Matematicas 2015(1)[1]

Colegio Privado Mixto Perpetuo Socorro.Mazatenango.

MULTIPLICACION YDIVISICION DEPOLIMOMIOS,PRODUCTOS NOTABLES,ECUACIONES ENTERAS DEPRIMER, SEGUNDO,TERCER GRADO CONINCOGNITAS YECUACIONESCUADRATICAS.

María Ileana Ochoa Salazar

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INDICE

Introducción……………………………………………………………………………..2

Justificación……………………………………………………………………………….3

Multiplicación y división de polinomios………………………………….4

Productos notables……………………………………………………………………..9

Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita……12

Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con unaincógnita…………………………………………………………………………………………..15

Ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas…….19

Ecuaciones enteras de primer grado con tres incógnitas……20

Ecuaciones cuadráticas………………………………………………………………….24

Actividades de aprendizaje………………………………………………………….29

Conclusiones……………………………………………………………………………………….35

Propuestas………………………………………………………………………………………….36

Referencias…………………………………………………………………………………………37

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INTRODUCCION

La presente información se refiere a la multiplicación y división de polinomios,productos notables, Ecuaciones Enteras de primer grado con una incógnita,Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con unaincógnita , ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas, ecuacionesenteras de primer grado con tres incógnitas y ecuaciones cuadráticas,obtenemos más conocimiento de estos temas a cómo saber hacer la multiplicar ydividir con polinomios y las diferentes clases de ecuaciones que prácticamentealgunas son distintas pero otras cambian por signos o números.

Las características de cada tema son diferentes ya que obtenemosconocimientos debido a que algunas veces no podemos dominar bien lasmatemáticas en los ejercicios de los diferentes temas.

Para analizar sus ejercicios en cada uno de los diferentes temas debemosencontrar el problema que a partir de allí empezamos a analizar sobre losdiferentes ejercicios, como podemos trabajarla por medio de los procedimientosde los ejemplos ya obtenidos como en conocimiento profundizar más sobre lostemas.

Nos ayuda como estudiantes a profundizar y a poner en práctica todos losejercicios ya que nos ayuda dentro del centro educativo para que nuestroconocimiento sea curioso y practique más las ecuaciones matemáticas, losproblemas matemáticos.

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Justificación.

El objetivo del trabajo es dar a conocer los diferentes tipos de ecuaciones de primer,segundo y tercer grado con una incógnita, ya que esto nos ayuda a obtener másconocimientos ya que en Guatemala hay mucha deficiencia en matemáticas, nosbeneficiaria en aprender en base de conceptos y ejercicios.

Conocerlas más a profundidad los diferentes problemas matemáticas que existen en lahistoria de la matemática, en algebra también y los diferentes autores de los distintostemas.

Porque existen las matemáticas, las matemáticas es una asignatura que es base deestudio para todas las personas ya que en cualquier grado, carrera y licenciatura lasvamos a conocer poco a poco y obteniendo más conocimiento sobre ellaconocerlas y saber más sobre los problemas matemáticos, de Operaciones conPolinomios y Productos Notables, los estándares básicos de competencias enmatemáticas. Donde se tomó la sustentación teórica de cada actividad propuestay llevada al aula de clase, algunas de las herramientas usadas y algo de lametodología de enseñanza.

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MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Multiplicación: Operación en la que dos expresiones denominadas “ multiplicando ” y“multiplicador” dan como resultado un “producto”. Al multiplicando y multiplicadorse les denomina “factores”.

La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda o primera cantidadPor ejemplo:

(9)*(5) = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45 o bien (9)*(5) = 5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 45

Elementos De Una Multiplicación

1. FACTORES: Son las cantidades que se multiplican

2. PRODUCTO: Es el resultado de multiplicar los factores.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION:

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Regla de los signos:

(+)(+) = + (-)(+) = -

(+)(-) = - (-)(-) = +

Para la multiplicación, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

En la multiplicación de bases iguales, losexponentes se suman:

En la multiplicación de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos:

∙ Multiplicación de un monomio por un monomio

∙ Multiplicación de un polinomios por un monomio

∙ Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

Multiplicación deun:

Procedimiento: Ejemplo:

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Monomio por unmonomio

Determinar el signodel producto.

