Matemática para Economia III

2013.2Aula 13 e 14:

Transformações lineares (continuação)/ Autovalores e Autovetores/ Diagonalização

de Operadores

Matriz de uma transformação linear

Sejam T: V→W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base de W. Sem perda de generalidade consideremos dim V=2 e dim W=3.

Sejam A={v1,v2} e B={w1,w2,w3}, um vetor v ϵ V pode ser expresso como

A imagem T(v) ϵ W pode ser expressa como

Por outro lado aplicando T em (1) obtemos

(1)

(2)

(3)

Note que [v]A=(x1,x2)

Note que [T(v)]B=(y1,y2,y3)

Sendo T(v1) e T(v2) ϵ W eles são combinações lineares dos vetores de B:

Substituindo em (3) temos que

(4)

(5)

Matriz de uma transformação linear

Portanto:

Ou na forma matricial:

Ou simbolicamente:

Matriz de uma transformação linear

Matriz de T em relação as bases A e B

Na prática o que fizemos:

1) Escrevemos os vetores T(v1) e T(v2) como combinação linear do vetores de B

2) Tomamos os escalares de T(vi) na base B e os colocamos como a coluna i da matriz

Matriz de uma transformação linear

[v]A[T(v)]B[T(v1)]B [T(v2)]B

Matriz de T em relação as bases A e B

Exemplo: Dada a transformação linear T: IR2→IR3 dada porT(x,y)=(x+y,x-y,y),

E considere as bases A={(1,1),(-1,0)} e B={(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} para o IR2 e IR3 respectivamente. Determine:

a)

b) Sendo v=(5,1) (coordenadas em relação à base canônica do IR2), calcular [T(v)]B utilizando a matriz encontrada em a)

Matriz de uma transformação linear

ABT

Matriz de Mudança de BaseSe considerarmos I: V→V a transformação linear identidade,

I(v)=v.

Ao escrevermos a matriz desta transformação em relação às bases A e B (A uma base de V e B outra base de V). Obteremos

[I(v)]B= [v]A

Ou ainda: [v]B = [v]A

ABI

ABI

Matriz de mudança de base de A para base B

O papel desta matriz é transformar as coordenadas de um vetor v na base A em coordenadas do mesmo vetor v na base B.

Autovetores e AutovaloresSeja T:V→V um operador linear. Um vetor v ϵ V, v≠0, é autovetor do operador T se existe λ ϵ IR tal que

T(v)= λv. Seja M a matriz desta transformação em relação à base canônica então (6)

pode ser rescrito comoMv=λv

λv-Mv=0ou ainda

λIv-Mv=0(λI-M)v=0.

Determinar se operador T possui um autovetor v≠0 equivale a determinar para quais valores de λ o sistema homogêneo (7) tem solução não trivial, tal valor de λ é chamado autovalor de M.

Se λ é um autovalor de M então cada solução não trivial de (7) será o autovetor de M associado ao autovalor λ, ou seja será autovetor do operador T.

(6)

(7)

Autovetores e Autovalores De acordo com o que já estudamos

M é invertível ↔ Mv=0 tem somente solução trivial logo

(λI-M)v=0 tem solução não trivial ↔ (λI-M) não é invertível, ou seja,

det(λI-M)=0Exemplo:

(b) Seja M=[T], encontre os autovalores de M e dê exemplo de autovetores

associados a cada autovalor

Autovetores e AutovaloresTeorema: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são

equivalentes:a) A é invertível.b) Ax=0 só tem a solução trivial.c) A forma escalonada reduzida por linhas de A é In.d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.e) Ax=b é consistente para cada vetor coluna b de tamanho nx1.f) Ax=b tem exatamente uma solução para cada vetor coluna b nx1.g) det(A)≠0.h) A tem posto n.i) As linhas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.j) As colunas de A formam um conjunto L.I. de n vetores do IRn.k) Zero não é um autovalor de A.

Diagonalização de operadores

Seja T: V→ V um operador linear. Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base β de V cujos elementos são autovetores de T.

A matriz que representa T na base  β  é uma matriz diagonal cujos elementos são os autovalores de T, ou seja:

n

T

0

00

0

][1

Diagonalização de operadores

Seja M=[T] a matriz canônica do operador T e D a matriz de T na base β de autovetores, dizemos que T é diagonalizável se existe uma matriz P tal que

D = P–1MP.

Onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores de T e D=[T]β .

Assim, a matriz D é obtida pela matriz P, quando ela existe, sobre a matriz M. Dizemos então que a matriz P diagonaliza M ou que P é a matriz diagonalizadora (P a matriz de mudança da base canônica para base de β).

Quando sabemos que é possível encontrar a matriz P e obter D?

Diagonalização de operadoresTeorema: Se M=[T] possui todas as raízes de seu polinômio

característico reais e distintas então M é diagonalizável.

Obs: raízes do polinômio característico reais e distintas

autovetores associados a autovalores distintos são L.I

existe uma base de autovetores para V

Temos o seguinte resultado para matrizes simétricas:

Teorema: Se M é uma matriz simétrica de ordem n então existe uma matriz ortogonal P tal que P–1MP=D, D uma matriz diagonal. Os autovalores de M são elementos da diagonal D.

(Lembrete: Matriz ortogonal P-1=PT).

Diagonalização de operadores

Exemplo: