Matemática Financiera

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFacultad de Ciencias Contables

Asignatura: Matemticas Financieras Ciclo de Estudios: TerceroSeparata 1: Profesor: Esteban Avelino Snchez

Unidad 1. Operaciones de Inters Simple e Inters CompuestoSemana 1: Conceptos bsicos1.1Inters: origen, qu es el inters?1.2Tasa de inters: definicin, quin determina la tasa?1.3valor econmico y valor monetario1.4Diagrama de flujo de caja1.5Inters exacto y ordinario con tiempo exacto y aproximado1.6Clculo del nmero de das entre dos fechas

1.1Inters: origen, qu es el inters?a) Origen del inters. El cobro de intereses por prstamo de dinero, para facilitar el comercio, tendra su origen en los siglos XII y XIII, pero la Iglesia Catlica lo consider pecaminoso por ello lo prohibi. Tres siglos despus, los telogos de la Escuela de Salamanca cambiaron de parecer; desde entonces el cobro de intereses en la cultura occidental es una prctica mercantil habitual y lcita. En el Per, a inicios del siglo XXI, los prstamos de dinero con tasas de inters altsimas para los sectores de bajos ingresos es una prctica cotidiana.

La Religin Islmica hasta muy avanzado el siglo XX se opona al cobro de intereses; por lo que, en algunos pases musulmanes, los gobiernos estaran facilitando otras formas de recompensacin al prestamista, como la participacin en los beneficios producidos por el capital prestado. Segn la creencia islmica, la responsabilidad compartida entre deudor y acreedor habra sido la mejor garanta para recuperar o pagar el dinero prestado.

b) Qu es el inters? La mayora de libros de aritmtica y de matemticas financieras dicen: Inters es [] rdito que se conviene pagar por un dinero tomado en prstamo (Portus, 1994, p. 15). Cabe precisar, sin embargo, las dos acepciones del inters segn la posicin de las partes contratantes; para el acreedor es un rdito, utilidad, ganancia o rendimiento de su dinero dado en prstamo, es la cantidad que produce su capital colocado a un tanto por ciento durante un plazo determinado, es la variacin cuantitativa del capital en el tiempo; para el deudor es el costo del capital prestado, la compensacin, contraprestacin o retribucin por el uso de dinero ajeno utilizado por un tiempo determinado.

Ejemplo 1. Una persona otorga un prstamo de S/. 1 000 (Nuevos Soles) por 10 meses, al trmino del plazo el deudor le devuelve S/. 1 100. El inters devengado, es la diferencia de la suma devuelta por el deudor menos el capital recibido, I = 1 100 1 000 = S/. 100.Cabe sealar que las leyes de cada pas regulan los contratos de las operaciones financieras.

1.2Tasa de inters: definicin, quin determina la tasa?a) Definicin de tasa de inters.La tasa de inters, generalmente, se define como la razn geomtrica del inters devengado al capital en una unidad de tiempo, generalmente un ao.

Ejemplo 1-5. Si el capital es S/. 1 000 por un ao y el inters devengado al trmino de un ao es S/. 100, la tasa de inters es:

Tasa de inters = = 0,10 (expresado en tanto por uno)La tasa de inters se expresa generalmente en tanto por ciento, en el ejemplo anterior se escribe 10%, significa 10 unidades monetarias por cada 100. Sin embargo, en las frmulas de clculo se utiliza la expresin tanto por uno. Tambin se dice que, la tasa de inters es el precio del dinero prestado, x unidades monetarias por 100 (100 es la unidad de medida para establecer el precio del dinero). En el ejemplo (1-5) 10 unidades monetarias por cada 100.

b) Quin determina la tasa? En la economa de mercado, la tasa de inters lo acuerdan libremente las partes contratantes. Sin embargo, por razones de poltica econmica los gobiernos, para expandir o contraer el crdito o limitar la usura, pueden establecer tasas de inters referenciales, tasas tope (las tasas promedio), el costo de fondos ms un porcentaje adicional. Los problemas del desarrollo se comprenden y administran mejor gestionando las tasas de inters, de acuerdo a objetivos determinados. Los economistas dicen: la tasa de inters es un precio bsico de la economa, cuando se establece en un nivel reducido o excesivo se genera el riesgo de una distorsin en la economa, cuyas consecuencias afectan la competitividad y el bienestar de los consumidores.

1.3valor econmico y valor monetarioValor del dinero a travs del tiempoMuchos libros de finanzas dicen: un dlar hoy vale ms que un dlar maana (Brealey, 1994, 14), porque un dlar de hoy se puede invertir y ganar intereses inmediatamente, lo que no se puede hacer con un dlar por recibir dentro de un ao. Como el valor econmico del dinero a travs del tiempo difiere de su valor nominal o valor contable, en operaciones financieras se comparan e intercambian valores econmicos equivalentes.

1.4Diagrama de flujo de cajaa) Concepto. Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos; esos valores se pueden anotar sobre una recta que representa el tiempo de duracin de la operacin financiera. Al registro grfico de las entradas y salidas de dinero durante el tiempo que dura la operacin financiera se denomina flujo de caja (tambin flujo econmico o diagramas de lneas de tiempo); aunque no hay consenso sobre la direccin de las flechas, los expertos prefieren las flechas hacia abajo para indicar las salidas de dinero y las flechas hacia arriba para indicar los ingresos de dinero. Por lo tanto, de la misma operacin financiera se pueden representar dos flujos de caja: uno del prestamista y otro del prestatario.

b) Operaciones simples. Una operacin es simple cuando en el ella existe el cambio de un capital nico por otro tambin nico; ejemplo: un prstamo de dinero que se devuelve con inters en un solo pago, una inversin nica en una empresa que producir todo el beneficio en un solo momento.El seor Alegre deposita el 15/01/2012 S/. 1 000 en el banco Porvenir por dos aos, al trmino del plazo indicado retira S. 1 150. Graficar el flujo de caja del prestamista y del prestatario.

Grfica 1-2Flujo de caja del prestamistaS/. 1 150

15/01/2012

15/01/2014

S/. 1 000

Grfica 1-3 Flujo de caja del prestatarioS/. 1 000

15/01/2014

15/01/2012

S/. 1 150

1.5Inters exacto y ordinario con tiempo exacto y aproximadoa)Inters exacto y ordinarioSe denomina inters exacto, cuando la tasa es expresada en das del ao calendario; e inters ordinario cuando la tasa es expresada en das del ao comercial.Ejemplo 1-7. Cunto es el inters simple exacto y ordinario de S/. 1 000 al 5 % por 125 das?

Inters simple exacto,Ie = 1 000 x x 125 = S/. 17,12

Inters simple ordinario, Io = 1 000 x x 125 = S/. 17,36Los conceptos inters exacto e inters ordinario no se refieren a la duracin de la operacin financiera sino a la expresin de la tasa de inters en das del ao calendario (365) o das del ao comercial (360). Considerando los mismos datos el inters ordinario siempre es mayor, como se demuestra a continuacin:

= = = (1 - ) porque = -

Resolviendo, Ie = Io - Io Si conoce el inters ordinario puede calcular el inters exacto y viceversa. Considerando la informacin del ejemplo 1-7 se verifica que:

Ie = 17,36 - (17,36) = 17,36 0,24 = S/. 17,12.

b)Inters con tiempo exacto y tiempo aproximadoCon tiempo exacto, se cuentan los das del ao calendario (365 das o 366 del ao bisiesto); con tiempo aproximado, se cuentan los das del ao comercial (360 das o 30 por cada mes). Por este detalle, el mismo capital prestado por el mismo plazo y con la misma tasa de inters, segn cono se cuenten los das, puede producir cuatro montos de inters diferentes.Ejemplo 1-8. Determinar el inters exacto y ordinario de $ 1 000 al 5 %, del 15 de marzo al 10 de agosto 2015.Tiempo exacto: 148 das,Tiempo aproximado: 145 das.

a) Inters exacto y tiempo aproximadoc) Inters ordinario y tiempo aproximado

Ir = 1 000 x x 145 = 19,86Ic = 1 000 x x 145 = 20,14

b) Inters exacto y tiempo exactod) Inters ordinario y tiempo exacto

Ir = 1 000 x x 148 = 20,27Ic = 1 000 x x 148 = 20,56Generalmente, se calcula inters ordinario con tiempo exacto porque produce el mayor monto de inters. En adelante, en los ejemplos y ejercicios de ste texto, se calcula inters ordinario con tiempo exacto o tiempo aproximado, lo que se indicar en cada caso.

1.6Clculo del nmero de das entre dos fechasLa primera corresponde a la fecha de origen o vencimiento de la obligacin y la ltima a la fecha de pago o de liquidacin de intereses. El nmero de das entre dos fechas se puede contar de dos maneras: en forma exacta y aproximada, considerando los das del ao calendario y ao comercial, respectivamente. La fecha origen o vencimiento no se cuenta, porque para percibir intereses se requiere que transcurra mnimo un da de recibido el prstamo o efectuado un depsito de ahorro en un banco.Ejemplo 1-9. Calcular entre 15 de marzo de 2013 al 10 de agosto de 2015.

En forma aproximadaEn forma exacta15/03/13 al 15/03/2015730AoMesDaMarzo 1620150810Abril-Julio12220130315Agosto 10--------------------------------------------------------------20425878 dasLos das en forma aproximada suman 865 (2 x 360 + 4 x 30 +25).

Clculo del nmero de das exacto en una hoja de clculo, pruebe con los datos del mismo ejemplo: digite la fecha de pago o de liquidacin de intereses, a continuacin (a la derecha o hacia abajo, segn su preferencia) la fecha de origen o vencimiento, en la celda siguiente escriba la frmula de la resta: fecha de pago menos fecha de vencimiento y obtendr el nmero de das exacto.

Tambin puede utilizar tablas especialmente elaboradas, como la tabla 1-3.Considerando los datos del ejemplo 1-9: 15 de marzo de 2013 al 10 de agosto de 2015, as:1Efecte la diferencia de das de los meses de pago y vencimiento, as: 10 15 = -5. 2Anote el nmero de la interseccin del mes inicial y mes terminal, en este caso: 153. 3De 2013 a 2015 son 2 aos (2 x 365), o sea730.4Sume algebraicamente los tres valores (-5 +153 + 730) y obtendr 878 das.

Considerando el mismo periodo: 15 de marzo de 2009 al 10 de agosto de 2015, as:1Efecte la diferencia de das de los meses de pago y vencimiento, as: 10 15 = -52Anote el nmero de la interseccin del mes inicial y mes terminal, en este caso: 153 3De 2009 a 2015 son 6 aos, uno bisiesto (5 x 365 + 366), o sea21914Sume algebraicamente los tres valores (-5 +153 + 2191) y obtendr 2339 das.Si el periodo de tiempo es un ao o menos omita el paso 3

Semana 2: Clculo de inters simple y conceptos afines2.1Forma de clculo de inters simple2.2Inters diario2.3Valor presente y valor futuro a inters simple2.4 Cambios de la tasa de inters y factor acumulado2.5 Cambios del capital e inters de saldos de cuentas bancarias

2.1Forma de clculo de inters simpleConceptos.Las personas que piden dinero prestado usualmente pagan un inters al propietario del dinero por el uso del dinero (Pastor, 2004, p. 33). La cantidad prestada se llama capital o principal, la suma del capital y del inters se denomina monto, el periodo de tiempo acordado desde el desembolso hasta la devolucin se llama plazo; el que puede comprender uno o ms periodos de inters, anuales generalmente. El inters que se cobra (o paga) se expresa por medio de una tasa de inters por periodo, generalmente un ao; por ejemplo, 15% anual significa que por cada S/. 100 prestados se paga S/. 15 como inters al final de cada ao.

Cuando el inters se paga solo sobre el capital prestado se denomina inters simple, se aplica usualmente en operaciones a corto plazo. El inters devengado si no se paga no gana intereses en los perodos siguientes; tanto el inters, como el capital, no aumenta en cada periodo de la operacin financiera.

Tabla 2-01Deduccin de frmula de inters simpleCapitalTasa de intersPeriodos de intersInters simple

CI1I = C.i.1

CI2I = C.i.2

CI3I = C.i.3

CinI = C.i.n

Por induccin matemtica, I = C.i.n(2.1)Dnde:I = Inters simple;C = Capital o deuda;i = Tasa de inters nominal anual, salvo que sea referida en otra unidad de tiempo, en tanto por uno;n = Periodos de inters en la misma unidad de tiempo de la tasa de inters.

