matematica, de drag

7

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ

„MATEMATICA, DE DRAG“

EDIŢIA I, 24-26.11.2006

Clasa a V-a

1. Numerele Ndcba ∈,,, verifică relaţia: .252222 =+++ ++++ addccbba Calculaţi: dcba +++ .

(G. M. 1/2006)

2. Suma a două numere naturale este 254. Unul dintre numere conţine cifra 1 pe care dacă o ştergem obţinem celălalt număr. Aflaţi cele două numere.

(Valer Pop)

3. Să se calculeze suma şi produsul numerelor naturale x, y şi z ştiind că sumele de câte două dintre ele formează mulţimea { }, 2a a , unde a este

număr natural impar. (Ion Bogdan)

Clasa a VI-a

1. Să se calculeze suma tuturor numerelor abba , ştiind că babaab 33 +=− . (G. M. 2/2006)

2. Sandu a început să citească o carte de 110 pagini marţi şi a terminat-o într-o vineri. În fiecare zi a citit exact câte o pagină mai mult decât în ziua precedentă. Să se precizeze în ce zi a citit un număr de pagini divizibile cu 11.

(Dan Brânzei)

3. Fie (OC şi (OD două semidrepte situate în interiorul unghiului AOB, astfel încât (OD este inclusă în Int(�AOC). Aflați măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor �AOC și �BOD, știind că m(�AOD) = 50° și m(�BOC) = 40°.

Clasa a VII-a

1. Să se determine cel mai mare divizor comun al tuturor numerelor naturale de forma ( )( )( )accbba +++ , unde Zcba ∈,, şi cba 325 =+ .

(Dumitru Barac)

2. Determinaţi numerele naturale de forma abcd cu proprietatea

abcddcba =+++ 432 . (G. M. 3/2006)

8

3. Dacă un trapez isoscel are un unghi de 30o şi lungimea bazei mici egală cu a şaptea parte din lungimea bazei mari, atunci trapezul poate fi descompus în opt triunghiuri congruente. (Ioan Bogdan)

Clasa a VIII-a

1. Aflaţi Nba ∈, care verifică relaţia: ( ) ( )37 +=+ bbaa . (G. M. 10/2003)

2. Determinaţi numerele reale m şi n ştiind că:

( )1 1 , ,mx ny m n my nx m n x y x y R+ − − + + − − = − + − ∀ ∈ . (Artur Bălăucă)

3. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ notăm cu M, N, P

proiecţiile punctelor A, C şi, respectiv, B’ pe [BD’].

Să se arate că: 6'''≥++

BP

PD

BN

ND

BM

MD.

Clasa a IX-a

1. Să se rezolve în R ecuaţia: { } 01816 2 =+− xx , unde {x} reprezintă partea fracţionară a numărului real x. (G.M. 9/2006)

2. În triunghiul ABC, cevienele AP, BQ, CR sunt concurente în F. Să se arate echivalenţă afirmaţiilor:

a) 0=++ CRBQAP ; b) F este centrul de greutate al triunghiului ABC. (Doru Isac)

3. Să se arate că dacă punctul M este așezat în interiorul pătratului ABCD cu latura 1, atunci dintre distanțele MA, MB, MC, MD:

a) cel mult una este mai mare decât 2

5;

b) cel mult două sunt mai mari decât 1;

c) cel mult trei sunt mai mari decât 2

2. (G. M. 6/1959)

Clasa a X-a 1. Fie tetraedrul ABCD. a) Să se arate că există cel puţin un grup de patru plane paralele echidistante care trec fiecare prin câte un vârf al tetraedrului. b) Câte astfel de grupe există? (***)

9

2. Fie ( )+∞∈ ,1,, cba . Arătaţi că: 1logloglog 222 ≤++ cbaaccbba

. (25622, G.M. 11/2006)

3. Fie Cba ∈, astfel încât: 2≥+ ba şi abba +≥+ 1 . Să se arate că,

pentru orice Nn∈ , nnnn baba +≥+ ++ 11 .

(Alin Pop)

Clasa a XI-a 1. Pe laturile BC, CA, AB ale triunghiului ABC de arie S se dau punctele K, L, M. Să se arate că aria cel puţin a unui triunghi MAL, KBM, LCK nu

depăşeşte 4

S.

(G. M. 7767 nr. 8/1968)

2. Să se rezolve în ( )CM 2 ecuaţia AXX nn =− 33 , unde

−

−=

20

20072A .

(Petru Vlad)

3. Fie +∈Rba, şi ( ) 1≥nna o progresie aritmetică de numere naturale, 11 ≥a .

Calculaţi limitele: 1 2 ...

limnaa a

nn

b b b

a→∞

+ + +;

1 2

1 2

ln...lim .

...

n

n n

n

aaa a a

aa an

a a a

b b b→∞

+ + + + + +

(Dumitru Acu)

Clasa a XII-a 1. Să se determine numărul polinoamelor ireductibile, de grad trei, peste corpul pZ .

(G.M. 1/2003 şi 1/2004)

2. Calculaţi:

a) 2 6 8

10

1, ;

1

x x xdx x R

x

− − +∈

+∫

b) 1 5 1

6, , *.

1

n n

n

x xdx x R n N

x

− −+∈ ∈

+∫

(Dumitru Acu)

3. Fie G un grup cu 10 elemente, un element unitate e şi elemente bea ≠≠ din G astfel încât eba == 22 . Să se arate că grupul G nu este abelian.

(***, G.M. 3/2001)

10



EDIŢIA A II-A, 16-18.11.2007

Clasa a V-a

1. Diferenţa a două numere naturale este 5. Aflaţi numerele ştiind că unul dintre ele este cu 17 mai mic decât triplul celuilalt.

(Ioan Duicu, Bistrita)

2. Un bunic are doi nepoți. Vârsta bunicului se exprimă printr-un număr de două cifre, fiecare cifră exprimând vârsta unui nepot. Ce vârstă are fiecare dacă suma celor trei vârste este 84 de ani.

(G.M. nr.6/2007)

3. Aflați cifrele a, b, c, d, e știind că în baza de numerație 10 are loc

egalitatea: 3 217071 3 .abcde abcde= + (Monica Sas)

Clasa a VI-a

1. Determinați numerele de forma abcd divizibile cu 5, pentru care a + d = (b + c)2 .

(G.M. nr 2/2007)

2. Să se determine numerele prime a, b, c astfel încât să aibă loc egalitatea: a . (2a +1) + 2a . b + 16c = 230.

(Simona Florea)

3. Două unghiuri au vârful comun, iar suma măsurilor lor este 180� . Arătați că există două unghiuri, formate cu laturi ale celor două unghiuri, ale căror bisectoare formează un unghi drept.

(Ioan Duicu)

CLASA a VII-a

1. Să se determine toate numerele naturale n∈N pentru care 42n + 1 + 1 este număr prim.

(G.M.)

2. Fie a un număr natural nenul dat. Să se determine n natural astfel încât numărul 22a+5 – 23 . 22a + 2n să fie pătrat perfect.

(Dumitru Acu)

11

3. Se dă rombul ABCD cu m∠ABC = 30� . Să se construiască pătratul BDEF astfel încât C să fie un punct interior pătratului. Dacă DC ∩ BF = {H} și EC∩ BF = {G}, demonstrați că: a) ∆CBH este isoscel. b) [FC] este mediană în ∆EFG. c) ∆CGH este isoscel.

(Ioan Duicu)

Clasa a VIII-a

1. Determinați numerele naturale n pentru care fracția 22 32

32−− +

+nn

nn

este

număr natural. (G.M. nr. 7/2007)

2. Arătați că dacă x, y, z ),0( ∞∈ și xyzzyx =++ 333 , atunci

( 222 zyx ++ )2

1 1 123.

x y z

+ + ≥

(Valer Pop)

3. Baza mare [AB] a trapezului dreptunghic ABCD ( ABAD ⊥ ) este inclusă în planul α . Știind că: α∉D , DD ’ α⊥ , α∈'D , α⊥'CC , α∈'C ,

ˆ( ') 60m DAD = ° și ABC∆ este echilateral cu latura de 8 cm. a) Demonstrați că DC || α și ''DABC este trapez dreptunghic. b) Calculați măsurile unghiurilor dintre dreptele AD și ''DC , BC și ''DC și cosinusul unghiurilor dintre dreptele BD și 'CC , respectiv BC și '.DD

(Ioan Duicu)

Clasa a IX-a

1. Fie ABCD un trapez oarecare în care AB || CD. Să se arate că: (AC 2 + AB 2 – BC 2 )(BD 2 – BC 2 + CD 2 ) = = (AC 2 – AD 2 + CD 2 )(BD 2 + AB 2 – AD 2 ).

