MATEMATICA FINANZIARIA A e B - Prova scritta del 30 maggio ... · variabile aleatoria esponenziale negativa con parametro . a. si determini la variabile aleatoria X, fattore di montante

MATEMATICA FINANZIARIA A e B - Prova scritta del 30 maggio2000

1. (11 pti) Un tale deve pagare un debito di ammontare D. L’ammortamento viene strutturatosu 3 anni valutando gli interessi coi tassi variabilii1, i2 e i3 (rispettivamente sugli anni (0,1),(1,2), (2,3)) e considerando le quote capitali che si avrebbero se l’ammortamento fosse arate costanti sui 3 anni al tasso vigente sul primo anno (i1).a. stendere il piano d’ammortamento del mutuo.

1.a 1.b 2.a 2.b

D 800 900 700 1100

i1 10% 11% 9% 12%

i2 11% 12% 10% 11%

i3 9% 10% 8% 10%

b. Verificare la condizione di chiusura finanziaria finale.N.B. I calcoli vanno effettuati con il massimo numero possibile di cifre decimali esatte,salvo esporre i risultati finali relativi ad importi di denaro mediante numeri interi, e glialtri parametri con un numero di cifre significative variabile da 2 a 4, secondo buonsenso.

2. (11 pti) Si determinino i punti di massimo della funzione:x2 + y2

sotto il vincolo:x2 + αy2 = β

1a 1b 2a 2b

α 3 4 5 6

β 6 5 4 3

3. (11 pti) Il corso di un obbligazione è 98+ E doveE è una variabile aleatoria uniforme chevaria tra−a e+a. L’obbligazione ha scadenza 1 anno e dà una cedola annuale del τ% delvalor nominale, pari a 100.a. si determini la variabile aleatoriaX, tasso di rendimento annuo composto

dell’obbligazione, in funzione diE, precisandone il supporto;b. si determinino la funzione di densità di probabilità e la funzione di ripartizione diX.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 1 2 1 2

τ 7% 4% 6% 5%

N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria uniforme:

fXx =

0 perx < a1

b − apera ≤ x ≤ b

0 per x > b

FXx =

0 per x < ax − ab − a

per a ≤ x ≤ b

1 per x > b

EX = a + b2

, σX2 =

b − a12

2

Tempo disponibile1h 30’

MATEMATICA FINANZIARIA corsi A e BProva scritta del 5 luglio 2000

1. (11 pti) Un debito di ammontareD viene pagato con un ammortamento alla francese conrate annue posticipate in 5 anni con tasso contrattuale annuo i. Al momento di pagare laterza rata il debitore si trova in crisi di liqudità e, non potendo pagarla, chiede di differire diun anno le restanti tre rate. Questo gli viene concesso, a scapito di una penalità daaggiungere al debito residuo, pari ad una percentualeτ del debito residuo e di un tasso diinteresse maggiorato di 2 punti percentuali.a. stendere il piano d’ammortamento originario;b. stendere il piano d’ammortamento relativo alle ultime tre rate, dopo la rinegoziazione

del debito dovuta al mancato pagamento della terza rata.

1.a 1.b 2.a 2.b

D 100000 150000 200000 250000

i 7% 8% 9% 10%

τ 2% 3% 1% 2%

2. (11 pti) Calcolare il max della funzione:3x + αysotto il vincolo:2x2 + 3y = β

1a 1b 2a 2b

α 2 3 4 5

β 6 7 8 9

3. (11 pti) Una struttura dei tassi per scadenza è piatta con tassoI aleatorio descritto da unavariabile aleatoria esponenziale negativa con parametroλ.a. si determini la variabile aleatoriaX, fattore di montante suk anni determinato dalla

struttura, specificandone il supporto;b. si determinino la funzione di densità di probabilità e la funzione di ripartizione diX.

1.a 1.b 2.a 2.b

λ 10 9 11 12

k 3 2 2 3

N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria esponenzialenegativa, di parametroλ:fXx = λe−λx perx ≥ 0, FXx = 1 − e−λx perx ≥ 0, EX = 1

λ , σX2 = 1

λ2 , gXt = λλ − t


MATEMATICA FINANZIARIA corsi A e BProva scritta del 19 settembre 2000

1. (11 pti) Un’obbligazione, avente vita residua di 2 anni e 4 mesi, paga cedole annue a tassocedolare j sul nominale ed ha un valore di rimborso pari al nominale. Il tasso di rendimentoeffettivo è i. Si chiede di calcolare:a. il corso secco ed il corso tel quel del titolo;b. la variazione assoluta del corso tel quel del titolo conseguente alla variazione del tasso

di rendimento effettivo dai a i + 1%;c. l’indice di volatilità del titolo e, mediante tale indice, il valore approssimato della

variazione di cui al punto b, facendo riferimento allo sviluppo in serie di Taylor dellafunzioneP tqi arrestata al 1° ordine.

1.a 1.b 2.a 2.b

j 7% 8% 9% 10%

i 6% 7% 8% 9%

2. (11 pti) Dalle miniere, denotate con 1 e 2, si estrae un minerale dal quale, attraverso uncomplesso processo di lavorazione, si ottengono 3 metalli,denotati cona, b, c. Lecaratteristiche del minerale nelle due miniere sono diverse per cui le quantitò di metalloottenibili da una tonnellata di minerale sono rispettivamente:miniera 1 : 10 kg metalloa, 15 kg metallob, 8 kg metalloc;miniera 2 : 12 kg metalloa, 18 kg metallob, 7 kg metalloc.L’estrazione e la lavorazione di una tonnellata di mineralenelle due miniere ha costiC1 eC2 e le capacità estrattive delle due miniere sono rispettivamenteB1,B2 tonnellate nelperiodo in esame.I tre metalli sono venduti ai prezzi unitaripa,pb,pc.Denotate conx1,x2 le quantità intonnellate del minerale da estrarre e lavorare nelle dueminiere e conya,yb,yc le quantità inkg, dei tre metalli, si chiede:a. esprimereya,yb,yc in funzione dix1,x2;b. esprimere in funzione dix1,x2 i vincoli che impongono di non superare la capacità

estrattiva delle miniere;c. esprimere in funzione dix1,x2 la funzione guadagno;d. formalizzare il problema di programmazione lineare di ricerca del massimo guadagno;e. risolvere il problema di programmazione lineare mediante l’algoritmo del simplesso

1.a 1.b 2.a 2.b

pa 110 120 130 140

pb 90 100 110 120

pc 150 160 170 180

C1 2100 2200 2300 2400

C2 2200 2300 2400 2500

B1 18 19 20 21

B2 17 18 19 20

3. (11 pti) Il montante dopo un anno di un investimento di importo 100 è una variabilealeatoriaX esponenziale negativa di valor mediom. Si chiede:a. esprimere il tasso di rendimentoY dell’operazione in funzione del montanteX;b. calcolare la probabilità che il tasso di rendimentoY sia< 0;c. calcolare la probabilità che il tasso di rendimentoY sia> 10%;d. calcolare il valore atteso e la varianza del tasso di rendimento Y.

