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MATRICES Y DETERMINANTESSISTEMAS DE ECUACIONES
Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología
Profesor: Jorge EscribanoColegio Inmaculada Niña
Granadawww.coleinmaculadanina.org
Departamento de MatemáticasColegio Inmaculada Niña de Granada
- 1 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
TEMA 9.- MATRICES Y DETERMINANTES
1.- INTRODUCCIÓN
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestosen m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n.Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denotala fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de lafila 2 y columna 5.
Por ejemplo:
512
331A , es de orden 2 x 3
120
043
352
B , es de orden 3 x 3
La dimensión de una matriz se suele indicar:
3215
32
13
x
A
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión (u orden) y los elementosque ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
2.- TIPOS DE MATRICES
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a suutilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
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- 2 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es deorden 1n.
Ejemplo 411321 x
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto esde orden m 1.
Ejemplo
134
2
1
x
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, esdecir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n,y no n n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principalde la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonalsecundaria.
Ejemplo
3251
342
031
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At,a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera filade A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segundacolumna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es deorden n m.
Ejemplo
424
135
012
410
231
452
tAA
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji.
Ejemplo
254
562
421
A
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- 3 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Atendiendo a los elementos
Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos nopertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Ejemplo
300
040
001
;30
02BA
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Ejemplo
400
040
004
;20
02BA
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonalprincipal iguales a 1.
Ejemplo
100
010
001
;10
0132 II
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos queestán a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangularespueden ser de dos tipos:Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de ladiagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 i<j.
Ejemplo
300
140
321
A
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonalprincipal son todos nulos. Es decir, aij =0 j<i.
Ejemplo
303
042
001
A
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- 4 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
3.- OPERACIONES CON MATRICES
Suma y Diferencia de Matrices
La suma (o diferencia) de dos matrices A=(aij)mxn, B=(bij)mxn es otra matriz con términogenérico (aijbij)mxn. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener lamisma dimensión.
Así, para el caso de dimensión 2x2 :
Ejemplo:323232
402
511
331
120
133
411
xxx
Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,
recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A (–A) 0.
Producto de una Matriz por un Número
El producto de una matriz A = (aij)mxn por un número real k es otra matriz B = (bij)mxn dela misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij
por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo:22
010
155
02
315
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)4. 1·A = A (elemento unidad)
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- 5 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Producto de Matrices
Sean A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp:
El producto de las matrices A y B (A⋅B) es otra matriz C de orden mxp con m filas y pcolumnas, cuyo elemento cij es el producto de la fila i de la matriz A por la columna jde la matriz B:
mxpijnxpijmxnij cba
donde:
Ejemplos:
543610
1
3
2
5
4132
14
41
x
x
Propiedades del producto de matrices
1. A·(B·C) = (A·B)·C2. El producto de matrices en general no es conmutativo: A.B B.A3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.4. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:
A·(B + C) = A·B + A·C
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- 6 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Ejercicios:
1.- Siendo
2502
1013
4331
1212
A y
4235
1410
1322
0213
B , calcula
3A – 2B
2.- Dadas las matrices:
011
121
101
,
115
003
102
BA , calcular A + B y B – A
3.- Dadas las matrices:
121
024
114
,
321
212
121
BA
Calcular: 22 ,,, BAABBA
4.- Dadas las matrices:
43
01
12
,043
521BA , calcular, si es
posible, A.B y B.A
4.- MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada nA , se dice que es inversible o regular si existe una matriz
cuadrada nB tal que : nnnnn IABBA .
A dicha matriz se le llama matriz inversa de A y la notaremos por 1A
Propiedades de la inversión de matrices
1. La matriz inversa, si existe, es única2. A-1A=A·A-1=I3. (A·B) -1=B-1A-1
4. (A-1) -1=A5. (kA) -1=(1/k)·A-1
6. (At) –1=(A-1) t
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- 7 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de otra. (No todas las matrices tieneninversa. Las matrices que no tienen inversa se llaman singulares)
Uno de ellos es usando directamente la definición.
Ejemplo:
Dada la matriz
11
12A buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir
Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácilcomprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.
El problema de este método es que a veces, especialmente para matrices más grandes,los cálculos se complican.
Método de Gauss-Jordan para el Cálculo de Matrices Inversas
Este método se basa en transformar la matriz cuadrada correspondiente en la matrizidentidad (de su mismo orden, claro) y hacer las mismas transformaciones con la matrizidentidad. La matriz obtenida al final del proceso será la matriz inversa.
Las transformaciones elementales permitidas son:
a) Intercambiar entre sí las filas de la matrizb) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número y
sumársela
Vemos primero un ejemplo de cómo transformar una matriz en la identidad:
1 2 1 1 2 1 1 2 1
43 0 4 1ª ( 3) 2ª 0 6 1 2ª 3ª 0 6 160 4 1 0 4 1 10 0 3
A x x
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- 8 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Ahora multiplicamos la 3ª fila por 3 y dividimos la 2ª por 6 para que nos quede unadiagonal de unos:
1 2 11 2 12ª: 6 10 6 1 0 1 63ª 3
10 0 0 0 13
x
Nos basamos ahora en el elemento 33a para hacer ceros en la 3ª columna y después en el
22a para hacer cero el 12a :
1 2 1 1 2 0 1 0 03ª ( 6) 2ª10 1 0 1 0 2ª 2 1ª 0 1 06 3ª ( 1) 1ª
0 0 1 0 0 10 0 1
xx
x
Si hubiéramos hecho a la vez las mismas operaciones con la matriz identidad,habríamos llegado a una matriz que sería la inversa de A.
