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Logica
Veronica Gavagna
Il linguaggio comune
Ambiguità
• Nel mio giardino ci sono gigli e garofani bianchi.
• Direttore, Luca se la spassa con sua moglie
• Gli uomini e le donne che hanno compiuto il 25° anno di età.
• La vecchia porta la sbarra.
• L’accoglienza di Gianni è stata festosa.
Il linguaggio comune
Contestualizzazione
• Luigi ha tagliato la corda.
• Ho visitato Roma con una guida.
• Oggi Mario non è tornato a casa ubriaco
• L’auto di Gianni è bella e veloce/ L’auto di Gianni è bianca e rossa
Scuola primaria
…L’educazione logica, più che oggetto di insegnamento esplicito e formalizzato, deve essere argomento di riflessione e di cura continua dell’insegnante…
Bisogna prestare attenzione continua al linguaggio.
Logica degli enunciati («livello adulto»)
Definizione di enunciato o proposizione
(1)Affermazione della quale ha senso chiedersi se sia vera o falsa in un determinato universo linguistico.
(2)Affermazione della quale si può dire se sia vera o se sia falsa (più restrittiva) in un determinato universo linguistico.
Sono enunciati (atomici)?
• Aldo ha un nome di 4 lettere.
• Dante Alighieri è un noto cantautore.
• Ferrara è una città dell’Emilia-Romagna.
• Addiziona 5 e 3.
• Stai dormendo?
• 2+2=4
• Franco e Roberto sono fratelli.
Sono enunciati?
• Gabriella è simpatica
• n è un numero pari
• Il gatto ha gli stivali
Si tratta di forme proposizionali o proposizioni aperte o predicati.
Sono enunciati?
• La democrazia è il miglior sistema politico esistente
• Bere vino fa bene alla salute.
• Omero è l’autore dell’Iliade.
Principio di bivalenza (logica classica)
A un enunciato possiamo associare i soli valori di verità: VERO / FALSO
Gioco del vero e del falso R.Smullyan, Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli Bologna 1981
In un’isola esistono i CAVALIERI che dicono sempre la verità e i FURFANTI che non la dicono mai. Un esploratore sbarca sull’isola e chiede al primo che incontra:
«Tu sei un cavaliere?»
E’ una buona domanda? E se chiedesse «Tu sei un furfante?» otterrebbe informazioni diverse?
Smullyan - 2
• A e B sono due abitanti dell’isola. A dichiara: «B è un furfante». B aggiunge «Siamo tutti e due cavalieri». Cosa sono A e B?
• Prima ipotesi: A cav, B furf : compatibile
• Seconda ipotesi: A furf B cav: incompatibile
Smullyan - 3
A dice: «Siamo due furfanti». Cosa sono A e B?
- A cav. : incompatibile
- A furf. B cav.: compatibile
A afferma «Io sono un furfante»
- A cav: incompatibile
- A furf. incompatibile
I connettivi
E’ un particolare elemento linguistico che collega due proposizioni.
Qualora si considerino due o più proposizioni legate da connettivi, si ottiene ancora una proposizione.
Il valore di verità di una proposizione composta dipende dal valore di verità delle proposizioni componenti (verofunzionalità).
Il connettivo e (congiunzione)
Roma è la capitale d’Italia e 4 è minore di 2
a) Vera
b) Falsa
c) Metà vera e metà falsa
d) Né vera né falsa
e) Priva di senso
Il connettivo e
Se sarai promosso ti regalerò il pallone e un videogioco.
Se regalo solo il pallone ho mantenuto la promessa?
Il connettivo e
Una proposizione è vera se e solo se sono vere le proposizioni che la compongono.
[Roma è la capitale d’Italia] e [4 è minore di 2]
A=[Roma è la capitale d’Italia] VERA
B =[4 è minore di 2] FALSA
A e B FALSA
Tabella di verità del connettivo e
A
B
A e B (A ᴧ B)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Attenzione!
Nel linguaggio naturale la congiunzione e non ha sempre lo stesso significato che ha in logica.
La maglia dell’Inter è azzura e nera
NON SIGNIFICA
La maglia dell’Inter è azzurra e la maglia dell’Inter è nera
Esempi
Roma è in Italia e 3 è un numero primo
Roma e Livorno sono in Italia
Paolo e Francesca sono fidanzati.
