Matematica musica y concertismo

7/28/2019 Matematica musica y concertismo

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EMILIO LLUIS

MSICA,

MATEMTICA

Y CONCERTISMO


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Msica:la Matemtica de lo

sensible,

Matemtica:la Msica delentendimiento

y

Concertismo: la expresinde ambas.

Emilio Lluis-PueblaUniversidad Nacional Autnoma de Mxico


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ndice GeneralPrefacio 6

Captulo I.El Arte Musical y el Arte Matemtico 12

Captulo II.Msicos y matemticos 46

Captulo III.Msica y Matemtica en el pasado 70

Captulo IV.Msica y Matemtica en el presente 90

Captulo V.Arte y negocio del Arte 114

Apndice I.K-Teora Algebraica 138

Apndice II.Teora de Topos 146

Apndice III. Bach y Fractales 148

Bibliografa y referencias 156

El autor 162


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PREFACIO

Este libro est dedicado a toda persona que desee obtener unconcepto ms aproximado acerca de la Matemtica, laMsica, el Concertismo y los practicantes de ellas. Tambintiene como propsito el de servir como motivacin yorientacin vocacional a los jvenes deseosos de dedicarse auna de las aventuras ms formidables del Ser Humano, laMatemtica, la Msica y el Concertismo. Este libro no es ni

de Matemtica ni de Msica, pero es acerca de la Matemticay de la Msica y de quienes las practican. Siempre es muyinteresante que no solamente practiquemos una actividad sinotambin que escribamos sobre ella, conozcamos cmo es sudesarrollo, su papel en la historia, en la sociedad y desdeluego, cmo son quienes la practican.

Muchas personas, colegas msicos y matemticos,estudiantes y en especial mis propios alumnos, me hansolicitado que escriba acerca de la Matemtica y losmatemticos, acerca de la Msica y los msicos.

Correspondo a esta peticin esperando que esta informacinayude a comprender a la Matemtica y la Msica y a losmatemticos y msicos.

Algunas de las ideas expresadas en este texto son mas yotras provienen de las fuentes mencionadas en la bibliografa.En particular, he tomado muchas del gran matemticoMichael Atiyah. Desde mis aos de estudio profesional y deposgrado he ledo sus artculos de divulgacin, las entrevistasque le han realizado, escuchado sus conferencias, estudiadosus textos y artculos de investigacin, en particular los de K-

Teora. Sin duda es, no solamente uno de los ms destacadosmatemticos de la segunda mitad del siglo XX, sino tambin


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uno de los pensadores ms acertados acerca de la Matemticamisma y por esto deseo transmitirles un poco de supensamiento y visin de esta disciplina las cuales comparto.

El lector encontrar muchos momentos en que se habla enprimera persona y otros en que no. As lo he querido hacer,pues me parece que de este modo le hablo al lectordirectamente. De los pensamientos expuestos en el texto, loque ms me interesa es crear un camino de pensamiento quenos ayude a dilucidar diversos asuntos fundamentales delquehacer del concertista y del matemtico. Es decir, junto yconecto varios pensamientos que conozco o que he creadopara hacer este texto.

En el Captulo I presentamos lo concerniente al Arte, a lasBellas Artes y a los artistas. Proponemos as distinguir entrelo que es una arte bella y lo que no lo es y por ende quin esun artista y quien no lo es. Esto lo realizamos haciendocomparaciones con otras de las Bellas Artes tratando de queel lector encuentre por s mismo de manera clara losconceptos expresados.

En el Captulo II se describe el quehacer de los msicosintrpretes y de los matemticos: por qu se requieren losintrpretes? cul es la importancia de un intrprete? cul esel papel del intrprete en la sociedad? cul es el papel delintrprete en la actualidad? Este captulo es un brevepanorama sobre el desconocido mundo de la Msica y de losmsicos, y de ese misterioso y tambin desconocido mundodel matemtico y de la Matemtica. Cules son las fuentesde creacin?, cunta Matemtica hay?, cmo se origina unateora matemtica?, qu significa la palabra matemtica?,cmo es un matemtico?, quienes ingresan a una carrera dematemtica y qu los motiva?, qu es la Matemtica


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Aplicada? cmo ven a la Matemtica y a los matemticosotros profesionistas? stas son algunas de las preguntas, entremuchas otras, a las cuales se da respuesta. Tambin se escribeacerca de la Matemtica, sus caractersticas, la investigaciny progreso en ella. Como ejemplo del surgimiento de unateora matemtica se presenta la K-Teora Algebraica en elApndice I quizs para un lector que desea profundizar unpoco acerca de esta rama de la Matemtica. Tambin, comomatemtica aplicada se hace lo correspondiente con la TeoraMatemtica de la Msica. Finalmente, se exponenpensamientos acerca de la Computacin y su relacin con laMatemtica.

En el Captulo III presentamos la Msica y la Matemtica enel pasado, se expone el Juego de Dados Musical de MozartK.294c y se analizan matemticamente algunas de suscaractersticas. Tambin se expone la Teora de la Esttica deGeorge David Birkhoff y su aplicacin a la Msica enparticular. Las sucesiones de Fibonacci, la razn urea oproporcin divina se presentan, as como su aplicacin en lamsica de Bela Bartk. Tambin se hace otra reflexin acercadel momento histrico que nos ha tocado vivir en relacincon stas dos disciplinas y sus practicantes.

En el Captulo IV se exponen algunos conceptos de la Msicay la Matemtica en el presente. Actualmente es perceptibleque en las ltimas dos dcadas del siglo pasado (y hasta lafecha) hubo una gran tendencia en la Matemtica de realizarno slo aplicaciones sino hacer Matemtica en una granvariedad de campos del conocimiento, y el campo de laMsica no ha sido la excepcin. Uno de los propsitos de laTeora Matemtica de la Msica es la de establecer un marcoconceptual estable, definiendo los conceptos en una formaprecisa. Se expone el acercamiento de Mazzola para muchos


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problemas musicales el cual est basado en la Teora deTopos misma que se esboza en el Apndice II. Se introduceel concepto de Denotador el cual permite describir los objetosmusicales y se mencionan las ideas detrs del mismo. Seconcluye que estamos actualmente viviendo un cambio tanradical en la Musicologa como el que se experiment en laFsica hace 500 aos. Tambin se expone la parte msfascinante de la Teora Matemtica de la Msica: la Teora deInterpretacin Musical. Presentamos un muy conciso esbozode la misma para un dejarle al lector un poco de sabor acercade la Interpretacin.

En el Apndice III se presenta un artculo de la Dra. Flor deMara Aceff (matemtica y cellista no profesional) sobre elconjunto de Cantor en la Tercera Suite para cello solo deBach. Aunque en el siglo XVIII, todava no exista elconjunto de Cantor ni el concepto de fractal, stos ya existanen la naturaleza. Como los creadores, en particular losmsicos, plasman en su obra tanto la naturaleza queobservan, as como su poca. Johann Sebastian Bach es talvez uno de los mejores ejemplos donde podemos observarque en su mente ya existan las estructuras de los conjuntosde Cantor, as como la idea generadora de los fractales y laspuso en prctica en varias de sus obras.

Hasta hace algunos aos se consideraba que los conjuntos deCantor eran una creacin puramente matemtica, que estabantotalmente alejados de la naturaleza y del arte, sin embargoahora se sabe del comportamiento de algunos fenmenosnaturales que presentan una estructura similar y en el caso delarte tenemos este bello ejemplo que nos regal JohannSebastian Bach en su Tercera Suite para violoncello solo, lacual fue compuesta en la segunda dcada del siglo XVIII.


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En el Captulo V presentamos un ensayo sobre el Arte y elnegocio del Arte. Aqu establecemos que una cosa es el arte,y otra, muy diferente, es el negocio del arte. Se habla delxito, de la comercializacin enorme del arte, de lasaudiciones masivas, del mercado de trabajo del concertista anivel mundial, del oyente, etc.

Tambin se expone el porqu de un gran artista: ClaudioArrau. El trabajo del concertista en Mxico: la demanda, laoferta, los pianistas. Se analiza lo peor de dos sistemas, sehace un ejercicio de la sala de conciertos. Se habla de lasescuelas de msica, las academias de msica particulares, ydel futuro del trabajo del concertista en Mxico y en elmundo. Se comenta acerca de la organizacin de conciertos,y finalmente se establece la relacin ms importante entre laMsica y la Matemtica.


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CAPTULO I

El Arte Musical yel Arte Matemtico

La palabra arte significa el conjunto de reglas oprocedimientos para hacer algo. El aplicar el conjunto de

reglas a menudo se llama tcnica. As, existe el arte culinario,el arte de la Tauromaquia, el arte decorativo, el arte egipcio,el arte romano, el arte barroco, las artes utilitarias, las artesliberales o bellas artes, el arte potico, el arte musical, el artematemtico, etc.

Tambin, la palabra arte designa lo creado por los sereshumanos. El sonido emitido por un ave no se considera arte.Existen innumerables teoras del arte.

Tambin, aunque algunos dicen que es incorrecto, la palabra

arte se ha usado para designar el objeto producido por latcnica, por ejemplo, una sonata, una escultura, una pintura oun poema.

Tambin se usa la palabra arte para designar un arte que escreativo o alguna de las Bellas Artes, que son las que tienenpor finalidad expresar la belleza. Histricamente lasprincipales Bellas Artes son: Arquitectura, Danza, Escultura,Msica, Pintura y Poesa (Literatura) segn la clasificacinusada en la antigua Grecia. Artista es el que ejerce una bellaarte.


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Hay un trmino que se usa en ingls, art music, paradesignar el tipo de msica que requiere de un esfuerzo porparte del oyente para poder apreciarla. En espaol no existede forma usual el trmino msica de arte, ni tampoco,msica con valor artstico o msica erudita, pero s seusa el trmino msica clsica o msica seria. En este tipode msica se entiende que tiene una estructura, una forma, seestablece por escrito, se compone sin algn fin utilitario, etc.

Hay varios tipos o clases de msica: la msica popular ocomercial, la msica folclrica, la msica de jazz, la msicade arte, (o msica con valor artstico, o msica artstica, omsica seria, o msica clsica, o msica erudita, etc.). Esdecir, hay muchos tipos de msica, todos reales, existentes ycumplen una razn de ser en este planeta.

Se puede hacer un smil con la Literatura. Por ejemplo, existela literatura de arte, la literatura popular o comercial, laliteratura que proviene de la tradicin oral, la cual a menudose llega a escribir, etc.