Vemos un ejemplo completo de cálculo de inversa:
Calculamos la inversa de
41
23A
En primer lugar triangularizamos inferiormente:
Dividimos por -10 la segunda fila para que quede la diagonal de unos:
Una vez que hemos triangularizado superiormente lo hacemos inferiormente:
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- 9 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Y por tanto la matriz inversa de A será:
103
101
51
52
103
101
102
104
1A
Nota: si al intentar triangularizar se nos convierte una fila entera en ceros, significaráque la matriz no tiene inversa.
Ejercicio: Calcular las matrices inversas de
1 2 3 1 1 3 2 1 01 2 2 4
0 1 2 ; ; 1 2 1 ; ; 0 1 43 4 1 2
1 2 4 2 0 0 3 2 2
A B C D E
5.- RANGO DE UNA MATRIZ
Tanto las filas como las columnas de una matriz pueden ser consideradas de maneraseparada como vectores.
Recordemos que un conjunto de vectores eran linealmente independientes si ninguno deellos se podía poner como combinación lineal de los demás, es decir, si no se podíaobtener haciendo operaciones (suma y producto por un número) con ellos.
Así, por ejemplo, en la matriz
1 2 3
2 1 1
4 3 5
A
el vector correspondiente a la tercera fila se puede obtener como combinación lineal delas otras dos multiplicando el vector de la primera fila por 2 y sumándole el vector de lasegunda fila. Esta matriz tiene por tanto dos filas linealmente independientes.
Se llama Rango de una matriz A al número máximo de filas o columnas de A que sonlinealmente independientes
Así, la matriz anterior tiene Rango 2, y se expresa: ( ) 2Rg A
A veces se puede obtener el rango “a ojo”, pero no siempre es fácil
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- 10 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Método de Gauss-Jordan para el Cálculo del Rango de una Matriz
Consiste en usar las transformaciones vistas anteriormente para convertir la matriz entriangular o escalonada (todos los elementos por debajo de la diagonal principal debenser 0) y observar el número de filas en la matriz resultante que son distintas de 0.
Ejemplo:
Calcular el rango de
1 2 3 1
0 5 1 7
2 1 5 9
A
Vamos a triangularizar la matriz:
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
0 5 1 7 2 1ª 3ª 0 5 1 7 2ª 3ª 0 5 1 7
2 1 5 9 0 5 1 7 0 0 0 0
x
Por tanto el ( ) 2Rg A ya que se obtienen dos filas linealmente independientes.
Conviene tener en cuenta que el rango de una matriz no varía si: Permutamos entre sí dos filas o columnas Suprimimos una fila o columna de ceros Suprimimos una fila o columna proporcional a otra Suprimimos una fila o columna que sea combinación lineal de otras paralelas a
ella
Así, en la matriz1 2 3 4
6 3 2 8
2 4 6 8
7 5 5 4
A
podemos eliminar la 3ª fila al ser el doble de la 1ª y también podemos eliminar la 4ª filaal ser la suma de la 1ª y la 2ª, de donde:
1 2 3 4
6 3 2 8 1 2 3 4( )
2 4 6 8 6 3 2 8
7 5 5 4
Rg A Rg Rg
Y al hacerla escalonada:1 2 3 4 1 2 3 4
1ª ( 6) 2ª6 3 2 8 0 9 16 32
x
Por lo que ( ) 2Rg A
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- 11 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Ejercicio: Calcular el rango de las matrices
1 4 6 2
1 4 1 1 3 1 3 2 5 11 4 2
1 3 2 ; 2 1 5 ; ; 4 6 1 02 8 4
2 2 0 1 10 8 0 0 10 1
7 8 6 1
A B C D
Teorema
Una matriz cuadrada de orden n tiene inversa su rango es n
Esto significa que, a veces, conviene calcular el rango de una matriz antes de ponernos acalcular su inversa, pues nos podemos evitar esos cálculos si su rango no coincide consu orden.
6.- DETERMINANTES
Un determinante es un número real que se la asocia a una matriz cuadrada. Lellamaremos AA det
Dependiendo del orden de la matriz, los determinantes se calculan de una u otra forma:
Determinantes de orden 1:
Determinantes de orden 2:
Ejemplo: 7425354
23
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- 12 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Determinantes de orden 3:
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y suscorrespondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquemagráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
Ejemplo:
213
132
241
A
35116181246116181246
213
132
241
A
Ejercicio: Calcula los determinantes de las matrices:
243
111
111
;
111
322
221
;37
25;
22
13DCBA
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- 13 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Determinantes de orden superior a 3:
Antes de ver cómo se calculan estos determinantes, son necesarias una serie dedefiniciones:
Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama submatriz complementaria delelemento ija a la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir en A la fila i y
la columna j. Esta matriz se expresa como ij
Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del
elemento ija al determinante de su submatriz complementaria, es decir, ij
Así, si
1 1 2 0
2 0 4 3
3 2 0 1
4 1 6 3
A
, el menor complementario del elemento 23a será:
23
1 1 0
3 2 1 8
4 1 3
Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama adjunto del elemento ija al
número ijA definido por la siguiente expresión:
1i j
ij ijA
Así, en el ejemplo anterior, el adjunto del elemento 23a será:
5
23 231 ( 8) 8A
A la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento de una matriz A por su adjuntocorrespondiente se le llama matriz Adjunta de A: Adj(A)Calcula como ejercicio la matriz adjunta de la matriz anterior.
