Embed Size (px)
Citation preview
-ALINA PARASCHIVA
SILVIU DANET
matemeticlFotmulenoliuni
l
clasele
a
s!]
generale
u-ulllEdi6a aII-a
Con(*r
*
Matematicd: formule si notiini senerale - clasele V-VIil
Atentie!. La transformarea unei unitS,ti de misurd mai mici intr-una
mai mare impdrlim la 10, 100, 1 000, ... .
. La transformareatmei unitili demdsuri mai mari intr-unamai mici inmullim cu 10, 100, I 000, ... .
4. UnitSlide mdsurb pentru masaUnitatea de misurd, intema{ional recunoscuti, penfumasi
este gramul, simbolizat g.
Multiplii qi submultiplii gramului swt:
. :10 :10 :10 :10 :10 :10
Atentie!. Unitdlile de misuri cresc/descresc din 10 in 10.. Suntdes folosite: quintalul (q), 1 q: l00kg;
tona (t), 1 t = 10 q: 1 000 kg.
5. UnitSlide mdsuri pentru timpUnitatea de mdsud, intemafional recunoscuti, pentru timp
este secunda, simbolizatd s.
AIte unitdli des folosite: minutul (min), 1 min: 60 s:
ora (h), t h: 60 min;ziua (d), I d,= 24h.
CuPrinsPrefa
Matemoticd; formule si no!iuni generale - closele V-VIil
4. Rapoarte, procente qi proporfii ...............................27
5. Medii......6. Mdrimi proporlionale .....................31
" 1. Ecualia de gradul intii cu o'necunoscutl..............-3'72. Ecualia de gradul al doilea cu o necunoscutiL........37
VIL Inecua{ia de gradul intAi cu o necunoscuti ...,...........391. No{iuni generale........................................................39
2. Rezolvarea inecualiilor ...................39
VIII. Ecua{ii qi sisteme de ecuafii de gradul intiicu doui necunoscute .,......,.....................40
1. Ecualii de gradul int0i cu doud necunoscute .........402. Sisteme de ecualii de gradul ?ntAi cu doud
necunoscute ...........40IX. Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecua{ii|or.......44X. Func{ii ...........................45
1. Noliuni generale .............................45
2. Funclia liniari .....
GTOfMTTRIEL Unghiul
1. Noliuni generale ...........
2. Clasificarea unghiurilorII. Triunghiul 56
1. Noliuni generale ,............
2. Construclia trimghi"til";.......:.::..3. Clasificarea triunghiurilor .
5. ProprietSli ale triunghiurilor """"""""""""""" " "6 I
6. Congruenla Ei asemdnarea triunghiuriior ""':,"".' '-65
7. Rezultate importante in asemdnarea triunghiurilor "'69
8. Teoreme importante in triunghiuri oarecare """'"''709. Teoreme importante in triunghiuri dreptunghice"T3
10. Rapoarte constante in triunghiurile dreptunghice
(elemente de trigonometrie) """""""""" """""""'-'7 5
11. Valori particulare ale funcliilor trigonometrice "-'7612. Formule pentru aria triunghiului" " " """""""""" 76
III. Patrulatere...-.-.-.--'-"- """""""""""791. No{iuni generale """" """"""""'""'192.Paralelogramul""""""""" """""793. TraPezul "" "" ""- "83
4. Perimetml Ei aria patrulalerelor studiate """" "" "'84
IV. Linia mijlocie in triunghi gi trapez '-"""""""""""""'86V. Cercul --'--'---'--'-'-'-88
1. Noliuni generale """ """"""" " " '88
2.Pozi\li relative a1e unei drepte fa$ de un cerc """'893.Pozi\iirelative a doui cercuri " "" "':"" """"""'-"'904. Unghiuri construite relativ la cerc " "" "" "" " " "'925 . Teoreme referitoare la arce qi coarde ""' """""""" 9 5
6. Figuri geometrice inscrise in celc """"""""" "'""'967. Poligoane regulate " " ""' """"""" 98
8. tunlid s,i arii intllnite in cerc""""""""" " " '." "99
VI. Unghiut a doul drepte in plan qi spa{iu """""""""' 101
VII. Perpendicularitate in plan qi spa{iu""""""""""""" 104
1. Noliuni generale "" """"""" " " 104
2. Teoreme relative la perpendicularitate"":" " ""-' 104
51
.....5 1
.....52
....56
....5 6
....5 8
....5 9
127t26
4. Linii importante in triunghi