Observe que exista correspondencia entre la tasa y los periodos de inters, si no lo hubiera haga las operaciones necesarias a fin de expresar ambos conceptos en la misma unidad de tiempo. Si la tasa es anual los periodos se cuentan por aos o fraccin de ao, si la tasa es mensual los periodos se cuentan por meses o fraccin de mes, si la tasa es diaria los periodos se cuentan por das. En general, para simplificar el clculo, tanto la tasa anual como los periodos de inters se pueden expresar en cualquier submltiplo del ao comercial.

Clculo de inters simple de cualquier periodo (tems 2.1 y 2.2)Ejemplos:1)Calcular el inters de S/. 15 000 prestado al 12 % anual por dos aosDatos: C = 15 000i = 0,12 anual,n = 2 aosI = 15 000 x 0,12 x 2 = S/ 3 600,00.

Expresando la tasa en forma mensual y el plazo en meses se tieneDatos: C = 15 000,i = 0,01 mensual,n = 24 mesesI = 15 000 x 0,01 x 24 = S/ 3 600,00.Expresando la tasa en forma diaria y el plazo en das se tieneDatos: C = 15 000,i = 0,12/360 diaria,n = 720 dasI = 15 000 x 0,12/360 x 720 = S/ 3 600,00.El resultado de dividir la tasa anual entre cualquier submltiplo del ao comercial se conoce como tasa proporcional, si esta no fuera exacta trabaje en su calculadora o computadora con todos los decimales, anote 5 en las operaciones que realiza manualmente como aparece en hoja de clculo del archivo: Inters Simple (internamente puede comprobarlo se consideran todos los decimales). Cualquiera de los procedimientos: anual, mensual o diario, siempre que mantenga la correspondencia entre tasa y periodos de inters, conduce al mismo resultado.

2)Calcular el inters de S/. 15 000 prestado al 12 % anual por dos aos y 7 mesesDatos.C = 15 000,i = 0,12 anual,n = 31/12 aosI = 15 000 x 0,12 x 31/12 = S/ 4 650,00Si los periodos de inters se expresan como fraccin, trabaje en su calculadora o computadora con todos los decimales, anote 5 en las operaciones que realiza manualmente como aparece en hoja de clculo del archivo: Inters Simple (internamente puede comprobarlo se consideran todos los decimales).

La ecuacin 2.1 tiene cuatro elementos relacionados: inters, capital, tasa de inters y periodos de inters. Conociendo los datos de tres, el otro se resuelve procesando dichos datos en la misma frmula. Alternativamente, puede despejar C, i o n [C = I/(i.n), i = I(C.n), n = I/C.i)], segn sea sus preferencias; esta opcin se aplica en la hoja de clculo (en el archivo inters simple vea las frmulas las pertinentes) para resolver los ejemplos siguientes.Ejemplos (continuacin):3)Qu capital colocado al 10% anual produce S/. 5 870 de inters en dos aos y medioDatos: C = ?,i = 0,10 anual,n = 2,5 aos,I = S/.5 8705 870 = C x 0,10 x 2,5 = C x 0,25C = 5 870/0,25 = S/ 23 480,00

4)A qu tasa de inters anual un capital de S/. 18 700 en 17 meses produce S/. 2 710 de intersDatos: C = 18 700,i = ? anual,n = 17/12 aos,I = S/.2 7102 710 = 18 700 x i x 17/12 = 26491,67 x ii = 2 710/26 491,67 = 0,102296 = 10,230% anual, aproximadamente.

5)En qu tiempo un capital de S/. 15 680 colocado al 9% anual produce S/. 2 150 de intersDatos: C = 15 680,i = 0,09 anual,n = ? aos,I = S/.2 1502 150 = 15 680 x 0,09 x n = 1411,20 x nn = 2 150/1411,20 = 1.5235 aos0,5235 x 360 = 188 das.Respuesta: un ao seis meses y ocho das, aproximadamente.

Propiedades de la frmula de inters simple Manteniendo constante dos factores del segundo miembro de la ecuacin (2.1), inters simple aumenta o disminuye directamente proporcional al capital, al tiempo o tasa de inters.Ejemplo: C = S/. 2 000,i = 0,10 anual,n = 1 aoI = 2 000 x 0,10 x 1 = S/. 200

Si el capital se duplica, el inters se duplicaI = 4 000 x 0,10 x 1 = S/. 400Si el capital se reduce a la mitad, el inters se reduce a la mitadI = 1 000 x 0,10 x 1 = S/. 100Si la tasa de inters se duplica, el inters se duplica I = 2 000 x 0,20 x 1 = S/. 400Si la tasa de inters se reduce a la mitad, el inters se reduce a la mitad I = 2 000 x 0,05 x 1 = S/. 100Si el tiempo se duplica, el inters se duplicaI = 2 000 x 0,10 x 2 = S/. 400Si el tiempo se reduce a la mitad, el inters se reduce a la mitadI = 2 000 x 0,10 x 2 = S/. 400

El segundo miembro de la ecuacin (2.1) es una operacin de multiplicacin; por tanto en ella se puede aplicar las propiedades de la multiplicacin y de la divisin, para simplificar las operaciones de clculo.

2.3Valor presente y valor futuro a inters simpleTabla 2-02Deduccin de la frmula del monto simple (valor futuro)PeriodoCapitalIntersMonto simple, al final del periodo

1CI1 = CiS1 = C + I1 = C + C.i.1

2CI2 = CiS2 = C + I2 = C + C.i.2

3CI3 = CiS3 = C + I3 = C + C.i,3

NCIn = CiSn = C + In = C + C.i.n = C(1 + i.n)

Fuente: Mesa Orozco, p. 39 (con algunas modificaciones).

Por induccin matemtica.S = C(1 + i.n) (2.2)Dnde:S = monto simpleC, i, n el mismo significado que se dio en la ecuacin (2.1).Si conoce S y C, por diferencia puede obtener el inters, I = S - C

Monto simple, valor actual y conceptos relacionadosEjemplos:1)Cunto es el monto simple de un capital de S/. 12 360 colocado al 7% anual por tres aos.Datos: C = 12 360,i = 0,07 anual,n = 3 aosS = 12 360 (1 + 0,07 x 3) = S/. 14 955,60S = 12 360 (1 + (0,07/12) x 36) = S/. 14 955,60 (tasa mensual, periodos de inters en meses). S = 12 360 (1 + (0,07/360) x 1080) = S/. 14 955,60 (tasa diaria, periodos de inters en das). I = 14 955,60 12 360,00 = S/. 2 595,60. 2)Cunto es el monto simple de un capital de S/. 13 620 colocado al 1,2% mensual por un ao y siete meses.Datos: C = 13 620,i = 0,012 mensual,n = 19 mesesS = 13 620 (1 + 0,012 x 19) = S/. 16 725,36S = 12 360 (1 + (0,012/30) x (19 x 30)) = S/. 16 725,36 (tasa diaria, periodos de inters en das).

Conociendo tres conceptos, cualquier incgnita se resuelve aplicando los datos en la misma frmula. Alternativamente, puede despejar C, i o n [C = S/(1+i.n), i = ((S/C) 1)/n, n = ((S/C) -1)/i], segn sea sus requerimientos; esta opcin se aplica en la hoja de clculo (en el archivo inters simple vea las frmulas las pertinentes) para resolver los ejemplos siguientes.3)Cunto es el valor actual de una inversin de S/. 15 610 colocada al 7,5% anual por recibir dentro de dos aos y medio.Datos: C = ?,i = 0,075 anual,n = 2,5 aos,S = 15 61015 610 = C (1 + 0,075 x 2.5) = C (1,1875)C = 15 610/1,1875 = S/. 13 145,26

4)Cunto es el valor presente de una inversin de S/. 17 210 por recibir dentro de un ao y siete meses, si la tasa de descuento es de 1,2% mensual, ?.Datos: C = ?,i = 0,012 mensual,n = 19 meses,S = 17 21017 210 = C (1 + 0,012 x 19) = C (1,228) C = 17 210/1,228 = S/. 14 014,66

5)A qu tasa anual un capital en 47 meses se duplica.Datos: C = 1,S = 2,i = ? anual,n = 47/12 aos2 = 1 [1 + i x (47/12)] = 1 + (47/12).i(47/12).i = 2-1 = 1i = 12/47 = 0,255319 = 25,532% anual, aproximadamente.

6)En qu tiempo un capital colocado al 1,3% mensual se triplica.Datos: C = 1,S = 3,i = 0,013 mensual,n = ? meses3 = 1 (1 + 0,013 x n) = 1 + 0,013.n0,013.n = 3 1 = 2n = 2/0,013 = 153,84615 mesesPlazo: 12 aos, 9 meses y 25 das, aproximadamente.

Acumulacin de inters simple.Los intereses devengados, de un solo depsito o de depsitos peridicos, se acumulan hasta una fecha determinada. Los depsitos se pueden hacer al inicio o al final de cada periodo.Ejemplos (continuacin): 7)Se hace un depsito de S/.1 000 en el banco Providencia, en la fecha cero, al 10 % nominal anual por cinco aos. Mostrar en una tabla el proceso de acumulacin.Tabla 2-03Acumulacin de inters simple devengadoPeriodoTNAnInters Monto simple

01 000,00

10,101100,001 100,00

20,101100,001 200,00

30,101100,001 300,00

40,101100,001 400,00

50,101100,001 500,00

Total500,00

El monto simple aumenta en progresin aritmtica al tiempo transcurrido.

2.4 Cambios de la tasa de inters y factor acumuladoSi la tasa cambia con frecuencia o diariamente, con la tecnologa actual no habra problema para calcular intereses en forma precisa y rpida, con un programa de cmputo. Sin embargo, con fines didcticos se puede construir un factor acumulado de inters simple especfico (FIS) para lograr lo mismo: precisin y rapidez. En tal eventualidad se utiliza la frmula siguiente.

I = C x FIS(2.3) Dnde:FIS = Factor acumulado de inters simple especfico, construido previamente.I, C tienen el mismo significado de la ecuacin (2.1).

Ejemplo. Calcular el inters de S/. 25 470 consignado en una letra de cambio vencida el 10 de marzo de 20l3. Fecha de pago el 25 de noviembre de 2014. Los cambios habidos en la tasa de inters son:A partir delTNA16/02/20136,7%11/05/20137,5%01/09/20136,9%21/12/20137,8%25/03/20148,2%01/06/20147,9%16/08/20148,7%01/10/20149,5%

Tabla 2-04Factor acumulado de inters simple especfico FIS, con tiempo exacto.DelAlN dasTNAFactor diarioFactor del periodoFIS

10/03/201310/05/2013610.0670.0001860.0113530.011353

11/05/201331/08/20131130.0750.0002080.0235420.034894

01/09/201320/12/20131110.0690.0001920.0212750.056169

21/12/201324/03/2014940.0780.0002170.0203670.076536

25/03/201431/05/2014680.0820.0002280.0154890.092025

01/06/201415/08/2014760.0790.0002190.0166780.108703

16/08/201430/09/2014460.0870.0002420.0111170.119819

01/10/201425/11/2014560.0950.0002640.0147780.134597

Total625FIS0.134597

Fuente: Elaboracin propia.

Datos: C = 25 470,FIS = 0,134597 (de la tabla 2-04; vea tambin el clculo en Excel: archivo Inters simple, hoja 2).I = 24 470 x 0,134597 = S/. 3 428,19 (inters ordinario con tiempo exacto).

Tambin se puede construir el factor acumulado de inters simple especfico -FIS con tiempo aproximado (ao comercial), con los datos del mismo ejemplo; vea el clculo en Excel: archivo Inters simple, hoja 2. Con esta opcin, FIS = 0,132414 y la TNA promedia 7,75106%. En tal eventualidad, haciendo el clculo: I = 24 470 x 0,132414 = S/. 3 372,58, el inters es menor. Desde el punto de vista del prestamista le conviene inters ordinario con tiempo exacto, desde la ptica del prestatario le conviene inters ordinario con tiempo aproximado, conforme al ao comercial, como se haca antes de la modernidad.