1.a 1.b 2.a 2.b

m 160 180 200 220

N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria esponenzialenegativa, di parametroλ:fXx = λe−λx perx ≥ 0, FXx = 1 − e−λx perx ≥ 0, EX = 1

λ , σX2 = 1

λ2 ,

gXt = λλ − t


MATEMATICA FINANZIARIA corsi A e BProva scritta del 18 ottobre 2000

1. (11 pti) Data l’operazione di investimento−1000,0.400,1,1200,2 e la legge a duevariabili definita mediante i prezzi per unità di nominale degli 0-coupon bondB0,1,B0,2, si chiede:a. calcolare il GNPV (Generalized Net Present Value) dell’operazione;b. supposto di finanziare una porzioneα dell’esborso iniziale in due rate eguali in base ai

tassi di periodoh00,1 edh01,2 della legge finanziaria di riferimento, aumentati di1 punto percentuale, si calcolino l’importo della rata costante;

c. si calcoli il GAPV (Generalized Adjusted Present Value).

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0.93 0.935 0.94 0.945

B0,2 0.875 0.88 0.885 0.9

α 40% 50% 60% 70%

2. (11 pti) Si intende costituire un capitale di importoM all’epoca 3 mediante il versamento di3 rate anticipate di importi 1200,1300,1300, capitalizzate mediante la legge finanziaria indue variabili definita mediante i prezzi degli 0-coupon bond B0,1,B0,2,B0,3. Sichiede:a. calcolare il montanteM′ che si otterrebbe versando le rate preventivate;b. calcolare l’importoΔ costante da aggiungere alle rate per colmare la differenza M-M’.

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0.93 0.935 0.94 0.945

B0,2 0.875 0.88 0.885 0.9

B0,3 0.83 0.83 0.84 0.84

M 5000 5500 6000 6500

3. (11 pti) Date due variabili aleatorieX edY uniformi negli intervalli0,a e 0,b, si chiede:a. calcolare la probabilità cheX < Y;b. dire se una delle due variabili aleatorie domina stocasticamente l’altra, giustificando

appropriatamente la risposta.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 8 10 8 10

b 10 12 12 16

N.B. Caratteristiche di una variabile aleatoria uniforme con supporto l’intervalloa,b:

fXx =

0 perx < a1

b − apera ≤ x ≤ b

0 per x > b

FXx =

0 per x < ax − ab − a

per a ≤ x ≤ b

1 per x > b

EX = a + b2

, σX2 =

b − a12

2


MATEMATICA FINANZIARIA - Prova scritta del 15 gennaio 20011. Un titolo paga cedole semestrali calcolate a tasso annuo cedolarej, ha una vita residua di 20

mesi ed un tasso di rendimento effettivo (tasso interno) annuo i. Si chiede di calcolare:a. il corso tel quel ed il corso secco del titolo, scrivendone anche la formula in funzione

del tassoi;b. le variazioni assolute di corso del titolo conseguenti allavariazione del tasso di

rendimento effettivo dai a i ′ = i + 1% e dai a i” = i − 1%;c. la duration e l’indice di volatilità del titolo, assumendo come tasso di mercato il tasso

di rendimento effettivo;d. in corrispondenza ad una variazioneΔi del tassoi lo sviluppo, in forma puramente

simbolica, secondo la formula di Taylor arrestata al termine di 2^ ordine;e. usando la formula sub d) limitata al termine di 1^ ordine i valori numerici approssimati

delle variazioni subb), eventualmente sfruttando i calcoli già effettuati per ottenerequanto richiesto al punto c;

j i

1.a 10% 9%

1.b 8% 9%

2.a 10% 11%

2.b 8% 7%

Tempo disponibile:1h

MATEMATICA FINANZIARIA - Quesiti scritti del 19 gennaio20011. Discutere, in base alla definizione ed ai teoremi conosciuti, le proprietà della funzione

Fx,y = eαy−βx, dicendo se essa rappresenta una legge di capitalizzazionea due variabili e,nel caso, se è scindibile.

α β

1.a 0.12 0.1

1.b 0.11 0.12

2.a 0.1 0.11

2.b 0.11 0.1

MATEMATICA FINANZIARIAProva scritta del 5 Febbraio 2001

1. Siano dati tre titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche. Il primo titolo paga cedoleannuali al tasso annuo cedolarej, ha vita residua di 18 mesi e valore di rimborso alnominale di 100. Il secondo titolo paga cedole annuali al tasso annuo cedolarei, ha vitaresidua di 24 mesi e valore di rimborso al nominale di 100. Il terzo titolo è uno zero-couponbond con vita residua di 30 mesi e valore di rimborso 100. Nel mercato, privo di opportunitàdi arbitraggio, la struttura dei tassi a scadenza è piatta con tasso annuo di interesse costantei. Si chiede di:a. calcolare ilcorso tel quel dei primi due titoli ed il prezzo dello z.c.b.;b. calcolare la duration e la duration modificata dei tre titoli;c. determinare le quote percentuali di un portafoglio composto dal primo e dal terzo titolo

in modo che il portafoglio sia immunizzato dal rischio di tasso per un orizzontetemporale di 24 mesi;

d. determinare le quote percentuali di un portafoglio composto dal secondo e dal terzotitolo in modo che il portafoglio sia immunizzato dal rischio di tasso per un orizzontetemporale di 24 mesi;

e. determinare l’insieme dei portafogli che si possono costruire con tutti e tre i titoli chesiano immunizzati per lo stesso orizzonte temporale di 24 mesi;

f. mostrare algebricamente che ogni combinazione lineare convessa dei portafogliottenuti ai puntic e d appartiene all’insieme definito al puntoe, dandoneun’interpretazione finanziaria.(Si ricorda che si dicecombinazione lineare convessadi 2 vettori una combinazionelineare con coefficienti entrambi nonnegativi la cui sommavale uno)

i j

1.a 9% 12%

1.b 10% 11%

2.a 11% 10%

2.b 12% 9%


MATEMATICA FINANZIARIA A e BProva scritta del 10 aprile 2001

1. Un mercato finanziario è descritto da tre ZCB di durata rispettivamente 1,2 e 3 anni e aventiprezzi per unità di nominale pari aB0,h,h = 1,2,3. Un operatore economico contrae undebito di importoA con l’impegno a pagare per 3 anni ogni anno il solo interesse sul debitoA calcolato mediante i tassi forward uniperiodali aumentatidel 2% e a rimborsare all’istante3 l’intero debitoA. Per poter fare fronte all’impegno di rimborso della sommaA all’istante3, l’operatore accantona all’istante 1 l’importo2

5A e all’stante 2 l’importo1

3A,

investendoli nel suddetto mercato di ZCB. Si chiede:a. calcolare i tassi a prontih00,h,h = 1,2,3 ed i tassi forward

h01,2,h02,3,h01,3;b. calcolare le somme pagate dall’operatore agli istanti 1,2,3 a titolo di interesse;c. calcolare l’importo versato all’istante 3 per completare il piano di costituzione della

sommaA;d. calcolare gli importi complessivamente sborsati agli istanti 1,2,3 e calcolarne il valore

attuale mediante la struttura dei tassi di mercato;e. messo in relazione il valore attuale calcolato al punto precedente con l’importoA, dare

un’interpretazione finanziaria della differenza.

