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MATEMATICA – INGRESO 2016- ACTIVIDADES RESUELTAS
UNIDAD Nº 1: Lógica proposicional
Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Lucía Caraballo
Ejercicio nº 1:
a) Es proposición simple.
b) No es proposición (depende del significado de x)
c) No es proposición
d) Es proposición simple.
e) Es proposición compuesta.
p: 7 es un nº impar, q: el doble de 7 es un nº par.
qp
f) No es proposición.
g) Es proposición compuesta
p: 2+4=6
q: 6 es múltiplo de 3
qp
h) Es proposición compuesta.
p: 27 es un nº par
q: 27 es múltiplo de 3
qp
i) Es proposición simple
Ejercicio nº 2:
a) p: V
q: F
b) b1. qp : 12 es divisible por 3 y es un número primo. Falso.
2
b2. qp : 12 es divisible por 3 o es un número primo. Verdadero.
b3. qp : 12 es divisible por 3 y no es primo. Verdadero.
b4. qp : 12 es divisible por 3 o no es primo. Verdadero.
b5. qp : 12 no es divisible por 3 o no es primo. Verdadero.
Ejercicio nº 3:
a) p: un nº es divisible por 5
q: un nº termina en 0
qp : Si un nº es divisible por 5 entonces termina en 0. Falso.
b) p: x = 3
q: 92 x
qp : si x = 3 entonces 92 x . Verdadero.
c) p: el nº es menor que dos
q: el nº es negativo
qp : si un nº es menor que dos entonces es negativo. Falso.
d) p: 42 x
q: x = 2
qp : si 42 x entonces x=2. Falso.
e) p: un polígono es un paralelogramo.
q: un polígono es un rectángulo.
qp :si un polígono es un paralelogramo entonces es un rectángulo. Falso.
f) p: un número es divisible por 9
q: un número es divisible por 3
qp : Si un número es divisible por 9 entonces es divisible por 3. Verdadero.
3
Ejercicio nº 4:
a) qp : Si un número es menor que cero entonces es menor que 4. Verdadero
Recíproca: Si un número es menor que 4 entonces es menor que cero. Falsa
Contraria: Si un número es mayor o igual a 0 entonces es mayor o igual que 4. Falso.
Contrarrecíproca: Si un número es mayor o igual que 4 entonces es mayor o igual que 0.
Verdadero.
No puede transformarse en bicondicional verdadera.
b) qp : Si x = 1 entonces 3x-1 = 2. Verdadero
Recíproca: si 3x-1 = 2 entonces x = 1. Verdadero.
Contraria: Si x ≠ 1 entonces 3x-1 ≠ 2. Verdadero
Contrarrecíproca: Si 3x-1 ≠ 2 entonces x ≠ 1. Verdadero
Puede transformarse en una bicondicional verdadera.
c) qp : Si un número es múltiplo de 4 entonces es par. Verdadero.
Recíproca: Si un número es par entonces es múltiplo de 4. Falso.
Contraria: Si un número no es múltiplo de 4 entonces no es par. Falso.
Contrarrecíproca: Si un número no es par entonces no es múltiplo de 4. Verdadero.
No puede transformarse en una bicondicional verdadera.
Ejercicio nº 5:
a) qp : Si un número es par entonces es divisible por 2. Verdadero
pq : Si un número es divisible por 2 entonces es par. Verdadero
qp es verdadera.
b) qp es verdadera.
c) qp es falsa
d) qp es falsa
e) qp es verdadera
4
f) qp es falsa
g) qp es verdadera
Ejercicios pag 9 ( cuantificadores)
1) a) Falso, ya que por ejemplo: 3 ≠ -3
b) Verdadero, ya que por ejemplo: x = 2Z, 5.2 = 2.2+6 y 10 = 10
c) Verdadero. En efecto, si Zn y Zm ,
)2(224)12).(2( nnmnnmmn
Considerando: Zkknnm ,2
Resulta: kmn 2)12).(2( es par.