2.5 Cambios del capital e inters de saldos de cuentas bancariasSi el capital cambia con frecuencia o diariamente como los saldos de las cuentas bancarias-, con la tecnologa actual tampoco habra problema para calcular intereses en forma precisa y rpida por periodos mensuales o anuales, con un programa de cmputo. Sin embargo, con fines didcticos se puede lograr el mismo fin: precisin y rapidez con la frmula del numeral u otros procedimientos aritmticos, en cuales se supone que la tasa de inters permanece estable y los saldos son positivos, que a continuacin se exponen.

a) Frmula del numeral. Se utiliza la frmula, I = FD.N(2.4)Dnde:N = Numeral (sumatoria del producto de cada saldo por su respectivo nmero de das).FD = Factor diario (si prefiere la i en tanto ciento, cambie el FD por la TD, tasa diaria).

FD = M = 360 o 30, segn como est expresado la y tasa de inters.I e i el mismo significado que se dio en la ecuacin (2.1).

Ejemplo. En las tres primeras columnas de la tabla 2-05, se presentan: la fecha, el tipo de operacin e importes (en S/.) de marzo de 2014, correspondientes a la cuenta de ahorro N xx en el banco Seguro, el que abona por concepto de intereses 3,5 % nominal anual. Calcular el inters (vea archivo en Excel, hoja3).

Datos:

FD = = 0,000097222; N = 257 601,80 (de la tabla 2-05).I = 0,000097222 x 257 601,80 = S/. 25,04.Con el procedimiento mostrado en la tabla 2-06, llega al mismo resultado.

Tabla 2-05Elaboracin del numeral. FechaDescripcinCargo/abonoS/.SaldosS/.DasNumeralInters */S/.

28/02/2014SA 7,597.80 8 60,782.40 5.91

08/03/2014R -2,500.00 5,097.80 4 20,391.20 1.98

12/03/2014EE 4,500.00 9,597.80 8 76,782.40 7.46

20/03/2014R -1,570.00 8,027.80 4 32,111.20 3.12

24/03/2014EE 1,910.00 9,937.80 6 59,626.80 5.80

30/03/2014R -2,030.00 7,907.80 1 7,907.80 0.77

31/03/2014I 25.04 7,932.84 - - 25.04

Numeral 257,601.80

*/ TNA = 0.035, entre 360, el resultado por el numeral respectivo, pues se trata de inters diario. La suma de los productos parciales es 25,04.Dnde:SA = Saldo ltimo da del mes anterior, EE = Entregas de efectivo, R = Retiro e I = Inters.

b) Intereses de cuentas corrientesMario Atilio Gianneschi propone una tcnica para liquidar inters exacto de cuentas corrientes no sobre los saldos del capital, como se hace con el numeral, sino sobre el saldo inicial y de cada depsito o retiro, a partir del da siguiente de la operacin hasta el ltimo da del mes o ao, conforme al procedimiento de la tabla 2-06.

Tabla 2-06Inters de depsitos y retiros de una cuenta corriente. TNA: 0,05FechaOperacinImporteS/.SaldoS/.DasFactor */IntersS/.I. AcumuladoS/.

30/04/2015SI 15,000.00 15,000.00 310.00430664.58 64.58

04/05/2015D 25,000.00 40,000.00 270.00375093.75 158.33

06/05/2015R -23,000.00 17,000.00 250.003472-79.86 78.47

18/05/2015D 37,500.00 54,500.00 130.00180667.71 146.18

29/05/2015R -45,000.00 9,500.00 20.000278-12.50 133.68

31/05/2015I 133.68 9,633.68 00.000000 - 133.68

Inters 133.68

*/ Dividiendo la TNA entre 360, este resultado por el N de das respectivo.

En las tres primeras columnas la tabla 2-06, se presentan: la fecha, el tipo de operacin (SI: saldo inicial, D: depsitos, R: retiros e I: Inters) e importe (en S/.) mayo de 2015, correspondientes a la cuenta corriente N xx en el banco Girasoles, el que abona por concepto de intereses 5% nominal anual.

El saldo S/. 9 633,68 al ltimo da de mayo de 2015 (tabla 2-06), tambin se puede calcular mediante una ecuacin de valor (vea archivo en Excel, hoja3), siempre que no haya sobregiros bancarios por los cuales los clientes de los bancos pagan tasas de inters activas.

Semana 3 (semana 4, segn el slabo): Ecuaciones de valor, pagos parciales y descuentos3.1Ecuaciones de valor3.2Deduccin de pagos parciales3.3Operaciones de descuento

3.1Ecuaciones de valor: definicin, utilidad y aplicacionesa) Definicin. Las ecuaciones de valor son relaciones matemticas, que permiten sustituir en una fecha una o ms obligaciones por otra(s) de valor(es) equivalente(s). Fecha focal. Es la fecha en la cual se sustituyen (o relacionan) valores equivalentes, de un conjunto de obligaciones antiguas con nuevas obligaciones. La fecha focal se determina de acuerdo con las nuevas condiciones pactadas.Tiempo Equivalente. Es el periodo entre la fecha que se pacta las nuevas condiciones contractuales (fecha cero) y la fecha de vencimiento promedio para cancelar las obligaciones, mediante un pago nico. Las ecuaciones de valor se pueden plantear y resolver a inters simple e inters compuesto.b) Utilidad. Las ecuaciones de valor se utilizan para analizar opciones financieras, tales como: consolidar o fraccionar deudas, sustituir un conjunto de obligaciones por otro, comparar ofertas en la venta de bienes inmuebles y bienes muebles.

c) Ecuaciones de valor a inters simpleEjemplos: 1)Una obligacin de S/. 11 000, vencida en la fecha (hoy) y otra de S/. 9 000 con vencimiento dentro de 120 das, se van a sustituir por un pago nico dentro de 60 das. Si la tasa de inters es 15 % anual, por cunto se debe emitir la letra cambio correspondiente?Conviene trabajar con tasa mensual y periodos en meses.

Tasa mensual = = 0,0125 Eligiendo fecha focal, n = 2 y designando por S/. X el valor equivalente del pago nico.

Figura 2-01Representacin grfica: obligaciones antiguas (sobre la lnea) pago nico (debajo de la lnea).

11 000 9 000

----------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 meses XIgualando los valores equivalentes en la fecha focal:

X = 11 000 (1 + 0,0125 x 2) + 9 000 () Los periodos de inters se cuentan desde la fecha focal a la izquierda y a la derecha, para calcular el monto simple y el valor actual, respectivamente.Resolviendo, resulta:X = 11 275,00 + 9 000 (0,975610) X = 11 275,00 + 8 780,49 = S/. 20 055,49

Si cambia la fecha focal, n = 0 e iguala los valores equivalentes:

X () = 11 000 + 9 000 ()X (0,975610) = 11 000 + 9 000 (0,952381)X (0,975610) = 11 000 + 8 571,43 = 19 571,43X = $ 20 060,72A inters simple, dos obligaciones equivalentes en una fecha focal pueden no serlo en otra fecha focal, dicen los expertos.

2)Con el saldo inicial, depsitos y retiros de la tabla 2-07 (columnas 1 y 2) y la misma tasa de inters, hallar el saldo de la cuenta corriente N xx en el banco Girasoles al 31 de mayo de 2015.Conviene trabajar con el factor diario (tasa diaria) y periodos en das.

FD = Eligiendo fecha focal, n = 31das y designando por S/. X el saldo de la cuenta corriente N xx.

Figura 2-02Representacin grfica de los depsitos (sobre la lnea), retiros y saldo (debajo de la lnea).

15000 25 000 37 500-----------------------------------------------------------------------------------------------0102031 das23 00045 000X

Igualando valores equivalentes en la fecha focal:X + 45 000 (1 + FD x 2) + 23 000 (1 + FD x 25) = 37 500 (1 + FD x 13) + 25 000 (1 + FD x 27) + 15 000(1+ FD x 31)

X + 45 000(1, 000278) + 23 000 (1,003472) = 37 500 (1,001806) + 25 000 (1,00375) + 15 064,58

X + 45 012,50 + 23 079,86 = 37 567,71 + 25 093,75 + 15 064,58 = 77 726,04X = 77 726,04 68 092,36 X = 9 633,68

3)Una obligacin de S/. 25 700 vencida en la fecha (hoy) se va a pagar en dos partes iguales, dentro de seis meses y un ao, con intereses al 18 % nominal anual. Cunto es el importe requerido?Conviene trabajar con tasa mensual y periodos en meses.

Tasa mensual = = 0,015 Eligiendo fecha focal, n = 12 y designando por S/. X el importe requerido.

Figura 2-03Representacin grfica: obligacin vencida (sobre la lnea), obligaciones nuevas (debajo de la lnea).

25 700-------------------------------------------------------------------------------------0612 mesesXXIgualando valores equivalentes en la fecha focal:X + X (1 + 0,015 x 6) = 25 700 (1+ 0,015 x 12)X + X (1,09) = 25 700 (1.18) = 30 326X (1 + 1,09) = 30 326

X = S/. 14 510,05

4)Por un pagar por S/. 10 000 al 2,2 % mensual a seis meses, vencido hoy, el deudor hace un pago de S/. 5 000 y por el saldo, con intereses al 2,5 % mensual, firma una letra de cambio a 6 meses. Por cunto debe girar dicha letra?Tasa mensual y periodos en mesesEligiendo fecha focal, n = 12 y designando por S/. X el importe de la letra.

Figura 2-04Representacin grfica: obligacin vencida (sobre la lnea), obligaciones nuevas (debajo de la lnea).

10 000--------------------------------------------------------------------------------------------0612 meses5 000XIgualando valores equivalentes en la fecha focal:X + 5 000 (1 + 0,025 x 6) = 10 000 (1 + 0,022 x 6) (1 + 0,025 x 6)X + 5 000 (1,15) = 10 000 (1,132) ( 1,15) = 10 000 (1,3018)X = 13 018 5 750X = S/. 7 268,00

5)El vendedor de un terreno recibe tres ofertas: la primera un pago de S/. 90 000 al contado y S/. 90 000 dentro de 12 meses, la segunda S/. 60 000 al contado y dos letras de S/. 60 000 cada una a 6 y 9 meses, la tercera S/. 80 000 al contado y dos letras de S/. 50 000 cada una a 6 y 12 meses. Si la tasa de inters en la localidad es 15 % anual, cul de las ofertas le conviene.Conviene trabajar con tasa mensual y periodos en meses

Designando con O1, O2 y O3 la primera, segunda y tercera oferta (en nuevos Soles).

Figura 2-051Representacin grfica: Valor actual de la oferta O1.

90 00090 000--------------------------------------------------------------------------------------------012 meses

O1 = 90 000 + 90 000 [] O1 = 90 000 + 90 000 (0,869565) = 90 000 + 78 260,87O1 = S/. 168 260,87


60 00060 000 60 000-----------------------------------------------------------------------------06 9 meses

O2 = 60 000 + 60 000 [] + 60 000 []O2 = 60 000 + 60 000 (0,930233) + 60 000 (0,898876) O2 = 60 000 + 55 813,95 + 53 932,58 O2 = $ 169 746,53


80 00050 000 60 000---------------------------------------------------------------------------------------------06 12 meses

O3 = 80 000 + 50 000 [] + 50 000 []O3 = 80 000 + 50 000 (0,930233) + 50 000 (0,869565) O3 = 80 000 + 46 511,63 + 43 478,26 O3 = $ 169 989,89Por tanto, le conviene la tercera oferta.

6)Dos obligaciones de S/. 5 200 y S/. 3 800 con vencimiento dentro de 2 y 5 meses, respectivamente, se van cancelar con un pago nico; con intereses al 9 % anual, cunto es el tiempo equivalente y la fecha de vencimiento promedio?Conviene trabajar con tasa mensual y periodos en meses

Eligiendo fecha focal, n = 0 y designando por t los periodos de tiempo.

Figura 2-06Representacin grfica del problema.

5 2003 800-------------------------------------------------------------------------------------0 2t 5 meses

Igualando valores equivalentes en la fecha focal:

9 000 = 8 785,80 (1 + 0,0075 t)9 000 = 8 785,80 + 65,8935 t 65,8935 t = 9 000 8 785,80 = 214,20

Tiempo equivalente: 3 meses y 8 das, aproximadamente, contados a partir de la fecha 0.Trabajando con la tasa anual llega al mismo resultado.Si el 30 de junio es la fecha cero, entonces la fecha de vencimiento es el 8 de octubre.

