Matematica per la vita

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Titolo

Matematica per la vita. Anche dove non te laspetti

AutoreM. Degiovanni, R. Lucchetti, A. Marzocchi, M. Paolini

Volume edito a cura dellaFONDAZIONE ACHILLE E GIULIA BOROLI

Progetto graficoStudio CREE Milano

Realizzazione editorialeREDINT Studio s.r.l.

Nessuna parte di questo libro pu essere riprodotta o trasmessa in qualsiasi formao con qualsiasi mezzo elettronico, meccanico o altro senza lautorizzazione scrittadei proprietari dei diritti e delleditore

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On line i libri della collana Homo Sapiens

2009 Fondazione Achille e Giulia Boroli

Finito di stampare nel mese di ottobre 2009a cura di DEAPRINTING Novara

Edizione fuori commercio


m. degiovanni, R. lucchetti, a. marzocchi, m. paolini

MATEMATICA PER LA VITAANCHE DOVE NON TE LASPETTI

FONDAZIONE ACHILLE E GIULIA BOROLI

HOMO sapiens


LA FONDAZIONE ACHILLE E GIULIA BOROLI

Nel 1998 Achille Boroli, oggi presidente onorario di De AgostiniEditore Spa, ha fondato lente che porta il suo nome e quello dellamoglie Giulia e lo ha dotato di un importante fondo con capitalipersonali; in questa iniziativa si manifesta la precisa volont del fon-datore di continuare a essere concretamente presente allinternodella societ civile con attivit di supporto a enti pubblici e privati,laici e religiosi, gi operanti nel campo della ricerca scientifi-ca, della charity e della cultura nel senso pi ampio del termine. Inquesto ambito, e pi precisamente in conformit con uno degliobiettivi statutari, nata questa iniziativa editoriale che esprime lavolont di supportare la conoscenza e lapprofondimento dei gran-di temi dellattualit da parte delle pi giovani classi di et, al fine difavorire la comprensione del mondo sempre pi complesso e pro-blematico in cui viviamo.Questa iniziativa si affianca a unaltra attivit ormai tradizionale del-la Fon da zio ne, che assegna borse di studio in favore degli studentimeritevoli per favorirne liscrizione allUniversit.Editore di successo, animato da una fede intatta nei valori della cul-tura e della lettura come strumento insuperato di comunicazione,Achille Boroli ha fortemente voluto che la Fondazione realizzasse lacollana di libri che oggi presentiamo ai giovani, fiduciosi che linfor-mazione, la libera riflessione e il pensiero contribuiranno al-la formazione dei cittadini del futuro.


sommario

Prefazione

Alcune strutture11 1. Diamo i numeri19 2. Dimensione 21 3. Continuit 22 3.1 Pitagora e i pitagorici24 4. La teoria della relativit generale26 4.1 Spazio, tempo e superfici31 4.2 Le geometrie non euclidee

Modelli e previsioni36 1. Lesattezza nel modello matematico

e gli errori sperimentali40 2. Un modello deterministico: la meccanica newtoniana47 3. La fluidodinamica50 4. Previsione dei risultati52 5. Dalla fluidodinamica ai sistemi complessi55 6. Frattali e complessit59 7. Stabilit

La gestione razionale del caso64 1. Un po di storia67 2. La probabilit classica70 3. Bernoulli e la probabilit frequentista74 4. Eventi e loro operazioni77 5. Dalla probabilit classica alla statistica: le distribuzioni83 6. La probabilit soggettiva e limpostazione assiomatica87 7. La probabilit condizionata e le applicazioni

Computer e soluzioni approssimate93 1. Il computer e le quattro operazioni93 1.1 La notazione scientifica94 1.2 Gli errori di arrotondamento96 1.3 Non solo conti 97 2. Alla ricerca del minimo98 2.1 Minimi e punti stazionari


99 2.2 Bolle di sapone103 2.3 Capire il problema prima di risolverlo104 2.4 Limportanza di semplificare e generalizzare107 2.5 Fiocchi di neve108 2.6 Minimi e convessit110 3. Il calcolo numerico114 3.1 Dal discreto al continuo e ritorno115 4. Elaborazione di immagini117 5. Sintesi di immagini e realt virtuale

La matematica nellarte123 1. La matematica nellarchitettura e nelle arti figurative136 2. Gli elementi matematici nella musica

Giochi e applicazioni145 1. Alcune considerazioni sul gioco 147 2. Alcuni esempi152 3. Giochi in forma estesa153 3.1 Lalbero del gioco157 4. La teoria non cooperativa164 5. La teoria cooperativa172 6. Conclusioni

La matematica nelle scienze umane e della vita175 1. La crescita delle popolazioni180 2. Popolazioni e ambiente184 3. Cinetica dei farmaci187 4. Predatori e prede

191 Bibliografia

192 Elenco dei simboli

193 Indice analitico

197 Indice dei nomi


Prefazione

Il momento in cui, ne Il Saggiatore, Galileo asserisce che il libro del-la natura scritto in lingua matematica segna, come noto, unpunto di svolta nella concezione della scienza. Al di l dellafferma-zione di principio, per circa un secolo il processo di matematizza-zione coinvolge, nellambito delle scienze della natura, essenzial-mente la fisica e, a partire dal XVIII secolo, anche la chimica. I suc-cessi conseguiti nel corso di XVIII e XIX secolo inducono, fra fine800 e inizio 900, un tentativo a largo spettro di trattare con lin-guaggio matematico i pi svariati ambiti di studio, anche quelli che,coinvolgendo il comportamento umano, sembravano appannaggiodi filosofia e religione. Arriviamo cos ai giorni nostri in cui nei cam-pi pi svariati sono proposti criteri di valutazione che spesso si tra-ducono in sistemi di numeri, con tutto il bene e il male che si pos-sono immaginare. Lo scopo di questo volume quello di illustrarecome la matematica interagisca con alcuni aspetti della realt che cicirconda. Il capitolo iniziale dovuto congiuntamente a Marco De-giovanni e Maurizio Paolini, mentre i capitoli Modelli e previsionie La gestione razionale del caso sono di Alfredo Marzocchi. Mau-rizio Paolini autore del capitolo Computer e soluzioni approssi-mate, mentre a Roberto Lucchetti si deve il capitolo Giochi e ap-plicazioni e a Marco Degiovanni quello La matematica nellescienze umane e della vita. Nel capitolo dedicato alla Matematicanellarte, Alfredo Marzocchi si occupato di architettura e arti fi-gurative e Marco Degiovanni di musica. Infine Marco Degiovanniha curato una revisione generale dellintera opera.


1. Diamo i numeri

Se soffriamo di insonnia e la notte non riusciamo a dor-mire, possiamo contare le pecore... Contare forse il primo proces-so matematico che un essere umano compie, magari senza esserneconsapevole, ed anche la prima fonte di infinito certo, anche so-lo in senso potenziale , poich non si pongono limiti a quanto alungo si pu contare: possibile andare avanti quanto si vuole. Pe-raltro, disporre di una quantit illimitata di numeri fondamentaleper poter operare in modo un minimo confortevole. Vediamo di spiegarci con un esempio. Supponiamo di avere una cal-colatrice che pu considerare solo numeri con due cifre significati-ve, ossia numeri costituiti da due cifre a piacere seguite unicamenteda zeri. I veri calcolatori adottano degli standard che contemplanouna quindicina di cifre significative, ma la sostanza del problemanon cambia. Tornando alla nostra rudimentale calcolatrice, abbia-mo quindi a disposizione tutti i numeri fino a 99. I successivi sono,nellordine, 100, 110, 120 fino a 990. Si potrebbe vedere che cosacapita da 1000 in poi, ma per il nostro esempio non necessario.Inevitabilmente, la nostra calcolatrice opera degli arrotondamenti. Per esempio per lei risulta

120 3 120, 120 4 120, 120 7 130

perch, non disponendo dei numeri 123, 124 e 127, deve sceglierefra 120 e 130 e opta minimizzando lerrore. Ora, sappiamo che la somma gode della fondamentale propriet as-sociativa secondo cui, dati tre numeri x, y e z, si ha sempre

(x y) z x (y z)

Questo fatto autorizza a scrivere semplicemente

ALCUNE STRUTTURE


Matematica per la vita12

x y zsenza ulteriori specificazioni, visto che i due modi di determinare ilrisultato producono il medesimo effetto. Si tratta di una proprietsenza la quale le espressioni sarebbero infarcite di parentesi e a cuinon si rinuncia nemmeno in contesti algebrici molto generali (peresempio, in teoria dei gruppi). Che cosa capita con la nostra calco-latrice, se scegliamo x 120, y 3 e z 4? Da un lato risulta

(120 3) 4 120 4 120

dallaltro

120 (34) 120 7 130

Questo significa che, per la nostra calcolatrice, non vale la proprietassociativa! In effetti si tratta di un problema che affligge tutti i cal-colatori, costretti come sono a procedere ad arrotondamenti, di qua-lunque potenza essi siano. sufficiente costruire esempi con nume-ri abbastanza grandi rispetto al numero di cifre significative che ilcomputer stesso pu considerare. Si tratta di un problema insito nel-la matematica del finito. Questa considerazione dovrebbe mettere in guardia da una tenta-zione oggi ricorrente: dal momento che nelle applicazioni concretedella matematica luniverso numerico necessariamente finito, percaratteristica intrinseca dei calcolatori, non si pu fare a meno del-linfinito? In fondo, in qualunque problema concreto, sono immessidati gestibili da un computer e si ottengono risultati appartenenti almedesimo universo. la tipica tentazione del corto circuito, che af-fligge molti aspetti della vita umana. Una prima risposta, pragmati-ca, che risulta pi efficiente prendere come riferimento un model-lo infinito con buone propriet e poi pensare che il computer com-mette errori la cui ampiezza andr stimata, piuttosto che ragionaredirettamente in un universo finito. Una seconda risposta che i nu-meri bruti dicono poco, se non interagiscono con le idee. E questeemergono se si dispone di un quadro interpretativo stimolante. Se vogliamo, anche un primo caso della contrapposizione fra ele-mentare e maneggevole, destinata a ricomparire pi volte. La strut-tura finita certo elementare, ma meno maneggevole, mentrequella infinita comporta uno sforzo concettuale maggiore, ma alsuo interno si opera con pi comodit.