De igual manera se puede hacer un smil con la Pintura. Porejemplo, existe la pintura de arte, la pintura popular ocomercial, la pintura rupestre, etc. El mismo smil se puedehacer con el Cine, el Teatro, etc.

Hay que tener en cuenta que la Msica es una actividadexclusivamente humana, terrcola, destinada a escucharse poruno de los sentidos, el auditivo, en una capa de la atmsferaterrestre muy pequea, la troposfera. Es decir, el sonido esesencialmente vibraciones de una parte de la capaatmosfrica.


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Es muy pretencioso decir que es un lenguaje del universo, ouniversal como frecuentemente se dice. Hay msica de arteque no est creada para comunicar, puede simplemente estarcreada por el placer de escuchar o jugar con los sonidos.Actualmente, la msica de arte existe por s misma. Lamsica utilitaria es parte de alguna actividad, ya sea la danza,la religin, el baile, la relajacin, etc.

La msica no es la nica actividad humana que emplea elsonido, el lenguaje tambin usa el sonido como medio detransmisin. Sin embargo, el lenguaje trata de transmitirconceptos especficos y la msica no necesariamente. Lamsica puede expresar emociones o ideas especficas, pero lohace mediante asociaciones.

El sonido es el medio de transmisin de la msica y consisteen vibraciones del aire. Este ltimo es un gas, cuyasmolculas y tomos no estn tan juntos como en un slido olquido. Las ondas del sonido se clasifican comolongitudinales. Tienen cuatro propiedades: la amplitud o eltamao de la vibracin o lo fuerte que se oye; la nota o alturaque podemos de manera provisional considerar como lafrecuencia de vibracin; el timbre que corresponde a la formadel espectro del sonido y la duracin, que es el tiempo quedura un sonido.

La Forma es la disposicin, estructura o arreglo de loselementos musicales bsicos.

La msica de algunas regiones del planeta requiere deentrenamiento especial para entenderla si es que starepresenta lenguajes. Por ejemplo, las tribus brasileas oafricanas.


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Recordemos que decimos expresiones como ya lo veo o loveo claro para decir que uno entiende algo. As, desde laantigedad, la Msica era considerada un arte menorcomparada con las artes visuales. Se deca que la msicasolamente exista durante la interpretacin en vivo y por lotanto pasaba a ser un arte teatral o escnico. La msica nopoda tener valor monetario, a diferencia de una escultura ouna pintura. La msica se dilua en el aire, era invisible y portanto, decan que era mstica.

Aun cuando en el siglo XI ya se tena alguna notacinmusical, no se poda guardar o grabar. Las partituras no setomaban con el valor que hoy tienen, simplemente eranobjetos de uso y se desechaban. Si alguna sobreviva, erautilizada para adecuarla al momento. En la Msica no huboun Renacimiento como en las otras artes pues no se preservprcticamente ninguna partitura ni grabacin de lo que sehaca en otras pocas. La Msica sigue un proceso evolutivodesde el siglo XVI.

La msica est relacionada con lo mgico, hablamos de lamagia de la Msica. De hecho, la palabra canto apareceen encantar y algunos, como no se puede ver, la relacionancon el alma, con la metafsica o con cualquier cosa que nopueda entenderse por el pensamiento racional. As se leasocia por los filsofos a cuanta idea se les ocurra, el bien, elmal, lo etreo, lo paradisiaco, lo noble, lo patritico, lopattico, lo moral, etc.

Tambin, la palabra Msica viene del griego mousike, elarte de la Musa, donde en un principio, la meloda y lapalabra eran inseparables. Un msico era el que tocaba lactara y al mismo tiempo pronunciaba palabras. Una personaque tocaba el aulos o especie de oboe, no lo era. As, la


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msica instrumental, que no utilizaba palabras, era intil paraPlatn pues dentro de la Educacin le era una de las tareasms difciles el descubrir lo que significa un ritmo y unameloda que no tena palabras, es decir, la msica eraexclusivamente utilitaria para Platn.

Sin embargo, la msica sin palabras era dejada para lasdanzas orgisticas y los ritos dionisacos. Esta crtica delaulos hace ver con nfasis la importancia que realmentetena la msica en el mundo griego. Era tambin utilizadapara el placer.

Sin embargo, el verdadero arte musical nace cuando lamsica se crea por ella misma, no con una funcin utilitaria.En la msica sin palabras interviene algo importantsimo. Lamsica como actividad que proporciona placer yrecordemos que el poder del placer es el ms grande quemueve al ser humano.

En la poca medieval, la Msica era considerada como laparte audible de la Teora de los Nmeros. La polifona es laque distingue a la msica occidental de las otras.Exceptuando al canto gregoriano, casi toda la msica de artehaba sido polifnica. As, nace uno de los elementosplacenteros ms poderosos dados por los intervalosarmnicos en lugar de solamente una lnea meldica quesube o baja.

La historia de la msica a veces se divide en dos periodos.Uno que va desde el Canto Gregoriano hasta el siglo XVI y elotro, del siglo XVI al XX. El primer periodo se basaprincipalmente en la voz y el segundo en los instrumentosmusicales.


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Desde 1450 hasta 1580, la polifona vocal fue reemplazadapor los instrumentos. Las formas musicales ricercare,canzona y danzas renacentistas, entre otras, dieron lugar ala fuga, la sonata y la sinfona. En estas ltimas haba uncantus firmi, sobre el cual se acostumbraba crearvariaciones o improvisar melodas.

Haba cuatro bases usadas comnmente: el passamezzoantico, la fola, la romanesca y el passamezzomoderno. La fola se convirti en la base de muchasvariaciones del siglo XVII y el passamezzo moderno poseebases armnicas iguales a las del blues. Este es un ejemplode cmo la msica funcional o utilitaria para la danza seconvierte en un medio intelectual donde ya no se crea parabailar, sino que se crea para y por la msica misma, siendosta capaz de proporcionar placer si el oyente lo desea.

Despus, la msica polifnica se transform (debido a variosfactores, entre otros la reforma protestante, la contrarreformacatlica, la invencin de la imprenta, el desarrollotecnolgico, y el surgimiento del mercantilismo musical) enla msica monofnica. La revolucin de Lutero y Calvino vioa la msica como valiosa. Los himnos cantados tenan subendicin. Deban ser simples, melodiosos, fciles derecordar y cantar.

La msica pas a la armona dejando atrs la polifona. Sehizo popular en el sentido de que haba un mayor nmerode personas que podan tener tiempo para disfrutarla (comolos nobles), dinero para comprarla, lean textos para cantar ocomponer, adems de que se hizo de ella una gracia social.

El primer concierto pblico (una pera) con boleto tuvo lugaren Venecia en el ao 1637. Pero solamente hasta mediados


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del siglo dieciocho hubo series de conciertos operticos. Laestrella era la cantante virtuosa quien tena la gloria y laremuneracin por el empresario. Este fue el origen delsistema de estrellas y de la diva y el divismo en laMsica. Aqu cabe mencionar el origen tambin de laactividad del concertista la cual ha prevalecido hasta la fecha,una especie de saltapueblos, es decir, un artista que brincade pueblo en pueblo y de hotel en hotel como lo hacan lascompaas de pera o los circos. Si uno lo analiza, es unaactividad verdaderamente absurda, pero al explotar lacuriosidad del asistente, la cual es el gancho, la gente asiste ala funcin. Porqu iban de pueblo en pueblo? Pues porquese satisfaca la curiosidad del asistente local y se saturaba elmercado. Cuando un porcentaje de los habitantes habaasistido a la funcin y no iba a volver, bajaban las gananciasy por lo tanto era menester mudarse a otro pueblo.

Prevalecieron dos tipos de pera: la seria y la cmica. Estaltima dependa ms de tonaditas que de lneas meldicasinstrumentales. Se sala con la suya medianteornamentaciones excesivas y acompaamientos polifnicos.stas no eran decisiones estticas, ms bien eran el productoque se obtuvo al simplificar a formas vulgares el teatromusical y que fueron y siguen siendo parte de todo festival yferia.

En el siglo XIX, las aspiraciones de la clase media quecareca de una tradicin de gusto pero que deseaba el goceinmediato de la msica llevaron a la comercializacin ydegradacin de los estndares musicales. As comenz elabismo entre el compositor y la masa del pblico. Llamadospor el rpido xito financiero, compositores con menosprincipios, intrpretes y promotores de pera de concierto eimpresores de msica cedieron a los bajos instintos y


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deseos de dicha audiencia. El resultado fue la creacin de lamsica popular o comercial, la cual no era folclrica niformal (o seria, meditada, importante, de peso o de arte)dirigida y vendida a una gran masa. Esencialmente era unproducto sinttico, desechable, basado fundamentalmente endanzas sociales que combinaban ritmos y melodas simplesde la msica folclrica con armonas y orquestacin bajadasde la msica seria.

Hagamos un smil con la Literatura o el Teatro. Podramosrepetir lo que se acaba de escribir como sigue:

En algn momento, no sabemos en qu siglo, las aspiracionesde la clase media que careca de una tradicin de gusto peroque deseaba el goce inmediato de la literatura llevaron a lacomercializacin y degradacin de los estndares literarios.As comenz el abismo entre el escritor y la masa de pblico.Llamados por el rpido xito financiero, escritores con menosprincipios, actores, promotores y editores de libros cedieron alos bajos instintos y deseos de la masa. El resultado fue lacreacin de la literatura popular o comercial, la cual noera de tradicin oral ni formal (o seria, meditada, importante,de peso o de arte) dirigida y vendida a una gran masa.Esencialmente era un producto sinttico, desechable, basadofundamentalmente en temas que combinaban argumentostriviales o simples de la vida mundana con estructuras yformas bajadas de la literatura seria.

Es as que hay literatura de arte, literatura popular ocomercial, literatura que proviene de la tradicin oral, la cuala menudo se llega a escribir, etc. Pero, es claro que, porejemplo, la literatura popular o comercial no es consideradadentro de las Bellas Artes. Tambin, como se mencionanteriormente, artista es la persona que se dedica a una de


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las Bellas Artes. Por ende, un escritor que se dedique a unode los gneros comerciales no es considerado artista.

Lo mismo sucede en la msica. Aunque la gran mayora depersonas no lo sabe, y en muchos lugares, donde no hay nisiquiera un concierto al ao ofrecido por un artista, se cree yles hacen creer a las personas que quienes hacen msicacomercial son artistas.