10 è un numero pari, ma non è un multiplo di 4
Il connettivo o (disgiunzione)
In logica ha il significato di doppia possibilità, non di alternativa (o inclusivo).
Nel linguaggio comune
1. Possono salire in ascensore i bambini maggiori di 12 anni o accompagnati da un adulto.
2. Domani arrivi puntuale o ti licenzio.
3. O si mangia o si dorme.
Il connettivo o
Una proposizione formata da proposizioni collegate da disgiunzioni è vera se almeno una delle proposizioni è vera.
[Roma è la capitale d’Italia] o [4 è minore di 2]
A=[Roma è la capitale d’Italia] VERA
B =[4 è minore di 2] FALSA
A o B VERA
Tabella di verità del connettivo o
A
B
A e B (A v B)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Torniamo ai furfanti…
X dice: «Io sono un furfante e 3+3=9» Cosa è X?
[Io sono un furfante] e [3+3=9]
B è sempre falsa: A e B è sempre falso, dunque X è un furfante
La negazione (non)
A rigore non è un connettivo perché agisce su una sola proposizione.
Cambia il valore di verità.
Il cavallo è un mammifero VERA
Il cavallo non è un mammifero FALSA
Tavola di verità della negazione
A
Non A (¬ A)
V
F
F
V
Attenzione!
La negazione non è sinonimo di contrario
Tutti i milanesi tifano Inter
Nessun milanese tifa Inter (contrario)
Almeno un milanese non tifa Inter (negazione)
Attenzione!
I poligoni regolari hanno tutti gli angoli e i lati uguali.
La negazione non è
«i poligoni (irregolari) hanno tutti gli angoli e i lati diversi»
ma «i poligoni (irregolari) hanno almeno un angolo e un lato diverso».
La doppia negazione
In logica, la negazione di una negazione è un’affermazione. Se A è un enunciato
non (non A) = A
Non è vero che non hai vinto la corsa
= (logicamente equivalente a)
Hai vinto la corsa
E nella lingua comune?
A= Non c’è nessuno in questa stanza
Linguaggio comune: Nella stanza non ci sono persone
Logica: C’è qualcuno in questa stanza
Logicamente equivalente ad A: Non c’è alcuno in questa stanza
Proprietà commutativa di e ed o Calcolo delle proposizioni
Lucca è una citta e l’Umbria è una regione.
L’Umbria è una regione e Lucca è una città.
Ho la tosse e il raffreddore
Ho il raffreddore e la tosse
Riempio la piscina e faccio un tuffo
Faccio un tuffo e riempio la piscina (?????)
Lavo la mela e la sbuccio.
Sbuccio la mela e la lavo. (????)
In logica il connettivo e è commutativo?
A
B
A e B
B e A
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
A e B è logicamente equivalente a B e A
In logica il connettivo o è commutativo?
A
B
A o B
B o A
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
A o B è logicamente equivalente a B o A
Proprietà associativa di e
Nella seconda guerra mondiale gli Stati Uniti erano alleati con la Francia, oltre ad essere alleati con la Russia e l’Inghilterra.
A e (B e C)
Nella seconda guerra mondiale, gli Stati Uniti erano alleati con la Francia e la Russia, oltre che con l’Inghilterra.
(A e B) e C
Proprietà associativa di e e o
A B C B e C A e (B e C) A e B (A e B) e C
V V V V V V V
V V F F F V F
V F V F F F F
V F F F F F F
F V V V F F F
F V F F F F F
F F V F F F F
F F F F F F F
A e (B e C) eq. (A e B) e C Verificare che A o (B o C) eq. (A o B) o C
Proprietà distributiva
Verificare con le tavole di verità le seguenti relazioni:
(A e B) o C eq. (A o C) e (B o C)
(A o B) e C eq. (A e C) o (B e C)
A colazione prendo una brioche e il caffè oppure il the.
A colazione prendo una brioche e il caffè oppure il the.
Negazione di una congiunzione
Maria: «Sei stato a Roma con Giulia!!»
Antonio: «Non è vero!»
