Matematica e statisticaVersione didascalica: parte 3

• Sito web del corso

http://www.labmat.it

• Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste

• e-mail: inverniz@units.it

2.8. Il problema dell’area

Supponiamo che una funzione sia positiva (o zero) f(x) 0 per tuttii valori x di un intervallo [a, b], con a < b.L’integrale della funzione f da a a b è l’area della parte di piano compresa fra l’asse X ed il grafico di f, entro le ascisse a e b

Simbologia

area ( ) = ( )b

af x dx

Esempi:1

0

(2 )(2 )2 ( )

2 2.5

2

( )

( )b

a

b ab a

x dx

x dx

2.9. Calcolo numerico degli integrali

I metodi per il calcolo di integrali che qui trattiamo sono:

• Metodi di interpolazione: il metodo dei rettangoli, ed il metodo dei trapezi, basati sulla interpolazione di Lagrange;

• Metodi probabilistici: il metodo di Monte-Carlo, un metodo molto generale basato sulla simulazione di variabili aleatorie;

• Metodi esatti (o metodi formali), basati sul Teorema Fondamentale del Calcolo.

2.9.1. Metodi di interpolazione

Si supponga di conoscere una tabulazione della funzione f(x) 0 a passo costante h sull’intervallo [a, b], con a < b.

1 2 1

1

...

( ) /

( 1)

1,2,..., 4

( )

n

k

k k

a x x x b

h b a n

x x k h

k n

y f x

2.9.2/3. Metodi dei rettangoli e dei trapezi

La funzione può essere interpolata con la interpolazione costante o con la interpolazione lineare

( )b

af x dx può essere approssimato con le aree verdi

• Sommando aree di rettangoli (metodo dei rettangoli), oppure• Sommando aree di trapezi (metodo dei trapezi)

Regole

1 2 1

1

( ) { ... }b

n na

n

kk

f x dx h y y y y

h y

1 2 1

1

...

( ) /

( 1)

1,2,...,

( )

n

k

k k

a x x x b

h b a n

x x k h

k n

y f x

1 11 2 12 2

11 12 2

( ) { [ ... ] }

{ ( ) }

b

n na

n

n kk

f x dx h y y y y

h y y y

Regola dei rettangoli:

Regola dei trapezi:

Qui salta l’ultimo punto

qua no

La regola dei rettangoli qui definita può essere detta dei rettangoli destri, in quanto tali rettangoli stanno a destra della ascissa in cui sono calcolate le loro altezze.

Chi studia può ricavare le regola dei rettangoli sinistri, che stanno a sinistra della ascissa in cui sono calcolate le loro altezze: viene conseguentemente saltato il primo punto:

1 2 1

1

2

( ) { ... }b

n na

n

kk

f x dx h y y y y

h y

In questo corso utilizziamo di default i rettangoli destri.

Cenno storico

Etimologia di “trapezio”

trapezio = banco, tavolo τραπεζα = banca (Τραπεζα τησ Ελλαδοσ, Banco di Napoli, Banco Monte dei Paschi di Siena)

Regola dei rettangoli su R

2 3, , ,..., ,na x x x b

215

215

5 ( 4)

1

( 4)

2(1 )

( ) 2(1 )

x

x

e dx

f x e

> f <- function(x) 2*(1+exp((-1/5)*(x-4)^2)) > a <- 1 > b <- 5 > n <- 100 > h <- (b-a)/n > xtab <- a + h*c(0:n-1) > h*(sum(f(xtab))) -> integrale > integrale

1

5

100

a

b

n

Regola dei trapezi su R

2 3, , ,..., ,na x x x b

215

215

5 ( 4)

1

( 4)

2(1 )

( ) 2(1 )

x

x

e dx

f x e

> f <- function(x) 2*(1+exp((-1/5)*(x-4)^2)) > a <- 1 > b <- 5 > n <- 100 > h <- (b-a)/n > xtab <- a + h*c(0:n) > h*(sum(f(xtab))-(f(a)+f(b))/2) -> integrale > integrale

1

5

100

a

b

n

Regola dei rettangoli su TI-82

215

215

5 ( 4)

1

( 4)

2(1 )

( ) 2(1 )

1

5

100

x

x

e dx

f x e

a

b

n

ClrHomeInput "A= ",AInput "B= ",BInput "N= ",NInput "F(X)= ",Y1

(B-A)/ N -> HY1(A)-> SFor(K,2,N,1)S+Y1(A+(K-1)*H) -> SEndS*H -> SDisp "Integrale= ",S

Regola dei trapezi su TI-82

215

215

5 ( 4)

1

( 4)

2(1 )

( ) 2(1 )

1

5

100

x

x

e dx

f x e

a

b

n

ClrHomeInput "A= ",AInput "B= ",BInput "N= ",NInput "F(X)= ",Y1

(B-A)/N -> H(Y1(A)+ Y1(B))/2 -> SFor(K,2,N,1)S+Y1(A+(K-1)*H) -> SEndS*H -> SDisp "Integrale= ",S