In conclusione abbiamo un primo insieme di numeri, i numeri na-turali, che indicheremo con , che comincia con lo 0 e che associa-mo al generico processo del contare. Allinterno dei numeri natura-li disponiamo di due operazioni, la somma e il prodotto, il che au-tomaticamente pone la questione delle operazioni inverse, sottra-zione e divisione. Entrambe non sono sempre possibili, ma le dueimpossibilit furono vissute fin dallantichit in modo diverso.Quanto alla sottrazione, parve del tutto naturale che non si potessetogliere pi di quello che era gi presente. Daltra parte, il numerofu associato non solo al processo del contare, ma anche a quello delmisurare. E nellambito della geometria, che si stava allora svilup-pando, emergevano invece suggestioni diverse. Se si possiede unsegmento lungo 5 unit, esiste una procedura geometrica che con-

Figura 1. La divisione di un segmento lungo 5 unit in 3 parti uguali. Si riporta, peresempio, sulla perpendicolare per un estremo, lunit per tre volte e si congiungelultimo punto ottenuto con laltro estremo. Le parallele a tale congiungente per iprimi due punti ottenuti dividono il segmento originario in tre parti uguali.

13Alcune strutture

I numeri di cui abbiamo parlato finora, quelli che si incontrano du-rante il processo del contare: sono i numeri naturali. Lo 0 era sco-nosciuto nellantichit classica, ciononostante risulta estremamen-te conveniente includerlo tra i numeri naturali; un insieme di pe-core pu anche essere vuoto, nel qual caso il processo del contarele pecore si banalizza in zero operazioni!


sente, per esempio, di dividerlo esattamente in 3 parti uguali. Si trat-ta di applicare opportunamente il teorema di Talete1, come indicatoin Figura 1. Come fare affinch gli enti numerici non si trovino inposizione di inferiorit rispetto a quelli geometrici? Una risposta geniale, che introduce idee destinate ad accompagnarelo sviluppo della matematica fino ai giorni nostri, fu fornita dallascuola di Pitagora2. Se loperazione 5 diviso 3 impossibile, siconferisce alloperazione impossibile la dignit di oggetto matemati-co allinterno di un nuovo ambito e si vede se possibile operare inmodo coerente nel nuovo contesto. la nascita dellinsieme dei nu-meri razionali (positivi, perch quelli negativi appaiono solo in epo-ca moderna) e delle frazioni, che non sono altro che divisioni, spes-so impossibili, solo indicate, ma su cui si pu operare in modo coe-rente. Per esempio, 10/7 significa 10 diviso 7. Nel nuovo contesto,un numero naturale come 8 viene identificato con 8/1, ossia 8 divi-so 1. Quindi, nellambito dei numeri concepiti dalla scuola pitago-rica, si pu fare 5 diviso 3 e il risultato (banalmente) 5/3. C ancora una sottile differenza tra frazione e numero razionale. chiaro che divisioni diverse possono produrre il medesimo risultato.Per esempio, 15 diviso 3 d il medesimo risultato di 30 diviso 6; allora necessario introdurre il concetto di frazioni equivalenti e unsingolo numero razionale una collezione di frazioni, tutte equiva-lenti fra loro e atte a rappresentarlo. il primo esempio di relazionedi equivalenza, un concetto pure destinato ad attraversare lo svilup-po della matematica fino ai giorni nostri. In sintesi, la scuola pitagorica mette in atto un ulteriore passaggio dal-lelementare al maneggevole. I numeri naturali sono pi elementaridei numeri razionali, ma questi consentono di fare pi operazioni. Il problema delle operazioni impossibili ricompare pi volte nellosviluppo della matematica. Per esempio, non esiste nessun numerorazionale il cui quadrato sia uguale a 2. Siccome in ambito geome-trico possibile considerare il quadrato di lato unitario e la lun-ghezza della sua diagonale dovrebbe proprio essere un numero il cuiquadrato 2, il fatto fu vissuto dai pitagorici come un vulnus allaperfezione delledificio dei numeri razionali (sembra che fosse fatto

14 Matematica per la vita

1 Talete (Mileto, 640/624 a.C. ca. 547 a.C.), filosofo, astronomo e matematico greco. comunemente considerato il primo filosofo della storia occidentale.2 Pitagora (Samo, ca. 575 a.C. Metaponto, ca. 495 a.C.), matematico, legislatore e filo-sofo greco. Fu forse il primo ad elaborare una visione matematizzata della realt, desti-nata a influenzare profondamente molti studi successivi.


pure divieto agli aderenti di diffondere la notizia). Anche qui luni-ca soluzione conferire dignit di numero alloperazione impossibi-le. Nascono cos le radici, come , , che non sono altro che ope-razioni inverse dellelevamento a potenza lasciate indicate, e i nume-ri irrazionali. Nel nuovo contesto la lunghezza della diagonale delquadrato di lato unitario (banalmente) . A differenza della di-visione, non fu trovato subito un quadro soddisfacente in cui opera-re con le nuove entit, e per lungo tempo agli enti geometrici fu con-ferita dignit concettuale maggiore rispetto a quelli numerici. Solo inepoca rinascimentale, sotto la spinta delle esigenze applicative, si eb-be una fioritura di nuovi studi sugli enti numerici che fu perfeziona-ta nel corso del XIX secolo. Peraltro la geometria forniva ulteriori sollecitazioni. Quanto lungala circonferenza di diametro unitario? Anche qui non fu trovata (in-fatti non esiste) una risposta che riconducesse il tutto alle operazio-ni gi considerate. Il meglio che si pu fare conferire dignit di nu-mero allinesistente risposta, controllando se poi possibile conti-nuare a operare in modo coerente. Siccome in questo caso la con-vinzione che vi sia una e una sola entit, si pu impiegare un sim-bolo specifico per denotarla. Fu scelto . Si tratta di un passaggioche sottointende anche una sorta di presa di possesso, un po comenel racconto biblico della Genesi, in cui latto di dare il nome aglianimali suggella la supremazia delluomo: Cos luomo impose no-mi a tutto il bestiame, / a tutti gli uccelli del cielo / e a tutte le bestieselvatiche (Gen 2, 20). Tornando alla matematica, a questo punto opportuna una rifles-sione sulla frase controllare che sia possibile continuare a operare inmodo coerente, anche per non dare limpressione che i matematici,in un empito di gioiosa follia, conferiscano dignit di ente matema-tico a qualunque operazione impossibile in un dato contesto. Il pro-blema, volendo aumentare la maneggevolezza dello strumento, quello di non perdere le propriet formali gi acquisite. Nel caso di frazioni, radici e tutto funziona, ma talvolta non csbocco. Per esempio, il numero 0 non ammette reciproco, ossia nonesiste nessun numero che moltiplicato per 0 dia per risultato 1. Possiamo dare dignit di numero, in un nuovo contesto allargato, areciproco di 0? Se denotiamo con u questa nuova entit e se nelnuovo ambito continua a valere la propriet distributiva del prodot-to rispetto alla somma, ossia

(x y) z x z y z

Alcune strutture 15


3 Julius Wilhelm Richard Dedekind (Braunschweig, 1831 Braunschweig, 1916), mate-matico tedesco. Ha fornito contributi importanti in teoria dei numeri e ha proposto unadelle prime presentazioni coerenti del sistema dei numeri reali.4 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 1845 Halle, 1918), ma-tematico tedesco. Ha fornito importanti contributi in analisi matematica, nellambito deiquali ha elaborato quella che oggi si chiama teoria degli insiemi, che, tra laltro, il pri-mo tentativo riuscito di gestione coerente dellinfinito attuale dopo oltre due millenni ditimori e prevenzioni.5 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Ostenfelde, 1815 Berlino, 1897), matematico te-desco. Con lui si perfeziona la prima sistemazione rigorosa del calcolo infinitesimale.


allora risulta

1 0 u (00) u 0 u 0 u 11 2

che assurdo, perch 1 2. Di conseguenza non esiste nessun al-largamento che consenta di dare dignit di numero a reciproco di 0e che sia compatibile con la propriet distributiva. Siccome nessunoha mai voluto rinunciare alla propriet distributiva, il reciproco di 0non si pu fare, nemmeno nei contesti pi allargati. Ritornando a radici e , lelaborazione di un quadro coerente in cuiinserire tali numeri, e anche altri, richiese pi di due millenni e si per-fezion nel biennio 1872-73 con i fondamentali lavori di R. De-dekind3, G. Cantor4 e K. Weierstrass5, che portarono a definire esat-tamente il concetto di numero reale. In questo modo si ricostituivaquella perfetta corrispondenza fra enti numerici ed enti geometrici,vagheggiata dai pitagorici e vanamente inseguita per tanto tempo. Ilfatto poi che si potesse pervenire al concetto di numero reale per co-struzioni successive, partendo dai numeri naturali e passando perquelli razionali, rivel una sorprendente possibilit di ricondurre ilcontinuo al discreto, constatazione inaspettata, visto che per millenniil discreto e il continuo erano stati concepiti come realt inconciliabi-li. Quello che c dietro il formidabile linguaggio della teoria degliinsiemi, elaborata da Cantor e perfezionata nella prima met del 900;essa fornisce gli strumenti per gestire correttamente il concetto di in-finito attuale, ossia la situazione in cui infiniti oggetti sono considera-ti contemporaneamente. Cos come il numero razionale 5/3 univo-camente determinato dai due numeri naturali 5 e 3, ogni numero rea-le univocamente determinato, per esempio, dallinsieme dei nume-ri razionali di lui maggiori. La costruzione dei numeri reali si basa suquesto fatto. Il punto che, per determinare anche un solo numeroreale, occorre considerare contemporaneamente tutti i numeri razio-nali di lui maggiori, mentre per determinare un numero razionale ba-


6 Leopold Kronecker (Liegnitz, 1823 Berlino, 1891), matematico e logico tedesco.Importanti i suoi contributi allalgebra e alla teoria dei numeri.7 Giuseppe Peano (Spinetta di Cuneo, 1858 Torino, 1932), matematico e logico italia-no. Ha dato contributi importanti allanalisi matematica, ma soprattutto noto per la lu-cidit con cui ha trattato le questioni che, a cavallo fra XIX e XX secolo, coinvolgevanoi fondamenti della matematica8 1. Esiste un numero naturale, 0 (zero); 2. Ogni numero naturale ha un numero natura-le successore; 3. Numeri diversi hanno successori diversi; 4. Lo zero non il successoredi alcun numero naturale; 5. Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e ilsuccessore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali.

