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MATEMATICA GRADO 9 IV PERIODO PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: blancacastilloregueros@gmail.com cel 3158857189

UNIDAD ACADEMICA CIENCIAS BASICAS ASIGNATURA MATEMATICA

UNIDAD TEMATICA

SUCESIONES NOTACION DE SUMATORIA PROGRESIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS

Tiempo: 20 HORAS

Estándar PENSAMIENTO NUMERICO Y VARIACIONAL

COMPETENCIA RESULTADO DE APRENDIZAJE

Calcular los términos de una sucesión, clasificarla y determinar el termino general de las mismas Aplicar las fórmulas adecuadas para cada caso identificando cada uno de sus términos y la función que tienen en la solución de problemas planteados.

Utilizo representaciones geométricas para resolver y formular problemas aritméticos y en otras clases de situaciones y condiciones. Propongo soluciones a los ejercicios aplicando las teorías de clase y deduzco nuevos ejercicios Calculo ejercicios que tiene que ver con las progresiones y sucesiones Uso las teorías de las sucesiones y progresiones en la solución de los ejercicios propuestos Comprendo y utilizo las fórmulas de las sucesiones y progresiones para solucionar problemas

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

SUCESIONES Y SERIES

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita: Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita. Ejemplos {1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita) {20, 25, 30, 35,...} también es una sucesión infinita {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita) {4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás {1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en orden alfabético {a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "Alfredo" {0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras! Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces). Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término. Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

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¡Pero la regla debería ser una fórmula! Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el: 10º término, 100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos). Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término). Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}? Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo: Probamos la regla: 2n

n Término Prueba

1 3 2n = 2×1 = 2

2 5 2n = 2×2 = 4

3 7 2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco: Probamos la regla: 2n+1

n Término Regla

1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona! Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1 Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

Posición del término

Es normal usar xn para los términos: xn es el término n es la posición de ese término

Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

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xn = 2n+1 Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir: x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21 ¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º? Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porquela diferencia entre un término y el siguiente es una constante. Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos. La regla es xn = 5n-2

Sucesiones geométricas En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo. Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos. La regla es xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos. La regla es xn = 3n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos. La regla es xn = 4 × 2-n

Sucesiones especiales Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2

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Ejemplo: El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15, y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21 Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. La regla es xn = n2 Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. La regla es xn = n3 Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él. El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1) El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13) La regla es xn = xn-1 + xn-2 Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores. Por ejemplo el 6º término se calcularía así: x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Series "Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión. Sucesión: {1,2,3,4} Serie: 1+2+3+4 = 10 Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

Esto significa "suma de 1 a 4" = 10

Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1" Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

TOMADO DE INTERNET EN: http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html Sucesiones - Encontrar la regla Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la regla

Definición rápida de sucesión Lee sobre sucesiones y series para conocer el tema bien, pero por ahora: Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) que están en algún orden. Cada número en la sucesión es un término (a veces "elemento" o "miembro"):

Encontrar números que faltan

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Para calcular un número que falta primero necesitas saber la regla que sigue la sucesión. A veces basta con mirar los números y ver el patrón. Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ? Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...) Regla: xn = n2 Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... ¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"? xn significa "el término en la posición n", así que el tercer término sería x3 Y también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer término hacemos 32 = 9. Esto se puede escribir x3 = 32 = 9 Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo término 25º se calcula "poniendo dentro" 25 donde haya una n. x25 = 252 = 625 Qué tal si vemos otro ejemplo: Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ? Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad es parte de la Sucesión de

Fibonacci): Regla: xn = xn-1 + xn-2 Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... ¿Qué significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior" porque la posición (n-1) es uno menos que (n). Entonces, si n es 6, será xn = x6 (el 6º término) y xn-1 = x6-1 = x5 (el 5º término) Vamos a aplicar la regla al 6º término: x6 = x6-1 + x6-2 x6 = x5 + x4 Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es: x6 = 21 + 13 = 34 Muy simple... sólo pon números en lugar de "n"

Muchas reglas Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una sucesión es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una regla que vale. ¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ? Hay (por lo menos) tres soluciones: Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ... Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc... Regla: xn = n(n-1)/2 + 1 Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ... (La regla parece complicada, pero funciona) Solución 2: suma los dos números anteriores más 1: Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1 Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ... Solución 3: suma los tres números anteriores Regla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3 Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ... Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente. ¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.

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Y habrá otras soluciones. Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el siguiente será... ¡cualquiera!

La regla más simple Cuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona también que hay otras soluciones.

Calcular diferencias A veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas veces esto nos muestra una pauta escondida. Aquí tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta. Probamos 2n:

n: 1 2 3 4 5

Términos (xn): 7 9 11 13 15

2n: 2 4 6 8 10

Error: 5 5 5 5 5

La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos: Regla: xn = 2n + 5 OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero queremos un sistema que funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.