Matematicd: formule si notiuni senerale - clasele V-VIII
3.. Proiectii de puncte;.segmeflte si drepte ............... I4. Unghi diedru; unghi plan, diedru .,.......:;..-.......:... 1
5. Tborema celor tfei, petpendiculare .......,............... 1
Vm. Prisillf,l. Noliutrt generale,.i,...r.;..,.".i,.,..;;.,...,..:r.;:..;...".........,..111
2r Prisrbd dfeapte..,..:..^;.....:.."..,...:...r..;...,;...'.,i.....:....,.... I I 1
IX. Plramlda 114
I . Noliuni generale :.:........ ................. 1 1 4
2. Piramida regulati .......................... I 14
X. Trunchiul de plramidi regulati ............,.,.;...-r.....,... 1 tr 7
1. ,Aria $i voluniul trunchiulul de piramidi.regulati...II72; Caz:uni particulare de trunchiuri ........-.",.,;.,........... t i 8
XI. Ariile $i volumele corpurilor rofitnde *----..-........ 1201. Cillndrul ,oiroular drept ................ 120
. 2,. Conul circular,dr€pt..........,............................",....., 120
,' 3. Trunchiul de con. ciraular drept .,.....".,.........,;;........ I 2 1
4. Sfera ..........",...,i........ I 2 IXII. Unltiti de mllsuri
L Unitdli de milurd pentru lungime.,.........,,,.,........ 1222, Unitnli de nrdsurl psntru arie....... "....,...,......,........ 1 223. Uniti{i de mdsurE pentru vblum........................... 123
4. UnitSfi de mdsurd pentru masd ................^........... 124
5. Unitdt.i de mdsurd pentru timp .............................. 124
05
0809tr1
122
128
-
Simbolurile 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se numesc cifre-'
Numerele scrise astfel 0,1,2, ...,9,10, 11, ..'. formeazd
qirul numerelor naturale.
Observatie. $irul numerelor naturale este infinit.
lN : {0, 1,2,3, ...1- mullimea numerelor naturale.
1..1* = {1, 2,3, ...}: tN \ {0}.
Numer e I e natur aI e sunt;. pare - se impart exact la 2. se noteazd n :2k, k e N;. impare-nuse impartexact la2,senoteazdn:2k+ l,ke N.
1. Operaliicu numere naturale1,1. Adunarea
termen+ termen: suml
.. >^*r YJti XqaRgJSftlude M
Capitolul IM ullimea numerelor naturale
Proprietdlile adund.rii numerelor natutalc:a) Cornutativitatea: a * b : b + a,Y a, b e N.
b) Asociativitatea'. a + (b + c) : (a + b) + s,fl 6, b, c e lN.
c) Elementul neuftu; a+ 0 = 0 + a= a,V a€ N' (Numnrul
natural 0 este element neutru fa{d de adunare.)
1.2. ScSderea
Probascdderii' a:b+c.
Matematicd: formule si notiuni senerale - clasele V-l/IIl
1.3. inmul!irea' inmultitor:
Notalie: in loc de semnul ,, ' " care simboli zeazdinnulttrease foloseEte qi,,x".
Proprietdlite in m u lliri i n umerelor n atara I e :a) Comutativitatea'. a' b : b' a,Va, 6 e N.
b) Asociativitatea'. (a' b) ' c: a ' (b ' c),Y a, b, c e N.
c) Elementul neutru: a' 7 = a,Y a e N. (Numdrul naturalI este element neutru fa!6 de inmulfire.)
d)a.0:0,Vae N.
e) Distributivitatea inmullirii fa15 de adunare:
a' (b + c)= a' b * a' c,Y a,b, ce '''l'f) Distributivitatea inmul{irii fald de scddere:
a' (b - c)-- a' b - a' c,Y a, b, c e N, b> c.
1.4. impdrlireadeimpdrfit : impdrlitor: cit
a:b:c,Ya,beNI,r+0.Proba impdrlirii: a = b' c.
Observatie: 0 : D : 0, Vbe N, b * 0.
Oricare ar fi numerele naturale a qi b, b + 0, numitedeimpir(it qi, respectiv, impirfitor, existd doui numere natu-
rale q qir, numite cit qi, respectiv; rest, astfel inc6ta:b'qtr,r<b.
Numerele 4 qi r, determinate in aceste conditii, svntunice.
Algebrd
2. Compararea Siordonarea numerelor naturale
Pentru orice doud numere naturale a gi b existd una qi
numai una dintre urmdtoarele relalii:
a< o amaimicdecdtb
a=b aegalcub
a>b amairnare decdtb
Pentru orice a, b € N avem urmdtoarele relalii:. a 4 b dacd qi numai dacd a < b Ei a: b;. a 2 b dacd gi numai dacd a> b qi a = b.
