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Matemática FinanceiraMatemática Financeira
Séries de Séries de PagamentosPagamentos
Prof. Ms. Cristiane Attili Castela
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Noções de Fluxo de CaixaNoções de Fluxo de Caixa
• É uma sucessão de pagamentos e recebimentos em dinheiro previstos para uma determinada data ou período.
• O fluxo de caixa é representado por um gráfico que indica o recebimento com uma seta para cima e o pagamento com uma seta para baixo.
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Exemplo de fluxo de caixaExemplo de fluxo de caixa
• Um banco concede um empréstimo de $40.000,00 a um cliente, para pagamento em seis parcelas iguais de $9.000,00.
• Representar o fluxo de caixa (a) do ponto de vista do banco e (b) do ponto de vista do cliente.
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Solução: Ponto de vista do Solução: Ponto de vista do BancoBanco
40.000,00
01 2 3 4 5 6
9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000
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Solução: Ponto de vista do Solução: Ponto de vista do ClienteCliente
40.000,00
01 2 3 4 5 6
9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000
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Tipos de Séries de PagamentosTipos de Séries de Pagamentos
1. Série de pagamentos iguais com termos vencidos (postecipadas);
2. Série de pagamentos iguais com termos antecipados;
3. Série de pagamentos variáveis com termos vencidos;
4. Série de pagamentos variáveis com termos antecipados.
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ObservaçõesObservações
1. A diferença de prazo entre dois termos consecutivos é sempre constante;
2. O número de termos é finito (quando o número de termos é infinito trata-se de rendas perpétuas que não será tratado neste tópico).
3. Os cálculos são baseados no sistema de capitalização composta (juros compostos).
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Aplicações das séries de Aplicações das séries de pagamentospagamentos
Financiamento de veículos e imóveis
Investimento em poupança, fundos, etc
Compras com pagamento parcelado
Empréstimos
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Exemplo 1Exemplo 1
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Exemplo 2Exemplo 2
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Tipos de cálculos que Tipos de cálculos que podemos efetuarpodemos efetuar
• Montante acumulado após uma série de aplicações;
• O valor de cada termo para formar um montante desejado;
• Valor presente de uma série de pagamentos;
• Número de termos para formar um montante com taxa e prestações conhecidas;
• Taxa de juros de uma série de pagamentos.
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Montante de uma série de Montante de uma série de pagamentos vencidospagamentos vencidos
VF
0 1 2 3 4 5 6
R R R R R R
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Cálculo do montante de uma Cálculo do montante de uma série de pagamentos vencidossérie de pagamentos vencidos
i
iRVF
n 11
R = valor de cada parcelai = taxa de jurosn = número de parcelas
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Exemplo 1Exemplo 1
Determinar o valor do montante, no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $1000,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base, e que a última, no final do 5º mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante.
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Solução do exemplo 1:Solução do exemplo 1:fluxo de caixafluxo de caixa
VF=?
01 2 3 4 5
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
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Continuação da soluçãoContinuação da solução
32,5416
04,0
104,011000
11 5
i
iRVF
n
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ExercíciosExercícios
01. Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 1.000,00 por mês, à taxa de 3% a.m.?
$ 8.892,34
02. Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 5% a.b., durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de $ 175.000,00?
$ 4.899,32
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Cálculo do VP para série de Cálculo do VP para série de pagamentos constantes pagamentos constantes
postecipadospostecipados
• E se no exemplo anterior, ao invés do Valor Futuro (VF) pedíssemos o Valor Presente (VP)?
• Como encontrar VP?
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Fluxo de caixa para VPFluxo de caixa para VP
VP=?
01 2 3 4 5
1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
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Mais uma Fórmula!!!Mais uma Fórmula!!!
• Sabemos que VF = VP (1+i)n .
• Sabemos também que
• Assim
i
iRVF
n 11
i
iRiVP
nn 11
)1(
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Portanto:Portanto:
n
n
ii
iRVP
)1(
11
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E em nosso exemplo:E em nosso exemplo:
????04,0104,0
104,011000
1
115
5
n
n
ii
iRVP
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$ 4.451,82
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03. Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de $ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% a.m. $ 48.295,24
04. Um empréstimo de $30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% a.m., calcular o valor da prestação. $ 3.104,52
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ExercíciosExercícios
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Na HP 12CNa HP 12C• Série de pagamentos
postecipados (vencidos)
Utilize END (Teclas: g - END)
• Série de pagamentos antecipados
Utilize BEGIN( Teclas: g - BEG)
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NA HP 12C...NA HP 12C...
