MATEMÁTICA - Grupo de Orientação Pré-Militar · e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão ... aleatório: jogue um

PRÉ-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMÁTICA

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I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. — Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71




1EM

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AT

_015

Probabilidade

A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gênero a um certo número de casos igualmente possíveis, ou seja, tais que es-tejamos igualmente inseguros sobre sua existência, e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão deste número para o de todos os casos possíveis é a medida dessa probabilidade, a qual é, portanto, uma fração cujo numerador é o número de casos favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis.

Pierre Simon Laplace

Ensaio filosófico sobre as Probabilidades

Uma das aplicações mais importantes dos resul-tados anteriores é na teoria das probabilidades.

Diremos que um experimento é determinístico quando repetido em condições semelhantes con-duzindo a resultados essencialmente idênticos. Os experimentos que, repetidos sob as mesmas condi-ções, produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios. Fenômenos aleatórios acontecem constantemente em nossa vida diária. São frequentes perguntas tais como: Choverá amanhã? Qual será a temperatura máxima no próxi-mo domingo? Qual será o número de ganhadores da Loteria Esportiva? Quantos habitantes terá o Brasil no ano 2 020?

A teoria das probabilidades é o ramo da Ma-temática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar ex-perimentos ou fenômenos aleatórios.

O modelo matemático utilizado para estudar um fenômeno aleatório particular varia em sua com-plexidade matemática, dependendo do fenômeno estudado. Mas todos esses modelos têm ingredientes básicos comuns. O que vamos fazer agora é estudar uma série de fenômenos aleatórios relativamente simples e interessantes, e fixar uma série de ideias e noções que são totalmente gerais.

Probabilidade de LaplaceA definição de probabilidade como quociente

do número de “casos favoráveis” sobre o núme-ro de “casos possíveis” foi a primeira definição formal de probabilidade, e apareceu pela primeira vez em forma clara na obra Líber de Ludo Aleae, de Jerônimo Cardano (1 501-1 576). A probabilidade introduzida nesta seção tem, como veremos, várias propriedades.

Consideremos o seguinte experimento aleatório: jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.

A primeira tarefa consiste em descrever todos os possíveis resultados do experimento e calcular o seu número. De outra forma: explicitar qual é o conjunto de possíveis resultados do experimento e calcular o número de elementos contidos nele. Este conjunto é chamado espaço amostral. É fácil descrevê-lo em nosso exemplo:

6)(# 6}, ..., 2, {1, =Ω=Ω

Os elementos do espaço amostral são chamados eventos elementares. Os subconjuntos do espaço amostral serão chamados eventos. Por exemplo, o subconjunto

A={2, 4, 6}

é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é par.

Passamos agora à segunda etapa: a de calcu-lar a probabilidade de um evento A. Consideremos o caso do evento A={2, 4, 6} de nosso exemplo. É claro intuitivamente que se repetimos o experimento um grande número de vezes obteremos um número par em aproximadamente a metade dos casos; ou seja o evento A vai ocorrer mais ou menos a metade das vezes. O que está por trás dessa intuição é o seguinte:

os eventos elementares são todos igualmen-a) te “prováveis”.

o número de elementos de A (#(A) = 3) é b) justamente a metade dos elementos de (#( ) =6).


2 EM

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_015

Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento como A, da seguinte forma

Probabilidade de A= #(A)#( ) =

36 =

12

Laplace referia-se aos elementos de A (ou eventos elementares que compõem A como os casos favoráveis. Os elementos do espaço eram chamados casos possíveis. Defina então

Probabilidade = número de casos favoravéisnúmero de casos possíveis

Vamos então resumir as considerações feitas até agora, que permitem a utilização desta definição de probabilidade.

Suponha que os experimentos aleatórios têm as seguintes características:

há um número finito (digamos n) de eventos a) elementares (casos possíveis). A união de todos os eventos elementares é o espaço amostral ;

os eventos elementares são igualmente b) prováveis;

todo evento A é uma união de m eventos c) elementares onde m ≤ n.

Definimos então:

Probabilidade de

A = P(A) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis

Consequências imediatas desta definição são as seguintes propriedades:

Para todo evento A, 0 1) ≤ P(A) ≤ 1.

P(2) ) = 1.

P(3) Ø) = 0 (porque #(Ø) = 0).

Se A 4) ∩ B = Ø, então

P(A5) ∪ B) = P(A) + P(B).

Probabilidade condicionalEm muitas situações práticas, o fenômeno alea-

tório com o qual trabalhamos pode ser separado em etapas. A informação que ocorreu em uma determi-nada etapa pode influenciar nas probabilidades de ocorrência das etapas sucessivas.

Neste caso, dizemos que ganhamos informações e podemos “recalcular” as probabilidades de interes-

se. Essas probabilidades “recalculadas” recebem o nome de probabilidade condicional, cuja definição apresentamos a seguir.

Dados dois eventos A e B, a probabilidade con-dicional de A dado que ocorreu B é representada por P (A B) e dada por

P (A B)=P (A B)P(B)

, P(B)>0

Exemplo: `

Considere a seguinte situação hipotética. Uma grande região de 100km² contém um aquífero (reservatório de água) subterrâneo com a água igual a 2km², cuja localização é desconhecida (ver figura a seguir). A fim de determinar a posição de aquífero, perfurações são feitas ao acaso. Vamos representar por H o evento de encon-trar a água. Temos P ( H) = 0,02, obtida pelo quociente da área do aquífero pela área total, onde usamos que o espaço amostral é = {região de 100km²}.

= Região (100km2)

H20

Suponha agora que, após um ano de pesquisas, uma área de cerca de 20km² já foi amplamente perfurada sem encontrar água e pode ser descartada para novos furos. Representamos essa informação por I. Qual seria agora a probabilidade de um furo, feito ao acaso, atingir o aquífero? Vamos representar por P (H \ I) a probabilidade desejada. Com a mesma argumentação utilizada acima, a nova região de procura terá área de 80km² e, portanto, P (H \ I) = 0,025. Isto é, como esperávamos, a probabili-dade de obter água aumentou devido à informação rece-bida. Vamos refazer este cálculo utilizando a fórmula de probabilidade condicional. Para tal, seja B a nova região de procura correspondendo à área total inicial menos a parte que foi descartada para as novas tentativas. Temos que P (B) = 0,8. O evento H B representa a ocorrência de, sem nenhuma informação auxiliar, que encontremos água num furo feito na região B. Pelas suposições iniciais, H B = H e então, P (H B) = P (H) = 0,02.