B0,1 B0,2 B0,3 A

1.a 0.96 0.92 0.88 15000

1.b 0.95 0.90 0.86 30000

2.a 0.97 0.94 0.90 45000

2.b 0.98 0.96 0.93 60000


N.B.: lo studente è tenuto a compilare il tracciato per la soluzione, in allegato alpresente testo, e ad indicare esplicitamente i passaggi rilevanti necessari al calcolodei risultati , inserendo i valori dei dati del problema.

MATEMATICA FINANZIARIA A e BQuesiti scritti dell’11 aprile 2001

1. Scrivere l’espressione diαn i in funzione dii edn. Chiarire il significato finanziario diαn i.Calcolare il limite peri tendente a 0 diαn⌝i facendo riferimento a quanto esposto inprecedenza e dando l’interpretazione finanziaria del risultato ottenuto.

MATEMATICA FINANZIARIA A, B e seraleProva scritta dell’11 settembre 2001

1. Molti rivenditori di automobili, in aggiunta all’incentivo rottamazione, hanno inserito lafacoltà di pagamento a ratesenza interessi di una parte della somma dovuta. Unannuncio-tipo sui giornali suona all’incirca così:”L. 12000000 senza interessi in 12 rate mensili posticipatedi L. 1000000. Le spese diistruzione della pratica di finanziamento sono di importoA ”In altra parte dell’annuncio compaiono una dichiarazione ed un altro messaggiocommerciale:”T.A.N.= 0%, T.A.E.G.= x””Per pagamenti in contanti viene concesso uno sconto di importo B”Formulando l’ipotesi aggiuntiva che le spese di istuttoriadella pratica, di importoA,costituiscano unapartita di giro per il rivenditore, ossia la somma di denaro versata dalcliente a tale titolo viene immediatamente girata dal rivenditore a terzi per l’espletamentodella pratica, si chiede:a. il TAEG per il compratore è maggiore del 2% annuo?b. se il tasso di interesse di opportunità del denaro proprio per il rivenditore è il 7% annuo

composto, è più conveniente per il rivenditore riscuotere il pagamento immediato di L.12000000 decurtate dello scontoB oppure il pagamento dilazionato in 12 rate mensili?

c. Qual è, in lire, il confine superiore dello sconto che il rivenditore può offrire inalternativa al pagamento dilazionato trovando più conveniente per sè la riscossioneimmediata?

d. un cliente, non disponendo della somma di denaro occorrente, vorrebbe valutarel’eventualità di farsi finanziare da altri all’11% annuo composto la somma necessariaper il pagamento in contanti, con rimborso mediante 12 rate mensili eguali epagamento, a parte, delle spese di istruttoria sempre pari ad A. Quale sarebbe il minimosconto da richiedere al rivenditore per trovare più conveniente l’acquisto in contantiottenuti per mezzo del finanziamento esterno?

e. confrontando i risultati sub c e sub d, esiste un intervallo di valori dello sconto Bconveniente sia per il rivenditore sia per il cliente?

1.a 1.b 2.a 2.b

A 200000 250000 300000 350000

B 600000 550000 500000 450000

N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella di propriacompetenza.

Gli importi in lire (fino al 31/12/01) devono essere interi e, per le variabili che possonoassumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve esserela massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempioun tasso 0.1234321507, va scritto nella forma 12.34% e non 12% .

Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vannoscritte in forma simbolica ein forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problemanella propriaversione di competenza.

Tempo disponibile: 1h

MATEMATICA FINANZIARIA A, B e seraleProva scritta del 6 giugno 2001

1. Siano dati tre titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche:- il primo titolo è uno 0-coupon bond scadente fra un anno, avente un prezzoB0,1 perunità di valor nominale;- il secondo titolo paga cedole annuali al tasso annuo 7%, ha vita residua di 2 anni (cedolaappena staccata), valore di rimborso pari al nominale ecorso secco pari aP;- il terzo titolo paga cedole annuali al tasso annuo 8%, ha vita residua di 3 anni (cedolaappena staccata), valore di rimborso pari al nominale ecorso secco pari aP′.Si chiede di:a. calcolare ilcorso tel quel del secondo e del terzo titolo;b. calcolare la struttura dei tassi per scadenza del mercato caratterizzato dai tre titoli sopra

descritti e soddisfacente l’ipotesi di impossibilità di arbitraggio;c. calcolare la somma complessiva da investire nei tre titoli da parte di un investitore che

deve far fronte ai seguenti impegni:- 10000 al tempo 1,- 15000 al tempo 2,- 20000 al tempo 3;

d. calcolare come ripartire nei tre titoli al tempo zero la somma calcolata sub c in mododa coprire le spese indicate senza dover fare successivamente altre operazioni (sisuggerisce di normalizzare i flussi dei singoli titoli per unità investita anzichè per unitàdi nominale e di calcolare prima la somma da investire nel terzo titolo, poi quella dainvestire nel secondo ed infine quella da investire nel primo).

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0,952 0,948 0,943 0,939

P 1,033 1,023 1,014 1,005

P ′ 1,068 1,054 1,041 1,027

MATEMATICA FINANZIARIA A, B e seraleProva scritta del 21 giugno 2001

1. In un mercato con struttura piatta dei tassi caratterizzatadal tassoi, sono presenti due titoliobbligazionari con le seguenti caratteristiche:- il primo titolo ha vita residua due anni, cedole annue costanti, rimborso pari al nominale ecorsoA per unità di nominale;- il secondo titolo ha vita residua tre anni, cedole annue costanti e rimborso pari al nominalee corsoB per unità di nominale.Si chiede:a. calcolare i tassi cedolarijA e jB dei due titoli, con 4 cifre significative esatte;b. calcolare le durationDA e DB dei due titoli;c. calcolare la duration di un portafoglio di valore complessivo C composto al 30% del

primo titolo ed al 70% del secondo titolo;

1.a 1.b 2.a 2.b

i 5% 5.5% 6% 6.5%

A 1,0371882 1,0276948 1,01833 1,0091

B 1,0817 1,067448 1,05346 1,039727

2. Dati due titoli azionari aventi rendimenti aleatoriX1 e X2, con valori attesiμX1 eμX2 ematrice di covarianza

Σ =σX1

2 covX1,X2

covX2,X1 σX22

si chiede:a. calcolare il valor attesoμZ e la varianzaσZ

2 del rendimentoZ di un generico portafogliocomposto nelle percentualiω1 eω2 dei due titoli;

b. calcolare il valore attesoμZ e la varianzaσZ2 in corrispondenza al portafoglio definito

daω1 = 30% edω2 = 70%.

1.a 1.b 2.a 2.b

μX1 5% 10% 5% 10%

μX2 10% 15% 10% 15%

σX1 4% 5% 4% 5%

σX1 6% 8% 6% 8%

covX1,X2 −0.002 −0.003 −0.001 −0.002

MATEMATICA FINANZIARIA A, B e seraleProva scritta del 5 luglio 2001

1. Dati due titoli azionari aventi rendimenti aleatoriX1 e X2, con valori attesiμX1 eμX2 e

matrice di covarianzaΣ =σX1

2 covX1,X2

covX2,X1 σX22

, si chiede:

a. calcolare il valor attesoμZ e la varianzaσZ2 del rendimentoZ di un generico portafoglio

composto nelle percentualiω1 edω2 dei due titoli;b. calcolare il valore attesoμZ e la varianzaσZ

2 in corrispondenza al portafoglio definitodaω1 = 20% edω2 = 80%;

c. vi sono altri portafogli con la stessa varianza calcolata sub b, ma con un diverso valoreatteso?

d. alla luce di quanto visto nei punti b e c, il portafoglio caratterizzato daω1 = 20% eω2 = 80% è ”efficiente”?

e. trovare il portafoglio di varianza minima, senza alcun vincolo sul rendimento atteso.