(G.M. nr. 7/2007)

2. Să se determine n numere reale nenegative, n 2≥ , cu proprietatea că fiecare dintre acestea este egal cu pătratul sumei celorlalte (n – 1).

(Mugur Acu)

3. Fie a număr natural nenul dat. Să se rezolve în R ecuația: [ax] + {(a + 1)x} = a + 1,

unde [t] și {t} reprezintă partea întreagă și respectiv partea fracționară a numărului real t.

(Dumitru Acu)

12

Clasa a X-a

1. Într-un triunghi ABC se verifică relația: .3sin

sin

sin

sin

sin

sin=++

A

C

C

B

B

A

Determinați măsurile unghiurile triunghiului. (G.M. nr.7/2007)

2. Fie k un număr natural nenul dat, ,...,, 21 aa ka numere reale diferite de 1

și kbbb ,...,, 21 numere reale diferite de 1 și distincte de numerele kaaa ,...,, 21 .

Se consideră șirurile de numere reale 1)( ≥nnx și 1)( ≥nny definite prin relațiile

de recurență :

,n

n

knx

yx =+

1

1

−

−=+

n

n

knx

yy , ,11 ax = 22 ax = , ..., kk ax = ,

11 by = , 22 by = ,..., kk by = .

Să se demonstreze ce șirurile 1)( ≥nnx și 1)( ≥nny sunt periodice. (Dumitru Acu)

3. Arătați că există o singură pereche de numere prime impare p și q așa încât restul împărțirii lui 2p la q să fie 4 iar restul împărțirii lui 2q la p să

fie 1. (Ana Maria Acu)

Clasa a XI-a

1. Fie p, q N∈ , 2p < q < (p + 1) 2 și qpxn += [( ) n ], pentru orice n N∈

unde [a] reprezintă partea întreagă a lui u, u R∈ . Să se demonstreze că nx

este par dacă și numai dacă n este impar. (G.M. nr. 8/2005)

2. Fie (a n ) 1≥n o progresie aritmetică cu a 1> 0 si raţia 0>r . Calculați

limitele:

i) L1= 22

1lim

+∞>− pn n ∑

≤<≤

⋅nji

p

ji aa1

;)(

ii) L ∑≤<≤

+∞>−⋅=

nji

p

jip

nn

aaa 1

222 ;)(1

lim Unde p N∈ , p 0≠ , este fixat.

(Dumitru Acu)

13

3. Fie A, B )(3 RM∈ astfel încât AB – BA = A. Să se arate că A 33 O= .

(G.M. nr. 12/2005)

Clasa a XII-a

1. Să se determine numărul punctelor de extrem ale funcției: f : R → R, f (x) = (x – 1)(x – 2)2 (x – 3)3 … (x – n)n ,

unde n ∈ N*. (G.M. nr.2/2005)

2. Fie (G, ·) un grup cu proprietatea că există un endomorfism f : G→ G, astfel încât f (xn yn+1) = xn + 1yn, pentru orice x, y ∈ G, iar n ∈ N*, n dat.

Să se arate că: a) x2n + 1 = e, (∀ ) x ∈ G ; b) G este grup abelian.

(G.M. nr.2/2005)

3. Calculați:

i) I1 = ∫ ++−

+++−+++

++

222122

211

2

2)()1(2

axaaxx

axanxaxxnnn

nnn

dx, a ∈ R+, n ∈ N*, x ∈ R ;

ii) I2 = ∫ ++

+12n

n

cxx

bxadx, a, b, c ∈ R+, n ∈ N*, x > 0.

(Nicolae Sanda)

14



EDIŢIA A III-A, 2008

Clasa a V-a 1. Pe nişte bilete sunt scrise numere naturale astfel încât suma şi produsul lor sunt egale cu 12. Aflaţi numărul biletelor. (Găsiţi toate soluţiile posibile).

(G.M.)

2. Organizatorii unei întâlniri cu copii pregătesc pentru aceştia de două ori mai multe portocale decât banane şi dau copiilor sosiţi câte 5 portocale şi 2 banane. Ştiind că au rămas 25 de protocale şi 20 de banane, să se afle numărul copiilor participanţi la întâlnire şi apoi, numărul de portocale şi numărul de banane pregătite pentru copii.

(Nastasia Chiciudean)

3. O grădină de formă dreptunghiulară este împrejmuită cu un gard format din 8 rânduri de sârmă. Ştiind că lungimea totală a sârmei este de 22400 metri, iar lungimea grădinii este cu 16 metri mai mare decât triplul lăţimii, aflaţi: a) perimetrul grădinii; b) suprafaţa grădinii. (Monica Sas)

Clasa a VI-a

1. Se dă fracţia zecimală în baza 10, x = )(34,0 abc . Se ştie că: a) a 2006-a zecimală este 8; b) a 2007-a zecimală este 5; c) a 2005-a zecimală este 9. Aflati x. (G.M.)

2. Să se determine pătratele numerelor de două cifre, scrise în baza 10, pătrate perfecte care sunt de forma baba )( − , unde a, b – a, şi b sunt cifre iar a≠ b.

(Monica Sas)

3. Fie şirul de numere raţionale: 1

1; 1

2; 2

1; 1

3; 2

2; 3

1; 1

4;

2

3; 3

2; 4

1 …. .

Precizaţi poziţia (numărul locului) pe care o ocupă în şir, numărul de forma

n

m, m şi n fiind numere naturale nenule.

(Dumitru Acu)

15

Clasa a VII-a 1. Trei dintre unghiurile exterioare ale unui triunghi sunt direct proporţionale

cu numerele 42

1, 6, respectiv 7

2

1. Să se arate că triunghiul este dreptunghic.

(GM)

2. Aflaţi toate numerele naturale x cu proprietatea că: 22 1

3 2

x

x

++

∈ Ν .

(Rodica Coman)

3. Arătaţi că pentru orice b Ζ∈ şi orice p număr prim, numărul 2

2

1

1

b

p

+−

nu

este numar întreg. (Dumitru Acu)

Clasa a VIII-a 1. Dacă a, b, c 0(∈ ; )∞+ , să se demonstreze echivalenţa:

cacacb

bac

ba

cba=⇔+=

++

+++ )()(

(G.M).

2. a) Să se arate că pentru orice x real pozitiv are loc egalitatea:

1

11

)1(1

1

+−=

+++ xxxxxx

b) Demonstraţi inegalitatea:

119120120119

1...

5665

1

3443

1

1221

1

+++

++

++

+>11

5

(Dumitru Barac)

3. Fie ABCD un romb, iar M, N, P şi Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi, respectiv, [AD]. a) Stabiliţi natura patrulaterului MNPQ.

b) Dacă E ∈ [NQ] astfel încât NE =1

4NQ , ME ∩ NP = {F}, FP = 8 cm şi

m(∠BAD) = 60 0 , calculaţi A ABCD .

(Monica Sas)

16

Clasa a IX-a 1. Fie ABCD un paralelogram în care notăm cu O intersecţia diagonalelor şi cu M mijlocul segmentului AO. Ştim că BD = 2AO, AC = 2a, m( ADB∠ ) = 60º. Pe perpendiculara în M pe planul (ABC) se ia punctul P astfel încât MP = a. i) Să se calculeze distanţele de la punctul P la laturile paralelogramului. ii) Să se afle distanţa de la punctul M la planul (BCP).

(G.M.)

2. Demonstraţi că dacă ai ∈ R, i = n,1 , an + 1 = a1, atunci a1(a1 + a2) + a2(a2 + a3) +…+ an-1(an-1 + an) + an(an + an+1) ≥ 0.

Când are loc semnul egal? (Rodica Coman)

3. Dacă pentru numerele reale a1, a2, a3, a4 există x pozitiv astfel încât să fie verificate inegalităţile: xa1 - (2x + 1)a2 + (x + 1)a3 ≥ 0 xa2 - (2x + 1)a3 + (x + 1)a4 ≥ 0 xa3 - (2x + 1)a4 + (x + 1)a1 ≥ 0 xa4 - (2x + 1)a1 + (x + 1)a2 ≥ 0 , atunci numerele a1, a2, a3, a4 sunt egale.

(Dumitru Acu)

Clasa a X-a 1. Fie a un număr natural par nenul şi numerele naturale n ≥ k ≥ 1.