P (H B) = P (H B)P(B)

=0,020,8

= 0,025

A figura a seguir apresenta o efeito da informação I no espaço amostral.


3EM

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= Região (100km2)

H20

H20

= Nova Região (80km2)

O espaço amostral perdeu 20km², que é a área descar-tada para novos furos.

Da definição de probabilidade condicional, deduzimos a regra do produto de probabilidades, uma relação bastante útil que é apresentada na figura.

Sejam A e B eventos de . Então,

P (A B)=P(A B) P (B),

com P(B)>0

Um conceito muito importante em probabilidade é o da independência de eventos, que será utilizado repetidamente ao longo de todo o texto.

Independência de eventosDois eventos A e B são independentes se a

informação da ocorrência ou não de B não altera a probabilidade da ocorrência de A. Isto é:

P (A B) = P (A) > 0,

ou ainda a seguinte forma equivalente:

P (A B) = P (A) P (B)

Não é difícil verificar que se A é independente de B, então B é independente de A. O uso da expres-são acima permite ainda verificar que o evento vazio é independente de qualquer evento. As demonstrações são deixadas a cargo do leitor.

É muito comum, à primeira vista, confundir eventos independentes e eventos disjuntos. O pró-ximo exemplo ajuda a esclarecer essa questão.

Exemplo: `

Uma empresa produz peças em duas máquinas I e II, que podem apresentar desajustes com probabili-dade 0,05 e 0,10, respectivamente. No início do dia de operação um teste é realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia passando por revisão técnica. Para cumprir o nível mínimo de produção, pelo menos uma das máquinas deve operar. Você diria que a empresa corre risco de não cumprir com suas metas de produção?

Seja Oi o evento da máquina i estar operando, i = 1 ou 2. Pelas informações disponíveis temos P (O1 ) = 0,95 e P (O2 ) = 0,90.

Na figura apresentamos um diagrama conhecido como árvore de probabilidades, que consiste em apresentar os eventos e as probabilidades condicionais associadas às realizações. Cada um dos caminhos da árvore indica uma possível ocorrência.

No preenchimento dos valores de probabilidades na árvore, observe que assumimos a independência entre O1 e O2 , pois acreditamos que a eventual falta de ajuste em uma máquina não interfere no compor-tamento da outra. Note que, no caso da independên-cia, o segundo ramo da árvore não é afetada pela ocorrência dos eventos que aparecem no primeiro ramo. Portanto, pela definição de independência, segue que P (O2 O1 ) = P(O2 ) = 0,90.

Para facilitar a notação, vamos escrever O1 O2 para o evento O1 O2. Sua probabilidade da ocorrência é dada pelo produto dos ramos que levam nesse evento. Isso correspondendo à aplicação da regra do produto de probabilidades:

P(O1 O2 ) = P(O2 O1 ) P(O1 ).

Árvore de probabilidade

0,95

O1c0,05

O1

O20,90

0,10

0,90

0,10

O2c

O2

O2c

A tabela a seguir resume as ocorrências e suas respectivas probabilidades.


4 EM

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Eventos Probabilidade

O1O2 0,95 x 0,90 = 0,855

O1Oc2 0,95 x 0,10 = 0,095

Oc1O2 0,05 x 0,90 = 0,045

Oc1O

c2 0,05 x 0,10 = 0,005

Para obter o nível mínimo de produção diária, precisamos ter pelo menos uma máquina operando. Isso corresponde à ocorrência do evento O1 O2 O1

Oc2 O

c1O2. Temos

P(O1O2 O1Oc2 O

c1O2)= P(O1O2) + P(O1O

c2)+P(Oc

1O2)

pois as três realizações são disjuntas. Por exem-plo, não é possível as duas máquinas estarem operan-do (evento O1 O2) e ao mesmo tempo só a máquina I operar (evento O1O

c2). Dessa forma, concluímos que a

probabilidade de manter o nível mínimo de produção é 0,995. Portanto, a empresa tem alta probabilidade de cumprir com suas metas de produção.

No exemplo anterior, os eventos representados pelas intersecções O1O2, O1 O

c2, Oc

1O2 e Oc1 Oc

2 formam novos eventos que têm a propriedade de serem mu-tuamente exclusivos, e cuja união completa todas as possíveis combinações.

Distribuição binominalUma quantidade X, associada a cada possível

resultado do espaço amostral, é denominada de variável aleatória discreta se assume os valores num conjunto enumerável, com certa probabilidade. Por outro lado, será denominada variável aleatória contínua se seu conjunto de valores é qualquer in-tervalo dos números reais, o que seria um conjunto não-enumerável.

Na construção de um certo prédio, as fundações devem atingir 15 metros de profundidade e, para cada cinco metros de estacas colocadas, o operador anota se houve alteração no ritmo de perfuração previamente estabelecido. Essa alteração é resultado de mudanças para mais ou para menos, na resistência do subsolo. Nos dois casos, medidas corretivas serão necessárias, encarecendo o custo da obra. Com base em avaliações geológicas, admite-se que a probabilidade de ocorrên-cia de alterações é de 0,1 para cada cinco metros. O custo básico inicial é de 100UPCs (unidade padrão de construção) e será acrescido de 50k, com k represen-tando o número de alterações observadas. Como se comporta a variável custo das obras de fundação?

Assumimos que as alterações ocorrem inde-pendentemente entre cada um dos três intervalos de

cinco metros e representamos por A a ocorrência de alteração em cada intervalo, sendo Ac seu comple-mentar. A figura a seguir apresenta as três etapas com os possíveis resultados da perfuração. Cada etapa tem duas possibilidades que, quando combinadas com as outras duas etapas, originam oito possíveis eventos. Por exemplo, o evento AAcA representa que na primeira e na terceira etapas aconteceram altera-ções, enquanto que na segunda nada se alterou. Como temos três etapas, com dois possibilidades em cada uma, temos no total 23 = 8 eventos.