17Alcune strutture

stavano due numeri naturali. Solo un linguaggio capace di gestire lin-finito attuale, come la teoria degli insiemi, poteva consentire un simi-le passaggio. La costruzione che porta a ricondurre i numeri reali ainaturali fu chiamata aritmetizzazione del continuo, o aritmetizzazionedellanalisi, in riferimento al calcolo infinitesimale, e spinse il mate-matico tedesco L. Kronecker6 a proferire la celebre frase: Dio fece inumeri naturali; tutto il resto opera delluomo. A quel punto lat-tenzione si rifocalizz sui numeri naturali e di l a poco il matematicoitaliano G. Peano7 formul i suoi famosi cinque assiomi8 che tuttoracostituiscono il punto di riferimento per le propriet basilari dei nu-meri naturali. Tra le conseguenze di questi cinque assiomi si ritrovain particolare linfinit dei numeri, ovvero il fatto che il processo delcontare (che nellambito degli assiomi di Peano consiste nel conti-nuare a trovare il successore) non ha mai termine: ogni numero ha unsuccessore (assioma 2), quindi posso continuare a contare e trovosempre numeri nuovi (assioma 3). Ritornando alla costituzione dellinsieme dei numeri reali, ancorauna volta veniva messo in atto un passaggio dallelementare al ma-neggevole, perch i numeri razionali sono pi elementari dei nume-ri reali, che per costituiscono un ambiente allinterno del quale so-no possibili pi operazioni. Anzi, lambiente dei numeri reali cosconfortevole, che anche i modelli sullevoluzione delle popolazioni,di cui parleremo nel capitolo La matematica nelle scienze umane edella vita, descrivono la numerosit delle popolazioni stesse utiliz-zando numeri reali. Questo significa che, al momento di interpreta-re i risultati, ci dovr essere un processo di approssimazione per cuiuna risposta come una popolazione di 1000,4 persone verr con-vertita (plausibilmente) in una popolazione di 1000 persone. A questo punto i tempi sono maturi per un ritorno alluniverso fini-to del computer, con cui dobbiamo comunque fare i conti (in pi diun senso). La mediazione costituita dal concetto di numero deci-male, su cui adesso ci soffermeremo. Al mondo del computer e al


9 Per esempio, in base 7 il numero si scrive come 0,2.10 Lindirizzo URL completo molto lungo, ma sufficiente fare una ricerca conGoogle utilizzando come parole chiave computing pi to 206 billion digits. 11 Nel mondo anglosassone si utilizzano in modo rovesciato il punto e la virgola perla rappresentazione dei numeri, quindi la virgola in 206,158,430,000 serve unicamente aseparare gruppi di tre cifre, come in Italia si fa con il punto. In altre parole si tratta di206 miliardi 158 milioni 430 mila cifre.


modo in cui interagisce con i modelli matematici dedicato il capi-tolo Computer e soluzioni approssimate. Quando diciamo che pi greco () uguale a 3,14 avvengono molte co-se simultaneamente, che cercheremo di approfondire un po. Tantoper cominciare si tratta di unaffermazione falsa: sappiamo infatti chein verit solo approssimativamente uguale a 3,14. Un altro nume-ro che si comporta in modo simile per certi aspetti 2/7, ovvero

0,285714285714...

Ci siamo premurati stavolta di mettere i puntini di sospensione aindicare che in realt la scrittura 0,285714285714 solo una ap-prossimazione di 2/7. Di fatto non possiamo rappresentare 2/7 informa decimale, senza dover sprecare infinita carta. Peraltro, se ilsistema di scrittura fosse in base 7 o 14 o 21, non ci porremmonemmeno il problema, visto che in tali basi si pu esprimere 2/7con un numero finito9 di cifre dopo la virgola. In verit, la scrittura decimale di 2/7, rapporto tra due numeri na-turali, ha un andamento regolare e ripetitivo, che in effetti permet-te di capire come vanno le cose senza bisogno di scrivere per forzatutte le cifre decimali, e lo stesso discorso vale per tutte le frazioni.In altre parole, possediamo un algoritmo che ci permette di otte-nere facilmente tutte le cifre che desideriamo della scrittura deci-male di una qualunque frazione. Per quanto riguarda invece, curiosando in Internet10 si trova la se-guente pagina11:

Computing Pi to 206 billion digits by Franois Labelle

Introduction

Although 10 digits are sufficient for all practical pur-poses, the computation of Pi to as many digits as pos-


19Alcune strutture

sible provides an endless challenge. This page descri-bes the September 1999 computation of Pi to206,158,430,000 decimal digits by Y. Kanada and D.Takahashi of the University of Tokyo. Storing all thesedigits in ASCII format would require 303 CD-ROMs!

Si conoscono dunque un numero enorme di cifre decimali di , lar-gamente superiore a qualunque necessit pratica, tuttavia questonon ci autorizza ad affermare di conoscere tutte le cifre della rap-presentazione decimale di . La situazione per certi versi simile al-la scrittura di 2/7: abbiamo un algoritmo che ci permette di scriveretutte le cifre che vogliamo di , sia pure in tempi sempre maggiori(ed su tale algoritmo che si basano i programmi per computer co-me quello citato sopra), solo che non cos semplice e immediatocome quello per 2/7. Nel momento in cui si posseggono algoritmicon tali propriet, la palla rimbalza nel campo delle applicazioni. Inqualunque contesto pratico c sempre un margine di errore tollera-bile; ci deve essere, anche perch le informazioni note saranno essestesse affette da errori di misura. A quel punto si tratta di vedere, divolta in volta, quali siano le approssimazioni decimali compatibilicon le tolleranze del problema. Per pagare un terreno circolare di raggio 1 metro che costa 1 euro almetro quadro si dovr giocoforza ricorrere al vecchio 3,14, nonessendo stata ancora coniata la moneta da euro.

2. Dimensione

Nei libri di testo di biologia per le scuole non viene quasicitato, ma oltre ai cinque sensi canonici ne esiste uno localizzato nel-lorecchio interno di cui ci rendiamo scarsamente conto e che tut-tavia di estrema importanza. Gli organi di senso corrispondenti so-no i canali semicircolari responsabili della percezione del corpo nel-lo spazio e del suo equilibrio. Alcuni degli esperimenti che Galileoha immaginato nei suoi scritti avvengono in modo sostanzialmenteequivalente allinterno di questi canali, in cui viene rilevato il movi-mento del fluido chiamato endolinfa, che a sua volta riflette i movi-menti, o meglio le accelerazioni, della testa. Il malfunzionamento diquesti organi comporta capogiri o addirittura limpossibilit di ri-manere in piedi. Questo avviene, per esempio, dopo una serie di pi-roette: il risultato la fastidiosa sensazione che il mondo ci giri at-


Figura 2. I canali semicircolari nellorecchio interno.

Canale superiore

Utricolo

Coclea

Sacculo

Vestibolo

Canaleorizzontale

Canale posteriore


torno. In ciascun orecchio ci sono tre canali semicircolari, dispostigrosso modo secondo tre piani mutuamente ortogonali (Figura 2). come se avessimo un piccolo sistema di assi cartesiani dentro ciascunorecchio! Il numero tre non ovviamente casuale, e corrisponde alle dimen-sioni dello spazio in cui ci muoviamo. Esso esprime essenzialmenteil concetto, pi o meno intuitivo, che si pu individuare in modounivoco un punto dello spazio specificando le sue tre coordinate,una volta che si sia scelto un sistema di riferimento. Il sistema di riferimento cartesiano, ovvero basato su tre assi mutua-mente ortogonali che si incontrano in un punto (chiamato origine)non lunica scelta possibile; per esempio, si pu utilizzare latitudi-ne, longitudine e altitudine per individuare un punto nei pressi del-la superficie della Terra. Si tratta di un sistema di coordinate noncartesiano in cui le linee coordinate, ottenute facendo variare solouna delle tre coordinate, non sono rettilinee. Questa scelta, che pri-vilegia la forma sferica della superficie terrestre, non funziona beneovunque: nei pressi dei poli, o meglio lungo tutto lasse di rotazionedella Terra, non c una corrispondenza biunivoca tra terne di nu-meri e punti dello spazio, tanto che la longitudine perde di signifi-cato. Inoltre risulta necessario scegliere un particolare meridiano (lalinea di cambiamento di data) dove la longitudine salta dal valore180 a 180. Tuttavia, da un punto di vista locale, il sistema ri-mane perfettamente valido.


12 Euclide, matematico greco, visse molto probabilmente durante il regno di Tolomeo I(367 a.C. ca.-283 a.C.). sicuramente il pi importante matematico della storia antica, euno dei pi importanti e riconosciuti di ogni tempo e luogo. noto soprattutto come au-tore degli Elementi, la pi importante opera di matematica dellantichit.13 Da un punto di vista puramente concettuale c un importante salto logico tra la di-mensione uno e la dimensione due, mentre il passaggio dalla dimensione due alla di-mensione tre non altrettanto critico. 14 Il cui enunciato : Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso latoangoli interni la cui somma minore di quella di due angoli retti, prolungando le duerette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli minore di dueretti.

21Alcune strutture

In definitiva, la consapevolezza di vivere in uno spazio tridimensio-nale pu essere considerato un fatto innato, senza con questo nullavoler togliere alla complessit del concetto di dimensione spaziale.Non si pu invece dire lo stesso riguardo alla struttura dello spazio,questione che stata molto dibattuta. Lo spazio euclideo qualcosadi pi di uno spazio tridimensionale. Si assume in effetti di poter fa-re misure di lunghezza e operazioni come gli spostamenti rigidi. Eu-clide12 ha in particolare studiato il caso di uno spazio a due dimen-sioni13, il piano euclideo. Il risultato del suo studio rappresenta ilprimo esempio storico di sistema assiomatico, vale a dire di un uni-verso di lavoro governato da alcune regole prestabilite (assiomi e po-stulati) di cui non si pretende a tutti i costi unaderenza perfetta conla realt fisica: in effetti gli oggetti della geometria euclidea sono en-ti astratti che non hanno equivalenti nella realt se non in modo va-go e approssimato. Il famoso quinto postulato14 era stato corretta-mente individuato da Euclide come tale: un postulato, quindi nondeducibile dagli altri assunti. La cosa era talmente poco ovvia daprovocare innumerevoli tentativi di dimostrazione che continuanoancora oggi.

3. Continuit

C tuttavia un altro aspetto, molto pi sottile della di-mensione dello spazio, legato alla struttura fine anche di spazi mo-nodimensionali, cio di ambienti dove una sola coordinata suffi-ciente per individuare una posizione. La continuit di uno spazio eu-clideo (dimensione tre), di un piano o di una retta (dimensione uno) un concetto che ha richiesto letteralmente millenni per essere com-preso in modo abbastanza completo. Ci interesseremo qui unica-mente degli aspetti matematici della questione; la realt fisica micro-scopica dello spazio reale tuttaltra questione, che riguarda fisici e


filosofi. Quello che intendiamo dire che la matematica ha costrui-to un modello dello spazio, ma la sua aderenza alla realt fisica questione che non riguarda in modo proprio la matematica. Si trat-ta di un modello rigoroso, su cui si pu operare senza pericolo diambiguit o di incappare in situazioni paradossali.