Multiplica loscoeficientesnuméricos.

Multiplica laspartes literalesutilizando las leyesde los exponentescorrespondientes

Monomio por unpolinomio

Se utiliza lapropiedaddistributiva de lamultiplicación; esdecir se multiplicacada término delpolinomio por elmonomio.

Polinomio por unpolinomio

Cada término delprimer polinomio sedebe multiplicar porcada uno de lostérminos delsegundo polinomioy después se debenagrupar lostérminossemejantes, ya queson los que se

D I V I S I ÓN:

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División: Operación en la que dos expresiones denominadas “ dividendo” y “ divisor ” dan comoresultado un “cociente”.

La división se regula por las siguientes leyes de los signos:

Para la división, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:

En la división de bases iguales, losexponentes se restan y si el exponente escero, recuerda que todo número oexpresión elevada a la a potencia cero esigual a la unidad (1)

Por ejemplo:

ELEMENTOS DE UNA DIVISIÓN:

Co nres pecto ala divisióny enrel aciónco n lospol inomiosdis tinguiremo s trescasos:

División de un: Procedimiento: Ejemplo:

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Monomio entre unmonomio

Determinar el signo del cociente

Dividir los coeficientesnuméricos.

Aplicar las leyes de losexponentes correspondientes

Polinomio entremonomio

Se utiliza la propiedad distributivade la división, Se divide cadatérmino del polinomio entre elmonomio y se suman o restansegún sea el caso los cocientesobtenidos.

Polinomio entrepolinomio

Se ordenan los dos polinomios enorden decreciente

Se divide el primer término deldividendo entre el primer términodel divisor.

Se multiplica el primer término delcociente por el divisor y elproducto obtenido se resta deldividendo, obteniendo un nuevodividendo.

Con el nuevo dividendo se repitenlas operaciones de los pasos dosy tres hasta que el resultado sea

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PRODIUCTOS NOTABLES (Cuadrado de la suma de dos cantidades ,cuadrado de la diferencia de dos cantidades , cubo de doscantidades y producto de la suma por la diferencia de dostérminos)

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual alcuadrado del pr imer término, más el doble producto delpr imero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2

= a2

+ 2 · a · b + b2

(x + 3)2

= x2

+ 2 · x ·3 + 32

= x2

+ 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual alcuadrado del pr imer término, menos el doble producto delpr imero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)2

= a2

− 2 · a · b + b2

(2x − 3)2

= (2x)2

− 2 · 2x · 3 + 32

= 4x2

− 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia decuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2

− b2

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(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2

− 52

= 4x2

− 25

Binomio Al Cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo delpr imero, más el tr ip le del cuadrado del pr imero por elsegundo, más el tr ip le del pr imero por el cuadrado delsegundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3

= a3

+ 3 · a2

· b + 3 · a · b2

+ b3

(x + 3)3

= x3

+ 3 · x2

· 3 + 3 · x · 32

+ 33

=

= x3

+ 9x2

+ 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo delpr imero, menos el tr ip le del cuadrado del pr imero por elsegundo, más el tr ip le del pr imero por el cuadrado delsegundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3

= a3

− 3 · a2

· b + 3 · a · b2

− b3

(2x - 3)3

= (2x)3

- 3 · (2x)2

·3 + 3 · 2x· 32

- 33

=

= 8x3

- 36 x2

+ 54 x – 27

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Trinomio al cuadrado

Un tr inomio al cuadrado es igual al cuadrado delpr imero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado deltercero , más el doble del pr imero por el segundo, más eldoble del pr imero por el tercero , más el doble del segundopor el tercero.