Să se arate că numărul 1na ka + + este compus.

(G.M.)

2. Să se arate că: 5 cos x + 5 cos y – cos (x + y) ≤ 9 , ∀ x,y∈R. (Dumitru Barac)

3. Fie a ∈ (1;∞ ) şi n un număr natural dat, n ≥ 2. Să se rezolve în R sistemul:

22 21 2

1 2 ...

... n

n

xx x

x x x n

a a a na

+ + + =

+ + + =

(Nicolae Sanda)

Clasa a XI-a 1. Fie k ≥ 2 un număr întreg. Pentru ce numere naturale nenule n avem

[ k n ] | n? (G.M.)

17

2. Fie z1, z2, z3 ∈ C astfel încât |z1| = |z2| = |z3| = |z1 + z2 + z3| = a, a > 0.

Calculați 20073

20072

20071

111

zzz++ .

(G.M.)

3. Fie b un număr real pozitiv, șirul (an)n ≥ 1 verifică relația: ban + 1 + b + 1 =

= (b + 2)(ban + b + 1)b + 1 pentru orice n∈N*, a1 =

b

1. Aflati termenul

general an. (Dumitru Acu)

Clasa a XII-a

1. Se consideră o mulţime A de numere reale care satisface simultan proprietăţile: 1) 0 A∈ ; 2) x A∈ ⇒ 2x + 3x A∈ ; 3) x2 +x3 A∈ ⇒ x A∈ .

Să se arate că: a) mulţimea A este nemărginită. b) mulţimea A conţine cel puţin două numere strict pozitive subunitare.

(G.M.)

2. Să se calculeze ( )1

!lim ln ! n

nn

→∞ .

(Petru Ivănescu)

3. Determinaţi X ∈ M2 (C) ştiind că are suma elementelor egală cu 2, iar

X2008 =

3 5

2 25 3

2 2

− −

.

(Rodica Coman)

18



EDIŢIA A IV-A, 27-29 NOIEMBRIE 2009

Clasa a V-a

1. Suma a patru numere naturale este 2009. Arătați că cel puțin unul dintre ele este mai mare sau egal cu 503.

(G.M. 6/2009)

2. Să se determine numerele abc , scrise în baza de numerație 10, astfel

încât: abc a b c ab bc ca ba cb ac= + + + + + + + + .

(Se acceptă și numere de forma 0x x= ). (Dumitru Acu)

3. Fie numerele 1 2 3 ... 2009x = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , 1 9 17 ... 2009y = + + + + și 3 02010 5 2010 2010z = ⋅ + + . Să se afle:

a) resturile împărțirilor lui x, respectiv, y la 2010; b) restul împărțirii lui t = x + z la y.

(Rodica Coman)

Clasa a VI-a

1. Aflați numerele naturale a, b, c cu a b c< ≤ astfel încât: 2 2 2 5 2009a b c b+ + ⋅ = .

(G.M. 6/2009)

2. Numerele naturale a, b, c verifică condițiile: i) 3 13 8a b c+ + se divide cu 23; ii) a b c+ + se divide cu 23.

Demonstrați că 4 18 11a b c+ + se divide cu 23. (Nastasia Chiciudean)

3. Fie 0 1 2 2010, , ,...,A A A A situate în această ordine pe o dreaptă, astfel încât:

0 1 1 2 1A A A A= = cm și 1 12k k k kA A A A+ −= , pentru orice { }2,3,..., 2009k∈ .

a) Să se arate că punctul 4A este mijlocul segmentului [ ]0 5A A .

b) Să se calculeze lungimea segmentului [ ]0 2010A A . (Lucreția Checec)

19

Clasa a VII-a

1. Se dă triunghiul isoscel ABC ( ) ( )( )AB AC≡ cu 0( ) 40m A =� . Fie F

simetricul lui B față de AC , [AD bisectoarea unghiului BAC , ( )D BC∈ ,

{ }E BF AC= ∩ și { } .P AD CF= ∩ Arătați că:

a) Triunghiul ACF este isoscel; b) DE || CP; c) ( ) 050m APC =� . (G.M. 6/2009)

2. Arătați că pentru oricare x, y, z numere naturale, numărul 9 9 9x y z+ + nu este pătrat perfect.

(Mugur Acu)

3. Fie p un număr prim impar și fie a, b, c numere naturale cu a b c p< < <

astfel încât 2 2 2, ,a b c să dea același rest la împărțirea cu p. Arătați că p divide a + b + c.

(Dumitru Acu)

Clasa a VIII-a

1. Fie N un număr natural astfel încât 9N se scrie ca o sumă de două pătrate perfecte. Arătați că 10N are aceeași proprietate.

(G.M. 5/2009)

2. Fie [ ]2,2k∈ − . Să se arate că dacă a > 0 și b > 0, cu a ≤ b atunci 2 2

2 2

( 1) max( , )a kab k b a b

a b a

− + +≤

+ .

(Dumitru Acu)

3. Fie ABC un triunghi isoscel cu 0( ) 120m BAC =� iar M și N două puncte

pe latura BC astfel încât 2 2 2MN BM BM NC NC= − ⋅ + . Să se arate că 0( ) 60m MAN =� .

(Dumitru Barac)

Clasa a IX-a

1. Șapte din vârfurile unui cub sunt etichetate cu cifra zero, iar vârful al optulea este etichetat cu cifra 1. Avem o succesiune finită de pași, fiecare pas constând în adunarea lui 1 la capetele unei muchii. Să se arate că, la sfârșit, cel mai mare divizor comun al celor 8 numere din vârfurile cubului este 1.

(G.M. 6/2009)

20

2. Să se rezolve în ℜ×ℜ sistemul: 2

2

4 3 2 6

4 3 2 6

x x y

y y x

− − + =

− − + = .


3. Arătați că oricare ar fi numerele pozitive 1 2, ,..., , ,na a a n ∗∈Ν cu

1

1n

i

i

a=

=∑ avem: ( )22 2

1

11n

i

i i

na

a n=

+ + ≥

∑ .

(Monica Sas)

Clasa a X-a

1. Fie , , ,a b c d numere reale cu proprietatea { } { }, ,a b c d≠ . Să se arate că

ecuația x a x b x c x d+ + + = + + + are cel mult o soluție reală. (G.M. 5/2009)

2. Dacă ( ), , 0,1x y z∈ , să se arate că:

a) log ( ) log ( ) log ( ) 6x y zyz zx xy+ + ≥ ;

b) 2 2 2 2 2 2log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) 48x y y z x zyz xz zx yx zy xy⋅ + ⋅ + ⋅ ≥ . (Rodica Coman)

3. Arătați că pentru oricare m > 0 în orice triunghi ABC are loc inegalitatea

( )2 2

sin sin cos2

mm A C B

+⋅ + − ≤ . Studiați cazul de egalitate.

(Dumitru Acu)

Clasa a XI-a

1. Fie ABCD un tetraedru înscris în sfera de rază R, cu proprietatea că 2 2 2 2 8MA MB MC MD+ + + = , oricare ar fi M un punct al sferei.

a) Să se calculeze R. b) Să se arate că segmentele AB , AC , AD pot fi laturile unui triunghi.

(G.M. 3/2009)

2. Fie ( ) 1n nx

≥ și ( ) 1n n

y≥ două șiruri de numere reale astfel încât lim lim 0n n

n nx y

→∞ →∞= = .

Să se calculeze: 2 2 3

2 2lim n n n n n

nn n n n

x y x y y

x x y y→∞

− ++ +

.

(Dumitru Acu)

21

3. i) Să se verifice egalitatea

4 1 0 9 31

0 4 1 3 113

1 0 4 1 1

=

.

ii) Să se arate că

( ) ( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 4 4 4a b c b c a c a b a c b a c b+ + + + + + ≥ + + +

pentru oricare a, b, c numere pozitive. (Dumitru Barac)

Clasa a XII-a

1. Să se calculeze: ( )1

lim ln 1 ln 1m

n kk

nk

ba

n→∞=

+ +

∑ , unde 1 2, , ..., ma a a > 1 și

1 2, , ..., mb b b > 0 . (G.M. 5/2009)

2. Să se determine primitivele funcției f :2 4

4 5/ 2

( 16), ( )

( 16)

x xf x

x

−ℜ→ℜ =

+ .

