MATEMÁTICAS 2º ESOmatematicas2esoescolapioscalassa.weebly.com/uploads/2/6/0/7/...2º… · matemÁticas 2º eso 3º trimestre 1 tema 12 semejanza. teorema de tales objetivos criterios

MATEMÁTICAS 2º ESO APUNTES Laura Vallés Rubio

TERCER TRIMESTRE

MATEMÁTICAS 2º ESO

3º TRIMESTRE

1

TEMA 12

SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES

OBJETIVOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN COMPETENCIAS BÁSICAS

1. Comprender y aplicar el teorema de Tales.

1.1. Utilizar el teorema de Tales para determinar medidas.

Lingüística

Matemática

Interacción con el

mundo físico

Social y ciudadana

Cultural y artística

Tratamiento de la

información y

competencia

digital

Aprender a aprender

1.2. Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes iguales.

1.3. Aplicar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes proporcionales.

2. Identificar figuras semejantes.

2.1. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

2.2. Identificar polígonos semejantes.

3. Comprender el concepto de razón de semejanza.

3.1. Calcular la razón de semejanza entre dos figuras.

3.2. Relacionar las áreas y volúmenes de figuras semejantes del plano y el espacio.

4. Resolver problemas métricos a través de la interpretación de planos, mapas, etc.

4.1. Utilizar la escala y la semejanza para interpretar planos y mapas.


3º TRIMESTRE

2

INDICE

1 SEGMENTOS SEMEJANTES

1.1 CUARTA Y MEDIA PROPORCIONAL

2 TEOREMA DE TALES

3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES

3.1 CRITERIOS PARA DETERMINAR LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS


3º TRIMESTRE

3

1. SEGMENTOS SEMEJANTES

Los segmentos se determinan por su longitud. Supongamos que tenemos dos

segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ de 3 cm y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ de 4 cm. Se llama proporcionalidad de los segmentos al

cociente de sus longitudes. Es decir, comparamos uno con el otro: 3

4

AB

CD , y decimos

que tres veces el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ es igual que cuatro veces el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

Supongamos que tenemos otros segmentos 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ de 9 cm y 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ de 12 cm la proporción

entre ellos sería 9 3

12 4

EF

GH . Por tanto, estos nuevos segmentos están en la misma

proporción que los anteriores y se dice:

Los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ son semejantes a los segmentos 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .

Lo escribimos así: AB EF

CD GH

Ejemplo:

Calcula la razón entre el segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 12 cm y el segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 25 cm.

12

25

AB

CD

1.1 CUARTA Y MEDIA PROPORCIONAL

Dados tres segmentos de longitudes a, b y c se denomina cuarta proporcional de a, b y

c a un segmento de longitud x, tal que se cumpla a c

b x .

Dados dos segmentos de longitudes a y b se denomina media proporcional a un

segmento de longitud x, tal que se verifique a x

x b


3º TRIMESTRE

4

Ejemplo:

Dados los segmentos de 5cm, 4cm y 10 cm, calcula la cuarta proporcional.

5 10 4·10 408

4 5 5x cm

x

Dados los segmentos de 10cm y 6cm, calcula la media proporcional.

2 21010 · 6 60 60 7,75

6

xx x x cm

x

2. TEOREMA DE TALES

El teorema de Tales nos dice:

Si varias rectas paralelas cortan a dos r y s, los

segmentos que determinan en ellas son

proporcionales, esto quiere decir que:

' ' ' ' ' '

AB BC AC

A B B C A C

Ejemplo:

Calcula la longitud el segmento B’C’ del dibujo.

Según el Teorema de Tales ' ' ' ' ' '

AB BC AC

A B B C A C , por lo

tanto: 3

48

6 24

3x cm

x


3º TRIMESTRE

5

3. TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Observa los triángulos ABC y A’B’C’, y fíjate en las relaciones que guardan sus ángulos y

sus lados.

Decimos que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales.

Los ángulos que son iguales se llaman homólogos

3.1 CRITERIOS PARA DETERMINAR LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Hemos visto que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados

son proporcionales.

Pero no es necesario comparar los tres lados y los tres ángulos de dos triángulos para

determinar si son semejantes.


3º TRIMESTRE

6

Hay varios criterios se semejanza de triángulos:

Dos triángulos que tengan dos ángulos iguales son semejantes.

Dos triángulos que tengan sus tres lados proporcionales son semejantes.

Dos triángulos que tengan un ángulo igual y los lados que lo forman

proporcionales son semejantes.

Estos criterios se demuestran comprobando que los triángulos pueden situarse en

posición Tales.

DOS TRIÁNGULOS QUE TENGAN DOS ÁNGULOS IGUALES, SON SEMEJANTES.

Vamos a comprobarlo con un ejemplo que harás en casa y comprobaremos en clase:

Construye un triángulo con un lado que mida 6 cm y con los ángulos contiguos a este de 35o y 70o.

Construye otro triángulo con un lado que mida 4 cm y con sus ángulos contiguos iguales a los anteriores.

Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición Tales.


3º TRIMESTRE

7

DOS TRIÁNGULOS QUE TENGAN SUS TRES LADOS PROPORCIONALES SON SEMEJANTES.