Recordemos que el poder del placer es el ms grande quemueve al ser humano. Tan lo mueve, que existe una granvariedad de actividades como la tauromaquia, la lucha libre,el bisbol, el ftbol, el teatro de revista, el teibol dans, losantros, la pelea de perros, la pelea de gallos, la pera, el cinecomercial, el cine de arte, la literatura pornogrfica, etc. todasellas proporcionndole placer. Cada quien decide a cual o acuales actividades acceder para obtener placer dependiendode sus gustos personales, patologa, antecedentes culturales,econmicos, etc. Desde luego que la msica es una actividadque puede proporcionar placer.

Con respecto a la literatura, es claro que quien estacostumbrado a leer a los grandes escritores, difcilmente losescritores de gneros bajos le proporcionarn placer alguno,aunque esto no es una regla. Quizs le proporcionarn unmalestar debido a su nula calidad artstica. Sin embargo, esosescritores son reales, existen y cumplen una razn de ser eneste planeta. Llenan un hueco y satisfacen una demanda delos lectores de ese tipo de literatura. Lo mismo sucede conrespecto a la msica.

Un hecho obvio, pero que, por lo mismo, pasa sin serdetectado por la mayora de la gente: la calidad C esinversamente proporcional a la masa M, es decir, si una obra


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tiene ms calidad, habr menos personas que lo puedanapreciar. As, quienes buscan un mayor ingreso econmico,requerirn de llegarle a la masa con temas triviales (sinhacer nada con los temas, es decir, temas que hasta los simioslo comprendan sin el menor esfuerzo).

Esto se puede expresar con la frmula:C1/M

o tambinC1/E

donde E representa el ingreso econmico.

Los supuestos artistas deben ser famosos, es decir, que elmayor nmero de personas los reconozcan para poder venderms actuaciones o discos, etc. Los temas de lo que presentan,deben repetirse hasta la saciedad por los distintos mediospara que nadie se escape de escucharlos, (en la radio, latelevisin, los centros comerciales, etc.). Todo es parte deuna gran mercadotecnia para obtener dinero de la gente (amenudo hacindoles creer que eso es arte). Esta es lamanera en que los supuestos artistas son hechos millonariospor esa gran masa de consumidores de sus productoscomerciales desechables.

Una de las diferencias entre la Matemtica y la Msica, porejemplo, es que la Matemtica no cuenta con un instrumentodonde tocarse.

El piano es un instrumento para la Msica y el oyente laescucha por medio del sentido auditivo, el cual es capaz, si lodesea, de disfrutar, apreciar, etc. los sonidos emitidos en unasecuencia dada. Por otro lado, el oyente de Matemtica, si eslego, no podr apreciarla ni disfrutarla a pesar de que sta seaofrecida en su propio idioma.


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Aqu hay una diferencia importante. Mientras el oyente demsica puede ser totalmente ignorante de la estructuramusical, as como de sus aspectos tcnicos, etc., puede sentira travs de sus sentidos alguna emocin o placer esttico,mientras que el espectador lego en matemtica noexperimentar absolutamente ningn placer esttico. LaMatemtica se transmite directamente de cerebro a cerebro odirectamente de una "partitura" de matemtica al cerebro. Sinembargo, para el oyente preparado en matemtica elexperimentar placer esttico puede darse.

La Matemtica existe desde que existe el ser humano.Prcticamente todo ser humano es un matemtico en algnsentido. Desde los que utilizan la Matemtica hasta los que lacrean. Tambin todos son hasta cierto punto filsofos de laMatemtica. Efectivamente, todos los que miden, reconocenpersonas o cosas, cuentan o dicen que "tan claro como quedos y dos son cuatro" son matemticos o filsofos de laMatemtica.

Sin embargo, hay un nmero muy reducido de personas quese dedican a crear, ensear, cultivar o divulgar la Matemtica.Es muy comn la creencia de que un matemtico es unapersona que se dedica a realizar enormes sumas de nmerosnaturales durante todos los das. Tambin la gente supone queun matemtico sabe sumar y multiplicar los nmerosnaturales muy rpidamente. Si pensamos un poco acerca deeste concepto que la mayora de la gente tiene podramosconcluir que no se requieren matemticos ya que unacalculadora de bolsillo realiza este trabajo. Tambin, cuandouno les pregunta que cul es la diferencia entre unmatemtico y un contador, no la saben. Los matemticos noson los que calculan o hacen cuentas sino los que inventan


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cmo calcular o hacer cuentas. Hacer Matemtica esimaginar, crear, razonar.

A pesar de que la Matemtica es la ms simple de lasdisciplinas sistemticas que el ser humano ha creado, pues seconcentra en conceptos abstractos nada comparables a lacomplejidad de los seres humanos, a muchas personas no lesgusta la Matemtica. Generalmente dicen que porque no laentienden. En su mayora se refieren a lo que se ensea en laescuela primaria o secundaria. Una razn de esto es que sonpersonas que nunca estudiaron constantemente y deseabanentender algn concepto sin antes haber entendido losanteriores. Tambin es comn entre estas personas el estudiarsolamente para pasar algn examen y, de preferencia,solamente la noche anterior al examen. Se jactan de quenunca entendieron nada y de que nunca las han utilizado paranada. Dicen que son horribles y que nunca han podido hacercuentas. Otra razn muy frecuente es la tradicin familiar, enla cual algn pap o mam comenta a sus hijos que ellosnunca pudieron entender nada, de que son muy difciles y deque son horribles. Si esto es lo que le parece a pap o mamya podemos suponer qu pensarn o sentirn sus hijitos.

Poincar se preguntaba cmo es posible que haya personasque no entienden matemtica si stas estn basadas en leyesde la lgica aceptadas por el comn de las personas. Pero elproblema no es ste, sino que no se puede entender bien elargumento de una obra si no se ha visto desde el principio.

Las definiciones de la Matemtica de los diccionarios, loscuales no son muy consultados por la mayora de la gente, noayudan a elucidar qu es la Matemtica. Por ejemplo eldiccionario de la Real Academia Espaola dice que laMatemtica es la ciencia que trata de la cantidad. Otro dice


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que es una ciencia que trata de las cantidades, magnitudes,formas y sus relaciones por medio de nmeros y smbolos.

En otros diccionarios se describe a la Matemtica como la

ciencia del espacio y de la cantidad, las cuales en su

expresin ms simple se llaman Geometra y Aritmtica.

Arrigo Coen Anita y Emilio Lluis Puebla

Segn me coment mi querido amigo Arrigo Coen, mathema

significa erudicin, manthnein el infinitivo de aprender, el

radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, eslo relativo al aprendizaje. As que en sentido implcito,

Matemtica significa: lo digno de ser aprendido.

No existe una definicin de lo que es la Matemtica. Sin

embargo, se dice que es una coleccin de ideas y tcnicas

para resolver problemas que provienen de cualquierdisciplina incluyendo la Matemtica misma.


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Se dice Matemtica o Matemticas? Esta ltimadenominacin obedece a circunstancias histricas. En la EdadMedia la clasificacin en ramas estaba dada por la deAritmtica, Msica, Geometra y Astronoma, queconstituyeron el Cuadrivium. A stas se les agregaron otrasms, como el lgebra y posteriormente la Teora deNmeros. Sin embargo, desde la primera mitad del sigloXIX, debido al progreso en diversas ramas se le dio unidad ala Ciencia Matemtica y justificaron el nombre en singular.

Trescientos aos antes de Cristo, Euclides estableci losfundamentos de la Geometra. Su libro es el segundo mstraducido y copiado despus de la Biblia y todava se enseaen nuestras escuelas primarias. Pero la importancia mayor delos Elementos de Euclides radica en que los present comoun sistema deductivo. Present unas ideas elementalesevidentes, las cuales se pueden combinar a travs demanipulaciones lgicas para dar resultados cada vez mscomplejos. El proceso deductivo se conoce con el nombre dedemostracin. As que la Geometra Euclidiana es el primermodelo formal de un sistema deductivo, el cual se haconvertido en un modelo a seguir. La Geometra se convirtiy sigue utilizndose como un modelo de entrenamiento parael razonamiento lgico en los nios (desgraciadamente nobien enseado y mucho menos bien aprendido por parte delos estudiantes).

En cuanto a la Aritmtica, el aspecto deductivo de sta,realmente tuvo impacto en el siglo XIX, cuando se dieroncuenta que lo importante no eran los nmeros de por s, sinolas operaciones binarias definidas en conjuntos, as como susestructuras.


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La Matemtica existe en la mente de los seres humanos,despus existe en los libros, en videos o en las memorias delas computadoras.

La Matemtica posee una enorme aplicabilidad y constituyeun lenguaje y marco indispensable para todas las ciencias.Esta es la razn por la cual no solamente unos cuantosindividuos dedican su vida a ella sino que es materia deestudio en el sistema educativo y parte de la escena social.

La investigacin matemtica es la disciplina cientfica msalejada del hombre de la calle quien no posee absolutamenteninguna idea acerca de ella. Generalmente identifica a laMatemtica con las ideas que difcilmente pudo absorberamenudo sin xito en la escuela primaria o secundaria. LaMatemtica o lo que cree que es, le parece fra y cruda, sinvida (incluso habla de la frialdad de los nmeros).Difcilmente se imagina que la Matemtica fue creada en elpasado y sigue crendose en el presente por algunos sereshumanos. Le es muy difcil de comprender el hecho de quesea una disciplina intelectual abstracta y de que posea unaexistencia independiente y floreciente. Una manera deestablecer un contacto con ella es a travs de libros como esteo tambin a travs de conocer y escuchar matemticos quetrabajen en las distintas disciplinas de la Ciencia que utilizanMatemtica. Cul es la naturaleza y propsito de la Matemtica y de laCiencia? La respuesta usual es la de que el ser humanointenta comprender o entender el mundo fsico yeventualmente controlarlo. Pero qu significa comprender oentender.


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Sir Michael Atiyah

El gran matemtico ingls Michael Atiyah duda queentendamos la demostracin del teorema de los 4 colores. Las

demostraciones por computadora alteran el concepto dedemostracin publicada. Lo que sucede es que existe unadiferencia fundamental entre un experimento diseado paraencontrar hechos acerca del mundo natural y clculos decomputadora que conciernen con un problema puramentematemtico propuesto por el hombre. Uno es externo y elotro es interno.

Una de las caractersticas ms importantes de la Matemticaes su arquitectura o diseo global, esto es, la forma elegante yprofunda como las ideas abstractas estn colocadas. La piedra

angular de la buena matemtica es la economa y simplicidaddel pensamiento. Aunque uno de sus objetivos es el de


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proporcionar soluciones explcitas, a veces de carcternumrico, los desarrollos tericos evolucionan esencialmentepara evitar largos clculos. Ese ahorro o flojera conduce aencontrar ideas o mtodos alternativos para ese fin. Lascomputadoras carecen de ellos. Estas ideas o mtodos son losnecesarios para avanzar un poco.