(a + b + c)2

= a2

+ b2

+ c2

+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2

− x + 1)2

=

= (x2

)2

+ (−x)2

+ 12

+2 · x2

· (−x) + 2 x2

· 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4

+ x2

+ 1 − 2x3

+ 2x2

− 2x =

= x4

− 2x3

+ 3x2

− 2x + 1

Suma de cubos

a3

+ b3

= (a + b) · (a2

− ab + b2

)

8x3

+ 27 = (2x + 3) (4x2

- 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

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Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3) x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Igualdad es la expresión de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienenel mismo valor.

Ejemplos a = b + c. 3x2 = 4x + 15.

Ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidasllamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinadosvalores de las incógnitas.

Las incógnitas se representan por las ultimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

Así, 5x + 2 = 17

Es una ecuación, porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x, y estaigualdad solo se verifica, o sea que solo es verdadera, para el valor x = 3. Enefecto, si sustituimos la x por 3, tenemos:

5(3) + 2 = 17, o sea: 17 = 17.

Si damos a x un valor distinto de 3, la igualdad no se verifica o no es verdadera.

La igualdad y2 – 5y = - 6 es una ecuación porque es una igualdad que solo severifica para y = 2 e y= 3. En efecto, sustituyendo la y por 2 tenemos:

22 – 5(2) = - 6

4 – 10 = - 6

- 6 = - 6

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Si hacemos y = 3, tenemos: 32 – 5(3) = - 6

9 – 15 = - 6

- 6 = - 6

Si damos a y un valor distinto de 2 o 3, la igualdad no se verifica.

Identidad es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letrasque entran en ella.

Así, (a – b)2 = (a – b) (a – b)

a2 - m2 = (a + m) (a – m)

Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y ben el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo.

El signo de identidad es ≡, que se lee “idéntico a”.

Así, la identidad de (x + y)2 con x2 + 2xy + y2 se escribe (x + y)2 ≡ x2 + 2xy + y2 y selee (x + y)2 idéntico a x2 +2xy + y2.

Miembros se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a laexpresión que está a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundomiembro, a la expresión que está a la derecha.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

El primer miembro es 3x – 5 y el segundo miembro 2x – 3.

Términos son cada una de las cantidades que están conectadas con otras por elsigno + o -, o la cantidad que está sola en un miembro.

Así, en la ecuación 3x – 5 = 2x – 3

Los términos son 3x, - 5, 2x y – 3.

No deben confundirse los miembros de una ecuación con los términos de lamisma, error muy frecuente en los alumnos.

Miembro y término son equivalentes solo cuando en un miembro de unaecuación hay una sola cantidad.

Así, en la ecuación 3x = 2x + 3

Tenemos que 3x es el primer miembro de la ecuación y también es un término dela ecuación.

Despejar consiste en pasar las variables de un lado de la ecuación al otro

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(preferiblemente el izquierdo) luego hacer la reducción de términos y resolver.

Reglas para despejar

∙ Cualquier término de la ecuación se puede pasar de un miembro a otrocambiándole el signo (muy importante).

Sea la ecuación 5x = 2a – b

Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste ytendremos: 5x + b = 2a –b + b

Y como – b + b = 0, queda 5x + b = 2a

Donde vemos que – b, que estaba en el segundo miembro de la ecuación dada,ha pasado al primer miembro con signo +.

∙ Términos iguales con signos iguales en distinto miembro de unaecuación, pueden suprimirse.

Así, en la ecuación x + b = 2a + b

Tenemos el termino b con signo + en los dos miembros. Este término puedesuprimirse, quedando x = 2a

Porque equivale a restar b a los dos miembros.

Cambio de signos los signos de todos los términos de una ecuación se puedencambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembrosde la ecuación por – 1, con lo cual la igualdad no varía.

Así, en la ecuación - 2x – 3 = x – 15

Multiplicamos ambos miembros por – 1, para lo cual hay que multiplicar por – 1todos los términos de cada miembro, tendremos:

2x + 3 = - x + 15,

Que es la ecuación dada con los signos de todos sus términos cambiados.

