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Matemáticas para Bachillerato Edición Docente
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Matemática 1Matemática 1 para el 1er año de Educación Media Diversificada y Profesional(cuarto año de Educación Media) presenta
4toAÑO
MEDIADE EDUCACIÓN
la matemática desde una perspectiva útil para la vida cotidiana y además muestra su aplicación en diferentes ciencias. Comprende información teórica,así como ejemplos y ejercicios resueltos que contribuyen a la compresión de los temas.Este libro incluye herramientas pedagógicas orientadas al desarrollo de las habilidades para la solución de problemas, el razonamiento, la modelación, el análisis, la interpretación y la argumentación.
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Matemática 1
1EDUCACIÓN MEDIADIVERSIFICADA Y PROFESIONAL
Matemática 1 para el 1er año de Educación Media Diversificada y Profesional presenta la matemática desde una perspectiva útil para la vida cotidiana y además muestra su aplicación en diferentes ciencias. Comprende información teórica,así como ejemplos y ejercicios resueltos que contribuyen a la compresión de los temas.Este libro incluye herramientas pedagógicas orientadas al desarrollo de las habilidades para la solución de problemas, el razonamiento, la modelación, el análisis, la interpretación y la argumentación.
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El libro Matemática 1º para 1er. año de Educación Media Diversificada y Profesional (cuarto año de Educación Media) es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el DepartamentoEditorial de Santillana, S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.
TextoRamón ÁlvarezMauricio BautistaCarlos RamírezAndrea ChamorroJuan de Jesús RomeroWilson Torres Miriam Morales Anneris Joya Diana Salgado
EdiciónEvelyn Perozo Andrea Perdomo
© 2008 by Santillana, S. A. Editado por Santillana, S. A.
PRIMERA EDICIÓN: 2008 N° de ejemplares:
Reimpresión: 20141486
Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela. Telfs.: 280 9400/ 280 9454
ISBN: 978-980-275-903-3 Depósito legal: lf63320085401489
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.
Impreso en Venezuela por: Artes Gráficas Rey, C.A.
Coordinación de arteRosi Milgrom
Diseño de Unidad GráficaEquipo Santillana
Diseño de portadaRosi Milgrom
DiagramaciónMaría Elena Becerra M. Carillyn de Castro Equipo Santillana
Documentación gráficaEquipo Santillana
Ilustraciones e infografíasEquipo Santillana
FotografíasFondo documental Santillana
Digitalización y retoque de imágenesRafael Guitiérrez Equipo Santillana
Corrección de estiloDina Selvaggi Martha Jeanet Pulido Delgado Manuel Chaparro
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CONTENIDO DE LA Edición para el docenteMATEMÁTICA 1
¿EN DÓNDE LO ENCUENTRO?¿QUÉ NECESITO?
Conocer la propuesta de Matemáticas 9 y cómo estárelacionada con los estándares de matemáticas.
Conocer las acciones modelo en matemática.
Conocer las competencias generales propuestas.
Conocer las respuestas de la sección “Evaluación”.
Establecer los logros e indicadores de logro, losestándares y las competencias por unidades.
Plantear preguntas y actividades para analizar losconocimientos previos de los estudiantes.
Despertar interés por un tema.
Ampliar información sobre un tema a partir de anéc-dotas o curiosidades que se han planteado en el desa-rrollo del pensamiento matemático de la humanidad.
Trabajar con los estudiantes la estructuración delconocimiento matemático a partir de mapas concep-tuales.
Conocer algunas direcciones útiles en internet quefaciliten la búsqueda de la información propia delárea de matemáticas.
Tener la plantilla de modelos de respuestas para la sección “Evaluación” que aparece en el libro delestudiante.
✓ En la presentación del modelo.4, 5
✓ En las tablas de estándares.6, 7, 8
✓ En las competencias del grado.9
✓ Libro del estudiante.10
✓ En los Guiones didácticos.11, 15, 20, 23, 28, 32, 37, 42, 45
✓ En Día a día en el aula.12, 16, 21, 24, 29, 33, 38, 43, 46
✓ En Día a día en el aula.13, 17, 18, 25, 26, 30, 34, 39
✓ En Día a día en el aula.13, 35, 40
✓ En Trabajo de campo.14, 19, 22, 27, 31, 36, 41, 44, 47
✓ En Banco de datos en la red.48
✓ En Hoja de respuestas Evaluación.48
4
Matemática 1
Al comienzo de cada unidad usted encontrará.
En cada unidad se plantea el desarrollo de un contenido teniendo en cuentala siguiente estructura.
CONJUNTOS NUMÉRICOS GEOMETRÍA MEDIDAS
ÁLGEBRAPROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
La nueva serie de matemática es una propuesta pedagógica para los dos grados de educaciónmedia, diversificada y profesional que ha sido desarrollada con el propósito fundamental de afian-zar en los estudiantes las competencias básicas en el manejo de los conocimientos y habilidadesrelacionadas con los siguientes bloques contenidos:
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✓ Una página deapertura en lacual se enumeranlos temas que sevan a tratar.
✓ Título de la sección.
✓ La sección No es tan difícil comose piensa..., en la cual sepropone una actividad que se presenta resuelta en la unidad.
✓ Ubicación de la solución al problemaplanteado.
✓ Un desarrollo conceptualque se plantea a partir deuna situación real.
✓ Un Ejercicio resuelto,en el cual se aplican losconceptos aprendidos.
✓ Una sección de , en la cualse plantean situaciones problemáticas y se aplican diferentes estrategias.
La sección Evaluación, propone un modelo de evaluación en el cual se verifican las competenciasde los estudiantes.
Las respuestas a las actividades de numeración impar.
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✓ Unas actividades en lascuales se aplican losconocimientos adquiridosteniendo en cuenta cincoprocesos generales.EJERCITACIÓN
RAZONAMIENTO
COMUNICACIÓN
MODELACIÓN
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
✓ ,en la cual se proponen contextosreales donde se aplican losconceptos y procedimientosaprendidos.
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✓ Las opciones de respuesta son:• selección múltiple con única
respuesta.• selección múltiple con múltiple
respuesta válida.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNIDADESACCIÓN MODELO
1. Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos con-textos.
2. Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relacionesde los números reales y de las relaciones y las operaciones entre ellos.
3. Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades dediferentes magnitudes.
4. Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación pararepresentar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver pro-blemas.
5. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros,racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir,manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.
6. Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones queinvolucran números naturales.
7. Establezco relaciones y diferencias entre distintas notaciones de númerosreales para decidir sobre su uso en una situación dada.
8. Identifico características de localización de objetos geométricos en siste-mas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y esféricos) yen particular de las curvas y figuras cónicas.
9. Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en con-textos matemáticos y en otras ciencias.
10. Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relacio-nes y funciones trigonométricas.
11. Reconozco y describo curvas y lugares geométricos.
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GEOMETRÍA
MatemáticaPRIMER AÑO
ACCIONES MODELO
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PRIMER AÑO
MEDIDAS
ACCIÓN MODELO UNIDADES
12. Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran gra-dos de precisión específicos.
13. Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valoresmedios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleraciónmedia y la densidad media.
14. Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadísticaprovenientes de medios de comunicación.
15. Justifico o refuto inferencias basadas en razonamiento estadístico a partirde los resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en elámbito escolar.
16. Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales)para estudiar un problema o pregunta.
17. Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia deeventos.
18. Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y pro-babilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo ale-atorio, muestreo con remplazamiento).
19. Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.
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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
MatemáticaACCIONES MODELO
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ALGEBRA
UNIDADESACCIÓN MODELO
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PRIMER AÑO
20. Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de lasecuaciones algebraicas.
21. Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebrai-ca dada.
22. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prue-ba conjeturas.
23. Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.
24. Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de unacurva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.
25. Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representa-ción algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas quelas representan.
26. Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos decambio de funciones específicas pertenecientes a familia de funciones poli-nómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.
27. Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.
28. Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y lasgráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.
29. Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas einterpreto y utilizo sus derivadas.
ACCIONES MODELO
primer añoCOMPETENCIAS GENERALES PROPUESTAS PARA EL©
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13. Plantear y resolver problemas que involucren los conceptos de variación relacionados connúmeros, figuras, medidas y variables estadísticas.
14. Plantear y resolver problemas que involucren funciones trigonométricas.15. Proponer situaciones modelo para el planteamiento y solución de un problema en cual-
quier tipo de pensamiento matemático.
1. Identificar la función de las variables dentro del contexto algebraico (como número gene-ralizado, como objeto concreto, como elemento cambiante).
2. Reconocer en situaciones concretas, el concepto de variación entre objetos matemáticos.3. Identificar las funciones y sus características en diferentes contextos.4. Interpretar el comportamiento de una función dada en cada una de las diferentes repre-
sentaciones.5. Identificar propiedades de los objetos matemáticos.6. Utilizar criterios para reconocer funciones, construir su gráfica y determinar sus características
principales.7. Construir triángulos rectángulos para modelar algunas situaciones problema.8. Reconocer las secciones cónicas en forma gráfica y algebraica.
9. Justificar el planteamiento y desarrollo de conjeturas.10. Justificar el planteamiento y solución de situaciones que involucran funciones trigonomé-
tricas.11. Explicar, usando elementos de variación como representaciones gráficas, tablas, diagra-
mas, figuras y esquemas, el planteamiento de situaciones concretas.12. Justificar el uso de una u otra estrategia en la solución de un problema ubicado en el con-
texto de las funciones.
INTERPRETATIVA
ARGUMENTATIVA
PROPOSITIVA
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Libro del estudiante
Páginas 148, 149, 150
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Página 76
A B C D1.2.3.4.5.6.7.8.
Páginas 234, 235, 236
Páginas 291, 292, 293
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RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN
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UNIDAD 1Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Identifica conceptos rela-cionados con la probabili-dad.
2. Aplica los conceptos deorden y repetición paradeterminar los elementosde un espacio muestral.
3. Aplica técnicas de conteoen experimentos aleato-rios.
4. Determina la probabilidadde ocurrencia de un suceso.
• Reconoce qué es un experimento aleatorioy un espacio muestral.
• Identifica un evento como un subconjuntode un espacio muestral.
• Identifica cuándo una muestra es ordenada.
• Identifica cuándo hay repetición en unamuestra.
• Determina los elementos de un espaciomuestral.
• Aplica el principio de multiplicación paradeterminar el tamaño de un espacio mues-tral.
• Aplica la técnica de permutaciones y facto-riales para determinar el tamaño de unespacio muestral.
• Aplica el principio de combinatoria paradeterminar el tamaño de un espacio mues-tral.
• Usa los principios de conteo para determi-nar la probabilidad de un suceso.
• Calcula la probabilidad a partir de la repre-sentación de un evento en un diagrama.
• Calcula la probabilidad teniendo en cuen-ta si un evento es condición para otro.
• Elabora conclusiones sobre una situaciónteniendo en cuenta las probabilidadeshalladas.
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UNIDAD 1
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en el aula
Historiade la probabilidad
La probabilidad surgió a partir del juego. Al hombre desde la anti-güedad le ha interesado el azar, pero fue hacia el siglo XVI, quelos matemáticos Cardano y Tartaglia, hicieron los primeros estudiosmatemáticos profundos sobre los juegos de azar y las apuestas.
En 1654, el caballero de Méré propuso al matemático francésBlaise Pascal un problema sobre reparto justo, que le interesómucho. Él y su amigo Fermat resolvieron el problema de distintamanera, lo que dio inicio a la teoría de la probabilidad.Actualmente, dicha teoría es una disciplina matemática con múl-tiples aplicaciones, ya que la aleatoriedad es importante en muchasciencias y es necesario cuantificarla.
JUEGO 1
Apostadores y mentirososSe encontraron dos grandes apostadores en juegos de dados y antes de apostar cada uno afirmó:
FICHA 2PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
FICHA 3PARA AMPLIAR INFORMACIÓN
El primer apostador está mintiendo o los dados están cargados. ¿Por qué se hace esta afirmación?
Es buena la técnica que tiene el segundo apostador, ¿por qué?
Pues creo que quien va aganar soy yo, porque las
últimas veces que he lanzadoel dado, el dos ha caído muypoco. Así que voy a apostarpor el dos y seguro ganaré.
Te voy a ganar, hoy he tenido muy buena
suerte. De las 150 vecesque he lanzado el dado,
75 veces ha caído en seis.
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de campoTRABAJO
• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoríarelacionada con probabilidad.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto.
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Ciencia que permite cuantificarla ocurrencia de un evento
Representativa y aleatoria
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Permutaciones y factoriales
Principio de la multiplicación
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Probabilidad
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LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Determina si una relaciónes una función.
2. Identifica los elementosde una función.
3. Clasifica funciones.
4. Representa funciones enforma tabular, gráfica yalgebraica.
5. Identifica gráfica y analíti-camente diferentes clasesde funciones (lineales,cuadráticas, cúbicas, ex-ponenciales, logarítmicasy definidas a trozos).
• Identifica las características de una función.
• Reconoce una función representada enforma sagital.
• Reconoce cuándo una gráfica representauna función.
• Identifica la función que relaciona un conjun-to de salida con un conjunto de llegada.
• Identifica el dominio, codominio y el rangode una función representada gráficamente.
• Diferencia entre la imagen y la preimagen deuna función.
• Determina gráficamente si una función esinyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
• Determina analíticamente si una función esinyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
• Restringe el dominio de una función paraque sea inyectiva.
• Establece relación entre las diferentes repre-sentaciones de una función.
• Determina gráficamente los intervalos en loscuales la función es creciente y decreciente.
• Grafica funciones pares, impares y periódicas.
• Determina la inversa de una función enforma analítica y gráfica.
• Identifica las características generales de lasdiferentes clases de funciones.
• Diferencia las expresiones algebraicas delas funciones lineales, cuadráticas y cúbicas.
• Resuelve situaciones que presentan informa-ción que se comporta como una función.
• Completa tablas de valores de funcioneslogarítmicas y exponenciales.
• Grafica funciones definidas a trozos.
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UNIDAD 2Guión didáctico
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Se toma la siguiente botella vacía y se llena de agua con un vaso. Al echar cada vaso de agua, se mide la alturaque alcanza y se obtiene la siguiente gráfica.
¿Cuáles gráficas se obtendrán repitiendo este experimento con las siguientes botellas?
Pasapalos
Experimento con botellas
Daniel tiene una bandeja con pasapalos.
A su hermano le da la mitad de los pasapalos.
A su primo le da la mitad de los que le quedan más mediopasapalos.
El que queda se lo come él.
¿Cuántos pasapalos teníaen la bandeja?
Áreas
Al aumentar el lado en 5 cm, el área del nuevo cua-drado se cuadruplica.
¿Cuál es el lado x del cuadrado inicial?
FICHA 2PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
en el aula
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DÍA A DÍA
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DÍA A DÍA en el aula
Estudio comparativo de funciones
Con frecuencia es necesario comparar dos o más funciones para ser interpretadas conjuntamente.Generalmente, son funciones del mismo tipo, que al ser comparadas arrojan información sobre el creci-miento o decrecimiento de alguna variable, por ello, se grafican sobre los mismos ejes.
Por ejemplo, para hacer el estudio comparativo de los ingresos y los egresos en un concesionario duran-te los últimos años, se grafican las dos funciones sobre los mismos ejes coordenados con lo que es fácilcomparar sus comportamientos.
Escribir un párrafo para explicar el comportamiento de las funciones representadas a continuación.
FICHA 3PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
La funciónpara estudiar la variación
El hombre ha estado interesado desde hace mucho tiempo en las magnitudes quevarían. La función fue uno de los mejores instrumentos ideados para estudiar lavariación.
El tiempo es una magnitud que varía, se puede considerar que es una variablenatural que está cambiando continuamente y de manera uniforme. A medida quepasa el tiempo, otras magnitudes también van variando. Por ello, cuando el hom-bre inventó el reloj y lo hizo lo suficientemente exacto para medir el tiempo,empezó, a su vez, a medir cómo y cuánto varían otras magnitudes como la lon-gitud, el área y el volumen con respecto al tiempo.
Los primeros fenómenos de variación que le interesaron al hombre, estuvieronasociados con el movimiento, como por ejemplo, el lanzamiento de una piedrao la caída de un objeto. Actualmente, las funciones modelan fenómenos de varia-ción muy complejas como los movimientos de los astros, el crecimiento depoblaciones y la economía de los países, entre muchos otros.
Egresos
Ingresos
Ganancias
Pérdidas
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19
de campoTRABAJO
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• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoríarelacionada con funciones.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar enel mismo nivel de concepto.
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Una relación � del conjunto A en el conjunto B
De variable real Inyectiva o uno a uno
Logarítmica
Par e impar Sobreyectiva
BiyectivaContinua o definida a trozos
Exponencial
Periódica
Dada f : A → B, x � A y y � B,si x � y ⇒ f (x) � f (y)
Dada f : A → BRan f � B
Dada f: A → B, f esinyectiva y sobreyectiva
Dominio
No funcional
RangoFuncionalR: A → B
R � {(x, y) / x � A y y � B}R � A B
f: A → B es función si a cada elemento de A le corresponde
un único elemento de B
Dada R: A → B, Dom R � {x / (x, y) � R}
Dada R: A → B, Ran R � {y / (x, y) � R}
R no es función
Generalmente con letras minúsculas,como f, g, h, …
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20
UNIDAD 3Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Identifica las característicasde la función exponencialy su representación gráfica.
2. Determina la solución deuna ecuación exponen-cial.
3. Identifica las característi-cas de la función logarít-mica y su representacióngráfica.
4. Determina la solución deuna ecuación logarítmica.
• Identifica las características de la funciónexponencial.
• Construye y reconoce la tabla de valores deuna función exponencial.
• Grafica una función exponencial.• Determina el dominio, rango, corte con los
ejes y crecimiento o decrecimiento de unafunción exponencial.
• Halla la solución de una ecuación exponen-cial.
• Plantea y resuelve ecuaciones exponencia-les.
• Identifica las características de la funciónlogarítmica.
• Construye y reconoce la tabla de valores deuna función logarítmica.
• Grafica una función logarítmica.• Determina el dominio, rango, corte con los
ejes y crecimiento o decrecimiento de unafunción logarítmica.
• Maneja y aplica las propiedades de los loga-ritmos.
• Halla la solución de una ecuación logarítmica.• Plantea y resuelve ecuaciones logarítmicas.
25, 26
4, 20, 22
25, 26
4, 20, 22
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1, 13, 15
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1, 13, 15
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de campo• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría
relacionada con función exponencial y logarítmica.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar enel mismo nivel de concepto.
se define como y sus características son
que se define como y sus características son
su inversa es
Función exponencial
y � Loga x, a � 1, a 0
Si a 1, y � Loga xes creciente
Si 0 � a � 1, y � loga xes decreciente
El eje y es asíntotade la curva
La función no está definidapara los números negativos
Valores de x: ��
Valores de y: �
Corta el eje x en (1, 0)
Función logarítmica
Corta el eje y en (0, 1)
Si 0 � a � 1 la función es decreciente
Valores de x: �Valores de y: ��
El eje x es una asíntota de la funciónSi a 1, y � ax es creciente
No tiene ejes con el corte x
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y � ax, a � �� y a � 1
TRABAJO
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UNIDAD 4Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Diferencia ángulos deacuerdo con su amplitud.
2. Relaciona y aplica el con-cepto de ángulo a situa-ciones reales.
3. Identifica las propiedadesde los triángulos de acuer-do con su clasificación.
4. Determina el valor de lasfunciones trigonométricasde un ángulo dado enposición normal.
5. Halla el valor de las fun-ciones trigonométricaspara un ángulo dado enun triángulo rectángulo.
• Mide ángulos en el sistema sexagesimal.
• Mide ángulos en el sistema cíclico.
• Establece equivalencias entre los dos siste-mas de medición de ángulos.
• Calcula la longitud de arco.
• Calcula la velocidad angular.
• Calcula la velocidad lineal.
• Clasifica triángulos de acuerdo con lamedida de sus lados y de sus ángulos.
• Aplica las propiedades de los triángulospara hallar una medida desconocida en untriángulo dado.
• Halla el valor de todas las funciones trigo-nométricas de un ángulo, a partir del valorde una de ellas.
• Determina el cuadrante en el cual se hallaun ángulo, de acuerdo con las condicionesdadas.
• Identifica el valor de las funciones trigono-métricas para los ángulos notables.
• Halla el valor de las funciones trigonomé-tricas de un ángulo a partir de su equiva-lente en el primer cuadrante.
• Construye el triángulo rectángulo que sa-tisface una condición dada.
• Resuelve problemas que requieren el usode funciones trigonométricas para su solu-ción.
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UNIDAD 4
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DÍA A DÍA en el aula
El siguiente problema apareció en un manuscrito de IbnMuncin (siglos XII y XIII), descubierto en 1980 enMarruecos, en los archivos de la Biblioteca de Rabat.
A ambas orillas de un río hay dos árboles, uno frente alotro. Uno de los árboles tiene una altura de 20 codos, elotro, de 30 codos. La distancia entre sus troncos es de 50codos.
En la copa de cada árbol hay un pájaro. De pronto, losdos pájaros ven un pez que aparece en la superficie delagua entre los dos árboles y se lanzan para alcanzarlo. Lo alcanzan al mismo tiempo.
¿A qué distancia del tronco de cada árbol apareció el pez?
Tomado de Historia e historias de matemáticas. Mariano Perero.
JUEGO 1
Puntos y rectas
Un cuadrado se puede dividir en triángulos de diferentes clases.
Dividir el cuadrado en triángulos de manera que:
• Un triángulo sea obtusángulo.
• Todos los triángulos sean rectángulos.
• Todos los triángulos sean acutángulos.
JUEGO 2
Triangular el cuadrado
Los dos pájaros
Ubicar seis puntos de tal manera que determinen:
• siete rectas
• ocho rectas
• nueve rectas
• catorce rectas
¿Cuántas rectas determinan seis puntos, si cada rectapasa por sólo un par de puntos?
FICHA 2PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
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DÍA A DÍA en el aulaLa trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble.Este nombre se convirtió en lo que hoy es llamado seno a través de las traduccio-nes al árabe, y luego del árabe al latín.A finales del siglo VIII, los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia delas tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno.En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otrascinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamen-tales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Todos estosdescubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medirel tiempo astronómico y para encontrar la dirección de La Meca, lo que era nece-sario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica.Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos se des-tacó, en particular, Abu al-Wafa al-Buzadjami (940-997) por las divisiones en cuar-to grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático,introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
La trigonometría en OccidenteEl Occidente se familiarizó con la trigonometría árabea través de las traducciones de libros de astronomíaarábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII.El primer trabajo importante en esta materia enEuropa fue, De triangulus escrito por el matemático yastrónomo alemán Johann Müller, llamado Regio-montano. Durante el siguiente siglo, el también astró-nomo alemán Georges Joachim, conocido comoRético, introdujo el concepto moderno de funcionestrigonométricas como proporciones en vez de longitu-des de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés FrançaisViéte (1540-1603) se referían a la trigonometría. SuCanon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneastrigonométricas calculadas de minuto en minuto parael radio 100 000. Esta tabla está acompañada de fórmu-las para la resolución de triángulos planos y esféricos.Posteriormente, Viéte dio las nuevas expresiones delas líneas de los múltiplos de un arco dado en funciónde las líneas de este arco. Este matemático tambiénmostró la analogía entre estas fórmulas y las del desa-rrollo en potencias del binario. Desde entonces, la tri-gonometría, como estudio de las líneas circulares, y elálgebra de los polinomios se prestan mucho apoyo.
La trigonometría en los tiempos modernosEn el siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno delos fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemá-ticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tan x. Con la inven-ción del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavíahoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdade-ramente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expre-siones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo unade las muchas aplicaciones de los números complejos.También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los ladosde un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángu-los opuestos.Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplementeproducto de la aritmética de los números complejos.
FICHA 3PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
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27
de campo• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría
relacionada con funciones trigonométricas.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar enel mismo nivel de concepto.
de la siguiente forma se les puede hallar cuando que se utilizan para calcularse mide en
cuando
side la siguiente forma
y determinar si
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se definen para
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Valores para los ángulos notables30°, 45° y 60°
Valores para los ángulos cuadrantales: 0°,90°, 180°, 270°, 360° y sus múltiplos
Grados sexagesimales
Ángulos agudos de un triángulo rectánguloDominio y rango
En posición normalÁngulos en posición normal
Negativo
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La rotación de unasemirrecta sobre
su origen
Positivo
Cada una de las 360 partesde la rotación total
cateto opuesto cateto adyacente cateto opuestosen � � cos � � tan � �
hipotenusa hipotenusa cateto adyacente
cateto adyacente hipotenusa hipotenusacot � � sec � � csc � �
cateto opuesto cateto adyacente cateto opuesto
• Longitud de arco• Velocidad angular• Velocidad lineal
Su vértice está sobre el origen y sulado inicial coincide con el semieje
positivo de las x
Se genera por una rotaciónen el mismo sentido de las
manecillas del reloj
Unidades del sistema cíclico. Un radiánes la medida de un ángulo central cuyo
arco mide un radio
Se genera por una rotación en sentidocontrario al de las manecillas del reloj
sen � � tan � � si x � 0 sec � � si x � 0
cos � � cot � � si y � 0 csc � � si y � 0r
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Ángulo
Funciones trigonométricas
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UNIDAD 5Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Define las funciones trigo-nométricas en la circunfe-rencia unitaria.
2. Analiza el comportamien-to de cada una de las fun-ciones trigonométricas.
3. Elabora la gráfica de unafunción trigonométricadada.
• Encuentra el valor de una función circularpara un número real.
• Interpreta geométricamente las funcionescirculares de números reales.
• Traza las líneas trigonométricas de unángulo dado.
• Construye la tabla de valores de cada fun-ción trigonométrica.
• Grafica las funciones trigonométricas.
• Identifica el dominio y el rango de cadauna de las funciones trigonométricas.
• Identifica el período de una función trigo-nométrica.
• Identifica gráfica y analíticamente la ampli-tud de una función sinusoidal.
• Identifica gráfica y analíticamente el perío-do de una función sinusoidal.
• Identifica gráfica y analíticamente el des-plazamiento (horizontal o vertical) de unafunción sinusoidal.
• Grafica funciones con distinta amplitud,período y desplazamiento de fase.
• Halla la amplitud, el período y el desplaza-miento de fase de una función dada.
• Analiza el comportamiento de una funcióntrigonométrica a partir de su gráfica.
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UNIDAD 5
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30
En la siguiente carreta, ¿cuál de los dos pares de llantas se gastará más rápido? ¿Por qué?
Rastro de arena
Luis sube una cuesta de pendiente uniformede 300 metros en línea recta y se detiene allado de un árbol que se encuentra a 150metros de altura sobre el nivel de la llanura.
• Construir un modelo geométrico querepresente la situación.
• Hallar el valor del ángulo que forma dichacuesta con la llanura.
Al subir la cuesta
Mayor desgaste
FICHA 2PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
DÍA A DÍA en el aula
arena
Sobre una banda giratoria se deja caer arena deun recipiente como lo indica la figura. Si se hacegirar dicho recipiente, ¿cómo será el rastro dearena que quede en la banda?
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31
de campo• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría
relacionada con el análisis gráfico de las funciones trigonométricas.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar enel mismo nivel de concepto.
se definen como que son se analizan se trazanse restringe para definir
se utilizan para elaboraren la
se caracterizan por ser se pueden realizar
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Funciones periódicas
Segmentos cuya longitud coincide conel valor absoluto de las seis funcionestrigonométricas de un ángulo dado.
El dominio y el rango
La gráfica de las funciones trigonométricas
Son funciones cuyas imágenes se repitenexactamente en el mismo orden a iguales
intervalos de su dominio.
Ecuación
Gráfica
• Arcoseno: arcsen o sen�1
• Arcocoseno: arccos o cos�1
• Arcotangente: arctan o tan�1
• Arcocotangente: arccot o cot�1
• Arcosecante: arcsec o sec�1
• Arcocosecante: arccsc o csc�1
Se alarga verticalmenteSi B 1, se comprime horizontalmenteSi 0 � B � 1, se alarga horizontalmente
Si C 0, se traslada C unidades a la izquierdaSi C � 0, se traslada C unidades a la derecha
• Amplitud y � A sen x• Período y � sen Bx
• Desplazamiento de fase y � sen (Bx � c)
Funciones circulares
Las líneas trigonométricas
x � cos t y y � sen tSiempre que t � � y P(x, y) es el punto de intersecciónde la circunferencia unitaria con el lado final del ángulo
cuya medida es t radianes.
TRABAJO
Las funciones trigonométricasinversas
Variaciones de las funcionestrigonométricas
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32
UNIDAD 6Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Plantea y resuelve proble-mas que involucran trián-gulos rectángulos.
2. Plantea y resuelve proble-mas que involucran trián-gulos oblicuángulos.
3. Usa los criterios aprendi-dos en la solución de pro-blemas relacionados confísica.
• Construye el triángulo rectángulo quemodela una situación dada.
• Identifica los ángulos de elevación y deinclinación en una situación dada.
• Resuelve situaciones problemáticas que alser representadas generan un triángulorectángulo.
• Reconoce si en la solución de un triánguloes posible usar el teorema del seno.
• Reconoce si en la solución de un triánguloes posible usar el teorema del coseno.
• Soluciona triángulos oblicuángulos.
• Examina si la solución de un triángulo resul-ta ser ambigua y determina la respuestacorrecta según el contexto dado.
• Resuelve situaciones problemáticas que alser representadas generan un triángulooblicuángulo.
• Construye el triángulo oblicuángulo quemodela una situación dada.
• Identifica y traza vectores de velocidad yfuerza.
• Traza las componentes rectangulares deun vector.
• Dibuja el diagrama de fuerzas asociado auna situación.
• Determina si un cuerpo está en reposo o sedesplaza con velocidad constante.
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9, 12
9, 11
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DÍA A DÍA en el aula
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Qué clase de triángulos se forman al trazar una diagonal en:
• un rectángulo. • un trapecio isósceles.
La isla caníbalUn excursionista está perdido en una isla decaníbales. Él posee el siguiente mapa queindica la posición de los caníbales.
Si el excursionista está ubicado en la x ysigue en dirección 45° desde la horizontal, ¿será devorado por los caníbales?
Triángulos
Dos trenesDe una estación de tren parten dos vías férreas que forman entre sí un ángulo de 53°. Dos trenes
parten a mediodía, uno a 72 km/h por una de las vías y el otro a 54 km/h por la otra vía.Determinar a qué distancia se encuentran el uno del otro a la 1:00 p.m.
FICHA 2PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
Estacion 53º
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DÍA A DÍA en el aulaEL BILLAR
El billar es un juego que se practica en una mesarobusta con tablero de pizarra tapizada sin ningúndesnivel. Este tapiz está limitado por cuatro bordesrecubiertos, en la parte de contacto con las bolas, poralmohadillas o bandas de material elástico.
Los griegos jugaban, en el siglo IV a.C., un juego debolas sobre el suelo, que algunos consideran como unprecedente del billar. Los franceses e ingleses se dis-putan la invención del billar moderno, pero pareceque corresponde a los franceses su organizaciónactual. Se sabe que rey Luis XI (siglo XV) lo jugaba enun salón y sobre una mesa. También se cultivó enInglaterra con el nombre de balyards. La primera salapública de billar se abrió en París, en 1610. Luis XIII de Francia fue un gran aficionado a este deporte, peroquien verdaderamente lo puso de moda fue su hijo Luis XVI. El primer campeonato oficial de billar se celebróen Inglaterra en 1827, donde fue empleada por primera vez la pizarra como tablero, y en 1835, fueron utiliza-das por primera vez las bandas de caucho.
Actualmente, las bandas de la mesa son de goma para despedir con mayor fuerza a las bolas en su choque con-tra ellas; presentan forma biselada de modo que el choque se produzca en un punto. Las jugadas y efectos delbillar están basados en la teoría físico-mecánica del choque de los cuerpos elásticos. Cuando el choque se pro-duce contra las bandas, el ángulo de incidencia y el de reflexión de la bola contra la banda serán iguales.
Adaptado de http:es.geocities.com/todobillar/teoria.htm
FICHA 3PARA AMPLIAR INFORMACIÓN
D P C
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A
122 cm
61 cm46 cm
banda
almohadilla
bola de billar
Una mesa de billar está puesta con la pinta (la bola que golpea primero) en la posición A y la bola contra laque debe chocar, está en la posición B, como se muestra en la imagen. Una bola que choca contra la bandarebotará de tal manera que los ángulos alfa sean iguales. ¿Hacia qué punto P de la banda debe apuntar un juga-dor el tiro de la pinta si quiere utilizarla para chocar con un tiro de banda contra la bola B?
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de campoTRABAJO
• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoríarelacionada con las aplicaciones de las funciones trigonométricas.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar enel mismo nivel de concepto.
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Resolución de triángulos
El área de un triángulo
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Caso 1: se conocen unlado y un ángulo
Caso 1. LAA: lado-ángulo-ánguloCaso 2. LLA: lado-lado-ángulo
Caso 3. LAL: lado-ángulo-ladoCaso 4. LLL: lado-lado-lado
Caso 2. Se conocen dos lados
Ley de los cosenos
Ley de los senos
El ángulo de depresión El ángulo de elevación
Caso especialSi en �ABC, a, b y c son las medidas de los ladosy �A, �B y �C son los ángulos que se oponenrespectivamente a dichos lados, se cumple que
a2 � b2 � c2 � 2bc cos Ab2 � a2 � c2 � 2ac cos Bc2 � a2 � b2 � 2ab cos C
Si en �ABC, a, b y c son las medidas delos lados y �A, �B y �C son los ángulosque se oponen respectivamente a dichos
lados, se cumple que:
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El caso LLA puede presentarcomo solución:• Dos triángulos• Un triángulo rectángulo• Un triángulo oblicuángulo• Ningún triángulo
Triángulos oblicuángulos
Hallar la medida de los tres lados y lamedida de los tres ángulos interiores
de un triángulo
Triángulos rectángulos
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UNIDAD 7Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Resuelve operacio-nes algebraicas conexpresiones que in-volucran funcionestrigonométricas.
2. Factoriza expresio-nes con funciones tri-gonométricas.
3. Demuestra identida-des trigonométricas.
4. Resuelve ecuacionestrigonométricas.
• Suma polinomios en los cuales los términos son fun-ciones trigonométricas.
• Resta polinomios en los cuales los términos son fun-ciones trigonométricas.
• Multiplica polinomios en los cuales los términosson funciones trigonométricas.
• Divide polinomios en los cuales los términos sonfunciones trigonométricas.
• Identifica y aplica el factor común en un polinomiocon funciones trigonométricas.
• Identifica cómo se factoriza una diferencia de cua-drados perfectos en un polinomio con funciones tri-gonométricas.
• Identifica cómo se factoriza una suma o una diferen-cia de cubos perfectos con funciones trigonométricas.
• Factoriza un trinomio cuadrado perfecto con funcio-nes trigonométricas.
• Factoriza expresiones para simplificar fraccionescon funciones trigonométricas.
• Identifica las identidades trigonométricas funda-mentales.
• Expresa una función trigonométrica en términos delas otras funciones trigonométricas.
• Escribe expresiones trigonométricas en función desenos y cosenos.
• Verifica si una igualdad trigonométrica es una iden-tidad.
• Determina expresiones para la suma y diferencia deángulos.
• Identifica las fórmulas para ángulos dobles y ángu-los medios.
• Demuestra una identidad trigonométrica.
• Reconoce la diferencia entre una identidad trigono-métrica y una ecuación trigonométrica.
• Soluciona ecuaciones trigonométricas.
• Determina el intervalo en el cual la solución de unaecuación trigonométrica es adecuada.
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DÍA A DÍA en el aula
Dominó de identidades1. Formar grupos de dos, tres o cuatro compañeros.
2. Cada grupo elabora sus fichas según el modelo.
3. Repartir las fichas en forma equitativa.
4. Sortear para ver en qué orden se seguirá el juego.
5. El primero que empieza el juego debe poner una ficha sobre la mesa.
6. El que sigue debe buscar una ficha que haga pareja con cualquiera de los extremos de las fichas que estánen la mesa, si no tiene, pasa el juego al que sigue, y así sucesivamente.
7. Gana el primero que termina de colocar sus fichas.
FICHA 2PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA
BalanzasEn una balanza se han puesto cuatro objetos diferentes A, B, C y D, combinados de distintas formas.
Segundacombinación
¿Cuál de los cuatro objetos es el más pesado?
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JUEGO 1
JUEGO 2
Terceracombinación
Primeracombinación
40
Análisis de FourierEl matemático francés Jean Baptiste Fourier (1768-1827) estudió acerca de la funcio-nes periódicas; este estudio es conocido como análisis armónico o análisis de Fourier.Este matemático descubrió que muchas funciones periódicas pueden representarsecomo una suma infinita de funciones de la forma
An cos (nw0t) y Bn sen (nw0t)
Una de las aplicaciones del análisis de Fourier, la hizo el físico Hermann vonHelmholtz quien produjo sonidos complejos utilizando combinaciones adecuadasde diapasones eléctricos, este mismo principio es el usado por los sintetizadoreseléctricos actuales.
Gráficamente, el sonido de cada diapasón puede representarse en función deltiempo con una onda sinusoidal, así
FICHA 3PARA AMPLIAR INFORMACIÓN
DÍA A DÍA
Todo sonido musical se puede considerar como la variación periódica de la presión del aire, que puede repre-sentarse como la siguiente función periódica.
De esta manera, los resultados de Fourier permiten afirmar que la función periódica anterior, puede obtener-se sumando funciones periódicas adecuadas. Por ejemplo,
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en el aula
41
• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoríarelacionada con identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar enel mismo nivel de concepto.
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Ecuaciones trigonométricas Forma trigonométrica paranúmeros complejos
Transformación de productosen sumas y diferencias
Identidades trigonométricas
z � r (cos � � i sen �), donder � |z| � �a�2��� b�2� y � es el
argumento de z
Ecuaciones en las que intervienenfunciones trigonométricas de unángulo � y se satisface sólo para
ciertos valores de �.
Demostraciónde identidades
Igualdades en las que se establecen relaciones entre funcionestrigonométricas que se validan para cualquier ángulo
Identidades que se deducen a través derelaciones trigonométricas básicas y por ladefinición de las funciones trigonométricas
Transformar uno de los miembros de la igualdad, entérminos del otro miembro, empleando sustituciones
e identidades trigonométricas fundamentales
Simplifican teniendo encuenta varios casos
Identidades para ángulos doblessen 2� � 2 sen � cos �
cos 2� � cos2 � � sen2 �
tan 2� �2 tan �
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Relaciones recíprocas
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Relaciones por cociente
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cot � �cos ��sen �
sen ��cos �
Relaciones pitagóricassen2 � � cos2 � � 1sec2 � � tan2 � � 1csc2 � � cot2 � � 1
Identidades para la suma de ángulossen (� � �) � sen � cos � � cos � sen �cos (� � �) � cos � cos � � cos � sen �
tan (� � �) � tan � � tan ���1 � tan � tan �
Identidades para la diferencia de ángulossen (� � �) � sen � cos � � cos � sen �cos (� � �) � cos � cos � � cos � sen �
tan (� � �) � tan � � tan ���1 � tan � tan �
de campoTRABAJO
sen � cos � � [sen (� � �) � sen (� � �)]
cos � sen � � [sen (� � �) � sen (� � �)]
cos � cos � � [cos (� � �) � sen (� � �)]
sen � sen � � [cos (� � �) � cos (� � �)]1
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42
UNIDAD 8Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Reconoce una sucesión.
2. Reconoce progresionesaritméticas y progresionesgeométricas.
3. Comprende el conceptode sumatoria y lo aplicaen la solución de proble-mas.
• Escribe los primeros términos de una suce-sión.
• Halla el término general de una sucesión.• Halla un término de una sucesión.• Encuentra la suma de los términos de una
sucesión.• Reconoce las propiedades de la sumatoria.
• Identifica progresiones aritméticas.• Identifica progresiones geométricas.• Halla el término general de una progresión
aritmética.• Halla el término general de una progresión
geométrica.• Calcula los diferentes elementos de una
progresión aritmética.• Encuentra la suma de los términos de una
progresión aritmética.• Calcula los diferentes elementos de una
progresión geométrica.• Encuentra la suma de los términos de una
progresión geométrica.• Realiza interpolación de términos en una
progresión geométrica.
• Propone y resuelve problemas de aplica-ción relacionados con progresiones arit-méticas.
• Propone y resuelve problemas de aplica-ción relacionados con progresiones geo-métricas.
1, 2, 4, 22,23
1, 2, 4, 22,23
1, 2, 4, 22,23
2, 5, 9, 11,13, 14
2, 5, 9, 11,13, 14
2, 5, 9, 11,13, 14
43
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UNIDAD 8
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• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoríarelacionada con sucesiones y progresiones.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto.
que es
y cumplen
cuya fórmula es cuya fórmula es cuya fórmula esse puede hallar
cuya fórmula es
es se pueden formar que son
que es
cuya fórmula esse puede hallar
que son
cuya fórmula es
Aritmética
Geométrica
n
k � 1(ak � bk) �
n
k � 1ak �
n
k � 1bk
n
k � 1(ak � bk) �
n
k � 1ak �
n
k � 1bk
n
k � 1c � ak � c
n
k � 1ak
Una sucesión en la cual cada término,excepto el primero, se obtiene de
sumar al término anterior una cantidadconstante llamada razón
Una sucesión en la cual cada término,excepto el primero, se obtiene demultiplicar al término anterior unacantidad constante llamada razón
Una función que asocianúmeros naturales con
números reales
Propiedades
an � a1 � (n � 1)d
n � �1an � a1��
d
a1 � an � a1��n � 1
a1 � an�
rn � 1
an � a1rn � 1 para n 1
n � � 1Log an � Log a1��Log r
La suma de los términosde una sucesión
Término enésimo El número de términosPrimer término
Término enésimo
El número de términos
Primer término
ProgresiónSucesión
Series
de campoTRABAJO
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45
UNIDAD 9Guión didáctico
LOGROS INDICADORES DE LOGROS ESTÁNDARES COMPETENCIAS
1. Comprende las caracterís-ticas y propiedades delconjunto de los númeroscomplejos.
2. Realiza operaciones connúmeros complejos.
• Identifica expresiones que corresponden anúmeros imaginarios.
• Escribe radicales como números imaginariospuros.
• Calcula potencias de i.• Representa números complejos en su forma
binomial o cartesiana.• Representa gráficamente números complejos.• Halla el conjugado de un número complejo.• Determina la norma de un número complejo
• Escribe el opuesto de un número complejo.• Resuelve operaciones aditivas con números
complejos.• Identifica las propiedades de la adición
de números complejos.• Resuelve operaciones multiplicativas con nú-
meros complejos.• Identifica las propiedades de la multiplica-
ción de números complejos.• Encuentra el inverso multiplicativo de un
número complejo.
4, 22
2, 4, 22
3, 12, 14
3, 12, 14
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46
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A 1 UNIDAD 9
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47
• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoríarelacionada con los números complejos.
• Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual.
• Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores.
• Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar enel mismo nivel de concepto.
son la unidad principal es
y determina
que son
se operan con
se definese define se define
cumplen como
se define
se representan en
como
Propiedadesi1 � i
i 2 � �1i3 � �ii 4 � 1
Clausurativa
Conmutativa
Modulativa
Invertiva
Asociativa
Números complejos
Resta
Multiplicación
Divisióni � ���1� Forma cartesiana
Suma
(a � bi)(c � di) �(ac � bd) � (ad � bc)i
(a � b) � a � bi� � {a � bi / a, b � �, i � ���1� }
Potencias principales de i
(a � bi) � (c � di) �(a � c) � (b � d)i
(a � bi) � (c � di) �(a � c) � (b � d)i
TRABAJO de campo
✓ ✓
✓✓
✓
http://www.juegosdelogica.com
Esta página cuenta con una gran selección de los acertijos más cono-cidos. Todos ellos traen un link que lleva directo a su solución. Además,se aceptan nuevos acertijos con cualquier grado de dificultad paraincluirlos en la lista.
http://www.mat.ucm.es
En esta página, la matemática se presenta como un verdadero juego.Se enseñan reglas, se estudian jugadas, se experimenta en partidassencillas, observando a fondo las partidas de los grandes jugadores,sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos parausarlos en condiciones parecidas.
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/Juegos/index.asp
Esta página presenta problemas de matemáticas recreativas para elentretenimiento y posible educación de los lectores. Para resolver losdiversos acertijos sólo es necesario un poco de conocimiento de arit-mética, álgebra y razonamiento lógico.
http://www.aulademate.com
En esta página, se encuentran juegos, foros, programas mate-máticos para descargar, herramientas online y una sección decontenidos matemáticos clasificados por unidades didácticas.
http://www.xtec.es/~jcorder1/entreten.htm
Esta página cuenta con una colección de retos geométricos entrete-nidos, interesantes y curiosos, organizados por su grado de dificultad.Además, cuenta con juegos sencillos de calculadora, series y una sec-ción de humor matemático.
BANCO DE DATOSDIRECCIONES EN INTERNET
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48
HOJA DE RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN
Nombre:
Curso: Fecha:
Rellene el según su respuesta.
ResultadosNúmero de preguntas Promedio: Aciertos: Errores:
A B C D1.2.3.4.5.6.
A B C D7.8.9.10.11.12.
A B C D13.14.15.16.17.18.
HOJA DE RESPUESTAS PRUEBA ICFES
Nombre:
Curso: Fecha:
Rellene el según su respuesta.
ResultadosNúmero de preguntas Promedio: Aciertos: Errores:
A B C D1.2.3.4.5.6.
A B C D7.8.9.10.11.12.
A B C D13.14.15.16.17.18.
4toAÑO
MEDIADE EDUCACIÓN
SOLUCIONARIO
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3
RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
UNIDAD 1
ACTIVIDADES 1. Página 10
1. S � {(F, J, C), (F, C, J), (C, F, J), (C, J, F), (J, F, C),(J, C, F)}
3. S � {(F, C, J), (F, J, C), (J, F, C), (J, C, F)}5. (A1, A2), (A1, D), (A1, R), (A1, C), (A2, D), (A2, R),(A2, C)
7. (D, C) 9. S � {(6, 1), (5, 2), (3, 4), (1, 6), (2, 5), (4, 3)}
11. Todas las combinaciones de la forma (a, b) cona � b � 7 o las de la forma {(a, b), (c, d)} cona � b y c � d13. S � {(C, C, C, C), (C, C, C, S), (C, C, S, S),(C, C, S, C), (C, S, C, S), (S, C, C, C), (S, C, C, S),(C, S, C, C)}15. S � {(C, C, 1), (C, C, 2), (C, C, 3), (C, C, 4),(C, C, 5), (C, C, 6), (C, S, 1), (C, S, 2), (C, S, 3), (C, S, 4),(C, S, 5), (C, S, 6), (S, C, 1), (S, C, 2), (S, C, 3), (S, C, 4),(S, C, 5), (S, C, 6), (S, S, 1), (S, S, 2), (S, S, 3), (S, S, 4),(S, S, 5), (S, S, 6)}17. S � {(C, C, 2), (C, C, 3), (C, C, 5), (C, S, 2), (C, S, 3),(C, S, 5), (S, C, 2), (S, C, 3), (S, C, 5), (S, S, 2), (S, S, 3),(S, S, 5)}
ACTIVIDADES 2. Página 15
1. 63. 82 5. 1 757 600 7. 1 581 840 9. 67 600 11. 604 80013. 12 formas 15. De 3 formas 17. 210 formas19. 12 formas
21. M
T
N
C TT
N
NT
N
23. 30 formas 25. Sí 27. 16 384 29. 1 326 formas
ACTIVIDADES 3. Página 19
1. 3. 5. 7. 9. 11. 13.
15. 17. 19. 21. 23.
25. 120 resultados 27. 29. 31. 33.
35. 37.
ACTIVIDADES 4. Página 22
1. 0,28 3. 0,72
1�2
297�1 015
204�1 015
1�5
1�26
1�2
4�45
1�4
1�2
253�9 996
33�54 145
1�54 145
1�3
1�6
1�4
1�8
1�6
1�18
5.
7. 0,2 9. 0,48 11. 0,33 13. 0,16 15. 0,16 17.
19. 1 21. 0,23 23. 0,25 25. 0,75 27. 0,01 29. 0,36
31. 0,35
ACTIVIDADES 5. Página 25
1. 3. 5. 7. 9. 11.
13. Sedán Coupe Camioneta TotalHombre 12 6 6 24
Mujer 7 11 8 26
Total 19 17 14 50
15. 0,28 17. 0,62
ACTIVIDADES 6. Página 29
1. 3. 1 5. 7. 9. 12�29
3�13
15�29
1�2
8�11
7�11
16�33
109�179
97�179
127�179
35�89
11. 13. 1
�142
�11 15. 17. 5
�1929�62
21. 23. 25. 27. 19�44
5�12
1�6
1�6
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINA 30
1.
Partido 1 2 3 4 5 6 7
Probabilidad
Partido 8 9 10 11 12 13 14
Probabilidad
3. 18% 5. Mayor que las probabilidades asignadas
15�106
27�99
32�105
19�97
5�100
19�106
4�98
20�96
32�105
26�89
12�102
4�97
12�98
25�100
P B
A
19 3
4
4
1
6
9
A B
0,17
0,18
0,1
0,55
19.
ACTIVIDADES 3. Página 43
1. Sí 3. Sí 5. No 7. No9. a. f(0) � 0,
f(1) � 2, f(3) � 3
b. Do
13. Sí 15. Sí, con el dominio impuesto
17. No
19. 21. 23.
© S
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TILL
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A
4
RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
1. f: A → B x → 2x
3. y � 2x � 1
5. Sí
7. Sí
9. No
11. 12, 0, �
13. F
15. F
17. F
1�4
19. x � 0, x � 1
21. x � 0
23. No tiene
25. x � �1
27. 1, 25,
29. l → P(l) � 6l
31. r → V(r) � r3
33.
4�3
1. Biyectiva
3. Biyectiva
5. Ninguna
7. Sobreyectiva
9. Inyectiva
11. Respuesta libre
13. Respuesta libre
15. Es inyectiva
17. Dom: x � 0
o Dom: x 0
19. Es inyectiva
21. Es inyectiva
23. Es inyectiva
25. Respuesta libre
27. Respuesta libre
29. Es biyectiva
31. 3 ó 6
33. No
35. g � 0
37. No
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 40
1. {(51, 29), (52, 29), (53, 30),
(54, 30), (55, 31), (56, 31), (57, 32),
(58, 32), (59, 33), (60, 33), (61, 34),
(62, 34), (63, 35), (64, 35), (65, 36),
(66, 36), …, (314, 153)}
3. Sobreyectiva
5. 20
Total: 220
9. Sí es una función 11. No
ACTIVIDADES 2. Página 39
UNIDAD 2
ACTIVIDADES 1. Página 35
7.
ACTIVIDADES 4. Página 45
1. Respuesta libre 3. Respuesta libre
5. x � 8, �7 x � �5
x � �5 x � �2
x2 �2 x � 0x 0 x � 22 x � 2
Creciente [�7, �2) � [0, 2)f(x) es Decreciente [�2, 0)
Constante [2, �)
7. Empresa 1
9. Empresa 2
11. La segunda empresa
13. No es par ni impar
15. Es impar
14�
31
�3
Sí hay Cubos visibles Cubos ocultos Total de cubos
1 capa 1 0 1
2 capas 3 1 4
3 capas 6 4 10
4 capas 10 10 20
�3 3 6
15
12
x
y
�6 9
�3
3
6
9
�2 2 4 6
8
x
y
�4�6
�2
�4
2
4
6�1 1 2 x
y
�2�3
�4
1
3
�1
�2
�3
�5
�3�p2�
24
9�16
f(x) �
© S
AN
TILL
AN
A
5
RESPUESTAS DE EJERCICIOS
ACTIVIDADES 5. Página 47
1.
3. �x � 3
5.
7.
9. V
11. V
13.
15.
17. P�1(x) � x � 15 000��
2 000
1 � 2x�x
x2 � 2�5
x � 1�2
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 48
1.
3.
x
y
1 2 3�1�2�3
�1
�2
�3
1
2
3
x
y
1 2 3�1�2
�1
�2
1
2
3
4
4
y
1
2
3
4
5
x�1 1 2 3 4 5 6�2�3�4�5�6�1
�2
�3
6
x
y
�1 1 2 3 4 5 6 7 8 x
y
�2�3�4�5�6
1
2
3
4
5
6
7
�1
f(x)
13.
15. Puntos de corte: (2, 0), (�2, 0);
Vértice: (0, �4); Eje de simetría: x � 0
17. Vértice: (0, 3);
Puntos de corte: (�3�, 0), (��3�, 0);
Eje de simetría: x � 0
19. Respuesta libre
21.
ACTIVIDADES 7. Página 55
1. Creciente
3. Decreciente
5. Decreciente
7. y � �2x; Dom f(x): �; Rango f(x): ��
9. y � 3x; Dom: �; Rango: ��
11. 2
13. 8 y 16
15. 0,075 (2x)
17. Dom: �; Rango: �� � {0}
19. Dom: �; Rango: �
21. Dom: �; Rango: (��, 3)
23. Dom: �; Rango: [�1, �)
25. Nicolás
ACTIVIDADES 6. Página 52
1. Función cúbica, y � (x � 1)3
3. Función afín, y � x � 2
5. Función cuadrática, y � �x2
7. Función afín, y � �x � 1
9.
y
�1 1 2 3 x�2�3�4�5
�1
1
�2
�3
1�C
x
y
2
1 2 3 4 5 x
y
�1�2�3�4 76
1
2
3
4
�1
�2
g(x)
5
6
5. Creciente
7. Respuesta libre
9. 50ºF � 10ºC
11.
© S
AN
TILL
AN
A
6
RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
ACTIVIDADES 2. Página 69
1. 3 3. 4 5. 4 7. �49. �8 11. 34 � 81 13. 26 � 64 15. 2,23 � N
17. � ��3
� 27
19. � ��3
� 125
21.
23.
1�5
1�3
25. g
27. f
29. e
31. b
33. En ninguno
35. La poblacióninicial
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
100
200
300
400
500
Dom f(x): ��
Rango f(x): �Crece de (0, �)
Dom f(x): ��
Rango: �Decrece de (0, �)
x y
�1
1 03 19 227 3
1�3
x y
�2
�1
1 05 �125 �2
1�5
1�25
ACTIVIDADES 3. Página 71
1. 3. � 5. 100 7. 2 Logn(z � x) �Logn y�3
5�3
1�2
9. � �
11. F 13. F 15. F 17. F
19. Log2[x(x � 2)3]
21. Log� � 23. Log
25. e 27. c 29. d 31. 17
33. 35. 37. 392
39. 89,3 decibeles
17�2
26�3
(m � n)3 � m4��
n5
Logn b�8
Logn (x � b)��2
Logn x�4
UNIDAD 3
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 63
1. No presenta un crecimiento exponencial.3. No presenta un crecimiento exponencial.5. El más eficaz es el antibiótico 2; el menos eficaz el 1.7. La ganancia después de 5 años es Bs. 202 812,5.9. La ganancia va disminuyendo.11.
ACTIVIDADES 1. Página 65
1. x � 4 3. x � 5. x � 2 7. x � �1 9. x �
11. La ecuación tiene tres soluciones x � 2,
x � 4 y aproximadamente x � �0,766664696
11�9
5�3
13. x � n, si n es par la ecuación tendrá solución adicional.
15. m � ; x � �
17. Hay 810 bacterias cuando han transcurrido 2 horas.
1�4
1�4
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINA 56
1. Respuesta libre 3. h � 1 356 m5. Respuesta libre
7. yb2(SO4)3 y Ce2(SC4)3
9. 75 g
11. 20 g
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 58
1. 3. 79,72 m
5. Venta
7. S(x) � �
600 000 � 0,06x, x � 300 000
600 000, 0 x 300 000
9. 11. A � 4x2x4�2
1,5
x
y
4,03
Venta 0 100 000 300 000 350 000 500 000 800 000Salario 600 000 600 000 600 000 621 000 630 000 648 000
13
(y � 2)
(y2 � 2y � 4)13
© S
AN
TILL
AN
A
7
RESPUESTAS DE EJERCICIOS
ACTIVIDADES 4. Página 73
1. x � 17
3. x � 9
5. x � 2
7. x � 3 � �11���2
17. x1 � 7,48, x2 � 0,39
19. No
21. No
23. El sistema no tiene
solución real
25. x � 5,4798, y � 3,6930
27. t � 8,06
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS, PÁGINA 74
1.
3. 73,3446956 mg 5. Hay 1,4856 � 10�8 mg es casi cero
7. En el 2015 hay 7 500 mill. aprox. En el 2024 hay
8 500 mill. aprox.; y en el 2044 hay 11 000 mill. aprox.
9. En el 2015: 7 074 millones; en el 2024: 7 511 millones;
en el 2044: 10 018 millones.
UNIDAD 4
ACTIVIDADES 1. Página 80
1. radianes 3. � rad 5. rad 7. rad
9. rad 11. 0,010471975 rad 13. Respuesta libre
15. Respuesta libre 17. Respuesta libre
19. Respuesta libre 21. Respuesta libre
23. 49º 22’ 15,6” 25. 0º 28’ 44,4” 27. 45º 30’ 0”
29. 60º 43’ 40,8” 31. 36º 33. 7º 2’ 6” 35. 20º 20’ 0”
37. 7º 2’ 8,57” 39. 97º 41’ 57” 41. 7º 42’ 38”
43. e 45. b 47. 4º 13’ 30”; 12º 27’ 46,08”
49. 47º 36’ 0”; 42º 24’ 0”
�3
1�60
�6
�45
�180
9. x �
11. x � 0,215338279
13. x � 0,16
15. x � �0,441524719
1�2
10
20
30
40
50
60
78,183
88,393,9
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 t
N
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 82
1. 20 horas 3. 37 cm 5. 3,49 rad/s
7. B en el sentido de las manecillas del reloj y C en sen-tido contrario a las manecillas del reloj.
9. �QOP � 47º 36’; �PQO � 42º 24’ 11. 2 P�Q�13. 31,42 m
ACTIVIDADES 2. Página 85
1. x � 50º 3. x � 70º 5. x � y � 60º
7. x � 60º, y � 60º 9. a veces 11. nunca
13. algunas veces 15. 7,14 17. 6,92 19. 18 21. x �23. V 25. V
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINA 86
1. 94,34 cm 3. 182 cm 5. Obtusángulo escaleno
7. Respuesta libre 9. x � 2 m 11. 1,83 m
ACTIVIDADES 3. Página 93
1. sen � ; tan � � ; sec � � ;
cos � � ; cot � � ; csc �
3. sen � 0; tan � 0; sec � �1; cos � �1;cot � �ind; csc � �ind
5. sen � ; cot � 1; cos � ;
sec � �2�; tan � 1; csc � �2�
7. sen � � ; cot � �1; cos � ;
sec � �2�; tan � �1; csc � ��2�9. sen � �0,45; cos � �0,88; tan � ;
cot � ; sec � �2,19
11. Positivo 13. Cero 15. Negativo 17. Positivo
19. sen � ; tan � ��3�; cot � � ;
sec � �2; csc � 21. cos � � ;
tan � � ; cot � �2�6�; sec � � ;
csc � �5
23. sen � ; tan � � ; cot � � ;4�3
3�4
3�5
5�6��12
�6��12
2�6��5
2�3��3
�3��3
�3��2
39�20
20�39
�2��2
�2��2
�2��2
�2��2
17�8
15�8
15�17
17�15
8�15
8�17
50�17
© S
AN
TILL
AN
A
8
RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
ACTIVIDADES 6. Página 104
1. 45º 3. 60º 5. 60º 7. 70º 9. 60º
11. cos(�120º) � � ; tan(�120º) � �3�;
cot � 120º � ; sen(�120º) � � ;
sec(�120º) � �2; csc(�120º) � �
13. sen 240º � � ; cos 240º � � ;
tan 240º � �3�; cot 240º � ; sec 240º � �2;
csc 240º � �
15. sen � 90º � �1; cos � 90º � 0; cot � 90º � 0;csc � 90º � �1
17. sen (� 45º) � � ; cos (� 45º) � ;tan (� 45º) � �1;cot � 45º � �1; sec (� 45º) � �2�;
csc (� 45º) � ��2�
19. 14º 21. 260º 23. 275º 25. 0º 27. 270º 29. �
31. 2 33. 35. �1 37. � 39. V 41. V
43. Se calcula tan y se utiliza x�1
45. sen � � ; tan � 5; cos � � ;
cot � ; sec � ��26�; csc � �
47. 29,96 cm2 49. 51. 53.
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINA 106
1. d � 25 548,68 km
3. d � 40 218,6 km
5. 32º 7’ 3,47”
7. 22º 4’ 56,69”
9. Sí
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 108
1. r � �2�, s � �3�, t � 2, u � �5�, v � �6�, w � �7�3. El tercero 5. 4,47 m 7. 297,13 m 9. 85,2 cm
1�2
�2� � 4��2
�3� � 1��2
�26��5
1�5
�26��26
5�26��26
�3��3
1�2
�3��3
�2��2
�2��2
2�3��3
�3��3
1�2
�3��2
2�3��3
�3��2
�3��3
1�2
25. Segundo cuadrante 27. II 29. Sí 31. Sí 33. Sí 35.
37. 39. 41. 0 43. c 45. f 47. a 49. d
51. Respuesta libre 53. Respuesta libre
55. Respuesta libre
ACTIVIDADES 4. Página 96
1. ; ; ; ; ;
3. ; ; ; ; ;
5. ; ; ; ; ;
7. sen 37º � ; tan 37º � 9. Respuesta libre
11. Respuesta libre 13. Respuesta libre
15. Respuesta libre 17. Respuesta libre
19. A � 34,93 m2 21. A � 23. x � 41,07 cm
25. 3,354 m
ACTIVIDADES 5. Página 100
h2�2
6�y
6�x
�13��2
2�3
�13��3
3�13��13
3�2
2�13��13
25�7
24�7
24�25
25�24
7�24
7�25
53�28
45�28
45�53
53�45
28�45
28�53
3�2
2�5
1. �
3. �
5. V
7. F
9. V
11. F
13. F
15.
17. e � 3�2�
19. c � 10, d � 10�3�
21. x � 12, y � 4�3�,
z � 8�3�
23. 3 507,40 cm2
25. 2 165,06 m
27. d � 3�3�
29. A � cm2 256�3
31. cos 70º
33. cot �3
35. sen
37. Respuesta libre
39. m � A � 60º
41. �2� � 2�3�
43. �
45. 5 cm
47. Respuesta libre
49. Respuesta libre
9�2��2
1�2
sec � � ; csc � 5�3
5�4
�30
g � x�2��2
© S
AN
TILL
AN
A
9
RESPUESTAS DE EJERCICIOS
UNIDAD 5
ACTIVIDADES 1. Página 113
1. Sí, II cuadrante 3. Sí, I cuadrante 5. No
7. � , � 9. � , � �11. sen s � � , cos s � , tan s � � ,
cot s � � , sec s � , csc s � �
13. sen s � , cos s � , tan s � ,
cot s � , sec s � , csc s �
15. sen s � , cos s � �0,5, tan s � ��3�,
cot s � � , sec s � �2, csc s �
17. sen s � 1, cos s � 0, cot s � 0, csc s � 1
19. sen s � 0, cos s � �1, tan s � 0, sec s � �1
21. I ó III cuadrante 23. II cuadrante
25. sen s � , cos s � � , tan s � � ,
cot s � � , sec s � � , csc s �
27. tan s � � , sen s � , cos s � � ,
sec s � � , cot s � � , csc s �
29.
�34��3
5�3
�34��5
5�34��34
3�34��34
3�5
5�2
5�21��21
�21��2
2�21��21
�21��5
2�5
2�3��3
�3��3
�3��2
3�5��5
3�2
2�5��5
�5��2
2�3
�5��3
5�4
5�3
3�4
4�3
3�5
4�5
�5��3
2�3
4�5
3�5
x sen x cos x tan x csc x sec x co
0 0 1 0 ∃ 1 ∃
31. 0 �1 0 ∃ �1 ∃
33. 2 0 1 0 ∃ 1 ∃
35. 3 0 �1 0 ∃ �1 ∃
47. Respuesta libre, observación 55. (�y, x)
49. �cos t 57. �sen t
51. sen t 59. �csc t
53. �sen t
ACTIVIDADES 2. Página 118
1. sen en � , � k � �;
cos en ((2k � 1), 2k) k � �
3. x � ; k � �; impar k�4
(4k � 1)��2
(4k � 1)��2
5. �0, � � � , 2�7. Dom: �; Ran: [��2�, �2�]
9. �2�
11. � 2k y � 2k, k � �
13. El cateto adyacente
15. Rectángulos isósceles
17. Dom: �; Rango [0, 1];
Crece �� , 0� � � , � � � , 2�, Período 3�2
�2
�2
7�4
8�4
5�4
�4
37. (�0,2272; �0,9738) 39. �� , � � 41. (0, �1)
43. � , � 45. �� , ��2��2
�2��2
�2��2
�2��2
1�2
�3��2
ACTIVIDADES 3. Página 124
1. y � cot x 3. y � sen x 5. x � 7. x � 0º, x � ,
x � 2 9. decrece 11. crece 13. decrece
15.
17. y � �2 sen x 19.
ACTIVIDADES 4. Página 127
1. y � sen x � 4 3. y � cos x � 2 5. y � �sen x � 1
4
34
2
54
32
74
94
2
3
1
2
�1
© S
AN
TILL
AN
A
10
RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
21. b 23. c 25. d 27. Sí 29. Respuesta libre
31. A 1; T �
ACTIVIDADES 6. Página 132
1. Amplitud: 3, Período: T � 2, Desfase: �
3. Amplitud: 4, Período: 6, Desfase: �
5. y � 3 sen� x � �7. y � sen�2x � � 9. y � cos�x � �11. Desfase 13. Desfase 15. Desfase
17. Desfase 19. y � 3 sen(x) 21. y � cos(2x)
23. y � cos� x � � 25. y � 3 cos(3x � )
27. Verdadero 29. y � 2 sen�x � �31. y � �2,5 sen�x � �LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINA 135
1. La de amplitud 2 3. La que tiene período T � 1
5. y � sen(t) 7. y � sen(2t)
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 136
1. y � 6 cos t3. y � �6 cos(t) 5. Sí 7. En 2 y en 69. 1,763355757 11. Respuesta libre
3�2
�2
�2
8�9
8�3
1�3
�4
3�5
3�2
�2
1�2
5�18
�6
1�2
�2
1�2
3
2
6
�3
y
x
�4
�2
�1
3
1
2
4
6�
10
40
5
20
�6
y
x
�4
�2
6
4
2
3 2
22
�4
4
y
x
4 3
6 3
8 3
2 3
�1
1
y
x
2
�2
2 3 4 5
1�
1
y
x
7. 11.
9.
32
22
x
y
5
�5
4
34
2
32
1
2
3
32
22
x
y
1
12
�1
12�
ACTIVIDADES 5. Página 130
1. Amplitud: 2, Período: T �
3. Amplitud: 2, Período: T �
5. Amplitud: 1, Período: T �
7. Período: 2 9. Amplitud: 10, Período: 4
11.
13.
15.
2�3
�2
2�3
13. Rango [0, 2]
15. Rango [�1, 1]
17. F
19. V
21. V
23. d
25. a
27. e
17.
19.
© S
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11
RESPUESTAS DE EJERCICIOS
ACTIVIDADES 7. Página 142
1. 3. 36º 52’ 11,63” 5. 7. 9. 11.
13. c 15. b 17. e 19. ✔ 21. ✔ 23. No 25. ✔ 27. ✔ 29. V
31. V 33. F 35. x � sen�y � �37. 39. x � �tan y � �41. 43.
45. 47. x � cos�1 � �
ACTIVIDADES 8. Página 145
1. 0,470588235 3. 5. 7. 9. 11. �0,96
13. �0,47759225 15.
17. tan�1 1 � cos�1
19. El lado izquierdo en el sistema hexagesimalequivale a 90º
21. El lado izquierdo da �123. Las dos expresiones son iguales 25. Sí
27. � cos�1� � 29. 87º 29’ 56,5”
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINA 146
1. El segundo 3. 0,8 s aprox. 5. 75 aprox.
7.