d) Falso. En efecto:
1, xNx
e) Verdadero. Un rectángulo es un cuadrilátero con pares de lados opuestos iguales y con
todos sus ángulos interiores rectos. Como todos los cuadrados cumplen con estas
condiciones, resulta que también son rectángulos.
f) Falso ya que, por ejemplo, un rectángulo cuya base mide 4 cm y su altura 2 cm no es un
cuadrado (ya que no tiene todos sus lados iguales)
2) a) i) )(/ xqZx
ii) )()(/ xqxpZx
iii) )()(, xrxqZx
iv) )()(/ xrxqZx
v) )()(/ xrxqZx
b) i) Verdadero, pues por ejemplo 2 es un entero par
ii) Verdadero, pues por ejemplo 2 es un entero positivo par.
iii) Falso, por ejemplo, 20 es un entero par y es divisible por 5.
iv) Falso, todos los múltiplos de 10 son enteros pares y divisibles por 5.
v) Verdadero. 50 es un entero par y es divisible por 5.
5
Unidad Nº 2: Conjuntos numéricos – Operaciones
Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Lucía Caraballo
1) Existen infinitas soluciones. Ej. de números racionales mayores que 2 y
menores que 6 : 3,2 ; 2,125; 25
51. Ej. de números irracionales mayores que
2 y menores que 6 : 2,12345…;2,010010001…;2,445446447…
2) Existen infinitas soluciones. Por ej.:
3,21234567…;3,201472543…;3,201020304…
3) 1,3<1,333333<3
4<1,41< 2 <1,42<1,732< 3
4) …
5)
a) a7
b) a
6
c) a20
11
d) -10 3 a
e) a37
f) 35 729a
a) bcda .
b) d
cba
c) b
cda
d) cb
da
e) cbda .
f) cb
da
g) 2b
cda
h) b
cda
6
i) bcda
j) bcda .
k) cda 2
l) 2)( cb
da
6)
a) 6
9
40
60
150
225
2
3
b) 60
16
225
60
150
40
15
4
c) 28
196
60
420
150
1050
2
14
d) 150
625
72
300
150
625
6
25
e) 12
16
75
60
150
200
3
4
7)
11
41
13
393
5
7
4
5
6
70
4
31
5
7
3
5
143
286
8)
a) 60
109
b) 3
1
c) 80
571
d) 78
223
9)
a) 3
52
3
4.
2
13
b) 3
82
3
4).
2
13( ó
3
8)2
3
4.(
2
13
c) 3
7)2
3
4).(
2
13(
d) 12
67
4
25
3
10).5
5
2( 1
e) 276
175)
4
25
3
10.()5
5
2( 1
7
f) 60
59)
4
25
3
10.(5
5
2 1
10)
a) 3
1
b) 56
61
c) 4
1
11)
a) 5.5.553
b) )2).(2).(2).(2).(2()2( 5
c) 3
2.
3
2.
3
2.
3
2)
3
2( 4
d) 3.3.3.3.3.33.3.3)3( 22232
e) )2
).(2
()2
( 2 xx
xx
xx
12)
a) 4)5
3(
b) 33 )1( x
c) 5)3(
13)
a) 2352 2
b) 9)52( 2
c) 4
15
8
3)
2
3( 3
d) 8
111
8
3
2
33
14)
a) 4
9
b) 32
81
c) 1
8
15)
a) 2
4.16
b
a
b) 2.4
729
x
c) )1.(9 2 x
16) 3. Si, baba
17)
a) 3 44 ..2 yx
b) ba
9
c) 61..
