; tutte le rette aventi coefficiente minore di −1 stanno sopra/sottola f7; tutte le rette aventi coefficiente maggiore di −1 stanno sopra/sotto la f7”.

C.42. Se x rappresenta la misura del lato di un triangolo equilatero; determina la misura dellaaltezza al variare della misura del lato. Nel riferimento cartesiano ortogonale traccia il graficodella funzione ottenuta.

C.43. Quale deve essere la misura del lato di un quadrato per avere la diagonale di 2 m?

C.44. Traccia nel riferimento cartesiano ortogonale il grafico delle funzioni: y = −2; y = 6;y = 0; y = −1; y = 3.

C.45. Traccia nel riferimento cartesiano la funzione y = 1 e y = −3; nello stesso riferimentotraccia la funzione y = 2x. Le tre rette individuano nel piano due punti. Determina la distanzadei due punti.

C.46. Le due funzioni f1 e f2 di proporzionalità diretta assegnate dalle tabelle seguentidelimitano sulla funzione y = −2 un segmento; determina la misura del segmento e il suopunto medio:


f1x −2 0 3 −1y 2 0 −3 1

f2x 1 0 3 −2y 4 0 12 −8

C.47. Traccia il grafico cartesiano delle funzioni f1 : y = 2x, f2 : y = − 12x, f3 : y = 2 e indica

con A e B rispettivamente i punti di intersezione di f1 con f3 e di f2 con f3. Considera iltriangolo AOB (O è l’origine del riferimento). È vero che AB2

= AO2+OB

2? Sai trarre unacaratteristica del triangoloAOB? Traccia nello stesso riferimento la funzione f4 : y− 4 e indicacon C e D rispettivamente i punti di intersezione di f1 con f4 e di f2 con f4. Calcola l’area delquadrilatero ABCD.

C.48. Sono assegnate le funzioni lineari: f1 : y = 12x− 2, f2 : y = −x− 3

4 , f3 : y = 6x− 6.Rappresentale in un riferimento cartesiano ortogonale dopo aver compilato per ciascuna unatabella di valori.

C.49. Segna nel riferimento cartesiano ortogonale i punti assegnati tramite la tabella:

x −3 −3/2 0 3 6y −2 −1 0 2 4

La funzione assegnata è una proporzionalità diretta?Scrivi la formula y = . . . . . . . . .Completa ora la tabella avente i medesimi valori della variabile indipendente, ma i valori

della variabile dipendente siano ottenuti dai precedenti diminuiti di 2:

x −3 −3/2 0 3 6y −2

Scrivi la formula della nuova funzione y = . . . . . . . . .Traccia il suo grafico nello stesso riferimento. È una funzione lineare?

C.50. La tabella individua coppie di punti allineati; trova la formula che descrive ciascunafunzione lineare e traccia il suo grafico:

f1x 5 −1 0 3 1y −2 4 −3 0 2

f2x −4 −4/3 0 −1/3 4/3y −2 0 1 3/4 2

f3x −6 −1 0 3 1y −11/3 −1/3 1/3 7/3 1

C.51. Traccia il grafico delle seguenti funzioni di proporzionalità inversa:

a ) f1 : y = − 32x ;

b ) f2 : y = 1x ;

c ) f3 : y = 5x ;

d ) f4 : y = −3x ;

e ) f5 : y = − 1x ;

f ) f6 : y = − 25x .


C.52. Traccia nelle stesso riferimento cartesiano ortogonale la curva γ : y = − 12x e le rette r1 :

y = 2 e r2 : y = −2. Verifica che l’origine del riferimento è il punto medio del segmentoavente per estremi i punti A1 = r1 ∩ γ e A2 = r2 ∩ γ.

C.53. Traccia il grafico delle seguenti funzioni di proporzionalità quadratica:

a ) f1 : y = −x2;b ) f2 : y = x2;

c ) f3 : y = − 12x

2;d ) f4 : y = − 5

2x2;

e ) f5 : y = 34x

2;f ) f6 : y = 7

3x2.

C.54. Dai grafici dell’esercizio precedente trai le conclusioni, completando.

a ) se k > 0 allora i punti della parabola si trovano . . . . . . . . .;b ) se k < 0 allora i punti della parabola si trovano . . . . . . . . .;c ) se k > 1 allora la curva è più aperta o più chiusa rispetto alla y = x2? . . . . . . . . .;d ) se 0 < k < 1 allora la curva è più aperta o più chiusa rispetto alla y = x2? . . . . . . . . .;e ) se k < −1 allora la curva è più aperta o più chiusa rispetto alla y = −x2? . . . . . . . . .;f ) se −1 < k < 0 allora la curva è più aperta o più chiusa rispetto alla y = −x2? . . . . . . . . ..

C.55. Determina la distanza del punto di ascissa x = −2 della parabola y = 3x2 dal suovertice.

C.56. Sono assegnate le funzioni f1 : y = (−x)2 e f2 : y = −x2 di proporzionalità quadratica.Spiega se e perché sono o non sono la stessa funzione. Danne di ciascuna la descrizione inlinguaggio comune. Costruisci per ciascuna una tabella di valori e costruisci il rispettivografico. Puoi confermare la risposta data alla prima richiesta?

C.57. Completa la seguente tabella:

Funzione In linguaggio comune Formula Tipof1 Associa ad ogni x reale il valore −2/3f2 Associa ad ogni x reale il triplo del suo quadratof3 y = −5x2

f4 Associa ad ogni x reale il suo doppio aumentato di 3/2f5 Associa ad ogni x reale 6= 0 l’opposto del suo reciprocof3 y = −5x

Traccia nel riferimento cartesiano ortogonale le funzioni assegnate. Per quale/i è vero che perqualunque x del dominio è IM. = R?

C.58. Il rettangolo ABCD ha il lato AB triplo del lato BC. Indica BC = x; determina ilperimetro del rettangolo in funzione di x. 2p = . . . . . . . . . Spiega perché è necessaria lacondizione x > 0; rappresenta graficamente nel riferimento cartesiano la funzione perimetro.Determina ora l’area in funzione di x, Area = . . . . . . . . .; rappresenta la funzione area, nellostesso riferimento.

C.59. Il triangolo rettangolo ABC, retto in A ha i cateti l’uno doppio dell’altro. Indica lamisura del cateto minore AB = x e spiega perché è necessaria la condizione x > 0.

Determina in funzione di x l’area del triangolo. Area = . . . . . . . . . rappresenta questafunzione nel riferimento cartesiano ortogonale. Stabilisci le misure dei cateti se l’area èdi 20 cm2.


Calcola in funzione di x il perimetro del triangolo: 2p = . . . . . . . . ., rappresenta come variala funzione perimetro al variare di x.

C.60. Nel triangolo isoscele ABC il lato obliquo AB è doppio della base BC; indica BC = x

e determina in funzione di x il perimetro del triangolo. 2p = . . . . . . . . . Di che funzione sitratta? Descrivila e rappresentala nel riferimento cartesiano ortogonale, dopo aver fissato leopportune condizioni sulla variabile indipendente.

Se il perimetro è 120 cm, quanto misurano i lati del triangolo? Calcola, in questo caso,l’area del triangolo e la misura delle altezze relative ai lati uguali.

C.61. Traccia il grafico della funzione

f(x) =

{y = −1 se x > 1y = 2x se x 6 1

.

C.62. Traccia il grafico della funzione y = |x+ 1|.

C.63. Un caseificio vende mozzarelle a e 4, 50 al chilo ai clienti che acquistano fino 10 kgdi mozzarella, per i clienti che fanno acquisti superiori ai 10 kg vende a e 4, 00 al kg per laparte che eccede i 10 kg e per i primi 10 kg vende sempre a e 4, 50. Per i clienti dei grandisupermercati che acquistano quantità superiori a 100 kg vende a e 3, 50 al kg. Codifica conopportune formule la funzione costo:

. . . . . . . . . se x 6 10

. . . . . . . . . se 10 < x 6 100

. . . . . . . . . se x > 100.

Determina il costo dei seguenti ordini:

kg 3, 5 11, 8 78 120euro 360 57 35

Rappresenta graficamente la funzione.

C.64. Dal grafico della funzione stabilisci insieme di definizione D, insieme immagine IM.,verifica se la funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva.

y

x

y

x

y

x

Approfondimenti su relazioni e insiemi DD.1 Particolari relazioni d’equivalenza

D.1.1 La costruzione dell’insieme dei numeri interi relativi

Dio fece i numeri naturali, tutto ilresto è opera dell’uomo.

L. KRONECKER

Esempio D.1. Nell’insieme

A = {(4, 5), (7, 8), (0, 1), (2, 3), (5, 4), (12, 13), (10, 9), (5, 5), (1, 0), (4, 4), (0, 0)}

sottoinsieme del prodotto cartesiano N×N, considera in A la relazione R così definita;“(m,n)R(p,q) se e solo se la somma dim con q è uguale alla somma di n con p”. In linguaggiomatematico: (m,n)R(p,q) se e solo sem+ q = n+ p.

á Completa il suo grafo (figura D.1) e deduci le proprietà;á costruisci e rappresenta con diagrammi di Eulero-Venn la partizione ℘(A) dell’insiemeA

e l’insieme quoziente A/R ;á quante classi d’equivalenza hai ottenuto?á è vero che ciascuna di esse può essere rappresentata da una coppia avente almeno un

elemento nullo?á scrivi i rappresentanti delle classi d’equivalenza.

Proviamo ora a generalizzare quanto ottenuto. Nel prodotto cartesiano N×N conside-riamo la relazione R definita nell’esempio precedente; essendo N×N formato da infiniti

(7, 8) (2, 3)

(0, 1)

(4, 4)

(0, 0)

(5, 5)

(5, 4)(1, 0)

(12, 13)(4, 5)

(10, 9)

FIGURA D.1: Esempio D.1.

547

548 Capitolo D. Approfondimenti su relazioni e insiemi

elementi non possiamo rappresentare il grafo della relazione, ma possiamo comunque studiar-ne le proprietà per stabilire se anche in questo insieme si mantengono le conclusioni raggiuntenell’esempio.

La relazione è riflessiva per qualunque coppia (m,n) di N×N si ha (m,n)R(m,n).Infatti applicando il predicato della relazione si ottiene l’uguaglianza m+ n = n+m,

vera qualunque siano i numeri naturali m ed n poiché l’addizione in N gode della proprietàcommutativa. Con riferimento all’attività precedente hai potuto infatti mettere il cappio sopraogni coppia: ad esempio è vero che (4, 5)R(4, 5) poiché 4 + 5 = 5 + 4.

La relazione è simmetrica per qualunque coppia (m,n) e (p,q) appartenenti a N ×N,se (m,n)R(p,q) allora (p,q)R(m,n).

Infatti se (m,n)R(p,q) si ham+ q = n+ p; per la proprietà commutativa dell’addizionein N si ha anche p+ n = q+m, uguaglianza che assicura la validità della relazione tra lacoppia (p,q) e (m,n).

Nell’esercizio precedente, ad esempio, la coppia (5, 4) è in relazione con la coppia (10, 9)perché è vero che 5 + 9 = 4 + 10; da questa è anche vero che 10 + 4 = 9 + 5, uguaglianza cheassicura (10, 9)R(5, 4): nel grafo hai usato archi per evidenziare coppie in relazione.

La relazione è transitiva se (m,n)R(p,q) e (p,q)R(s, t) allora (m,n)R(s, t), per qualunqueterna di coppie (m,n), (p,q), (s, t) appartenenti a N×N.

Infatti se (m,n)R(p,q) e (p,q)R(s, t) si ha m+ q = n+ p e p+ t = q+ s; sommandomembro a membro le precedenti uguaglianze si ottiene

m+ q+ p+ t = n+ p+ q+ s

(m+ t) + (q+ p) = (n+ s) + (q+ p)

per le proprietà commutativa e associativa dell’addizione in N. Confrontando i membridell’uguaglianza si deduce chem+ t = n+ s, e quest’ultima assicura la verità dell’afferma-zione (m,n)R(s, t).

Riferendoti all’esempio svolto sopra hai potuto stabilire che (5, 4)R(10, 9) e (10, 9)R(1, 0)poiché 5 + 9 = 4 + 10 e 10 + 0 = 9 + 1. Procediamo come nel ragionamento precedente esommiamo membro a membro le due uguaglianze;

5 + 9 + 10 + 0 = 4 + 10 + 9 + 1

(5 + 0) + (9 + 10) = (4 + 1) + (10 + 9)

5 + 0 = 4 + 1,

che assicura la verità di (5, 4)R(1, 0).

m Conclusione La relazione R così introdotta nell’insieme delle coppie ordinate di numerinaturali è una relazione d’equivalenza che determina una partizione in classi d’equivalenzadell’insieme N×N (figura D.2).

Analizzando con attenzione ℘(N×N), possiamo determinare quale coppia ci convieneassumere come rappresentante di ciascuna classe d’equivalenza. Si può osservare che:

á coppie formate da elementi uguali appartengono alla stessa classe d’equivalenza chepuò quindi essere rappresentata dalla coppia (0, 0);

Sezione D.1. Particolari relazioni d’equivalenza 549

℘(N×N)

(31, 17)(0, 0)

(3, 3)

(1, 3)

(0, 2)

(1, 0)(5, 4)

(6, 9)

(3, 7)

(0, 4)

(5, 1)

FIGURA D.2: Insieme delle parti (N×N)/R.

á la coppia (m,n) conm > n è equivalente alla coppia (m−n, 0) essendo

m+ 0 = n+m−n;

pertanto la classe d’equivalenza della coppia (m,n) può essere rappresentata dallacoppia (m−n, 0);

á la coppia (m,n) conm < n è equivalente alla coppia (0,n−m) essendo

m+n−m = n+ 0;

pertanto la classe d’equivalenza della coppia (m,n) può essere rappresentata dallacoppia (0,n−m).

Per esercizio determina la coppia avente un elemento nullo, equivalente a (31, 17) . . . . . .,(6, 9) . . . . . ., (5, 1) . . . . . .

m Conclusione Ciascuna classe d’equivalenza può essere rappresentata da una coppia dinumeri naturali avente almeno un elemento nullo.

L’insieme quoziente (N×N)/R è pertanto rappresentato nella figura D.3.

Definizione D.1. Si chiama numero intero relativo ogni classe d’equivalenza ottenutaintroducendo in N×N la relazione (m,n)R(p,q) se e solo sem+ q = n+ p.

Definizione D.2. Si chiama forma canonica del numero intero relativo la coppia scelta comerappresentante della classe d’equivalenza.

Possiamo ad esempio dire che la classe [(3, 7)] è un numero intero relativo della classe (0, 4).

Definizione D.3. Si chiama numero intero positivo la classe d’equivalenza [(n, 0)] e si indicacon il simbolo +n.


[(0, 1)][(0, 2)]

[(0, 4)]

[(0, 0)]

[(14, 0)]

[(3, 0)]

[(1, 0)]

FIGURA D.3: L’insieme quoziente (N×N)/R.

Z

{0}

Z+

Z−

0+3

+34 −124

−1−8

FIGURA D.4: L’insieme Z dei numeri interi relativi.

Definizione D.4. Si chiama numero intero negativo la classe d’equivalenza [(0,n)] e si indicacon il simbolo −n.

Definizione D.5. Si chiama zero la classe d’equivalenza [(0, 0)] e si indica con 0.

Definizione D.6. Si chiama valore assoluto del numero intero relativo il numero naturalediverso da zero che compare nella sua forma canonica.

Definizione D.7. L’insieme (N×N)/R è chiamato insieme dei numeri interi relativi e indicatocon il simbolo Z.

q Osservazione L’insieme dei numeri interi relativi viene semplicemente chiamato insiemedei numeri interi.