3.2Deduccin de pagos parciales: dos procedimientos.En obligaciones de dar sumas de dinero, algunas veces el deudor efecta pagos parciales antes de la fecha de vencimiento o despus de la misma. El problema consiste en determinar la deuda vencida en la fecha de cancelacin; se resuelve aplicando la regla comercial o de los saldos insolutos, segn su preferencia.La regla comercial dice que, el inters se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial hasta la fecha de cancelacin. La deuda vencida (saldo por pagar) es la diferencia entre el principal con sus intereses menos la suma de los pagos parciales con sus respectivos intereses. No es un procedimiento nuevo sino una ecuacin de valor, donde la fecha focal es la fecha de cancelacin.La regla de los saldos insolutos -tambin conocida regla de los Estados Unidos- dice que, el inters se calcula sobre el saldo insoluto de la deuda principal cada vez que se efecta un pago parcial. El pago parcial se aplica primero a los intereses devengados y luego al capital. La deuda vencida (saldo por pagar) es el principal pendiente de pago ms los intereses devengados impagos, hasta la fecha de cancelacin.

El clculo se hace, de conformidad con las condiciones pactadas y marco legal vigente, a inters simple o inters compuesto, segn corresponda.

Clculo de la deuda vencida a inters simpleAntes cabe advertir, si el pago parcial es mayor que el inters devengado, entonces la deuda principal se reduce; si fuera lo contrario, el principal no vara, el inters no pagado se acumula.

Ejemplos (aplicando ambas reglas): 1)Por una deuda de S/. 10 500 vencida el ao anterior la misma fecha que hoy, se realizaron dos pagos a cuenta de S/. 3 500 cada uno al final el cuarto y octavo mes, contados desde la fecha del vencimiento, se va a cancelar hoy con un recargo del 18% anual, cunto es el saldo por pagar?Conviene trabajar con la tasa mensual y periodos en meses.Datos:

Eligiendo fecha focal, n = 12 y designando por S/. X el saldo por pagar.

Figura 2-071Representacin grfica de la regla comercial.

10 500---------------------------------------------------------------------------------------------04812 meses3 5003 500X

Igualando valores equivalentes en la fecha focal:X + 3 500 (1 + 0,015 x 4) + 3 500 (1 + 0,015 x 8) = 10 500 (1 + 0,015 x 12)X + 3 710 + 3 920 = 12 390X = 12 390 7 630 = 4 760X = S/. 4 760,00

Figura 2-072Representacin grfica de la regla de los saldos insolutos.

10 500P1P2P3---------------------------------------------------------------------------------------------04812 meses3 5003 500X

Periodo 1I1 = 10 500,00 x 0,015 x 4 = 630,00SPP1 = 3 500,00 630,00 = 2 870,00 (imputacin del 1 pago parcial a intereses)SP1 = 10 500,00 2 870,00 = 7 630,00 (imputacin del 1 pago parcial al principal)Periodo 2I2 = 7 630,00 x 0, 015 x 4 = 457,80SPP2 = 3 500,00 457,80 = 3 042,20SP2 = 7 630,00 3 042,20 = 4 587,80Periodo 3I3 = 4 587,80 x 0, 015 x 4 = 275,27Deuda vencida: 4 587,80 + 275,27 = S/. 4 863,07La diferencia entre ambos resultados, en este ejemplo es ms de S/. 100,00. Los expertos dicen que a inters simple los resultados de ambas reglas pueden diferir. Qu regla se aplica en el Per, conforme al artculo 1257 del Cdigo Civil, la regla de los saldos insolutos.

2)Por una obligacin de S/. 22 850 vencida, el deudor efectu dos pagos parciales por S/. 5 280 y S/. 6 720 al final del de 5 y 8 mes, contados a partir de la fecha de vencimiento. Si la tasa de inters acordada por las partes es de 20 % anual y la fecha de cancelacin diez meses despus del vencimiento, cunto es el saldo por pagar?Conviene trabajar con tasa mensual y periodos en meses.Datos:

Designando por S/. X el saldo por pagar


22850---------------------------------------------------------------------------------------------0 5810 meses 5 2806 720 X

Igualando valores equivalentes en la fecha focal (a = b):a) X + (1 + 6 720 (0,20/12) x 2) + 5 280 (1 + (0,20/0/12) x 5)X + 6 720 (1,03333) + 5 280 (1,08333)b) 22 850 (1 + (0,20/12) x 10) = 22 850 (1,16666)X + 6 944,00 + 5 720,00 = 26 658,33X = 26 658,33 -12 664,00 = 13 994,33X = S/. 13 994,33


22850---------------------------------------------------------------------------------------------0 5810 meses 5 2806 720 X

Tabla 2-07Aplicacin de regla de saldos insolutos a inters simple. TNM: 0,20/12FechaNFISIntersPago parcialSaldo

S/.S/.S/.

0 22,850.00

150.083333 1,904.17 5,280.00 19,474.17

230.050000 973.71 6,720.00 13,727.88

320.033333 457.60 - 14,185.47

Total10 3,335.47 12,000.00

La diferencia entre ambos resultados, en este ejemplo es ms de S/. 191,14.

3)Por un pagar, de S/. 25 710 emitido el 15 de noviembre de 2013 a 90 das, al 2% mensual, el deudor realiz los pagos parciales siguientes:

FechaImporte13/02/147 00020/03/144 50012/05/143 500Se va cancelar el 30 de junio de 2014. Si se mantiene la tasa de inters 2% mensual y das calendario, cunto es el saldo por pagar?Conviene trabajar con el FD (o tasa diaria) y periodos en das calendario, como se estila en el Per.

Datos:

Regla comercial.Periodos n, das, desde la fecha de emisin y de cada pago parcial al 30/06/2014, del:Principal 227 das, Primer pago parcial 137, Segundo pago parcial 102, Tercer pago parcial 49.Eligiendo fecha focal, n = 227 y designando por S/. X el saldo por pagar.


25 710-------------------------------------------------------------------------------15/11/1313/02/1420/03/1412/05/1430/06/14227 das137102 497 0004 5003 500X

Igualando valores equivalentes en la fecha focal (a + b):a) X + 3 500 (1 + FD x 49) + 4 500 (1 + FD x 102) + 7 000 (1 + FD x 137)X + 3 614 ,33 + 4 806,00 + 7 639,33b) 25 710 (1 + FD x 227) = 29 600,78X + 3 614 ,33 + 4 806,00 + 7 639,33= 29 600,78X = 29 600,78 16 059,66 = 13 541,12X = S/. 13 541,12


25 710----------------------------------------------------------------------------------------------15/11/1313/02/1420/03/1412/05/1430/06/140 das903553497 0004 5003 500X

Tabla 2-08Aplicacin de regla de saldos insolutos a inters simple. FD: 0,02/30FechanFISIntersPago parcialSaldo

S/.S/.S/.

15/11/2013 25,710.00

13/02/2014900.0600001,542.60 7,000.00 20,252.60

20/03/2014350.023333472.56 4,500.00 16,225.16

12/05/2014530.035333573.29 3,500.00 13,298.45

30/06/2014490.032667434.42 - 13,732.87

Total2272,588.45 15,000.00

Respuesta: Saldo por pagar S/. 13 732,87Periodo 1I1 = 25 710,00 x 0,000667 x 90 = 1 542,60SPP1 = 7 000,00 1 542,60 = 5 457,40 (imputacin del 1 pago parcial a intereses)SP1 = 25 710,00 5 457,40 = 20 252,60(imputacin del 1 pago parcial al principal)Periodo 2I2 = 20 252,60 x 0,000667 x 35 = 472,56SPP2 = 4 500,00 472,56 = 4 027,44SP2 = 20 252,60 4 027,44 = 16 225,16Periodo 3I3 = 16 225,16 x 0,000667 x 53 = 573,29SPP3 = 3 500,00 573,29 = 2 926,71SP3 = 16 225,16 2 926,71 = 13 298,45Periodo 4I4 = 13 298,45 x 0,000667 x 49 = 434,42SP4 = 13 298,45 + 434,42 = 13 732,87X = S/. 13 732,87

La diferencia entre ambos resultados, en este ejemplo es ms de S/. 191,75.

3.3Operaciones de descuento racional, bancario y comercialLas operaciones de descuento son frecuentes tanto en el comercio como en las finanzas. Consiste en descontar del valor nominal, consignado en las listas de precios o documentos de crdito, un porcentaje para promover o aumentar las ventas, por pronto pago.

a)Descuento racionalEl descuento racional, tambin denominado descuento matemtico o descuento a una tasa de inters, es la diferencia de una suma de dinero por recibir (o pagar) en una fecha futura y su valor actual. Se puede calcular a inters simple y a inters compuesto.

Descuento racional a inters simplePor definicin, D = S C Dnde:D = Descuento. C y S el mismo significado dado en las ecuaciones 2.1 y 2.2, respectivamente.Despejando C de ecuacin 2.2:

Sustituyendo C y factorizando.

Ejemplos: 1)Un documento de crdito por S/. 10 000 por recibir dentro de 6 meses es descontado hoy, al 15% anual, cunto es el descuento racional y su valor actual? Conviene trabajar con tasa mensual (0,15/12), periodos en meses.Datos:S = 10 000,i = 0,0125 mensual,n = 6 meses

D = 1 000 (1 0,930233)C = 10 000,00 (1 - 0,9302325) = 10 000,00 (0,069767) = 697,67.D = S/. 697,67Por diferencia, C = 10 000 = 697,67 = S/. 9 302,33.

C = 10 000 (0,9302325) = S/. 9 302,33.El resultado del ltimo procedimiento, obtenido con la ecuacin 2.2, es el valor presente de S/. 10 000 (conforme a los datos del ejemplo). Por tanto, por diferencia se puede obtener el descuento (D), sin recurrir frmula 2.5.

Equivalencia del descuento racional con el inters simplePor definicin,D = S C; S = C (1 + i.n)D = C (1 + i.n) C = C + C,I,n C D = C.i.nPor tanto D = IEl descuento racional simple (de un valor futuro) es igual al inters simple (de su valor presente).

b)Descuento bancarioEl descuento bancario, tambin denominado descuento a una tasa de descuento, es la operacin de adquirir documentos de crdito endosables antes de su vencimiento, los cuales contienen una promesa de pago en una fecha posterior. El descuento bancario lo realizan las empresas del sistema financiero y prestamistas que cobran intereses por adelantado.Forma de clculo:D = VN.d.n(2.61)Por definicin, D = VN VL Intercambiando D por VL, VL = VN D = VN VN.d.nPor tanto, VL = VN (1 d.n)(2.62)Dnde:D = Descuento bancario, diferencia entre el valor nominal y el valor lquido,VN = Valor nominal (valor futuro), valor escrito en un ttulo valor,VL = Valor lquido (valor presente), valor que recibe el tenedor de un documento de crdito, en la fecha del descuento,d = Tasa de descuento.n = Periodos de descuento.Ejemplos (continuacin):2)Una letra por S/. 10 000 con vencimiento dentro 6 meses es descontada hoy al 15 % anual, Cunto es el descuento bancario y el valor lquido?Conviene trabajar con tasa mensual (0,15/12), periodos en meses.Datos:VN = 10 000,d = 0,0125,n = 6D = 10 000 x 0,0125 x 6 = 750D = S/. 750,00VL = 10 000 = 750 = S/. 9 250,00

3)El precio de un computador al contado es S/. 1 155,00. A plazos, S/. 200 de inicial y el saldo, con intereses, en una letra a 3 meses. Si la compra al crdito se realiza en la fecha y la tasa de descuento es del 18 % anual, por cunto se debe girar el importe de la letra?Conviene trabajar con tasa mensual (0,18/12), periodos en meses.VL = 1 155 200 = 955Datos:VL = 955,i = 0,015,n = 3955 = VN (1 0,015 x 3) = VN (1 0,045) = VN (0,955)

VN = S/. 1 000,00

Relacin entre descuento bancario y descuento racional.Supuesto, i = dVLb = VN (1 i.n), valor lquido con descuento bancario.