2
1 ba
d) 10132 ).(
8
243yx
e) 62
5
.512 x
y
f) 6
10
32
)5( x
18)
a) ).(22 222 yxxx
b) 52
3).(
2 y
xyx
y
yx
c) 3
3232
2
).().(
2
5 babbaa
19)
a) 15
7
15
31
15
14
9..
ba
b) 4
36
37
4
15
..2
yx
c) 6
7
6
11
3
2
..3 ba
20)
a) 2
.23
x
x
9
b) x
x
9
26
c) 1a
d)
6
3 2 122
x
xx =
x
xxx
6 5
22 = 6 522
xxxx
x
e) 5 2
5 4 2
x
x =
x
xxx 5 35 2 2
f) x
xx 44 3 .3
21)
a) 3
b) No existe solución
c) Idem b.
d) Idem b.
e) 0
f) 2
1
g) -2
h) 1
i) 0
j) 3
k) -2
l) 3
22)
a) 1
b) 0
c) -1
d) 2
23) 0log 2 a 10 a
0log 2 a 1a
0log 2 a 1a
1log 2 a 2a
10
24)
a) 0,991…
b) 1,991…
c) 2,991…
d) 3,991…
e) 0,916…
f) 3,219…
g) 5,521…
h) 7,824…
25)
a) 1
b) -4
c) 1
d) -1
26)
a) 8
b) 1
c) 18
d) 6
27)
a) 4,169…
b) 4,191…
c) -1,397…
28) 7308,3log 2 x
8654,1log 4 x
29)
a)
5
)9.(.log
226 yxyxa
b)
)1.(.8log 22
1
4 xx
30) 0
31)
a) 0
b) 5
c) 2
d) 1log2 ba
11
UNIDAD Nº 3: Ecuaciones - Inecuaciones
Ejercicios resueltos / Resultados. Gentiliza: Manuel Mansilla, Micaela Galante,
Lucía Caraballo
I) 1) y = -3 2) x = 40 3) x = -15 4) y = -117/13 5) y = 40 6) x = 7 7) y = 2 8) x = 4 9) a = 18/5 10) x = 17/6 11) y = 45/2 12) x = 3/2
13) 14) x = 0
15)
16) 17) w = 0
18)
19) 20) t = 1
21)
II) a) x1 = 3 x2 = 2
b) p1 = (5-√21)/2 p2 = (5+√21)/2
c) y1 = 2 y2 = 1/3
d)
e) i1 = 0 i2 = 4
f) b1 = -8 b2 = 8
g)
h) x1 = -1 x2 = 1
i) x1 = 3 x2 = 5
j) j = -5
k)
l)
m) x1 = -2 x2 = 2
n) x = 4/7
o) x = 0
22) Si lo resolvemos como : 80=10(3t+2) t = 2 Si lo resolvemos como : 80=10(3t-2) t=10/3 23) y = 50/9 24) a = 3
25) x = -2 x = 5
26) t = 3 t = 7
27) y = 4/3 y = ¼
28) m = 0 m = 8
29) x = 3/2 x = 2/3
30) x = 0 x = 1 x = 2
29) a = 3 a = -4/7 31) x = 4
32) x = 0 x = 3 33) x = 2
34) x = 0 x = 1
35) x = 0 x = 2 36) x = 0 37) x = 0
38)
39) - {0, 1}
40)
12
III) a) x = 2
b) x = 0 x = 2
c) x = 3
d) x = -1/4
e) x = -5
f) x = -1 x = 1
g) x = -3/7
h) x = 1
i) x = 0 x = ln 2
V) a) distancia de la tierra a Marte: 77.200.000
b) punto de fusión del Plomo: 336,73
c) precio original de la compra: 744
d) Se encontraron a las 13:33
e) precio original del T.V: 500
f)[M]=(F.r2)/(G.m) Unidades: [m]=kg; [r]= m; [M]= kg; [F]=N; [G]=Nm2/kg2
g) h=V/(π.r2) Unidades: [h]=metros; [r2]= metros2; [V]=metros3
VI) a) si es solución
b) no es solución
c) no es solución
d) si es solución
e) si es solución
f) si es solución
g) no es solución
h) si es solución
VIII) a) S =
b) S = (5;9)
c) S = (-∞;5] U [9;+ ∞)
d) S = (-1;1) U (3;5)
f) S = (-1;5) – {2}
IV) a) x = 20
b) x = 3
c) x = 2
d) x = 4
e) x = 1/9
f) x = (1/4)1/3
g) x = 7
h) x = √(20/3)