Esso contiene tre sottoinsiemi Z+ = {x/ x è intero positivo}, Z− = {x/ x è intero negativo}e l’insieme il cui unico elemento è lo zero {0}. Scriviamo quindi Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0} erappresentiamo con diagramma di Eulero-Venn (figura D.4)


Quando si debbano considerare solamente gli interi positivi e negativi si usa il simbolo Z0col quale si indica che l’insieme dei numeri interi relativi è stato privato dello zero:

Z0 = Z+ ∪Z− = Z − {0}.�� b Esercizi proposti: D.1, D.2

D.1.2 La costruzione dell’insieme dei numeri razionali

Indichiamo con N0 l’insieme dei naturali privato dello zero, precisamente N0 = N − {0} ecostruiamo l’insieme N×N0; esso sarà costituito da tutte le coppie ordinate di numeri naturalidi cui il secondo elemento è diverso da zero, cioè (0, 3) ∈N×N0 mentre (5, 0) /∈N×N0. Inquesto insieme sia R la relazione così definita (m,n)R(p,q) se e solo sem · q = n · p.

Esempio D.2. Nella relazione definita sopra indica Vero o Falso e dai la motivazione di quantoaffermi.

á (3, 5)R(15, 25) V F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;á (3, 9)R(1, 3) V F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;á (8, 9)R(7, 8) V F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;á (0, 6)R(0, 1) V F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Analizziamo le proprietà della relazione:

La relazione è riflessiva per qualunque (m,n) ∈N×N0 si ha (m,n)R(m,n).Infatti applicando il predicato della relazione si ottiene l’uguaglianzam ·n = n ·m, vera

qualunque siano i numeri naturalim ed n poiché la moltiplicazione in N gode della proprietàcommutativa.

La relazione è simmetrica per qualunque coppia (m,n) e (p,q) dell’insieme N×N0

se (m,n)R(p,q) allora (p,q)R(m,n).

Infatti se (m,n)R(p,q) si ham · q = n · p; per la proprietà commutativa della moltiplica-zione in N si ha anche p ·n = q ·m, uguaglianza che assicura la validità della relazione tra lacoppia (p,q) e (m,n).

La relazione è transitiva se (m,n)R(p,q) e (p,q)R(s, t) allora (m,n)R(s, t), per qualunqueterna di coppie (m,n), (p,q), (s, t) appartenenti a N×N0.

Infatti, se (m,n)R(p,q) e (p,q)R(s, t) sappiamo che m · q = n · p e che p · t = q · s; oramoltiplicando membro a membro le precedenti uguaglianze si ottiene

m · q · p · t = n · p · q · s⇒(m · t) · (q · p) = (n · s) · (q · p)

per le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione in N. Confrontando i membridell’uguaglianza e dividendo per i fattori uguali si deduce che m · t = n · s, che assicura laverità dell’affermazione (m,n)R(s, t).


℘(N×N0)

(31, 17)(9, 9)

(3, 3)

(0, 4)

(0, 2)

(8, 6)(4, 3)

(6, 9)

(3, 2)

(6, 4)

(5, 1)

FIGURA D.5: Partizione in classi d’equivalenza dell’insieme N×N0.

m Conclusione Si può concludere che la relazione R introdotta nell’insieme N×N0 è unarelazione d’equivalenza che determina una partizione in classi d’equivalenza dell’insieme N×N0 (figura D.5).

Vogliamo determinare la coppia da assumere come rappresentante di ciascuna classed’equivalenza. Per fare questo associamo a ciascuna coppia (a,b) di N×N0 la frazione ab eosserviamo che la relazione R in N×N0 prende significato se trasferita nell’insieme dellefrazioni dalla operazione che permette di costruire frazioni equivalenti.

Esempio D.3. Presa la coppia (4, 3) ad essa associamo la frazione 43 ; alla coppia (8, 6) asso-

ciamo la frazione 86 . Le coppie (4, 3) e (8, 6) stanno nella stessa classe d’equivalenza poiché

4 · 6 = 3 · 8; le frazioni 43 e 8

6 sono equivalenti secondo l’usuale definizione.

m Conclusione Tutte le coppie appartenenti ad una classe d’equivalenza risultano associatead una stessa frazione; scegliamo dunque come rappresentante di ciascuna classe la frazioneridotta ai minimi termini.

L’insieme quoziente N×N0/R è rappresentato nella figura D.6.

Definizione D.8. L’insieme quoziente N×N0/R si chiama insieme dei numeri razionaliassoluti e si indica con il simbolo QA.

Definizione D.9. Si chiama numero razionale assoluto ogni classe d’equivalenza ottenutaintroducendo in N×N0 la relazione R : (m,n)R(p,q) se e solo se m · q = n · p; esso vienerappresentato da una frazione ridotta ai minimi termini.

Quanto abbiamo detto ci permette di passare dall’insieme delle frazioni ad un insieme dinumeri che, benché scritti con il simbolom/n, lo stesso usato per rappresentare una parte diuna grandezza, hanno un significato completamente diverso dalla frazione. D’altra parte, hai


N×N0/R

[( 25 )]

[(0)]

[( 43 )]

[(10)]

FIGURA D.6: L’insieme quoziente N×N0/R.

già visto nella secondaria di primo grado che al simbolom/n si può attribuire il significato diquoziente della divisione tra il numeratore e il denominatore e che i numeri razionali sonotutti quelli che si possono scrivere sotto forma di frazione.

Esempio D.4. Completa la tabella e verifica se le coppie appartengono alla stessa classe diequivalenza, in questo caso indica il rappresentante della classe. Le coppie rappresentano lostesso numero razionale? In caso affermativo scrivi il simbolo del numero razionale.

Coppie Stessa classe? Rappr. classe Stesso numero? Simbolo numero(1, 2); (3, 2) Si

[ 12]

Si 12

(2, 7); (4, 49)(8, 5); (40, 25)(60, 12); (5, 0)(20, 2); (10, 1)

m Conclusione Se introduciamo la stessa relazione R nell’insieme Z × Z0, possiamoottenere le seguenti definizioni.

Definizione D.10. Si chiama insieme dei numeri razionali relativi l’insieme quoziente (Z×Z0)/R; esso si indica con il simbolo Q.

Definizione D.11. Si chiama numero razionale relativo ogni classe d’equivalenza ottenutaintroducendo in Z×Z0 la relazione R : (m,n)R(p,q) se e solo sem · q = n · p; esso vienerappresentato da una frazione ridotta ai minimi termini dotata di segno.

q Osservazione L’insieme dei numeri razionali relativi viene semplicemente chiamatoinsieme dei numeri razionali.

Esso contiene tre sottoinsiemi Q+ = {x/ x è razionale positivo}, Q− = {x/ x è razionalenegativo} e l’insieme il cui unico elemento è lo zero {0}. Scriviamo quindi Q = Q+ ∪Q− ∪ {0}e rappresentiamo con diagramma di Eulero-Venn (figura D.7).


Q

{0}

Q+

Q−

0+3

+ 35

− 83

−1− 1

2

FIGURA D.7: L’insieme dei numeri razionali Q.

Quando si debbano considerare solamente gli interi positivi e negativi si usa il simbolo Q0col quale si indica che l’insieme dei numeri interi relativi è stato privato dello zero:

Q0 = Q+ ∪Q− = Q − {0}.�� b Esercizi proposti: D.3, D.4, D.5

D.1.3 Classi di resti modulo n

Esempio D.5. Considera la relazione R : ”avere lo stesso resto nella divisione per 3” introdottanell’insieme A = {n ∈N/ 0 6 n 6 13} e studiamone le proprietà.

Ricordiamo che il resto della divisione si calcola con l’operazione mod; completiamodunque le seguenti operazioni:

0 mod 3 = 0;1 mod 3 = . . .;2 mod 3 = . . .;3 mod 3 = . . .;

4 mod 3 = . . .;5 mod 3 = . . .;6 mod 3 = 0;7 mod 3 = . . .;

8 mod 3 = . . .;9 mod 3 = . . .;10 mod 3 = . . .;11 mod 3 = 2;

12 mod 3 = . . .;13 mod 3 = . . .

á La relazione R è d’equivalenza; infatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .á completa l’insieme ℘(A) partizione dell’insieme A e l’insieme quoziente A/R;á quali sono i rappresentanti delle classi d’equivalenza?á sarebbe cambiato qualcosa se avessimo introdotto la stessa relazione nell’insieme N?á se sostituissimo N con Z cosa cambierebbe?

Esempio D.6. Nell’insieme N considera la relazione d’equivalenza R : ”avere lo stesso restonella divisione per 2”.

Quante classi d’equivalenza puoi formare? Rappresenta l’insieme ℘(N). Quali sono irappresentanti di ciascuna classe? Riconosci in queste classi, particolari sottoinsiemi dell’insie-me N?

Generalizziamo ora l’esercizio. Fissato un numero naturale n > 1, considera la relazione R :”avere lo stesso resto nella divisione intera per n” introdotta nell’insieme N, studiane leproprietà e stabilisci se è d’equivalenza. Osserviamo innanzitutto che nella divisione interaper n il resto si ottiene con l’operazione mod e si ha come resto 0, 1, 2, . . . ,n− 1 cioè n resti.

Sezione D.2. Insiemi finiti e insiemi infiniti 555

La relazione è riflessiva infatti per qualunquem ∈N si hamRm;

La relazione è simmetrica infatti per qualunque p e q dell’insieme N se pRq allora qRp.Precisamente, se pRq significa che p mod n = q mod n e per la proprietà simmetrica dell’u-guaglianza possiamo scrivere q mod n = p mod n, uguaglianza che assicura la validità dellarelazione tra q e p;

La relazione è transitiva se pRq e qRs allora pRs, per qualunque terna di naturali. Infattise pRq significa p mod n = q mod n e se qRs significa che q mod n = s mod n; per laproprietà transitiva dell’uguaglianza si ha p mod n = s mod n, uguaglianza che assicura lavalidità della relazione tra p e s.

m Conclusione La relazione R : ”avere lo stesso resto nella divisione intera per n”, intro-dotta nell’insieme dei numeri naturali, è una relazione d’equivalenza e permette quindi unapartizione dell’insieme N in n classi d’equivalenza aventi come rappresentanti tutti e soli ipossibili resti della divisione intera per n. L’insieme quoziente è formato da n elementi, vienerappresentato come nella figura D.8 e viene chiamato insieme delle classi di resti modulo n.

L’insieme quoziente N/R si indica anche col simbolo Nn dove l’indice n indica il numerorispetto al quale si è eseguita l’operazione mod.�� b Esercizi proposti: D.6, D.7, D.8, D.9

D.2 Insiemi finiti e insiemi infiniti

Il concetto di “corrispondenza biunivoca” permette di affrontare il problema del confrontotra insiemi.

Definizione D.12. Due insiemi A e B si dicono equipotenti se è possibile stabilire tra essiuna corrispondenza biunivoca.

N/R

[0]

[2]

[n− 1]

[1]

[3]

[4]

FIGURA D.8: L’insieme delle classi di resti modulo n.


Esempio D.7. Sia S l’insieme dei giorni della settimana e H l’insieme delle note musicali.Sistemando gli elementi dei due insiemi come visualizzato nella seguente tabella ci rendiamoconto che tra di essi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, ottenuta semplicementeassociando ad ogni giorno della settimana una e una sola nota musicale.

S lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

H do re mi fa sol la si

Possiamo procedere anche scrivendo i giorni della settimana ciascuno su un foglietto dainserire in un’urna A1 e facendo altrettanto con gli elementi dell’insieme H inseriti in un’ur-na A2; pescando alternativamente un foglietto da A1 e uno da A2, ci accorgiamo che, esauriti ifoglietti in A1 sono contemporaneamente esauriti quelli in A2.

Concludiamo: l’insieme S è equipotente all’insieme H. Per esercizio mostra che l’insiemedei mesi dell’anno è equipotente all’insieme dei segni zodiacali.

Esempio D.8. Consideriamo l’insieme N7 = {x ∈N/ 0 < x 6 7} la cui rappresentazione perelencazione è N7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; come abbiamo fatto nell’esempio precedente, possiamovisualizzare la corrispondenza biunivoca che si stabilisce tra S, H e N7 per mezzo dellaseguente tabella.

S lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

H do re mi fa sol la si↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

N7 1 2 3 4 5 6 7

Si verifica facilmente che il predicato “essere equipotente” è una relazione d’equivalenza: laclasse d’equivalenza di insiemi equipotenti è il numero naturale cardinale che ne indica lanumerosità.

Definizione D.13. Si chiama cardinalità di un insieme A e si indica con |A|, #A o cardA laclasse d’equivalenza degli insiemi equipotenti ad A; essa indica il numero degli elementidi A. L’insieme vuoto ha cardinalità 0.

Gli insiemiH, S, N7 appartengono alla stessa classe d’equivalenza, la caratteristica comuneè il numero di elementi: #H = #S = #N7 = 7.

Definizione D.14. Un insieme A si dice finito se esiste un n, naturale maggiore ouguale ad 1, tale che sussista una corrispondenza biunivoca tra A e Nn. In tal casoscriviamo cardA = n.

Gli insiemi H e S di cui sopra sono insiemi finiti; gli insiemiM dei mesi dell’anno e O deisegni zodiacali hanno cardinalità 12 e sono insiemi finiti.

Prendiamo nuovamente in considerazione l’insieme N7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e un suo qua-lunque sottoinsieme proprio, ad esempio N3 = {1, 2, 3}; risulta evidente che non è possibilestabilire alcuna corrispondenza biunivoca tra N7 e N3. Questo fatto può essere preso comecaratteristica di un insieme finito.


In generale possiamo affermare che l’insieme Nn = {x ∈N/ 0 < x 6 n} con n > 1 non hasottoinsiemi propri che possano essere messi in corrispondenza biunivoca con esso: si diceche Nn è un insieme finito e un qualunque insieme A in corrispondenza biunivoca con Nn èfinito e ha cardinalità n.

Esistono insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con un lorosottoinsieme proprio?

Esempio D.9. Consideriamo l’insieme N dei naturali e il suo sottoinsieme proprio dei numeripari, che indichiamo con P. Costruiamo una tabella: non possiamo inserire tutti i numerinaturali, quindi metteremo solo i primi dieci elementi

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

P 0 1 4 6 8 10 12 14 16 18

Abbiamo pertanto costruito una corrispondenza tra l’insieme N (dominio) e l’insieme P (co-dominio) di tipo 1 → 1: ad ogni numero naturale abbiamo associato il suo doppio (quindiun numero pari) che evidentemente è unico e viceversa ogni pari è l’immagine di un uniconaturale. Inoltre il dominio e l’insieme di definizione coincidono (ogni numero ha il doppio) eanche codominio e insieme immagine coincidono (ogni pari è immagine di un solo naturale).La corrispondenza è biunivoca, N e P sono equipotenti e la tabella va così modificata:

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9l l l l l l l l l l

P 0 1 4 6 8 10 12 14 16 18

Questo fatto paradossale non si verifica solo per gli insiemi finiti. Riportiamo la seguentedefinizione che risale al matematico Richard Dedekind.

Definizione D.15. Un insieme è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenzabiunivoca con un suo sottoinsieme proprio.

Esempio D.10. Considera la corrispondenza K che ad ogni numero naturale associa unnumero intero relativo secondo la seguente regola:

á se n ∈N è pari allora il suo corrispondente è +n2 ;á se n ∈N è dispari allora il suo corrispondente è −n+1

2 .

Completa:

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9K ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

0 −1 1

á Qual è il numero naturale cui corrisponde il numero intero negativo −5?á qual è l’immagine (il corrispondente) di 15?á qual è l’insieme immagine dell’insieme N?