O espaço amostral consiste na união de todos os caminhos que levam de um ponto a outro da árvore de probabilidades.

0,1

0,9

0,1

0,9 AcA

Ac

Ac

Ac

Ac

Ac

AcA

A

A

A

A

A0,1

0,9 0,1

0,9

0,1

0,9

0,1

0,9

0,1

0,9

Sendo C a variável aleatória custo da obra, obtemos a seguinte tabela:

Eventos Probabilidade C (em UPCs)AAA 0,13 250

AAAc 0,12 x 0,9 200

AAcA 0,12 x 0,9 200

AAcAc 0,1 x 0,92 150

AcAA 0,12 x 0,9 200

AcAAc 0,1 x 0,92 150

AcAcA 0,1 x 0,92 150

AcAcAc 0,93 100

Note que associamos a cada evento do espaço amostral um valor para a variável aleatória C. Os distintos possíveis valores são c1 = 100, c2 = 150, c3 = 200 e c4 = 250. Além disso, podemos ter um mesmo valor da variável associado a mais de um elemento do espaço amostral, por exemplo,

P (C = c2) = P (C = 150) = P (AAcAc AcAAc AcAcA).

Tendo em vista que os eventos são disjuntos, a probabilidade da união fica sendo simplesmente a soma das probabilidades de cada evento. Então,

P (C = 150) = P (AAcAc) + P (AcAAc) + P (AcAcA)

= 3 x 0,1 x 0,92 = 0,243.


5EM

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As probabilidades para os outros valores de C podem ser obtidas de modo análogo, resultando na seguinte função de probabilidades:

C 100 150 200 250

pI 0,729 0,243 0,027 0,001

Dessa forma, o comportamento da variável de interesse pode ser estudado através da associação de cada custo com sua probabilidade de ocorrência. Essa informação pode auxiliar na previsão de gastos e na elaboração de orçamentos.

Consideremos agora um experimento com ape-nas dois resultados possíveis, que chamaremos de sucesso e fracasso.

Exemplos `

Jogamos uma moeda não-viciada e atribuímos su-a) cesso = cara, e fracasso = coroa.

Jogamos um dado não-viciado e atribuímos sucesso b) = o resultado é 5 ou 6 e fracasso = o resultado é 1,2,3 ou 4.

De uma urna que contém seis bolas brancas e qua-c) tro bolas pretas, sacamos uma bola e atribuímos sucesso = a bola é preta, e fracasso = a bola é branca.

Chamamos de p, a probabilidade de sucesso e q = 1 – p, a probabilidade de fracasso. Nos nossos

exemplos os valores de p são 12 ,

26 e

410 , respec-

tivamente.

Suponhamos agora que façamos repetições (provas) do nosso experimento, realizando-o um número fixo: n vezes.

Assim, por exemplo, no caso n = 3 jogamos a moeda três vezes, jogamos o dado três vezes, saca-mos sucessivamente três bolas da urna.

Suponhamos ainda que a probabilidade p de sucesso mantenha-se constante ao longo das provas. Isso, no exemplo a, significa que a probabilidade de obter cara em qualquer dos lançamentos é 1/2.

Suponhamos finalmente que as provas sejam independentes, isto é, que o conhecimento dos resul-tados de algumas provas não altere as probabilidades dos resultados das demais. Isso, no exemplo c, signi-fica que as bolas são sacadas com reposição.

O problema que queremos resolver é o seguin-te: qual é a probabilidade de obtermos k sucessos nessas n provas?

A probabilidade de nessas n provas obtermos k sucessos e, em uma ordem predeterminada, por exemplo, os sucessos nas k primeiras provas e os fracassos nas demais:

ΣSS ... S FF ... Fk vezes n - k vezes

Σppp ... p . (1 – p)...(1 – p) = pk(1 – p)n – k,

k fatores n - k fatores

pois as provas são independentes.

É claro que, em outra ordem, a probabilidade seria a mesma, pois apenas a ordem dos fatores se alteraria. A probabilidade de obtermos k sucessos e n – k fracassos em qualquer ordem é pk(1– p)n–k mul-

tiplicado pelo número de ordem possíveis que é n

k

(para escolher uma ordem basta escolher em quais

das n provas ocorrerão os k sucessos). Acabamos de provar o

Teorema binominal: a probabilidade de ocorrerem exatamente k sucessos em uma sequência de n provas independentes, na qual a probabilidade de sucesso em cada prova é p, igual a:

n

k pk(1– p)n–k

Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a 1. probabilidade de obter duas caras? Qual é a probabili-dade de obter pelo menos duas coroas?

Solução: `

Vamos indicar com H, cara, e com T, coroa. O espaço amostral é então

= {(H H H), (H H T), (H T H), (H T T), (T H H), (T H T), (T T H), (T T T)}

Donde:

#( ) = casos possíveis = 8.

Se A indica o evento “obter duas caras” temos que

A = {(H H T), (H T H), (T H H)}

Assim #(A) e, portanto:

.83

)(#(A)#

P(A) =Ω

=

Se B denota o evento “obter pelo menos duas caras” temos

B = {(H H T), (H T H), (T H H), (H H H)}.

Resulta que 21

84

P(B) e 4(B)# ===


6 EM

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Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a 2. probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7.

Solução: `

O espaço amostral Ω consiste de todos os pares (i, j) onde i e j são inteiros positivos compreendidos entre 1 e 6. A figura descreve o espaço amostral completamente.

Número do segundo dado1 2 3 4 5 6

Núm

ero

dopr

imei

do d

ado 1 (1, 2) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

O número de eventos elementares (casos possíveis) é igual a #( ) = 36. Seja A o conjunto dos pares (i, j) tais que i + h = 7. Esses pares estão destacados na figura. Temos que #(A) = 6 e, portanto,

61

366

)(#(A)#

P(A) ==Ω

=

Na maior parte dos problemas concretos o espaço amos-tral não é descrito com tanto cuidado. Este é um costume generalizado (e às vezes perigoso). Nos exemplos não descreveremos precisamente o espaço amostral, mas ao leitor é aconselhado em todos os casos a defini-los com precisão.