(Nicolae Sanda)

3. Folosind faptul că 4

41

1lim

90

n

nk k

π→∞

=

=∑ să se demonstreze inegalitatea

4

4 31

1 1

3( 1) 90

n

k k n

π

=

+ ∠+∑

pentru orice n ∗∈Ν . (Emil C. Popa)

22



EDIŢIA A V-A, 19-21 NOIEMBRIE 2010

Clasa a V-a 1. La un campionat de fotbal, Andrei, Mihai și Vasile au marcat împreună 22 de goluri. Andrei a marcat de trei ori mai multe goluri decât Vasile, iar Mihai jumătate din numărul golurilor marcate de Andrei. Câte goluri a marcat fiecare?

(G.M. 6/2010)

2. Să se determine numerele naturale abc , scrise în baza 10, astfel încât

abc cba ab ba ca ac bc cb= + + + + + + . (Dumitru Acu)

3. Există 5 numere naturale a, b, c, d și e cu proprietatea că suma a oricăror patru dintre ele dă restul 1 prin împărțirea la 4?

(Monica Sas)

Clasa a VI-a 1. Determinați toate numerele naturale nenule care împărțite la 17 dau câtul egal cu restul și împărțite la 23 dau, de asemenea, câtul egal cu restul.

(G.M. 7-8-9, 2010)

2. Determinați m, n numere naturale astfel încât 2 2 120m n− = . (Nastasia Chiciudean)

3. Arătați că numărul 1 1 1 1

1 2 3 . 2009 2010 12 3 2009 2010

x = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + + + +

… …

este natural și se divide cu 2011. (Monica Sas)

Clasa a VII-a

1. În triunghiul ABC, M este mijlocul înălțimii AD ( ( )D BC∈ ), iar ( )E AC∈

astfel încât 2EC AE= . Arătați că punctele B, M , E sunt coliniare dacă și numai dacă [ ] [ ]AB AC≡ .

(G.M. 7-8-9/2010)

2. Să se determine a, b ∈Ν știind că 1997 împărțit la a dă restul 2b – a și împărțit la b dă restul 2a – 10.


23

3. Dacă x, y, z, t sunt numere reale, atunci 2 2 2 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) .4

x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t− + + + + − + + + + − + + + + − + ≥ + + +

Precizați cazul de egalitate. (Dumitru Acu)

Clasa a VIII-a

1. Fie patrulaterul inscriptibil ABCD. Dacă { } , ( )AC BD O E OC∩ = ∈ și

( )F BD∈ , să se demonstreze că EF ǁ AB dacă și numai dacă ADE BCF≡� � . (G.M. 6/2010)

2. Demonstrați că pentru orice n număr natural are loc inegalitatea

1 1 4

2

nn n n n

+ ++ + + + <… .

(Lucreția Checec)

3. Fie a și n două numere naturale nenule. Arătați că numărul 2 3 12 1( ) 1 n

nx a a a a a −= + + + + +…

se divide prin 2 8 4( 1)( 1)( 1).a a a a+ + + + (Dumitru Acu)

Clasa a IX-a

1. Fie a ∗∈ℜ cu 1a ≠ . Determinați funcția :f ℜ→ℜ care are proprietatea 2(1 ) (1 ) ( 1) 2( 1) 2( 1)f x af x a x a x a− + + = + + − + + , pentru orice x, număr real.

(G.M. 6/2010)

2. Dacă , , (0, )x y z∈ ∞ să se arate că: 4 4 4 4( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3( )x y y z z x x y z+ + + + + ≥ + + . (Nastasia Chiciudean)

3. Fie ABCD un patrulater și punctele M, N, P, Q astfel încât: MB MAα= −��

, ,NB NC PC PDα α= − = −

�� și QA QDα= −��

, ,α α∈ℜ > 0. Să se arate că:

( )1

1MP QN AB BC CD ADα α

α+ ≤ + + +

+

�� .

(Vasile Negrușeri)

Clasa a X-a

1. Fie x, y > 0 și n ∗∈Ν . Să se arate că: 1 2

2 2

( ) ( ) ( )1 2

nn

n n

x y x y x y

x y x y x y

+ + ++ + + + ≤

+ + +… . (G.M. 7-8-9/2010)

24

2. Să se determine mulțimea perechilor ( a, b) ∈ℜ×ℜ cu proprietatea

[ ]2

1,1max ( 1) 1x

ax bx∈ −

+ − = .

(Dumitru Barac)

3. Arătați că nu există p prim așa încât 3 19( 1)p p+ − să fie pătrat perfect. (Dumitru Acu)

Clasa a XI-a

1. Fie a, b, c numere complexe. Considerăm n n n

nS a b c= + + și

2 1

3 2 1

4 3 2

n n n

n n n n

n n n

S S S

A S S S

S S S

+ +

+ + +

+ + +

=

, unde n ∗∈Ν .

Să se arate că: 2 2 2det( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nA abc b a c a c b= − − − − . (G.M. 1/2010)

2. Demonstrați că în orice triunghi ascuțitunghic are loc inegalitatea:

( ) sin 2 ( ) sin 2 ( ) sin 2 6 2a b C b c A c a B S+ + + + + ≤ . (Nastasia Chiciudean)

3. Fie a∈ℜ , a > 1 dat. Considerăm șirul 0 ,x ∈ℜ 1 , .nx

n nx x a n−

+ = + ∈Ν

Să se calculeze limln

n

n

x

n→∞ . (Dumitru Acu)

Clasa a XII-a

1. Fie A o matrice de ordinul 2 cu elemente reale și 1 2,λ λ rădăcinile

polinomului 2det( ).P A Iλ= − Să se arate că:

( )2 2 21 2 2 2 1 2 2( ) ( )

n n nA I A I Iλ λ λ λ− + − = − , n ∗∈Ν , 1n ≥ . (G.M. 2/2010)

2. Aflați primitivele funcției 4

4

(1 )( ) ,

1

x

x

ef x x

e

+= ∈ℜ

+. (Nicolae Sanda)

3. Să se arate că 2

( 1)( 2)

21

( 2)! !

3( 1) !

n n

n n

n

n n e

n

++ +

+

+ ⋅<

+ , n = 2, 3, . . . .

(Lucian Vințan)

25



EDIŢIA A VI-A, 18-20 NOIEMBRIE 2011

Clasa a V-a

1. a) Aflați numerele naturale de forma ab care împărțite la 36 dau restul un pătrat perfect. b) În 8 cutii sunt 51 de bile roșii, galbene și albastre. Știind că în fiecare cutie sunt bile de toate culorile, arătați că există cel puțin două cutii care conțin același număr de bile.

(Gazeta Matematică, 5 / 2011)

2. Un elev premiant primește la sfărșitul anului școlar o enciclopedie. El citește în prima zi de vacanță, 18 iunie 2011, primele cinci pagini ale ei. Apoi citește în fiecare zi cu două pagini mai mult decât în ziua precedentă. a) În ce dată a terminat de citit primul capitol care are 140 de pagini? b) Știind că a terminat de citit cartea în 17 iulie 2011, aflați câte pagini are aceasta.

(Rodica Coman)

3. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuațiile:

a) zyx = 36 ;

b) zyx +

yzx = 32 . (Artur Bălăucă , Monica Sas)

Clasa a VI-a 1. Există n ∈ ℕ astfel încât numărul n2 + 2010 să fie pătrat perfect?

(G.M. 6/2011)

2. a) Arătați că, printre nouă numere prime mai mari ca 5, există întotdeauna două a căror diferență se divide cu 30 . b) Să se demonstreze că numărul a = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 212n + 11 , unde n ∈ ℕ, este divizibil cu 273.


3. a) Arătași că dacă un număr natural m, scris în baza zece, are 2013 divizori naturali, atunci m este pătrat perfect. b) Aflați numerele naturale de trei cifre scrise în baza zece care au 24 de divizori.

(Artur Bălăucă)

26

Clasa a VII-a

1. a) Să se determinare valorile naturale ale lui n , pentru care fracția 2 –1

9 4

n

n + se poate simplifica.

b) Arătați că nu există numere naturale nenule x, y, z pentru care x2 + y2 = 7 ⋅ (x, z) și x2 + z2 = 7 ⋅ (x, y) .

(am notat cu (a, b) cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a și b). (Gazeta Matematică, 5/2011)

2. Rezolvați în � x � ecuația:

a) 2 –x y = 4 – x2.

b) Să se afle n ∈ ℕ*, știind că fractiile: 2

1

3 2

n

n n

++

și 10

261 sunt echivalente.