á la legge definita genera una corrispondenza biunivoca tra N e Z?á quale conclusione puoi trarre?

Esempio D.11. Nel “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo”, Galileo Galilei poneattraverso la domanda di Salviati e la risposta di Simplicio il problema dell’infinità dei naturali:

Salviati «[ . . . ] se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esserpiù che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?»

Simplicio «Non si può dire altrimenti.»Considera la corrispondenza K che ad ogni naturale associa il suo quadrato. Completa:

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9K ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

N2

á Qual è l’immagine di 5?á di quale naturale è immagine 121?á K è una corrispondenza biunivoca tra N e N2?á è vero che N2 è un sottoinsieme proprio di N?á quale conclusione puoi trarre?

Definizione D.16. Un insieme X si dice numerabile quando è possibile stabilire unacorrispondenza biunivoca tra esso e l’insieme N dei naturali.

Dagli esempi precedenti possiamo concludere che l’insieme N, l’insieme P dei pari,l’insieme N2 dei quadrati, l’insieme Z degli interi, sono insiemi numerabili, hanno dunque tuttila stessa cardinalità. Ma quale valore possiamo attribuire alla cardinalità degli insiemi sopraelencati se essi sono infiniti?

La cardinalità dell’insieme dei numeri naturali viene indicata da Cantor con il simbo-lo ℵ0 (si tratta della prima lettera dell’alfabeto ebraico con l’indice 0 e si legge aleph con 0).Nel 1874, attraverso un procedimento detto ”diagonalizzazione”, Cantor dimostra che anchel’insieme Q dei numeri razionali è numerabile. Vediamo come possiamo ripercorrere la di-mostrazione di questo fatto. Ricordiamo che ogni numero razionale può essere scritto sottoforma di frazione e che frazioni equivalenti sono lo stesso numero razionale. Costruiamola seguente tabella (figura D.9) delle frazioni, infinite righe e infinite colonne: nella primacolonna tutte le frazioni con numeratore 1, nella seconda quelle con numeratore 2 e così via.Attribuiamo ai suoi elementi l’ordinamento indicato dalle frecce; esso ci permette di costruireuna corrispondenza biunivoca tra le frazioni positive e N; anzi considerando solamente quelleridotte ai minimi termini, che rappresentano il numero razionale assoluto, si ottiene unacorrispondenza biunivoca tra QA e N nel modo seguente:

QA 1/1 2/1 1/2 1/3 3/1 4/1 3/2 2/3 1/4l l l l l l l l l

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cantor nel 1874 enunciò il seguente teorema.


1/1 2/1 3/1 4/1 . . .

1/2 2/2 3/2 4/2 . . .

1/3 2/3 3/3 4/3 . . .

1/4 2/4 3/4 4/4 . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

FIGURA D.9: Il procedimento di ”diagonalizzazione”.

Teorema D.1. Non c’è corrispondenza biunivoca tra l’insieme R dei numeri reali e l’insieme N deinumeri naturali.

Determinò così un altro tipo di infinito la cui cardinalità denotò con il simbolo ℵ1.Noi tralasciamo la dimostrazione del teorema sopra enunciato per la sua complessità,

qui abbiamo voluto mostrarvi che vi sono diversi gradi di infinito e che di fronte ad insiemi“infiniti” non possiamo affermare che “la parte è minore del tutto”.�� b Esercizi proposti: D.10, D.11, D.12, D.13, D.14, D.15, D.16


D.3 Esercizi

D.3.1 Esercizi dei singoli paragrafi

D.1.1 - La costruzione dell’insieme dei numeri interi relativi

D.1. Completa la tabella.

Intero relativo Elementi classe equivalenza Forma canonica[(5, 7)]

(7, 5)(11, 9)(34, 32)(3, 1) . . . .(7, 0)

[(56, 90)](3, 3)(76, 76)(9, 9)(43, 43) . . .

(0, 4)(4, 9)(8, 13)(57, 62) . . . . . . . . .

D.2. Completa la tabella.

Intero relativo Forma canonica Simbolo usuale Valore assoluto+6

(0, 2)[(5, 5)]

−1

D.1.2 - La costruzione dell’insieme dei numeri razionali

D.3. Completa il ragionamento: alla coppia (6; 4) viene associata la frazione . . . ; alla cop-pia (. . . , . . .) è associata la frazione 3

2 . Le coppie . . . . . . stanno nella . . . . . . ; le frazioni . . . . . . sonoequivalenti secondo l’usuale definizione.

D.4. Ripeti l’esercizio prendendo coppie di N×N0 in relazione e mostrando la relazione diequivalenza tra le rispettive frazioni.

D.5. Completa la catena di trasformazioni.

Coppie Razionale come frazione Razionale come decimale(1, 2)R(3, 6) 1

2 0, 5(2, 7)R(4, 49)(8, 5)R(40, 25)(60, 12)R(10, 2)(2, 3)R(12, 18)

D.1.3 - Classi resto modulo 7

D.6. Determina gli elementi di N7.Nell’insieme N si considera la relazione d’equivalenza R: “avere lo stesso resto nella

divisone per 7”. Le classi d’equivalenza sono: [0], [. . .], . . . , [6]. Nella classe [0] stanno tutti i. . . . . . che divisi per 7 danno . . . , cioè . . . . . In quale classe sta il numero 427? E il numero 74?

Sezione D.3. Esercizi 561

D.7. Nell’insieme Z6 delle classi di resto modulo 6 si può definire la somma e il prodottoricalcandola dall’addizione e moltiplicazione dei numeri naturali. Si ha pertanto: [1] + [2] = [3],[4] + [5] = [3] infatti 4 + 5 = 9 ma [9] = [3].

Determina: [5] + [3] = [. . .]; [3] + [3] = [. . .]; [1] + [0] = [. . .].Analogamente si può definire la moltiplicazione: [5] · [3] = [3] infatti 5 · 3 = 15 ma 15 : 6 = 2

con il resto di 3, quindi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Determina: [5] · [2] = [. . .]; [3] · [1] = [. . .]; [3] · [0] = [. . .].

D.8. Elenca e descrivi gli elementi dell’insieme Z12.Trovi qualche analogia con il disegno dell’orologio riprodotto nella figura D.10? Come

rispondi alla domanda: ”5 ore dopo le 9 di mattina dove si trova la lancetta delle ore?” Èsbagliato dire “4 ore dopo le 9 di mattina sono le 2”?

D.9. Nel supermercato al banco della frutta la bilancia presenta una tastiera come quella nellafigura D.11, premendo il bottone relativo alla frutta da pesare si ottiene l’adesivo con il prezzo.Sistema, senza contare casella per casella, il numero che corrisponde ai miei acquisti di oggi:zucchine al numero 75; arance al numero 63; spinaci al numero 48; patate al numero 56. Haipotuto sfruttare le classi di resti modulo 8?

D.2 - Insiemi finiti e insiemi infiniti

D.10. Stabilisci la cardinalità dell’insieme V delle vocali della lingua italiana e dell’insieme Ddelle dita di una mano.

Completa l’insieme V .Stabilisci una corrispondenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tra . . . e . . .Determina Nn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Concludo: #V = . . . = . . .

D.11. Negli insiemi “infiniti” non possiamo affermare che “la parte è minore del tutto”.Prolungate i lati obliqui del trapezio ABCD (figura D.12) fino ad incontrarsi nel punto O. Lesemirette di origine O e comprese tra OA e OB, proiettano il segmento DC nel segmento AB,

3

2

112

11

10

9

8

76

5

4

FIGURA D.10: Esercizio D.8.

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27



A BK

CD


facendo corrispondere ad un punto diDC un punto di AB. Direste vera o falsa l’affermazione:«i punti del segmento DC sono tanti quanti quelli del segmento AB»?

Seguite questi passaggi rispondendo ai quesiti:

a ) quale punto corrisponde a D, e quale a C?b ) ogni punto di CD trova un corrispondente punto in AB?c ) di quale punto è immagine il punto K di AB?d ) ogni punto di AB è immagine di un solo punto di CD?e ) la proiezione costruita stabilisce una corrispondenza biunivoca tra CD e AB?f ) a quale conclusione vi ha condotto questo esercizio?

D.12. Gli insiemi A = {x/ x = 2n2 − 1 con n ∈N e 0 6 n < 2} e B = {y/y ∈ Z/ − 1 6 y 6 1}si possono mettere in corrispondenza biunivoca?

D.13. Dato l’insieme K = {a,b, c,d}, costruite l’insieme K× K. Considerate il suo sottoin-sieme H = {(x,y)/ x precede y nell’ordine alfabetico}. È vero che tale insieme è equipotenteall’insieme formato dalle facce di un cubo?

D.14. Attraverso la costruzione di un grafo sagittale, attribuite il valore di verità alla proposi-zione: “il sottoinsieme T di N×N formato dalle coppie i cui elementi danno come somma 3è equipotente all’insieme F dei divisori di 14“.

D.15. Attribuite il valore di verità alle seguenti proposizioni:

a ) un insieme infinito è sempre numerabile V Fb ) un insieme infinito può essere equipotente a un suo sottoinsieme proprio V Fc ) la cardinalità dell’insieme Q è maggiore di quella dell’insieme Z V Fd ) due insiemi equipotenti sono infiniti V F

D.16. Considerate l’insieme P∗ = {2n con n ∈N} delle potenze di 2, completa la tabellasottostante:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 92n 1 2

Qual’è il valore di verità delle seguenti proposizioni?

a ) P∗ è un sottoinsieme di N V Fb ) 0 appartiene a P∗ V F

Sezione D.3. Esercizi 563

c ) P∗ è numerabile V Fd ) nessun elemento di P∗ è maggiore di 2065438 V F

Quali considerazioni potete fare sull’infinità di P∗?

Vettori e funzioni circolari IX

“Avignon TGV 3”Foto di Nelson Minar

http://www.flickr.com/photos/nelsonminar/293125466/Licenza: Attribuzione 2.0 Generico (CC BY 2.0)

http://www.flickr.com/photos/nelsonminar/293125466/

Vettori EE.1 Prime definizioni

Sappiamo che due punti A e B presi su una retta a determinano il segmento b di estremi Ae B; fissiamo su di esso un verso di percorrenza, per esempio da A verso B.

Definizione E.1. Il segmento orientato di estremi A e B si chiama vettore; esso viene indicatocon−→AB oppure con ~u; il punto A è il primo estremo e B il secondo estremo.

Un vettore libero è caratterizzato da tre elementi:

á la direzione indicata dalla retta su cui giace;á il verso indicato dalla punta della freccia che dal primo estremo va al secondo estremo;á il modulo o intensità, uguale alla misura del segmento AB: scriveremo |~u| = AB e

leggeremo il modulo del vettore ~u è uguale alla misura del segmento AB.

Un vettore applicato è caratterizzato oltre che dai tre elementi suddetti anche dal punto diapplicazione, ovvero il punto da cui parte la freccia, chiamato anche primo estremo del vettore.

Esempio E.1. I due vettori−→AB e

−→DC in figura E.1 appartengono alla stessa retta, quindi hanno

stessa direzione, verso opposto e modulo diverso.


−→DC in figura E.2 appartengono a rette parallele, quindi hanno

stessa direzione. I loro versi sono opposti e hanno uguale intensità: essi si chiamano vettoriopposti e scriveremo

−→AB = −

−→DC.


−→CD in figura E.3 appartengono a rette parallele, quindi hanno

stessa direzione. Hanno lo stesso verso e uguale intensità: essi si chiamano equipollenti escriveremo

−→AB =

−→CD.

Osserviamo che un vettore può essere interpretato come uno spostamento dal primoestremo al secondo estremo, avente la direzione della retta cui appartiene il vettore stesso nelverso indicato dalla freccia. Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale (figura E.4a)è rappresentato il vettore

−→AB avente il primo estremo nel punto A(−2; 1) e il secondo estremo

in B(1; 2). Per andare da A a B si possono compiere diversi percorsi: possiamo procedere sul

A B

C D

DC = 1.46

v

AB = 2.22

u

FIGURA E.1: I vettori hanno stessa direzione, verso opposto e modulo diverso.

567

568 Capitolo E. Vettori

A B

C D

DC = 2.22

v

AB = 2.22

u

FIGURA E.2: Vettori opposti.

A B

C D

CD = 2.22

v

AB = 2.22

u

FIGURA E.3: Vettori equipollenti.

vettore ~u oppure possiamo scegliere di compiere due spostamenti particolari, uno paralleloall’asse x e l’altro parallelo all’asse y. In tal modo si determina il punto C(1; 1) come tappaintermedia per raggiungere B: ci spostiamo sul vettore

−→AC e poi da C sul vettore

−→CB.

Definizione E.2. Chiamiamo componenti del vettore−→AB le misure con segno dei segmentiAC

e CB con la precisazione di assegnare il segno + alle misure dello spostamento aventelo stesso verso degli assi coordinati e segno − se il verso è opposto a quello degli assicoordinati.

In figura E.4a le componenti del vettore assegnato sono positive in quanto sia lo sposta-mento orizzontale che quello verticale avvengono nello stesso verso degli assi coordinati.Scriveremo

−→AB(+3;+1). Tutti i vettori del piano cartediano di componenti (+3,+1) sono

equipollenti a−→AB. Ciò che li distingue in modo univoco è il loro punto di applicazione.

Esempio E.4. Il vettore ~z della figura E.4b ha componenti entrambe negative poiché lo spo-stamento orizzontale e quello verticale avvengono in verso contrario rispetto al verso degliassi coordinati: scriveremo ~z(−2;−3). Il vettore ~u della figura E.4b ha la componente lungol’asse x positiva e negativa la componente verticale: scriveremo ~u(+4;−3).

x

y

−2 −1 1

−2

−1

1

2

0

A

B

C

u

v

a

w b

a

x

y

−1 1 2 3 4 5 6

−2

−1

1

2

0

A

B

Ca

bu

c

dz

D

FE

b

Componenti di u(a = +4;b = −3)Componenti di z(c = −2;d = −3)

FIGURA E.4: Spostamenti di vettori.

Sezione E.1. Prime definizioni 569

Procedura E.1. Determinare le componenti cartesiane di un vettore ~v, note le coordinate cartesianedegli estremi A(xA;yA) e B(xB;yB):

a ) dal primo estremo tracciamo la parallela all’asse x e dal secondo estremo la parallela all’asse ydeterminando il punto C(xB;yA);

b ) calcoliamo le misure con segno a = xB − xA; b = yB − yA;c ) scriviamo ~v(a;b).

Ottenute le componenti si determina il modulo del vettore utilizzando il teorema di Pitagora; siha infatti |~u| = AB =

√a2 + b2. Il rapportom~u = b

a indica la direzione del vettore.

Esempio E.5. Assegnato il vettore della figura, determinate le sue componenti, il modulo e ladirezione. Completate i passi indicati nella strategia risolutiva:

á scrivete le coordinate degli estremi delvettore assegnato A(. . . ; . . .) e B(. . . ; . . .);

á individuate le componenti del vetto-re ~w:

à segnate il punto C; calcolate a =

xB − xA e b = yB − yA;à le componteni del vettore sono

~w(. . . ; . . .);

á determinate il modulo del vettore |~w| =√. . .;

á determinate la direzione del vetto-rem~w = . . ..

x

y

−1 1 2

−2

−1

1

2

0

B

A

w

Esempio E.6. Tracciate nel riferimento carte-siano ortogonale il vettore ~v(1;−3). Nella ri-chiesta di questo quesito sembra manchi qual-cosa: conosciamo le componenti del vettore,ma dove mettiamo il primo estremo? Prova-te a mettere il primo estremo in ciascuno deiseguenti punti: A1(−1; 2); A2(1; 0); A3(3;−2)e determinate il secondo estremo di ciascunvettore; completate indicando per ciascunoil modulo e la direzione. È vero che tutti ivettori tracciati sono equipollenti? In figura èrappresentato il vettore equipollente a quellicostruiti avente il primo estremo nell’originedel riferimento.

x

y

−1 1 2

−3

−2

−1

1

0

B

A

u

q Osservazione Quando si assegna un vettore mediante le sue componenti, collocheremo ilprimo estremo nell’origine del riferimento cartesiano ortogonale e il secondo estremo (puntadella freccia) avrà come coordinate le componenti del vettore in questione.�� b Esercizio proposto: E.1


E.2 Operazioni con i vettori

E.2.1 Somma di vettori

Definizione E.3. Nel punto A del piano sono applicati due vettori ~u e ~v: dall’estremo Bsi traccia la retta parallela ad AC e da C la parallela ad AB e si indica con D il loro puntodi intersezione. Il vettore AD individuato dalla diagonale AD del parallelogrammo è lasomma dei vettori u e v, e si scrive w = u+ v.

