Matemática Financeira

CAPTULO 1INTRODUO

1.1 O crdito e o juroO crdito deve ser sempre associ ado ao tempo, uma vez que no existe emprstimo se no for relacionado com um espao de tempo ao final do qual o tomador deve restituir ao credor a quantia emprestada. Deve, portanto, tambm haver um pagamento pelo preo do emprstimo, o juro, uma vez que existem formas de relacionamento jurdico, como o co-modato, em que existe o emprstimo, durante certo tempo, mas no h uma remunerao estabelecida.

O mtuo, ou emprstimo de consumo, o contrato pelo qual uma pessoa transfere a outra a propriedade de certa quantidade de coisas, peas monetrias, mercadorias, etc., convencionando que outra parte envolvida lhe devolver, ao fim de certo prazo, uma mesma quantidade de coisas de mesma qualidade. (GIRARD, 1906, apud JAN-SEN, 2002, p. 7).

Segundo Dumoulin e Rossellus (1961), parece ser justo que o muturio, tendo realizado um ganho com o dinheiro recebido, consagre parte desse ganho para remunerar o servio que lhe prestou o mutuante.

O juro, em relao ao dinheiro, significa, precisamente, o que os livros de aritmtica afirmam: trata-se apenas do prmio que se pode obter pelo dinheiro vista em relao ao di-nheiro a prazo, de modo que ele mede a preferncia marginal (para a comunidade como um todo) de conservar o dinheiro em mos, no lugar de s poder receb-lo mais tarde. Ningum pagaria esse prmio, a menos que a posse do dinheiro tivesse alguma finalidade, ou seja, al-guma eficincia. Portanto, podemos dizer que o juro reflete a eficincia marginal do dinheiro, tomado como unidade em funo de si mesmo.

1.2 O surgimento do crdito e do sistema financeiroEmbora alguns autores relacionem o surgimento do crdito com o da letra de cmbio, ocor-rido ao fi nal da Idade Mdia, pode-se afirmar que ele existe h mais tempo, uma vez que o direito romano previa punies para o no cumprimento de dvidas por parte do tomador de emprstimos. Entretanto, foi com a letra de cmbio que o crdito tomou uma forma mais

2 Matemtica Financeira

avanada, tendo em vista a possibilidade de endosso que permitia ao credor sua negociao ou representao para cobrana.

Inicialmente, a letra de cmbio tinha por objetivo vencimentos vista, e sua grande utilidade era facilitar a troca de moedas entre as diferentes cidades evitando os elevados custos de transporte e guarda dos valores. Estava, portanto, dentro das regras do Direi-to Romano relativas aos contratos de compra e de venda. Gradativamente, foi evoluindo para vencimento a prazo, assumindo uma troca de dinheiro no presente por dinheiro no futuro. Por apenas constar os valores finais de resgate, a letra de cmbio no identificava a natureza dos servios adicionados alm da simples troca de valores entre as moedas, sen-do possvel a incluso de juros sem que se pudesse identific-la como emprstimo. Desse modo, escapava-se da condenao cannica1 cobrana de juros e usura. O aparecimento da letra de cmbio constituiu-se, assim, em um marco importante para a facilitao do comrcio entre as cidades, o que realimentou o crescimento das operaes financeiras com a consequente criao dos primeiros bancos. Embora haja notcias da existncia de bancos no sculo XIII, o primeiro considerado moderno e semelhante aos atuais foi o Banco de Amsterd, fundado no ano de 1608. Foi nesse perodo, tambm, que surgiram as socieda-des por aes e as bolsas, formando, junto com os bancos, os trs pilares do Sistema Finan-ceiro como entendido hoje.

1.3 As instituies de intermediao financeiraNas economias capitalistas, a condio de uso do dinheiro (capital) tem possibilitado a pro-duo de bens e, consequentemente, a formao de mais dinheiro por meio do lucro. Portan-to, o uso do dinheiro, e no necessariamente a sua propriedade, gera dinheiro. Por essa razo, o emprstimo tem valor, e o seu preo (aluguel do dinheiro) denominado juro.