(Rodica Coman)

3. Se consideră paralelogramul ABCD și punctele E, F, O, M, P, și N astfel

încât : E ∈ (AB) , F ∈ (AB) , AE = FB = 4

AB, {O} = AC ∩ BD; DE ∩ FC = {M},

MO ∩ AB = {P}; DP ∩ MB = {N} și AB = 12 cm. a) Aflați lungimea segmentului (PE). b) Arătați că patrulaterul MNOE este paralelogram.

c) Dacă BC = AM = 2

AB, arătați că dreptele BD și BC sunt perpendiculare,

iar triunghiul NOE este echilateral. (Artur Bălăucă, Nicolae Sanda)

Clasa a VIII-a

1. Fie x, y numere raționale nenule. Arătați că dacă 5 3

5 3

x y

y x

+

+ este număr

rațional atunci |x| = |y|. (Gazeta Matematica, 5/2011)

2. a) Să se determinare numerele naturale n , pătrate perfecte pentru care

1 + 3 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ … ⋅ ( 22n

+ 1 ) < 22011 . (Maria Sas)

b) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația 4nx + 4ny = 2011, unde n ∈ ℕ . (***)

27

3. Fie cubul ABCDA’B’C’D’ și punctele M și N proiecțiile punctului A pe bisectoarea unghiului ABD’ și, respectiv pe bisectoarea unghiului AB’D’. Arătați că: a) MN ⊥ AC; b) Dreptele AA’ și MN sunt necoplanare; c) Câte plane egal depărtate de punctele M, N, A și A’ există? Justificați.

(Artur Bălăucă , Nicolae Sanda)

Clasa a IX-a

1. Fie ABCDA’B’C’D' un paralipiped dreptunghic în care (A’BC) ⊥ (BC’D) și (A’B’C) ⊥ (ABC’). Arătați că ABCDA’B’C’D’ este cub.

(G.M. 4/2011)

2. Dacă x este un număr real, atunci 27 – x și 5 57 – x nu sunt ambele raționale. (Dumitru Acu) 3. Dacă a, b, x, y, z, t ∈ � şi x + y + z + t = u, atunci

(au + bx)2 + (au + by)2 + (au + bz)2 + (au + bt)2 +1 4

.4 2

a bu

+≥

(D.M. Bătinețu și Nicolae Sanda)

Clasa a X-a

1. Considerăm numerele complexe z1, z2, ..., zn, Re zk > 0, Im zk > 0 pentru orice k ∈ {1, 2, ..., n}.

Să se arate că |z1 + z2 … + zn| ≥ 1

2(|z1| + |z2| + … + |zn|).

(G.M. 6/2011)

2. Să se arate că pentru orice n natural, n ≥ 2, avem că: A sin a1x ⋅ sin a2x ⋅ … ⋅ sin anx + B cos a1x ⋅ cos a2x ⋅ … ⋅ cos anx ≤ max{|A| , |B|} unde a1 , a2 , … an , A, B, x sunt numere reale arbitrare.

(Ancuța Mititean)

3. Fie a1 , a2 , … , an ∈ ( 0 , ∞ )), arătați că ecuatia

1 11 1–

n n

i i i ii ia a x a a x+ += =+ =∑ ∑

cu an + 1 = a1 are o singura solutie. (Dumitru Acu.)

28

Clasa a XI-a

1. Fie șirul (an)≥ 0 definit prin a0 = 0 și 2

21 2 2

1 2 1–

2 1– 2 –

n n

n

n n n

a aa

a a a+

+=

+, an ≥ 0,

(∀) n ∈ ℕ. a) Să se determine an, n ≥ 0, n oarecare, și limita șirului.

b) Să se determine n ∈ ℕ pentru care |an – 1| ≤ 1

2011.

(Constantin Tarnu)

2. Fie a ∈ � și matircea A =

1 0

0 1 –

1

a

a

a a

.

Calculați An, n ∈ ℕ* . (Vasile Negrușeri)

3. Arătați că orice număr prim p, p ≥ 3, nu se poate scrie sub forma x2k + 1 + y2k + 1, x, y ∈ ℕ și k ∈ ℕ*.

(Dumitru Acu)

Clasa a XII – a 1. Fie α ∈ � și (an)n � 1 un șir de numere reale pozitive ce verifică simultan următoarele condiții: i) a1 ∈ (0, 1); ii) 2 2

2 1 2 –1 2 –12 –n n na a a+ = , (∀) n ∈ ℕ*.

iii) 2 –12

2 1

1–

1–n

n

n

aa

aα

+

= , (∀) n ∈ ℕ*.

Determinați α astfel încât șirul (an)n � 1 să fie convergent. (Daniela Burtoiu și Liana Agnola)

2. Calculați: 2

3

( 2 3)sin

( 1)

x x xdx

x

+ ++∫ .

(Monica Sas și Vasile Negrușeri)

3. Folosind literele din MATEMATICA CU DRAG, unde în ordine se acordă 0, 1, 2, … etc. în ordinea apariției, determinați dacă matricea 4 x 4 obținută înșirând aceste valori este inversabilă. Există o altă așezare a acestor numere astfel încât matricea să fie singulară?

(Radu Gologan)

29



EDIŢIA A VII-A, 2012

Clasa a V-a 1. Arătați că pentru orice număr natural nenul n, numărul 21n poate fi scris ca o sumă de trei pătrate perfecte.

(G.M. 9/2012, Supliment)

2. a) Aflați suma cifrelor numărului a, unde a = 24n + 1 · 54n + 5 – 3 (n ∈ �). b) Determinați cifrele numărului: x = 100n – 1013 · 10n, unde n ∈ �, n ≥ 7.

(Maria Sas)

3. Fie numerele naturale de trei cifre, scrise în baza zece, cu proprietatea că numărul format din primele două cifre ale lor este de trei ori mai mare decât numărul format din ultimele două cifre ale acestora.

Aflați numerele și arătați că suma cifrelor acestor numere este 13. (Cătălin Budeanu)

Clasa a VI-a 1. Fie punctele coliniare A0, A1, A2, …, An situate pe dreapta d în această ordine astfel încât: A0A1 = 1 cm, A1A2 = 2 cm, …, An – 1An = n cm. a) Aflați lungimea segmentului A45A99 precum și distanța dintre punctele A0 și M, unde M este mijlocul segmentului [A45A99]. b) Aflați numărul n, dacă lungimea segmentului [A0An] este egală cu 861 cm.

(Nicolae Sanda) 2. Numerele naturale nenule a, b, c îndeplinesc simultan condițiile: i) a + 2b + 3c = 3000, (1) și 9b + c = 1000, (2). ii) a are 16 divizori, b are 8 divizori și c are 4 divizori. Să se demonstreze că a are patru cifre, b are trei cifre și c are două cifre.

(G.M. 9/2012, Supliment) 3. Se consideră mulțimea: A = {x ∈ � / x = abcde , unde a, b, c, d, e sunt cifre distincte pare în baza 10}. Aflați: a) Cardinalul mulțimii B = {x ∈ A / 4 divide x}. b) Mulțimea A ∩ C, unde C = {x ∈ A / x = t2, t ∈ �}.

(Artur Bălăucă)

30

Clasa a VII-a

1. Aflați cardinalul mulțimii A =2 21

, , 1–1

n nx x n n

n

+∈ = ∈ ≠

� � .


2. Numim număr „drag“ un număr natural care are exact 4 divizori naturali. a) Dați un exemplu de trei numere „dragi“ consecutive. b) Să se arate că nu există trei numere „dragi“ consecutive astfel încât primul dintre ele să fie par.

(Cătălin Budeanu)

3. Se consideră patrulaterul convex ABCD, astfel încât AB = AC = AD = CD și m(�ABC) = 80°. Pe latura AB se ia punctul E, cu m(�CEB) = 30°.

Arătați că dreptele DE și BC sunt paralele. (Artur Bălăucă)

Clasa a VIII-a

1. Rezolvați ecuația: 3 3 3 31 2 3 1012

...9 10 11 1020

x x x x+ + + ++ + + + = 1012.


2. Se dă suma: Sn = 1 + ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 1 2 1 2

...1– 1– 1– 1– · 1– ·...· 1–

n

n

aa a

a a a a a a+ + + ,

unde ai ∈ �\{1}, i =1,n .

Determinați numerele întregi ai, i =1,n pentru care S este număr natural.