Ahora ya estamos en condiciones de abordar el cálculo de determinantes de orden n:
Si A es una matriz cuadrada de orden n, su determinante es igual a la suma de losproductos de cada uno de los elementos de una línea (fila o columna) por susrespectivos adjuntos:
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- 14 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Así, si
el desarrollo por los elementos de la fila i es:
1 1 2 2 3 3 ....i i i i i i in inA a A a A a A a A
Ejemplo:
Vamos a calcular el siguiente determinante de orden 4, utilizando el desarrollopor los elementos de su primera fila:
11 12 13 14
1 1 1 3
0 2 1 11 1 1 3
2 1 0 2
1 4 0 2
A A A A
Como:
11 12
13 14
2 1 1 0 1 1
1 0 2 10 ; 2 0 2 ( 2) 2
4 0 2 1 0 2
0 2 1 0 2 1
2 1 2 13 ; 2 1 0 9
1 4 2 1 4 0
A A
A A
El determinante será:
11 12 13 14
1 1 1 3
0 2 1 11 1 1 3 10 2 13 27 52
2 1 0 2
1 4 0 2
A A A A
Hay que tener en cuenta que a la hora de desarrollar por los adjuntos de una línea,conviene elegir aquella que más ceros tenga (menos adjuntos que hacer). En este casohubiera sido más sencillo desarrollar el determinante por los elementos de la terceracolumna (hacerlo).
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- 15 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Ejercicio: calcular
1 0 1 1
1 1 1 1
1 2 1 1
0 1 2 1
7.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual que el de su traspuesta:tA A
2. El determinante de producto de dos matrices es igual al producto de susdeterminantes: A B A B
3. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementosde su diagonal principal
4. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, sudeterminante es 0
5. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, sudeterminante es 0
6. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinantecambia de signo
7. Si se multiplica una fila o columna de una matriz cuadrada por un número, sudeterminante queda multiplicado por dicho número
8. Si una matriz cuadrada tiene una línea que es combinación lineal de otrasparalelas, su determinante es 0
9. Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada sedescomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone ensuma de dos determinantes de la siguiente forma:
11 12 13 11 12 13 12 13
21 22 23 21 22 23 22 23
31 32 33 31 32 33 32 33
a b a a a a a b a a
a c a a a a a c a a
a d a a a a a d a a
10. Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de lasotras paralelas, su determinante no varía
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- 16 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Ejercicios:
1.- Justifica, sin desarrollar, las siguientes igualdades:
a)
3 1 7
0 0 0 0
1 11 4
b)
4 1 7
2 9 1 0
8 2 14
c)
7 4 1
2 9 7 0
27 94 71
2.- Sabiendo que 5 0 3 2
1 1 1
x y z
, calcular:
a)
3 3 3
5 0 3
1 1 1
x y z
b)
15 0 9
2 2 2
1 1 1
x y z c) 2 5 2 2 3
1 1 1
x y z
x y z
x y z
8.- CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
Hemos visto antes que el Rango de una matriz A es el número máximo de filas ocolumnas de A que son linealmente independientes y vimos cómo calcularlo usando elmétodo de Gauss.
De las propiedades anteriores de los determinantes, se deduce un método más sencillopara calcular el Rango de una matriz:
El Rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo
Recordemos que un menor era el determinante de cualquier submatriz cuadrada dentrode A.
Vemos un ejemplo:
Vamos a calcular el Rango de
2 0 1 2
3 1 2 5
1 1 1 3
A
Como la matriz es de orden 3x4, el rango como mucho puede ser 3 (no hay dentro deella submatrices cuadradas de orden 4).Calculamos todos los menores posibles de orden 3. Si alguno de ellos no da 0, el rangode la matriz será 3:
2 0 1 2 0 2 2 1 2 0 1 2
3 1 2 0 ; 3 1 5 0 ; 3 2 5 0 ; 1 2 5 0
1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3
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- 17 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
Como todos los menores posibles de orden 3 dan 0, el rango de la matriz puede sercomo mucho 2.Para ver si es así buscamos un menor de orden 2 que no de 0:
2 02 0
3 1
Por lo tanto ( ) 2Rg A
Ejercicio: calcular el rango de las siguientes matrices:
5 0 3 42 3 1 3 5
1 1 0 2 3 7 44 6 2 ; 2 4 ; ;
2 0 3 3 2 8 16 9 3 1 0
3 1 2 0
A B C D
9.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES
Si A es una matriz cuadrada tal que 0A , entonces su matriz inversa se puede calcular
mediante la fórmula:
1 ( ) ( )t tAdj A Adj A
AA A
Nota:Es muy importante comprobar antes si el determinante de la matriz es o no 0,pues si lo es directamente la matriz no tiene inversa.
Ejemplo:
Calcular la matriz inversa de
2 2 2
2 1 0
3 2 2
A
Calculamos primero su determinante: 1
2 2 2
2 1 0 2 0
3 2 2
A A
Calculamos los adjuntos de cada elemento:
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- 18 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 2 0 2 12 , 4 , 7
2 2 3 2 3 2
2 2 2 2 2 20 , 2 , 2
2 2 3 2 3 2
2 2 2 2 2 22 , 4 , 6
1 0 2 0 2 1
A A A
A A A
A A A
Luego la matriz adjunta será:
2 4 7
( ) 0 2 2
2 4 6
Adj A
Y su traspuesta: 2 0 2
( ) 4 2 4
7 2 6
tAdj A
Y por tanto la matriz inversa:
1
2 0 2
4 2 41 0 1
7 2 6( )2 1 2
27 1 32
tAdj A
AA
(Es fácil comprobar que 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A A A A I
Ejercicios:
1.- calcular, si es posible, las matrices inversas de las siguientes matrices:
1 0 0 1 0 13 2
3 -1 2 , , 2 3 11 2
1 5 -4 1 1 2
A B C
2.- Dada la matriz
1 1
1 1
0 0 2
a
A a
a) Calcular los valores de a para los que existe la inversa de Ab) Halla su inversa para a = 2
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- 19 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
10.- ECUACIONES MATRICIALES
Son ecuaciones en las que la incógnita es una matriz.
Se resuelven como las ecuaciones normales, con la salvedad de que no se pueden dividirmatrices.
A
BCXBCAXCBAX
xxxx
23
663173713
Esto último con matrices no se puede hacer.