Può sentirsi rassicurata Maria?
NO: Antonio può essere stato a Firenze con Giulia o a Roma con Cristina …
Negazione di una congiunzione
La mia lavatrice è a basso consumo ed economica.
Non è vero che la mia lavatrice è a basso consumo ed economica.
significa
La mia lavatrice non è a basso consumo oppure non è economica
Usiamo la tabella di verità
A B A e B non (A e B)
non A non B (non A) o (non B)
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
non (A e B) eq. (non A) o (non B)
La mia lavatrice è a basso consumo ed economica
NEG: La mia lavatrice non è a basso consumo o non è economica.
Negazione di una disgiunzione
La torta è con il cioccolato o con le mandorle
Non è vero che la torta è con il cioccolato o con le mandorle
La torta non è con il cioccolato e nemmeno con le mandorle.
Usiamo la tabella di verità
A B A o B non (A o B)
non A non B (non A) e (non B)
V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V
non (A o B) eq. (non A) e (non B)
La mia lavatrice è a basso consumo o economica
NEG: La mia lavatrice non è a basso consumo e non è economica.
Esempi
Silvia e Sara vanno alla festa.
Silvia non va alla festa o Sara non va alla festa.
Oggi piove o fa freddo.
Oggi non piove e non fa freddo.
Luca va in piscina con la mamma o con la baby sitter.
Luca non va in piscina con la mamma e nemmeno con la baby sitter.
Enunciati aperti
Enunciato atomico =
gruppo nominale + gruppo verbale
5 è maggiore di 3
… è maggiore di 3
Il gruppo nominale è variabile.
Enunciati aperti
Si può chiudere
- Con un gruppo nominale non variabile
1 è maggiore di 3
- Con i quantificatori (ogni/ tutti, esiste almeno/ qualche)
Esiste almeno un numero maggiore di 3
Ogni numero è maggiore di 3
Negazione dei quantificatori
Quale è la negazione di
Tutte le donne sono bionde ?
Esiste almeno una donna che non è bionda
Esiste qualche studente che ama la matematica
Non esiste alcun studente che ama la matematica
L’implicazione A → B
Come si legge?
A implica B, da A segue B, se A allora B, condizione sufficiente per B è A …
Nel linguaggio comune è implicito un nesso causale fra A e B (o almeno un collegamento di senso), in logica non è necessario.
Se uno ha la patente può guidare l’auto.
Se 4 è minore di 10, allora il treno parte da Roma.
L’implicazione A → B
O tu non te ne vai o io piango (‘o’ in senso inclusivo)
A= Te ne vai ; B= io piango
(non A) o B
A non A B (non A) o B
V F V V
V F F F
F V V V
F V F V
L’implicazione è una particolare disgiunzione
Nel calcolo degli enunciati (non A) o B definisce la nuova operazione se A allora B
(A antecedente, B conseguente)
che ha la stessa tabella di verità
A B Se A allora B
V V V
V F F
F V V
F F V
Attenzione!
L’implicazione è falsa solo quando è vero l’antecedente e falso il conseguente.
L’implicazione è vera anche quando l’antecedente è falso!
Il vero implica il vero , ma anche il falso può implicare il vero!!
Es. Se lavori allora paghi le tasse.
C.Toffalori, L’aritmetica di Cupido Guanda 2011
p.68 … un famoso aneddoto su Bertrand Russel, quello che vede il filosofo impegnato a convincere un interlocutore del principio logico secondo cui da una premessa falsa si può dedurre qualsiasi conclusione. “Ma allora” lo incalzò l’antagonista “dall’affermazione che 2+2 fa 5 segue anche che lei e il Papa siete la stessa persona?” Ipotesi quasi scioccante, a ricordare le posizioni di Russel in materia di religione. Ma il filosofo replicò imperturbabile: “Supponiamo che 2+2 faccia 5. Sottraendo due da entrambi i membri dell’equazione otteniamo 2=3 e dunque, scambiando i termini, che 3=2. Sottraendo ancora 1, ricaviamo 2=1. Ora io e il Papa siamo 2. Ma dato che 2=1 io e il Papa siamo 1. Perciò io sono il Papa”.