(Nastasia Chicindean)

3. Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare, punctul M este mijlocul segmen-tului (BC), iar punctele P, Q, R, S, R’ și S’ astfel încât P ∈ (AM), Q ∈ (DM),

BP ∩ AC = {R}, CP ∩ AB = {S}, BQ ∩ CD = {R’} și QC ∩ BD = {S’}.

a) Dacă punctele P și Q sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ∆ABC și, respectiv, ∆BCD, arătați că dreapta PQ este paralelă la planul (ABD). b) Demonstrați că dreptele SS’ și RR’ sunt coplanare.

(Nicolae Sanda)

31

Clasa a IX-a

1. Să se determine cea mai mare valoare a numărului real k pentru care x4 + x2y2 + y4 � k(x + y)4, oricare ar fi x, y ∈ �.

(G.M. 6-7-8/2012)

2. Se consideră triunghiul ABC în care notăm AB = c, AC = b, M mijlocul

lui (BC). Arătați că dacă P este punctul din plan cu 2 2· ·AP b AB c AC= +��

atunci m ( )BAP =m ( )CAP .

(Dumitru Barac)

3. Dacă 0 < a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an și a1 + a2 + … + an � k, atunci 2 2 2 2 21 2 33 5 ... (2 –1) na a a n a k+ + + + ≥ , n ∈ �, n � 1.

(Dumitru Acu)

Clasa a X-a

1. Să se determine termenul general al șirului (an)n � 1 știind că

a1 = 1 și 0!a1 + 1!a2 + ... + (n – 1)!an = 1( –1)! !

2n na a n n+

oricare ar fi n � 1. (G.M. 5/2012)

2. Notăm cu la lungimea bisectoarei din A, cu ha lungimea înălțimii din A și cu r raza cercului înscris în ∆ABC. Arătați că:

1 1 1sin sin

2 2a a

A A

l h r+ = . (Ancuța Mititean)

3. i) Arătați că x3 + y3 + z3 – (x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + y2z) + 3xyz � 0,

∀x, y, z � 0.

ii) Să se arate că numerele reale a, b satisfac relația: x3 + y3 + z3 – a(x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + y2z) + bxyz � 0,

∀x, y, z � 0 dacă și numai dacă există r, s ∈ [0, ∞) astfel încât a = r – 1, b = 3 – 6r + s.

(Dumitru Barac)

32

Clasa a XI-a 1. Să se arate că: A · (A – B) · B = B · (A – B) · A, pentru orice matrice pătratică de ordin 2 cu urme egale.

(G.M. 1/2012)

2. Să se determine funcțiile f : �2 → � care, pentru m, n numere naturale date, îndeplinesc condițiile: a) f (1 , 1) = m + n; b) f (x, y + z) = f (x, y) + nz, oricare ar fi x, y, z ∈ �; c) f (y + z, x) = f (y, x) + mz, oricare ar fi x, y, z ∈ �;

(Monica Sas)

3. Fie șirul (an)n � 1 de numere reale nenule definit prin a1 = 1

6 și

1

1 1–

n na a+

=

= 3(n + 1)(n + 2), oricare ar fi n � 1. Să se arate că:

a1a4 + a2a5 + ... + anan + 3 ≤ 1

600.

(Dumitru Acu)

Clasa a XII-a

1. Considerăm funcția f : � → �, f (x) = xarctgx – 21ln( 1)

2x + .

Să se calculeze f (2012)(0). (G.M. 5/2012)

2. Fie k ∈ �*, X, Y ∈ M2(�) cu proprietatea 2kY

2 = YX – XY. Să se arate că Y

2 = O2. (***)

3. Fie k ∈ �* și a < 1. Calculați:

l(a) = 2 –1

2 2

cos (ln ·cos sin )

cos

k

kx k

x a x xdx

a x

++∫ .

(Nicolae Sanda)

33



EDIŢIA A VIII-A, 2013

Clasa a V-a

1. Găsiți numerele naturale a și b pentru care: 63a3 + 78b2 = 2013. (G.M. 5/2013)

2. Se numește număr „împerecheat“ un număr natural scris în baza zece care are patru cifre și este format din două perechi de cifre egale (exemple: 5577, 7755, 5555, 5757, etc.). a) Găsiți două numere „împerecheate“ care au suma 2011. b) Dacă se așază într-un șir toate numerele „împerecheate“ în ordine crescătoare, aflați primii patru și ultimii patru termeni ai șirului. c) Câte numere „împerecheate“ există? Justificați răspunsul!

(Cătălin Budeanu)

3. Cu 12 chibrituri construim un pătrat 2 × 2 care conține 22 = 4 pătrățele mici (ca în figura alăturată).

Câte chibrituri sunt necesare pentru a construi un pătrat 100 × 100 care să conțină 1002 = 10000 de pătrățele mici? Justificați răspunsul!

(Nicolae Sanda)

Clasa a VI-a 1. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuațiile: a) 5xy + 11z = 55. (Artur Bălăucă)

b) 1 7

6

a

a b+ = . (G.M. 5/2013)

2. Fie șirul de numere naturale 1, 2, 4, 7, 11, 16, … . a) Determinați următorii trei termeni ai șirului. b) Precizați dacă numărul 781 este termen al șirului.

3. a) Să se determine numerele naturale abc care îndeplinesc condiția:

c3 + c2 + c = abc . b) Aflați numerele naturale a și b știind că (a + 1)(a2 + 2a) + b = 213, iar b este număr prim.

34

Clasa a VII-a 1. Determinați m �* astfel încât mm = m! + 232, unde m! = 1 · 2 · 3 · … · m.

(Gazeta Matematică)

2. Determinați cel mai mic număr rational pozitiv r pentru care numerele 28

45· r și

98

75· r sunt ambele naturale.

(Rodica Coman)

3. Se consideră punctele fixe B și C, iar punctul A oarecare (variabil) nesituat pe dreapta BC. În exteriorul triunghiului ABC se construiesc triunghiurile dreptunghice isoscele ACE și ABD cu m(�ADB) = m(�AEC) = 90°.

Arătați că mediatoarele segmentelor (DE) trec printr-un punct fix (prin același punct).

(Artur Bălăucă)

Clasa a VIII-a 1. a) Fie n un număr natural. Determinați n, dacă n + 49 și n – 49 sunt cuburi perfecte.


b) Calculați a = 1 2010 1 2011 · 1 2012 · 1 2013 · 2015+ + + + . (Cătălin Budeanu)

2. Fie numerele reale x, y, z pentru care au loc simultan relațiile:

(i) x + y + z = –a și (ii) xy + yz + zx = 2 4 11

2

a a+ +.

a) Găsiți o relație independentă de „a“ între x, y și z. b) Stabiliți cărui interval de lungime 2, cu extremitățile numere întregi, aparține fiecare dintre numerele x, y, z.

(Cătălin Budeanu)

3. Prin vârfurile A, B, D și E ale hexagonului regulat ABCDEF se consideră respectiv, dreptele a, b, d și e astfel încât a || b || d || e || a. De aceeași parte a planului (ABC) pe dreptele a, b și d se iau respectiv, punctele A’, B’ și D’ astfel încât lungimile segmentelor [AA’], [BB’] și [DD’] exprimate în unități de lungime sunt egale cu: AA’ = 22012 + 22011 + 22010, BB’ = 22013 și DD’ = 22010.

Dacă planul (A’B’D’) intersectează dreapta e în punctul E’, aflați distanța dintre punctele E și E’.

(Artur Bălăucă)

35

Clasa a IX-a

1. Se dă piramida patrulateră regulată TABCD de volum a, a > 0. Să se determine volumul piramidei TABMN, unde M și N sunt puncte situate pe

TC și, respectiv, TD astfel încât 1

3

MC ND

TC TD= = .

(G.M. 1/2013)

2. Să se demonstreze că: 1 3 6 9 2013 2017

· · ·...· 4 7 10 2014 2688672

< < .

(***)

3. Fie p ∈ ℕ; arătați că numărul n4 + (4p + 1)n2 + 4p2 + 4p + 3 nu poate fi scris ca sumă a două numere naturale prime, oricare ar fi numărul natural n.