Comprobamos…

Construye un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 10 cm.

Construye otro triángulo de lados proporcionales a los anteriores; por ejemplo, 3 cm, 4 cm y 5 cm.


DOS TRIÁNGULOS QUE TENGAN UN ÁNGULO IGUAL Y LOS LADOS QUE LO FORMAN

PROPORCIONALES SON SEMEJANTES.


3º TRIMESTRE

8

Construye un triángulo con lados de 5 cm y 6 cm, y que formen un ángulo de 60o.

Construye otro triángulo con los lados proporcionales a los anteriores, por ejemplo 10 cm y 12 cm, y que formen el mismo ángulo.


Estos criterios se simplifican considerablemente para triángulos isósceles y rectángulos.

Mira esta tabla y compruébalo.

Polígonos semejantes


3º TRIMESTRE

9

Para poder construir un polígono semejante a otro dado, conociendo la razón de

semejanza, se puede utilizar el teorema de Tales aplicando la división de segmentos en

partes iguales.

Por ejemplo:

Vamos a construir un polígono semejante al ABCDE con razón de

semejanza 2

3, para ello seguiremos los siguientes pasos.


3º TRIMESTRE

10

TEMA 12

SEMEJANZA. TEOREMA DE

TALES

1. Calcula la razón de estos segmentos.

a)

b)

c)

d)

2. Si la razón , calcula:

a) siendo b) siendo

3. Si la razón calcula:

a) siendo b) siendo

4. Calcula la longitud que debe tener el cuarto segmento proporcional a los segmentos

AB, CD, y EF.

a)

b)

cmAB 6 cmCD 8

cmAB 64 mCD 1

dmAB 15 mCD 9

mAB 20 mCD 4

4

1

CD

AB

cmCD 76 ,CD cmAB 3

;6,1CD

AB

cmCD 9 ,CD cmAB 6,13

cmAB 3 cmCD 6 cmEF 9

mAB 2 cmCD 7 mEF 9


3º TRIMESTRE

11

c)

d)

5. La razón de dos segmentos es 4 y la diferencia de su longitudes es 7 cm. Calcula la

longitud de cada segmento.

6. Halla las longitudes desconocidas.

dmAB 3 dmCD 5 dmEF 21

cmAB 10 cmCD 15 cmEF 25


3º TRIMESTRE

12

7. En la siguiente figura, la razón y .

8. Divide el segmento siendo = 10 cm, en

a) 4 partes iguales. B) en 6 partes iguales.

9. Divide gráficamente un segmento en partes proporcionales a tres

segmentos de medida:

a) 3 cm, 5 cm y 6 cm c) 3 cm, 4 cm y 5 cm

b) 2cm, 4 cm y 6 cm d) 2cm, 6 cm y 9 cm

10. Divide un segmento de 4 cm en tres partes de forma que la primera sea doble de la

segunda, y esta, doble de la tercera.

11. Calcula la longitud de los lados desconocidos en los siguientes pares de triángulos

semejantes.

0,8. ','

OBCalculaOA AB

OB

AB AB

18AB cm


3º TRIMESTRE

13

12. Dos triángulos, ABC y A’B’C’, son semejantes. Los lados de ABC son:

Calcula los lados de A’B’C’ y la razón de semejanza, si

13. La razón de semejanza de dos triángulos, ABC y A’B’C’, es . Calcula los lados

desconocidos de los dos triángulos sabiendo que:

a) y

b) y

c) y

4AB cm 5BC cm 6CA cm

' ' 7,2A B cm

1

4r

5 ,AB cm 8BC cm 10CA cm

' ' 20 ,A B cm ' ' 24B C cm ' ' 26C A cm

4 ,AB cm 5BC cm ' ' 16C A cm


3º TRIMESTRE

14

14. Determina si estos pares de triángulos son semejantes y explica que criterio aplicas

en cada caso.


3º TRIMESTRE

15

15. Un árbol mide 5 metros de altura y, a una determinada hora del día proyecta una

sombra de 6 m.¿Qué altura tendrá un edificio si a la misma hora proyecta una

sombra de 10 metros.

16. La sombra que proyecta un padre que mide 1,8 m de altura, a las 3 de la tarde, es

de 2,1 m. ¿Qué altura tendrá su hijo si la sombra que proyecta es de 1,5 m?

17. Alba está a dos metros de un precipicio y ve alineado a un pueblo por el borde del

precipicio. ¿A qué distancia está el pueblo del precipicio?

18. Un edificio de cinco plantas de igual altura proyecta, en cierto instante, una sombra

de 22 metros. Calcula la altura de cada planta si se sabe que en ese mismo momento

un árbol de tres metros de altura proyecta una sombra de 4,5 metros.

19. Ana está situada a 5 m de la orilla de un río y ve reflejada una montaña en el agua.

Si Ana mide 1,70 m y el río está a 3 km de la montaña, ¿qué altura tiene la montaña?


3º TRIMESTRE

16

TEMA 13

GEOMETRÍA PLANA. TEOREMA DE

PITÁGORAS


1. Identificar las figuras planas

que se presentan en la

realidad analizando sus

características.

1.1. Reconocer, dibujar y describir

las figuras planas en

ejercicios y en su entorno

inmediato distinguiendo sus

elementos característicos.