Para a Copa do Mundo, 24 países são divididos em 3. seis grupos, com quatro países cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso, calcular a probabilidade de dois times A e B caírem no grupo 1?. (Na realidade a escolha não é feita de forma completamente aleatória).

Solução: `

Vamos tomar como espaço amostral o conjunto de todas as permutações de 24 elementos; ou seja o número de casos possíveis é 24! Consideremos o diagrama da figura a seguir, que

1 2 3 4 5 6• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

representa os 24 times divididos em seis grupos. Quan-tas permutações existem tais que A e B pertencem ao primeiro grupo? A pode ser colocado em quatro lugares; restam para B três lugares e os times restantes podem ser dispostos em 22! formas diferentes. Portanto, o número de permutações com A e B no primeiro grupo é

4 x 3 x 22!

A probabilidade de um casal ter um filho do sexo 4. masculino é 0,25. Então, a probabilidade do casal ter dois filhos de sexos diferentes é:

1

16a)

3

8b)

9

16c)

3

16d)

3

4e)

Solução: ` B

Para cada filho desses pais temos quatro pos-sibilidades : H M M M (uma possibilidade de meninos e três de meninas)

Para dois filhos temos o seguinte espaço amos-tral:

(H,H) ; (H,M); (H,M); (H,M)

(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)

(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)

(M,H) ; (M,M); (M,M);(M,M)

Temos então seis casos de dois filhos de sexos diferentes em 16 possibilidades:

Logo a probabilidade é : 616

= 38

A probabilidade procurada é, portanto:

0.13.233

24!22! . 3 . 4 . 6

≈=

Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:5.

fala inglêsfala

alemãofala

francêshomensmulheres

92101

3533

4752

Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que esta pessoa fala francês, qual é a probabilidade de que seja homem?


7EM

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Solução: `

Seja A o evento que ocorre se a pessoa escolhida fala francês e B se a pessoa escolhida é homem. Temos

P(A) = 47 + 52360

= 99

360

P(A B) = 47

360

portanto

P(B/A) = P(A B)P(A)

= 47 / 36099 / 360

= 4799

Note-se que:

P (B/A)=4799

= 4747+52

= (A B). (A)

6. Numa prova há sete perguntas do tipo verdadeiro falso. Calcular a probabilidade de acertarmos todas as sete se:

escolhermos aleatoriamente as sete respostas;a)

escolhermos aleatoriamente as respostas, mas sa-b) bendo que há mais respostas “verdadeiro” do que “falso”.

Solução: `

Há 27 = 128 possibilidades e portanto P [acertar os

sete testes] = 1128

Seja A o conjunto de todos os pontos com mais respostas “V” do que “F”. Temos que

(A)= 74 + 7

5 + 76 +

77 = 35+21+7+1=64,

e portanto a probabilidade buscada é igual a 1/64.

Consideremos dois dados, um deles equilibrado:7.

(P ( 1 ) = (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/6

e outro viciado com:

(P ( 1 ) = 1/2 e (P ( 2 ) = ... = (P ( 6 ) = 1/10.

Escolhe-se um dos dados ao acaso e se efetuam dois lançamentos, obtendo-se dois “uns”. Qual a probabili-dade condicional de que o dado escolhido tenha sido o viciado?

Solução: `

1/2Viciado

Equilibrado1/2

12

12

14

x =

16

16

x = 136

Dois uns

Dois uns

Temos:

P [observar dois uns] = 12

14. =1

3612

+ . 536

,

P [dado viciado e dois uns] = 12

14. =

18

.

A probabilidade buscada é então igual a: 5/361/8

=9

10= 90%

Um exame de laboratório tem eficiência de 95% 8. para detectar uma doença, quando essa doença existe de fato.

Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o seu exame foi positivo?

Solução: `

P(doente positivo) = P(doente e positivo)

P(positivo)=

=P(doente) . P (positivo doente)

P.(doente). P (positivo doente) + P (sadio). P (positivo sadio)=

0,005 . 0,950,005 . 0,95 + 0,995 . 0,01

= 95294

≅ 0,3231


8 EM

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Jogamos uma moeda não-viciada 10 vezes. Qual é a 9. probabilidade de obtermos exatamente cinco caras?

Solução: `

Estipulando sucesso = cara, temos p = 1/2 em cada prova e as provas são independentes. Queremos achar a probabilidade de k = 5 sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binominal, a resposta é:

105

12

5

1– 12

5

= 252

1 024 = 63

256

O escore em um teste de proficiência na Língua Inglesa 10. varia de 0 a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações coletadas durante vários anos permitem estabelecer o seguinte modelo para o desempenho no teste:

Pontos (0, 200)(200,

300)

(300,

400)

(400,

500)

(500,

600)

(600,

700)

pi 0,06 0,15 0,16 0,25 0,28 0,10

Várias universidades americanas exigem um escore mínimo de 600 pontos para aceitar candidatos de países de língua não-inglesa. De um grande grupo de estudantes brasileiros que prestaram o último exame, escolhemos ao acaso 20 deles. Qual seria a probabilidade de, no máximo, três atenderem ao requisito mínimo mencionado?

Solução: `

Vamos admitir que a tabela acima representa o escore dos estudantes que estão prestando esse último exame. Essa é uma suposição razoável tendo em vista que a ta-bela foi feita a partir de conjunto muito grande de dados. Isso quer dizer que um aluno selecionado ao acaso apre-sentará um dos vários escores de acordo com as proba-bilidades apresentadas na tabela. Por exemplo, a chance de apresentar menos de 200 pontos é 0,06. Admitimos ainda que os estudantes brasileiros têm comportamento similar aos demais, e portanto, a tabela também pode ser usada para representar esse desempenho.