• PMT – parcelas.
• n – prazo, quantidade de parcelas.
• FV – valor futuro.
• i – taxa de juros (em porcentagem) de acordo com as parcelas.
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Série de Pagamentos Série de Pagamentos AntecipadosAntecipados
Matemática FinanceiraMatemática Financeira
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Cálculo do Valor FuturoCálculo do Valor FuturoSérie de pagamentos antecipadosSérie de pagamentos antecipados
VF=?
01 2 3 4 5
1.000 1.000 1.000 1.0001.000
VF=?
0 1 2 3 45
1.000 1.000 1.000 1.0001.000
Termos vencidos (postecipados)
Termos antecipados
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Cada um dos termos é aplicado em Cada um dos termos é aplicado em um um período a maisperíodo a mais do que na série de do que na série de
termos vencidostermos vencidos
• Valor futuro da série de termos antecipados:
• Valor Presente da série de pagamentos antecipados:
i
iiRVF
n 111
n
n
ii
iiRVP
1
111
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Exercício 5Exercício 5
Uma dona de casa compra uma TV em 24 prestações de $630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 4% a.m., qual o valor da TV à vista?
$ 10.000,00
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Determinar o montante ao final do 5º mês de uma série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $1.000,00 à taxa de 1% a.m., de forma antecipada.
$ 5.152,02
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Exercício 6Exercício 6
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Um empréstimo de $ 4.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais, consecutivas e antecipadas. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,7% a.m. determine:
a) O gráfico de fluxo de caixa do ponto de vista de quem contraiu o empréstimo;
b) O valor da prestação.$ 384,31
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Exercício 7Exercício 7
Exercícios ExtrasExercícios Extras
Série de Pagamentos Série de Pagamentos
Matemática FinanceiraMatemática Financeira
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Um veículo é financiado para pagamento em 36 parcelas mensais, à taxa de 4,5% ao mês.Sabendo-se que o valor financiado foi de $ 245.000,00, calcular o valor das prestações:
a) de acordo com o conceito de termos vencidos;
b) de acordo com o conceito de termos antecipados.
$ 13.868,42
$ 13.271,21
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Exercício 8Exercício 8
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Exercício 9Exercício 9
Qual é o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais (vencidas), à taxa de 3,5% ao mês, sendo as quatro primeiras prestações de $3.000,00 e as 6 últimas de $4.500,00?
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SoluçãoSolução
104
VP
4.500,003.000,00
ii
iRVP n
n
.1
11
0
$ 31.915,10
Vp=11.019,24 Vp4=23.978,49 Vp=20.895,87
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Exercício 10Exercício 10
Qual o valor financiado que pode ser liquidado em 18 parcelas mensais, à taxa de 4% ao mês, sendo as 9 primeiras prestações de 4.000,00 e as restantes de 3.000,00?
$ 45.413,23
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Exercício 11Exercício 11
Calcular o valor presente da série representada por 5 pagamentos mensais consecutivos de $ 1.700,00, $ 3.000,00, $ 1.250,00, $ 2.300,00 e $ 980,00, considerando-se a taxa de 4% ao mês.
$ 8.291,08
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Exercício 12Exercício 12
Qual o montante, no final de seis trimestres resultante da aplicação de seis parcelas trimestrais de $ 1.000,00, $ 4.000,00, $ 2.000,00, $ 6.000,00, $ 3.000,00 e $ 5.000,00, à taxa de 10% ao trimestre, sendo a primeira aplicação feita no final do primeiro trimestre?
$ 25.688,91
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Exercício 13Exercício 13
Quanto terei, no final de 42 meses, se aplicar 10 parcelas trimestrais, iguais e consecutivas de $ 5.000,00, a partir de hoje, a uma taxa de 10% ao trimestre?
$ 128.336,91
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40
Exercício 14Exercício 14
Quanto terei, no final de 20 meses, se aplicar, alternadamente, $ 200,00 e $ 400,00 por mês, respectivamente, a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos?
$ 7.631,86
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Resolver os exercícios propostos na lista e os exercícios da pág. 154 até 163 do livro do José Dutra Sobrinho.
Lista de ExercíciosLista de Exercícios
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