P�VI
�2��2
1��cos(tan�1(3 � 8))
�3��2
1�2
1�2
�2
2x�3
2�
�2
1�4
�2
3�4
�6
�3
�3
�4
3
1� 1
3 2
2
2�
�2
2
2
12�
�2
12
� r89º 59’ 39,37” 0,589º 32’ 9,24” 1,588º 31’ 59,04” 282º 33’ 12,68” 376º 8’ 27,21” 3,570º 30’ 40,5” 3,865º 49’ 13,04” 4
0 5
�4x �
tan�1(y) ���2
UNIDAD 6SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 157
1. �T � 70º 3. 54” 20º 27,28 � L; LH � 13;� � 35º 39’ 32,72; TH � 9,335. 50,19º � T; 39º 48’ � 0 � 20,06; O�T� � 7,817. 10t � tan 9. h � 75 600 m 11. 29º 44’ 41,57”13. 15º 19” 28,24 15. 7,48 m 17. 89º 37’ 23,01”19. 22,4 m 21. x � 1 302,7 m 23. 35º 15º 51,825. 86,6 km 27. A: rumbo 20 NE; B: rumbo 40 NO; C:rumbo 75 SO; D: rumbo 25 SE
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 164
1. a � 8, A � 49º, B � 57º, C � 74º; b � 8,9; c � 10,23. B � 70º, C � 58º, a � 84, A � 52º; C � 90,4;b � 100,175. El triángulo no tiene solución7. El triángulo no tiene solución9. El triángulo no tiene solución11. No tiene solución13. A � 110º; a � 13; c � 8; C � 35º 19” 44,84;B � 34º 40” 15,16; b � 7,87 15. 342 m 17. 1 974,75 m19. 550,15 m 21. Respuesta libre 23. Respuesta libre25. 26,36 cm 27. Respuesta libre 29. 4,18 km; 7,22 km31. 112 km/h
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 168
1. a � 14, b � 15, c � 16; A � 53º 34’ 35,13;C � 66º 52’ 3,38; B � 59º 33’ 21,493. A � 40º, a � 10, c � 8; C � 30º 56’ 45,62”;B � 109º 3’ 14,38”; b � 14,75. a � 12, b � 17, c � 23,11; A � 30º 12’ 38,91”;B � 45’ 28’; C � 104º 19’ 21”7. a � 21,5; b � 13; C � 39º 20’; c � 14,10;B � 35º 45’ 11,52; A � 104º 54’ 48,49. A � 73º, B � 28º, c � 42; C � 79º; a � 40,92;b � 20,0911. c � 6, a � 5, B � 53º; b �4,99; c � 73º 50’ 0,71”;A � 53º 9’ 59,29”13. A � 135º, c � 20,3, b � 8,4; a � 26,9;C � 32º 14’ 43,1”; B � 12º 45’ 16,9”15. B � 40º, A � 122º, C � 18º; b � 12; a � 15,83;c � 5,7717. B � 81º, C � 12,1, A � 52º; C � 47º; a � 13;b � 16,319. 504,34 m 21. 46º 35’ 51,34” 23. 93,2 cm25. 31º 7’ 10,1” 27. 311,7 km
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 171
1. 1,2 3. 14,2 5. 6,44 7. 6 9. 1.916,18 cm2 11. 474,94 cm2
13. Bs. 73 362 594 780 15. 254,15 p2 17. Respuesta libre
19. Respuesta libre
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RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
21. �sen2 u � cos4 u��sen4 u � sen2 u cos4 u � cos8 u�23. (sen2 u � 5 cos4 u)(sen4 u � 5 sen2 u cos4 u� 25 cos8 u)
ACTIVIDADES 4. Página 187
1. 4(cot x � 2)(2 cot x � 1) 3. (�co�s�x� � 2)2
5. (tan u � (�3� � �2�) sec u)(tan u � (��2� � �3�) sec u)7. (3 sen x � 4)(2 sen x � 1) 9. (sen x � 12)(sen x � 5)
11. (cos x � 8)(cos x � 4) 13. Son iguales 15. 17. 19. , 0 21. F
ACTIVIDADES 5. Página 188
1. c 3. a 5. e 7. tan x � sec x 9.
11. � 13. 4 cos2 x � 10 sen x cos x � 25 sen2 x
15. 17.
19. 21.
23.
ACTIVIDADES 6. Página 195
1. F 3. F 5. V 7. tan � � �0,75; sec � � 1,6;cot � � �1,5; sec � � �1,25
9. sen � � � ; cot � � ; cos � � � ;
csc � �
11. sen � � ; sec � � � ; tan � � � ;
cot � � ��3�13. Respuesta libre 15. Respuesta libre17. Respuesta libre 19. Respuesta libre 21.
23. sen u � ; tan u � ��15�; cot u � � ;
sec u � �4; csc u � 4�15��15
�15��15
�15��4
64�27
�3��3
2�3��3
1�2
��26��5
�26��26
1�5
5�26��26
6.561 sen4 � � a4���9
81 sen2 � � 59.049 sen4 �����
1 � 81 sen2 �6.561 sen4 x��a4
�81� s�en�2��� a�2����
a2(2 cos x � 5)��(3 cos x � 7)
2 tan2 x��sec x
�1��sen x � 3 cos x
�2
4�9
2�3
2�3
(
(
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 177
1. Fr � 453 153,89 N; Fy � 211 309,13 N
3. 63,6 N en la dirección 84º 28’ 46,87”5. 22,67 N 7. N � P cos 40º
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINA 178
1. cos �
3. cos�1 � � �
5. 2 990 millas
d�7 920
3 960��(h � 3 960
3 960��(h � 3 960)
UNIDAD 7
ACTIVIDADES 1. Página 181
1. Respuesta libre 3. Respuesta libre 5. Respuesta libre7. Respuesta libre 9. Respuesta libre 11. �5 cos x
13. 2 csc� � � sec� �15. �2 cot� � � 2 cot x � 2 csc x 17. cos 2x � 2
19. cos2 x � cos x � sen x � 121. sen x � 1 � cos2 x � cos x23. cos2 x � cos x � sen2 x � sen x � cos 2x � 125. cos 2x � sen2 x � cos2 x � cos x � 127. Respuesta libre 29. Respuesta libre
ACTIVIDADES 2. Página 182
1. 3 cos2 x � sen x 3. cos4 x � sen4 x 5. cot7 x7. 1 � 3 cos x � sen x 9. sec2 x � sec5 x � tan x � sec2 x11. tan2 x � cot x � tan x � cot x 13. sec2 x 15. csc x17. sen2 x 19. sen2 x � sen x � 2 21. 2 sen x � 223. cos x 25. sec2 x � 2 sec x � 4, residuo: 1227. 1 29. tan x � �3�, residuo �9 tan x � 9 � 2�3�31. sen2 x cos y � 2 sen x cos2 y 33. 135. sen x � 45 cos y � 3 sen x cos y 37. 1
ACTIVIDADES 3. Página 185
1. d o e; sen a(sen2 a � 4 sen3 a � sen a � sen b)
3. d o e; sen a(sen a � cos2 x � cos x � 1)
5. sen a � tan x(10 sen2 a � 2 sen a � tan x � 5 tan2 x)
7. (tan2 x � 1)(4 tan x � 1)9. (sen x � 1)(sen x � cos2 x) 11. �4(2 sec x � 3 csc x)13. (sec u � 3 tan u)(3 sec2 u � 1)15. sen4 x cos4 y(sen x � cos y)(sen x � cos y)17. tan2 y sec6 y(tan y sec3 y � 1)(tan y sec3 y � 1)19. (1 � sec x)(1 � sec x � sec2 x)
x�2
x�2
5�9
y�3
�
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13
RESPUESTAS DE EJERCICIOS
25. cos u � ; sen u � ; tan u � �3�;
cot u � ; csc u �
27. 29. sen y 31.
33. cos x � �1��� c�o�s2� x�
35. (�1��� c�o�s2�� � 1)(cos � � 1)
37.
39. , 41. 1 � tan2 y
43. �csc x�sec2 x
1�csc x
1���1��� c�o�t2� v�
1��
�1��� t�an�2�v�
(1 � cos2 x) � cos2 x���
(1 � cos2 x) cos2 x
�1��� s�en�2�u���
1 � sen2 u
sen x��
�1��� s�en�2�x�
2�3��3
�3��3
�3��2
1�2
�
45. �
47. csc x
(sec u � 1) csc u���sec u
sec u���(sec u � 1) csc u
ACTIVIDADES 7. Página 197
1. 13. 1 5. 1 7. sen y 9. sen v � cos x v 11. sen x13. 1 15. tan x 17. sen2 u 19. 2 sen x 21. csc2 x � sec2 x
23. h � 25. Sí
ACTIVIDADES 8. Página 201
1. Respuesta libre 3. Respuesta libre 5. Respuesta libre7. Respuesta libre 9. Respuesta libre
11.
v02 sen2 �
��2 g
13. Respuesta libre 15. Respuesta libre17. Respuesta libre 19. Respuesta libre21. Respuesta libre 23. Respuesta libre25. Respuesta libre 27. Respuesta libre29. Respuesta libre 31. Respuesta libre33. Respuesta libre 35. Respuesta libre37. Respuesta libre 39. Respuesta libre41. Respuesta libre 43. Respuesta libre45. Respuesta libre 47. Respuesta libre49. Respuesta libre 51. Respuesta libre53. Respuesta libre 55. Respuesta libre57. Respuesta libre 59. Respuesta libre
ACTIVIDADES 9. Página 207
1. 0,258819045 3. �0,70710678 5. 3,732050808 7. �2
9. cos 31º 11. sen 250º 13. cos 210º
15. sen(� � �) � �0,11076; cos(� � �) � 0,993846;sen(� � �) � �0,62769; cos(� � �) � 0,778461
17. sen(� � �) � 0,1111; cos(� � �) � �0,9938;sen(� � �) � 1; cos(� � �) � 0
19. sen(� � �) � � ; sen(� � �) � 0;
cos(� � �) � � ; cos(� � �) � 1
21. Respuesta libre 23. Respuesta libre25. Respuesta libre 27. Respuesta libre29. Respuesta libre 31. Respuesta libre33. Respuesta libre 35. Respuesta libre37. Respuesta libre 39. Respuesta libre41. � � 70º 33’ 35,87” 43. Respuesta libre
ACTIVIDADES 10. Página 112
1. 0,9659 3. � 5. �0,9659 7. 0,28 9. 0,96
11. 0,948 13. 0,71005 15. 0,9805 17. �5
19. � 21. 0,258 23. �0,2679 25. F 27. F
29. Respuesta libre 31. Respuesta libre33. Respuesta libre 35. Respuesta libre37. Respuesta libre 39. Respuesta libre41. 4 cos3 � � 3 cos � 43. 2,613
ACTIVIDADES 11. Página 215
1. (cos(2x) � cos 10x) 3. (sen 3x � sen x)
5. sen 12x � sen 6x 7. (cos 11x � cos 3x)
9. �sen x � sen x� 11. 2 sen 5x cos 3x
13. 2 cos t � cos 15. 2 sen� t� cos� t�17. 0,06698 19. �0,183 21. 0,183 23. 0,433
25. 3 sen � 4 sen3 27. 29. 1,999
31. Respuesta libre 33. Respuesta libre35. Respuesta libre 37. Respuesta libre39. Respuesta libre 41. Respuesta libre
�6��2
7�2
9�2
t�2
11�2
1�4
3�4
11�2
3�2
3�2
1�2
�3��2
�2��2
1�2
�3��2
3�2
cos2 x sen2 x � cot2 x csc2 x
sen2 x � csc2 x 1 cos2 x � cot2 x
�cot2 x cos2 x � csc2 x sen2 x
32
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14
RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
13. d 15. 45 17. 106 9. 3
19. 3 21. �38�3
23. �148 041��560 25. 10 27. 34 29. � 3
�2
UNIDAD 8
ACTIVIDADES 1. Página 239
1. 0, 1, 2, 3, 4 3. 0, 3, 8, 15, 24 5. ; ; 3; ;
7. 2; ; ; ; 9. 2; ; ; ; 11. an � 2n6�5
5�4
4�3
3�2
6�25
5�16
4�9
3�4
25�3
16�3
4�3
1�3
13. an � 4 15. an � n � 1 17. an �
25. x � 22,5º, x � 67,5º, x � 157,5º27. x � 22,5º, x � 67,5º 29. x � 30º, x � 150º31. x �90º, x � 270º 33. 33º 12’ 39,28”35. 56º 47º 20,72
ACTIVIDADES 16. Página 231
1. x � 3. No tiene solución 5. x � �1
7. x � 0,382683432 9. Respuesta libre 11. 2,26717213. Respuesta libre 15. 0,44743595
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINAS 232 Y 233
1. � x 3. 3 horas después
5. Un día despejado es un día claro. Las mismas horas7. 0,91 km 9. 3,63 km 11. No es posible
2�5
�5��5
43. sen x 45. cos x49. Respuesta libre 51. Respuesta libre
ACTIVIDADES 12. Página 216
1. d 3. b 5. a 7. Respuesta libre 9. Respuesta libre11. Respuesta libre 13. Respuesta libre15. Respuesta libre 17. Respuesta libre19. Respuesta libre 21. Respuesta libre23. Respuesta libre 25. Respuesta libre27. Respuesta libre
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS. PÁGINAS 217 Y 178
1. 3. � 45º 5. Respuesta libre
7. Respuesta libre
ACTIVIDADES 13. Página 224
1. � 54º 44’ 8,2”; � 234º 44’ 8,2”3. � 240º, � 300º 5. � � 60º, � � 300º7. x � 135º, x � 315º 9. La ecuación no tiene solución11. x � 30º, x � 150º, x � 180º 13. a 15. b 17. V19. F 21. F 23. x � 0, , 2; x �
25. x � 30º, 150º, 270º, 330º27. x � 45º, 135º, 225º, 315º29. x � 60º, 120º. 240º, 300º 31. x � 300º, x � 60º33. No tiene solución 35. F (tiene 3)
37. V 39. � � k 41. � 2k
ACTIVIDADES 14. Página 2271. x � 30º, 150º, 210º, 330º 3. x � 0º, 180º, 360º5. x � 0º, 180º, 360º; x � 60º, 240º
7. x � 135º, 315º 9. x � , ,
11. x � 0º, 180º, 360º; x� 60º, 120º, 240º, 300º13. x � 60º, 300º, 180º 15. x � 60º, x � 120º, x � 240º,x � 300º 17. t � 20º, t � 40º 19. t � 60º
21. x � , x � , x � 120º, x � 240º
23. t � 22,5º, t � 45º, z � 30º, t � 150º 25. F
27. V � a2 sen � � L 29. 30º 31. x � 330º, y � 270º;
x � 90º, y � 150º 33. x � 90º, y � 30º
ACTIVIDADES 15. Página 229
1. x � 30º, 150º, 210º, 330º 3. x � 120º, x � 240º5. x � 60º, x � 300º 7. x � 0º, 180º, 360º, 90º, 270º9. x � 90º, 270º 11. V 13. V 15. F 17. F 19. 0,0026 s21. Sí 23. x � 10º, x � 50º
1�2
540º�7
180º�7
3�2
5�6
�6
3�2
�3
�2
v02 sen 2
��32
23. Cuadrado de lado n
21. Se escribe debajo una fila con un punto más el 7º término es.
25. 27. 13, 16, 14, 22499�210
ACTIVIDADES 2. Página 243
1. 56 3. 5. 105 7. �56 9. c 11. f 49�2
•• •• • •• • • •• • • • •• • • • • •• • • • • • •
• • • • • • •• • • • • • •• • • • • • •• • • • • • •• • • • • • •• • • • • • •• • • • • • •
19. an � n � 1�n
n � 1�2
37. Verdadero 39. Falso 41. Verdadero
ACTIVIDADES 3. Página 2471. Sí; d � 5 3. Sí; d � �2 5. No 7. No 9. Sí; d � 1 11. No
31. 44 33. 35. � 4 795�27
100�3
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15
RESPUESTAS DE EJERCICIOS
13. 21 15. 3 17. � 19. 15
21. 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28
23. � , , , , , , , , 25.
27�2
23�2
19�2
15�2
11�2
7�2
3�2
1�2
27. Sí, para la del punto 25: an � n � 2; para la del punto26: an � 180(n � 2); n número de lados.29. Para la del punto 25: 48; para la del punto 26: 8.640º.31. 135 33. No35. Hay 28 múltiplos de 35 entre 2 000 y 3 00037. Hay 6 múltiplos de 3 000 que tienen cuatro cifras(3 positivos y 3 negativos)
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 252
1. 88 asientos 3. 52 personas 5. Desde 1 368 m de altura7. 110 m 9. 68 minutos 11. 77 kg de azúcar13. La oferta de los 10 millones15. 15 635 abejas17. En 42 meses aprox.
ACTIVIDADES 4. Página 250
1. 190 3. 5. 2 500 7.
11. �4, �1, 2, 5, 8, 11, 14 13. �2, �3, �4, �5, �6, �7, �8
15. �1, �5, �9, �13, �17, �21, �25
17. , 8, , 11, , 14, 31�2
25�2
19�2
13�2
280�3
55�3
19. 2, 9, 16, 23, 30, 37
21. �3, 3, 9, 15, 21, 27
23. , , , , ,
25. 22,2; 41,2; 60,2; 79,2
27. 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68
29. 10, 12, 14, 16, 18, 20 31. 10, 8, 6, 4, 2, 0
33. , , , 3, , ,
35. � , � , � , � , � , 111�35
17�7
59�35
33�35
1�5
11�2
14�3
23�6
13�6
4�3
1�2
33�2
27�2
21�2
15�2
9�2
3�2
ACTIVIDADES 5. Página 257
1. Sí es; r � 2 3. Sí es; r � 2 5. No es
9. 4 200 000
15. Aritmética; an � � n � 11�3
Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10
Cantidad de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8
23�8
9. �314
�27�5� , 137
�35� , 163�35
37. Verdadero 39. Verdadero 41. Verdadero
43. 45. 47. 1 275 49. 465 51. 21043�4
409�86
11. � 1�26 244
19. r � 21. r � 3x 23. Verdadero 25. Falsoy
�2
27. n � 10 29. n � 8 31. n � 6 33. r � 100�310�
17. r �1
�5
Triángulo 1 5 6 7 8Res. Res. libre libre
Perímetro cm 9 0,5625 0,28125 0,140625 0,0703125Res. Res. libre libre
ACTIVIDADES 6. Página 258
1. 1.365 3. 9 5. 7. Falso 9. Falso 11. Geometría
13. Sí en el decimotercero cuadrado
15.
5�8
La sucesión es geométrica
ACTIVIDADES 7. Página 260
1. 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512
5. �6; �4; � ; � ; � ; � ; � ; � 256�729
128�243
64�81
32�27
16�9
8�3
35. 1 822 vasos de agua1�2
17. 400 cm 19. e 21. d 23. Es 25. 5, 15 y 45399�5
3. ; ; ; 1; 2; 4; 8; 16; 321�2
1�4
1�8
7. 1
�413. Geométrica; an � 5(3)n � 1
1 875
21. Falso 23. An � 1 536 cm2� �n � 11
�4
25. cm2 27. 768 cm 29. No1 023�2
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 2621. 6 m 3. 2 910 m 5. No, matemáticamente7. Entre más recipientes se tomen más se cubre el volu-men del primer recipiente pero nunca se cubre totalmen-te tal volumen.9. 3 280 veces 11. 57,66 cm aprox.13. 45196039,84 entre el año 34 y 3515. 58,0335 aproximadamente
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS, PÁGINA 2631. Rotulando con 1, la primera dosis recomendada, que es,1 mg, con 2 la segunda, que es mg el peso del niño estará dada por an � 11n � 113. Si; w � 22c; w: peso, c: cantidad suministrada.
5. mg 7. 233 9. No25�27
11�4
7. 31�310�0�; 3 100�3
10� 9. 15; 75; 375;
11. ; ; ; 13. ; ; 7�54
7�18
7�6
64�405
32�135
16�45
8�15
15. 12; 24; 48; 96; 192; 384; 768 17. Falso 19. Verdadero
© S
AN
TILL
AN
A
16
RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES
49.
51. e 53. g 55. f 57. d 59. F 61. F 63. F
71.
65. 67. 69.
77. B
Números � � � Imaginario puro �
�9 ✘ ✘ ✘
4 � 0i ✘ ✘ ✘
����2� ✘ ✘
3 � 7i ✘
�8 � �3� ✘ ✘ ✘
(9 ����9�) ✘
4i
5i
3i
2i
6i
1 2 3
i
1 4
+5i
�1�2
�2i
�3i
�4i
�5i
1 2
�i
�i
i
1 2 383
�i
�1
�1�i
1 2 3
�i
�2i5 3i2 2� 1i
�1 1�2�3�4�5�6
2i
3i
4i
3i � 6
UNIDAD 9
ACTIVIDADES 1. Página 270
1. 3i 3. �5i 5. � i 7. �7i 9. 10i 11. 4�10�i�7
60�7
43. (�8 � �2�, �5 � �3�) 45. � , 8�4�3 47. � ��2�,� �3
�44
�5
71. 73. 75.
15. b � �4i 17. a � ��2�i 19. 1 21. �i 23. i25. i si k es par; �i si k es impar 27. 1
29. 16 31. 6 � 32i 33. �4 � i 35. 5i 37. 0 39. 1 � i41. 4 parte real, �7 parte imaginaria, (4, �7)
13. m � ��2�
1. �2 � 2i 3. 11 � 5i 5. �5 � 7i 7. �15 � 22iACTIVIDADES 2. Página 273
3 � 2i �28 � 9i 10 � 2i
45. �20 � 8i 18 � 3i �13 � 4i2 � i �5 � 3i �12 � 7i3 � 2i �28 � 9i 10 � 2i
� i1�3
43�12 � �
3i�2
25�2
� , ��2
�2
9. � � i 49�6
5�3
17. �7 � 6i 19. �5 � 8i 21. 23.
31. (��7�, �1) 33.
11. �6 � 7i 13. �4 � 8i 15. 4 � 9i
25. z � �6�3� � 17i 27. z � 29. (6, �3) � i1�10
17�24
47. �10�1�49. �17�51. 5
i
1. 23 � 14i 3. �5 � 40i
ACTIVIDADES 3. Página 277 y 278
5. 10 7. � � i21�41
25�41
9. � i 11. � � i 131�140
11�35
37�3
983�24
13. �12 � 36i 15. �15 � 15i
17.
19.
� 3 � 2i 1 � 4i 4 � 2i 1 � i
2 � 3i �13i 14 � 5i 2 � 16i �1 � 5i
4 � i 14 � 5i 7i 18 � 4i 5 � 3i
21. (9, 8) 23. (4, �6) 25. � , � 27. � i
29. � i 24�29
27�29
1�17
30�17
3�2
5�2
49. � � i 51. Respuesta libre12�13
5�13
0
300º
2
9.
5. 7.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 278
1. C y H 3. A y F 5. 0 7. Respuesta libre
LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRASCIENCIAS, PÁGINAS 279 Y 280
1. Respuesta libre 3. Respuesta libre
0
4
70º
0
150º
5
31. � i17�4
7�4 33. � � i3
�1712�17
39. � i 1�3
41. � � i� 25�41
20�41 43. 0,6 � 0,8i
35. 2 � i 37. � i 2�2��3
1�3
35. 4 � �3�i 37. 11 � 5i
39. 9 � 7i 41. 3i 43. � i68�15
25�12
45. � i�5��5
�2��5
47. �2
MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 27/03/12 02:35 p.m. Página 1
MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 2
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3
Tabla de contenido
UNIDAD
1Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Tema 1. Experimentos aleatorios, espacios muestrales y eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Experimentos aleatorios y espaciosmuestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Tema 2. Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Principio de multiplicación . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Combinatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Tema 3. Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Tema 4. Probabilidad y conjuntos. . . . . . . . . . . . . . 20
4.1. Operaciones entre conjuntos y eventos . . . . 204.2. Algunas propiedades de la probabilidad . . . . 20
Tema 5. Probabilidad y tablas de contingencia . . 23Tema 6. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . 26Tema 7. Triangulo de Tartaglia. . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.1. Triangulos de Tartaglia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Probales resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
UNIDAD
2Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tema 1. Función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.1. Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2. Dominio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3. Rango de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas
y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Tema 2. Representación de funciones . . . . . . . . 41
2.1 Representación de funciones. . . . . . . . . . . . . 412.2. Funciones crecientes y funciones
decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3. Funciones pares y funciones impares. . . . . . 442.4. Funciones periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.5. Función inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tema 3. Función de variable real . . . . . . . . . . . . . . 493.1. Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2. Función afín. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3. Función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Función cúbica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Tema 4. Función definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 534.1. Función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2. Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Puentes colgantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Relación entre solubilidad y temperatura . . . . . . . . . . . . 57
UNIDAD
3 Función exponencialy función logarítmica . . . . . . 59
Tema 1. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.2. Análisis gráfica de las funciones
exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.3. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tema 2. Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1. Concepto de logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2. Definición de función logarítmica. . . . . . . . . 662.3. Análisis gráfico de la función logarítmica. . . 662.4. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . 702.5. Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicas. . . . . . . 72
Crecimientos y decrecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
UNIDAD
4Funciones trigonométricas I . . . . 77
Tema 1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.1. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781.2. Ángulos sobre el plano cartesiano. . . . . . . . . 781.3. Medición de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791.4. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811.5. Velocidad angular y velocidad lineal . . . . . . . 811.6. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Tras las huellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Comparaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Tema 2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . 88
2.1. Definición de las funciones trigonométricasde un ángulo en posición normal . . . . . . . . . 88
2.2. Signo de las funciones trigonométricas deun ángulo en posición normal . . . . . . . . . . . 90
2.3. Funciones trigonométricas de los ánguloscuadrantales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 3
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Tabla de contenido
4
Tema 3. Relaciones trigonométricas enel triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.1. Razones trigonométricas en un triángulorectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2. Razones trigonométricas para 30º, 45ºy 60º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3. Ángulos complementarios . . . . . . . . . . . . . . . 99Tema 4. Reducción de ángulos
al primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1. Ángulos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2. Funciones trigonométricas de ángulos
coterminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3. Valor numérico de expresiones que
involucran funciones trigonométricas. . . . . 103Tema 5. Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . 105
Distancia a la Tierra desde una nave espacial . . . . . . . . 106Ley de Snell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4. Función arcocotangente. . . . . . . . . . . . . . . . 1394.5. Función arcosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6. Función arcosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.7. Uso de la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.8. Operaciones con funciones
trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . 144
El corazón trigonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
UNIDAD
5Funciones trigonométricas II . . 109
Tema 1. La circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . . 1101.1. Definición de circunferencia unitaria . . . . . 1101.2. Funciones trigonométricas definidas
en la circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . . 1101.3. Líneas trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Tema 2. Gráficas de las funcionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.1. Gráfica de la función seno (y � sen x) . . . . 1152.2. Gráfica de la función coseno (y � cos x). . . 1162.3. Gráfica de la función tangente (y � tan x) . 1192.4. Gráfica de la función cotangente
(y � cot x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.5. Gráfica de la función secante. (y � sec x). . 1222.6. Gráfica de la función cosecante. (y � csc x) . 123
Tema 3. Análisis y elaboración de gráficas . . . . 1253.1. Traslación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2. Reflexión de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.3. Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.4. Período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5. Desfase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
La matemática del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Tema 4. Funciones trigonométricas inversas . . . 137
4.1. Función arcoseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1374.2. Función arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.3. Función arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
UNIDAD
6 Aplicaciones de las funcionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . 151
Tema 1. Resolución de triángulos rectángulos . . 1521.1. Resolución de triángulos rectángulos . . . . . 1521.2. Ángulos de elevación y de depresión . . . . . 155
Tema 2. Resolución de triángulosoblicuángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.1. Teorema o ley del seno . . . . . . . . . . . . . . . . 1592.2. Teorema o ley del coseno . . . . . . . . . . . . . . 1662.3. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Tema 3. Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.1. Componentes de un vector . . . . . . . . . . . . . 172 3.2. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733.3. Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.4. Vector fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Los satélites artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
UNIDAD
7Trigonometría analítica . . . 179
Tema 1. Estudio algebraico de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.1. Operaciones algebraicas con funcionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
1.2. Factorización de expresiones con funcionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
1.3. Simplificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Tema 2. Identidades trigonométricas I. . . . . . . . . 189
2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1892.2. Identidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . 1902.3. Formas de expresar una función
trigonométrica en términos delas otras cinco funciones . . . . . . . . . . . . . . . 193
MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 4
Tabla de contenido©
SA
NTI
LLA
NA
5
2.4. Simplificación de expresionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Tema 3. Identidades trigonométricas II . . . . . . . . 1983.1. Demostración de una identidad . . . . . . . . . 1983.2. Identidades para la suma y la diferencia
de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.3. Identidades para ángulos dobles y ángulos
medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Identidades que simplifican la ciencia . . . . . . . . . . . . . . 217Tema 4. Ecuaciones trigonométricas. . . . . . . . . . . 219
4.1. Ideas preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194.2. Ecuaciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . 2214.3. Ecuaciones trigonométricas
con identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.4. Ecuaciones trigonométricas con identidades
para ángulos dobles y ángulos medios . . . . 2284.5. Ecuaciones trigonométricas con funciones
inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
La naturaleza trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
UNIDAD
8 Sucesiones y progresiones . . . . . . . . . . . . . 237
Tema 1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2381.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Tema 2. Notación Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 2402.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2402.2. Propiedades de la sumatoria . . . . . . . . . . . . 2412.3. Suma de los n-términos en una sucesión . . 242
Tema 3. Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2443.1. Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . 2443.2. Suma de los términos de una progresión
aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2483.3. Interpolación de medios aritméticos. . . . . . 2493.4. Problemas de aplicación de progresiones
geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2513.5. Progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . 2543.6. Suma de los términos de una progresión
geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2583.7. Interpolación de medios geométricos . . . . . 2593.8. Problemas de aplicación de
las progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . 261
La automedicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
UNIDAD
9Números complejos . . . . . . . 265
Tema 1. Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2661.1. Potencia de i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2671.2. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2681.3. Representación gráfica de los números
complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2691.4. Conjugado y norma de un número
complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269Tema 2. Operaciones con números complejos . . 272
2.1. Adición de números complejos . . . . . . . . . . 2722.2. Sustracción de números complejos . . . . . . . 2722.3. Multiplicación de números complejos . . . . 2742.4. División de números complejos . . . . . . . . . 276
Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Los complejos y la realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
UNIDAD
10 Jugos con números y figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Tema 1. Criptoaritméticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Tema 2. Razonamiento abstracto . . . . . . . . . . . . . . 287
2.1. Razonamiento abstracto usandorotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
2.2. Razonamiento abstracto usandotraslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
2.3. Razonamiento abstracto sobre matrices . . . 288
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294Fuentes Consultadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
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El desarrollo del libro Matemática 1 para 1er año de Educación Media Diversificaday Profesional es el resultado de una reflexión pedagógica que presenta los temas relacio-nados con los bloques de contenidos: sistemas numéricos, geometría, medidas, probabilidady estadística y álgebra, relacionándolos con la vida cotidiana.
La metodología de trabajo se plantea de la siguiente manera:
• Un desarrollo del concepto,en el cual se destacan lasdefiniciones más relevantesy se plantean ejercicios re-sueltos.
• Una propuesta de activida-des que busca formalizar enlos estudiantes el desarrollode las habilidades de razo-namiento, modelación, aná-lisis, interpretación y argu-mentación.
• Una selección de activi-dades que muestra la mate-mática como herramientapara otras ciencias.
• Un programa de soluciónde problemas que proponediferentes estrategias paraanalizar y solucionar unproblema.
• Una preparación para prue-bas a nivel superior quebusca fortalecer el desarro-llo de competencias y practi-car el manejo de las pruebascon respuesta única y conmúltiple respuesta válida.
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Matemática 1
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1 .2 .3 .4 .5 .6 .
EXPERIMENTOS ALEATORIOS,ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS.
CONTEO.
PROBABILIDAD.
PROBABILIDAD Y CONJUNTOS.
PROBABILIDAD Y TABLASDE CONTINGENCIA.
PROBABILIDAD CONDICIONAL.
Dos equipos de béisbol tienen la misma capacidad y juegan el uno contrael otro una serie de cuatro juegos. Se registra el resultado de cada juego.¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de loscuatro juegos?
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 319
1UNIDAD
• PROBABLES RESULTADOS.
TEMAS
Probabilidad
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EXPERIMENTOSALEATORIOS, ESPACIOSMUESTRALESY EVENTOS
1 En el lenguaje cotidiano se escuchan expresiones que hacen referencia a la pro-babilidad: “qué probabilidad hay de ganarse el premio de la rifa”, “hay una granprobabilidad que hoy no llueva en la carrera de automovilismo”, “es muy pro-bable que apruebe el curso de matemáticas”.
Se habla de probabilidad cuando en un evento intervienen procesos físicos, biológi-cos o sociales que generan observaciones, y cuyo resultado no es posible predecir conexactitud.
La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados deuna situación en la cual están presentes la incertidumbre o la aleatoriedad.
Para llegar a una idea clara de probabilidad, es necesario definir los conceptosmostrados a continuación.
1.1. Experimentos aleatorios y espacios muestralesUn experimento aleatorio es cualquier acción o proceso del que no se tiene certe-za de su resultado final, hasta tanto no se ejecute.
Por ejemplo, si se desea formar un equipo de voleibol con cinco jugadores, elnombre de los seleccionados no se sabrá con certeza hasta que no se realicenlas pruebas correspondientes y se elija a los cinco deportistas. Se puede cono-cer la lista de todos los deportistas inscritos, pero no la lista de los escogidos.
El espacio muestral de un experimento aleatorio, denotado como S, es el conjuntode todos los posibles resultados al realizar el experimento.
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
Hallar el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos.a. El padre de un bebe próximo a nacer quiere que su hijo se llame Juan, Camilo o
Felipe. La madre, por su parte, pretende que se llame Andrés o Pablo. Para queambos queden felices deciden combinar los nombres propuestos, considerando queprimero irá el del padre y, luego, el de la madre. ¿De cuántas formas distintas sepuede proponer un nombre para el nuevo bebé?
b. Los candidatos para formar la nueva junta del consejo comunal son Carlos, Josefa,Elías y Marina. Se requiere que la junta esté compuesta por un presidente y unsecretario. ¿De cuántas formas se puede formar esta junta?
SOLUCIÓN
a. El espacio muestral serán todas las combinaciones que se puedan armar con lostres nombres que propone el padre y los dos que propone la madre; se debe teneren cuenta que primero irá el del padre y, luego, el de la madre. Por lo tanto,
S � {Juan Andrés, Juan Pablo, Camilo Andrés, Camilo Pablo, Felipe Andrés,Felipe Pablo}
b. Sean: C: Carlos, J: Josefa, E: Elías y M: Marina.En el espacio, se debe considerar el orden en que se escoja la junta.
No es lo mismo ser el secretario que el presidente. Por tanto, el espacio muestral es:
S � {(C, J), (J, C), (C, E), (E, C), (C, M), (M, C),(J, E), (E, J), (J, M), (M, J), (E, M), (M, E)}
Ejercicio resuelto
El espacio muestral de un expe-rimento aleatorio es el conjuntouniversal de la situación.
RECORDAR QUE
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1.2. Eventos
Un evento es un subconjunto del espacio muestral, se nota con la letra E. Cada uno de los elementos del espacio muestral se considera un evento.
• Ya que los eventos son conjun-tos, se pueden considerar lasoperaciones, unión, intersec-ción y complemento de uno omás eventos.
• Un evento simple es un subcon-junto unitario del espacio mues-tral.
Espacio muestral del experimentorelacionado con el juego debaloncesto.
S � {AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}
RECORDAR QUE
ALGO IMPORTANTEEn muchas ocasiones es necesarioasociar a cada evento un enuncia-do verbal, de acuerdo con el con-texto del problema.
Ejercicio resuelto1. Dos equipos de básquet masculino, en este caso A y B, deben jugar unaserie de tres partidos para determinar el campeón del año.a. Hallar el espacio muestral de este experimento aleatorio.b. Escribir los elementos del evento que consiste en que el equipo A gane sólo los
dos primeros partidos.
c. Escribir los elementos del espacio muestral que consiste en que el equipo Bgane los tres juegos.
d. Si la serie la gana aquel equipo que venza en dos de los tres juegos, escribir loselementos del evento que consiste en que se conozca el campeón de la seriedespués de dos juegos.
SOLUCIÓN
a. Los elementos del espacio muestral serán ternas en las cuales cada componenterepresenta el equipo que ganó ese juego. Por ejemplo, el elemento AAB significaque el equipo A ganó los dos primeros juegos y el equipo B ganó el tercer juego.El espacio muestral se muestra al lado.
b. Sea A el evento que consiste en que el equipo A gane sólo los dos primeros parti-dos, entonces, A � {AAB}
c. Sea B el evento que consiste en que el equipo B gane los tres juegos. EntoncesB � {BBB}.
d. Para que la final dure dos juegos es necesario que alguno de los dos equipos ganelos dos primeros juegos. Así, C � {AAB, BBA, AAA, BBB}.
2. Un científico tiene que probar un nuevo medicamento para determinar sigenerará o no una reacción alérgica en el paciente que lo consume. Les apli-ca a cuatro pacientes el medicamento y anota S, si presentó alergia, y N sino lo hizo.a. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio.b. Escribir los elementos del evento M que consiste en que al menos 2 de los cua-
tro pacientes presentaron alergia al medicamento.
c. Escribir los elementos del evento N que consiste en que máximo uno de los cua-tro pacientes presentó alergia.
SOLUCIÓN
a. El espacio muestral está formado por todas las posibles combinaciones de S y Nentre cuatro pacientes:
S � {SSSS, SSSN, SSNS, SNSS, NSSS, SSNN, SNSN, NSNS, NNSS, SNNS, NSSN, SNNN, NSNN, NNSN, NNNS, NNNN}
b. Los elementos del evento M son:
M � {SSSS, SSSN, SSNS, SNSS, NSSS, SSNN, SNSN, NSNS, NNSS, SNNS, NSSN}
c. Los elementos del evento N son: N � {SNNN, NSNN, NNSN, NNNS, NNNN}
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CONTEO2 En muchos experimentos aleatorios, el espacio muestral resulta numeroso y enocasiones es muy costoso escribir cada uno de sus elementos. Además, en granparte del estudio de la probabilidad interesa el número de elementos del espa-cio muestral y no específicamente los elementos.
Por esta razón, es necesario determinar algunas herramientas o criterios que per-mitan encontrar el número de elementos del espacio, teniendo en cuenta lascaracterísticas del experimento.
Para determinar cada uno de los criterios se usan los conceptos de población ymuestra; además, se determinan dos conceptos más, que son el orden y la repe-tición en la muestra.
Por ejemplo, a la final del torneo femenino intercolegiado de gimnasia clasifi-caron Martha, Lucía, Elena y Karina. Si se otorgan medallas de oro, plata y bron-ce, se pueden considerar dos aspectos al momento de la entrega de medallas.
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
EJERCITACIÓN. Para cada uno de los siguientes experimentosaleatorios escribir el espacio muestral correspondiente.
1. Carlos, Juana y Felipe com-piten en la final del concursode ortografía del liceo.
¿De cuántas formas puede fina-lizar este concurso?
2. La maestra de castellano darápara el primer puesto una medalla y un bono; para el segun-do lugar sólo un diploma. ¿De cuántas formas pueden ocu-par los dos primeros lugares?
3. Para la situación anterior del concurso de ortografía, sise da una mención al tercer lugar y se sabe que Carlos noganó el concurso, ¿de cuántas formas se pueden asignar lospremios?
4. Si se tiene un grupo de cartas formado por una reina, unrey, un caballero y dos ases, ¿de cuántas formas se puedenseleccionar dos cartas?
Para el caso anterior de las cartas:
5. Escribir el evento que consiste en que, por lo menos, unade las dos cartas sea un as.
6. Escribir los elementos del evento que consiste en quealguna de las dos cartas seleccionadas sea una reina.
7. Escribir los elementos del evento que consiste en que entrelas dos cartas seleccionadas no haya ni un rey ni un as.
8. Si se escogen tres cartas, ¿cuál es el nuevo espacio muestral?
PROBLEMA. Martín y Ana juegan con dos dados. El juego con-siste en que si al lanzar los dados el resultado es menor que7, se vuelven a lanzar.
Si el resultado es siete, el jugador gana la apuesta. Si al lan-zar nuevamente el resultado son pares, el jugador gana; delo contrario, pierde.
9. Escribir los elementos del evento que consiste en quealguno de los dos jugadores gane con un solo lanzamiento.
10. Escribir los elementos del evento que consiste en quealguno de los dos jugadores gane con los dos lanzamientos.
11. Escribir los elementos del evento que consiste en perderla apuesta.
PROBLEMA. Se lanza una moneda al aire cuatroveces y se anota el resultado cada vez.
12. Escribir el espacio muestral del experi-mento.
13. Determinar el evento que consiste enobtener por lo menos dos caras en los tresprimeros resultados.
14. Determinar el evento que consiste enobtener dos resultados consecutivos iguales.
PROBLEMA. Si se lanzan dos monedas y un dado, y se anotanlos resultados,
15. Construir el espacio muestral.
16. ¿Qué resultados están incluidos en el evento M: lasmonedas salgan cara y el dado un número impar?
17. ¿Qué resultados están incluidos en el evento T: el resul-tado del dado es un número primo?
18. ¿Qué resultados están incluidos en el evento S: el resul-tado de las monedas es sello y el del dado es menor que 3?
ACTIVIDADES 1
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La población son las cuatro finalistas; la muestra serán las tres que obtienenmedalla. Sin embargo, para la selección es posible considerar dos aspectos:
• Para cada una de las cuatro gimnastas importa el orden, ya que cada unaobtendrá una medalla diferente. Luego, existe el orden. En el caso que la prue-ba no sea la final sino una prueba clasificatoria en la cual las dos primeras gim-nastas pasarán a la ronda siguiente, no se considera el orden, ya que aunquese logre el primero o el segundo lugar, las dos clasificarán.
• Cada una de las atletas ganará una y sólo una medalla. Es decir, si es prime-ra ganará la medalla de oro y ninguna otra. En este caso, no existe repetición.
El manejo de estos dos criterios determina el buen uso de las herramientas queayudan a determinar el número de elementos del espacio muestral.
Una vez se han aclarado estos dos conceptos, se pueden determinar tres tiposde técnicas de contar: el principio de la multiplicación, las permutaciones y fac-toriales, y las combinaciones.
2.1. Principio de multiplicaciónEn este caso se considera una población determinada, representada por N, y parala escogencia de la muestra, que se simboliza n, se tienen en cuenta el orden yla repetición.
Si se toma una muestra de n elementos, en la cual para cada elemento se con-sideran los N elementos de la población, entonces el tamaño del espacio mues-tral es Nn.
#(S) � Nn
El principio es igualmente válido para encontrar el número de elementos de unevento en el cual se tiene en cuenta el orden y la repetición, basta con consi-derar de manera adecuada las condiciones propuestas.
El principio de multiplicación se puede aplicar en casos en los que se tienenpoblaciones distintas y la muestra se debe tomar considerando elementos decada una de las poblaciones.
ALGO IMPORTANTEEn cada experimento aleatorio esnecesario determinar si existe elorden y la repetición, para poderseleccionar la técnica correcta quese debe aplicar.
Un programador de computadores está escribiendo un nuevo programa que lepermite construir aleatoriamente un número para los billetes de la lotería.Este número consta de cuatro cifras y una serie de dos dígitos.¿Cuántos posibles números tiene que considerar el programa para construirun número de la lotería?
SOLUCIÓN
Para conformar el número existe repetición, ya que este puede estar formado por cua-tro dígitos iguales. Por ejemplo 2 233 es un número posible. Así mismo, existe el ordenen el número, ya que 4 333 es diferente de 3 343.
Para conformar el primer número se tienen 10 posibilidades, correspondientes a losdígitos, y la población es 10. Además, el número está formado por seis dígitos, luegola muestra es 6. Entonces:
#(S) � 106 � 1 000 000Existe 1 000 000 de posibles billetes de lotería distintos.
Ejercicio resuelto
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Una opción alterna para aplicar el principio de multiplicación corresponde a unarepresentación gráfica en forma de árbol en la cual cada ramificación se cons-truye de acuerdo con un elemento de la muestra. Si la muestra contiene dos ele-mentos, entonces, el diagrama tendrá dos ramificaciones y así sucesivamente.
2.2. PermutacionesPara considerar la técnica de la permutación, es necesario definir la operaciónfactorial. El operador factorial se define sobre los números naturales incluyen-do el cero. Su símbolo es “!”.
El factorial de un número se define como el producto del número con todos susnaturales anteriores a él hasta 1. Es decir,
n! n(n 1)(n 2) … 2 1
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
Figura 1
Una agencia de viajes ofrece un programa turístico de 3 días. Para el primerdía ofrece paseo por la ciudad o una caminata por la sabana. Para el segundodía, visita a museos, tour por el centro de la ciudad o cabalgata por los alre-dedores del casco colonial. Para el tercer día se ofrece un tour nocturno porlos bares del centro o una visita a la casa de poesía de la ciudad. El tiempo quese requiere en cada actividad hace que el viajero pueda escoger solamente unaactividad por día. ¿Cuántas opciones distintas tiene un viajero para aprovecharsus días de permanencia en la ciudad?
SOLUCIÓN
En este caso se dispone de tres poblaciones distintas: una para el primer día con doselementos, otra para el segundo día con tres elementos y finalmente una poblacióncon dos elementos, correspondientes al tercer día.
El principio de multiplicación se aplica así:
Hay 12 posibilidades distintas de conformar un plan turístico.
Ejercicio resuelto
En una corporación de ahorro y vivienda se toma una muestra de tres crédi-tos hipotecarios. Cada crédito está clasificado como de tasa fija (F) o de tasavariable (V). Elaborar un diagrama de árbol para determinar el espacio mues-tral del experimento.
SOLUCIÓN
Para la primera hipoteca se tienen dos posibilidades, V o F. Para la segunda hipotecahay dos posibilidades, por lo cual, de cada una de las anteriores se representan dosposibilidades más. Para la tercera hipoteca se sigue el proceso de forma similar.
El diagrama de árbol correspondiente se muestra en la figura 1.
Cada una de las ramas corresponde a uno de los elementos del espacio muestral. Porejemplo, la primera rama corresponde a VVV, lo cual significa que las tres hipotecasson de tasa variable. La segunda rama corresponde a VVF, lo cual significa que las dosprimeras hipotecas son de tasa variable y la tercera es de tasa fija.
Ejercicio resueltoV
F
V
F
V
F
V
FF
V
F
F
V
V
Día 1 Día 2 Día 3
2 rutas 3 rutas 2 rutas 2 3 2 12
ALGO IMPORTANTEEl único numero natural que seexcluye de esta regla es el cero(por no tener ningun natural ante-rior a él). En caso se esta-blece elfactorial de cero así: 0! 1
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La permutación es una operación que sirve para encontrar el número de ele-mentos del espacio muestral, cuando al seleccionar la muestra se considera elorden pero no la repetición.
Así, para escoger el primer elemento de una muestra de n elementos se tienenN posibilidades; para escoger el segundo elemento de la misma muestra se tie-nen N � 1 posibilidades, pues no hay repetición; para escoger el tercer elementode la muestra se tienen N � 2 posibilidades, y así sucesivamente.
Luego, el tamaño del espacio muestral está determinado por:
ALGO IMPORTANTECuando la muestra que se toma esigual al tamaño de la población, lapermutación que se obtiene es eloperador factorial de la muestra.
NPN �
�
�
� N!
N!�1
N!�0!
N!��(N � N)!
1. Un psicólogo le pide a uno de los niños que va a evaluar, que construya unnúmero de tres cifras, sin repetir ningún dígito.a. ¿De cuántas formas se puede construir el número?b. Si al niño se le dan fichas con los números de 1 a 6, una de cada una, y se le
pide que conforme un número de tres cifras, ¿de cuántas formas lo puedehacer?
SOLUCIÓN
a. Para el caso en que se construya un número de 3 cifras, la población para la pri-mera cifra es de 10 dígitos, para conformar la segunda cifra se tienen 9 disponiblesy para el último dígito se tienen 8 posibilidades. La población es de 10, la muestraes de 3. No hay repetición, pero sí existe orden.
Luego, #(S) � 10P3 � � � 720
Es decir, se pueden formar 720 números de 3 cifras sin que se repitan dígitos.
b. Para el segundo caso, la población es 6 y la muestra 3. Es decir que:
#(S) � 6P3 � � � 120
Existen 120 posibilidades de conformar un número de 3 cifras con 6 dígitos sinrepetir ninguno.
2. Un grupo de cinco amigos desean sentarse en una fila de cinco asientos, aobservar la lluvia de estrellas en el planetario de la ciudad. ¿De cuántas for-mas distintas se pueden sentar estas personas?
SOLUCIÓN
En esta situación se tiene en cuenta el orden en el que se cada persona se va a sentaren las sillas. Además, ninguna persona puede ocupar dos sillas; por tanto, no hay repe-tición.
La población es de 5 amigos y la muestra será de 5 sillas. Luego, el número de ele-mentos del espacio muestral es:
#(S) � 5P5 � � � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 120
Cinco personas pueden sentarse de 120 formas distintas en cinco sillas.
5!�0!
5!��(5 � 5)!
6 � 5 � 4 � 3!��
3!6!
��(6 � 3)!
10 � 9 � 8 � 7!��
7!
10!��(10 � 3)!
Ejercicio resueltoALGO IMPORTANTECuando la muestra que se toma esdiferente al tamaño de la pobla-ción, es decir, N � n a la permu-tación la llamamos variación.
#(S) � NPn �N!
��(N � n)!
donde, N! � N(N � 1)(N � 2) … 2 � 1 y nPN es la permutación de N en n. En elcaso que N � n, entonces la permutación nPN � N!.
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2.3. Combinatorias o combinación
Si se quiere tomar una muestra de n elementos y no interesa ni el orden ni la repe-tición, el tamaño del espacio muestral será:
#(S) N!
(N n)! n!Nn
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
ALGO IMPORTANTE
La expresión se llama combi-
natoria de N en n.La combinatoria es una operaciónque sirve para encontrar el númerode elementos del espacio muestral,cuando al seleccionar la muestra nose considera el orden ni la repe-tición.
N
3. A la semifinal del torneo suramericano de fútbol clasificaron seis equipos:Argentina, Brasil, Ecuador, Colombia, Chile y Venezuela.a. ¿De cuántas formas se pueden obtener campeón y subcampeón?
b. Encontrar el número de elementos del evento que consiste en que Argentinano es campeón.
c. Encontrar el número de elementos del evento que consiste en que Colombiano queda entre los dos primeros.
SOLUCIÓN
a. Para encontrar el número de elementos del espacio muestral se considera que lapoblación es de 6 equipos, y la muestra es de dos (campeón y subcampeón). Existeorden, ya que no es igual ser campeón que ser subcampeón; además, no hay repe-tición. Por tanto,
#(S) 6P2 6 5 30
b. Para que Argentina no sea campeón se tendrán 2 permutaciones: una para unapoblación de 5 equipos y una muestra de 1, y otra para una población de 5 y unamuestra de 1. Luego,
#(A) 5P1 5P1
225
c. Para que Colombia no quede entre los dos primeros, se toman 2 permutaciones:una para una población de 4 equipos y una muestra de 2, y la otra para una pobla-ción de 4 equipos y una muestra de 0. Luego,
#(A) 5P2 5 4 205 4 3!
3!
5!
(5 2)!
5!
(5 1)!
6 5 4!
4!
6!
(6 2)!
Ocho jugadores del equipo de básquet del curso cuarto A se presentan a jugarun partido del campeonato y el capitán debe conformar el equipo que inicia-rá jugando. Si cada uno de los jugadores tiene la capacidad de desenvolversede la misma forma en cualquier posición que se ubique, ¿cuántos equipos dis-tintos de 5 miembros puede conformar el capitán con los 8 jugadores?
SOLUCIÓN
En este experimento aleatorio no hay repetición, ya que un jugador no puede estaren dos posiciones al mismo tiempo; además, no interesa el orden en que se seleccio-ne el equipo. Por ello, si N 8 y n 5, entonces
#(S) 56
En conclusión, es posible formar 56 equipos distintos de 5 jugadores entre los 8 quese presentaron al partido.
8
5
8!
(8 5)!5!
8 7 6 5!
(3 2 1)5!
Ejercicio resuelto
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La combinatoria es una operación que se utiliza cuando se habla de desarro-llos binomiales de (a � b)n.
Al resolver cada una de las combinatorias se encuentra el coeficiente binomialde la n-ésima potencia de un binomio. Por ejemplo, el segundo coeficiente bino-mial de (a � b)3, es
� � � � � 3.
Las combinatorias también se utilizan para calcular el número de elementos deun evento determinado.
3 � 2 � 1�(2 � 1)1
3!��(3 � 1)!1!
31
ALGO IMPORTANTEUna forma de expresar el triángulode Pascal en términos de combina-torias es la siguiente:
Juan, Camila, Hernando y Luisa se postularon para conformar el comité dedisciplina del curso. El director de grupo debe escoger solamente a 2 de ellos.a. ¿Cuántas parejas distintas se pueden conformar con los 4 candidatos?b. ¿De cuántas maneras se puede conformar el comité si el director decide que debe
haber un hombre y una mujer?
SOLUCIÓN
En el experimento no se considera ni el orden ni la repetición, ya que las dos perso-nas elegidas son distintas y conformarán el mismo comité.
a. Se tiene que N � 4 y n � 2, entonces #(S) � � � � � 6.
b. Para que haya un hombre y una mujer, de los dos hombres se debe escoger uno,e igual para las mujeres. Luego
#(E) � � �� � � 2� � � 42!
��(2 � 1)!1!
2
1
2
1
4!��(4 � 2)!2!
4
2
Ejercicio resuelto
EJERCITACIÓN. Resolver cada una de las siguientes operacio-nes.
1. 3P2 2. � �
3. � � � �2P4 � � �� 4.
PROBLEMA. Las placas de una motocicleta están conformadaspor tres letras y dos números.
5. ¿Cuántas placas distintas se pueden conformar?
6. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se quiere que lasletras sean distintas?
7. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se busca que losnúmeros sean distintos?
8. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se quiere que losnúmeros y las letras sean distintas?
��63�� � 3P3
��
��31��
4
2
5
2
3
2
9. Si el alcalde de la ciudad establece que las placas de unamotocicleta matriculada en Caracas deben tener como pri-mera letra la B, ¿cuántas placas se pueden conformar?
PROBLEMA. Una nueva sede del TribunalSupremo de Justicia se va a entregar enlos próximos días. El edificio cuentacon 12 oficinas para asignarlas a 9 delos magistrados de la corte.
10. ¿De cuántas formas se pueden asig-nar las oficinas a los nueve magistrados?
11. Si se ha destinado la oficina más grande para el presi-dente y la siguiente más grande para el vicepresidente, y silas demás oficinas son iguales, ¿de cuántas formas se puedeefectuar la asignación?
12. Si al momento de la entrega de la nueva sede están lis-tas solamente cinco oficinas y se decide que ocho magis-trados deben compartir cuatro de ellas, ¿de cuántas formases posible hacer la asignación?
ACTIVIDADES 2
� �00
... � � � � ...3
1
3
2
� � � � � �2
0
2
1
2
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16
Cuando se cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un evento, teniendo encuenta el espacio muestral, se dice que se está calculando su probabilidad.
Dado un experimento aleatorio y considerado un evento E, se tiene que la probabi-lidad de ocurrencia de E, notada P(E) es:
P(E)
A partir de esta definición es posible plantear las siguientes afirmaciones sobrela probabilidad:
• El valor de P(E) siempre es menor o igual que 1.
Dado que el número de elementos del espacio muestral es mayor que el nú-mero de elementos de cualquier evento, se puede afirmar que el cociente
es menor o igual que 1.#(E)#(S)
#(E)
#(S)
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
PROBLEMA. A un niño en edad preescolar se le aplica unaprueba de aptitud que consiste en formar un número dedos cifras con cuatro fichas, numeradas de 1 a 4.
13. ¿De cuántas formas se puede conformar un número dedos cifras con cuatro números disponibles?
14. Si al niño solamente le han enseñado los números de 1 a 29, ¿de cuántas formas puede conformarlo?
15. Si el niño conoce solamente los números de 1 a 19, ¿decuántas formas puede conformarlo?
PROBLEMA. El consejo de profesores de un colegio tiene unrepresentante de cada departamento: español, matemá-ticas, sociales, inglés, ciencias, artes y educación física. Sereúnen y deben elegir un presidente y un secretario. Sicada uno de los miembros del consejo está en capacidad deocupar cualquier cargo,
16. ¿De cuántas formas se puede seleccionar presidente ysecretario del consejo?
17. ¿De cuántas formas se puede seleccionar presidente,vicepresidente y secretario?
18. Si se seleccionan dos candidatos para presidente, ¿decuántas formas pueden escogerse?
19. Si se sabe que el presidente debe ser del departamentode matemáticas o de ciencias, ¿de cuántas formas se puedeseleccionar presidente y secretario?
20. Si para el cargo de presidente y secretario se debe ele-gir un suplente, ¿de cuántas formas es posible elegir estosdos cargos con sus suplentes?
PROBLEMA. Una aerolínea tiene tres vuelos diarios deCaracas a Bogotá: mañana, tarde y noche. Ofrece ademásdos vuelos diarios de Caracas a Miami: tarde y noche. Si losvuelos se hacen en días separados:
21. Elaborar un diagramade árbol para determinarcuántas formas diferentespuede ofrecer la aerolíneapara ir de Caracas a Miami.
22. Si a la persona que viajano le gusta hacerlo de no-che, ¿de cuántas formasdistintas la aerolínea puede ofrecerle el viaje?
23. Si la aerolínea ofrece además un viaje de Miami aMadrid en cinco horarios diferentes, ¿de cuántas formas sepuede ir de Caracas a Madrid?
PROBLEMA. Un agricultor quiere sembrar cuatro variedadesdistintas de fresas. Para tal fin, dispone de siete surcos, laúnica condición que tiene es que no se puede sembrar unamisma variedad en dos surcos seguidos.
24. ¿De cuántas formas se puede llevar a cabo esta siembra?
25. Si la semilla de una de las variedades de fresa no llegópara la siembra, ¿es posible hacer esta asignación sin que lamisma variedad quede en dos surcos seguidos?
26. Si las semillas uno y dos se siembran en los surcos unoy tres, ¿de cuántas formas se puede realizar la siembra delas demás semillas?
27. Si no es importante que se siembren seguidas o no lassemillas, ¿de cuántas formas podría realizarse esta siembra?
PROBLEMA. Una persona juega con una baraja de 52 cartas. Sele pide que escoja una de ellas:
28. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
29. Si se le pide que escoja dos de ellas, ¿de cuántas formaspuede hacerlo?
PROBABILIDAD3
ALGO IMPORTANTEEn general
0 P(E) 1
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• La probabilidad puede ser expresada como la fracción, el decimal o el por-centaje correspondiente a este cociente.
• Cuando el espacio muestral es igual al evento, se dice que es un evento segu-ro y su probabilidad es 1.
• Cuando el evento es vacío, se llama evento imposible y su probabilidad es 0.
• Cuando el evento es unitario, se llama evento simple y su probabilidad es
.1
�#(S)
Las técnicas de conteo resultan una herramienta bastante útil cuando se va acalcu lar la probabilidad de ocurrencia de un evento, ya que en ocasiones des-cribir el espacio muestral resulta muy costoso.
Para ello, basta con identificar la técnica adecuada y definir el evento al cual sele va a calcular la probabilidad de ocurrencia.
Se ponen siete fichas numeradas de 1 a 7 en una caja y se seleccionan dos deellas. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos.a. La suma de las dos fichas es 7.b. La suma de las dos fichas es menor que 14.c. El número mayor de las dos fichas seleccionadases 2.d. Las dos fichas seleccionadas tienen el mismo número.
SOLUCIÓN
El espacio muestral de este experimento aleatorio es:
S � �(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7),�(3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4 ,7), (5, 6), (5, 7), (6, 7)
En este caso no se considera el orden, ya que la suma es una operación conmutativa,y no se considera la repetición, puesto que no hay dos fichas del mismo número.
a. Sea A el evento que consiste en que la suma de los dos números es 7. Luego,A � {(1, 6), (2, 5), (3, 4)}, por lo tanto:
P(A) � � � 0,1429 � 14,29%
la probabilidad de que al seleccionar las dos fichas, su suma sea 7, es de 14,29%.
b. Sea B el evento que consiste en que la suma de las dos fichas es menor que 14. Setiene que S � B, por tanto, B es el evento seguro. En consecuencia, la probabilidadde que la suma de las dos fichas sea menor que 14 es 1, y se dice que es seguroque este evento ocurrirá.
c. Sea C el evento que consiste en que el número mayor de las dos fichas es 2. Portanto, C � {(1, 2)}. C es un evento simple. Luego, la probabilidad es:
P(C) � � 0,0476 � 4,76% de 4,76%.
d. Es imposible que al seleccionar las dos fichas, estas tengan el mismo número. Esdecir, tal evento es imposible. Luego, la probabilidad de que salgan dos fichas delmismo número es 0.
1�21
3�21
#A�#S
Ejercicio resuelto
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UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
ALGO IMPORTANTEEn un partido de béisbol no existenlos empates.
1. Se desea conformar un comité de tres personas, para tal fin se tienen seiscandidatos, dos hombres y cuatro mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de queel comité esté conformado sólo por mujeres?
SOLUCIÓN
La selección de cada miembro del comité no implica orden, ya que los tres pertene-cerán a él sin distinción de cargos; además, una persona no puede hacer el papel dedos miembros, por lo tanto, no hay repetición en la muestra. Así,
#(S) 20.
Sea C el evento que consiste en que los tres miembros del comité son mujeres; el tama-
ño del evento será #(C) 4, ya que ninguno de los miembros puede ser hom-
bre, y de cuatro mujeres, tres de ellas deben estar en el comité. La probabilidad es
P(C) 0,2 20%.
2. En el reinado nacional de la belleza, se seleccionaron como finalistas lascandidatas de Mérida, Zulia, Lara, Miranda, Aragua y Barinas. Entre ellas,se debe escoger la reina y la virreina. ¿Cuál es la probabilidad de que lareina sea Miranda?
SOLUCIÓN
En este caso no existe la repetición, ya que dos candidatas no pueden obtener el cetrode reina. Además, hay orden, ya que no es lo mismo ser reina que virreina. La pobla-ción es de seis candidatas y la muestra es de dos, reina y virreina. Por tanto:
#(S) 6P2 6 5 30
Sea C el evento que consiste en que la reina es Miranda. Se tiene que
#(C) 1P1 5P1 1 5 5.
La probabilidad de que ocurra C es: P(C) 0,1666 16,67%
La probabilidad de que Miranda sea la reina es de 16,6%.
3. Dos equipos de béisbol tienen la misma capacidad y juegan el uno contrael otro una serie de cuatro juegos. Se registra el resultado de cada juego.¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de loscuatro juegos?
SOLUCIÓN
Sean A y B los dos equipos que se enfrentan en la serie de cuatro juegos. En este expe-rimento aleatorio N 2, en cada partido se tienen dos opciones: que gane el equipoA o que gane el equipo B. Además, n 4, ya que la serie consta de 4 partidos. Así,
#(S) Nn 24 16
Sea D el evento que consiste en que el equipo A no gana ninguno de los juegos, eneste caso se tiene que B ganaría todos, es decir, N 1 y n 4.
Luego, #(D) Nn 14 1. Por tanto, P(D) 0,0625 6,25%.1
16
5
30
5!
(5 1)!
1!
(1 1)!
6 5 4!
4!
6!
(6 2)!
4
20
4
3
2
0
6
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Ejercicio resuelto
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
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EJERCITACIÓN. En cada una de las siguientes situacioneshallar el espacio muestral, así como el evento, y calcular laprobabilidad correspondiente.
Se lanzan dos dados. Encontrar la probabilidad de que lasuma de los dos sea
1. 3 2. Impar 3. Menor que 5 4. 7
Se lanzan tres monedas al aire, cuál es la probabilidad deque:
5. Salgan tres caras.
6. Salgan al menos dos sellos.
7. Se obtengan resultados iguales en las tres monedas.
PROBLEMA. A un niño que va a pre-sentar un examen de admisión alcolegio se le entregan tres figurasde animales y tres tarjetas con susrespectivos nombres. El niño debeasignar a cada dibujo su respectivonombre.
8. Escribir el espacio muestral delexperimento que consiste en asig-nar a cada imagen del animal sucorrespondiente nombre.
9. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño no cometa nin-gún error al relacionar los animales con sus nombres?
10. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño cometa un error?
11. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño cometa dos erro-res?
12. ¿Cuál es la probabilidad de quecometa tres errores?
PROBLEMA. De una baraja de 52 cartasse seleccionan 5 al azar.
13. ¿Cuál es la probabilidad de que seobtengan cuatro ases?
14. ¿Cuál es la probabilidad de que sal-gan tres ases y dos reinas?
15. ¿Cuál es la probabilidad de que seobtenga un par de reyes y un par deases?
16. ¿Cuál es la probabilidad de quetodas las cartas sean de diferentenúmero?
17. ¿Cuál es la probabilidad de quetodas sean rojas?
18. ¿Cuál es la probabilidad de que lascinco sean diamantes?
PROBLEMA. En la final masculina de atletismo del torneo dis-trital se clasificaron cuatro atletas: Carlos, Leonardo, Keviny Arnoldo. El primero en llegar ganará un viaje al exteriorpara prepararse, y el segundo una beca nacional para estu-diar inglés.
19. ¿Cuál es la probabilidad de que Leonardo no gane nin-guno de los dos premios?
20. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos y Kevin ganen elprimer y el segundo lugar, respectivamente?
21. ¿Cuál es la probabilidad de que Arnoldo gane?
PROBLEMA. Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan enuna caja y se sacan dos de ellas al azar.
22. Escribir el espacio muestral de este experimento.
23. ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea diez?
24. ¿Cuál es la probabilidad de que el número mayor de losdos elegidos sea ocho?
Si se sacan tres fichas,
25. ¿Cuántos resultados posibles se tienen?
26. ¿Cuál es la probabilidad de que los números escogidossean consecutivos?
PROBLEMA. La placa de un automóvil está formada por tresletras y tres números. Si se compra al azar un vehículousado,
27. ¿Cuál es la probabilidad de que la placa termine en unnúmero par?
28. ¿Cuál es la probabilidad de que la placa tenga las tresletras iguales?
29. Si los autos matriculados en Caracas tienen como pri-mera letra la C, ¿cuál es la probabilidad de que el automó-vil esté registrado en Caracas?
La medida de pico y placa en la capital se ha venido rees-tructurando, de acuerdo con el último número de la placadel carro.
30. ¿Cuál es la probabilidad de que el auto que se compratenga restricción los días lunes?
31. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga restricción loslunes y los miércoles?
ACTIVIDADES 3
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El espacio muestral de un experimento aleatorio ha sido considerado un con-junto; además, los eventos definidos en ese espacio muestral pueden tomarsecomo subconjuntos del mismo.
Por tal razón, es posible definir algunas propiedades de la probabilidad, de acuer-do con las operaciones y propiedades de los conjuntos.
4.1. Operaciones entre conjuntos y eventosLas operaciones usadas con mayor frecuencia en el cálculo de probabilidades son:
• La unión de dos eventos A y B, notada A B, se lee “A o B”, es el evento for-mado por todos los resultados que están en A o en B o en ambos eventos.
• La intersección de dos eventos A y B, notada A B, se lee “A y B”, es el even-to formado por los elementos que están en A y en B.
• El complemento de un evento A, notado Ac, es el conjunto de todos los resul-tados del espacio muestral S, que no están en el evento A.
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disyuntos si su intersecciónes vacía, A B .
Las operaciones unión e intersección se pueden generalizar para más eventos,de igual forma para la definición de eventos disyuntos.
Para calcular las probabilidades de una operación entre conjuntos es útil la repre-sentación de los eventos en un diagrama de Venn.
4.2. Algunas propiedades de la probabilidadExisten ciertas propiedades que permiten que la probabilidad de un evento sepueda calcular más fácilmente usando las operaciones entre conjuntos. Talespropiedades son:• Dados dos eventos, A y B, mutuamente excluyentes, se tiene que
P(A B) P(A) P(B)• En general, si los dos eventos no son disyuntos, entonces
P(A B) P(A) P(B) P(A B)• De la propiedad anterior se puede deducir la siguiente fórmula, sabiendo que
los valores de las probabilidades son números, por lo cual es posible despejar:P(A B) P(A) P(B) P(A B)
• Para cualquier evento A, se tiene que:P(Ac) 1 P(A).
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
PROBLEMA. El profesor de matemáticas del liceo decide es-coger a tres de sus estudiantes para enviarlos a un curso decapacitación en primeros auxilios. En el curso hay 12 hom-bres y 18 mujeres. Si todos los estudiantes están en capa-cidad de asistir al curso y cuentan con la motivaciónsuficiente,
32. ¿Cuántos grupos distintos de tres personas puede con-formar el profesor?
33. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan elegidas 3 mu-jeres?
34. ¿Cuál es la probabilidad de que asistan solamente hom-bres?
35. ¿Cuál es la probabilidad de que asistan dos hombres yuna mujer?
PROBLEMA. Se han seleccionado cuatro candidatos para rea-lizar un comercial de televisión. El productor decide esco-ger dos de ellos al azar y, luego, realizarles una prueba. Loscandidatos son: Sebastián, Fernando, Karina y Ana.
36. ¿Cuál es la probabilidad de que Sebastián sea seleccio-nado?
37. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana no sea selecciona-da?
38. ¿Cuál es la probabilidad de que escojan hombres?
PROBABILIDADY CONJUNTOS
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En algunos casos, los valores que se utilizan en el diagrama de Venn corres-ponden a las probabilidades y no al número de elementos que hay en cada con-junto.