(Dumitru Acu)

Clasa a X-a

1. Fie x cu proprietatea că numerele x3 + x și x5 + x sunt raționale. Să se arate că x este număr rațional.

(G.M. 6-7-8/2013)

2. Pentru orice număr natural k, să se găsească cel mai mic n natural astfel încât 2k | 9k – 1.

(***)

3. Fie a1, a2, ..., an, n ≥ 2, numere reale pozitive astfel încât 2 2 21 2 ... na a a n+ + + = .

i) Arătați că a1a2...an ≤ 1; ii) 3

1( 1)n

i i ia a=∏ + + ≤ 3n, ∀ n ≥ 2. (Ancuța Mititean)

Clasa a XI-a

1. Fie a1, a2, ..., an > 0, unde n ∈ ℕ, n ≥ 2. Să se arate că: –1 –1 –1

1 2 2 3 1 3 1 2 –1... ... ... ... .n n n

n n n na a a a a a a a a a a a+ + + ≥ + +

Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația:

2013 2013 2013 1 11 2 ... 2014 2014 1 ...

2 2014x x x x

x x

+ + + = + + +

.

(Petre Guțescu)

2. Demonstrați că: 1 1 1

2 2 2

1 1 13

log cos 20 log cos 40 log cos80+ + >° ° °

.

(Dumitru Barac)

36

3. Arătați că pentru orice p întreg toți termenii șirului

a1 = a2 = 1, a3 = 2, an + 3 = 1 2 2 1n n

n

a a p

a

+ + + +, n ≥ 1

sunt numere întregi. (Maria Sas)

Clasa a XII-a

1. Considerăm șirul de numere reale (xn)n � 1 definit prin x1 = 1 sinn + 1 =

=2

1nx n

n n

++ , ∀ n � 1. Să se arate că lim n

nnx

→∞= 1.

(G.M. 9/2013)

2. Calculați: sin sin( 1)sin( 2)sin( 3)

dx

x x x x+ + +∫ , x fiind dintr-un interval în

care numitorul nu se anulează. (Nicolae Sanda)

3. Fie a un număr natural par și nenul. Arătați că pentru orice n ∈ �*

numărul fa(n) = –12 2 1

n n

a a+ + are cel puțin n divizori primi diferiți. (***)

37



EDIŢIA A IX-A, 21-23 NOIEMBRIE 2014

Clasa a V-a 1. a) Scrieți numărul 100 ca o sumă de patru cuburi perfecte. b) Scrieți numărul 1006p + 1 ca o sumă de patru cuburi perfecte, unde p este număr natural.


c) Să se arate că (1 · 2 · 3 · ... · 2014 · 2015)2 > 20152015. (Monica Sas)

2. Fie numărul A = [1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ... + 2012 · 2013 + (2013 · 2014) : 2] : : (12 + 22 + 32 + … + 20122 + 20132). a) Arătați că numărul B = A + 1 + 2 + 22 + … + 22012 + 22013 este pătrat perfect. b) Comparați numerele 100310 cu B.

(Monica Sas)

3. Victor are pe aleea dreaptă din fața casei un pavaj cu pavele în formă de pătrate. Fiecare pavelă este împărțită în 9 pătrate egale, iar pe fiecare pătrățel sunt scrise numere naturale după cum urmează:

1 2 3 9 10 11 8 36 4 16 100 12 …

….

7 6 5 15 14 13 pavela 1 pavela 2 pavela 3 pavela n

a) Aflați suma tuturor numerelor scrise pe primele 20 de pavele. b) Care este numărul scris în centrul pavelei de pe locul al 21-lea? c) Știind că numărul scris în centrul celei de a n-a pavelă din pavaj este 2020, aflați n.

(Artur Bălăucă)

Clasa a VI-a

1. a) Aflați numerele naturale nenule a căror diferență este egală cu câtul lor. (Gazeta Matematică)

b) Determinați numerele naturale prime a, b, c astfel încât numărul A = a4 + b4 + c4 – 3

să fie prim. (***)

38

2. Arătați că numărul zxy scris în baza zece este pătrat perfect dacă

1 9

31

xy

xyz y z

+=

+ +. (Artur Bălăucă)

3. Pe dreapta d se consideră punctele A, O, B cu O (AB). Fie semidreptele (OC și (OD astfel încât m(�COD) = 70°. Dacă semidreptele (OM și (ON sunt bisectoarele unghiurilor �BOD și, respectiv, �AOC, determinați măsura unghiului �MON.

(Nicu Sanda)

Clasa a VII-a

1. a) Determinați numerele naturale abc și x pentru care are loc egalitatea: x3 + ax2 + bx + c = 2014.


b) Arătați că 1 +1 1 1 1

...2 3 2013 2014+ + + + ∉ �.

2. a) Dacă b � și a �, iar inversul numărului a – b este a + b, să se arate că |a| = 1. b) Fie șirul de numere naturale 7, 77, 777, 7777, … scrise în baza zece. Să se arate că printre primii 2011 termeni ai șirului există cel puțin unul divizibil cu 2011.

(Nicu Sanda)

3. Se dă triunghiul ABC cu m(�ACB) = 30° și m(�BAC) = 110°. Pe latura (BC) a triunghiului se consideră punctul D astfel încât m(�DAC) = 50°.

Arătați că (AB) ≡ (CD). (Artur Bălăucă)

Clasa a VIII-a

1. a) Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuația x3 – 3xy + y3 = 9. (Gazeta Matematică)

b) Fie șirul a1 =20 1a + , a2 =

21 1a + , …, an + 1 =

2 1na + , … oricare ar fi

n �*. Dacă a0 �*, a0 fixat, arătați că șirul conține o infinitate de termeni iraționali.

2. a) Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale prime și distincte două câte două ecuația x2 + y2 + z2 + t2 = 1420. b) Câte soluții are ecuația?

(Artur Bălăucă)

39

3. Se dau trei drepte concurente și necoplanare a, b, c care intersectează trei plane paralele α1, α2 și α3. a) Să se arate că punctele de intersecție ale dreptelor a, b, c cu planele α1, α2 și α3 formează în fiecare plan un triunghi, iar cele trei triunghiuri sunt asemenea. b) Să se arate că centrele cercurilor circumscrise celor trei triunghiuri de la a) sunt coliniare.

(Nicu Sanda)

Clasa a IX-a

1. Să se determine numerele naturale a și b astfel încât E(a, b) = a2 · 23k – 2 + 9b să se dividă cu 7, oricare ar fi k ≥ 1, număr natural.

(G.M. 5/2014)

2. Fie triunghiul ABC dreptunghic în A cu AB = 3 și AC = 5 și punctele

R, S ∈ BC astfel încât 2 4

, 7 9

BR BC BS BC= =��

, apoi P ∈ (AR și Q ∈ (AS

astfel încât AP = 132 și AQ = 10. Demonstrați că PQ ⊥ AB. (Romanița și Ioan Ghiță)

3. Să se rezolve sistemul

[ ] { } [ ] { } 0,16

4 [ ] 4 { } 4[ ] { } 1

[ ] { } [ ] { } 0.49.

a a c c b b

b b a a c c

c c b b a a

⋅ + ⋅ − ⋅ =

⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ =

(unde [x], {x} reprezintă partea întreagă, respectiv, partea fracționară a numărului real x.)


Clasa a X-a 1. Fie numerele reale strict pozitive x și y astfel încât x5 + y5 = x – y. Să se arate că x4 + 11y4 < 1.

(G.M. 3/2014)

2. Pentru orice p ∈ �* se definesc mulțimile Ap={cos(pn π2 ) | n ∈ �*}. a) Demonstrați că Ap este finită, pentru orice p ∈ �

*. b) Determinați mulțimea A38 ∩ A53.

(Romanița și Ioan Ghiță)

3. Fie a și b numerele reale, iar f : � → �,

f (x) = (x – a)(x – a – b)(x – a – b – 1)(x – a – 2b – 1) + 2 2( 1)

14

b b ++

i) Arătați că f (x) > 0, pentru orice x real; ii) Aflați minimul lui f . (Dumitru Acu)

40

Clasa a XI-a

1. Să se determine numerele reale x, y, z, t pentru care xxtt =+ 22 , yyxx =+ 22 , zzyy =+ 22 , ttzz =+ 22 .

(G.M. 6-7-8/2014)

2. Se consideră matricea cos

Asin

αβ

= −

sin

cos

βα, ∈βα , �.

a) Să se determine A ,n n∈�*.

b) Să se determine ∈βα , � astfel încât An =

− )sin(

)cos(

βαn

n

)cos(

)sin(

αβn

n,

pentru orice ∈n �*. (Romanița și Ioan Ghiță)

3. Considerăm următoarele ,3, ≥kk șiruri (x1,n), (x2,n), … , (xk,n) care au termenii inițiali pozitivi, iar pentru 1≥n avem:

x1, n+1 = x2, n + x

1

n 3,

, x1, n+1 = x3, n + 4,

1

nx,

...