Para facilitar a compreenso sobre o funcionamento do fluxo do dinheiro entre os agen-tes econmicos, sugere-se a criao de um modelo didtico com trs categorias:

Agentes superavitrios (ou poupadores), cujas receitas so superiores aos gastos (con-sumo ou investimentos) e que no se interessam em outro uso para sua poupana exce-to aplicarcom terceiros.

Agentes deficitrios:

a) consumidores cujos gastos com a compra de produtos para seu uso excedem suas receitas ou capacidade financeira;

b) empreendedores cujos recursos prprios so insuficientes para as inverses de capi-tal em atividades produtivas que desejam fazer.

Agentes de intermediao financeira (bancos, financeiras, distribuidoras e corretoras de valores, etc.), que tornam possvel a transferncia da poupana dos agentes superavit-rios para os agentes deficitrios, por meio do emprstimo e de sua liquidao, mediante remunerao pelo servio, funcionando de forma semelhante a um mercado de merca-dorias: o Mercado Financeiro.

No Mercado Financeiro estabelecido o preo do dinheiro cuja unidade de medida a taxa de juros, e seus corretores (os agentes de intermediao financeira) realizam a tarefa de aproximao entre os agentes deficitrios, que demandam recursos financeiros, e os agentes superavitrios, que os ofertam mediante uma taxa (spread ou delcredere).

1 O Cnone XVII do Conclio de Nica, em 325, proibiu os sacerdotes de emprestar dinheiro a juros.(OLIVEIRA, 2009, p. 351).

Captulo 1 Introduo 3

Assim, os agentes deficitrios, para atingir seus propsitos, buscam recursos empres-tados para financiar produo real de bens e servios, alm de seu respectivo consumo, por meio da intermediao financeira. A condio para que haja harmonia nesse processo de fi-nanciamento da economia que o lucro global da economia seja maior do que o custo de seu financiamento, ou seja, o lucro deve ser maior do que o juro.

Esta pgina foi deixada em branco intencionalmente.

CAPTULO 2CONCEITOS BSICOS

2.1 O valor do dinheiro ao longo do tempoO que vale mais: R$ 100,00 hoje ou R$ 100,00 daqui a um ano? Se fizermos essa pergunta alea-toriamente para diversas pessoas, provvel que mais de 90% das respostas indiquem a prefernci a por R$ 100,00 hoje. Pode-se ter vrias razes para essa preferncia:

A perda do poder aquisitivo da moeda pela inflao

Risco de no receber o dinheiro no futuro

Impacincia para consumir bens ou servios imediatamente

Outras opes de investimento com expectativa de lucro

Uma vez que uma quantia hoje representa mais valor do que a mesma quantia no fu-turo, surge a figura do emprstimo, ou seja, o aluguel do dinheiro por um certo tempo e por um determinado preo.

A oportunidade de uso representa valor para quem dispe de dinheiro hoje; logo, exis-tem pessoas dispostas a pagar um preo para dispor desse recurso. Essas pessoas so a ponta devedora dos emprstimos: viver agora, pagar depois. De outro lado, existem pessoas dispostas a se privar de recursos hoje em troca de um prmio por sua espera: pagar agora, viver depois. Assim, pode-se dizer que os juros so o preo da impacincia dos devedores e o prmio da espera dos credores. Os juros so o preo do aluguel do dinheiro, e o emprstimo uma troca intertemporal de uma quantia no presente pela mesma quantia acrescida de juros no futuro (GIANETTI, 2005).