Dividiendo miembro a miembro, se elimina VN

VLb = VLr [1 (i.n)2]Esta ltima expresin indica que en el mismo tiempo y a una misma tasa, el valor lquido con descuento bancario es siempre menor que el valor lquido con descuento racional.4)Con los datos de los ejemplos 1 y 2 demostrar que, VLb < VLr [1 (j.n)2]Datos:VLr = 9 302,33 (ejemplo 1),i = d = 0,0125 mensual,n = 6 mesesVLb = 9 302,33 [1 (0,0125 x 6)2] VLb = 9 302,33 (1 0,005625) = 9 302,33 (0,994375) = 9250VLb = S/. 9 250,00

c)Descuento comercial simple y en serie.El descuento comercial se efecta con frecuencia en el comercio, por alguna razn: promociones especiales de ventas, ventas al por mayor, pronto pago, etc. En el clculo no interviene el tiempo; por lo tanto, el clculo se simplifica. El descuento comercial puede ser simple y en serie; se realiza sobre el precio de lista o de factura, luego sobre el valor neto del descuento anterior, si los descuentos fueran sucesivos o en serie. El problema consiste en hallar el precio neto de descuento (s) y el descuento nico correspondiente. Se aplican las frmulas siguientes:Descuento comercial simpleD = P0.d (2.71)P = P0 - DP = P0 (1 d) (2.72)Descuento comercial en serieP = P0 [(1- d1) (1- d2)... (1- dn)],(2.73)D = P0 - P,(2.74)Dnde:D = Descuento comercial total,P0 = Precio de lista o monto facturado, segn sea el caso,P = Precio rebajado finald = Tasa de descuento,d1, d2, , dn = tasas de descuento sucesivas.Ejemplos5)El precio de lista de una lavadora es S/. 1 500; por aniversario de la empresa vendedora hace un descuento del 15 %. Cunto es el valor neto?Datos:V = 1 500, d = 0,15P = 1 500 (1 0,15) = 1275P = S/. 1 275,006)El precio de lista de una cmara fotogrfica digital es S/. 1 200; sobre el cual se efectan los descuentos sucesivos por: promocin de ventas del fabricante 8 %, poltica de ventas del mayorista 6 % y del minorista por Fiestas Patrias 4%. Cunto es el precio rebajado final y la tasa de descuento total?Datos: P0 = 1 500, d1 = 0,08; d2 = 0,06; d3 = 0,04.P3 = 1 200 [(1- 0,08) (1- 0,06) (1- 0,04)]P3 = 1 200 (0,830208) = S/. 996,25.D3 = 1 200 996,25 = S/. 203,75d = 1 - [(1- 0,08) (1- 0,06) (1- 0,04)]d = 1 0,830208) = 0,169792

Semana 4 (semana 3, segn el slabo): Forma de clculo de inters compuesto4.1Inters compuesto y conceptos afines4.2Monto compuesto y conceptos relacionados4.3Capitalizacin Discreta y continua4.4Forma de clculo de inters compuesto4.5Inters diario4.6Cambios de la tasa de inters y factor acumulado4.7Ecuaciones de valor a inters compuesto4.8Deduccin de pagos parciales: dos procedimientos4.9Descuento racional a inters compuesto

4.1Inters compuesto y conceptos afinesSupongamos que usted hace una inversin a plazo (por tres meses) de S/. 10 000 al 1,5% trimestral por concepto de intereses. Al finalizar el trimestre, aplicando la ecuacin (2.2), usted tendr:S = C (1 + i.n) = 10 000 (1 + 0,015 x 1) = S/, 10 150,00I = S C = 10 150 10 000 = S/. 150,00Si usted decide depositar este monto de nuevo por otros tres meses, a la misma tasa, al final del segundo trimestre el monto de su inversin ser:S = 10 150 (1 + 0,015 x 1) = S/, 10 302,25I = S C = 10 302,25 10 150,00 = S/. 152,25Si vuelve a depositar este monto, al final del tercer trimestre tendr:S = 10 302,25 (1 + 0,015 x 1) = S/, 10 456,78I = S C = 10 456,78 10 302,25 = S/. 154,53Si repite la operacin, al final del cuarto trimestre el monto de su inversin ser: S = 10 456,78 (1 + 0,015 x 1) = S/, 10 613,64I = S C = 10 613,64 10 456,78 = S/. 156,86

Al inters generado de esta manera, donde el capital aumenta en cada periodo con el inters devengado en el periodo anterior, se denomina inters compuesto. En este caso, el inters compuesto generado durante el ao es de S/. 613,64. Si en lugar de inters compuesto se hubiera acordado inters simple, este sera solo de S/. 600,00 (I = 10 000 x 0,015 x 4).

A la incorporacin del inters generado en el periodo anterior al capital de la inversin subsecuente se le llama capitalizacin y al periodo en que el inters puede ser convertido en capital se le llama periodo de capitalizacin (Pastor, 2004, p.59). Los periodos de capitalizacin ms comunes son anual, semestral, trimestral y mensual; sin que ello sea limitativo.En general, el inters compuesto es la capitalizacin del inters simple devengado que se aade al capital para ganar intereses en el periodo siguiente; tanto el inters, como el capital, aumenta en cada periodo de capitalizacin durante el plazo del prstamo. El inters compuesto se usa, generalmente, en operaciones financieras de largo plazo.A partir de la ecuacin, I = S C, despejando S se tiene:S = C + I (capital inicial ms inters compuesto a una fecha determinada).

Desde otra ptica, si i es la tasa de inters por periodo de capitalizacin el monto de la inversin despus de n periodos de capitalizacin ser:S = C (1 + i)n Esta frmula se deduce en la tabla 3-01.Si la tasa i se expresa en forma nominal anual, convertible (es decir capitalizable) peridicamente se aplica la relacin:

Dnde: m es frecuencia de capitalizaciones en un ao.

4.2Monto compuesto y conceptos relacionadosA partir de la igualdad, S = C + I, en la tabla 3-01 se deduce las frmulas para el clculo del monto compuesto e inters compuesto.

Tabla 3-01Deduccin de la frmula de monto compuestoPerodoCapitalIntersMonto compuesto

1CCiC + Ci = C (1 + i)

2C (1 + i)C (1 + i)iC (1 + i) + C (1 + i)i = C (1 + i)2

3C (1 + i)2C (1 + i)2iC (1 + i)2 + C (1 + i)2i = C (1 + i)3

4C (1 + i)3C (1 + i)3iC (1 + i)3 + C (1 + i)3i = C (1 + i)4

NC (1 + i)n-1C (1 + i)n-1iC (1 + i)n-1 + C (1 + i)n-1i = C (1 + i)n

Monto compuesto, S = C (1 + i)n,(3.1)Sustituyendo S en, I = S C, resulta:I = C (1 + i)n CI = C [(1 + i)n 1],(3.2)Dnde:S = Monto compuesto (S en la ecuacin 3.1 tiene otro significado que en la frmula 2.2),C = Capital inicial,I = Inters compuesto (la forma de clculo es diferente que en la ecuacin 2.1),i = Tasa de inters efectiva por perodo de capitalizacin, expresada en tanto por uno,n = Perodos de capitalizacin de intereses.

(1 + i)n = Factor de capitalizacin a inters compuesto. Representa el valor futuro de una unidad monetaria, a la tasa de inters i durante n perodos, cuyo valor presente es 1.

Observe que exista correspondencia entre la tasa y los periodos de inters, si no lo hubiera haga las operaciones necesarias a fin de expresar ambos conceptos en la misma unidad de tiempo. Si la tasa es anual los periodos de capitalizacin se cuentan por aos o fraccin de ao, si la tasa es mensual los periodos de capitalizacin se cuentan por meses o fraccin de mes, si la tasa es diaria los periodos de capitalizacin se cuentan por das. En general, para simplificar el clculo, tanto la tasa anual como los periodos de inters se pueden expresar en cualquier submltiplo del ao comercial.La tasa de inters pactada en forma explcita, por las partes, puede ser nominal capitalizable peridicamente o efectiva. En el primer caso lo ms frecuente es una tasa anual convertible anualmente, mensualmente (); significa que el inters se devenga y convierte en capital cada ao, mes u otro submltiplo del ao comercial, segn lo acuerden las partes. Si la tasa de inters es anual, entindase como tasa nominal anual. En cambio, la tasa efectiva es explcita: efectiva anual, efectiva mensual, etc.

Aplicacin de la frmula (3.1).Ejemplos:1)Se hace una inversin de S/. 15 000 al 12% efectiva anual por tres aos; a cunto ascender el monto compuesto al final del tercer ao?Conviene trabajar con tasa efectiva anual y periodos de inters en aos. Datos:C = 15 000,i = 0,12 tasa efectiva anual,n = 3 aos. S = 15 000 (1,12)3 = 21 073,92S = S/. 21 073,92

2)Se tiene una inversin de S/. 15 000 por recibir dentro tres aos, cunto es su valor actual considerando la tasa de 12% efectiva anual?Tasa efectiva anual y periodos de inters en aos. Datos:C = 15 000,i = 0,12 tasa efectiva anual,n = 3 aos. 15 000 = C (1,12)3 = 1,404928 C

Alternativamente.C = 15 000 (1,12)-3 = 15 000 (0,711780) = 10 676,70C = S/. 10 676,70.

3)A qu tasa de inters efectiva anual una inversin por cinco aos se triplica?Tasa efectiva anual y periodos de inters en aos. Datos:C = 1,S = 3C,i = ? tasa efectiva anual,n = 5 aos. 3C = C (1 + i)5 (1 + i)5 = 3Aplicando raz quinta a ambos miembros1 + i = 30,2 = 1,245731i = 0,247531 anual

4)En qu tiempo una inversin colocada al 20% efectiva anual se duplica?Tasa efectiva anual y periodos de inters en aos. Datos:S = 2C,i = 0,20 efectiva anual,n = ? aos. 2C = C (1,20)n (1,20)n = 2Aplicando logaritmos a ambos miembrosn log (1,20) = log (2)0,079181n = 0,301030

La parte entera 3 aos, parte decimal 0,801784 aos se multiplica por 360 (0,801784 x 360) para obtener 288,64 das.Por lo tanto, el plazo es 3 aos, 9 meses y 19 das aproximadamente.

Nota. Los clculos con la ecuacin (3.1) se pueden hacer con tasa mensual y periodos de inters en meses o en cualquier otra unidad de tiempo, teniendo en cuenta siempre la correspondencia de la tasa con los periodos de inters, los resultados no varan.

4.3Capitalizacin Discreta y continuaa) Capitalizacin discreta.Las matemticas discretas son usadas en situaciones que corresponden a conjuntos finitos, tales como los nmeros enteros positivos. En ese sentido, la capitalizacin discreta dada una tasa nominal- involucra la capitalizacin del inters simple devengado por periodos submltiplos del ao comercial, entre otros: anual, semestral, trimestral, mensual, diario.Ejemplos (continuacin):5)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 15% anual capitalizable anualmente por un ao; a cunto ascender el monto compuesto al final del plazo?Conviene trabajar con tasa efectiva anual y periodos de inters en aos. Un periodo de capitalizacin en un ao, n = 1. i = 0,15/1 = 0,15 TEA

Datos:C = 25 000,i = 0,15 tasa efectiva anual,n = 1 ao. S = 25 000 (1,15)1 = 28 750S = S/. 28 750,00.

6)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 15% anual capitalizable semestralmente por un ao; a cunto ascender el monto compuesto al final del plazo?Se puede y trabajar con tasa efectiva semestral y periodos de inters en semestres o tasa efectiva anual equivalente y periodos de inters en aos. Cualquier alternativa da el mismo resultado.Si elige la primera opcin.Dos periodos de capitalizacin en un ao, n =2 semestres

Datos:C = 25 000,i = 0,075 tasa efectiva semestral,n = 2 semestresS = 25 000 (1,075)2 = 28 890,63S = S/. 23 890,63.

7)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 15% anual capitalizable trimestralmente por un ao; a cunto ascender el monto compuesto al final del plazo?Se puede y trabajar con tasa efectiva trimestral y periodos de inters en trimestres o tasa efectiva anual equivalente y periodos de inters en aos. Cualquier alternativa da el mismo resultado.Si elige la primera opcin.Cuadro periodos de capitalizacin en un ao, n = 4 trimestres

Datos:C = 25 000,i = 0,0375 tasa efectiva trimestral,n = 4 trimestresS = 25 000 (1,0375)4 = 28 966,26S = S/. 28 966,26.

8)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 15% anual capitalizable mensualmente por un ao; a cunto ascender el monto compuesto al final del plazo?Se puede y trabajar con tasa efectiva mensual y periodos de inters en meses o tasa efectiva anual equivalente y periodos de inters en aos. Cualquier alternativa da el mismo resultado.Si elige la primera opcin.Doce periodos de capitalizacin en un ao, n = 12 meses

Datos:C = 25 000,i = 0,0125 tasa efectiva mensual,n = 12 mesesS = 25 000 (1,0125)12 = 29 018,86S = S/. 29 018,86.