Regla general

∙ Se efectúan las operaciones indicadas si las hay.

∙ Se hace la transposición de términos, reuniendo en un miembro todoslos términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas lascantidades conocidas.

∙ Se reduce términos semejantes en cada miembro.

∙ Se despeja la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por

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el coeficiente de la incógnita.

Resolución De Ecuaciones Enteras De Primer Grado Con Una Incógnita

Ejemplo

(1) Resolver la ecuación x + 17 = 21

Se resta 17 a los dos miembros de la igualdad, porque es el número que senecesita eliminar para que la variable quede sola, y después se efectúan lasoperaciones.

X + 17 – 17 = 21 – 17

X + 0 = 4

X = 4

Por lo tanto, la solución de la ecuación x + 17 = 21, es x = 4, porque es el valor quehace verdadera la igualdad.

Verificación

La verificación es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita es correcto.

La verificación se realiza sustituyendo en los miembros de la ecuación dada laincógnita por el valor obtenido, y si este es correcto, la ecuación dada seconvertirá en identidad.

Así, en el caso anterior, haciendo x = 4 en la ecuación dada tenemos:

4 + 17 = 21

21 = 21

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADOCON UNA INCOGNITA

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita son todas aquellas que sepueden escribir de la siguiente forma:

ax + b = 0

Donde x es la variable, a y b son números reales y a es diferente de cero. Estasecuaciones se identifican verificando que la variable no tenga exponente.

Solución

La solución de una ecuación de primer grado con una incógnita es simpre un solovalor de la variable. En algunos casos se puede conocer la solución por simpleinspección, por ejemplo, para la ecuación 7 - x = 4 es facil deducir que la solución

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es x = 3 porque 7 - 3 = 4. Sin embargo, en la mayoría de los casos es necesarioseguir un procedimiento algebraico para encontrar la solución, sobre todo si laecuación contiene fracciones y/o radicales.

La ecuación está solucionada cuando es posible presentarla como x = n donde nes la solución. Cuando la ecuación tiene esa forma se dice que la variable estádespejada.

Procedimiento para encontrar la solución

Para encontrar la solución se realizan varias operaciones sobre los dosmiembros de la ecuación utilizando las propiedades de la igualdad y laspropiedades de las operaciones inversas.

∙ Si a los dos miembros se les suma un número, se les resta un número, semultiplican por un número, se dividen entre un número, se elevan a lamisma potencia o se obtiene su raíz enésima la igualdad se mantiene.

∙ Si a un miembro de la ecuación se le suma y resta el mismo número, semultiplica y se divide por el mismo número o se eleva a una potencia n y seobtiene su raíz enésima al mismo tiempo ese miembro permaneceinalterado y la igualdad se mantiene.

∙ Se busca que los términos que contienen a la variable pasen al primermiembro y que los términos que no contienen a la variable se pasen alsegundo miembro.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x + 3 = 21 - x.

∙ El término 2x se mantiene en el primer miembro (a la izquierda del =)porque contiene a la variable.

∙ El término 3 se quita del primer miembro porque no contiene a la variable.Esto se hace restando 3 a los dos miembros.

∙ l término 21 se mantiene en el segundo miembro (a la derecha del =)porque no contiene a la variable.

∙ El término - x se quita del segundo miembro porque contiene a la variable.

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Esto se hace sumando x a los dos miembros

∙ Se reducen términos semejantes

2x + 3 - 3 + x = 21 - x - 3 + x3x = 18

∙ El número 3 que multiplica a x se debe quitar para dejar despejada lavariable. Para ello se dividen ambos miembros de la ecuación por 3.

(3x)/3 = (18)/3x = 6

Ahora la variable está despejada y se ha solucionado la ecuación. Paracomprobar que x = 6 es la solución de la ecuación se evalúa numéricamente cadamiembro y se verifica la igualdad.