A troca intertemporal representada por uma equao de valor. Se considerarmos que a quantia emprestada uma varivel econmica representada pela letra P e tomarmos como J a representao dos juros, a varivel econmica que expressa o preo pago pelo aluguel do dinheiro emprestado, temos a seguinte expresso matemtica:

S = P + J

onde S o valor total que o devedor ou tomador do emprstimo dever pagar ao credor ao final do prazo ajustado. A frmula e xpressa uma relao de valor: o que hoje vale P, amanh valer S, equivalente a P + J.


CONCEITO 2.1 Matemtica Financeira a disciplina que tem por objetivo o estudo da evoluo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Esse estudo composto de equaes matemticas que expressam, principalmente, a relao entre o valor de uma quantia em dinheiro no presente e o seu valor equivalente no futuro. De uma forma prtica, a Matemtica Financeira visa ao clculo dos rendimentos dos emprstimos e de sua rentabilidade.

Por pertencer ao ramo de disciplinas da Matemtica Aplicada, a Matemtica Financeira uti-liza como principal mtodo a soluo de problemas, subordinando-se s convenes e normas das prticas financeiras, bancrias e comerciais do mundo dos negcios.

2.2 Principais variveis e simbologiaO estudo da evoluo do dinheiro feito pela Matemtica Financeira por meio de equaes onde se encontram relacionadas as principais variveis econmicas, geralmente simboliza-das por letras. Neste livro, as letras utilizadas esto destacadas ao lado dos ttulos das sub-sees. Outras simbologias utilizadas na literatura tambm so mencionadas nos pargrafos de cada varivel.

2.2.1 Principal (P)

CONCEITO 2.2 Principal o capital inicial (C, C0) de um emprstimo ou de uma aplica-o financeira. Tambm conhecido por valor presente (VP), valor atual (VA), valor des-contado ou present value (PV), sigla encontrada na maioria das calculadoras financeiras.

Em uma aplicao ou em um emprstimo, maior capital inicial implica mais juros.

2.2.2 Juros (J)

CONCEITO 2.3 Juro a remunerao do capital emprestado. Da parte de quem paga, uma despesa ou custo financeiro; da parte de quem recebe, um rendimento ou renda financeira.

Sinnimos: encargos, acessrios (do principal), rendimento, servio da dvida.

2.2.3 Montante (S)

CONCEITO 2.4 Montante o saldo ou valor futuro (VF, Cn) de um emprstimo ou de uma aplicao financeira. a s oma do capital aplicado ou emprestado mais os juros, expressa pela equao:

S = P + J (2.1)

Sinnimos: valor futuro (VF), valor de resgate (VR), future value (FV).

Captulo 2 Conceitos bsicos 7

2.2.4 Prazo (n)

CONCEITO 2.5 O prazo se refere ao perodo de tempo que dura o emprstimo ou a aplicao financeira.

Maior tempo em um emprstimo implica maior quantia de juros.O tempo pode ser medido em diferentes unidades, como dias, meses, trimestres, anos,

etc.O smbolo n tambm utilizado para representar nmero de prestaes.

2.2.5 Prestao (R)

CONCEITO 2.6 Prestao se refere ao valor de pagamentos quando esses so feitos em um nmero maior do que a unidade.

Sinnimos: pagamentos (PGTO), payment (PMT).

2.2.6 Taxa (i)O j uro o elemento fundamental da Matemtica Financeira. Entretanto, conhecer apenas o valor do juro no d uma ideia completa do problema.

Considere duas situaes de aplicaes feitas no mesmo perodo em que se obtm R$ 200,00 de juros: na primeira, o capital emprestado R$ 1.000,00; na segunda, o capital em-prestado R$ 10.000,00. Em ambas as situaes, os juros foram os mesmos: R$ 200,00. En-tretanto, na primeira situao, cada R$ 100,00 emprestados renderam R$ 20,00, enquanto na segunda renderam R$ 2,00.