En lugar de dividir por una matriz, que no se puede, lo que haremos es multiplicar laecuación por la inversa de esa matriz:
BAXBAXIIAAComoBAAXABAX 11111 )(
Es importante que hay que multiplicar por 1A por el lado en el que esté A (en el casoanterior por la izquierda) para que quede la identidad, ya que el producto de matrices noes conmutativo.
Por ejemplo:
1
111
ABCX
ABCIXABCXAABCXACBXA
Ejercicio:
Resolver la ecuación: AX + B = 2C , siendo:
100
214
121
013
11
02CBA
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- 20 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
EJERCICIOS
1.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA
2.- Efectúa todos los productos posibles con las siguientes matrices:
015200365172
43101107
152321 CBA
3.- Dadas las matrices
23
11,0374,30
21 CBA
Calcula:
a) (A.B) + (A.C) b) (A-B).C c) A.B.C
4.- Calcula las inversas, si existen, de las siguientes matrices por el método deGauss:
5.- Halla los valores a y b en la matriz
a
baA 0 de forma que se cumpla:
BAA 22 , siendo
00
10B
6.- Dada la matriz
12
32A , halla el valor que deben tener x e y para que se
cumpla la igualdad: 02 yIxAA
120
101
212
=B
011
112
101
=A
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- 21 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
7.- Dada la matriz
xx
xA
000000
, calcular el valor de x para que se verifique la
ecuación: 0962 IAA
8.- Razonar si existe algún valor de x tal que BB 2 siendo
xxB 11
9.- Calcula el rango de las siguientes matrices mediante el método de Gauss primeroy después por menores:
1 2 3 1 2 31 2 3 4
; 2 4 6 ; 2 4 02 4 6 8
12 24 36 3 6 0
1 0 3 0 0 0 1
0 2 0 3 ; 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0
A B C
D E
10.- Estudiar, según los valores de a, el rango de la matriz
1 2
1 1
0 1
a
A a
a
11.- Dada la matriz
4 5 1
3 4 1
3 4 0
A
, calcular 2 3 4 5 6 128, , , , ,...,A A A A A A
12.- Halla todas las matrices X de la forma
1 0
0 1
0 0
a
X b
c
tales que
2
1 0 1
0 1 0
0 0 1
X
13.- Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k:1 1 1 2 1 4
1 1 2 ; 2 1 3
2 1 1 2
1 3 2 1 1 1 0 2
2 6 4 ; 1 3 1 0
4 12 8 4 2 10 3
A B
k k
C k D
k
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- 22 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
14.- Si 25
a b c
p q r
u v w
, calcular razonadamente
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a c b
u w v
p r q
15.- Si 3 0 2 5
1 1 1
x y z
, calcular razonadamente
2 2 2
3 0 121 1 1
x y z
16.- Calcular, si es posible, la inversa de la matriz
1 1 1
2 1 2
0 0 1
A
17.- Dada la matriz
5 0 6
2 1
3 2 4
A
a) Calcular los valores de para los que no existe la inversa de Ab) Calcular su inversa para 6
18.- ¿Qué valores de a hacen que la matriz
1 1
1 2 3
2 3 7
a a a
A
a a a
no tenga
inversa?
19.- Resuelve la ecuación:
2 1 3 2
2 1 2 1 0
2 1 3 3 2
x x x
x x x
x x x
20.- Dada la matriz
cos 0
cos 0
cos cos 1
senx x
A x senx
senx x senx x
a) ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A?b) Calcular dicha matriz inversa
21.- Calcula el rango de
2 0 2
1 0 1 3
5 4 4 3
a
A
a
según los valores de a
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- 23 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
22.- Comprueba que si A es una matriz cuadrada de orden dos que verifica la relación2 2 3 0A A I , entonces A tiene inversa. ¿Cuál es la inversa de A?
23.- Dada las matrices:
102121
101,
010021213
BA
a) Calcular 11 , BAb) Calcular la inversa de A Bc) Comprobar que 111 ABBA
24.- Resuelve la ecuación AX = B donde:
101-
011=B
10
11=A
25.- Resuelve la ecuación matricial 2AX B C , siendo:1 0 0 0 1 2 1 1 0
2 2 1 , 0 1 1 , 1 0 2
3 0 1 1 0 1 1 0 0
A B C
26.- Sea la matriz
5 4 2
2 1 1
4 4 1
A
a) Comprueba que se verifica: 2 2 0A A I b) Usando la igualdad anterior, calcula razonadamente 1A y 4A
27.- Resolver la ecuación matricial AX+B=C, siendo:
a)
4-03-
527=C
1-10
1-01=B
12-
20=A
b)
1-10
312
01-1
=C
111
11-0
012
=B
2-10
121
1-01
=A
28.- Si 3 0 2 5
1 1 1
x y z
, calcular razonadamente:
1 1 1
) 3 3 3 3 2 ) 4 1 3
1 1 1 1 1 1
x y z x y z
a x y z b
x y z
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- 24 - Matemáticas II: Matrices y Determinantes
29.- Calcular el determinante:
1 3 2 1
3 0 4 1
0 1 2 3
1 2 3 2
30.- Se consideran las matrices
1 31 2
, 01 1 1
0 2
mA B m
a) Calcula los valores de m para los que la matriz A B es inversibleb) Para m = 0, calcula la inversa de A B
31- Dadas las matrices
1 4 1 0 1 1
1 3 2 1 1 2
1 2 0 1 0 1
A B
a) Estudia si existe la inversa de A y, en caso afirmativo, calcúlalab) Estudia si existe la inversa de B y, en caso afirmativo, calcúlalac) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula una matriz X que
verifique 2A I B B A X A
32.- Dadas las matrices1 1 3 1 0
0 1 21 0 3 , 1 2 ,
2 1 11 2 1 0 1
A B C
a) Calcular la inversa de la matriz A B C b) Resolver la ecuación matricial: A X B C X A
33.- Se consideran las matrices1 2 2 0
,2 3 0 3
P Q
. Calcula:
a) La matriz 1P
b) La matriz X cuadrada de orden 2 tal que 1P X P Q
c) La matriz 21P Q P
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- 1 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
TEMA 10.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.- INTRODUCCIÓN
Una ecuación lineal es una expresión del tipo:bxaxaxaxa nn ...332211
Por ejemplo: 3x+2y-z=1
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales:
Donde las ix son las incógnitas, las ija los coeficientes de las incógnitas y las jb los
términos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones y n incógnitas.