Xk-2, n+1 = xk-1, n + x

1

n k,

, xk-1, n+1 = xk-1, n + 1,

1

nx, xk, n+1 = x1, n +

2,

1

nx.

Arătați că: a) niciunul din șiruri nu este mărginit. b) cel puțin unul dintre termenii 2 2 21,2 2,2 ,2

, ,...,k k k k

x x x este mai mare ca 2k.

(Dumitru Acu)

Clasa a XII-a

1. Să se determine funcțiile derivabile :, gf � → � care au proprietatea ca funcția gf 3+ este o primitivă a funcției gf +2 și funcția gf 65 − este o primitivă a funcției gf 210 + .

(G.M. 6-7-8/2014)

2. Să se determine primitivele funcției →∞),0(:f � 2 4

2 3 72 4

2 4( ) ln(1 ... )

1 1 1

x x xf x x x x x

x x x= + + + + + + + +

+ + +.

(Romanița și Ioan Ghiță)

3. Se consideră matricea A ∈ M2(�) cu det A = 1. Să se arate că 2 2

2 2det(A I ) det(A 2A I ) 8+ + + − = . (***)

41



EDIŢIA A X-A, 21 NOIEMBRIE 2015

Clasa a V-a 1. Putem pava complet o tablă de dimensiuni 6 × 6 cu piese de tipul alăturat fără ca piesele să se suprapună sau să iasă în afara tablei? Pătrăţelele piesei au latura 1.

Justificaţi! (Gazeta Matematică)

2. a) Sunt doi saci cu nuci, unul conține 2000 de nuci iar celălalt 2015 nuci.

Ionel și Gigel joacă următorul joc: iau pe rând numai dintr-un sac oricâte nuci consideră. Pierde cel care nu mai are ce lua.

Ce strategie poate aplica Ionel care începe jocul, pentru a câștiga? Justificați!

b) Comparați numerele: 19991000 cu 10001999. Justificați! (Artur Bălăucă)

3. Numerele naturale de patru cifre abcd au proprietatea a · c + b · d = 7. Determinați:

a) Câte numere există cu proprietatea dată? b) Care este cel mai mic număr? Dar cel mai mare? c) Scrieți numerele care îndeplinesc și condiția a > b > c > d. Justificați!

(Artur Bălăuică)

Clasa a VI-a

1. a) Să se determine numerele abcd știind că 1998 divide numărul dcbadcba . (Nastasia Chiciudean)

b) Stabiliți valoarea logică a propoziției: [a, b] + (a, b) ≥ a + b, unde a, b ∈ �*. Justificaţi!

2. Un număr natural de patru cifre scris în baza zece de forma abcd , se

numește util dacă abcd = d · ef · fe , unde numerele d, ef și fe sunt numere prime. a) 2015 este număr util? b) Determinați toate numerele utile. Justificaţi!

(Artur Bălăucă)

42

3. a) Există 7 puncte distincte două câte două care să determine exact 10 drepte? b) Se consideră 12 puncte distincte două câte două din care câteva sunt situate pe dreapta d, iar oricare trei dintre celelalte puncte sunt necoliniare.

Câte puncte se află pe dreapta d, știind că cele 12 puncte determină exact 57 de drepte? Justificați!

(Cătălin Budeanu)

Clasa a VII-a 1. a) Fie a, b, c trei numere naturale impare. Arătați că cel puțin două dintre numerele a4, b4, c4 au suma sau diferența multiplu al lui 10.


b) Se consideră în plan 2016 puncte. Să se arate că există o dreaptă cu proprietatea că în semiplanele determinate de aceasta se află exact câte 1008 puncte.

(Nicu Sanda)

2. Aflați numerele naturale a, b, c pentru care a! = b! + 5 · c! (0! = 1 și n! = 1 · 2 · … · n unde n ∈ �*).

(Andrei Eckstein)

3. Se consideră triunghiul isoscel ABC ((AB) ≡ (AC)) cu m(�BAC) = 30°. Fie punctul D situat în semiplanul mărginit de dreapta BC care nu conține

punctul A, astfel încât m(�CBD) = 45°. Pe semidreapta (BC se ia punctul E astfel încât (BE) ≡ (BD) ≡ (AC).

Determinați: a) măsura unghiului �CAE; b) măsurile unghiurilor patrulaterului ABDE. (Monica Sas)

Clasa a VIII-a 1. a) Fie x, y, z numere reale. Arătați că:

(x2 + 1)(y2 + 1)(z2 + 1) + 8 ≥ 2(x + 1)(y + 1)(z + 1). (Gazeta Matematică)

b) Arătați că x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0, ∀x ∈ �.

2. Se dau mulțimile:

A = 2 2– 4

; , ( )

a ab bx x a b

ab a b

+∈ = ∈

+ � �* și

B = 3 3

y ; , ( – )

a by a b

ab a b

+∈ = ∈

� �* .

Determinați mulțimea A ∪ B. (Artur Bălăucă)

43

3. Se consideră patru puncte necoplanare cu proprietatea că AC + BD = CD. Fie E intersecția bisectoarei unghiului �ACD cu dreapta AD, K proiecția lui B pe bisectoarea unghiului �BDC și {F} = CK ∩ BD.

Arătați că EF || (ABC). (Gazeta Matematică)

Clasa a IX-a

1. Fie punctele M, N, P pe laturile (AB), (BC) respectiv (CA) ale triunghiului

ABC şi R ∈ (MN), S ∈ (NP) astfel încât AM ABλ=��

, BN BCλ=��

, CP CAλ=��

şi (1– )MR MNλ=��

, (1– )NS NPλ=��

, cu λ ∈ (0, 1). Dreapta RS intersectează laturile (AB) şi (AC) ale triunghiului ABC în punctele E, respectiv F.

Demonstraţi că: a) RS este paralelă cu BC. b) ER = SF. (GMB)

2. Rezolvaţi ecuaţia 2015 ori

||| . . . | x - 1| - 1 | -1 | - . . . -1| = 1

(Andrei Eckstein)

3. Să se găsească toate numerele reale ce verifică relaţia {x} = {x2} = {x3}

(Cu {a} s-a notat partea fracţionară a numărului real a). (Radu Gologan)

Clasa a X-a

1. Fie a, b, c numere complexe cu proprietatea că |a + 2b – 3c| = |a – 4b +3c|. Arătaţi că a, b, c sunt afixele unui triunghi dreptunghic.

(Marius Mainea)

2. Determinaţi numărul funcţiilor f : {1, 2, …, n} → {1, 2, …, n}, crescătoare, cu Card (Im f) = 2 și f ο f = f.

(Radu Gologan)

3. Fie n un număr natural, n � 2. Arătaţi că există o infinitate de n-upluri de numere naturale distincte, având proprietatea că pentru orice p ∈ {2, 3, . . . , n} orice sumă formată cu p elemente din n – uplu, nu neapărat distincte, divide produsul elementelor mulţimii.

(GMB)

44

Clasa a XI-a

1. Fie σ o permutare de ordinul n, f (σ) = 1

( ) –n

k

k kσ=∑ .

Calculați S = ( )nS

fσ

σ∈∑ .

(Marius Mainea)

2. Se consideră şirul (xn)n�1 definit prin x1 = 1 şi xn + 1 =4

n

n

xx

+ pentru

n � 1. a) Arătaţi că şirul este convergent la 4.

b) Arătaţi că x4 – 4 <1

1000.

(Radu Gologan)

3. Fie matricele inversabile A, B ∈ M2(�) care comută şi fie a > 0 astfel încât det(A2 – aB2) > (a detB – detA)2.

Arătaţi că det(AB – B2) � 0. (GMB)

Clasa a XII-a

1. Fie F primitiva funcţiei f : � → � dată de f (x) =2xe cu F (0) = 0.

Arătaţi că F (3) > 225. (R. Gologan)

2. Fie (G, ·) un grup cu element neutru e, în care există un element a astfel încât x2018 = (ax)2016 pentru orice x ∈ G. Arătaţi că: a) x2 = e pentru orice x ∈ G. b) G este abelian.

(GMB)

3. a) Fie f : � → � o funcţie ce verifică relaţia f (x)2015 + f (x) – x = 0 pentru orice x ∈ �. Demonstraţi că f are primitive. b) Arătaţi că o funcţie ce verifică relaţia f (x)2015 – f (x) – x = 0 nu poate avea primitive.

(Vlad Cerbu-Mihai Piticari)

Documents

matematica, de drag