Por outro lado, os mesmos R$ 200,00 tambm poderiam ser obtidos de uma mesma aplicao em outras duas situaes diferentes: aps 1 ms de aplicao ou aps 12 meses. No-vamente, em ambas, os juros foram os mesmos: R$ 200,00. No entanto, na primeira situao, em apenas 1 ms de emprstimo, obteve-se a mesma quantia de juros que na segunda, que demorou 12 meses. Pode-se supor, ento, que a primeira aplicao 12 vezes mais rentvel do que a segunda.

Os juros crescem medida que o principal aumenta, mas tambm crescem com o trans-correr do tempo. Essa dupla dependncia dos juros cria uma dificuldade no seu clculo. Para resolver a dupla dependncia dos juros:

CONCEITO 2.7 Define-se como taxa de juros o quociente entre o valor dos juros gerados no primeiro perodo (na unidade de tempo considerada) pelo valor do capital emprestado:

A taxa de juros pode ser apresentada em dois formatos: taxa unitria ou taxa percentual.Exemplo: um emprstimo de R$ 1.000,00 rendeu juros de R$ 200,00 no primeiro ms:

a.m. a.m. a.m.


Uma taxa unitria de 0,20 ao ms significa um juro de R$ 0,20 a cada R$ 1,00 de prin-cipal por ms de emprstimo. Uma taxa percentual de 20% ao ms significa um juro de R$ 20,00 a cada R$ 100,00 de principal por ms de emprstimo.

Taxas percentuais so utilizadas no meio financeiro e nas calculadoras financeiras, en-quanto taxas unitrias so utilizadas em frmulas.

2.3 Regra do b anqueiroAs frmulas da Matemtica Financeira exigem compatibilidade entre as variveis de tempo e taxa, isto , se o tempo for medido em meses, a taxa utilizada dever ser ao ms.

Embora de intuitiva racionalidade, essa exigncia nos obriga a seguir determinadas convenes. A mais utilizada a regra do banqueiro (CISSELL; CISSELL, 1982, p. 23).

Os dias de um emprstimo ou aplicao financeira de 01/02/2013 a 01/03/2013 podem ser contados de duas maneiras:

Contagem exata: 28 dias

Contagem aproximada: 30 dias

Em ambos os casos, no se conta o primeiro dia e conta-se o ltimo. Na contagem exata, consideram-se os dias efetivamente existentes. Na contagem aproximada, considera-se que todo ms tem 30 dias, independentemente de qual seja o ms.

Um ano tem:

365 dias, se for ano civil

360 dias, se for ano comercial ou bancrio

Um ms tem: 30 dias

Pela regra do banqueiro, todo ano bancrio, ento uma taxa de juros de 20% ao ano significa que, a cada 360 dias corridos (contagem exata), uma aplicao financeira de R$ 100,00 rende R$ 20,00 de juros.

Pela mesma regra do banqueiro, todo ms tem 30 dias, o que significa uma taxa de juros de 10% ao ms proporcionando que a cada 30 dias corridos (contagem exata) uma aplicao financeira de R$ 100,00 renda R$ 10,00 de juros.

EXEMPLO 2.1 Seja uma aplicao financeira realizada no perodo que vai de 01/02/2013 a 01/03/2013 a uma taxa anual de 45% ao ano. Nesse caso, para tornar compatveis as uni-dades de tempo e taxa, deseja-se encontrar a frao de ano que corresponde aplicao.

Pela regra do banqueiro, utiliza-se a combinao contagem exata e ano comercial ou bancrio:

EXEMPLO 2.2 Considere o perodo que vai de 01/03/2011 a 01/03/2012. Pela conta-gem exata, esse perodo tem 365 dias e todos os dias do perodo, exceto o primeiro, so considerados.