DA

B

C

w

FIGURA E.5: Somma di due vettori.

Nella sua opera Philosophiae naturalis principia mathematica del 1682, Isaac Newton (1642-1727) nel primo corollario alle leggi del moto, scrive: «un corpo spinto da due forze congiuntedescriverà la diagonale di un parallelogrammo nello stesso tempo nel quale descriverebbeseparatamente i lati».�� b Esercizio proposto: E.2

Illustriamo con un esempio che vale anche la proprietà associativa.

Esempio E.7. Dimostriamo che vale ~u+ (~v+ ~w) = (~u+~v) + ~w. Nella figura E.6 è realizzatala costruzione ~v+ ~w = ~k e ~u+ ~k = ~j. Nella figura E.7 è realizzata la costruzione ~u+~v =

~z e ~z + ~w = ~j. Sovrappondendo le due figure si può constatare che i vettori ~j risultanticoincidono.

Osserviamo che la validità della proprietà associativa ci permette di costruire la somma dipiù vettori. Per come è definita l’operazione di somma, pensando al vettore come rappresen-tante di uno spostamento dal primo estremo al secondo, possiamo interpretare la figura E.5come lo spostamento di un punto prima daA fino a B e poi da questo fino aD, essendo ~BD unvettore equipollente ad

−→AC. Quindi possiamo affermare che il vettore somma di due vettori ~u

e ~v si può determinare prendendo due vettori−→AB e

−→BC rispettivamente equipollenti ai dati;

se−→AB ≡ ~u e

−→BC ≡ ~v (figura E.8), allora la somma è il vettore

−→AC, avente A come primo

estremo e C, ultimo estremo del secondo vettore, come secondo estremo.Pertanto la somma di più vettori si può semplicemente determinare scegliendo per ogni

addendo il vettore equipollente avente il primo estremo nell’estremo finale dell’addendoprecedente: la somma è il vettore avente il primo estremo nel punto iniziale del primo addendoe l’estremo finale nel secondo estremo dell’ultimo addendo.

Esempio E.8. Somma di più vettori: ~z+ ~a+ ~b+~c = ~s, (figura E.9).

Sezione E.2. Operazioni con i vettori 571

A

B

E

F

D

C

u

v

jk

w

FIGURA E.6: ~v+ ~w = ~k e ~u+~k =~j.

A

BE

F

D

C

u

v

j

z

w

FIGURA E.7: ~u+~v = ~z e ~z+ ~w =~j.

Abbiamo visto come si costruisce geometricamente il vettore somma di vettori; vediamocome si determinano le componenti del vettore somma se la questione è posta nel riferimentocartesiano ortogonale.

Esempio E.9. Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale (figura E.10) costruiamoil vettore somma dei vettori ~u(1; 2) e ~v(3;−1) e determiniamone le componenti.

Strategia risolutiva:

a ) costriamo il vettore ~w equipollente al vettore ~v applicato al punto A;b ) determiniamo il punto D(4; 1);c ) costruiamo il vettore ~z = ~u+~v di coordinate ~z(4; 1).

Osserviamo che il primo passo realizzato ci permette di affermare xz = xu+xv e yz = yu+yv.

CA

B

w

FIGURA E.8: Somma di due vettori.

E

F

G

H

K

z a

b

c

s

FIGURA E.9: Somma di più vettori.


x

y

−1 1 2 3 4

−1

1

2

0

A

O

D

C

u

w

z

v

FIGURA E.10: Determinazione di componenti di un vettore.

Procedura E.2. Regola del parallelogrammo per determinare le componenti cartesiane del vettoresomma ~z = (xz;yz), note le componenti cartesiane degli addendi ~u = (xu;yu) e ~v = (xv;yv).

Il primo passo realizzato nella costruzione precedente ci permette di affermare che le componentidel vettore somma sono la somma delle componenti dei vettori addendi:

xz = xu + xv e yz = yu + yv.

�� b Esercizio proposto: E.3

Applicazioni dei vettori I vettori sono degli enti geometrici, essi sono utilizzati in fisica perrappresentare tutte le grandezze che sono definite conoscendo modulo, direzione, verso epunto di applicazione. Esempi di grandezze vettoriali sono: la velocità, l’accelerazione, laforza, la densità di corrente elettrica.

Esempio E.10. Nella figura seguente è rappresentata una scatola vista dall’alto. Su di essaagiscono due forze; calcola la forza risultante in ognuno dei casi della figura, sapendo che unaforza misura 4 N e l’altra 9 N.

A B C

Svolgimento:

a ) I due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso quindi la risultante si ottieneaddizionando i due moduli: |~r| = 4 N + 9 N = 13 N;

b ) poiché i vettori sono opposti come verso, si procede sottraendo al vettore maggiore ilvettore minore e la forza risultante ha la direzione ed il verso del vettore di modulomaggiore: |~r| = 9 N − 5 N = 4 N.

Sezione E.2. Operazioni con i vettori 573

A B

DC ′

C

u

cz

v

FIGURA E.11: Differenza di due vettori.

c ) i due vettori hanno direzioni perpendicolari. In questo caso il vettore somma si ottienecon il metodo del parallelogrammo, quindi applicando il teorema di Pitagora:

|~r| =√(4 N)2 + (9 N)2.

E.2.2 Differenza tra vettori

Procedura E.3. Per determinare la differenza tra due vettori (figura E.11) ~u e ~v si procede nelseguente modo:

a ) costruiamo il vettore ~z = −~v che ha stessa direzione, stesso modulo, ma verso opposto;b ) determiniamo con la regola del parallelogrammo ~u+~z = ~c.

Il vettore ottenuto è la differenza tra i vettori assegnati: ~c = ~u−~v.

Esempio E.11. Sono assegnati i vettori ~u(4; 0) e ~v(−2;−1). Determinare ~d1 = ~u−~v e ~d2 =

~v− ~u. Cosa osservate?

x

y

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

0O A

C

u

v

E.2.3 Moltiplicazione di un numero reale per un vettore

Definizione E.4. Assegnato un numero reale r ed un vettore ~v, il prodotto r ·~v è un vettore ~pavente:

a ) la stessa direzione del vettore ~v;b ) intensità o modulo uguale al prodotto del modulo di ~v per il valore assoluto di r:

|~p| = |r| · |~v|;c ) verso uguale al verso di ~v se r è positivo, verso opposto a quello di ~v se r è negativo.


Esempio E.12. Nella figura sono rappresentati il vettore ~v e altri vettori ottenuti moltiplican-

dolo per un numero reale: ~a = 2 ·~v,~b = −32·~v, ~c = 1

3·~v.

v a b c

Esempio E.13. Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale rappresentiamo il vet-tore ~u(4; 1); le componenti del vettore ~p = −2 · ~u si ottengono moltiplicando per −2 le com-ponenti del vettore dato: ~p(−8;−2). ~p e ~u hanno la stessa direzione essendom~u = 1

4 = m~p eanzi appartengono alla stessa retta avendo in comune il punto di applicazione.

x

y

−8 −6 −4 −2 2 4

−2

−1

1

0

u

p

In generale ~u(xu;yu)→ r · ~u = ~p(r · xu; r · yu) em~u = m~p.

q Osservazione Se due vettori hanno la stessa direzione, cioè appartengono a rette parallele(non coincidenti), si può sempre trovare un numero reale r tale che uno sia r volte l’altro. Lafigura seguente può suggerirvi come giustificare l’osservazione precedente.

u

v

Esempio E.14. Sono assegnati i vettori ~x( 12 ; 1); ~y(−3;−1); ~z(0; 3). Costruite i vettori: ~p1 =

2 ·~x− ~y; ~p2 = 2 · (~z+ ~y); ~p3 = − 32 ·~z+ 2 · ~y+ 3 ·~x e determinatene le componenti.�� b Esercizi proposti: E.4, E.5, E.6

E.3 Dipendenza e indipendenza lineare

Definizione E.5. Diciamo che un vettore ~v è combinazione lineare di altri vettori ~x;~y;~z sevale l’uguaglianza ~v = r1 ·~x+ r2 · ~y+ r3 ·~z; i numeri reali r1, r2, r3 sono i coefficienti dellacombinazione lineare.

Sezione E.3. Dipendenza e indipendenza lineare 575

Esempio E.15. Nell’esempio precedente hai costruito i vettori ~p1; ~p2; ~p3 eseguendo la sommaalgebrica di vettori costruiti moltiplicando per numeri reali i vettori assegnati ~x;~y;~z. Possiamodire che:

á ~p1 è combinazione lineare dei vettori ~x e ~y i cui coefficienti sono r1 = 2, r2 = −1.á ~p2 è combinazione lineare dei vettori ~z e ~y i cui coefficienti sono r1 = 2, r2 = 2.á ~p3 è combinazione lineare dei vettori ~x,~y e ~z i cui coefficienti sono r1 = − 3

2 , r2 = 2, r3 = 3.

Nell’insieme V di tutti i vettori del piano cartesiano, consideriamo i vettori~i(1; 0) e~j(0; 1)rispettivamente appartenenti all’asse delle ascisse e delle ordinate; possiamo notare che

|~i| = |~j| = 1.

Ora, ogni vettore ~v del piano può essere scritto come combinazione lineare di~i e~j; le suecomponenti sono i coefficienti della combinazione lineare con cui si determina ~v.

~v(xv;yv) = xv ·~i+ yv ·~j�� b Esercizio proposto: E.7

Esempio E.16. Disegniamo nel riferimento cartesiano ortogonale i vettori ~u(1; 1), ~v(4;−2),~w(3; 1); ci chiediamo se è possibile scrivere ~w come combinazione lineare degli altri due.

x

y

1 2 3 4

−2

−1

1

0O

D

A

F

E

C

Il metodo geometrico Dobbiamo costruire due vettori ~u ′ = r1 · ~u e ~v ′ = r2 · ~v tali chesommati diano il vettore ~w. Dal punto D tracciamo la parallela alla retta OC, che interseca larettaAO nel punto E; dallo stesso puntoD tracciamo la parallela alla rettaAO che interseca in Fla retta OC. I punti E ed F sono gli estremi dei due vettori

−→OE = r1 · ~u e

−→OF = r2 ·~v con r1 > 1

e r2 < 1 rispettivamente ottenuti allungando e accorciando ~u e ~v: si ha ~w = r1 · ~u+ r2 ·~v.

Il metodo algebrico Dobbiamo trovare due numeri r1 e r2 tali che

~w = r1 · ~u+ r2 ·~v→{

3 = 1 · r1 + 1 · r21 = 1 · r1 − 2 · r2


e risolvendo si ottiene r1 = 53 e r2 = 1

3 , coerentemente ai risultati della costruzioneeffettuata.�� b Esercizio proposto: E.8

Definizione E.6. Dato un insieme V di vettori, questi si dicono linearmente indipendenti sealmeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri. Altrimenti sidicono linearmente indipendenti.

q Osservazione Altrimenti nella definizione significa che nessun vettore dell’insieme puòessere scritto come combinazione lineare degli altri.�� b Esercizi proposti: E.9, E.10

Sezione E.4. Esercizi 577

E.4 Esercizi

E.4.1 Esercizi dei singoli capitoli

E.1 - Prime definizioni

E.1. Segnate nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale i vettori ~v(1; 2) e ~w(3;−1).Possiamo affermare che |~w| = 2 · |~v|?

E.2 - Operazioni con i vettori

E.2. Provate a giustificare la seguente affermazione: l’operazione di addizione definitasecondo la regola del parallelogrammo gode della proprietà commutativa.

E.3. Determinate il vettore ~z = ~u+ ~w essendo ~u(−1;−3) e ~v(2;−1). Determinate inoltre ilmodulo di ~z e la sua direzione. Potete affermare che |~z| = |~u|+ |~w|?

E.4. Nel riferimento cartesiano ortogonale sono rappresentati i vettori ~u e ~v. Completate:

a ) il vettore ~u è applicato all’origine e ha componenti . . .;b ) il vettore~v ha il primo estremo in B(. . . ; . . .) e il secondo in . . ., pertanti le sue componenti

sono . . .;c ) m~u = . . . em~v = . . ., pertanto essi sono . . .;d ) |~u| = . . . e |~v| = . . .;e ) determinare r in modo che ~v = r · ~u.

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

1

2

3

4

5

6

7

8

0O

A

B

C

u

v

E.5. Determinate le componenti del vettore ~w = 2 ·~v essendo ~v( 32 ;−2); verificate che ~w e ~v

hanno stessa direzione e |~w| = 2 · |~v|.

E.6. Verificate che 32 · (~x+ ~y) = 3

2~x+32~y essendo ~x(− 5

4 ; 1) e ~y(4;−1).


E.3 - Dipendenza e indipendenza lineare

E.7. Completate le scritture:

a ) ~v(−√

2; 54 ) = . . . ·~i+ . . . ·~j;

b ) ~u(1;−1) = . . . ·~i+ . . . ·~j;c ) ~h(. . . ; . . .) =

√3

3 ·~i− 9 ·~j;d ) ~z(. . . ; . . .) = 3

√5

3 ·~i;

E.8. Dati i vettori della figura, applicate il me-todo geometrico per determinare i vettori chepermettono di scrivere ~w come combinazionelineare degli altri due. Riprendete questi stessivettori e determinate i vettori che permettonodi scrivere ~v come combinazione lineare deglialtri due. Riprendete questi stessi vettori edeterminate i vettori che permettono di scri-vere ~u come combinazione lineare degli altridue.

x

y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

0

u

v

w

E.9. I vettori dell’esercizio precedente sono linearmente dipendenti?

E.10. Spiegate perché i tre vettori ~v(1; 2), ~u(3; 1) e ~w(−3;−6) sono linearmente dipendenti.

Trigonometria FF.1 Prime definizioni

L’etimologia della parola “trigonometria” dal greco trígonon (triangolo) e métron (misura)chiarisce in cosa consiste questa parte della matematica che ci accingiamo ad affrontare. Latrigonometria nasce dal problema di risolvere un triangolo, cioè di ricavare la misura di alcunisuoi elementi incogniti date le misure di altri elementi. Dal momento che gli elementi diun triangolo sono sei, i tre lati e i tre angoli, vedremo come, date le misure di almeno tre diquesti elementi di cui almeno uno sia un lato, sia possibile determinare la misura degli altritre elementi mancanti.

Disegniamo un triangolo rettangolo, ret-to in A, avendo cura di indicare con la stes-sa lettera vertice e lato opposto, come nel-la figura a fianco. Ricordiamo che tra i latisussiste la relazione del teorema di Pitago-ra BC2

= AC2+AB

2 e che ciascun cateto è mi-nore dell’ipotenusa. Ricordiamo anche che gliangoli acuti sono complementari C+ B = 90◦.