Egalitatea gi inegalitatea numereloi" naturale au proprietatea
de tranzitivitate:. Dacd a < b qi b < c, atttnci a < c,Y a,b, c e N..Dacda < & qi b ( c, atunci a 4 c,Y a, b' ce N'. Dacd a> b ;i b > c, atunci a> c,Y a, b, c e N.
' Dacd a > b qi b >- c, atunci a 2 c,Y a,b, c e N.. Dacd a: b ;i b: c, atunci a : c,Y a,b, c e N.
Relafiilenumerele naturale.
3. Factor comunPentru orice numere naturale a, b qi c avem:
a. b-t a' c: a'(b + c) qi
a' b - a' c= a' (b * c), wb > c.
Maternaticd: formule si notiuni pbnerale - clasele V-VilI
4. Puterea unui numer naturalDeJinilii:i Se numeqte puterea a n-a a numirului natural a
numdrului a' dat prin a^ = g . a - X.....
- a . n >- 2, 4, r € [{,
unde: a * se nume$te nu"u putJoii;n -.se nume$te exponentul puterii.
t) Operafia matematici prin care se obline puterea unuinumhr se numeqte ridicare la putere.
4.1. Reguli de calcul cu puteriPentru orice a e l.l gi oice m, n € [N avem:L.at:a,Vae N*;2.ao:7,Va€ [N*;
3. a' ' a": a'nn,V a e N*;4. a' : a' : am-n,Y a € N*, m 2 n;
5. (a')": a'",Y a e N+;6. (a ' b)": a" ' b', V a, 6 e [N*;
7. (a : b)' : a'' b',Va, 6 e N*;18.a'='.Vae IN*.
a
Observalie:00 nu se poate efecfua.
Delinilie: Puterea a doua a unui numdr natural se mainumegte gi pitratul acelui numdr.
4.2. Compararea puterilori Dintre doud puteri care au aceeaqlbazd, este mai mare
puterea care are exponenful mai mare.
an>o^<+n>m,Y a€ Jl.l*, n,meN.
Algebrd
I Doud puteri care au aceeaEi bazi sunt egale dacd au
exponen{i egali.
an-a^en:m,Y a€ Nl*, il.,meN.r) Dintre dou6 puteri cubaze diferite, dar avdnd acelagi
exponent (diferit de zero), este mai mare putereacarearebaza
mai mare.a' < b' a a < b,Y a,b e N*, r € [N*.
5. Ordinea efectuirii operatiilor 9i folosirea
t;J.?T?t-::lresieexisidparantezerotunde,drepteqi
acolade, incepem cu efectuarea calculelor din parantezele rofinde.
Dupd efectuarea acestor calcule, parantezele drepte le transformim
in paranieze rotrmde, imacoladeleinparanteze drepte Ei continuim
efectuarea calculelor din noile paranteze rotunde.
in func1ie de ordinea tn care se execut6, celor cinci operalii
matematice cunoscute pentru numerele naturale - adunarea,
sciderea, inmullirea, impir{irea Ei ridicarea la putere - li s-a
alocatunordin.
Operafii Ordin
Adunarea Ei scdderea I
inmultirea qi imp64irea ilRidicarea laputere il
DacI un exerciliu conline operalii de ordine diferite, se
efectueazimai intdi operaliile de ordinul III, apoi cele de ordinul
II qi, in final, cele de ordinul I.
Matematicd: fbrmule si notiuni generale - clasele V-I/III
6. Descompunerea numerelor naturale (in baza 1 0)
oU=o l0r+b.l0o
oUo = o. 102 +b. 101'+ c. 100
abul = a.103 + b.102 +c. 101 + d.l0ounde a, b, c, d sunt cifre, a * 0.
Obsert alie : Oice numdr nahral se poate descompune dupimodelul de mai sus.
7. Divizibilitatea7.1. Noliuni generale
Detinilie: Urr numdr natural a este divizibil cu b, dacd
existd un numdr natwal c astfel incit a : b ' c. Numdrul a se
nume$te multiplu de b,iar b se numeEte divizor allui a.
blo
a se divide cu b
b il divide pe a
P r op ri etdlile div izib ilifirtlii :'1. Reflexivitatea: a i a,Y ae N.
2.Antisimetria: dacda i b qib : a,attlrlrci a= b,Y a,b e N.
3. Tianzitivitatea: dag6aib qib : c,atwrci a: qY a,b,ce N.
4.ail,VaeN.5.0:.a,Vae lN.
