Matemática Discreta 1 Curso 2007 Prof. Eduardo A. Canale [email protected]

Matemática Discreta 1Matemática Discreta 1

Curso 2007Curso 2007

Prof. Eduardo A. CanaleProf. Eduardo A. [email protected]@fing.edu.uy

[email protected]@fing.edu.uy

Información útilInformación útil

Web: Web: http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/ Web antigua: Web antigua:

www.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/principal.htwww.fing.edu.uy/~webimerl/discreta1/principal.htmm

Bibliografía: Bibliografía: Matemáticas Discreta y Combinatoria Matemáticas Discreta y Combinatoria

de R. P. de R. P. GrimaldiGrimaldi..

Elementos de Matemáticas discretasElementos de Matemáticas discretas de de C. L. Liu. C. L. Liu.

http://imerl.fing.edu.uy/matdisc1/


TeóricoTeórico

Lunes 13:30 a 15:00 Salón A01 Lunes 13:30 a 15:00 Salón A01 Jueves de 13:00 a 14:30 Salón A11Jueves de 13:00 a 14:30 Salón A11

Coordinador del curso : Coordinador del curso :

Nancy Guelman Nancy Guelman [email protected]@fing.edu.uy.


PrácticosPrácticos

Iguales a los de la año pasado (WEB)Iguales a los de la año pasado (WEB) Prácticos:Prácticos: G4G4 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 103 con Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 103 con

Sebastián SensaleSebastián Sensale G5G5 Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 014 y 401 con Mi y Vi 17:00 a 18:30 Salón 014 y 401 con

Andrés CorezAndrés Corez G6G6 Mi y Vi 15:30 a 17:00 103 y 101 con Mi y Vi 15:30 a 17:00 103 y 101 con

Sebastián SensaleSebastián Sensale


Temas del cursoTemas del curso

CombinatoriaCombinatoria Relaciones Relaciones GrafosGrafos


Aprobación del cursoAprobación del curso

Combinatoria, (1Combinatoria, (1erer Parcial) 40 ptos Parcial) 40 ptos RelacionesRelaciones GrafosGrafos

Exoneración: 60 puntosExoneración: 60 puntos

2do parcial 60 ptos


CombinatoriaCombinatoria

Técnicas básicas de conteoTécnicas básicas de conteo Inducción completaInducción completa Principio de Inclusión-exclusiónPrincipio de Inclusión-exclusión Principio del palomarPrincipio del palomar Relaciones de recurrenciaRelaciones de recurrencia Funciones generatrices Funciones generatrices



Técnicas básicas de conteo Técnicas básicas de conteo (Grimaldi Cap 1)(Grimaldi Cap 1) Reglas de la suma y el producto (Reglas de la suma y el producto (1.11.1)) Arreglos con y sin repeticiónArreglos con y sin repetición ((1.21.2)) Permutaciones con y sin repetición (Permutaciones con y sin repetición (1.21.2)) Combinaciones sin repetición (Combinaciones sin repetición (1.31.3)) Teorema del binomio (Teorema del binomio (1.31.3)) Combinaciones con repetición (Combinaciones con repetición (1.41.4))



¿Qué es la combinatoria? ¿Qué es la combinatoria?

¿Qué problemas trata de resolver?¿Qué problemas trata de resolver?

¿Para qué sirve?¿Para qué sirve?

¿Cuándo surgió?¿Cuándo surgió?



¿Qué es la combinatoria? ¿Qué es la combinatoria?

Del lat. Del lat. combinārecombināre = com binare = com binare

Com = unirCom = unir

Binare= dos cosas.Binare= dos cosas.

Unir dos o más cosas para formar un Unir dos o más cosas para formar un nuevo objeto.nuevo objeto.



Combinación de objetos:Combinación de objetos: ¿Se puede?¿Se puede? ¿Cómo?¿Cómo? ¿Cuánto?¿Cuánto? PropiedadesPropiedades



Combinación de objetos:Combinación de objetos: ¿Se puede? ¿Se puede? Existencia Existencia ¿Cómo? ¿Cómo? Algoritmos Algoritmos ¿Cuánto? ¿Cuánto? Conteo Conteo Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos)Propiedades: Estudio cualitativo (Grafos)


Técnicas básicas de conteoTécnicas básicas de conteo

Regla del productoRegla del producto::

Si para formar los objetos en el Si para formar los objetos en el 11er er paso tenemospaso tenemos mm posibles posibles salidas y en el segundo salidas y en el segundo nn posibles salidas independientes posibles salidas independientes del paso anterior el total de del paso anterior el total de objetos formados será objetos formados será mm nn


Técnicas básicas de conteoTécnicas básicas de conteo

Regla del productoRegla del producto Arreglos con repetición ARArreglos con repetición ARmm

n n = m= mnn

Arreglos sin repetición AArreglos sin repetición Ammn n = = m(m-1)…(m-m(m-1)…(m-

n+1)n+1) Permutaciones (sin repetición): APermutaciones (sin repetición): Amm

mm = m! = m!