A Bc

C

ab

γ

βα

q Osservazione Basta conoscere la misura di due lati per determinare la misura del terzolato, ma queste informazioni non ci permettono di determinare l’ampiezza degli angoli acutise non in casi particolari. Se conosciamo un angolo acuto e la misura di un lato non possiamodeterminare la misura degli altri elementi mancanti.

Riferendoci alla figura, chiamiamo cateto adiacente all’angolo acuto β il cateto AB indicatocon c e cateto opposto all’angolo β il cateto AC indicato con b.

Definizione F.1. Seno, coseno, tangente

sin(β) =cateto opposto

ipotenusa=AC

CB=b

a, da cui b = a · sin(β);

cos(β) =cateto adiacente

ipotenusa=AB

CB=c

a, da cui c = a · cos(β);

tan(β) =cateto opposto

cateto adiacente=AC

AB=b

c, da cui b = c · tan(β).

579

580 Capitolo F. Trigonometria

Definizione F.2. Per l’angolo γ = 90◦ − β complementare di β:

sin(γ) =cateto opposto

ipotenusa=AB

CB=c

a, da cui c = a · sin(γ);

cos(γ) =cateto adiacente

ipotenusa=AC

CB=b

a, da cui b = a · cos(γ);

tan(γ) =cateto opposto

cateto adiacente=AB

AC=c

b, da cui c = b · tan(γ).

Le definizioni sono ben poste: le funzioni seno dell’angolo (sen o sin), coseno dell’angolo (cos),tangente dell’angolo (tan o tg) dipendono solo dagli angoli e non dal particolare triangolo usato.Infatti angoli acuti della stessa misura appartengono a triangoli rettangoli tutti simili tra loro;siccome i lati di triangoli simili sono in proporzione, il rapporto tra i lati è invariato. Inoltrepossiamo certamente affermare che le funzioni seno e coseno di angoli acuti assumono valoripositivi minori di 1, poiché in un triangolo rettangolo il cateto è minore dell’ipotenusa.

Dal confronto delle definizioni notiamo che valgono le uguaglianze:

sin(γ) = cos(β); cos(γ) = sin(β); tan(γ) =1

tan(β),

per cui possiamo anche scrivere:

sin(x) = cos(90◦ − x); cos(x) = sin(90◦ − x); tan(x) =1

tan(90◦ − x).

Esempio F.1. Nel triangolo rettangolo ABC i cateti misurano rispettivamente AB = 4 m,AC = 3 m e l’ipotenusa misura 5 m. Possiamo determinare le funzioni goniometriche dei suoiangoli acuti semplicemente applicando le definizioni. Si ottiene

sin(β) =b

a=

35

; cos(β) =c

a=

45

; tan(β) =b

c=

34

.

Per l’angolo complementare lasciamo al lettore il completamento: sin(γ) = . . . . . .; cos(γ) =. . . . . .; tan(γ) = . . . . . . .

q Osservazione Ancora non possiamo avere informazioni sull’ampiezza degli angoli acuti;vedremo in seguito come procedere nei calcoli e quindi concludere la risoluzione del triangolo.�� b Esercizio proposto: F.1

F.2 Due identità fondamentali

Dalle definizioni date nella sezione precedente abbiamo queste due identità fondamentali:

tan(γ) =a · sin(γ)a · cos(γ)

=sin(γ)cos(γ)

.

Sezione F.3. Angoli particolari 581

La tangente di un angolo è il rapporto tra il seno dell’angolo e il coseno dello stesso angolo. Ingenerale:

tan(x) =sin(x)cos(x)

. (F.1)

Dal teorema di Pitagora si ha a2 = b2 + c2 da cui dividendo ambo i membri per a2 siottiene

a2

a2 =b2 + c2

a2 =b2

a2 +c2

a2

⇒1 =

(b

a

)2+( ca

)2

⇒1 = (cos(γ))2 + (cos(γ))2

⇒1 = cos2(γ) + sin2(γ).

In generale, per qualunque angolo x vale

cos2(x) + sin2(x) = 1. (F.2)

Si definiscono inoltre altre funzioni goniometriche che potranno servire nella risoluzione deitriangoli: csc(x) = 1

sin(x) ; sec(x) = 1cos(x) ; cot(x) = 1

tan(x) .

Esempio F.2. In un triangolo rettangolo si sa che cos(β) = 34 , determinare sin(β) e tan(β).

Strategia risolutiva: ricordando che per qualunque angolo x vale la F.2 possiamo sostituire il

dato e calcolare sin(β) =√

1 − cos2(β) =√

1 − 916 =

√7

4 . Infine sapendo che per ogni angolo

vale tan(x) = sin(x)cos(x) ricaviamo:

tan(β) =

√7

434

=

√7

3.

Osserviamo che nella determinazione di sin(β) abbiamo trascurato il valore negativo in quantoabbiamo definito le funzioni goniometriche come rapporto delle misure di due segmenti.�� b Esercizio proposto: F.2

F.3 Angoli particolari

Possiamo ricavare per via geometrica il valore esatto delle funzioni goniometriche diangoli particolari.

F.3.1 Angoli di 45°

Il triangolo rettangolo isoscele (figura F.1) i cui angoli acuti sono di 45◦ è la metà di unquadrato di lato 1. Sappiamo che d =

√12 + 12 =

√2; poiché il calcolo delle funzioni gonio-

metriche per un angolo non dipende dal particolare triangolo usato, possiamo concludereper le definizioni date: sin(45◦) = 1√

2=√

22 e anche cos(45◦) =

√2

2 e per la definizione ditangente dell’angolo tan(45◦) = 1.


A Bl

C

d

D

α = 45◦

FIGURA F.1: Triangolo rettangolo isoscele.

A

B H C

30◦

60◦90◦

FIGURA F.2: Triangolo rettangolo con angolidi 30◦ e 60◦.

F.3.2 Angoli di 30° e 60°

Il triangolo rettangolo con un angolo di 30◦ ha l’altro angolo acuto di 60◦ (figura F.2)pertanto possiamo trattare insieme la ricerca delle funzioni goniometriche di tali angoli.

Il triangolo rettangolo in questione è la metà di un triangolo equilatero di lato 1 e altezza h;poiché HC è metà del lato possiamo subito dire che cos(60◦) = HC

1 = 12 . Per le definizioni

date si ha sin(60◦) = AH1 . Applicando il teorema di Pitagora si ottiene

AH =

√12 −

(12

)2=

√1 −

14=

√34=

√3√4=

√3

2⇒ sin(60◦) =

√3

2.

Infine tan(60◦) = sin(60◦)cos(60◦) =

√3.

Ricordando che per angoli complementari è sin(x) = cos(90◦ − x) e cos(x) = sin(90◦ − x)ed essendo 30◦ = 90◦ − 60◦ possiamo scrivere:

sin(30◦) = cos(60◦) =12

; cos(30◦) = sin(60◦) =√

32

e infine

tan(30◦) =

12√3

2

=1√3=

√3

3.

F.3.3 Angoli di 0° e 90°

Ovviamente non esiste un triangolo con un angolo di 0◦: si tratta di un triangolo chedegenera in un segmento. Possiamo pensare ad un triangolo rettangolo avente a = 1 eimmaginare di muovere il vertice C in modo da rimpicciolire sempre più l’angolo β; quando βdiventa 0◦ il segmento b si riduce ad un punto e si ha b = 0 e quindi sin(0◦) = 0, l’ipotenusa acoincide con il cateto c quindi cos(0◦) = 1 e infine tan(0◦) = 0.

Allo stesso modo se deformiamo il triangolo fino ad avere l’angolo γ di 0◦ e pertanto βdi 90◦ otteniamo che sin(90◦) = 1 e cos(90◦) = 0; applicando la formula della tangente si avràuna frazione con denominatore nullo e quindi diremo che tan(90◦) non è definita.

Sezione F.4. Usare la calcolatrice 583

Possiamo riassumere i valori trovati per questi angoli particolari in una tabella:

angolo x sin(x) cos(x) tan(x)

0◦ 0 1 030◦ 1

2

√3

2

√3

345◦

√2

2

√2

2 160◦

√3

212

√3

90◦ 1 0 non definita

Come possiamo ottenere i valori delle funzioni goniometriche per angoli diversi da quellisopra considerati?

F.4 Usare la calcolatrice

Sul mercato ci sono vari tipi di calcolatrice scientifica, ciascuno dovrà familiarizzare con lapropria calcolatrice per imparare ad impostare correttamente il calcolo da effettuare e i tastida pigiare per ottenere il corretto risultato. Se non si digita in modo consapevole e se non sisanno leggere i risultati, la calcolatrice è uno strumento inutilizzabile e talvolta può ancheessere dannoso.

Nel seguito faremo riferimento alla calcolatrice Kcalc, in dotazione all’ambiente di desktopKDE (Linux/Unix), cercando di dare riferimenti che si adattino a tutte le calcolatrici.

Passo I: scelta dell’unità di misura Sicuramente conosci già come unità di misura degliangoli il grado sessagesimale. Esistono però altre unità di misura utilizzate in contestidiversi: i gradi centesimali sono utilizzati principalmente in topografia, i radianti utilizzati inmatematica specialmente in analisi. Su tutte le calcolatrici è possibile effettuare le operazionisugli angoli scegliendo l’unità di misura:

Angolo Sigla Sigla abbreviata

gradi sessagesimali ◦

gradi centesimali GRA Gradianti RAD R

Impostiamo la calcolatrice in modo da ricevere in ingresso angoli misurati in gradi sessagesi-mali.

Passo II: calcolo del coseno di un angolo Ci proponiamo di determinare cos(60◦).Controllate di aver impostato l’input dell’angolo in gradi sessagesimali, digitate 60 premete

il tasto cos la calcolatrice restituisce 0.5. Dunque cos(60◦) = 0, 5.Attenzione: nella scrittura dei numeri decimali useremo il “punto decimale” in sostituzione

della virgola.

q Osservazione

a ) La funzione coseno calcolata su angoli compresi fra 0◦ e 90◦ restituisce sempre numericompresi fra 0 e 1.


r

B

A H

α

FIGURA F.3: Il segmentoAB e la proiezioneAHsulla r.

FIGURA F.4: Calcolatrice KCalc.

b ) Il coseno vale 1 (il massimo) quando l’angolo di input è 0◦ e decresce fino a 0 man manoche l’angolo immesso cresce fino a 90◦. Detto in altre parole: il coseno di un angolo checresce da 0◦ a 90◦ diminuisce dal valore 1 al valore 0.

c ) La decrescita del coseno non è proporzionale all’aumento dell’angolo, tant’è vero che siha: cos(60◦) = 0, 867 ma cos(30◦) = 0, 5 che evidentemente non è la metà di cos(30◦).

Problema F.3. Il segmento AB (figura F.3) misura 5 m e la sua proiezione AH sulla retta rmisura 3 m. Possiamo determinare la misura dell’angolo α compreso tra r e il segmento AB?

Dati: AB = 5 m; AH = 3 m. Obiettivo: α.

Soluzione Partiamo dalla formula AH = AB · cos(α), da essa possiamo ottenere cos(α) = AHAB

.

Sostituendo i valori noti otteniamo cos(α) = AHAB

= 35 = 0, 6.

Per risalire dal valore del coseno al valore dell’angolo usiamo la calcolatrice attivando lafunzione inversa di coseno; su molte calcolatrici tale funzione è indicata con cos−1, funzioneche si attiva con il tasto Shift (figura F.4); nella calcolatrice di esempio pigiando il tasto Shiftcompare il tasto della funzione inversa arccos.

Calcoliamo la misura dell’angolo il cui coseno è 0, 6 immettendo tale valore e attivandoi tasti Shift e arccos. La calcolatrice restituisce α = 53.13010235. Questo risultato ci dice chel’angolo è di 53◦ più una parte decimale 0.13010235. Ricordiamo che i sottomultipli del gradovengono espressi in sessantesimi (1 grado = 60 primi), a loro volta suddivisi in sessantesimi(1 primo = 60 secondi). Dunque la parte decimale estratta dalla calcolatrice va adeguatamentemodificata: al risultato della calcolatrice tolgo la parte intera (53) e moltiplico per 60; in questocaso ottengo 7.8061 . . . la cui parte intera rappresenta i primi; tolgo ancora la parte intera (7)e moltiplico per 60 ottenendo i secondi 48.368 . . . Arrotondiamo la parte intera e possiamoconcludere α≈53◦ 7 ′48 ′′. Alcune calcolatrici scientifiche fanno in automatico questi calcoliattivando un opportuno tasto.

Osserviamo che viene utilizzato il simbolo ≈ (uguale circa) per indicare che abbiamo usatovalori approssimati. Ora sei in grado di determinare l’ampiezza degli angoli acuti attivandole funzioni inverse sulla tua calcolatrice.

�� b Esercizi proposti: F.3, F.4, F.5

Sezione F.5. Operazioni con i gradi sessagesimali 585

F.5 Operazioni con i gradi sessagesimali

Accenniamo alle addizioni e sottrazioni tra angoli.

Esempio F.4. Svolgiamo l’operazione 48◦ 45 ′52 ′′ + 62◦ 27 ′22 ′′.

48◦ 45’ 52” +

62◦ 27’ 22”110◦ 72’ 74”111◦ 13’ 14”

Sommando termine a termine otteniamo 110◦ 72 ′74 ′′. Tenendo conto che 1 grado equivalea 60 primi e 1 primo equivale a 60 secondi, si ha che i 74◦ valgono 1 ′ e 14 ′′, i 72 ′74 ′′ diventanoallora 73 ′ e 14 ′′. Trasformiamo poi i 73 ′ in 1◦ e 13 ′.

In definitiva si ha che 110◦ 72 ′74 ′′ = 111◦ 13 ′14 ′′.

Esempio F.5. Svolgiamo ora una sottrazione: 90◦ − 45◦ 33 ′12 ′′.

90◦ −

45◦ 33’ 12”89◦ 59’ 60” −

45◦ 33’ 12”44◦ 26’ 48”

Questa è una operazione molto comune, poiché capita abbastanza spesso di dover calcolarel’angolo complementare. Per svolgere la sottrazione conviene scrivere 90◦ come 89◦ 59 ′60 ′′ esvolgere la sottrazione avendo come risultato 44◦ 26 ′48 ′′.

Esempio F.6. Un’ultima sottrazione: 72◦ 20 ′40 ′′ − 23◦ 40 ′52 ′′.Per fare questa sottrazione parto dai secondi e non potendo fare 40 – 52, utilizzo il riporto

trasformando in: 72◦ 20 ′40 ′′ in 72◦ 19 ′100 ′′. Ora posso eseguire agevolmente la sottrazionee ottengo 48 ′′; sottraggo poi i primi tra loro, aggiungendo il riporto ai 19 ′ e ottengo 39 ′;sottraggo poi i gradi: 71◦ − 23◦. Il risultato finale è 48◦ 39 ′48 ′′.�� b Esercizio proposto: F.6

F.6 Risoluzione di triangoli rettangoli

Ricordiamo che risolvere un triangolo significa ricavare le misure di tutti i suoi elementi(lati e angoli) date le misure di alcuni dei suoi elementi.

Esempio F.7. Determinate l’area del triangolo rettangolo sapendo che BC = 2 m e β = 20◦.Dati: BAC = 90◦, BC = 2 m, β = 20◦.Obiettivo: Area (ABC).Procedura risolutiva: Area (ABC) = 1

2 ·AB ·AC.Dobbiamo dunque determinare le misure dei cateti. Applicando le definizioni:

AB = BC · cos(β) = 2 · cos(20◦) ≈ 2 · 0, 9397 ≈ 1, 8794;


AC = BC · cos(γ) = 2 · cos(70◦) ≈ 2 · 0, 3420 ≈ 0, 6840;

pertanto, Area ≈ 0.6428 (m2).

