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Pongo a disposición de los lectores uno de mis aportes que ayudará a entender algunas de las técnicas de integración en el cálculo de integrales indefinidas, entre las que puedo mencionar, las de funciones racionales, irracionales y trigonometricas racionales y los métodos de sustitución.
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.
Matematica II
Lic. Mat. Salomon Ching Briceno
Escuela Profesional de Matematicas
17 de diciembre de 2010
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Indice general
Ejercicios Resueltos sobre Tecnicas de Integracion 1Funciones Racionales e Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
iii
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Ejercicios Resueltos sobreTecnicas de Integracion
Funciones Racionales e Irracionales
Ejercicio 1
Evaluar
∫∫∫ √x− x2
x4dx.
Solucion.
Sea: I =∫ √
x−x2
x4 dx.
Recuerde que cuando el integrando es de la forman√x− xnxn+1
o1
(x− a)n√px2 + qx+ r
con n ∈ N entonces la sustitucion recıproca resulta eficaz.
La sustitucionrecıproca sustituye ax, por una nueva
variable1
z
Ası x =1
z, ⇒ z =
1
x, dx = −dz
z2
entonces:
Observe que:√z−1z2
=√z−1z , z ≥ 0
pues x ≥ 0
I =
∫ √
1z− 1
z2
1z4
·(−dzz2
)
= −∫ √
z−1z2
1z2
dz
= −∫z√z − 1dz
haciendo: u = z − 1 , ⇒ z = u+ 1 , dz = du
1
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2 0. Ejercicios Resueltos sobre Tecnicas de Integracion
se tiene:
I = −∫
(u+ 1)u12du
= −∫ (
u32 + u
12
)du
= −(
2
5u
52 +
2
3u
32
)+ C
= −2
5(z − 1)
52 − 2
3(z − 1)
32 + C
∴ I = −2
5
(1
x− 1
) 52
− 2
3
(1
x− 1
) 32
+ C.
.�
Ejercicio 2
Evaluar
∫∫∫dx√
1− sen(2x).
Solucion.
Sea: I =∫
dx√1−sen(2x)
,
por identidad del angulo doble se sabe que:
sen(2x) = 2 senx cosx
− sen(2x) = −2 senx cosx
1− sen(2x) = 1− 2 senx cosx
= (sen2 x+ cos2 x)− 2 senx cosx
= sen2 x− 2 senx cosx+ cos2 x
1− sen(2x) = (senx− cosx)2√1− sen(2x) = senx− cosx
luego:I =
∫dx
senx− cosx
esta es una funcion racional trigonometrica en las variables (x, sen x, cos x), seresuelve haciendo la sustitucion:
z = tan(x
2
)cosx =
1− z2
1 + z2
senx =2z
1 + z2
dx =2dz
1 + z2
entonces:
I =
∫ (2dz
1+z2
)(2z
1+z2
)−(
1−z21+z2
)=
∫2dz
2z − 1 + z2
= 2
∫dz
(z + 1)2 − 2
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0.0. Funciones Racionales e Irracionales 3
haciendo: u = z + 1 ⇒ du = dz , se tiene:
I = 2
∫du
u2 − 2
= 2
∫du
u2 −√
2 2
I = 2
(1
2√
2ln
∣∣∣∣∣u−√
2
u+√
2
∣∣∣∣∣)
+ C
=1√2
ln
∣∣∣∣∣z + 1−√
2
z + 1 +√
2
∣∣∣∣∣+ C
∴ I =1√2
ln
∣∣∣∣∣∣tan(x
2
)−√
2 + 1
tan(x
2
)+√
2 + 1
∣∣∣∣∣∣+ C
.�
Ejercicio 3
Evaluar
∫∫∫x2
√4x− x2
dx.
Solucion.
Sea: I =∫
x2√
4x−x2dx.
El integrando de I es una funcion irracional que contiene el radicaly =
√4x− x2 =
√x(4− x) el cual contiene dos raıces reales : r1 = 0 y
r2 = 4. Entonces se usa la sustitucion de Euler:
Cuando las raıcesr1 , r2 , dey=√
(r1−x)(r2−x)
son distintas,entonces la sustitucionde Euler es:y = t(r1− x),o bien:y = t(r2− x).