Esempi
A: La rosa è un fungo
B: Livorno è in Toscana
Se la rosa è un fungo allora Livorno è in Toscana.
Se Livorno è in Toscana allora la rosa è un fungo.
Sono implicazioni vere o false?
L.Carrol, Alice nel Paese delle meraviglie
Allora ci devi dire ciò che pensi – continuò la Lepre Marzolina. Certo – rispose Alice molto in fretta – per lo meno … per lo meno penso quello che dico … è la stessa cosa, ecco. Niente affatto la stessa cosa! – disse il Cappellaio – perché allo stesso modo potresti dire che «io vedo ciò che mangio» è la stessa cosa di «io mangio ciò che vedo»! E potresti anche dire –aggiunse la Lepre Marzolina – che «mi piace quello che prendo»
Alice nel Paese delle meraviglie
è la stessa cosa di «prendo quello che mi piace»!
Allora potresti dire ancora – aggiunse il Ghiro, che sembrava parlare nel sonno – che «io respiro quando dormo» è la stessa cosa di «io dormo quando respiro»!
Ha ragione Alice o il Cappellaio è meno matto di quanto sembri? Ha ragione il Cappellaio: l’implicazione non è commutativa!!
Esercizi
Verificare che ‘Se A allora B’ non è logicamente equivalente a ‘Se B allora A’ cioè l’implicazione NON gode della proprietà commutativa.
La doppia implicazione A↔B
1. Se sbagliate il compito allora sarete bocciati. (A → B)
2. Se sbagliate il compito allora, ma solo allora, sarete bocciati. (A ↔ B)
In (1) si ammette che potreste essere bocciati anche per altri motivi; in (2) la bocciatura dipende solo dall’esito negativo del compito, quindi A e B devono avere lo stesso valore di verità
Tabella di verità
A B Se A allora, ma solo allora, B
V V V
V F F
F V F
F F V
A: l’ingresso è gratuito B: vado a teatro A: il locatario subaffitta l’appartamento B: il locatario viene sfrattato
Esercizi
Si chiama «doppia implicazione» perché è la congiunzione di due implicazioni.
In matematica A↔B si legge «A se e solo se B» (A sse B) oppure «Condizione necessaria e sufficiente»
Verificare che
A↔B equivale a (A→B) e (B →A)
Esercizi Dal test d’ingresso a medicina 2011
5. Determinare quale delle seguenti situazioni è NON compatibile con l'affermazione: “per superare questo test è necessario, ma non sufficiente, conoscere la matematica e non arrivare in ritardo”. A) Carlo conosce la matematica, arriva puntuale, e supera il test B) Massimo non conosce la matematica, arriva puntuale, e supera il test C) Riccardo conosce la matematica, arriva puntuale, e non supera il test D) Mimma non conosce la matematica, arriva in orario, e non supera il test E) Letizia arriva puntuale e non supera il test
La tautologia
Un enunciato sempre vero, indipendentemente dai valori di verità degli enunciati atomici che lo compongono si chiama tautologia.
Es. A o (non A)
[3 è un numero pari o non è un numero pari]
Es. Se A allora A
La contraddizione
Un enunciato sempre falso, indipendentemente dai valori di verità degli enunciati atomici che lo compongono si chiama contraddizione
Es. A e (non A)
Firenze è bagnata dall’Arno e Firenze non è bagnata dall’Arno.
Per finire…
Due amici A e B sono seduti nel salotto di A. B domanda: «Quanti anni hanno i tuoi tre figli?»
A: «Il prodotto delle loro età è 36»
B: «Non mi basta»
A: «La somma delle loro età è il numero civico della casa di fronte »
B esce, guarda il numero, rientra e dice: «Non mi basta ancora»
A: «Il maggiore ha gli occhi azzurri»
B: «Ora so l’età»
Materiali
R.Tortora, Logica e linguaggio, in http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazioni/23_aritm.PDF pp. 52-77.
Alcune attività didattiche legate a «logica e linguaggio» si trovano in
L. Giovannoni, Lingua e logica, FrancoAngeli, 1986
F.Speranza, D. Medici Caffarra, P.Quattrocchi, Insegnare la Matematica nella scuola elementare, Zanichelli, Capitoli 1 e 7