Esempio F.8. Un triangolo rettangolo ha il cateto AB di 5 cm. e l’angolo acuto in C di 57◦;determinate l’altro angolo acuto, la misura del cateto AC e la misura dell’ipotenusa.

Dati: BAC = 90◦, BCA = 57◦, AB = 5 cm.Obiettivo: β, CA, CB.Procedura risolutiva: Essendo gli angoli acuti complementari si ottiene β = 90◦ − 57◦ = 33◦.

Per la formula inversa:

CB =AB

cos(β)=

5cos(33◦)

≈ 50, 8386

≈ 5, 9618 cm.

Infine determiniamo l’altro cateto e osserviamo che possiamo procedere in due modi:

á con il Teorema di Pitagora:

CA =

√CB

2−AB

2 ≈√

35, 5432 − 25 ≈√

10, 5432 ≈ 3, 2470 cm;

á per definizione:

CA = CB · cos(γ) ≈ 5, 9618 · cos(57◦) ≈ 5, 9618 · 0, 5446 ≈ 3, 2468 cm.

q Osservazione

a ) Nei calcoli effettuati abbiamo operato un’approssimazione; per esempio il valore esattodi CB è rappresentato solo dall’espressione CB = AB

cos(β) = 5cos(33◦) .

b ) I risultati ottenuti con procedimenti diversi possono differire, se pur di poco, a causadell’uso di valori approssimati nei calcoli che aumentano l’errore di approssimazione(propagazione dell’errore).

Esempio F.9. Risolvi il triangolo rettangolo della figura sapendo che c = 20 cm e sin(β) = 35 .

A

C

B

γ

βα

b

c

a

Usiamo l’identità fondamentale per determinare cos(β):

cos(β) =√

1 − sin2(β) =

√1 −

(35

)2=

√1 −

925

=

√25 − 9

25=

√1625

=45

;

cos(β) =c

a⇒ a =

c

cos(β)=

2045

=20 · 5

4= 25 cm.

Per il teorema di Pitagora b =√a2 − c2 =

√252 − 202 = 15 cm; β ≈ 36◦ 52 ′12 ′′ (calcolato

con la calcolatrice e arrotondato), γ ≈ 90◦ − β = 53◦ 07 ′48 ′′.

Sezione F.7. Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli 587

Esempio F.10. Risolvere il triangolo rettangoloABC, retto inA (quello della figura precedente)sapendo che b = 2 cm e sin(β) = 0, 2.

Dati: b = 2 cm, sin(β) = 0, 2.Obiettivo: a, c, β, γ.Procedura risolutiva: Dalle definizioni si ha

sin(β) =b

a⇒ 0, 2 =

2a⇒ a =

20, 2

= 10 cm.

Con il teorema di Pitagora possiamo ricavare l’altro cateto

c =√a2 − b2 =

√100 − 4 =

√96 = 4

√6 ≈ 9, 7980 cm.

Infine con la funzione inversa ricaviamo l’angolo β: sin−1(0, 2) ≈ 11, 5369 . . . e procedendocome spiegato in precedenza otteniamo: β ≈ 11◦ 32 ′13 ′′ e in seguito γ ≈ 90◦− β ≈ 78◦ 27 ′47 ′′.�� b Esercizi proposti: F.7, F.8, F.9, F.10

F.6.1 Proiezione di un segmento lungo una direzione

È dato un segmento AB ed una retta r che passa per un suo estremo (A, per fissare le idee).La proiezione del segmento AB sulla retta r è il segmento AH dove H è l’intersezione fra r e laperpendicolare alla retta r passante per B (si vedano i tre esempi in figura).

B

A H r

α

rH

A

B

α

r

H

A

B

α

�� b Esercizi proposti: F.11, F.12, F.13, F.14, F.15, F.16, F.17, F.18, F.19, F.20, F.21

F.7 Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli

Per risolvere i triangoli qualsiasi, tramite l’altezza, bisogna ricercare nella figura triangolirettangoli. Nel seguito saranno indicati altri teoremi che permettono di risolvere tutti i tipi ditriangoli.

Esempio F.11. Risolvi il triangolo acutangolo della figura F.5 con β = 57◦, α = 39◦,CH = 11 m.

Ricordando che la somma degli angoli di un triangolo è 180◦ ricaviamo γ:

γ = 180◦ − α− β = 180◦ − 39◦ − 57◦ = 84◦.

Individuiamo ora i triangoli rettangoli nella figura in modo da poter applicare le formule.


BA

C

H

α

γ

β

FIGURA F.5: Triangolo acutangolo.

D

A B

C

FIGURA F.6: Trapezio rettangolo.

Con il triangolo rettangolo CHB:

sin(β) =CH

CB⇒ CB =

CH

sin(β)=

11sin(57◦)

≈ 13, 2 m;

tan(β) =CH

BH⇒ BH =

CH

tan(β)=

11tan(57◦)

≈ 7, 15 m.

Con il triangolo rettangolo AHC:

sin(α) =CH

AC⇒ AC =

CH

sin(α)=

11sin(39◦)

≈ 17, 46 m;

tan(α) =CH

AH⇒ AH =

CH

tan(β)=

11tan(39◦)

≈ 13, 75 m.

Infine calcolo AB = AH+BH ≈ 7, 15 + 13, 75 ≈ 20, 9 m.

�� b Esercizi proposti: F.22, F.23, F.24, F.25

F.7.1 Quadrilateri

Esempio F.12. Nel trapezio rettangolo ABCD (figura F.6) il lato obliquo BC forma un angolodi 35◦ con la base maggiore AB, inoltre la diagonale AC è perpendicolare a BC. Calcola ilperimetro e l’area del trapezio sapendo che la sua altezza è 10 cm.

Ricordando che la somma degli angoli di un triangolo è 180◦ ricaviamo CAB = 55◦.Siccome il trapezio è rettangolo DAC = DAB− CAB = 90◦ − 55◦. Calcoliamo ora CB, ABe DC:

sin(ABC) =AD

CB⇒ CB =

AD

sin(ABC)=

10sin(35◦)

≈ 17, 43 cm;

AB =CB

cos(ABC)≈ 17, 43

cos(55◦)≈ 21, 28 cm;

DC

AD= tan(DAC)⇒ DC = AD · tan(DAC) = 10 tan(35◦) ≈ 7, 00.

Sezione F.7. Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli 589

B

A D

C

F

G

E

FIGURA F.7: Il quadrilatero ABCD.

Da cui:

2p = AB+BC+DC+DA ≈ 21, 28 + 17, 43 + 7, 00 + 10 ≈ 55, 71 cm;

Area =(AB+DC) ·AD

2≈ (21, 28 + 7, 00) · 10

2≈ 141, 40 cm2.

�� b Esercizi proposti: F.26, F.27, F.28, F.29,F.30, F.31, F.32, F.33

F.7.2 Applicazioni alla topografia

La topografia è una disciplina che studia gli strumenti ed i metodi operativi, sia di calcolosia di disegno, che sono necessari per ottenere una rappresentazione grafica di una partedella superficie terrestre. La topografia ha carattere applicativo e trae la sua base teorica dallamatematica, dalla geometria e dalla trigonometria.

Esempio F.13. Risolvere il quadrilatero della figuraF.7 sapendo che AB = 42, 5 m, BC =

32, 18 m, CD = 27, 6 m, BAD = 56◦, ADC = 62◦.Dati: AB = 42, 5 m, BC = 32, 18 m, CD = 27, 6 m, BAD = 56◦, ADC = 62◦.Obiettivo: AD, ABC, CDA.Procedura risolutiva: Suddividiamo il quadrilatero in tre triangoli rettangoli e in un rettan-

golo, come nella figura riportata sotto e risolviamo i triangoli.Triangolo FBA:

FBA = 90◦ − BAD = 90◦ − 56◦ = 34◦;

AF = AB cos(BAD) = 42, 5 cos(56◦) ≈ 23, 77 m;

BF = AB sin(BAD) = 42, 5 sin(56◦) ≈ 35, 23 m.

Triangolo DCE:

DCE = 90◦ − ADC = 90◦ − 62◦ = 28◦;

DE = CD cos(FBA) = 27, 6 cos(62◦) ≈ 12, 96 m;

CE = CD sin(ADC) = 27, 6 sin(62◦) ≈ 24, 37 m.


Triangolo GBC:

BG = BF−GF = BF−CE ≈ 35, 23 − 24, 37 ≈ 10, 86 m;

cos(CBG) =GB

CB=

10, 8632, 18

≈ 0, 34⇒ cos− 1(0, 34) ≈ 70◦ 16 ′36 ′′;

BCG = 90◦ − CBG ≈ 90◦ − 70◦ 16 ′36 ′′ ≈ 19◦ 43 ′24 ′′;

GC = BC sin(70◦ 16 ′36 ′′) = 30, 29 m.

Calcoliamo ora gli elementi incogniti del quadrilatero:

DA = AF+ FE+ ED ≈ 23, 77 + 30, 29 + 12, 96 ≈ 67, 02 m;

ABC = ABF+ FBC ≈ 34◦ + 70◦ 16 ′36 ′′ ≈ 104◦ 16 ′36 ′′;

BCD = BCG+ GCE+ ECD ≈ 19◦ 43 ′24 ′′ + 90◦ + 34◦ ≈ 143◦ 43 ′24 ′′.

�� b Esercizi proposti: F.34, F.35, F.36, F.37, F.38, F.39, F.40, F.41, F.42�� F.43, F.44, F.45, F.46

F.8 Risoluzione di un triangolo qualunque

Le funzioni trigonometriche possono essere calcolate anche su angoli maggiori di 90◦.Poiché, al momento, siamo interessati alle applicazioni sui triangoli, ci basterà estenderele nostre considerazioni agli angoli compresi fra 90◦ e 180◦, essendo 180◦ la misura limitesuperiore di un angolo interno di un triangolo.

Esempio F.14. Analizziamo la tabella con i valori approssimati alla quarta cifra decimale dellefunzioni seno e coseno per alcuni angoli da 0◦ a 180◦.

angolo 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦

sin(α) 0 0, 5 0, 7071 0, 8660 1 0, 8660 0, 7071 0, 5 0cos(α) 1 0, 8660 0, 7071 0, 5 0 −0, 5 −0, 7071 −0, 8660 −1

Dalla tabella si nota che la funzione seno si mantiene positiva nell’intervallo (0◦; 180◦), nei cuiestremi si annulla. Inoltre essa assume il valore massimo, uguale a 1, quando l’angolo è di 90◦.La funzione coseno, invece, è negativa per angoli compresi tra 90◦ e 180◦. Precisamente: essadecresce da 1 a 0 man mano che l’angolo su cui è calcolata cresce da 0◦ a 90◦, dopodichécontinua a decrescere, da 0 a −1, man mano che l’angolo passa da 90◦ a 180◦, si annulla 90◦.Osserviamo anche che angoli supplementari hanno lo stesso seno e coseno opposto. Questeconsiderazioni saranno chiarite con lo studio delle funzioni circolari.

Affrontiamo ora il problema di risolvere un triangolo qualsiasi. Come sappiamo, glielementi caratteristici di un triangolo sono le misure dei suoi lati e dei suoi angoli. Sappiamoanche che per determinare univocamente un triangolo sono, in linea di massima, necessarisolo tre di questi elementi purché uno almeno di questi sia un lato. Ciò deriva dai tre criteri dicongruenza dei triangoli che andiamo a ricordare.

Sezione F.8. Risoluzione di un triangolo qualunque 591

Primo criterio di congruenza Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti due latie l’angolo tra essi compreso sono congruenti.

Secondo criterio di congruenza Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti unlato e due angoli ugualmente posti rispetto al lato sono congruenti.

Terzo criterio di congruenza Due triangoli che abbiano rispettivamente congruenti i tre latisono congruenti.

Ricordiamo che due triangoli che abbiano ordinatamente uguali tutti gli angoli non sono,in generale, congruenti, bensì sono simili.

Quello che ci chiediamo è se la trigonometria, finora usata solo per i triangoli rettangoli,ci possa venire in aiuto per la determinazione delle misure degli elementi incogniti di untriangolo qualunque, quando conosciamo i tre elementi che lo determinano univocamente.Ad esempio, se è assegnata la lunghezza di due lati e l’ampiezza dell’angolo compreso, lageometria euclidea, ci aiuta a costruire il suddetto triangolo tramite riga e compasso ma nonci dice nulla delle misure degli elementi incogniti.

Disegniamo un triangolo avendo cura di indicare con la stessa lettera vertice e lato oppostoe di nominare con α, β, γ le ampiezze degli angoli di vertice rispettivamente A, B, C.

A

B

Cb

ca

α

β

γ

F.8.1 Caso I: due lati e l’angolo compreso congruenti

Come abbiamo premesso, assegnati due lati e l’angolo tra essi compreso, la geometriaeuclidea ci assicura l’esistenza di un solo triangolo che soddisfi i dati, ma non ci permette dideterminare la misura del terzo lato, né le ampiezze degli altri angoli.

Teorema F.1 (del coseno o di Carnot). In un triangolo qualsiasi di cui siano note le lunghezze didue lati e l’ampiezza dell’angolo compreso, il quadrato della lunghezza del lato incognito è uguale allasomma dei quadrati delle lunghezze note diminuita del loro doppio prodotto per il coseno dell’angolocompreso. A seconda di quali siano i due lati noti, traducendo in linguaggio matematico quantoafferma l’enunciato si ha:

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ);

a2 = c2 + b2 − 2 · c · b · cos(α);

b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos(β).

Problema F.15. Risolvete il triangolo ABC dati a = 20 cm, b = 10 cm, γ = 36◦.


Dati: a = 20 cm, b = 10 cm, γ = 36◦.Obiettivo: c, α, β.Procedura risolutiva: per il teorema di Carnot possiamo scrivere

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)

⇒c2 = 202 + 102 − 2 · 20 · 10 · cos(36◦) ≈ 400 + 100 − 400 · 0, 8090 ≈ 176, 4

⇒c ≈√

176, 4 ≈ 13, 2815 cm.

Ora dobbiamo determinare gli altri due angoli; utilizzando ancora il teorema di Carnotnella formula a2 = c2 + b2 − 2 · c · b · cos(α) conoscendo i tre lati ci rimane come incognita ilcos(α). Sostituiamo i valori noti: 202 = 176, 4+ 102 − 2 · 13, 2815 · 10 · cos(α), eseguiamo i calcoli400 ≈ 276, 4 − 265, 63 · cos(α) e da questa ricaviamo cos(α) ≈ 276,4−400

265,63 ≈ −0, 4653 da cuiα ≈ cos−1(−0, 4653) ≈ 117◦. Il triangolo è ottusangolo i suoi lati misurano rispettivamentea = 20 cm, b = 10 cm, c = 13.2815 cm; i suoi angoli hanno ampiezza α = 117◦, β = 36◦,γ = 27◦.

F.8.2 Caso II: tre lati congruenti

Sappiamo dalla geometria euclidea che assegnati tre segmenti affinché si possa costruire iltriangolo che li ha come lati deve essere verificato il teorema della disuguaglianza triangolare:“in ogni triangolo ogni lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore dellaloro differenza”.

Problema F.16. Determinate le ampiezze degli angoli di un triangolo note le misure dei suoilati a = 5 m, b = 12 m, c = 13 m.

