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MATEMATICA FINANCIERA
• “Nunca consideres el estudio como una obligación sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber”
Albert Einstein
EvaluacionesUNIDAD 1· Evaluación sumativa de la Unidad. 10%.· Evaluación de talleres, controles. Ponderación 5%.UNIDAD 2· Evaluación sumativa de la Unidad. 10%.· Evaluación de talleres, controles. Ponderación 5%.UNIDAD 3· Evaluación sumativa de la Unidad. 20%.· Evaluación de talleres, controles. Ponderación 15%.UNIDAD 4· Evaluación sumativa de la Unidad. 20%.· Evaluación de talleres, controles. Ponderación 15%.
Aplicación de examen según reglamento académico vigente
INTRODUCCION
Desde el punto de vista matemático, la base de las matemáticas financieras la encontramos en la relación resultante de recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período. La diferencia entre VA y VF responde por el “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo actualy al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso
Nos dice Michael Parkin, en su obra Macroeconomía: «El dinero, el fuego y la rueda, han estado con nosotros durante muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe -el dinero-, ni de cuál es su origen».
En forma similar nos acompaña la matemática financiera, cuya génesis está en el proceso de la transformación de la mercancía en dinero.
Según la teoría del valor: el valor solo existe de forma objetiva en forma de dinero. Por ello, la riqueza se tiene que seguir produciendo como mercancía, en cualquier sistema social.
El dinero
"El dinero es el equivalente general, la mercancía donde el resto de las mercancías expresan su valor, el espejo donde todas las mercancías reflejan su igualdad y su proporcionalidad cuantitativa”
Funciones del dinero
Formas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En la economía mercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes:1) medida del valor “Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene cada ciudadano. Y también podemos medir el precio de cada hora de trabajo social . De manera que si expresamos el valor del patrimonio personal en dinero, después debemos expresar este dinero en horas de trabajo...”2) medio de circulación,3) medio de acumulación o de atesoramiento,4) medio de pago y5) dinero mundial.
• La tasa de interés es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".
• La tasa de interés es fijada por el Banco central de cada país a los otros bancos y estos, a su vez, la fijan a las personas por los préstamos otorgados.
• Una tasa de interés alta incentiva al ahorro y una tasa de interés baja incentiva al consumo.
Tasa de Interés
I. UNIDAD INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
Interés Simple
Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el CAPITAL que has prestado es de $10.000.
Interés SimpleSi tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.
Interés SimplePero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.
LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo determinado.
A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en renta fija.
En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y Finanzas en general.
Así abreviaremos :
No confundas interés con tasa de interés. Comoves son muy diferentes. Cuando ustedes consultanpor rentabilidad, puedes asociarla con el conceptode TASA DE INTERÉS.
Interés SimpleEJEMPLO :
Interés SimpleVeamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados.
CC
II
ii
Interés SimpleFORMA DE OPERACION
Interés Simple
En el interés simple, el Capital y la Ganancia por el interés permanece invariable en el tiempo.
Interés Simple
Analicemos el caso de un Capital de $10.000 colocado a una Tasa de Interés de 8% anual durante 5 años :
Veamos ahora cómo funciona, en el siguiente gráfico :
Interés SimpleEn el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800.
Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital, a la tasa de interés y al número de períodos.
Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma:
II
CC
ii
nn
I = C x i x n
Interés SimpleInterés Simple
CapitalCapital
Tasa de interésTasa de interés
PeríodoPeríodo
Interés SimpleCaracterísticas Interés Simple:
A mayorA mayorC A P I T A LC A P I T A L
A mayor A mayor TASA DE INTERÉSTASA DE INTERÉS
A mayorA mayorN° DE PERÍODOSN° DE PERÍODOS
Mayor INTERÉSMayor INTERÉS
Mayor INTERÉSMayor INTERÉS
Mayor INTERÉSMayor INTERÉS
Ejercicio 1 Interés SimpleSi depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 años...
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?
Seleccionamos la fórmula :Seleccionamos la fórmula :
I = C x i x nI = C x i x n
Reemplazando los Reemplazando los valores en la fórmula :valores en la fórmula :
I = 100.000 x 0.06 x 5I = 100.000 x 0.06 x 5
Efectuando los cálculos Efectuando los cálculos se obtiene :se obtiene :
I = $ 30.000I = $ 30.000
Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresaen porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, es necesario expresarla en decimales.
Por Ejemplo :6% = 0,06 (6 Dividido por 100)
Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresaen porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, es necesario expresarla en decimales.
Por Ejemplo :6% = 0,06 (6 Dividido por 100)
Ejercicio 2 Interés SimpleA modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios :
¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $ 24.000 de Interés ?
¿ Qué fórmula usaras ?
Verificando fórmula.....Verificando fórmula.....
Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al despejarla de la fórmula de Interés Simple obtenemos la fórmula seleccionada.
En este caso “n” = 6 meses o paraEn este caso “n” = 6 meses o para““homogeneizar”, 0,5 años.homogeneizar”, 0,5 años.
$200.000 es el$200.000 es elCAPITALCAPITAL
Ejercicio 3 Interés simple :
Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durante 5 días...