Si elige la segunda opcin.Un periodo, n = 1 aoTasa efectiva anual equivalente, de 0,0125 TEM, i = (1,0125)12 1 = 0,1607545Datos:C = 25 000,i = 0,130745,n = 1 aoI = 25 000 (1,160745)1 = 29 018,86S = S/. 21 461,53.

9)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 15% anual capitalizable diariamente por un ao; a cunto ascender el monto compuesto al final del plazo?Se puede y trabajar con tasa efectiva diaria y periodos de inters en das o tasa efectiva anual equivalente y periodos de inters en aos. Cualquier alternativa da el mismo resultado.Si elige la primera opcin.Trescientos sesenta periodos de capitalizacin en un ao, n = 360 das

Datos:C = 25 000,i = 0,15/360 tasa efectiva diaria,n = 360 dasS = 25 000 [1 + (0,15/360)]360 = 29 044,95S = S/. 29 044,95.

TEA equivalente = (1 + TED)360 - 1 = 0,16179795

10)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 1,25% mensual capitalizable mensualmente por un mes; a cunto ascender el monto compuesto al final del plazo?Conviene trabajar con tasa efectiva mensual y periodos de inters en meses. Un periodo de capitalizacin en un mes, n 1

Datos:C = 25 000,i = 0,0125 tasa efectiva mensual,n = 1 mesS = 25 000 (1,0125)1 = 25 312,50S = S/. 25 312,50.

11)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 1,25% mensual capitalizable diariamente por un mes; a cunto ascender el monto compuesto al final del plazo?Se puede y trabajar con tasa efectiva diaria y periodos de inters en das o tasa efectiva mensual equivalente y periodos de inters en meses. Cualquier alternativa da el mismo resultado.Si elige la primera opcin.Treinta periodos de capitalizacin en un mes, n = 30 das

Datos:C = 25 000,i = 0,0125/30 tasa efectiva diaria,n = 30 dasS = 25 000 [1 + (0,0125/30)]30 = 25 314,40S = S/. 25 314,40.

b) Capitalizacin continua.Como la legislacin en el Per (y parecer tambin en otros pases) por ahora- no prev la capitalizacin por horas, por minutos o periodos menores, la capitalizacin continua en el Per es solo una curiosidad acadmica. Sobre la capitalizacin continua, Alberto lvarez Arango (2005, p.95), dice: Este sistema se emplea principalmente en economas con problemas de alta inflacin o de hiperinflacin, en donde el aumento continuo de los precios hace necesario que las tasas de inters reflejen simultneamente tal variacin.

Si la capitalizacin es continua n tiende al infinito. Ahora,

Luego, n = rk. Entonces,

lmia = lm m k Por definicin, el logaritmo natural en base e es igual a:

k Luego, ia = er 1 Remplazando i por la tasa de capitalizacin continua, en la ecuacin (3.1) se tiene:S = C (1 + ei 1)n S = C.ei.n ,(3.3), Frmula del monto compuesto mximo. Dnde:i = re = 2,718281828Ejemplos (continuacin)12)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 15% anual con capitalizacin continua por un ao; a cunto ascender el monto compuesto mximo al final del plazo?Datos:C = 25 000, e = 2,718281828,j = 15 % nominal anual, n = 1 aoS = 25 000 (2.718281828)0,15 x 1S = 25 000 x 1,16183424 = 29 045,86S = S/. 29 045.86

Alternativamente:TEA = (2,718281828)0,15 1 = 0,161834243S = 25 000 (1,161834243) 1 = 29 045,86La diferencia con el resultado del ejemplo 9 es de S/.0,91; insignificante en este ejemplo, si el capital fuera millones y/o el plazo varios aos la diferencia podra tener mucha significacin econmica.

13)Se hace una inversin de S/. 25 000 al 15% anual con capitalizacin continua por cinco aos; a cunto ascender el monto compuesto mximo al final del plazo?Datos:C = 25 000, e = 2,718281828,j = 15 % nominal anual,n = 5aosS = 25 000 (2.718281828)0,15 x 5S = 25 000 x 2,117000 = 52 925,00S = S/. 52 925,00

c) Tabla de capitalizacin de intereses.Los intereses devengados, de una inversin o de inversiones peridicas e iguales, se capitalizan hasta una fecha acordada por las partes. Las inversiones se pueden hacer al inicio o al final de cada periodo.Ejemplos (continuacin) 14)Se hace una inversin de S/.1 000 en el banco Porvenir, en la fecha cero, al 10 % efectiva anual por cinco aos. Mostrar en una tabla el proceso de capitalizacin.

Tabla 3-02Proceso de capitalizacin de intereses de una inversin de S/. 1 000PeriodoTEANInters Monto compuesto

01,000,00

10,101100.001,100,00

20,101110.001,210.00

30,101121.001,331.00

40,101133.101,464.10

50,101146.411,610.51

Total610.51

El monto compuesto aumenta en progresin geomtrica al tiempo transcurrido.

Si la inversin hubiera sido al 10 % nominal, entonces:I = 1 000 x 0,1 x 5 = S/. 500,00La diferencia de 610,51 500,00 = S/. 110,51se denomina intereses sobre intereses o anatocismo, cuestionado por algunos juristas.

4.4Forma de clculo de inters compuestoEl clculo de inters compuesto, del capital y conceptos relacionados en ecuacin (3.2), se realiza aplicando los datos en la misma ecuacin. Clculo de inters compuesto de cualquier periodo (tems 4.4 y 4.5), ejemplos: 1)Cunto es el inters de capital de S/. 20 000 colocado al 15 % efectiva anual por 3 aos y 110 das.Datos:C = 20 000,i = 0,15 tasa efectiva anual,n = 1 190/360 aosI = 20 000 [(1,15)1190/360 1]I = 20 000 (0,587231) = 11 744,62I = S/. 11 744,62

2)Un capital colocado al 15 % efectiva anual por 3 aos y 70 das produce S/. 10 020 por concepto de intereses; cunto es el capital?Datos:C = ?,I = 10 020,i = 0,15 tasa efectiva anual,n = 1 150/360 aos10 020 = C [(1,15)1150/360 1]10 020 = C (0,562773)C = 10 020/0,562773 = C = S/. 17 804,69

3)A qu tasa efectiva anual un capital de S/. 20 100 invertido por 4 aos produce por concepto de intereses S/. 9 120.Datos:C = 20 100,I = 9 120,i = ? tasa efectiva anual,n = 4 aos9 120 = 20 100 [(1 + i)4 1](1 + i)4 1 = 9 120/20 100 (1 + i)4 = 1 + 9 120/20 100 = 1,4537313(1 + i)4 = 1,4537313Sacando raz cuarta a ambos miembros1 + i = (1,4537313)1/4 = 1,09804728i = 9,804728% efectiva anual

4)En qu tiempo S/. 8 000 colocado al 10 % efectiva anual produce S/. 1 500 de inters?Datos:C = 8 000,I = 1 500,i = 0,10 tasa efectiva anual,n = ? aos1 500 = 8 000 [(1,10)n 1](1,10)n 1 = 1 500/8 000(1,10)n = 1 + 1 500/8 000 = 1,1875(1,10)n = 1,1875Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuacin:n log (1,10) = log (1,1875)n = 0,074633618/0,041392685 = 1,80306298 aosPlazo: 1 ao, 9 meses y 19 das

Propiedades de la frmula de inters compuestoEl inters compuesto vara en proporcional directa al capital.Ejemplo: C = S/. 1 000,i = 0,10 TEA,n = 5 aos.I = 1 000 [(1,1)5 - 1] = S/. 610,51Si el capital se duplica, el inters se duplicaC = S/. 2 000I = 2 000 [(1,1)5 - 1] = S/. 1 221,02Si el capital se reduce en 50 %, el inters disminuye a la mitad.C = S/. 500I = 500 [(1,1)5 - 1] = S/. 305,26La frmula de inters compuesto tiene las propiedades de la quinta operacin matemtica y de sus dos operaciones inversas, las cuales se aplican para calcular la tasa de inters y los periodos de inters.

4.6Cambios de la tasa de inters y factor acumuladoSi la tasa efectiva cambia con frecuencia o diariamente, con la tecnologa actual no habra problema para calcular inters compuesto en forma precisa y rpida, con un programa de cmputo. Sin embargo, con fines didcticos se puede construir un factor acumulado de inters compuesto especfico (FIC) para lograr lo mismo: precisin y rapidez. En tal eventualidad se utiliza la frmula siguiente.I = C x FIC(3.4) Dnde:FIC = Factor acumulado de inters compuesto especfico, construido previamente.I, C tienen el mismo significado de la ecuacin (3.2).

Ejemplo. Calcular el inters de S/. 25 470 consignado en una letra de cambio vencida el 10 de marzo de 20l3. Fecha de pago el 25 de noviembre de 2014. Los cambios habidos en la tasa de inters son:

A partir delTEA16/02/20136,7%31/05/20137,5%01/10/20136,9%21/12/20137,8%25/03/20148,2%01/06/20147,9%16/08/20148,7%01/10/20149,5%

Datos: C = 25 470,FIC = 0,138360 (de la tabla 3-03; vea tambin el clculo en Excel: archivo CP e Inters compuesto, hoja 3).I = 25 470 x 0,138360 = S/. 3 524,04 (inters ordinario con tiempo exacto).

Tabla 3-03Factor acumulado de inters compuesto especfico FIC, con tiempo exacto.DelAlN das */TEA1 + FDFA del periodoFA

10/03/201310/05/2013610.0671.0001801.0110491.011049

11/05/201331/08/20131130.0751.0002011.0229601.034263

01/09/201320/12/20131110.0691.0001851.0207861.055762

21/12/201324/03/2014940.0781.0002091.0198051.076671

25/03/201431/05/2014680.0821.0002191.0149981.092819

01/06/201415/08/2014760.0791.0002111.0161811.110502

16/08/201430/09/2014460.0871.0002321.0107161.122403

01/10/201425/11/2014560.0951.0002521.0142171.138360

Total625FIC0.138360

Tambin se puede construir el factor acumulado de inters compuesto especfico -FIC con tiempo aproximado (conforme al ao comercial), con los datos del mismo ejemplo; vea el clculo en Excel: archivo CP e Inters Compuesto, hoja 3. Con esta opcin, FIC = 0,135971 y TEA promedia 7,74822%. La diferencia a favor y en contra del acreedor depende como se hace el clculo: con tiempo exacto o tiempo aproximado (del ao comercial). Lo que le favorece al acreedor significa lo contrario para el deudor y viceversa.

4.7Ecuaciones de valor a inters compuestoComo se indic en el numeral 2.07, las ecuaciones de valor permiten sustituir valores equivalentes en una fecha determinada, en los ejemplos siguientes a inters compuesto.

Ejemplos:1)En cierta fecha, el seor Maduro firm un pagar por S/. 12 000 a 60 das al 2,5 % efectiva mensual; 30 das despus aprob otro pagar por S/. 9 000 a 90 das al 2,5 % efectiva mensual. Tres meses despus de la primera fecha acuerda con su acreedor sustituir los dos pagars indicados por un pago inmediato de S/. 10 000 y un nuevo pagar al 3 % efectiva mensual, a 60 das contados a partir de la ltima fecha. Por cunto fue girado el ltimo pagar?

Datos:i = 2.5% y 3% efectiva mensual, periodos de capitalizacin en meses.Fecha 0 la que se firma del primer pagar, fecha focal, n = 5 Designando con X el valor del nuevo pagar:

Figura 3-01Obligaciones antiguas sobre la lnea y pago nico debajo de la lnea.

12000 9000

0 1 2 3 4 5 meses 10000 X

Igualando los valores equivalentes: a) X + 10 000 (1,03)2 = 12 000 (1,025)2 (1,03)3 + 9 000 (1,025)3 (1,03)1 Si cambia la fecha focal, n = 0, multiplicando por (1,025)-5 a cada trmino de la ecuacin a) y simplificando se tiene:b) X (1,03)-5 + 10 000 (1,03-3= 12 000 (1,025)2 (1,03) -2 + 9 000 (1,025)3 (1,03)-4Si elige fecha focal, n = 3, multiplicando por (1,03) -2 a cada trmino de la ecuacin a) y simplificando se tiene: c) X (1,03) -2 + 10 000 = 12 000 (1,025)2 (1,03) + 9 000 (1,025)3 (1,03) -1

Resolviendo la ecuacin a):a) X + 10 000 (1,0609) = 12 000 (1,148046) + 9 000 (1,109197)X + 10 609,00 = 13 776,56 + 9 982,78 = 23 759,34X = 23 759,34 - 10 609,00X = S/. 13 150,34.Resolviendo las ecuaciones b) y c), con todos decimales, se llega al mismo resultado.A inters compuesto, sostienen los expertos, dos obligaciones equivalentes en una fecha focal, tambin son equivalentes en cualquier otra.