y = t(4− x)√x(4− x) = t(4− x)√x(4− x)
2= (t(4− x))2
x(4− x) = t2(4− x)2
x = t2(4− x)
x = 4t2 − t2xx(1 + t2) = 4t2
x =4t2
1 + t2(1)
derivando:
dx =
(4t2
1 + t2
)′dt
=8t(t2 + 1)− 2t(4t2)
(1 + t2)2dt
dx =8t
(1 + t2)2dt (2)
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4 0. Ejercicios Resueltos sobre Tecnicas de Integracion
y como:
y = t(4− x)
= t
(4− 4t2
1 + t2
)y =
4t
1 + t2(3)
sustituyendo (1), (2) y (3) en I, se tiene:
I =
∫ (4t2
1+t2
)2(4t
1+t2
) · 8t
(1 + t2)2dt
=
∫ (4t3
t2 + 1· 8t
(t2 + 1)2
)dt
I =
∫32t4
(t2 + 1)3dt
descomponiendo en fracciones parciales:
32t4
(t2 + 1)3=
At+B
t2 + 1+
Ct+D
(t2 + 1)2+
Et+ F
(t2 + 1)3
32t4
(t2 + 1)3=
(At+B)(t2 + 1)2 + (Ct+D)(t2 + 1) + Et+ F
(t2 + 1)3
32t4 = (At+B)(t2 + 1)2 + (Ct+D)(t2 + 1) + Et+ F
0t5 + 32t4 + 0t3 +
+0t2 + 0t+ 0 = At5 +Bt4 + (2A+ C)t3 + (2B +D)t2 +
+(A+ C + E)t+ (B +D + F )
identificando terminos:
A = 0
B = 32
2A+ C = 0
2B +D = 0
A+ C + E = 0
B +D + F = 0
resolviendo el sistema:
A = 0 , B = 32 , C = 0D = −64 , E = 0 , F = 32
I =
∫ [32
(1 + t2)− 64
(1 + t2)2+
32
(1 + t2)3
]dt
I = 32
∫dt
(1 + t2)− 64
∫dt
(1 + t2)2+ 32
∫dt
(1 + t2)3
I = 32 arctan t− 64A1 + 32A2
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0.0. Funciones Racionales e Irracionales 5
donde A1 =∫
dt(1+t2)2
y A2 =∫
dt(1+t2)3
se determinan por la formula de reduccion:
Ademas de laformula de reducciones posible evaluar lasintegrales A1 y A2
usando la sustitucionu = a·tan θ.
∫du
(u2 + a2)=
u
2a2(n− 1)(u2 + a2)n−1+
2n− 3
2a2(n− 1)
∫du
(u2 + a2)n−1, n ≥ 2
obteniendose:
A1 =1
2
t
(1 + t2)+
1
2arctan t
A2 =1
4
t
(1 + t2)2+
3
8
t
(1 + t2) +
3
8arctan t
luego de reemplazar en I, y de simplificar, se obtendra:
I = 32 arctan t− 64A1 + 32A2
∴ I = 12 arctan t− 20t
1 + t2+
8t
(1 + t2)2
.�
Ejercicio 4
Evaluar
∫∫∫dx
a+ b cosx, si a > b > 0 y si 0 < a < b.
Solucion.
Sea: I =∫
dxa+b cosx
.
El integrando de I es una funcion racional trigonometrica en las variables(x, senx, cosx), por tanto se calcula haciendo la siguiente sustitucion:
z = tan(x
2
)cosx =
1− z2
1 + z2
dx =2dz
1 + z2
reemplazando estos tres datos en I:
I =
∫ 2dz1+z2
a+ b(
1−z21+z2
) =
∫2dz
a(1 + z2) + b(1− z2)
=
∫2dz
(a− b)z2 + (a+ b)=
2
a− b
∫dz
z2 +(a+ba−b
) .(i) Cuando
a > b > 0
⇒ a− b > 0 y a+ b > 0
entoncesa+ b
a− b> 0
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6 0. Ejercicios Resueltos sobre Tecnicas de Integracion
por tanto:
Recuerde quese puede escribir:
A =√A
2
solo cuandoA ≥ 0
I =2
a− b
∫dz
z2 +√
a+ba−b
2
I =2
a− barctan
z√a+ba−b
+ C
∴ I =2
a− barctan
tan(x2
)√a+ba−b
+ C (Rpta 1).
(ii) Cuando
0 < a < b
⇒ b− a > 0 y a+ b > 0
entoncesa+ b
b− a> 0
luego:
I =2
a− b
∫dz
z2 +(a+ba−b
)I = − 2
b− a
∫dz
z2 −(b+ab−a
)I = − 2
b− a
∫dz
z2 −√
b+ab−a
2
I = − 2
b− a· 1
2√
b+ab−a
ln
∣∣∣∣∣∣z −
√b+ab−a
z +√
b+ab−a
∣∣∣∣∣∣+ C
∴ I = − 1√b2 − a2
ln
∣∣∣∣∣∣tan(x2
)−√
b+ab−a
tan(x2
)+√
b+ab−a
∣∣∣∣∣∣+ C (Rpta. 2)
.�
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0.0. Funciones Racionales e Irracionales 7
Ejercicio 5
Determine dos numeros a y b tales que
x4 + 1 = (x2 + ax+ 1)(x2 + bx+ 1)
para demostrar que: ∫∫∫ 1
0
x2 + 1
x4 + 1dx =
π
2√
2
Solucion.