Pelo critério das universidades, o estudante é classifica-do como apto se seu escore é de 600 pontos ou mais, caso contrário, será considerado não-apto. Dessa forma, para cada indivíduo, teremos a classificação de apto ou não, feita de modo independente e com as seguintes probabilidades:

P(apto) = 0,10 e P(não-apto) – 0,90

Definindo uma nova variável X como o número de estudantes aptos dentre os 20. A probabilidade de no máximo três serem aptos á calculada pela função de distribuição no ponto 3, ou seja:

F(3) = P(X 3).

Dessa forma, temos:

P(X 3) = k = 0

3

20k

0,1k 0,920 – k

= 200

0,10 0,920 + 201

0,11 0,919 + 202

0,12 0,918 +

203

0,13 0,917

= 0,122 + 0,270 + 0,285 + 0,190 = 0,867.

Esse valor reflete as altas probabilidades atribuídas aos escores menores de 600, conforme o modelo de desem-penho no teste.

Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla 11. escolha com dez questões e cinco alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar exatamente quatro questões?

Solução: `

Estipulando sucesso = acerto, temos p = 1/5 em cada prova, e as provas são independentes.

A probabilidade pk dele acertar k questões é a proba-bilidade dele obter k sucessos em n = 10 provas. Pelo teorema binominal,

pk = 10k

15

k

1– 15

10 – k

= 10k

410–k

510

A probabilidade dele acertar exatamente k = 4 questões é:

p4 = 104

46

510 = 172032

1953125 0,088.

E a probabilidade dele acertar pelo menos 4 questões é:

1 – P0 – P1 – P2– P3 =

1 – 100

410

510–

101

49

510–

102

48

510 – 103

47

510 =

11804099765625

0,121.

Suponha que uma característica (como a cor dos 12. olhos, por exemplo) depende de um par de genes. Representemos por A um gen dominante e por a um gen recessivo. Assim um indivíduo com genes AA é dominante puro, um com genes aa é um recessivo puro, e um com genes Aa é um híbrido. Dominan-tes puros e híbridos são semelhantes em relação à característica. Filhos recebem um gen do pai e um da mãe. Suponha que pai e mãe sejam híbridos e tenham quatro filhos.


9EM

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AT

_015

(VUNESP) Após uma partida de futebol, em que as 1. equipes jogaram com as camisas numeradas de 1 a 11 e não houve substituições, procede-se ao sorteio de dois jogadores de cada equipe para exame antidoping. Os jogadores da primeira equipe são representados por 11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por bolas de uma urna B. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 10 bolas restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de números iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de:

0,09a)

0,1b)

0,12c)

0,2d)

0,25e)

(FUVEST) 2.

Uma urna contém três bolas pretas e cinco bolas a) brancas. Quantas bolas azuis devem ser coloca-das nessa urna de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a 2/3?

Considere agora uma outra urna que contém uma b) bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em segui-da, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para valores de x a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor vale 1/2?

(UNICAMP) Um dado é jogado três vezes, uma após 3. a outra. Pergunta-se:

Quantos são os resultados possíveis em que os três a) números obtidos são diferentes?

Qual a probabilidade da soma dos resultados ser b) maior ou igual a 16?

(CESGRANRIO) Uma urna contém quatro bolas 4. brancas e cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale:

1

6a)

2

9b)

4

9c)

16

81d)

20

81e)

Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 5. em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa.

(Pôquer com dados) Cinco dados são jogados simulta-6. neamente e os resultados são classificados em:

Aa) 1 = todos diferentes;

Ab) 2 = um par;

Ac) 3 = dois pares;

Ad) 4 = três iguais;

Ae) 5 = full (três iguais e dois iguais);

Af) 6 = quatro iguais (pôquer);

Ag) 7 = cinco iguais;

Ah) 8 = uma sequência (números consecutivos)

Calcule a probabilidade de cada caso ocorrer.Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A, 7. B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:

12 000 leem A;8 000 leem B;7 000 leem A e B;6 000 leem C;4 500 leem A e C;1 000 leem B e C;

500 leem A, B e C.

Qual é a probabilidade de que um habitante leia:

pelo menos um jornal;a)

só um jornal.b)

Qual é a probabilidade do primeiro filho ser um a) recessivo puro?

Qual é a probabilidade de exatamente um dos b) quatro filhos ser um recessivo puro?

Solução: `

Se os pais são Aa, a probabilidade de o primeiro filho ser aa é 1

2 . 1

2 . 1

4 = 25%

Pelo teorema binomial,

C14 =

14

1 1 –

14 =

2764 0,4219 = 42,19%


10 EM

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AT

_015

(UFRJ) Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 são escritos em cinco 8. cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de cinco algarismos.

Calcular a probabilidade de que o número escrito a) seja par.

Se a escolha fosse com reposição qual seria a pro-b) babilidade?

Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcu-9. lar a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada.

(Fuvest) Considere o experimento que consiste no lan-10. çamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Com relação a esse experimento considere os seguintes eventos:

O resultado do lançamento é par.I.

O resultado do lançamento é estritamente maior II. que 4.

O resultado é múltiplo de 3.III.

I e II são eventos independentes?a)

II e III são eventos independentes?b)

(Fuvest) São efetuados lançamentos sucessivos e inde-11. pendentes de uma moeda perfeita (as probabilidades de cara e coroa são iguais) até que apareça cara pela segunda vez.

Qual é a probabilidade de que a segunda cara apa-a) reça no oitavo lançamento?

Sabendo-se que a segunda cara apareceu no oitavo b) lançamento qual é a probabilidade condicional de que a primeira cara tenha aparecido no terceiro?

(Cesgranrio) Uma urna contém quatro bolas brancas e 12. cinco bolas pretas. Duas bolas, escolhidas ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale:

1

6a)

2

9b)

4

9c)

16

81d)

20

81e)

(FEI) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade 13. foram feitas duas perguntas aos alunos. 120 responde-ram “sim” a ambas; 300 responderam “sim” à primeira; 250 responderam “sim” à segunda e 200 responderam “não” a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter respondido “não” à primeira pergunta?