Dicho de otra manera, dice Atiyah, la Matemtica es una(bella, digo yo) arte que evita la fuerza bruta, mediante eldesarrollo de conceptos y tcnicas que nos permiten ligereza.Se dice que si las computadoras hubieran existido en el sigloXV, la Matemtica actual sera una mala imitacin de smisma. El peligro real es el de dejar la Matemtica a lascomputadoras. Las debemos de tener simplemente comoauxiliares.

Las industrias tradicionales han declinado y las relacionadascon el cmputo han crecido. Esto hace que los empleos estnligados a las computadoras. Este tipo de empleos alteran lasactitudes y expectativas de las generaciones jvenes. LaMatemtica est ligada a esto y a las escuelas, universidades,maestros y alumnos. El peligro para la Matemtica est enque los nuevos grandes talentos se encaminen a lacomputacin en lugar de a la Matemtica. Pero esto puedeque no suceda. Los verdaderos matemticos estn motivadospor la belleza y poder de la Matemtica y no por el dinero.Para aquellos que creen que la computadora puede realizartodo el trabajo oprimiendo un botn, hay que decirles quetienen todava que ensear a los nios a pensar cul botnoprimir.


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Isaac Newton (1643-1727) y Henri Poincar (1854-1912)

Qu ha sucedido en la Matemtica en los siglos anteriores?Atiyah menciona que los siglos XVIII y XIX podrallamrseles los de la Matemtica Clsica. Al final del sigloXIX Poincar y Hilbert eran las figuras dominantes, podranconsiderarse discpulos de Newton y Leibniz,respectivamente.

Poincar pensaba ms en trminos geomtricos o topolgicosy Hilbert ms en el lado del formalismo y axiomatizacin.Poincar, quien realiz trabajo pionero en la Topologapredijo que sta sera un ingrediente importante de laMatemtica del siglo XX (algunos dicen que si se tuviera quenombrar de alguna manera al siglo XX sera como el siglo dela Topologa). Mientras, Hilbert propuso su famosa lista deproblemas los cuales no contenan los topolgicos y no pudopredecir, segn Atiyah, el alcance de la Topologa en el sigloXX.


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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) y David Hilbert (1862-1943)

La primera mitad del siglo XX la denomina la era de laespecializacin, donde la formalizacin tipo Hilbert yBourbaki tiene lugar. La segunda mitad del siglo XX ladenomina la era de la unificacin, donde las reas se

traslapan y las tcnicas se implementan entre ellas. Para elsiglo XXI Atiyah propone llamarlo el siglo de la matemticacuntica o de la dimensin infinita, entendiendo por esto elentender adecuadamente el anlisis, la geometra, latopologa y el lgebra de varios espacios de funciones nolineales de tal manera que se obtengan demostracionesrigurosas de cosas hermosas que han estado especulando losfsicos entre otras importantes (como la GeometraDiferencial No Conmutativa de Alain Connes).

La Matemtica posee varias caractersticas que la hacen

diferir de otras disciplinas.


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La primera: es muy difcil describir o definir su materia deestudio. Es claro cul es la materia de estudio de algunasreas de la Astronoma o de la Biologa pero no de la K-Teora Algebraica. Esto se debe fundamentalmente a que losobjetos de estudio son conceptos definidos de maneraabstracta, los cuales a menudo van encadenados a otrosconceptos previamente definidos. Su descripcin se reduce adefiniciones formales que requieren de conexionesneuronales, las cuales requieren de cierto tiempo pararealizarse. Esto, aunado a una madurez matemtica oentrenamiento matemtico le permite al ser humano asimilaruna buena cantidad de ideas abstractas. Por ejemplo, trateusted de explicarle a su sobrinita preguntona qu es laadicin, o de qu se trata la Geometra Analtica, o qu es unanillo. Requerir, despus de muchas explicacionesintuitivas, establecer definiciones formales y tiempo, muchotiempo.

La segunda caracterstica es que posee una lgica perfecta.

La Matemtica de Euclides es tan vlida hoy como en lapoca de Euclides. Esto contrasta con otras teoras, como lade la tierra plana, la del flogisto o la del ter.

La tercera es lo conclusivo de la Matemtica, esto es, lasdiferentes disciplinas toman conclusiones con base en lasmanipulaciones matemticas.

La cuarta es su independencia, esto es, no requiere de equiposcostosos a diferencia de las ciencias experimentales. Basta aveces lpiz y papel, o ni siquiera esto.

A pesar de los regmenes polticos de toda ndole, laMatemtica contina evolucionando. Es interesante observar


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que sus bibliotecas son menos grandes que las de otrasdisciplinas.

Cunta Matemtica hay? Actualmente la Matemtica estclasificada en 63 reas con alrededor de 5000subclasificaciones. Es poltica de los profesionales de laMatemtica eludir la mayor o menor importancia de un rea ode otra. En la prctica, cada miembro est convencido de laexistencia e importancia de su propia rea sin importar cunsospechoso est de las otras reas y de sus adeptos. Engeneral adoptan el principio de no agresin o de totalindiferencia. As que todos aceptan o toleran la existencia delas otras reas, para algunos superfluas, de la Matemtica. Eldividir la Matemtica en ramas con fronteras rgidas esabsurdo y va contra el espritu de la Matemtica. Laclasificacin tradicional de la Matemtica en lgebra,Anlisis, Geometra, etc., es ahora totalmente obsoleta.

Cmo se origina una teora matemtica? La historia de laMatemtica nos muestra que una teora casi siempre seorigina de los intentos para resolver un problema especfico.

Jean Dieudonn, un gran matemtico francs, establecevarias categoras de problemas para la Matemtica pura.Puede suceder que los esfuerzos para resolver algnproblema no produzcan frutos, teniendo as la categora I, deproblemas muertos al nacer.

Puede ser que el problema sea resuelto pero que los intentospor resolverlo no den lugar a un progreso en cualquier otroproblema teniendo as la categora II, es decir, la establececomo la de problemas sin consecuencia, por ejemplo algunosproblemas que surgen de la combinatoria.


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Otra categora consiste en examinar las tcnicas utilizadaspara resolver un problema, las cuales pueden aplicarse pararesolver otros problemas similares o ms difciles, sinnecesariamente entender el porqu funciona, es decir, lacategora III de problemas que proporcionan un mtodo,como por ejemplo la teora de grupos finitos o la teora denmeros analtica.

La categora IV es la que consiste de problemas quepertenecen a una teora general frtil y activa que revelan laexistencia de estructuras subyacentes insospechadas que noslo iluminan la pregunta original sino que proporcionanmtodos para dilucidar problemas huspedes de otras reas,por ejemplo la Topologa Algebraica o la Teora de grupos deLie.

La categora V que consiste de teoras en decadencia, lascuales no han florecido por varias razones, por ejemplo, unavez que han sido resueltos los problemas de mayorimportancia as como las conexiones con otras ramas la teoraparecera concentrarse en problemas especiales y aislados, yprobablemente muy difciles. Por ejemplo, la teora deinvariantes.

Finalmente se tiene la categora VI la cual consiste de teorasen estado de dilucin, es decir, si se modifica una coleccinde axiomas de una teora exitosa ya sea quitndole oagregndole axiomas sin ninguna razn aparente tratando delograr el xito de la teora original, a menudo resulta en unesfuerzo infructuoso.

Menciona Dieudonn que la mayora de los temas tratadospor el Seminario Bourbaki pertenecen a las categoras IV ycon menos extensin a la III. (El grupo Bourbaki ha escrito y


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contina escribiendo un compendio de la Matemticacomenzando con los conceptos ms generales y concluyendocon los ms particulares desde 1939).

La Matemtica posee fundamentalmente dos fuentes para lacreacin de nueva Matemtica. La Matemtica por s mismaes una y la otra es la demanda que producen de ella otrasciencias y la tecnologa. Un reto sin par en la Matemtica esel de relacionar dos reas de la Matemtica aparentementedesconectadas.

Mucha Matemtica se crea por simple curiosidad. Pero estasimple curiosidad slo la poseen los grandes matemticos.Uno de los problemas ms difciles para un matemticoprincipiante (o no tan principiante) es el de encontrar unproblema. A menudo sucede que casi toda la emocin de lacreacin y penetracin est concentrada en formular lapregunta adecuada. Podra decirse que esto es ms de lamitad del trabajo y a menudo la que requiere de inspiracin.Esta es una gran diferencia con la investigacin en otras reasdel conocimiento y es precisamente por esto el que lainvestigacin matemtica es extremadamente difcil. Larespuesta puede ser tambin difcil, puede requerir muchoingenio, puede utilizar tcnicas conocidas y en el mejor delos casos requiere de la invencin de nuevas tcnicas. Elmatemtico no procede como un detective para encontrar lasolucin de su problema. No es una computadora dededucciones, sino procede mediante experimentacin (que noutiliza tubos de ensayo o equipos costosos), mediante lainduccin y, si hay suerte, inspiracin.

Poincar escribe a principios del siglo XX, que unademostracin matemtica no es una simple yuxtaposicin desilogismos, sino silogismos colocados con cierto orden y que


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el orden en que son colocados es mucho ms importante quelos silogismos por s solos. Comenta que no tiene miedo deque alguno de stos se le olvide pues cada uno de ellostomar su lugar en el arreglo sin el menor esfuerzo. Tambindescribe el proceso de creacin: primero se realiza un trabajoconsciente acerca del problema, despus deja madurar esasideas en el subconsciente, luego aparece la solucin, quizscuando menos se espera, y finalmente sta se escribe.

La actividad en la cual la Matemtica encuentra aplicacionesfuera de su propio campo se llama Matemtica Aplicada. LaMatemtica Aplicada es automticamente multidisciplinaria,e ideal y probablemente debera realizarse por alguien cuyointers primario no es la Matemtica. Sin embargoencontramos que es mucho menos difcil que una personaque adquiere una formacin matemtica se adentre en otrasdisciplinas. Esta es una gran ventaja para los estudiantes yegresados de una licenciatura de Matemtica.