Captulo 2 Conceitos bsicos 9

Se a taxa de juros for mensal, devemos transformar o perodo em meses:

No caso de uma taxa de juros anual, devemos transformar o perodo em anos:

2.4 Preciso nos clculos2.4.1 ArredondamentoBoa parte dos resultados dos clculos financeiros proveniente de fraes. Algumas delas tm uma representao decimal finita, como o caso de . Outras, entretanto, tm

uma correspondncia decimal infinita como 1.400

3. Se o que estivermos pro-

curando for um valor em reais, no primeiro caso a resposta seria R$ 70,00, precisamente. J no segundo caso, temos um problema de preciso quanto representao em reais, uma vez que nessa moeda permitido somente at duas casas decimais. Assim somos forados a arredondara resposta para R$ 466,67, que o nmero mais prximo da res-posta correta.

Uma vez definido qual o nmero de casas limite para a apresentao do resultado de um clculo, deve-se proceder o arredondamento. Para arredondar, se o primeiro algarismo a ser eliminado for 5 ou maior, acrescenta-se 1 no ltimo algarismo remanescente; se o primei-ro algarismo a ser eliminado for inferior a 5, despreza-se todos os algarismos aps a ltima decimal do limite estabelecido.

Exemplos de arredondamento para duas casas decimais:

23,4685 arredondado para 23,47




2.4.2 PrecisoPara se obter o mximo de preciso nos resultados, devem ser evitados arredondamentos desnecessrios, isto , arredondamentos em clculos intermedirios. O arredondamento so-mente deve ser feito na resposta final. Uma das melhores maneiras de se evitar arredo nda-mentos intermed irios valer-se dos recursos da calculadora fazendo os clculos de forma sequencial. Por exemplo: 100 pode ser feito de dois modos: a) e aps 0, 67 100 = 67,00 ou

b)

Com toda a certeza, a segunda opo bem mais precisa do que primeira.A principal diferena entre as apes apresentadas que, na primeira alternativa, houve

um arredondamento em um dos clculos intermedirios (0,67), resultando em uma perda de preciso.


REGRA DE OURO Para se obter mxima preciso, no se deve arredondar em clculos intermedirios, apenas na resposta final.

2.5 Capitalizao de juros

CONCEITO 2.8 Denomina-se capitalizao de juros o ato de adicionar juros ao capital.

De acordo com a capitalizao, os juros so classificados em:

Juros com capitalizao discreta: geralmente perodos de tempo iguais ou superiores a ms.

Juros simples: os juros so calculados apenas com base no principal e cobrados ao final

Juros compostos: os juros so calculados com base no principal acrescido dos juros calculados em perodos anteriores

Juros contnuos1: os juros so acrescidos ao capital em intervalos infinitesimais de tem-po (FARO, 1990, p. 4).

1 Juros contnuos no so comuns na prtica comercial ou bancria e, por essa razo, no sero desenvolvidos neste livro. O estudante interessado poder aprofundar seu conhecimento em Faro (1990, p. 4) ou em Bueno, Rangel e Santos (2011, p. 15).

CAPTULO 3JUROS SIMPLES

3.1 Introduo

CONCEITO 3.1 Se o clculo do juro feito com base apenas no principal original, mas pago ao final do emprstimo, o denominamos juros simples. (GUTHRIE; LEMON, 2004, p. 5) Assim, no regime de juros simples, no h clculo de juros a partir de juros. Alm disso, os juros so pagos ao final do perodo.

Diz-se que os juros no so capitalizados1 ou, segundo alguns autores, so capitalizados apenas na liquidao final do emprstimo, de modo a no gerarem novos juros no perodo considerado (DAL ZOT, 2008, p. 31).

Os juros simples so conhecidos tambm como lineares ou ordinrios.

3.2 Frmulas principaisConsidere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de juros simples de 30% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos. Uma forma de demonstrar a evoluo da dvida apresentar todas as datas em que possa ocorrer uma alterao de valor nos saldos. Essa forma de apresentao tem diversas denominaes: plano financeiro, conta grfica ou memria de clculo.