Por ejemplo:
54
123
22
zyx
zyx
zyx
Todo sistema tiene asociada una matriz:
Que no es sino una forma más sencilla de escribir el sistema. En el ejemplo anterior, lamatriz asociada al sistema sería:
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores quecumplen a la vez todas las ecuaciones del sistema.
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- 2 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Así, una solución del sistema
02
3
yx
yx es (1,2) (x=1, y=2) (Es fácil resolver por
cualquiera de los métodos conocidos)
Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Así, los sistemas
2
52
yx
yx y
723
63
yx
yx son equivalentes puesto que ambos
tienen como solución (3,1)
2.- CLASIFICACIÓN DE UN S.E.L.
Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:
Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una únicasolución.
El sistema
422
2
yx
yx es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas
soluciones (hay infinitas parejas de números que sumen 2) como se puede comprobar alresolverlo.
El sistema
1
2
yx
yx es un sistema Incompatible ya que no tiene solución (es
imposible que dos números sumen 2 y a la vez sumen 1)
Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber sies única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en casode ser compatible, si es determinado o indeterminado.
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- 3 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
3.- SISTEMAS ESCALONADOS
Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo:
Es decir, son sistemas cuya matriz asociada es una matriz triangular.
Por ejemplo:
62
323
72
z
zy
zyx
La ventaja de estos sistemas es que son muy fáciles de resolver. En el ejemplo anterior,despejando de la última ecuación sale z = 3, de la segunda sale y = -1 y de la terceraecuación sale x = 2.
4.- MÉTODO DE GAUSS DE RESOLUCIÓN DE S.E.L. (REDUCCIÓN)
El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (también llamadométodo de reducción) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que seaequivalente a él (es decir, tenga las mismas soluciones).
Nota: al usar este método usaremos la matriz asociada al sistema para facilitar lasoperaciones.
Las transformaciones que se pueden para que el sistema resultante sea equivalente alinicial son las mismas que vimos el emplear el método de Gauss para calcular la matrizinversa de otra. A saber:
Transformaciones Válidas:
a) Intercambiar entre sí las filas de la matrizb) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número y
sumársela
Durante el proceso, o al finalizarlo, podemos encontrarnos con los siguientes casos:
Una fila de ceros: es una ecuación trivial y podemos prescindir de ella Dos filas iguales o proporcionales: corresponden a ecuaciones equivalentes y
podemos eliminar inmediatamente una de ellas
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- 4 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Una fila de ceros, salvo el último número: evidentemente, se trata de unaecuación imposible, con lo que el sistema será incompatible.
Ejemplo 1:
Resolver el sistema:
2965
11532
2
zyx
zyx
zyx
Obtenemos su matriz asociada:
29651
11532
2111
Hemos señalado la “diagonal” de la matriz para darnos cuenta de que los elementos quehay que hacer 0 para que el sistema se transforme en uno escalonado son justamente losque hay por debajo de ella (el 2, el 1 y el -5). Para ello usaremos las transformacionesque hemos indicado:
Hemos conseguido transformarlo en un sistema escalonado equivalente que sería:
6923
73
2
z
zy
zyx
, cuya solución, como es fácil ver, es (1,-2,3)
Este método permite además discutir el sistema a la vez que se resuelve. En este caso setrata de un Sistema Compatible Determinado (una única solución)
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- 5 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Ejemplo 2:
Discutir y resolver el sistema
43
32
2642
zyx
zy
zyx
El elemento redondeado es el en el que nos basamos para hacer cada transformación(hacer ceros) llamado elemento pivote.
Vemos que en la última matriz queda una fila entera de ceros, lo que indica que esa filase puede eliminar. Esto significa que como nos queda un sistema con más incógnitasque ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Por tanto se trata de un Sistema CompatibleIndeterminado.
Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incógnitas como si fuese unnúmero (le llamamos, por ejemplo, ), y despejamos las restantes incógnitas:
Dándole distintos valores a , podríamos obtener las infinitas soluciones del sistema.Por ejemplo, si =1, una solución sería (-12,-5,1), si =0, otra solución sería (-5,-3,0),si =-1, otra solución sería (2,-1,-1), …
Ejemplo 3:
Discutir y resolver el sistema
1842
342
2
zyx
zyx
zy
Intercambiando la 1ª fila por la 2ª:
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- 6 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Como vemos la última ecuación no tiene sentido (0 = 5), y por tanto se trata de unSistema Incompatible.
Ejercicios:
1.- Discutir y resolver los sistemas:
32423452
)111
)yx
zyxzyx
bzyxzyxzyx
a
3 x + 2 y - z = 0
x + z = 2)
- x + y = 3
x - y + z = 4
c
2 x + y - z + t = - 1
) x + y + z = 0
- x + 2 y - z = 1
d
x + y - z + t = 2
) 2 x - y + z + 2 t = 1
2 x + 2 y - 2 z + 2 t = 0
e
2.- Dado el sistema:
azayxazyx
zayx
6)22(1124
a) Discútelo y resuélvelo para a = 4b) Discútelo y resuélvelo para a = 0
5.- REGLA DE CRAMER
El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver unsistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguirel proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas.
La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades delas matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de lasincógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.