1.a 1.b 2.a 2.b

μX1 3% 5% 3% 5%

μX2 5% 7% 5% 7%

σX12 2% 4% 2% 4%

σX22 6% 8% 6% 8%

covX1,X2 −0.001 −0.002 −0.003 −0.001

MATEMATICA FINANZIARIA A, B e seraleProva scritta del 25 settembre 2001

1. In un mercato con struttura piatta dei tassi caratterizzatadal tassoi, sono presenti due titoliobbligazionari con le seguenti caratteristiche:- il primo titolo ha vita residua due anni, cedole annue costanti, rimborso pari al nominale ecorsoA per unità di nominale;- il secondo titolo ha vita residua tre anni, cedole annue costanti, rimborso pari al nominalee corsoB per unità di nominale.Si chiede:a. calcolare i tassi cedolarijA e jB dei due titoli, con 4 cifre significative esatte;b. calcolare le durationDA e DB dei due titoli;c. calcolare la duration di un portafoglio di valore complessivo C = 10000 investito al

70% nel primo titolo ed al 30% nel secondo titolo;d. calcolare il corso e la duration dei due titoli fra un anno, subito dopo aver riscosso la

cedola annua di entrambi i titoli;e. calcolare il nuovo valore del portafoglio sub c) anch’esso tra un anno, escludendo da

tale calcolo le cedole appena riscosse;f. escludendo, come al piunto precedente le cedole appena riscosse, determinare la nuova

ripartizione del valore del portafoglio calcolato sub e) fra i due titoli e la duration delportafoglio;

1.a 1.b 2.a 2.b

i 5% 5.5% 6% 6.5%

A 1,04 1,03 1,02 1,01

B 1,08 1,07 1,055 1,04

N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella dipropria competenza.Gli importi in lire (fino al 31/12/01) devono essere interi e, per le variabili chepossono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione neicalcoli deve essere la massima possibile e i risultati vannoriportati con 4 cifresignificative esatte; ad esempio un tasso 0.1234321507, va scritto nella forma12.34% e non 12% .Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vannoscritte in formasimbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nelproblema nella propria versione di competenza.


MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta dell’8 gennaio 2002

Parte A

1. Si versa una somma costanteR nelle 3 date sotto precisate su un conto corrente bancario sulquale maturano interessi a tasso annuo semplicei nel corso di ogni trimestre e vengonocorrisposti tali interessi maturati alla fine di ogni trimestre. Si chiede:a. scrivere i fattori di montante dalle date di versamento al 31/12, tenendo conto del

meccanismo di calcolo degli interessi (per semplicità un trimestre sia14 di anno ed un

mese 112 di anno, indipendentemente dal numero effettivo di giorni dei trimestri e dei

mesi in esame);b. calcolare l’importoR in modo che il montante della rendita costituita dalle 3 rate

versate alle date prefissate risulti pari adM.

1.a 1.b 2.a 2.b

i 5% 6% 5% 6%

t1 01/02 01/02 01/03 01/03

t2 01/08 01/09 01/09 01/08

t3 01/10 01/11 01/11 01/12

M 12000.00 16000.00 15000.00 10000.00

2. Una rendita dà diritto aN rate costanti semestrali anticipate di importo unitario pari a R,essendoN un numero aleatorio che può assumere le determinazioni 1 conprobabilità 1/3, 2con probabilità 1/2, 3 con probabilità 1/6. Si chiede:a. determinare la legge di probabilità del valore attuale della rendita a tasso annuo

composto effettivoi;b. calcolare il valore atteso e la varianza del valore attuale della rendita;

1.a 1.b 2.a 2.b

i 5% 6% 5% 6%

R 1100.00 1200.00 1000.00 1100.00

N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella dipropria competenza.Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili chepossono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione neicalcoli deve essere la massima possibile e i risultati vannoriportati con 4 cifresignificative esatte; ad esempio un tasso 0.1234321507, va scritto nella forma12.34% e non 12% .Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vannoscritte in formasimbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nelproblema nella propria versione di competenza.


Parte B

Quesiti1. Calcolare il valore di un portafoglio composto di due 0-coupon con scadenze 1 anno e 2

anni e 4000 euro e 6000 euro di valor nominale, rispettivamente, avendo una struttura piatta

dei tassi di interesei. Calcolare la duration del portafoglio. 1.a 1.b 2.a 2.b

i 5% 6% 5% 6%

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 22 gennaio 2002

Parte BQuesiti

1. Dato un portafoglio composto, nelle percentuali 30%,50%,20%, di 3 zero - coupon bondsaventi durate residue, rispettivamente, 1,2,3 anni e prezzi per unità di nominale pari aB0,1, B0,2, B0,3, si chiede di calcolare la duration di tale portafoglio. E’ l’unicoportafoglio composto dei tre titoli avente tale duration?

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0.91 0.89 0.92 0.90

B0,2 0.85 0.84 0.86 0.84

B0,3 0.80 0.79 0.81 0.79

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta di gennaio 2002

Parte A

1. Una rendita dà diritto aN rate costanti annue posticipate di importoR, doveN è unavariabile aleatoria discreta che può assumere i valori 1 conprobabilitàp1 = 1

4 , 2 conprobabilitàp2 = 1

3 , 3 con probabilitàp3 = 512 Si chiede:

a. scrivere la legge di probabilità del montante della renditacalcolato a tasso di interessecomposto annuoi;

b. calcolare valore atteso e varianza del montante;c. scrivere la funzione di ripartizione del montante e tracciarne il grafico;d. calcolare l’importoR ′ della rata costante di una rendita posticipata certa composta di 3

rate avente montante pari al valore atteso calcolato sub b.

1.a 1.b 2.a 2.b

i 5% 6% 5% 6%

R 1100.00 1200.00 1000.00 1100.00


MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 5 aprile 2002

Parte A

1. Dati 3 zero - coupon bonds aventi durate residue, rispettivamente, 1,2,3 anni e prezzi perunità di nominale pari aB0,1, B0,2, B0,3, si chiede di calcolare:

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0.91 0.89 0.92 0.90

B0,2 0.85 0.84 0.86 0.84

B0,3 0.80 0.79 0.81 0.79

a. i tassi spoth00,t, t = 1,2,3 e forwardh0s, t,s < t = 1,2,3;b. la rata di ammortamento costante con tassi di interesseh0s,s + 1,s = 0,1,2 nei tre

periodi di un debito di ammontare 12 000 euro;c. il piano d’ammortamento dettagliato;d. la duration della rendita costituita dalle rate di ammortamento.