Ano Saldo inicial Juros simples Saldo final

1 10.000 10.000 0,30 = 3.000 13.0002 13.000 10.000 0,30 = 3.000 16.0003 16.000 10.000 0,30 = 3.000 19.0004 19.000 10.000 0,30 = 3.000 22.000

1 [...] nos juros simples, o credor s adquire o direito aos juros ao final do prazo e, por isso, no h capitalizaes intermedirias durante todo o perodo em que os juros so computados.(OLIVEIRA, 2009, p. 426).


Tomando-se a mesma evoluo de um emprstimo e mudando os valores pelas vari-veis matemticas que os representam, segundo a simbologia adotada neste livro, teremos o quadro abaixo, que, levado exaustivamente para uma data focal n, nos dar as principais frmulas de juros simples:

Ano Saldo inicial Juros Saldo final

1 P Pi P + Pi = P(1 + i)

2 P(1 + i) Pi P(1 + i) + Pi = P(1 + 2i)

3 P(1 + 2i) Pi P(1 + 2i) + Pi = P(1 + 3i)

4 P(1 + 3i) Pi P(1 + 3i) + Pi = P(1 + 4i)

... ... ... ...

n P(1 + (n 1)i) Pi P(1 + (n 1)i) + PiJ = 1n Pi = Pin S = P(1 + in)

Com base no comportamento dos juros simples a partir do desenvolvimento acima, obtemos as seguintes frmulas principais:

J = Pin (3.1)

e

S = P(1 + in) (3.2)

Aplicando-se as frmulas encontradas para o financiamento dos R$ 10.000,00, obteremos:J = Pin = 10.000 0,30 4 = 12.000S = P + J = 10.000 + 12.000 = 22.000S = P(1 + in) = 10.000(1 + 4 0,30) = 22.000

3.3 Problemas envolvendo juros3.3.1 Clculo dos juros

EXEMPLO 3.1 Calcular o valor dos juros pagos pelo emprstimo de um capital de R$ 2.500,00 taxa de juros simples de 2% ao ms, aps 4 meses.

Captulo 3 Juros simples 13

Dados:J =?P = 2.500,00 (principal = capital emprestado)n = 4 m2

i = 2% (0,02)3 a.m.4

Soluo:

J = Pin J = 2.500 0,02 4 = 200,00000 . . .

Resposta: R$ 200,00.

A maioria dos problemas que envolvem Matemtica Financeira exige recursos de clcu-lo que so encontrados nas calculadoras financeiras. Elas possuem frmulas pr-programa-das que simplificam muito a resoluo de problemas financeiros. Quanto forma de alimen-tar os nmeros no teclado, existem dois sistemas:

Modo algbrico (ALG): forma tradicional comum na maioria das calculadoras.

Notao polonesa reversa (RPN): prprio das calculadoras HP.

Por exemplo, o clculo 2.500 0,02 4 pode ser resolvido de maneiras diferentes, conforme o sistema empregado:

Usando a calculadora. 2.500 0,02 4

RPN ALG

2500 ENTER 2500 .02 .02 4 4 =200,00 200,00

Nos exemplos a seguir, apresentaremos os clculos para ambos os sistemas.

EXEMPLO 3.2 Qual o rendimento de uma aplicao financeira de R$ 3.589,00 aps 139 dias, a uma taxa de 1,90% ao ms?

Dados:J =? (rendimento = juro)P = 3.589,00 (principal = valor da aplicao financeira)i = 1,9% (0,019) a.m.n = 139 dAntes de prosseguirmos, perguntamos: a taxa mensal e o prazo em dias... O que

fazemos?

2 Quando o prazo indicado em meses, comum utilizar a abreviatura m. Abreviaturas mais utilizadas: d = dias, m = meses, b = bimestres, t = trimestres, s = semestres e a = anos.3 No mercado financeiro e nas relaes comerciais em geral, so utilizadas taxas percentuais. Portanto, nesse for-mato que os enunciados dos problemas deste livro faro referncia s taxas. Nota-se tambm que a taxa percentual o padro utilizado pelos recursos pr-programados das calculadoras financeiras. Entretanto, quando a soluo dos problemas feita por meio de equaes, preciso utilizar a forma unitria para as taxas.4 As taxas so informadas por perodo. Uma taxa mensal tem comumente a abreviatura a.m. As abreviaturas mais utilizadas so: a.d. = ao dia, a.m. = ao ms, a.b. = ao bimestre, a.t. = ao trimestre, a.s. = ao semestre e a.a. = ao ano.