1.2. Clasificar polígonos.

1.4. Identificar ejes de simetría en

figuras planas.

Lingüística

Matemática

Interacción con el mundo físico

Cultural y artística

Tratamiento de la información y competencia digital

Autonomía e iniciativa personal

2. Reconocer el triángulo como

el polígono más sencillo a

partir del cual se pueden

obtener relaciones

geométricas en las demás

figuras planas.

2.1. Identificar y construir

triángulos iguales, usando los

criterios de igualdad de

forma adecuada.

3. Distinguir las rectas y puntos

notables de un triángulo, y

usar sus propiedades para

resolver problemas

geométricos.

3.1. Trazar y obtener las rectas y

los puntos notables de un

triángulo cualquiera y

utilizarlos para resolver

problemas geométricos

sencillos.

4. Emplear el teorema de

Pitágoras y las fórmulas

adecuadas para obtener

distancias, perímetros o

áreas de figuras planas.

4.1 Calcular de la forma más

sencilla y rápida el perímetro

de las figuras planas.

4.2. Estimar y calcular medidas

indirectas utilizando el

teorema de Pitágoras.


3º TRIMESTRE

17

4.3. Reconocer triángulos

rectángulos utilizando el

teorema de Pitágoras.

4.4 Utilizar las fórmulas y

procedimientos adecuados

para el cálculo directo del

área de las figuras planas

más elementales.

4.5 Reconocer, dibujar y describir

las figuras planas como

resultado de la composición

de otras más sencillas.

5. Resolver problemas

geométricos relacionados

con la vida cotidiana en los

que intervengan longitudes,

perímetros y áreas,

utilizando los

procedimientos y estrategias

adecuados.

5.1. Aplicar las fórmulas del

cálculo de distancias,

perímetros y áreas de figuras

planas elementales para

resolver problemas

relacionados con el entorno.


3º TRIMESTRE

18

INDICE

1 TEOREMA DE PITÁGORAS

2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

3 PERÍMETROS Y ÁREA DE POLÍGONOS

4 LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

5 ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES


3º TRIMESTRE

19

1. TEOREMA DE PITÁGORAS.

Un triángulo

rectángulo tiene un

ángulo recto 90 .

Los lados que forman

el ángulo recto se

denominan catetos, b

y c, y el lado mayor se

llama hipotenusa, a.

Teorema de Pitágoras.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos.

2 2 2a b c

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

En cualquier triángulo, siendo “a” el lado mayor:

Si 2 2 2a b c El triángulo es rectángulo.

Si 2 2 2a b c El triángulo es acutángulo.

Si 2 2 2a b c El triángulo obtusángulo.

Cálculo de la diagonal de un rectángulo

Por ser rectángulo, dos lodos

contiguos y la diagonal

forman un triángulo

rectángulo. Por tanto:

2 2 230 60 67,1d cm


3º TRIMESTRE

20

Altura de un triángulo isósceles

Por ser un triángulo isósceles, la

altura sobre el lado desigual lo

divide en dos triángulos

rectángulos iguales. Por tanto

2 2 25 4 3h cm

Lado desconocido en un trapecio rectángulo

El lado desconocido es la

hipotenusa de un triángulo

de catetos 15 y 15 cm . Por

tanto:

2 2 215 15 21,2x cm

Lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia

Se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa el

radio de la circunferencia y de catetos la mitad del lado

del cuadrado, x. Por tanto:

2 2 22 25 2 25 50 7,1

2 2 4

x x xx x cm


3º TRIMESTRE

21

Calcular la apotema de un polígono regular

Se forma un triángulo rectángulo de

hipotenusa el radio 8 y los catetos la

apotema y la mitad del lado 4. Por tanto:

2 2 2 2 2 28 4 8 4 48a a a

2. PERÍMETROS Y ÁREAS DE POLÍGONOS

Nombre Dibujo Perímetro Área

Triángulo

P = Suma de los lados

P = b + c + d

p = semiperímero

Cuadrado

P = 4 · a A = a2

Rectángulo

P = 2(b + a) A = b · a

Rombo

P = 4 · a


3º TRIMESTRE

22

Romboide

P = 2(b + c) A = b · a

Trapecio

P = B + c + b + d

Trapezoide

P = a + b + c + d A = Suma de las áreas de los dos triángulos

Polígono

regular

3. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

Al dividir la longitud de una circunferencia entre su diámetro se obtiene siempre

el mismo número decimal. Este número se designa por la letra griega y sus

cifras decimales son ilimitadas. Su valor es = 3,141592….

La longitud de una circunferencia de radio r es: 2L r

Longitud de un arco:

En una circunferencia de radio r , la

longitud de un arco de n grados es


3º TRIMESTRE

23

4. ÁREA DE FIGURAS CIRCULARES

Área del círculo

Un círculo podría ser un polígono

regular de muchos lados, en el que el

perímetro sería la longitud de la

circunferencia, y su apotema el radio.