3.1 Pitagora e i pitagorici Come abbiamo gi avuto modo di osservare nel primo pa-

ragrafo, la scoperta dellesistenza di lunghezze tra loro incommen-surabili, ovvero di numeri non razionali, ha causato una grave crisiallinterno della scuola pitagorica15. In effetti veniva messa in evi-denza limpossibilit di poter misurare le grandezze (per esempio,lunghezze geometriche) utilizzando una medesima piccola unit dilunghezza indivisibile. In altre parole non si riusciva a ricondurre ilprocesso del misurare al processo del contare. Daltra parte, seimmaginiamo di disegnare su una retta tutti i numeri razionali, otte-niamo un insieme che si addensa ovunque: in apparenza esso riem-pie tutta la retta. Ci rende impossibile visualizzare concretamente lincompletezzadellinsieme dei numeri razionali. Anche i celebri paradossi di Ze-none16 contro il movimento nascono dalla difficolt concettuale diafferrare la nozione di continuit di insiemi di grandezze e di in-siemi numerici. La costruzione dei numeri reali, che ha infine per-messo di superare la dicotomia tra numeri (razionali) e grandezze, in effetti puramente concettuale e ottenuta con il preciso scopodi trovare una soluzione rigorosa allapparente contraddizione le-gata alla scoperta dei numeri irrazionali. Non si tratta semplicemente di aggiungere un po di quantit nu-meriche al solo scopo di dare esistenza alle quantit geometricheincommensurabili (irrazionali) che potevano essere costruite nel-lambito della geometria euclidea, ma di risolvere la questione inmodo pi radicale. Linsieme che ne deriva, i numeri reali, di fat-to talmente importante da poter essere considerato come pietra an-


15 La scuola pitagorica, fondata a Crotone intorno al 530 a.C., assunse caratteristiche disetta misterica. Per i pitagorici il numero (inteso come numero naturale secondo la ter-minologia moderna) fondamento di ogni cosa, compresa la geometria. curioso il fat-to che proprio il teorema di Pitagora permetta di ottenere il pi noto esempio di lun-ghezze incommensurabili: il lato e la diagonale di un quadrato. Questa scoperta, secon-do la leggenda, fu tenuta rigorosamente segreta.16 Zenone di Elea (495 a.C.-430 a.C.), filosofo greco presocratico, famoso per aver pro-posto una serie di paradossi sul concetto di infinito attuale.


golare di quella branca fondamentale della matematica nota con ilnome di analisi matematica. La propriet essenziale di cui gode linsieme dei numeri reali quella che si chiama anche continuit della retta reale: se dividia-mo i numeri reali in due sottoinsiemi non vuoti A e B aventi la pro-priet che ciascun elemento di A minore di ciascun elemento diB (cio si considera una sezione dei numeri reali), esiste sempre unnumero reale x che separa A e B, cio tale che tutti gli elementi diA sono minori o uguali a x e tutti gli elementi di B sono maggiorio uguali a x. Questa propriet non verificata dai numeri raziona-li: se, per esempio, costruiamo la sezione (A, B) con B ottenutoprendendo i numeri razionali positivi il cui quadrato maggiore di2 e A formato da tutti i numeri razionali rimanenti, ci rendiamoconto che non esiste nessun numero razionale che separi A e B; ta-le numero, se esistesse, avrebbe il quadrato uguale a 2, il che as-surdo. Nemmeno linsieme dei numeri algebrici, formato da tuttele soluzioni di equazioni algebriche di qualunque grado con coef-ficienti razionali, ben pi ampio dellinsieme dei numeri razionali,soddisfa la propriet di continuit17. I numeri reali sono, in effetti, un insieme molto pi ricco. La car-dinalit (concetto introdotto da Cantor per quantificare la nume-rosit di insiemi infiniti) dellinsieme dei numeri reali, chiamatacardinalit del continuo, strettamente maggiore della cardinalitdellinsieme dei numeri razionali, fatto dimostrato dallo stessoCantor in modo molto elegante con il cosiddetto procedimentodiagonale. La cardinalit dellinsieme dei razionali invece la stes-sa di quella dei numeri naturali (cardinalit del numerabile)18.In altre parole, mentre possibile stabilire una corrispondenza biu-nivoca tra i numeri naturali e i numeri razionali, lo stesso non si pufare con i numeri reali. Cantor tent a pi riprese di dimostrare chenon esistono insiemi con cardinalit intermedia tra quella dei nume-ri naturali e quella dei numeri reali (ipotesi del continuo), fatto chein seguito si scopr essere sia indimostrabile, sia irrefutabile.

Alcune strutture 23

17 , per esempio, algebrico il numero , in quanto soluzione dellequazione x2 2 =0. Viceversa non algebrico (si dice allora che trascendente) il numero . 18 La cardinalit di , il pi piccolo numero cardinale transfinito, stata indicata daCantor con il simbolo 0 (si legge alef-con-zero; alef la prima lettera dellalfabetoebraico), notazione tuttoggi utilizzata. I cardinali subito maggiori sono 1, 2 ecc. Acausa di difficolt legate alla cosiddetta ipotesi del continuo non possibile identificarela cardinalit dei numeri reali, generalmente indicata con la lettera c, con uno di questi.


19 Albert Einstein (Ulma, 1879 Princeton, 1955), fisico tedesco. Ha rivoluzionato laconcezione del mondo fisico con le sue teorie della relativit ristretta (1905) e della rela-tivit generale (1915). Ricevette il premio Nobel per la fisica nel 1921 per la spiegazionedelleffetto fotoelettrico.20 Nel contesto delle variet riemanniane, ovvero spazi dotati di una metrica, si parla pipropriamente di geodetiche per riferirsi a percorsi di minima lunghezza, che corrispon-dono alle rette della geometria euclidea.

Figura 3. Immagine schematica di come la massa della Terra incurvi lo spazio-tem-po circostante.


4. La teoria della relativit generale

Nel 1915 Albert Einstein19 pubblic la sua teoria della re-lativit generale, in cui a partire dai fondamenti gettati dalla teoriadella relativit speciale del 1905, cerca di ricondurre le leggi dellagravitazione a effetti dovuti alla curvatura dello spazio-tempo pro-vocata dalla massa dei corpi celesti. Tale approccio ha costituito un capovolgimento totale rispetto alleteorie precedenti: le orbite dei pianeti non si incurvano, come con-seguenza della forza di gravitazione che perturba un moto altri-menti rettilineo uniforme in base alla legge F ma, sono invecetraiettorie rettilinee20 in uno spazio curvo, come schematicamenteillustrato nella Figura 3. Pensare allo spazio tridimensionale in cuiviviamo come uno spazio curvo tuttaltro che intuitivo; in effettila curvatura dello spazio dovuta alla gravitazione del pianeta Terra talmente piccola da non essere minimamente percepibile e gli ef-fetti diventano importanti solo in presenza di grandi masse come lestelle o su enormi distanze (milioni di anni luce).


21 Eratostene di Cirene (Cirene, 276 a.C. Alessandria dEgitto, 194 a.C.), matematico,astronomo, geografo e poeta greco. Misur per primo con grande precisione il raggiodella Terra. Elabor il crivello di Eratostene, un metodo per lindividuazione dei nume-ri primi. Per il suo esperimento consider le citt di Alessandria e Siene (lodiernaAssuan) che stanno circa sullo stesso meridiano. Siene si trova sul tropico del Cancro, co-sicch a mezzogiorno del solstizio destate il sole si trova allo zenit e i suoi raggi rag-giungono il fondo di un pozzo. Misurando alla stessa ora dello stesso giorno la lunghez-za dellombra proiettata da un palo nella citt di Alessandria, Eratostene ha potuto cal-colare la differenza di longitudine tra le due citt e quindi, in base alla loro distanza(252.000 stadi), la lunghezza di un meridiano terrestre. Lerrore nella sua valutazione inferiore al 3%.

Figura 4. Leffetto lente gravitazionale schematicamente mostrato nel disegno disinistra. La fotografia a destra mostra la croce di Einstein: le quattro stelle ai ver-tici del rombo sono in realt immagini diverse di uno stesso quasar che si trova die-tro a una galassia massiccia. Questultima la causa delleffetto lente.

25Alcune strutture

Si tratta di una situazione analoga alla difficolt di percepire la cur-vatura della superficie terrestre in base allesperienza diretta: a cau-sa della grande differenza di scala tra la dimensione di un uomo e ladimensione della Terra la prima sensazione che si ha di una super-ficie piatta. Solo misure indirette, come il famoso esperimento diEratostene21 o una foto panoramica da un punto lontano dalla su-perficie terrestre (fatta da un astronauta in orbita) possono convin-cere della sfericit della Terra. Il fatto che oggi nessuno metta pi indubbio la sfericit della Terra non deve farci concludere che luomocontemporaneo abbia una maggiore sensibilit nella percezione con-creta della realt tangibile. Si tratta pi semplicemente del fatto chefin da piccoli siamo informati su questo fatto a scuola. La curvatura dello spazio della relativit generale non discrimina trapianeti e raggi luminosi. Anche questi ultimi vengono deviati (moltomeno vistosamente a causa della elevata velocit della luce), cosa cheha permesso una notevole verifica sperimentale della teoria. In ef-


22 La metrica di Minkowski una particolare nozione di distanza in cui sono ammesse an-che distanze negative e nulle. Un raggio di luce, per esempio, collega due eventi (cio duepunti dello spazio-tempo) a distanza nulla. Due eventi associati a tempi differenti nellastessa posizione spaziale hanno distanza positiva. Due eventi temporalmente simultaneiin posizioni spaziali diverse si trovano invece a una distanza negativa. 23 Bernhard Riemann (Breselenz, 1826 Selasca, 1866), matematico e fisico tedesco.Contribu in modo determinante a molti ambiti della matematica, in particolare in geo-metria e analisi complessa. Da lui prende il nome la famosa ipotesi di Riemann, tuttoraindimostrata.


fetti, quando transita vicino a un corpo molto massiccio un raggioluminoso proveniente da una stella lontana subisce una deviazionesimile a quella dovuta alla rifrazione in una lente. Leffetto lente chene deriva provoca in particolari situazioni lo sdoppiamento appa-rente di alcuni corpi celesti. Uno di questi casi illustrato a destranella Figura 4; a sinistra nella stessa figura viene illustrato schemati-camente leffetto: il nostro occhio vede provenire da due direzionisensibilmente diverse raggi luminosi che hanno la stessa origine.

