Matemáticas2º ESO

Área de figuras planas: polígonos

b

A = b · hh

l

A = l2

b

h A = b · h

b

h 2

h · bA

ParalelogramoCuadradoRectángulo Triángulo

h · 2

b) (BA

2

a · pA

·a

B

h

b

TrapecioPolígono regular Polígono

cualquiera

El área de un polígono cualquiera es igual a la suma de las áreas de los triángulos que puedan formarse. En este caso, a la suma de las áreas I, II, III y IV.

p = perímetro

III

IIIIV

Matemáticas2º ESO

Área de figuras planas: figuras circulares

Sector circular

Corona circularCírculo

·r

A = · r2·

R

r

A = · (R2 – r2)

Ap = · r2

AG = · R2

o

o2

360

n ·r · A

nº

Matemáticas2º ESO

Área del ortoedroLas caras del ortoedro son rectángulos, siendo las caras opuestas iguales.

ATOTAL = 2ab + 2ac + 2bc

El área total de un ortoedro es igual a la suma de las áreas de sus caras.

a bc

a · b

a · b

b · c

a · c

a · c

b · c

Matemáticas2º ESO

Área del prisma regularLas caras laterales de un prisma regular son rectángulos, y sus bases son

polígonos regulares.

La suma del área de todos los rectángulos es el área lateral del prisma.

ALATERAL = p · h

El área total del prisma regular se obtiene sumando a la lateral la de los dos polígonos de las bases.

ATOTAL = AL + 2 · AB

AB

p

Matemáticas2º ESO

Área del prisma regular. Ejercicio

2B cm 36,3

2

7,04,82A

Hallar el área total del prisma hexagonal adjunto.

Datos: Lado = 0,8 cm; apotema = 0,7 cm; altura = 2,7 cm.

Área lateral:

p = 6 × 0, 8 = 4,8 cm; h = 2,7 cm

AL = 4,8 × 2,7 = 12,96 cm2

Área de las base:

Lado = 0,8 cm Apotema = 0,7 cm

Área total:

AL + AB = 12,96 cm2 + 3,36 cm2 = 16,32 cm2

A´

A

Perímetro = 4,8 cm

Matemáticas2º ESO

Área de la pirámide regular

El área lateral de la pirámide regular es la suma de las áreas de los triángulos de sus caras.

ALATERAL = 5 · área de un triángulo =

El área total de la pirámide regular se obtiene sumando a la lateral el área de la base.

ATOTAL = AL + AB

Apotema de la pirámide

Apotema de la pirámide

2

A · p A · l) · (5 ·

2

1 A · l ·

2

1 · 5

Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales, y la base un polígono regular.

Matemáticas2º ESO

Área de la pirámide regular. Ejercicio

Área lateral:

Base = 1 cm Altura = 3,1 cm

AL = 1,55 cm2 × 5 = 7,75 cm2

Área de la base:

Apotema = 0,7 cm

Área total:

AL + AB = 7,75 cm2 + 1,75 cm2 = 9,5 cm2

Perímetro: 1 cm × 5 = 5 cm

Es la de cinco triángulos iguales.

55,12

3,11 A

2B cm 75,1

2

7,05A

base0,7 cm

apotema

Calcular el área lateral y total de la pirámide de la figura adjunta

Matemáticas2º ESO

Área del tronco de pirámide regular

ALATERAL =

El área total del tronco de pirámide se obtiene sumando al área lateral el área del polígono de la base mayor, B, y de la base menor, b. AT = AL + AB + Ab

El área lateral de un tronco de pirámide regular es la suma de las áreas de los trapecios iguales de sus caras.

En este caso son cinco trapecios. El área de cada uno de ellos es: A · )l (l · 2

121

A · )p (p · 2

1 A · )l · 5 l · (5 ·

2

1 A · )l (l ·

2

1 · 5 212121

A · 2

p pA 21

L

(p1 y p2 son los perímetros de la base mayor y menor, respectivamente.)

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Matemáticas2º ESO

Área de un cilindro:

ATOTAL = AL + 2 r2

AL = 2 r h

h h

r

r

El área lateral de un cilindro recto coincide con la del rectángulo del desarrollo.

r

2r

ALATERAL = 2··r ·h

r2

Ejemplo: Un bote de legumbres mide 12 cm de altura y 10 cm. de diámetro. Calcula el área lateral y el área total.

Solución:

Al = 377 cm2 ; Atotal = 377 + 157 = 534 cm2

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Área del cono

ATOTAL = AL + r2

Área lateral del cono: AL = r g

Ejemplo: Calcula el área total de un cono de 10 cm. de radio y 20 cm. de generatriz.

Solución:

Alateral=628 cm2

Atotal= 628 + 314 = 942 cm2

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11. Área del tronco de cono recto

El área total del tronco de cono recto se obtiene sumando a la lateral el área de los dos círculos de las bases: r1

2 + r22

AT = AL + r12 + r2

2

g )r (r g · 2

r 2 r 2 g ·

2

p p 21

2 121

Un tronco de cono puede considerarse como un tronco de pirámide en el que el número de caras laterales ha crecido indefinidamente.

ALATERAL =

A · 2

p pA 21

L

Teniendo en cuenta la correspondencia (perímetro–longitud de la circunferencia y apotema–generatriz), el área lateral del tronco de cono será:

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12. Área de la superficie esférica

Para calcular el área de la superficie esférica se aplica la fórmula: A = 4 R2.

.8,5 cm

EJERCICIO RESUELTO

Calcula la superficie de plástico necesario para fabricar una pelota de 17 cm de diámetro.

2222 cm 907,46cm 8,5 · 3,14 · 4r · π · 4A

Si el diámetro mide 17 cm, el radio vale la mitad: r = 8,5 cm.

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13. Área de figuras formadas por composición de las anteriores (I)

EJERCICIO RESUELTO

La figura representa un cuerpo hueco fabricado con hojalata. Calcular la superficie de la hojalata que se ha necesitado para fabricarlo. (Las longitudes viene dadas en centímetros)

Área de la semiesfera:

22222

22 cm 1413cm 15 · 3,14 · 2r 2)r 4·(

2

1A

Área lateral del tronco de cono:

AL = · (r1 + r2) · g =

= 3,14 · (20 + 15) · 30 cm2 = 3297 cm2

Superficie total de hojalata: 1413 cm2 + 3297 cm2 = 4710 cm2

r2

r1

El cuerpo está formado por una semiesfera y por un tronco de cono.

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14. Área de figuras formadas por composición de las anteriores (II)EJERCICIO RESUELTO

Se desea pintar una caseta, cuya forma y dimensiones se indican en la figura. ¿Cuántos metros cuadrados de superficie hay que pintar?

Área de la pirámide:

m 2,697,2512,5a 22

Área del prisma:

AL = 4 · 2 · 2 = 16 m2

Hay que restarle la superficie de la puerta:

Superficie total que hay que pintar: 10,76 m2 + 15,15 m2 = 25,91 m2

La caseta está formado por una pirámide y por un prima recto.

Apotema:

2P m 76,10

2

2,69 · 2 · 4A

0,5 · 1,70 = 0,85 m215,15 m2

a