Figura 2
Un estudio realizado en un centro de alto rendimiento deportivo determinóque de los 157 deportistas que allí entrenan, 100 son mujeres; 85 toman suple-mentos vitamínicos y 75 de los que toman dichos productos son mujeres.Si un deportista nuevo llega a este centro:a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o tome suplementos vitamínicos?b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y no tome suplementos vitamínicos?d. ¿Cuál es la probabilidad de sea mujer y no tome suplementos vitamínicos?
SOLUCIÓN
Sean A el evento que consiste en que el deportista toma suplementos vitamínicos y Bel evento que consiste en que el deportista es mujer.
Para este caso la representación en diagrama de Venn se muestra en la figura 2.
Del diagrama se puede ver que P(A) � � 0,541, P(B) � � 0,637, y,
P(A � B) � � 0,478.
a. Para el caso A � B representa el evento que consiste en que el deportista tomasuplementos vitamínicos o es mujer. Luego,
P(A � B) � P(A) � P(B) � P(A � B) � � � � � 0,7.
b. Considerar que el deportista es hombre equivale a decir que el deportista no esmujer, por lo tanto equivale a Bc. Luego,
P(Bc) � 1 � P(B) � 1 � � � 0,363.
c. El evento que consiste en que el deportista es hombre y no toma suplementos vita-mínicos es equivalente, en términos de conjuntos, a Ac � Bc. Por lo tanto:
P(Ac � Bc) � P(Ac) � P(Bc) � P(Ac � Bc)
� (1 � P(A)) � (1 � P(B)) � P(Ac � Bc)
� �1 � � � �1 � � �
� � � � � 0,3 � 30%
El valor de P(Ac � Bc) se obtiene del diagrama de Venn.
d. En este caso se debe calcular P(Ac � B). Por tanto:
P(Ac � B) � P(Ac) � P(B) � P(Ac � B)
� � � � � 0,16 � 16%25
�157
147�157
100�157
72�157
47�157
82�157
57�157
72�157
82�157
100�157
85�157
57�157
100�157
110�157
75�157
100�157
85�157
75�157
100�157
85�157
Ejercicio resuelto
A B
10 75 25
S47
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UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
Figura 3
En una ruta de una vía central de la ciudad que tiene tres semáforos se calcu -lan las probabilidades de que un automóvil se detenga en alguno de los tressemáforos. Sean: A el evento que consiste en que el automóvil se detenga enel primer semáforo, B el evento que consiste en que lo haga en el segundo yC el evento que consiste en que se detenga en el tercero.Se tiene que P(A) 0,25, P(B) 0,30 y P(C) 0,35. Además, se tiene que
P(A B C) 0,05, P(A B) 0,15, P(A C) 0,1 y P(B C) 0,15.a. Elaborar un diagrama de Venn de esta situación.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil no se detenga en ninguno de los tressemáforos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil se detenga por lo menos en algunode los tres semáforos?
SOLUCIÓN
a. Para construir el diagrama de Venn, primero se ubica la intersección de los tres.Luego, se ubican las intersecciones de cada par de conjuntos teniendo en cuentaque ya se ubicó la de los tres. Finalmente, se ubica la probabilidad de cada conjuntoteniendo en cuenta los dos valores que ya se escribieron. El diagrama se muestraen la figura 3.
b. El evento que consiste en que el automóvil no se detenga en ninguno de los tressemáforos es equivalente al complemento de la unión de los tres, por tanto:
P(A B C)c 1 0,55 0,45
c. Si el automóvil se detiene por lo menos en uno de los semáforos, equivale a launión de los tres; por tanto, su probabilidad es de 0,55 55%.
Ejercicio resuelto
EJERCITACIÓN. Usando las fórmulas para calcular las proba-bilidades de una operación entre conjuntos, resolver encada caso.
Se tiene que:
P(A) 0,35 P(A B) 0,45 P(A B) 0,18
Calcular el valor de:
1. P(B) 2. P(Ac)
3. P(Bc) 4. P(Ac Bc)
5. Elaborar un diagrama de Venn de la situación.
Para los eventos A, B y C se tiene la siguiente información:
P(A) 0,32, P(A B C) 0,12, P(A B) 0,20
P(A B C)c 0,1, P(B C) 0,17,P(C) 0,23 P(A C) 0,02
Hallar los valores de:
6. P(B) 7. P(A B) 8. P(B C) 9. P(A Bc)
10. Elaborar un diagrama de Venn de la situación.
EJERCITACIÓN. Con base en el diagrama de Venn resolver cadauno de los siguientes numerales:
11. P(Bc C) 12. P(A B)c
13. P(B C) 14. P(A Bc)
15. P(A B C)c 16. P(A B) (A C)
PROBLEMA. En una esquina por la cual transitan los autos enuna sola dirección, se tienen tres posibilidades de seguir:girar a la derecha, girar a la izquierda o seguir derecho. Seobservó durante una mañana el comportamiento de los 89autos que pasaron por allí.
ACTIVIDADES 4
0,05
AB
C
0,05
0,05
0,05
0,1
0,1
0,15
0,45
A B 0,05
0,15
0,12
0,07
0,18
0,18
0,09
C
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PROBABILIDADY TABLASDE CONTINGENCIA
5 A partir de la información suministrada en una tabla de doble entrada o de con-tingencia, es posible calcular las probabilidades de algunos eventos asociados conlas variables representadas.
Por ejemplo, la siguiente tabla relaciona el tipo de café que consume un grupode 50 personas que asisten a una convención internacional y la procedencia decada una de ellas.
A partir de la tabla se puede concluir, entre otras cosas, que 13 personas procedende Europa y prefieren la café negro. Si se consideran los eventos A: la persona pro-cede de Europa y B: la persona consume café negro, entonces se tiene que:
P(A) � , P(B) � , y P(A � B) � . De aquí se puede concluir que:
P(A � B) � P(A) � P(B) � P(A � B) � � � � � 0,88 � 88%32�50
25�50
13�50
44�50
32�50
25�50
13�50
Los resultados obtenidos fueron:35 de ellos siguieron derecho, 25 giraron a la derecha y losdemás giraron a la izquierda.Si un auto llega a la esquina en horas de la tarde:
17. ¿Cuál es la probabilidad de que siga derecho?
18. ¿Cuál es la probabilidad de que gire a la izquierda o a laderecha?
19. ¿Cuál es la probabilidad de que siga adelante o gire?
PROBLEMA. En un gimnasio se aplicó una encuesta a las per-sonas que asisten con una frecuencia de tres o más vecesa la semana. Los resultados arrojados dicen que: 35 perso-nas han tomado hormonas para tonificar su cuerpo, 25 con-sumen fibra para fortalecer su masa muscular y 45consumen bebidas energéticas para aumentar su capacidadfísica. 5 de las personas toman hormonas, fibra y bebidasenergéticas, 12 consumen fibra y hormonas, 18 toman hor-monas y bebidas energéticas y 16 prefieren bebidas ener-géticas y fibra.
20. Elaborar un diagrama de Venn con la información obte-nida en la encuesta.
21. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la proba-bilidad de que no consuma ninguna de estas tres sustan-cias?
22. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma hormonas?
23. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma hormonasni bebidas energéticas?
24. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado hormonaspero no fibra?
25. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma fibra?
En una de las regiones del país se determinó que la proba-bilidad de que un turista visitara este sitio por placer era de0,57, y la probabilidad de que lo visitara exclusivamente pornegocios es de 0,42. Además, se pudo determinar que el35% de los turistas que visitaron la región por negocios deci-dieron permanecer algunos días más por placer.
26. Elaborar un diagrama de Venn con la información dada.
27. ¿Cuál es la probabilidad de que un turista seleccionadoal azar no haga la visita en plan de placer ni de negocios?
28. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona no haga lavisita por placer?
29. ¿Cuál es la probabilidad de que el turista no haga la visi-ta por negocios?
30. ¿Cuál es la probabilidad de la visita se haga exclusi-vamente por negocios?
31. ¿Cuál es la probabilidad de que la visita se haga exclu-sivamente por placer?
ACTIVIDADES
Hallar las probabilidades para cadauno de los siguientes eventos: seramericano, preferir café marrón ypreferir café con leche.
PARA RESPONDER
Tipo de café
Negro Marrón con leche Total
Europa 13 11 8 32América 12 2 4 18
Total 25 13 12 50Procedencia
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La información de las probabilidades de las intersecciones se puede obtener delas tablas de contingencia de frecuencias relativas.
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
1. Para una cierta población de personas con discapacidad se relacionó lasiguiente información en el reporte anual de los hospitales de la ciudad.
Si se selecciona un paciente al azar de los que se incluyeron en el reporte:a. ¿Cuál es la probabilidad de que su incapacidad no sea en las piernas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del hospital del M.S.D.S. o del Inager?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de un hospital del Inager y tenga disca-pacidad en sus brazos?
SOLUCIÓN
La tabla de contingencia de frecuencias relativas del tipo de incapacidad y el hospitalde procedencia es:
a. Sea A el evento que consiste en que la incapacidad está en las piernas. Se debe cal-cular el complemento del evento A, es decir, que la persona seleccionada al azarno tenga incapacidad en las piernas. Por tanto,
P(Ac) 1 P(A) 1 0,4769 0,5231 52,31%
b. Sean B y C los siguientes eventos:
B: la persona proviene de un hospital del M.S.D.S.
C: la persona seleccionada proviene de un hospital del Inager.
Se tiene que B C , es decir que los eventos B y C son disyuntos. Por lo tanto:
P(B C) P(B) P(C) 0,3231 0,4462 0,7693 76,93%
c. Se definen los eventos D: la persona proviene de un hospital del Inager y E: la per-sona tiene su discapacidad en los brazos.
Para calcular la probabilidad del evento D E basta con observar la tabla. Por lotanto:
P(D E) 0,1648 16,48%
2. En una universidad de la ciudad se reportó el consolidado de las faculta-des a las cuales se presentaron el mayor número de aspirantes y su géne-ro. Los resultados se muestran en la tabla 1.
Ejercicio resuelto
M.S.D.S. 50 82 15
I.V.S.S. 35 45 25
Inager 75 90 38
Tipo de incapacidad
Dependencia Brazos Piernas General
Hos
pit
al
M.S.D.S. 0,1099 0,1802 0,0330 0,3231
I.V.S.S. 0,0769 0,0989 0,0549 0,2308
Inager 0,1648 0,1978 0,0835 0,4462
Total 0,3516 0,4769 0,1714 1,0000
Tipo de incapacidad
Dependencia Brazos Piernas General Total
I.V.
S.S. Total de la muestra
445 personas
Artes Derecho Hum. Cien.
Facultad
Hom 120 260 183 458
Mujer 352 435 250 105
Tabla 1
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25
Género Hombre 15 45 35 4
Mujer 10 12 30 28
Si se selecciona a un aspirante al azar,a. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de artes o seamujer?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de ciencias ono sea mujer?
SOLUCIÓN
La tabla 2, muestra las frecuencias relativas del problema.
a. Sean los eventos A: el aspirante seleccionado se presentó a la facultad de artes yB: el aspirante es mujer. Se debe calcular:
P(Ac � B) � P(Ac) � P(B) � P(Ac � B)
� (1 � 0,218) � 0,528 � (0,201 � 0,116 � 0,049) � 0,944
Para calcular P(Ac � B) se deben sumar las probabilidades de que sean mujeres yse hayan presentado a facultades distintas a la de arte.
b. Al considerar los eventos, C: el aspirante seleccionado se presentó a la facultad deciencias y D: el aspirante no es mujer, entonces:
P(Cc � Dc) � P(Cc) � P(Dc) � P(Cc � Dc)
� (1 � 0,26) � (1 � 0,528) � (0,055 � 0,120 � 0,085) � 0,952
Ejercicio resuelto
Artes Derecho Hum. Cien. To t a l
Hom 0,055 0,120 0,085 0,212 0,472
Mujer 0,163 0,201 0,116 0,049 0,528
Total 0,218 0,321 0,20 0,26 1,000
PROBLEMA. La siguiente tabla relaciona el género de ungrupo de personas con el estado de ánimo luego de ver laúltima película de cine nacional.
Si se selecciona una persona al azar, calcular la probabili-dad de que:1. No sea mujer o se sienta deprimida.2. Se sienta triste o deprimida.3. Sea mujer o se sienta alegre.4. No se sienta normal.5. Sea hombre o se sienta alegre.
PROBLEMA. La siguiente tabla muestra los equipos favoritospara ganar el próximo mundial de fútbol y el tipo de perio-dista que respondió a la pregunta.
Estado de ánimo
Alegre Triste Normal Deprimido
6. ¿Cuál es la probabilidad de que un periodista que contestóla encuesta tenga como favorito a Brasil?
7. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista sea de radioo de revista?
8. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo favorito sea sura-mericano?
9. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo favorito seaeuropeo?
10. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un perio-dista, este no trabaje en la radio?
PROBLEMA. En un estudio se determinó el género de la per-sona que conduce y la cantidad de pasajeros en el vehícu-lo. Los resultados fueron:
11. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor elegidolleve entre 1 y 4 pasajeros?
12. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor elegido seahombre o lleve más de 4 pasajeros?
ACTIVIDADES 5
Periodista
Radio T.V. Revista
Brasil 4 12 8
Alemania 2 15 5
Francia 2 4 4
Italia 1 3 6
Equipo
2
4
6
8
10
12 12
15
5
89
6
14
16
0
No. de pasajeros
1 2 a 4 Más de 4
HombreMujer
Tabla 2
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En ocasiones es necesario calcular la probabilidad de un evento sujeto a algunacondición o a algún otro evento que ya ocurrió.
Por ejemplo, si se considera el ejercicio en cual hay una vía principal en la que exis-ten dos semáforos. Al pasar un vehículo por esta vía se pueden definir dos even-tos: el evento A, que consiste en que el auto se detenga en el primer se máforo yB, el evento que consiste en que el auto se detenga en el segundo semáforo.
Es posible considerar la probabilidad de que el vehículo se deba detener en elsegundo semáforo sabiendo que se detuvo en el primero. En este caso, se esta-blece una condición que está representada por el conjunto A. Es decir, se quie-re conocer la probabilidad de que ocurra el evento B, sabiendo que ya ocurrióel evento A.
La probabilidad condicional se define para dos eventos A y B, en la cual uno deellos hace el papel de condición sobre el otro. Es decir, se debe considerar queuno de los dos eventos ya ocurrió y se quiere saber qué pasa con el otro.
Dados dos eventos A y B, se llama la probabilidad condicional de A dado B (se sim-boliza P(A|B) y se lee “la probabilidad de A dado B”) a:
P(A|B) � , o, P(B|A) �
En donde el evento B ya ocurrió y se quiere calcular la probabilidad de A o el even-to A ya ocurrió y se quiere calcular la probabilidad de B.
P(A � B)��
P(A)
P(A � B)��
P(B)
UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
PROBLEMA. Se realizó una encuesta a los ejecutivos de una empresa nacional sobre el tipo de automóvil preferido,c: cupé, s: sedán, n: camioneta. Los resultados se registraron en la siguiente tabla teniendo en cuenta el género de la per-sona, h: hombre, m: mujer.
13. Elaborar una tabla de doble entrada para las dos variables, género y tipo de auto preferido.
Si se selecciona al azar uno de los ejecutivos,
14. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
15. ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera las camionetas?
16. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o prefiera un automóvil cupé?
17. ¿Cuál es la probabilidad de que no le gusten los automóviles tipo sedán?
18. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hombre y no le guste el auto tipo camioneta?
Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Género h h h m h h h h m m m m h m h m m m m h h h h h m
Auto s c s c s s s n c c n s s n c n c c c s n c c n s
Persona 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Género h m m h h m m m m m h h m m m m h m h h m h h m m
Auto s s n n s s c c n c s s s n c s n c n s n c c n s
PROBABILIDADCONDICIONAL
6
1. Para conformar el comité de emergencias del liceo, se presentaron cuatrocandidatos: Luisa, Marina, Carlos y Eleonora. Se decidió que se haría la pri-mera votación entre los miembros de la comisión y quien ganara sería el pre-sidente. Luego, se haría una nueva votación entre los tres candidatos quequedaran y el de mayor votación sería el coordinador.
Ejercicio resuelto
26
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27
a. Si se sabe que el presidente fue Carlos, ¿cuál es la probabilidad de que Marina sea lacoordinadora?
b. Si se sabe que el coordinador fue una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que el presi-dente sea una mujer también?
SOLUCIÓN
El espacio muestral del experimento, que consiste en elegir presidente y coordinadorde la comisión, se debe construir sabiendo que existe orden y que además no hay repe-ti-ción. Si se considera que L: Luisa, M: Marina, C: Carlos, y E: Eleonora, se construyeel espacio muestral como se observa al lado.
a. Se definen los eventos A: el presidente es Carlos y B: el coordinador es Marina. Eneste caso, se sabe que el presidente es Carlos, es decir, que este evento ya ocurrió.Luego, A es la condición sobre B.
Del espacio muestral se tiene que:
A � B � {(C, M)}, P(A � B) � A � {(C, L), (C, M), (C, E)}, P(A) �
De la fórmula se tiene que P(B|A) � � � � 0,333 � 33,3%
La probabilidad de que Marina sea la coordinadora, si el presidente es Carlos, es de33,3%.
b. Sean los eventos A: el presidente del comité es mujer y B: el coordinador de la comi-sión es mujer. Del espacio muestral se tiene que:
A � B � {(L, M), (M, L), (L, E), (E, L), (M, E), (E, M)}, P(A � B) �
B � {(L, M), (M, L), (C, L), (L, E), (E, L), (C, M), (M, E), (E, M), (C, E)}
P(B) �
Si ya se sabe que el coordinador fue una mujer, la probabilidad de que el presidentede la comisión sea mujer es de 66,6%.
2. En un concesionario funciona una oficina de venta de seguros para automó-vi-les. Se ha determinado que la probabilidad de que un cliente compre suauto-móvil en el concesionario es de 0,58, la probabilidad de que un clientecompre una póliza de seguro contra todo riesgo de su auto es de 0,42 y la pro-babilidad de que el cliente compre el auto y el seguro en el concesionario esde 0,35.Si llega un cliente al concesionario y compra el auto, ¿cuál es la probabilidad de quecompre el seguro allí?
SOLUCIÓN
La situación se muestra en el diagrama de Venn de la figura 4, donde A es el evento queconsiste en que el cliente compra el automóvil en el concesionario y B el evento queconsiste en que el cliente compra el seguro allí.
Se sabe que el cliente compró el auto, entonces A es el evento condición. Luego, se tieneque:
P(B|A) � � � 0,6030,35�0,58
P(A � B)��
P(A)
9�12
6�12
1�3
�112�
��132�
P(A � B)��
P(A)
3�12
1�12
(L, M), (M, L), (L, C), (C, L),
S � �(L, E), (E, L), (M, C), (C, M),�(M, E), (E, M), (C, E), (E, C)
ALGO IMPORTANTECuando se utilizan diagramas deVenn o tablas de contingencia, elprocedimiento es igual: basta conidentificar los dos eventos relacio-nados y determinar cuál de los doses la condición sobre el otro.
A B
0,23 0,35 0,07
0,35
Por tanto, P(A|B) � � � � 0,666 � 66,6%P(A � B)��
P(B)
�162�
��192�
6�9
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TRIÁNGULO DETARTAGLIA
7
Los números combinatorios son de mucha utilidad en la matemática, como seobserva en la resolución de binomios, por ejemplo: (x 2)6. Binomios queNewton trabajó, por ello lo llamamos Binomios de Newton.
7.1. Triángulo de Tartaglia
El matemático italiano Tartaglia construyó un triángulo con números combina-torios, donde quedaban reflejadas las propiedades de esos números.
En cualquiera de estos triángulos se observa que:
• En cada fila, los términos equidistantes de los extremos son iguales.
• Cada término de una fila (excepto los dos extremos) es igual a la suma de losdos que tienen encima.
• La suma de los números de la fila n es 2n.
7.2. Binomio de Newton
Para desarrollar un binomio de la forma (a b)n se prodece así:
(a b)n an b0 an 1 b1 an 2 b2 ... a1 bn 1 a0 bnn
n
n
2
n
1
n
0
1
1
0
11 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
nn 1
Resolver los siguientes binomios:
a. (x 2)6 x6 20 x5 21 x4 22 x3 23 x2 24 x1 25 x0 26
1 x6 1 6 x5 2 15 x4 20 x3 8 15 x2 16 6 x1 32 1 x0 64 x6 12x5 60x4 160x3 240x2 192x 32
b. (2x 1)5 (2x)5 10 (2x)4 11 (2x)3 12 (2x)2 13 (2x)1 14 (2x)0 15
1 32x5 5 16x4 10 8x3 10 4x2 5 2x1 1 32x5 80x4 80x3 40x2 10x 1
55
54
53
52
51
50
6
0
6
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
Ejercicio resuelto
¿Puedes calcular el termino k,con 0 k n, sin desarrollar elbinomio (3x+1)12?
PARA RESPONDER
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
3
0
3
1
3
2
3
3
2
0
2
1
2
2
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UNIDAD 1 • PROBABILIDAD
EJERCITACIÓN. Aplicando las definiciones de probabilidadcondicional, resolver
Si se tiene que:
P(A � B) � , P(B) � , P(A � B) � , hallar:
1. P(A|B) 2. P(A) 3. P(B|A)
4. Si se sabe que P(A|B) � 0,25, y, P(A � B) � 0,17, hallarla probabilidad de que ocurra B.
De acuerdo con el siguiente diagrama de Venn, resolver:
5. P(A|B)
6. P(A|C)
7. P(B|C)
8. P(C|A)
9. P(C|B)
PROBLEMA. La tabla muestra la información suministrada porel médico del colegio para un curso en particular.
Al seleccionar un estudiante de este curso al azar,
10. Si se observa que tiene los ojos negros, ¿cuál es la pro-babilidad de que tenga el cabello castaño?
11. Si el estudiante seleccionado tiene el cabello rubio,¿cuál es la probabilidad de que sus ojos sean verdes?
12. Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de quetenga los ojos color marrón?
13. Si el estudiante tiene el cabello rojo, ¿cuál es la proba-bilidad de que el color de sus ojos sea negro?
PROBLEMA. De las personas que asisten regularmente a lascarreras de motos en el autódromo se observó que el 38%eran mujeres. También se observó que de los asistentes alas carreras, el 57% eran visitantes asiduos. Se concluyó,además, que el 28% de los asistentes habituales eran mu -jeres.
14. Representar esta situación en un diagrama de Venn.
15. Si una persona llega a la carrera el domingo siguientey es un hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea un asis-tente habitual?
1�4
1�2
1�8
16. Si se observa que es un asistente habitual, ¿cuál es la pro-babilidad de que sea mujer?
17. Si se observa que es una mujer, ¿cuál es la probabilidadde que no sea un asistente habitual?
18. Si se observa que no es un cliente habitual, ¿cuál es laprobabilidad de que sea mujer?
PROBLEMA. En un estudio realizado a un grupo de 50 adoles-centes, se observó que 30 habían practicado alguna vez elpaint ball, 12 de ellos habían jugado bolos y 5 de ellos habí-an realizado las dos actividades. Además, 30 de ellos vivíanen un apartamento; 7 de ellos vivían en un apartamento yhabían practicado paint ball, y 1 de ellos vivía en aparta-mento y había efectuado las dos actividades.
19. Representar esta situación en un diagrama de Venn.
Si se selecciona al azar uno de los adolescentes de este grupoy se tiene que vive en un apartamento,
20. ¿Cuál es la probabilidad de que haya practicado el paintball?
21. ¿Cuál es la probabilidad de que haya jugado bolos?
Si se escoge una persona que haya jugado paint ball:
22. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un aparta-mento?
23. ¿Cuál es la probabilidad de que haya jugado bolos?
Si la persona seleccionada ha jugado bolos:
24. ¿Cuál es la probabilidad de que haya practicado paintball?
25. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un apar-tamento?
Si la persona seleccionada no ha jugado bolos
26. ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en un aparta-mento?
27. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya practicado paintball?
ACTIVIDADES 6
0,1 0,12
0,030,09
0,05
0,25
0,15
A B
C
Color de ojos
Verde Azul Marrón Negro
Castaño 12 6 1 2
Negro 10 5 1 18
Rubio 4 12 5 1
Rojo 9 9 8 2
Color
de cabello
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30
Actualmente, en muchos deportes el componente matemático torna interesante los resultados.Un ejemplo, no muy sencillo, se observa en el golf y en los bolos.
• La probabilidad de hacer un “hoyo en uno” en golf es de 33 000 contra 1, es decir, .
• La probabilidad de hacer un puntaje de 300, es decir 12 moñonas seguidas (para unapersona de juego medio), es de 4 000 contra 1 (antes, la probabilidad de hacer este puntaje erade 89 000 contra 1).
1�33 000
Calcular todo esto para los bolos es mucho más fácil que para elgolf, aunque tal vez dependa de datos oficiales y no oficiales (apar-te de las puras matemáticas). Sin saber de dónde sale el dato de33.000 contra 1 del golf, puede imaginarse que alguien ha cogi-do todos los hoyos en uno “oficiales” de un año dado, ya sea en elmundo o en su país, y los ha dividido por el número de hoyos juga-dos por todos los jugadores en todas las competiciones oficiales.Obviamente, la habilidad para hacer un hoyo en uno dependeráde cada jugador, y ahí sí que es muy difícil calcular más.
En los bolos se podría hacer prácticamentelo mismo: coger las tablas de resultados dela PBA (Federación Americana de Bolos),dividir las partidas de 300 puntos por elnúmero total de partidas jugadas y obtenerel dato.
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Puntos anotadospor el jugador
25 12 4 12 26 32 20 4 19 5 19 32 27 15
Puntos anotadospor el equipo
100 98 97 102 89 105 96 98 106 100 97 105 99 106
1.Calcular la probabilidad de anotar en cada uno de los partidos.2.Calcular la probabilidad de anotar en todos los partidos. Sumar la totalidad de puntos ano-tados y dividir por el número de puntos anotados en todos los partidos por el equipo.
3. ¿Cuál es el porcentaje de efectividad del jugador?4. Si en el siguiente partido, al saltar en la primera jugada sufre una lesión, por lo cuales sustituido sin anotar ningún punto, ¿cuál es su nuevo promedio de efectividad?
5. Si se observa en la tabla, el partido en el que más puntos anotó fue el sexto. La probabi-
lidad de que anotara 32 puntos fue de � 0,3047.
¿Cuál es la probabilidad de que anote 32 puntos en los siguientes 12 partidos?
32�105
En el básquet, cada uno de los jugadores de la NBA tiene asociada una probabilidad deefectividad que se relaciona con la probabilidad de acertar al realizar el siguiente lanza-miento. Este índice de efectividad se calcula sumando los puntos anotados en cada par-tido y dividiéndolos por los puntos anotados por el equipo en ese partido.A continuación se muestran los resultados para un jugador de la NBA en la temporadapasada:
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Probables resultadosProbables resultadosDEPORTES
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1 .2 .3 .4 .
5 .
FUNCIÓN.
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.
FUNCIÓN DE VARIABLE REAL.
FUNCIÓN EXPONENCIALY LOGARÍTMICA.
FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.
La expresión h(t) 4,9t 4,9t2
representa la relación entre la altu-ra h (medida en metros), alcanzadapor un objeto que se lanza vertical-mente hacia arriba, con respecto altiempo t (medido en segundos).Determinar:a. El tiempo que tarda en regresar
al punto de lanzamiento.b. La altura máxima alcanzada.
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 51
Punto de alturamáxima
Punto de lanzamiento
Altura máxima
2UNIDAD
Funciones
• PUENTES COLGANTES.• RELACIÓN ENTRE SOLUBILIDAD Y TEMPERATURA.
TEMAS
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32
FUNCIÓN1 En muchas situaciones de la vida cotidiana se presentan relaciones entre can-tidades, en las cuales una de ellas depende de las otras. Por ejemplo, la alturaque alcanza el nivel de agua en el recipiente cónico de la figura 1 depende deltiempo que transcurre y de la rapidez con la cual el grifo suministra el agua.El estudio de la dependencia de una cantidad con respecto a otras se hace apartir del concepto de función.
1.1. Concepto de función.
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
El concepto de funciónEn los trabajos de Leonhard Euler (1707-1783), aparece por primera vez el concepto de fun-ción y de manera explícita la notación f(x). Euler definió la función como cualquier expresiónanalítica con cantidad variable, números y cantidades constantes. Sin embargo, en trabajossobre conjuntos numéricos, Gottfried Leibniz (1646-1716) había hecho referencia a funcio-nes, así como Johann Bernoulli (1667-1748), quien había definido el concepto de funcióncomo una cantidad formada de cualquier manera por variables y constantes. La definición delconcepto de función ganó precisión a lo largo del desarrollo histórico de las matemáticas. Esasí, que Peter Dirichlet (1805-1859) definió función de la siguiente manera: “Si una variabley está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se atribuya un valornumérico a x, hay una regla según la cual queda determinado el valor de y. Entonces, se diceque y es una función de la variable independiente x”.
LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA
A continuación se definirán algunos conceptos importantes dentro del manejode las funciones.Para los conjuntos X {1, 2, 3, 4, 5} y Y {4, 5, 6, 7, 8}, se puede definir lafunción f del conjunto X en el conjunto Y, como
f: X → Y
1 → 4 es (1 3)2 → 5 es (2 3)3 → 6 es (3 3)4 → 7 es (4 3)5 → 8 es (5 3)
En este caso, la función f está definida por la regla “sumar 3 al número”.• Al elemento y Y que corresponde a cada valor de x X se le llama la ima-
gen de x por la función f. En la tabla 1 se muestra la imagen en Y de cadaelemento del conjunto X.
• Las funciones se pueden expresar mediante fórmulas algebraicas de la formay f(x), lo cual se lee “y es igual a f de x”.
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X, unúnico elemento de un conjunto Y. Se denota
f: X → Y
Se lee la función f del conjunto X en el conjunto Yh
Figura 1
Tabla 1
x Imagen: y
33
Por ejemplo, la fórmula algebraica de la función cuya regla es “sumar 3 alnúmero”, se puede expresar como
f(x) x 3.De esta manera, se puede determinar la imagen de cada valor de x como semuestra al lado.• En la expresión y f(x), y depende de x, por esta razón a la variable x se le
llama variable independiente y a la variable y se le llama variable depen-diente.
• Una función se puede representar como conjunto de parejas ordenadas; aeste conjunto se le llama grafo de la función.
f {(x, y)/y f(x)}Así, el grafo de la función f(x) x 3 definida del conjuntoX {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto Y {4, 5, 6, 7, 8}, es
f {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}.• Si una función se define de un conjunto X en un conjunto Y, al conjunto X
se le llama conjunto de partida y al conjunto Y se le llama conjunto dellegada.
• Las funciones también se pueden representar mediante un diagrama sagital,formado por un conjunto de partida, un conjunto de llegada y unas flechas querelacionan cada elemento del conjunto de partida con su correspondiente ele-mento (imagen) en el conjunto de llegada.
En la figura 2, se presenta el diagrama sagital de la funciónf {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}
definida del conjunto de partida X {1, 2, 3, 4} en el conjunto de llegadaY {4, 5, 6, 7, 8}.
UNIDAD 2 • FUNCIONES
Figura 2
ALGO IMPORTANTEImágenes de los elementos
de X en Yf(x) x 3
f(1) 1 3 4
f(2) 2 3 5
f(3) 3 3 6
f(4) 4 3 7
f(5) 5 3 8
ALGO IMPORTANTELas funciones se pueden repre-sentar con diferentes letras: f, g,h, entre otras.
Si se define una función f: X → Y,¿los conjuntos X y Y deben tenerel mismo número de elementos?
PARA RESPONDER
Conjunto de partida Conjunto de llegada
X Yf
1
2
3
4
4
5
67
8
1. Determinar en cada caso, si el conjunto de parejas ordenadas correspon-de a una función del conjunto X en el conjunto Y.a. X {1, 2, 3, 4, 5}, Y {0, 1, 2, 3, 4, 5}
h {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)}
b. X {1, 2, 3, 4, 5}, Y {2, 4, 6, 8}
g {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}
c. X {1, 2, 3, 4, 5}, Y {5, 10, 15, 20, 25}
f {(1, 5), (1, 10), (2, 15), (3, 20), (4, 25), (5, 25)}
SOLUCIÓN
a. h {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)} representa una función del conjunto X enel conjunto Y, porque a cada elemento del conjunto X le corresponde un únicoelemento del conjunto Y.
b. g {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} no representa una función porque el elemento 5que pertenece al conjunto X no tiene imagen por g en el conjunto Y.
c. f {(1, 5), (1, 10), (2, 15), (3, 20), (4, 25), (5, 25)} no representa una función por-que al elemento 1 que pertenece al conjunto X le corresponden dos imágenes, 5y 10, en el conjunto Y.
Ejercicio resuelto
© S
AN
TILL
AN
A
© S
AN
TILL
AN
A
34
El dominio de la función coincide con el conjunto de partida.Por ejemplo, el dominio de la función f {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}definida del conjunto X {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto Y {4, 5, 6, 7, 8}, es
Dom f {1, 2, 3, 4, 5}.Cuando una función está definida mediante una fórmula matemática, el domi-nio de la función está constituido por todos los números para los cuales la fór-mula está definida. Por esta razón, se deben tener en cuenta algunasrestricciones tales como: las divisiones entre cero, las raíces pares de númerosnegativos, los logaritmos con argumentos negativos y las funciones exponen-ciales con base menor o igual que cero, entre otras.
Conjunto de partida
Conjunto de llegada
0 1 2 3 4 5 6 7 88 7 6 5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 118 7 6 5 4 3 2 1
2. Dada la función f: → , f(x) 2x 1. Determinar:a. f(2), f( 1) b. El conjunto de imágenes de la función.
SOLUCIÓN
a. f(2) 2 2 1 5 f( 1) 2 ( 1) 1 1
b. A cada número entero le corresponde un número impar. Por tanto, el conjunto deimágenes está formado por los números enteros impares. A continuación, se repre-senta la función mediante un diagrama de flechas.
1.2. Dominio de una función
El dominio de una función f: X → Y es el conjunto formado por las primeras com-ponentes de las parejas que pertenecen al conjunto f {(x, y)/y f(x)}.
Se simboliza Dom f {x/(x, y) f}
ALGO IMPORTANTELa expresión
f: →
f(x) 2x 1
Se lee como la función f del con-junto de los enteros en el conjun-to de los enteros definida mediantela expresión algebraica
f(x) 2x 1.
¿El conjunto de imágenes de unafunción coincide con el conjuntode llegada?
PARA RESPONDER
Ejercicio resueltoDeterminar el dominio de las funciones definidas mediante las siguientesfórmulas algebraicas.
a. f(x) b. g(x) x 1 c. h(x) 3x
SOLUCIÓN
a. Puesto que el denominador no puede ser igual a cero, el dominio de la funciónes el conjunto de los reales sin incluir el cero. Es decir, Dom f {0}.
b. Puesto que no existe la raíz cuadrada de los números negativos, la expresión x 1debe ser mayor o igual que cero; en consecuencia, los valores de x deben ser mayo-res o iguales que 1, por tanto, Dom g {x /x 1}.
c. El producto 3x no tiene ninguna restricción, por lo tanto, Dom h .
1x
© S
AN
TILL
AN
A
35
UNIDAD 2 • FUNCIONES
1.3. Rango de una funciónLos conjuntos codominio y rangode una función pueden ser distin-tos, pues el codominio es el con-junto de llegada, mientras que elrango es un subconjunto delcodominio.
RECORDAR QUE
El rango de una función f: X → Y es el conjunto formado por las segundas compo-nentes de las parejas ordenadas que pertenecen a la función.
Se simboliza Rg f {y/(x, y) f}.
De lo anterior se deduce que el rango de una función es el conjunto de imá-genes de la función. Al conjunto de llegada de una función se le llama codo-minio de la función.Por ejemplo, para la función f {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)} definida del con-junto X {1, 2, 3, 4} en el conjunto Y {4, 5, 6, 7, 8}, el rango esRg f {4, 5, 6, 7}, mientras que el conjunto de llegada o codominio esY {4, 5, 6, 7, 8}.
Ejercicio resueltoDeterminar el rango de las funciones definidas mediante las siguientes fór-mulas algebraicas.
a. f(x) b. g(x) x 1 c. h(x) 3x
SOLUCIÓN
a. Si f(x) , se tiene que y . Como el denominador es diferente de cero,
entonces y es diferente de cero, luego Rg f {0}.
b. Si g(x) x 1, se tiene que y x 1. Como x 1, es positivo o igual acero, entonces los valores de y únicamente pueden ser positivos o cero, en con-secuencia, Rg g {0}.
c. Si h(x) 3x, se tiene que y 3x. Como x pertenece a los reales, entonces 3x per-tenece a los reales. En consecuencia, Rg h .
1
x
1
x
1x
ACTIVIDADES 1
MODELACIÓN. Escribir la regla que asigna a cada elementodel conjunto A un único elemento del conjunto B.
1. 2.
3. f {(0, 1), (2, 5), (1, 3), (4, 9), (3, 7)}
4.
RAZONAMIENTO. Sean M {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y N {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, determinar si cada conjuntocorresponde a una función de M en N.
5. C {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), (6, 12)}
6. D {(0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6)}
7. E {(0, 14), (1, 12), (2, 10), (3, 8), (4, 6), (5, 4), (6, 2)}
8. F {(0, 0), (1, 2), (2, 14), (0, 8), (3, 6), (4, 8)}
9. G {(3, 0), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 10), (3, 12),(3, 14)}
EJERCITACIÓN. En cada caso hallar las imágenes pedidas.
10. f(x) x 4 f( 1) f(0) f(10)
11. f(x) x2 x f( 3) f(1) f
12. f(x) x x2 1 f( 2) f(0) f(4)
1
2
A f
1
4
10
18
20
25
2
10
9 50
B
1 0
2 7
3 28
2 9
A B
0 1 2 3 4 5 6A
B
h
0 1 2 3 4 5 6
© S
AN
TILL
AN
A
36
RAZONAMIENTO. Escribir un ejemplo si la afirmación dadaes verdadera o un contraejemplo si es falsa.
13. El rango de una función siempre es el conjunto de lle-gada.
14. El rango de una función es el subconjunto del codo-minio.
15. Para poder definir una función, el dominio y el codo-minio deben tener el mismo número de elementos.
16. Una función se define de un conjunto más grande, quees el dominio, a uno más pequeño, que es el codominio.
17. El dominio y el codominio de una función representanel mismo conjunto, o por lo menos conjuntos con igualnúmero de elementos.
RAZONAMIENTO. Escribir las restricciones que se presentanpara el dominio de cada función.
18. f(x) 19. f(x) x
20. f(x) 21. f(x)
22. f(x) x2 2x 1 23. f(x) x3 x2 x
24. f(x) 25. f(x)
EJERCITACIÓN. Hallar las imágenes pedidas en cada caso.
26. f(x) si x 0
7 si x 0
27.
x2 si x 0
f(x) si x 0
28.
x2 1 si x 0
f(x) x2 si x 0 f(0), f( 3), f(7)
x2 1 si x 0
* PARA PENSAR. Escribir en cada caso una función querepresente la situación dada.29. El perímetro de un hexágono en función de sus lados.
30. El área de un rombo en función de su diagonal mayor.
31. El volumen de una esfera en función de su radio.
32. El perímetro de un cuadrado en función de su diago-nal.
33. El área de un hexágono en función de su perímetro.
1x2
1
x
x2 1
x 1
3
x 1
1x2
x 1
1 x
1
x
ACTIVIDADES
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X Yf
1
2
3
4
5
7
9
10
11
A Bg
En el diagrama 1 se muestra una función f definida del conjunto X {1, 2, 3, 4, 5}en el conjunto Y {6, 7, 8, 9, 10, 11}. La función f es inyectiva porque cada ele-mento del rango es imagen, como máximo, de un solo elemento del dominio. Lafunción g, del diagrama 2 definida del conjunto A {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto B {7, 9, 10, 11} no es inyectiva, puesto que 7 es imagen de dos elementos deldominio: 1 y 2. Esto es, f(1) 7 y f(2) 7.
Diagrama 1 Diagrama 2
1.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas1.4.1. Función inyectiva
Una función es inyectiva o uno a uno si a cualquier par de elementos distintos deldominio les corresponden imágenes distintas en el conjunto de llegada. Es decir, nin-gún elemento del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del dominio.
f(0), f(1), f 1
2
f( 1), f , f 1
5
3
4
© S
AN
TILL
AN
A
37
Para el estudio de funciones inversas, tema que se desarrollará más adelante,se hace necesario restringir el dominio de algunas funciones no inyectivas, detal manera que la función dentro de ese dominio sea inyectiva.Por ejemplo en f(x) x2, es posible restringir el dominio de la función al con-junto {0}, de tal manera que la función se hace inyectiva en ese domi-nio (figura 5).
1.4.2. Función sobreyectiva
UNIDAD 2 • FUNCIONES
Figura 5
Figura 4
Figura 3
ALGO IMPORTANTEUna función es inyectiva si secumple queSi x y y pertenecen al dominio dela función y x y, entonces
f(x) f(y)
1. Determinar si las siguientes funciones son inyectivas.a. f {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)} definida del conjunto X {1, 2, 3, 4} en el con-
junto Y {2, 3, 4}
b. g {(2, 4), (3, 5), (4, 6)} definida del conjunto A {2, 3, 4} en el conjuntoB {3 ,4, 5, 6}
SOLUCIÓN
Ejercicio resuelto
Una función es sobreyectiva o sobre si el rango de la función coincide con el codo-minio. Es decir, todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del do-minio.
2. Determinar si las siguientes funciones son inyectivas.a. g(x) 2x 1 b. f(x) x2
SOLUCIÓN
a. En el diagrama de flechas (figura 3) se muestran algunas parejas de la funcióng(x) 2x 1, la cual es inyectiva porque cada elemento del conjunto de llegadaes imagen de un solo elemento del dominio.
b. El diagrama de flechas (figura 4) muestra que la función f(x) x2 no es inyectiva,pues cada elemento del rango es imagen de dos elementos del dominio.
Por ejemplo, f(1) f( 1) 1, f(2) f( 2) 4, f(3) f( 3) 9.
En general, f(x) f( x).
b. La función g es inyectiva puesto quecada elemento del rango es imagen alo más de un solo elemento del domi-nio.
a. La función f no es inyectiva porque 4es imagen de dos elementos deldominio, es decir,
f(3) f(4)
4 4
1
2
3
4
2
3
4
X Yf
3
4
5
6
2
3
4
A Bg
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
0 1 2 3 4 5 6 7 8 91
Dominio
Conjunto de llegada
0 1 2
Dominio
Conjunto de llegada
0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Dominio
Conjunto de llegada
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
© S
AN
TILL
AN
A
38
En la figura 6, se muestra el diagrama sagital de una función sobreyectiva. Enella, todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento deldominio.En la figura 7, se muestra el diagrama sagital de una función g que no es sobre-yectiva, ya que el elemento del codominio 1 no es imagen de ningún elemen-to del dominio. En este caso, el codominio Y {1, 4, 5, 6} no es igual al rangode la función Rg g {4, 5, 6}.
Figura 6
Figura 7
Figura 8
Figura 9
Por ejemplo, para la función f de la figura 9, se tiene:• f es inyectiva, pues cada elemento del rango es imagen de un solo elemento
del dominio.• f es sobreyectiva, porque todo elemento del conjunto de llegada es imagen
de algún elemento del dominio.Luego, f es biyectiva.
Determinar si las siguientes funciones son biyectivas.a. f {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} definida del conjunto X {1, 2, 3, 4} en el con-
junto Y {2, 3, 4, 5}
b. g: → {0}g(x) x2
SOLUCIÓN
a. La función f es inyectiva, pues cada elemento del conjunto de llegada es imagende un solo elemento del dominio y f es sobreyectiva, porque el codominio es igualal rango. Luego, la función f es biyectiva.
b. La función g: → {0} tal que g(x) x2, no es inyectiva, ya quef(2) f( 2) 4; luego, 4 es imagen de dos elementos del dominio. Sin embargo,la función g es sobreyectiva porque el codominio es igual al rango de la función.Enconclusión, la función g es sobreyectiva pero no inyectiva, por tanto, al no cumplirlas dos condiciones, la función f no es biyectiva.
Determinar si las siguientes funciones son sobreyectivas.a. f {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)} definida del conjunto X {1, 2, 3, 4} en el con-
junto Y {2, 3, 4, 5}.
b. g: → {0}g(x) x2
SOLUCIÓN
a. La función f no es sobreyectiva porque 5 es elemento del codominio y no es ima-gen de ningún elemento del dominio (figura 8).
b. La función g(x) x2 es sobreyectiva ya que todo elemento del codominio,{0}, es imagen de algún número real que pertenece al dominio. En este
caso, el codominio de la función es igual al rango.
Ejercicio resuelto
Ejercicio resuelto
1.4.3. Función biyectiva
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
1
2
3
4
X Yf
4
5
6
2
3
4
X Yg
1
4
5
6
1
2
3
4
X Yf
2
3
4
5
1
2
3
4
X Yf
2
3
4
5
© S
AN
TILL
AN
A
39
UNIDAD 2 • FUNCIONES
ACTIVIDADES 2
RAZONAMIENTO. Determinar si la función dada es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Justificar la respuesta.
1. 2. 3. 4.
9. f: → 10. g: →
f {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} g {(3, 3), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (7, 0), (8, 1), (9, 1)}
RAZONAMIENTO. Representar en un diagrama sagital una función que cumpla con las condiciones dadas.
11. Que sea inyectiva pero no sobreyectiva. 12. Que sea sobreyectiva pero no inyectiva.
13. Que sea biyectiva.
5. 6. 7. 8.
A Bf
1
2
3
4
5
6
1
3
5
7
9
11
10
20
30
M Nl
40
1
2
3
4
5
6
X Yg
10
11
12
13
0
1
2
3
4
S Th
0
2
4
6
8
0
1
2
3
4
1
2
3
W Yn
1
2
3
E Fp
1
2
3
4
3
6
9
12
L Rm
2
4
6
8
10
1
2
3
4
1
V Uc
EJERCITACIÓN. Determinar si la función dada es inyectiva.Si no lo es, restringir el dominio para que sí lo sea.
14. f(x) x2 3 15. y x
16. f(x) x3 1 17. y 8 x2
18. g(x) 19. h(x)
20. y x 3 21. y
22. p(x) x2 x 23. q(x) x
* PARA PENSAR. Definir una función que cumpla con lascondiciones dadas.
24. f: → que sea inyectiva.
25. g: → que sea sobreyectiva.
26. h: → que sea biyectiva.
27. q: M {1, 2, 3} → N {3, 4} que sea sobreyectiva.
PROBLEMAS. Resolver.
El largo de un rectángulo en función del ancho está dado
por la fórmula y donde 36 es el perímetro del
rectángulo.
28. Hacer el diagrama correspondiente si x y varíaentre 1 y 8.
29. Determinar si la función así definida es inyectiva,sobreyectiva o biyectiva.
El costo P, en millones de bolívares, de producir cierta can-tidad de artículos q viene dado por la expresión
P(q) q2 8q 15.
30. ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos?
31. Si el costo de producir cierto número de artículos es deBs. 3 000, ¿cuántos artículos se produjeron?
32. Busque otros valores para que se cumplan condicionessimilares a las del numeral 31.
33. ¿La función planteada es biyectiva? Justificar la res-puesta.
La producción de huevos de cierta granja está dada por laexpresión
s(g) 2g2 1
donde g es el número de aves de la granja.
34. En determinado mes del año hay 1 500 aves en lagranja. ¿Cuántos huevos se producen en ese mes?
35. ¿Cuál es el dominio de la función dentro del contextoplanteado?
36. ¿Cuál es el rango de la función?
37. Tiene sentido hablar de biyectividad en el contexto.
36 2x2
1
x
1
x
x2
2
Cubos visibles:
Si hay 1 capa Cubos ocultos:
Total cubos: ____
Cubos visibles:
Si hay 2 capas Cubos ocultos: ____
Total cubos: ____
Cubos visibles: ____
Si hay 3 capas Cubos ocultos: ( ) ____
Total cubos: ____
Cubos visibles: ____
Si hay 4 capas Cubos ocultos: ( )
( ) ____
Total cubos: ____
ANALIZAR UN RESULTADOA partir de la situación anterior responder las siguientes preguntas:
8. ¿Es posible plantear una expresión general para determinar el total de cubos de un arreglo similar al propuesto?¿Cuál sería esta expresión?
9. ¿Se puede considerar esta expresión una función? ¿Por qué?
10. En caso de ser una función, ¿es inyectiva?
11. En caso de ser una función, ¿es sobreyectiva?
© S
AN
TILL
AN
A
40
EXTRAER DATOS DE UNA TABLALos taxistas usan una tabla para realizar el cobro, en bolívares, deuna carrera. A la derecha se muestra una sección de la tabla men-cionada.
1. Escribir los datos de esta sección de la tabla utilizando parejasordenadas.
2. La relación así representada, ¿es una función? Justificar la res-puesta.
3. En caso que la relación sea una función, determinar si es:
• inyectiva • sobreyectiva • biyectiva
Justificar la respuesta.
INTERPRETAR UN DIAGRAMAEl siguiente arreglo está forma-do por cinco capas de cubos;unos son visibles y otros no.
7. Completar la siguiente tabla y a partir de ella determinar una expresión paraconocer el número de cubos de un arreglo de 10 capas.
4. ¿Cuántos cubos son visibles?
5. ¿Cuántos cubos no son vi-sibles?
6. ¿Cuántos cubos hay en total?
UNID VALOR UNID VALOR51 6152
2962
33
53 6354
3064
34
55 6556
3166
55
57 6758
3268
36
59 6960
3270
37
© S
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TILL
AN
A
41
REPRESENTACIÓNDE FUNCIONES
2 2.1. Representación de funcionesEn el tema anterior, se representaron algunas funciones mediante diagramassagitales o mediante fórmulas algebraicas. Sin embargo, existen otras formas derepresentar funciones y relacionar estas representaciones.
2.1.1. Representación mediante una expresión verbalLa representación mediante una expresión verbal de una función hace explíci-ta la regla que asigna a cada elemento del dominio su correspondiente imagenen el codominio.La regla que establece que “a cada número entero le corresponde el doble delnúmero” es un ejemplo de la expresión verbal de una función. Para esta fun-ción, el dominio es el conjunto de los números enteros y el rango es el con-junto de los números pares.
2.1.2. Representación mediante fórmulas o ecuacionesLa representación mediante fórmulas o ecuaciones expresa la relación entrelos elementos del dominio y sus respectivas imágenes.Por ejemplo, la función que hace corresponder a cada número entero el dobledel número, se puede representar mediante la expresión
f: → tal que f(x) 2x.
2.1.3. Representación en tablas de valoresLa representación mediante tablas de valores, es un arreglo de dos filas (o doscolumnas), en el cual se escriben todos o algunos elementos del dominio en unafila (o en una columna) y sus respectivas imágenes en la otra (fila o columna).Aunque en la tabla de valores sólo se puede consignar un número finito deparejas (elementos del dominio y su correspondiente imagen por la función),puede proporcionar información sobre el comportamiento de la función.Por ejemplo, para la función f: → tal que f(x) 2x, se obtiene la siguientetabla que muestra algunos elementos del dominio y sus respectivas imágenes.
UNIDAD 2 • FUNCIONES
Figura 10
Una función se puede represen-tar mediante:
• Una expresión verbal
• Una fórmula algebraica
• Una tabla
• Una gráfica
PARA RESPONDER
ALGO IMPORTANTELa gráfica de una función se defi-ne como la representación en elplano cartesiano de todos los ele-mentos del grafo.
2
4
6
8
2 4 6 88 6 4 2
2
4
6
8
y
x
x 3 2 1 0 1 2 3
f(x) 6 4 2 0 2 4 6
2.1.4. Representación gráficaLa representación gráfica de una función f se obtiene al ubicar en el plano car-tesiano un número suficiente de parejas ordenadas de la función. La gráfica,también, permite analizar el comportamiento de la función.Por ejemplo, para representar gráficamente la función f(x) 2x se ubican en elplano cartesiano los puntos que corresponden a las parejas ordenadas ( 4, 8),( 2, 4), (0, 0), (2, 4) y (4, 8). Luego, al unirlos, se observa que la gráfica corres-ponde a una línea recta que pasa por el origen (figura 10).Es importante tener en cuenta que el análisis del comportamiento de una fun-ción se puede hacer a partir de cualquiera de las representaciones.
© S
AN
TILL
AN
A
42
1. En cada caso, a partir de la representación dada, obtener las demás repre-sentaciones de la función.a. “Elevar un número real al cuadrado y, luego, restar 2”.
b. f: → tal que f(x) 2x
SOLUCIÓN
a. La función cuya regla es “Elevar un número real al cuadrado y luego restar 2”, serepresenta mediante la fórmula algebraica f(x) x2 2
La siguiente tabla muestra algunos valores del dominio y sus respectivas imá-genes.
A partir de los valores consignados en la tabla, se representan los puntos en elplano cartesiano (figura 11). Como el dominio de la función es el conjunto de losreales, se traza la gráfica.
b. f: → tal que f(x) 2x
La expresión verbal de la función es “restar al doble de un número”.
La siguiente tabla muestra algunos elementos del dominio y sus respectivas imá-genes.
La gráfica de la función f se muestra en la figura 12.
1
2
1
2
1
2
Figura 11
Figura 12
Una gráfica representa una fun-ción si ninguna recta vertical laintersecta más de una vez.
Ejercicio resuelto
2
4
6
8
2 4 6 88 6 4 2
2
4
6
8
y
x
2
4
6
8
2 4 6 88 6 4 2
2
4
6
8
y
x
y
x
y
x
2
4
6
8
2 4 6 88 6 4 2
2
4
6
8
y
x
2
4
6
8
2 4 6 88 6 4 2
2
4
6
8
y
x
SOLUCIÓN
a. La curva representada no corresponde a una función porque a varios elementosdel dominio les corresponde más de una imagen.
b. La curva representada corresponde a una función porque a cada elemento del domi-nio le corresponde una única imagen. Sin embargo, la función no es inyectiva por-que los elementos del rango son imagen de más de un elemento del dominio.
2. Determinar si cada curva representada en el plano corresponde a una fun-ción; en caso afirmativo, indicar si la función es inyectiva.a. b.
x 3 2,5 1 0 1,5 2 3
f(x) 7 4,25 1 2 0,25 2 7
x 3 2 1 0 1 2 3
f(x) 6,5 4,5 2,5 0,25 1,5 3,5 5,5
Una gráfica representa una fun-ción inyectiva si ninguna rectahorizontal la intersecta más deuna vez.
ALGO IMPORTANTE
© S
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TILL
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A
43
UNIDAD 2 • FUNCIONES
ACTIVIDADES 3
RAZONAMIENTO. Determinar si las siguientes gráficas co-rresponden a funciones. Justificar la respuesta.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
y
x
y
x
16. ¿Está ( 3, 3) en la gráfica de la función j?
17. ¿La función es inyectiva?
18. ¿De qué número del dominio 1 es imagen?
EJERCITACIÓN. Trazar la gráfica de cada función.
19. f(x) x2 20. g(x) 8
21. h(x) (x 3)2 22. p(x) (x 3)2
23. r(x) x 2 24. l(x) 16 x2
11. ¿Es h una función? 12. Hallar Dom h y Rg h.
13. ¿Es 3 imagen de algún número?
14. ¿Es h inyectiva? 15. ¿Es h sobreyectiva?
RAZONAMIENTO. Escribir en la tabla algunos de los valores dela función y responder las preguntas.
EJERCITACIÓN. Dada la gráfica de la función:
9. a. Obtener los valores f( 1), f(0), f(1), f(3).
b. Determinar el dominiode f y el rango de f.
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
33
3
y
x
g
32
y
x
10. a. Obtener los valores de g( 2), g(0), g(2), g(3).
b. Determinar Dom g y Rg g.
x
y
3
6
9
12
3
6
9
3 6 9 1236912
h
y
x
1
2
3
4
1
2
3
1 2 3 41234
j
y
x
x
f (x)
1
2
3
4
1 2 3 44 3 2 1
1
2
3
0
y
x
2
1
1
2
1 2 3 4 512
y
x
ALGO IMPORTANTESe define el intervalo I {x /a x b} como elsubconjunto de los reales que sonmayores que a, menores que b yque no contienen a a ni a b.
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44
2.2. Funciones crecientes y funciones decrecientesEn la gráfica de la figura 13 se registran las temperaturas en una ciudad duran-te 8 horas. En ella, se puede observar que la temperatura aumentó durante lastres primeras horas, luego permaneció constante durante dos horas y, final-mente, en las últimas tres horas la temperatura disminuyó. En tales casos, lamedida de la temperatura en función del tiempo fue creciente, constante ydecreciente, respectivamente.
Figura 13
Figura 14
Figura 15
2.3. Funciones pares y funciones imparesUna función es par, si no se modifica con la sustitución de la variable x por x.
Gráficamente, se puede observar que una función par es simétrica con res-pecto al eje y.Por ejemplo, para determinar si la función f(x) x2 1 (figura 15), es una fun-ción par, se remplaza x por x. Así,
f( x) ( x)2 1 x2 1Como f( x) f(x), se concluye que f es una función par.Una función es impar, si la función cambia de signo con la sustitución de lavariable x por x.
Una función f es creciente en el intervalo I si para todo x1, x2 I se cumple que si x1 x2, entonces f(x1) f(x2).
Una función f es decreciente en el intervalo I si para todo x1, x2 I se cumple quesi x1 x2, entonces f(x1) f (x2).
Una función f es constante en el intervalo I si para todo x1, x2 I se cumple quesi x1 x2, entonces f(x1) f(x2).
La función y f(x) es impar, si para todo x Dom f se cumple que f( x) f(x).
La función y f(x) es par si para todo x Dom f se cumple que f( x) f(x).
Determinar los intervalos en los cuales la gráfica de la función f de la figura14 es creciente, decreciente y constante.
SOLUCIÓN
La función es creciente en los intervalos {x / 2 x 1}y en {x /2 x 4}, porque en dichos intervalos se cumple quesi x1 x2, entonces f(x1) f(x2).
La función es decreciente en los intervalos {x / 1 x 1}y {x /4 x 5} porque en dichos intervalos se cumple quesi x1 x2, entonces f(x1) f(x2).
La función es constante en el intervalo {x /1 x 2} porque en tal intervalose cumple que si x1 x2, entonces f(x1) f(x2).
Ejercicio resuelto
1 2 3 4 5 6 7 8
Tiempo (horas)
Tem
pera
tura
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45
Por ejemplo, para determinar si la función f(x) x3 2x (figura 16) es una fun-ción impar, se remplaza x por x. Así,
f( x) ( x)3 2( x) x3 2x (x3 2x)Como f( x) f(x), se concluye que f es una función impar.Una función puede no ser par ni impar. Por ejemplo, para la funciónf(x) x 2, se cumple que f( x) x 2.En este caso, f(x) f( x) y f( x) f(x), por lo tanto, la función no es par niimpar.
2.4. Funciones periódicas
UNIDAD 2 • FUNCIONES
Figura 16
EJERCITACIÓN. Dibujar, en cada caso, una función quecumpla las condiciones dadas.
Creciente x 5
1. f(x) Decreciente 5 x 12
Constante x 12
Constante 10 x 10
2. f(x) Creciente 10 x 20
Decreciente 20 x
Creciente 4 x 3
Decreciente 3 x 1
3. f(x) Creciente 1 x 1
Decreciente 1 x 3
Creciente 3 x 4
4. La función del punto 3, ¿es par o impar? Justificar larespuesta.
MODELACIÓN. ad ac etneserper euq nóiserpxe anu ribircsEparte de la gráfica. Luego, determinar entre qué intervaloses creciente, decreciente o constante.
5.
6.
La gráfica de una función periódica se repite con las mismas características eniguales intervalos del dominio. Por ejemplo, en la gráfica de la función de lasiguiente figura el período es T 2.
Una función f(x) es periódica si existe un número real T, llamado período, tal quepara todo x Dom f se cumple que f(x) f(x T).
1
2
3
4
1 2 3 44 3 2 1
1
2
3
4
y
x
1234
1
1 2 3 4
1
f(x) f(x+T)
x+Tx
T
y
x
ACTIVIDADES 4
1
2
3
4
1
1 2 3 4 5 6 71 234567
1
2
3
4
1
1 2 3 4 5 6 71 234567
ALGO IMPORTANTELa gráfica de las funciones impa-res es simétrica con respecto alorigen.
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46
PROBLEMAS. Tres empresas de telefonía celular presentaron el comportamiento de sus afiliaciones durante los últimosnueve meses.
Figura 17
De la definición de función inversa se puede ver que si la imagen de x por lafunción f es y, entonces la imagen de y por la función f 1 es x. Además, si lafunción f está definida del conjunto X en el conjunto Y, la función f 1 estádefinida del rango de la función f en el conjunto X.En la figura 17 se muestra el diagrama sagital de una función f, que es inyec-tiva, con Dom f {0, 1, 2, 3}, codominio Y {0, 2, 4, 6, 8} y Rg f {0, 2, 4, 6}.Para la función f 1, el dominio es Rg f {0, 2, 4, 6} y el rango es Dom f {0, 1, 2, 3}.
ACTIVIDADES
¿Qué condición debe cumplir unafunción f para ser igual a suinversa?
PARA RESPONDER
2.5. Función inversa
f(0) 0 f 1(0) 0f(1) 2 f 1(2) 1f(2) 4 f 1(4) 2f(3) 6 f 1(6) 3
Es importante observar que si una función f es biyectiva, el dominio de la fun-ción f 1 es el codominio de la función f.
7. ¿Qué empresa presentó crecimiento durante los dos primeros meses?
8. Determinar, para cada empresa, los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
9. ¿Qué empresa ha mantenido la mayor estabilidad? ¿Por qué?
10. Si usted fuera un inversionista, ¿en cuál de las tres empresas invertiría? ¿Por qué?
11. ¿Qué empresa tuvo el mayor número de afiliaciones durante los nueves meses?
12. ¿Qué empresa tuvo el menor número de afiliaciones durante los nueve meses?
RAZONAMIENTO. Determinar gráfica y analíticamente si la función dada es par, impar, o ninguna de las dos.
13. f(x) x2 x 14. g(x) x3 x 1 15. h(x) 3x
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses
Empresa 1
Afi
liaci
ones
x 10
0
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses
Empresa 3
Afi
liaci
ones
x 10
0
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Meses
Empresa 2
Afi
liaci
ones
x 10
0
Si f es una función inyectiva, definida del conjunto X en el conjunto Y, con dominioDom f y rango Rg f, se define la función inversa f 1 cuyo dominio es Rg f y cuyorango es Dom f, como f 1(y) x si y sólo si y f(x), para todo y Rg f.
Imágenes de la función Imágenes de la función inversa
0
1
2
3
0
2
4
6
Dom f
Xf
Rg f-1
0
1
2
3
0
2
4
6
8
Dom f
Xf
Y
Rg f
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UNIDAD 2 • FUNCIONES
¿Por qué la inversa de una fun-ción no inyectiva no es función?
PARA RESPONDER
Figura 18
y
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
x
y=f(x)=x 2
y= x
y= f (x)= x1
Para determinar la función inversa de una función inyectiva, se realizan lossiguientes pasos:Paso 1. Se escribe la función de la forma y f(x).Paso 2. Se expresa x en términos de y.Paso 3. Se intercambian x y y para obtener la expresión y f 1(x).
Determinar la inversa de la función f(x) x2 para x {0}.
SOLUCIÓN
La función es inyectiva porque cada elemento del rango, es imagen de un solo ele-mento del dominio (figura 18). Así,
y x2 Paso 1
y x, es decir, x y Paso 2
y x es decir, f 1(x) x Paso 3
En la figura 18 también se muestra la gráfica de la función f 1(x) x.
Se puede observar que la gráfica de la función inversa f 1 es simétrica con la gráfi-ca de la función f, respecto a la recta y x.
Ejercicio resuelto
ACTIVIDADES 5
EJERCITACIÓN. Trazar la gráfica de la función inversa de cada función dada.
12. 13. 14. 15.
PROBLEMAS. Pizza “el mono” vende una pizza grande por Bs. 15 y cobra Bs. 2 por cada aderezo adicional.
16. Escribir una expresión para determinar el valor de una pizza con x aderezos.
17. Determinar f 1(x) y escribir un párrafo que explique qué representa.
1 2 3 41
2
3
4
1234
1
2
3
4
1 2 3 41
2
3
4
1234
1
2
3
4
1 2 3 41
2
3
4
1234
1
2
3
4
1 2 3 41
2
3
4
1234
1
2
3
4
EJERCITACIÓN. Hallar, si es posible, la inversa de cada fun-ción, f: →
1. f(x) 2x 1 2. f(x) 3x
3. f(x) x 3 4. f(x) x2 1
5. f(x) 2 5x 6. f(x) 3
x 1
7. f(x) 8. f(x)
RAZONAMIENTO. Dadas f(x) y f 1(x), se cumple que
f(f 1(x)) x y f 1(f(x)) x. Teniendo en cuenta lo ante-rior, determinar si f 1 es inversa de f.
9. f(x) 2x 5 f 1(x)
10. f(x) f 1(x) 3 4x
11. f(x) x3 1 f 1(x) (x 1)1/3
3 x4
x 5
2
1
x 2
1
x 2
© SANTILLANA
48
OBSERVAR Y RAZONAREl siguiente recipiente ha sido llenado, con líquido, en forma constante.
¿Cuál es la mejor representación, sobre el plano cartesiano, de esta situación?
a. b. c.
COMPLETAR UNA GRÁFICACompletar la gráfica de cada función de tal manera que se cumplan las condiciones dadas.
1. 2. 3. 4.
COMPRENDER EL ENUNCIADOClasificar cada una de las siguientes funciones en cons-tante, creciente o decreciente.
TRABAJAR HACIA ATRÁS9. La temperatura se expresa en diferentes escalas. En
Estados Unidos es común escuchar que la tempera-tura en un día de invierno es 50ºF. ¿A qué medidaen grados centígrados equivale 50ºF, si se sabe que
ºF � ºC � 32?
10. Carlos planea crear una tallerde bicicletas rodante para laVuelta del Táchira. Su inver-sión inicial para la compra deherramienta e insumos es deBs. 1 000. Carlos va a cobrarBs. 50 por cada manteni-miento general. Él piensaque la función de ganancia es g(m) � 50 m � 1 000.
Teniendo en cuenta esta función, determinar elnúmero de mantenimientos que deberá hacer pararecuperar la inversión.
95
1 2 3 4 5 621222324252621
22
23
24
25
26
1
2
3
4
5
6
h(x)
1 2 3 4 5 621222324252621
22
23
24
25
26
1
2
3
4
5
6
g(x)
1 2 3 4 5 621222324252621
22
23
24
25
26
1
2
3
4
5
6
f(x)
1 2 3 4 5 621222324252621
22
23
24
25
26
1
2
3
4
5
6
5(x)
Dom h � [�6, 6] Dom g � [�4, 4] Dom f � [�5, 5] Dom s � [�6, 6]h(x) � h(�x) g(�x) � �g(x) �f(x) � f(�x) s(x) � s(�x)
8. Peces en el mar.7. Salario de los venezo-lanos.
6. Ozono de la atmósferaterrestre.
5. Personas que nacen.
Volumen
Tiempo
Volumen
Tiempo
Volumen
Tiempo
MAT1 U2(31-58):MAT10-U1(7-36) 05/10/11 03:37 p.m. Página 48
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49
FUNCIÓN DE VARIABLEREAL
3 En las secciones anteriores, se han estudiado algunas funciones definidas deun subconjunto de números reales en el conjunto de números reales. Estas fun-ciones se denominan funciones de variable real.
UNIDAD 2 • FUNCIONES
Figura 19
Figura 20
ALGO IMPORTANTESi dos magnitudes x y y sondirectamente proporcionales, elcociente entre cada valor de y ysu respectivo valor de x es siem-pre constante. Así, la función querelaciona dos magnitudes directa-mente proporcionales es una fun-ción lineal o afín.
ALGO IMPORTANTEPara construir la gráfica de unarecta en el plano basta con deter-minar las coordenadas de un parde puntos.
1 2 3 4 5 6123456 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
y
x
1 2 3 4 5 6123456 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
y
x
Representar gráficamente cada función y determinar si se trata de una fun-ción lineal o de una función afín.a. y 3x b. y 2x 3
SOLUCIÓN
Una función afín es una función de variable real definida pory f(x) mx b
donde m y b son números reales.
Una función lineal es una función de variable real definida pory f(x) mx
donde m es un número real, conocido como la pendiente de la recta.
La función f: → , es una función de variable real.
Algunas funciones de variable real tienen nombres propios y propiedadescaracterísticas que se estudiarán a continuación.
3.1. Función lineal
Una función lineal es creciente si m 0 y decreciente si m 0.La representación gráfica de la función lineal es una recta que pasa por el ori-gen. En la figura 19 se muestra la gráfica de la función lineal y 2x.El dominio de la función lineal, al igual que su rango, es .
3.2. Función afín
La representación gráfica de una función afín es una línea recta de pendientem que pasa por el punto (0, b). Si m 0, la función es creciente; si m 0, lafunción es decreciente.En la figura 20 se muestra la gráfica de la función y 2x 4.El dominio de la función afín, al igual que su rango, es .