Si la actividad multidisciplinaria es por ejemplo la Fsica, esdifcil saber qu clasificar como Matemtica Aplicada y qucomo Fsica Terica. La aplicacin de la Matemtica en reasdiferentes de ella misma da lugar a cuestiones de otra ndole.Supongamos que tenemos una aplicacin de la teora deecuaciones diferenciales parciales en la teora matemtica dela elasticidad. Podramos preguntarnos si la teora deelasticidad tiene aplicacin fuera de s misma. Supongamosque s la tiene en ingeniera terica. Luego nos podramospreguntar si sta tiene inters en la ingeniera prctica.Supongamos que s, y que permite realizar un anlisis depuertas automotrices. Luego nos podramos preguntar cmoafecta esto al hombre comn. Supongamos que se cumple unrequerimiento de ley al tener puertas adecuadas. Aspodramos rastrear la aplicacin de la Matemtica hasta el


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nivel de consumo. Podramos continuar, es til unautomvil? es til consumir? etc.

Llammosle utilidad comn a la que llega hasta el hombrede la calle. (Asumimos que sabemos lo que el hombre de lacalle desea). No se sugiere que el criterio de la calle sea elnico para juzgar la utilidad de la matemtica.

Se dice que la finalidad propia de las aplicaciones de lamatemtica es la de que la Matemtica sea automatizada. Porejemplo, el descenso del hombre en la luna requiri demuchos clculos pero que estaban automatizados.

Imaginemos un diagrama [D-H] con el MUNDO FSICO,luego EL MUNDO MODELADO CON MATEMTICA,luego LAS TRANSFORMACIONES Y OPERACIONESMATEMTICAS y finalmente LAS APLICACIONES ALMUNDO FSICO.

Las dos de en medio se convierten en un procesoautomatizado. Mientras ms exitosa y completa sea unaaplicacin, ms automtica y programada se debe convertir.

Un ejemplo: la Teora Matemtica de la Msica.

Comenz hace ms de dos dcadas. Una de las principalesmetas de la Teora Matemtica de la Msica es la dedesarrollar un marco cientfico para la Musicologa. Estemarco posee como fundamento campos cientficosestablecidos. Incluye un lenguaje formal para los objetos,relaciones musicales y musicolgicas.

The Topos of Music [ToM] es un libro de GuerinoMazzola del cual tengo el honor de ser uno de los


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colaboradores. Podemos apreciar que el mismo ttulo de laobra, The Topos of Music, posee un doble sentido. Por unlado est la palabra griega topos, que significa lugar y quesugiere la ubicacin del concepto de la Msica como untpico, en el sentido de Aristteles y Kant. Por otro lado, sehace referencia a la teora matemtica Topos que sirve parareflejar el sistema de signos musicales, esto es, la Msica ensu faceta de un sistema abstracto cuya estructura puedepermanecer escondida sin un marco adecuado decomprensin. Este doble significado expresa, de hecho, laintencin de unificar una profundizacin filosfica con laprecisin de la Matemtica, en torno a la Musicologa. LaMsica est enraizada con realidades fsicas, psicolgicas ysemiticas. Pero la descripcin formal de las instanciasmusicales corresponde al formalismo matemtico.

La Teora Matemtica de la Msica est basada en lasTeoras de Mdulos y Categoras, en la Topologa Algebraicay Combinatoria, en la Geometra Algebraica, Teora deRepresentaciones. Su propsito es el de describir lasestructuras musicales. La filosofa detrs de ella es la decomprender los aspectos de la Msica que estn sujetos alraciocinio de la misma manera en que la Fsica puede hacerlode los fenmenos propios del trabajo cientfico.

Esta teora est basada: en un lenguaje adecuado paramanejar los conceptos relevantes de las estructuras musicales,en un conjunto de postulados o teoremas con respecto a lasestructuras musicales sujetas a las condiciones definidas y, enla funcionalidad para la composicin y el anlisis con o sincomputadora.

Mazzola, ya en su artculo "Status Quo 2000", [M-N-LL] (elcual hemos apreciado mucho que fuese presentado en Mxico


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durante una exposicin plenaria esplndida en Saltillo),explic porqu el acercamiento mediante su modelo tericogeomtrico de los aos ochenta evolucion a un marco que esapropiado para muchos problemas musicales. Ese nuevomarco est basado en Matemtica ms sofisticada como laTeora de Topos (Vase el Apndice II). Cabe mencionaralgo notable: dentro de este tema se realiza matemtica dealto nivel, no solamente aplicaciones, es decir, se hacematemtica nueva, se prueban resultados matemticos con losobjetos definidos.

La Msica es una creacin central de la vida y pensamientodel ser humano. Que acta en otra capa de la realidad que laFsica. Creemos que el intento de comprender o de componeruna obra de gran envergadura en la Msica es tan importantey difcil como el intento de unificar la gravitacin, elelectromagnetismo, las fuerzas dbiles y fuertes. De seguro,las ambiciones son comparables, y por lo tanto, lasherramientas deben de ser comparables. La Matemticaprovee una base cientfica para comprender la Msica y laMusicologa y para que esta ltima pueda considerarse unaciencia, no una rama de la literatura potica comn ycorriente.

Existen aspectos contrastantes y alternativas dentro de lainvestigacin matemtica. A continuacin veamos algunos.

Existen diferencias entre lo que realiza un matemtico puro yuno aplicado aunque existe tambin una interrelacin entrelas dos.

En cuanto a la Matemtica Pura, est la alternativa acerca dela teora matemtica y la resolucin de problemas. Existe unagran variedad de problemas. Si algunos de ellos se pueden


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resolver mediante argumentos ingeniosos de una maneraparecida, entonces decimos que tenemos un mtodo pararesolverlos y si stos son muchos, entonces decimos quetenemos una teora matemtica. As se evoluciona, de unacoleccin de problemas, a una teora, la cual difiere delconcepto que de ella se tiene en otras disciplinas cientficas.

La Matemtica es una actividad humana y por ende hay quepoderla transmitir a las generaciones siguientes, por lo cual seorganiza sistemticamente para que los que la estudien lohagan de la manera menos dolorosa posible. sta es la formabsica de lo que es una Teora Matemtica.

Poincar deca que una casa est hecha de ladrillos pero quelos ladrillos por s solos estn lejos de ser una casa.

Cmo se da la innovacin en la Matemtica? A diferenciade otras disciplinas cientficas, en la Matemtica, la creacinde nuevos mtodos o tcnicas constituye la innovacin, lacual es vital para el progreso de la Matemtica.

No se requiere del descubrimiento de antiguos documentosmanuscritos, ni del trabajo experimental o de la introduccinde nueva tecnologa. La innovacin se da, entre otras cosas,por la creacin de nuevas tcnicas.

Por ejemplo, cuando Galois se dio cuenta al trabajar en elproblema de la insolubilidad por radicales de la ecuacinpolinomial general de grado al menos 5 que la clave estabaen las simetras de las cinco soluciones de la ecuacin,provey los fundamentos de la teora general de la simetra,la cual es una de las ramas ms profundas y de amplioespectro de toda la Matemtica, llamada Teora de Grupos.


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Tambin hay innovacin interna al tratar de dar cohesin auna teora matemtica, al realizar preguntas adecuadas, lascuales requieren de mucha intuicin y compenetracin.Tambin puede venir de problemas de otras disciplinas.

Se puede decir que hay progreso matemtico cuando existeuna aplicacin continua de mtodos usuales intercaladosespectacularmente con nuevos conceptos y problemas. Unejemplo sera la K-Teora Algebraica (vase el Apndice I).Hay varias caractersticas estticas de la Matemtica. Launiversalidad, en el sentido de que casi cualquier rama delconocimiento posee aspectos que se pueden analizarmatemticamente. El desarrollo de argumentos simples yconcisos es absolutamente indispensable para el progreso dela Matemtica. La seleccin y formulacin de problemas sonun arte que depende de la intuicin del matemtico. Aqu, losaspectos estticos juegan un papel muy importante.

Poincar conceba la creacin de la Matemtica como semencion anteriormente y se puede hacer un smil con lacreacin musical. A manera de broma, pareciera que Poincarcreaba Matemtica al subirse o bajarse de un tranva.

Hadamard recomendaba tomarse dos baos de agua calientepara estimular la investigacin matemtica. Muchosmatemticos beben caf, transformndolo en teoremas.Tambin he escuchado que la Matemtica se hacecaminando, es decir cuando se dejan las ideas en elinconsciente y de repente ocurre una feliz idea, la cuales, quiz, una serie de conexiones neuronales que tienenlugar en el tiempo las cuales se logran mejor cuando nointerviene un acto consciente demasiado fuerte que lasimpida.


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Hay una distincin entre formalismo y rigor matemticos. Enla Matemtica formal, uno crea matemtica sin preguntarsedemasiado acerca del significado mientras sta d elresultado correcto. Uno sigue adelante sin preocuparsedemasiado por el rigor matemtico esperando que en elfuturo ste sea provisto.

La Matemtica, hay que insistirlo para no perderlo de vista,es esencialmente una actividad humana y nuestra meta nosolamente es inventarla sino trasmitirla. As, el rigormatemtico debe existir. Si no se tienen bases slidas,cualquier construccin basada en ellas podra caer.

La revolucin industrial se meda en siglos, la revolucin dela computadora se mide en dcadas o lustros y quizs aosdentro de poco. En los siglos XVIII y XIX, la mano de obrafue reemplazada por las mquinas y aparentemente el sigloXX se caracteriz por el reemplazo del cerebro por lacomputadora. En un principio, la ciencia del cmputo creciconjuntamente con la Matemtica. Turing y von Neumannson algunos de sus pioneros. An ahora, la Matemtica es laciencia ms cercana a la del cmputo. La Lgica Matemticaproporcion una base para la computacin, refirindonos alsoftware. Sin embargo, es el chip de silicn el que permiti larevolucin.

Los matemticos hemos estado interesados siempre en elconcepto de demostracin, es decir, en la rigurosadeduccin de varias conclusiones a partir de ciertassuposiciones. Hay que dar instrucciones precisas para quefuncione un ordenador o computadora y la LgicaMatemtica es el marco adecuado para formularlas.


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Relacionado con la idea de demostracin est la de algoritmo,es decir, la de un mtodo para hacer algo, en particular, pararesolver un problema. stos son requeridos para que lacomputadora realice tal o cual cosa. Una rama de laMatemtica se dedica al estudio de los algoritmos, enparticular los rpidos, a saber, la Teora de Complejidad. Asque las Teoras de las Demostraciones y Complejidad son dostipos de matemtica creadas por las necesidades del cmputo.Como las computadoras usan el conjunto {0,1}=Z2, estnrelacionadas con la Matemtica Discreta ejemplificada por ellgebra. Atiyah menciona que algunas personas argumentanpor esto el que debe de modificarse drsticamente laenseanza de la Matemtica quitando el nfasis en el Clculoque a menudo se realiza desde hace mucho tiempo.