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?
Seleccionamos la fórmula :Seleccionamos la fórmula :
I = C x i x n / 360I = C x i x n / 360
Reemplazando los valores en la fórmula :Reemplazando los valores en la fórmula :
I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360
Efectuando los cálculos se obtiene :Efectuando los cálculos se obtiene :
I = $ 83,3I = $ 83,3
El interés que El interés que obtendría usted es deobtendría usted es de
$83$83
Consideraciones GeneralesLos ejemplos y actividades que verás, en el llamado tiempo ajustado, o Tiempo comercial, que considera cada mes como de 30 días. El denominado tiempo real que tiene meses de entre 28 y 31 días, no se usará por razones prácticas.
Debemos igualar las unidades de tiempo en que están expresadas la tasa y el período.
Interés Compuesto
El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.
Al final de cada período Al final de cada período el capital varía, y por el capital varía, y por consiguiente, el interés consiguiente, el interés que se generará será que se generará será mayor.mayor.
Al final de cada período Al final de cada período el capital varía, y por el capital varía, y por consiguiente, el interés consiguiente, el interés que se generará será que se generará será mayor.mayor.
Interés CompuestoLo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el período.
Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :
Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :
Recuerda que el exponente deRecuerda que el exponente de(1+i) es igual al número de(1+i) es igual al número de
períodos.períodos.
Interés Compuesto
Un concepto importante que debes recordar,Un concepto importante que debes recordar,se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses,se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses,es decir, cada cuánto tiempo el interés ganadoes decir, cada cuánto tiempo el interés ganadose agrega al Capital anterior a efectos dese agrega al Capital anterior a efectos decalcular nuevos intereses.calcular nuevos intereses.
En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa aEn general la CAPITALIZACIÓN se efectúa aIntervalos regulares :Intervalos regulares :• DiarioDiario• MensualMensual• TrimestralTrimestral• CuatrimestralCuatrimestral• SemestralSemestral• AnualAnual
Interés Compuesto
Se dice entonces :
que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertibleen capital, en consecuencia, también gana interés
El interés aumenta periódicamente duranteel tiempo que dura la transacción.
El capital al final de la transacción se llama MONTOCOMPUESTO y lo designaremos MC.A la diferencia entre el MONTO COMPUESTO y el CAPITAL (C) se le conoce como INTERÉSCOMPUESTO y lo designaremos por IC.
Obtenemos entonces la siguiente fórmula :
IC = MC – C
Interés Compuesto = Monto Compuesto - Capital
Obtenemos entonces la siguiente fórmula :
IC = MC – C
Interés Compuesto = Monto Compuesto - Capital
Interés Compuesto
De acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:
Monto Compuesto, al final del periodo “n”estaría dado por :
MC = C*(1+i)^n
En los problemas de Interés Compuesto elPrincipio fundamental Establece que la Tasa De Interés y el Tiempo deben estar en la misma unidad que establece la capitalización.
Monto Compuesto, al final del periodo “n”estaría dado por :
MC = C*(1+i)^n
En los problemas de Interés Compuesto elPrincipio fundamental Establece que la Tasa De Interés y el Tiempo deben estar en la misma unidad que establece la capitalización.
El factorEl factor
(1+i)^n(1+i)^n
Se denomina FACTOR DESe denomina FACTOR DECAPITALIZACIÓN COMPUESTOCAPITALIZACIÓN COMPUESTO
El factorEl factor
(1+i)^n(1+i)^n
Se denomina FACTOR DESe denomina FACTOR DECAPITALIZACIÓN COMPUESTOCAPITALIZACIÓN COMPUESTO
Interés CompuestoEjercicio 1 :
¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000 depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ?
Seleccionamos la fórmula :
MC = C * (1+i)^n
Reemplazando los valores en la fórmula :
MC = 250.000 * (1+0.02)^8
Efectuando los cálculos se obtiene :Efectuando los cálculos se obtiene :
MC = $ 292.915MC = $ 292.915
Recuerde respetar las prioridadesOperacionales :
1° Resolvemos el paréntesis.2° Multiplicamos.
Recuerde respetar las prioridadesOperacionales :
1° Resolvemos el paréntesis.2° Multiplicamos.
Interés CompuestoEjercicio 2 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?
Seleccionamos la fórmula :
N = Log MC – Log C / Log (1+i)
Reemplazando los valores en la fórmula :
N = Log 237.537 – Log 200.000/ Log 1,035Efectuando los cálculos se obtiene :
N = 5,375731267 – 5,301029996/ 0,01494035 = 4,999969739 = 5
Interés CompuestoEjercicio 3 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la TASA DE INTERÉS de la operación?
Seleccionamos la fórmula :
i = (MC / C ) ^ 1/n - 1
Reemplazando los valores en la fórmula :
i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1
Efectuando los cálculos se obtiene :
i = 1,187685 ^ 1/5 - 1 i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035
Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %mensual.
Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %mensual.
Interés CompuestoEjercicio 4 :
¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000, capitalizable anualmente ?.