Arreglos con repeticiónArreglos con repetición


Libros de matemáticaLibros de matemática

http://bibliotecabochini.netfirms.com/http://bibliotecabochini.netfirms.com/informacion.htminformacion.htm


Permutaciones con Permutaciones con repeticiónrepetición

Ejemplo:Ejemplo:1.1. aab, aba, baaaab, aba, baa

Son 3 en lugar de 3! = 6.Son 3 en lugar de 3! = 6.

2.2. aabc, aacb, abac, abca, acab, acba, aabc, aacb, abac, abca, acab, acba, baac, baca, bcaa,baac, baca, bcaa,caab, caba, cbaacaab, caba, cbaa

Son 12 en lugar de 4! = 24.Son 12 en lugar de 4! = 24.



Regla general: Regla general: la cantidad de permutaciones la cantidad de permutaciones de una palabra de una palabra aaaabbbbcccc…aaaabbbbcccc… es igual a es igual a

Donde Donde nn11, n, n22, n, n33… es la cantida de … es la cantida de aa’s, ’s, bb’s, ’s, cc’s, etc’s, etc

Obviamnete Obviamnete nn1 1 + + nn2 2 + + nn3 3 + … + … nnkk = = nn..

!!...!

!

21 knnn

n



Ejemplo: Tableros de ta-te-tiEjemplo: Tableros de ta-te-ti



Ejemplo: Tableros de ta-te-tiEjemplo: Tableros de ta-te-ti



¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay?¿Cuántos tableros de ta-te-ti hay?

aab

c c

cc c c

aab

c c

cc c

aab

c

c

c cb b

a




a

ab

c c

c

c c c

a

ab

c c

c

c c

a

ab

c

c

c cb b

a

acccbaccc acccbabcc acacbabcc




acccbaccc acccbabcc acacbabcc

9!/(2!1!6!)=9x8x7/2=252

9!/(2!2!5!)=9x8x7x6/4= 756

9!/(3!2!4!)=9x8x7x6x5/12=1260



El total se obtiene sumando los El total se obtiene sumando los totales parciales. totales parciales.

Hemos aplicado la Hemos aplicado la Regla de la sumaRegla de la suma que dice así: que dice así: si los objetos que quiero si los objetos que quiero contar los puedo dividir en dos ( o contar los puedo dividir en dos ( o más) tipos distinto, basta contar más) tipos distinto, basta contar cuantos de cada tipo hay y sumar los cuantos de cada tipo hay y sumar los resultados.resultados.


¿Estamos contando de más?¿Estamos contando de más?

¿Son iguales?¿Son iguales?


SimetríasSimetrías

Suele dar lugar a problemas difícilesSuele dar lugar a problemas difíciles Teoría de Redfield y PolyaTeoría de Redfield y Polya: ver por : ver por

ejemplo Grimaldi 16.9 a 16.11 ejemplo Grimaldi 16.9 a 16.11 involucra involucra teoría de gruposteoría de grupos (Discreta (Discreta 2) y 2) y funciones generatricesfunciones generatrices

Casos sencillos: permutaciones Casos sencillos: permutaciones circulares, combinacionescirculares, combinaciones


Permutaciones circularesPermutaciones circulares

Ejemplo: tengo cuatro personas a, b, c y dEjemplo: tengo cuatro personas a, b, c y d ¿Cuántas formas hay de ubicarlas en una ¿Cuántas formas hay de ubicarlas en una

mesa circular?mesa circular? Sea “Sea “xx” dicha cantidad” dicha cantidad

a

b

c

d a

d

c

b

a

b

c

d



Paso 1 : elijo una de las Paso 1 : elijo una de las x x permutaciones circulares permutaciones circulares Paso 2: la giro de 4 formas posiblesPaso 2: la giro de 4 formas posibles Obtengo: todas las Obtengo: todas las 4!4! Permutaciones Permutaciones (regla del producto(regla del producto) ) xx4=P=4!4=P=4! xx = 4!/4 = 3!= 4!/4 = 3!

a

b

c

d = a

b

c

d

=

a

b

c

d



En general si tengo n símbolosEn general si tengo n símbolos Hay n giros posibles Hay n giros posibles x x n = n! n = n! De donde De donde xx = = n!/n n!/n = = ((n-1n-1)!)! ¡Qué formula más sencilla!¡Qué formula más sencilla! ¿Habrá otra forma de pensarla ¿Habrá otra forma de pensarla

directamente que de ese resultado?directamente que de ese resultado?