La computadora proporciona una manera muy rpida deobtener soluciones numricas a distintos problemas. En laMatemtica Aplicada un problema tiene una solucinsatisfactoria si se puede proporcionar un algoritmo en lacomputadora de tal manera que se tengan disponibles lassoluciones numricas. Pero no todo son nmeros, porejemplo, las expresiones de lgica no representan nmeros.Las expresiones simblicas ya han sido consideradas en lacomputadora y son manipulables. Como ejemplo de esto estla determinacin de todos los grupos finitos simples la cual sellev al cabo utilizando poderosas computadoras.

En la Matemtica, hay varias etapas para generar nuevosresultados. Identificar hechos relevantes, su arreglo enpatrones que poseen un significado, la posible extraccin deuna frmula, el corroborar la frmula y hasta el final lademostracin. La computadora puede ser til en las primerasetapas. Es lgico que se trate de probar que ciertas conjeturasson vlidas simplemente sustituyendo valores pero cuyos


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clculos resultaran demasiado largos y tediosos derealizarlos a mano. Ahora podemos hasta ver los resultados

en forma grfica en algunas ocasiones. Antes se tenan que

realizar a mano, tal como los realizaron Euler o Gauss.

Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-

1855)

Atiyah comenta que sin duda, el problema ms importante

del siglo XXI, es el de comprender cmo funciona el

pensamiento humano. Este proyecto obviamente requerir de

matemticos, entre otros muchos especialistas de otrasdisciplinas cientficas.

Existe una solucin del famoso problema de los cuatrocolores, el cual establece que es suficiente el colorear con

cuatro colores cualquier mapa del planeta con la condicin de

que pases adyacentes sean coloreados de manera diferente.Este problema data del siglo XIX y en el XX se resolvi

utilizando una computadora que comprob cientos de casos.


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Fue un gran triunfo pero a la vez una gran desilusin desde elpunto de vista esttico, adems de que no se crearon nuevastcnicas a partir de la demostracin. Se us la fuerza bruta.Ser as en el futuro? pregunta Atiyah.


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CAPTULO II

Msicos y Matemticos

En este captulo describir el quehacer de los msicosintrpretes y de los matemticos.

Algunos consideran que la Msica es sonido organizado con

una finalidad expresiva. Sin embargo, para m, una de lascaractersticas ms importantes que debe poseer la Msicacon valor artstico, muy brevemente dicho, es la de quecumpla con "dado un tema, qu hacer con el tema" yrealmente hacer algo con l.

La msica vive a travs de la interpretacin. Entre una obramusical y el mundo est el intrprete que da vida a lapartitura. Sin embargo la relacin entre el artista intrprete yel creativo ha cambiado profundamente en la historia de lamsica y as contina hacindolo.

Las pinturas en las galeras se aprecian directamente por elpblico, lo mismo ocurre con la escultura y la arquitectura.En la poesa nosotros podemos ser nuestros propiosintrpretes, pero en el caso de la msica, la partitura slotiene sentido para el que sabe leer e imaginar los sonidos delas notas en la partitura. El pblico depende de los intrpretespara apreciar obras maestras. As que, el intrprete es desuma importancia para darle vida a esas bolitas negrasimpresas en el papel.

Cul libertad tiene el intrprete y dnde est su lmite? Loscompositores viven en una poca determinada y reciben una


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influencia de su entorno social. Para conocer el estilo de uncompositor hay que comprender su entorno, su poca, laesttica en esa poca. Sucede que el compositor muri hacemuchsimos aos y es frecuente que no deje ninguna clave decmo quera que su msica fuese interpretada. Solamenteest la partitura. Bach, Beethoven o Rachmaninoff no puedenser consultados, pero s podemos saber mucho de su entornoy saber leer sus partituras.

Para comprender cmo es la interpretacin de la msica hoyes necesario saber cmo era en el pasado. Es muy difcilcomprender las obras de hace mucho tiempo solamenteteniendo la partitura enfrente. Hay que conocer y aprender ainterpretar una partitura. El intrprete debe aplicar losdescubrimientos histricos y musicolgicos.

El papel de un intrprete en la sociedad actual es el depreservar y el de dar vida a las grandes obras musicales. Pors misma, la Msica es tan solo una serie de notas negrasimpresas en un papel. Cul es entonces, el principalproblema de la interpretacin? Para m, es el de acercarse loms posible a las intenciones del compositor y a partir de esabase dar vuelo uno a su imaginacin. Por un lado, elintrprete est al servicio de las intenciones del compositor ypor el otro, pone su propia personalidad.

El Voyager lleva como carta de presentacin de la especiehumana un disco grabado con lo ms representativo. Entreotras cosas lleva su msica y sus lenguajes. Es decir, algo dela creacin realizada por el Ser Humano.

A menudo el intrprete cobra un papel muy resaltado quehace pasar al compositor a un segundo plano. Muyfrecuentemente los compositores son los peores intrpretes de


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sus propias obras. Hay que recordar que la enseanza de uninstrumento se realiza uno a uno, es decir, del maestro alalumno individualmente y por tradicin oral. No existentextos que enseen cmo tocar el piano, por ejemplo. Aqu elmaestro es fundamental. Esta es la autntica y nica manerade realmente aprender algo. Las dems disciplinas deberande tomar esto muy en cuenta. No se puede ensear a tocar uninstrumento en clases masivas de cincuenta alumnossimultneamente. Cada alumno es diferente y tiene su propioritmo de conexiones neuronales, que es lo que realmente sehace, para aprender una obra musical o cualquier otraactividad.

Debido a lo escrito en el Captulo I, la actividad delconcertista de ir de pueblo en pueblo y explotar la curiosidadde la gente hizo que el artista realizara los actos pirotcnicosms increbles para satisfacer las bajas pasiones de losasistentes. Harold Schoenberg [Sch] lo describe de maneramuy ilustrativa: podramos rernos ahora pero en aquelentonces haba un punto de vista distinto. El ego era loimportante. Yo soy el artista, yo soy el ejecutante, mi mundointerior es el que describir. Rousseau haba expresado: "Soydiferente de otros hombres. Si no soy mejor, al menos soydiferente". La Msica era parte del misterio, tena unsignificado o significados, una idea o ideas, ligadas a lanaturaleza, el alma, la vida, etc. La msica expresaba estadosde nimo y deba de tener un programa, explcito o implcito.Difcilmente exista un msico del siglo XIX, incluyendo aClara y Roberto Schumann, Joachim y Von Blow que noviera en la msica un mensaje ms all de la msica impresa.En el contexto del siglo XIX, la personalidad era loimportante y era ms importante que la msica.


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Los cantantes, por ejemplo, siempre haban estado menosinteresados en la nota impresa que otros msicos. La primeravez que Adelina Patti cant para Rossini en su famosa soirey con l al piano acompaando "Una voce poco fa" delBarbero de Sevilla, al finalizar, Rossini framente le preguntque quin haba compuesto el aria que acababa de cantar.

An en 1905 Teodoro Leschetitzky hizo un rollo para pianode un nocturno de Chopin. Fue el maestro ms distinguido,respetado y popular despus de Liszt, y sus alumnos fueronde los ms famosos en el siglo XX. Introdujo en esagrabacin nuevas armonas, una o dos cadencias, etc. que enel presente sera intolerable. Pero en 1905 nadie sepreocupaba por eso. Viejas grabaciones de Plant, Pachmann,Paderewski, Lamond, d'Albert etc. confirman esa tendenciade agregar o quitar partes a la msica. Para escuchar a esospianistas debemos de situarnos en su poca y cambiar porentero nuestro concepto de la verdadera naturaleza de lamsica. Liszt pensara que el Beethoven y Schubert de ArturSchnabel (1882-1951) era inspido y carente de imaginacinas como Schnabel pensara del de Liszt como excntrico,salvaje y extravagante. Quin estara en lo correcto? Amboslo estaban de acuerdo a los estndares de su poca.

Hubo una serie de pianistas en el Romanticismo temprano ymurieron para nunca mas regresar. Ahora seran llamadoslos pianistas de cocktail. Se llamaban los "pianistas desaln". Su nombre viene de que no tocaban en las salas deconcierto y de que tocaban en salones. Se concentraban en unrepertorio muy ligero, cosquilleando a sus oyentes con lasms bajas formas de basura musical. Uno de ellos eraDreyschock quien tena la especialidad de tocar el estudiorevolucionario (Op.10, No.12) de Chopin, todo en octavascon la mano izquierda.


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Surge la cuestin inevitable sobre si la partitura ha deinterpretarse literalmente o si el ejecutante ha de tener cartablanca en la interpretacin general. Hemos de considerar quepara ello, aparte del manuscrito de la partitura, tambin debetenerse en cuenta, de una manera ms libre, el medioambiente que la rodeaba. Si todo esto pudiera solucionarsecon una simple frmula, la continua discusin sobre lainterpretacin no existira. Difcilmente veramos a un solointrprete elegido como el omnisciente, el nico al que losenigmticos textos le han descubierto sus secretossignificados, mientras que los otros intrpretes no han sidoescogidos por el destino para convertirse en iniciados en losmisterios de la partitura-esfinge. Sera tan slo una cuestinde lectura y conocimiento de la partitura, que en cada casohablara y se explicara por s misma.

Sin embargo, este problema de la objetividad o subjetividaden la interpretacin musical es de una gran complejidad. Paracomenzar, todos los intrpretes son diferentes seres humanos.El impulso natural de cada uno hacia una misma partitura vaa diferir necesariamente. Las experiencias humanas yartsticas, el medio ambiente, la educacin y la culturapersonal de cada uno, son igualmente diferentes.

A pesar de todo esto, sera an concebible asegurar unaautenticidad en la interpretacin, es decir, la realizacinobjetiva de los deseos del autor, si es que estos existen, ycomo si la partitura fuera suficientemente explcita como paraproteger las intenciones del compositor frente a cualquierfalsa interpretacin por parte del ejecutante.

Hasta las partituras modernas, frecuentemente admiradascomo uno de los ms elevados logros del espritu humano,


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estn, no obstante, lejos de la perfeccin. Naturalmente, losgrandes compositores han transformado magnficamente susideas en partituras, haciendo el mejor uso posible de lanotacin musical. Pero es esta misma notacin la que esimperfecta y as puede permanecer para siempre, a pesar delas excelentes contribuciones que se han hecho en su mejora.Existen ciertos factores intangibles que no pueden serexpresados con nuestro mtodo de escribir msica -elementosmusicales vitales, incapaces de ser fijados por los smbolos ysignos de la notacin-. En consecuencia, las partituras sonrepresentantes incompletos de las intenciones de loscompositores. Ninguna partitura, tal como aparece en elmanuscrito o publicada en imprenta, puede ofrecer unainformacin completa a su intrprete (y qu bueno que ases). As, encontraremos una enorme y variada gama deinterpretaciones de una misma partitura, y todas pueden servlidas artsticamente.