Antes de enunciar la regla de Cramer, hemos de darnos cuenta que un sistema deltipo:
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- 7 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A se denominamatriz de coeficientes.
Es decir, se puede expresar como una ecuación matricial: A X B
Regla de Cramer:
Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una única solución si lamatriz A de los coeficientes es regular, es decir, si 0A
Además, cada solución jx del sistema viene dada por el cociente de dos
determinantes: en el denominador, el determinante de la matriz de los coeficientes,y en el numerador, el determinante que se obtiene al sustituir en A la columna jpor la columna de los términos independientes
Demostración:
Si A es regular tendrá inversa, y por tanto:
A-1AX = A-1B X=A-1B ( ( ))X =
| A |
tAdj AB
1 j 1 2 j 2 n j nj
+ + . . . + =x
| A |b b b
O sea:
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- 8 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Nota: Los sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas ycuya matriz de coeficientes es regular, se denominan sistemas de Cramer, y esa este tipo de sistemas, y no a otros, a los que podemos aplicarles esta regla.Los sistemas de Cramer son siempre, por tanto, sistemas compatiblesdeterminados.En caso de querer resolver una sistema compatible indeterminado, se pasanlas incógnitas sobrantes al segundo miembro y se convierte en un sistema deCramer, como veremos más adelante.
Ejemplo:
Resolvamos el sistema:
x - 2 y + z = 4
- x + y - 3 z = 1
2 x - y + z = 2
Como m=n=3 y
1 2 1
1 1 3 7 0
2 1 1
A
. Luego, es un sistema de Cramer y
por tanto es compatible determinado:
4 - 2 1
1 1 - 3
2 - 1 1 3x = =
7 7;
1 4 1
- 1 1 - 3
2 2 1 - 17y = =
7 7;
1 - 2 4
- 1 1 1
2 - 1 2 - 9z = =
7 7.
Por tanto, la solución del sistema es:3 17 9
, ,7 7 7
Ejercicio:
Resolver por Cramer el siguiente sistema:
1
4 2 2 4
3 3 3 9
x y z
x y z
x y z
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- 9 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
6.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS.TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
La regla de Cramer es un método de resolución de sistemas (sólo un tipo especial deellos), pero no permite clasificarlos.Vamos a estudiar un teorema que permita clasificar sistemas basándose en rangos dematrices, si bien para resolverlos utilizaremos o bien el método de Gauss o bien la reglade Cramer.
Dado un sistema del tipo:
Llamamos A a la matriz de los coeficientes y 'A a la matriz ampliada, es decir, a
Teorema de Rouché-Fröbenius
Si ( ) ( ') ( º )Rg A Rg A n n incógnitas El sistema es CompatibleDeterminado
Si ( ) ( ')Rg A Rg A n El sistema es Compatible Indeterminado
Si ( ) ( ')Rg A Rg A El sistema es Incompatible
Veamos un ejemplo de cómo discutir un sistema usando el Teorema de Rouché:
Ejemplo 1:
Discutir y resolver el sistema:
1
2 0
3 2 3
x y
y z
x y z
La matriz de coeficientes es
1 1 0
0 2 1
1 3 2
A
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- 10 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Como
1 1 0
0 2 1 2 0 ( ) 3
1 3 2
A Rg A
La matriz ampliada será
1 1 0 1
' 0 2 1 0
1 3 2 3
A
, y como A está contenida en A’,
entonces ( ') 3Rg A
Por tanto ( ) ( ') 3 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C D Para resolverlo utilizamos la regla de Cramer:
1 1 0 1 1 0 1 1 1
0 2 1 0 0 1 0 2 0
3 3 2 1 3 2 1 3 342 ; 1 ; 2
2 2 2 2x y z
Y por tanto la solución del sistema es (2,-1,2)
Ejemplo 2:
Discutir y resolver el sistema:
1
2 2
1
x y z t
x y z
x y z t
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
1 1 1 1
2 1 1 0
1 1 1 1
A
Como
1 1 1
2 1 1 2 0 ( ) 3
1 1 1
Rg A
Como el rango de A’ no puede ser 4 y A está incluida en A’ ( ') 3Rg A
Por tanto ( ) ( ') 3 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C I
Podemos resolverlo por Cramer o por Gauss. Elegimos una incógnita (porejemplo t) y la tratamos como si fuera un número: t , y el sistema quedaría:
1
2 2
1
x y z
x y z
x y z
Resolvemos este sistema por Cramer y es fácil ver que:
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- 11 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ; ;
2 2 2x y z
Luego las infinitas soluciones del sistema serán de la forma:
1 , , ,
Ejercicio:
1.- Discutir y resolver los sistemas:6 2 2 0
) 4 1 ) 2 3 3 ) 2
5 2 5 2 2 0 2 0
x y x y z x y z t
a x y b x y x c x y z
x y x y z x y t
7.- CASO PARTICULAR: SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si todos sus términosindependientes son nulos, es decir, un sistema del tipo:
Por ejemplo:
033
032
042
zyx
zyx
zyx
Estos sistemas siempre son compatibles, pues al menos tienen la solución (0,0,0),llamada solución trivial. La cuestión es si sólo tiene esa solución o tiene infinitassoluciones además de ésa.
Se resuelven de la misma manera que todos los sistemas, si bien su clasificación es unpoco distinta:
)(
)(
solucionessCompatible
trivialsoluciónlasólolesIncompatibHomogéneosLinealesSistemas
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- 12 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Ejemplo:
Discutir y resolver el sistema:
023
032
025
zyx
zyx
zyx
Lo hacemos por ejemplo por Gauss:
En este caso nos quedan dos ecuaciones y tres incógnitas y por tanto el sistema tendráinfinitas soluciones, por tanto se trata de un Sistema Homogéneo Compatible:
13
12
13
2525
13
5
0513
025
zyx
yzzy
zyx
Las infinitas soluciones del sistema son de la forma:5
, ,13 13
Como podemos ver, si =0 se obtiene la solución trivial (0,0,0)
8.- DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS
Hasta ahora hemos discutido sistemas de los que conocíamos todos los valoresde los coeficientes y de los términos independientes. Sin embargo, es frecuenteencontrar sistemas en los que uno o más coeficientes o términos independientes tomanvalores desconocidos o parámetros.