Dati: a = 5 m, b = 12 m, c = 13 m.Obiettivo: α, β, γ.Procedura risolutiva: utilizziamo almeno due volte il teorema del coseno per determinare

due angoli. Per trovare cos(γ) utilizziamo c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ), sostituendo i dati siottiene 132 = 52 + 122 − 2 · 5 · 12 · cos(γ), da cui cos(γ) = 25+144−169

120 = 0. Per trovare cos(α)utilizziamo ancora il teorema di Carnot nella formula a2 = c2 + b2 − 2 · c · b · cos(α). So-stituiamo i valori noti: 25 = 169 + 144 − 312 · cos(α), da cui cos(α) = 169+144−25

312 = 0, 9230.Quindi γ = cos−1(0) = 90◦, α ≈ cos−1(0, 9230) ≈ 22◦, β = 180◦ − 90◦ − 22◦ = 68◦.

F.8.3 Caso III: un lato e gli angoli congruenti

Occorre un altro teorema per il problema della risoluzione di un triangolo qualunque.

Teorema F.2 (dei seni o di Euler). In un triangolo qualsiasi risulta costante il rapporto fra lalunghezza di un lato e il seno dell’angolo che gli è opposto. In formule:

a

sin(α)=

b

sin(β)=

c

sin(γ).

Problema F.17. Risolvete il triangolo ABC sapendo che a = 7, 52 m, β = 98◦, γ = 27◦.

Sezione F.8. Risoluzione di un triangolo qualunque 593

Dati: a = 7, 52 m, β = 98◦, γ = 27◦.Obiettivo: b, c, α.Procedura risolutiva: Possiamo immediatamente determinare il terzo angolo:

α = 180◦ − (98◦ + 27◦) = 55◦.

Per determinare i lati b e c applichiamo il teorema di Euler.Per la prima uguaglianza del teorema otteniamo:

7, 52sin(55◦)

=b

sin(98◦)⇒ b =

7, 52sin(55◦)

· sin(98◦) ≈ 7, 520, 8192

· 0, 9902 ≈ 9, 0897 m.

Considerando l’uguaglianza tra il primo e l’ultimo rapporto del teorema otteniamo:

7, 52sin(55◦)

=c

sin(27◦)⇒ c =

7, 52sin(55◦)

· sin(27◦) ≈ 4, 1674 m.

F.8.4 Riflessioni sull’uso del teorema dei seni

Problema F.18. Risolvete il triangolo ABC sapendo che a = 20 cm, c = 13 cm, γ = 36◦.

Dati: a = 20 cm, c = 13 cm, γ = 36◦.Obiettivo: b, α, β.Gli elementi noti non rispecchiano le condizioni sufficienti di alcuno dei criteri di con-

gruenza, ma possiamo usare il teorema dei seni che ci assicura che in qualunque triangolo siha

a

sin(α)=

b

sin(β)=

c

sin(γ)

e quindi20

sin(α)=

13sin(36◦)

⇒ sin(α) =20 · sin(36◦)

13≈ 0, 9043,

e dunque con la funzione inversa sin−1(0, 9043) possiamo ricavare l’angolo α ≈ 64◦ edunque β≈80◦.

Sembrerebbe tutto corretto, ma abbiamo trascurato il fatto che angoli supplementari hannolo stesso seno dunque da sin−1(0, 9043) si può ottenere α≈64◦ oppure α≈116◦, e dunque iltriangolo non è univocamente determinato. Proseguendo nel ragionamento avremmo:

Caso I α≈64◦, quindi il triangolo è acutangolo e β≈80◦; possiamo determinare b applicandonuovamente il teorema dei seni

13sin(36◦)

=b

sin(80◦)⇒ b =

13 · 0, 98480, 5877

≈ 21 cm.

Caso II α≈116◦, quindi il triangolo è ottusangolo e β≈28◦; possiamo determinare b con ilteorema dei seni

13sin(36◦)

=b

sin(28◦)⇒ b =

13 · 0, 46940, 5877

≈ 10 cm.

Il problema ha due soluzioni.

Problema F.19. Risolvete il triangolo ABC sapendo che a = 26 m, b = 12 m, α = 124◦.


Dati: a = 26 m, b = 12 m, α = 124◦.Obiettivo: c, β, γ.Applichiamo il teorema dei seni:

13sin(124◦)

=12

sin(β)⇒ sin(β) =

12 · sin(124◦)26

≈ . . . . . . . . . .

In questo caso non ci sono dubbi: un triangolo non può avere due angoli ottusi. Potetecompletare voi la soluzione e otterrete β≈ . . . . . . quindi γ≈ . . . . . . e infine c≈ . . . . . .

Problema F.20. Risolvete il triangolo ABC sapendo che a = 9 m, b = 2√

3 m, β = 30◦.

Come nel caso precedente abbiamo la misura di due lati e l’angolo opposto ad uno di essi;dunque per il teorema dei seni si ha

a

sin(α)=

b

sin(β)⇒ 9

sin(α)=

2√

3sin(30◦)

⇒ 9sin(α)

=2√

30, 5

,

da cui sin(α) = 1, 29, impossibile! Il seno di un angolo ha come valore massimo 1. Il problemanon ha alcuna soluzione.�� b Esercizi proposti: F.68, F.69, F.70, F.71, F.72, F.73, F.74

F.9 Le funzioni circolari

Nel riferimento cartesiano ortogonale èassegnato il vettore ~u di modulo unita-rio (|~u| = 1), applicato nell’origine del riferi-mento e con direzione e verso coincidenti conquelle dell’asse x. Il suo estremo libero è ilpunto B(1, 0).

Facciamo ruotare ~u intorno all’origine insenso antiorario finché torna ad occupare laposizione iniziale, cioè quando ha compiutouna rotazione di 360◦. Movendosi con con-tinuità, l’estremo B descrive la circonferen-za con centro nell’origine tratteggiata nellafigura; le componenti del vettore cambianocon continuità e dipendono dall’angolo che,in una certa posizione, il vettore stesso for-ma con l’asse delle x. Ad esempio quando ~u

ha descritto nella rotazione un angolo di 90◦,l’estremo B si trova in B1(0, 1); quando ~u hadescritto nella rotazione un angolo di 180◦,

l’estremo B si trova in B2(−1, 0); quando ~u hadescritto nella rotazione un angolo di 270◦,l’estremo B si trova in B3(0,−1); e dopo unarotazione completa (360◦) torna a coinciderecon la posizione iniziale B4≡B(1, 0).

x

y

−1 1

−1

1B1

B2

B3

B4

Definizione F.3. La componente orizzontale ux del vettore unitario inclinato dell’angolo αsull’asse x, si chiama coseno dell’angolo α; in simboli ux = cos(α). Chiamiamo seno dell’angoloα la componente verticale uy del vettore unitario inclinato dell’angolo α sull’asse x; insimboli uy = sin(α). Scriviamo ~u = (cos(α), sin(α)) o anche B = (cos(α), sin(α)).

Sezione F.9. Le funzioni circolari 595

Confrontando questa definizione con quanto descritto sopra possiamo innanzitutto affer-mare che seno e coseno di un angolo sono numeri reali positivi, negativi o nulli a secondadell’angolo formato dal vettore e quindi della posizione del punto B sulla circonferenza:

á se α = 0◦ allora B(1; 0) e ~u = (cos(0◦); sin(0◦)). Quindi cos(0◦) = 1 e sin(0◦) = 0;á se α = 90◦ allora B(0; 1) e ~u = (cos(90◦), sin(90◦)). Quindi cos(90◦) = 0 e sin(90◦) = 1;á se α = 180◦ allora B(−1; 0) e ~u = (cos(180◦), sin(180◦)). Quindi cos(180◦) = −1

e sin(180◦) = 0;á se α = 270◦ allora B(0;−1) e ~u = (cos(270◦), sin(270◦)). Quindi cos(270◦) = 0

e sin(270◦) = −1;á se α = 360◦ allora B(1; 0) e ~u = (cos(360◦);sin(360◦)).

Quindi cos(360◦) = 1 e sin(360◦) = 0.

Per alcuni valori intermedi dell’angolo si possono calcolare seno e coseno dell’angolousando metodi geometrici, per altri valori si può far uso della calcolatrice scientifica. Comun-que dai risultati sopra ottenuti, soprattutto riguardando la figura, possiamo affermare chequalunque sia l’angolo si hanno le disuguaglianze: −1 6 sin(α) 6 1 e −1 6 cos(α) 6 1.

Ci proponiamo ora di tracciare il grafico della funzione y = sin(x). A questo scopofermiamo la rotazione del vettore unitario ogni 30◦ (completate il disegno) e segniamo ipunti A, C, ecc.

x

y

0 30◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

C

B

A

P1(0◦, 1)

P2(30◦, 0.5)

Accanto alla rotazione del vettore unitario abbiamo tracciato un riferimento cartesianodove sull’asse x riportiamo le misure in gradi degli angoli descritti dal vettore unitario esull’asse y è segnato il punto P di ascissa 0◦ e di ordinata 1. Ricordiamo che sin(x) è l’ordinatadell’estremo libero del vettore unitario.

Per ogni angolo x descritto riporteremo nel riferimento cartesiano sin(x). Il punto B haordinata nulla dunque il primo punto che dobbiamo segnare nel riferimento cartesiano percostruire il grafico di y = sin(x) è l’origine; per segnare il punto di coordinate (30◦, sin(30◦))da A tracciamo la parallela all’asse x fino ad incontrare la parallela all’asse y tracciata da 30◦.Proseguite in questo modo per tutti gli altri punti della circonferenza. Unendo i punti trovatisi giunge a rappresentare il grafico della funzione y = sin(x).

Noi l’abbiamo tracciato con Geogebra. Notiamo che il valore massimo 1 si ha per l’angolodi 90◦ mentre il minimo −1 si ha per l’angolo di 270◦. Se il vettore unitario dopo un girocompleto ricominciasse nuovamente a ruotare in senso antiorario (positivo), descrivendoangoli maggiori di 360◦, il grafico si ripeterebbe identico al tratto compreso tra 0◦ e 360◦. Perquesto motivo diciamo che la funzione y = sin(x) ha un andamento periodico.


x

y

0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦

Sempre con Geogebra tracciamo il grafico della funzione y = cos(x); sfruttando quantofatto all’inizio del paragrafo;lasciamo al lettore di segnare sul grafico i valori dell’angolo percui il coseno è nullo, il valore per cui il coseno assume il valore minimo −1, il punto del graficodi ascissa = 360◦. Per lo stesso discorso fatto sopra possiamo dire che la funzione y = cos(x)

ha un andamento periodico.

x

y

0◦

Sezione F.10. Esercizi 597

F.10 Esercizi

F.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi

F.1 - Prime definizioni

F.1. Completate la figura mettendo le opportune lettere ai vertici dei triangoli rettangoliassegnati e, applicando le definizioni, scrivete la formula che permette di ricavare l’elementoincognito indicato con un punto interrogativo a partire dagli elementi noti indicati con unalettera.

α

c?

α

?c

α

?

b

α

?c

α

c

?

α

c

?

F.2 - Due identità fondamentali

F.2. Nel triangolo rettangolo ABC sappiamo che sin(γ) = 57 . Determinare le altre funzioni

goniometriche dell’angolo γ e quelle del suo complementare.

F.4 - Usare la calcolatrice

F.3. Completare la tabella inserendo nelle caselle vuote misure di angoli acuti a piacere,approssimando alla quarta cifra decimale.

angolo α 0◦ . . . 30◦ . . . 45◦ . . . 60◦ . . . 90◦

cos(α)

F.4. Completare la tabella inserendo nelle caselle vuote misure di angoli acuti a piacere.

angolo α 0◦ . . . 30◦ . . . 45◦ . . . 60◦ . . . 90◦

sin(α)tan(α)

Quali osservazioni si possono fare per la funzione sin(α)?

F.5. Nel primo esempio avevamo trovato per le funzioni goniometriche degli angoli acuti deltriangolo rettangolo di lati 5 m, 4 m, 3 m, i seguenti valori: sin(β) = b

a = 35 , cos(β) = c

a = 45 ,

tan(β) = bc = 3

4 . Determina l’ampiezza degli angoli acuti attivando le funzioni inverse sullatua calcolatrice.


F.5 - Operazioni con i gradi sessagesimali

F.6. Esegui le seguenti operazioni con gli angoli.

a ) Calcola il complementare di 25◦ 30 ′58 ′′;b ) Calcola il supplementare di 118◦ 59 ′5 ′′;c ) Calcola il doppio di 45◦ 45 ′45 ′′;

d ) Calcola la metà di 128◦ 57 ′30 ′′;e ) 16◦ 29 ′32 ′′ + 95◦ 57 ′31 ′′;f ) 127◦ 50 ′32 ′′ + 27◦ 51 ′42 ′′.

F.6 - Risoluzione di triangoli rettangoli

F.7. Risolvere il triangolo rettangolo a partire dai dati a disposizione.

A

C

B

γ

βα

b

c

a

a ) a = 30 cm, β = 25◦ 30 ′;b ) a = 1, 25 m, γ = 75◦;c ) a = 15 cm, β = 30◦;d ) a = 36 cm, sin(β) = 2

3 ;e ) c = 12 m, cos(β) = 1

4 ;f ) c = 12 m, tan(β) = 2;g ) b = 40 cm, tan(β) = 1;h ) c = 12 cm, a = 20 cm;i ) b = 30 cm, c = 40 cm.

F.8. Nel triangolo rettangolo ABC, retto in A, determina l’altezza relativa all’ipotenusasapendo che il cateto AB = 20 cm e l’angolo β = 25◦.

F.9. Sapendo che cos(γ) = 512 e che il cateto b misura 20 cm, calcola area e perimetro del

triangolo rettangolo.

F.10. Determinare perimetro e area del triangolo rettangolo ABC retto in A sapendo chel’altezza relativa all’ipotenusa misura 0, 5 cm e l’angolo α è di 30◦.

Proiezione di un segmento lungo una direzione

F.11. Costruite la proiezione del segmento AB sulla retta r in ciascuna delle figure seguenti edescrivete i passi effettuati.

r

α

A

B

r

β

A

B r

γ

A B

F.12. Il segmento ABmisura 2 m (figura F.8).Determinare la misura della sua proiezio-ne AH sulla retta r sapendo che l’angolo traretta e segmento è di 72◦ Determinare infineperimetro e area del triangolo AHB.

F.13. Della figura F.9 sappiamo che: AB =

2 m,DC = 2, 52 m,AC = 3, 76 m. Indica-te con H e K rispettivamente le proiezionidi B e D sulla retta r, determinate l’area delpoligono ACDB.


rA H

B

FIGURA F.8: Es. 26.12.

rA C

B

D

α = 45◦β = 120◦

FIGURA F.9: Es. 26.13.

rA H

B

α

FIGURA F.10: Es. 26.14.

F.14. La proiezione AH è di 2 metri (figu-ra F.10). Determinate la misura del segmen-to “proiettante” AB nei seguenti casi: α =

28◦; α = 45◦; α = 60◦; α = 88◦ (conl’approssimazione alla quarta cifra decimale).

F.15. In un triangolo rettangolo conoscendoil coseno dell’angolo acuto α = 0, 3; calco-la sin(α) e tan(α). Calcola, inoltre, il valo-re dell’angolo acuto α in gradi e decimali digrado.

F.16. In un triangolo rettangolo di angoloacuto x, calcola cos(x), tan(x) e x sapendoche sin(x) = 0, 2.

F.17. In un triangolo rettangolo di angoloacuto x, calcola sin(x), cos(x) e x sapendoche tan(x) = 1, 5.

F.18. In un triangolo rettangolo conoscendoil coseno dell’angolo acuto α, cos(α) = 0, 7calcola sin(α) e tan(α). Calcola, inoltre, il va-lore dell’angolo acuto α in gradi e decimali digrado.

F.19. Trova area e perimetro del triangolo ret-tangolo ABC retto in A sapendo che AB =

50 cm.

F.20. Risolvi il triangolo rettangolo che ha uncateto di 25 cm e il seno dell’angolo ad essoadiacente pari a 0, 28.