6.Dacd a
7.Dacd" a8.Dacd a
b gi c i b,ahrnci (a+c) i b,Y a,b, ce N.
b, aJanci (a ' c) : b, V a, 6, c e h.l.
b qi a i c, at.snci a i (b' c),Y a, b, c e N.
Algebrd
7.2. Criterii de divizibilitate* Un numdr natural este divizibil cu 2, daci Ei numai daci
ultima cifri a numdrului este o cifri par6: 0,2,4,6 9i8.* Unnumdrnatural este divizibil cu 5, dac[ Ei numai daci
ultima cifri a numirului este 0 sau 5.
* Un numir natural este divizibil cu 10, daci qi numai
daca ulrima cifrA este 0.
* Un numdr natural este divizibil cu 3 (sau 9), dacd Ei
numai daci suma cifrelor numdrului este multiplu de 3 (sau 9).
7.3. Numere prime gi numere compuseDeJinilii:I Spunem ciunnumir este prim dacd are ca divizoipel'
qi pe el insuqi.
I Un numdr care are mai mult de doi divizori se nume$te
numir compus.
DeJinilie: Spunem ci deste cel mai mare divizor comun
a doud numere nah-rale a;i b dacd:
a\dla;ita\i,c) orice alt divi zor comw d al acelor numere este divizor
qi pentru d. not
Nota{ie: d: c.m.m.d.c.(a, b) = (a, b).
Obsenalie: C.m.m.d.c. se afld astfel:
I. Se descompun numerele a qi b in produs de factori primi.
II. Se inmulfesc factorii primi comuni, scrigi o singurd
datd" la puterile cele mai mici.11
i_
Matematicd: formule si notiuni generale - clasele V-VilI
Exemplu : Calculdm (300, 225)
I. 3ool2'.5'313ll
300--22.3.5'II. (300. 22s): 52 ' 3 = 75.
DeJinilie: Dovdnumere se numesc prime infe ele dacd cel
mai mare divizor comun al lor este 1.
Defi.ntlie: Spunem cd lz este cel mai mic multiplu comun
a doud numere naturale a qi b dac[:
Qalm;0blm;c) orice alt multiplu comrur nenul m' al acelor numere este
multiplu al lui rz.
Notalie: m = c.m.m.m.c.(a,b!Y[a,U1 .
Obserttalie: C.m.m.m.c se afld astfel:
I. Se descompun numerele a qi 6 in produs de factori primi.
II. Se inmullesc factorii primi comuni gi necomuni, scriqi
o singurd dat6, la puterile cele maimari.
Exemplu : Calculim 1320, 1651.
t. 32012.s l6s l l l3212' 15 l3'5rl Il
320:26.5 165:3.5.11tr. [320, t6s]: 26. 3 . 5 . 11 = 10 560.
22sls'
? l''225:32 ' 52
Capitolul llPropozilii gi multimi
1. PropoziliiDeftni,tie: O propozifie este un enunt care este ori fals ori
adevdrat.
1.1. Valoarea de adevdr a unei propozitriiDaci o propozi{ie este adevdratl spunem cd ea are valoarea
de adevir,,adevdrul" gi o notdm cuA; dac6 o propoziJie este
falsi spunem cd are valoare de adevdr,.falsul" 9i o not6m cu F.
1.2. Propozilii comPuseDacd p qi q sunt doud ProPozi{ii,
urmdtoarele propozilii comPuse :
p qi q, p "uu
q,1p.
r.p qi qPropozijiap qi 4 este adevlrati cdnd
propozi{iilep qi q sunt adevirate.
2.psauqPropozi[ia p sau 4 este adevdrali
dacd cel pufin una dintre propoziliilepsau q este adevdratd.
3. lp 1se citegte nonp)Propozilia 1p este falsd atunci cdnd
7r este adeviratd Ei adevdratd atunci cdnd
2 este falsd.
atunci putem obline
ffiffiffi
![BASIN KİTAPÇIĞI - rasitgokhansucu.com · Ösym 595 ^5]i8i5 9fe]g\ 7]4g5 [y5 9i8 5 ^\zjj5 95 8] 45]x 5l 8i5] ¡ ¢£ 54i8g _g 97] w96 6wijw9w5 g8_ 8]45]e]g \7]7]d5 [5 c8456 7ig97]^5](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5e18df1f826bf7433b1e37c6/basin-ktapii-sym-595-5i8i5-9feg-74g5-y5-9i8-5-zjj5-95-8-45x.jpg)