4.1 Spazio, tempo e superfici Sono ora necessarie alcune considerazioni. Anzitutto nel-

la teoria della relativit speciale, e quindi anche nella relativit ge-nerale, bisogna riferirsi allo spazio-tempo come a un tuttuno, noncome a due entit separate e indipendenti come invece avveniva pri-ma di Einstein, e come anche il senso comune suggerirebbe. Il com-portamento sensibilmente diverso dello spazio rispetto al tempo conseguenza di una particolare scelta della metrica22 nel continuumspazio-temporale. Trascureremo per questo aspetto importante eci limiteremo a parlare di uno spazio curvo dotato di una pi usua-le metrica riemanniana. Probabilmente Einstein si sarebbe trovatoin seria difficolt nello sviluppare la sua teoria della relativit gene-rale se non avesse potuto utilizzare le teorie matematiche da pocointrodotte da Bernhard Riemann23. Si trattato di un caso esem-plare della simbiosi che intercorre, spesso con modalit sorpren-denti, tra teorie matematiche e applicazioni alla fisica o pi in ge-nerale al mondo reale. Per esemplificare i concetti principali che stanno alla base della teo-ria delle variet riemanniane ci avvarremo di unanalogia con unaben nota forma darte giapponese. Nella Figura 5 rappresentato ilmodello pi conosciuto di origami, larte giapponese di piegare lacarta: si tratta di piegare opportunamente un foglio di carta quadra-to, in genere bianco da una parte e colorato dallaltra. vietato ef-


Figura 5. La gru la pi classica costruzione dellarte dellorigami.

24 Dobbiamo assumere che gli ipotetici abitanti della superficie di un cilindro (o di uncono) non facciano osservazioni globali, cio osservazioni che mettano in luce il fatto cheun giro completo attorno al cilindro permetterebbe di ritornare al punto iniziale.

27Alcune strutture

fettuare tagli e non si pu usare la colla. Coshanno in comune il fo-glio quadrato iniziale e il modello finale di gru della Figura 5? No-nostante laspetto completamente diverso, per un ipotetico abitantebidimensionale del foglio di carta non ci sarebbe alcuna differenza.Immaginiamo che luniverso di tale abitante sia il foglio di carta eche quindi egli non abbia alcuna percezione di una terza dimensio-ne. Non avrebbe modo di effettuare misure al di fuori del suo uni-verso e di conseguenza non percepirebbe le pieghe presenti nel mo-dello di origami. Abbiamo un primo esempio di una variet riemanniana: una super-ficie alla cui struttura metrica intrinseca siamo interessati, ovvero atutte le propriet che dipendono solo da misure di lunghezza che sipossono effettuare rimanendo sempre confinati sulla superficie. Ilfoglio di carta, piegato o non piegato, una superficie piatta dal pun-to di vista della sua struttura metrica, ovvero indistinguibile da unpiano. La superficie laterale di un cilindro o la falda di un cono so-no anchesse piatte per un loro abitante, tant vero che possiamo ot-tenerle arrotolando un foglio di carta. Esse sono indistinguibili da unpiano, perlomeno da un punto di vista locale24.


25 Mercatore, nome latinizzato di Gerardus Mercator (Rupelmonde, 1512 Duisburg,1594), matematico, astronomo e cartografo fiammingo. Noto per i suoi studi sulla carto-grafia.26 Richard Buckminster Fuller (Milton, 1895 Los Angeles, 1983), inventore, architettoe designer statunitense. Invent, tra laltro, le cupole geodetiche e la rappresentazionecartografica detta Dymaxion Map, o proiezione di Fuller.


La superficie della Terra (che immaginiamo perfettamente sferica) invece una superficie intrinsecamente curva, anche se ne consideria-mo solo una porzione. Se scegliamo tre punti sulla superficie terre-stre e li colleghiamo con geodetiche, vale a dire con percorsi di lun-ghezza minima, otteniamo la versione sferica di un triangolo. Se mi-suriamo i tre angoli al vertice di questo triangolo e li sommiamo ab-biamo per una sorpresa: il risultato maggiore di 180! La discre-panza rispetto al valore 180 diventa molto evidente se i tre punti so-no molto distanti tra loro: se, per esempio, scegliamo il Polo Nord edue punti sullEquatore rispettivamente sul meridiano 0 (diGreenwich) e 90, otteniamo un triangolo con tre angoli retti, la cuisomma 270, che supera 180 di 90. Al contrario si avr una di-scordanza estremamente piccola, ma mai nulla, se i tre punti sono vi-cini: per esempio, per tre citt della Lombardia. Se ci limitiamo auna ristretta area geografica la geometria della superficie terrestre quasi (ma non esattamente) euclidea. La costruzione del triangolo che abbiamo appena effettuato fa usosolamente delle propriet metriche intrinseche, e questo mostra cheeffettivamente abbiamo una superficie intrinsecamente diversa daun piano. questo fatto a rendere difficoltosa la rappresentazionecartografica della superficie terrestre. Tutto funziona piuttosto benefinch ci si limita a rappresentare su un foglio di carta piccole por-zioni della superficie; i problemi nascono quando si vogliono rap-presentare interi continenti, se non tutto il globo terrestre. Si posso-no fare svariate scelte nella tecnica di rappresentazione. Per esempio, nella Figura 6 rappresentata la proiezione cilindricadi Mercatore25, che provoca vistose amplificazioni delle regioni vici-ne ai poli, mentre nella Figura 7 si vede la proiezione di Buckmin-ster Fuller26 in cui la superficie terrestre viene proiettata su un ico-saedro successivamente sviluppato sul piano. Qualunque scelta sifaccia sar tuttavia impossibile evitare deformazioni pi o meno evi-denti dei dettagli geografici. proprio lanalogia con la cartografia che ha suggerito ai matema-tici lintroduzione dei termini di carta locale e di atlante: una carta


Figura 6. Proiezione cilindrica di Mercatore, le zone vicine ai poli subiscono unaforte espansione e appaiono molto pi grandi di quanto non sono in realt.

Figura 7. Planisfero Dymaxion, ottenuto tramite la proiezione di Fuller.

29Alcune strutture

locale consiste in una corrispondenza biunivoca tra una porzionedella superficie e una porzione del piano cartesiano, con leffettodi fornire un sistema di coordinate locali. Un atlante una colle-zione di carte locali che ricoprono tutta la superficie e aventi so-vrapposizioni parziali tra di esse. Nelle zone della superficie ap-partenenti a pi di una carta locale necessario fornire una descri-zione di come passare dal sistema di coordinate riferite a una car-ta a quello riferito a unaltra carta. Quello che si ottiene una va-riet bidimensionale. La generalizzazione a tre o pi dimensioninon presenta difficolt concettuali, si tratta semplicemente di au-mentare opportunamente il numero di coordinate.


La struttura metrica riemanniana pu essere aggiunta a una varietbidimensionale per mezzo del tensore metrico gij definito su cia-scuna carta locale. Si tratta di una matrice simmetrica 2 2, le cuicomponenti variano in funzione delle coordinate della carta, chepermette di calcolare la lunghezza di un piccolo spostamento. Se indichiamo con il vettore a due componenti (1,2) un piccolospostamento in termini di coordinate locali, la lunghezza s dello spo-stamento si otterr con la formula s g1111 g1212 g2121 g2222 che viene pi concisamente scritta, utilizzando la convenzio-ne di Einstein di somma rispetto agli indici ripetuti, come s gijij. Utilizzando il tensore metrico possibile calcolare, usando le tecni-che dellanalisi, la lunghezza di una curva qualsiasi e questo per-mette di individuare le geodetiche come curve di lunghezza mini-ma. La curvatura intrinseca di una superficie dotata di una metricariemanniana rappresentata da un oggetto denotato con : sitratta del tensore di Riemann, un tensore a quattro indici ottenutoa partire dal tensore metrico tramite opportune operazioni di deri-vazione. Ricordando che per una superficie ogni indice pu assu-mere i due valori 1 e 2, si hanno un totale di 24 componenti per ta-le tensore, ciascuna dipendente dal punto sulla superficie. Le com-ponenti diventano n4 per variet di dimensione n generica. Grazieper a propriet di simmetria e ad altre identit note, il numero dicomponenti indipendenti di tale tensore si riduce a

In dimensione 1 tale numero si riduce a 0, questo significa che iltensore di Riemann nullo, ovvero che una linea curva non ha cur-vatura intrinseca. Ci esprime il fatto che un abitante di una lineanon ha nessun modo per riconoscere eventuali incurvamenti delsuo universo monodimensionale. In dimensione 2 la formula (1)fornisce come risultato 1. Ci significa che la curvatura di una su-perficie (ora in qualche modo misurabile dai suoi abitanti) si espri-me con un unico valore che in generale pu variare da punto a pun-to. Tale valore essenzialmente espresso dalla curvatura gaussia-na, elaborata dal tedesco Carl Gauss27. Per superfici contenute


27 Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 1777 Gottinga, 1855), matematico, astronomoe fisico tedesco. Ha fornito contributi determinanti a molti campi della matematica.

(1)


nello spazio euclideo tridimensionale tale curvatura pu essere cal-colata facendo il prodotto delle due curvature principali28: la cur-vatura gaussiana di una sfera di raggio unitario 1. Un piano ha en-trambe le curvature principali nulle, quindi (come ci si aspettereb-be) la sua curvatura gaussiana nulla. La superficie di un cilindro(o di un cono) ha una curvatura principale nulla, quindi la sua cur-vatura gaussiana essa stessa nulla, lo stesso valore ottenuto per ilpiano. Tale risultato consistente con il fatto che gli abitanti dellasuperficie non sono in grado di distinguere tra il cilindro (il cono) eun piano. Abbiamo un universo piatto. Il numero di componenti in-dipendenti nel tensore di Riemann aumenta molto quando la di-mensione dello spazio aumenta: per n 3 si hanno 6 componentiindipendenti che diventano 20 in dimensione n 4. Osserviamoche lo spazio-tempo di Einstein ha dimensione 4, quindi le pro-priet di incurvamento dello spazio-tempo della relativit generalenon sono di fatto molto maneggevoli.