La discusión de estos sistemas consiste en hallar los valores de dichos parámetros paralos que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado oincompatible.
Si bien esta clasificación puede hacerse por el método de Gauss, que discute y resuelveel sistema a la vez, suele ser más sencillo hacer la discusión por el teorema de Rouché,para luego resolverlo en casos particulares por Cramer o Gauss.
Veamos con un ejemplo cuál es el procedimiento a seguir:
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- 13 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Ejemplo:Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de a:
4
1
2
ax y z
x ay z
x y z a
En primer lugar obtenemos la matriz de los coeficientes:
1 1
1 1
1 1 1
a
A a
Su rango, que en este caso puede ser como máximo 3, depende de si su determinante eso no 0.Calculamos por tanto su determinante y al igualarlo a 0 obtendremos los valores de aque nos servirán para su clasificación:
2 2
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
a
A a a a a a
Si lo igualamos a 0: 2 1 0 1 , 1a a a
Tenemos por tanto tres posibilidades para a: o es 1, o es -1, o es distinto de 1 y de -1.Analizamos cada caso usando el Teorema de Rouché:
Si 1a y 1a
En este caso Rg(A)=3, y como la matriz ampliada tiene como mucho rango 3 eincluye a A, su rango también será 3. Por tanto:
( ) ( ') 3 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C D Para resolverlo podemos usar por ejemplo la regla de Cramer:
2
2
4 1 1
1 1
2 1 1 2 ( 1)( 2) 2
1 (1 )(1 ) 1
a
a a a a a ax
A a a a a
Y de la misma manera:2 3
1 ;1
a ay z
a
Si 1a
La matriz de coeficientes es
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
, que no tiene rango 3.
Como1 1
2 0 ( ) 21 1
Rg A
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- 14 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Veamos ahora el de la ampliada:
1 1 1 4
' 1 1 1 1
1 1 1 3
A
Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0:1 1 4
1 1 1 2 0 ( ') 3
1 1 3
Rg A
Luego ( ) ( ')Rg A Rg A Sistema Incompatible
Si 1a
La matriz de coeficientes es
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
, que no tiene rango 3.
Como1 1
2 0 ( ) 21 1
Rg A
Veamos ahora el de la ampliada:
1 1 1 4
' 1 1 1 1
1 1 1 1
A
Como la 2ª y 3ª filas son iguales, no hay ningún menor de orden 3 distinto de 0,y por tanto ( ') 2Rg A
Luego en este caso: ( ) ( ') 2 º . . .Rg A Rg A n incógnitas S C I
Para resolverlo en este caso usamos por ejemplo el método de Gauss:
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 41ª 2ª
1 1 1 1 0 2 2 5 1 2ª 3ª 0 2 2 51ª 3ª
1 1 1 1 0 2 2 5 0 0 0 0
x
Y por tanto el sistema resultante es:4
2 2 5
x y z
y z
Resolvemos llamando z :4 5 5 3
4 42 5 2 2 2 2
x yy x y
y
Luego las infinitas soluciones serían de la forma:3 5
, ,2 2
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- 15 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Ejercicio:Discutir y clasificar los siguientes sistemas según los parámetros:
1 1 4
) 1 ) 0 ) 2 2 2
1 ( 1) 1 2 5
01
) 2 0 )2 1
2 0
ax y z x y x y z
a x ay z b my z c x y z
x y x m y mz m x y z k
x y zmx y
d ax z ex my m
x y az
9.- RESOLUCIÓN MATRICIAL DE UN S.E.L.
Ya hemos visto que un sistema de ecuaciones lineales del tipo:
se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
Es decir, se puede expresar como una ecuación matricial: A.X = B, y por tanto se puederesolver como: BAX 1
Ejemplo: Resolver matricialmente el sistema
143
034
233
zyx
zyx
zyx
Matricialmente se puede expresar como:
1
0
2
431
341
331
z
y
x
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- 16 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
Es decir, A.X = B, donde
431
341
331
A ,
1
0
2
B y
z
y
x
X
Como BAX 1 , calculamos la inversa de A:
101
011
337
1A (comprobarlo9
Y por tanto:
3
2
17
1
0
2
101
011
337
X
Es decir, es un sistema Compatible Determinado cuya solución es: x=17 , y=-2 , z=-3
Nota: si la matriz A no tiene inversa, el sistema no se puede resolver de formamatricial.