F.21. In un triangolo rettangolo conoscendoil coseno dell’angolo acuto α, cos(α) = 0, 2calcola sin(α) e tan(α). Calcola, inoltre, lamisura dei restanti lati sapendo che il catetoopposto ad αmisura 66 cm.

F.7 - Risoluzione di un triangolo qualsiasi con triangoli rettangoli

F.22. Risolvi il triangolo acutangolo ABC nei seguenti casi.

a ) CH = 20 cm, α = 45◦, β = 62◦ 20 ′;b ) AC = 20 cm, α = 60◦, β = 35◦;c ) BH = 12 cm, α = 35◦, β = 40◦ 30 ′;

d ) AH = 22, 25 cm, α = 20◦, β = 65◦;e ) CH = 10 cm, α = 42◦, β = 53◦.

F.23. In riferimento alla seguente figura risolvi il triangolo ABC, conoscendo gli elementiindicati.

AH B

C

α

γ

β


a ) AB = 2 cm, BC = 6 cm, β = 30◦; b ) CH = 50 cm, AB = 76 cm, α = 120◦.

F.24. Risolvere un triangolo isoscele nota labase= 4

√2 cm e l’Area = 32 cm2.

F.25. Un triangolo isoscele ha l’altezza relati-va alla base lunga 120 cm e il seno dell’angoloalla base è uguale a 2

3 . Calcola perimetro earea del triangolo.

Quadrilateri

F.26. Nel trapezio ABCD isoscele sulla basemaggiore AB, la base minore misura 30 cm, ilati obliqui 20 cm e il seno degli angoli acu-ti è 0, 6. Trova la misura del perimetro edell’area.

F.27. Trova l’area di un rombo di peri-metro 120 cm e con angolo ottuso paria 100◦.

F.28. Trova la misura del lato e dell’altezzadel rombo con diagonale maggiore di 20 cm econ uno dei due angoli acuti di 30◦.

F.29. Trova le due altezze del parallelogram-ma di lati 10 cm e 15 cm e con i due angoliacuti di 20◦.

F.30. Trova l’area di un parallelogramma sa-pendo che i lati sono lunghi 12, 5 cm e 7, 8 cme l’angolo tra essi compreso è 44◦ 30 ′.

F.31. Calcola l’area di un rombo sapendo cheil lato è 12 cm e l’angolo ottuso di 120◦.

F.32. Calcola l’area e il perimetro di un ret-tangolo sapendo che le sue diagonali misura-no 10 cm e che gli angoli che esse formano conla base sono di 35◦30 ′.

F.33. L’area di un trapezio isoscele è 28 cm2

e il suo perimetro è 24 cm. Determina gli an-goli del trapezio, sapendo che la sua altezzaè 4 cm.

Applicazioni alla topografia

F.34. Risolvere il quadrilateroABCD sapendoche AB = 8, 01 m, BC = 5, 54 m, CD = 4, 63 m,BAD = 40◦, ADC = 50◦.

F.35. Risolvere il quadrilateroABCD sapendoche AB = 5, 8 m, BC = 6, 24 m, CD = 12, 81 m,BAD = 45◦, ADC = 65◦ (attenzione: in que-sto problema CD > AB, quindi la figura vadisegnata diversamente).

F.36. Risolvere il quadrilatero ABCD dellafigura sapendo che AB = 33, 28 m, CD =

59, 7 m, BAD = 102◦, DCB = 63◦, ADC =

72◦.Suggerimento: tracciare i segmenti come

nella figura sotto e osservare i triangoli e ilrettangolo che si forma. AF DE

C

B G


Applicazioni alla fisica

F.37. Un vettore velocità ~v ha modulo12 cm/sec. Posto su un piano cartesiano Oxy,forma un angolo di 30◦ con l’asse delle ascisse.Trova le componenti di ~v, ~vx e ~vy sugli assi.

F.38. Un piano inclinato forma col piano d’ap-poggio un angolo di 16◦. Determina la forzanon equilibrata che farà scivolare un corpo di12 kg lungo un piano inclinato.

F.39. Calcola la forza necessaria per mante-nere in stato di quiete un corpo del pesodi 25 kg su un piano inclinato con la pendenzadi 20◦ 15 ′.

F.40. Calcola la lunghezza del vettore ~v(3; 4) egli angoli che esso forma con gli assi cartesia-ni. Calcola inoltre l’equazione della retta cheha la stessa direzione del vettore ~v e passa peril punto A(0; 1).

F.41. Un aereo viaggia da A a B che dista-no 1000 km, in assenza di vento l’aereo im-piega un’ora per effettuare il percorso. Quelgiorno però sulla tratta AB soffia un ventocostante di intensità 100 km/ora e direzionedi 240 gradi rispetto alla direzione AB. Cal-cola il tempo impiegato e l’angolo di rottanecessario per mantenere la direzione AB.

F.42 (∗). Parto da una località A ai piedi diuna collina per raggiungere una località B chesi trova nell’altro versante della collina, allastessa quota di A. Per fare questo percorroper 467 m una dritta mulattiera che sale conpendenza costante di 30◦. Poi percorro in di-scesa 300 m lungo un dritto sentiero scalinato

con pendenza costante di 50◦ e giungo allalocalità B. Quanto sarebbe lungo un tunnelche congiungesse A con B?

A B

30◦ 50◦

F.43 (∗). Per andare da una località A ad unalocalità B poste in una pianura mi muovo, inaereo e sempre alla stessa quota, di 20 Km nel-la direzione che forma un angolo di 20◦ rispet-to alla direzione AB. Poi, per riavvicinarmialla congiungente AB, mi muovo di 35 Kmlungo la direzione che forma un angolo di 60◦

rispetto ad AB. Infine percorro 24, 7 Km nelladirezione che forma un angolo di 71, 82◦ (ov-vero 71◦ 49 ′12 ′′) rispetto ad AB giungendofinalmente sopra a B. Quanto dista A da B?

Attenzione: sulla calcolatrice si può digi-tare sia cos(71, 82◦) che cos(71◦ 49 ′12 ′′) pur-ché la calcolatrice sia impostata con i gradi (Do Deg sul display; G o Grad indica un’altraunità di misura!).

A

B20◦ 60◦

71.82◦

F.44 (∗). Sono in barca a vela e parto dalla boa Bi per raggiungere la boa Bf. Inizio la naviga-zione percorrendo un tratto lungo 1 km nella direzione che forma un angolo di 10◦ rispetto altratto BiBf. Poi viro per riavvicinarmi a BiBf e percorro un tratto di 2 Km nella direzione cheforma un angolo di 10◦ rispetto a BiBf. Ripeto la virata di 10◦ per riavvicinarmi alla congiun-gente BiBf e percorro di nuovo 2 km. Faccio un’ultima virata di 10◦ che, percorrendo 1 Km,mi porta esattamente a Bf. Quanto dista Bi da Bf?


Bi Bf10◦

10◦

10◦

10◦

F.45 (∗). Faccio una dritta salita che separa due località distanti in linea d’aria 5 Km. Se lapendenza della salita è di 8◦ costanti, qual’è (in metri) la differenza di quota delle due località?

F.46 (∗). In barca a vela mi muovo dalla boa Bi alla boa Bf facendo un percorso a zig zagin cui ciascun tratto forma angoli di 25◦ rispetto al segmento BiBf. Dopo aver navigato perquattro tratti, di cui il primo lungo 4 Km e i restanti 8 Km, quanto percorso è stato fatto nelladirezione BiBf?

Bi Bf

25◦25◦

25◦

25◦

F.47 (∗). Devo stendere un cavo dell’impian-to parafulmine lungo il tetto e la parete diuna casa facendolo poi affondare nel terre-no per 10 m. Quale deve essere la lunghezzaminima del cavo sapendo che (vedi figura)il parafulmine è posto sul punto più alto deltetto e la casa è composta da un pian terrenoed un primo piano completi di altezza stan-dard (cioè 3 m ciascuno), è larga 9 m, ha untetto ad una falda inclinato di 16◦? (La figurarappresenta la sezione della casa).

F.48 (∗). Percorro una salita rettilinea con pen-denza di 10◦ partendo da una località A postaa 400 m d’altezza e arrivando ad una località Bposta a quota 700 m. Quanto dista A da B?

F.49 (∗). Dalla cima di un palco alto 1, 30 mun tizio alto 1, 70 m osserva la punta di unobelisco sotto un angolo di 40◦. Con un la-ser misura la distanza tra il suo occhio e lacima dell’obelisco e trova 74 m. Quanto è altol’obelisco?

Attenzione: osservare un oggetto sotto unangolo α significa che la retta congiungente ilnostro occhio con l’oggetto osservato formaun angolo α con una retta orizzontale.

F.50 (∗). Una mansarda è alta 5 m e la suasezione è un triangolo isoscele con angoli al-la base di 50◦. Quant’è larga la mansarda?(Ricorrere solo alla trigonometria; usare sia laformula diretta della proiezione sia la formulainversa.)

Problemi sulle forze

F.51 (∗). Per trainare un vagone fermo su unbinario uso un locomotore posto in un binarioparallelo ed un cavo in acciaio che, in trazio-ne, forma un angolo di 22◦ rispetto ai binari.Sapendo che l’intensità della forza di trazionelungo il cavo è di 35.000 N, qual è il modulo

della forza che fa muovere il vagone?

F.52 (∗). Per estrarre un manicotto (cioè uncilindro cavo) incastrato in un paletto esercitouna forza di 150 N tramite un filo che, tesodurante la trazione, forma un angolo di 20◦

rispetto all’asse del paletto. Di che intensitàè la forza che mi sarebbe bastato applicare


per estrarre il manicotto se l’avessi esercitatalungo l’asse del paletto?

F.53 (∗). Per trainare un vagone lungo unbinario devo esercitare una forza minimadi 20.000 N lungo la direzione del binario.Qual è l’intensità minima della forza che devoesercitare sul vagone perché si sposti sapendoche la direzione della forza che posso applica-re forma un angolo di 40◦ con la direzione delbinario?

F.54 (∗). Una mansarda è alta 5 m e la sua se-zione è un triangolo isoscele con angoli allabase di 50◦. Quant’è larga la mansarda?

F.55. Come si può misurare l’altezza di unedificio, senza salirvi in cima, disponendo diun metro a nastro e di un teodolite in gradodi misurare a vista angoli sul piano verticale?

F.56 (∗). Dal tetto di una casa alta 9 m unbimbo alto 1m osserva sotto un angolo di 6◦

la punta di un obelisco che, in base ad unamappa, dista 232 m dalla casa. Quanto è altol’obelisco?

F.57 (∗). Nella capriata di una cattedrale lacui sezione è un triangolo isoscele, la lun-ghezza della catena (cioè della base del trian-golo isoscele) è di 50 m e il tetto è inclinatodi 15◦ rispetto al pavimento. Quanto è alta lacapriata?

F.58 (∗). La grande piramide di Cheope hauna base quadrata larga circa 230 m. Sapendoche le pareti sono inclinate di circa 52◦, quantoè alta la piramide?

Attenzione: l’inclinazione cui si fa rife-rimento è quella delle apoteme delle faccelaterali rispetto al terreno.

F.59 (∗). Si attribuisce all’architetto dell’An-tico Egitto Imhotep l’intuizione che l’inclina-zione delle pareti di una piramide non devesuperare i 53◦ per evitare problemi di slitta-mento dei blocchi del rivestimento sotto l’ef-fetto di un sisma. Ammesso di usare l’incli-nazione massima, quanto deve essere largauna piramide che debba raggiungere l’altezza

di 70 m? E se, per sicurezza, si volesse usareun’inclinazione di 45°?

Suggerimento: questo problema si può ri-solvere usando l’angolo complementare aquello assegnato.

F.60 (∗). Una mansarda avente per sezione untriangolo isoscele è alta 4 m e larga 15 m. Qualè l’inclinazione del tetto?

F.61 (∗). La piramide di Meidum, così comemodificata sotto Snefru, era alta 91, 7 m e lar-ga 144 m. Quanto erano inclinate rispetto alterreno le (apoteme delle) sue facce?

F.62 (∗). Dall’Avenue des Champs-Élysées os-servo la sommità dell’Arco di Trionfo napo-leonico sotto un angolo di 36◦. Sapendo chel’Arco è alto 50 m quanto disto dalla sua base?Se mi trovo a 1, 2 Km dalla sua base, sotto cheangolo ne osservo la sommità?

F.63 (∗). Devo stendere un tirante che si aggan-cia a terra e ad un palo, ai 3

5 della sua altezza.Sapendo che il palo è alto 3, 34 m e che il cavosi aggancia al terreno a 3 m dalla sua base, cheangolo forma il tirante rispetto al terreno?

F.64 (∗). Su un cartello stradale vediamo l’in-dicazione di una salita del 10%. Sapendo chequesto significa che ogni 100 m in orizzontalese ne percorrono 10 in verticale, calcola l’in-clinazione in gradi della strada. È possibilesuperare salite del 100%?

F.65 (∗). Una capriata ha una catena di 32 med è alta 8, 9 m. Qual è l’inclinazione dei suoipuntoni?

Attenzione: la capriata è la struttura perle coperture a "capanna"; le travi che la co-stituiscono formano un triangolo isoscele; lacatena è la trave di base, i puntoni sono letravi oblique.

F.66 (∗). La facciata di un tempio greco haun basamento largo 22 m e alto 3 m, colonnealte 7, 40 m e il frontone, largo quanto il ba-samento, ha falde inclinate di 15◦. Quanto èalto il punto più elevato del tempio? Volen-do fargli raggiungere l’altezza di 14 m quale


inclinazione bisognerebbe dare ai lati obliquidel frontone?

F.67 (∗). Dall’alto di una rampa lunga 300 mmisuro la distanza dalla sommità di una torre

che si eleva dalla base della rampa e arrivaalla stessa altezza della mia testa. Sapendoche la suddetta distanza vale 271 m, qual èl’inclinazione della rampa?

F.8 - Risoluzione di un triangolo qualunque

F.68. Determina gli elementi incogniti di untriangolo in cui b = 5, c = 7 e α = 74◦.

F.69. In un triangolo sono noti: b = 9, α = 20◦

e β = 44◦. Quanto vale la lunghezza a?

F.70. In un triangolo sono noti: a = 20, c = 13e β = 75◦. Quanto vale b?

F.71. Determina l’angolo β di un triangolo incui a = 10 Km, b = 8 Km, c = 12 Km.

F.72. Determina gli elementi incogniti di untriangolo in cui a = 12, c = 15 e β = 65◦.

F.73. In un triangolo sono noti: a = 20, α =

35◦ e β = 20◦. Quanto vale la lunghezza b?

F.74. In un triangolo sono noti: b = 12, c = 4e α = 40◦. Quanto vale a?

F.10.2 Risposte

F.42. 597, 27 m.

F.43. 44 Km.

F.44. 5, 91 Km.

F.45. 695, 87 m.

F.46. 25, 38 Km.

F.47. 25, 36 m.

F.48. 2.303, 50 m.

F.49. 59, 68 m.

F.50. 8, 39 m.

F.51. 32.451 N.

F.52. 140, 95 N.

F.53. 26.108, 95 N.

F.54. 8, 39 m.

F.56. 34, 38 m.

F.57. 6, 70 m.

F.58. 147 m.

F.59. 105, 50 m; 140 m.

F.60. 28◦.

F.61. 51, 86◦.

F.62. 68, 82 m; 2, 39◦.

F.63. 33, 74◦.

F.64. 5, 71◦.

F.65. 29, 08◦.

F.66. 13, 35 m; 18, 12◦.

F.67. 25, 4◦.

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Matematica C3 - Algebra 1, quarta edizione (versione completa a