Matemática Financiera - Rentas constantessulista/pages/rentas.pdf · Matemática Financiera - Rentas constantes Marek Šulista Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích

Matemática Financiera - Rentas constantes

Marek Šulista

Jihočeská univerzita v Českých BudějovicíchEkonomická fakulta

Katedra aplikované matematiky a informatiky

Universidad de Bohemia SurFaculdad de Economía

Departmento de Matemática y Informática Aplicada

Universitat de Lleida, 2007

Marek Šulista (JČU) Matemática Financiera Universitat de Lleida, 2007 1 / 24

Contenido

1 Definición y características de las rentas

2 Clases de rentas

3 Rentas constantes

4 Calculo del problema de rentas en MS Excel


Contenido


2 Clases de rentas

3 Rentas constantes



Contenido


2 Clases de rentas

3 Rentas constantes



Contenido


2 Clases de rentas

3 Rentas constantes



Gran problema financiero

Milan Baroš ha colocado, durante 5 aňos, 300 EURal final de cada mes en una cuenta a un interés al1,5% anual capitalizable mensualmente. Hace 5 aňosMilan Baroš depositó también 5.000 EUR en lacuenta. Ahora, él querría compar un piso en Lleidade 100.000 EUR para su viejo amigo Pavel Nedvěd.

Milan no ha conseguido ahorrar ese importe.Para financiar la diferencia, solicita un préstamohipotecario al 4,75% de interés capitalizable mensu-almente. Determinad:

1 Cuánto es el nominal de la hipotéca?2 Cuánto es la correspondiente mensualidad?












Definición y características de las rentas

Contenido


2 Clases de rentas

3 Rentas constantes




Se denomina renta a un conjunto de capitales con diferimientosperiódicos, o sea, cada capital se recibe en un período distinto aunquelos períodos deben de ser constantes.

Las rentas son fruto de la renuncia de un capital en el momentoactual, para describir distintos capitales en un número de períodosposteriores, que son los que determinan esta operación financiera.



Se denomina renta a un conjunto de capitales con diferimientosperiódicos, o sea, cada capital se recibe en un período distinto aunquelos períodos deben de ser constantes.

Las rentas son fruto de la renuncia de un capital en el momentoactual, para describir distintos capitales en un número de períodosposteriores, que son los que determinan esta operación financiera.


Clases de rentas

Contenido


2 Clases de rentas

3 Rentas constantes



Clases de rentas

Función de la naturaleza de los capitales:constantesvariables

Función del pago de la renta:prepagablepostpagable

Función del tiempo trascurrido entre el origen y el pago de la renta:inmediatadiferida

Función de la duración:temporalesperpetuas

Función de la frecuencia:anualessemestralesmensuales...


Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Clases de rentas







Rentas constantes

Contenido


2 Clases de rentas

3 Rentas constantes



Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C


Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C


Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C


Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C

valor final

valor actual


Rentas constantes

Rentas constantes

C1 = C2 = C3 = · · · = Cn = C

valor final

valor actual


Rentas constantes

Valor final - rentas temporales

VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1

]progresión geometrica: VF = C · 1 · 1− (1+ i)n

1− (1+ i)


Rentas constantes


VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1


1− (1+ i)


Rentas constantes


VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1


1− (1+ i)


Rentas constantes


VF = C · (1+ i)n−1 + · · ·C · (1+ i)2 + C · (1+ i) + C =

= C ·[(1+ i)n−1 + · · ·+ (1+ i)2 + (1+ i) + 1


1− (1+ i)


Rentas constantes

VF = C · 1 · 1− (1+ i)n−1

1− (1+ i)= C · (1+ i)n − 1

i

(1+ i)n − 1i

= skei ⇒ VF = C · skei


Rentas constantes

VF = C · 1 · 1− (1+ i)n−1

1− (1+ i)= C · (1+ i)n − 1

i

(1+ i)n − 1i



Rentas constantes

VF = C · 1 · 1− (1+ i)n−1

1− (1+ i)= C · (1+ i)n − 1

i

(1+ i)n − 1i



Rentas constantes

Problema 1

Calcular el valor final de una renta constante, postpagable, inmediata,mensual de 300 EUR, para 5 anos a un interés del 1,5% p.a. juntos con undepósito de 5.000 EUR .

VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300,


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 ,


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60,


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267,


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000

VF = C · sneim = 300 · 62, 267 = 18.680, 08


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000

VF = C · sneim = 300 · 62, 267 = 18.680, 08

Cn = C0 · (1+ im)n ⇒ C60 = 5.000 · (1+ 0,01512 )60 = 5.389, 17


Rentas constantes

Problema 1


VF = C · skei , Cn = C0 · (1+ i)n

C=300, im = 0,01512 , n = 60, sneim=

(1+ 0,01512 )60−10,01512

= 62, 267, C0 = 5.000

VF = C · sneim = 300 · 62, 267 = 18.680, 08

Cn = C0 · (1+ im)n ⇒ C60 = 5.000 · (1+ 0,01512 )60 = 5.389, 17

VF + Cn = 24.069, 25


Rentas constantes

Valor actual - rentas temporales

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n

]progresión geométrica: VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1


Rentas constantes


VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n


1− (1+ i)−1


Rentas constantes


VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n


1− (1+ i)−1


Rentas constantes


VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·+ C

(1+ i)n=

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·+ (1+ i)−n


1− (1+ i)−1


Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n

i= anei ⇒ VA = C · anei


Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n



Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n



Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

1− (1+ i)−n



Rentas constantes

Problema 2

Calcular la mensualidad de una hipotéca de EUR 75.930,75 para 15 anosa un interés del 4,75% p.a.

VA = C · anei ⇒ C =VAanei


Rentas constantes

Problema 2




Rentas constantes

Problema 2



VA = 75.930, 75,


Rentas constantes

Problema 2



VA = 75.930, 75, im = 0,047512 ,


Rentas constantes

Problema 2



VA = 75.930, 75, im = 0,047512 , n = 180,


Rentas constantes

Problema 2



VA = 75.930, 75, im = 0,047512 , n = 180, aneim =

1−(1+ 0,047512 )−180

0,047512

= 128, 56


Rentas constantes

Problema 2



VA = 75.930, 75, im = 0,047512 , n = 180, aneim =

1−(1+ 0,047512 )−180

0,047512

= 128, 56

C =75.930, 75128, 56

= 590,61


https://secure.santander.com/SimH_SCH/portada.jsp?login=particular&password=particular

Rentas constantes

Valor actual - rentas perpetuas

VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·

]progresión geométrica infinita: VA = C · (1+ i)−1 · 1

1− (1+ i)−1=Ci


Rentas constantes


VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·


1− (1+ i)−1=Ci


Rentas constantes


VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·


1− (1+ i)−1=Ci


Rentas constantes


VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·


1− (1+ i)−1=Ci


Rentas constantes


VA =C

(1+ i)+

C(1+ i)2

+C

(1+ i)3+ · · ·

= C ·[(1+ i)−1 + (1+ i)−2 + (1+ i)−3 + · · ·


1− (1+ i)−1=Ci


Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

limn→∞

1− (1+ i)−n

i=1− 0i

=1i

VA =Ci


Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

limn→∞

1− (1+ i)−n

i=1− 0i

=1i

VA =Ci


Rentas constantes

VA = C · (1+ i)−1 · 1− (1+ i)−n

1− (1+ i)−1= C · 1− (1+ i)−n

i

limn→∞

1− (1+ i)−n

i=1− 0i

=1i

VA =Ci


Rentas constantes

Resumen

Rentas postpagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−n

i

rentas perpetuas: VA =Ci

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i

Rentas prepagablevalor actual

rentas temporales: VA = C · anei = C · 1−(1+i)−∞

i · (1+ i)


· (1+ i)

valor final: VF = C · snei = C · (1+i)n−1i · (1+ i)


Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Rentas constantes

Resumen



i





i · (1+ i)


· (1+ i)



Calculo del problema de rentas en MS Excel

Contenido


2 Clases de rentas

3 Rentas constantes




Problema 1:Confeccionar el cuadro de capitalización de una renta postpagable,inmediata, mensual de EUR 300 a un interés del 1,5% p.a. y undepósitode EUR 5.000.

mes depósito cuota de interest saldo1 5.000 6,25 5.006,252 300 6,63 5.312,883 300 7,02 5.619,90...

......

...59 300 29,26 23.439,5760 300 29,67 23.769,25

300 0 24.069,25



Problema 2:Confeccionar el cuadro de amortización de un prestáno de EUR 100.000a amortizar en 15 anos a un interés del 4,75% p.a.

mes mensualidad cuota de cuota de saldointerest amortisación

75.930,751 590,61 300,56 290,05 75.640,702 590,61 299,41 291,20 75.349,503 590,61 298,26 292,35 75.057,15...

......

......

299 590,61 4,65 585,96 589,22300 591,55 2,33 589,22 0,00




Milan solicita un préstamo hipotecario al 4,75% de interés capitalizablemensualmente. Determinad:

Cuántos meses han pasado si ya ha amortizado la mitad del nominal?Si el tipo de interés pasa a ser del 5,2% capitalizable mensualmentecuando han transcurrido dos anos,

cuánto será entonces la correspondiente mensualidad si se mantiene elmismo período de amortización?Si mantenemos la mensualidad inicial, cuántos meses hay que seguirpagandola hasta tener el préstamo completamente amortizado?

Consideremos ahora la situación inicial, al 4,75% de interéscapitalizable mensualmente. Si transcurridos 5 anos se realiza laamortización anticipada de 10.000 EUR, cuál será entonces el númerode meses necesario para amortizar el préstamo? Consideramos que sesigue pagando la misma mensualidad.































Muchas gracias por vuestra atención.


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