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0.91 0.89 0.92 0.90

B0,2 0.85 0.84 0.86 0.84

B0,3 0.80 0.79 0.81 0.79

N.B.- Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella dipropria competenza.- Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili chepossono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione neicalcoli deve essere la massima possibile e i risultati vannoriportati con 4 cifresignificative esatte; ad esempio un tasso 0.1234321507, va scritto nella forma12.34% e non 12% .- Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vannoscritte in formasimbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nelproblema nella propria versione di competenza.


Parte B

1. Dimostrare che la funzioneFx,y = 11−dy−x

esprime il fattore di montante di una legge

finanziaria non scindibile. 1.a 1.b 2.a 2.b

d 0.12 0.13 0.14 0.15

2. Trovare il numero minimo di rate costanti posticipate di importo R necessario per ottenereun montante almeno pari aM, con tasso di interessei. Dire se vi sono condizioni di realtà

sui dati del problema,R,M e i e, in caso affermativo, indicarle.

1.a 1.b 2.a 2.b

R 20 30 20 30

M 200 400 300 500

i 8% 9% 9% 8%

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 4 giugno 2002

Parte A

1. Siano date le seguenti quotazioni (per lira di nominale) degli zero-coupon bondB0,s perle scadenzes da 1 a 3 anni:

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0,9708 0,9345 0,9523 0,9174

B0,2 0,9245 0,8573 0,9245 0,8573

B0,3 0,8638 0,7721 0,9151 0,8162

Si calcolino:a. i corrispondenti rendimenti a scadenzah00,s, s = 1,2,3;b. i corrispondenti tassi forward das a s + 1, h0s,s + 1, s = 0,1,2;c. il valore P0 (quotazione) in 0 di un titolo che scade in 3 con nominale di 100 e cedole

annue al tasso cedolare:

1.a 1.b 2.a 2.b

i 3% 4% 5% 6%

d. il valore del titolo di cui al punto c) alla data 2, immediatamente prima del pagamentodella cedola;

e. il corso tel quel e il corso secco del titolo sub c) all’epoca 1,5 supponendo cheall’interno di ciascuno dei tre anni considerati la struttura dei tassi sia piatta.



Parte B

Quesiti

1. Dato il sistema di equazioni lineari2x1 + x3 − x4 = 10

3x2 + 2ax3 + ax4 = 12,

a. dimostrare che il rango del sistema di equazioni è 2 e vi sono∞2 soluzioni;b. risolvere per diagonalizzazione il sistema nelle incognite x3 e x4, considerandox1 e x2

come parametri.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 2 −2 3 −3

2. Data la funzionefXx =

0 x < a

k − x−ab−a

a ≤ x ≤ b

0 x > b

a. trovare la costantek in modo che essa sia una funzione di densità di probabilità;b. calcolare la corrispondente funzione di ri partizione.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 1 2 3 4

b 3 4 5 6


Parte A

1. Un debito di 10.000 euro contratto int = 0 viene estinto in tre rate posticipate a tassovariabile secondo le seguenti modalità. La prima rataR1 viene calcolata come se l’interodebito dovesse essere estinto in tre rate uguali a tasso costantei1; la seconda rataR2 vienecalcolata come se il debito residuoD1 dovesse venire estinto in due rate uguali a tassocostantei2; infine il debito residuoD2 viene estinto in un’unica soluzione mediante la rataR3 calcolata a tassoi3 (modalità alla francese per inseguimento). Si chiede:a. di stendere il piano di ammortamento;b. di verificare la condizione di chiusura finanziaria finale;c. nel casoi3 sia una variabile aleatoria uniformeX3 tra i3 − 0,005 ei3 + 0,015 di

calcolare valore atteso e varianza della terza rata nonché del suo valore attuale int = 0.(Si rammenta che se la variabile uniformeX ha per supporto l’intervalloa,b risultaEX = a+b

2 eσX2 =

b−a2

12 )

1.a 1.b 2.a 2.b

i1 5% 4% 7% 6%

i2 6% 5% 6% 5%

i3 7% 6% 5% 4%



MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 18 giugno 2002- Parte B

Quesiti1. Dato il problema di PL sottoriportato, a quali condizioni devono soddisfare i termini noti dei

vincoli affinché il punto di coordinatex1∗,x2

∗ sia:a. una soluzione ammissibile;b. una soluzione di base ammissibile.

maxz = 3x1 + 2x2 sub

2x1 + 3x2 ≤ a

x1 + 2x2 ≤ b

x1,x2 ≥ 0

1.a 1.b 2.a 2.b

x1∗ 2 3 4 5

x2∗ 5 4 3 2

2. Dati 3 titoli aventi rendimenti attesiμ1,μ2,μ3 e matrice di covarianza fra i rendimentiΣ, sichiede:a. Calcolare la matrice dei coefficienti di correlazione derivandola dalla matrice di

covarianza assegnata.b. Scrivere la varianza di un portafoglio composto dai tre titoli nelle percentualix1,x2,x3.

1.a 1.b 2.a 2.b

μ1 6% 5% 5% 6%

μ2 8% 7% 8% 9%

μ3 9% 9% 10% 11%

1.a Σ =

0.0016 0 0

0 0.0025 0.002

0 0.002 0.0036

1.b Σ =

0.0025 0 0

0 0.0036 0.002

0 0.002 0.0016

1.a Σ =

0.0016 0 0

0 0.0036 0.002

0 0.002 0.0025

1.b Σ =

0.0036 0 0

0 0.0025 0.002

0 0.002 0.0016

3. Calcolare il tasso di rendimento effettivo di un titolo di durata 2 anni, cedola annuacalcolata al tasso cedolarej, prezzi di emissione e di rimborso pari al nominale.

1.a 1.b 2.a 2.b

j 5% 6% 4% 7%

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 2 luglio 2002

Parte A

1. Viene stipulato l’1/1 un contratto di vendita rateale di un bene di valoreA con tassonominalej12, in interesse composto, in 12 rate mensili posticipate. Al debitore vienerichiesto alla consegna del bene il pagamento delle spese diistruttoria della pratica, paria150 euro, e vengono addebitate le spese di riscossione del 3%delle singole rate in occasionedel pagamento delle stesse. Si chiede di:a. determinare il tasso mensile e annuo effettivo contrattuale prima delle spese;b. calcolare la rata mensileR contrattuale, al netto delle spese di riscossione;c. descrivere l’operazione di finanziamento dal punto di vista del debitore tenendo conto

di tutte le spese accessorie;d. dire se il T.A.E.G. dell’operazione è maggiore dii∗ = 15%;e. calcolare il montante delle rate, maggiorate delle spese diriscossione ,al 31/12 sapendo

che il debitore preleva le rate da un conto corrente bancariosu cui é in vigore il tassod’interesse sempliceis con capitalizzazione alla fine dell’anno (per semplicità econtrola situazione attuale). Calcolare infine l’unico prelievoall’1/1 dal conto corrente che éequivalente per il debitore al pagamento delle rate ai fini del saldo del suo conto a fineanno.

1.a 1.b 2.a 2.b

A 10.000 11.000 12.000 13.000

j12 8% 7% 8% 7%

is 2% 3% 3% 2%



Parte B

Quesiti1. Un debito di importoA è rimborsato mediante 2 rate di importiR1 e R2. Si chiede:

a. Calcolare il tasso contrattuale dell’ammortamento sopra descritto;b. Stendere il piano di ammortamento.