Ejercicio resuelto
a. La función y 3x es lineal. b. La función y 2x 3 es afín.
1 2 3 4 5 6123456 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
y
x1 2 3 4 5 6123456 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
y
x
x 2 1 0 1 2
2x2 8 2 0 2 8
x 2 1 0 1 2
x2 2 0 2
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1. Representar en el mismo plano las funciones.
a. y x2 b. y x2 c. y 2x2 d. y x2 4
SOLUCIÓN
Se construye una tabla con algunos valores para cada una de las funciones. Luego, serepresentan los puntos en el plano para trazar la gráfica. Todas las gráficas se mues-tran en la figura 21.
1
2
Figura 21
Una función cuadrática es una función de variable real definida pory f(x) ax2 bx c
donde a, b y c son números reales y a 0.
La parábola que representa la función y ax2 abre hacia arriba si a 0 y abrehacia abajo si a 0. La parábola que representa la función y ax2 c se obtieneal trasladar la gráfica de la función y ax2, c unidades en dirección vertical.
3.3. Función cuadrática
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. El domi-nio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales. Un caso par-ticular de la función cuadrática se tiene cuando a 1, b 0 y c 0, es deciry x2. A continuación se muestra la gráfica de la función.
El dominio de la función y x2 es el conjunto detodos los números reales y su rango es el con-junto de los números reales no negativos.
1 2 3 4 5 6123456 1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
Vértice
y
x
1 2 3 41234
2
3
4
1
1
2
3
4
y= x2
y=x 42
y= 1 x 2
2
y=2x 2
y=x 2
y
x
Ejercicio resuelto
La gráfica de la función y 2x2 experi-menta un alargamiento vertical con res-pecto a la grafica de la función y x2
1
2
1
2
a. b.
La gráfica de la función y x2 es simé-trica con la gráfica de la función y x2
con respecto al eje x.
c. d.
La gráfica de la función y x2 experi-
menta un encogimiento vertical con res-pecto a la gráfica de la función y x2.
1
2
La gráfica de la función y x2 4 seobtiene al trasladar 4 unidades, haciaabajo, la gráfica de la función y x2.
1
2
x 2 1 0 1 2
x2 4 1 0 1 4
x 2 1 0 1 2
x2 4 0 3 4 3 0
ALGO IMPORTANTEEs posible hallar la coordenada enx del eje de simetría mediante laexpresión
xb2a
Alt
ura
(m
etro
s)
Tiempo (segundos)
h
t
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,2 0,4 0,6 0,8 1
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51
2. Para la función y x2 2x, determinar:a. Los puntos de corte con el eje x.
b. La ecuación del eje de simetría.
c. Las coordenadas del vértice.
d. Construir la gráfica en el plano cartesiano.
SOLUCIÓN
a. Para determinar los puntos de corte con el eje x, se encuentran los valores de xpara los cuales y 0. Así,
x2 2x 0
x(x 2) 0 Factorizando.
x 0 o x 2
La parábola corta al eje x en los puntos (0, 0) y ( 2, 0).
b. El eje de simetría pasa por el punto medio de (0, 0) y ( 2, 0), luego la ecuacióndel eje de simetría es x 1.
c. Puesto que el vértice queda sobre el eje de simetría, el valor de y para el vérticees f( 1) ( 1)2 2( 1) 1. Así, el vértice es de coordenadas ( 1, 1).
d. En la figura 22 se muestra la gráfica de la función.
3. La expresión h(t) 4,9t 4,9t2 representa larelación entre la altura h (medida en metros)alcanzada por un objeto que se lanza vertical-mente hacia arriba, con respecto al tiempo t(medido en segundos). Determinar:a. El tiempo que tarda en regresar al punto de lan-
zamiento.
b. La altura máxima alcanzada.
SOLUCIÓN
a. Cuando el objeto regresa al punto de lanzamiento, la altura es igual a 0, por tanto,h(t) 0. Así,
4,9t 4,9t2 0
4,9t(1 t) 0 Se factoriza.
4,9t 0 o 1 t 0
t 0 o t 1
Luego, el objeto regresa al punto de lanzamiento 1 segundo después de haber sidolanzado.
b. El tiempo que tarda el objeto subiendo es igual al tiempo que tarda bajando.Luego, el tiempo en alcanzar la altura máxima es de 0,5 segundos. Por tanto, laaltura máxima es
h(0,5) 4,9(0,5) 4,9(0,5)2 1,225
La altura máxima alcanzada por el objeto es 1,225 metros.
La gráfica de la altura en función del tiempo es una parábola (figura 23), pues h(t)es una función cuadrática.
UNIDAD 2 • FUNCIONES
ALGO IMPORTANTEUna parábola tiene un eje desimetría. El punto de corte entrela parábola y el eje de simetría sellama vértice. Para las parábolasque representan funciones, el ejede simetría es una recta verticalque pasa por el punto medio delos puntos de corte con el eje x.
Figura 22
Figura 23
y
x
Vértice
Eje
de
sim
etrí
a
1 2 3 412341
2
3
4
1
2
3
4y
x
Punto de alturamáxima
Punto de lanzamiento
Altura máxima
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
x 3 2 0 2 3
3 1 1
x 3 2 0 2 3
2 0 2
Representar gráficamente las siguientes funciones.
a. y x3 b. y x3 1
SOLUCIÓN
Se construye una tabla de valores para cada función. Luego, se representan los pun-tos en el plano para trazar la gráfica.
a. b.
1
4
1
4
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52
El dominio de la función cúbica, al igual que el rango, es el conjunto de losnúmeros reales. Un caso particular de la función cúbica se tiene cuando a 1,b 0, c 0 y d 0, es decir y x3.
3.4. Función cúbica
Una función cúbica es una función de variable real definida por
y f(x) ax3 bx2 cx d
donde a, b, c y d son números reales con a 0.
MODELACIÓN. Determinar la clase de función que tiene la presentación gráfica dada. Luego, escribir la expresión alge-brai-ca que la describe.
1. 2. 3. 4.
Ejercicio resuelto
2 4 6 824682
4
6
8
2
4
6
8y
x
2 4 6 824682
4
6
8
2
4
6
8y
x
ACTIVIDADES 6
1 2 3 412341
2
3
4
1
2
3
4y
x 2 3 4 511231
2
3
4
1
2
3
4y
x 1 2 3 412341
2
3
4
1
2
3
4y
x 1 2 3 412341
2
3
4
1
2
3
4y
x
Figura 24
Figura 25
5. 6. 7. 8.y
1 2 3 41234
3
4
5
6
1
2
1
2
x
2 1 1 23456
2
1
3
1
4
5
6
7y
x
1 2 3 412341
2
3
4
1
2
3
4y
x 1 2 3 412341
2
3
4
1
2
3
4y
x
En la figura 24 se muestra la gráficade la función.
En la figura 25 se muestra la gráficade la función.
10
x3 274
314
274
234
14
x3 1
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53
UNIDAD 2 • FUNCIONES
RAZONAMIENTO. La siguiente gráfica representa la funciónf(x).
A partir de f(x) trazar las gráficas de cada una de lassiguientes funciones.
9. g(x) f(x 2) 10. h(x) f(x) 2
11. p(x) 2f(x) 12. q(x) f(x) 2
13. y(x) f( x) 14. m(x) f(x 1)
EJERCITACIÓN. Determinar para cada función los puntos decorte con el eje x, y si los hay, la ecuación del eje de sime-tría y las coordenadas del vértice.
15. f(x) x2 4 16. g(x) x2 2x 3
17. h(x) x2 3 18. r(x) (2x 3)2
1
2
MODELACIÓN. El dibujo representa un sistema de tanques deagua. Uno de ellos es un tanque cúbico de lado x y el otroun tanque de altura x y base cuadrada C.
19. Si C 10 cm. Elaborar una tabla que muestre la varia-ción de la longitud de la arista y el volumen total de los dostanques.
20. Escribir una expresión funcional de volumen en tér-minos de las longitudes de las aristas.
21. Graficar la función de volumen en un plano de coor-denadas.
1 2 3 4123
1
2
3
x
x
c
c
x
FUNCIONES DEFINIDASA TROZOS
4 Una función se puede definir mediante reglas diferentes para algunos sub-conjuntos de números reales. Este tipo de funciones de denominan fun-ciones a trozos.
Un ejemplo de una función definida a trozos es
x si x 2f(x) 2 si 2 x 2
x si x 2
En la figura 29, se muestra la gráfica de la función f(x) formada por tres tro-zos: la recta y x para los valores de x menores que 2 (x 2), la rectay 2, para los valores de x tales que 2 x 2 y la recta y x para losvalores de x mayores que 2. El dominio de la función es el conjunto de losnúmeros reales y el rango de la función es el conjunto de los números rea-les mayores o iguales a 2.
Figura 29
1 2 3 4 5
x
12345
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
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4.1. Función parte enteraLa función parte entera es un ejemplo de una función a trozos. Esta funciónasigna a cada número real el número entero inmediatamente menor o igual aél. La función parte entera se simboliza mediante
f(x) x
Así, f(3) 3 3, f(2,5) 2,5 2, f( 2,5) 2,5 3La gráfica de la función parte entera se representa en la figura 30.El dominio de la función f(x) x es el conjunto de los números reales y surango es el conjunto de los números enteros.
4.2. Función valor absolutoLa función valor absoluto se simboliza como f(x) |x| y se define como
f(x) |x| x si x 0
x si x 0Por ejemplo, f(2) |2| 2, f( 4) | 4| 4, f(0) |0| 0La gráfica de la función valor absoluto se representa en la figura 31.El dominio de la función f(x) |x| es el conjunto de los números reales y elrango es el conjunto de los reales no negativos.
UNIDAD 2 • FUNCIONES
1 2 3 4 5
x
12345
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
Figura 30
1 2 3 4 5
x
12345
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
1 2 3 4 5
x
12345
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
Figura 31
1 2 3 4 5
x
12345
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
y
Figura 32
Representar gráficamente las siguientes funciones.a. f(x) |x 1|
x2 si x 0
b. h(x) 2 si x 0
x si x 0
SOLUCIÓN
a. A partir de la definición de la función valor absoluto se tiene que
f(x) |x 1| x 1 si x 1 0
(x 1) si x 1 0
es decir
Así, la gráfica de la función se obtiene a partir de las rectas y x 1 y y x 1(figura 32).
b. La gráfica de h(x) se obtiene a partir de la repre-sentación gráfica de la parábola y x2, para todoslos x menores que cero.
Para x 0, el punto (0, 2).
La recta y x para todos los x mayores que 0.
Se puede observar que el punto (0, 0) no pertene-ce a la gráfica pues h(0) es igual a 2.
En particular se puede observar que la funciónh(x) así definida no describe una gráfica continua.
Ejercicio resuelto
x 1 si x 1
x 1 si x 1
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4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
ACTIVIDADES 7
EJERCITACIÓN. Construir una tabla de valores para cadafunción, luego trazar su gráfica y determinar si la funciónes creciente o decreciente.
1. f(x) 3x 2. f(x) (1,5)x
3. y (0,4)x 4. yx
5. f(x) x
6. yx1
423
1
3
EJERCITACIÓN. Trazar la gráfica de cada función. Escribir sudominio y su rango.
17. f(x) 5 si x 2
(x 2)2 si x 2
18. f(x) x2 si x 0
x2 si x 0
19. f(x)
|x| si 8 x 0
2x si 0 x 2
x 3 si x 21
2
PROBLEMAS. Resolver.
Una hoja de papel se corta por la mitad y uno de los peda-zos se ubica sobre el otro. Luego, los papeles en el montónse cortan por la mitad y se ponen uno encima del otro.
11. ¿Cuántos papeles resultan después del primer corte?
12. ¿Cuántos papeles resultan después del segundo corte?
13. ¿Cuántos papeles resultan después del tercero y delcuarto corte?
14. Usar la regularidad encontrada en el paso anteriorpara escribir una expresión que relacione el número depedazos de papel después de x cortes.
15. El grosor del papel corriente es aproximadamente0,0075 cm. Escribir una ecuación para el grosor de unapila de pedazos de papel después de x cortes.
16. ¿Cuán gruesa será la pila de papel después de realizar30 cortes?
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
RAZONAMIENTO. Determinar el dominio y el rango de lassiguientes funciones.
21.
22.
23.
24.
20. f(x)
x si 0 x 1
x 1 si 1 x 2x 2 si 2 x 3x 3 si 3 x 4
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56
LOS PUENTES COLGANTES SON ESTRUCTURAS LIGERAS FORMADASPOR CABLES PRINCIPALES, TORRES Y ANCLAJES.
El cable en un puente es un elemento flexible, es decir, no tiene rigidez y por lo tanto resis-te flexiones. Si se le aplica una fuerza formará la trayectoria de la composición de fuerzasque actúan sobre él. Una de las curvas que forma el cable es la parábola y para los cálcu-los se ha utilizado la función de segundo grado. El cable, elemento fundamental de laestructura, debe mantenerse entre dos torres, que son los elementos más difíciles de pro-yectar en la estructura de los puentes colgantes.
La expresión cuya gráfica es una parábola con vértice en el eje y es y ax2 b.1. Conociendo el valor de b, ¿cómo se puede determinar el valor para a para un diseño parti-
cular? Describir el método.2. Dependiendo de qué tanto esté abierta la parábola, el valor de a varía. Describir ciertos
valo-res posibles para a en un diseño que se considere y justificar la respuesta.3. Encontrar la altura de las torres donde están sujetos los cables de la siguiente figura.
INGENIERÍA
Puentes colgantesCables principales
Tirantes
Armadura derefuerzo
TorreAnclaje
h
6 m600 m
(60, 60)
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57
La gráfica muestra las curvas de solubilidad paradiferentes solutos.Usar la gráfica para responder las preguntas.5. ¿Qué tipo de función puede asignársele a cada
gráfico de solubilidad para cada compuesto?6. ¿Cuántos gramos de KCl se disuelven en
100 mL de agua a una temperatura de 80ºC?7. Dos gráficas muestran funciones de solubili-
dad decrecientes. ¿Cuáles sustancias mues-tran un decrecimiento en su solubilidad amedida que aumenta la temperatura?
8. ¿A qué temperatura las solubilidades de KCly NaCl son iguales?
9. A 80ºC, 100 gramos de Ba(OH)2 están com-pletamente disueltos en 100 mL de agua. Si lasolución se enfría hasta alcanzar una tempe-ratura de 62ºC, ¿cuántos gramos salen de lasolución?
10. ¿Qué sustancia a 10ºC muestra mayor solu-bilidad en 100 mL de agua?
11. Si la función de solubilidad fuera una funciónpar, ¿cuántos gramos de Yb2(SO4)3 se disolve-rían a una temperatura de 30ºC en 100 mLde agua? (Explicar por qué gráficamente esposible, pero no experimentalmente).
QUÍMICA
4. Averiguar el nombre de cada compuesto.KI NaNO3 KNO3KCl Ba(OH)2 NaClYb2(SO4)3 Ce2(SO4)3
RELACIÓN ENTRESOLUBILIDAD Y TEMPERATURA
La solubilidad de una sustancia indica qué tantode esa sustancia se disuelve en un volumen deagua dado. La sustancia que se disuelve se llamasoluto y la sustancia que hace que se disuelva sellama solvente. La sustancia resultante se llamaso-lución. Luego, la solubilidad nos indica la can-tidad de soluto que se disuelve en un solvente.La solubilidad depende de la naturaleza del sol-vente, la naturaleza del soluto y la temperaturade la solución.
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
010 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Temperatura ºC
Solu
bilid
ad (
g/10
0 m
L d
e ag
ua)
KI
NaNO
KNO
Ba(OH)
KClNaCl
Yb (SO )Ce (SC )
3
2
3
2 4 32 4 3
CURVAS DE SOLUBILIDAD
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58
USAR UNA FÓRMULALos juegos pirotécnicos se han convertido en un espec-táculo propio de las celebraciones de algunas ciudadesde nuestro país. Convocan a la familia a disfrutar de lasfiguras incandescentes que se forman y a recordar losprincipios de los cohetes.
La expresión que describe la altura de un objeto que selanza hacia arriba es
H(t) v0t gt2 h0
en donde v0 es la velocidad inicial en m/s, t es el tiem-po en segundos, g es la aceleración (g 9,8 m/s2) y h0es la altura inicial del objeto en el momento en el quees lanzado.
Un cohete de juegos pirotécnicos es lanzado desde unasuperficie ubicada a 1,5 m del suelo, a una velocidadinicial de 39,5 m/s.
1
2
1. Graficar la función que representa el viaje del co-hete.
2. Encontrar la altura máxima que alcanza el cohete.
3. Uno de estos cohetes está programado para explotara los 3 segundos y medio de haber sido lanzado. ¿A qué altura explota?
4. ¿Qué distancia lo separa del suelo en ese momento?
COMPRENDER EL ENUNCIADOEl salario de una persona que trabaja en ventas depen-de de las comisiones que recibe.
Por ejemplo, Luis recibe un salario básico de Bs. 600más 6% por cada venta superior a Bs. 300.
Venta 0 Bs. 100 Bs. 300 Bs. 350 Bs. 500 Bs. 800
Salario
5. Completar la tabla del salario de Luis.
6. Graficar la situación.
7. Escribir una ecuación que determine el salario deLuis.
8. Si Luis ha vendido $1.840.000, ¿qué salario recibirá?
EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICAEscribir el área de la región sombreada en términos de x.
9. x 2,3(x, y)
3y=x
(x, y)
f(x)= y2
10. Usar la expresión hallada para encontrar el áreadel triángulo si:
• x 1 • x 2 • x 3
12. Hallar el área del cuadrado si:
• x 1,5 • x 2 • x 2,3
11.
1.2 .
FUNCIÓN EXPONENCIAL.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA.
No es tan difícil como se piensa...En un laboratorio se observa que en un cultivo de bacterias, cada unade ellas se divide en dos nuevas bacterias cada cuarto de hora. Si ini-cialmente se cuenta con una población de 500 bacterias:a. Encontrar la expresión que permite determinar el número de bac-
teria después de cierto período de tiempo.b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el cultivo tenga una
población de 16 000 bacterias?
No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 65
3UNIDAD
Función exponencialy función logarítmica
• CRECIMIENTOS YDECRECIMIENTOS.
TEMAS
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FUNCIÓNEXPONENCIAL
1 En esta unidad se estudiarán las propiedades de dos de las funciones másimportantes en matemáticas: la función exponencial y la función loga-rítmica. Ambas, son empleadas para describir crecimientos o decreci-mientos en ciencias puras, económicas o sociales.
1.1. DefiniciónUna función exponencial es una función de la forma f(x) � ax, donde aes un número real positivo diferente de 1, y x es una variable.
Por ejemplo, las funciones f(x) � 2x, y � � �x � 1
y f(x) � 6�x � 3 son
funciones exponenciales.
Si a � �� con a � 1 entonces f(x) � ax es una función exponencial.
1.2. Análisis gráfico de las funciones exponencialesEn la mayoría de los casos el aumento de la población de insectos tieneun comportamiento exponencial. Por ejemplo, la expresión 2x describe elcrecimiento de una población de zancudos en cierta región. Para repre-sentarla gráficamente se construye la siguiente tabla de valores.
35
¿Por qué en la expresión y � ax,a debe ser diferente de uno?
�3 �2 �1 0 1 2 3
2�3 � 2�2 � 2�1 � 1 2 4 812
14
18
PARA RESPONDER
En la expresión y � ax, ax reci-be el nombre de potencia, a esla base y x es el exponente.
RECORDAR QUE
y
x 5 4 3 2 1 22 23 21 24 25
22
2
3
1
4
5
6
7
8 (3, 8)
(2, 4)
(1, 2)
(0, 1) 1 2
(21, )
A partir de la gráfica y de la tabla se pueden plantear las siguientes con-clusiones:• El y-intersecto está ubicado en 1.• Cuando x disminuye, el valor f(x) se acerca a cero.• Cuando x aumenta, el valor f(x) crece rápidamente.• f(x) es una función creciente.Al interpretar estas conclusiones dentro del contexto de la población dezancudos, se puede afirmar que el crecimiento de la misma es bastantealto.
Como el exponente puede tomar cualquiervalor, el dominio de la función es el con-junto �. Pero para el caso de la situación eldominio sólo son valores mayores o igualesa cero.A partir de la gráfica se puede observar que2x � 0, luego, el rango de f es (0, ��). Esdecir, la gráfica se encuentra por encima deleje x.
x
f(x) � 2x
La gráfica de la función es la siguiente.
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En la figura 1 se muestran las gráficas de las funciones exponencialesf(x) � 6x; f(x) � 4x y f(x) � 3x.A partir de estas representaciones se pueden mencionar algunas carac-terísticas de las funciones exponenciales:• Son crecientes.• Sus gráficas pasan por (0, 1).• Aumentan con rapidez cuando x aumenta.• No tienen puntos de corte con el eje x.• A medida que la base de la potencia crece, la gráfica de la función crecemás rápidamente.
En general:
Si f(x) � ax con a � 1, entonces, f(x) es una función creciente con dominio �y rango {x � � / x � 0}, no corta al eje x y pasa por el punto (0, 1).
Es posible analizar el comportamiento de f(x) � ax cuando 0 � a � 1. Acontinuación se hace este análisis a partir de un ejemplo.
UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Figura 1
Realizar la gráfica de la función f(x) � � �xy analizar su compor-
tamiento.
SOLUCIÓNLa tabla de la función es la siguiente:
x �3 �2 �1 0 1 2 3
f(x) 8 4 2 1
La gráfica de la función se muestra a continuación:
A partir de la gráfica y de la tabla se con-cluye:• El y-intersecto está ubicado en 1.• Cuando x disminuye, f(x) aumenta.• Cuando x aumenta, f(x) disminuye rápi-damente.
• f(x) es una función decreciente.
Como el exponente puede tomar cualquier valor, el dominio de f(x) es el con-junto de los números reales (�om f: �).
Como � �x
� 0 el rango de f(x) es (0, ��)(Rg f: {x � � / x � 0}).12
18
14
12
12
Ejercicio resuelto
y
x 5 4 3 2 1 22 23 21 24 25
22
2
3
1
4
5
6
7
8 y 5 3x
y 5 4x
y 5 6x
y
x 5 4 3 2 1 22 23 21 24 25
22
2
3
1
4
5
6
7
8 (23, 8)
(22, 4)
(0, 1)
1, 1 2 2
2
3, 1 8 2
2
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La gráfica de f(x) � � �xes ejemplo de las funciones exponenciales con
base mayor que cero pero menor que 1. Todas estas funciones son decre-cientes, sus gráficas se encuentran sobre el eje x, pasan por el punto(0, 1) y disminuyen con rapidez cuando el valor de x aumenta. En la figu-ra 2 se muestran las gráficas de otras funciones exponenciales con basemayor que 0 pero menor que 1.A partir de las gráficas se puede observar que la gráfica decrece más rápi-do cuando la base es menor. En general:
Si f(x) � ax con 0 � a � 1, entonces, f(x) es una función decreciente con domi-nio � y rango (0, ��), no intercepta al eje x y pasa por el punto (0, 1).
12
Figura 2
¿Cómo será la gráfica def(x) � �(2�x �3)?
PARA RESPONDER
Tomando como referencia la gráfica de f(x) � 2x, realizar la gráfica decada una de las siguientes funciones exponenciales.a. f(x) � 2�x b. f(x) � �(2x) c. f(x) � 2x � 4d. f(x) � 2x � 4 e. f(x) � 2x � 3 f. f(x) � 2x � 3
SOLUCIÓNa. Se refleja con respecto al eje y. b. Se refleja con respecto al eje x.
Ejercicio resuelto
y
x 5 4 3 2 1 22 23 21 24 25
22
2
3
1
4
5
6
7
8
16 2 2 x
y 5
14 2 2 x
y 5
1 3 2
2 x y 5
y
x6 8422224262822
24
4
2y 5 2x
y 5 2(2x)
y
x6 84222242628
4
2
6
8
y 5 2xy 5 22x
y
x6 84222242628
4
2
6
8
y 5 2x
y 5 2x 1 4
y
x6 84222242628
4
2
6
8
y 5 2xy 5 2x 1 4
y
x6 8422224262822
24
4
2
y 5 2x
y 5 2x 2 3
y
x6 84222242628
4
2
6
8
y 5 2x
y 5 2x 2 3
ALGO IMPORTANTEUn caso especial de la funciónexponencial es
f(x) � ex
donde e es el irracional llama-do número de Euler.
c. Se sube cuatro unidades. d. Se desplaza cuatro unidadesa la izquierda.
e. La gráfica se baja tres unidades. f. La gráfica se desplaza tres unidadesa la derecha.
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UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICAEn cierto cultivo de bacterias se introducen cuatro ti -pos de antibióticos durante cierto período de tiempo.
COMPRENDER EL ENUNCIADOLa ganancia G en millones de bolívares de unacompañía de telefonía celular, después de t años deser lanzada al mercado, está dada por la expresión:
G(t) � 90 000� �t
� 200 000
6. Trazar la gráfica de la función ganancia.7. ¿Cuál es la ganancia después de cinco años?8. ¿Cuántos años deben transcurrir para obtener
una ganancia de 201 406 millones?
12
9. ¿Cómo considera que es la situación de la com-pañía con el paso de los años?
La cantidad de personas que adquieren un artícu-lo después de t días de verlo en la televisión o escu-charlo en la radio, está dada por la expresión:
P � 100 � 2t/s
donde 100 es la cantidad inicial de personas.10. ¿Cuántas personas adquirieron el artículo des-
pués de siete días?11. Graficar la función p.
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x 4 3 2 1 22 23 21 24 21
22
23
24
1
4
3
2
y
x 4 3 2 1 22 23 21 24 21
22
23
24
1
4
3
2
Población A, Antibiótico 1 Población B, Antibiótico 2
Población C, Antibiótico 3 Población D, Antibiótico 4
4. Encontrar una expresión que permita determi-nar el comportamiento de cada población fren-te al antibiótico aplicado.
5. Si se considera que el antibiótico más eficaz esaquel que logra disminuir la población de bacte-rias en el menor tiempo, ¿cuál es el antibióticomás eficaz?, ¿cuál es el antibiótico menos efec-tivo? Justificar la respuesta.
EXTRAER DATOS DE UNA TABLADeterminar cuáles de las siguientes situacionespresentan un crecimiento exponencial. Justificar larespuesta.
1. Conservación de especies en vía de extinción.Población de tigres
de Bengala (1990-1998)
Año Total tigres
90 90091 87092 80093 81094 80595 70596 70097 72098 750
2. Estudio para conocer el número de bacterias deun cultivo.
Año 1 2 3 4Número de 100 10.000 1.000.000 100.000.000bacterias
3. Proyecciones de la población de Etiopía para elaño 2015, según el Banco Mundial.
Año 2007 2009 2010 2012 2015Habitantes 80 84 90 93 102(millones)
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1.3. Ecuaciones exponencialesUna ecuación que contiene incógnitas en los exponentes recibe el nom-bre de ecuación exponencial. Por ejemplo, las expresiones
25 � 5x, 3x � 1 � 8 son ecuaciones exponenciales.Resolver una ecuación exponencial, es encontrar el valor de la incógnitaque hace verdadera la igualdad. Para ello, se deben tener en cuenta laspropiedades de la potenciación y la siguiente propiedad.
Si ax � ay entonces x � y
Si a, b � � y m, n � �, enton-ces:• am � an � am � n
• � am � n
• (am)n � am � n
• a�n �
• (a � b)n � an � bn
• � �n
�
• a0 � 1, a � 0• a1 � a
anbn
ab
1an
aman
1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales.
a. 4x � 1 � 2 b. � �1 � x
� 4 c. 2x2 � 6 � 32x
SOLUCIÓNa. 4x � 1 � 2
(22)x � 1 � 2 Se descompone 4 en factores primos.
22x � 2 � 21 Se aplica la propiedad (ax)y � axy.
2x � 2 � 1 Se igualan los exponentes.
x � � � Se despeja x.
Para comprobar se remplaza x por � en la ecuación original así,
4� � 1 � 2 de donde 4 � 2, entonces, 2 � 2.
b. � �1 � x
� 4
(2�1)1 � x � 4 Se aplica la propiedad � a�n.
2�1 � x � 4 Se aplica la propiedad (ax)y � axy.
2�1 � x � 22 Se descompone 4 en factores primos.
�1 � x � 2 Se igualan los exponentes.
x � 2 � 1 � 3 Se despeja x.
c. 2x2 � 6 � 32x
2x2 � 6 � 25x Se descompone 32 en factores primos.
x2 � 6 � 5x Se igualan exponentes.
x2 � 5x � 6 � 0 Se iguala a cero.
(x � 3)(x � 2) � 0 Se factoriza.
x � 3, x � 2 Se soluciona cada ecuación.
Luego, las soluciones son x � 2 y x � 3. Se deja como ejercicio al lectorverificar las soluciones.
12
1an
12
12
1 � 22
12
Ejercicio resuelto
ALGO IMPORTANTE
RECORDAR QUE
Para comprobar se remplaza xpor 3 en la ecuación originalasí,
� �1 � 3
� 4 de donde
� ��2
� 4,
entonces, 4 � 4.
12
12
121
2
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UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
¿La expresión �x4� � 2 es una
ecuación exponencial?
PARA RESPONDER
EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones expo-nenciales.1. 2x � 16 2. 32x � 273. 95x � 1 � 81x � 2 4. 7x2 � 2x � 49�3x � 5
5. 42x � 2 � 2x2 6. 3x2 � x � 9
7. � �5x
� 243 8. � �x
� 83x � 1
RAZONAMIENTO. En cada caso, realizar las gráficas de lasfunciones dadas en el mismo plano. Luego, utilizar losgráficos de estas funciones para hallar la solución dela ecuación dada.11. f(x) � 2x y g(x) � x2. Resolver 2x � x2.12. f(x) � 3x y g(x) � x3. Resolver 3x � x3.
* PARA PENSAR.13. ¿Cuál es la solución de la ecuación nx � xn?
14
13
MODELACIÓN. Hallar el valor de x en cada caso.14. Si a � �5� � �2� y b � �5� � �2�, resolver32ab � 9x.15. Si 93m � �27�, resolver 42x � 1 � 16m.
PROBLEMAS. Resolver.16. Un número de bacterias del tipo T3, aumenta enel cuerpo de un animal el triple cada media hora. Si lapoblación inicial es de 10 bacterias, ¿cuántas habrátranscurridas 8 horas?20. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que en elcuerpo del animal haya 810 bacterias?21. La población p de un continente está dada por larelación
p (t) � 10� �Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrió paraque la población del continente se cuadruplicara?
32
ACTIVIDADES 1Figura 3
2. En un laboratorio se observa que, en un cultivo de bacterias, cadauna de ellas se divide en dos nuevas bacterias cada cuarto de hora.Si inicialmente se cuenta con una población de 500 bacterias:a. Encontrar la expresión que permite determinar el número de bacterias,
después de cierto período de tiempo.b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el cultivo tenga una población
de 16 000 bacterias?
SOLUCIÓNa. Como cada bacteria se divide en dos cada cuarto de hora (figura 3) la expre-
sión 24x determina el número de bacterias por hora. Así, se determina laexpresión y � 500(24x) donde y es el total de bacterias al final de cada hora,y x es el tiempo en horas.
b. y � 500(24x) Ecuación para calcular el total de bacterias.
16 000 � 500(24x) Se sustituye y por 16 000.
� 24x Se trasponen términos.
32 � 24x Se resuelven las operaciones indicadas.
25 � 24x Se descompone 32 en factores primos.
5 � 4x Se aplica la propiedad.
x � � 1 Se resuelve la ecuación.
Luego, para que el cultivo tenga una población de 16 000 bacterias debetranscurrir una hora y cuarto.
14
54
16 000500
14
h 34
h12
h
21 22 23
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
9. 83x � 5 � 10. � �x2
� � �81
251
51
16
t10
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FUNCIÓNLOGARÍTMICA
2 2.1. Concepto de logaritmoSe denomina logaritmo de un número x de base a, al número y al cual seeleva la base a para obtener la potencia x. Es decir,
Loga x � y si y sólo si ay � x con a � 0 y a � 1.
Por ejemplo, la expresión Log3 81 � 4 significa que cuatro es el exponenteal que hay que elevar 3, para que el resultado sea 81.Se dice que Log3 81 � 4 es la forma logarítmica y 34 � 81 es la forma expo-nencial.
ALGO IMPORTANTELos logaritmos más utilizados,puesto que pueden ser encon-trados por medio de la calcula-dora, son:• Los logaritmos decimales o
de base diez, notadosLog10 � Log.
• Los logaritmos naturales ode base e, notados ln.
1. Calcular los siguientes logaritmos.a. Log2 16 b. Log3 1 c. Log4
SOLUCIÓNa. Log2 16 � 4 pues 16 � 2 � 2 � 2 � 2 � 24
b. Log3 1 � 0 pues 30 � 1
c. Log4 � �3 pues � � � � �3
� 4�3
2. Expresar en forma logarítmica o en forma exponencial según corres-ponda.a. 53 � 125 b. Log 16 � �4
SOLUCIÓNa. 53 � 125 en forma logarítmica es Log5 125 � 3
b. Log 16 � �4 en forma exponencial es � ��4
� 16
14
14
14
14
164
164
12
12
12
Ejercicio resuelto
2.2. Definición de función logarítmicaUna función f(x) � y � Loga x con a � 0 y a � 1 recibe el nombre de fun-ción logarítmica.Por ejemplo, y � Log3 x; y � Log x; y � Log x son funciones loga-rítmicas.
2.3. Análisis gráfico de la función logarítmicaGraficar una función logarítmica a partir de su tabla de valores puede seruna tarea muy costosa, puesto que introducir valores de x y despuésencontrar los correspondientes valores de y no es fácil. Por ejemplo, six � 3, entonces, y � Log2 3, lo cual no es sencillo determinar.Así, para representar gráficamente la función logarítmica es convenien-te usar la forma exponencial equivalente y proceder como se hace con lafunción exponencial.
54
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En general, para la función logarítmica y � Loga x se tiene que:• El dominio de la función es el conjunto de los reales positivos o el inter-valo (0, ��).
• El rango de la función es el conjunto de los números reales.• El x-intercepto es el punto (1, 0).• La función es creciente si a � 1 y es decreciente si 0 � a � 1.• La recta x � 0 es una asíntota para la gráfica de la función logarítmica,pues la gráfica de la función se acerca a ella sin llegar a tocarla.
• No existen logaritmos de números negativos.
UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
x f(x) � Log2 x
�3
�2
�1
1 02 14 28 3
Tabla 1
x f(x) � Log x
8 �34 �22 �11 0
1
2
3
Tabla 2
18
14
12
12
12
14
18
ALGO IMPORTANTEUna asíntota es una recta a laque se acerca la gráfica de unafunción pero nunca llega a cor-tarla.
Representar gráficamente las siguientes funciones logarítmicas y veri-ficar sus características.a. y � f(x) � Log2 x b. y � f(x) � Log x
SOLUCIÓNa. y � log2 x es equivalente a 2y � x luego, en este caso es más conveniente
dar valores a y en la expresión 2y � x para hallar el valor de x (tabla 1).
A partir de la gráfica se observa que lacurva se encuentra ubicada al lado dere-cho del eje y por lo tanto, el dominio de lafunción es el conjunto ��.Como el exponente puede tomar cualquiervalor, el rango de la función es el conjun-to �.
Como lo muestra la tabla 1, el x-intercepto es 1. Además, cuando el valorde x aumenta, el valor de f(x) también aumenta, luego, y � Log2 x es unafunción creciente.
b. y � f(x) � Log x es equivalente a � �y
� x, de la misma manera que
en el caso anterior, para elaborar la tabla se dan valores a y en la expresión
� �y
� x para encontrar los valores de x (tabla 2).
A partir de la gráfica se observa que el dominio de la función es el conjun-to ��.
Como el exponente puede tomar cualquiervalor, el rango de la función es el conjun-to �.El x-intercepto es 1 según lo muestra latabla 2. Además, se observa que cuando elvalor de x aumenta el valor de f(x) dismi-nuye, luego, y � Log x es una funcióndecreciente.
12
12
121
2
12
Ejercicio resuelto
y
x 5 6 7 8 4 3 2 1 22 23 21 21
22
23
1
3
2
,21 1 2 1 2
(1, 0) (2, 1)
(4, 2) (8, 3)
y
x 5 6 7 8 4 3 2 1 22 23 21 21
22
23
1
3
2
(1, 0)
(2, 21)
(4, 22)
(8, 23)
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En general, en la expresión y � [Loga(x � b)]� c la gráfica de la funcióny � Loga x:
• Se sube c unidades si c � 0 o se baja c unidades si c � 0.
• Se desplaza b unidades a la derecha si b � 0 o b unidades a la izquier-da si b � 0.
ALGO IMPORTANTELa gráfica y � Loga x es lareflexión con respecto a la rectay � x de la gráfica y � ax
¿Cómo será la gráfica def(x) � �[Log2(�x � 3)]?
PARA RESPONDER
A partir de la gráfica de la función f(x) � Log2 x, realizar la gráficade cada una de las siguientes funciones logarítmicas.a. f(x) � Log2(�x) b. f(x) � �Log2 x c. f(x) � Log2 x � 4d. f(x) � Log2(x � 4) e. f(x) � Log2(x � 3) f. f(x) � (Log2 x) � 3
SOLUCIÓNa. Se refleja con respecto al eje y. b. Se refleja con respecto al eje x.
Ejercicio resuelto
y
x543212223 212425
22232425
1
432
5
y 5 Log2 (2x)
y 5 Log2 x
y
x543212223 212425
22232425
1
432
5
y 5 Log2 x
y 5 2Log2 x
y
x543212223 212425
22232425
1
432
5
y 5 Log2 x
y 5 Log2 x 1 4
y
x543212223 212425
22232425
1
3
5
y 5 Log2 xy 5 Log2 (x 1 4)
y
x5 643212223 21
22232425
1
432
5
y 5 Log2 x
y 5 Log2 (x 2 3)
y
x543212223 212425
222324252627
1
32
y 5 Log2 x
y 5 (Log2 x) 2 3
y
x543212223 2124252122232425
1
432
5
e. Se desplaza tres unidades f. Se baja tres unidades.a la derecha.
c. Se sube cuatro unidades. d. Se traslada cuatro unidadesa la izquierda.
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UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
EJERCITACIÓN. Calcular los siguientes logaritmos.1. Log2 8 2. Log3 273. Log 10 000 4. Log4 1
5. Log5 625 6. Log
7. Log 81 8. Log 3 125
9. Log 256 10. Log312
181
13
15
12
116
EJERCITACIÓN. Completar las tablas de las funciones logarítmicas respectivas. Luego, graficarlas y determinarsu dominio, rango y crecimiento.
21. x 1 3 9 27 22. x 1 5 25 125 23. x 1 5 25
y �1 2 y 0 3 y 2 �1
MODELACIÓN. Relacionar cada gráfica con las funciones logarítmicas dadas.24. y � Log4 x 25. y � Log4(�x) 26. y � �Log4 x 27. y � �Log4(�x)28. y � Log4 x � 1 29. y � Log4(x � 1) 30. y � Log4(1 � x) 31. y � �1 � Log4 x
15
125
15
13
EJERCITACIÓN. Expresar los siguientes logaritmos enforma exponencial.11. Log3 81 � 4 12. Log5 25 � 213. Log2 64 � 6 14. Log7 343 � 315. Log2,2 N � 3 16. Logx e �
17. Log 27 � �3 18. Log 32 � �5
19. Log 125 � �3 20. Log10 1 � 0
12
13
15
RAZONAMIENTO. Dibujar en el mismo plano las siguien-tes funciones. Luego, responder.
y � 4x; y � Log4 x32. ¿Son simétricas respecto a la recta y � x?33. ¿En cuántos puntos se cortan?34. ¿En cuántos puntos se cortan las funcionesy � Log8 x, y � Log2 x y y � Log4 x?
PROBLEMAS. Para cierta población de células el creci-miento N en un tiempo t está dado por:
N � 4 Log3(1 � t)35. ¿Qué significado tiene el número 4 en dicha ex-presión?36.Hacer la gráfica de la función anterior y determinarqué significado tiene al ser creciente o decreciente.
ACTIVIDADES 2
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x43212223 2124 21222324
1
432
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x43212223 212421222324
1
432
y
x43212223 212421222324
1
432
a. b. c. d.
e. f. g. h.
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2.4. Propiedades de los logaritmosPara todo a, x, y � �� se verifican las siguientes propiedades.
1. Simplificar la expresión Loga aplicando la propiedad de loslogaritmos.
SOLUCIÓN
Loga � Loga x2�y� � Loga z Se aplica la propiedad 2.
� Loga x2 � Loga �y� � Loga z Se aplica la propiedad 1.
� 2 Loga x � Loga �y� � Loga z Se aplica la propiedad 4.
� 2 Loga x � � Loga z Se aplica la propiedad 5.
2. Expresar como un solo logaritmo Loga x4 � Loga x2 � 3 Loga x.
SOLUCIÓN
Loga x4 � Loga x2 � 3 Loga x
� Loga(x4)1/2 � Loga x2 � Loga x3 Se aplica la propiedad 4.
� Loga x2 � x2 � Loga x3 Se aplica la propiedad 1.
� Loga � Loga x Se aplica la propiedad 2y se multiplica la expresión.
3. Si Loga 2 � 0,43 y Loga 3 � 0,68, calcular el valor de Loga 6.
SOLUCIÓNLoga 6� Loga(2 � 3) Se descompone 6 como 2 � 3
� Loga 2 � Loga 3 Se aplica la propiedad 1
� 0,43 � 0,68 � 1,11 Se remplaza Loga 2 y Loga 3y se resuelven las operaciones indicadas.
4. Indicar el error cometido en la simplificación de la siguienteexpresión. Luego, corregirlo.Loga(xy2) � Loga x Loga y2 � Loga x � 2 Loga y � 2 Loga x Loga y
SOLUCIÓNEl error se cometió al aplicar la propiedad 1. La corrección del ejercicio semuestra a la izquierda.
x4x3
12
12
Loga y2
x2�y�z
x2�y�z
Ejercicio resuelto
Corrección del ejercicio 4
Loga(xy2) � Loga x � Loga y2
� Loga x � 2 Loga y
Loga x � y � Loga x � Loga y Loga � Loga x � Loga y Loga x �
Loga xy � y Loga x Loga �xy� � Loga 1 � 0 para a � 0 Loga a � 1Loga y
x
Log xLog a
xy
1 2 3
7654
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UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
EJERCITACIÓN. Simplificar cada expresión aplicando laspropiedades de los logaritmos.1. Log2 �2� 2. Log3 �27�
3. Log2 �3 ����� 4. Log4 �5 �5. e2ln10 6. 25 Log2 3
7. Logn 8. Logm �5 �
9. Logn �4� 10. Logm � �2
RAZONAMIENTO. Escribir V, si la afirmación es verdade-ra, o F, si es falsa. Justificar la respuesta.11. Loga(n � m) � Loga n � Loga m12. Loga(n � m) � Loga n � Loga m13. Loga an � a Loga n14. Loga an � bn � n(1 � Loga b)15. Logn �m
x� � Logn x � Logn m16. Logx y � Logy x � 117. Loga am � Log�
a
b� b18. Logn(x
2 � y2) � Logn x2 � Logn y2
xy3�z3�
x(x � b)2
�b�
z � x3y4(z � x)2
�3 y�
116
132
EJERCITACIÓN. Escribir cada expresión como un solologaritmo.
19. Log2 x � 3 Log2(x � 2)
20. Log5 a � 1 � 3 Log5(a2 � 1)
21. 3 Log(m � n) � 4 Log m � 5 Log n
22. Loga 8 � 8 Loga 2 � 4 Loga 4
23. [Log7(y3 � 8) � 2 Log7(y � 2)]
24. [Loga(x2 � 4x � 4) � Loga(x � 2) � Loga(x � 2)]
RAZONAMIENTO. Unir las expresiones equivalentes.
25. Log3 � � a. Log�5� 625
26. Log�5� 54 b. �2
27. Log2 c. Log2 6�2
29. Log3 5�3 e. �3
136
127
12
13
EJERCITACIÓN. Si Logb 4 � 2, Logb 5 � 10, Logb 6 � 18 y Logb 7 � 14, calcular.
30. Logb � � 31. Logb 20�5� 32. Logb �42� 33. Logb �3 14�0�
35. Log �2 �2�16��8�� 36. Logb Logb 256 37. Logb 7Log
b30
3035
ACTIVIDADES 3
PROBLEMAS. El volumen de un sonido es definido porlos físicos como intensidad. La intensidad es la canti-dad de energía que transmite una onda sonora a tra-vés de un área dada. El volumen D, medido endecibeles (en honor a Alexander Graham Bell), estádado por la expresión:
D � 10 Log� � dondeD: cantidad de decibeles.I: intensidad del sonido,medida en vatios pormetro cuadrado (W/m2).
Io: sonido menos intenso que puede detectar el oídohumano, 10�12 W/m2.
38. Si una conversación normal tiene una intensidadde 3,2 � 10�6 W/m2. Calcular el número de decibelesde la conversación.
39. Calcular la cantidad de decibeles en una conges-tión vehicular, si se percibe con una intensidad de8,5 � 10�4 W/m2.
40. Si el umbral de dolor del oído humano se experi-menta por encima de los 120 decibeles, ¿es posible queun ruido de construcción a 3 m de 10�1 W/m2 pro-duzca esta sensación? Justificar la respuesta.
IIo
28. Log 49 d. Log3 � �17
1125
34. Logb �4 �28120
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2.5. Ecuaciones logarítmicasUna ecuación que contiene una incógnita en un logaritmo recibe el nom-bre de ecuación logarítmica. Por ejemplo, Log2 3x � 5 es una ecuaciónlogarítmica.Para resolver una ecuación logarítmica es necesario expresar la ecuacióndada en forma exponencial. Luego, se resuelve aplicando los procesosalgebraicos conocidos.
JOHN NAPIER(1550-1618)
Barón de Merchiston en Escocia.Dio a conocer los logaritmos en sulibro titulado Mirifici Lo garith-morum Canonis Descriptio, a loscuales llamó números artificiales.Con estos números contribuyó alavance de la ciencia, especial-mente en la astronomía, pues sim-plificó el cálculo manual de lasmatemáticas, ya que las multipli-caciones se convirtieron en su-mas, los cocientes, en restas, laspotencias, en productos y las raí-ces, en divisiones.
MATEMÁTICOSDEL SIGLO XVII…
1. Resolver la siguiente ecuación Log2 8x � 4 � Log2(x � 1).
SOLUCIÓNSe expresa como un solo logaritmo la ecuación dada. Así,Log2 8x � 4 � Log2(x � 1) Log2 8x � Log2(x � 1) � 4 Se transponen términos.
Log2 8x(x � 1) � 4 Se aplica la propiedad 1.
24 � 8x(x � 1) Se expresa en forma exponencial.
8x2 � 8x � 16 � 0 Se resuelven las operaciones indicadas.
(4x � 4)(2x � 4) � 0 Se factoriza.
x � 1 y x � �2 Se solucionan las ecuaciones.
Al verificar las soluciones en la ecuación dada se descarta la solución x � �2,pues Log2(�16) y Log2(�3) no existen, luego, la única solución válida es x � 1.Para comprobar la solución se remplaza en la ecuación original.Así, Log2 8 � (1) � 4 � Log2(1 � 1)
3 � 4 � 13 � 3
2. Resolver la siguiente ecuación exponencial 3x � 2 � 6.
SOLUCIÓN3x � 2 � 6 Ecuación dada.
Log 3x � 2 � Log 6 Se aplica logaritmo en ambos miembros.
(x � 2) Log 3 � Log 6 Se aplica la propiedad 4.
x � � 2 Se despeja x.
Al remplazar x en la ecuación original se verifica que el valor hallado sí es unasolución de la ecuación.
Log 6Log 3
Ejercicio resuelto
2.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicasUn conjunto formado por dos ecuaciones logarítmicas recibe el nombrede sistema de ecuaciones logarítmicas.Para solucionar un sistema de ecuaciones logarítmicas se expresa cadaecuación en forma exponencial y se procede de manera similar a los sis-temas de ecuaciones lineales estudiadas en la unidad 4.
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UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Resolver el siguiente sistema
�2 Log2 x � Log2 y � 4Log2 x � 2 Log2 y � 5
SOLUCIÓNEl sistema �2 Log2 x � Log2 y � 4 Se transforma en
Log2 x � 2 Log2 y � 5
�Log2 x2 � y � 4 Se aplican las propiedades de los logaritmos.
Log2 xy2 � 5
�x2 � y � 24 Se expresan en forma exponencial.
xy2 � 25
Luego, x � 2 y y � 4 Se soluciona el sistema.
Ejercicio resuelto
EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones loga-rítmicas.1. Log12(x � 5) � Log12(x � 5) � 22. Log3 x � Log3(2x � 51) � 43. Log5(3x � 2) � 1 � Log5(x � 4)4. Log6(x � 1) � Log6(x � 4) � 25. Log10 x � Log10(x � 3) � 16. 1 � Log10(x � 2) � Log10(3x � 1)
7. �Log3 �x��� 3� � Log3 �x� � Log3 �2�8. Log2 x � Log2 4 � Log7 499. Log2 Log2 16 � 1 � Log2 x
EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones si Log2 � 0,3; Log 3 � 0,47; Log 5 � 0,69.10. 25x � 1 � 32x 11. 54x � 412. 35x � 4 � 2x � 1 13. 2�x � 4 � 510x
14. 9x � 4 � 82x � 1 15. 25�2x � 3 � 275x � 6
16. � �3x � 6
� � ��x � 5
17. 3x2 � 2x � 54x � 2
* PARA PENSAR. Marcar con (V) si la solución dada veri-fica la ecuación.
18. � Log10 x2 � Log10 � 1; x � 2
19. � Log10(x � 3) � 1 � Log10 � x; x � �2
10x � 1110
12
13
20. � Log2(2x � 3) � Log2(x � 1) � 4; x �
21. � Log3(8x3 � 1) � 1 � Log3(4x2 � 2x � 1); x � 0
EJERCITACIÓN. Resolver los siguientes sistemas de ecua-ciones.
22. � 2 Log6 x � Log6 y � 5Log6 x4 � Log6 y5 � 3
23. � Log10 x � Log10(y � 3) � log10 6Log10 (x � 7) � Log10(x � 2) � 1
24. � Log3 x4 � Log3 y5 � 19Log3 x3 � Log3 y3 � �6
25. � Log x6 � Log y � 5
7 Log6 x � 5 Log6 y � 3
26. � 7 Log x � 3 Log y � 5Log2 x5 � 4 Log2 y � �11
PROBLEMAS. Resolver.Una sustancia radiactiva decrece de acuerdo con laexpresión
N � 27,273e�0,41t
donde N es el número de miligramos por hora.27. Determinar el número de horas que se requierenpara que sólo quede un miligramo.
1914
ACTIVIDADES 4
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CIENCIAS SOCIALES
Crecimientos y decrecimientosLa base e
Muchos problemas de la naturaleza necesitan de una fun-ción exponencial cuya base es un número irracional, sim-bolizado por la letra e, en honor del matemático suizoLeonardo Euler (1707-1783).
e es aproximadamente igual a 2,71828…
La función exponencial f(x) � ex, aparece con tal fre-cuencia en las aplicaciones, que se conoce, por lo gene-ral, como la función exponencial.
A continuación, se muestra la tabla de valores (aproximada) de ex y de e2x y sus gráficas respectivas.
La gráfica de y � ex está entre las gráficas de y � 2x y y � 3x.
x ex e2x
23 0,05 20,122 0,13 7,3921 0,37 2,720 1 11 2,72 0,372 7,39 0,133 20,1 0,05
La función exponencial se presenta con gran frecuencia en el análisis económicoy en problemas que implican crecimiento o decrecimiento, como en estudios depoblación, interés compuesto y desintegración radiactiva.
Un elemento radiactivo decrece de manera que, después de t días, elnúmero de miligramos N presentes, está dado por N � 100e�0,062t
1. Hacer un bosquejo de la gráfica de la función anterior.2. ¿Cuántos miligramos había inicialmente?3. ¿Cuántos miligramos hay después de cinco días?4. ¿Cuántos días se requieren, aproximadamente, para obtener 53,8 mg?5. Después de un año, ¿qué pasa con el elemento radiactivo?
y
x1 2 3 421222324
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x) 5 e2x f(x) 5 ex
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La velocidad con la que consume el hombre los recursosnaturales supera, en la mayoría de los casos, la velocidadcon que se genera el recurso.
El mismo comportamiento poblacional del hombre es unfactor de cambio. Cada hora nacen más de 11 000 per-sonas y la población se incrementa alrededor de 1 000millones.
Hace 10.000 años existían en el mundo entre cinco y diezmillones de personas. A partir de entonces, el creci-miento de la población fue gradual, pero relativamentelento, hasta llegar al siglo XX, donde el crecimiento seaceleró.
Una expresión que permite calcular la poblaciónmundial a corto tiempo, es:
P(t) � Poekt
donde,Po: es la población inicialk: es la constante de crecimiento, de acuerdocon el puntaje anual.
Si se tiene que Po � 6 350 millones (poblaciónen el año 2006) y k � 0,012.9. Calcular la población mundial para los años
2015, 2024 y 2044.10. Comparar los resultados obtenidos en los
numerales 2 y 4. ¿Existe alguna diferencia?Justificar.
Según los especialistas, la población humana ten-derá a estabilizarse a principios del próximo siglo,y esta cifra se aproximará a 10 600 millones.
EL CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN HUMANA
Un problema ecológico
Crecimiento de la población mundialNúmero de personas (millones) Año
1 000 1804
2 000 1927
3 000 1960
4 000 1974
5 000 1987
6 000 1999
Dentro de 100 años, la Tierra habrá superado los 10 000 millones de habitantes. Tal vez, los recursos para ali-mentarlos puedan cubrir sus necesidades mínimas. Pero es imposible predecir el costo para el ambiente.
6. Hacer una gráfica que represente el crecimiento de la población mundial.7. A partir de la gráfica, estimar la población mundial para los años 2015, 2024 y 2044.8. ¿Qué se puede concluir con base en los resultados anteriores?
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RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 A 4 A PARTIR DELAS SIGUIENTES GRÁFICAS.
A. C.
B. D.
1. “La temperatura de una ciudad disminuye cons-tantemente”. Este enunciado representa el com-portamiento de la gráfica C. Esta afirmación es
A. verdadera, porque muestra el cambio a travésdel tiempo.
B. falsa, porque la gráfica C representa una fun-ción creciente.
C. verdadera, porque muestra que decrece enfunción del tiempo.
D. falsa, porque no muestra el cambio en la tem-peratura.
2. Un enunciado que describe el comportamiento dela gráfica D es
A. un avión que sobrevuela varias veces un aero-puerto antes que se permita su aterrizaje.
B. la temperatura aumentó durante las horas de lamañana, pero nunca sobrepasó los 20° grados.
C. luego de suministrar un medicamento a unpaciente sus pulsaciones disminuyen hastaser constantes.
D. las ventas en función del precio del producto.
3. La temperatura aumentó en la mañana. Hacia elmediodía descendió pues hubo un gran aguacero.La gráfica que representa mejor el enunciadoanterior es
A. la gráfica A. C. la gráfica C.
B. la gráfica B. D. la gráfica D.
4. Cada una de las gráficas puede representar unafunción. Esta afirmación es
A. verdadera, porque cada una de ellas es la grá-fica de una función exponencial.
B. verdadera, porque no hay ningún punto en eldominio con dos imágenes distintas.
C. falsa, porque no todas las funciones son expo-nenciales.
D. falsa porque al trazar una línea paralela al eje xesta toca a la gráfica en más de dos puntos.
RESPONDE LAS PREGUNTAS 5 A 6 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.
Un proyectil que es disparado por un cañón describeuna trayectoria parabólica.
La ecuación de dicha trayectoria está dada por.
y(x) � �x2 � 10x � 2
donde x y y se miden en metros y x representa la dis-tancia horizontal entre la bala y el cañón.
5. Cuando se dispara la bala, esta se encuentra a unaaltura de
A. 1 metro. C. 5 metros.
B. 2 metros. D. 7 metros.
6. Cuando la bala alcance una altura de 23 metroscayendo, la distancia horizontal entre la bala y elcañón será
A. 3 metros. C. 7 metros.
B. 5 metros. D. 9 metros.
Identifica la respuesta adecuada.TIPO: SELECCIÓN MÚLTIPLE, RESPUESTA ÚNICA. Las siguientes preguntas están formadas por unenunciado y cuatro posibles respuestas de las cuales una es correcta.
t t
t t
y
x
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1 .2 .3 .
4 .
5 .
CONCEPTOS PREVIOS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL
PRIMER CUADRANTE.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Para determinar la altura de unedificio, Sebastián se ubica a 8 mdel pie de este y mide el ángulode 60º como se muestra en lafigura. Si la estatura de Sebastiánes 1,47 m, determinar la alturadel edificio.
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 105
BA
60º
8 m
h
C
4UNIDAD
Funcionestrigonométricas I
• TRAS LAS HUELLAS.• COMPARACIONES.• DISTANCIA A LA TIERRA.• LEY DE SNELL.
TEMAS
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C
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lado final
lado inicial
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CONCEPTOS PREVIOS1 1.1. ÁngulosUn ángulo es la unión de dos rayos o semirrectas con el mismo origen. A lassemirrectas se les denomina lados y al origen común se le llama vértice. Enla figura 1 se muestra el ángulo ABC.Según esta definición, el orden en que se nombran los lados del ángulo es indi-ferente. Sin embargo, en el estudio de la trigonometría es importante tener encuenta el lado del ángulo que se nombra primero. Es decir, hay diferencia entre
ABC y CBA. En ABC, BA es el lado inicial y BC es el lado final (figura 2).En CBA, BC es el lado inicial y BA es el lado final (figura 3). Considerados así,los ángulos se llaman orientados. Los ángulos también se pueden notar por lasletras griegas , , , , entre otras.
1.2. Ángulos sobre el plano cartesianoFigura 1
Un ángulo es positivo cuando segenera a partir de una rotaciónque tiene sentido contrario a lasmanecillas del reloj.
Un ángulo es negativo cuando segenera a partir de una rotaciónque tiene el mismo sentido de lasmanecillas del reloj.
PARA RESPONDER
Dos ángulos en posición normal pueden tener elmismo lado final, en este caso se dice que losángulos son coterminales. Por ejemplo, en lasiguiente figura, los ángulos , y son coter-minales.
ángulo positivoángulo positivoángulo negativo
Se puede observar que en el ángulo el ladofinal da más de una vuelta.
Cuando un ángulo se encuentra en posición normal, la ubicación del lado finalpermite determinar el cuadrante al cual pertenece. En los siguientes diagra-mas se presentan ángulos en posición normal, ubicados en cada uno de los cua-drantes.
Un ángulo se considera en posición canónica o normal cuando, en un sistemade coordenadas, el vértice de coincide con el origen y su lado inicial coincide conel semieje positivo x.
A
C
B
Figura 2
Figura 3
A
C
B
lado inicial
lado final
y
x
y
x
I
y
x
II
y
x
III
y
x
IV
CBA
ABC
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1.3.3. Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico
Puesto que la longitud de la circunferencia es 2 r, se tiene que la longitud delarco correspondiente a un ángulo de 360º es igual a 2 arcos cuya medida es r,
por tanto, 360º 2 rad, ⇒ 1º rad ⇒ º 1 rad.
En la figura 5 se muestran algunas medidas en grados y en radianes.
180180
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
¿A cuántos segundos equivale ungrado?
PARA RESPONDER
Figura 4
r
B
A
(
(
AB
medida AB = r
Figura 5
90º
0º360º
270º
180º
135º 45º
315º225º
2
4
2
4
2
4
4
7
3
5
3
Expresar el ángulo de 35,225º en grados, minutos y segundos.
SOLUCIÓN
Primero se determinan los minutos a los que equivale la parte decimal.
0,225 60 13,5’ Se multiplica por 60.
Luego, se determinan los segundos a los que equivale la parte decimal.
0,5 60 30” Se multiplica por 60.
Así, 35,225º 35º 13’ 30’’.
1.3. Medición de ángulosLos ángulos se miden en grados y en radianes. El grado es la unidad de medi-da de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radián es la medida de losángulos en el sistema cíclico.
1.3.1. Medida de ángulos en el sistema sexagesimal
Un ángulo generado por la rotación del lado final en una vuelta mide 360 gra-dos y se denota 360º.
El grado sexagesimal (1º) se define como de una vuelta.
Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos (1º 60’).Un minuto equivale a 60 segundos (1’ 60”).
1360
Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mideigual que un radio.
Ejercicio resuelto
1.3.2. Medida de ángulos en el sistema cíclico
Sobre una circunferencia, un ángulo central, , determina un arco AB (figura 4).Se dice que la medida de un ángulo es 1 radián (1 rad) si la longitud del arcoAB que le corresponde, es igual al radio de la circunferencia.
Expresar: a. 225º en radianes. b. rad en grados.
SOLUCIÓN
a. Como 1º rad, entonces, 225º 225 rad rad.
b. Como 1 rad º, entonces rad
3
4
34
180
54180180
Ejercicio resuelto
(
(
º 135º34
180
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EJERCITACIÓN. Ubicar aproximadamente el lado terminaldel ángulo dado en posición normal. Luego determinar sumedida en radianes.
1. 1º 2. 1,8º 3. �4º 4. 13,6º
5. 30º 6. 8º 7. 3º 8. �10º
9. 60º 10. 90º 11. 0,6º 12. 2,09º
EJERCITACIÓN. Encontrar un ángulo positivo y uno negativoque sea coterminal con cada ángulo dado.
13. �120 14. 15. 310º
16. � 17. �900º 18. �5�
19. 3� 20. 21. �
EJERCITACIÓN. Expresar las medidas de cada ángulo en gra-dos, minutos y segundos.
22. 38,20º 23. 49,371º 24. 10,38º
25. 0,479º 26. 2,489º 27. 45,5º
28. 30,7º 29. 60,728º 30. 1,276º
RAZONAMIENTO. Determinar en cada caso la fracción delángulo dado.
31. Los de un ángulo en posición normal que mide .
32. La mitad de un ángulo con medida 31º (expresar la res-puesta en grados, minutos y segundos).
33. de 70º 21’
34. de 70,35º
35. de 30,50º
36. de 12º 43’ 45’’
37. de 49º 15’1
�7
3�4
2�3
1�101
�5
��2
2�5
3��5
��4
8��3
9��4
ACTIVIDADES 1RAZONAMIENTO. Realizar la operación indicada.38. 15,89º � 12º 25’ 14”
39. 214º 35’ 21’’ � 116,89º
40. 60º � 27º 21’ 37”
41. 0,89º � 2,37º � 4º 27’ 2”
RAZONAMIENTO. Unir con líneas las medidas equivalentes.
42. 23º a. 157º 30’43. 140º 35’ 15” b. 150º
44. c. 22º 59’ 60”
45. d. 45º
46. e. 140,5875º
MODELACIÓN. Los cartógrafosusan una cuadrícula que con-tiene círculos que van de poloa polo, llamados meridianos olíneas de longitud. Existenotros, paralelos al círculo ecua-torial, que reciben el nombrede paralelas o líneas de latitud.Ambas líneas, meridianos yparalelos, determinan la posi-ción geográfica de una región.
47. Si la posición geográfica de Veneezuela en términos desu latitud es: 4,225º latitud sur y 12,4628º latitud norte,expresar cada dato en términos de grados, minutos ysegundos.
* PARA PENSAR.Hallar las medidas de los ángulos internosdel triángulo ABC.48. 49.
��4
7��8
5��6
Ángulo medido en grados 45º 30º 180º 135º 15º 270º
Ángulo medido en radianes rad rad 0 rad rad � rad5
�6
2��3
��2
��3
50. Completar la siguiente tabla.
Círculo delatitud
Ecuador
Línea delongitud
120,8º
B
C A
42,4º
C
B A
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1.4. Longitud de arcoEs posible determinar la medida de un arco s descrito sobre una circunferen-cia, a partir del siguiente razonamiento.Como un ángulo de 2� radianes determina la medida de cualquier circunfe-rencia sin importar qué radio tenga, a partir de la figura 6 se puede plantear la
siguiente proporción � , por tanto, s � r�2� r�2�
s�
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
Figura 6
Figura 7
ALGO IMPORTANTELa velocidad angular es igual paratodos los puntos del cuerpo quegira. En el ejemplo del disco, lavelocidad angular en el punto Qes igual a la velocidad angular enel punto P.
O
A
B
r
r
s
u
O Q Pt=0
t
u
Q
P
El número de vueltas que realiza un objeto en una unidad de tiempo se deno-mina frecuencia. Si el ángulo se mide en vueltas y el tiempo se mide en minu-tos, la frecuencia se expresa en revoluciones por minuto (r.p.m.).
Si un objeto gira ángulos iguales en tiempos iguales, se define la
velocidad angular , como �
La velocidad angular se mide en radianes por segundo (rad/s) o en radianes por hora(rad/h).
��t
1.5. Velocidad angular y velocidad lineal1.5.1. Velocidad angularCuando un objeto gira, su rapidez depende del ángulo que barre y del tiempo emple-ado en barrer dicho ángulo. Por ejemplo, si el disco de la figura 7 gira un ángulo �en un tiempo t, todos sus radios barren el mismo ángulo en dicho tiempo.
Determinar la longitud del arco que describe una persona situada en elEcuador terrestre en 1 hora, debido al movimiento de rotación de la Tierra.
SOLUCIÓNSe sabe que el radio de la Tierra es de 6.375 km y que si el arco descrito se va a deter-
minar en 1 hora, se tiene que la Tierra realiza de vuelta. Así,
1 vuelta → 2�
vuelta → � ⇒ � � radianes
Luego, la longitud de arco está dada por s � r� � 6.375 � � 1.668,9 km��12
��12
1�24
1�24
Ejercicio resuelto
Determinar la velocidad angular de la polea de un motor que gira a1 000 r.p.m.
SOLUCIÓN
Como el disco realiza 1 000 vueltas por minuto, el ángulo que gira en un minuto es1 000 � 2� � 2.000� rad
Por tanto, la velocidad angular es � � � � rad/s100�3
2 000��
60
��t
Ejercicio resuelto
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1.5.2. Velocidad linealSi un objeto gira ángulos iguales en tiempos iguales y un punto P del objetodescribe un arco de longitud s en un tiempo t (figura 8), se define la velocidad
lineal como v � .
La velocidad lineal se expresa en metros por segundo (m/s) o en kilómetrospor hora (km/h).
Puesto que s � r� y � , se tiene que v � � � r � r
Luego, v � r
��t
r��t
s�t
��t
s�t
Figura 8
t=0 P
P
r
s
r
u
COMPRENDER EL ENUNCIADOLa Tierra efectúa un giro completo sobre su eje en24 horas.
1. ¿Cuánto tiempo le toma realizar un giro de 300º?
2. ¿Cuánto tiempo le toma realizar uno de radia-nes?
Una puerta se abre tal y como se muestra en el dibujo.
3. Si el ancho de la puerta es 74 cm,calcular la longitud de la trayectoriaque describe el extremo de la puertacuando se abre.
4. Calcular la velocidad angular de la puerta si demorados segundos en abrirse completamente.
Un LP (long player) o dis code acetato que fue rempla-zado por el CD (compactdisc) podía sonar durante24 minutos a
33 r.p.m.
5. Hallar la velocidad angular del disco LP.6. Determinar la velocidad angular de un disco com-
pacto. Consultar los datos requeridos para esto.
1�3
2��3
Con respecto al movimiento de la Tierra alrededor de su propio eje, para unpunto del Ecuador terrestre, determinar:a. La velocidad angular. b. La velocidad lineal.
SOLUCIÓN
a. Puesto que la Tierra gira 2� rad en 24 horas, su velocidad angular es
� � � � rad/h.
La velocidad angular de un punto de la Tierra es � rad/h.
b. Puesto que la velocidad angular es � rad/h y el radio de la Tierra es 6 375 km,
se tiene v � r � 6 375 � � � km/h.
La velocidad lineal es aproximadamente 1 669 km/h.
2 125�
4
��12
1�12
1�12
1�12
2��24
��t
Ejercicio resuelto
ALGO IMPORTANTE• Para el mismo punto se cumple
que a mayor velocidad angular,mayor velocidad lineal.
• Si se comparan dos puntos quese encuentran a diferente dis-tancia del centro, la velocidadangular es igual y la velocidadlineal es diferente.
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1.6. TriángulosSi A, B y C son puntos no colineales, entonces el trián-gulo ABC es la unión de los segmentos AB, BC y CA.Los puntos A, B y C son los vértices del triángulo; AB, BC y CA son los lados; BAC, ABC y BCA son losángulos interiores.
De acuerdo con la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en:Triángulo equilátero: un triángulo es equilátero si sus lados son congruentes.Triángulo isósceles: un triángulo es isósceles si dos de sus lados son con-gruentes.Triángulo escaleno: un triángulo es escaleno si las medidas de sus lados sondistintas.
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
B
A
C
INFERIR A PARTIR DE UN DIBUJOLa figura representa una vista lateral de 3 rodillos queson tangentes uno con el otro.