Otra forma de pensarloOtra forma de pensarlo Fijo a arriba y permuto las otras Fijo a arriba y permuto las otras ((nn-1)-1)

a

b

c

d

a

b

d

c …

a

c

b d


SimetríasSimetrías

La combinatoria involucra: La combinatoria involucra: ObjetosObjetos: generalmente cantidad finita : generalmente cantidad finita

de tiposde tipos Forma de combinarlosForma de combinarlos: geometría : geometría

(lineal, circular, cuadrada, etc)(lineal, circular, cuadrada, etc) SimetríaSimetría: asociada (a la geometría) o : asociada (a la geometría) o ad ad

hoc.hoc.


CombinacionesCombinaciones (sin repetición) (sin repetición)

Otra simetría sencilla: Otra simetría sencilla: toda permutacióntoda permutación da da lugar a objetos equivalentes = “lugar a objetos equivalentes = “no importa no importa el ordenel orden””

Ejemplo: Arreglos de 4 en 3.Ejemplo: Arreglos de 4 en 3. Objetos: a, b, c, dObjetos: a, b, c, d acd =acd = adc =adc = dac = etcdac = etc ¿Cuántos tenemos?¿Cuántos tenemos? 3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca3! = 6: acd = adc = cad = cda = dac = dca


CombinacionesCombinaciones

Permutando las combinaciones Permutando las combinaciones obtenemos los arreglos, por lo tanto obtenemos los arreglos, por lo tanto (regla del producto)(regla del producto)

CCnnmm n n!! = = AAnn

mm

CCnnmm= = AAnn

mm/ n/ n! =! =

mm!!

((mm--nn)! )! nn!!


Combinaciones con Combinaciones con repeticiónrepetición

Ejemplo: ¿De cuántas formas puedo Ejemplo: ¿De cuántas formas puedo pedir una media docena de pedir una media docena de biscochos?biscochos?

Supongamos cuatro tipos: a, b, c, dSupongamos cuatro tipos: a, b, c, d ¿Importa el orden? ¿Importa el orden? Ejemplos: aaabbb, aabbcc, etcEjemplos: aaabbb, aabbcc, etc



aaabbb aaabbb = 3 a y 3 b, 0 c, 0 d= 3 a y 3 b, 0 c, 0 d aabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 daabbcc = 2 a, 2 b y 2 c, 0 d 3 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 03 a y 3 b = a xxx, b xxx, c 0, d, 0 2 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 02 a, 2 b y 2 c = a xx, b xx, c xx, d 0 aaabbb = xxx|xxx||aaabbb = xxx|xxx|| aabbcc = xx|xx|xx|aabbcc = xx|xx|xx| ¿abbcdd?¿abbcdd? x|xx|x|xxx|xx|x|xx



aaabbb = xxx|xxx||aaabbb = xxx|xxx|| aabbcc = xx|xx|xx|aabbcc = xx|xx|xx| abbcdd =x|xx|x|xxabbcdd =x|xx|x|xx 11eroero) siempre hay 6 “x” y 3 “|”) siempre hay 6 “x” y 3 “|” 22dodo ) cualquier permutación de 6x y 3 ) cualquier permutación de 6x y 3

| da lugar a una elección distinta| da lugar a una elección distinta ¿Cuántas hay? ¿Cuántas hay?



¿Cuántas hay? Permutaciones con ¿Cuántas hay? Permutaciones con repetición de 6+3 letras con 6 y repetición de 6+3 letras con 6 y 3repetidas = 3repetidas = (6+3)!/(6!3!) = C(6+3)!/(6!3!) = C99

33

En general para En general para CRCRmmnn son son nn “x” y “x” y m-1m-1

“|”“|” Total:Total:

n!(m-1)!= Cn

n+m-1(n+m-1)!


ResumenResumen

RepeticiónRepetición

OrdenOrdenSISI NONO

SISI ARARmmnn AAmm

nn

NONO CRCRmmnn CCmm

nn


ResumenResumen

RepeticiónRepetición

OrdenOrdenSISI NONO

SISI ARARmmn n = m= mnn AAmm

n n ==

NONO CRCRmmnn = C = Cm+n-1m+n-1

nn CCmmnn = =

!)!(

!

nnm

m

!)!(

!

nnm

m


Otra forma de ver las cosasOtra forma de ver las cosas

Combinaciones con repetición de 4 Combinaciones con repetición de 4 en 6en 6

aaabbb = xxx|xxx|| = aaabbb = xxx|xxx|| = 3+3+0+03+3+0+0 Distribución de objetos en cajas: Distribución de objetos en cajas:

objetos y cajas distinguibles o no.objetos y cajas distinguibles o no. Pueden haber cajas vacías o no.Pueden haber cajas vacías o no.