4.2 Le geometrie non euclidee Ritornando al caso delle superfici (dimensione n 2), ri-

cordiamo che le informazioni sulla curvatura possono essere rias-sunte da un singolo numero, la curvatura di Gauss, definita puntoper punto. Particolare interesse assumono le superfici per cui talenumero K di fatto costante ovunque. La costanza della curvaturaK permette di effettuare gli spostamenti rigidi, e questo in definitivapermette di costruire una geometria analoga alla geometria euclideain cui le geodetiche prendono il posto delle rette. A conti fatti29 siscopre che rimangono validi tutti gli assiomi della geometria eucli-dea con leccezione del quinto postulato. Nel caso K 0 anche il quinto postulato rimane valido, e si riottie-ne la geometria euclidea. Nel caso K 0 si ottiene la geometria sfe-rica (Figura 8). Un buon modello di questa geometria si ottiene con-siderando la superficie di una sfera con la metrica usuale. Le geode-tiche sono i cerchi massimi e non esistono rette parallele. Nel caso K 0 si ottiene la geometria iperbolica (Figura 9). Datauna retta (ovvero una geodetica) e un punto fuori di essa, esistono

Alcune strutture 31

28 Si parler ancora di curvature principali nel paragrafo 2 del capitolo Computer e so-luzioni approssimate. 29 Ci possono essere altre discrepanze dovute alla struttura in grande della superficie, peresempio sulla superficie di un cilindro ci saranno alcune geodetiche chiuse, corrispon-denti a circonferenze ottenute intersecando il cilindro con piani ortogonali allasse.


Figura 8. La superficie terrestre come modello di geometria sferica. La somma de-gli angoli interni di un triangolo maggiore di 180.

infinite rette passanti per quel punto che non intersecano la primaretta. Modelli di geometria iperbolica, cio realizzazioni concrete disuperfici con le propriet descritte, sono stati costruiti in particola-re da Jules-Henri Poincar30. Si tratta per di costruzioni in cui lastruttura metrica non quella abituale. Nel modello del disco di Poincar (vedi Figura 9 a destra) la super-ficie coincide con la parte interna di un cerchio unitario e le geode-tiche sono gli archi di cerchio che raggiungono ortogonalmente ilbordo del disco. Alcuni disegni di Maurits Cornelis Escher si riferi-scono a questo modello di geometria iperbolica; uno di questi rap-presentato nella Figura 10 del capitolo La matematica nellarte. possibile costruire anche un modello, simile alla sfera della geo-metria sferica (la cosiddetta pseudosfera rappresentata nella Figura

30 Jules Henri Poincar (Nancy, 1854 Parigi, 1912), matematico, fisico teorico e filosofonaturale francese. Poincar considerato un enciclopedico e in matematica lultimo uni-versalista, dal momento che eccelse in tutti i campi della disciplina noti ai suoi giorni.



Figura 9. Nella geometria iperbolica la somma degli angoli di un triangolo infe-riore a 180. A destra rappresentato il modello del disco di Poincar; data una ret-ta e un punto fuori di essa ci sono infinite rette parallele passanti per tale punto.

Figura 10. La pseudosfera.

33Alcune strutture

10), in cui si costruisce una superficie nello spazio e si utilizza la me-trica usuale, tuttavia tale superficie contiene dei punti singolari cherendono questo modello meno interessante rispetto ai modelli pro-posti da Poincar.


31 Galileo Galilei (Pisa, 1564 Arcetri, 1642), fisico, astronomo, matematico e filosofo ita-liano. considerato il padre del metodo sperimentale e della scienza moderna.

La matematica appare a molti una scienza esatta: tutti itifosi di calcio conoscono bene lespressione certezza matemati-cadello scudetto o della retrocessione. Pu apparire quindi stranoparlare di errore in ambito matematico: secondo quanto si perce-pisce della matematica, senzombra di dubbio un ragionamento,una dimostrazione, una formula contenenti un errore sono da but-tare. In logica si pu mostrare che, se si ammette che anche solouno degli enunciati della matematica possa essere sempre falso, al-lora sarebbe corretto dedurne qualunque cosa: limplicazione sa-rebbe sempre vera (almeno secondo le regole della logica), e quin-di, sempre secondo le regole della logica, si potrebbe correttamen-te dedurre tutto ci che si vuole. Daltro canto, sappiamo che a vol-te le previsioni della scienza non sono rispettate, e quindi da qual-che parte si annidano degli errori. Ma non di errori interni alla matematica che si parla, bens del mo-do in cui essa cerca di trattare gli errori esterni; si parla, cio, dellesituazioni concrete alle quali la matematica si applica. Le applica-zioni della matematica sono cresciute in maniera notevole durante il900, anche se percezione diffusa il fatto che ci risalga a moltoprima. Probabilmente la celebre frase che Galileo31 scrive ne Il Sag-giatore:

La filosofia scritta in questo grandissimo libro che continua-mente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico luniverso), manon si pu intendere se prima non simpara a intender la lingua,e conoscer i caratteri, ne quali scritto. Egli scritto in linguamatematica, e i caratteri son triangoli, cerchi e altre figure geo-metriche, senza i quali mezzi impossibile a intenderne umana-mente parola; senza questi un aggirarsi vanamente per un oscu-ro laberinto.

MODELLI E PREVISIONI



ha contribuito a diffondere unimpressione di ubiquit della mate-matica che non si rivelata tale fino agli inizi del 900. Se vero, daun lato, che la fisica dipende in maniera essenziale dalla matematicaper la formalizzazione dei suoi concetti, altrettanto vero che la tec-nica ha fatto a meno per secoli della matematica, crescendo molto dipi per via empirica per tentativi, invenzioni (ed errori) che pervia deduttiva. Tuttavia, anche restringendosi solamente alla fisica, laprima grande discrepanza con la matematica riguarda lessenza stes-sa dellagire del fisico: la misurazione.

1. Lesattezza nel modello matematico e gli errori sperimentali

Ogni misurazione affetta da errori, per molti versi ine-liminabili e per ragioni che vanno fino al cuore della fisica e nellequali non vogliamo addentrarci. Eppure, nella pratica millenaria aogni misurazione (di una quantit scalare) associato un numero.Vale la pena di notare che questa non una richiesta matematica,n che sia sempre chiaro quale tipo di numero sia opportuno usa-re. Esistono misurazioni non numeriche (per esempio, misure discarpe 40-41), ma in genere, quando le cose devono essere fatte inmodo preciso, si tende a pensare a un numero con molte cifre de-cimali. La scelta di servirsi del numero per rappresentare il risul-tato di una misura quindi una convenzione, e si potrebbe forseaffermare che il numero il pi semplice modello matematico.Per modello si intende un qualunque ente, concreto o astratto,creato per simulare, rappresentare o predire i comportamenti di uncerto fenomeno o comunque di una situazione da descrivere o stu-diare. A seconda del tipo di grandezza fisica da rappresentare, siusano numeri diversi: se le grandezze sono discrete, i numeri inte-ri sono i pi indicati (ma non i soli: per esempio, in fisica si usanospesso numeri seminteri, come 1/2, 3/2, 5/2 ecc.); se invece legrandezze sono supposte continue la parte del leone svolta dalnumero reale. La modellizzazione del continuo forse la pi profonda e impor-tante concettualizzazione matematica, e le sue implicazioni sonospesso ignorate a fronte dei vantaggi che i numeri reali offrono, co-me gi osservato nel capitolo iniziale. Tuttavia, anche assumendo convenzionalmente un tipo di numeri per esempio, quelli reali , il passo successivo nellindagine dei fe-nomeni rivela immediatamente la necessit di ulteriori scelte.


37Modelli e previsioni

A parte, forse, alcuni sistemi veramente elementari come le particellesubatomiche (che sono entit comunque non misurabili in senso con-venzionale), ogni sistema fisico appare allindagine composto di par-ti, spesso a loro volta composte da altre parti, e cos via. Appare evi-dente allo sperimentatore il fatto che per descrivere il comportamen-to del sistema serva conoscere quello delle parti. Quindi, volendo essere rigorosi, la descrizione completa di un si-stema sarebbe ricondotta a quella dei suoi componenti elementari. questo latteggiamento cosiddetto riduzionista, che nella pratica spes-so si rivela impossibile da perseguire e anche inutile ai fini che ci sipropone. Un semplice esempio chiarir cosa vogliamo dire. Lespres-sione il treno arriva in stazione pu essere sensata o completamen-te priva di senso a seconda del tipo di modello che si usa per la sta-zione e per il treno: se essi sono rappresentati con dei punti geome-trici, lespressione ha un senso univoco, ma se si usa per descriverliun segmento o un arco di curva, allora linterpretazione potrebbe es-sere pi difficile: se la motrice del treno sta fra linizio e la fine dellastazione intesa come segmento , questa descrizione potrebbenon essere sufficiente per parlare di salita e discesa dei passeggeri,perch alcuni vagoni non sono raggiungibili, e cos via. Apprendiamoallora che il tipo di predizione del fenomeno suggerisce la sua rap-presentazione. Se, sempre nellesempio del treno, diamo per sconta-to che sovrapporre i punti equivalga a poter far salire tutti i passeg-geri sufficiente descrivere treno e stazione con dei punti, ma se si interessati a un flusso di salita e discesa dei passeggeri, allora no. Altra questione, ben pi complessa e filosofica, se la conoscenzadel fenomeno sia completa solo con la descrizione ultima delle partio meno, o addirittura se la realt del fenomeno necessiti quella del-le sue parti. Questo esula dallo scopo di questa nostra indagine, e illettore trover le pi diverse proposte nei testi filosofici. Noi ci ac-contentiamo di ricordare che la correttezza delle previsioni di unmodello dipende non solo dalla bont delle deduzioni, ma anchedallinterpretazione di dette previsioni in relazione alla struttura delmodello. Anche qui un semplice esempio chiarir quanto vogliamo dire. Sesiamo interessati al moto della Luna attorno alla Terra, possiamo de-cidere di rappresentare Terra e Luna con dei punti materiali, che so-no punti della geometria con laggiunta della massa. Se poi siamo in-teressati a una descrizione non esageratamente precisa possiamo sce-gliere la meccanica newtoniana per la descrizione del fenomeno (ri-