A medida que retrocedemos a travs de los diferentesperiodos de la historia, encontramos mayor dificultad paraleer y conocer la partitura, para entender sus signos y sussmbolos grficos, y para completar sus escasas indicaciones,si es que existen -todo lo cual es necesario para la fielejecucin de la obra-. Instrucciones de un tipo que hoy seconsideran indispensables, como el tempo principal de unacomposicin, eran frecuentemente omitidas en partiturasantiguas. Esto significa que, desde el mismo comienzo, elintrprete ha de completar el material de la partitura con supropio buen juicio. En consecuencia, hasta el intrprete conel espritu ms objetivo se ve metido ocasionalmente enterrenos subjetivos, independientemente de sus lealesinclinaciones.


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Nada ms difcil que esta tarea de replantearse las obrasantiguas, sobre la base de la elstica partitura original, entrminos de los grandes maestros que las escribieron. Existentres caminos para sacar al intrprete de este laberinto.Primero, debe aprender cmo leer el manuscrito y entendersu lenguaje. Segundo, su fantasa debe descubrir la esenciamusical, el lenguaje interno tras los smbolos escritos.Finalmente, el intrprete debe estar totalmente familiarizadocon el entorno y la tradicin de una obra: con todas lascostumbres que rodean a la obra en el momento de sucreacin.

Este fin slo puede ser alcanzado si el intrprete se apoya enel conocimiento acumulado del historiador experto, comoverdadero guardin del estilo autntico. Por supuesto que elestilo no es el nico requisito para obtener una fidelidad deinterpretacin, pero ciertamente es el armazn sobre el cualapoyarse. Si la msica vive a travs de su interpretacin,entonces la autntica interpretacin slo puede vivir a travsdel estilo genuino.

Hay un cambio en la esttica musical; bien podra ser yprobablemente ser que dentro de cincuenta aos elBeethoven que se escuche sea bastante diferente del actual.

Entonces, cul es el principal problema de la interpretacin?Para m, vuelvo a decir, es el de acercarse lo ms posible alas intenciones del compositor y a partir de esa base, darvuelo a su imaginacin. Por un lado, el intrprete est alservicio de las intenciones del compositor y por el otro ponesu propia personalidad. El sentido de la interpretacin actuales el de "que tan lejos puede ir la imaginacin alrededor deltexto original, tal y como fue escrito".


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La interpretacin musical no solamente es tocar ese conjuntode bolitas negras impresas en el papel que representansonidos. La msica est por arriba, por abajo y entre lasnotas, as como en los silencios y especialmente en ellos.

Prcticamente toda cultura ha creado Matemtica de algunaforma y en la actualidad casi todos los pases poseenmatemticos los cuales no estn aislados como en laantigedad, y podra decirse que la Matemtica actual estunificada y se transmite libremente y casi totalmente. Serealizan congresos nacionales e internacionales donde serealizan intercambios de ideas libremente entre losparticipantes y son un medio adecuado para el desarrollo dela Matemtica.

La investigacin matemtica ya no es un pasatiempo de laaristocracia ni es patrocinada por la iglesia o la monarqua.Desde el siglo XIX sta se desarrolla principalmentepatrocinada por las universidades (las cuales reciben unsubsidio proveniente de los impuestos o de donativos decorporaciones de diversa ndole) permitindole oexigindoles a sus acadmicos que realicen investigacin.Pero desgraciadamente supervisada por burcratas quedesconocen qu es la Matemtica. Existe un nmero pequeode matemticos en todo el mundo comparado con lapoblacin total. En Mxico (en 1999) se estima que esaproximadamente alrededor de 3000 licenciados enmatemtica en toda su historia, de los cualesaproximadamente 900 estn activos y la SociedadMatemtica Mexicana cuenta con alrededor de 1000miembros al final de 2001 (no todos al corriente de sumembresa). As que el .001% de la poblacin mexicana esun licenciado en Matemtica activo, aproximadamente.


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Existen cerca de dos mil revistas en todo el mundo donde sepublica Matemtica peridicamente.

El matemtico requiere para su trabajo de papel y lpiz, gis ypizarrn. Requiere de tiempo adecuado y disponibilidad parapensar, acceso a informacin en bibliotecas y una situacinlibre de problemas econmicos. El uso de una computadora,contra lo que se cree, es mucho ms utilizada por losingenieros, fsicos, astrnomos, qumicos, economistas,secretarias, mdicos, bibliotecarios o contadores y hapermanecido, salvo en un porcentaje pequeo, comomquinas para escribir o procesadoras de textos para losmatemticos puros. Sin embargo, cada da aumenta el uso deella para resolver algunos problemas matemticos. Casi todala investigacin matemtica se sigue realizando como si nohubiera computadoras (u ordenadores como algunos prefierenllamarlas).

En general un estudiante de la licenciatura de matemticatrabaja durante toda su carrera con alrededor de 20 librosbsicos, mas quizs, otros 20 de consulta, a diferencia deotras carreras donde la cantidad de libros puede superar los500. Esta notable diferencia se debe a que el estudiante deMatemtica lee, razona, asimila cada palabra, cada rengln,medita y vuelve a releer, etc. de tal manera que puede pasardas con 1 hoja. Una excelente biblioteca de Matemticaposee alrededor de 100,000 volmenes. Esta cantidad deinformacin est muy por encima del alcance de asimilacindel ser humano. Esta biblioteca, comparada con las de otrasramas del conocimiento es de menor tamao. En el mediomatemtico es o debe ser bien conocido este hecho. De aqula modestia, en general, de los matemticos, pues sabemos delo mucho que ignoramos. (A diferencia de otros


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profesionistas donde el egresado no sabe lo que ignora y secree el dueo del saber).

Cmo es un matemtico? A qu problemas se enfrenta enla vida real? Cul es su estereotipo y qu imagen posee de smismo? Cul es la imagen de un matemtico para losdems? Cuando a un matemtico le preguntan que de qu setrata su rea de trabajo, le estn preguntando algo querequiere de mucho tiempo para contestarla. En lo personal lescontesto con otra pregunta: de cunto tiempo dispone ustedpara escuchar la respuesta? Luego, el matemtico le trata deexplicar que la tal teora algebraica requiere de dos aos deestudio del posgrado para que pueda entender ms o menos ladefinicin de los objetos de estudio de la tal teora.Inmediatamente, la cara sospechosa del interlocutormenciona que si se est seguro de que esa es una teoravlida! Ms an, su desconfianza aumenta cuando sepregunta si algo que no puede explicarse con palabras existeo si el tipo se est haciendo tonto. Sin embargo insiste en quese le d una idea vaga de lo que se est haciendo o de losproblemas ms relevantes del rea. As, el matemtico le diceque el clculo del n-simo grupo de homotopa de laconstruccin ms de Quillen del espacio clasificante delgrupo lineal general del anillo de los nmeros enteros es elproblema ms importante de su rama, el cual lleva ms dedos dcadas sin poder resolverse... Luego viene la preguntade para qu sirve eso, a la cual el matemtico solamentepuede decir que, efectivamente tiene aplicacin en otrasramas de la Matemtica y quizs tenga aplicaciones en elfuturo a otras disciplinas pero que de momento no las tiene.Despus le pregunta que cul es el resultado ms importanteen los ltimos aos en esa rama, a lo que el matemtico lecontesta que no le puede explicar pues requerira de muchotiempo (probablemente aos o quizs nunca) para que tuviera


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algn sentido para quien pregunta. Luego viene la preguntade qu tan relevante es su trabajo y si las empresas o elgobierno lo utilizaran, cuntas personas lo entenderan y si elseor gobernador lo puede inaugurar. Lo que sucede es que eltrabajo de frontera en la Matemtica, en una subdivisin dealguna rama, solamente es inteligible para unas cuantasdecenas de matemticos de todo el mundo. Es muy probableque la rama a la cual se dedica un matemtico no hayaexistido en la fecha de su nacimiento. Piensa que su rama esmuy importante y que est firmemente establecida en elmundo real. Es decir, no duda de su existencia. Estetiquetado por su campo de trabajo, por cunto publica, por elde quin es el trabajo que utiliza en su investigacin y por laseleccin de los problemas que escoge. Pasa aoscontemplando y estudiando, meditando, pensando y su xitopuede llegar si produce un resultado nuevo. A menudo creehaber probado una conjetura importante o producido unteorema nuevo pero tambin a menudo algn colega leencuentra una pequea falla en su argumento con lo cual laconjetura sigue abierta. Se siente un poco incomunicado, (yahay correo electrnico) y solamente en su Universidad existeun colega que puede medio entender lo que a l le apasiona.No se diga que para el resto de los matemticos su rea detrabajo es totalmente desconocida, hasta de nombre, o quesus colegas creen que se trata de tal o cual cosa pero resultatodo lo contrario.

El matemtico asiste, cuando por cuestiones financieras se lepermite, a congresos nacionales o internacionales. La granmayora realiza las actividades de preparacinadecuadamente y a la altura de su profesin. Los ms, asistena los congresos de una manera usual sin llamar la atencinpor sus atavos y en la mayora de los casos s preparan conmucho cuidado y esmero sus ponencias, llegando a ser de los


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mejores expositores de entre cualquier disciplina cientfica yaque la claridad adquirida como parte del cotidiano meditarsobre su rea les han permitido dicha cualidad. Pero hay otrosque no. Estos ltimos preparan su uniforme (sobre todo si esde un rea creada en la segunda mitad del siglo XX y merefiero a los aos setenta u ochenta del siglo pasado nadams, cualquier parecido con la poca actual es meracoincidencia): Un pantaln vaquero, de preferencia el menoslimpio, roto y viejo. Una camiseta y los tenis ms sucios yviejos, de preferencia mordidos por su perro. No llevarjabn ni peine, tampoco cepillo de dientes ni pasta, pues debede "viajar ligero". Preparar su pltica de ser posible unascuantas horas antes de llegar, en el tren o en el avin (y noolvidar mencionar esto al comenzarla) o bien horas antes ensu cuarto de hotel. Tratar de ser lo ms desorganizadoposible al exponer, olvidando hechos y resultadosimportantes para su clara comprensin y suponer que todooyente es una copia de l mismo en cuanto al conocimientorequerido para entenderla. Todo esto es para que no se salgadel modelo, del comn denominador, no sea que lo vayan aconfundir con alguna persona de otra profesin. Esto sucedeen otros pases y cualquier semejanza con nuestro medio esmera coincidencia. (El msico llegar al teatro vestido deigual manera que un matemtico, solamente que se pondr undisfraz de concertista, es decir, usar frac, smoking, unsimple traje o saco y, al igual que un beisbolista al acabar eljuego, se quita el uniforme y vuelve a colocarse el (otrouniforme) vestuario con el que lleg).

En otros pases, en cuanto a su lugar de trabajo, y paraconservar la asimilacin a algunos grupos, algunos deben sermuy desordenados. De preferencia tener papeles tirados en elpiso de su oficina, o por lo menos largas pilas de papelesinservibles en su escritorio y dems mobiliario. Los libros


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deben estar apilados unos al derecho y otros al revs, pues siestuvieran ordenados podra pensarse que tiene gravesproblemas neurticos. Sin embargo, sienten que a pesar deque no pueden organizar su propio escritorio, puedenorganizar muchas cosas bien! Otros conviven de manerasolitaria o independiente y no difieren de una conductapromedio de otros ciudadanos. No les gustan las poses nireflejan alguna imagen en particular, ni las requieren paradesarrollar su actividad.

Muchos de los estudiantes ingresan al estudio de laMatemtica sin realmente saber de qu se trata esa disciplina.Casi todos eran llamados los genios del saln delbachillerato. En un alto porcentaje eran los que tenan unaconducta diferente, los que no se dejaban guiar por la masa,los que pensaban acerca de su existencia y papel dentro de lasociedad, otros, los que tenan problemas para relacionarsecon sus compaeros, etc.

En cuanto a su relacin con otros colegas, algunos deben decomportarse en forma inusual, rara, aparentar ser tmido ydistrado, fuera lo ms posible de las convenciones socialesde convivencia, pero siempre sabiendo exactamente dondeestn parados y donde tienen cada pie. A veces hay quesaludar a sus colegas, a veces no hay que hacerlo paradespistarlo, o aparentar concentracin casi oriental en susactividades. Deben ejercer la imagen comprada de geniodistrado y desaliado y vender esa imagen a las generacionesms jvenes. Se vende bien. Esto sucede en otros pases ycualquier semejanza con nuestro medio tambin es meracoincidencia.

En cuanto a su motivacin o filosofa acerca de su profesin,muchos la ven como un medio para obtener algo. Son


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altamente competitivos y buscan ser los primeros a todacosta, an de su propia salud fsica y mental. Otros ven a sudisciplina como un privilegio que la vida les dio paradesarrollar y crear sus potencialidades como ser humano, vena su profesin como un fin en s mismo y viven para laprofesin. Por supuesto, al igual que en el resto de laslicenciaturas de una universidad el egresado de unalicenciatura generalmente no se dedica al estudio de suprofesin, ms bien la utiliza o la aplica. Para realmentededicarse a la Matemtica es necesario realizar estudios deposgrado y an as apenas empezar a vivir el maravillosomundo de la Matemtica. Los egresados de una licenciaturade Matemtica pueden y deben encontrar trabajo comocualquier otro egresado de una licenciatura, es cosa dehacerles ver a quienes contratan personal de las enormesventajas que tendran al contratar matemticos, puessobretodo, una de esas ventajas es de mucho valor paraquienes no tienen miedo de contratar a personas que hanrealizado un entrenamiento en el acto de pensar y que poseencapacidad de aprender. Muchos de los pocos licenciados enMatemtica se dedican a la docencia, ojal hubiera ms,hacen mucha falta sobre todo en los niveles bsicos deprimaria, secundaria o preparatoria. Se requieren con lalicenciatura terminada, con una estupenda preparacin y quedeseen ser docentes por vocacin, capaces de motivar einfundir en los jvenes (quienes constituyen ms de la mitadde la poblacin de nuestro pas) un verdadero amor alconocimiento cientfico y artstico.

En cuanto a sus publicaciones, algunos matemticos, losmenos, escriben muy bien y son extraordinarios redactores,sus artculos son verdaderas ctedras de redaccin, pero otrosno escriben tan bien. Estos ltimos deben de escribir susartculos como si no los hubiera escrito un ser sensible. Entre


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ms formales sean, mejor. No debe quedar rastro de las ideas,motivaciones, experimentos realizados que lo condujeron alteorema. Entonces deber de escribir varias definiciones, unasucesin de varios lemas y como conclusin casi mecnica,debe de escribir en la demostracin del teorema enunciado alfinal del artculo, que es obvio que sta se sigue de los lemasanteriores. Luego debe revisar bien su artculo para quequede lo ms antipedaggicamente posible, no sea quealguien le encuentre un error o le robe alguna idea por la cualha pasado tanto tiempo meditando. Finalmente alguno de los10 colegas de todo el mundo capaz de entender lo que hizo,se da cuenta que todos los lemas menos uno son irrelevantesy pueden detectar lo que el autor realmente est haciendo yporqu. Para el nuevo en esa rea, le ser materialmenteimposible descifrar lo que estuvo detrs de ese resultado.

Pareciera que la edad ms productiva de la mayora de losmatemticos en la investigacin es de alrededor de 10 aos,entre los 25 y los 35. No es sta una regla pero solamenteexisten un pequeo y destacadsimo nmero deinvestigadores en el mundo que realizan investigacindespus de los 40 y menos despus de los 60 siendo muchosde stos los de primera fila o los lderes en las diversas ramasde la Matemtica.

Otros matemticos piensan que en el trabajo de unmatemtico existe un enorme trabajo implcito de intuicin,comparacin, esfuerzos de pensar, mucha frustracin ydesesperacin, mover montaas y sacar un pequeo granovalioso, y sobre todo, el no dejarse engaar por ideas fciles.

No cabe duda de que para el ciudadano comn y corriente, lacreacin matemtica y su comunidad son un misterio, y loseguirn siendo ya que para poder realmente apreciarlas tanto


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a la Matemtica como a su comunidad hay que vivirlas yaceptarlas como un modo de ser y de pensar.

Por otro lado, existen disciplinas que utilizan a la Matemticacomo una herramienta para interpretar los fenmenos propiosde su rea. Cualquier disciplina que se haga llamar cienciadebe interpretar sus fenmenos matemticamente. An ms,las disciplinas no cientficas que deseen saber algo sobre susfenmenos lo hacen mediante la interpretacin matemtica.

Existen matemticos que se especializan lo msprofundamente posible en un rea o campo y otros queadquieren una gran cultura matemtica, tan amplia como seaposible. Los dos tipos de matemticos son necesarios.

Sin embargo, muchos recomendamos a los jvenes quecomiencen por obtener una cultura matemtica, lo msamplia posible y luego sumergirse en un tema. Esto es debidoa que la esencia de la Matemtica es la de juntar camposaparentemente dismiles. Despus de todo, la Matemtica esel grado mximo de abstraccin el cual tiene aplicacin entoda disciplina que se precie de llamar ciencia.

El egresado de una licenciatura generalmente no se dedica alestudio de su profesin, ms bien la utiliza o la aplica. Pararealmente dedicarse a la Matemtica es necesario realizarestudios de posgrado y an as apenas comenzar a vivir elmaravilloso mundo de la Matemtica.

Existen matemticos que trabajan individualmente y otrosque lo hacen en un pequeo o gran grupo. Es muy difcil eltrabajar solo, a menudo uno solo no ve una trivialidad que lodetiene por mucho tiempo y la cual es resueltainmediatamente por un colega dentro del grupo. Pero a veces,


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sucede al revs, no siempre tres cabezas piensan ms queuna. A veces, la interaccin con colegas enriquece tanto a laMatemtica como a los matemticos y se encuentran esasinterrelaciones de las cuales hablaba anterior-mente entrereas aparentemente dismiles.

A veces la colaboracin entre matemticos es enriquecedoray hace de la investigacin matemtica, la cual es muy ardua odifcil, una experiencia ms humana y social, aunque a vecesesto no se puede, por no haber colegas de la mismaespecialidad cerca o por caractersticas de personalidad decada matemtico. El trabajar en grupo no exime del arduotrabajo individual de meditar o pensar en Matemtica.

Coexisten dos tipos de matemticos, los que utilizan la fuerzabruta y los elegantes. Esto es, quienes utilizan mtodos otcnicas aplastantes que los conducen a la resolucin delproblema y quienes con pocos argumentos colocadosadecuadamente lo obtienen sorpresivamente de manerabrillante. A veces un mismo matemtico puede actuar de lasdos formas en distintas ocasiones.

Sin embargo, la transmisin de la Matemtica es mucho msapreciada, por la manera que funciona nuestro cerebro,cuando se hace de manera elegante y simple, es decir, deforma artstica. As, la elegancia matemtica es muyimportante. sta se logra, en general, (no en la fuenteprimaria de la investigacin sino) despus de haber pasadopor muchas mentes matemticas brillantes.

En cuanto a la transmisin de la matemtica de frontera, stase realiza despus de un tiempo, debido a lo expresadoanteriormente, cada vez ms a niveles de gente ms joven.Matemtica muy difcil se ha compactado y presentado


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elegantemente facilitando su aprendizaje. sta es la manerams eficaz de transmitir Matemtica.

As, hay varios tipos de creacin matemtica y dematemticos, todos indispensables.

Hay una inmensidad de matemtica creada durante unoscuantos siglos. Sin embargo, a principios del siglo XXsolamente unos cuantos grandes matemticos podan decirque abarcaban una buena parte de la totalidad de ella. Hoy enda es casi imposible que un matemtico abarque ni siquierasu propia rea de estudio. Querr decir esto que el granedificio de la Matemtica nos aplastar? Sucede que as comola especializacin es inevitable, el desarrollo de nuevosconceptos abstractos absorben otros creados en el pasado.Estas nuevas creaciones son tan importantes como lassoluciones de los problemas difciles o desarrollos de nuevastcnicas.

La Matemtica es una disciplina muy activa, tanto como laimaginacin de sus practicantes. Sin embargo, algunos nios,jvenes o adultos pueden hablar o saber de la existencia dealgunos conceptos recientes de la Fsica, Qumica, etc. perodifcilmente sabrn de la matemtica actual.

Esto se debe a la forma de ser de la Matemtica, es decir,como un lenguaje creado dentro de otro lenguaje. Sinembargo, mucho se puede difundir y divulgar. Requiere deun gran esfuerzo y dedicacin de matemticos que puedanrealizar esta actividad. Se requiere de reconocimiento de estaactividad en las instituciones y en los distintos comitsevaluadores de la actividad matemtica. Este reconocimientodebe ser parte imp

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Matematica musica y concertismo