2(6) + 3 = 21 - (6)12 + 3 = 1515 = 15

Con esto se comprueba que la ecuación ha sido solucionada correctamente.

Un poco más sobre el procedimiento

En la resolución de ecuaciones es común escuchar comentarios como "lo queestá restando pasa sumando" o "lo que está multiplicando pasa dividiendo". Esválido considerar que se puede despejar algún elemento de un miembro y pasarloal otro miembro con la operación inversa, pero es necesario comprender por quése hace, para evitar errores. En el siguiente ejemplo se ilustra lo comentado aquí.

Ejemplo. Resolver la ecuación 3x - 4 = x + 2.

El término 3x contiene a la variable y debe quedarse en el primer miembro. Eltérmino - 4 no contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del primermiembro, esto se hace sumando 4 a ambos miembros.

3x - 4 + 4 = x + 2 + 4

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Los términos - 4 y + 4 se eliminan porque - 4 + 4 = 0. La ecuación queda:

3x = x + 2 + 4

Si comparamos esta ecuación con la original, observaremos que el término - 4 delprimer miembro se ha convertido en el término + 4 del segundo miembro. En esecaso podemos decir que "el término que estaba restando ha pasado sumando alotro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda:

3x = x + 6

El término x contiene a la variable, por lo cual se debe quitar del segundomiembro. Esto se hace restando x a los dos miembros.

3x - x = x + 6 - x

Los términos x y - x se eliminan porque x - x = 0. La ecuación queda:

3x - x = 6

Al comparar esta ecuación con la original, observamos que el término x delsegundo miembro se ha convertido en el término - x del primer miembro. En esecaso podemos decir que "el término que estaba sumando ha pasado restando alotro miembro". Después de reducir términos semejantes la ecuación queda:

2x = 6

Para despejar la x del término 2x se debe quitar el 2 de ese término. Esto se hacedividiendo entre 2 a los dos miembros.

(2x)/2 = (6)/2

En el primer miembro, el 2 que multiplica a x y el 2 que divide se eliminan porque2 / 2 = 0. La ecuación queda:

x = 6/2

Al comparar esta ecuación con la anterior, observamos que el 2 de 2x ahora estádividiendo a 6. En ese caso podemos decir que "el término que estabamultiplicando ha pasado dividiendo al otro miembro". Después de realizar ladivisión, la ecuación ha sido solucionada:

x = 3

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITASLas ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas ecuaciones lascuales presentan dos variables, donde al resolverlas debe hallarse el valor decada una de ellas. La ecuación se expresa de la siguiente manera:

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Ax + By = CDonde (x; y) son las variables, y A, B y C son número que se encuentra dentro delconjunto de los naturales.

Para resolver ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas se puedeutilizas todas las propiedades ya anteriormente estudiadas.

Ejemplo #01:

3X + 6Y = 3 Para comenzar a resolver dicha ecuación debemos tomar en cuentalo siguiente:

Al resolver la ecuación primer tomamos a una de las variables igual a (0) y lasustituimos en la ecuación y comenzamos a resolver:

Tomamos como Y= 0

3X + 6(0) = 3 , Dicha multiplicación se nos hace 0 y obtenemos

3X = 3 ahora dividimos ambos miembros entre 3

3X / 3 = 3 / 3X = 1

Ahora obteniendo el valor de la variable X = 1 sustituimos en la ecuación yhallamos el valor de Y despejando:

3(1) + 6Y = 33 + 6Y = 3-3 + 3 + 6Y = 3 - 3 Restamos en ambos miembros el opuesto del términoindependiente y obtenemos:

6Y = 0 Al pasar al otro miembro el 6 a dividir en 0 dicha división nos da 0 de talmanera que Y = 0/ 6 Y = 0 y así hallamos en valor de Y.

ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS

Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas se procede de estemétodo:1) Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas

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(lo más sencillo es eliminarla por suma y resta) y con ellos se obtiene unaecuación con 2 incógnitas.2) Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuacionesdadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes,obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.3) Se vuelve el sistema formado por las ecuaciones con dos incógnitas que sehan obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.4) Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de lasecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se halla la tercera incógnita.EJEMPLO:Resolver el sistema. x + 4y – z = 6 (1) 2x + 5y – 7z = -- 9 (2) 3x – 2y + z = 2 (3)

Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y vamos a eliminar la x. Multiplicando laecuación (1) por 2, se tiene: 2x + 8y – 2z = 12 -- 2x – 5y + 7z = 9 ----------------------- 3y + 5z = 21 (4)

Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuacionesdadas. Vamos a combinarla con (1) para eliminar la x. Multiplicando (1) por 3tenemos:

3x + 12y – 3z = 18 --3x + 2y – z = -- 2 -------------------------- 14y – 4z = 16 (5) Dividiendo entre 2: 7y – 2z = 8

Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenido (4) y(5), y formamos un sistema: 3y + 5z = 21 (4) 7y – 2z = 8 (5)

Resolvemos este sistema. Vamos a eliminar la z multiplicando (4) por 2 y (5) por5:

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6y + 10z = 42 35y – 10z = 40 -------------------- 41y = 82 y = 2

Sustituyendo y = 2 en (5) se tiene: 7(2) – 2z = 8 14 – 2z = 8 – 2z = -- 6 z = 3

Sustituyendo y = 2, z = 3 en cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemploen (1), se tiene: x + 4(2) – 3 = 6 x=1, y=2, z=3

R.

x + 8 – 3 = 6 x = 1

Resolver el sistema.

z – 4 + (6x – 19) / 5 = -- y 10 – (x – 2z) / 8 = 2y – 1 4z + 3y = 3x – yQuitando denominadores: 5z – 20 + 6x – 19 = -- 5y 80 – x + 2z = 16y – 8 4z + 3y = 3x – yTransponiendo y reduciendo: 6x + 5y + 5z = 39 (1) – x – 16y + 2z = -- 88 (2) – 3x + 4y + 4z = 0 (3)

Vamos a eliminar x. Combinamos (1) y (2) y multiplicamos (2) por 6:

6x + 5y + 5z = 39 –6x – 96y + 12z = -- 528

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-------------------------------- – 91y + 17z = -- 489 (4)

Combinamos (2) y (3). Multiplicando (2) por 3 y cambiándole el sino:

3x + 48y – 6z = 264 – 3x + 4y + 4z = 0 -------------------------- 52y – 2z = 264Dividiendo por 2: 26y – z = 132 (5)

Combinemos (4) y (5):

– 91y + 17z = -- 489 (4) 26y – z = 132 (5)

Multiplicando (4) por 2 y (5) por 7: – 182y + 34z = -- 978 182y – 7z = 924 -------------------------- 27z = -- 54 z = -- 2Sustituyendo z = --2 en (5): 26y – (-- 2) = 132 26y + 2 = 132 26y = 130 y = 5

Sustituyendo y = 5, z = -- 2 en (3): – 3x + 4(5) + 4(-- 2) = 0 –3x + 20 – 8 = 0 – 3x = -- 12 x = 4

HALLAR EL VALOR DE UNA DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

El modo más sencillo y que creemos al alcance de los alumnos, de hallar el valorde una determinante de tercer orden es aplicando la regla de Sarrus.

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1) Resolver por la regla de Sarrus.

Debajo de la tercera fila horizontal se repiten las dos primeras filas horizontales ytenemos: Ahora trazaremos tres diagonales de derecha a izquierda y tres de izquierda aderecha, como se indica a continuación:

Ahora se multiplican entre si los tres números por que pasa cada diagonal. Los productos de los números que hay en las diagonales trazadas de izquierdaa derecha se escriben con su propio signo y los productos de los números quehay en las diagonales trazadas de derecha a izquierda con el signo cambiado.Así, en este caso tenemos:-- 6 –12 – 10 +30 +1 – 24 = -- 9Valor de la determinante dada.