2A r

Área del sector circular

Un sector circular es la parte del círculo

comprendida entre dos radios y el arco

que definen. Por tanto:

2

360

r nA

Área de la corono circular

Una corona circular es la parte

comprendida entre dos circunferencias

con el mismo centro. Su área se obtiene

restando el área del círculo menor al

mayor. 2 2 2 2A R r R r

5. ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS

Como sabemos, la suma de los ángulos de un triángulo es 180 . Un cuadrilátero

puede descomponerse en dos triángulos. La suma de sus ángulos es 180 . 2 =

360® De forma similar un pentágono se descompone en tres triángulos. La suma

de sus ángulos será 180 .3 = 540 y así con todos los polígonos.


3º TRIMESTRE

24

Si el polígono es regular…..

Figura Lados Suma de los

ángulos interiores Forma Cada ángulo

Triángulo 3 180°

60°

Quadrilátero 4 360°

90°

Pentágono 5 540°

108°

Hexágono 6 720°

120°

... ... .. ... ...

Cualquier polígono

n (n-2) × 180°

(n-2) × 180° / n

Cada ángulo interior de un polígono regular mide 180 2n

n

Cada ángulo central de un polígono regular es el formado por dos radios consecutivos.

La amplitud de un ángulo central de un

polígono regular de n lados es:

360

n


3º TRIMESTRE

25

TEMA 13

GEOMETRÍA PLANA.TEOREMA

DE PITÁGORAS

1. En los siguientes casos se da la medida de los catetos de un triángulo rectángulo.

Calcula el valor de la hipotenusa.

a) b = 12 cm c= 35 cm

b) b = 112 cm c = 15 cm

c) c = 28 cm b = 45 cm

2. Calcula la diagonal de un rectángulo de 16 m de longitud y 12 m de ancho.

3. Indica si los triángulos con estas medidas son rectángulos, acutángulos u

obtusángulos.

a) 10 cm, 11 cm y 20 cm b) 4 cm, 5 cm y 6 cm c) 48 cm, 55 cm y 73 cm

4. Clasifica los siguientes triángulos.

a) a = 11 b = 60 c = 61 b) a = 8 b = 4 c = 8 c) a = 15 b = 18 c = 8

5. Carla quiere hacer una estructura con listones de aluminio. Comienza construyendo

un rectángulo que debe ser rectángulo con listones de longitudes 1,05, 0,88 y 1,37

metros. ¿Podrá hacerlo?

6. Halla cuánto mide el lado de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 18 cm,

respectivamente.

7. Calcula el lado de un cuadrado si su diagonal mide 18 cm.


3º TRIMESTRE

26

8. Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 7 cm.

9. Halla la apotema.

10. Determina la altura de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm y su

base 6 cm,

11. Halla la medida del lado de un triángulo equilátero cuya altura mide 12 cm.

12. Calcula el lado de un hexágono regular de apotema 10 cm.

13. Calcula el perímetro de un trapecio isósceles de bases 8 y 14 cm y de altura 4 cm.

14. Halla el perímetro y el área del cuadrado circunscrito en una circunferencia de radio

5 cm.

15. Halla el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 15 y 8 cm,

respectivamente.

16. Calcula la altura de un triángulo isósceles cuyo perímetro mide 36 metros, y su base,

10.

17. Un rectángulo tiene de perímetro 240 metros y su altura es de 20 metros. Calcula la

medida de su diagonal.

18. Determina la longitud x de estos triángulos.


3º TRIMESTRE

27

19. Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

20. Halla la distancia del punto P al punto A, para que se verifique que

CP DP


3º TRIMESTRE

28

FIJATE EN EL EJEMPLO

¿CÓMO SE CALCULA LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA CONOCIENDO SUS LADOS?

21. Calcula la altura de un triángulo con lados.

a) , y

b) , y

c) , y

22. Un cubo tiene de arista 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara y de la

diagonal del cubo.





3º TRIMESTRE

29

23. Un ortoedro tiene aristas de 5 cm, 7 cm y 9 cm. Halla la longitud de las diagonales

de las caras y de la diagonal del ortoedro.

24. Un cubo tiene una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de la arista y de

la diagonal del cubo.

25. Halla la longitud de una circunferencia de:

a) Radio de 2,5 cm. b) Diámetro de 15 cm.

26. ¿Qué longitud de arco tiene un ángulo de 50 ͦen una circunferencia de 7,8 cm de

radio?

27. Determina el área de un círculo de radio 25 cm.

28. Halla el área de un círculo de diámetro 12 cm.

29. Obtén el área de una corona circular comprendida entre dos circunferencias de radio

100 mm y 7 cm.

30. Se ha dividido una tarta de 14 cm de radio en 4 partes iguales. Calcula el área de

cada parte.

31. Calcula la suma de los ángulos interiores de un triángulo equilátero, un cuadrado y

un pentágono regular.

32. Halla, en un eneágono regular: la suma de sus ángulos interiores, un ángulo interior

y la medida del ángulo central.

33. Calcula el valor del ángulo central y del ángulo interior de un dodecágono regular.

34. Halla el ángulo inscrito en una circunferencia que abarca un ángulo de:

a) 50 ͦ b) 140 ͦ

35. Calcula el ángulo interior de una circunferencia que abarca dos arcos de:

a) 90 ͦ y 30 ͦ b) 50 ͦy 74 ͦ


3º TRIMESTRE

30

36. Calcula la longitud del arco marcado en azul.

1. Halla el diámetro de una circunferencia sabiendo que la longitud de un arco de 50 ͦ

es 5,23 cm.