7. Si el rodillo A gira en sentido contrario al de lasmanecillas del reloj, ¿cómo giran los rodillos B y C?
8. Si A gira con una velocidad de 120 revoluciones porminuto, ¿con qué velocidad angular giran los rodillosB y C?
Un avión vuela alrededor de laTierra a una altitud de 42,4º.
El círculo pequeño muestra latrayectoria seguida por elavión.
9. Encontrar la medida de losángulos POQ y PQO.
10. ¿Qué clase de triángulo es QPO?
11. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia que pasapor la línea de latitud 42,4º?
12. Si se supone que el avión describe una circunferen-cia, ¿cuál ha de ser su velocidad, si describe la cir-cunferencia a lo largo del Ecuador en un día?
USAR UNA EXPRESIÓNLa rueda de Chicago, como laconocemos en los parques deatracciones, fue creada porGeorge W. Ferris y presentada alpúblico en una exposición en1893 en la ciudad de Chicago(EE. UU.). Esta se diseñó comoun rival de la torre Eiffel enParís (Francia).
13. Si el radio de la rueda que se muestra es de aproxi-madamente 10 metros, calcular la longitud del arcoque recorre un pasajero en una canastilla desde elmomento en que se sube hasta alcanzar el puntomás alto.
14. Calcular la velocidad angular que experimenta elpasajero en este trayecto, si el tiempo que emplea es8 segundos.
P Q
OR
42.4º
Triángulo equilátero Triángulo isósceles Triángulo escaleno
C
B
A
3 cm
2 cm
4.8 cm
Dos segmentos son congruentessi tienen la misma longitud.
Dos ángulos son congruentes sitienen la misma amplitud.
RECORDAR QUE
© S
AN
TILL
AN
A
84
1. En un triángulo rectángulo ABC, c es la hipotenusa y a y b son las longi-tudes de los catetos.a. Si a � 1 y b � 2, determinar la medida de c.b. Si a � 1 y c � 2, determinar la medida de b.
SOLUCIÓN
a. Puesto que el �ABC es rectángulo, se tiene que
c2 � a2 � b2; por tanto, c2 � 12 � 22 � 5, de donde c � �5�.b. Puesto que el �ABC es rectángulo, se tiene que
c2 � a2 � b2; por tanto, 22 � 12 � b2, de donde b2 � 3, luego b � �3�.
2. El triángulo de la figura 12 es isósceles, con EF � DF. Si DF � 4 y DE � 2,determinar la longitud de GF.
SOLUCIÓN
Como �DEF es isósceles, la altura FG cae sobre el punto medio de DE.
Así DG � GE � 1.
�DGF es rectángulo, pues FG es altura de �DEF.
DF2 � DG2 � GF2 Teorema de Pitágoras.
42 � 12 � GF2 ⇒ 15 � GF2 ⇒ GF � �15�
Figura 9
A
C B
Figura 10
C
D E
Figura 11
c
c
b
b
a
a
2
2
2
hipotenusa
catetos
c = a + b2 2 2
Figura 12
F
G ED
ALGO IMPORTANTELa suma de las medidas de los án-gulos interiores de un triánguloes igual a 180°.
De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos cumplen las siguien-tes propiedades:• Todo triángulo equilátero es equiángulo, es decir que las medidas de los ángu-los de un triángulo son iguales. En la figura 9, los ángulos interiores del trián-gulo son de igual medida.
• Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestosa estos lados son congruentes (figura 10).
• Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestosa estos ángulos son congruentes (figura 10).
1.6.1. Teorema de PitágorasPara el caso de los triángulos rectángulos se cumple una propiedad relaciona-da con las áreas de los cuadrados que se pueden construir sobre sus catetos ysu hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipote-nusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Es posible clasificar un triángulo a partir de una relación sencilla que se plan-tea con base en el teorema de Pitágoras. Así,
c2 � a2 � b2 el triángulo es obtusángulo.c2 � a2 � b2 el triángulo es acutángulo.
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un áreaequivalente a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos(figura 11).
c2 � a2 � b2
Ejercicio resuelto
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AN
TILL
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A
85
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
ACTIVIDADES 2
RAZONAMIENTO. Hallar la medida de los ángulos x y y encada caso.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
RAZONAMIENTO. Completar cada espacio con las palabrassiempre, algunas veces o nunca.
9. Si un triángulo es isósceles, entonces ________ es equi-látero.
10. Si un triángulo es equilátero entonces ________ es isós-celes.
11. Si un triángulo es escaleno, entonces ________ es isós-celes.
12. Si un triángulo tiene dos ángulos que suman 90º,entonces ________ es rectángulo.
13. Un triángulo isósceles ________ es equilátero.
PROBLEMAS. Algunos de los elementos del siguiente trián-gulo se borraron.
14. ¿Es posible reconstruirlo?Justificar la respuesta.
EJERCITACIÓN. Escribir una ecuación que permita hallar elvalor de x. Luego, resolverla.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
*PARA PENSAR. Calcular la longitud de x.21. 22.
*PARA PENSAR. Determinar el valor de verdad de lossiguientes enunciados, si se sabe que dos lados del triángu-lo escaleno son congruentes con dos lados del triángulo rec-tángulo. En cada caso justificar la respuesta.
23. d � c 24. d2 � c2
25. c2 � a2 � b2 26. d2 � a2 � b2
B
CA
y
x50º
M
NL
y
x47º
5 cm
E
D
F
40º
x
y
30º V
O
L
y
x
G
I H
x
y
C
R
M
x
y
60º
yx
y
48 cm
x y
70º
hipotenusa
107
x
4
6
x
x12
2x
x
9
6
B
3
412S
5
A
X=AB
1
0 1
x
85 cm
5 cm
50 cm x
x
3 cm
8 cm
2 cm
a c
b
d
a
b
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86
La figura muestra las huellas de algúnanimal sobre la superficie de la tierra.
Un paso es la distancia que existeentre la huella izquierda y la huelladerecha. Una zancada es la distanciaque existe desde una huella izquierdahasta la siguiente huella izquierda.
PALEONTOLOGÍA
Si AB � 50 cmBC � 80 cm1. ¿Cuál es el valor en centímetros del paso del punto A al punto C?2. Si AB � FC y CG � 102 cm, calcular el paso del punto C al punto
D.3. ¿Qué medida tiene la zancada 1?4. ¿Qué medida tiene la zancada 2?5. ¿Qué clase de triángulo es �ACD?6. Si �CAB mide 58º y el �GCD mide 38º, hallar la medida del
ángulo �.7. Un caminante eficiente forma un ángulo � que se acerca a 180º.
¿Qué se puede decir del movimiento del animal que dejó lashuellas?
E ad d
C p d m
TRAS LAS
HUELLASTodos hemos sido atrapados en algún momentode nuestras vidas por el mundo de los dinosauriosy la interpretación que los paleontólogos han hechoen torno a los registros fósiles que ha dejado lapresencia de su paso por nuestro planeta.
A
uC
G
E
D
F
paso
zan
cada
2
zan
cada
1
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Los gigantes más antiguos eran los dino-saurios herbívoros, ya que no teníancompetidores. En la actualidad la jirafaocupa su lugar, con una altura de aproxi-madamente 5,8 metros.Esta dobla la altura de un elefante afri-cano y triplica la de un hombre normal.La longitud de las patas y del cuello de la jirafa le permite alimentarse de lashojas más altas de los árboles, mejor que lo hace un elefante con ayuda de sutrompa.
BIOLOGÍA
10 m
4 m
4 m
10 m
45º 45º
4 m
2,59 m
5,8 m
2,7 m
El elefante africano machoadulto llega a crecer másde 3 metros.
Cuando se para sobre suspatas traseras, el oso par-do puede llegar a medir 3metros.
Comparaciones
8. Altura del dinosaurio.
9. Altura promedio deuna persona.
10. Altura del avestruz.
11. Altura del gorila.
Utilizando el teorema de Pitágoras y lasemejanza de triángulos, calcular.
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A
88
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
2
seno sen
coseno cos
tangente tan , x 0
cotangente cot , y 0
secante sec , x 0
cosecante csc , y 0ry
rx
xy
yx
xr
yr
La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, ymetra, que significa medida. La trigonometría se originó como el estudio de las relacionesentre los lados y los ángulos de los triángulos y se empleó para resolver inicialmente proble-mas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron losprimeros en utilizar las razones trigonométricas para tomar medidas en agricultura y para laconstrucción de pirámides. En Grecia se destacan los trabajos de Hiparco de Nicea y de ClaudioTolomeo (siglo II a.C.), quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigono-métricas.A finales del siglo VIII los astrónomos árabes emplearon la función seno y a finales del siglo Xya se utilizaban las otras cinco funciones. La trigonometría árabe se difundió por medio de tra-ducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. En laactualidad, la trigonometría se usa en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos comoprácticos, e interviene en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón porla cual su aplicación hoy no se limita a las relaciones entre los ángulos de un triángulo y suslados.
LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA
ALGO IMPORTANTEPuesto que |y| r, se tiene que
1 sen 1
Puesto que |x| r, se tiene que1 cos 1
Figura 13
r
x x
y
P(x,y)
y
0
2.1. Definición de las razones trigonométricasde un ángulo en posición normal
Si es un ángulo en posición normal y P(x, y) es cualquier punto contenido enel lado final, diferente de O(0, 0), se cumple que OP r x2 y2.Se definen las funciones trigonométricas para el ángulo de la siguiente ma-nera:
Como consecuencia de las definiciones anteriores, se obtienen las siguientesrelaciones recíprocas.
csc sec cot
El valor de las funciones trigonométricas de un ángulo es independiente delpunto que se ubique sobre su lado final. En la figura 13 se plantea una sencillagráfica que demuestra esta afirmación.
1tan
1cos
1sen
r
R S
1P(x ,y )
0
1
2Q(x ,y )2
1
r2
89
1. Si es un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene al puntoA(4, 2) (figura 14), determinar los valores de las funciones sen , cos y tan .
SOLUCIÓN
Como x 4 y y 2, el valor de r es: r 42 ( 2)2 20 2 5
sen , cos , tan
2. A partir de los valores encontrados en el ejercicio anterior, determinar elvalor de las funciones csc , sec y cot .
SOLUCIÓN
Puesto que csc , se tiene csc 5
Puesto que sec , se tiene sec
Puesto que cot , se tiene cot 2
3. Si sen y cos , determinar el valor de las demás funcio-
nes trigonométricas.
SOLUCIÓN
Puesto que cos , ⇒ x 3 y r 2. Además, sen ⇒ y 1
Por tanto,
tan sec
cot 3 csc 2
12
32
2
1
3
1
2 3
3
2
3
3
3
1
3
3
2
1
2
112
52
5
2 5
1
25
5
1cos
5
5
1
55
1sen
1
2
2
42 5
5
4
2 55
5
2
2 5
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
¿En qué cuadrante está el ladofinal del ángulo del ejercicioresuelto?
PARA RESPONDER
¿Para qué valores del ángulo no están definidas las funcionessen y cos ?
PARA RESPONDER
Figura 14
Los triángulos ORQ y OSP de la figura 13 son semejantes, pues son rectángulosy tienen al ángulo en común; por tanto,
sen cos tan , x1, x2 0
Cabe notar que las funciones tan y sec no están definidas para los ángulos
de . De la misma manera, las funciones cot y csc no están
definidas para los ángulos de 0, y 2 .
y1x1
y2x2
x1r1
x2r2
y1r1
y2r2
Ejercicio resuelto
A(4, 2)
x
y
1
tan
y2
32
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A
90
1. Si tan y el lado final de está en el tercer cuadrante, determinar
el valor de cos y sen .
SOLUCIÓN
Para el caso tan y el lado final de está en el tercer cuadrante (x 0, y 0).
Luego, tan . Es decir, ( 4, 3) es un punto sobre el lado ter-
minal de .
Al calcular r se tiene que, r ( 4)2 ( 3)2 5, por lo tanto, cos
y sen
2. Si es un ángulo en posición normal, determinar los posibles valores de
la función tan, si cos .
SOLUCIÓN
Puesto que cos , el valor de x es positivo y en consecuencia, el lado final
del ángulo se encuentra en el primero o en el cuarto cuadrante.
3
4
yx
34
3
4yx
45
3
5
12
1
2
x
r
Figura 15
Figura 16
¿Por qué, para cada cuadrante,coinciden los signos de las funcio-nes sen y csc , cos y sec ,tan y cot ?
PARA RESPONDER I
II
III
IV
2.2. Signo de las funciones trigonométricasde un ángulo en posición normal
Para determinar el signo de las funciones trigonométricas se debe analizar elcomportamiento de r, x y y.Si es un ángulo en posición normal y P(x, y) es un punto sobre el lado finalde , diferente de (0, 0) (figura 15).
OP r x2 y2 Siempre es positivo.
x y y varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren.Por tanto, el signo del valor de las funciones trigonométricas para cada ángulodepende de los signos de los valores de x y de y.En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones del ángulo enposición normal, para los diferentes cuadrantes en que puede estar ubicado ellado final del mismo.
Ejercicio resuelto
P(x,y)
y
x
x>0
y>0
x>0
y<0
x<0
y<0
x<0
y>0
r
0
II I
IVIII
P( 4, 3)
y
x
Función cuadrante sen cos tan csc sec cot
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TILL
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A
91
3. Si es un ángulo en posición normal, determinar los posibles valores de
la función csc si tan .
SOLUCIÓN
Puesto que tan , se deben considerar dos casos (figura 18):
• y 1 y x 3, en consecuencia, el lado final del ángulo se encuentra en el pri-mer cuadrante y sobre él se encuentra el punto (3, 1). Así, se tiene que
r 32 12 10, luego,
csc 10
• y 1 y x 3, en consecuencia, el lado final del ángulo se encuentra en eltercer cuadrante y sobre él se encuentra el punto ( 3, 1). Se tiene que
r ( 3)2 ( 1)2 10, luego,
csc 10
4. Determinar, en cada caso, el cuadrante en el que se encuentra el ladofinal del ángulo .a. sen 0, cos 0 b. tan 0, csc 0
SOLUCIÓN
a. Si sen 0, el lado final del ángulo se encuentra en el primer o en el segun-do cuadrante.Si cos 0, el lado final del ángulo se encuentra en el segundo o en el tercercuadrante.Por tanto, para que se cumplan las dos condiciones se requiere que el lado finaldel ángulo se encuentre en el segundo cuadrante.
b. Si tan 0, el lado final del ángulo se encuentra en el primer o en el tercercuadrante.Si csc 0, el lado final del ángulo se encuentra en el tercero o en el cuartocuadrante.Por tanto, para que se cumplan las dos condiciones se requiere que el lado finaldel ángulo se encuentre en el tercer cuadrante.
10
1
ry
101
ry
1
3
y
x
1
3
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
Figura 17
1
2
1 2
1
2
12
(1, 3)
(1, 3)
¿En qué cuadrante debe estar ellado final de un ángulo para quetodas las funciones trigonomé-tricas sean positivas?
¿En qué cuadrante debe estar ellado final de un ángulo para quetodas las funciones trigonomé-tricas sean negativas?
PARA RESPONDER
Figura 18
2.3. Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantalesHasta el momento se han estudiado los ángulos cuyo lado final se encuentraen uno de los cuatro cuadrantes, ahora es importante considerar los ánguloscuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano.
(3,1)
( 3, 1)
1 2 3 4 5
1
2
3
4
0
1
2
3
4
12345
Sobre el lado final del ángulo se encuentra el punto cuyo valor de x es x 1 y r 2.Como r2 x2 y2, se tiene que 22 12 y2, de donde y2 3, entonces y 3.
El lado final del ángulo puede contener los puntos (1, 3) o (1, 3) (figura 17).
Por tanto, los posibles valores de la función tan son
tan 3 o tan 3.31
31
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92
Determinar las funciones trigonométricas del ángulo de .
SOLUCIÓN
Puesto que en el lado final del ángulo de se encuentra el punto (0, r), con r 0(figura 21), se tiene que
sen 1 cos 0
tan Indefinido. cot 0
csc 1 sec Indefinido.r0
rx
32
rr
ry
32
0
r
x
y
3
2
r0
yx
32
0r
xr
3
2r
ry
r
3
2
3
2
3
2
Figura 19
Figura 20
Figura 21
En el siguiente cuadro se presentan los valores de las funciones trigonométri-cas para los ángulos mayores o iguales que 0º y menores o iguales que 360º.
Determinar el valor de
a. cot b. cot sen
SOLUCIÓN
a. Como es coterminal con , se tiene que cot cot 0
b. cot sen 0 ( 1) 132
52
2522
52
3
2
5
2
5
2
A los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semie-jes del plano cartesiano se les llama ángulos cuadrantales. En la figura 19 semuestran los ángulos cuadrantales de 90º, 270º y 450º cuyo lado final seencuentra sobre la parte positiva del eje y.Para determinar las funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales, seconsidera que sobre su lado final se encuentran algunos de los puntos (r, 0), (0, r), ( r, 0) o (0, r), con r 0 (figura 20).
(0,r)
r
( r,0)
(0, r)
(r,0)
r
r
r
Ejercicio resuelto
0º 0 1 0 Indefinida 1 Indefinida
90º 1 0 Indefinida 1 Indefinida 0
180º 0 1 0 Indefinida 1 Indefinida
270º 1 0 Indefinida 1 Indefinida 0
360º 0 1 0 Indefinida 1 Indefinida
Función ángulo sen cos tan csc sec cot
(0, r)
x
y
r
3 2
Ejercicio resuelto
© S
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TILL
AN
A
93
EJERCITACIÓN. Encontrar los valores exactos de sen �, cos�, tan �, cot �, sec �, csc �, si el lado terminal de � en posi-ción normal contiene el punto dado.
1. P(�15, 8) 2. P(��2�, �2�) 3. P(�3, 0)
4. P(5, �3) 5. P(�3�, �3�) 6. P(3, 4)
7. P� , � � 8. P�3 , � 9. P��2 , �1 �RAZONAMIENTO. Determinar si el valor de cada función espositivo, negativo o cero.
10. sen (�135º) 11. cos 405º 12. tan (315º)
13. sen 2� 14. cos 15. sen (�45º)
16. tan 17. sen 18. tan
MODELACIÓN. Si � es un ángulo en posición normal cuyoslados terminales están en el cuadrante dado, encontrar losvalores exactos para las otras cinco funciones trigonomé-tricas de �, si están determinadas.
19. cos � � � cuadrante II
20. sec � � �3� cuadrante IV
21. sen � � �0,2 cuadrante IV
22. cot � � �5 cuadrante II
23. cos � � � cuadrante II
24. csc � � ��2� cuadrante III
RAZONAMIENTO. De la afirmación que se suministra, espe-cificar el cuadrante en el cual está el punto terminal deter-minado por �.
25. sen � � 0, cos � � 0
26. tan � � 0, sen � � 0
27. csc � � 0, sec � � 0
28. cos � � 0, cot � � 0
EJERCITACIÓN. Determinar si los siguientes ángulos soncoterminales.
29. 70º, 790º 30. 150º, 510º
31. , 32. ,
33. 225º, 585º 34. 65º, 365º
RAZONAMIENTO. Encontrar un ángulo entre 0 y 2� que seacoterminal con el ángulo dado.
35. 432º 36. �420º
37. 87� 38. 10
39. 40. 765º
41. 1.080º 42. 480º
EJERCITACIÓN. Unir las expresiones que son equivalentes.
43. 3�sen � csc �2
a.
44. 2 sen � tan 720º b. �
45. 15 tan 0º � sen 90º c. 0
46. cos � � sen 810º d. 2
47. 2 [sen 3�] e. �2
48. � cos 90º � sen
49. (sen 630º)2 � (sec 5�)2 g.
* PARA PENSAR. Resolver.50. Determinar los valores de a, cos t, sen t, tan t, si
p(t) � � , � está en el primer cuadrante.
RAZONAMIENTO. Escribir un valor posible para el ángulo �si cumple las condiciones dadas.
51. cos � � 0 sen � � 0
52. sen � � 0 csc � � 0
53. sen � � 0 cot � � 0
54. tan � � 0 sec � � 0
55. cot � � 0 cos � � 0
56. cos � � 0 sen � � 0
3�2
�2��2
1 � �3���
2
�2��2
11��2
�2��2
1�2
�3��2
5�2
7��2
��2
3��2
11��4
4�a
3�a
51��2
8��4
��4
17��6
5��6
4�5
1�2
5��4
3��2
��4
1�3
3�5
1�8
1�4
1�2
1�2
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
ACTIVIDADES 3
f. �2� sen 0º� sen 270º10�4
MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:55 a.m. Página 93
sen → sen
cos → cos
tan , x 0 → tan
cot , y 0 → cot
sec , x 0 → sec
csc , y 0 → csc hipotenusa
cateto opuesto
r
y
hipotenusa
cateto adyacente
r
x
cateto adyacente
cateto opuesto
x
y
cateto opuesto
cateto adyacente
y
x
cateto adyacentehipotenusa
x
r
cateto opuestohipotenusa
y
r
© S
AN
TILL
AN
A
RELACIONESTRIGONOMÉTRICAS EN ELTRIÁNGULO RECTÁNGULO
3
Figura 22
ALGO IMPORTANTEAunque, en un triángulo, el ángu-lo no esté en posición normal,las relaciones trigonométricas sedefinen en términos de los cate-tos opuesto, adyacente y de lahipotenusa.
1. De acuerdo con la información de la figura, determinar el valor de lasrazones trigonométricas sen , cos y tan .
SOLUCIÓN
sen cos tan 3
445
3
5
3.1. Razones trigonométricas en un triángulo rectánguloEn la figura 22 se muestra un ángulo en posición normal cuyo lado final seencuentra en el primer cuadrante de un punto P ubicado sobre él. El segmen-to PA es perpendicular al eje x, por tanto, el triángulo OAP es rectángulo. Paradicho triángulo, OP es la hipotenusa, PA y OA son los catetos. De acuerdo consu posición con respecto al ángulo , los catetos se clasifican en
PA: Cateto opuesto al ángulo OA: Cateto adyacente al ángulo
A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para los ángulosen posición normal, se definen las relaciones trigonométricas en el triángulorectángulo. Así:
Ejercicio resuelto
y
x0 A
P (x, y)
cateto opuesto
hipotenusa
r
cateto adyacente
Figura 23
r1
r2
0 A2 A1
P (x , y )2 2 2
P (x , y )1 1 1
54
3
En la figura 23 se muestran dos triángulos rectángulos, OA1P1 y OA2P2, queson semejantes porque son rectángulos y tienen un ángulo en común; por
tanto, , ,
Luego, los valores de las razones trigonométricas del ángulo dependen de lamedida del ángulo y no de la longitud de los lados del triángulo.
y2x2
y1x1
x2r2
x1r1
y2r2
y1r1
94
© S
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A
95
2. Determinar las razones trigonométricas para el ángulo � (figura 24).
SOLUCIÓN
Primero, se calcula el valor de la hipotenusa mediante el teorema de Pitágoras.
h � �22� �� 4�2� � �20� � 2�5�Se calculan los valores de las razones
sen � � � �
cos � � � �
tan � � � �
cot � � � � 2
sec � � � �
csc � � � � �5�
3. Si es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo y
csc � , determinar cos y tan .
SOLUCIÓN
Puesto que csc � , es posible considerar que en un triángulo rec-
tángulo, el cateto opuesto al ángulo mide 2 y la hipotenusa mide �7� (figura 25).Se determina la medida del cateto a mediante el teorema de Pitágoras,
(�7�)2 � a2 � 22, por tanto, a2 � 3, luego a � �3�.Por tanto,
cos � � �
tan � � �
4. Determinar la altura del triángulo isósceles de la figura 26, si tan � � 3.
SOLUCIÓN
En el triángulo rectángulo �ADC, se tiene que tan � � ; por tanto, 3 � ,
luego, h � 3.
La altura del triángulo es 3 cm.
h�1
h�AD
2�3��
3
2��3�
cateto opuesto���cateto adyacente
�21��7
�3���7�
cateto adyacente���
hipotenusa
hipotenusa��cateto opuesto
�7��2
2�5��
2
hipotenusa��cateto opuesto
�5��2
2�5��
4
hipotenusa���cateto adyacente
4�2
cateto adyacente���cateto opuesto
1�2
2�4
cateto opuesto���cateto adyacente
2�5��
5
4�2�5�
cateto adyacente���
hipotenusa
�5��5
2�2�5�
cateto opuesto��
hipotenusa
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
Figura 24
w
4
2h
Figura 25
b
a
2
7
Figura 26
B
a
A
C
D
h
2 cm
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96
EJERCITACIÓN. Encontrar el valor de las funciones trigono-métricas de los ángulos de cada triángulo.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
EJERCITACIÓN. Expresar el valor de cada variable en térmi-nos de los datos suministrados, usando la razón trigono-métrica más apropiada.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
ACTIVIDADES 4
PROBLEMAS. Observar cada imagen. Luego escribir laexpresión trigonométrica más apropiada para expresar lalongitud solicitada.
23. Largo de la manija extensiblede la maleta, si el ángulo confor-table que debe formar con elsuelo es 45º.
MODELACIÓN. En cada caso escribir una expresión que per-mita calcular el área de cada triángulo usando razones tri-gonométricas.
19. 20.
21. 22.
MODELACIÓN. Construir un triángulo rectángulo que cumplala condición dada.
13. sen 14. tan 3
4
2
6
S
R
5328
T
B
C
8
6A
F
D
7
25
E JG 1
2
H
3
2
X
Y Z
53
N M
L
6x
y
37º
34
5
t
20º
45
35º
r
u
8
t
60º
h
11 m
30º
12 m
60º
h
45º
h
5 cm
4 cm 37º
h
w
q
v50º
x5
y
20º
15. csc 16. cot
17. cos 18. tan 12
2
3
3
2
3 3
25. Distancia (largo) de la esca-lera.
24. Distancia del piso delobservador al lugar de des-pegue del globo.
45º
65 cm
x
75 cm
11º
x
285 m
1,5 m
3 m
Razones trigonométricas de 30º Razones trigonométricas de 60º
sen 30º � sen 60º �
tan 30º � � tan 60º � � �3�
csc 30º � 2 csc 60º � �
�3��2
2�3��
32
��3�
�3��1
�3��3
1��3�
1�2
cos 30º �cos 60º �
cot 30º � � �3� cot 30º � �
sec 30º � � sec 60º � 22�3��
32
��3�
�3��3
1��3�
�3��1
1�2
�3��2
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97
3.2. Razones trigonométricas para 30º, 45º y 60º3.2.1. Ángulos de 30º y 60º
Para determinar las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º, se uti-liza una construcción auxiliar de un triángulo equilátero (figura 27).Como �ABC es equilátero se verifican, entre otras, las siguientes propiedades.�A � �B � �C � 60º, C�D� es la altura sobre A�B�, mediatriz de A�B� y bisectriz de�C.Por lo tanto, en �BCD: �CDB � 90º, �DCB � 30º y DB � l.
Además
l2 � � �2
� h2 Teorema de Pitágoras.
� � �� � l Despejando h y simplificando.
En la siguiente tabla se muestran los valores de las razones trigonométricas.
�3��2
3l2�4
l2�4
l�2
1�2
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
308
608
3 2
A B D
C
l l
l2
¿Es cierto quesen 30º � sen 60º � sen 90º?
PARA RESPONDER
Figura 27
1. Determinar el valor de las siguientes expresiones.
a. sen 30º � sen 60º b. tan � sec c. cot 90º � cot 30º d. csc 60º � cos 30º
SOLUCIÓN
a. sen 30º � sen 60º � � �1 � �3���
2�3��2
1�2
��6
��3
b. tan � sec � tan 60º � sec 30º � �3� � �
c. cot 90º � cot 30º � 0 � �3� � ��3�
d. csc 60º � cos 30º � � � ��3��6
4�3� � 3�3���
6
�3��2
2�3��
3
5�3��
32�3��
3
��6
��3
Ejercicio resuelto
h � l2
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Ángulo sen � cos �
30º
60º 1�2
�3��
2
�3��
2
1�2
45º�2��
2
�2��
2
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3.2.2. Ángulo de 45º
Para determinar las razones trigonométricas del ángulo de 45º, se utiliza trián-gulo rectángulo isósceles (figura 28).Como �ABC es rectángulo se verifican, entre otras, las siguientes propiedades.�B � 90º, �A � �C � 45º y AB � BC � l
Además,h2 � l2 � l2 � 2l2 Teorema de Pitágoras.
Luego, h � �2�l Simplificando.
En la siguiente tabla se muestran los valores de las razones trigonométricas.
cos 45º � � cot 45º � 1 csc 45º � �2��2��2
1��2�
sen 45º � � tan 45º � 1 sec 45º � �2��2��2
1��2�
Figura 28
A B
C
2
l l
l
458
458
A B
608
a
O
3 cm
PARA RESPONDER
2. Determinar la longitud a del apotema del hexágono regular cuyo lado mide6 cm.
SOLUCIÓN
En el hexágono de la figura, el triángulo �ABO es rectángulo. Para determinar la me -dida de a se escribe una función trigonométrica que relacione el lado a y el lado de3 cm. Así,
tan 60º � ,
�3� �
a � 3�3� Despejando.
La longitud a del apotema del hexágono mide 3�3� cm.
a�3
a�3
Determinar el valor de las siguientes expresiones.
a. sen 45º � sen 60º b. tan � sec
c. sen 90º � tan 45º d.
SOLUCIÓN
a. sen 45º � sen 60º � � �
c. sen 90º � tan 45º � 1 � 1 � 2
d. � � 2�2�2�
�22�
�
��12�
2 sen 45º��sen 30º
�2� � �3���
2
�3��2
�2��2
2 sen 45º��sen 30º
�3
�4
Ejercicio resuelto
b. tan � sec � 1 � 2 � 3 �3
�4
Razones trigonométricas de 45º
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3.3. Ángulos complementariosDos ángulos � y � son complementarios si y sólo si � � � � 90º. Se dice enton-ces que � es complemento de � y � es complemento de �.En el triángulo de la figura 29, se puede observar que � � � � 90º, es decir, que� y � son complementarios.Además, al plantear las razones trigonométricas se observa que
sen � � y cos � �
tan � � y cot � �
sec � � y csc � �
La relación que se presenta entre estos pares de funciones se denomina con fun-cionalidad.
El valor de una función trigonométrica de un ángulo es igual al valor de la cofun-ción correspondiente de su ángulo complementario.
c�a
c�a
b�a
b�a
b�c
b�c
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
C
A
B a
cb
b
a
ba
Figura 29
Figura 30
ba
A
B C D
dg
5 cm
3 cm
Figura 31
1. En la figura 30, si sen � � , determinar sec �.
SOLUCIÓN
Puesto que los ángulos � y � son complementarios, se tiene que
sen � � cos �, por tanto cos � �
Como sec � � , se tiene sec � � �
2. A partir de la información de la figura 31, determinar.a. sen � b. cos � c. sec �
SOLUCIÓN
a. En el triángulo �CAB, se tiene que sen � � .
b. Como � y � son complementarios, pues la suma de sus medidas es 90º, se tiene
que cos � � sen � � .
c. Como � y � son complementarios, pues la suma de sus medidas es 90º, se tiene
que cos � � sen � � .
Por tanto, sec � � � �5
�3
1�
�35�
1�cos �
3�5
3�5
3�5
5�2
1�
�25�
1�cos �
2�5
2�5
Ejercicio resuelto
sen(90º � �) � cos �
tan (90º � �) � cot �
sec (90º � �) � csc �
RECORDAR QUE
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ACTIVIDADES 5
EJERCITACIÓN.Usar la figura para completar con � o �, segúncorresponda.
1. sen 75º sen 15º
2. cos 75º sen 15º
3. tan 75º sen 15º
4. cot 15º tan 75º
RAZONAMIENTO. Determinar a partir del triángulo dado si lasafirmaciones dadas son falsas o verdaderas. Justificar la res-puesta.
5. t � 7�3� 6. t � �3h�7. h � 2t 8. h � 14
9. 7 � 10. 7 �
11. x � 45º
12. x no puede ser 90º
13. 45º � x � 46º
14.Para hallar el valor de xpueden usarse las funcionestangente o cotangente.
t��3�
h�2
RAZONAMIENTO. Encontrar el valor de cada variable. Es cri birla respuesta en forma simplificada.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
PROBLEMAS. Leer y observar cada imagen. Luego, resolver.
23. La señal de tránsito “Ceda el paso” tiene la forma de untriángulo equilátero. Estimar el área de la señal.
24. ¿A qué altura con respecto al suelo se encuentra elpapagayo?
25. ¿Cuál es la altura de la montaña?
26. Calcular las distancias d y x que separan las casas.
27. ¿A qué distancia del muelle se encuentra el bote?
28. Hallar el largo del puente.
B A
C
758 158
h
608
308
t
7
20
x21
CEDAEL
PASO 90 cm
308
4 m
80 m
608
308
2.500 m
458
xd
40 m
308
d
3 m
10m
240
cm
458
xg
458 a
608b
12
3
e
3 f
308
h
8
308
c20
d
h
458
h
8
z308
x6
y
608
308
x
4
w
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458458
4
4
EJERCITACIÓN. Hallar el valor exacto de las siguientes expre-siones.
40. 7 tan 180º � �2� cos 45º � 3 tan 360º
41. �8 tan 720º � 2 sen 45º � 4 cos 30º
42. cot 270º � 9 cos 30º �
43. 9 cos 45º � sen 30º � �3� tan 180º
44. � 1 �
RAZONAMIENTO. Dos ángulos complementarios de un trián-gulo rectángulo están relacionados así:
“Uno de ellos cinco veces mayor que cuatro veces el otro”.
45. Si el lado opuesto al ángulo mayor es 5 cm, hallar lamedida de la hipotenusa.
RAZONAMIENTO. Si w es un ángulo agudo de un triángulo rec-tángulo. Justificar.
46. sen w � 1
47. sen w � tan w
48. sen w � csc w
49. ¿Qué relación existe entre sen w y cot w?
50. ¿Qué relación existe entre cos w y sec w?
csc 30º��sen 30º
cos 30º�sec 60º
sen 60º��cos 60º
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101
REDUCCIÓN DEÁNGULOS AL PRIMERCUADRANTE
4 Es posible expresar las razones trigonométricas de cualquier ángulo � en tér-minos de las razones trigonométricas de un ángulo cuya medida es mayor o igualque cero y menor o igual que 90º (0 � � � 90º).
4.1. Ángulos de referenciaSi � es un ángulo no cuadrantal, se llama ángulo de referencia �r al ángulo agudoque forma el lado final del ángulo � con uno de los semiejes del eje x.
• Ángulos en el segundo cuadrante
En la figura 32 se muestra el ángulo de referencia �r para el ángulo �. El ángu-lo �r � 180º � � no está en posición normal; sin embargo, se pueden definir paraél las funciones trigonométricas a partir del �OBA, cuyos valores son positivos.En el segundo cuadrante, la función sen � es positiva y las funciones cos � ytan � son negativas, por tanto,
sen � � sen �r cos � � �cos �r tan � � �tan �r• Ángulos en el tercer cuadrante
En la figura 33 se muestra el ángulo de referencia �r para el ángulo �. El ángu-lo �r � � � 180º no está en posición normal, sin embargo, se pueden definir paraél las funciones trigonométricas a partir del �OBA, cuyos valores son positivos.En el tercer cuadrante, la función tan � es positiva y las funciones sen � y cos �son negativas, por tanto,
sen � � �sen �r cos � � �cos �r tan � � tan �r
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS IMODELACIÓN. Hallar el área de la región sombreada.
29. 30.
EJERCITACIÓN. Escribir las expresiones en términos de lascofunciones de los ángulos complementarios.
31. sen 20º 32. cos 50º 33. sec 16,25º
34. tan � � 35. cos � � 36. sen
�12
7�15
�6
* PARA PENSAR. Si tan � �sen ��cos �
37. Probar que tan � � u� � cot u�2
RAZONAMIENTO. Encontrar la medida de cada ángulo. Luegoescribir las cofunciones de estos ángulos.
Dos ángulos complementarios de un triángulo rectánguloson:
38. m � A � 5x � 8 m � B � x � 4
39. m � A � 8x � 20 m � B � 75 � 9x
308
308
308
308 8 cm
Figura 32
Figura 33
u
A
xBur
0
u
A
xB
0
y
ur
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102
• Ángulos en el cuarto cuadrante
En la figura 34 se muestra el ángulo de referencia �r para el ángulo �. El ángu-lo �r � 360º � � no está en posición normal; sin embargo, se pueden definir paraél las funciones trigonométricas a partir del �OBA, cuyos valores son positivos.En el cuarto cuadrante, la función cos � es positiva y las funciones sen � ytan � son negativas, por tanto,
sen � � �sen �r cos � � cos �r tan � � �tan �r
4.2. Funciones trigonométricas de ángulos coterminalesEn la figura 36 se observan dos ángulos coterminales, por tanto el punto P(x, y)pertenece al lado final de ambos. Todo ángulo � cuya medida es mayor que 360ºo negativa, es coterminal con un ángulo � cuya medida se encuentra entre 0 y360º y se tiene que
sen � � sen � cos � � cos � tan � � tan �csc � � csc � sec � � sec � cot � � cot �
Dos ángulos en posición normalson coterminales si sus lados fina-les coinciden.
RECORDAR QUE
Figura 35
Figura 36
Figura 37
Figura 34
1. Determinar los valores de sen(�210º) y cos(�210º) (figura 37).
SOLUCIÓN
El ángulo de �210º es coterminal con el ángulo de 150º y el ángulo de 150º tiene comoángulo de referencia a 30º. Por lo tanto
sen(�210º) � sen 150º � y cos(�210º) � cos 150º � ��3��2
1�2
Ejercicio resuelto
Determinar las funciones trigonométricas del ángulo de 150º.
SOLUCIÓN
Para el ángulo de 150º, el ángulo de referencia mide 30º (figura 35). En el segundocuadrante, se tiene
sen � � sen �r cos � � �cos �r tan � � �tan �rsen 150º � sen 30º cos 150º � �cos 30º tan 150º � �tan 30º
Luego,
sen 150º � cos 150º � � tan 150º � �
Para las otras tres funciones de 150º, se tiene
csc 150º � � � 2
sec 150º � � � � � �
cot 150º � � � � � ��3�3��3�
1�
���33�
�
1��tan 150º
2�3��
3
2��3�
1�
���23�
�
1��cos 150º
1�
�12�
1��sen 150º
�3��3
�3��2
1�2
Ejercicio resuelto
u
A
xB0
ur
y
x308
y
1508ángulo dereferencia
x
b
y
a
(x, y)
x
y
1508
22108
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103
4.3. Valor numérico de expresiones que involucranfunciones trigonométricas
Es posible determinar el valor numérico de expresiones a partir de los valoresencontrados en este tema, o bien, utilizando una calculadora científica (figu -ra 40).
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
Figura 39
Figura 38
x
y
7808608
x
p3
y
Ángulo dereferencia
8p3
2p3
ALGO IMPORTANTELos valores de las funciones toma-dos con la calculadora son aproxi-mados, lo cual se representa con elsímbolo �.
Figura 40
2. Determinar sen �, cos � y tan � para � � 780º.
SOLUCIÓN
Cada ángulo de una vuelta mide 360º. Puesto que 780º � 2 � 360º � 60º, el ángulo de780º es coterminal con el ángulo de 60º (figura 38).
Por tanto,
sen 780º � sen 60º cos 780º � cos 60º tan 780º � tan 60º
sen 780º � cos 780º � tan 780º � �3�
3. Determinar sen � y cos � para � � .8�3
1�2
�3��2
SOLUCIÓN
Cada ángulo de una vuelta mide 2 radianes. Puesto que � 2 � , el ángu-
lo de es coterminal con el ángulo de (figura 39).
Primero se hallan las funciones del ángulo de , cuyo ángulo de referencia es
(figura 39).
sen � sen cos � �cos
sen � cos � �
Por tanto,
sen � sen � cos � cos � �1
�2
2�3
8�3
�3��2
2�3
8�3
1�2
2�3
�3��2
2�3
�3
2�3
�3
2�3
�3
2�3
2�3
8�3
2�3
8�3
Determinar el valor de las siguientes expresiones.
a. �sen �2
� �cos �2
b. tan 37º � sec 53º
SOLUCIÓN
a. �sen �2
� �cos �2
� � �2
� � �2
� 1
b. Con la calculadora se determina el valor de las funciones tan 37º y cos � 53º.
tan 37º � sec 53º � tan 37º � � 0,754 � � �0,9071
�0,602
1�cos 53º
1�2
�3��2
�3
�3
�3
�3
Ejercicio resuelto
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104
EJERCITACIÓN. Marcar con � el valor de cada expresión.
49. sen � cos � � � � 2
50. sen2 � cos2 � 2 � � �
51. (cos 45º � csc 30º) � tan 45º � �2� � 2 � � � 4 � �2�
52. sec2 � csc2 � sen 45º � � � �
53. (sen2 � sen2 ) � cos2 � � 1 � � � �1
54. � � �2� � 2 � �3�1�2
sen 30º � cos 60º���
sen 45º
1�2
1�2
�4
�6
�3
��2� � 8��
2�2� � 8��
28 � �2���
28 � �2���
2
�4
�4
�2� � 4��
2
4 � �2���
2
1�4
1�8
1�16
�4
�6
�3� � 1��
2
�3��2
1�2
�6
�6
ACTIVIDADES 6
EJERCITACIÓN. Hallar el ángulo de referencia para cada unode los siguientes ángulos.
1. 135º 2. 420º 3. �120º
4. �660º 5. 960º 6. 250º
7. 290º 8. �30º 9. 120º
EJERCITACIÓN. Determinar las funciones trigonométricas decada ángulo sin usar la calculadora.
10. 120º 11. �120º 12. 315º
13. 240º 14. �300º 15. �90º
16. 135º 17. �45º 18. 225º
RAZONAMIENTO. Encontrar un ángulo entre 0º y 360º que seacoterminal con el ángulo dado.
19. 734º 20. 364º 21. �100º
22. �100º 23. 2.435º 24. �800
25. 26. � 27.
EJERCITACIÓN. Determinar el valor de la relación trigono-métrica.
28. cos 225º 29. tan 330º
30. sen(�60º) 31. sec(�60º)
32. tan 750º 33. cos 660º
34. sec 120º 35. tan 855º
36. sen 37. tan 2�3
5�6
12�3
7�3
51�2
RAZONAMIENTO. Escribir verdadero o falso según corresponda.Justificar la respuesta.
38. sen 1.200º � sen 120º
39. sen 780º � sen 60º
40. si sen � � , entonces cos � �
41. sen 1.110º � sen 750º
RAZONAMIENTO. Las calculadoras científicas cuentan con fun-ciones como
x2
Explicar cómo ayudan estas funciones para calcular.
42. csc x 43. cot x 44. sec2 x
* PROBLEMAS. Leer cada situación. Luego, resolver.
45. El lado terminal de un ángulo � en posición normalcoincide con la línea y � 5x y cae en el tercer cuadrante.
Encontrar las seis funciones trigonométricas de dicho án -gulo.
46. Hallar una expresión paracalcular el área del triángulo.
47. Determinar el área de un triángulo de lados 7 cm y 9 cmque forman un ángulo de 72º.
48. Hallar el área de un triángulo si dos de sus lados suman8 cm y están a razón 1:3 formando un ángulo de 30º.
1�x
4�5
3�5
ha
b
u
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105
PROBLEMASDE APLICACIÓN
5 La trigonometría tiene diversas aplicaciones en la solución de problemas denavegación, astronomía, ingeniería y física, entre otras disciplinas.
UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I
608
B
8 m
h
A
C
a
408
E
A F
5 m
L x
708
368
368
368 368
368
368
368
368
188 a
x
5 cm
r
Figura 41
Figura 42
Figura 43
1. Para determinar la altura de un edificio, Sebastián se ubica a 8 m del piedel edificio y mide el ángulo de 60º como muestra la figura 41. Si la esta-tura de Sebastián es 1,47 m, determinar la altura del edificio.
SOLUCIÓN
En el triángulo ABC, se tiene que
tan 60º �
Por tanto,
BC � 8 � tan 60º � 8 � �3� � 13,86 m
Como la estatura de Sebastián es 1,47 m, se tiene que la altura del edificio esh � 13,86 � 1,47 � 15,33 m.
La altura del edificio es 15,33 m.
2. Para medir el ancho a de un río, Felipe, Luisa y Alejandra se ubican, res-pectivamente, en los puntos F, L y A en una de las orillas y Ernesto se ubicaen el punto E en la orilla opuesta. Luego de ubicarse, toman las medidasque se muestran en la figura 42. Determinar el ancho del río.
SOLUCIÓN
Para el triángulo FAE se tiene: Para el triángulo LAE se tiene:
tan 40º � , luego tan 70º � , luego
0,84(5 � x) � a 2,75x � a
4,2 � 0,84x � a x � 0,36a
Por tanto, 4,2 � 0,84 � 0,36a � a Se remplaza x por 0,36 a.
Es decir, 4,2 � 0,3024a � a
Luego, 0,70a � 4,2
a � 6
El ancho del río, obtenido a partir de las mediciones, es 6 m.
3. Determinar la medida del radio r de la circunferencia circunscrita y del apo-tema de un decágono regular cuyo lado mide 5 cm.
SOLUCIÓN
En la figura 43 se observa un triángulo rectángulo para el que uno de los ángulos mide18º. La distancia x mide 2,5 cm, en consecuencia,
sen 18º � , por tanto, r � � � 8,06
tan 18º � , por consiguiente, a � � � 7,81
La medida del radio de la circunferencia circunscrita es 8,06 cm y la medida del apo-tema es 7,81 cm.
a�x
2,5�0,32
2,5�tan 18º
2,5�
a
2,5�0,31
2,5��sen 18º
2,5�
r
a�5 � x
BC�8
Ejercicio resuelto
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
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ASTRONOMÍA
Los satélites giran alrededor deuna órbita fija pero las navesespaciales suelen adelantarse enel espacio, incluso abandonandonuestro sistema solar.
La exploración de los planetas serealiza con diversos métodos,como instrumentos automati-zados que no requieren control nisupervisión de astronautas.
Distancia a la Tierra desdeDistancia a la Tierra desdeuna nave espacialuna nave espacial
Con el lanzamiento del Sputnik 1 se inició en elmundo hace cincuenta años la era espacial. A lafecha han sido enviados aproximadamente 3 000satélites y naves espaciales para llevar a cabo dis-tintas misiones que han permitido ampliar la visióndel universo y la vida en la Tierra.Antiguamente, para la exploración de los planetasel hombre sólo contaba con sus ojos e instrumentosópticos y de radiofrecuencia. Pero con el surgi-miento de la era espacial, el hombre ha logradoenviar al espacio múltiples naves dotadas de ins-trumentos para realizar exploraciones.A futuro se planea extraer de otros planetas mine-rales que escaseen en la Tierra y transportarlos ennaves espaciales, al igual que crear instalacionesespaciales con ambientes artificiales donde el hom-bre pueda vivir cuando la capacidad del globo ya nosea suficiente.Una nave espacial se va alejando cada vez más de laTierra. En cada momento, los astronautas que tripu -lan la nave ven el planeta en un ángulo a diferente.Si se sabe que el radio de la Tierra R mide 6.370 km.Determinar la distancia d de la nave al planeta enlos siguientes casos:
1. cuando � � 28º2. cuando � � 24º3. cuando � � 18º4. cuando � � 2º
� d
��2
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Un fenómeno común a todos es el hecho que desdeafuera, una piscina se ve menos profunda de lo querealmente es. Este fenómeno es producto del cambioque experimenta la luz al cambiar de medio de pro-pagación, y es conocido con el nombre de refracciónde la luz.La luz, al pasar del agua al aire, cambia de dirección.Por esto es posible ver en una posición distinta obje-tos que están sumergidos en el agua (percibimos losobjetos de acuerdo con la dirección de los rayos lumi-nosos).El ángulo con el que se refracta la luz r depende delángulo de incidencia i y de los índices de refracción nde los dos medios y viene dado por la relación
n1 sen i � n2 sen
Esta relación se conoce como la ley de Snell.
El índice de refracción n de un medio se define comoel cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y lavelocidad con la que se propaga en dicho medio.
?
Agua
Aire458
? Agua
Aire378
Vidrio
? Agua
Aire308
Vidrio Cuarzo
Diamante
ÓPTICA
Calcular el ángulo de refracción en cada caso.5. 6. 7.
En la siguiente tabla se muestran los índices de refracción de algunos medios.
8. Determinar el ángulo de refracción de cadaángulo, luego completar el diagrama.
9. De acuerdo con la ley de Snell un rayo de luzque incide en el agua con �B como ángulo deincidencia, se relaciona con un ángulo derefracción �A mediante la expresión
sen B � 1,33 sen A.¿Existirá un ángulo con el que se pueda diri-gir un rayo de luz en el agua de tal forma queel rayo no se refracte?
Agua
Aire
608408208 Vidrio
Medio Índice de refracción
Aire 1,0003Agua 1,33Cuarzo 1,46Vidrio 1,5Diamante 2,42Hielo 1,309
i
u
g
n2
n1
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Al seguir el patrón como el que se muestra en la figura,se obtiene el diseño conocido como “La rueda deTheodorus”.
1. Encontrar los valores de r, s, t, u, v y w. Justificar larespuesta.
2. ¿Cuál de los triángulos es un triángulo rectánguloisósceles? Justificar la respuesta.
3. ¿Cuál de los triángulos tiene ángulos internos 30º -60º - 90º?
Eratóstenes, astrónomo que vivía en Grecia en el sigloIII antes de Cristo, fue quien realizó la primera medidade la circunferencia de la Tierra con buena precisión. Élencontró que hacia el mediodía en el solsticio de vera-no, el sol estaba direc-tamente sobre laciudad de Siena. Almismo tiempo enAlejandría, situada alnorte de Siena, el solestaba a 7º aproxima-damente hacia el sur,directamente sobre lascabezas. La distancia entre ambas ciudades era de 5 000estadios (un estadio equivale aproximadamente a 0,098millas).
4. Encontrar la medida de Eratóstenes para la circun-ferencia de la Tierra en millas.
5. ¿A qué distancia de lapared está el pie de laescalera?
6. Calcular el largo aproxi-mado de la base delbarco.
7. Calcular la altura del faro.
EXTRAER DATOS DE UN DIBUJO
EXPLORAR PATRONES
8. El techo de una casatiene la forma de lafigura. Encontrar laaltura.
9. Un joven avanza ensu bicicleta de cross.Calcular la distanciaentre los ejes.
10. En el año 1936, en la playa Waikiki en Oabur, Hawai,Tom Blake realizó la “corrida” más larga sobre unaola usando una tabla. Calcular la distancia x.
1
1
11
1
1r
s tu
v
w1
x
4 m
6 m h
14,5 m
488
Alejandría
Siena
N
S
E7°
O
7°
3,4 m
36º50’
23º
700 m
40 m 28º
x
108
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1 .2 .
3 .
4 .
LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA.
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS.
ANÁLISIS Y ELABORACIÓNDE GRÁFICAS.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS.
Para sostener un poste vertical se utiliza un cable AB como se muestra enla figura. Si la altura del poste es 4 metros y el punto A dista 1,5 metrosdel pie del poste, hallar la medida del ángulo que forma el cable con la hori-zontal.
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 103
a
A
B
4 m
1,5 m
5UNIDAD
Funciones trigonométricas II
• LA MATEMÁTICA DEL SONIDO.
• LA CORAZÓN TRIGONOMÉTRICO.
TEMAS
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LA CIRCUNFERENCIAUNITARIA
1 El estudio de las funciones trigonométricas requiere el análisis de su compor-tamiento y de la identificación de su dominio y su rango. Para realizar dicho aná-lisis se considera la circunferencia de radio uno centrada en el origen del planocartesiano.
1.1. Definición de circunferencia unitaria
La circunferencia unitaria es aquella que tiene como centro el origen del plano car-tesiano y de radio la unidad.
En la figura 1 se muestra la circunferencia unitaria que contiene el punto P(x, y).Al aplicar el teorema de Pitágoras se obtiene que para todo punto P(x, y) se cum-ple que
x2 � y2 � 1Si � es un ángulo en posición normal cuya medida es t radianes (figura 2), lamedida del arco s subtendido por dicho ángulo en la circunferencia unitaria seobtiene mediante
s � r�, luego s � 1 � t � t unidadesPor tanto,
En la circunferencia unitaria, un ángulo de t radianes subtiende un arco de t uni-dades.
Si a partir del punto (1, 0) se mide una distancia t a lo largo de la circunferenciaunitaria, a cada valor de t que pertenece al conjunto de los números reales, lecorresponde un punto de coordenadas P(x, y). Es decir, t determina un arcocuyos extremos son el punto (1, 0) y el punto P(x, y).• Si t es positivo, el arco se describe en sentido contrario a las manecillas delreloj.
• Si t es negativo, el arco se describe en el sentido de las manecillas del reloj(figura 3).
1.2. Funciones trigonométricas definidasen la circunferencia unitaria
Si t � � es la medida de un arco descrito en la circunferencia unitaria con extre-mos en los puntos (1, 0) y P(x, y) (figura 4), se tiene que
sen t � � � y csc t � � con y � 0
cos t � � � x sec t � � con x � 0
tan t � con x � 0 cot t � con y � 0
Si la medida de un ángulo en posición normal es t radianes y el lado final del ángu-lo contiene al punto P(x, y) que pertenece a la circunferencia unitaria, entonces
y � sen t x � cos t
x�y
y�x
1�x
r�x
x�1
x�r
1�y
r�y
y�1
y�r
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
0
y
r 5 11
1
21
21
r
P(x,y)
u 5 t rad0
y
1
1
21
21
P(x, y)
s 5 t unidades
0
y
1
1
21
0
y
1
1
21
21
P(x, y)
21
t . 0
P(x, y)
t , 0
t radx0
y
(1,0)
1
21
21
P(x, y)
yr t unidades
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A partir de las anteriores expresiones se puede observar que para t que perte-nece a los números reales
csc t � � con sen t � 0
sec t � � con cos t � 0
tan t � � con cos t � 0
cot t � � con sen t � 0
Las funciones trigonométricas sen t, cos t, tan t, csc t, sec t y cot t así definidas(a partir de la circunferencia unitaria) se denominan funciones circulares.
cos t�sen t
x�y
sen t�cos t
y�x
1�cos t
r�x
1�sen t
1�y
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
Figura 5
Figura 6
t radx0
y
(1,0)
1
21
21M 1
232
, 2
4 rad
x0
y
(1,0)
1
21
21(20,6536, 20,7568)
1. Verificar que el punto M� , � � pertenece a la circunferencia uni-taria.a. Determinar las funciones trigonométricas de t, donde t es un número real posi-
tivo igual a la medida del ángulo correspondiente al arco de extremos (1, 0) y
M� , � � (figura 5).SOLUCIÓN
Para el punto M, se determina si x2 � y2 � 1. Así,
� �2
� �� �2
� � � 1
Por lo tanto, M� , � � pertenece a la circunferencia unitaria.a. A partir de las coordenadas de M se tiene
sen t � y � � cos t �
csc t � � � � sec t � � � 2
tan t � � � ��3 cot t � � � �
2. Interpretar geométricamente los valores sen 4 y cos 4.
SOLUCIÓN
Con la calculadora en el modo RAD se determinan los valores: sen 4 � �0,7568 ycos 4 � �0,6536. Lo anterior significa que el lado final del ángulo de 4 radianes con-tiene al punto (�0,6536, �0,7568) que pertenece a la circunferencia unitaria y es unpunto del III cuadrante (figura 6).
�3�3
�12�
�
���23
�
cos t�sen t
���23
��
�12�
sen t�cos t
1�
�12�
1�cos t
2�3�3
1�
���23
�
1�sen t
1�2
�3�2
�3�2
1�2
3�4
1�4
�3�2
1�2
�3�2
1�2
�3�2
1�2
Ejercicio resuelto
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1.3. Líneas trigonométricasSe llaman líneas trigonométricas a los segmentos definidos para un ángulo � enposición normal, cuyas medidas coinciden con cada una de las funciones trigo-nométricas de ese ángulo.En la figura 7 se muestra la circunferencia unitaria y un ángulo � en posiciónnormal, cuyo lado final se encuentra en el primer cuadrante. El �UTO es con-gruente con el ángulo � y �OQP, �ORS y �TUO son rectángulos con sus ángu-los correspondientes congruentes; por lo tanto, son semejantes. Enconsecuencia, sus lados correspondientes son proporcionales. Así que:
� � � � � �
A continuación se muestran las líneas trigonométricas para un ángulo en el pri-mer cuadrante.
OU�TU
SR�OR
PQ�OQ
TU�TO
OR�OS
OQ�OP
OU�TO
SR�OS
PQ�OP
Q0
U1
21
21
1
1
P S
R
T
u
Q0
U1
21
21
1
1
P
uQ0
U1
21
21
1
1
P
T
u0
1
P
Q
S
R
U1
Q0
U1
1
1
P
T
Q021
21
1
1
P
T
u
U1
Q021
21
11
P
uR
S
U1
x0
y
R
1
21
21
Q
U
P
T
S
u
1. Determinar las líneas trigonométricas para un ángulo en el segundo cua-drante.
SOLUCIÓN
En la figura 8 se muestran los segmentos correspondientes a las líneas trigonométri-cas del ángulo � dado.
sen � � PQ positivo cos � � OQ negativo tan � � RS negativo
csc � � OT positivo sec � � OS negativo cot � � UT negativo
A los segmentos horizontales ubicados a la izquierda del eje y, a los verticales ubica-dos por debajo del eje x y a los oblicuos, como OS, cuya dirección es contraria al ladofinal del ángulo �, les corresponden valores negativos.
Ejercicio resuelto
Figura 7
Figura 8
sen � � � � PQ cos � � � � OQ tan � � � � � SRSR�1
SR�OR
PQ�OQ
OQ�1
OQ�OP
PQ�1
PQ�OP
cot � � � � � TU csc � � � � � OT sec � � � � � OSOS�1
OS�OR
OP�OQ
OT�1
OT�OU
OP�PO
TU�1
TU�OU
OQ�PQ
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UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
x0
y
R
1
21
21
Q
U
P
TS
u
1
x0
y
R
1
21
21
Q
UT
S
u
P
1
ACTIVIDADES 1
EJERCITACIÓN. Verificar si el punto de coordenadas dado per-tenece a la circunferencia unitaria. Luego, determinar elcuadrante en el que se ubica.
1. P�� , � 2. M�� , � �
EJERCITACIÓN. El punto L(x, y) está en la circunferencia uni-taria, determinar en cada caso sus coordenadas.
7. L� , y� I cuadrante.
5�13
12�13
4�5
3�5
3�5
EJERCITACIÓN. Determinar las funciones trigonométricas des(s� ��); s es la medida del ángulo correspondiente al arcocon extremos (1, 0) y el punto dado.
11. � , � � 12. � , �13. � , � 14. � , �15. �� , � 16. � , �17. (0, 1) 18. (1, 0)
19. (�1, 0)
RAZONAMIENTO. Con la información que se suministra deter-minar el cuadrante en el cual está el punto terminal deter-minado por t.
20. sen t � 0 y cos t � 0
21. tan t � 0
22. csc t � 0
23. csc t � 0 y sec t � 0
24. tan t � 0 y sec t � 0
4�3�7
1�7
�3�2
1�2
�3�2
1�2
�5�3
2�3
4�5
3�5
4�5
3�5
Figura 10
Figura 9
2. Determinar las líneas trigonométricas para un ángulo en el tercer cua-drante.
SOLUCIÓN
En la figura 9 se muestran los segmentos correspondientes a las líneas trigonométri-cas del ángulo � dado.
sen � � PQ negativo cos � � OQ negativo tan � � RS positivo
csc � � OT negativo sec � � OS negativo cot � � UT positivo
A los segmentos horizontales ubicados a la izquierda del eje y, a los verticales ubica-dos por debajo del eje x y a los segmentos oblicuos, como OS y OT, cuya dirección escontraria al lado final del ángulo �, les corresponden valores negativos.
3. Determinar las líneas trigonométricas para un ángulo en el cuarto cua-drante.
SOLUCIÓN
En la figura 10 se muestran los segmentos correspondientes a las líneas trigonomé-tricas del ángulo � dado.
sen � � PQ negativo cos � � OQ positivo tan � � RS negativo
csc � � OT negativo sec � � OS positivo cot � � UT negativo
A los segmentos horizontales ubicados a la izquierda del eje y, a los verticales ubica-dos por debajo del eje x y a los segmentos oblicuos, como OT, cuya dirección es con-traria al lado final del ángulo �, les corresponden valores negativos.
8. L�x, � � II cuadrante.1�3
5. C�� , � 6. T�� , � �2�3
1�3
1��5
2�5�5
3. S� , ��2�2
�2�2
4. L�� , �1�4
�15�4
10. La coordenada x es y L está en IV.�3�3
9. La coordenada x es y la coordenada y es negativa.2�3
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* PARA PENSAR. Resolver.
47. La figura muestra las coordenadas (x, y) de un puntoque pertenece al lado terminal de un ángulo de medida tradianes.
Determinar:
48. sen(t � ) 49. cos(t � )
50. tan(t � ) 51. sen(t � 2)
52. sec(t � 2) 53. sen(t � 3)
54. La figura muestra la rotación del triángulo AOB. El
triángulo rotó en sentido contrario a las manecillas del
55. Determinar las coordenadas de B’.
56. Hallar sen�t � �
58. Hallar tan�t � �
60. Si B’ rota sobre la circunferencia avanzando radianes,
determinar las coordenadas de B’’ y sen�t � �.3�2
�2
�2
�2
57. Hallar cos�t � ��2
59. Hallar sec�t � ��2
© S
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114
ACTIVIDADES 1
RAZONAMIENTO. Con la información suministrada determinarlos valores de las funciones trigonométricas de s.
25. sen S � S en el segundo cuadrante
26. tan S � S en el tercer cuadrante
27. tan S � � sen S � 0
28. csc S � �2 cos S � 0
RAZONAMIENTO. Determinar el valor de las funciones trigo-nométricas para el valor de x dado.
3�5
1�4
2�5
RAZONAMIENTO. Ubicar sobre una circunferencia unitaria ellado terminal del ángulo cuya longitud de arco es el núme-ro real s. Luego, determinar con la calculadora sus coor-denadas.
36. s � 37. s � �1,8
38. s � 8 39. s �
40. s � 41. s � �
42. s � 43. s �
44. s � 45. s � �
RAZONAMIENTO. Resolver.
46. Si el punto P�� � s, � está sobre el lado terminalde un ángulo en posición normal, ¿cuánto vale s?
1�2
1�2
3�2
5�4
�2
�4
5�4
�2
7�6
�8
(x,y)
t
(-x,-y)
t+p
t
A
A’
B
p2
t+B’
0
x sen x cos x tan x csc x sec x cot x
29. 0
30.
31.
32.
33. 2
34.
35. 3
5�2
3�2
�2
reloj (las coordenadas de B son (x, y)).
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115
GRÁFICAS DE LASFUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS
2 En este tema se construirán las gráficas de las funciones trigonométricas. Paraello, se procede de la siguiente manera:• En el plano cartesiano se traza la circunferencia unitaria y algunos ángulosespeciales en posición normal.
• Se traza la línea trigonométrica respectiva para cada ángulo correspondien-te a la función que se desea graficar.
• Para cada medida de los ángulos, se ubica un punto en el eje x del plano car-tesiano y se le hace corresponder en el eje y la respectiva medida de la líneatrigonométrica.
• Se construye la gráfica de la función.
2.1. Gráfica de la función seno (y � sen x)A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y� sen x se obtie-ne la gráfica que se muestra a continuación para los valores de x entre 0 y 2.
Cuando se representa la gráfica para un intervalo de longitud mayor que la del[0 y 2], se obtiene una gráfica de una función periódica como se muestra a con-tinuación.
Características de la función y � sen x
1. La función seno está definida para todos los números reales. Luego, el domi-nio de la función y � sen x es �.
2. El menor valor que toman las imágenes es �1 y el mayor valor es 1. Luego,el rango de la función y � sen x es el conjunto {y � �/�1 � x � 1}.
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
Las funciones periódicas han jugadoun papel muy importante en el desa-rrollo de la matemática y la tecno-logía. Por una parte, se han utilizadopara explicar fenómenos que ocurrenen la naturaleza como el movimientodel péndulo y de otros sistemas queoscilan.Por otra parte, en 1807, el matemá-tico francés Joseph Fourier (1768-1830) mostró que las funcionesperiódicas se pueden expresar comosumas de combinaciones de las fun-ciones seno y coseno, las cuales seconocen como series de Fourier.
MATEMÁTICOSDEL SIGLO XIX
ALGO IMPORTANTEFunciones periódicas
Una función f(x) es periódica siexiste un número real T, llamadoperíodo, tal que para todox � Dom f se cumple que
f(x) � f(x � T).
p3
p2
p6
2p3
5p6
7p6
4p3 3p
2
5p3
11p6
pp6
p3
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2p3
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y
x
1
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y
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2p 3p2p2
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1
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Tabla de valores de y � sen xx sen x
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2�3
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A
116
3. La función y � sen x es periódica y su período es 2. Esto significa quesen x � sen(x � 2n) con n � �
4. La función y � sen x es impar puesto que sen(�x) � �sen x.Esto significa que la función y � sen x es simétrica con respecto al origen decoordenadas del plano cartesiano.
5. La función y � sen x varía de la siguiente manera:
6. y � sen x alcanza su valor máximo en 1, esto es, para los valores de x de la
forma x � � 2n con n � �.
7. y � sen x alcanza su valor mínimo en �1, esto es, para los valores de x de la
forma x � � � 2n con n � �.
8. Los ceros de la función y � sen x son los valores en los cuales la gráfica cortaal eje x. Así, y � sen x � 0 si x � n, con n � �.
2.2. Gráfica de la función coseno (y � cos x)A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y � cos x, seobtiene la gráfica que se muestra a continuación para los valores de x entre0 y 2.
�2
�2
ALGO IMPORTANTELos valores de las funcionesy � sen x y y � cos x no sonmayores que 1 ni menores que �1.
y
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5p6
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4p3 3p
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2p3
5p6
p 7p6
4p3
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2p0 x
1
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Cuadrante Variación de xComportamientode y � sen x Valores
I entre 0 y Creciente entre 0 y 1
II entre y Decreciente entre 1 y 0
III entre y Decreciente entre 0 y �1
IV entre y 2 Creciente entre �1 y 0
3�2
�2
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�2
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Tabla de valores de y � cos xx cos x
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0
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0
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2
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La gráfica para un intervalo de longitud mayor que [0, 2], se muestra a con-tinuación.
Características de la función y � cos x
1. El dominio de la función y � cos x es el conjunto de los números reales.2. El rango de la función y � cos x es el conjunto {y � �/�1 � x � 1}.3. La función y � cos x es periódica y su período es 2. Esto significa quecos x � cos(x � 2n) con n � �.
4. La función y � cos x es par puesto que cos x � cos(�x). Es decir, la funcióny � cos x es simétrica con respecto al eje y.
5. La función y � cos x varía de la siguiente manera:
6. y � cos x alcanza su valor máximo en 1, esto es, para los valores de x de laforma x � 2n con n entero par.
7. y � cos x alcanza su valor mínimo en �1, esto es, para los valores de x de laforma x � n con n entero impar.
8. Los ceros de la función y � cos x son los múltiplos impares de , es decir,
los valores de x de la forma x � n , con n entero impar.�2
�2
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
Los ceros de una función son losvalores de x en los cuales su grá-fica intersecta al eje x.
RECORDAR QUE
x
p2
p 3p2
5p2
2p 3pp2
2p3p2
5p2
2 2 222p23p 7p2
y
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Cuadrante Variación de xComportamientode y � cos x Valores
I Entre 0 y Decreciente Entre 1 y 0
II Entre y Decreciente Entre 0 y �1
III Entre y Creciente Entre �1 y 0
IV Entre y 2 Creciente Entre 0 y 1
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�2
3�2
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MODELACIÓN. Completar la tabla de la función y � sen x � cos x, luego realizar su gráfica.6.
x 0 2
sen x � cos x
5�3
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3�2
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2�3
5�6
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RAZONAMIENTO. Observar las gráficas de las funciones y � sen x y y � cos x. Luego, responder.
1. ¿En qué intervalos las dos funciones son crecientes?
2. ¿En qué intervalos las dos funciones son decrecientes?
3. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos de corte enlas dos funciones?
4. Al considerar el intervalo 0 a 2, ¿en qué intervalossen x � cos x?
5. ¿En qué intervalos cos x � sen x?
ACTIVIDADES 2
Determinar.
7. Dominio y rango de la función y � sen x � cos x.
8. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
9. ¿Cuál es el valor máximo que toma y � sen x � cos x?
10. ¿Cuál es el valor mínimo que toma y � sen x � cos x?
11. ¿Cuáles son los ceros de la función y � sen x � cos x?
MODELACIÓN. Al considerar el círculo trigonométrico (radio 1) y las líneas trigo-
nométricas, para se forma el triángulo OCD tal y como se muestra en la figu-
ra. El triángulo OCD tiene a O como centro de rotación y se rota un cuarto de giroen sentido contrario al de las manecillas del reloj.