2)Un comerciante tiene dos obligaciones por pagar: una por S/. 7 000 vencida en la fecha y otra por S/. 5 000 con vencimiento dentro de 9 meses. Acuerda con su acreedor sustituir esas obligaciones por 2 letras, una por S/. 6 500 con vencimiento a 3 meses y otra, cuyo importe se desea determinar, con vencimiento a 6 meses; con intereses 15% anual capitalizable mensualmente, por cunto se debe girar la ltima letra?Datos:

Periodos de capitalizacin en meses.En la fecha 0 vencimiento de la primera letra, fecha focal, n = 9Designando con X el importe de la ltima letra:

Figura 3-02Obligaciones antiguas sobre la lnea y pago nico debajo de la lnea.

70005000------------------------------------------------------------------------------ 03 6 9 meses6500 X

Igualando los valores equivalentes: X + 6 500 (1,0125)3 = 7 000 (1,0125)6 + 5 000 (1,0125)-3 X + 6 746,81 = 7 541,68 + 4 817,09 = 12 358,77X = 12 358,77 - 6 746,81X = S/. 5 611,96.

3)El vendedor de un camin recibe dos ofertas: la primera, un pago de US $ 60 000 al contado y US $ 60 000 dentro de 12 meses; la segunda, US $ 40 000 al contado y dos letras de US $ 40 000 cada una dentro de 6 y 9 meses. Si la tasa inters en la localidad por depsitos de ahorro es 2.5 % efectiva mensual, cul de las ofertas le conviene.Datos:i = 2.5% efectiva mensual, periodos de capitalizacin en mesesO1, y O2 la primera y segunda oferta.

Figura 3-03Valor actual de la primera oferta O1.

6000060000------------------------------------------------------------------------------------0 6 12 meses

O1 = 60 000 + 60 000 [] O1 = 60 000 + 60 000 (0,95325) O1 = 60 000 + 57 193,50 O1 = US $ 117 193,50

Figura 3-04Valor actual de la segunda oferta O2.

40000 4000040000------------------------------------------------------------------03 6 9 meses

O2 = 40 000 + 40 000 [] + 40 000 [] O2 = 40 000 + 40 000 (0,976332) + 40 000 (0,9647095) O2 = 40 000 + 39 053,30 + 38 588,38 O2 = US $ 117 641,68Por tanto, le conviene la segunda oferta.

4)En qu tiempo promedio un pago nico de S/. 8 000 cancelar dos deudas: una de S/. 3 500 y S/. 4 500 con vencimiento dentro de 3 y 6 meses, respectivamente. Considere la tasa de 18 % anual capitalizable mensualmente.Datos:

Periodos de capitalizacin en meses.

Figura 3-04Valor actual del pago nico con tiempo promedio t.

3500 4500

012345 6 meses t

Fecha focal, n = 0 e igualando los valores equivalentes:8 000 (1,015)- t = 3 500 (1,015)- 3 + 4 500 (1,015)- 6 8 000 (1,015)- t = 7 462,55(1,015) t = 1,0720196

t = = = 4,670977 mesesTiempo equivalente: 4 meses y 20 das, contados a partir de la fecha 0.

4.8Deduccin de pagos parciales: dos procedimientosComo se indic en el numeral 2.08, los pagos parciales por obligaciones de dar sumas de dinero se hacen antes o despus del vencimiento. El saldo por pagar se determina con la regla comercial o de saldos insolutos, en los ejemplos que siguen a inters compuesto.

Antes cabe advertir que, a inters compuesto si el pago parcial es mayor que el inters devengado, la deuda principal disminuye; en caso contrario, los intereses devengados no pagados se capitalizan con lo cual aumenta la base de clculo de los periodos siguientes.

Ejemplos (aplicando ambas reglas): 1)Por una deuda de S/. 10 500 vencida el ao anterior, la misma fecha que hoy, se realizaron dos pagos a cuenta de S/. 3 500 cada uno al final el cuarto y octavo mes, contados desde la fecha del vencimiento, se va a cancelar hoy con un recargo del 18% anual capitalizable mensualmente, cunto es el saldo por pagar?Conviene trabajar con la tasa mensual y periodos en meses.Datos:

Eligiendo fecha focal, n = 12 y designando por S/. X el saldo por pagar.


10 500---------------------------------------------------------------------------------------------04812 meses3 5003 500X

Igualando valores equivalentes en la fecha focal:X + 3 500 (1,015)4 + 3 500 (1,015)8 = 10 500 (1,015)12X + 3 714,77 + 3 942,72 = 12 553,99X = 12 553,99 7 657,49 = 4 896,50X = S/. 4 896,50


10 500P1P2P3---------------------------------------------------------------------------------------------04812 meses3 5003 500X

Periodo 1I1 = 10 500,00 [(1,015)4 1] = 644,32 SPP1 = 3 500,00 644,32 = 2 855,68 (imputacin del 1 pago parcial a intereses)SP1 = 10 500,00 2 855,68 = 7 644,32 (imputacin del 1 pago parcial al principal)Periodo 2I2 = 7 644,32 [(1,015)4 1] = 469,08SPP2 = 3 500,00 469,08 = 3 030,92SP2 = 7 644,32 3 030,92 = 4 613,40Periodo 3I3 = 4 613,40 [(1,015)4 1] = 283,09Deuda vencida: 4 613,40 + 283,09 = S/. 4 896,49

La diferencia de un cntimo en este ejemplo se explica por redondeo de cifras. A inters compuesto, dicen los expertos, ambas reglas dan el mismo resultado.

2)Por una letra de S/. 25 000 vencida el deudor efectu 2 pagos a cuenta de S/. 8 500 y S/. 11 500 al final del cuarto y octavo mes despus del vencimiento, respectivamente; se va a cancelar 6 meses despus del ltimo pago con recargo del 21% anual, convertible mensualmente, cunto es el saldo por pagar?Datos:

n = 6, 8 y 14 mesesDesignado el saldo por pagar por XFecha focal, n = 14


25000-----------------------------------------------------------------------------------04814 meses850011500X

Igualando valores equivalentes:X + 11 500 (1,0175)6 + 8 500 (1,0175)10 = 25 000 (1,0175)14X + 11 500 (1,109702) + 8 500 (1,189444) = 25 000 (1,274917)X + 12 761,58 + 10 110,28 = 31 872,92X = 31 872,92 22 871,85X = S/. 9 001,06


25000P1P2P3-----------------------------------------------------------------------------------04814 meses850011500X

Intereses devengados e imputacin de pagos parcialesPeriodo 1I1 = 25 000,00 [(1,0175)4 1] = 1 796,48 SPP1 = 8 500,00 1 796,48 = 6 703,52 (imputacin del 1 pago parcial a intereses)SP1 = 25 000,00 6 703,52 = 18 296,48 (imputacin del 1 pago parcial al principal)Periodo 2I2 = 18 296,48 [(1,0175)4 1] = 1 314,77 SPP2 = 11 500,00 1 314,77 = 10 185,23SP2 = 18 296,48 10 185,23 = 8 111,25Periodo 3I3 = 8 111,25 [(1,0175)6 1] = 889,82 Saldo por pagar: 8 111,25 + 889,82 = S/. 9 001,07

3)Por un pagar de S/. 18 500 a 120 das, al 25,2% anual capitalizable mensualmente, el deudor efectu 2 pagos parciales de S/. 3 200 y S/. 5 300 al final del segundo y tercer mes, contados desde la fecha de emisin, respectivamente; se va a cancelar a su vencimiento, cunto es el saldo por pagar?Datos:

n = 2, 3 y 4 mesesDesignado el saldo por pagar por XFecha focal, n = 4


18500-----------------------------------------------------------------------------------0234 meses32005300X

Igualando valores equivalentes en la fecha focal:X + 5 300 (1,021)1 + 3 200 (1,021)2 = 18 500 (1,021)4X + 5 300 (1,021) + 3 200 (1,042441) = 18 500 (1,086683)X + 5 411,30 + 3 335,81 = 20 103,64X = 20 103,64 8 747,11X = S/. 11 356,53


18500P1P2P3-----------------------------------------------------------------------------------0234 meses32005300X

Intereses devengados e imputacin de pagos parcialesPeriodo 1I1 = 18 500,00 [(1,021)2 1] = 785,16 SPP1 = 3 200,00 785,16 = 2 414,84 (imputacin del 1 pago parcial a intereses)SP1 = 18 500,00 2 414,84 = 16 085,16 (imputacin del 1 pago parcial al principal)Periodo 2I2 = 16 085,16 [(1,021)1 1] = 337,79 SPP2 = 5 300,00 337,79 = 4 962,21SP2 = 16 085,16 4 962,21 = 11 122,95Periodo 3I3 = 11 122,95 [(1,021)1 1] = 233,58 Saldo por pagar: 11 122,95 + 233,58 = S/. 11 356,53

4)Por un pagar, de S/. 25 710 emitido el 15 de noviembre de 2013 a 90 das, al 2% efectiva mensual, el deudor realiz los pagos parciales siguientes: FechaImporte13/02/147 00020/03/144 50012/05/143 500Se va cancelar el 30 de junio de 2014. Si se mantiene la tasa de inters 2% mensual y das calendario, cunto es el saldo por pagar?Conviene trabajar con el FD (o tasa diaria) y periodos en das calendario, como se estila en el Per.

Datos:

Periodos n, das, desde la fecha de emisin y de cada pago parcial hasta 30/06/2014:Principal 227 das, Primer pago parcial 137, Segundo pago parcial 102, Tercer pago parcial 49.Eligiendo fecha focal, n = 227 y designando por S/. X el saldo por pagar.


25 710-------------------------------------------------------------------------------15/11/1313/02/1420/03/1412/05/1430/06/14227 das137102 497 0004 5003 500X

Igualando valores equivalentes en la fecha focal (a = b):a) X + 3 500 (1 + 0,02)49/30 + 4 500 (1 + 0,02)102/30 + 7 000 (1 + 0,02)137/30X + 3 615 ,06 + 4 813,41 + 7 662,53b) 25 710 (1 + 0,02)227/30 = 29 865,98X + 3 615 ,06 + 4 813,41 + 7 662,53= 29 865,98X = 29 865,98 16 091,00 = 13 774,98X = S/. 13 774,98


25 710----------------------------------------------------------------------------------------------15/11/1313/02/1420/03/1412/05/1430/06/140 das903553497 0004 5003 500X

Tabla 3-08Aplicacin de regla de saldos insolutos a inters compuesto. FD: (1 + 0,02)1/30 -1FechaNFICIntersPago parcialSaldo

S/.S/.S/.

15/11/2013 25,710.00

13/02/2014900.061208 1,573.66 7,000.00 20,283.66

20/03/2014350.023372 474.07 4,500.00 16,257.73

12/05/2014530.035604 578.84 3,500.00 13,336.57

30/06/2014490.032873 438.41 - 13,774.98

Total227 2,626.56 15,000.00

Respuesta: Saldo por pagar S/. 13 774,98Periodo 1I1 = 25 710,00 x [(1 + 0,02)90/30 - 1]I1 = 25 710,00 x 0,061208 = 1 573,66SPP1 = 7 000,00 1 573,66 = 5 426,34 (imputacin del 1 pago parcial a intereses)SP1 = 25 710,00 5 426,34 = 20 283,66 (imputacin del 1 pago parcial al principal)Periodo 2I2 = 20 283,66 x 0,023372 = 474,07SPP2 = 4 500,00 474,07 = 4 025,93SP2 = 20 252,66 4 025,93 = 16 257,73Periodo 3I3 = 16 257,73 x 0,035604 = 578,84SPP3 = 3 500,00 578,84 = 2 921,16SP3 = 16 257,73 2 921,16 = 13 336,57Periodo 4I4 = 13 336,57 x 0,032873 = 438,41SP4 = 13 336,57 + 438,41 = 13 774,98X = S/. 13 774,98

4.9Descuento racional a inters compuestoEn el numeral 2.09 sobre descuento racional (descuento matemtico o descuento a una tasa de inters) sealamos que tambin se puede calcular a inters compuesto. De eso trata este numeral.