hbis) x = 0 x = -36/25
i)
j) x = 10 x = 101/9
k) x = 1/100 x = 100
VII) a) S = [3;+∞)
b) S = (-1/2;+∞)
c) S =
d) S = [1/2;+∞)
e) S = (1;2)
f) S = (-∞;-1) U (1; +∞)
h) S = [-1; +∞)
i) S = (-2;5)
j) S = (-∞;-2)
k) S = (-2;5)
l) S = (-∞;-2] U [4;6]
m) S = (1;2)
n) S = (-∞;-2) U [2; +∞)
13
IX) a)
A=(3,9)=E3(6) ={x ε IR / 36 x }
B=(-1,3)= E2(1) ={x ε IR / 21 x }
C=(0,4)= E2(2) ={x ε IR / 22 x }
b)
A=(-3;7)
B=L
C=P
D=O
E=N
F=N
G=(-3;7)
H=P
X) a) S = (-∞;-1/3) U (5/3; +∞)
b) S = - {-3}
c) S =
d) S = (-∞;-1/4] U [3/4;+ ∞)
e) S =
f) S = [-1/2; 3)
g) S = [-1; 4]
h) S = (-1/5;1)
i) S = [-11;3]
j) S = [0;3]
k) S = (-6;-2)
l) S =
m) S = {2/3}
n) S =
o) S = (1/4; 1/2)
14
Unidad Nº 4: Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Ejercicios resueltos / Resultados. Gentileza: Lucía Caraballo
1) No son soluciones del sistema: )0;0(),0;2(),1;1(
Es solución del sistema: )1,1(
2)
i. No son soluciones del sistema: )1;4( ,
2
1;
2
1
Son soluciones del sistema: )6;9(),0;0(),2;3(
ii. El sistema es compatible determinado.
3) No son soluciones del sistema:
2
9;
2
1;0,
2
3;
2
1;2,0;0;0
Es solución del sistema: 1;0;1
4)
a) 2;1S
El sistema es compatible determinado.
b)
2
5/),(
xyxyxS
El sistema es compatible indeterminado.
c) S
El sistema es incompatible.
d) 4;3;6 S
El sistema es compatible determinado.
e) 0;1;0S
El sistema es compatible determinado.
f) S
El sistema es incompatible.
g)
2
1,
2
1,:),,( 3 xzyxzyxS
El sistema es compatible indeterminado.
h) 4;10 S
El sistema es compatible determinado.
i) S
15
El sistema es incompatible.
j) 0;0;0S
El sistema es compatible determinado.
k) uvuvuS /),(
El sistema es compatible indeterminado.
l) S
El sistema es incompatible.
5)
a)
i. 2
ii. Sistema compatible determinado
5,1(S
b)
i. 1
ii. Sistema compatible determinado
)1,0,1(S
c)
i. No existe tal que (1,-2) sea solución del sistema
d)
i. 2
ii. Sistema compatible indeterminado
1/),( xyxyxS
Problemas:
1) El largo del rectángulo es de 14 cm y el ancho de 10 cm.
2) La fracción es 5
2.
3) Julio tiene 10 años y Pedro tiene 15 años.
La respuesta es correcta si el ejercicio se considera como: Julio tiene la
mitad de la edad que tendrá Pedro dentro de 5 años y Pedro tiene la mitad
de las dos edades más cinco.
Si consideramos: Julio tiene la mitad de la edad que tendrá Pedro dentro de
5 años y Pedro tiene la mitad de las dos edades, más cinco. La respuesta
sería: Julio tiene 15 años y Pedro tiene 20 años.
4) El número es 34.
5) El largo es de 5 cm y el ancho de 3 cm.