:

1.a 1.b 2.a 2.b

R1 500 600 400 700

R2 600 500 700 500

A 1000 1000 1000 1000

2. Data la funzione di utilitàux = a lnbx, si chiede di calcolare:a. l’indice assolutoηx di avversione al rischio;b. il certo equivalente della variabile aleatoriaX che assume valoreA con probabiliàp e B

con probabilità 1− pc. il premio al rischioπX.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 2 3 4 2

b 3 2 2 4

A 200 300 200 300

p 30% 30% 70% 70%

B 300 400 300 400

3.a. Scrivere il prezzo per unità di nominale di uno 0-coupon bonddella durata di due anni

in funzione del tassoi di una struttura piatta di un mercato finanziario, sotto l’ipotesi dinon arbitraggio.

b. Scrivere l’approssimazione del 1° ordine mediante la formula di Taylor di tale prezzonell’intorno del valore assegnato adi nella versione di propria competenza,evidenziando ove compare il valore della duration modificata quale uno dei coefficientidi tale sviluppo.

1.a 1.b 2.a 2.b

i 8% 7% 6% 9%

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 10 settembre 2002

Parte A

1. Sia dato il titolo obbligazionario di nominale 100 con cedole semestrali determinate daltasso annuo cedolarej = 6%. Si chiede di:a. calcolare il prezzo del titolo 3 anni prima della scadenza (cedola appena staccata)

supponendo che a tale data il tasso di mercato siai per tutte le scadenze future;b. calcolare il prezzo del titolo 2 anni prima della scadenza (cedola appena staccata)

supponendo che a tale data il tasso di mercato sia sceso ai ′ per tutte le scadenze future;c. determinare il guadagno all’epoca di rivendita di un agenteche compri il titolo a 3 anni

dalla scadenza e lo rivenda 1 anno dopo alle condizioni sopradette, sapendo che tieneordinariamente il suo denaro in un c/c bancario al tasso annuo sempliceis, conaddebito e accredito semestrale degli interessi.

1.a 1.b 2.a 2.b

i 8% 7% 8% 7%

i ′ 5% 4% 4% 5%

is 2% 3% 3% 2%



MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 10 settembre 2002- Parte B

Quesiti

1. Data la funzionefx =

0 x < 0

-k 0 ≤ x < a

−2k a ≤ x ≤ b

0 x > b

,conk ∈ ℜ, si chiede:

a. se la funzione può essere una funzione di densità di probabilità di una variabilealeatoria per un opportuno valore dik;

b. nel caso la risposta sub a sia stata affermativa, calcolare il valore dik e lacorrispondente funzione di ripartizione;

c. sempre nel caso che la risposta sub a sia affermativa, la variabile aleatoria è continua,discreta oppure mista?

1.a 1.b 2.a 2.b

a 2 3 4 5

b 5 5 6 8

2. Data la funzione in due variabiliz = ln1 + ax2 + by si chiede:a. Scrivere lo sviluppo della funzione in serie di Mc Laurin arrestata al termine di 2°

ordine nell’intorno dell’origine0,0;b. Dire se, nell’intorno dell’origine la funzione è concava, convessa oppure né concava né

convessa. Giustificare adeguatamente la risposta.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 3 3 4 4

b 1 −1 2 −2

3. Dato un debito di importoA rimborsato con 5 rate mensili posticipate di importoR inregime di sconto commerciale, si chiede:a. calcolare il tasso annuo semplice di sconto commercialed implicito nell’operazione.

1.a 1.b 2.a 2.b

A 1200 1400 1200 1400

R 300 350 400 400

i 7% 9% 8% 11%


Parte A

1. Siano dati i prezzi per unità di valore nominaleB0,1, B0,2 degli 0-coupon bondsscadenti tra un anno e due anni. Sia dato inoltre un titolo obbligazionario di nominale 100 evita residua 2 anni che paga le seguenti cedole: la prima, traun anno di importo descritto dauna variabile aleatoria uniforme nell’intervalloa,b; la seconda, a scadenza, di importo,per unità di valore nominale, pari a quello della prima aumentato di mezzo puntopercentuale. Il prezzo del titolo vene valutato dal mercatocome valore atteso del valoreattuale netto delle cedole e del valore a scadenza del titoloin base alla legge finanziariaindotta daB0,1 e B0,2. Si chiede di:a. esprimere il prezzo del titolo in funzione della variabile aleatoria valore della prima

cedola;b. trovare il supporto o campo di variazione del prezzo aleatorio del titolo;c. calcolare il valore atteso e la varianza del prezzo.

1.a 1.b 2.a 2.b

B0,1 0,9708 0,9345 0,9523 0,9174

B0,2 0,9245 0,8573 0,9245 0,8573

a 5 4 5 4

b 7 6 7 6

(Si rammenta che se la variabile uniformeX ha per supporto l’intervalloa,b risultaEX = a+b

2 eσX2 =

b−a2

12 ).



MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 24 settembre 2002- Parte B

Quesiti1. Dati due eventiA,B, dei quali sono note le probabilitàpA,pB e la probabilità

condizionatapA ∣ B, calcolarepB ∣ A1.a 1.b 2.a 2.b

pA 0.6 0.6 0.5 0.5

pB 0.5 0.5 0.6 0.6

pA ∣ B 0.7 0.5 0.7 0.4

2. Data la matrice simmetricaA =

a 2 b

2 4 0

b 0 1

, si chiede:

a. Scrivere l’espressione della forma quadraticaxTAx come polinomio delle componentix1,x2,x3.del vettorex;

b. Dire se, al variare del vettorex la forma quadratica scritta sub a assume segno costantepositivo, oppure segno costante negativo, oppure cambia disegno. Giustificareadeguatamente la risposta.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 3 3 4 4

b 1 −1 2 −2

3. Dato un portafoglio che dà diritto a due flussi di cassaa1, 0 e a2, 3, dove il primo valoredi ogni coppia indica l’importo monetario ed il secondo valore l’istante di disponibilità, sichiede:a. calcolare la durationDi corrispondente ad un tasso di interesse costantei ed il valore

del portafoglioWDi, i a tassoi;b. Calcolare le variazioni di tale valoreWDi, i corrispondenti a due variazioni assolute

di +1% e−1% del tasso di interessei in t = 0.c. Commentare il segno di tali variazioni nell’ambito della proprietà di immunizzazione

della duration.

