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Profª Débora Bastos
RecapitulaçãoP (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não
existe.Para funções contínuas e deriváveis temos pontos
extremos nos pontos críticos.Para funções contínuas e deriváveis temos:f crescente para valores de x em que f ’(x) > 0f decrescente para valores de x em que f ’(x) < 0f côncava para cima para valores de x em f ”(x) > 0f côncava para baixo para valores de x em f ”(x) < 0Ponto de inflexão é o ponto em que há mudança
de concavidade. Ocorre entre os valores c tais que f ”(c) não existe ou f ”(c) = 0.
Traçando um esboço do gráfico de uma funçãoTemo até agora como determinar: Pontos extremos Intervalos onde a função é crescente ou
decrescente Intervalos onde a função é côncava para cima
ou para baixo Pontos de Inflexão.
Falta Estudo das assíntotas.
Exemplos
Assíntota horizontal
Assíntotavertical
Assíntotaoblíqua
Assíntotavertical
Definição 11: A reta x = a será uma assíntota vertical do gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas abaixo for verdadeira:
(i) lim f(x) = + x a+
(ii) lim f(x) = + x a-
(iii) lim f(x) = x a+
(iv) lim f(x) = x a
Definição 12: A reta y = b é denominada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes afirmações for válida:
(i) lim f(x) = b e para um nº N, se x > N, então f(x) b.
x +
(ii) lim f(x) = b e para um nº N, se x < N, então f(x) b.
x
1
Definição 13: Se lim [f(x) – (mx + b)] = 0 x
então a reta y = mx + b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva y = mx + b e y = f(x) tende a zero.
Nota: Se f(x) for uma função racional as assíntotas obliquas ocorrem quando a diferença entre o grau do numerador e do denominador é 1.
ExemploAche as assíntotas do gráfico da função h definida
por:
e faça um esboço do gráfico.Solução:D(h) = lR – {1}Investigar o que ocorre à esquerda e à direita de x = 1.lim h(x) = x1-
lim h(x) = + x1+
A reta x = 1 é uma assíntota vertical de h.
1x
3x)x(h
2
Exemplolim h(x) = lim h(x) = +x x + h não possui assíntotas horizontais.Assíntota obliqua.
y = x + 1Pontos extremos:
h’ existe em D(h)h’(x) = 0 x = 1 ou x = 3
1x
41x
1x
3x)x(h
2
21x
41)x('h
Procedimentos para obter o gráfico de uma função bem detalhado.1. Determine o domínio de f;2. Ache a intersecção com o eixo oy se houver e se
a equação de f for fácil ache as raízes da função;3. Teste a simetria em relação ao eixo oy
(f(x)=f(x)) e a simetria em relação a origem (f(x)= f(x));
4. Calcule f ’(x) e f ”(x);5. Determine os números críticos de f (f ’(x) não
existe ou f ’(x) = 0);6. Verifique se os valores críticos são extremos
(teste da segunda derivada);7. Determine os intervalos em que f é crescente ou
decrescente (estudo do sinal de f ’);
8. Obtenha os valores de x em que f ”(x) não existe ou f ”(x)= 0;
9. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo (estudo do sinal de f ”). Verifique se os valores críticos obtidos no passo anterior são de inflexão;
10.Verifique a existência de possíveis assíntotas verticais, horizontais e oblíquas.
ExemploFaça o esboço do
gráfico da função f abaixo:
4x
x)x(f
2
1. Domínio: 2. Intersecções:3. Simetrias:4. f’ e f”:5. Pontos críticos:6. Pontos extremos:7. Estudo do sinal de
f’:8. Valores críticos de
f”:9. Estudo do sinal de
f”:10.Assíntotas:
ExemploFaça o esboço do
gráfico da função f abaixo:
x
6
x
6)x(f
2
1. Domínio: 2. Intersecções:3. Simetrias:4. f’ e f”:5. Pontos críticos:6. Pontos extremos:7. Estudo do sinal de
f’:8. Valores críticos de
f”:9. Estudo do sinal de
f”:10.Assíntotas:
ExercíciosFaça o mesmo para:
3 2x)1x()x(f
xe)x(f x