DETALLE DE LOS PRODUCTOSDe izquierda a derecha:1 x 2 x 3 = 6 (-- 4) x (--1) x (--3) = -- 12 5 x (--2) x 1= -- 10

De derecha a izquierda: (--3) x 2 x 5 = -- 30 cambiándole el signo +30 1 x (--1) x 1 = -- 1 cambiándole el signo +1 3 x (--2) x (--4) = 24 cambiándole el signo –24

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y cson números reales.

Ejemplo:

9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0

-6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de lasecuaciones cuadráticas:

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1. Factorización Simple2. Completando el Cuadrado3. Fórmula Cuadrática Factorización Simple:

La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en unproducto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación

x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8

(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2]

( x + ) (x - ) = 0

Hay que buscar dos números que multipliquen y den el valor de C y que a la vezsumen y el valor sea igual a B. En este caso, dos números cuyo producto sea -8, yque estos mismos números sumen 2. (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2

4 · -2 = -8 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0x = 0 – 4 x = 0 + 2x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones. Completando el Cuadrado:

25

En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre laconstante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de lasiguiente forma:

4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4

x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.

Ejemplo:

x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]x2 + 2x = 8 [Pasar a c al lado opuesto.]

x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]

x2 + 2x + 1 = 8 + 1

x2 + 2x + 1 = 9

( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.

26

( x + 1) (x + 1) = 9

(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

x + 1 = ± 3

x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]

x = -1 + 3 x = -1 – 3x = 2 x = -4

Fórmula Cuadrática:

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de laecuación cuadrática a la siguiente fórmula:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

27

x = -2 ± 6 2

X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2

x = 4 x = -8 2 2

x = 2 x = - 4

28

ACTIVIDADES DE AUTOAPRENDIZAJE.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

ACTIVIDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

ACTIVIDAD 1Completa las siguientes multiplicaciones:

ACTIVIDAD 2Efectúa la multiplicación algebraica en cada una de las siguientes expresiones:

1) )4)(6( 3243 yzxzyx 2) )5(8 24 xyyx -

3) ( )( )2914 -- xx 4) ( )( )1212 22 +--+ aaaa

ACTIVIDADES DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS

ACTIVIDAD 1

1) _______3532233 4____)62(2 ++=- baabbaaba

2)

4___2

12___6

13

472

2

3

2

++-

--

---

x

xx

x

xx

29

Efectúa la división algebraica en cada uno de los cocientes indicados.

1)

cdba

dcba34

497

5

25 2)

yx

yx4

22

5

15

3)

2

264 cba +- 4)

a

aaa -- 34 43

5)

2

1492

-+-

x

xx 6)2

1242

+--

x

xx

Productos notables.

En esta actividad podrás integrar todos tus conocimientos resolviendo losproductos notables. .

1. (10x + 3x5) (10x + 3x5) =

2. ((x + y) z) ((x y) z) =

3. (12 2w4) (12 + 2w4) =

4. =

5. ((x + 3y)2 (x 3y)2)2 =

30

Ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita

En el partido de fútbol de ayer se realizó elsiguiente cambio:

∙ El número del jugador que salió es igual alnúmero del que entra aumentado en tres.

Si llamamos x al número del jugador que entra: x + 3 es el número del jugador quesalió.

Si nos informan que el jugador que sale es el 20 sabremos que: x + 3 = 20

por lo que el número del jugador que entró es elresultado de:

x = 20 – 3

x = 17

17 es la solución de la ecuación pues: 17 + 3 = 20

Problemas de aplicación de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.

En muchas ocasiones las ecuaciones no estarán dadas directamente para resolver sino quehabrá que "armarlas" y justamente esto muestra un ejemplo de su utilidad al resolver con ellasProblemas de Matemática. Añadiremos algunos problemas como ejemplos:

Problema 1:

El área de un rectángulo es de 45 cm2 y su largo es de 18 cm.