12. Dibujar el triángulo OCD rotando 90º y determinar el segmento que represen-
ta el seno del ángulo � � �.13. Si el triángulo OCD se refleja sobre el eje x, determinar el segmento de trián-gulo rectángulo reflejado que representa el coseno.
14. Determinar en el círculo trigonométrico los ángulos en los cuales sen x � cos x.
15. ¿Qué clase de triángulo se forma cuando sen x � cos x?
MODELACIÓN. Para cada una de las siguientes funciones determinar dominio y rango, intervalos de crecimiento y decreci-miento, periodo, valores máximos y mínimos, y paridad.16. 17.
18. Escribir las diferencias entre las gráficas de y � sen x, y y � |sen x|.
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1
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y
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x
y= cos(x)
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0
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2.3. Gráfica de la función tangente (y � tan x)A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y� tan x, se obtie-ne la gráfica que se muestra a continuación para los valores de x entre 0 y 2.
No es posible dibujar las líneas trigonométricas de la tangente para los ángulosde y , lo cual concuerda con el hecho de que para los ángulos cuadran-
tales con dichas medidas, la tangente no está definida.La gráfica para un intervalo de longitud mayor que [0, 2], se muestra a conti-nuación.
Características de la función y � tan x
1. La función y � tan x no está definida para valores de x de la forma x �
con n entero impar. Cuando el valor de x se aproxima a dichos valores por laizquierda, se observa que el valor de la función aumenta indefinidamente ycuando x se aproxima por la derecha a dichos valores, la función disminuyeindefinidamente. Se dice que en tales valores de x la función y � tan x tieneasíntotas verticales.
n�2
3�2
�2
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
ALGO IMPORTANTESe dice que la recta x � a es unaasíntota vertical de gráfica de lafunción y � f(x) cuando los valo-res de la función crecen o decre-cen indefinidamente a medida queel valor de x se aproxima al valorde a.
En la figura la recta x � 1 es asín-tota vertical de la gráfica.
x
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2p3
5p6
7p6
4p3 3p
2
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pp6
p3
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5p6
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4p3
3p2
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2p 3p2p2
2p25p2
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2
3
4
21222324x
y
Tabla de valores de y � tan xx tan x
0 0
Indefinida
Indefinida
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2. El dominio de la función y � tan x es el conjunto
�x � �/x � , n entero impar�.3. El rango de la función y � tan x es el conjunto de los números reales.4. La función y � tan x es periódica y su período es . Esto significa que
tan x � tan(x � n) con n � �
5. La función y � tan x es impar puesto quetan(�x) � �tan x.
Es decir, la función y � tan x es simétrica con respecto al origen.6. La función y � tan x es creciente en todo intervalo comprendido entre losvalores de x para los cuales hay dos asíntotas consecutivas. Por ejemplo, lafunción es creciente en los conjuntos.
�x � �/� � x � � �x � �/ � x � � �x � �/ � x � 2�y así sucesivamente en todos los intervalos cuyos extremos tienen estamisma forma general.
7. La función y � tan x no tiene valores máximos ni mínimos, dado que, cuan-do los valores de x se aproximan a los valores en los que hay asíntotas, el valorde la función crece o decrece indefinidamente.
8. Los ceros de la función y � tan x, son los valores de x que son múltiplos de, es decir, los valores de x de la forma x � n, con n entero.
9. La función y � tan x no es inyectiva porque los valores de y son imágenesde más de un valor de x.
2.4. Gráfica de la función cotangente (y � cot x)A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y� cot x se obtie-ne la gráfica que se muestra a continuación para los valores de x entre [0, 2].
3�2
3�2
�2
�2
�2
n�2Si tan � 1, ¿a qué es igual
tan� � 5�?�4
�4
PARA RESPONDER
x
y
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4p3 3p
2
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pp6
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5p6
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3p2
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Tabla de valores de y � cot xx cot x
0 Indefinida
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0
��3
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0
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7�6
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Indefinida
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3
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3
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No es posible dibujar las líneas trigonométricas de la cotangente para los ángu-los cuyas medidas son 0, y 2, lo cual concuerda con el hecho de que para losángulos cuadrantales con dichas medidas, la cotangente no está definida.La gráfica para un intervalo de longitud mayor que la del intervalo comprendi-do entre 0 y 2, se muestra a continuación.
Características de la función y � cot x
1. La función y � cot x no está definida para los valores de x de la formax � n con n entero.En dichos valores de x la función tiene asíntotas verticales, pues• cuando x se aproxima por la izquierda a tales valores, se observa que la fun-ción disminuye indefinidamente.
• cuando x se aproxima por la derecha a tales valores, la función aumentaindefinidamente.
2. El dominio de la función y � cot x es el conjunto {x � �/x � n, n � �}.3. El rango de la función es el conjunto de los números reales.4. La función y � cot x es periódica y su período es . Esto significa que
cot x � cot(x � n) con n � �
5. La función y � cot x es impar puesto que cot(�x) � �cot x. Es decir, la fun-ción y � cot x es simétrica con respecto al origen.
6. La función y � cot x es decreciente en todo intervalo comprendido entre losvalores de x para los cuales hay dos asíntotas consecutivas. Por ejemplo, lafunción es decreciente en los conjuntos
{x � �/0 � x � } {x � �/ � x � 2}.7. La función y � cot x no tiene valores máximos ni mínimos, pues cuando losvalores de x se aproximan al valor donde hay asíntotas, la función crece odecrece indefinidamente.
8. Los ceros de la función y � cot x son los múltiplos impares de , es decir,
los valores de x de la forma x � , con n entero impar.n�2
�2
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
y
x
p2 p
3p2
5p22p 3p
p2
2p3p2
5p2 22p23p 2 2 2 0
2
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24
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2
2 1
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4�3
2�3
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2.5. Gráfica de la función secante (y � sec x)A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y� sec x se obtie-ne la gráfica que se muestra a continuación.
La gráfica para un intervalo de longitud mayor que la del intervalo comprendi-do entre 0 y 2, se muestra a continuación.
Características de la función y � sec x1. La función y � sec x no está definida para los valores de x de la forma
x � con n entero impar. En dichos valores de x la función tiene asínto-
tas verticales.2. El dominio de la función y � sec x es el conjunto
�x � �/x � , n entero impar�3. El rango de la función y � sec x es el conjunto
{x � �/x � 1} � {x � �/x � �1}4. La función y � sec x es periódica y su periodo es 2. Esto significa quesec x � sec(x � 2n) con n � �.
5. La función y � sec x es par puesto que sec(�x) � sec x. Es decir, la funcióny � sec x es simétrica con respecto al eje y.
6. La función y � sec x es creciente en los intervalos en los cuales la funcióny � cos x es decreciente, y es decreciente en los intervalos en los cuales lafunción y � cos x es creciente.
7. La función y� sec x no tiene valores máximos ni mínimos y nunca intersectaal eje x.
n�2
n�2
Tabla de valores de y � sec xx set x
0 1
Indefinida
Indefinida
2�3�3
11�6
3�2
7�6
5�6
�2
2�3�3
�6
¿Para qué ángulos no es posibledibujar líneas trigonométricas dela función y � sec x?
PARA RESPONDER
x
y
p3
p2
p6
2p3
5p6
7p6 4p
3 3p2
5p3
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pp6
p3
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3p2
5p3
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x
y
p2
p 3p2
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2p 3pp2
2p3p2
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22p23p 2 2 20
1
23
21
22
23
y= cos x
y= sec x
�2�3�3
�2�3�3
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2.6. Gráfica de la función cosecante (y � csc x)A partir de las líneas trigonométricas descritas para la función y� csc x se obtie-ne la gráfica que se muestra a continuación.
La gráfica para un intervalo de longitud mayor que la del intervalo comprendi-do entre 0 y 2, es la que se muestra a continuación.
Características de la función y � csc x
1. La función y � csc x no está definida para los valores de x de la forma x � ncon n entero. En dichos valores de x la función tiene asíntotas verticales.
2. El dominio de la función y � csc x es el conjunto {x � �/x � n, n � �}.3. El rango de la función y � csc x es el conjunto
{x � �/x � 1} � {x � �/x � �1}4. La función y � csc x es periódica y su periodo es 2. Esto significa quecsc x � csc(x � 2n) con n � �.
5. La función y � csc x es impar puesto que csc(�x) � �csc x. Es decir, la fun-ción y � csc x es simétrica con respecto al origen.
6. La función y � csc x es creciente en los intervalos en los cuales la funcióny � sen x es decreciente y es decreciente en los intervalos en los cuales lafunción y � sen x es creciente.
7. La función y� csc x no tiene valores máximos ni mínimos y nunca intersectaal eje x.
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
Tabla de valores de y � csc xx csc x0 Indefinida
2
1
2
�2
�1
�211�
6
3�2
7�6
5�6
�2
�6
ALGO IMPORTANTELa función y � csc x no es sobreporque algunos valores de y noson imágenes de algún valor de x.
y
x
p 3
p 2
p 6
2p 3
5p 6
7p 6
4p 3 3p
2
5p 3
11p 6
p p
6 p 3
p 2
2p 3
5p 6
p
7p 6
4p 3
3p 2
5p 3
11p 6
2p
1
2
3
21
22
23
0
x
y
p2
p 3p2
5p2
2p 3pp2
2p2 2 23p2
5p2
23p0
2
22
y=csc x
y=sen x
Indefinida
�
�
2 Indefinida
2�3�3
5�3
2�3�3
4�3
2�3�
32�3
2�3�3
�3
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RAZONAMIENTO. Para analizar las gráficas de las funciones seestudia la tendencia o comportamiento de una funcióncuando toma valores próximos mayores que a(x → a�) opróximos menores que a(x → a�).
Teniendo en cuanta lo anterior, completar la siguiente tabla.
MODELACIÓN. Para cada una de las siguientes funciones deter-minar dominio, rango, intervalos de crecimiento y decreci-miento; periodo; valores máximos y mínimos; y si es par oimpar.
* PARA PENSAR. Bosquejar la gráfica de las siguientes fun-ciones. Luego, escribir las características de cada una deellas.
15. y � tan x � cot x
16. y � csc x � sec x © S
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A
124
ACTIVIDADES 3
RAZONAMIENTO. Identificar la función trigonométrica quecumple las características que se describen en cada tabla.
1. La función.
2. La función.
3. La función.
EJERCITACIÓN. Usar las gráficas de las funciones trigo -nométricas correspondientes para determinar los valoresde x.
4. tan x � 0 x � [0, 3]
5. sec x � �1 0 � x � 2
6. csc x � 0 �2 � x � 2
7. sen x � 0 0 � x � 2
8. cot x � 0 � x ��3�3
�2
x
y
p2
p3p2
2pp2
2p3p2
22p
3
1
22
2
23
21
y= tan x + cot x
2 2
x
y
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p
3p 2
2p
p2
2p3p2
22p
3
1
22
2
23
21
y= sec x + csc x
2 2
Es periódica y su período es .
Su gráfica es simétrica con respecto al origen, esdecir, es impar.
No tiene valor máximo ni mínimo.
Presenta asíntotas.
Cuando toma valores muy próximos por la izquierdaa sus asíntotas verticales, los valores de la función dis-minuyen indefinidamente.
Tiene asíntotas verticales.
Tiene por rango el conjunto{x � �/x � 1} � {x � �/x � �1}
Es periódica con periodo 2.
No tiene valores máximos ni mínimos.
No intersecta al eje x, es decir, no tiene ceros reales.
Es par.
No está definida para los valores x de la forma
� n con n � �.�2
Tiene por dominio el conjunto �.
Las imágenes de la función se encuentran entre �1y 1.
La función es impar.
Toma valores máximos y mínimos.
Los ceros de la función se presentan en múltiplosenteros de .
Es continua.
Tendencia Función Crece o decrece
9. x → tan x
10. x → 2� cot x
11.x → sec x
12.
13. x → 2� csc x
14. x → 0� csc x
�
�2
3�
�2
x → sec x3��2
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cos �x � � 0 � �1 � 0 1 0�2�2
�2�2
�2�2
�2�2
�2
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125
ANÁLISISY ELABORACIÓNDE GRÁFICAS
3 3.1. Traslación de funcionesLas funciones trigonométricas experimentan cambios cuando al valor de la fun-ción o al valor de la variable x se le suma un número real. En el primer caso, lafunción se traslada verticalmente; en el segundo caso, lo hace de forma hori-zontal.
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
PROBLEMAS. Física.
Un osciloscopio es un disposi-tivo de visualización gráficaque se usa para observar elcomportamiento de las ondas.Las ondas sonoras son tradu-cidas a señales eléctricas quese representan como curvas,así.
17. ¿Qué función se representa en el gráfico?
La pantalla muestra una representación sonora en un osci-loscopio.
18. ¿Qué función podría representar la gráfica anterior?
19. Si la representación se hace usando la función cosecan-te, dibujar la representación sonora del osciloscopio.
p2p
2
22
p2
p22
Figura 11
Figura 12
Construir en el mismo plano la gráfica de las funciones.a. y � sen x, y � sen x � 2
b. y � cos x, y � cos�x � �SOLUCIÓN
a. Los valores de la función y � sen x � 2 se obtienen al sumar 2 a cada uno de losvalores de la función y � sen x (figura 11).
b. La gráfica de la función y�cos�x� � se obtiene al aplicar una traslación de hacia la izquierda a la gráfica de la función y � cos x (figura 12). La tabla de valoresde las dos funciones se muestra a continuación.
�2
�2
�2
x 0 2
cos x 1 0 � �1 � 0 1
7�4
�2�2
�2�2
�2�2
�2�2
3�2
5�4
3�4
�2
�4
Ejercicio resuelto
1
21
x
y
p
2 y= sen x + 2
3
02p
y= sen x
p2
p2 2
2p
2
y= cos(x)
y= cos(x+ )p2
22
p
1
21
x0 p
23p2
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3.2. Reflexión de funciones• Una función trigonométrica experimenta una reflexión con respecto al eje x
cuando su valor se multiplica por �1.• Si el valor de la variable x se multiplica por �1, la función experimenta una
reflexión con respecto al eje y.
x
y
p2
p
y 5 cos x1
21 y 5 2cos x
3p2
p2
p
y 5 sen x1
21
2p2
0
y 5 sen (2x)y
x2p
p
y 5 cos x
1
x2p
2
21
22
y 5 3 cos x
y
23
3
p2
3p2
1
x
y
p
y 5 cos x
y 5 2 cos x
0
21
2p
12
p2
3p2
Figura 16
Figura 14
Figura 13
Figura 15
Construir en el mismo plano la gráfica de las funciones.a. y � cos x, y � �cos xb. y � sen x, y � sen(�x)
SOLUCIÓN
a. La gráfica de la función y � �cos x se obtiene al aplicar una reflexión con respec-to al eje x a la función y � cos x (figura 13).
b. La gráfica de la función y � sen(�x) se obtiene al aplicar una reflexión con res-pecto al eje y a la función y � sen x (figura 14).
3.3. AmplitudSi A es un número positivo mayor que 1, la gráfica de la función y � A f(x) esuna versión alargada verticalmente de la gráfica de la función y � f(x). Si A esun número positivo menor que 1, la gráfica de la función y � A f(x) es una ver-sión comprimida verticalmente de la gráfica de la función y � f(x). En el casode las funciones y � A sen x y y � A cos x, para A un número real, la expresión|A| se llama la amplitud de la función.
Ejercicio resuelto
Construir en el mismo plano la gráfica de las funciones dadas.
a. y � cos x, y � 3 cos x
b. y � cos x, y � � cos x
SOLUCIÓN
a. La gráfica de la función y � 3 cos x se obtiene al multiplicar por 3 los valores dela función y � cos x (figura 15). La amplitud de la función y � 3 cos x es |3| � 3.A continuación se muestra la tabla de valores de las funciones.
1�2
b. La gráfica de la función y � � cos x se obtiene al multiplicar por los valo-
La amplitud de la función y � � cos x es �� � � .1
�2
1�2
1�2
1�2
1�2
res de la función y � cos x y, aplicar una reflexión con respecto al eje x (figura 16).
Ejercicio resuelto
x 0 � 2�
3 cos x 3 0 � �3 � 0 33�2��
2
3�2��
23�2��
23�2��
2
7��4
3��2
5��4
3��4
��2
��4
cos x 1 0 � �1 � 0 1�2��2
�2��2
�2��2
�2��2
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MODELACIÓN. Relacionar cada gráfica con su función.
( ) 22.y � �cos�x � �( ) 23.y � 2 sen(�x)
( ) 24.y � sec x � 1
( ) 25.y � sen�x � �( ) 26.y � 1 � sec x
( ) 27.y � �2 cos(�x)
�2
1�2
�2
a. b. c.
d. e. f.
x
y
1
2
25p6
2p 6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p3
11p6
2p
2p
2p 2
p6
2p3
22p 3
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RAZONAMIENTO. Escribir la expresión que determina cada función.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
ACTIVIDADES 4
MODELACIÓN. Graficar las siguientes funciones.
7. y � 5 sen x 8. y � 3 cos x
11. y � 2 tan x 12. y � �2 sen x
MODELACIÓN. Determinar rango, intervalos de crecimiento ydecrecimiento, y puntos máximos y mínimos de cada unade las siguientes funciones.
13. y � �cos x � 1 14. y � sen(�x)
15. y � �sen�x � � 16. y � cos��x � ��2
�2
RAZONAMIENTO. Escribir V si la situación es verdadera o F sies falsa. Justificar la respuesta.
17. La función y � csc x � 2 tiene amplitud 2.
18. El rango de la función y � csc � 2 es el conjunto{y � �/y � 1} � {y � �/y � �1}.
19. El rango de la función y � 1 � csc x es el conjunto{y � �/y � 2} � {y � �/y � 0}.
20. El rango de la función y � 1 � sec x es [0, 2].
21. El rango de la función y � �1 � sec x es(��, 2] � [0, ��).
1
x
y
23
22
24
25
2p6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p3
11p6
2p
23p 2
2p
2p 2
p6
2p3
22p3
25p 6
27p6
24p 3
21
4
x
y
2
3
1 25p
62p 6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p3
11p6
2p
2p
2p 2
p6
2p 3
22p 3
27p 6
24p 3
5
4
x
y
2
3
1
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2p6
p3
p2
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5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p3
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2p 2
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2p 3
22p3
x
y
21
125p
62p 6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p3
2p
2p 2
p6
2p3
22p 3
x
y
1
21
23
25p 6
2p 6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
2p
2p 2
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2p 3
22p 3
x
y
1
21
22
2
23p2
3
4
25p6
2p6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p32p
2p2
p6
2p 3
22p 3
27p6
24p 3
x
y
1
21
22
2
3
4
23
24
25
25p6
2p6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p32p
2p2
p6
2p3
22p3
27p6
23p2
24p3
2
x
y
1
21
23p 2
22
25p6
2p6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
2p
2p2
p6
2p 3
22p 3
27p6
24p3
2
x
y
1
21
23p 2
22
25p6
2p 6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
2p
2p2
p6
2p 3
22p 3
27p6
24p 3
2
x
y
1
21
3
25p6
2p6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
2p
2p2
p6
2p3
22p3
27p6
x
y
21
22
23
25p6
2p6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p3
2p
2p2
p6
2p 3
22p 3
9. y � cos x 10. y � 4 sec x1
�2
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3.4. PeríodoCuando se multiplica el valor de x por un número real B, la gráfica de la funcióny � f(Bx) es una versión alargada o comprimida horizontalmente de la funcióny � f(x).• Si B es un número positivo mayor que 1, la gráfica de la función y � f(Bx) esuna versión comprimida horizontalmente de la gráfica de la función y� f(x).
• Si B es un número positivo menor que 1, la gráfica de la función y � f(Bx) esuna versión alargada horizontalmente de la gráfica de la función y � f(x). Enel caso de las funciones y � A sen Bx y y � A cos Bx, para A un número realy B un número real positivo, se tiene que:
T � se llama el período de la función.2�B
Si y � f(x) es una función:La gráfica de y � f(x) � D se ob -tiene al trasladar verticalmente lagráfica de la función y � f(x). • Si D es mayor que cero, la grá-
fica se traslada hacia arriba.• Si D es menor que cero, la grá-
fica se traslada hacia abajo.La gráfica de y � f(x � C) se ob -tiene al trasladar horizontalmentela gráfica de la función y � f(x).• Si C es mayor que cero, la gráfi-
ca se traslada hacia la izquierda.• Si C es menor que cero, la grá-
fica se traslada hacia la de-recha.
RECORDAR QUE
ALGO IMPORTANTEEl valor de la amplitud producealargamiento o compresión verti-cales a la gráfica de las funcionesy � sen x y y � cos x.
¿En qué se diferencian las gráfi-cas de las funciones y � 3 sen 2xy y � 3 sen(�2x)?¿En qué se diferencian las gráfi-cas de las funciones y � 3 cos 2xy y � 3 cos(�2x)?
PARA RESPONDER
1. Determinar la amplitud y el período de cada función. Luego, construir lagráfica en el mismo plano cartesiano.a. y � 2 sen x b. y � 3 sen 2x
SOLUCIÓN
a. Al comparar la función y � 2 sen x con y � A sen Bx, se tiene que A � 2 y B � 1.
La amplitud es A � 2 y el período es T � � � 22�1
2�B
b. Al comparar la función y � 3 sen 2x con y � A sen Bx, se tiene que A � 3 y B � 2,luego la amplitud es A � 3 y el periodo es
T � � �
A continuación se muestran las gráficas de las dos funciones.
En las gráficas se puede observar que la función y� 2 sen x se repite cada 2; su valormáximo es 2 y su valor mínimo es �2. De igual forma, y � 3 sen 2x se repite cada ;su valor máximo es 3 y su valor mínimo es �3.
2�2
2�B
Ejercicio resuelto
x
y
p2
3p2
0
1
3
2
21
23
22
y 5 3 sen 2x
y 5 sen x
y 5 2 sen x
p 2p
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UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
2. Escribir la expresión algebraica correspondiente a cada una de las siguien-tes gráficas.a. b.
SOLUCIÓN
a. En la gráfica de la función se observa que el valor máximo es 2 y el valor mínimoes �2, por lo tanto, |A| � 2.
La gráfica se repite cada , por lo tanto, T � . Como T � , entonces
� , luego B � 3.
Así, la expresión algebraica de la función es y � 2 cos 3x.
b. En la gráfica de la función se observa que el valor máximo es 3 y el valor mínimoes �3, por lo tanto, |A| � 3.
La gráfica se repite cada , por lo tanto, T � . Como T � , entonces
� , luego B � 2. Además, f(0) � �3.
Así, la expresión algebraica de la función es y � �3 cos 2x.
3. Hallar el periodo y la amplitud de la función y � � cos� � � 2. Cons-
truir su gráfica y compararla con la gráfica de la función y � cos x.
SOLUCIÓN
La expresión y � � cos� � � 2 es de la forma y � A cos(Bx) � D, donde
En la figura 17 se muestran las gráficas de las funciones
y � cos x y y � � cos� � � 2.x
�2
1�2
x�2
1�2
x�2
1�2
2�B
2�B
2�B
2�3
2�B
2�3
2�3
ALGO IMPORTANTEPara f(x) � cos x, f(0) � 1Para f(x) � �cos x, f(0) � �1
Para f(x) � sen x, f � � � 1
Para f(x) ��sen x, f � �� �1�2
�2
Figura 17
x
y
10p6
2p5p6
p 7p6
4p3
11p6
0 3p2
2p3
p2
p3
p6
2
22
x
y
2pp0 3p2
p2
2
-2
1
3
1
3
x
y
p
y 5 cos x
1
21
y 5 2cos x
02
2p 2p2p
p
y 5 sen x1
21
02
2p 2p2p
y 5 2sen x
y
x
y 5 cos x
p2
p 3p2
5p2
2p 3p2p2
7p2
0
1
3
2
21
y 5 cos(x/2)+212
A partir de las gráficas, es posible observar que y � � cos� � � 2 es una versión
comprimida vertical y horizontalmente de la gráfica y � cos x. Además, el términoD � 2 significa que la gráfica se traslada dos unidades hacia arriba. El signo menos delvalor de la función señala una reflexión con respecto al eje x.
x�2
1�2
T � � � 4.2�B
2�
�12�
A � � , B � y D � 2. La amplitud de la función es �� � � , su períodoes
1�2
1�2
1�2
1�2
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RAZONAMIENTO. Relacionar cada función con su gráfica respectiva.
( ) 21. y � sen � ( ) 22. y � 4 sen � ( ) 23. y � cos 0,4�
( ) 24. y � sen 4� ( ) 25. y � �cot � ( ) 26. y � 0,4 cos �
a. b. c.
d. e. f.
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* PARA PENSAR. Observar la gráfica de las funciones. Luego, responder.
ACTIVIDADES 5
EJERCITACIÓN. Determinar la amplitud y el período de lassiguientes funciones.
1. y � 2 sen 3x 2. y � �2 cos 2x
3. y � 2 cos 4x 4. y � sen (�x)
5. y � 1 � 2 cos 3x 6. y � 1 � 2 sen 3x
7. y � 4 tan x 8. y � 3 � sen
9. y � 10 sen x 10. y � � sen 1
�2
1�2
x�3
1�2
x�2
15. y � �4 cos(x � 2) 16. y � �2 sen( x � )
19. y � �sen x 20. y � � cos� x�
�2
3�5
1�2
1�3
1�3
27. ¿Es posible hablar de amplitud en esta función? Jus ti -ficar la respuesta.
28. ¿Cuál es el período de la función?
29. ¿Qué función podría representar la gráfica anterior?
30. ¿La función anterior tiene la formaw(x) � a sen(bx � c) � d? Justificar la respuesta.
31. Escribir el período y la amplitud de la función anterior.
32. Escribir una fórmula que represente la función anterior.
22
2
1050
y
x
1
21
24
4
2p p 2p22p 0u
1
2
21
22
u2p p
2p
22p 0
u2p p
1
2
3
up 2pp
23p2
x
y
1
2
22
p 2p22p 2p
u
21
x
y
21
1 23p
2
25p3
211p
6
2p
25p6
2p6
p3
p2
2p3
5p6
p
7p6
4p3
3p2
5p3
11p6
2p
2p
2p2
p6
2p3
22p3
27p6
24p3
1
2
3
1 2
w(x)
x
y
4
MODELACIÓN. Graficar las siguientes funciones.
11. y � 4 cos 12x 12. y � �3 cos 3x
13. y � �5 cos 10x 14. y � �2 sen �x � �
17. y � �2 cos x 18. y � � sen� x�
�2
3�5
1�2
1�2
3�4
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se obtiene al desplazar horizontalmente en un valor de � a la gráfica de lafunción y � A sen Bx.
En general se dice que el desfase de la función y � A sen(Bx � C) es � .C
�B
C�B
y � 3 sen�2x � � se obtiene al desplazar la gráfica de la función y � 3 sen 2x�2
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131
3.5. DesfaseLa gráfica de la función y � A sen(Bx � C), tiene amplitud |A| y su período sepuede determinar a partir de B. El término C sugiere que la gráfica de la fun-ción y� A sen Bx se desplaza horizontalmente cierta cantidad, razón por la cualse dice que la gráfica tiene un desfase.Por ejemplo, las siguientes gráficas corresponden a las funciones y � 3 sen 2x
y y � 3 sen�2x � �.
Se puede observar que la gráfica de la función y � 3 sen�2x� � corta al eje x
corta al eje x en 0, , , y 2. Lo cual significa que la gráfica de la función
de hacia la izquierda. En este caso, se dice que el desfase de la función
En general, para la función y � A sen(Bx � C), los puntos de corte con el eje xse obtienen cuando A sen(Bx � C) � 0, lo cual ocurre cuando sen(Bx � C) � 0.Dado que sen 0 � 0, la igualdad se cumple cuando Bx � C � 0, es decir cuando
x � � . Lo anterior significa que la gráfica de la función y � A sen(Bx � C)C�B
�4
3�2
�2
�2
�2
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
ALGO IMPORTANTEPara las gráficas de las funcionesy � A sen(Bx � C) yy � A cos(Bx � C)La amplitud es |A|
El período es T �
Si C es positivo, la gráfica seobtiene al desplazar la funcióny � A sen Bx o y � A cos Bx res-pectivamente, hacia la izquierda.Si C es negativo, la gráfica de lasfunciones y � A sen(Bx � C) yy � A cos(Bx � C) se obtiene aldesplazar la función y � A sen Bxo y � A cos Bx respectivamente,hacia la derecha.
2�
B
y
p2
p 3p2
5p4
2pp4
3p4
7p4
2p4
0
1
2
3
21
22
23
x
en � , , , y , mientras que la gráfica de la función y� 3 sen 2x7�4
5�4
3�4
�4
�4
y � 3 sen�2x � � es � .�4
�2
El desfase es �C
�B
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Amplitud: |A| � � � � Periodo: T � Desfase: � �� �
y� sen(2x� ). Se observa que la gráfica de la función y� sen(2x� ) está des-
�2
3�2
3�2
�2
C�B
2�2
3�2
3�2
Hallar la amplitud, el periodo y el desfase de la función y � sen(2x � ).Luego, construir su gráfica.
SOLUCIÓN
Para la función y � sen(2x � ), se tiene que
Primero se grafica la función y � sen x. Luego, y � sen 2x y, finalmente,
plazada en hacia la derecha con respecto a la gráfica de la función y � sen 2x.3
�2
�2
3�2
3�2
3�2
3�2
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A
132
Ejercicio resuelto
ACTIVIDADES 6
EJERCITACIÓN. Hallar el desfase, la amplitud y el periodo decada función.
1. y � 3 cos(x � ) 2. y � 5 sen� � �3. y � 4 sen� � �MODELACIÓN. Escribir una ecuación que represente cadafunción.
5. Función seno con amplitud 3, periodo 720ºy desfase 60º.
6. Función coseno, con amplitud 4, periodo 4
y desfase .
7. Función seno con periodo 180º y desfase 25º.
8. Función seno con amplitud 2, periodo
y desfase .�3
2�3
�2
�6
x�3
�2
x�4
RAZONAMIENTO.Hallar el desfase de cada función. Luego, rea-lizar su gráfica y compararla con la gráfica de la función y � a sen x, y � a sen bx, y � a sen(bx � c) yy � a sen(bx � c) � d.
10. y � 12 cos 3�x � �11. y � �6 cos(180 � �)
12. y � �2 sen�2x � � � 2�4
�2
y � sen x y � sen 2x y � sen(2x � )3
�2
3�2
3�2
1
21
x
y
p2
3p2
p 2p
2
22
p4
3p4
7p4
5p4
0
1
21
x
y
p2
3p2
p 2pp4
3p4
7p4
5p4
1
21
x
y
p2
3p2
p 2pp4
3p4
7p4
5p4
9. Función coseno, con amplitud , periodo 21
�2
4. y � 4 sen� � �2x�3
�4
y desfase .�2
17. y � �3 sen�x � ��4
14. y � �2 cos(3x � ) � 1
15. y � 2 sen� � ��5
x�3
13. y � �5 sen� � � �1�3
�2
16. y � cos�x � ��2
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MODELACIÓN. Marcar con � la función que corresponde a la gráfica dada.
30. 31. 32.
� y � 2 cos x � y � � cos� x� � y � 1,41 sen x
� y � cos 2x � y � �2,5 sen��x � � � y � �2� sen� x � ���2
��2
��2
1�2
��2
��2
5�2
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
MODELACIÓN. Escribir una ecuación de la formay � A cos(Bx � c) que cumpla las condiciones dadas.
21. A � T � 180º Desfase 0.
22. A � 3 T � 180º Desfase 120º.
23. A � 1 T � Desfase � .
24. A � 3 T � Desfase .
25. A � 3 T � Desfase .
RAZONAMIENTO. Escribir V si la afirmación es verdadera o Fsi es falsa. Justificar la respuesta.
26. La función y � 2 sen(x � �) está desplazada � unidades.
27. La función y � cos�x � � está desplazada unida-
des hacia la izquierda con respecto a la gráfica de y � cos x.
��2
��2
2��
3
��3
��2
��4
3��
4
��3
1�3
MODELACIÓN. En una rueda de Chicago, el ángulo central for-mado entre canastilla y canastilla es de 30º. Cuando unacanastilla realiza un giro completo describe una trayectoriade la forma y � 2 sen(Bx � c).
28. Escribir la ecuación de las trayectorias seguidas por lascanastillas N y T.
29. Si una canastilla P está ubicada 90º con respecto a lacanastilla M, escribir una ecuación que represente su movi-miento en un giro completo.
-4
4
-p p 2p
x
y
-2p p2
3p2
-p2
-3p2
3
2
1
-1
-2
-3
-p p 2p
x
y
-2p p2
3p2
-p2
-3p2
3
2
1
-1
-2
-3
2
22
2p p 2p 22p 3p 2
p 2
2p2
23p2
x
y
21
1
x
y
21
1
22
2
5 4 3 2 1 21 22 23 x
y
2 1 21 22 2 2
2
1
3
3 2
1 2
5 2
2 52
12
32
x
y
4 3 2 1 21 22 24
2 2
2
23
MODELACIÓN. Escribir una función de la forma y � A sen(bx � c) que describa cada gráfica.
18. 19. 20.
� y � 2 cos x��2
� y � � sen��x � �5
�2
1�2
� y � 1,4 cos x��2
308
308
T
N
M
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FÍSICA
El sonido se transmite hasta el oído humano graciasa la vibración de las moléculas del aire.
En el oído humano existe una membrana llamada tím-pano que transmite dichas vibraciones a un sistemade tres huesecillos: el martillo, el yunque y el estribo.Los movimientos de estos huesecillos se transfor-man en ondas mecánicas que atraviesan el canal audi-tivo y adoptan la forma de impulso nervioso. Unosciloscopio podría visualizar la señal y se compro-baría esta transmisión por ondas conocida como leysinusoidal.
SONIDO INICIAL SONIDO MÁS FUERTE SONIDO MÁS DÉBIL
SONIDO INICIAL SONIDO MÁS AGUDO SONIDO MÁS GRAVE
ViolínFlauta Gong
La intensidad del sonido está ligada a la amplitud de la oscilación.
El tono está ligado al periodo.
El timbre del sonido está ligado a la forma de la curva y es lo que permite diferenciar la fuente que emiteel sonido, aun cuando estos tengan la misma intensidad.
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y
2
1
22
21
y
t (seg)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
y y
y
1 2 3 4
1
21
t(seg)0
22
2
y
yy
y
1 2 3 4
1
21
t(seg)0
22
2
y
yy
1 2 3 4
1
21
t(seg)0
22
2
y
y
y
1
21
t(seg)0
22
2
1 2 3 4 y
Si se representa el movimiento de las moléculas del aire en un sis-tema de coordenadas en el cual el eje x corresponde al tiempo y eleje y al desplazamiento a partir de la posición original, se obtienengráficas como las siguientes.
1. ¿A cuál de las ondas representadas corresponde el sonido con mayor volumen?2. ¿A cuál de las ondas representadas corresponde el sonido más grave?3. ¿A cuál de las ondas representadas corresponde el sonido más agudo?
Escribir una ecuación que represente cada una de las siguientes gráficas que correspondan al sonido trans-formado en ondas mecánicas. Luego, describir la intensidad y el tono con que se percibe el sonido de cadainstrumento.4. 5.
6. 7.
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PLANTEAR UNA ECUACIÓNEl movimiento de una pesa que está suspendida de unresorte, se puede describir como una función trigono-métrica modificada.
1. Si en t � 0 se comprime la pesa 6 cm desde su puntode equilibrio y luego se suelta. Escribir una ecuaciónque represente la posición del resorte con referenciaal punto de equilibrio y en términos del tiempo t, ensegundos, después de que se suelte.
2. ¿Cuál será la posición de la pesa pasados 15,5 segun-dos?
3. Suponer que el movimiento del resorte se iniciacomo se muestra en la figura.
Escribir una ecuación de una función que represen-ta la posición del resorte en función del punto deequilibrio (plantear la ecuación en términos de t ensegundos).
4. Para cada una de las ecuaciones escritas, que descri-ben el movimiento de la pesa, hallar la amplitud, elperíodo y el desfase.
JUSTIFICACIÓN DE AFIRMACIONESLa gráfica que se observa en un osciloscopio está des-crita por la ecuación y � 10 cos 524t. Al desplazar lagráfica, en la pantalla, se observa que el intercepto en eleje y es 0. Ni la amplitud ni el periodo cambiaron.
5. ¿La gráfica, en su nueva posición, podría ser descri-ta por una función seno?
EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICALa corriente obtenida de los grandes alternadores de unacentral hidroeléctrica se conoce como corriente alternao corriente sinusoidal.
En la siguiente gráfica se representa la tensión corres-pondiente a una corriente alterna durante un determi-nado tiempo.
6. Escribir una ecuación que represente la gráfica an-terior.
7. ¿En qué instantes la tensión fue mayor?8. ¿Cuál será la tensión cuando t � 6 s?
9. Cuando t � 5,4 s, ¿cuál será la tensión?
HACER UNA GRÁFICALas ondas que determinanel sonido antes de chocarcontra una montaña estándadas por y � 4 sen x � 1.Las ondas que se reflejanvienen dadas por
y � cos x � 2.
10.Construir la gráfica decada función.
11.¿Qué cambio sufrenlas ondas al ser refle-jadas?
1�2
2
6 cm
t(s)0
1
654321
212223242526
2
6 cm
t(s)0
1
654321
212223242526
1 2 3 4 5 6 7 8
t(s)
0
1
2
3
21
22
23
Tensión
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FUNCIONESTRIGONOMÉTRICASINVERSAS
4 Como se explicó en la unidad 1, si f es una función inyectiva, se define la fun-ción inversa f�1 como
f�1(y) � x si y sólo si y � f(x), para todo y � Ran f.Aun cuando las funciones trigonométricas no son inyectivas, es posible restrin-gir el dominio de tal forma que la función en ese dominio sea inyectiva.Las restricciones de los dominios de las funciones trigonométricas, que se pre-sentan en este tema, han sido escogidas por el uso común que se da a ellas. Sinembargo, tal restricción puede aplicarse sobre cualquier intervalo del dominioen el cual las funciones sean inyectivas.
4.1. Función arcosenoLa función inversa de la función y � sen x se simboliza como y � sen�1 x oy � arcsen x y se lee seno inverso de x o arcoseno de x.Si se restringe el dominio de la función y� sen x al intervalo �� , �, se defi-ne la función y � sen�1 x como:
y � sen�1 x si y solo si x � sen y dondeDom(sen�1 x) � [�1, 1]
Rg(sen�1 x) � �� , �La definición anterior significa que el arcoseno de un número x es el ángulo y,medido en radianes entre � y , cuyo valor del seno es x.
La gráfica de la función y � sen�1 x, es la reflexión de la gráfica de y � sen x,entre � y , con respecto a la recta y � x.
�2
�2
�2
�2
�2
�2
�2
�2
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
ALGO IMPORTANTE
sen�1 x � 1�sen x
ALGO IMPORTANTEFunción inversa
Si f es una función inyectiva, defi-nida del conjunto X en el conjun-to Y, con dominio Dom f y rangoRg f, se define la función inversaf�1 cuyo dominio es Rg f y cuyorango es Dom f, comof�1(y) � x si y sólo si y � f(x),para todo y � Rg f.
2p2
y= sen x
1
x
2
21
22
y
p2
p2
p2
1 2 21
2
22
y= sen x
21
1
x
2
21
22
y
2p2
1 2 21 22
p2
y= sen x
y= sen x
21
21
Tabla de valores de la función y � arcsen x
x �1 � 0 1�2�2
�2�2
sen�1 x � � 0�4
�2
�4
�2
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4.2. Función arcocosenoLa función inversa de la función y � cos x se simboliza como y � cos�1 x oy � arccos x y se lee coseno inverso de x o arcocoseno de x.Si se restringe el dominio de la función y � cos x al intervalo [0, ], se define lafunción y � cos�1 x como:
y � cos�1 x si y sólo si x � cos y dondeDom(cos�1 x) � [�1, 1]
Rg(cos�1 x) � [0, ]
La gráfica de la función y � cos�1 x es la reflexión de la gráfica de la funcióny � cos x con respecto a la recta y � x.
0
1 0
�2
Tabla de valores de la funcióny � arccos x
x cos�1 x
�1
�
�4
�2�
2
3�4
�2�
2
1. Determinar el valor de y si � � y � .
SOLUCIÓN
Puesto que � � y � se tiene:
2. Determinar el valor de y si 0 � y � .
a. y � arccos� � b. y � cos�1(�1)
SOLUCIÓN
Puesto que 0 � y � se tiene:
a. Para y � arccos� �, y � porque cos� � �
b. Para y � cos�1(�1), y � porque cos() � �1
1�2
�3
�3
1�2
1�2
�2
�2
�2
�2
Ejercicio resuelto
p2
y 5 cos x
1
x
2
21
y
p22 1 3 21 2
3 p
p
y 5 cos x21
p2
x
22
y
1 21 2
p
y 5 cos x
21
2
p2
p2
a. y � arcsen�� � b. y � sen�1� ��2�2
�3�2
a. Para y � arcsen�� �, y � � porque sen�� � � ��3�2
�3
�3
�3�2
b. Para y � sen�1� �, y � porque sen� � ��2�2
�4
�4
�2�2
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4.4. Función arcocotangenteLa función inversa de la función y � cot x se simboliza como y � cot�1 x oy � arccot x y se lee cotangente inversa de x o arcocotangente de x.Si se restringe el dominio de la función y � cot x al intervalo (0, ), se define lafunción y � cot�1 x como:
y � cot�1 x si y solo si x � cot y con 0 � y �
La gráfica de la función y � cot�1 x es la reflexión de la gráfica de la funcióny � cot x con respecto a la recta y � x.
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
�3
�3
ALGO IMPORTANTE
Dom(tan�1 x) � R
Rg(tan�1 x) � �� , �
�2
�2
ALGO IMPORTANTE
Dom(cot�1 x) � �
Rg(tan�1 x) � (0, )
Tabla de valores de la funcióny � tan�1 x
x tan�1 x
��3 �
�
0 0
�6
�6
�3
Tabla de valores de la funcióny � cot�1 x
x cot�1 x
��3
0
�3
�2
5�6
1
x
2
21
22
y 3
23
2 3 21 22 23 p 2
2p 2
2p 2
p/2
p
2p
2p
p
y 5 tan x y 5 x
y 5 tan x 21
1
1
x
2
21
22
2
2
y
1
3
23
2 3 21 22 23
p2
p2
p2
p2
p
p
2p
2p
y 5 cot x
y 5 xy 5 cot x 21
x
y
1 2 3 21 22 23
p
2p
p22
p2
y 5 cot x21
x
y
1
p2
2 3 21 22 23
y 5 tan x 21
p
2p
p2
4.3. Función arcotangenteLa función inversa de la función y � tan x se simboliza como y � tan�1 x oy � arctan x y se lee tangente inversa de x o arcotangente de x.
Si se restringe el dominio de la función y� tan x al intervalo �� , �, se defi-ne la función y � tan�1 x como:
y � tan�1 x si y solo si x � tan y con � � y �
La gráfica de la función y � tan�1 x es la reflexión de la gráfica de la funcióny � tan x con respecto a la recta y � x.
�2
�2
�2
�2
�3�
3
��3�
3
�3
�3�
3
2�3�
�3�
3
�6
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Tabla de valores de la funcióny � sec�1 x
x sec�1 x
�2
�1
1 0
�6
2�3
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A
140
Dom(sec�1 x) � � �(�1, 1)
Rg(sec�1 x) � [0, ] � � �
�2
RECORDAR QUE
1. Determinar el valor de y si � � y � .
SOLUCIÓN
Puesto que � � y � se tiene:
b. Para y � tan�1(1), y � porque tan� � � 1
2. Determinar el valor de y si � � y � .
a. y � arccot(��3) b. y � cot�1(�1)
SOLUCIÓN
Puesto que 0 � y � se tiene:
a. Para y � arccot(��3), y � porque cot� � � ��35�6
5�6
�2
�2
�4
�4
�2
�2
�2
�2
Ejercicio resuelto
1
x
2
21
22
y
1
3
23
2 3 21 22 23 p2
p2
p
p
2p2
2p2
2p
2p
y 5 sec x
y 5 x
y 5 sec x21
x
y
1 2 3 21 22 23
2
p
2p
y 5 sec x21
p2
p2
4.5. Función arcosecanteLa función inversa de la función y � sec x se simboliza como y � sec�1 x oy � arcsec x y se lee secante inversa de x o arcosecante de x.
Si se restringe el dominio de la función y � sec x al intervalo �0, � � � �,se define la función y � sec�1 x como:
y � sec�1 x si y sólo si x � sec y con 0 � y � o � y �
La gráfica de la función y � sec�1 x es la reflexión de la gráfica de la funcióny � sec x con respecto a la recta y � x.
�2
�2
�2
�2
a. y � arctan�� � b. y � tan�1(1)
a. Para y � arctan�� �, y � � porque tan�� � � � �3�3
�6
�6
�3�3
�3�3
b. Para y � cot�1(�1), y � porque cot� � � �13�4
3�4
2�3�
3
2
�3
5�6�
2�3�
3
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� �
1
2
�6
�2
�3
2�3�
3
a. Para y � arcsc(�2), y � � porque csc�� � � �2�6
�6
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141
4.6. Función arcocosecanteLa función inversa de la función y � csc x se simboliza como y � csc�1 x oy � arccsc x y se lee cosecante inversa de x o arcocosecante de x.Si se restringe el dominio de la función y � csc x al conjunto
�x � �/� � x � 0� � �x � �/0 � x � �, se define la función y� csc�1 x
como:
y � csc�1 x si y sólo si x � csc y con � � y � 0 ó 0 � y �
La gráfica de la función y � csc�1 x es la reflexión de la grafica de la funcióny � csc x con respecto a la recta y � x.
�2
�2
�2
�2
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
ALGO IMPORTANTE
Dom(csc�1 x) � � � (�1, 1)
Rg(csc�1 x) �
�� , � � {0}
�2
�2
Tabla de valores de la funcióny � csc�1 x
x csc�1 x
�2 �
�1 �
�3
2�3�
3
�2
�6
1. Determinar el valor de y si 0 � y � .
a. y � arcsec�� � b. y � sec�1(�2)
SOLUCIÓN
Puesto que 0 � y � se tiene:
a. Para y � arcsec�� �, y � porque sec� � � �
2. Determinar el valor de y si � � y � .
a. y � arcsc(�2) b. y � csc�1(�1)
SOLUCIÓN
Puesto que � � y � se tiene:
b. Para y � csc�1(�1), y � � porque csc�� � � �1
5�6
�2
�2
�2
�2
�2
�2
2�3�3
5�6
2�3�3
2�3�3
Ejercicio resuelto
1
2
21
22
y
1
3
23
2 3 21 22 23 p 2
p2
2p
2p
p
y 5 csc x
y 5 x
y 5 csc x 21
2
p2
2
p2
x
p2
y
1 2 3 21 22 23
y 5 csc x21
p
2p
2 p2
b. Para y � sec�1(�2), y � porque sec� � � �2�4
�4
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EJERCITACIÓN. Encontrar el valor exacto de cada expresión.
1. arctan 1 2. cos�1�� �
7. arcsec 2 8. arctan (�1)
9. arccot �3 10. arcsen (�1)
11. arcsec (��2) 12. arccos (0)
RAZONAMIENTO. Unir cada expresión con el valor de y co rres -pondiente.
13. sen�1(sec�1(�2)) a.
15. arccos �tan�� �� c. 0
17. cos �sen�1�� �� e.
MODELACIÓN. Marcar � en las igualdades que son correctas.Justificar la respuesta.
18. � sen�1� � � tan�1(�3) �
20. � arctan � arctan �
22. � arccos � arctan � arccot
24. � arcsen � arcsen � arccos
26. � arctan a � arctan � (a � 0)
12�13
1�4
43�32
1�2
1�3
�4
�2�2
7�12
�2�2
�2�2
5�4
3�2
�3�2
�2
1�a
�13�85
15�17
3�5
19. � arcsen � arcsen� � �
21. � arcsen � arctan �
23. � arctan � arctan �
25. � arctan � arctan �
27. � 2 arctan � arctan � �4
1�7
1�3
�4
1�7
4�3
�4
1�7
1�3
�2
3�4
4�5
�12
1�2
�2�2
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142
ACTIVIDADES 7
RAZONAMIENTO. Determinar en cada caso si la expresión escierta para el valor de x dado. En caso de no serlo escribirun contraejemplo.
28. tan(tan�1 x) � x Para todo x
29. cot�1(cot x) � x Para todo x
30. sen�1 x � �sen�1(�x) �1 � x � 1
31. cos�1(cos x) � x Para todo x
32. sen�1 x � cos�1 x � �1 � x � 1
* PARA PENSAR. Despejar el valor de x en cada función.
34. y � cos(x � 90º)
35. y � � arcsen x
36. y � arctan 2x
37. y � tan�2x � �38. y � sen�1 0,5x
39. y � tan�1�4x � �
MODELACIÓN. Graficar las siguientes funciones.
41. y � 3 cos�1 x 42. y � 2 tan�1 3x
43. y � sen�1 44. y � 2 cos�1 2x
* PARA PENSAR.
Escribir una ecuación que represente la gráfica de lasiguiente función.
47.
x�2
�2
�4
�2
�2
33. cos�1 x � Para todo x1
�cos x
1
x
2
21
y
1 221 22
40. y � � arcsen 60º�4
45. y � tan�1 2x 46. y � cos�1 2x1�2
3. arctan 4. cos�1�� �1�23
�4
14. arcsen �tan � b.
16. arctan �sen � d. ��2
�2
3�4
5. arctan �3 6. arcsen�� ��2�2
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4.7. Uso de la calculadoraPor medio de la calculadora se pueden determinar valores aproximados de lasfunciones trigonométricas inversas. Para ello, es importante tener en cuenta quelos valores de las funciones trigonométricas inversas son números reales quecorresponden a ángulos medidos en radianes, por lo cual es importante traba-jar con la calculadora en modo RAD. Cuando se trabaja con la calculadora en modo DEG, se obtienen los valores engrados sexagesimales.
UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
Figura 20
Figura 19
Figura 18
ALGO IMPORTANTESe puede obtener el mismo resul-tado del ejercicio 2, en grados, sidirectamente se digita la mismase cuencia con la calculadora enmodo DEG.
1. Emplear la calculadora para evaluar las siguientes expresiones.
a. tan[sen�1(0,8)] b. sec[cos�1(0, 3)]
SOLUCIÓN
a. La secuencia en la calculadora se muestra en la figura 18.El resultado en la pantalla de la calculadora es 1,3333.
b. La secuencia en la calculadora se muestra en la figura 19.El resultado en la pantalla de la calculadora es 0,66.
2. Para sostener un poste vertical se utiliza un cable AB como se muestra enla figura 20. Si la altura del poste es 4 metros y el punto A dista 1,5 metrosdel pie del poste, hallar la medida del ángulo que forma el cable con la hori-zontal.
SOLUCIÓN
Como se conocen los valores del cateto opuesto y del cateto adyacente, se tiene que
tan � , por tanto, � tan�1� �Así, para hallar la medida del ángulo , se digita en la calculadora, en modo RAD.
El valor obtenido es 1,21. Luego, la medida del ángulo es 1,21 radianes.
En grados, la medida del ángulo es � 1,21 � 69º
El cable forma con la horizontal un ángulo cuya medida es 69º.
3. Determinar el valor de tan �, si se sabe que 3 sen � � 1.
SOLUCIÓN
A partir de la expresión 3 sen � � 1, se tiene que � � sen�1 . Luego, la expresión
El resultado en la pantalla de la calculadora es 0,353.
1�3
180º�
4�1,5
4�1,5
Ejercicio resuelto
tan ( (
)80
SHIFT sen
. EXE)
1 (
((
)
))
30
cosSHIFT
cos
.
EXE
÷
a
A
B
4 m
1,5 m
tan (SHIFT EXE)÷4 1 . 5
tan ( SHIFT EXE)÷sen 1 3( )
que se debe evaluar con la calculadora es tan�sen�1� �� Así,1�3
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
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4.8. Operaciones con funciones trigonométricas inversasMediante la aplicación de las definiciones de las funciones trigonométricasinversas es posible realizar operaciones que las involucran.
¿A qué es igual sen [sen�1(x)]?
¿A qué es igual cos�1[cos(x)]?
PARA RESPONDER
Figura 21
u
1-u
1
u
2
1. Determinar el valor de la siguiente expresión.
sen�sen�1� �� � sec�1�cot� ��SOLUCIÓN
sen�sen�1� �� � sec�1�cot� ��� sen� � � sec�1[0] Se resuelven las operaciones dentro de los corchetes.
� � 1 �
2. Si sen � � u, determinar tan � en términos de �.
SOLUCIÓN
Puesto que sen � � u, se tiene que � � sen�1� �. Así, se puede dibujar el triángu-lo rectángulo de la figura 21.
Por tanto, tan � �
3. Verificar las siguientes igualdades.
a. arctan� � � arcsen� � � arccsc(�2)
b. arccos�� � � arcsec(1) � arcsec(2) � arccos(1)
SOLUCIÓN
a. Se calculan los valores de cada miembro de la igualdad.
Miembro izquierdo: arctan� � � arcsen� � � � � �
u���1� u2
�6
�3
�6
�3�2
�3�3
�3�2
�3�2
�3�3
u�1
3�2
1�2
�6
�2
1�2
�2
1�2
Ejercicio resuelto
Miembro derecho: arccsc(�2) � �
Por tanto, la igualdad es verdadera.
b. Se calculan los valores de cada miembro de la igualdad.
Miembro izquierdo: arccos(� ) � arcsec(1) � � 0 �
Miembro derecho: arcsec(2) � arccos(1) � � 0 �
Por tanto, la igualdad es falsa.
5�6
�3
�3
5�6
�3�2
�6
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UNIDAD 5 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
ACTIVIDADES 8
EJERCITACIÓN. Encontrar el valor de cada expresión utilizan-do la calculadora.
1. sen�cos�1� �� 2. cot�cos�1�� ��
5. cos(tan�1 �3) 6. sen�1�cos �
9. sen�arccos � 10. sec�tan�1 �
12. sec�cos�1�� � � sen�1� ��
14. tan(cos�1(2x))
EJERCITACIÓN. En cada caso escribir la expresión que generacada secuencia digitada en la calculadora.
15.
3,929376541
16.
�0,565138
17.
0
RAZONAMIENTO. Verificar cada ecuación. Suponer que todoslos ángulos están en el primer cuadrante.
18. sen�1 � cos�1 � tan�1 � tan�1 �3
20. tan�1(1) � cos�1� � � sen�1� � � sec�1(�2)
cos�cos�1(0) � sen�1� �� � �11
�2
�3�2
1�2
�2�2
�2�2
�3�3
1�2
1�2
1�2
2x�3
�2
3�5
15�17
* PARA PENSAR. Explicar por qué la siguiente ecuación nosiempre es verdadera.
24. cos(cos�1 x) � cos�1(cos x)
25. ¿Es posible restringir el dominio y el rango para que laecuación sea verdadera en dicho intervalo?
PROBLEMA. Las curvas que toman losautos en las carreteras se puedenmodelar por la expresión
tan � � , donde
v es la velocidad del carro en la curvag es la aceleración de la gravedad r esel radio de la curva � el ángulo quebarre el carro al dar la curva.
26. Se desea diseñar una curva que tenga un radio de 300metros. Si el límite de velocidad en esta curva es 50 km/hy la aceleración de la gravedad 9,8 m/s2, ¿qué ángulo debetener la curva en su orilla?
PROBLEMA. El promedio de potencia P de un circuito eléctri-co de corriente alterna está determinado por la expresión
P � V � I cos �, en donde
V: representa el voltaje
I: la corriente
�: es la medida del ángulo de fase
27. A partir de la ecuación del ejer-cicio anterior, hallar otra expresiónque permita calcular el ángulo defase �.
28. Si en un circuito se tiene un vol-taje de 110 voltios y una corriente de0,75 amperios que produce 7,2 vatiosde potencia, ¿cuál es la medida delángulo de fase?
29. Si se duplica el voltaje y la co -rriente se mantiene constante, ¿cuáldebe ser el ángulo de fase para que lapotencia no varíe?
30. Si se reduce el voltaje a la mitad, ¿cuál debe ser el ángu-lo de fase para que la potencia se duplique si la corriente esla misma?
v2�gr
(
x
SHIFT
EXE
÷ cos1 3( tan (
8 ) ) )
(SHIFT
EXE
÷sen 5
3
(
tan (-)
)
sen 12
( SHIFT 5 ÷
)
SHIFT
EXE
cos 1
2
( tan ( -
)
SHIFT
÷
)
SHIFT 2
19. arcsen � arccos � 90º
21. cos� � cos�1�� �� �1
�2
4�3
2�5
2�5
22. sen�sen�1 � � cos�arcos�� �� � �31
�2
�3�2
23. sen(tan�1(1)) � cos(cos�1 0,5) � �2 � 1��
2
3. sen�1�tan � 4. sec(tan�1(�1))
7. sen�sen�1 � 8. tan�cos�1 �
11. sen�arctan �� � � arccot�� ��
13. tan�sen�1� � � cos�1� ��1�
��2
1�3
4�3
3�4
5�13
1�2
�4
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En la naturaleza existen muchos fenómenosperiódicos, pero entre todos ellos la actividaddel corazón humano es uno de las más inte-resantes.El corazón tiene cuatro cámaras: dos aurícu-las que reciben la sangre y dos ventrículos,encargados de bombearla e impulsarla. Sumovimiento consiste en una serie de con-tracciones que se transmiten a toda su masay pasan a través de los fluidos del cuerpo,hasta llegar a la superficie.El impulso que inicia la actividad eléctricadel corazón se inicia en la parte alta de laaurícula derecha, en un área pequeña llama-da nódulo sinusal. Este se encuentra confor-mado por fibras musculares encargadas deproducir impulsos eléctricos rítmicos, cono-cidos como marcapasos del corazón.Esta actividad del corazón puede estudiarpor medio de un electrodo que es puestosobre su superficie. El electrocardiógrafoamplifica y registra las señales y las transcri-be en una señal voltaje-tiempo que recibe elnombre de electrocardiograma.Un electrocardiograma normal está formadopor tres tipos de impulsos (ondas): La onda Pque corresponde a la contracción de las au-rículas, la onda QRS que corresponde a lacontracción de los ventrículos y la onda Tque es el resultado de la relajación de estos.Estas ondas se presentan en una sucesiónordenada que puede ser estudiada por mediode las funciones seno y coseno.
T
SQ
P
R
El corazóntrigonométrico
Electrocardiograma de una persona sana.
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MEDICINA
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Los siguientes electrocardiogramas corresponden a la actividad eléctrica de dos corazones.
1. ¿Cuál de los dos corazones late más rápido?2. ¿Cuál es el periodo del corazón del electrocar-diograma 1?
3. ¿Cuál es el periodo del corazón del electrocar-diograma 2?
4. ¿Cuántas pulsaciones por minuto se presentan enel electrocardiograma 1?
5. ¿Cuántas pulsaciones por minuto se presentan enel electrocardiograma 2?
Cuando los cirujanos unen arterias o realizan injer-tos en estas por bypass, se debe asegurar que la fric-ción entre la sangre y la arteria en el punto de uniónsea mínima. Al suponer que el ángulo formado pordos arterias que han sido unidas mide � grados y losradios de las dos arterias vienen dados por r y Rmilímetros, respectivamente, la ecuación
cos � � describe este hecho.
r: radio de la arteria pequeña.R: Radio de la arteria grande.6. Si un cirujano debe unir arterias cuyos radios son4,5 mm y 6,5 mm, ¿qué ángulo formaran al sutu-rarlas?
7. Completar la tabla, si se sabe que el radio de laarteria más grande es 5 milímetros.
8. Graficar la función descrita por la tabla.
r4�R4
0 s 1 s 2 s
Electrocardiograma 1
0 s 1 s
Electrocardiograma 2
2 s
�
r 0,5 1,5 2 3 3,5 3,8 4 5
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RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 A 4 DE ACUERDO CONLA SIGUIENTE INFORMACIÓN.La circunferencia terrestre determina 24 husos diariospara la medición del tiempo. Cada huso horario equivale a15° de latitud en el sistema sexagesimal.
1. De acuerdo con la información anterior, 20 minutosequivalen a
A. 0,5° C. 2,5°
B. 1° D. 5°
2. Dos lugares están separados por 127°30’ de latitud. Sepuede afirmar que
A. entre los dos lugares hay 7 horas de diferencia.
B. entre los dos lugares hay 7 horas y 30 minutos dediferencia.
C. entre los dos lugares hay 8 horas de diferencia.
D. ente los dos lugares hay 8 horas y 30 minutos dediferencia.
El meridiano 0° de latitud se encuentra en Londres, ya partir de él se mide el tiempo. Al este de Londres eltiempo aumenta, y al oeste disminuye.
3. Si en Londres son las 9:30 a.m. y en Tokio las 6:05 a.m.del siguiente día, se puede afirmar que
A. Tokio se encuentra en el meridiano 21° de latitud.
B. Tokio está entre el meridiano de 308° y de 309°.
C. Tokio está en el meridiano 9° de latitud.
D. Tokio se encuentra en el meridiano 315° de latitud.
La circunferencia terrestre mide, aproximadamente,40 100 km lo cual causa que entre cada huso horariode 15° de latitud exista una distancia de 1 670 km.
4. Una aeronave que vuela a una velocidad de 3 340 km/hrecorre en una hora
A. 30° de latitud
B. 1 huso horario
C. 45° de latitud
D. 3 husos horarios
1�2
RESPONDE LAS PREGUNTAS 5 A 9 DE ACUERDO CONLA IMAGEN DE LA SIGUIENTE COLUMNA.
5. El ángulo que se forma cuando las manecillas marcanlas 2:30 es de
A. 120° B. 105° C. 100° D. 95°
6. Cuando el reloj marca las 4:00, el área circular gris com-prendida entre las manecillas es
A. la cuarta parte del área total.
B. las dos terceras partes del área total.
C. la tercera parte del área total.
D. la octava parte del área total.
7. Si el diámetro del reloj es de 14 cm, el área de la parteblanca donde se encuentran los números que indicanla hora es
A. 4 cm2 B. 16 cm2 C. 24 cm2 D. 49 cm2
8. Si el horario recorre 135° a partir de las 12:00, sepuede afirmar que el minutero
A. recorre 4 vueltas y un ángulo de 180° a partir de las12:00.
B. recorre 4 vueltas y un ángulo de 90° a partir de las12:00.
C. recorre 4 vueltas y un ángulo de 30° a partir de las12:00.
D. recorre 4 vueltas y un ángulo de 15° a partir de las12:00.
9. Si el reloj se atrasa diez minutos cada hora, se puedeafirmar que
A. en 72 horas volverá a marcar las 12:00.
B. cuando el reloj marque las 4:00, en realidad seránlas 12:00.
C. en 48 horas volverá a marcar las 12:00.
D. cuando el reloj marque las 8:00, en realidad seránlas 12:00.
Identifica la respuesta adecuada.TIPO: SELECCIÓN MÚLTIPLE, RESPUESTA ÚNICA. Las siguientes preguntas están formadas por unenunciado y cuatro posibles respuestas de las cuales una es correcta.
121
2
3
4
56
7
8
9
10
11
5 cm
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149
RESPONDE LAS PREGUNTAS 10 A 13 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.El sistema sexagesimal y el sistema centesimal dividen lacircunferencia en 360 y 400 partes equivalentes respecti-vamente. Se pretende construir un nuevo sistema quedivida la circunferencia en 390 partes equivalentes.
Cada parte recibirá el nombre de grado santilla °Cs, es de-
cir, que 1°Cs es equivalente a parte de la circunfe-
rencia.
10. De acuerdo con la información anterior, no se puedeconcluir que
A. 1°Cs es mayor que 1° centesimal.
B. 1°Cs es mayor que 1 ° sexagesimal.
C. 1°Cs equivale a grados sexagesimales.
D. 1°Cs equivale a grados centesimales.
11. Con el nuevo sistema, 60° equivalen a
A. 67°Cs
B. 65°Cs
C. 63°Cs
D. 61°Cs
12. En este nuevo sistema es incorrecto afirmar que
A. no es posible calcular el sen 195°Cs porque no sehan definido las funciones trigonométricas en estesistema.
B. la suma de los ángulos internos de un triángulo es195°Cs.
C. un triángulo rectángulo es aquel que tiene unángulo de 97,5°Cs.
D. sen2 � � cos2 � � 1, donde � está dado en gra-dos santilla.
13. En este sistema no es correcto afirmar que
A. las funciones trigonométricas se definen de lamisma forma que el sistema centesimal.
B. se cumplen las leyes del seno y el coseno.
C. podría establecerse un estudio trigonométricohaciendo una equivalencia con el sistema cente-simal.
D. es imposible realizar un estudio trigonométrico.
40�39
12�13
1�390
RESPONDE LAS PREGUNTAS 14 A 17 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE GRÁFICA.En la gráfica se muestra el nivel de agua de dos barriles deigual tamaño que fueron perforados cada uno por un tor-nillo de diferente calibre.
14. A partir de la gráfica se puede afirmar que
A. la rapidez con la que se desocupan los barriles esla misma.
B. es mayor el calibre del tornillo que perforó el barril1 que el barril 2.
C. los dos barriles fueron perforados a la misma altura.
D. es menor el calibre del tornillo que perforó el barril1 que el barril 2.
15. En t � 5 s se puede afirmar que
A. el barril 2 se ha desocupado menos.
B. el barril 1 tiene más agua.
C. los dos barriles tienen el mismo nivel de agua.
D. los dos barriles comenzaron a derramar la mismacantidad de agua.
16. La horizontalidad tomada por la gráfica después det � 5 s se debe a que
A. los barriles están completamente vacíos.
B. los orificios están a diferente altura.
C. el barril 2 quedo vacío pero el barril 1, no.
D. el nivel del agua llegó a la altura de los orificios.
17. El nivel del agua en función del tiempo para el barril 2 para 0 � t � 5 es
A. f(t) � �10 � 100t C. f(t) � �10 � 50t
B. f(t) � �10t � 100 D. f(t) � �10t � 50
50
75
100
05
Barril 2
Barril 1
Nivel deagua
Tiempo (s)
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RESPONDE LAS PREGUNTAS 18 A 23 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.El valor del servicio telefónico en una ciudad depende dela tarifa básica, según el estrato al que se pertenezca, y delvalor total de minutos consumidos.
Siempre que el consumo exceda los 800 minutos, secobran Bs. 10 adicionales.
18. El valor del servicio telefónico en función de los minu-tos t consumidos para una familia de estrato 2 es
A. f(t) � �5t � 0,100, t � 800
5t � 0,100 � 10.000, t � 800
B. f(t) � �5t � 0,100, t � 800
15t � 10,100, t � 800
C. f(t) � �5 � 0,100t, t � 800
5 � 0,100t � 10.000, t � 800
D. f(t) � �0,1t � 5, t � 800
0,1t � 15, t � 800
19. Si una familia de estrato 2 que ha consumido 250 minutos, recibe una factura por Bs. 50, se puedeafirmar que
A. le cobraron Bs. 30 más.
B. le cobraron 66% más del valor real.
C. le cobraron Bs. 20 más.
D. le cobraron 40% más del valor real.
20. Si una familia de estrato 6 recibe su factura por un va-lor de Bs. 267,500, incluidos los Bs. 10 del costo adi-cional, se puede afirmar que
A. consumieron más de 800 minutos.
B. consumieron 950 minutos.
C. consumieron entre 1 000 y 1 600 minutos.
D. consumieron 1 800 minutos.
21. Si una persona llega a un banco a pagar una factura porun valor de Bs. 10,500, es posible afirmar que
A. vive en estrato 2 y registra un consumo de 800 minutos.
B. vive en estrato 5 y registra un consumo de 370 minutos.
C. vive en estrato 3 y registra un consumo superiora 800 minutos.
D. vive en estrato 4 y registra un consumo superiora 800 minutos.
La empresa telefónica decide que para el siguiente año, latarifa básica aumentará 4%, y el costo por minuto 5% paralos estratos 1, 2 y 3. El sobrecargo para todos los estratosse fijará después de los 900 minutos.
22. De acuerdo con la información anterior, una tabla con lasnuevas tarifas, en bolívares, para los estratos 1, 2 y 3 es
A. C.
B. D.
23. A partir de la información anterior se puede concluir que
A. la familia de estrato 6 siempre pagará un mayorvalor por el consumo de minutos.
B. el valor del servicio telefónico depende del núme-ro de minutos que se consuman.
C. el valor del consumo telefónico aumenta muchomás para una familia de estrato 4, 5 ó 6 a partir delos 90 minutos.
D. una familia de estrato 4 pagará Bs. 2,500 menospara un mismo consumo de minutos que unafamilia de estrato 5.
TIPO: SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA VÁLIDA. Las siguientes preguntas cons-tan de un contexto y cuatro opciones de respuesta de las cuales dos son correctas. Marca en la hojade respuesta la opción que más se relacione con el contexto de la pregunta.