Stima dell’errore

• Metodo dei rettangoli

• Metodo dei trapezi

1

112

2

128

2

3

2

( )

( )

| '( ) |

| |

| "( ) |

| |

n

n

b an

b an

f x M

I R M

f x M

I T M

Ad esempio per il calcolo di si può assumere M1 = M2 = 1

per cui con “sole” n = 250 suddivisioni si ha

• | - Rn | 0.0197392 (NB: si divide per n )

• | - Tn | 0.00024805 (NB: si divide per n² )

0sin( )x dx

0sin( )x dx

0

sin( )x dx

Esercizio

• Calcolare con il metodo dei trapezi

con n = 250 e fornire una stima dell’errore esaminando graficamente

la derivata seconda con R (o con la funzione TRACE della TI-82)

• Suggerimento:

215

5 ( 4)

12(1 )xe dx

215

215

( 4)

( 4)2425

2 1

27 16 2

( ) ( )

"( ) ( )

x

x

f x e

f x x x e

I matematici hanno dimostrato che per questo integrale (di una funzione importantissima: la gaussiana) non esistono metodi esatti.

215 ( 4)24

25 27 16 2| "( ) | | ( ) | xf x x x e

> f <- function(x) 2*(1+exp(-(1/5)*(x-4)^2))> a <- 1> b <- 5> n <- 250> h <-(b-a)/n> x<-a+c(0:n)*h> y <-f(x)> plot(x,y)> (sum(y)-(y[1]+y[n+1])/2)*h[1] 13.60861> f2 <- function(x) (4/25)*(27-16*x+2*x^2)*exp(-(1/5)*(x-4)^2)> curve(abs(f2(x)),1,5)> M2 <- 0.8> (1/8)*M2*(b-a)^3/n^2[1] 0.0001024>

2.9.4. Metodo Monte-Carlo

Calcolare l’area della parte di piano definita dalla disuguaglianza

22 4 1

202 12

( )y

x x

Fissiamo un rettangolo [a, b] × [c, d ] che contenga tutto il “pesce” e spariamo n = 50000 (cinquantamila) punti a caso nel rettangolo. Contiamo il numero k dei punti che colpiscono il pesce (bordo del pesce compreso). Allora sarà:

area cercata = (k / n ) × area totale del rettangolo

Esempio

{{a, b}, {c, d}} = {{-0.15, 1.37}, {-0.35, 0.35}};area totale = (b - a) (d - c) = 1.064;n = 50000;k = 34280;Integrale (o area) = 0.729478

Formalmente sarebbe (ma gli estremi sono comunque calcolati numericamente!)

Metodo Monte-Carlo su R

xcaso xcaso

ycaso(insuccesso)

ycaso(successo)

Metodo Monte-Carlo su R

> x <- c(1,3,4,1,3,5,6,3)> z <- which(x < 4)> z[1] 1 2 4 5 8

Il comando which

x[1]=1

x[2]=3x[4]=1

x[5]=3x[8]=3

z ha 5 elementi, che non sono i cinque elementi di x minori di 4, bensì i cinque indici di tali elementi, ordinati come lo sono in x.La lista c(1,3,1,3,3)degli elementi di x minori di 4 è x[z].

Metodo Monte-Carlo su R

> f <- function(x) formula di f(x) > a <- valore di a > b <- valore di b> c <- valore di c > d <- valore di d > prove <- numero delle prove > xcaso <- runif(prove,min=a,max=b) > ycaso <- runif(prove,min=c,max=d) > z <- which(ycaso < f(xcaso)) > successi <- length(z) > p <- successi/prove > integrale <- p*(b-a)*(d-c) > plot(xcaso[z],ycaso[z], col="red") > plot(f,0,b, add=TRUE, col="blue")

Metodo Monte-Carlo su TI-82, I

ClrHomeClrDrawPlotsOff FnOff Disp "----------------"Disp "Integrazione"Disp "di f(x) 0 "Disp "Met. Monte Carlo"Input "A= ",AInput "B= ",BInput "N= ",NInput "f(x)= ", Y1

(in blu i comandi essenziali)

Esempio:5

0

xxe dx

Metodo Monte-Carlo su TI-82, II

0 -> C(B-A)/100 -> Wmax(seq(Y1(X),X,A,B,W) -> DA -> XminB -> XmaxC -> YminD -> YmaxAxesOffDrawF Y1(X)0 -> SText(55,1,"Successi =")Text(47,1,"Prove =")

Metodo Monte-Carlo su TI-82, IIIFor(K,1,N) Text(47,28,K) A+rand*(B-A) -> X C+rand*(D-C) -> Y If Y Y1(X) Then Pt-On(X,Y) S+1 -> S Text(55,40,S) EndEndText(5,60,"[ ENTER ]")Pause ClrHome(B-A)*(D-C)*S/N -> IDisp "Integrale =",I