31

¿Cuál es la medida de su ancho?

Si llamamos "x" a la medida del ancho y recordamos que el área de

Un rectángulo se calcula: largo x ancho, podremos expresar la siguiente ecuación:

18.x = 45

Por lo que el valor de x será el resultado de 45:18

x = 2,5

Ecuaciones enteras de primer grado con dos incógnitas:

32

Ecuaciones enteras de pr imer grado con tres incógni tas .

E jerc ic io :

4Un cl iente de un supermercado ha pagado un tota l de 156 € por 24 lde leche , 6 kg de jamón serrano y 12 l de acei te de ol iva. Calcular e lprecio de cada art ícu lo , sabiendo que 1 l de acei te cuesta el t r ip le que 1l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de acei te más 4 l deleche.

5Un v ideoclub está especia l izado en pel ícu las de tres t ipos : infant i les ,oeste amer icano y terror . Se sabe que:E l 60% de las pel ícu las infant i les más el 50% de las del oesterepresentan el 30% del tota l de las pel ícu las .E l 20% de las infant i les más el 60% de las del oeste más del 60% de lasde terror a l representan la mitad del tota l de las pel ícu las .Hay 100 pel ícu las más del oeste que de infant i les .Hal la e l número de pel ícu las de cada t ipo.

Ecuaciones Cuadráticas:

33

34

CONCLUSION

Como el resultado de esta investigación es la obtención del conocimiento de losdiversas temas investigados ya que nos ayuda a nuestra educación y a conocerdiariamente las habilidades obtenidas con los ejercicios matemáticos yconocerlos a profundidad por medio de conceptos, ejemplos y ejercicios.

CONCLUSION

Como el resultado del trabajo es que todos los estudiantes que vean este informedigital pues aprendan sobre estos temas y obtenga más conocimientos y losayude en su aprendizaje

CONCLUSION

Este informe es recomendado para que los estudiantes aprendan cada día mas yellos puedan realizar sus tareas en el internet para que ellos obtengan tambiénbuena información ya que es muy importante la educación y el saber conocerprimero leer y entender sobre qué es lo que está hablando, entendiendo, losconceptos y los ejemplos de cada tema y así poder realizar los ejercicios.

35

Recomendación I:

Este material de trabajo los ayudara a como poder entender los problemas matemáticoses muy importante que los estudiantes se interesen más en los temas matemáticos, todolleva un proceso en conocimiento, practica, y el interés sobre el aprendizaje de cada unode los estudiantes.

Recomendación II:

Los Informes digitales son ayudan a sacarnos de dudas sobre las diferentes tipo detemas matemáticos, en este material vas a conocer más sobre las multiplicaciones ydivisiones de polinomios, los diferentes tipos de ecuaciones y productos notables ya quecada tema son similares pero con diferentes conocimientos algebraicos y procedimientoen diferentes características dentro del área de matemáticas.

Recomendación III:

El profundizar un tema es ir obteniendo más conocimiento sobre estos diferentes temasya caracterizados, con definiciones, ejemplos y ejercicios ya que debemos de ponerlo enpráctica ya que dentro de nuestra preparación académica, la matemáticas, y el lenguajeque nosotros obtengamos es muy importante para nuestra vida de preparación y se lasrecomiendo espero que les ayude a quitar las dudas que obtengan sobre estos temasque son muy importantes conocerlos.

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Referencias bibliográficas.

https://sites.google.com/site/algebracecyteprimero/parciali/operacionalgebraica/multiplicacionydivisiondepolinomios

http://www.ditutor.com/polinomios/productos_notables.html

http://schollaris.com.mx/010401ec1grado.php

https://aula.tareasplus.com/RobertoCuartas/AlgebraElemental/Problemassobreedadesecuacionesdeprimergradoconunaincognita

http://deecuacionesdeprimergrado.blogspot.com/p/ecuaciondeprimergradocondos.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/gauss.html

http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html

Documents

Matematicas 2015(1)[1]