EstratoTarifa básica Valor minuto
(TB) $ o fracción (Vm) $
1 2,5 0,100
2 5 0,100
3 10 0,100
4 12,5 0,250
5 15 0,250
6 20 0,250
Estrato TB
1 2,600
2 6,250
3 12,500
Estrato TB Vm
1 2,600 0,105
2 5,200 0,105
3 10,400 0,105
Estrato TB
1 2,600
2 5,200
3 10,400
Estrato TB Vm
1 2,600 0,120
2 6,250 0,120
3 12,500 0,120
MAT1 U5(109-150):MAT10(57-107) 06/10/11 09:24 a.m. Página 150
1 .2 .3 .
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSRECTÁNGULOS.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOSOBLICUÁNGULOS.
VECTORES.
Un faro A se encuentra a 12 km al oriente de un faro B. Un bote parte delfaro A y navega 9 km hacia el noreste; en ese instante, desde el faro B, elbote se observa al noroeste, sobre la línea que forma un ángulo de 42º conla dirección este-oeste. Determinar la distancia del bote al faro B.
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 123
42º
c 12 km
b 9 km a
C
A B
N
S
EO
6UNIDAD
Aplicaciones de lasfunciones trigonométricas
• LOS SATÉLITES ARTIFICIALES.
TEMAS
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152
RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOSRECTÁNGULOS
1 Desde la antigüedad la trigonometría ha sido usada como herramienta para solu-cionar problemas en diferentes áreas del conocimiento.Así muchos problemas relacionados con la navegación (la astronomía, entreotras ciencias) se resuelven a partir del planteamiento y la solución de esque-mas relacionados con triángulos.
Resolver un triángulo consiste en determinar la medida de sus tres lados y sus tresángulos (figura 1).
1.1. Resolución de triángulos rectángulosEn la resolución de triángulos rectángulos se presentan dos casos:• Se conocen las medidas de uno de los lados y de un ángulo agudo.• Se conocen las medidas de dos lados.
Caso 1. Se conocen las medidas de un lado y de un ángulo agudo.
En este caso se plantea una ecuación a partir de las razones trigonométricas.El siguiente ejemplo plantea dicha situación.
Para el del triángulo rectánguloABC, las razones trigonométricas
son:
sen cos
tan cot
sec csc c
b
c
a
a
b
b
a
ac
bc
a es opuesto a Ab es opuesto a Bc es opuesto a C
Figura 1
RECORDAR QUE
1. Resolver el triángulo rectángulo XYZ, en el cual el ángulo Z 90º,x 2 cm y el ángulo Y 28º.
SOLUCIÓN
Los datos del problema se representan enla figura de la derecha.
Como se conoce la medida de dos de losángulos, es posible hallar la medida deltercero. Así,
X Y Z 180º Suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo.
X 28º 90º 180º Se reemplazan los datos.
X 62º Se despeja.
Para hallar la medida del lado y se plantea la razón.
tan 28º Definición de tangente.
y 2 tan 28º Se despeja.
y 1,06 Valor aproximado.
Luego, se halla la medida del lado z, mediante la razón
cos 28º
z 2,27 cm
Así, las medidas de los elementos del triángulo XYZ son
x 2 cm, y 1,06 cm, z 2,26 cm, X 62º, Y 28º y Z 90º.
2
cos 28º
2
z
y
2
Ejercicio resuelto
A
C
a
b
c
B
A
C
b
B a
c
X
Z
y
28º
Y x 2 cm
z
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153
Caso 2. Se conocen las medidas de dos lados
En este caso, se utilizan las funciones trigonométricas inversas para determinarla medida de los ángulos, y el teorema de Pitágoras para determinar la medidadel tercer lado.
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Figura 2
Figura 3
ALGO IMPORTANTEEs posible hallar r y s en el ejerci-cio resuelto 2, utilizando otrasrazones trigonométricas del ángu-lo de 75º.
y tan 1 x si y sólo si x tan y
RECORDAR QUE
2. Resolver el triángulo rectángulo RST de la figura 2, en el cual el ánguloT 90º, t 3 cm y el ángulo R 75º.
SOLUCIÓN
Los datos del triángulo RST se representan en la figura 2.
Se halla la medida del ángulo S. Así,
R S T 180º
75º S 90º 180º
S 15º
Se halla la medida del lado r, mediante la razón
sen 75º
r 3 sen 75º 2,90 cm
• Se halla la medida del lado s, mediante la razón
cos 75º
s 3 cos 75º 0,78 cm
Así, las medidas de los elementos del RST son
r 2,90 cm, s 0,77 cm, t 3 cm
R 75º, S 15º y T 90º
s
3
r3
1. Resolver el triángulo rectángulo MNP de la figura 3.
SOLUCIÓN
A partir de la información de la figura, se tiene
tan P ,secnotne ,66,0 P tan 1 66,0 33,69º 33º 41’ 24”.
Se halla la medida de N. Así:
M N P 180º90º N 33º 41’ 24” 180º.N 56º 18’ 36’’
Se halla la medida de m.
m2 n2 p2 Teorema de Pitágoras.
m2 32 22 Se reemplazan los valores.
m 32 22 3,61 Se despeja.
Así, las medidas de los elementos del triángulo MNP son
m 3,61 cm, n 3 cm, p 2 cm
M 90º, N 56º 18’ 36’’, P 33º 41’ 24”.
23
Ejercicio resuelto
75º
R
s
TrS
t 3 cm
M
N
P m
p 2 cmn 3 cm
© S
AN
TILL
AN
A
154
2. Carlos debe subir al tejado de una casa para verificar el funcionamiento deun tanque de agua. Para esto, pone una escalera de 6 metros de largo con-tra una pared vertical de la casa; la distancia entre el extremo inferior dela escalera y la pared es de 2 m (figura 4).a. ¿A qué altura está ubicado el tanque?
b. ¿Qué ángulo forma la escalera con la horizontal?
SOLUCIÓN
a. Como el triángulo que se forma es rectángulo, para determinar la altura h a la queestá ubicado el tanque se tiene:
62 22 h2 Teorema de Pitágoras.
h 62 22 Se despeja.
h 5,56 m
La altura a la que está ubicado el tanque es 5,56 m aproximadamente.
b. Para determinar la medida del ángulo que forma la escalera con la horizontal, setiene
cos 0,3
cos 1 0,3 70,53º
70º 31’ 44”
Así, el tanque se encuentra a una altura aproximada de 5,56 con respecto al pisoy la escalera forma con la horizontal un ángulo de 70º 31’ 44”.
3. El ABC de la figura 5 es rectángulo. Determinar la medida de los siguien-tes elementos.a. El lado a.
b. La altura h.
c. La medida del segmento DC
SOLUCIÓN
Para resolver el problema se deben considerar ABC, BDA y BDC (figura 5).
a. Del ABC se tiene que
72 52 a2
a 72 52
a 24 2 6 4,9 cm
Luego el lado a mide aproximadamente 4,9 cm.
b. Para conocer la medida de h se debe conocer primero la medida del A. Luego
cos A , entonces, A cos 1 44º 24’ 55”.
Así, del BDA se tiene
sen(44º 24’ 55”) , luego, h 3,5 cm
c. De los datos obtenidos se tiene que en BDC.
C 90º 44º 25’ 12” 45º 34’ 48’’, luego, cos(45º 34’ 48’’)
De donde x 3,43 cm.
x4,9
h5
5
7
5
7
26
ALGO IMPORTANTEPara todo triángulo rectángulo ABCse cumple que
sen A cos B
cos A sen B
Figura 4
Figura 5
6 m
h
2 mC A
B
5 cma
B
h
D Cx7 cm
A
A
B C
© S
AN
TILL
AN
A
155
1.2. Ángulos de elevación y de depresiónA continuación se definirán dos conceptos sobre ángulos que se usan en la solu-ción de problemas con triángulos.Cuando un objeto es observado, la recta imaginaria que se forma entre el obser-vador y el objeto se denomina línea visual.La línea visual forma con la horizontal imaginaria, que se traza desde los ojosdel observador, un ángulo que varía dependiendo de la ubicación del objeto conrespecto al observador.Si el objeto está a un nivel más alto que el observador, el ángulo se denominade elevación (figura 6).Si el objeto está a un nivel más bajo que el observador, el ángulo se denominade depresión (figura 7).
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Figura 6
Figura 7
Figura 8
Figura 9
1. Para medir la altura de una nube en la noche se utiliza una fuente lumi-nosa que envía un rayo de luz en forma vertical que produce una señal visi-ble Q en la nube (figura 8). Desde un punto P, situado a 140 m de distanciade la fuente, una persona observa con un ángulo de elevación de 65º.Determinar la altura de la nube.
SOLUCIÓN
A partir de los datos del triángulo rectángulo PQR, se tiene
tan 65º , luego, RQ 140 tan 65º; RQ 300,2 m
Así, la altura de la nube es de 300,2 m aproximadamente.
2. Desde un globo a 2 000 m de altura sobre la superficie del mar se observauna fuente luminosa con un ángulo de depresión de 10º (figura 9).Determinar la distancia desde el punto en la superficie del agua debajodel globo y la fuente.
SOLUCIÓN
La medida del ángulo A es 10º, porque es alterno interno entre paralelas con el ángu-lo de depresión. Así, a partir de los datos del triángulo rectángulo ABC, se tiene
tan 10º
AC ;
AC
AC 11 343 m
Luego, la distancia desde el punto en la superficie del agua debajo del globo y la fuen-te es 11 343 m aproximadamente.
2 000
0,17632
2 000
tan 10º
BC
AC
RQ
140
Ejercicio resuelto
Angulo de elevación
Línea visual
Horizontal
Angulo de depresión
Línea visual
Horizontal
Q
RP
65º
140m
10º2 000m
B
C A
© S
AN
TILL
AN
A
156
Figura 10
Figura 11
3. Desde un avión que vuela a 2 500 m de altura sobre un terreno horizontaly plano, se observan dos pueblos P1 y P2 como muestra la figura 10. Losángulos de depresión a los pueblos son de 25º y 70º respectivamente.Determinar la distancia que separa los pueblos.
SOLUCIÓN
El ángulo AP2C mide 25º porque es alterno interno entre paralelas con el ángulo dedepresión de 25º.
El ángulo AP1C mide 70º porque es alterno interno entre paralelas con el ángulo dedepresión de 70º.
Con los datos del CP1A se tiene
tan 70º , luego, CP1 909,9 m
Con los datos del CP2A se tiene
tan 25º , luego, CP2 5 361,3 m
La distancia P2P1 entre los dos pueblos es
P2P1 P2C P1C
P2P1 5 361,3 909,9
P2P1 4 451,4
La distancia entre los dos pueblos es 4 451,4 m aproximadamente.
4. Dos patos se encuentran sobre la superficie de un lago, separados 100 mentre sí. El pato A observa un halcón ubicado en la copa de un árbol, conun ángulo de elevación de 12º; el pato B observa el mismo halcón con unángulo de 50º (figura 11). ¿A qué altura está el halcón?
SOLUCIÓN
Con los datos del triángulo ADC, se tiene
tan 12º
Con los datos del triángulo BDC, se tiene
tan 50º , por tanto, x h
Luego, x 0,84h
tan 12º Se remplaza la ecuación en .
0,213 Se remplaza el valor de tan 12º.
0,18h 21,3 h
h 0,18h 21,3 Se agrupan términos semejantes.
0,82h 21,3
h 26 m
La altura a la que se encuentra el halcón es 26 m aproximadamente.
1
tan 50º
h
0,84h 100
h
0,84h 100
h
tan 50º
h
x
hx 100
2 500
tan 25º2 500CP2
2 500tan 70º
2 500CP1
70º
25º
70º
2 500m
C P1 P2
25º
A
50º12º
C
h
DA B
100m x
1
2 1
2
© S
AN
TILL
AN
A
157
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
EXTRAER DATOS DE UN DIBUJOResolver el triángulo indicado en cada caso.
1. 2.
MAT PQS
3. 4.
THL MPS
5. 6.
OPT BOR
HACER UN DIBUJOEn cada caso, realizar un dibujo de la situación plan -teada y resolver.
Un globo inflado con helio se suelta de tal manera quesu velocidad es de 21 m/s. Una persona que está a126 m del lugar en donde asciende el globo, observacómo se eleva.
7. Escribir una expresión para determinar la alturadel globo en términos del tiempo t medido enminutos y el ángulo de elevación.
8. ¿Cuál es la altura del globo después de 22 mi-nutos?
9. ¿Cuál es la altura del globo después de una hora?
10. ¿Qué ángulo de elevación tiene el globo en cadacaso en los puntos 8 y 9?
Entre dos pisos de un aeropuerto que están separados4 m uno del otro se va a instalar una escalera. Si sólo sedispone de un espacio de 7 m,
11. ¿Cuál debe ser el ángulo de elevación de la escalera?
12. ¿Qué longitud tendrá dicha escalera?
COMPRENDER EL ENUNCIADO13. Con un compás cuyos brazos miden 15 cm, se
traza una circunferencia de 8 cm de diámetro.¿Cuál es el ángulo entre los brazos?
14. Un topógrafo tiene quenu ed ohcna le ral uclac
río. Para ello se instala pri-mero en una orilla C ydetermina un punto B enla orilla opuesta. Luego, enun ángulo de 90º, mideuna distancia AC de 350 m. Finalmente instala la base en A y mide el ánguloCAB de 48º 20’. ¿Qué cálculo hace el topógrafopara hallar el ancho del río?
15. - up oicnuna nu ev oñin nUblicitario en la pared de unedificio, con un ángulo deelevación de 12º, estandosituado a 30 m del edificio.
- in led sojo sol a oleus led iSño hay 1,10 m, ¿a qué altu-ra se encuentra el aviso?
16. Paula y Andrés están separados 30 m entre sí yven una torre-antena para televisión. El ángulo deelevación para Andrés es de 30º, mientras quepara Paula es de 20º. Hallar la altura aproximadade la torre de televisión.
17. Un avión vuela a una altu-ra de 231,648 m cuando re -pentinamente los motoresfallan. Encontrar el ángulo
- ap oirasecen nóiserped edra que el avión pueda lle-gar a un terreno plano quese encuentra a 1 524 m dellugar donde sucede la falla.
90º
A
TM20º
35
Q
R
S
P 13
76º
13 16
L
HT
P
M S8
7
A
BC
30 m
1,1 m
12ºx
231 648 m
1 524 m
20º 30º
30 m x
a
OO
TPM
R
V L
6
5
O
45º
5 RB
N F
© S
AN
TILL
AN
A
158
COMPRENDER EL ENUNCIADO18. Un vehículo se desplaza por una carretera de oeste
a este. Al pasar por el punto A divisa una antenarepetidora de televisión con un ángulo de elevaciónde 35º, tal como muestra la figura.
Momentos antes de entrar en el túnel y cuando ha reco-rrido 800 m, la antena se divisa con un ángulo de ele-vación de 42º.
Si el vehículo cruza el túnel en línea recta, ¿cuál será lamenor distancia por la que pasara respecto a la base dela antena?
19. Un cable para teléfono seert ne etnemahcertse edneit
dos postes, tal y como semuestra en la figura.
Determinar la longitud decable necesario para estaoperación si se requiere el2% adicional para ajustarlo.
20. Cuando los rayos del sol tienen una inclinación de32º sobre la horizontal, el árbol de la figura proyectauna sombra de 8,8 m sobre el piso, desde la base delmismo.
¿Cuál será la altura del árbol?
21. Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura esde 580 m sobre el nivel del mar, se divisa un barco,con un ángulo de depresión de 24º. ¿A qué distan-cia de la base de la torre del fuerte está el barco?
HACER UN DIBUJOEn cada problema, realizar un dibujo y, luego, responder.
22. Un rectángulo tiene 40 cm de base y 30 cm de altu-ra. Calcular los ángulos que forman las diagonalesde la base.
23. Determinar el ángulo que forma la diagonal delcubo con una de sus aristas.
24. Demostrar que el perímetro de un polígono regularde n lados inscrito en un círculo de radio r está dadopor
p 2nr sen
COMPRENDER DIFERENTES INTERPRETACIONESEn cada problema analizar la gráfica dada, luego, res-ponder.
25. Un avión despega de unaeropuerto y vuela en di -rección 30º al noroeste.Después de volar 100 km,¿a qué distancia al norte delaeropuerto se encuentra elavión?
26. De un puerto salen dos bar-cos con rumbos diferentes.El rumbo de uno de ellos esN 23ºE, a una velocidad de11 mi/h.El segundo navega en direc-ción S 67ºE a 15 mi/h.
-nemadamixorpa ,raluc laC-nuges le ed sed obmur le ,et
do barco hacia el primero,una hora después.
27. Determinar el rumbo de cada uno de los puntos A,B, C y D respecto a P.
180º
n0,8 km
DBA
b
C
42º35º
32º
8,8 m
30º
O E
S
N
23º11
1567º
N N
S S
E
E
O
O
A
B
C
P
DC
B40º
20º
25º75º
S
E
N
O
21,7 m
12,6 m9,3 m
© S
AN
TILL
AN
A
159
RESOLUCIÓNDE TRIÁNGULOSOBLICUÁNGULOS
Figura 12
2 En este tema se estudiará la solución de triángulos en los cuales ninguno de losángulos es recto. Este tipo de triángulos se denominan oblicuángulos.Para resolver triángulos oblicuángulos se usan dos teoremas: Teorema o ley delseno y teorema o ley del coseno.En la resolución de triángulos se presentan cuatro casos.
• Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos 1 y 2 se usala ley del seno.
• Para resolver triángulos que cumplen las condiciones de los casos 3 y 4 se usala ley del coseno.
2.1. Teorema o ley del seno
En todo triángulo, el seno de los ángulos y la medida de los lados respectivamenteopuestos a dichos ángulos son directamente proporcionales.
Es decir, dado ABC se cumple que
Para demostrar el teorema del seno es necesario verificar la igualdad de las razo-nes mencionadas en un triángulo acutángulo y en un triángulo obtusángulo.Para un triángulo acutángulo
Sobre ABC (figura 12), se traza la altura h sobre el lado a para generar ADCy ADB.En ADC, se tiene En ADB, se tiene
sen C sen B
h b sen hC c sen B
Al igualar y se tiene
b sen C c sen B, de donde,
hc
sen Bb
sen Cc
hb
sen Cc
sen Bb
sen Aa
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Caso 1. (LAA o ALA)Se conocen un lado y dos ángulos.
Caso 2. (LLA)Se conocen dos lados y el ánguloopuesto a uno de ellos.
Caso 3. (LAL)Se conocen dos lados y el ángulo com-prendido entre ellos.
Caso 4. (LLL)Se conocen los tres lados.
Cc
B
Cc
B
b
A
aC
c
aC
c
a
b
A
B
B
c
a
b
C a
b
A
c
Cc
B
b
A
a
C
b
aC
c
a
b
A
B
C
c
B
b
A
D
h
a
1
1 2
2
© S
AN
TILL
AN
A
160
Ahora, sobre ABC se traza la altura h1 sobre el lado c (figura 13) y se tiene
sen A , por tanto, h1 b sen A
sen B , por tanto, h1 a sen B
b sen A a sen BDe donde,
Por tanto,
Para un triángulo obtusángulo
Sobre ABC (figura 14), se traza la altura h sobre la prolongación del lado a paragenerar ADC y ADB.
Al igualar y se tiene b sen C c sen B
De donde,
Ahora sobre ABC se traza la altura h1 sobre el lado c (figura 15) y se tiene
sen A , por tanto, h1 b sen A
sen B , por tanto, h1 a sen B
b sen A a sen BDe donde,
Por tanto,
Los anteriores razonamientos constituyen la demostración del teorema del seno.
sen Cc
sen Bb
sen Aa
sen Bb
sen Aa
h1a
h1b
sen Bb
sen Cc
sen Cc
sen Bb
sen Aa
sen Bb
sen Aa
h1a
h1b
Figura 13
Figura 14
Figura 15
Sen(180º ) sen
RECORDAR QUE
En ADC, se tiene
sen(180º C)
h b sen(180º C)Puesto quesen(180º C) sen C, entonces,
h b sen C
En ADB, se tiene
sen B
h c sen B
hc
hb
A
E
C Ba
h
b c
1
BC
A
b
a
c
h
180 CD
B
E
C
A
b
a
ch1
180º
y
x
1
2
1 2
© S
AN
TILL
AN
A
161
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Figura 16
Figura 17
1. Resolver ABC de la figura 16, en el cual A 55º, B 41º y a 4,5 cm.
SOLUCIÓN
Para determinar la medida del lado b, se utiliza la ley del seno, así:
Se remplazan los datos.
b 3,6 cm Se despeja b.
La medida de C se determina a continuación.
A B C 180º
55º 41º C 180º
C 84º
Para determinar la medida del lado c, se utiliza nuevamente la ley del seno, así:
Se remplazan los datos.
c 5,46 cm Se despeja c.
Así, las medidas de los elementos del triángulo ABC son
a 4,5 cm, b 3,6 cm, c 5,46 cm
A 55º, B 41º y C 84º.
2. Resolver el triángulo DEF de la figura 17, en el cual D 40º, d 5 cm ye 2 cm.
SOLUCIÓN
Para determinar la medida de E, se utiliza la ley del seno.
Se remplazan los datos.
sen E 0,2571 Se despeja sen E.
Por tanto, E sen 1 0,2571 14º 53’ 53”
sen 1 0,2571 también es igual a 165º 6’ 7”. Sin embargo, esta no puede ser la medidade E porque como D mide 40º, la suma de los ángulos interiores del triángulo exce-dería los 180º.
La medida de F se obtiene mediante la expresión
D E F 180º, por tanto, 40º 14º 53’ 53” F 180º
Luego, F 125º 6’ 7”.
2 sen 40º
5
sen E2
sen 40º
5
sen Ee
sen Dd
3,6 sen 84ºsen 41º
sen 41º3,6
sen 84º
c
sen Bb
sen Cc
4,5 sen 41º
sen 55º
sen 41ºb
sen 55º4,5
sen Bb
sen Aa
Ejercicio resuelto
55º
A C B
41º
a 4,5 cm
C
b
40º
D f E
e 2 cm d 5 cmF
© S
AN
TILL
AN
A
162
Para determinar la medida del lado f, se utiliza nuevamente la ley del seno. Así,
A partir de los datos se tiene
De donde, f 6,36 cm
Luego la solución del triángulo es
d 5 cm, e 2 cm, f 6,36 cm, D 40º, E 14º 53’ 53” y F 125º 6’ 36”.
5 sen 125º 6’ 7”
sen 40º
sen 125º 6’ 7”f
sen 40º5
sen F
f
sen D
d
La solución de triángulos oblicuángulos cuando se conocen dos lados y el ángu-lo opuesto a uno de ellos, se denomina caso ambiguo puesto que se pueden pre-sentar las siguientes situaciones:• Los datos generan dos triángulos.• Los datos no generan ningún triángulo.• Los datos generan un triángulo rectángulo.
Figura 18
Figura 19
1. Resolver ABC, en el cual B 30º, a 10 cm y b 6 cm.
SOLUCIÓN
Para determinar la medida de A se utiliza la ley del seno, así,
Se remplazan los datos.
sen A 0,8333 Se despeja sen A.
En este caso se tiene que A sen 1 0,8333 así que A puede tomar dos valores.
Primer valor: A 56º 26’ 34” Segundo valor: A 123º 33’ 26”
En los dos casos se generan triángulos diferentes, así:
Para el primer valor, el triángulo se muestra en la figura 18. En este caso,C 180º 56º 26’ 24” 30º 93º 33’ 26’’. Por tanto,
, de donde, , luego, c 12 cm
Luego la solución del triángulo es:a 10 cm, b 6 cm, c 12 cm, A 56º 26’ 34”, B 30º, C 93º 33’ 26’’.
Para el segundo valor el triángulo se muestra en la figura 19. En este caso,C 180º 123º 33’ 26” 30º 26º 26’ 34”. Por tanto,
, de donde, , luego, c 5,3 cm
Luego la solución del triángulo es:a 10 cm, b 6 cm, c 5,3 cm, A 123º 33’ 26’, B 30º, C 26º 26’ 24”.
sen 30
6
sen 26º 26’ 24”
c
sen B
b
sen C
c
sen 30
6
sen 93º 33’ 26”
c
sen B
b
sen C
c
10 sen 30º
6
sen 30º
6
sen A
10
sen B
b
sen A
a
Ejercicio resuelto
30º56º26’ 24’’
b 6 cm
C
a 10 cm
BcA
30º123º33’ 36’’
b 6 cm
C
a 10 cm
BcA
a 10 cmb 3 cm
C
B30º
a 10 cmb 5 cm
C
A C B30º
42º
A B
C
b 9 kma
bote
c 12 km
N
E
S
O
© S
AN
TILL
AN
A
163
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Figura 20
Figura 21
Figura 22
¿Existe otra posibilidad en la solu-ción del problema 4? ¿Cuál es?
PARA RESPONDER
2. Determinar la medida de A para ABC, en el cual B 30º, a 10 cm yb 3 cm.
SOLUCIÓN
Para determinar la medida de A se utiliza la ley del seno, así,
, luego,
De donde, sen A 1,6666
Puesto que no existe un ángulo cuyo seno sea mayor que 1, se dice en este caso queno hay solución. Así el triángulo no se puede construir (figura 20).
3. Determinar la medida de A para ABC, en el cual B 30º, a 10 cm yb 5 cm.
SOLUCIÓN
Para determinar la medida de A se utiliza la ley del seno, así;
, luego,
De donde, sen A 1
Por tanto, A 90º pues sen 90º 1 (figura 21).
4. Un faro A se encuentra a 12 km al oriente de un faro B. Un bote parte delfaro A y navega 9 km hacia el noreste; en ese instante, desde el faro B, elbote se observa al noroeste, sobre la línea que forma un ángulo de 42º conla dirección este-oeste. Determinar la distancia del bote al faro B (figura 22).
SOLUCIÓN
Primero se determina la medida de C
, luego,
De donde, sen C 0,8922
Por tanto, C sen 1 0,8922 63º 9’ 4”.
Luego, se determina la medida de A
A B C 180º, luego A 42º 63º 9’ 4” 180º
Por tanto, A 74º 50’ 56”.
Luego, se determina la medida del lado a
, luego,
Por tanto, a 13
La distancia del bote al faro B es de 13 km aproximadamente.
9 sen 74º 50’ 56”sen 42
sen 42º
9
sen 74º 50’ 56”a
sen B
bsen A
a
12 sen 42º9
sen 42º
9
sen C
12
sen B
b
sen C
c
10 sen 30º
5
sen 30º5
sen A
10
sen B
b
sen A
a
10 sen 30º
3
sen 30º
3sen A
10
sen B
b
sen A
a
Ejercicio resuelto
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
© S
AN
TILL
AN
A
164
COMPRENDER DIFERENTES REPRESENTACIONES15. Determinar la distancia entre
los puntos A y B en las orillasopuestas de un lago, como seindica en el gráfico, aproxi-mando la respuesta a metros.
16. Un submarino utiliza un sonarpara determinar que un barcoestá a 4 millas al este y queviaja a 10 mi/h con direcciónnoreste 62º. Si el submarinoviaja a 18 mi/h, ¿en qué direc-
- ni arap esrazalpsed ebed nóicterceptar al barco y en quétiempo lo interceptará?
17. El piloto de unhelicóptero de re -conocimiento quevuela sobre el mara una altura de2 500 metros, di -visa dos embarcaciones que se encuentran en unmismo plano vertical con ángulos de depresión62º 24’ y 37º 18’, respectivamente. Calcular la dis-tancia que separa una embarcación de la otra.
COMPRENDER LOS DATOSSolucionar, si es posible, cada triángulo.
1. a 8, A 49º, B 57º 2. a 26, b 29, A 58º 3. B 70º, C 58º, a 84
4. A 107º, a 17,2, c 12,2 5. a 6, b 8, A 150º 6. a 9,4, c 13,5, B 95º
7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
18. En un automóvil, lalañeüg ic led alevinam
tiene 7,62 cm de lon-gitud y la biela tiene22,86 cm. Cuando elángulo OPA es de 15º, ¿qué tan lejos está el pistónP del centro O del cigüeñal?
19. El ángulo de elevación de la cima de una montañadesde un punto sobre la tierra es de 42º.Desplazándose 304,6 metros más del punto ante-rior, el ángulo de elevación es de 31º. Calcular laaltura de la montaña.
20. Si se conocen los ángu-los , , , y la distanciaAB d de una torre dealtura PQ situado en elplano horizontal. Hallarla altura de la torre enfunción de , , y d.
B
A C
9 7
95º
B
A C12
14
45º
57º 19
12B C
A
A C
B
6
36º
8
C
A
B
8
6
150º
B 26
29
A
C
58º
B
A C
138
110º
A
BC
14
18
105º
A
B74º 25º
150 m
N N
62º10t
18t
28ºA B
C
4
15º
22,86 cm
7,62 cm
A
OP
A
B
P
Q
d
2500 m62º24’
37º18’
x
A
BCD
31º42º
© S
AN
TILL
AN
A
165
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
COMPRENDER LOS DATOS24. Determinar el perímetro del triángulo isósceles
ABC, si su base mide 22 cm y B 26º.
JUSTIFICAR AFIRMACIONESUsar la ley del seno para probar cada una de las siguientes igualdades.
21. 22. 23.sen B
sen A sen B
b
a b
sen B sen Csen B sen C
b c
b csen A sen C
sen C
a cc
HACER UN DIBUJO.revloser ,ogeuL .nóicautis al etnes erper euq ojubid nu razilaer y odaicnune adac reeL
28. ,dutignol edm 22,862 ed etneup nu ed om ertxe adac edsed ridem lAlos ángulos de depresión con respecto a un mismo punto sobre el
le átse otla nat éuq¿ ,etnem avitcepser º5,56 y º2,26 noc auga led levinpuente?
29. Un guardabosques en un punto A de observación, ve unincendio en la dirección N 27º 10’ E. Otro guardabosquesen un punto B, a 9 km al este, ve el mismo incendio segúnN 52º O. Calcular la distancia de cada uno de los puntosde observación al incendio.
25. El círculo Q mostrado en la figura tiene un radiode 15 cm. Los dos radios QA y QB forman unángulo de 123º. Encontrar la longitud de la cuerdadeterminada por los extremos de los radios.
26. Los lados de un paralelogramo miden 55 cm y75 cm. Encontrar la longitud de cada diagonal si elángulo mayor mide 106º.
27. Suponer que la medida de los ángulos deltriángulo ABC es igual a la medida de los ángulosdel triángulo XYZ. Teniendo en cuenta lo anterior,demostrar que los triángulos son semejantes perono necesariamente congruentes.
30. Desde una determinada posición en un camino,una persona observa la parte más alta de una torrede alta tensión con un ángulo de elevación de 25º.SI avanza 45 metros en línea recta hacia la base dela torre, divisa ahora su parte más alta con unángulo de elevación de 55º. Considerando que lavista del observador está a 1,70 metros del suelo,¿cuál es la altura de la torre?
31. Dos automóviles se desplazan con velocidadconstante por dos caminos que se bifurcan en unángulo de 40º. Uno de los automóviles lleva unavelocidad de 84 km/h. En un instante se cruzan enla bifurcación de los dos caminos y cada uno sigueen su propia dirección de modo que a los 15minutos se hallan a una distancia de 18 km unodel otro. ¿Cuál es la velocidad que lleva el otroautomóvil?
B
QA
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A
166
2.2. Teorema o ley del coseno
En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la sumade los cuadrados de las longitudes de los otros lados, menos dos veces el producto deestas longitudes por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.
Es decir, dado ABC, se cumple que
c2 b2 a2 2ab cos C
b2 a2 c2 2ac cos B
a2 b2 c2 2bc cos A
Para demostrar el teorema del coseno es necesario verificar las igualdades men-cionadas en un triángulo.En ABC, de la figura 23, h es la altura sobre el lado BC. En ABD, se cumpleque
c2 h2 DB2
y en el ADC, se cumple queb2 h2 DC
2, de donde, h2 b2 DC
2
Como DB a CD, entonces,DB
2(a CD)
2a2 2 C a D CD
2
Por tanto se tienec2 h2 DB
2
c2 b2 DC2
a2 2a CD CD2
Se reemplaza.
c2 b2 a2 2 C a D Se simplifica.
c2 b2 a2 2a b cos C CD b cos C.
• Si se toma la altura sobre el lado AB, se obtieneb2 a2 c2 2ac cos B
• Si se toma la altura sobre el lado AC, se obtienea2 b2 c2 2bc cos A
Los anteriores razonamientos constituyen la demostración del teorema delcoseno.La ley del coseno se puede utilizar para resolver triángulos cuando se conocendos lados y el ángulo comprendido entre ellos o cuando se conocen los tres ladosdel triángulo (casos 3 y 4, página 119).
Figura 23
Figura 24
1. Determinar la medida del lado b para ABC de la figura 24, en el cualB 130º, a 10 cm y c 5 cm.
SOLUCIÓN
Se utiliza la ley del coseno, así: b2 a2 c2 2ac cos B
b2 102 52 2 10 5 cos 130º
b2 100 25 100 cos 130º
b 13,76
El lado b mide 13,76 cm, aproximadamente.
Ejercicio resuelto
C
c
B
b
A
D
h
a Cc
B
b
A
a
130º
b
C
a 10 cm
Bc 5 cmA
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167
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Figura 25
Figura 26
¿Por qué el teorema de Pitágorases un caso particular de la ley delcoseno?
PARA RESPONDER
2. Resolver DEF de la figura 25, en el cual, d 5 cm, e 4 cm y f 6 cm.
SOLUCIÓN
Para hallar la medida de D se aplica la ley del coseno.
d2 e2 f2 2ef cos D
52 42 62 2 4 6 cos D
25 16 36 48 cos D
cos D 0,5625
D cos 1 0,5625 55º 46’ 16”
Para hallar la medida de E se utiliza la ley del coseno, aunque es posible determinar-la mediante la aplicación de la ley del seno.
e2 d2 f 2 2df cos E
42 52 62 2 5 6 cos E
16 25 36 60 cos E
cos E 0,75
E cos 1 0,75 41º 24’ 35”
Para hallar la medida de F, se tiene
D E F 180º
55º 46’ 16” 41º 24’ 35” F 180º
De donde, F 82º 49’ 9”
Luego la solución del triángulo es
d 5 cm, e 4 cm, f 6 cm
D 55º 46’ 16”, E 41º 24’ 35” y F 82º 49’ 9”.
3. Dos balsas, A y C, se mueven en línea recta desde el punto B, de tal mane-ra que la recta sobre la que se mueve la balsa C forma un ángulo de 42º conla recta sobre la que se mueve la balsa A, cuya velocidad es el doble de labalsa C. Determinar la distancia que las separa cuando la balsa C ha reco-rrido 1,5 km.
SOLUCIÓN
Puesto que la balsa A se mueve con el doble de rapidez que la balsa C, cuando la balsaC ha recorrido 1,5 km, la balsa A recorre 3 km (figura 26). Para hallar la distancia quelas separa se utiliza la ley del coseno.
b2 a2 c2 2ac cos B
b2 1,52 32 2 1,5 3 cos 42º
b2 2,25 9 9 cos 42º
b2 4,56
b 2,14
La distancia que separa la balsa C de la balsa A es, aproximadamente, 2,14 km.
25 36 16
60
16 36 25
48
Ejercicio resuelto
e 4 cmf 6 cm
d 5 cmE
F
D
42º
B
c 3 km
A
b
C
a 1,5 km
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A
168
INFERIR A PARTIR DE UN DIAGRAMA18. Un espejo de forma rectan-
gular se desea encajar enla esquina del pasillo, tal ycomo lo muestra la figura,que es una vista superiordel corredor. ¿Cuál es el largo máximo del espejoque encaja en la esquina del pasillo?
19. Una persona sostiene dos papa-gayos que están volando. A unode los papagayos le ha soltado1 000 metros de pabilo y al otro800 metros. Si el ángulo que forma
-adamix orpa se solibap sobmamente 30º, ¿a qué distancia estáun papagayo de la otro?
EXTRAER DATOS DE UN DIBUJOResolver cada triángulo.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
EXTRAER DATOS DE UN DIBUJODeterminar la medida de los ángulos y los lados de cada triángulo.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16. 17.
COMPRENDER LOS DATOS20. Los lados de un triángulo miden 6,8 cm, 8,4 cm y
4,9 cm. Encontrar la medida del ángulo menor.
21. Un sólido rectangu-lar tiene lados comose indica en la figura.Encontrar CAB.
22. Dos de los lados de un triángulo miden 400 m y600 m respectivamente si el ángulo entre ellosmide 46,3º, hallar el área y el perímetro del trián-gulo.
23. Un triángulo isósceles tiene por medida de su base22 cm y la medida del ángulo opuesto a la base es36º. Encontrar su perímetro.
A
14 15
16B
CA
11
10,5
35º
B
C
A8
10
40ºB
C
A
14
21
60ºBCA
12
17
45º28’BC
A 4228º
73ºB
C
b a
A 6
71º
5
A
6
53º
5 BC
5
A
10120º B
C C
A8,4
20,3
135ºB
C
A
4,5
8
95º
B
C
A
1218º
122º
B
C
A 25
77º82º
B
C
A
1347º
52º
2,7 m
C
AB
3 cm
6 cm5 cm
30º
800 m
1000 m
A
14 59º
40º
B
C A13
21,5
39º20’
B
CA
9
5
120º
B
C
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A
169
2.3. Área de un triánguloEs posible deducir expresiones para determinar el área de un triángulo en lossiguientes casos:Caso 1. Se conocen las medidas de dos lados y del ángulo comprendido entreellos.
Si en XYZ, x y y son lados y Z el ángulo comprendido entre x y y, el área deXYZ se expresa como
A
Para demostrar este hecho, se procede así,
En XYZ se tiene que A
Donde h es la altura sobre el lado y. Además,
Sen Z , luego, h x sen Z
Remplazando esta expresión en la fórmula del área, se tiene que
A .
Lo cual demuestra la expresión dada.
yx sen Z2
hx
yh2
yx sen Z2
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
COMPRENDER EL ENUNCIADO24. La longitud total de un bus articulado es de aproxi-
madamente 18 metros, si la parte de mayor longi-le edsed aicnatsid al raluc laC .sortem 01 edim dut
parachoques delantero hasta el trasero cuando elbus da una curva en la cual las dos partes formanun ángulo de 130º.
25. Dos remolques que están separados por 36 metrostiran de un contenedor, como se muestra en lafigura. Si la longitud de uno de los cables es de64 m y la del otro es de 69 metros, determinar elángulo que forman entre ellos.
26. La distancia entre dos puntos A y B no se puedemedir directamente, pues entre ellos hay obstácu-los. Se recurre a un punto C y se determinan.
AC 48 m, BC 67 m y ACB 80º
Determinar la distancia AB con los datos anteriores.
27. Un avión vuela de la ciudad X a la ciudad W, a unadistancia de 400 km, y después vira con un ángulode 50º y se dirige a una ciudad Z, a una distanciade 200 km. ¿A qué distancia se encuentra la ciudadX de la ciudad Z?
28. Una embarcación sale del puerto A, hacia el puer-to B que esta a 300 millas de distancia. Lleva unavelocidad constante de 20 millas por hora, perodebido a una corriente después de 3 horas la embar-cación está fuera de curso por 20º. ¿A qué distan-cia se encuentra la embarcación del puerto B?
El área de un triángulo de base by altura h se calcula mediante
Ab h
2
RECORDAR QUE
36 m
64 m
69 m
20º
60 millas
300 millas
A
Puerto B
Y
z
XZ
xh
y
h
b
© S
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A
170
En forma análoga, si se toma la altura trazada sobre z se tiene que el área deXYZ se expresa mediante
A
Y si se toma la altura sobre el lado x, el área se expresa como
A
Luego,
El área del triángulo XYZ es
A A A
Caso 2. Se conocen las medidas de los tres lados.
La fórmula que determina el valor del área de un triángulo cuando se conocenlos tres lados, se denomina fórmula de Herón y se enuncia a continuación.
El área del XYZ está determinada por
A s(s x)(s y)(s z) donde s (x y z)
s se llama el semiperímetro del triángulo.
La demostración de este resultado requiere el uso de identidades trigonométri-cas, las cuales se estudian en la siguiente unidad.
12
yz sen X2
xz sen Y2
yx sen Z2
xz sen Y2
yz sen X2
Herón de Alejandría(siglo II a.C.)
Contribuyó al desarrollo temprano dela mecánica. Entre sus inventos secuenta el odómetro, que consiste enun sistema de engranajes combina-dos que sirve para contar las vueltasde una rueda; en su versión moderna,este es el dispositivo del que estánprovistos los automóviles para contarel número de revoluciones del motor.
En matemáticas mostró un métodopara calcular la raíz cúbica de 100 conuna aproximación menor que 0,02 yplanteó la fórmula para determinar elárea de un triángulo cuando se cono-ce la medida de sus tres lados.
MATEMÁTICOSDE LA ANTIGÜEDAD
Figura 27
1. Determinar el área de RST si r 4 cm, s 5 cm y T 125º.
SOLUCIÓN
Como se conoce la medida de dos lados, r y s, y el ángulo comprendido entre ellos, T,se aplica la expresión
A
A 8,19 cm2
El área del RST es 8,19 cm2.
2. Determinar el área del ABC cuyos lados miden a 3,5 cm, b 4,5 cm yc 5 cm (figura 27).
SOLUCIÓN
Se calcula el semiperímetro s (a b c) (3,5 4,5 5) cm 6,5 cm
El área es
A s(s a)(s b)(s c) 6,5(6,5 3,5)(6,5 4,5)(6,5 5) 7,64
El área del ABC es 7,64 cm2.
1
2
1
2
4 cm 5 cm sen 125º
2
rs sen T2
Ejercicio resuelto
ts = 5 cm
R
S r = 4 cm T
125º
b = 4,5 cm
a = 3,5 cm
c = 5 cm
A
B C
© S
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AN
A
171
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
EXTRAER DATOS DE UN DIBUJO- id sal artseum amargaid lE
mensiones de una vela paraun modelo de bote.
9. Encontrar el área de lavela.
10. -ig nol sal ed nózar al iStudes del barco real almodelo es 30 cm: 2,5 cm,encontrar el área de lavela del bote real.
11. Hallar el área del seg -mento circular DE.
12. Tres círculos de radio 3 cm, 4 cm y 5 cm sontangentes entre sí. Hallar el área de la regiónsombreada.
COMPRENDER EL ENUNCIADO13. Las dimensiones de un lote triangular son 300 m,
150 m y 225 m. Si el precio del terreno es de Bs. 300 000 por metro cuadrado, ¿cuánto cuesta el lote?
14. Si se duplican las dimensiones del lote, ¿en cuántose incrementa el costo del mismo?
USAR UNA FÓRMULAHallar el área de cada triángulo.
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
HACER ESTIMACIONES15. Para calcular aproximadamente el área de un lago,
un topógrafo camina por todo el perímetro del lagoy toma las medidas que se muestran. ¿Cuál es elárea aproximada del lago?
Sugerencia: utilizar la ley de los cosenos en los trestriángulos que se muestran. Luego, determinar lasuma de las áreas.
16. La superficie de un terreno de forma trapezoidales de 1 200 m2. Si se sabe que el terreno tiene dosángulos de 45º y la base menor mide 65 m, calcu-lar la base mayor y la distancia entre las bases.
PROBAR Y COMPROBAR17. Demostrar que el área de un paralelogramo es
igual al producto de dos lados adyacentes por elseno del ángulo que forman.
18. Los lados adyacentes de un paralelogramo miden8 cm y 12 cm. Si el ángulo entre ellos mide 60º,hallar el área del paralelogramo.
19. Demostrar que en todo ABC
A2 a2b2 sen2 C14
(
3
2
23,2
16º31º45’
A C
B
AB
C
6
60º75º
860º
75º
A
B
C
7
2
8
A
B
C
13
19
17
A
BC
24 cm135º
D
OE
31.3 cm
45 cm65 cm
75º35º
35 pies80 pies
40 pies
45 pies
20 pies
100º
5 cm
4 cm
3 cm
5
4
3
20
3040
Figura 29
(Vx, Vy)
Vy V
Vx
0 x
y
© S
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A
172
VECTORES3 Para describir el movimiento de los objetos, en física se utilizan magnitudescomo el desplazamiento, la velocidad y la fuerza, entre otras.Se llaman magnitudes vectoriales aquellas que requieren para su especificaciónuna medida, llamada norma, y una indicación de orientación llamada dirección.Estas magnitudes se representan mediante vectores.
Un vector es un segmento dirigido desde un punto hasta otro. Al primer punto se lellama origen y al segundo, extremo.
Un vector se representa por una letra con una flecha en la parte superior. Sunorma se representa entre dos barras.Por ejemplo, un avión se desplaza a 50 km en dirección 53º al noreste (nortedel este) desde O hasta P. Así, su vector desplazamiento está representado pord (figura 28); su norma es d 50 y su dirección 53º, que se miden teniendo encuenta el eje x (ya que se toma como referencia la línea del Ecuador).
3.1. Componentes de un vectorUn vector v se puede descomponer en dos componentes rectangulares, llama-das vx y vy (figura 29), cuyas normas se pueden representar mediante vx y vy ,respectivamente.Así, el vector también puede quedar representado por la expresión v (vx, vy).Si se tiene en cuenta que el vector v está orientado con un ángulo , las com-ponentes vx y vy (figura 29) se pueden expresar en función de esta orientación y de la norma de v, así:
Como cos , entonces, vx v cos
Como sen , entonces, vy v sen
La norma del vector v se calcula a partir de la aplicación del teorema dePitágoras, así:
v vx2 vy
2
vy
v
vxv
Figura 28
Figura 30
1. Determinar las componentes del vector d representado en la figura 30, cuyanorma mide 6 cm.
SOLUCIÓN
Las componentes del vector d se determinan mediante
dx d cos 6 cos 120º 6 3
dy d sen 6 sen 120º 6 3 3
Las componentes del vector d son dx 3 y dy 3 3
El vector d, se representa como ( 3, 3 3)
3
2
1
2
Ejercicio resuelto
P
d
0 x
y
53º
N
E
S
O
d
dy
dx
0 x
y
6 cm 120º
© S
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AN
A
173
3.2. Suma de vectores
La suma de dos vectores v1 (v1x, v1y) y v2 (v2x, v2y) cuyos orígenes coincidencon el punto (0, 0) del plano cartesiano, se define como
v1 v2 (v1x v2x, v1y v2y)
En la figura se muestra que si el extremo del vector v1 es el punto Q y el extre-mo del vector v2 es el punto P, entonces el extremo del vector v1 v2 es el puntoR, tal que los puntos Q, O, P y R forman un paralelogramo. Es decir, para sumardos vectores v1 y v2 con origen común, se construye un paralelogramo, en el cualdos de sus lados adyacentes son los vectores v1 y v2 y el vector suma, con elmismo origen de los dos vectores, coincide con la diagonal del paralelogramo.
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Figura 31
2. Determinar las componentes, la norma y la dirección del vectorv ( 4, 5) de la figura 31.
SOLUCIÓN
Las componentes del vector v son vx 4 y vy 5
La norma del vector v se determina mediante
v vx2 vy
2 ( 4)2 ( 5)2 41 6,4
La dirección se determina por el ángulo , en posición normal, que el vector v formacon el eje x. Para hallar este ángulo se usa la definición de tangente, así:
tan 1,25
tan 1 1,25
Como el vector está en el tercer cuadrante, entonces 231º 20’ 25”
5
4
1. Determinar la suma de los vectores v1 ( 2, 3) y v2 (5, 4). Representarlagráficamente, calcular su norma y especificar su dirección.
SOLUCIÓN
v1 v2 ( 2, 3) (5, 4) (3, 7)
La norma del vector v1 v2 es
v1 v2 32 72 7,6
La dirección está determinadapor el ángulo , tal que
tan 1 66º 48’ 5”7
3
Ejercicio resuelto
vyv
vx
x
y
4
5
R(v1x +v2x, v1y +v2y)
P(v2x, v2y)
Q(v1x, v1y)
v1v2+
v1
v2
(3,7)
( 2,3)
v1 v2+
v1v2
(5,4)
y
x0
© S
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AN
A
174
3.3. Vector velocidadLa velocidad es una magnitud vectorial. Por ejemplo, si un avión se dirige haciael noreste con velocidad va y a la vez el viento se mueve a velocidad vv en ladirección norte (figura 34), la velocidad v con que se mueve el avión con respectoa la Tierra se obtiene al sumar va y vv, es decir v va vv.
2. Encontrar la norma de la suma de los vectores u y v de la figura 32, cuyasmedidas son 6 y 4 unidades, respectivamente. Luego, determinar el ángu-lo que forma el vector suma con el vector v.
SOLUCIÓN
El vector R representa u v (figura 33). En el paralelogramo OBCA se tiene queO 45º, A 135º, C 45º y B 135º.
Para hallar la norma de R se aplica la ley del coseno en el triángulo OAC. Así,
R 2 u 2 v 2 2 u v cos 135º
R 2 62 42 2 6 4 cos 135º
R 9,27 unidades
Para determinar el ángulo que forma R con v, se aplica la ley del seno al OAC.
sen 0,4577
sen 1 0,4577 27º 14’ 14”
En conclusión, R 9,27 unidades y el ángulo entre R y v es 27º 14’ 20”
6 sen 135º
9,27
sen 135º9,27
sen 6
sen AR
sen u
En aguas tranquilas una lancha se mueve con velocidad constante vL de 7 km/hen la dirección que muestra la figura 35. Determinar la velocidad de la lanchacon respecto a la orilla, si las aguas se mueven con velocidad vR de 3 km/h.
SOLUCIÓN
Las componentes del vector velocidad del agua vR son:
vRx 3, vRy 0, luego, vR (3, 0)
Las componentes del vector velocidad de la lancha son
vLx 7 cos 60º 3,5 vLy 7 sen 60º 6,06 luego vL (3,5, 6,06)
Por tanto,
v vR vL
(3, 0) (3,5, 6,06)
(6,5, 6,06)
Ahora se calcula la norma de v. Así, v 6,52 6,062 8,89 km/h
Luego, la velocidad de la lancha es 8,89 km/h aproximadamente.
Ejercicio resuelto
Figura 32
Figura 33
Figura 34
Figura 35
u
V
y
x15º
30º
R
B
u
V A
y
xO
C
135º45º
V
1Vv
Va
y
x01
N
E
S
O
V
V
y
x
60º
VL
R
La fuerza se mide en Newton (N).
La suma de las fuerzas que actúansobre un objeto se llama fuerzaneta y se representa con R.
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175
3.4. Vector fuerzaLa fuerza es una magnitud vectorial puesto que para especificarla se requiereuna dirección y una norma. En la figura 36 se muestra un hombre que arrastraa dos niños sobre un trineo, para lo cual aplica una fuerza. La norma de la fuer-za es 200 N y la dirección es 40º con respecto a la horizontal.Un diagrama de fuerzas es una representación, sobre el plano cartesiano, de lasfuerzas que actúan sobre un cuerpo.Por ejemplo, cuando una persona hala una caja a lo largo de una rampa, es posi-ble construir un diagrama que representa las fuerzas que actúan sobre la caja.Estas son:• El peso P ejercido por la tierra. Se repre-
senta por un vector dirigido hacia abajo.• La normal N ejercida por la superficie sobre
la que está la caja. Se representa por unvector dirigido perpendicularmente a lasuperficie.
• El rozamiento Fr. Se representa por un vec-tor cuya dirección es contraria al movi-miento.
• La fuerza F ejercida por el hombre.
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Tres remolcadores halan de un barco como se indica en la figura 37.Determinar la fuerza neta que se ejerce sobre el barco.
SOLUCIÓN
Primero, se construye el diagrama de fuerzas en el que se representan las fuerzas ejer-cidas por los remolcadores. Luego, se calculan las componentes rectangulares de losvectores F1, F2 y F3. Así,
F1 F2 F3
F1x 10 000 cos 30º 8 660 F2x 7 000 F3x 5 000 cos 330º 4 330
F1y 10 000 sen 30º 5 000 F2y 0 F3y 5 000 sen 330º 2 500
Se halla la suma de los vectores, es decir la fuerza neta, para lo cual se suman las com-ponentes en x y las componentes en y, respectivamente.
Así, si F1 (8 660, 5 000), F2 (7 000, 0), F3 (4 330, 2 500) entoncesR (19 990, 2 500)
Se calcula la norma de la fuerza neta.
R Rx2 Ry
2 19 9902 ( 2.5002) 20 145 N
Se determina la dirección del vector R, es decir la medida del ángulo . Así,
tan 1 7º 7’ 43”
Luego, la norma de la fuerza neta es 20 145 N y la dirección es 7º 7’ 43” con respectoa la fuerza F2.
2 500
19 990
Ejercicio resuelto
Figura 36
Figura 37
ALGO IMPORTANTE
40º
F 200 N
27º
N
F
F
P
r
y
x
10 000 N
7 000 N
5 000 N
F1
F2
F3
30º
30º
12º26’35’’
R
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Cuando sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, para que el cuerpo se encuentreen equilibrio la suma de las fuerzas debe ser igual a cero; es decir, la fuerza netaque actúa sobre él es igual a cero, R (0, 0).Si un objeto está en equilibrio, se puede decir que está en reposo o se mueve enlínea recta con velocidad constante.Si la fuerza neta es diferente de cero, la velocidad varía; en este caso, se dice queel objeto experimenta aceleración.
Figura 38
Figura 39
1. El bloque de la figura 38 está sostenido por dos cuerdas nombradas OC yOD, respectivamente. Si la cuerda OC ejerce una fuerza de 100 N, determi-nar la norma de las fuerzas F2 y F3.
SOLUCIÓN
Como el objeto está en reposo, se determinan las componentes de las fuerzas para quela fuerza neta sea igual a cero.
Como la fuerza F1 mide 100 N las componentes del vector F1 son
F1x 100 cos 53º 60 N F1y 100 sen 53º 80 N
Luego,
F1 (60, 80) F1 (60, 80)
F2 (0, ?) entonces F2 (0, 80)
F3 (?, 0) entonces F3 ( 60, 0)
R (0, 0) entonces R (0, 0)
Por tanto, F2 mide 80 N, que es igual al peso del bloque, y F3 mide 60 N.
2. Un hombre aplica sobre una caja de peso 250 N, una fuerza de 200 N conun ángulo de inclinación de 30º, con respecto a la horizontal, y la muevesobre el suelo (figura 39).Si la fuerza de rozamiento que ejerce la superficie sobre el objeto es de 80 N, determinar si este se mueve con velocidad constante.
SOLUCIÓN
Para saber si la caja se mueve con velocidad constante se determina si la fuerza netaes igual a cero. Como la caja se mueve sobre el suelo, la suma de las componentes delas fuerzas en dirección vertical es cero.
Las componentes F son
Fx 200 cos 30º 173 N Fy 200 sen 30º 100 N
Luego,
F (173, 100) F (173, 100)
Fr ( 80, 0) entonces Fr ( 80, 0)
N (0, ?) entonces N (0, 150)
P (0, 250) entonces P (0, 250)
R (?, 0) entonces R (93, 0)
Así, la fuerza neta es 93 N en dirección horizontal y, en consecuencia, la caja no semueve con velocidad constante.
Ejercicio resuelto
53º
OD x
y C
F1
F2
F3
30º
N
E
Px
y
F
200 N
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177
UNIDAD 6 • APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ELABORAR Y ANALIZAR UN DIAGRAMA1. La fuerza que el aire ejerce sobre un avión que se
mueve en dirección horizontal, es de 500 000 N yforma con la horizontal un ángulo de 25º.Determinar las componentes horizontal (resistenciaal movimiento) y vertical (fuerza de sustentación).
2. Andrea empuja una caja, como se muestra en la figu-ra, con velocidad constante.
Si Andrea ejerce sobre la caja una fuerza de 100 N,determinar la fuerza de fricción (que ejerce la cajasobre la superficie) y la fuerza normal (que ejerce lasuperficie sobre la caja).
3. Tres hombres halan de una caja como se muestra enla figura.
Si las fuerzas ejercidas sobre la caja son 600 N, 200 Ny 500 N, respectivamente, determinar el valor de lafuerza neta.
4. ¿Se puede afirmar que el cuerpo está en equilibrio?
5. El sistema de la figura está compuesto por tres blo-ques y dos poleas. Si se sabe que el peso de cada cuer-po se transmite al punto P a través de la cuerda quelo sostiene, dibujar las fuerzas que actúan en elpunto P y determinar el peso del bloque A necesariopara que el sistema se encuentre en reposo.
6. Un motor de 2 500 N se suspende por medio de doscadenas, como muestra la figura. Determinar la fuer-za que ejerce cada cadena.
7. El carro de la figura se encuentra en reposo sobre elplano inclinado.
Determinar la norma de la fuerza N y del rozamien-to Fr.
Sugerencia. Considerar el sistema de coordenadas,de modo que el eje x coincida con la dirección delplano.
25º
Peso 500 N
30º60º
P
20 N
10 NA
60º 60º
40º
P
N
Fr
45º
60º
500 N
600 N
200 N
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ASTRONOMÍA
Un satélite artificial es un dispositivo quese pone sobre la órbita de un planeta yque cumple diferentes funciones.
La mayoría de ellos, empleados para lascomunicaciones, están localizados a36.000 km de altura y su movimientosobre la órbita se realiza en 24 horas.
Las antenas parabólicas son radiotelescopios quebuscan las señales que estos satélites trasmiten.
Actualmente muchas compañías de comunicaciónponen satélites en órbita con el objetivo de ampliarsus redes de telefonía celular de tal forma que susafiliados puedan realizar llamadas con costos ase-quibles.
Dichos ingenios también son usados como obser-vatorios meteorológicos. Existen dos tipos de saté-lites con estas funciones.
• Los de órbita polar.
• Los de órbita geoestacio-naria.
Un satélite de vigilancia da vueltas alrededorde la Tierra a una altura de h millas por enci-ma de la superficie.
Suponga que d es la distancia, en millas,sobre la superficie de la Tierra que puede serobservada desde el satélite.
Para colocar un satélite en la órbita de la Tierra senecesita un mecanismo impulsor que lo lance a unavelocidad de 80 km/s.
1. Encontrar una ecuación que relacione el ángulo central � con la altura h.2. Encontrar una ecuación que relacione la distancia observable d y el ángulo �.3. Encontrar una ecuación que relacione d y h.4. Si d abarcara 2 500 millas, ¿a qué altura debería estar el satélite sobre la Tierra?5. Si el satélite orbitara a una altura de 300 millas, ¿qué distancia d sobre la superficie dela Tierra podría ser observada?
h
3960 3960
d
MAT1 U6(151-178):MAT10(111-157) 18/04/12 11:10 a.m. Página 178
1 .2 .3 .4 .
ESTUDIO ALGEBRAICO DE LASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS I.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS II.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En la figura se muestra un rayo de luz que incide sobre una de las carasde un prisma de vidrio cuyo ángulo mide 40º. Al salir del prisma, el rayoexperimenta una desviación con respecto a su dirección inicial, repre-sentada por el ángulo . El ángulo de desviación se relaciona con el ángu-lo mediante la expresión
1,5.
Determinar la medida del ángulo .
sen 2
sen 2
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 231
7UNIDAD
Trigonometría analítica
• IDENTIDADES QUE SIMPLIFICANLAS CIENCIAS.
• LA NATURALEZA TRIGONOMÉTRICA.
TEMAS
������������������������������������������������������������ ������
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180
ESTUDIO ALGEBRAICODE LAS FUNCIONESTRIGONOMÉTRICAS
1 En las expresiones algebraicas se utilizan variables y constantes, cuyos valorespertenecen al conjunto de los números reales. En esta unidad se aplicarán algu-nos procedimientos utilizados en álgebra a expresiones que involucran funcio-nes trigonométricas, pues los valores de estas pertenecen al conjunto de losnúmeros reales.
1.1. Operaciones algebraicas con funciones trigonométricas.Para iniciar el estudio de las expresiones que involucran las funciones trigono-métricas, se estudiarán la suma, la resta, la multiplicación y la división de estasexpresiones.1.1.1. Suma y resta de expresiones trigonométricas
Para resolver operaciones de suma y resta de expresiones que involucran las fun-ciones trigonométricas se deben agrupar y reducir los términos semejantes.
ALGO IMPORTANTELos términos semejantes de unaexpresión trigonométrica sonaquellos que involucran los mismosproductos de funciones trigonomé-tricas del mismo ángulo. Por ejem-plo, 3 sen x cos x y � sen x cos xson términos semejantes.
sen 2x � 2 sen x
RECORDAR QUE
Resolver las siguientes operaciones.a. sen x � cos x � 3 sen x � 5 cos x
b. tan 2x � sec 2x � 5 tan x � 4 tan x � 3 sec 2x
c. csc� � � cot 2x � 5 csc� � � 4 cot 2x
d. cos 2x � sen 3x � cos 2x � sen 3x
e. sen x cos x � 3 sen x cos x � sen x � cos x
SOLUCIÓN
a. sen x � cos x � 3 sen x � 5 cos x
� sen x � 3 sen x � cos x � 5 cos x Se agrupan términos semejantes.
� 4 sen x � 6 cos x Se reducen términos semejantes.
b. tan 2x � sec 2x � 5 tan x � 4 tan x � 3 sec 2x
� tan 2x � sec 2x � 3 sec 2x � 5 tan x � 4 tan x Se agrupan términos semejantes.
� tan 2x � 2 sec 2x � tan x Se reducen términos semejantes.
c. csc� � � cot 2x � 5 csc� � � 4 cot 2x
� csc� � � 5 csc� � � cot 2x � 4 cot 2x
� 6 csc� � � 3 cot 2x
d. cos 2x � sen 3x � cos 2x � sen 3x
� cos 2x � sen 3x
e. sen x cos x � 3 sen x cos x � sen x � cos x� �2 sen x cos x � sen x � cos x
3 2
5 12
1 3
1 2
3 4
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
1 3
1 2
3 4
x 2
x 2
Ejercicio resuelto
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1.1.2. Multiplicación de expresiones trigonométricas
Para multiplicar expresiones que involucran funciones trigonométricas, se apli-can las propiedades de la potenciación y la propiedad distributiva de la multi-plicación con respecto a la adición.
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
RAZONAMIENTO. Escribir tres términos semejantes a cadatérmino dado.
1. 5 tan x 2. 3 cot 2x 3. csc� �4. 4 cos� � 5. � sen x 6.
sec 9x
7. sen2 x 8. cos2� � 9. � csc� �EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes adiciones y sustra-cciones.
10. 4 sen x � 2 cos x � 8 sen x � 4 cos x
11. �9 cos x � 3 sen 2x � 4 cos x � 3 sen 2x
12. tan x � 2 tan y � 6 sec x � 4 tan x
13. csc� � � sec� � � csc� � � sec� �14. sen(4x) � sen(4x) � cos x � cos x
15. csc x � cot� � � �3 cot� � � 2 cot x � csc x�16. 9 sen x � 2 cos x � 3 tan x �(tan x � sec x � 2cos x)
x 6
7 6
x 2
x 2
1 8
2 3
5 4
3 8
x 2
2 5
y 3
4 g
x 2
8 5
y 3
x 2
1 9
2 3
3 5
1 3
x 4
x 3
MODELACIÓN. Realizar cada una de las siguientes operacionessi
P(x) � sen x � 1 Q(x) � cos 2x � sen x � 1
R(x) � sen2 x � sen x S(x) � cos2 x � cos x
17. P(x) � Q(x)
18. Q(x) � R(x)
19. P(x) � S(x)
20. S(x) � R(x)
21. P(x) � S(x)
22. R(x) � P(x)
23. S(x) � R(x) � (P(x) � Q(x) � 1)
24. (R(x) � S(x) � P(x)) � (P(x) � R(x))
25. (P(x) � Q(x)) � (R(x) � (S(x) � P(x)))
26. P(x) � R(x) � (1 � S(x) � Q(x))
RAZONAMIENTO. Proponer un ejemplo para verificar cada afir-mación.
27. sen(� � ) � sen � � sen
28. cos(� � ) � cos � � cos
ACTIVIDADES 1
ALGO IMPORTANTE(sen x)n � senn x
senn x senm x � senn � m x
(sen x)(sen y) � sen x sen y
Propiedad distributiva de la multi-plicación con respecto a la adición
a(b � c) � ab � ac
a(b � c) � ab � ac
RECORDAR QUE
Resolver las siguientes operaciones.a. (sen x)(sen x cos x) b. cos2 x(cos2 x � cos x)
c. (cos x � sen x)(cos x � sen x) d. sec3 x(sec2 x � sec x � 1)
SOLUCIÓN
a. (sen x)(sen x cos x) � sen x sen x cos x
� (sen x)2 cos x Propiedad de la potenciación.
� sen2 x cos x
b. cos2 x(cos2 x � cos x) � cos2 x cos2 x � cos2 x cos x Propiedad distributiva.
� cos4 x � cos3 x
c. (cos x � sen x)(cos x � sen x) � cos2 x � sen2 x Producto de suma por diferencia.
d. sec3 x(sec2 x � sec x � 1) � sec3 x sec2 x � sec3 x sec x � sec3 x
� sec5 x � sec4 x � sec3 x
Ejercicio resuelto
29. tan� � �� 2
tan �
2
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1.1.3. División
Para dividir expresiones que involucran funciones trigonométricas se procedede la misma forma que en la división de expresiones algebraicas.
ALGO IMPORTANTE(senn x)m � sennm x
Resolver la operación.(tan3 x � 2 tan2 x � 3 tan x � 2) � (tan x � 1)
SOLUCIÓN
Se resuelve la división siguiendo el mismo procedimiento que se utiliza para dividirpolinomios.
tan3 x � 2 tan2 x � 3 tan x � 2 tan x � 1
�tan3 x � tan2 x tan2 x � tan x � 2
tan2 x � 3 tan x
�tan2 x � tan x
2 tan x � 2
�2 tan x � 2
0
Por tanto,
(tan3 x � 2 tan2 x � 3 tan x � 2) � (tan x � 1) � tan2 x � tan x � 2
Ejercicio resuelto
EJERCITACIÓN. Resolver los siguientes productos.
1. (cos x)(sen x 3 cos x)
2. (tan2 x)(tan x sen x) sen3 x
3. (cos x sen x)(cos2 x sen x)(cos x sen2 x)
4. (tan x)(cos2 x sen x)(cos x)
5. (cot3 x)(cot x cot x)(cot2 x)
6. (sen x cos x)(cos x)(sen3 x) cos3 x
EJERCITACIÓN. Aplicar la propiedad distributiva para resolverlos siguientes productos.
7. cos x(sec x � 3 sen x)
8. 4 tan x(tan x � tan3 x)
9. (1 � sec3 x � tan x) sec2 x
10. sen x(5 sen4 x � 2)
11. (tan2 x � tan x) cot x
MODELACIÓN. Encontrar la expresión que representa el área de cada rectángulo.
18. 19. 20.
RAZONAMIENTO. Escribir el término que hace verdadera laigualdad.
12. sec x( � sec2 x)
� sec x tan2 x � sec3 x
13. (2 tan x � )(sec x � tan x)
� 2 tan x sec x � 2 tan2 x � sec3 x � sec2 x tan x
14. (2 sen2 x � 3 )(4 sen x � cos2 x)
� 8 sen3 x � 2 sen2 x cos2 x � 12 sen x cos x � 3 cos3 x
15. (tan x � 2 )(cot x � sec x)
� tan x sec x � 2 sec x csc x � 2 cot x csc x � tan x cot x
16. (cos x � )(cos x � sen2 x)
� cos2 x � 2 sen2 x cos x � sen4 x
17. (3 sen x � 5)(2 � 4 sen x � 7)
� 6 sen3 x � 22 sen2 x � 41 sen x � 35
ACTIVIDADES 2
sen x � 2 cos x sen x � 2 sec2 x � 2 sec x � 1
1 � sec x
sen x � 1
�5� sen x
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1.2. Factorización de expresiones con funciones trigonométricasEs posible factorizar expresiones que involucran funciones trigonométricasmediante los mismos métodos que se utilizan en la factorización de polinomios.
1.2.1. Factor común
En este caso es necesario identificar un factor que aparezca en todos los térmi-nos de la expresión y aplicar la propiedad distributiva.
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
EJERCITACIÓN. Hallar el cociente de cada división.
21. (8 sen x � 8) � 4
22. (cos2 x � 2 cos x � 3) � (cos x � 1)
23. (cos4 x � cos3 x) � (cos3 x � cos2 x)
24. (5 tan2 x � 11 tan x sec x � 6 sec2 x) � (tan x � sec x)
25. (sec3 x � 4 sec2 x � 4) � (sec x � 2)
26. (sen2 x � 4 sen x cos x � 4 cos2 x) � (sen x � 8 cos x)
* PARA PENSAR. Resolver cada división.
27. � � � � �
29. (tan3 x � 3�3� tan2 x � 9 � �3�)� (tan2 x � 2�3� tan x � 3)
sen u�cos u
1 � tan u��1 � cot u
MODELACIÓN. Realizar cada una de las siguientes operacionessi
w(x) � sen x � 2 cos y
z(x) � sen x cos y
t(x) � sen2 x � 7 sen x cos y � 18 cos2 y
y(x) � sen x � 9 cos y
30. 5w(x) 31. z(x) � (t(x) � g(x))
32. y(x) � (z(x) � t(x)) 33. t(x) � (w(x) � y(x))
34. (t(x) � w(x)) � y(x) 35. 5y(x) � 3z(x)
36. 3w(x) t(x) � y(x) � 2(x)
* PARA PENSAR. Resolver.