1

7a)

1

2b)

3

8c)

11

21d)

4

25e)

Para ter acesso a um determinado programa de compu-14. tador o usuário deve digitar uma senha composta por quatro letras distintas. Supondo que o usuário saiba quais são essas quatro letras mas não saiba a ordem correta em que devem ser digitadas, qual a probabilida-de desse usuário conseguir acesso ao programa numa única tentativa?

1

4a)

1

12b)

1

16c)

1

24d)

1

256e)

(Mackenzie) Uma pessoa A concorre com você neste 15. Concurso Vestibular com 40% de chance de ser apro-vada. A probabilidade de que pelo menos um de vocês dois seja aprovado é 64%. Então, relativamente à pessoa A, a probabilidade de você ser aprovado é: (sabendo que os eventos são independentes)

a mesma.a)

o dobro.b)

o triplo.c)

a metade.d)

um quarto.e)


11EM

_V_M

AT

_015

(Unirio) As probabilidades de três jogadores marcarem 16. um gol cobrando um pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a proba-bilidade de todos errarem é igual a:

3 % a)

5 % b)

17 % c)

20 % d)

25 %e)

(UFRJ) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas 17. são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna.

Determine a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas.

Sacam-se, com reposição, quatro bolas de uma urna que 18. contém sete bolas brancas e três bolas pretas. Qual a probabilidade de serem sacadas duas bolas de cada cor? Qual seria a resposta no caso sem reposição?

Lança-se um dado não viciado até a obtenção do ter-19. ceiro 6. Seja X o número do lançamento em que isso ocorre. Calcule:

P (X = 10); a)

P (X > 10); b)

P (X < 10).c)

Dois adversários A e B disputam uma série de 10 par-20. tidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6, e não há empates. Qual é a probabilidade de A ganhar a série?

Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. 21. O primeiro que obtiver 12 vitórias ganha a série. No momento o resultado é 6 x 4 a favor de A. Qual é a probabilidade de A ganhar a série sabendo que em cada partida as probabilidades de A e B vencerem são respectivamente 0,4 e 0,6?

Em uma fábrica de parafusos, a probabilidade de um 22. parafuso ser perfeito é de 96%. Se retirarmos da pro-dução, aleatoriamente, três parafusos, a probabilidade de todos eles serem defeituosos é igual a:

5a) -2

5b) -3

5c) -4

5d) -5

5e) -6

(FGV) Uma fatia de pão com manteiga pode cair no chão 23. de duas maneiras apenas:

com a manteiga para cima (evento A) •

com a manteiga para baixo (evento B) •

Uma possível distribuição de probabilidade para esses eventos é:

P(A) = P(B) = 3/7a)

P(A) = 0 e P(B) = 5/7b)

P(A) = - 0,3 e P(B) = 1,3c)

P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6d)

P(A) = 6/7 e P(B) = 0e)

(UFPR) Uma loja tem um lote de 10 aparelhos de rádio/24. CD e sabe-se que nesse lote existem dois aparelhos com defeito, perceptível somente após uso continuado. Um consumidor compra dois aparelhos do lote, escolhidos aleatoriamente. Então, é correto afirmar.

A probabilidade de o consumidor comprar somente )(aparelhos sem defeito é 28/45.

A probabilidade de o consumidor comprar pelo me- )(nos um aparelho defeituoso é 0,70.

A probabilidade de o consumidor comprar os dois )(aparelhos defeituosos é 1/45.

A probabilidade de o primeiro aparelho escolhido )(ser defeituoso é 0,20.

A probabilidade de o segundo aparelho escolhido )(ser defeituoso, sendo que o primeiro já foi esco-lhido, é 10/45.

Num curso de Inglês, a distribuição das idades dos 25. alunos é dada pelo gráfico seguinte:

Idade de alunos

Núm

ero

de a

luno

s

0

1

2

3

4

5

16 17 18 19 20 21

Com base nos dados do gráfico, determine:

o número total de alunos do curso e o número de a) alunos com no mínimo 19 anos.

escolhido um aluno ao acaso, qual a probabilidade b) de sua idade ser no mínimo 19 anos ou ser exata-mente 16 anos.


12 EM

_V_M

AT

_015

Dez pessoas são separadas em dois grupos de cinco 1. pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam parte do mesmo grupo?

(UNIRIO) Considerando-se um hexágono regular e 2. tomando-se ao acaso uma de suas diagonais, a probabi-lidade de que ela passe pelo centro do hexágono é de:

1

9a)

1

6b)

1

3c)

2

9d)

2

3e)

(PUC-SP) Os 36 cães existentes em um canil são apenas 3. de três raças: poodle, dálmata e boxer. Sabe-se que o total de cães das raças poodle e dálmata excede o número de cães da raça boxer em seis unidades, en-quanto que o total de cães das raças dálmata e boxer é o dobro do número dos de raça poodle. Nessas con-dições, escolhendo-se, ao acaso, um cão desse canil, a probabilidade de ele ser da raça poodle é:

1

4a)

1

3b)

1

5c)

1

2d)

e) 2

3No jogo da Loto são sorteadas cinco dezenas distintas 4. entre as dezenas 01 – 02 - ... – 99 – 00. O apostador escolhe 6, 7, 8, 9 ou 10 dezenas e é premiado se são sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador que escolheu 10 dezenas fazer:

um terno;a)

uma quadra;b)

a quina.c)

(UNICAMP)5. De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas a) iguais entre três crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, cinco bolas?

Supondo que essa distribuição seja aleatória, qual b) a probabilidade de uma delas receber exatamente nove bolas?

Há oito carros estacionados em 12 vagas em fila.6.

Qual é a probabilidade das vagas vazias serem a) consecutivas?

Qual é a probabilidade de não haver duas vagas b) vazias consecutivas?

Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é 7. a probabilidade delas possuírem um número comum?

