MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º Ano Determinantes de Ordem n e suas propriedades

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Ensino Médio, 2º Ano

Determinantes de Ordem n e suas propriedades

MATEMÁTICA, Série 2ª Matrizes - Determinantes

Mapa Conceitual construído com o Software Cmap Tools, evidenciando Determinantes.


Determinantes1. Introdução:A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam um sistema prático para a resolução de sistemas, os determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas.2. Definição:A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.


3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordemO determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz .

Ex.:

3. Cálculo dos Determinantes:

32

32

O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .

3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem

Ex.:

5381)]( . 3)[( 4). (24132

A = a11 a12

a21 a22

O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

a11 a12

a21 a22

= a11 · a22 – a12 · a21

a11 · a22- (a12 ·a21)


Ex: 1)

5327

A

+-

7 2

3 5= 7.5 - 2.3 = 29



3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem

(Regra de Sarrus)1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita.4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.

Ex.:

531420321

31-

2021

531420321

- -- + ++

10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0

= - 4

Ex: 1)

413125312

132512

16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28


Ex: 2) 10 0 16 2 02 1 1

10 06 20 1

20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30


4. Cofator de uma matrizSeja A uma matriz quadrada de ordem n 2. Chama-se cofator de um elemento aij de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij .Ex.:

12A calcule ,52-421-3021

A Seja

5423.)1(A 21

12 )815( . 1 A12 = -

75. Teorema de LaplaceO determinante de uma matriz A, de ordem n 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.Ex.:

5234200334121121

3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34

=234412121

. 2523

341112

. 3

34

1221

234412121

. 2234112

523

341112

. 3

- -- + ++

3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8) 3 . (-48) - 2 . (16)

= -144 - 32

= - 176

- -- + ++


Propriedades dos Determinantes

P1. Fila NulaSe todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .Ex.:

6201000044135421

0


• Quando todos os elementos de uma fila são nulos

Ex: 0000892531

01605802501

Ex:

P2. Filas Paralelas Iguais ou ProporcionaisSe duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0 .

Ex.:

0808545232

0504

426213

e

2ª linha = 2 x 1ª linha

Se liguem, sempre que nos referimos a filas, estamos falando de linhas e também de

colunas!

1ª coluna = 3ª coluna

4262132213


Ex:0

91809212318

0921

Ex: 0884201

693

31 LL

31 C.C2

• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais


1)Ex:

• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal

315189352

318153925

2) ,5 Se tsrzyxcba

5 então cbazyxtsr

Outras propriedades:


P3. Matriz TranspostaO determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.

Ex.:

843015102

431502

= 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1

801410352

011052

= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1


• det(A)=det(At)

Ex:

1)

2)

,612189432

612189342

, então

,10 Se tsrzyxcba

10 então tzcsybrxa

P4. Teorema de BinetSe A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:det(A . B) = det A . det B

Ex.:

21

03B e 3214A

det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60

69213

2103 . 32

14 det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60


• det(A.B)=detA.detB

Ex: .3214

B e 7523

A Sejam

det(A.B)? valeQuanto 11011.10det(A.B)

11detA 10detB

P5. Matriz TriangularO determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.Ex.:

872019005

= 5 .1 .8 = 40


1)

2)

Ex:

• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal

797035002

427.3.2

2000530068500872

602.3.5.2


P6. Troca de Filas ParalelasSe trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma outra matriz M´, tal que:det M´ = - det M

Ex.:

222862743

226284327


Ex:

0

91809212318

0921

0884201

69331 LL 31 C.C2

• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

Ex:

P7. Produto de uma Fila por uma ConstanteSe todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados

por um mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado por k.

Ex.:

511430291

113091

= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11

Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:

5314902271

3190

271

= -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33


Ex: 1)

2)

69432

306.594.532.5

,10 Se tsrzyxcba

• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no

7010.7.7.7.7 então tsrzyxcba



Consequência:

Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:

det (k . A) = kn . det A

• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A

1) 69432

1506.59.53.54.52.5 2 Ex:

P8. Determinante da Matriz InversaSeja A uma matriz e A-1 sua inversa, então: A det

1A det 1-

5231213A det

Ex.:

51

255

252

253

53

52

51

51

A det 1-


• det(A-1)=1/detA

Ex:

:iaConsequênc IA.A -1

det(I))det(A.A -1 1)(Adet(A).det -1

/detA1)det(A -1

:é 9352

A de inversa da tedeterminan O

1/3/detA1)det(A -1


P9. Adição de DeterminantesUm determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante.Ex.:

623130022

603130012

643110052

623110042

+ + =


P10. Teorema de JacobiAdicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que:det M´ = det

M

Ex.:

614724531

-3

61147104501


Regra de ChióA regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem n 2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento.

2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas.

Ex.:

512302131

)1.(253.21)1.(233.20

7556

2542

-17


Matriz de VandermondeChamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n 2, em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1).Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.

Ex.:

34312527849259475321111

7 5 3 2 (3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)

1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2

240


• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.

5)

6)

09114053961

0

0957877097130531

321 LLL

321 CC.C2

Casos em que um determinante é igual a ZERO:


EXEMPLO 1

Calcule o determinante de

4312

.

30


EXEMPLO 2


6324

.

31


EXEMPLO 3


021102321

32


EXEMPLO 4 Calcule o determinante de:

201770003

33


EXEMPLO 5

(FUVEST) É dada a matriz

P =

1011

.

a)Calcule P2 e P3 b) Qual a expressão Pn?

34



Agora vamos colocar a mão na massa.1)Entrar no site abaixo e baixar o software Cmaptools para cada um montar seu mapa conceitual com os determinantes e suas propriedades. http://www.baixaki.com.br/download/cmaptools.htm

http://www.baixaki.com.br/download/cmaptools.htm



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