1.a 1.b 2.a 2.b

a1 300 300 400 400

a2 500 600 500 600

i 7% 9% 8% 11%

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 4 Febbraio 2003

Parte A

1. Un debito di 6.000 euro contratto int = 0 viene estinto in tre rate posticipate con quotecapitale costanti e tasso d’interesse variabile. Si indichino coni1, i2, i3 i tassi di interesse daapplicare rispettivamente al debito residuo all’inizio del primo, secondo e terzo anno. Sichiede:a. di stendere il piano di ammortamento;b. di verificare la condizione di chiusura finanziaria iniziale e quella finale;c. nel casoi3 sia una variabile aleatoria uniformeX3 con supportoa,b di calcolare

valore atteso e varianza della terza rata; scrivere l’espressione valore attuale int = 0della terza rata in funzione della variabile aleatoriaX3, senza calcolarne i momenti. (Sirammenta che se la variabile uniformeX ha per supporto l’intervalloa,b risultaEX = a+b

2 eσX2 =

b−a2

12 )

1.a 1.b 2.a 2.b

i1 6% 5% 6% 5%

i2 5% 4% 7% 6%

i3 7% 6% 5% 4%

a 6% 5% 4% 3%

b 9% 8% 7% 6%



MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 4 febbraio 2003- Parte B

Quesiti

1. Dati i 4 vettori diℜ3 v1 =

0

0

a

,v2 =

0

2

0

,v3 =

1

2

1

,v4 =

a

3

4

, si chiede;

a. dimostrare sinteticamente che i vettori assegnati sono linearmente dipendenti;b. trovare il rango dell’insieme di vettori;c. esprimere il vettorev4 come combinazione lineare dei 3 vettoriv1, v2, v3, precisando

se tale combinazione lineare è unica, oppure dipende da uno opiù parametri.

1.a 1.b 2.a 2.b

a 2 3 4 5

2. Di una variabile aleatoriaX sono noti il valor attesoEX e la varianzaσX2 . Si chiede:

a. Calcolare il valore atteso di1 + X2

1.a 1.b 2.a 2.b

EX 2 1.5 2 1.5

σX2 1.2 1.6 1.6 1.2

3. Data la funzioneFx,y = ey−x

a+bx in due variabili, si chiede:a. verificare che essa esprime il fattore di montante di una legge di capitalizzazione a due

variabili:b. calcolare l’intensità istantanea di interessec. dire se la legge è scindibile

1.a 1.b 2.a 2.b

a 10 10 12 12

b 0.1 0.08 0.08 0.06


Parte A

1. Siano dati due titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche:- il primo titolo è uno 0-coupon bond scadente fra un anno, avente un prezzoB per unità divalor nominale;- il secondo titolo paga cedole semestrali al tasso annuo cedolare del 6%, ha vita residua di2 anni (cedola appena staccata), valore di rimborso pari al nominale ecorso tel quel perunità di nominale pari aP.Si chiede di:a. calcolare la struttura semestrale dei tassi per scadenza del mercato caratterizzato dai

due titoli sopra descritti, (soddisfacente l’ipotesi di impossibilità di arbitraggio),nell’ipotesi che all’interno di ognuno dei due anni la struttura dei tassi sia piatta;

b. calcolare i tassi forward o impliciti;c. calcolare il prezzo tel quel per unità di nominale di un titolo obbligazionario che abbia

vita residua 18 mesi, valore di rimborso pari al nominale e cedola fissa annua calcolataal tasso annuo cedolare del 7%;

d. calcolare il prezzo tel quel del titolo al punto precedente tra un anno nell’ipotesi che lastruttura dei tassi non abbia subito variazioni.

1.a 1.b 2.a 2.b

B 0,952 0,948 0,943 0,939

P 1,033 1,023 1,014 1,005

N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella dipropria competenza.Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili che possonoassumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve esserela massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempioun tasso 0.1234321507, va scritto nella forma 12.34% e non 12% .Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vannoscritte in forma simbolica e informa numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problemanella propriaversione di competenza.



Quesiti1. Il prezzo di un’azione ha subito in passato una perdita percentualeα ogni semestre:

nell’ipotesi che continui a perdere allo stesso modo in futuro, in quanti anni il prezzo sidimezzerà?

a. 1.a 1.b 2.a 2.b

α 2.6% 2.8% 3.0% 3.2%


Parte A

1. Siano dati due titoli obbligazionari con le seguenti caratteristiche:- il primo titolo è uno 0-coupon bond scadente fra un anno, avente un prezzoB per unità divalor nominale;- il secondo titolo paga cedole semestrali al tasso annuo cedolare del 6%, ha vita residua di2 anni (cedola appena staccata), valore di rimborso pari al nominale ecorso tel quel perunità di nominale pari aP.Si chiede di:a. calcolare la struttura semestrale dei tassi per scadenza del mercato caratterizzato dai

due titoli sopra descritti, (soddisfacente l’ipotesi di impossibilità di arbitraggio),nell’ipotesi che all’interno di ognuno dei due anni la struttura dei tassi sia piatta;

b. calcolare i tassi forward o impliciti;c. calcolare il prezzo tel quel per unità di nominale di un titolo obbligazionario che abbia

vita residua 18 mesi, valore di rimborso pari al nominale e cedola fissa annua calcolataal tasso annuo cedolare del 7%;

d. calcolare il prezzo tel quel del titolo al punto precedente tra un anno nell’ipotesi che lastruttura dei tassi non abbia subito variazioni.

1.a 1.b 2.a 2.b

B 0,952 0,948 0,943 0,939

P 1,033 1,023 1,014 1,005

N.B. Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella dipropria competenza.Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili che possonoassumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione nei calcoli deve esserela massima possibile e i risultati vanno riportati con 4 cifre significative esatte; ad esempioun tasso 0.1234321507, va scritto nella forma 12.34% e non 12% .Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vannoscritte in forma simbolica e informa numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nel problemanella propriaversione di competenza.



Quesiti1. Il prezzo di un’azione ha subito in passato una perdita percentualeα ogni semestre:

nell’ipotesi che continui a perdere allo stesso modo in futuro, in quanti anni il prezzo sidimezzerà?

a. 1.a 1.b 2.a 2.b

α 2.6% 2.8% 3.0% 3.2%


1. Sono dati un titolo con cedole annue calcolate a tasso cedolare j e con vita residua 26 mesied uno 0-coupon bond di durata residua 4 anni. Si chiede:a. calcolare il prezzo, per unità di nominale, dei due titoli sapendo che il mercato presenta

una struttura piatta a tassoi;b. calcolare la duration dei due titoli;c. costruire il portafoglio di valoreε 10000000 e duration 40 mesi, ottenuto combinando i

due titoli;d. determinare quali quantità di valore nominale dei due titoli sono presenti nel

portafoglio costruito al puntoc;e. precisare di conseguenza al punto d quali flussi di cassa il portafoglio produrrà nel

tempo;f. trascorsi 6 mesi dire quali sono i nuovi prezzi e le nuove duration dei due titoli

nell’ipotesi di assenza di variazioni nella struttura a termine dei tassi;

1.a 1.b 2.a 2.b

j 0.07 0.06 0.07 0.05

i 0.11 0.12 0.13 0.09



Parte A

1. Un tizio compra un portafoglio costituito da due titoli dotati di cedola annua, uno di vitaresidua 3 anni (cedola appena staccata) e l’altro di vita residua 2 anni e 10 mesi. Il primo hatasso cedolarej, il secondo tasso cedolarej ′. Supponiamo che l’investitore si indebiti perl’intero acquisto con un piano d’ammortamento in tre rate annue uguali posticipate al tassoif. Si chiede di:a. calcolare il prezzo per unità di nominale dei due titoli sapendo che il mercato esprime

una struttura per scadenza piatta dei tassi al 2% su tutto l’orizzonte temporale delproblema;

b. calcolare il valore all’istante iniziale del portafoglio sapendo che è composto del primotitolo per un valore nominale di 300, del secondo per un valore nominale di 600;

c. determinare la rata del piano d’ammortamento;d. supponendo di conservare i titoli fino alla scadenza, calcolare i movimenti di capitale

proprio dell’investitore e, posto cheic sia il tasso di interesse per la valutazione del suocosto opportunità del capitale proprio, determinare la convenienza o meno dell’interaoperazione.