(FUVEST ) Um tabuleiro tem quatro linhas e quatro 8. colunas. O objetivo de um jogo é levar uma peça da casa inferior esquerda(casa (1, 1)) para a casa superior direita (casa (4, 4)), sendo que esta peça deve mover-se, de cada vez, para a casa imediatamente acima ou imediatamente à direita. Se apenas uma destas casas existir, a peça irá mover-se necessariamente para ela. Por exemplo, dois caminhos possíveis para completar o trajeto são (1, 1)(1, 2)(2, 2)(2, 3)(3, 3)(3, 4)(4, 4) e (1, 1)(2, 1)(2, 2)(3, 2)(4, 2)(4, 3)(4, 4).

Por quantos caminhos distintos pode-se completar a) esse trajeto?

Suponha que o caminho a ser percorrido seja esco-b) lhido da seguinte forma: sempre que houver duas opções de movimento, lança-se uma moeda não-viciada; se der cara, a peça move-se para a casa à direita e se der coroa, ela se move para a casa acima. Desta forma, cada caminho contado no item a) terá uma certa probabilidade de ser percorrido. Des-creva os caminhos que têm maior probabilidade de serem percorridos e calcule essa probabilidade.

Em um grupo de 10 pessoas, quatro são sorteadas 9. para ganhar um prêmio. Qual é a probabilidade de uma particular pessoa ser sorteada?


13EM

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_015

Há C410 modos de selecionar os premiados. Premiando a

particular pessoa, há modos de selecionar os outros premiados.

Qual é a probabilidade de uma permutação dos números 10. (1, 2, ..., 10) ter exatamente cinco elementos no seu lugar primitivo?

(UERJ) Protéticos e dentistas dizem que a procura 11. por dentes postiços não aumentou. Até declinou um pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira de Odontologia (ABO), há 1,4 milhão de pessoas sem nenhum dente na boca, e 80% delas já usam dentadura. Assunto encerrado.

(Adaptado de VEJA, out. 1997.)

Considere que a população brasileira seja de 160 mi-lhões de habitantes.

Escolhendo, ao acaso, um desses habitantes, a probabilidade de que ele não possua nenhum dente na boca e use dentadura, de acordo com a ABO, é de:

0,28%a)

0,56%b)

0,70%c)

0,80%d)

Nos cartões da Sena, as dezenas são apresentadas em 12. um quadro com cinco linhas e 10 colunas. Determine a probabilidade das seis dezenas sorteadas:

pertencerem à mesma linha;a)

pertencerem a apenas duas linhas, cinco numa li-b) nha e uma na outra;

idem, quatro numa linha e duas na outra;c)

idem, três numa linha e três na outra;d)

pertencerem a apenas três linhas, duas em cada;e)

pertencerem a linhas diferentes.f)

Dois armários guardam as bolas de voleibol e bas-13. quete. O armário 1 tem três bolas de voleibol e uma de basquete, enquanto o armário 2 tem três bolas de voleibol e duas de basquete. Escolhendo-se ao acaso um armário e, em seguida, uma de suas bolas, calcule a probabilidade dela ser:

de voleibol, sabendo-se que o armário 1 foi esco-a) lhido.

de basquete, sabendo-se que o armário 2 foi es-b) colhido.

de basquete.c)

Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros 14. A e B. Os resultados dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são 1/3 e 2/3

respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos consecutivos, de um série de 3. Que série de jogos é mais favorável para o jogador: ABA ou BAB?

Duas máquinas A e B produzem 3 000 peças em um 15. dia. A máquina A produz 1 000 peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2 000, das quais 1% são defeituosas. Da produção total de um dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A?

Três urnas I, II e III contêm respectivamente uma bola 16. branca e duas pretas, duas brancas e uma preta e três brancas e duas pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a proba-bilidade condicional de que a urna escolhida foi a II?

Um estudante resolve um teste com questões do tipo 17. verdadeiro-falso. Ele sabe dar solução correta para 40% das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi res-pondida corretamente, qual é a probabilidade de que ele sabia a resposta?

Sejam A e B dois eventos independentes tais que18.

P(A) = 1/4 e P(AΣB) = 1/3.

Calcule P(B).

Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A 19. e B os eventos:

A: cara na primeira jogada.

B: cara na segunda jogada.

Verifique que A e B são independentes.

Joguei um dado duas vezes. Calcule a probabilidade 20. condicional de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.

A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito 21. apresentado na figura abaixo é igual a p, 0 < p < 1.

Se todos os relés funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que haja corrente circulando entre os terminais A e B?

Um prisioneiro possui 50 bolas brancas, 50 bolas pretas 22. e duas urnas iguais. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas duas urnas (nenhuma das urnas pode ficar vazia). As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá, de olhos fechados, escolher uma


14 EM

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AT

_015

urna e, nesta urna, uma bola. Se a bola for branca ele será libertado e, caso contrário, condenado. Como deve proceder o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado?

(Unifesp) Tomam-se 20 bolas idênticas (a menos da cor), 23. sendo 10 azuis e 10 brancas. Acondicionam-se as azuis numa urna A e as brancas numa urna B. Transportam-se 5 bolas da urna B para a urna A e, em seguida, transportam-se 5 bolas da urna A para a urna B. Seja p a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola branca da urna A e q a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola azul da urna B.

Então:

p = qa)

p = 2/10 e q = 3/10b)

p = 3/10 e q = 2/10c)

p = 1/10 e q = 4/10d)

p = 4/10 e q = 1/10e)

(Unirio) A Organização Mundial da Saúde – OMS – 24. pesquisou e concluiu que um casal sadio, em que os dois não sejam parentes consanguíneos (parentes em primeiro grau), ao gerar uma criança, pode apresentar o seguinte quadro probabilístico em relação a problemas congênitos: sexo masculino tem 2% de risco e sexo feminino, 3%. A probabilidade de um casal gerar um menino com doença congênita ou uma menina sadia é, em %, expressa por:

0,485 a)

2,5 b)

49,5c)

97,5 d)

99e)

(UERJ) Uma prova é composta por seis questões com 25. quatro alternativas de resposta cada uma, das quais apenas uma delas é correta.

Cada resposta correta corresponde a três pontos ganhos; cada erro ou questão não respondida, a 1 ponto perdido.

Calcule a probabilidade de um aluno que tenha respondido aleatoriamente a todas as questões obter um total de pontos exatamente igual a 10.