2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuya longitud de un arco de 110 ͦ es 57,57

cm?

3. Halla el área de un círculo delimitado por una circunferencia de 321,5 cm.

4. Calcula el área de los círculos con estas longitudes de arco.

5. Halla el área de estos sectores circulares.

6. Determina el área de los sectores coloreados.


3º TRIMESTRE

31

7. Halla el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas de

radios:

a) R = 10 cm y r = 6 cm c) R = 3r y r = 2,4 cm

b) R = 12,5 cm y r = 5 cm d) R + r = 31 m y R – r = 5 m


3º TRIMESTRE

32

TEMA 14

ESTADÍSTICA


1. Comprender el

significado del

lenguaje estadístico.

1.1. Clasificar los tipos de

caracteres y las variables

estadísticas para una

determinada población.

Lingüística Matemática Interacción con el

mundo físico Social y ciudadana Cultural y artística Tratamiento de la

información y competencia digital

Aprender a aprender Autonomía e iniciativa

personal

2. Identificar en una

población los

caracteres y variables

estadísticas objeto de

estudio.

2.1. Elaborar tablas de

frecuencias absolutas,

relativas y acumuladas de

una distribución

estadística, interpretando

los resultados obtenidos.

3. Obtener las

frecuencias absolutas,

relativas y acumuladas

de los valores de una

distribución

estadística.

3.1. Representar mediante

gráficos (diagramas de

barras, lineales o de

sectores; histogramas,

etc.) los datos

correspondientes a una

distribución estadística

sencilla.


3º TRIMESTRE

33

4. Aprender a tratar la

información

estadística y a

representar conjuntos

de datos mediante

tablas y gráficas.

4.1. Interpretar gráficas

estadísticas relacionadas

con el entorno cotidiano,

analizando críticamente su

contenido.

5. Conocer el significado

de los parámetros de

centralización y de

dispersión, y

comprender su

utilidad.

5.1. Determinar la media, la

mediana y la moda para un

conjunto de datos

agrupados y no agrupados.

5.2. Calcular e interpretar los

parámetros de dispersión

para un conjunto de datos

agrupados y no agrupados.

6. Calcular los

parámetros de

centralización (media,

mediana y moda) de

una distribución

estadística y valorar su

eficacia para describir

la distribución en

función del contexto y

de la naturaleza de los

datos.

6.1. Utilizar el coeficiente de

variación en la

comparación de

distribuciones.


3º TRIMESTRE

34

6.2. Resolver problemas de la

vida cotidiana que

impliquen caracterizar la

tendencia central y la

dispersión de un conjunto

de datos.

3. Calcular los

parámetros de

dispersión (rango,

desviación respecto a

la media, varianza y

desviación típica) de

una distribución

estadística y

relacionarlos con los

parámetros de

centralización de una

manera elemental.

3.1. Utilizar la calculadora

para simplificar los

cálculos de los parámetros

estadísticos.


3º TRIMESTRE

35

INDICE

1 POBLACIÓN Y MUESTRA ESTADÍSTICA

2 CARACTERÍSTICAS Y VARIABLES ESTADÍSTICAS

3 FRECUENCIAS RELATIVAS, ABSOLUTAS Y ACUMULADAS

3.1 TABLA DE FRECUENCIAS

4 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

4.1 BARRAS E HISTOGRAMAS

4.2 SECTORES Y LINEALES

5 MEDIA ARITMÉTICA Y MODA

6 MEDIANA

7 VARIANZA Y DESVICIÓN TÍPICA


3º TRIMESTRE

36

1. POBLACIÓN Y MUESTRA ESTADÍSTICA

Se llama estadística al conjunto de procedimientos destinados a recopilar, procesar y

analizar la información que se obtiene con una muestra para inferir las características o

parámetros de una población o de un problema determinado.

2. CARACTERÍSTICAS Y VARIABLES ESTADÍSTICOS


3º TRIMESTRE

37

3. FRECUENCIAS RELATIVAS, ABSOLUTAS Y ACUMULADAS

Frecuencia absoluta: el número de veces que aparece un valor, se representa con fi

donde el subíndice representa cada uno de los valores.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, representado por

N

Equivalente

Frecuencia relativa: el resultado de dividir la frecuencia absoluta de un determinado

valor entre el número total de datos, se representa por ni.

3.1 TABLA DE FRECUENCIAS

La suma de la frecuencias

relativas es igual a 1


3º TRIMESTRE

38

4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

4.1 BARRAS E HISTOGRAMAS

El diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos

cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los

valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o

acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.


3º TRIMESTRE

39

Los histogramas se utilizan para representar datos cuantitativos agrupados en clases.

Las clases se suelen tomar de la misma amplitud. ¿Cómo se construye?

PASO 1: En el eje de abscisas se representan los extremos de las clases.

PASO 2: Se construyen rectángulos cuya base sea la amplitud del intervalo y la altura la

frecuencia absoluta.


3º TRIMESTRE

40

4.2 SECTORES Y LINEALES

Un diagrama de sectores es un gráfico que consiste en un círculo dividido en sectores

de amplitud proporcional a la frecuencia de cada valor. Se utiliza con datos cualitativos

y cuantitativos.