16
Unidad N°5 – Polinomios
Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Julieta Fina y Lucía Caraballo
1) p(x) Coeficiente principal: 7
Termino independiente: -5/2
Grado: 5
q(x) Coeficiente principal: 2
Termino independiente: 3/2
Grado: 4
r(x) Coeficiente principal: 3
Termino independiente: -3/7
Grado: 3
s(x) Coeficiente principal: -1
Termino independiente: 4/5
Grado: 6
2) a) a=3 b=-3 c=5 d=-5
b) no existen valores para p(x)
c) a=2 b=-1 c=-1 d=0
3) a) p(x) + q(x) = x5 + 6x4 + 4x2 +4x– 2
b) 1/2p(x) + 3/2q(x) = x5 + 2x4 + 3x3 – 6x2 + 5x – 7
c) q(x) – s(x) = 3x3 + 2x2 – 3x – 1
d) p(x) + q(x) + r(x) = x5 + 6x4 + 3x3 + 6x -5
e) q(x) + s(x) – r(x) = -2x5 + 4x4 + 10x2 + x + 6
f) p(x) + r(x) + 2s(x) = 8x4 + 12x
17
g) r(x) + q(x) + s(x) + p(x) = 8x4 + 3x3 + 2x2 + 9x – 1
h) 3r(x) – s(x) + q(x) = 12x3 – 10x2 + 3x – 10
i) p(x) + 2s(x) = 8x4 – 3x3 + 4x2 + 10x + 3
4) a) 8x8 – 12x7 + 8x6 – 12x5 + 8x4 – 22x3 + 23x2 – 22x + 15
b) –3x9 + 6x8 + x7 – x6 + x5 + 5x4 + 2x3 + 3x2
c)–x7 + 5x6 – x5 – x4 + 2x3 – x2 – 3
d) x4 + 2x3 + x2 – 1
5)
a) c(x)=2x ; r(x)= -4x3-3x2+4x-3
b) c(x)=-5/3 ;
c) c(x)=0; r(x)=5x3-3x2+2x-3
d) ; r(x)=0 ; p(x) es divisible por q(x)
e) c(x)=3x2-x-2; r(x)=0 ; p(x) es divisible por q(x)
f) c(x)=-2x4+3x2-x; r(x)=0; p(x) es divisible por q(x)
6) a) c(x) = 3x4 + 6x3 + 8x2 + 15x + 32 r(x) = 61
b) c(x) = -5x3 + 3x2 – 3x + 5 r(x) = -4
c) c(x) = 5x2 + 12x + 38 r(x) = 111
d) c(x) = -x4 + x3 r(x) = 0
e) c(x) = 6x4 – 14x3 + 15x2 – 24x + 53 r(x) = -108
f) c(x) = 2x2 + 5x + 2 r(x) = 0
g) c(x) = -2x2 + 8 r(x) = 0
7) a) k = -11
18
b) k = 4
c) k = 9
8) a) 2 es raíz
b) 1 es raíz
c) 0, 1 y -3 son raíces
9) La raíz 2 tiene multiplicidad 3 y la otra raíz es 1.
El polinomio podría escribirse p(x) = (x-2)3(x-1)
10) a) -2 (x-1)(x+2)(x-2)(x-1/2)
b) ¼ (x-1)2(x-2)(x+2)(x+3)
c) x(x-1)(x+1)(x-2)
11)
a) p(x)=-2(x-2)(x+1/2)3(x-4)
b) p(x)=-1/5(x-3/2)(x+5)(x2+4)
c) p(x)=x/4(x-2)2(x+1)
d) p(x)=x/4 (x+2)(x-1)3
12) a) p(x) = 2(x-1/2)(x+2)(x-3)
b) p(x) = (x-2)(x+3)(x2+x+1)
c) p(x) = 4 (x+1)(x-1/2)2
d) p(x) = 3(x-2)(x+2)(x+1/3)
e) p(x) = 3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x+2/3)
f) p(x) = (x-1/3)(3x2 + 3x + 3)
19
13) a) x2 + 2x + 1 = (x+1)2
b) (2x)2 – 4x + 1 = (2x-1)2
c) x4 – 6x2 + 9 = (x2 – 3)2
d) 22 12122 xxx
14) a) (x+1)2 + 4
b) 3(x-2)2 -10
c) (3x + 2)2 – 5
15) a) 13 – (x+2)2
b) 5/4 – (2x – ½)2
c) 14 – (x+3)2
16) a) (x + 1)3
b) (x - 2)3
c) (2x – 1)3
d) (x + 2/3)3
Hay que corregir el signo en el cuadernillo para que quede: x3+2x2+4/3x+8/27
17) a) (x-3)(x+3)
b) (4-x)(4+x)
c) (x2-5)(x2+5)
d) (5-2x)(5+2x)
e) (3x-1/2)(3x+1/2)
f) (
20
Unidad 5 bis – Expresiones algebraicas fraccionarias
Ejercicios resueltos/Resultados. Gentileza: Martina Lazzaro
ACTIVIDAD 1
a) ; si x≠3
b) x ; si x≠-1
c) ; si x≠7; x≠0
d) ; si x≠-2
ACTIVIDAD 2
a)
b)
15
69
xx
x; si x≠-5; x≠-2
c)
ACTIVIDAD 3
a) ; si x≠2
b) ; si x≠-1
21
ACTIVIDAD 4
1.
a) ; si x≠-3 y x≠-2
b) ; si x≠3
c) ; si x≠3
2.
a) ; si≠-3, x≠2, x≠-2
b) ; si x≠-1, x≠-2
c) 1 ; si x≠1, x≠-4
ACTIVIDAD 5
a) ; si x≠-2 y x≠3
b) -1 ; si x≠2 y x≠-2
c) ; si x≠2
d) ; si x≠1
22
ACTIVIDAD 6
a)
b) ; si x≠-1
c) ; si x≠-2
d) ; si x≠-3
e)
f) ; si x≠-1/2 y x≠1/2
g) ; si x≠0 y x≠1
23
UNIDAD N° 6 – Trigonometría
Ejercicios resueltos/resultados. Gentileza: Guillermo Tocchetti y Lucía Caraballo
1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3)
a)
2)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
26
4) a) cuadrante IV
b) cuadrante III
c) cuadrante I
5)
Ángulos complementarios:
Ángulos suplementarios:
6)a)
4
132
4
2
4
32
2
1
2
2
2
3
2
2
6sin
4cos
6cos
4sin
64sin
b)
4
132
4
2
4
32
2
1
2
2
2
3
2
2
6sin
4sin
6cos
4cos
64cos
c)
3
2
13
13
2
3
2
1
2
4
132
4
132
6cos
6sin
2
12cos
12sin
22
d)
e)
d) cuadrante I
e) cuadrante II
f) cuadrante IV
27
f)
g)
h)
i)
j)
22sin
sin4
sincos4
cos
sin4
coscos4
sin
4
52sin
4cos
4sin
4
5cos
4
5sin2
4
3tan
2111
2
2
2
2
1100
02
2)1(
2
2
02
2)1(
2
2
2sin2cos
2cos2sin
sin4
sincos4
cos
sin4
coscos4
sin
6 bis)
a) 0,718 b) 0,330 c) 0,017 d) 0,017 e) 0 f) 0,983 g) 0 h) 1 i) -0,707 j) 1 k) 0 l) 1 m) No existe n) 0 o) 0,866
7)
a) 0,5
b) 0,707
c) -1
d) 0,916 e) -0,583 f) 0,5 g) -0,986 h) 0,021 i) 0,035 j) 0 k) 0 l) 0
28
8)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
El ángulo pertenece al cuarto cuadrante, ya que:
El ángulo pertenece al primer cuadrante, ya que:
29
El ángulo pertenece al primer cuadrante, ya que:
El ángulo pertenece al segundo cuadrante, ya que:
Finalmente, el ángulo mide 90° ya que los dos ángulos individuales son del primer
cuadrante y se obtiene:
9)
a)
b)
No se cumple ya que:
c)
d)
e)