Segundas diferencias En la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular las diferencias... ... y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman segundas diferencias), así:

En este caso las segundas diferencias son 1. Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2 / 2". En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 / 2:

n: 1 2 3 4 5

Términos (xn): 1 2 4 7 11

n2: 1 4 9 16 25

n2 / 2: 0.5 2 4.5 8 12.5

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Error: 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos ahora: n2 / 2 - n/2

n2 / 2 - n/2: 0 1 3 6 10

Error: 1 1 1 1 1

Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:

n2 / 2 - n/2 + 1: 1 2 4 7 11

Error: 0 0 0 0 0

La fórmula n2 / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2 + 1 Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla. Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...

Otros tipos de sucesiones Además de las que se explican en sucesiones y series: Sucesiones aritméticas Sucesiones geométricas Sucesión de Fibonacci Sucesiones triangulares http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones -encontrar-regla.html La sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci es la sucesión de números: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él. El 2 se calcula sumando (1+1) Análogamente, el 3 es sólo (1+2), Y el 5 es (2+3), ¡y sigue! Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55 ¡Así de simple! Aquí tienes una lista más larga: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ... ¿Puedes encontrar los siguientes números?

La regla La sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series): la regla es xn = xn-1 + xn-2 donde: xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2) Por ejemplo el sexto término se calcularía así: x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8 CONSULTA http://www.vitutor.com/al/sucesiones/B_sucContenidos.html

https://www.youtube.com/watch?v=W0bkKBR0Q_I

PROGRESIONES ARITMETICAS

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Aplicaciones de las progresiones aritméticas

La matemática, a diferencia de otras ciencias, tiene el rasgo particular de infundir miedo en las personas que no poseen un gusto natural por los números, pero la razón es el modo en el que nos la enseñan en nuestra etapa estudiantil. En sentido estricto, dominar los cálculos y las ecuaciones es “tan difícil” como entender y ser capaz de narrar las historias de los próceres o de aprender a usar el lenguaje con precisión, respetando las reglas de gramática y ortografía, ya que cada persona tiene facilidad para un tipo de conocimiento en particular. Dicho esto, los números están presentes en nuestra vida cotidiana, tanto como los vestigios de la historia de la humanidad y los tiempos verbales; simplemente hay que saber detectarlos para darle sentido a los conceptos matemáticos y aprender a utilizarlos de manera que nos ayuden a vivir mejor. Sin darnos cuenta, a diario nos encontramos con muchos conceptos que en la escuela detestábamos y creíamos que jamás nos servirían; las progresiones aritméticas no son una excepción, como podremos apreciar a continuación. Supongamos que tenemos una bolsa de monedas, todas del mismo valor, y necesitamos conocer la suma total: lo normal es tomarlas de a una e ir agrupándolas a un costado mientras mentalmente realizamos la suma. Pues bien, dicha operación no es otra cosa que una progresión aritmética en la cual el valor de la distancia es el de la moneda. Por otro lado, en la confección de manualidades y en el diseño de muchos tipos de elementos que usamos con diferentes fines en la vida cotidiana también aprovechamos las bases de las progresiones aritméticas de forma inconsciente. Por ejemplo, al construir o dibujar un objeto con forma de pirámide partiendo de piezas del mismo tamaño, lo normal es armar una base de xpiezas y, en cada nivel, restar una diferencia constante, hasta llegar a la cima. En el ámbito empresarial, la progresión aritmética también se utiliza con frecuencia; tal es el caso de las empresas financieras, que aprovechan este concepto para calcular promedios, aplicando conocimientos propios de la estadística. Lee todo en: Definición de progresión aritmética - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/progresion-aritmetica/#ixzz3lIGJRXGI

A partir de estas ideas, podemos centrarnos en

Una progresión aritmética, de esta forma, se compone de una serie de números que tienen una diferencia constante cuando son sucesivos dentro de la secuencia en cuestión. Veamos un caso concreto: La secuencia 3, 7, 11, 15, 19 es una progresión aritmética cuya diferencia constante es 4. Esto puede advertirse si realizamos las siguientes operaciones: 3 + 4 = 7; 7 + 4 = 11; 11 + 4 = 15; 15 + 4 = 19. Como puede apreciarse, si a cada término le sumamos 4, obtendremos el término que le sigue dentro de la progresión aritmética.

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A la cantidad constante que permite identificar una progresión aritmética se la conoce como diferencia o distancia. Dicha diferencia común puede ser un número negativo: 8, 3, -2, -7, -12 es una progresión aritmética cuya diferencia constante es -5.

Lee todo en: Definición de progresión aritmética - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/progresion-aritmetica/#ixzz3lIGvCXnh

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