Un compañero de Marta decidió preguntar a sus compañeros por su deporte favorito y

obtuvo los datos, que aparecen en la tabla siguiente:

Observa: la suma de todas las amplitudes es 360º, la amplitud total del círculo.

Para calcular la graduación de los sectores podemos usar tres procedimientos:

Grados del sector = frecuencia relativa · 360º

Usando la proporción con las frecuencias absolutas:

O bien usando la proporción con porcentajes:

El gráfico lineal (gráfico de líneas o diagrama lineal) se compone de una serie de datos

representados por puntos, unidos por segmentos lineales. Mediante este gráfico se

puede comprobar rápidamente el cambio de tendencia de los datos.


3º TRIMESTRE

41

El diagrama lineal se suele utilizar con variables cualitativas, para ver su

comportamiento en el transcurso del tiempo. Por ejemplo, en las series temporales

mensuales, anuales, trimestrales, etc.

5. MEDIA ARITMÉTICA Y MODA

La media x (también llamada promedio o media aritmética) de un conjunto de datos

(X1,X2,…,XN) es una medida de posición central. La definimos como el valor característico

de la serie de datos resultado de la suma de todas las observaciones dividido por el

número total de datos.

EJEMPLO

Tenemos las edades de los once jugadores de un equipo de fútbol y queremos calcular

su media.

Para ello, sumamos todas las edades y las dividimos por el número total de elementos,

o sea once jugadores.

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/variables-estadisticas/

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/medidas-posicion-central/


3º TRIMESTRE

42

La moda (Mo(X)) es el valor más repetido del conjunto de datos, es decir, el valor cuya

frecuencia relativa es mayor. En un conjunto puede haber más de una moda.

EJEMPLO

Tenemos una muestra de las once edades de los jugadores de un equipo de fútbol.

Hacemos recuento del elemento que más se repite en el conjunto.

La edad que más se repite es 26, por lo que la moda del conjunto es 26.

6. MEDIANA

La mediana (Me(X)) es el elemento de un conjunto de datos ordenados (X1,X2,…,XN) que

deja a izquierda y derecha la mitad de valores.

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/frecuencia-relativa/


3º TRIMESTRE

43

Si el conjunto de datos no está ordenado, la mediana es el valor del conjunto tal que el

50% de los elementos son menores o iguales y el otro 50% mayores o iguales.

CÁLCULO DE LA MEDIANA

Sea (X1,X2,…,XN) un conjunto de datos ordenado. El cálculo de la mediana depende de si

el número de elementos N es par o impar.

Si N es impar, la mediana es el valor que está al medio, es decir:

Si N es par, la mediana es la media de los dos valores del centro, N/2 y N/2+1:

EJEMPLO

Suponemos que tenemos una muestra con las edades de los once jugadores de un

equipo de fútbol.

Para calcular la mediana necesitaríamos ordenar los elementos de menor a mayor y ver

cuál es el elemento que deja a izquierda y derecha el mismo número de elementos.

Como el número de elementos del conjunto es impar, la mediana es el sujeto número

6, que se encuentra en el medio del conjunto. Por lo tanto Mediana(X)=26.

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/media/


3º TRIMESTRE

44

7. VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

La varianza (S2) mide la dispersión de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) respecto a

la media (x), calculando la media de los cuadrados de las distancias de todos los datos.

Al elevar las diferencias al cuadrado se garantiza que las diferencias absolutas respecto

a la media no se anulan entre si. Además, resaltan los valores alejados.

Siempre se cumple que la varianza es mayor o igual que cero (S2 ≥ 0). La varianza es

cero cuando todos los datos son el mismo (ejemplo: {1,1,1,1,1}).

Si en vez de tratarse de una muestra, la varianza se refiere a la población, el

denominador será N.

EJEMPLO

Un médico de un instituto quiere realizar un estudio para ver si los alumnos de un centro

tienen sobrepeso. Le interesaría calcular la varianza para ver como difieren los pesos

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/muestra-estadistica/





http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/poblacion-estadistica/


3º TRIMESTRE

45

respecto a la media. Para ello, se selecciona una muestra de doce alumnos de 14 o 15

años.

Se calcula la media de los pesos de los alumnos, y se obtiene que x = 53,5kg.

Una vez se sabe la media, se halla la diferencia de cada elemento respecto a esta, para

calcular la dispersión de los datos.

Una vez se ha calculado el cuadrado de la diferencia de cada elemento con la media, ya

se puede determinar la varianza (S2):

El valor alto de la varianza confirma una de sus características: que es sensible a los

valores que se separan bastante de la media.

A continuación se puede observar un gráfico de las diferencias del peso de cada alumno

respecto a la media:









3º TRIMESTRE

46

La desviación típica es la medida de dispersión (S) asociada a la media. Mide el promedio

de las desviaciones de los datos de una muestra (X1,X2,…,XN) de la media (x) en las

mismas unidades de los datos. Dicho de otra forma, es un indicador de cómo tienden a

estar agrupados los datos respecto a la media.