Ejercicio: resuelve matricialmente los sistemas:
a)
1=2z+y+x
0=z-3y+2x
1-=z+2y+x
b)
2-=z-2x
4=z+2y
1=z+y-3x
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- 17 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
EJERCICIOS
1.- Estudia y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas:
a)
2-=z-2x
4=z+2y
1=z+y-3x
b)
0=2z+x-
0=z+3y-x
c)
1=3z-6y+x
0=z+2y-x
3=2z+y-2x
1=z-2y+x
d)
4=z+3y
0=z-2y+x-
2=y-3x
1=2z-y+2x
e)
5=2y+x
5=y-2x
2=y-x
f)
3-=4t-2z-y-x
2-=3t-z+y-3x
2-=z-2y+x _
g)
3=3z-2y-x
3=2z+y+x-
4-=z+3y+2x
h)
0=6y-3x
3=2y+x
1=y-3x
i)
1=2z+y+x
0=z-3y+2x
1-=z+2y+x
j)
1-=3z-y+3x-
5=z-3y+x-
3=z+y+x
k)
4=y-3x
3-=z-2y+x-
2=z-2x
2=2z+y-x
l)1=y-x
2=3z+y+2x
m)
0=3z-4y-x
0=3z+y-4x
0=z+2y-3x
0=2z+y+x
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- 18 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
2.- Considera el sistema:2 2 1
3
x y z
x y z
Añade una ecuación de manera que el sistema resulte:a) Incompatibleb) Compatible Indeterminadoc) Compatible Determinado
3.- Discute, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:
a)
2=z+2y+x
0=z-ay+x
2=z+2y+ax
b)
a=y
0=ay+x
a=y+ax
c)
1+a=x-
0=y+ax
1+a=y+x
d)
x - 2y + z + t = 1
x + y - 2z = 3
-x + 2y - z - t =
e)
x + 2y - z = 2
3x + 2z = 5
x + y + z = a
2x - y - 3z = -2
f)
1=az+y+x
1=z+ay+x
1=z+y+ax
g)
0=z+ky+x
0=z+y+kx
0=z+y+x
h)
3-=5z+2)y+(+3x
0=4z+3y+x
1=3z+y+x
4.- Calcula a para que los siguientes sistemas sean compatibles
a)
0=z+y-ax
0=az+2y-3x
0=z+ay+2x
b)
1=ax
2a=z+ay
0=z-y+2ax
1=z-y+ax-
_
c)
a=2z+y-
0=az+y+x-
2=2y-1)x-(a
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- 19 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
5.- En el siguiente sistema halla μ para que:1+=y+x
2=y+x
a) No tenga soluciónb) Tenga infinitas solucionesc) Tenga solución única
6.- Indica cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para el sistema
0=9z-6y+3x
0=2z-3y+x
0=z-y+ax
a) para cualquier valor del parámetro a tiene infinitas solucionesb) cualquiera que sea a no tiene soluciónc) tiene solución únicad) ninguna de las anteriores
7.- Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro m:
2 2 2 2 2
2 (2 ) 0
1 1 1
m x my z m
x m y
m x m z m
Resuélvelo, si es posible, para m = 1
8.- Discute y resuelve, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:
( 1) 2 2 3 4
) 0 ) 5 5 2 ) 6
( 1) 2 1 4 7 0
2 4 ( 1) 1 0
) 2 ) ( 1) 3 ) 12 ( 2)
2 ( 1) 2 4
k x y z k x y z mx y
a x y kz b x y z m c x my
x ky k z k x y z x y
x y az a x y z a x ky kz
d x y z e x a y z a f x k y
x z x y a z a
2 0
12 2 0
z
x y z
9.- Un cajero automático contiene 1330 € en billetes de 10 €, de 20 € y de m €. Hay,en total, 97 billetes, y el número de billetes de 10 € es el doble que el número debilletes de 20 €.a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos billetes hay de
cada tipob) Prueba que si 5,50,100,200,500m el sistema es compatible
determinadoc) Razona si en el cajero puede haber billetes de 100 €.
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- 20 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
10.- Halla qué relación deben cumplir los parámetros a, b, c y d para que el siguientesistema tenga una solución distinta de la trivial:
0
0
0
0
x y z at
x y z bt
y z ct
x y z dt
11.- En un sistema de n ecuaciones con n incógnitas el rango de la matriz de loscoeficientes es h ( h < n ). Di cuál debe ser el rango de la matriz ampliada para queel sistema sea:a) Compatible Indeterminadob) Incompatiblec) Compatible Determinado
12.- ¿Qué podemos decir sobre la compatibilidad de un sistema de cuatro ecuaciones ytres incógnitas en el que el rango de la matriz ampliada es cuatro? Razona turespuesta.
13.- Resuelve los siguientes sistemas matricialmente (en caso de que sea posible)
a)
8=3z+y-x
0=z-2x
2-=z-y+x
b)
2
1-
1
=
z
y
x
1-11
21-1-
12-1
c)
2-=z+y-3x
4-=z+y-x
1=z+y+2x
d)
3=z+3x
0=z-y-2x
1-=3z+y-x
14.- a) Discute, en función de a, el sistema:2
2( 1)
x ay z a
x y az a
ax y z a
b) Resuélvelo para el caso a = -1
15.- Demuestra que no hay valores de m para los que el siguiente sistema no tengasolución:
2 3
3 2 5
3 7
x y z
x y z
x my z
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- 21 - Matemáticas II: Sistemas de Ecuaciones
16.- Discute y resuelve el siguiente sistema en función de los valores del parámetrom:
0
1
2 0
mx y z
x my z
x y z
Razona si existe algún valor de m para el que tenga una solución con z = 0
17.- Sean S y S’ dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas que difieren sóloen los términos independientes:
: ; ' :' ' ' ' ' '
ax by c ax by dS S
a x b y c a x b y d
Si S es un sistema compatible indeterminado, ¿puede ser S’ compatibledeterminado? Razona la respuesta
18.- Una compañía tiene tres camiones (P, Q y R) en los que caben exactamente uncierto número de contenedores de tres tipos (A, B y C) de acuerdo con lasiguiente tabla:
Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipoC, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si todos los viajes se efectúantotalmente llenos?
19.- Discute el sistema:
3 1
5 3 3
1
3 7 5 5
x y z
x y z
x y z
x y z
a) Por Gaussb) Por Rouché
20.- Una persona ha obtenido 6.000 € de beneficio por invertir un total de 60.000 €en tres empresas A, B y C. La suma del dinero invertido en A y B fue m veces elinvertido en C, y los beneficios fueron del 5% en A, el 10% en B y el 20% en C.
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cadaempresa
b) Prueba que si m > 0 el sistema es compatible determinadoc) Halla la solución para m = 5
A B CP 5 3 4Q 2 5 5R 4 3 6