Lança-se repetidamente um par de dados não ten-26. denciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas somas iguais a sete antes de obtermos três somas iguais a três?

Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançan-27. do-a 12 vezes qual o mais provável valor do número de caras obtidas?

Para cada uma das 30 questões de uma prova objetiva 28. são apresentadas cinco alternativas de respostas, das quais somente uma é correta.

Considere as afirmações relativas à prova:

Existem no máximo 150 maneiras diferentes de res-I. ponder à prova.

Respondendo aleatoriamente, a probabilidade de II. errar todas as questões é (0,8)30.

Respondendo aleatoriamente, a probabilidade III.

de exatamente 8 questões estarem corretas é 30!

8! (22)! (0,2)8 . (0,8)22

Analisando as afirmações, concluímos que:

apenas III é verdadeira.a)

apenas I e II são verdadeiras.b)

apenas I e III são verdadeiras.c)

apenas II e III são verdadeiras.d)

I, II e III são verdadeiras.e)

Joga-se uma moeda não-viciada. Qual é a probabilidade 29. de serem obtidas cinco caras antes de três coroas?

(FGV) Um lote com 20 peças contém duas defeituosas. 30. Sorteando-se três peças desse lote, sem reposição, a probabilidade de que todas sejam não defeituosas é:

68

95a)

70

95b)

72

95c)

74

95d)

76

95e)

Uma certa doença pode ser curada através de procedi-31. mento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre os que têm essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão subme-tidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que julgar necessária, responda qual a probabilidade de:

todos serem curados?a)

pelo menos dois não serem curados?b)

ao menos 10 ficarem livres da doença?c)


15EM

_V_M

AT

_015

Suposição: os indivíduos submetidos à cirurgia são (ou não) curados independentemente uns dos outros com probabilidade de cura constante e igual a 0,80. Assim D: número de curados dentre os 15 pacientes é binominal (n = 15, p = 0,8).

Um matemático sai de casa todos os dias com duas 32. caixas de fósforos, cada uma com n palitos. Toda vez que ele quer acender um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira daí um palito. O matemático é meio distraído, de modo que quando retira o último palito de uma caixa, não percebe que a caixa fica vazia, Como ele fuma muito, em certa hora, pega uma caixa e constata que ela está vazia. Qual é a probabilidade de, nesse momento, a outra caixa conter exatamente k 0 ≤ ≤( )k n palitos?


16 EM

_V_M

AT

_015

B1.

2.

Devem ser colocadas na urna 16 bolas azuis.a)

x = 1 ou x = 9b)

3.

120 resultados.a)

5/108b)

A4.

5. ≅ 1 – 0,001 ≅ 0,999 ou 99,9%

6.

9,3%a)

0,463b)

0,231c)

0,154d)

0,039e)

0,0039f)

0,00077 g)

0,031 h)

7. 7

15a)

b) 1

12

8. 25a)

25b)

b – 1 . (b – 1)! 2 bb–2

9.

10.

I e II são independentes.a)

II e III não são independentes. b)


17EM

_V_M

AT

_015

11.

7/256a) 1/7b)

A12.

D13.

D14.

A15.

B16.

50%17.

C CC72

32

104

.18. ⇒ sem reposição

0,26 ⇒ com reposição

19.

C92

2 9 2 7

8

16

116

16

56

0 0465

−

= ≅−

. . ,a)

C102

2 10 216

116

0 2907

−

≅−

. ,b)

1 10 10 0 66− = − > ≅P x P x( ) ( ) ,c)

Ck k k

k10

10

6

10

0 6 1 0 6 0 6331, ( , ) ,− ≅−

=∑20.

≅ 21. 0,43

A deve obter seis vitórias antes que B obtenha oito vitórias. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que A obtenha pelo menos seis vitórias nas próximas treze partidas.

E22.

D23.

V, F, V, V, F24.

25.

20 alunos e 8 alunos.a)

60 % b)

491.

C2.

B3.

4.

A resposta é a)

(que é aproximadamente igual a ).

A resposta é b)

(que é aproximadamente igual a ).

A resposta é c)

5.

21 maneiras.a)

2/7b)

6.

1/55a)

14/55b)

7.

8.

20a)

Os caminhos que passam pelo centro têm maior b) probabilidade.

9.

10.

C11.

12.

a)

b)

c)

d)

e)


18 EM

_V_M

AT

_015

13.

0,75a)

0,4b)

0,325c)

A probabilidade do jogador vencer se escolher a primeira 14. série ABA é (ganha de A, ganha de B ou perde para

A, ganha de B e ganha de A) 1027

, enquanto que para

BAB é 827

.

35

15.

512

16.

47

17.

19

18.

P(A) = P(B) = 1/2, pois em cada lançamento há dois 19. resultados possíveis que são igualmente prováveis (cara e coroa) e, em cada lançamento há apenas um resul-tado favorável (cara). P(A∪B) = 1/4, pois, para os dois lançamentos, há quatro resultados possíveis que são igualmente prováveis (cara-cara, cara-coroa, coroa-cara e coroa-coroa) e apenas um favorável (cara-cara).

Como P(A∩B) = P(A). P(B) os eventos A e B são independentes.

1

620.

p.(2p – p21. 2)2

Uma urna recebe uma bola branca e a outra as ou-22. tras 99.

A23.

C24.

135/4 09625.

9492,0256243

41

43

.Ck4k

k4

4

2k≅=

–

=∑26.

527.

D28.

p29. 5 + p6 + p7 = 223,012829

2

7

7

2

6

7

2

5

7

777≈=

+

+

A30.

31.

P (D = 15) = 0,035=(0,8)a) 15.

P (pelo menos dois não serem curados) = P (no b) máximo 13 curados) = P (D ≤ 15) = 0,833.

P (D c) ≥ 10) = 0,939.

2n - k

n1

2

2n - k

32.

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_V_M

AT

_015

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MATEMÁTICA - Grupo de Orientação Pré-Militar · e em determinar o número de casos favoráveis ao acontecimento cuja probabilidade é buscada. A razão ... aleatório: jogue um