El cuadrado de la desviación típica es la varianza.





http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/varianza/


3º TRIMESTRE

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Cuando se trata de la desviación típica de una población, el denominador es N. Si se

trata de una muestra, serà N-1.

http://www.universoformulas.com/estadistica/descriptiva/poblacion-estadistica/



3º TRIMESTRE

48

TEMA 14

ESTADÍSTICA

1. El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 0 1 0 0 3 2 1 4 0 0 1 1 2 0 1

1 2 0 1 1 2 1 3 0 0 2 1 2 3 5

a) Efectúa el recuento.

b) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia

absoluta, absoluta acumulada, relativa y relativa acumulada.

c) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y

un polígono de frecuencias absolutas.

d) ¿Qué porcentaje de alumnos son hijos únicos?

e) ¿Cuántos alumnos tienen más de un hermano?

2. El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 0 1 0 2 3 2 1 3 0 0 1 0 3 0 1

1 0 0 1 1 2 1 2 0 1 2 1 5 3 5

a) Elabora una tabla con las cuatro frecuencias y el porcentaje.

b) Calcula la moda, la media de goles por partido.

c) ¿Qué porcentaje de partidos han metido al menos un gol?

d) ¿Cuántos partidos han jugado?

e) Haz una representación gráfica.


3º TRIMESTRE

49

3. En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas

viven en la casa, obteniéndose las siguientes respuestas:

4 4 8 1 3 2 1 3 4 2 2 7 0 3 8 0 1 5 6 4

3 3 4 5 6 8 6 2 5 3 3 5 4 6 2 0 4 3 6 1

a) Elabora una tabla en la que se recojan las cuatro frecuencias.

b) ¿Cuántas viviendas fueron objeto de estudio? ¿En cuántas de ellas no

vive nadie?

c) ¿Qué porcentaje de viviendas está ocupado por más de cinco

personas?

d) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y

un polígono de frecuencias absolutas.

4. En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una

determinada marca se obtuvieron los siguientes datos:

10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9

a) Agrupar los datos en una tabla de frecuencias y porcentajes.

b) Representar los datos en un diagrama de barras y en un diagrama de

sectores.

5. Se ha lanzado un dado 20 veces y se han obtenido los siguientes resultados:

3, 4, 5, 2, 1, 4, 6, 1, 3, 2,

5, 5, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 5, 6

a) Construir la tabla de frecuencias.

b) Representar los datos con un diagrama de barras y un diagrama de

sectores.

c) ¿Cuál ha sido la puntuación media obtenida?


3º TRIMESTRE

50

6. Estos son los datos sobre ocupación de la población por sectores económicos:

a) ¿Cuántos trabajadores hay en total?

b) Calcula la frecuencia relativa en porcentaje de cada sector económico

c) Representa estos datos en un diagrama de barras

7. La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de

Matemáticas:

nota 2 4 5 6 7 8 9 10

Nº alumnos 2 5 8 7 2 3 2 1

a. ¿Cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo

un 7? ¿Cuántos sacaron como mínimo un 6?

b. Calcular la nota media, la moda y la mediana

8. Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de 3º de ESO en una

prueba de Matemáticas vienen dadas por la siguiente tabla:

Nota 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Alumnos 1 2 4 5 4 6 5 4 1

a) Elabora la tabla de frecuencias completa.

b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprueba la materia?

c) ¿Qué porcentaje obtiene más de 8 puntos?

d) Dibuja un diagrama de barras de frecuencias relativas.

e) Dibuja un polígono de frecuencias acumuladas.

Agricultura 1.870.000

Industria 2.587.000

Construcción 789.000


3º TRIMESTRE

51

9. En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de

un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año.

a) ¿Cuántas personas han ido el médico 7

veces en el último año?¿Cuántas han ido 4 veces?

b) ¿Qué porcentaje de personas ha ido al

médico más de 6 veces?

c) Calcular la moda y el número medio de

visitas al médico en el ambulatorio.

d) Dibujar un diagrama de barras.

10. Las temperaturas recogidas en un determinada ciudad durante el mes de Enero

se muestran en la siguiente tabla:

a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21ºC? ¿Cuántos por debajo de

23ºC? ¿Cuántos días hizo la temperatura máxima?

b. Calcula la media, la moda y la mediana.

Nº de

visitas al

médico

Nº de

personas

1 10

3 25

5 43

7 31

10 12

12 4

Temperatura en ºC 19 20 21 22 23 24

Número de días 7 9 6 4 3 2


3º TRIMESTRE

52

11. Se realizó una encuesta a un grupo de personas para comprobar si habían visto

la película que obtuvo más premios Goya ese año. Los resultados se reflejan en

la gráfica:

a) ¿Cuántas personas contestaron a la encuesta?

b) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente.

12. A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos:

a) Calcular la tabla de frecuencias.

b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo?

125

175

0

50

100

150

200

SI NO

OPINIÓN

Nº

de r

esp

uesta

s

0

1

2

3

4

5

6

atletismo ciclismo baloncesto natación


3º TRIMESTRE

53

13. La siguiente gráfica recoge la cantidad de parejas de zapatos de mujer vendidas

en una tienda a lo largo del día:

a) ¿Cuántas parejas de zapatos del número 37 se han vendido?

b) Pasa los datos a una tabla de frecuencias absolutas.

c) ¿Cómo se llama la gráfica que nos han dado?

d) ¿Qué porcentaje de zapatos vendidos eran números del 39 o 40?

e) Dibuja un polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

14. En una encuesta a 35 personas se les preguntaba sobre sus preferencias a la hora

de leer novelas. Los resultados se recogieron en la siguiente gráfica:

a) Construye la tabla de frecuencias.

b) Dibuja sobre el gráfico un diagrama de barras.