Resposta: O prazo e a taxa devem sempre estar na mesma unidade de tempo e sempre o prazo que deve ser convertido, e no a taxa. Para converter o prazo de dias para meses, utili-zamos a regra do banqueiro.

Pela regra do banqueiro, um ms tem 30 dias; logo, o prazo n = 139 dias corresponde a

Agora podemos voltar ao exemplo.Qual o rendimento de uma aplicao financeira de R$ 3.589,00 aps 139 dias, a uma

taxa de 1,90% ao ms?

Dados:J =? (rendimento = juro)P = 3.589,00 (principal = valor da aplicao financeira)i = 1,9% (0,019) a.m.n = 139 d

Soluo:

3.589

Resposta: R$ 315, 95.

Cuidado com os arredondamentos!

Encontramos . Se esse valor for arredondado antes de calcular a respos-

ta final, poderemos perder preciso, como ser visto nas alternativas a seguir:

Arredondando para... Resultado de J = Pin

4,6 3.589 0,019 4,6 = 313,684,63 3.589 0,019 4,63 = 315,724,633 3.589 0,019 4,633 = 315,93Usando a maior preciso possvel Resposta mais correta

4,63333333 . . . 3.589 0,019 139 30 = 315,9516333 . . .

Nas aplicaes profissionais, normalmente se exige exatido em ao menos duas casas deci-mais. Qualquer um desses arredondamentos forneceria respostas inexatas que seriam avalia-das como erradas ou parcialmente corretas. Para se obter essa preciso ao final, necessrio utilizar todas as casas da calculadora nos clculos intermedirios, seguindo os passos indica-dos nos exemplos resolvidos.

Captulo 3 Juros simples 15

Usando a calculadora.

.

RPN ALG

3589 ENTER 3589 0.019 0.019 139 139 30 30 =

315,9516333 . . . 315,9516333 . . .

EXEMPLO 3.3 O emprstimo de um capital de R$ 3.700, 00, taxa de juros simples de 35,5% ao ano, foi feito no dia 02/01/2011 e pago em 02/03/2011. Calcular os rendimentos pagos.

Dados:J = ?P = 3.700,00 (principal = capital emprestado)i = 35,5% (0,355) a.a.

n = 59 d = a (regra do banqueiro para converso)

Soluo:

Resposta: Foram pagos rendimentos de R$ 215,27.


.

RPN ALG

3700 ENTER 3700 .355 .355 59 59

360 360 = 215, 268056 215, 268056

3.3.2 Clculo do principal

EXEMPLO 3.4. Calcular o valor necessrio para aplicar em um fundo que remunera taxa de juros simples de 26% ao ano, para se conseguir rendimentos no valor de R$ 400,00 aps 45 dias.


Dados:P = ?J = 400i = 26% (0,26) a.a

n = 45 d = a (regra do banqueiro para converso)

Soluo:

(3.3)

45360

Resposta: necessria uma aplicao de R$ 12.307,69.


RPN ALG

400 ENTER.26 ENTER (

45 .26 360 45

360 =12.307,6923077 12.307,6923077

400

3.3.3 Clculo da taxa de juros

EXEMPLO 3.5 Uma aplicao de R$ 3.000,00 rende juros de R$ 340,00 aps 320 dias. Calcular a taxa anual de juros simples utilizada.

Dados:P = 3.000J = 340n = 320 d = aia=?

(3.4)

320360

Resposta: A taxa anual de 12,75% a.a.

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