Distribución de objetos en Distribución de objetos en cajascajas

Objetos Objetos

DistiguiblesDistiguibles

Cajas Cajas DistinguiblesDistinguibles

SISI NONO

SISI ? (fácil)? (fácil) CRCRmmnn

NONO ?(no tanto)?(no tanto) ?(difícil)?(difícil)


Otra forma de ver las cosasOtra forma de ver las cosas

Fórmula del Binomio:Fórmula del Binomio:

Por esta razón a los coeficientes CPor esta razón a los coeficientes Cnnii también se los también se los

llama coeficientes binomiales. Se los suele llama coeficientes binomiales. Se los suele denotar de la siguiente formadenotar de la siguiente forma

n

i

inini

n baCba0

)(

i

n


Fórmula del BinomioFórmula del Binomio

Demostración combinatoriaDemostración combinatoria (a+b)(a+b)22 = (a+b) (a+b)= = (a+b) (a+b)= (a(a11+b+b11) (a) (a22+b+b22) =) = (a(a11+b+b11) a) a22+ (a+ (a11+b+b11) b) b22== aa1 1 aa2 2 +b+b11 a a22+ a+ a11bb2 2 +b+b11bb22

(a+b)(a+b)33 = (a = (a11+b+b11) (a) (a22+b+b22) (a) (a33+b+b33)=)= (a(a1 1 aa2 2 +b+b11 a a22+ a+ a11bb2 2 +b+b11bb22) (a) (a33+b+b33)=)= aa1 1 aa22aa3 3 +b+b11 a a22aa33+ a+ a11bb22aa3 3 +…+… + a+ a11bb22bb3 3 + b+ b11bb22bb33



Demostración combinatoriaDemostración combinatoria aa1 1 aa22aa3 3 +b+b11 a a22aa33+ a+ a11bb22aa3 3 +…+… + a+ a11bb22bb3 3 + b+ b11bb22bb33

Vemos que por cada término comienza con una Vemos que por cada término comienza con una aa11 o una b o una b1 1 sigue con asigue con a22 o b o b2 2 y termina con ay termina con a33 o b o b33. . Entonces podemos pensar que los términos se Entonces podemos pensar que los términos se construyen en un proceso de tres pasos: construyen en un proceso de tres pasos:

Paso 1 Elijo una de las letras del 1Paso 1 Elijo una de las letras del 1erer factor (a factor (a11+b+b11)) Paso 2 Elijo una de las letras del 2Paso 2 Elijo una de las letras del 2dodo factor (a factor (a22+b+b22)) Paso 3 Elijo una de las letras del 3Paso 3 Elijo una de las letras del 3erer factor (a factor (a33+b+b33))



Por otro lado los términos finales se obtiene al borrar Por otro lado los términos finales se obtiene al borrar los índices y juntar los términos iguales. En el los índices y juntar los términos iguales. En el ejemplo:ejemplo:

aaaaaa +baa+ aba+baa+ aba +…+… + abb+ abb + bbb = a+ bbb = a33+3a+3a22b+3abb+3ab22+b+b33

¿De donde sale el “3” de “a¿De donde sale el “3” de “a22b” ?b” ? De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos De juntar aab+aba+baa, es decir de elegir en dos

pasos “a” y en el otro “b”.pasos “a” y en el otro “b”. ¿De cuantas formas se pueden elegir 2 “a”?¿De cuantas formas se pueden elegir 2 “a”? Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir Tengo 3 factores, debo elegir 2 de donde elegir

dichas “a”, como no importa el orden en que elija dichas “a”, como no importa el orden en que elija dichos dos factores, tengo Cdichos dos factores, tengo C33

22 formas de hacerlo. formas de hacerlo.



En general (a+b)En general (a+b)nn = = ii a aiibbn-in-i Donde Donde ii será todas las formas de será todas las formas de

elegir en i pasos la letra “a”, es decir elegir en i pasos la letra “a”, es decir elegir i factores de entre n: Celegir i factores de entre n: Cnn

ii. .


Algunas ConsecuenciasAlgunas Consecuencias

Ejemplo 1: (1+x)Ejemplo 1: (1+x)nn = = CCnnii 11iixxn-in-i= = CCnn

ii xxn-in-i

=(x+1)=(x+1)nn = = CCnnii xxii11n-in-i= = CCnn

ii xxii

Por lo tanto: CPor lo tanto: Cnnii = C = Cnn

n-in-i

Ejemplo 2: Ejemplo 2:

0= (-1+1)0= (-1+1)nn = = CCnnii (-1)(-1)ii11n-in-i= = CCnn

ii (-1)(-1)ii

Ejemplo 3: Ejemplo 3: 2 2n n = (1+1)= (1+1)nn = = CCnn

ii (1)(1)ii11n-in-i= = CCnn

ii

Este ejemplo además nos da una cota Este ejemplo además nos da una cota (grosera) de los coeficientes binomiales.(grosera) de los coeficientes binomiales.

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