La misma definicin, D = S C Dnde:D = Descuento. S y C el mismo significado dado en las ecuaciones 3.1 y 3.2, respectivamente.Despejando C de ecuacin 3.1:

Sustituyendo C y factorizando.

La ecuacin (3.7), tambin se puede escribir as:D = S [1 (1 + i)-n]Para los clculos utilizamos este expresin.Ejemplos: 1)Un documento de crdito por S/. 10 000 por recibir dentro de 6 meses es descontado hoy, al 15% efectiva anual, cunto es el descuento racional y su valor actual? Conviene trabajar con tasa mensual (0,15/12), periodos en meses.Datos:S = 10 000,i = 0,011715 mensual,n = 6 mesesD = 10 000 [1 (1,011715)-6]C = 10 000,00 (1 - 0,9325048) = 10 000,00 (0,06749519) = 674,95.D = S/. 674,95Por diferencia, C = 10 000 - 674,95 = S/. 9 325,05.

C = 10 000 (0,9325048) = S/. 9 325,05.Este resultado es el valor presente de S/. 10 000 (conforme a los datos del ejemplo). Por tanto, por diferencia se puede obtener el descuento (D), sin recurrir frmula 3.7.

Equivalencia del descuento racional con el inters compuesto.Por definicin,D = S C; S = C (1 + i)nD = C [(1 + i)n C] = C + C(1 +i)n C D = C (1 + i)n Por tanto D = IEl descuento racional compuesto (de un valor futuro) es igual al inters compuesto (de su valor presente).

Unidad 2. Tasas de Inters Utilizadas en el Sistema FinancieroSemana 5: Tasas de inters utilizadas en operaciones de crdito5.1Tasas de inters equivalentes5.2Tasas de inters utilizadas en operaciones de crdito5.3Tasas de inters reales y proyectadas por inflacin5.4Tasas de inters promedio del sistema financiero peruano

5.1Tasas de inters equivalentesDefinicinDos tasas de inters son equivalentes, en condiciones diferentes, cuando producen el mismo inters al final de un perodo, generalmente anual.

a)Tasa efectiva equivalente de una tasa nominal convertible peridicamente y viceversa.Sean:1 + i = el factor del monto compuesto de una unidad monetaria a la tasa efectiva anual i.

Con m capitalizaciones al ao.

Igualando ambas expresiones:

Por tanto:

Despejando j de la ecuacin a:

1)Tasa efectiva equivalente de una tasa nominal convertible peridicamente.Ejemplo. Si la tasa nominal anual es 12,75 %, convertible mensualmente, cunto es la tasa efectiva anual equivalente?Datos:j = 0,1275;m = 12Aplicando la frmula (a.1)

i = 13,5221%

2)Tasa nominal convertible peridicamente equivalente de una tasa efectiva.Ejemplo. Si la tasa efectiva anual es 15 %, cunto es la tasa nominal anual equivalente, capitalizable mensualmente?Datos:i = 0,15;m = 12Aplicando la frmula (a.2)

j = 14,0579 %.

b)Tasa efectiva equivalente de otra tasa efectiva, en otra unidad de tiempo.Sean:(1 + i)1/M = Factor diario del monto de una unidad monetaria, a la tasa efectiva i(1 + i)1/M = Factor diario del monto del mismo capital a la tasa efectiva iIgualando ambas expresiones:(1 + i)1/M = (1 + i)1/M,ecuacin bPor tanto:i = (1 + i)M/M 1,frmula 3Dnde:i = tasa de inters efectiva equivalente por determinar,M = 360 30, segn la expresin de la tasa de inters i,i = tasa de inters efectiva dato,M = 360 30, segn la expresin de la tasa de inters i.

3)Tasa efectiva equivalente de otra tasa efectiva, en otra unidad de tiempo.Ejemplo. Si la tasa efectiva anual es 18 %, cunto es la tasa efectiva trimestral equivalente?Datos:I = 0,18;M = 360,M = 90i = (1,18)90/360 1 = 0,0422466i = 4,22466 % (tasa efectiva trimestral)

c)Tasa de descuento equivalente de una tasa de inters.Una tasa de descuento bancario simple es equivalente a una tasa de inters nominal, cuando producen el mismo descuento en un periodo anual (o mensual).El valor presente de una suma de dinero por recibir al final de un periodo de inters se puede calcular omitiendo n, as:C = S (1 - d), Ecuacin 1 (descuento bancario simple).Dnde: C = VL,S = VN

Igualando las ecuaciones 1 y 2, y resolviendo:j d dj = 0,ecuacin cDespejando j:

Despejando d:

4)Clculo de la tasa de inters equivalente a la tasa de descuento.Ejemplo. Si la tasa anual de descuento bancario simple es de 16 %, cunto es la tasa de inters nominal anual equivalente?Dato:d = 0,16

j = 19,0476%5)Clculo de la tasa de descuento equivalente a la tasa de inters.Ejemplo. Si la tasa de inters nominal anual de 12,75 %, cunto es la tasa anual de descuento bancario simple equivalente?Dato:j = 0,1275

d = 11,3082%

La base de clculo del inters racional es el valor presente, mientras que del descuento es el valor futuro. Si el inters es igual al descuento, la tasa de inters tendr que ser mayor a la tasa de descuento.

5.2Tasas de inters utilizadas en operaciones de crdito1. Tasa de inters nominal.Es la tasa de inters que se ofrece en los instrumentos financieros y no implica reinversin de intereses, no conlleva la capitalizacin de los intereses devengados en los perodos siguientes. Se utiliza para calcular inters simple.Se identifica con las abreviaturas: TNA = Tasa nominal anual, TNM = Tasa nominal mensual, TNS = Tasa nominal semestral, etc.

2. Tasa de inters efectiva.Es la tasa de inters que implica reinversin de intereses, conlleva implcitamente la capitalizacin de los intereses devengados en los perodos siguientes. La tasa de inters efectiva lo establecen las partes contratantes en sus contratos en forma explcita o sealando una tasa nominal convertible peridicamente.Se identifica con las abreviaturas: TEA = Tasa efectiva anual, TEM = Tasa efectiva mensual, TES = Tasa efectiva semestral, etc.

3. Tasa de Inters compensatoriaLa tasa de inters compensatoria constituye la remuneracin al capital; se utiliza para calcular inters compensatorio por el uso del capital, a partir del da siguiente de la fecha de recepcin del prstamo.

4. Tasa de Inters moratoriaLa tasa de inters moratoria constituye una penalidad por incurrir en mora, por no pagar en las fechas establecidas; se utiliza para calcular inters moratorio de obligaciones vencidas, a partir del da siguiente en que el obligado incurre en mora, siempre que hubiera sido pactado en el contrato, en forma paralela al inters compensatorio.

5. Tasas de inters activas.Son las tasas de inters que cobran las empresas del sistema financiero a sus clientes, por la colocacin de sus capitales.

6. Tasas de inters pasivas.Son las tasas de inters que pagan las empresas del sistema financiero por toda clase de depsitos: de ahorros, cuentas corrientes, bonos y certificados de depsitos a plazo, con el objeto de captar recursos financieros.

7. Tasa de inters vencida.Se denomina tasa de inters vencida, a la tasa que se aplica sobre el capital prestado y se paga al final de cada perodo de inters, con independencia de la fecha de clculo. Las frmulas matemticas se basan en tasas vencidas, lo que implica inters devengado por la utilizacin previa de un capital.

8. Tasa de inters anticipada.Se denomina tasa de inters anticipada a la tasa que el prestamista cobra al inicio del prstamo (antes que el capital hubiera sido utilizado) o antes de cada periodo de inters. En este tipo de operaciones financiaras, la tasa de inters cobrada es mayor que la tasa de inters pactada en los contratos.Ejemplo. Se recibe un prstamo de S/. 1 000 al 10% anual (tasa pactada), por el plazo de un ao, con pago de inters por adelantado, en la fecha del desembolso.Cunto es la tasa de inters cobrada?Inters adelantado= 1 000 x 0,1 x 1 = 100Capital realmente prestado = 1 000 100 = 900 1 000 = 900 (1 + i x 1)Resolviendo:i = 0,111111.

9. Tasa de inters discretaLa tasa de inters es discreta cuando los perodos de capitalizacin de intereses son nmeros enteros positivos. Esta tasa se aplica habitualmente en la capitalizacin de intereses.

10. Tasa de inters instantneaLa tasa de inters es instantnea cuando la capitalizacin de intereses es continua.

5.3Tasas de inters corriente y reales 11)Tasas de inters corrienteSon las tasas (nominales o efectivas) establecidas por las empresas del sistema financiero o mediante normas legales, que se dan a conocer a los clientes e incluyen en los contratos de prstamo de dinero. Se determinan teniendo en cuenta la inflacin histrica o proyectada y las tasas reales que espera obtener el inversionista en el futuro.Forma de clculo. Se utiliza la frmula siguiente:i = ir (1 + if) + if,Dnde: i = Tasa de inters ajustada por inflacin en tanto por uno,ir = Tasa de inters real estimada en tanto por uno,if = Tasa de inflacin histrica o proyectada en tanto por uno.

12)Tasa de inters realLa tasa de inters real, es aquella a la que se ha deducido la inflacin histrica, para ser utilizada como instrumento de anlisis y fundamento de decisiones financieras de las empresas del sistema financiero, del gobierno y particularmente en la evaluacin de proyectos de inversin.

5.4Tasas de inters promedio de la plaza localLa TAMN: tasa activa de mercado promedio ponderado en moneda nacional.La TAMEX: tasa activa de mercado promedio ponderado en moneda extranjera.La TIPMN: tasa pasiva de mercado promedio ponderado en moneda nacional.La TIPMEX: tasa pasiva de mercado promedio ponderado en moneda extranjera.La TPCMN: tasa promedio del sistema financiero para crditos a la microempresa en MN. La TPCME: tasa promedio del sistema financiero para crditos a la microempresa en ME.Todas son publicadas diariamente por la Superintendencia de Banca y Seguros y AFP, en el diario El Peruano y su pgina web. La TAMN, TAMEX, TPCMN y TPCME son referentes para operaciones activas, pueden utilizarse para anlisis de resultados. Existen otras tasas activas promedio, como las mencionadas en el anexo 3. La TIPMN y TIPMEX son referentes para operaciones pasivas, pueden utilizarse para el anlisis de los resultados.

Semana 6: Inters legal6.1Inters legal con tasa efectiva6.2Inters legal laboral6.3Inters moratorio de deudas tributarias

6.1Inters legal con tasa efectiva1. Marco legalConstitucin Poltica, artculo 84. Cdigo Civil dice:Artculo 1244. La tasa de inters legal es fijada por el Banco Central de Reserva del Per (antecedentes normativos: CC de 1852, arts. 1274 y 1821; CC de 1936, art. 1325). Artculo 1245. Cuando deba pagarse inters, sin haberse fijado la tasa, el deudor debe abonar el inters legal.

Decreto Ley N 26123, Ley Orgnica del BCRP.El artculo 51 dice: el Banco establece, de conformidad con el Cdigo Civil, las tasas mximas de inters compensatorio, moratorio y legal, para las operaciones ajenas al sistema financiero. Las mencionadas tasas deben guardar relacin con las tasas de inters prevalecientes en las entidades del sistema financiero.

2. Tasas de inters legalLas tasas de inters legal lo fija y modifica el BCRP mediante circulares; hasta el 15 de setiembre de 1992 fueron equivalentes a las tasas activas de mercado promedio ponderado, a partir del 16 de setiembre de 1992 estn relacionadas con las tasas pasivas promedio de mercado.

3. Forma de clculoSe aplica la frmula siguiente:

I = , frmula 6-1 Dnde:I = Inters legal;D = Deuda (o capital);FAFP = Factor acumulado de fecha de pago o fecha de liquidacin de intereses.FAFV = Factor acumulado de fecha de vencimiento o fecha de origen de la deuda.

1) Una deuda de S/. 25000 del 25 de noviembre del 2010 (fecha de origen o vencimiento), por la cual las partes no pactaron ninguna tasa de inters, se va a cancelar el 20/12/2010.Cmo se calcula el inters legal?Datos: D = 25000FV: 25/11/2010Factores acumulados FA de la tasa de inters legal en MNFecha deFADnde lo encuentra?

Origen, 25/11/20106,06

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