nunciando cio alla relativit generale, che pi precisa), la qualefornisce la curva (lorbita della Luna attorno alla Terra), e, volendo,tutte le altre quantit orbitali desiderate. Tutto questo ci permette diconoscere la posizione della Luna sulla volta celeste in un momentopreciso, ma non ci dar grandi informazioni sulle maree. Se avessi-mo voluto aver conto anche di queste, avremmo dovuto includerelazione del Sole, e, probabilmente, anche rinunciare a rappresenta-re la Terra come un punto. Quali sono i vincoli che vanno comunque imposti a un modello ma-tematico? Senza dubbio la non contradditoriet: se un modello ma-tematico produce risultati contraddittori significa che vi una con-traddizione nelle premesse o un errore di deduzione. Per la noncontraddittoriet temperata dallinterpretazione, nel senso che seun modello prevede risultati contraddittori fuori dal suo campo diapplicabilit, allora questa contraddizione non toglie la validit delmodello in altre situazioni. Per esempio, in molti modelli biologici sipreferisce usare variabili reali, anzich intere, per misurare la nume-rosit delle specie, come risulter anche nel capitolo dedicato aScienze umane e della vita. Pu quindi accadere che un modellopreveda equilibrio predatori-prede se vi sono ...predatori (per esempio tigri), che contraddittorio in quanto0,205... tigri meno di una tigre, quindi morta e non pu essere unpredatore, e allora le tigri sono 173 e non una situazione di equili-brio. Anche se questo esempio fa un po ridere, lespressione equi-librio in realt da interpretarsi in modo diverso, e cio comeoscillazione numerica molto piccola rispetto allentit delle speciepresenti, con un piccola che a rigore andrebbe specificato. Quali sono gli ambiti nei quali la modellizzazione matematica risul-ta pi efficace? Nella fisica si soliti parlare di teorie: dire che essesono dei modelli non stato ben visto in quanto riveste tutta la di-sciplina di un vago alone di agnosticismo. Tuttavia, nello studio deifenomeni complessi, quali quelli atmosferici o climatici, apparsosempre pi evidente che una teoria paragonabile alla meccanicanewtoniana o alla relativit , per ora, molto al di l dalla nostra por-tata, e quindi il concetto di modello come teoria cosciente della suafallacia si fatto sempre pi strada. Esempi tipici sono i modelli le-gati alla turbolenza, in cui si sostituisce alle variabili fisiche esattela loro media in un dato intervallo di tempo, e si studia levoluzionedi questo valore medio nel tempo. Anche le variabili esatte verifica-no un sistema ben preciso (anchesso frutto di modellizzazione), le



celebri equazioni di Navier-Stokes32, ma le nuove variabili mediatenon soddisfano un sistema univocamente determinato, ma necessi-tano di un termine di chiusura, cio una relazione aggiuntiva cheil modello esatto non pu prevedere a causa dellincertezza sul ter-mine di media. Questa equazione viene aggiunta sulla base di consi-derazioni specifiche del problema in esame e anche avendo in vistala risolubilit del problema, in quanto il sistema di Navier-Stokes spesso intrattabile sia analiticamente, sia numericamente. Fare una classificazione esaustiva dei modelli matematici pi spessoapplicati difficile e senzaltro va oltre gli scopi di questo volume.Tuttavia esistono delle considerazioni che si possono ancora fare a li-vello generale. Una di queste il concetto di validazione del model-lo. Si parla di validazione quando si confrontano le previsioni delmodello usato con le misurazioni sperimentali sul fenomeno studia-to. Se le previsioni trovano corrispondenza con il fenomeno osser-vato, si pu dire che il modello accettato e si possono considerarele sue previsioni attendibili, sempre allinterno del campo di variabi-lit nel quale il modello ha senso. Per esempio, in taluni casi la meccanica newtoniana produce previ-sioni in ottimo accordo con i fenomeni che cerca di descrivere, equindi la si accetta, nei limiti intrinseci del modello, che sono quellidi velocit piccole rispetto a quella della luce e masse grandi rispet-to a quelle atomiche. Naturalmente le previsioni restano tali e possono essere smentitedallosservazione; una caratteristica dei modelli della scienza pro-prio quella di essere smentibili (spesso si usa il termine falsificabi-li): a differenza di una previsione astrologica sul carattere di unapersona, una previsione scientifica pu sempre rivelarsi sballata,mentre per una previsione astrologica smentita si riesce sempre amettere in campo una spiegazione ad hoc. In generale il modello tanto pi buono quanto pi cerca di anda-re alle radici del fenomeno, e tanto pi rischia di essere errato quan-to meno indaga il fenomeno in esame. Un esempio il celebre in-dovinello che chiede di spiegare la legge con la quale sono generatinumeri in risposta a delle password numeriche. Se a 12 il sistema ri-sponde 6, a 10 risponde 5, a 8 risponde 4 e a 6 risponde 3, si po-

Modelli e previsioni 39

32 Claude-Louis Navier (Digione, 1785 Parigi, 1836), ingegnere e scienziato francese,noto soprattutto per i suoi contributi alla fluidodinamica. George Gabriel Stokes (Skreen,1819 Cambridge, 1903), matematico e fisico irlandese, noto per i suoi contributi allafluidodinamica.


trebbe arguire (modello) che la risposta sia n/2, se la password n.Eppure il sistema risponde 7 se si d 4 in ingresso, perch la for-mula vera era: conta le lettere, in italiano, della password. Inquesto caso, sapendo che il sistema dipende dallimpostazione del-la lingua, avremmo forse evitato il semplice modello n/233. Infine, non possiamo non tacere alcune considerazioni piuttosto ov-vie; siccome la matematica applicata offre la possibilit di effettuareuna scelta, non sempre evidente a quali criteri ci si atterr: un buonmodello, ma impraticabile nelle previsioni, potrebbe essere scartatoa favore di uno pi rozzo, ma pi semplice e trattabile. Oppure, aparit di risultati, il modello pi semplice in genere preferito, sia se pi semplice nellelaborazione delle previsioni, sia se pi direttoe facile da estendere. I modelli pi utilizzati nelle applicazioni si possono dividere in duecategorie: modelli deterministici e modelli statistico-probabilistici.Non una classificazione esaustiva, ma copre buona parte del pa-norama esistente. In un modello deterministico lo sperimentatore haa sua disposizione dati iniziali forniti dallosservazione, a partire daiquali il modello prevede univocamente il comportamento del feno-meno negli istanti di tempo successivi. In un sistema statistico-pro-babilistico, le quantit non sono note esattamente, n possibileprevederle con esattezza, ma si riescono ad avere informazioni sullaprobabilit che queste variabili giacciano in dati intervalli. Vediamoallora alcuni semplici esempi di questi modelli, per capire pi da vi-cino come funzionano.

2. Un modello deterministico: la meccanica newtoniana

Il modello deterministico per eccellenza la meccanicanewtoniana. In questo modello, nella sua formulazione pi ele-mentare, cio quella dei corpi puntiformi o rigidi, si suppone chele quantit misurate siano note con errore nullo. Questo un fattoimportante sul quale torneremo in seguito. Il modello prevede che,note (sempre con assoluta esattezza) le masse delle parti e le forzeagenti sul sistema meccanico oggetto dellesame, il modello sia ingrado di prevedere con errore nullo le quantit meccaniche di in-teresse in ogni istante successivo. Per quantit meccanica di inte-


33 Purtroppo numerosi sedicenti test di intelligenza sono basati sullerrata convinzioneche la legge soggiacente si possa individuare in modo unico, il che assolutamente falso.


resse in genere si intende la cosiddetta legge oraria del movi-mento, che una funzione nella quale il vettore u(t) de-termina, per esempio, le posizioni di tutti i punti del sistema. Ainostri fini basta considerare il caso di un singolo punto di massacostante: note allora la massa del punto e la forza F impressa su diesso, la legge di Newton34 afferma che, in un riferimento inerziale,vale la legge

dove a(t) indica laccelerazione del punto allistante t. Tutti conosciamo questa legge, ma come si adopera? La prima ideache viene questa: nota la forza, si ricava laccelerazione dalla for-mula, e una volta nota laccelerazione si dovrebbe trovare il moto,cio la legge oraria (che, lo ripetiamo, una funzione del tempo):quando, per esempio, la forza costante (moto rettilineo uniforme-mente accelerato). Questo modello, che per pi di due secoli stato considerato asso-lutamente esatto (e, quindi, neanche un modello, ma la realt), stato esteso dalla teoria della relativit, che opera correzioni signifi-cative quando sono coinvolte velocit prossime a quella della luce.C per un problema, che conferisce al modello un notevole inte-resse matematico. Non sempre la forza F nota come esplicita funzione del tempo t. Ilpi delle volte la forza impressa sul punto proviene da un campo diforze, ossia da una funzione che associa a ogni punto dello spazio(non solo a ogni istante di tempo) la forza impressa sul punto tran-sitante in quella posizione e in quellistante. Se indichiamo semprecon F (cosa errata, ma comoda) questa funzione, lequazione (1) siriscrive

dove x indica la posizione del punto. La scrittura F(t, x(t)) sta a si-gnificare che per conoscere lentit della forza serve conoscere, ol-tre al tempo t, anche il punto x(t) dove la si vuole calcolare. Que-

Modelli e previsioni 41

34 Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 1642 Londra, 1727), matematico, fisi-co e filosofo inglese. Ha stabilito le leggi fondamentali della meccanica classica e la leggedi gravitazione universale.

(1)

(2)



sto fatto del tutto normale: la legge di gravitazione universale, maanche lelettromagnetismo, sono forze di questo tipo. A questo punto il problema si pu delineare cos: se conosco la po-sizione del punto in un istante, posso ricavare la forza e quindi lac-celerazione come prima: a causa di ci, per, il punto si sposter, equindi la forza cambier anchessa, perch in punti diversi in gene-rale la forza sar diversa. Come possiamo fare, quindi, a ricavare lalegge oraria? Sembra che ci troviamo in un circolo vizioso. Fu Newton a dar risposta a questo problema, e in ci consistette ilsuo pi grande contributo alla matematica. Newton scopr che, no-ta la legge oraria della posizione, era facile ricavare quella della ve-locit e successivamente laccelerazione, ossia il percorso inverso diquello che ci serve. Gli apparve chiaro che cerano delle regole sem-plici per operare su una funzione, cos come sono semplici certe ope-razioni sui numeri. Del resto, gi abbiamo detto che lincognita fon-damentale del problema (o era per Newton) la legge oraria, che una funzione. Il passaggio da posizione a velocit, e da velocit ad accelerazione, detto derivazione ed oggetto degli studi di quinta superiore in mol-te scuole. Per esempio, se laccelerazione segue la legge oraria delmoto uniformemente accelerato (che si ha quando costante, equindi nel caso semplice di una forza costante), allora, come sappia-mo gi dai tempi di Galileo, la legge oraria della posizione

dove x0 e v0 sono rispettivamente la posizione e la velocit allistan-te t 0, e le operazioni di derivazione producono la legge oraria del-le velocit

Ma non vogliamo entrare in dettagli troppo tecnici, per cui seguire-mo Newton passo passo. Egli indic questa operazione con un pun-to . posto sopra la funzione da operare, cos x. indica la derivata del-la posizione, dunque la velocit. Naturalmente questo non cambia di una virgola il problema; anzi, sela forza cambia da posto a posto, a maggior ragione cambier la ve-locit man mano che il punto si sposter. Newton continua per nelsuo ragionamento e deduce che la stessa operazione permette di pas-