Desarrollando el lado derecho de la igualdad
x4 + 1 = (x2 + ax+ 1)(x2 + bx+ 1)
tenemos:
x4 + 1 = x4 + bx3 + ax3 + 2x2 + abx2 + ax+ bx+ 1
x4 + 1 = x4 + (a+ b)x3 + (ab+ 2)x2 + (a+ b)x+ 1
0x3 + 0x2 + 0x = (a+ b)x3 + (ab+ 2)x2 + (a+ b)x
identificando terminos:
a+ b = 0
ab+ 2 = 0
resolviendo el sistema:
a = −√
2
b =√
2
luego:
x4 + 1 = (x2 −√
2x+ 1)(x2 +√
2x+ 1)
reemplazando en:
I =
∫ 1
0
x2 + 1
x4 + 1dx
=
∫ 1
0
x2 + 1
(x2 −√
2x+ 1)(x2 +√
2x+ 1)dx
donde:
x2 + 1
(x2 −√
2x+ 1)(x2 +√
2x+ 1)=
Ax+B
x2 −√
2x+ 1+
Cx+D
x2 +√
2x+ 1
x2 + 1 = (Ax+B)(x2 +√
2x+ 1) + (Cx+D)(x2 −√
2x+ 1)
0x3 + x2 + 0x+ 1 = (A+ C)x3 + (−√
2A+B +√
2C +D)x2 +
+(A−√
2B + C +√
2D)x+B +D
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8 0. Ejercicios Resueltos sobre Tecnicas de Integracion
identificando terminos:
A+ C = 0
(C − A)√
2 +B +D = 1
(D −B)√
2 + A+ C = 0
B +D = 1
resolviendo el sistema:
A = 0 , B =1
2
C = 0 , D =1
2.
Ası:
I =
∫ 1
0
(1
2(x2 −√
2x+ 1)+
1
2(x2 +√
2x+ 1)
)dx
=1
2
∫ 1
0
dx
(x−√
22
)2 + 12
+1
2
∫ 1
0
dx
(x+√
22
)2 + 12
=1
2
∫ 1
0
dx(x−
√2
2
)2
+√
12
2 +
∫ 1
0
dx(x+
√2
2
)2
+√
12
2
=
1
2
[√
2 arctan
(x−
√2
21√2
)+√
2 arctan
(x+
√2
21√2
)]x=1
x=0
=
√2
2
[arctan
(√2x− 1
)∣∣∣x=1
x=0+ arctan
(√2x+ 1
)∣∣∣x=1
x=0
]=
1√2
[(arctan(
√2− 1)− arctan(−1)
)+(
arctan(√
2 + 1)− arctan(1)) ]
=1√2
[π
8−(−π
4
)+
3π
8− π
4
]=
1√2
[π2
]∴ I =
π
2√
2
.�
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0.0. Funciones Racionales e Irracionales 9
Ejercicio 6
Determinesec t2
tan3 t+ tan2 tdt.
Solucion.
Sea I =∫
sec t2
tan3 t+tan2 tdt.
Entonces por identidades trigonometricas de cociente se tiene:
I =
∫ 1cos2 t
sen3 tcos3 t
+ sen2 tcos2 t
dt
=
∫1
sen3 tcos t
+ sen2 tdt
I =
∫cos t
sen3 t+ sen2 t cos tdt (4)
El integrando de (4) es una funcion racional trigonometrica en las variables(t, sen t, cos t), por tanto se calcula haciendo la siguiente sustitucion:
z = tan
(t
2
)cos t =
1− z2
1 + z2
dx =2dz
1 + z2
sen t =2z
1 + z2
reemplazando estos datos en (4) se tiene:
I =
∫ 1− z2
1 + z2· 2dz
1 + z2(2z
1 + z2
)3
+
(2z
1 + z2
)2
·(
1− z2
1 + z2
)
=
∫ 2(1−z2)(1+z2)2
1(1+z2)2
[8z3
1+z2+ 4z2(1+z2)
1+z2
]dz=
∫2 (1− z2) (1 + z2)
8z3 + 4z2 (1− z2)dz =
∫2 (1− z4)
8z3 + 4z2 − 4z4dz
I =
∫z4 − 1
2z4 − 4z3 − 2z2dz (5)
el integrando de (5) no es una fraccion propia, por lo que habra que dividirla
z4 + 0z3 + 0z2 + 0z − 1 2z4 − 4z3 − 2z2 + 0z + 0
−z4 + 2z3 + z2 + 0z − 0 12
2z3 + z2 + 0z − 1
.�continuara...17 de diciembre de 2010
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Bibliografıa
[Mitacc, 1992] Mitacc, Maximo - Toro, Luis. Topicos de Calculo, EditorialImpoffot S.R.L., Lima, Peru, 1992.
11
