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Segmentos ProporcionaisSemelhança de Triângulos
Capítulo 4
Páginas: 180 à 189
LIVRO 1
MATEMÁTICA
Teorema de Tales
s
t
u
r
v
feixe de paralelas
A
B
C
D
E
F
"a razão entre dois segmentos obtidos de uma mesma transversal éigual a razão dos segmentos correspondentes na outra transversal"
transversais: u e v
=AB
BC
DE
EF=
AB+BC
DE+EF
[16. p182] (UNICAMP-SP)A figura seguinte mostra um segmento AD
dividido em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm
e CD = 5 cm. O segmento AD’ mede 13 cm e
as retas BB’ e CC’ são paralelas a DD’.
Determine os comprimentos dos segmentos
AB’, B’C’ e C’D’.
2 3 5
13
x
y
z
10
2 10=x 13
→ →26 13x= x=510
3 10=y 13
→ 39y=10
5 10=z 13
→ →65 13z= z=10 2
resolução
[17. p182] (UNIRIO - Modelo ENEM)No desenho abaixo apresentado, as frentes
para a rua A dos quarteirões I e II medem,
respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do
quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do
que a frente do quarteirão II para a mesma
rua.
Sendo assim, pode-se afirmar que a medida,
em metros, da frente do menor dos dois
quarteirões para a rua B é:
a) 160 b) 180 c) 200
d) 220 e) 240
resolução
250200
xx + 40
x+40 250=x 200
x+40 5=x 4
4(x+40)=5x
4x+160=5x
x=160 m
[E1] (UNESP-SP)Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e
t, cortadas por 2 outras retas, conforme a
figura.
Os valores dos segmentos identificados por x
e y são, respectivamente,
a) 3/20 e 3/40. b) 6 e 11.
c) 9 e 13. d) 11 e 6.
e) 20/3 e 40/3.
x 5=4 3
20x=3
x 5=y 10
→2x=y
⋅20
y=23
40y=
3
resolução
[E2] (UFSM-RS)A crise energética tem levado as médias e
grandes empresas a buscar alternativas na
geração de energia elétrica para a manu-
tenção do maquinário. Uma alternativa em-
contrada por uma fábrica foi a de construir
uma pequena hidroelétrica, aproveitando a
correnteza de um rio que passa próximo às
suas instalações. Observamos a figura e admi-
tindo que as linhas retas r, s e t sejam para-
lelas, pode-se afirmar que a barreira mede
a) 33 m b) 38 m c) 43 m
d) 48 m e) 53 m
30 24
32
x
x + 2
x+2 32=30 24
x+2 4=30 3
x+2=40
x=38 m
resolução
Teorema da Bissetriz Interna
D
"Num triângulo qualquer, a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes"
=AC
CD
AB
BD
A
BC
////
[20. p183] (CESGRANRIO-RJ)No triângulo ABC da figura, CD é a bissetriz
do ângulo interno de vértice C. Se AD = 3 cm,
DB = 2 cm e AC = 4 cm, então o lado BC
mede, em centímetros:
a) 3. b) 5/2. c) 7/2. d) 8/3. e) 4.
x 4=2 3
3 2
4 x
8x=3
resolução
[21. p183] (FEI-SP)O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A
bissetriz interna do ângulo A divide o lado
oposto BC em dois segmentos de 16 m e
24 m. Determinar os lados desse triângulo.
////
1624
xy
yx =16 24
→ 2yx=3
x+y+24+16=100x+y=60
2y+y=60
3→2y+3y=180
5y=180
y=36 m
2yx=3
→ 2.36x=3
x=24 m
Resposta:
Os lados do triângulo são: AB = 24 m,
AC = 36 m e BC = 60 m.
resolução
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
[14 . p182]
[19 . p183]
[23 . p183]
Semelhança de Triângulos
Dois triângulos são considerados semelhantes se:
- os ângulos de um deles forem congruentes aos correspondentes ângulos do outro;
- os lados de um deles forem igualmente proporcionais aos correspondentes lados do outro (lados homólogos);
A
BC a
cb
M
NPk.a
k.ck.b~
CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA (CASOS DE SEMELHANÇA)
se 2 triângulos possuem 2 ângulos correspondentes congruentes
se 2 triângulos possuem os 3 lados correspondentes proporcionais
se 2 triângulos possuem 1 ângulo correspondente congruente
entre 2 lados correspondentes proporcionais
Exemplo A
BCa
cb
M
N Pk.a
k.c k.b~60°
80°60°
40°
40°
80°
Exemplo A
BC6
75
M
N P12
14 10~αααα
χχχχ
αααα
ββββ
ββββ
χχχχ
Exemplo A
BC3
c2
M
N P6
2.c 4~αααα
70°αααα
ββββ
ββββ
70°
resolução[32. p186] (MACKENZIE-SP)Na figura abaixo, a medida x vale:
a) 12,75 b) 12,25 c) 11,75
d) 11,25 e) 1100
15
20
25
�
�
x15
x 15=15 20
225x=20
x=11,25
resolução[34. p186] (FUVEST-SP)Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A,
ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3.
Quanto mede o lado do quadrado?
a) 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,90
1
3
L
L �
1
3
�1 - L
L
1-L L=1 3
3-3L=L
3=4L
3L=
4
L=0,75
resolução[41. p187] (UNICAMP-SP - MOD ENEM) Uma rampa de inclinação constante, como a
que dá acesso ao Palácio do Planalto em
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte
mais alta, Uma pessoa, tendo começado a
subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros
sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em
relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação
descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda
deve caminhar para atingir o ponto mais alto
da rampa.4 m
�1,5 m12,3
m
x
b) Por semelhança de triângulos:
12,3 12,3+x=41,5
123 12,3+x=415
→ 41 12,3+x=5 4
164 =12,3+x5
→32,8=12,3+x
x=20,5 m
a)
resolução[43. p187] (UNESP - SP) Na figura, B é um ponto do segmento de reta
AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.
Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as
medidas possíveis de AB, em dm, são:
a) 4,5 e 6,5.
b) 7,5 e 3,5.
c) 18 e 3.
d) 7 e 4.
e) 9 e 2.
6
3
11
αααα
90°- αααα
x 11 - x
90°- αααα
αααα
x 3=
6 11- x
x.(11- x) = 3.6
211x - x = 18
2x -11x +18 = 0
x = 2
ou
x = 9
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
[35 . p187]
[37 . p187]
[46 . p188]
[49 . p188]
[50 . p188]
[54 . p189]