0

5

10

15

20

25

30

35

36 37 38 39 40

Nº de zapato

Nº

de p

are

s v

en

did

os

Preferencias de tipos de novelas

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

aventuras amor misterio ciencia-

ficción

humor


3º TRIMESTRE

54

c) ¿A qué porcentaje de las personas encuestadas les gustan las novelas de

amor? ¿Y las de ciencia-ficción?

d) ¿Cuál es la moda?

15. En el siguiente estudio se analizan los sueldos que ganan las mujeres en la

industria en diversos países del mundo, en porcentaje sobre lo que gana los

hombres:

a) Si una mujer en Suiza gana 1300 francos, ¿cuánto gana un hombre en el

mismo puesto y con la misma categoría profesional?

b) Un hombre, por término medio, gana en España un sueldo mensual de

1102 euros netos. ¿Cuánto ganaría si fuese mujer?

16. Las notas de inglés de una clase de 40 alumnos han sido las siguientes:

Calcula la nota media.

17. En una clase de un IES hemos medido la altura de los 25 alumnos. Sus medidas,

en cm, son:

43

5460

64 65 67 68 6873 74 77 79 79 84 89

Japón

Core

a d

el S

ur

Luxem

burg

o

Austr

alia

Esta

dos U

nid

os

España

Suiz

a

Rein

o U

nid

o

Ale

mania

Bélg

ica

Hola

nda

Fra

ncia

Gre

cia

Din

am

arc

a

Suecia

1 7 9 2 5 4 4 3 7 8

4 5 6 7 6 4 3 1 5 9

2 6 4 6 5 2 2 8 3 6

4 5 2 4 3 5 6 5 2 4

%


3º TRIMESTRE

55

Elabora una tabla que represente estos resultados con sus frecuencias absolutas,

relativas y porcentajes. Toma intervalos de amplitud 5 cm comenzando por 150.

18. En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las

puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:

Calificaciones Nº alumnos

[0,1) 2

[1,2) 2

[2,3) 3

[3,4) 6[4,5) 7

[5,6) 6

[6,7) 1

[7,8) 1

[8,9) 1

[9,10) 1

Halla la varianza y la desviación típica.

19. En una clase de 25 alumnos hemos preguntado la edad de cada uno, obteniendo

estos resultados:

14, 14, 15, 13, 15, 14, 14, 14, 14, 15, 13, 14, 15, 16, 14, 15, 13, 14, 15, 13, 14, 14,

14, 15, 14

Haz una tabla donde aparezcan las frecuencias absolutas acumuladas y las

frecuencias relativas acumuladas.

167 159 168 165 150 170 172 158 163 156

151 173 175 164 153 158 157 164 169 163

160 159 158 174 164


3º TRIMESTRE

56

20. Halla el número medio de hijos por mujer en 1998 en España a partir de los datos

de las comunidades autónomas:

Andalucía 1,28

Aragón 1,05

Asturas (Principado de) 0,8

Baleares (Islas) 1,44

Canarias 1,24

Cantabria 0,94

Castilla y León 0,91

Castilla-La Mancha 1,24

Cataluña 1,21

Comunidad Valenciana 1,17

Extremadura 1,2

Galicia 0,9

Madrid (Comunidad de) 1,19

Murcia (Región de) 1,41

Navarra (C. Foral de) 1,7

País Vasco 0,97

Rioja (La) 1,12

Ceuta y Melilla 1,87

(Fuente: INE)

21. Calcula la media de viajeros en establecimientos hoteleros durante 1999.

Después calcula la desviación típica para ver si esa media es representativa de

todos los meses del año.

(Fuente: INE)

22. Haz un diagrama de sectores que represente la procedencia de los extranjeros

residentes en España, en diciembre de 1999, recogidos en la siguiente tabla:

Mes Viajeros

Enero 2.775.738

Febrero 3.205.892

Marzo 4.143.343

Abril 4.931.385

Mayo 5.724.555

Junio 5.834.331

Julio 6.415.298

Agosto 6.986.211

Septiembre 6.349.504

Octubre 5.447.890

Noviembre 3.570.715

Diciembre 3.204.082


3º TRIMESTRE

57

(Fuente: INE)

23. Representa mediante un diagrama de barras las ciudades más pobladas (en

1995):

Ciudad Habitantes (en millones)

Tokio (Japón) 26,8

Sao Paulo (Brasil) 16,4

Nueva York (EE.UU.) 16,3

C. De México (México) 15,6

Bombay (India) 15,1

Shangai (China) 15,1

Los Ángeles (EE.UU.) 12,4

Pekín (China) 12,4

Calcuta (India) 11,7

Seúl (Corea del Sur) 11,6

(Fuente: Naciones Unidas)

Procedencia

Europa 353.556

América 166.709

Asia 66.340

África 213.012

Oceanía 1.013

Desconocida 699

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