Seleccionamos la fórmula :
C = MC / (1 + i)^n
Reemplazando los valores en la fórmula :
C = 250.000 / (1 + 0,12)^2
Efectuando los cálculos se obtiene :
C = 250.000 / 1,2544 = $ 199.298
Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de$ 199.298
Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de$ 199.298
Interés Real y NominalEl ultimo concepto que revisaremos en esta lección se refiere a INTERÉS REAL.
Como muchos otros bienes, el dinero se deprecia en el tiempo (tiene un menor valor). En el caso del dinero, esto se produce por el efecto que tiene sobre él un fenómeno denominado INFLACIÓN.
La inflación tiene un efecto directo sobre la rentabilidad que exigirá un Inversionista respecto de su inversión.
El interés que se pacta normalmente, no tiene en cuenta el efecto de la INFLACIÓN. Se le denomina INTERÉS NOMINAL.
Los conceptos y ejercicios que Hemos desarrollado hasta ahora, siempre han considerado el interés NOMINAL.No obstante, ustedes se deben Interesar siempre por el interés o rentabilidadREAL de su inversión.
Inflación y tasas de interés
Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC
Inflación:
En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.
$100 $100Si π = 25%
Periodo 0(Año 0)
Periodo 1 (Año 1)
La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:
Donde i = tasa de interés nominalr = tasa de interés real = Tasa de inflación
ri 1*11 AB
La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar:
A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación)
...continuación...
RESUMEN:2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real) * Poder adquisitivo (inflación)
Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%
$1100 $1375
Año 1 Año 1Si π = 25%
$1000 $1100
Año 0 Año 1Si r = 10%
...continuación...
Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual.
¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?
Ejemplo:
Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )
Donde =0,25 y i =0,375
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10%
Si el capital inicial es C0 = $ 500
Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5
Interés Real y Nominal
El interés REAL, es el ajuste que debe efectuarseal interés NOMINAL para que refleje correctamentela inflación del período.
En otras palabras, el interés REAL refleja el “PODERADQUISITIVO” de la rentabilidad obtenida en unainversión.
Si la inflación es positiva, siempre el interés REALserá menor que el interés NOMINAL.
Unidad II. Amortizaciones y Depreciaciones
Descuentos
La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un monto futuro.Mientras que en capitalización se calcula los intereses que se les añade al monto principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En los descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital.
Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos:
-Descuento comercial
-Descuento racional
- Descuento económico
Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos:
-Descuento comercial
-Descuento racional
- Descuento económico
1. DESCUENTO COMERCIAL El descuento comercial, permite calcular el monto del descuento con la siguiente formula
D = Co * d * t" D " son los intereses que hay que pagar
" Co " es el capital inicial (en el momento t=0)
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Ejemplo: calcular los intereses de descuento que generan 2 millones de pesos, descontados a un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año.
D = $ 2.000.000 * 0,15 * 1
D = $ 300.000
Una vez que conocemos el monto del descuento, se puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial menos el monto del descuento):
Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial menos el importe del descuento):
Cf = Co - D
Cf = Co - ( Co * d * t ) (sustituyendo "D" por su equivalente)
Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) (sacando factor común "Co")
" Cf " es el capital final
¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?
Cf = Co - D
Cf = 2.000.000 - 300.000
Cf = $ 1.700.000
¿ Cual era el capital final en el ejemplo anterior ?
Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal. El tipo de interés equivalente se calcula tal como visto al estudiar la capitalización simple.
Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.
Base temporal Calculo Tipo resultante
Año 15 / 1 15 % Semestre 15 / 2 7,5 % Cuatrimestre 15 / 3 5 % Trimestre 15 / 4 3,75 % Mes 15 / 12 1,25 % Día 15 / 365 0,041 %
Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento de un capital de $ 600.000 al 15% anual durante 3 meses:
Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12)
Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t
D = 600.000 * 0,0125 * 3 = $ 22.500
La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año).
Desarrollo de guías
2. DESCUENTO RACIONAL
El descuento racional viene definido de la siguiente manera:D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t)
" D " son los intereses que hay que pagar
" d " es la tasa de descuento que se aplica
" t " es el tiempo que dura la inversión
Cf = Co - D
Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) (sustituyendo "D")
Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t)) (sacando factor común "Co")
Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t)) (operando en el paréntesis)
luego, Cf = Co / (1 + d * t) " Cf " es el capital final
Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el Capital Final:
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de $ 1.200.000 ., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%
Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras:
• El descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial.
• Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida.
Veamos un ejemplo: Descontar un capital de $ 1.000.000 , por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial
Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida
No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia
Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial
Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial
3. Descuento compuesto
Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de 900.000 ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%.
Calculamos ahora el capital final, utilizando dos procedimientos:
•La ley de descuento compuesto es inversa de la ley de capitalización compuesta: si descontamos un capital utilizando el descuento compuesto, y el importe obtenido lo capitalizamos (capitalización compuesta), aplicando el mismo tipo de interés y plazo, obtenemos el importe inicial.
•El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta se puede utilizar tanto en operaciones de corto plazo (menos de 1 año), como de medio y largo plazo.En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo se utilizan en operaciones a corto plazo.