35 Il nome differenziale deriva ovviamente da differenza, ed legato al concetto di ve-locit, che si calcola prendendo le differenze di posizioni successive nel tempo, calcolan-do la velocit media e cercando di prenderne un valore limite quando lintervallo ditempo considerato diventa arbitrariamente piccolo.36 Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 1646 Hannover, 1716), filosofo e matematicotedesco. Uno dei fondatori, assieme a Newton, del calcolo infinitesimale.


sare da velocit ad accelerazione. E in effetti, se ci si pensa un atti-mo, laccelerazione non altro che la velocit di variazione della ve-locit, cos come la velocit la velocit di variazione della posi-zione. Per questo motivo indica con due punti () il passaggio daposizione ad accelerazione: a x. Ma a questo punto appare un fat-to nuovo: la legge di Newton si pu riscrivere

e assume laspetto di unequazione nella quale lincognita non unnumero, come nelle normali equazioni algebriche o trigonometriche,ma una funzione e prende il nome di equazione differenziale35. Se si tiene presente che ai tempi di Newton le equazioni algebricheerano, da duecento anni almeno, un piatto forte della matematica, sicapisce come questo problema abbia suscitato subito un grande in-teresse nel mondo della matematica, al punto forse da distogliere inpo lattenzione dal problema iniziale. Ma la legge di Newton nonavrebbe avuto, forse, la fortuna che ha avuto se non avesse previstocon straordinaria precisione risultati in uno specifico campo, digrande interesse per gli studiosi dellepoca: la meccanica dei piane-ti. Nel 600 e nel 700, infatti, scienza e tecnica erano molto pi sle-gate di quanto non siano oggi, e la spiegazione delle orbite dei pia-neti ebbe grande risonanza praticamente presso tutti gli scienziati.Se, per esempio, una teoria fisica, come quella della materia oscu-ra o dellenergia oscura, riuscir nei prossimi anni a spiegare lacoesione delle galassie, essa sar sicuramente interessante, ma avrprobabilmente meno impatto, per tutti gli scienziati odierni, di quel-lo avuto dalla teoria di Newton. La matematica dopo Newton ha studiato per decenni le equazionidifferenziali nellintento di determinare tutte le funzioni soluzioni diuna data equazione, fatto certamente importante ma non essenziale,se si hanno in mente le applicazioni. Quello che inoltre accadutonello sviluppo storico che il concetto di funzione al tempo di New-ton e Leibniz36 era un po diverso da quello odierno, e si restringeva


37 Keplero, nome italianizzato di Johannes Kepler (Weil, 1571 Ratisbona, 1630) astrono-mo tedesco. Formul le leggi del moto dei pianeti intorno al Sole e comp studi di ottica.38 Brook Taylor (Edmonton, 1685 Londra, 1731), matematico inglese. Ha fornito con-tributi fondamentali allapprossimazione delle funzioni.


alle cosiddette funzioni elementari (polinomi, radicali, funzioni tri-gonometriche ed esponenziali, le loro inverse, tutte le loro possibilicomposizioni, insomma quelle che si incontrano a scuola). Mentre per le equazioni algebriche si cominciava a disporre di unateoria soddisfacente (si sapeva, per esempio, che era inutile cercareformule risolutive contenenti solo radicali per equazioni dal quintogrado in su), la teoria delle equazioni differenziali presentava aspet-ti misteriosi. Per esempio, era facile riconoscere che le traiettorie deipianeti attorno al Sole (trascurando le reciproche influenze) eranoellissi con il Sole in uno dei fuochi (la prima legge di Keplero37), perera molto pi difficile trovare la legge oraria. Lidea successiva fu quindi quella dellapprossimazione. Gi ai tem-pi di Newton si sapeva che le funzioni si possono descrivere permezzo di funzioni pi semplici, a patto di commettere qualche erro-re. Per esempio, un arco della funzione coseno pu essere approssi-mato, nel suo punto di massimo, con un arco di parabola (e ve nuna sola che la descrive con il minimo scarto), ma anche con unafunzione di quarto grado, e cos via: aumentando il grado della fun-zione approssimante si riduce lerrore, almeno nei punti vicini alpunto in cui si approssima. Il matematico inglese Brook Taylor38 dimostr che numerose fun-zioni si potevano descrivere esattamente, ma considerando una serieinfinita di funzioni polinomiali approssimanti. Fu chiaro anche chequeste ultime, le cosiddette funzioni analitiche, comprendevano an-che nuove funzioni: infatti, come si vede quando si studia il calcolodifferenziale in quinta superiore, loperazione di derivazione trasfor-ma una funzione elementare in una funzione elementare, ma lope-razione inversa (che prende il nome di integrazione) invece no; que-sta poteva quindi essere una causa del fatto che di certe equazionidifferenziali non si riuscivano a trovare le soluzioni. Tra laltro, lo sviluppo in serie di Taylor (questo il nome che hapreso la scoperta di cui abbiamo riferito) offre un vantaggio anchealla fisica: se si in possesso della posizione e della velocit inizia-le e se si conosce la soluzione sotto forma di serie infinita, si pucalcolare la posizione in un istante abbastanza vicino a quello ini-ziale con precisione voluta, anche se non esattamente. Infatti, se


39 Joseph-Louis Lagrange (Torino, 1736 Parigi, 1813), matematico italiano. Ha fornitocontributi fondamentali in meccanica analitica e calcolo delle variazioni.40 Jean-Baptiste-Joseph Fourier (Auxerre, 1768 Parigi, 1830), matematico e fisico fran-cese. Fondamentali i suoi studi sulla propagazione del calore e sullapprossimazione difunzioni.41 Friedrich Wilhelm Bessel (Minden, 1784 Knigsberg, 1846), matematico e astronomotedesco. Ha fornito contributi fondamentali in astronomia, servendosi di funzioni specia-li che portano il suo nome.


t 1, le potenze via via pi elevate di t come t2, t3,... produrrannodei contributi che saranno via via pi piccoli, e da un certo puntoin poi potranno essere trascurati. Anche in questa fase la meccanica dei pianeti si rivel fonte di ispi-razione: J.-L. Lagrange39 calcol uno sviluppo in serie che descri-veva la legge oraria dei pianeti, e successivamente il fisico e mate-matico J.-B. Fourier40 generalizz lidea di Taylor considerandofunzioni approssimanti non polinomiali ma trigonometriche, che siprestavano molto meglio a descrivere fenomeni periodici come leorbite dei corpi celesti, e infine nel XIX secolo lastronomo F.W.Bessel41 applic queste idee ai pianeti scoprendo le funzioni cheportano il suo nome e che sono usate pressoch ovunque in fisica.Si sa che i matematici, risolvendo un problema, ne creano altri die-ci: uno dei problemi che si posero con le equazioni differenziali eralesistenza e lunicit della soluzione. Il problema dellesistenza di una soluzione di unequazione diffe-renziale non sempre un capriccio matematico: nella stessa mecca-nica dei pianeti, il campo di forze dellattrazione gravitazionale cheesprime la forza fra due punti materiali di masse m1 e m2

(dove r il vettore congiungente i due punti e |r| il suo modulo olunghezza) non definita se r 0, ossia se i due punti materiali coin-cidono. chiaro che in quelle condizioni il modello del punto materiale vie-ne meno: ogni corpo celeste ha delle dimensioni, che non possonoessere trascurate in caso di collisione. Tuttavia, la dimostrazionematematica che la collisione in certi casi non avviene, cosa che suc-cede se la soluzione esiste per tutti i tempi futuri, rassicurante. Inmaniera analoga si pu vedere la questione dellunicit: potrebbe


infatti darsi che, in corrispondenza a certi dati iniziali, non esistauna sola soluzione fornita dal modello. Se si crede nella bont infi-nita di un modello, ci inaccettabile, ma se si pensa che un mo-dello matematico possa mancare di ulteriori specificazioni, allora sipu accettare questa eventualit. Evidentemente in questo caso nonsono fornite ulteriori informazioni che permettano di discriminaretra luna e laltra soluzione. I progressi ottenuti attraverso gli sviluppi in serie aprono un percor-so che porta naturalmente allanalisi numerica moderna. chiaroche cercare le soluzioni sotto forma di serie pu essere insoddisfa-cente, visto che tecnicamente impossibile calcolare infiniti termini.E se, limitandosi a una somma finita, si deve commettere un errorenon detto che sia questo lunico modo o quello pi efficiente. Tor-neremo fra poco su questo fatto. Quanto a Newton e ai primi successi delle equazioni differenziali, ilfatto che, una volta individuate le soluzioni dellequazione e trovataquella che rispetta le date condizioni iniziali (nel caso della mecca-nica, la posizione iniziale e la velocit iniziale), essa sia definita perogni istante successivo, ha promosso la celebre frase di Pierre-Simonde Laplace42:

UnIntelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le for-ze da cui animata la natura e la situazione rispettiva degli esse-ri che la compongono, se per di pi fosse abbastanza profondaper sottomettere questi dati allanalisi, abbraccerebbe nella stes-sa formula i movimenti dei pi grandi corpi delluniverso e del-latomo pi leggero: nulla sarebbe incerto per essa e lavvenire,come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi.

Con la teoria di Newton fu possibile prevedere lesistenza del piane-ta Nettuno nel 1846 sulla base delle sole perturbazioni dellorbita diUrano, scoperto solo circa 50 anni prima. Le eclissi di Sole furonopreviste con precisione sempre maggiore e infine i calcoli meccanicihanno permesso, unitamente agli altri progressi delle conoscenze, ilvolo spaziale. Divenne naturale, anche senza bisogno di Nettuno,cercare di estendere lo spirito del principio forza massa acce-lerazione anche ad altri ambiti della meccanica, come la fluidodi-namica, iniziando da Eulero.


42 Pierre-Simon de Laplace (Beaumonten-Auge, 1749 Parigi, 1827), matematico, fisicoe astronomo francese. Diede contributi fondamentali nel campo della meccanica celeste.


3. La fluidodinamica

Se si vuole descrivere un corpo continuo, quale un fluido,il modello del punto materiale non necessariamente il pi conve-niente. Unaltra descrizione utile si ha mediante una nuova funzioneche descrive le propriet fisiche (come, nei fluidi, velocit, tempera-tura o pressione) in un determinato punto del corpo e in un deter-minato istante. Anche questo un campo vettoriale, come lo era ilcampo di forze di cui abbiamo parlato, ma con laggravante di esse-re incognito: anzi, esso lincognita del problema. Se si cerca diriformulare unequivalente della legge di Newton in questo ambitoci si rende conto che le mutue interazioni allinterno del corpo nonpossono non essere tenute in considerazione, e

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