1.a 1.b 2.a 2.b

i1 8% 7% 8% 7%

i2 5% 6% 6% 5%

if 5% 4% 5% 4%

ic 6% 7% 7% 6%



Parte B

Quesiti1. Dato un debito di 1000, esso viene estinto in due rate posticipate, la prima di importo x,

incognito, la seconda di importo 500, corrispondendo interessi al tasso contrattualei.Sichiede:a. calcolare la rata incognita xb. stendere il piano d’ammortamento.

1.a 1.b 2.a 2.b

i 8% 10% 12% 15%

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta del 13 luglio 2004

Parte B - Quesiti

1. Dato un portafoglio composto, nelle percentuali 30%,70% di2 zero - coupon bonds didurate 1 e 3 anni in un mercato con struttura dei tassi piatta atassoi, si chiede di calcolarela duration di tale portafoglio. Il tasso di interesse aumenta passando dai a i + 1%: comecambia la composizione percentuale del valore attuale del portafoglio?

1.a 1.b 2.a 2.b

i 7% 8% 9% 6%


Parte A

1. Un decisore ha investito una sommaα in un mercato descritto da due ZCB con prezzi, perunità di nominale,B0,1 e B0,3, e durate rispettivamente 1 e 3 anni. Nell’ipotesi che itassi forward negli ultimi 2 anni siano uguali:a. determinare il prezzoB0,2 dello 0-coupon bond mancante ;b. determinare l’intera struttura dei tassi di interesse;c. all’istante 2, per sostenere una spesa, il decisore disinveste la somma di importoβ :

quale è all’istante 3 il montante netto disponibile all’investitore?d. quale somma di denaro investita all’istante 0 darebbe luogoallo stesso montante sub

c)?

1.a 1.b 2.a 2.b

α 800 900 800 900

B0,1 0.97 0.99 0.98 0.99

B0,3 0.94 0.97 0.95 0.96

β 500 600 400 700

N.B.- Hanno valore nullo gli svolgimenti di esercizi in versioni diverse da quella dipropria competenza.- Gli importi in euro devono avere 2 cifre decimali e, per le altre variabili chepossono assumere valori con decimali, come i tassi di interesse, la precisione neicalcoli deve essere la massima possibile e i risultati vannoriportati con 4 cifresignificative esatte; ad esempio un tasso 0.1234321507, va scritto nella forma12.34% e non 12% .- Le formule da riportare sul tracciato per la soluzione vannoscritte in formasimbolica e in forma numerica, sostituendo alle variabili i valori assegnati nelproblema nella propria versione di competenza.

Prova scritta del 25 gennaio 2005Parte B Quesiti

1. Trovare il tasso di interesse composto di una rendita costante anticipata di due rate diimportoR, montante pari aM.

1.a 1.b 2.a 2.b

R 500 600 400 700

M 1200 1400 1000 1600

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e serale - 28 febbraio 2006Parte B - Quesiti

1. Data la rendita costituita da 120 rate mensili anticipate diimportoR, calcolare il montantealla fine del 20− esimo anno, calcolato la tasso di interesse annuo nominale convertibilemensilmentej12.

R j12

1.a 1200 6%

1.b 1400 7%

2.a 800 8%

2.b 1600 5%

2. Data la funzione in due variabilifx,y = eax+by + ln1 + ay,a. dimostrare che non può ammette punti di max o min;b. dire se nell’origine0,0 essa è concava/convessa/né concava, né convessa.

a b

1.a −2 3

1.b 2 −3

2.a 3 −2

2.b 3 2

3. Data la funzione di ripartizione della variabile aleatoriamistaX :

FXx =

0 x < ax−a

2b−aa ≤ x < b

1 x ≥ b

, si chiede:

a. disegnare un grafico sommario della funzione;b. calcolarepa < X < b;c. calcolarep a < X ≤ a + b−a

2 ;

d. calcolarep a + b−a2 < X ≤ b ;

e. calcolareEX.

a b

1.a 1 3

1.b 2 4

2.a 1 5

2.b 2 6

MATEMATICA FINANZIARIA A, C, D e seraleProva scritta scritta del 20 giugno 2006 Parte B - Quesiti

1. (10 pti)

a. Dati i tre vettoriv1 =

1

2

−1

,v2 =

2

−1

1

,v3 =

0

1

2

, linearmente

indipendenti, si verifichi che i vettoriz1, z2, ottenuti come combinazioni lineari dei trevettori v1,v2,v3 mediante i coefficientiα1,α2,α3,β1,β2,β3, sono linearmenteindipendenti:

z1 = α1v1 + α2v2 + α3v3

z2 = β1v1 + β2v2 + β3v3, con valori diα1,α2,α3,β1,β2,β3 sotto riportati.

b. Supposto di mantenere i valori assegnati aα1,α2,α3,β1 e calcolare opportuni valori diβ2,β3, quali valori si devono assegnare a tali parametri affinchéz1, z2 sianolinearmente dipendenti?

α1 α2 α3 β1 β2 β3

1.a 1 1 −1 3 −1 2

1.b 1 2 −1 −1 3 −1

2.a −1 1 2 2 −1 3

2.b 2 −1 1 3 2 −1

2. (12 pti)a. Date le lotterieX1 = 0,p1,100,1− p1 e X2 = 0,p2,200,1− p2, si dica

quale lotteria è preferita da un decisore con utilità esponenzialeux = −e−αx; i valoridelle probabilitàp1,p2 e dell’indiceα di avversione assoluta al rischio sono riportatinella tabella sottostante in corrispondenza alle diverse versioni.

b. Quale condizione sull’indice di avvversione al rischio deve valere affinché la lotteriaX2 venga preferita alla lotteriaX1?

1.a 1.b 2.a 2.b

p1 30% 40% 60% 45%

p2 40% 55% 70% 60%

α 140

150

140

150

3. (11 pti) Un prestito dieuro 100000 viene accordato con un piano di rimborso mediante 10rate annue posticipate costanti al tasso di interesse annuocompostoi. Alla fine del 2°anno leparti concordano l’estinzione anticipata del debito dietro il pagamento del debito residuomaggiorato del 3% contestualmente al pagamento della seconda rata. Si chiede:a. Calcolare la rata di ammortamento del prestito inizialmente prevista;b. descrivere i flussi di cassa del finanziamento modificato mediante l’estinzione

anticipata dal punto di vista del debitore;c. calcolare il tasso di interesse implicito del finanziamento estinto anticipatamente.

1.a 1.b 2.a 2.b

i 5% 6% 7% 8%

Documents

MATEMATICA FINANZIARIA A e B - Prova scritta del 30 maggio ... · variabile aleatoria esponenziale negativa con parametro . a. si determini la variabile aleatoria X, fattore di montante