37. � � � � 2 sec x
38. � � � � � � � �tan2 x
��3 sen2 x
8 sen x�9 sec x
3 sec x�4 sen x
cos x��1 � sen x
cos x��1 � sen x
Propiedad distributiva de la multi-plicación con respecto a la adi-ción.
xy � xz � x(y � z)
xy � xz � x(y � z)
RECORDAR QUE
Factorizar las siguientes expresiones.a. sen2 x � sen x cos x
b. 5 tan2 2x � 25 tan 2x
c. 4 sec3 x tan2 x � 2 sec4 x tan3 x
d. 12 cos3 x sen x � 8 cos2 x sen2 x � 4 cos x sen3 x
e. csc3 x cot x � csc x cot x
SOLUCIÓN
a. sen2 x � sen x cos x � sen x(sen x � cos x) El factor común es sen x.
b. 5 tan2 2x � 25 tan 2x � 5 tan 2x(tan 2x � 5)
c. 4 sec3 x tan2 x � 2 sec4 x tan3 x
� 2 sec3 x tan2 x(2 � sec x tan x)
d. 12 cos3 x sen x � 8 cos2 x sen2 x � 4 cos x sen3 x� 4 cos x sen x(3 cos2 x � 2 cos x sen x � sen2 x)
e. csc3 x cot x � csc x cot x
� csc x cot x(2 csc2 x � 1)1
�4
1�4
1�2
1�4
1�2
Ejercicio resuelto
28. � � � � �sen2 x��3 tan2 x
2 sen x�tan3 x
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1.2.2. Factor común por agrupación
En este caso se separa la expresión en dos o más partes de igual cantidad de tér-minos. En cada una de ellas se identifica el factor común y se aplica la propie-dad distributiva.
1.2.3. Diferencia de cuadrados
La diferencia de los cuadrados de dos expresiones que involucran funciones tri-gonométricas es igual a la suma por la diferencia de las expresiones.
x2 � y2 �(x � y)(x � y)
RECORDAR QUE
¿Es cierto que
sen2 x � cos2 x �(sen x � cos x)2?
PARA RESPONDER
Factorizar las siguientes expresiones.a. 3 cos3 x � 6 cos2 x � 2 cos x � 4
b. 4 tan5 x � 6 tan4 x � 2 tan3 x � 2 tan2 x � 3 tan x � 1
c. 3 tan x � 5 sec x � 3 sen x tan x � 5 sen x sec x
SOLUCIÓN
a. 3 cos3 x � 6 cos2 x � 2 cos x � 4
� (3 cos3 x � 6 cos2 x) � (2 cos x � 4)
� 3 cos2 x(cos x � 2) � 2(cos x � 2) Se factoriza cada parte.
� (cos x � 2)(3 cos2 x � 2) El factor común es cos x � 2.
b. 4 tan5 x � 6 tan4 x � 2 tan3 x � 2 tan2 x � 3 tan x � 1
� (4 tan5 x � 6 tan4 x � 2 tan3 x) � (2 tan2 x � 3 tan x � 1)
� 2 tan3 x(2 tan2 x � 3 tan x � 1) � (2 tan2 x � 3 tan x � 1)
� (2 tan2 x � 3 tan x � 1)(2 tan3 x � 1)
c. 3 tan x � 5 sec x � 3 sen x tan x � 5 sen x sec x
� (3 tan x � 5 sec x) � sen x(3 tan x � 5 sec x)
� (3 tan x � 5 sec x)(1 � sen x)
Ejercicio resuelto
Factorizar las siguientes expresiones.a. cos2 x � sen2 x b. cos2 x � sen2 x cos2 x
c. sen2 x � cos2 x � sec x sen x � cos x sec x d. cot4 x � 16 cot2 x csc4 x
SOLUCIÓN
a. cos2 x � sen2 x �(cos x � sen x)(cos x � sen x)
b. cos2 x � sen2 x cos2 x � cos2 x(1 � sen2 x) Factor común.
� cos2 x(1 � sen x)(1 � sen x)
c. sen2 x � cos2 x � sec x sen x � cos x sec x
� (sen2 x � cos2 x) � (sec x sen x � cos x sec x)
Se factoriza la diferencia de cuadrados de la primera parte y se saca el factor comúnde la segunda parte. Así,
� (sen x � cos x)(sen x � cos x) � sec x(sen x � cos x)
� (sen x � cos x)[(sen x � cos x) � sec x]
� (sen x � cos x)(sen x � cos x � sec x)
d. cot4 x � 16 cot2 x csc4 x � cot2 x(cot2 x � 16 csc4 x)
� cot2 x(cot x � 4 csc2 x)(cot x � 4 csc2 x)
Ejercicio resuelto
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1.2.4. Suma o diferencia de cubos
Para factorizar sumas o diferencias de cubos de expresiones que involucran fun-ciones trigonométricas se sigue el mismo método que se utiliza para factorizarexpresiones de la forma
x3 � y3 o x3 � y3
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
x3 � y3 �(x � y)(x2 � xy � y2)
x3 � y3 �(x � y)(x2 � xy � y2)
RECORDAR QUE
Factorizar las siguientes expresiones.a. sen3 x � cos3 x
b. tan6 x � sec6 x
c. sen3 x cos3 x � tan3 x sec3 x
d. cos2 x � cos2 x tan3 x
SOLUCIÓN
a. sen3 x � cos3 x
� (sen x � cos x)(sen2 x � sen x cos x � cos2 x)
b. tan6 x � sec6 x
� (tan2 x � sec2 x)(tan4 x � tan2 x sec2 x � sec4 x)
� (tan x � sec x)(tan x � sec x)(tan4 x � tan2 x sec2 x � sec4 x)
c. sen3 x cos3 x � tan3 x sec3 x
� (sen x cos x � tan x sec x)(sen2 x cos2 x � sen x cos x tan x sec x � tan2 x sec2 x)
d. cos2 x � cos2 x tan3 x � cos2 x(1 � tan3 x)
� cos2 x(1 � tan x)(1 � tan x � tan2 x)
Ejercicio resuelto
RAZONAMIENTO. Unir las expresiones que tienen el mismo factor común. Luego, factorizar.
1. sen3 a � 4 sen4 a � sen2 a � sen b sen a a. tan2 x sec2 a � tan3 a
2. tan4 x � 5 tan2 x � sen a tan3 x b. tan2 x cos2 x � tan x cos2 x � cos2 x
3. sen2 a cos2 x � sen a cos x � sen a c. 8 tan x sen a � 3 sen2 a tan x � 4 sen4 a tan x
4. 2 cos4 x � 3 cos2 x sen x � 5 cos2 x sen2 x d. cos5 a sen a � cos4 a sen a � cos3 a sen a � sen a
5. 10 sen3 a tan x � 2 sen2 a tan2 x � 5 sen a tan3 x e. cos3 a sen a � sen a tan4 a
EJERCITACIÓN. Factorizar cada una de las siguientes expresiones.
6. sen2 x � sen x cos x � sen x cos y � cos y cos x 7. 4 tan3 x � 1 � tan2 x � 4 tan x
8. 6 sec x csc x � 3 sec x � 1 � 2 csc x 9. sen x � sen2 x � sen x cos2 x � cos2 x
10. 1 � tan x � 3 tan x sec x � 3 sec x 11. 6 sec x � 9 csc x � 21 csc x � 14 sec x
12. 2 tan x sec x � 2 tan x sen x � 2 tan x � sec x � sec x � 1 13. 3 sec3 u � 9 tan u sec2 u � sec u � 3 tan u
EJERCITACIÓN. Descomponer en dos factores cada diferenciao adición de cubos.
19. 1 � sec3 x 20. 8 tan3 x � 27 csc3 x
21. sen6 u � cos12 u 22. 512 � 27 cot9 u
23. sen6 u � 125 cos12 u 24. 216 � tan12 x
8 27
EJERCITACIÓN. Factorizar completamente cada expresión.
14. tan8 y � sec2 x tan10 y
15. sen6 x cos4 y � sen4 x cos6 y
16. cot6 x csc2 x � cot6 x
17. tan4 y sec12 y � sec6 y tan2 y
18. sen4 x cos2 y � sen2 x cos4 y
ACTIVIDADES 3
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1.2.5. Factorización de trinomios
Para factorizar expresiones con tres términos que involucran funciones trigo-nométricas se utilizan los mismos métodos empleados para factorizar trinomioscuadrados perfectos, trinomios de la forma x2 � bx � c y trinomios de la formaax2 � bx � c.
• Trinomio cuadrado perfecto
a2 � 2ab � b2 �(a � b)2
a2 � 2ab � b2 �(a � b)2
• Para factorizar un trinomio de laforma x2 � bx � c se buscandos números r y s cuya suma seab y cuyo producto sea c de talmanera que
x2 � bx � c �(x � r)(x � s)
RECORDAR QUE
1. Factorizar las siguientes expresiones.a. sen2 � 2 sen x cos x � cos2 x
b. tan2 x � 6 tan x � 9
c. cot2 x � 4 cot x � 4 � sec2 x
d. sec2 x � 5 sec x � 6
e. csc4 x � 5 csc2 x � 4
f. 6 cos2 x � 7 cos x � 2
SOLUCIÓN
a. La expresión se factoriza como un trinomio cuadrado perfecto. Así,
sen2 x � 2 sen x cos x � cos2 x �(sen x � cos x)2
b. tan2 x � 6 tan x � 9 �(tan x � 3)2 Trinomio cuadrado perfecto.
c. cot2 x � 4 cot x � 4 � sec2 x
� (cot2 x � 4 cot x � 4) � sec2 x Se agrupan términos.
� (cot x � 2)2 � sec2 x Trinomio cuadrado perfecto.
� [(cot x � 2) � sec x] [(cot x � 2) � sec x] Diferencia de cuadrados.
� [cot x � 2 � sec x] [cot x � 2 � sec x] Se eliminan paréntesis.
d. Se factoriza como un trinomio de la forma x2 � bx � c. Así,
sec2 x � 5 sec x � 6 �(sec x � 3)(sec x � 2)
e. csc4 x � 5 csc2 x � 4
� (csc2 x � 4)(csc2 x � 1)
� (csc x � 2)(csc x � 2)(csc x � 1)(csc x � 1) Diferencia de cuadrados.
f. 6 cos2 x � 7 cos x � 2
� 6 cos2 x � 3 cos x � 4 cos x � 2
� (6 cos2 x � 3 cos x) � (4 cos x � 2) Agrupación de términos.
� 3 cos x(2 cos x � 1) � 2(2 cos x � 1) Factor común.
� (2 cos x � 1)(3 cos x � 2) Factor común.
2. Encontrar los valores de x entre 0 y 2� que satisfacen la ecuacióncos2 x � 1 � 0.
SOLUCIÓN
cos2 x � 1 � 0
(cos x � 1)(cos x � 1) � 0 Se factoriza.
Como el producto es cero, uno de los factores, o ambos, deben ser 0. Así,
cos x � 1 � 0 ó cos x � 1 � 0
cos x � 1 ó cos x � �1
Luego, x � 0, x � 2� ó x � �, pues cos 0 � 1, cos 2� � 1, cos � � �1.
Ejercicio resuelto
Se buscan los números cuya sumasea �5 y cuyo producto sea 4.
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1.3. SimplificaciónPara simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador son pro-ductos de funciones trigonométricas, se aplica la propiedad de cocientes depotencias de igual base.
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
EJERCITACIÓN. Factorizar los siguientes trinomios.
1. 8 cot2 x � 12 cot x � 8
2. sec2 u � 6 sec u csc u � 9 csc2 u
3. cos x � 4 �co�s�x� � 4
4. 2 tan � � 3 cot � �ta�n� �� � cot2 �
5. tan2 u � 2�3� tan u sec u � sec2 u
6. 6 sen2 x � 5 sen x � 25
7. �11 sen x � 6 sen2 x � 4
8. �12 cos2 x � 2 sen2 x � 15 sen x cos x
9. 7 sen x � 60 � sen2 x
10. 2 tan2 x � 4 sec2 x � 9 tan x sec x
11. 4 cos x � 32 � cos2 x
12. 15 sen x � 8 � 2 sen2 x
RAZONAMIENTO.
13. Determinar si la expresión 3 sen2 x � 4�3� sen x � 4es mayor, menor o igual que la expresión (�3� sen x � 2)2
al ser evaluadas en x � 30º.
14. Determinar si la expresión 7 sen x � 6 � sen2 x esmayor que la expresión (sen x � 12)(sen x � 5) en el puntox � 45º.
RAZONAMIENTO. Marcar con � los valores de x que satisfacencada ecuación.
15. sen2 x � 1 � 0 � 2� � � �
16. tan2 x � 1 � 0 � � �
17. cos2 x � cos x � 0 � 2� � 3� � �
18. sec2 x � � 0 � � � �
19. tan2 x � tan x � 0 � � � 0 �
* PARA PENSAR. A partir de la gráfica, determinar cuál de lassiguientes afirmaciones es verdadera.
l paralela a m
sen2 x � 2 sen x cos z � cos2 z → A
(sen x � cos y)2 → B20. El valor de A es mayor que el valor de B.
21. El valor de B es mayor al valor de A.
22. Los dos valores son iguales.
� 2
� 3
� 4
� 6
� 3
� 6
� 3
4 3
ACTIVIDADES 4
� con b, c, d � 0ad bc
ab
dc
RECORDAR QUE
Simplificar las siguientes expresiones.
a. b. c. d.
SOLUCIÓN
a. � Cocientes de igual base.
b. � cos � Producto de medios y extremos.
c. �
d. � �1
sen �
cos � sen � cos �
sen �
1cos �
co1s �
sec3 � 2 tan2 �
3 tan2 � sec4 � 6 tan4 � sec �
1 co1s �
cos � sen �
sen2 � cos �
sen3 �
sen �
1cos �
co1s �
3 tan2 � sec4 � 6 tan4 � sec �
1 co1s �
sen2 � cos �
sen3 �
Ejercicio resuelto
xl
my
z
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Para simplificar una fracción en la que el numerador y el denominador constande dos o más términos, se factorizan el numerador y el denominador y se sim-plifican los factores comunes.
�a
b
�a�
�b�
RECORDAR QUE
Simplificar las siguientes expresiones.
a. b. c.
SOLUCIÓN
a. �
� Se simplifica el factor sen � � 1.
b. �
�
c. � � � 1 � cos � 1 � cos �
2(1 � cos �) 2(1 � cos �)
1 �
2cos �
1 �
2cos �
1 �
2cos �
1 �
2cos �
cos2 � sen2
2 sen cos
cos (cos2 � sen2 )
2 sen cos2
cos3 � sen2 cos
2 sen cos2
(sen � � 3) (sen � � 1)
(sen � � 3)(sen � � 1) (sen � � 1)(sen � � 1)
sen2 � � 2 sen � � 3
sen2 � � 1
1 �
2cos �
1 �
2cos �
cos3 � sen2 cos
2 sen cos2
sen2 � � 2 sen � � 3
sen2 � � 1
Ejercicio resuelto
Se factorizan el numeradory el denominador.
EJERCITACIÓN. Unir cada expresión de la columna izquierdacon su expresión simplificada.
1. a. tan2 x cos x
2. b.
3. c.
4. d.
5. e. 2 cos7 x tan x
3
4 cos3 x tan3 x
6ctoasn42
xx
tan x 4 cos x
3 ta
5nc2
oxs2sexc x
tan2 x
1 3 cos x
tan x cos x
tan1x
3 sec x 5 cos2 x
2 tan6 x cos4 x 8 tan5 x cos5 x
tan3 x cos x 3 tan3 x cos2 x
EJERCITACIÓN. Simplificar las siguientes expresiones.
6.
7.
8.
9.
10.
11.6 tan3 x � 8 tan2 x
4 sec x � 3 sec x tan x
sen x � cos y sen4 x � cos4 y
sen x � 3 cos x sen2 x � 6 sen x cos x � 9 cos2 x
sen2 x � 5 sen x cos x � 4 cos2 x
sen2 x � sen x cos x � 2 cos2 x
tan3 x � sec3 x tan2 x � tan x sec x � sec2 x
8 sec2 x � 4 sec x 25 sec2 x � 4 sec3 x
ACTIVIDADES 5
¿Para qué valores de � y son váli-das las simplificaciones de los ejer-cicios resueltos a la derecha?
PARA RESPONDER
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2.1. DefiniciónUna identidad es una igualdad entre dos expresiones que es verdadera para todoslos valores de la variable o las variables que se involucran. Por ejemplo, las igual-dades x2 � 2x � 1 �(x � 1)2 y (x � y)(x � y) � x2 � y2 son identidades, pues secumplen para cualquier valor de x y y.Las siguientes igualdades no son identidades porque sólo se cumplen para algu-nos valores de la variable. Así,
x2 � 1 � 3 sólo se cumple para los valores x � 2 y x � �2
�x��� 4� � 2 sólo se cumple para el valor x � 0
Una identidad que involucra funciones trigonométricas se denomina identidad tri-gonométrica.
La expresión (sen � � 1)2 � sen2 � � 1 no es una identidad trigonométrica pues para � � no se verifica la igualdad.
La expresión � 2 � cos x es una identidad trigonométrica porque
se cumple para todos los valores de x.No es posible demostrar la afirmación anterior con ejemplos; por esta razón enel presente tema se mostrará un método para demostrar este tipo de expresio-nes.
4 � cos2 x 2 � cos x
� 2
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
RAZONAMIENTO. Marcar con � la expresión equivalente a la expresión dada.
12. � � 2 tan x � cos x � �(2 tan x � cos x)
13. � 4 cos2 x � 10 sen x � 25 sen2 x � 4 cos2 x � 25 sen2 x � 4 cos2 x � 10 sen x � 25 sen2 x
14. � � �
15. � � �
16. � �
MODELACIÓN. Si x � 9 sen �, simplificar las siguientes expresiones.
17. 18. 19. � �2
20.
21. 22. 23. 24. a x2 � 9 a2 � 9
x4 � a4
99
x2 � a2
x2 � 9x4 1 � x2
�x2�(a�2��� 1�)� �a� �� 1� �a� �� 1�
x2 a2
1 x2�x2� �� a�2�
�x2� �� a�2�
a2
tan x � sec x tan x � sec x
tan x � sec x tan x � sec x
sen x tan x � cos x tan x � sen x sec x � cos x sec x sen x tan x � cos x tan x � sen x sec x � cos x sec x
2 cos x � 5 3 cos x � 7
2 cos x � 5 3 cos x � 7
2 cos x � 5 3 cos x � 7
2 cos2 x � 11 cos x � 40 3 cos2 x � 17 cos2 x � 56
sen x � 5 sen x � 7
sen x � 5 sen x � 7
sen x � 5 sen x � 7
sen2 x � 7 sen x � 10 sen2 x � 5 sen x � 14
8 cos3 x � 125 sen x
2 cos x � 5 sen x
2 tan x � cos x tan x � cos x
4 tan2 x � cos x cos x � 2 tan x
IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICAS I
2
¿Es sen2 x � sen 2x una identidad?
PARA RESPONDER
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2.2. Identidades fundamentalesSe llaman identidades fundamentales a las que se deducen directamente de lasdefiniciones. Estas identidades se utilizan para transformar unas expresiones enotras, lo cual permite comprobar otras identidades y resolver ecuaciones queinvolucran funciones trigonométricas.
2.2.1. Relaciones recíprocas
Las relaciones recíprocas de las funciones trigonométricas se deducen a partirde las definiciones de dichas funciones en el plano cartesiano (figura 1). A con-tinuación se deducen las relaciones recíprocas.
• sen � � y csc � � , con y � 0
Por tanto, sen � es el inverso de csc �, es decir,
sen � � y csc � � con sen � � 0
• cos � � y sec � � , con x � 0
Por tanto, cos � es el inverso de sec �, es decir,
cos � � y sec � � , con cos � � 0
• tan � � con x � 0 y cot � � , con y � 0
Por tanto, tan � es el inverso de cot �, es decir,
tan � � , con cot � � 0 y cot � � , con tan � � 01
tan �
1 cot �
x y
y x
1 cos �
1 sec �
r x
x r
1 sen �
1 csc �
r y
y r
¿Por qué cos � sec � � 1?
Figura 1
PARA RESPONDER
Determinar el valor de la función del ángulo � en cada caso.
a. sen � si csc � � b. sec � si cos � � � c. cot � si tan � � ��6�
SOLUCIÓN
a. Puesto que sen � � se tiene sen � � �
b. Puesto que sec � � se tiene sec � � � � �
c. Puesto que cot � � se tiene cot � � � ��6�
6
1
��6�1
tan �
3 �7�
1
� �37�
1 cos �
5 12
1 152
1 csc �
�7�
312 5
Ejercicio resuelto
P(x, y)
y
x
r
0
2 2x y+r 5
a
�3�7�
7
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2.2.2. Relaciones que son razón de dos funciones
A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para el ángulo enposición normal (figura 1, página 150), se tiene.
• Si x � 0, entonces, � � � tan �
tan � � , con cos � � 0
• Si y � 0, entonces, � � � cot �
cot � � , con sen � � 0cos � sen �
x y
xr
yr
cos � sen �
sen � cos �
y x
yr
xr
sen � cos �
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
¿Por qué sen � � cos � tan �?
Figura 2
PARA RESPONDER
1. Determinar el valor de todas las funciones trigonométricas del ángulo � eindicar el cuadrante en el que se ubica su lado final, si se sabe que
cos � � y sen � � �
SOLUCIÓN
Como tan � � , se tiene tan � � � �2�2�
Como csc � � , se tiene csc � � � � � �
Como sec � � , se tiene sec � � � � 3
Como cot � � , se tiene cot � � � �
Puesto que cos � � 0 y sen � � 0, el ángulo � tiene su lado final en el IV cuadrante(figura 2).
2. Mostrar que tan � � es una identidad.
SOLUCIÓN
tan � � Razón de las funciones sen y cos.
tan � � Relaciones recíprocas.
� Producto de medios y extremos.sec � csc �
cs1c �
se1c �
sen � cos �
sec � csc �
�2�
4
1
�2�2�1
tan �
1
13
1 cos �
1 cos �
3�2�
4
3 2�2�
1
� 2�32�
1 sen �
�2
3�2�
13
sen � cos �
2�2�
3
1 3
Ejercicio resueltoy
u
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Figura 3
Figura 4
Figura 5
Deducir la identidad tan2 � � 1 � sec2 x a partir de la identidadsen2 � � cos2 � � 1.
SOLUCIÓN
sen2 � � cos2 � � 1
� � Se multiplican ambos miembros por .
tan2 � � 1 � sec2 � Se aplican las identidades fundamentales.
1 cos2 �
1 cos2 �
cos2 � cos2 �
sen2 � cos2 �
Ejercicio resuelto
y
x
1
1
P(x, y)
R 1
21
21
a
O
y
x
1
1
P(x, y)
O RT1
21
21
a
S
y
x
1 V
P(x, y)
1
21
21a
O
a
R
Q
2.2.3. Relaciones pitagóricas
Las relaciones o identidades pitagóricas son tres:sen2 � � cos2 � � 1 tan2 � � 1 � sec2 � cot2 � � 1 � csc2 �
• Demostración de sen2 � � cos2 � � 1
En la figura 3, se muestra la circunferencia unitaria. Para el ángulo �, se cum-ple que sen � � y y cos � � x.
Puesto que para todo punto de la circunferencia unitaria se cumple quey2 � x2 � 1
Se tiene quesen2 � � cos2 � � 1
Esta identidad se cumple para todos los valores de � que pertenecen al conjun-to de los números reales, pues el dominio de las funciones seno y coseno esdicho conjunto.• Demostración de tan2 � � 1 � sec2 �
En la figura 4, se muestra la circunferencia unitaria. Para el ángulo �, se cum-ple que sec � � OS y tan � � TS.En el triángulo rectángulo �OST se tiene TS2 � 12 � OS2
Por tanto,tan2 � � 1 � sec2 �
Esta identidad se cumple para todos los valores de � que pertenecen al conjun-to de los números reales, excepto para los valores de � de la forma con n
entero impar, pues en tales valores la función tangente y la función secante noestán definidas.• Demostración de cot2 � � 1 � csc2 �
En la figura 5 se muestra la circunferencia unitaria. Para el ángulo �, se cumpleque csc � � OV y cot � � QV.En el triángulo rectángulo �OQV se tiene QV2 � 12 � OV2
Por tanto,cot2 � � 1 � csc2 �
Esta identidad se cumple para todos los valores de � que pertenecen al conjun-to de los números reales, excepto para los valores de � de la forma n� con n ente-ro, pues en tales valores la función cotangente y la función cosecante no estándefinidas.
n� 2
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2.3. Formas de expresar una función trigonométricaen términos de las otras cinco funciones
Mediante la aplicación de las identidades fundamentales se puede expresar unafunción trigonométrica en función de las otras.
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
Identidades recíprocas
sen � �
cos � �
tan � �
Identidades que son razónde otras
tan � �
cot � �
Identidades pitagóricassen2 � � cos2 � � 1
tan2 � � 1 � sec2 �
cot2 � � 1 � csc2 �
cos � sen �
sen � cos �
1 cot �
1 sec �
1 csc �
RECORDAR QUE
1. Expresar cos � en términos de las demás funciones trigonométricas.
SOLUCIÓN
• En términos de sen �:
Como sen2 � � cos2 � � 1, se tiene que cos � � � �1��� s�en�2���• En términos de sec �:
cos � � Identidad recíproca.
• En términos de csc �:
cos � � � �1��� s�en�2��� Se despeja cos � de sen2 � � cos2 � � 1.
cos � � � �1�������2� Se aplica sen � � .
cos � � � �1���� Propiedad de la potenciación.
cos � � � �� Se suman las fracciones.
cos � � � Se determina la raíz cuadrada del denominador.
• En términos de tan �:
cos � � Identidad recíproca.
cos � � � Se aplica tan2 � � 1 � sec2 �.
• En términos de cot �:
cos � � �
cos � � � Se aplica tan � � .
cos � � � � �
cos � � � Producto de medios y extremos.cot �
�1��� c�o�t2� ��
1
�1�
c��otc��o�t2� ��
1
1 �cot
c2ot
�
2 �
1 cot �
1
cot
12 � � 1
1 �ta�n�2����� 1�
1 �ta�n�2����� 1�
1 sec �
�cs�c2� �� �� 1�
csc �
csc2 � � 1
csc2 �
1 csc2 �
1 csc �
1 csc �
1 sec �
Ejercicio resuelto
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ALGO IMPORTANTELas funciones trigonométricas delángulo � se expresan en términosde tan � como
sen � � �
cos � � �
csc � � �
sec x � � �ta�n2� �� �� 1�
cot � �1
tan �
�ta�n2� �� �� 1�
tan �
1
�ta�n2� �� �� 1�
tan �
�ta�n2� �� �� 1�
2. Expresar las funciones trigonométricas sec �, cos �, sen �, csc � y cot � entérminos de tan �.
SOLUCIÓN
• Para sec �:
Puesto que tan2 � � 1 � sec2 x, se tiene que sec x � � �ta�n�2��� �� 1�• Para cos �:
tan2 � � 1 � sec2 x se tiene que sec x � � �ta�n�2��� �� 1�
Como cos � � , se tiene que cos � � �
• Para sen �:
sen2 � � cos2 � � 1, se tiene que sen2 � � � 1
Luego, sen2 � � 1 � � �
Por tanto, sen � � �
• Para csc �:
Como csc � � se tiene que csc � � �
Luego csc � � �
• Para cot �:
cot � �
3. Si tan � � �3� y el lado final del ángulo � está en el I cuadrante, determi-nar las demás funciones trigonométricas del ángulo �.
SOLUCIÓN
Puesto que el lado final del ángulo � está en el I cuadrante, los valores de todas lasfunciones trigonométricas de � son positivas. Así,
sec x � �ta�n�2��� �� 1� � �3��� 1� � 2 Se remplaza tan a � �3�.
cos � � � �
sen � � � �
csc � � � � �
cot � � � ��3�
3
1 �3�
1 tan �
2�3�
32
�3�
�3��� 1�
�3��ta�n�2��� �� 1�
tan �
�3�
2�3�
�3��� 1�
tan � �ta�n�2��� �� 1�
1 2
1 �3��� 1�
1 �ta�n�2��� �� 1�
1 tan �
�ta�n�2��� �� 1�
tan �
tan1
� �ta�n�2��� �� 1�
1 sen �
tan � �ta�n�2��� �� 1�
tan2 � tan2 � � 1
tan2 � � 1 � 1
tan2 � � 1
1 tan2 � � 1
1 tan2 � � 1
1 �ta�n�2��� �� 1�
1 sec �
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
RAZONAMIENTO. Determinar si cada una de las siguientes afir-maciones son falsas o verdaderas. Justificar la respuesta.
1. Si cos � entonces sen �
2. Si sen � � entonces csc � � �2�
3. Si tan � � 1 entonces cot � � �1
4. Si sec � � entonces cos � �
5. Si csc � � 1 entonces sen � � 1
6. Si cot � � 2 entonces tan � �
EJERCITACIÓN. Utilizar en cada caso las identidades trigono-métricas para encontrar el valor exacto de las seis funcio-nes trigonométricas del ángulo �.
7. sen � � 0,6 cos � � �0,8
8. cos � � tan � �
11. csc � � 2 cos � � �
12. sen � � cos � �
PROBLEMA. Proponer un ejemplo para verificar que lassiguientes igualdades no son identidades.
13. �se�n�2�x��� c�o�s2� x� � sen x � cos x
14. sec t � �ta�n�2�t��� 1�15. (sen t � cos t)2 � sen2 t � cos2 t
16. sen(t � �) � sen t
17. sen2 t � 4 sen t � 5 � 0
18. cot t(tan t) � tan t
19. 3 cos2 t � cos t � 2 � 0
* PARA PENSAR. Si tan u � , hallar.
20. 21.sen u sec u
cot u
cos2 u csc2 u
tan u
3 4
1 3
2�2�
3
�3�
2
2�13�
133
2
1 4
�3�
2
2�3�
3
�2�
2
5 3
3 5
RAZONAMIENTO. Encontrar el valor de todas las funciones tri-gonométricas.
22. sen u � ; cos u � 0
23. cos u � �0,25; tan u � 0
24. tan u � �1; cos u � 0
25. sec u � 2; sen u � 0
26. csc u � 4; cos u � 0
EJERCITACIÓN. Expresar cada función en términos de lassiguientes funciones.
• En términos de seno.
27. 28.
29. 30. �
31. 32.
• En términos de coseno.
33. 34. 2 sec x tan x
35. (sen � � tan �)(cos � � cot �) 36. tan2 x � cot2 x
37. � 38.
• En términos de tangente y cotangente.
39. sen v cos v 40.
41.
• En términos de secante y cosecante.
42. (tan x � cot x)2
43. cos x(tan x � cot x)
44. (cot � � csc �)(tan � � sen �)
45. �
46. �
47.1 �
co1s x
sen x � tan x
cot x 1 � tan x
tan x 1 � cot x
1 � cos u
sen u
sen u 1 � cos u
1 1 � sen2 y
sen w sen w � cos w
sen x � cot x
cos xcot x sen x
tan x cos x
sec x � csc x tan x � cot x
tan v � cot v tan2 v � cot2 v
1 � csc u cos u � cot u
cos x sen x
sen x csc x
1 � sen y 1 � csc y
1 � sen y 1 � cos y
cos x sec x
cot x
5 12
ACTIVIDADES 6
9. sec � � ��26� tan � � 5
10. sen � � tan � � �1�2�
2
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2.4. Simplificación de expresiones trigonométricasLas identidades trigonométricas se utilizan para simplificar expresiones queinvolucran funciones trigonométricas y encontrar expresiones equivalentes.Para realizar la simplificación se utilizan los procedimientos algebraicos.Aunque no existe un método general que se aplique en los casos de simpli -ficación de expresiones trigonométricas, en algunos casos resulta útil escribirtodas las funciones trigonométricas involucradas en términos de una sola fun-ción.
Simplificar las siguientes expresiones trigonométricas.a. sec2 � � csc2 � b. sec � cot2 � tan � c. cos �sec � �SOLUCIÓN
a. sec2 � � csc2 � � � Identidades recíprocas.
� Se resuelve la suma de fracciones.
� Identidad pitagórica.
� � Se expresa como producto.
� sec2 � csc2 � Identidades recíprocas.
b. sec � cot2 � tan � � � � Se expresa en términos de sen � y cos �.
� Se simplifica.
� csc � Relación recíproca.
c. cos �sec � � � cos � � �� cos � � � Se resuelve el cociente.
� cos � � cos � Se simplifica.
� cos � � Se resuelve la operación.
� cos � � Relación pitagórica.
� sen2 Se simplifica.
sen2 cos
1 � cos2
cos
1 cos
cos sen
sen 1
cos
sceons
sen1
1 cos
cot csc
1 sen �
sen � cos �
cos2 � sen2 �
1 cos �
1 sen2 �
1 cos2 �
1 cos2 � sen2 �
sen2 � � cos2 � cos2 � sen2 �
1 sen2 �
1 cos2 �
cot csc
Ejercicio resuelto
Se expresan en términossen y cos .
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
EJERCITACIÓN. Escribir cada expresión en términos de se noy coseno. Luego, simplificar.
1. sec2 x � tan2 x
2. cos u � tan u sen u
3. cos2 x (1 � tan2 x)
4. sen u cos u csc u
5.
6.
7.
8.
9.
MODELACIÓN. Usar las identidades fundamentales para escri-bir una expresión equivalente a la expresión dada. Luego,simplificar.
10. cos x tan x
11. csc x sen2 x
12. tan x cos2 x
13. cos x tan x csc x
14. sen2 x cot2 x
15.
16.
17. sen2 u cos2 u � sen4 u
18. cos4 u � 2 cos2 u sen2 u � sen4 u
19. sen x � cos x tan x
20. �
21.
22. 0 � x � 901 � sen2 x
cos2 x
tan2 x (1 � cos2 x)2
1 sen2 x
cos2 x sen2 x
sec2 u csc2 u
sec x csc x
tan v � cot v tan2 v � cot2 v
1 � csc u cos u � cot u
1 � sen y 1 � csc y
cos x sec x
cot y
tan x � cot x
sec x csc x
PROBLEMAS. Leer. Luego, resolver.
La expresión h �
permite calcular la altura de un pro-yectil que se lanza con un ángulo �a una velocidad v0 bajo la acelera-ción de la gravedad g.
23. ¿Existe una forma más simplede escribir esta expresión?
Una expresión que relaciona la longitud L de un péndulo có-
nico y el ángulo � es L � , donde g es la gravedad
y w es la velocidad angular medida en radianes por segundo.
24. Escribir la expresión anterior en términos de seno ycoseno.
• La cantidad de luz que una fuente provee a una superfi-cie se llama iluminación. La iluminación E sobre unasuperficie que está a R centímetros de la fuente de luz conintensidad I está dada por la expresión
E �
Donde � es la medida delángulo entre la dirección dela luz y la línea perpendi-cular a la superficie queestá siendo iluminada.
25. Determinar si E � es equivalente a la ex-
presión dada.
• La altura máxima de unbalón que se patea desde elcampo está dada por
h �
26. Demostrar que la fórmula h � es equiva-
lente a la original.
v02 tan2 �
2g sec2 �
g sec �
w2
v02 tan2 t
2g sec2 t
v02 sen2 t
2g
I cot � 900 R2 csc �
I cos � (3 OR)2
ACTIVIDADES 7
IR
E
a
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IDENTIDADESTRIGONOMÉTRICAS II
3
LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICAMenéalo (siglo I d.C.) en su obraSphaerica considera la geometríaesférica. Un concepto importante deesta rama de la geometría es el detriángulo esférico, figura formadapor tres arcos de círculos máximossobre una esfera, cada uno de ellosmenor que una semicircunferencia.Para tales triángulos, se cumple quela suma de dos lados de un triángu-lo esférico es mayor que el tercerlado, y la suma de los ángulos de untrián-gulo es mayor que dos ángulosrectos; resultados que no se cum-plen en la geometría plana.
La trigonometría esférica que sededica al estudio de los triángulosesféricos; se basa en la geometríaesférica y ha sido de gran utilidad enla navegación y la astronomía.
MATEMÁTICASDEL SIGLO I
A partir de las identidades trigonométricas fundamentales se pueden deduciralgunas que son más complejas.
3.1. Demostración de una identidadEl método de demostración de una identidad consiste en mostrar que uno de losmiembros de una igualdad es igual al otro.Para ello se sugiere la siguiente secuencia de pasos:• Transformar el miembro más complejo de la igualdad en el miembro más sim-ple, haciendo uso de las identidades fundamentales.
• De ser posible expresar las funciones trigonométricas que aparecen en la igual-dad en términos de las funciones seno y coseno.
• Realizar las operaciones algebraicas para simplificar las expresiones.
Demostrar las siguientes identidades.
a. � � 1 b. tan � csc � � sec � c. tan2 � �
d. � e. cot � tan � � 1 f. cot � �
SOLUCIÓN
a. Se parte del miembro izquierdo de la igualdad.
�
� � Se expresan las funciones en términos de seno y coseno.
� � Producto de extremos y medios.
� Se realiza la suma de fracciones.
� � 1 Se aplica sen2 � cos2 � 1.
Por lo tanto, queda demostrado que � � 1.
b. Se parte del miembro izquierdo de la igualdad tan � csc �.
� � Se expresan las funciones en términos de seno y coseno.
� � sec � Se simplifica.
Por lo tanto, queda demostrado que tan � csc � � sec �.
1cos �
1sen �
sen �cos �
tan cot
sec cos
cos2 cos2
1 � sen2
cos2
sen2 cos2
1cos2
sceons
sceons
co1s
cos
tan cot
sec cos
csc �sec �
1 � cos �
sen �
sen �1 � cos �
1 � tan2 �
csc2 �
tan cot
sec cos
Ejercicio resuelto
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ALGO IMPORTANTE
La expresión se pue-
de expresar con denominador sen2 �si se multiplica el denominador y eldenominador por 1 � cos �.
11 � cos �
c. Se parte del miembro derecho de la igualdad.
� Se expresan las funciones en términos de seno y coseno.
� Se suman las fracciones del numerador.
� Se aplica sen2 � cos2 � 1.
� Producto de medios y extremos.
� tan2 � Se aplica la identidad tan � � .
Por tanto, queda demostrado que tan2 � �
d. Se parte del miembro izquierdo de la igualdad.
� Se multiplica el numerador y el denominador por 1 � cos �.
� Se resuelve la operación del denominador.
� Se aplica sen2 � � cos2 � � 1.
� Se simplifica.
Por tanto, queda demostrado que �
e. Se parte del miembro izquierdo de la igualdad.
cot � tan �
� tan � Se utiliza la identidad � cot �.
� 1 Se simplifica.
Por tanto, queda demostrado que cot � tan � � 1.
1tan �
1tan �
1 � cos �
sen �
sen �1 � cos �
(1 � cos �)
sen �
sen �(1 � cos �)
sen2 �
sen �(1 � cos �)
1 � cos2 �
sen �(1 � cos �)(1 � cos �)(1 � cos �)
sen �1 � cos �
1 � tan2 �
csc2 �
sen �cos �
sen2 �cos2 �
cos12 �
sen
12 �
cos2
c�o�s2s�en2 �
sen
12 �
1 � sceons22
��
sen
12 �
1 � tan2 �
csc2 �
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¿Para qué valores de no se cumplela identidad
sec4 � sec2 � � ?1
cot2
1cot4
PARA RESPONDER
f. Se parte del miembro derecho de la igualdad.
�
� � cot � Producto de medios y extremos.
Por lo tanto, queda demostrado que cot � � .csc �sec �
cos �sen �
sen1
�
co1s �
csc �sec �
En algunos casos, el proceso se hace más simple si se transforma cada uno delos miembros hasta llegar a expresiones iguales.
Demostrar la identidad sec4 � sec2 � � .
SOLUCIÓN
Se parte del lado izquierdo de la igualdad sec4 � sec2 .
� � Se expresan las funciones en términos de seno y coseno.
� Se restan las fracciones.
� Se aplica sen2 � cos2 � 1.
Luego se transforma el miembro de la derecha en una expresión más sencilla.
�
� � Se expresan las funciones en términos de seno y coseno.
� Se suman las fracciones.
� Se factoriza.
� Se aplica sen2 � cos2 � 1.
Se observa que al transformar cada miembro de la igualdad, de manera independien-te, se obtienen expresiones iguales, por tanto,
sec4 � sec2 � � �
Por lo tanto, queda demostrado que sec4 � sec2 � �1
cot2
1cot4
1cot2
1cot4
sen2 cos4
sen2 cos4
sen2 (sen2 � cos2 )
cos4
sen4 � cos2 sen2
cos4
sen2 cos2
sen4 cos4
1cot2
1cot4
sen2 cos4
1 � cos2
cos4
1cos2
1cos4
1cot2
1cot4
Ejercicio resuelto
Se expresan las funciones en términos de seno y coseno.
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suma 2
suma 2 suma 2
suma 3
suma 3
suma 2
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ACTIVIDADES 8
MODELACIÓN. Construir una identidad trigonométrica sim-plificando o amplificando cada expresión.
1. 2.
3. � 4. cos3 x � sen2 x cos x
5. � cot2 x 6. tan x � cos(�x) � tan(�x)
7. cos2 x(1 � tan2 x) 8. sec2 x � cos2 x tan3 x
9. sen4 x � cos4 x
RAZONAMIENTO. Unir casillas de expresiones que generenuna identidad trigonométrica cuyo valor sea igual a 1.
10.
tan2 xsec3 x
cos xsen x
sen xcsc x
1 � sen y1 � csc y
cos x sec x
cot x
14. �
15. � � 1
16. sen � � cos � cot � � csc �
17. (sen x � cos x)2 � 1 � 2 sen x cos x
18. (1 � sen x)(1 � sen x) � cos2 x
19. csc u � sen u � cot u cos u
20. � 2 � sec t csc t
21. (sen � � tan �)(cos � � cot �) � (cos � � 1)(sen � � 1)
22. �
23. � cot2 t
24. cot � � tan � � csc � sec �
25. cot(��) cos(��) � sen(��) � �csc �
26. � tan x tan y
27. tan2 x � sen2 x � tan2 x sen2 x
28. sen t � cos t �
29. � tan x � cot x
30. � � 1
31. 1 � cot4 t � 2 csc2 t � csc4 t
32. 1 � sec2 x sen2 x � sec2 x
33. � cot �
34. � tan2 t
35. �tan v � sen vtan v sen v
tan v � sen vtan v � sen v
cos2 t � tan2 t � 1
sen2 t
cot � � 11 � tan �
1csc2 t
1sec2 t
1 � 2 cos2 xsen x cos x
1 � tan t
sec t
tan x � tan ycot x � cot y
csc2 t1 � tan2 t
sen ucos u
1 � tan u1 � cot u
(sen t � cos t)2
sen t cos t
tan tcot t
sec tcos t
1 � cos u1 � cos u
sec u � 1sec u � 1
* PARA PENSAR. Completar las casillas del cuadrado, paraque la suma sea la que se indica. Usar las expresiones dadasa continuación.
sen2 x, cos2 x, csc2 x, �cot2 x, cos2 x � cot2 x, sen2 x � csc2
x, 1, cos2 x � csc2 x, sen2 x � cot2 x.
11.
�sen2 u �cos2 u �cot u �sen u
�sen u �sec2 u �csc2 u �cos u
�cos2 u �tan2 u �tan u �cot2 u
MODELACIÓN. Demostrar las siguientes identidades.
12. � sen x 13. � cos ucot(�u)csc(�u)
tan xsec x
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ACTIVIDADES
36. (a cos t � b sen t)2 � (a sen t � b cos t)2 � a2 � b2
37. �
38. (cos2 x � 1)(tan2 x � 1) � 1 � sec2 x
39. sec t csc t � cot t � tan t � 2 cos t csc t
40. sen6 v � cos6 v � 1 � 3 sen2 v cos2 v
41. � � 0
42. � �3
� �2
� 1
43. cos4 w � 1 � sen4 w � 2 cos2 w
44. (1 � tan2 )2 � sec4 � 4 tan2
45. � � 4 tan sec
46. � sec2 � tan2
47. � sec � tan
48. � sen � cos
49. tan � � sec
50. � 1 � sen x cos x
51. (csc u � cot u)4(csc u � cot u)4 � 1
52. csc4 t � cot4 t � cot2 t � csc2 t
53. �
54. � � 2 csc
55. �
56. (sen2 r)2 � cos4 r � 1 � 2 cos2 r
57. � � 2 sec2 x
csc � 1cot �
cot �csc � � 1
csc x1 � csc x
csc x1 � csc x
sen � cos tan2 � sen2 � cos2
cos2 sen � cos
sen 1 � cos
1 � cos
sen
tan x � tan y1 � tan x tan y
cot y � cot x1 � cot x cot y
cos3 x � sen3 xcos x � sen x
cos 1 � sen
sec2 � tan2 � tan
sec
1 � cos � sen 1 � cos � sen
(sec2 � tan2 )2
sec4 � tan4
1 � sen 1 � sen
1 � sen 1 � sen
csc3 xcot6 x
sen2 xtan4 x
cos u � 1cos u � 1
sec u � 1sec u � 1
PROBLEMAS. El tiempo que un objeto permanece en el aire alser lanzado, está dado por la expresión
t �
donde v0 es la velocidad inicial, � el ángulo que se formacon la horizontal y g es la aceleración de la gravedad.
58. Demostrar que la expresión
t �
es equivalente a la expresión original.
La velocidad con la que viaja una onda sonora en un mediolíquido A está dada por la expresión
�
En otro medio líquido B, la velocidad de la misma ondaviene dada por
sen t � cos t
59. Determinar en qué medio se propaga más rápido laonda.
El crecimiento de una colonia de hormigas durante elinvierno está dado por la expresión
60. Demostrar que la expresión
es una forma simplificada de la expresión original.
61. Demostrar que la expresión
(cot2 � � 1)2 � cot4 � � 1 no es una identidad.
2v0 sen �g
sec y1 � tan y
1 � tan2 ysec2 y(sen y � cos y)
sen(�t)1 � cos(�t)
cos(�t)1 � tan(�t)
2v0 tan �g sec �
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3.2. Identidades para la suma y la diferencia de ángulosSe pueden deducir identidades trigonométricas para la suma y la diferencia deángulos.
3.2.1. Identidades para la suma de ángulos
En la figura 6 se muestran dos ángulos. El ángulo �, en posición normal y elángulo �, cuyos lados son OC y OD. Es posible establecer identidades para lasfunciones trigonométricas del ángulo � � �, el cual se encuentra en posiciónnormal. De la figura se tiene que D�C� ⊥ O�C� y D�A� ⊥ O�A�, por tanto, el ángulo �,que coincide con �COA, es congruente con �EDC.Además, E�C� � A�B� y A�E� � B�C�, pues los cuatro segmentos forman un rectángu-
lo. Así, sen(� � �) �
Luego, sen(� � �) � � � �
De donde, sen(� � �) � � � �
Por tanto, sen(� � �) � � � �
Ahora, cos(� � �) �
Luego, cos(� � �) � � � �
De donde, cos(� � �) � � � �
Por tanto, cos(� � �) � � � �
Para determinar tan(� � �) se tiene que
tan(� � �) � �
tan(� � �) � � sceons �
� �
sceons �
�
1 � sceons
��
��sceons �
�
sceons �
���ccooss
��
� ccooss
��
��sceons �
�
ccooss
��
��ccooss
��
� sceons �
� ��sceons �
�
sen � � cos � � cos � � sen �cos � � cos � � sen � � sen �
sen(� � �)cos(� � �)
DCOD
ECDC
OCOD
OBOC
DCDC
ECOD
OCOC
OBOD
ECOD
OBOD
OB � EC
ODOB � AB
OD
OAOD
DCOD
EDDC
OCOD
BCOC
DCDC
EDOD
OCOC
BCOD
EDOD
BCOD
BC � ED
ODAE � ED
OD
ADOD
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
x
y
0
E
A
C
D
B
a
a+b a
b
Figura 6
¿Qué condición deben cumplir losángulos � y � para que el valor detan(� � �) no esté definido?
PARA RESPONDER
tan(� � �) �tan � � tan �
1 � tan � � tan �
sen(� � �) � sen � � cos � � cos � � sen �
cos(� � �) � cos � � cos � � sen � � sen
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204
RECORDAR QUE
Ángulo sen cos tan
45º 1
60º �3�12
�3�
2
�2�
2
�2�
2
Ejercicio resuelto1. Determinar los valores de sen 105º, cos 105º y tan 105º. Expresar 105° como
la suma de dos ángulos notables.
SOLUCIÓN
Puesto que 105º � 60º � 45º, se tiene
• sen 105º � sen(60º � 45º) � sen 60º � cos 45º � cos 60º � sen 45º
sen 105º � � � � � � �
• cos 105º � cos(60º � 45º) � cos 60º � cos 45º � sen 60º � sen 45º
cos 105º � � � �
cos 105º � � �
• tan 105º � � � �
� � � � � � �(2 � �3�)
Así, sen 105º � , cos 105º � y tan 105º � �(2 � �3�)
2. Escribir en términos de sen �, cos � las siguientes expresiones.
a. cos�� � � b. sen� � ��SOLUCIÓN
a. cos�� � � � cos � � cos � sen � � sen
� cos � � 0 � sen � � 1 � �sen �
� �sen �
Luego, cos�� � � � �sen �
b. sen� � �� � sen � cos � � cos � sen �
� (�1) � cos � � 0 � sen �
� �cos �
Luego, sen� � �� � �cos �
(�6� � �2�)(�6� � �2�)(�2� � �6�)(�6� � �2�)
3�2
3�2
3�2
3�2
�2
�2
�2
�2
3�2
�2
�2� � �6�
4
�6� � �2�
4
8 � 2 � 2�3�
48 � 2�12�
46 � 2�6��2� � 2
2 � 6
�6� � �2�
�2� � �6�
�6� �
4�2�
�2� �
4�6�
sen 105ºcos 105º
�2� � �6�
4�6�4
�2�4
�2�2
�3�2
�2�2
12
�6� � �2�
4�2�4
�6�4
�2�2
12
�2�2
�3�2
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3.2.2. Identidades para la diferencia de ángulos
Las identidades para las funciones trigonométricas de la diferencia de dos ángu-los se deducen a partir de las identidades para la suma de ángulos, puesto que� � � � � �(��) (figura 7).
• Identidad para sen(� � �)Como sen(� � �) � sen(� �(��)), entonces, sen(� � �) � sen � � cos(��) � cos � � sen(��)Como la función coseno es par, se tiene que cos(��) � cos � y como la funciónseno es impar, se tiene sen(��) � �sen �, por tanto,sen(� � �) � sen � � cos � � cos � �(�sen �)
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
x
y
a-b a
b
-b
Figura 7
La función seno es impar
sen(��) � �sen �
La función coseno es par
cos(��) � cos �
La función tangente es impar
tan(��) � �tan �
RECORDAR QUE
1. Mostrar que el coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento.
SOLUCIÓN
Se trata de mostrar que cos � � sen� � ��. Así,
sen� � �� � sen � cos � � cos � � sen �
� 1 � cos � � 0 � sen � � cos �
Por tanto, cos � � sen� � ���2
�2
�2
�2
�2
Ejercicio resuelto
sen(� � �) � sen � � cos � � cos � � sen �
cos(� � �) � cos � � cos � � sen � � sen �
• Identidad para tan(� � �)Como tan(� � �) � tan(� �(��)), entonces,
tan(� � �) �
Como la función tangente es impar, tan(��) � �tan �, se tiene
tan(� � �) � tan � �(�tan �)1 � tan � �(�tan �)
tan � � tan(��)1 � tan � � tan(��)
• Identidad para cos(� � �)Como cos(� � �) � cos(� �(��)), entonces,cos(� � �) � cos � � cos(��) � sen � � sen(��)Como cos(��) � cos � y sen(��) � �sen �, se tienecos(� � �) � cos � � cos � � sen � �(�sen �)
tan(� � �) �tan � � tan �
1 � tan � � tan �
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ALGO IMPORTANTEEl coseno de un ángulo es igual alseno de su complemento.
El seno de un ángulo es igual alcoseno de su complemento.
2. Determinar los valores de sen 15º, cos 15º y tan 15º. Expresar 15° comola diferencia de dos ángulos notables.
SOLUCIÓN
Puesto que 15º � 60º � 45º, se tiene
• sen 15º � sen(60º � 45º) � sen 60º � cos 45º � cos 60º � sen 45º
sen 15º � � � � � � �
• cos 15º � cos(60º � 45º) � cos 60º � cos 45º � sen 60º � sen 45º
cos 15º � � � � � � �
• tan 15º � �
tan 15º � � �
tan 15º � � 2 � �3�
Así, sen 15º � , cos 15º � y tan 15º � 2 � �3�
3. Demostrar la identidad.
�
SOLUCIÓN
Se parte del miembro derecho de la igualdad. Así,
�
�
�
� . �
Luego, se ha demostrado que � .sen(� � �)sen(� � �)
tan � � tan �tan � � tan �
tan � � tan �tan � � tan �
sceons �
� �
sceons �
�
sceons �
� �
sceons �
�
sceons �
���ccooss
��
� ccooss
��
��sceons �
�
csoesn
��
�� ccooss
��
� ccooss
��
��sceons �
�
sen � � cos � � cos � � sen �sen � � cos � � cos � � sen �
sen � � cos � � cos � � sen �sen � � cos � � cos � � sen �
sen(� � �)sen(� � �)
sen(� � �)sen(� � �)
tan � � tan �tan � � tan �
�2� � �6�
4�6� � �2�
4
8 � 2 � 2�3�
4
8 � 2�12�
4(�6� � �2�)(�6� � �2�)(�6� � �2�)(�6� � �2�)
�6� � �2�
�2� � �6�
�6� �
4�2�
�2� �
4�6�
sen 15ºcos 15º
�2� � �6�
4�6�4
�2�4
�2�2
�3�2
�2�2
12
�6� � �2�
4�2�4
�6�4
�2�2
12
�2�2
�3�2
Identidades.
Se aplican las identidades parasen(� � �) y sen(� � �).
Se dividen el numerador y eldenominador entre cos � � cos �.
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ACTIVIDADES 9
EJERCITACIÓN. Hallar el valor de cada una de las siguientesexpresiones.
1. sen 165º 2. sen 195º
3. cos 225º 4. tan(�195º)
5. tan 75º 6. sen 285º
7. sec 120º 8. sec(�120º)
PROBLEMAS. Escribir cada expresión como función del senoo coseno de un solo ángulo.
9. cos 68º cos 37º � sen 68º sen 37º
10. sen 45º cos 30º � sen 30º cos 45º
11. 3 sen 125º cos 125º
12. 1 � 2 sen2 150º
13. cos 180º cos 30º � sen 180º sen 30º
14. sen 45º cos 30º � sen 30º cos 45º
RAZONAMIENTO. Encontrar los valores del sen(� � �),cos(� � �), sen(� � �) y cos(� � �) para cada condición.
15. cos � � � , cot � � , � es un ángulo ubicado
en el segundo cuadrante y � es un ángulo ubicado en el ter-cer cuadrante.
16. sen � � y tan � � , � es un ángulo ubicado en
el primer cuadrante y � es un ángulo ubicado en el primercuadrante.
17. sec � � , tan � � , � es un ángulo ubicado
en el cuarto cuadrante y � es un ángulo ubicado en el ter-cer cuadrante.
18. sen � � , tan � � � , � es un ángulo ubicado
en el primer cuadrante y � es un ángulo ubicado en el cuar-to cuadrante.
19. cos � � , sec � � 2, � es un ángulo ubicado en el
cuarto cuadrante y � es un ángulo ubicado en el cuarto cua-drante.
20. csc � � 2, sec � � 2, � es un ángulo ubicado en el pri-mer cuadrante y � es un ángulo ubicado en el primer cua-drante.
MODELACIÓN. Verificar las siguientes identidades.
21. sen(180º � u) � sen u
22. cos(360º � x) � cos x
12
25
�21�2
32
2�5�
35
34
1213
247
23. tan(270º � x) � cot x
24. tan� � x� � �cot x
25. tan� � u� � cot u
26. cot� � u� � tan u
27. csc� � u� � sec u
29. sen(x � �) � �sen x
30. cos(x � �) � �cos x
31. sen� � x� � sen� � x�32. � tan y
33. 1 � tan x tan y �
34. cos(x � y) cos(x � y) � cos2 x � sen2 y
35. sen(270º � x) � �cos x
36. �cos x � cos(� � x)
37. cos(30º � x) � cos(30º � x) � �3� cos x
38. cos(x � y) � cos(x � y) � 2 cos x cos y
39. tan(� � x) � �tan x
40. � cot x � cot y
PROBLEMAS. A partir de la siguiente figura demostrar que �� � � r, luego determinar el valor de r.
41.
* PARA PENSAR. Escribir una expresión equivalente.
42. sec(� � �) 43. csc(� � �)
�2
�2
�2
�2
sen(x � y)sen x sen y
cos(x � y)cos x cos y
sen(x � y) � sen(x � y)cos(x � y) � cos(x � y)
�2
3�2
6
a b
4 4 3
r
28. sen�x � � � �cos x�2
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3.3. Identidades para ángulos dobles y ángulos mediosA partir de las identidades para la suma de ángulos se pueden deducir identi-dades para expresiones con funciones trigonométricas de ángulos dobles como
sen 2� y para las funciones trigonométricas de ángulos medios como tan .
3.3.1. Identidades para ángulos dobles
�2
sen(� � �) � sen � � cos � � cos � � sen �
cos(� � �) � cos � � cos � � sen � � sen �
tan(� � �)
�tan � � tan �
1 � tan � � tan �
RECORDAR QUE
sen cos tan
20º 0,3420 0,9397 0,3640
• Demostración de sen 2� � 2 sen � cos �sen 2� � sen(� � �) sen 2� � sen � cos � � sen � cos � � 2 sen � cos �Así, sen 2� � 2 sen � cos �
• Demostración de cos 2� � cos2 � � sen2 �
cos 2� � cos(� � �)cos 2� � cos � cos � � sen � sen � � cos2 � � sen2 �
Así, cos 2� � cos2 � � sen2 �
• Demostración de tan 2� �
tan 2� � tan(� � �) � �
Así, tan 2� �2 tan �
1 � tan2 �
2 tan �1 � tan2 �
tan � � tan �1 � tan � � tan �
2 tan �1 � tan2 �
Las identidades para los ángulos dobles son
sen 2� � 2 sen � cos � cos 2� � cos2 � � sen2 � tan 2� �2 tan �
1 � tan2 �
1. Determinar las funciones seno, coseno y tangente del ángulo de 40º a par-tir de las funciones trigonométricas del ángulo de 20º.
SOLUCIÓN
Como 40º � 2 � 20º, se tiene
sen 40º � sen(2 � 20º) � 2 sen 20º cos 20º � 2 � 0,3420 � 0,9397 � 0,6427
cos 40º � cos(2 � 20º) � cos2 20º � sen2 20º �(0,9397)2 �(0,3420)2 � 0,7660
tan 40º � tan(2 � 20º) � � � 0,8391
cot 40º � � � 1,1917
sec 40º � � � 1,305
csc 40º � � � 1,5551
0,6427
1
sen 40º
1
0,76601
cos 40º
1
0,83911
tan 40º
2 � 0,36401 � (0,3640)2
2 tan 20º1 � tan2 20º
Ejercicio resuelto
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
¿Por qué cos 2 � � 1 � 2 sen2 �?
¿Por qué cos 2 � � �1 � 2 cos2 �?
PARA RESPONDER 2. Demostrar las siguientes identidades.
a. sen2 � � b. � sec 2� c. csc 2� � sec � csc �
SOLUCIÓN
a. Se parte del miembro izquierdo de la igualdad
� �
� � � sen2 �
b. Se parte del miembro izquierdo de la igualdad .
� �
� � � sec 2�
c. Se parte del miembro derecho de la igualdad sec � csc �.
� � �
�
� csc 2�
1sen 2�
1sen �
1cos �
12
12
1cos 2�
1cos2 � � sen2 �
cos2
c�o�s2s�en2 �
cos2 �
co�s2s�en2 �
1 � sceons22
��
1 �
sceons22
��
1 � tan2 �1 � tan2 �
2 sen2 �
2sen2 � � sen2 �
2
1 � cos2 � � sen2 �
21 �(cos2 � � sen2 �)
2
1 � cos 2�
2
12
1 � tan2 �1 � tan2 �
1 � cos 2�
2
ALGO IMPORTANTEA partir de las identidadescos 2 � � cos2 � � sen2 � ysen2 � � cos2 � � 1, se obtienenlas identidades
sen2 � �
cos2 � �1 � cos 2�
2
1 � cos 2�
2
3.3.2. Identidades para ángulos medios
Las identidades trigonométricas para el ángulo � � son:
sen � ��� cos � ��� y tan � ���
• Demostración de sen � ���
Como sen2 � � se tiene sen2 � �1 � cos �
2
1 � cos 2�2
2
�2
1 � cos 2�
2
1 � cos �
2�2
1 � cos �1 � cos �
�2
1 � cos �
2�2
1 � cos �
2�2
�2
sen � � ��1 � cos �
2�
2
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tan � � ��1 � cos ���1 � cos �
��2
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• Demostración de cos � � ��
Como cos2 � se tiene cos2 �
Por tanto, cos2 �
• Demostración de tan � � ��
tan � � � �1 �
2cos ��
��
� �1 �
2cos ��
sen ��2�
�cos �
�2�
��2
1 � cos ���1 � cos �
��2
1 � cos ���
2��2
1 � cos 2��2�
��2
��2
1 � cos 2��
2
1 � cos ���
2��2
cos � � ��1 � cos ���
2�
�2
1. Determinar el valor del seno y el coseno del ángulo de 15º a partir de lasfunciones de 30º.
SOLUCIÓN
El lado final del ángulo de 15º está en el I cuadrante, por tanto, los valores del seno yel coseno son positivos.
Como 15º � , se tiene que,
sen 15º � �� � �
cos 15º � �� � �
Luego, sen 15º � y cos 15º � �2��� ��3����
2
�2��� ��3����
2
�2��� ��3����
2
1 � ��23�
�
��2
1 � cos 30º��
2
�2��� ��3����
2
1 � ��23�
�
��2
1 � cos 30º��
2
30º�2
Ejercicio resuelto
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
Expresar cot en función de
cos �.
��2
PARA RESPONDER
2. Demostrar las siguientes identidades.
a. cot � , para 0 � � b. tan2 �
SOLUCIÓN
a. Se parte del miembro izquierdo de la igualdad. Así,
cot � Se aplica cot � � .
�Se aplica tan � ��.
� �� Producto de medios y extremos.
� ���
� ��� Se multiplica.
� Se extrae la raíz cuadrada.
Luego, queda demostrado que cot �
b. Se parte del miembro derecho de la igualdad.
� Se expresan las funciones en términos de seno y coseno.
� Se resuelven las sumas de fracciones.
� Se simplifica.
� tan2 Se aplica tan � ��.
Luego, queda demostrado que tan2 �sec � � 1��sec � � 1
��2
1 � cos ���1 � cos �
��2
��2
1 � cos ���1 � cos �
�1 �cocso�s �
����1 �cocso�s �
�
�co1s �� � 1
���co1s �� � 1
sec � � 1��sec � � 1
1 � cos ��sen
�2
1 � cos ��sen
(1 � cos )2��1 � cos2
(1 � cos )(1 � cos )���(1 � cos )(1 � cos )
1 � cos ��1 � cos
1 � cos ��1 � cos
�2
1��
1�tan �
1�tan �
2�
�2
sec � � 1��sec � � 1
��2
��2
1 � cos ��sen
�2
Se multiplica el numerador y eldenominador por �1��� c�os� �.
��1 � cos ��1 � cos
� ���(1 � cos )2��
sen2 Se aplica sen2 � cos2 � 1.
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ACTIVIDADES 10
EJERCITACIÓN. Usar las identidades del ángulo medio parahallar cada valor.
1. sen 105º 2. tan 195º 3. cos 135º
4. sen 165º 5. cos 6. sen
RAZONAMIENTO. Encontrar el valor exacto de cada función.
• Si sen A � . A está en el primer cuadrante.
7. cos 2A 8. tan 2A 9. sen 2A
10. sen 11. cos 12. tan
• Si tan y � . y está en el tercer cuadrante.
13. sen 2y 14. tan 2y 15. sen
16. cos 2y 17. tan 18. cos
• Si cos w � . w está en el cuarto cuadrante.
19. sen 2w 20. tan 2w 21. sen
22. cos 2w 23. tan 24. cos
RAZONAMIENTO. Determinar si las siguientes igualdades sonverdaderas o falsas. Justificar la respuesta.
25. sen � � sen � sen
26. tan 2 � 2 tan 27. 2 sen 2� � sen 4�
28. cos � � cos � cos
MODELACIÓN. Demostrar las siguientes identidades.
29. 1 � cos 2A �
30. csc A sec A � 2 csc 2A
31. cot x �
32. sen 2(cot � tan ) � 2
33. cot ���2
sen ���1 � cos �
sen 2x��1 � cos 2x
2��1 � tan2 A
��3
4��3
��6
��6
w�2
w�2
w�2
�3��2
y�2
y�2
y�2
5�12
A�2
A�2
A�2
3�5
7��8
13��12
34. �
35. cos2 2x � 4 sen2 x cos2 x � 1
36. � cos 2x
37. � cot
38. 1 � sen A ��sen � cos �2
39. tan �
* PARA PENSAR. Deducir una expresión para las siguientesfunciones.
40. sen 3� en términos de sen �
41. cos 3� en términos de cos �
PROBLEMA. Cuando un avión excede la velocidad del sonido,que es aproximadamente 739 millas/hora, una onda enforma de cono se forma desde la nariz del avión, en donde es la medida del ángulo en el vértice del cono y M es lla-mado el factor de velocidad, que es mayor que 1.
La ecuación � sen
Se tiene cuando los aviones superan la velocidad del sonido.
42. Escribir una ecuación en términos de .
43. Si el avión produce una onda en forma de cono con unángulo de 45º, ¿cuál es el factor de velocidad M?
PROBLEMA. Si se golpea una pelota de golf con una velocidadde 30 m/s.
44. Demostrar que la distancia horizontal recorrida por lapelota en el aire será la misma para � 45º � � que para
� 45º � �
Utilizar la fórmula d � , donde v0 es la veloci-
dad inicial, g es la aceleración de la gravedad.
v0 sen 2 ��
g
�2
1�M
sen v��1 � cos v
v�2
A�2
A�2
u�2
1 � cos u��sen u
1 � tan2 x��1 � tan2 x
cot A � 1��cot A � 1
cos 2A��1 � sen 2A
b
2
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• Demostración de sen � � cos � [sen(� � ) � sen(� � )]
Dado que sen(� � ) � sen � � cos � cos � � sen y sen(� � ) � sen � � cos � cos � � sen se tiene que:
sen(� � ) � sen(� � ) � 2 sen � � cos
• Demostración de cos � � sen � [sen(� � ) � sen(� � )]
Dado que sen(� � ) � sen � � cos � cos � � sen ysen(� � ) � sen � � cos � cos � � sen se tiene que:sen(� � ) � sen(� � ) � 2 cos � � sen
• Demostración de cos � � cos � [cos(� � ) � cos(� � )]
Dado que cos(� � ) � cos � � cos � sen � � sen ycos(� � ) � cos � � cos � sen � � sen se tiene que:cos(� � ) � cos(� � ) � 2 cos � � cos
• Demostración de sen � � sen � [cos(� � ) � cos(� � )]
Dado que cos(� � ) � cos � � cos � sen � � sen ycos(� � ) � cos � � cos � sen � � sen se tiene que:cos(� � ) � cos(� � ) � 2 sen � � cos
1�2
1�2
1�2
1�2
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213
3.3.3. Transformación de productos en sumas y restas
En ocasiones es útil expresar los productos de funciones sen � cos , cos � sen ,cos � cos y sen � sen en términos de las funciones trigonométricas de losángulos � � y � � .
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
Determinar una expresión paratan � tan .
PARA RESPONDER
Las identidades que permiten estas transformaciones son:
sen � � cos � [sen(� � ) � sen(� � )] cos � � sen � [sen(� � ) � sen(� � )]
cos � � cos � [cos(� � ) � cos(� � )] sen � � sen � [cos(� � ) � cos(� � )]
1�2
1�2
1�2
1�2
sen � � cos � [sen(� � ) � sen(� � )]1
�2
sen � � sen � [cos(� � ) � cos(� � )]1
�2
cos � � sen � [sen(� � ) � sen(� � )]1
�2
cos � � cos � [cos(� � ) � cos(� � )]1
�2
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3.3.4. Transformación de diferencias o sumas en productos
Las sumas y diferencias de funciones como sen � sen , sen � sen ,cos � cos y cos � cos se pueden expresar como producto de funciones.
Determinar una expresión parasen 2� � sen �.
PARA RESPONDER
Las identidades que permiten estas transformaciones son
sen � sen � 2 sen� � cos� �sen � sen � 2 cos� � sen� �cos � cos � 2 cos� � cos� �cos � cos � �2 sen� � sen� �
� �
2 � �
2
� �
2 � �
2
� �
2 � �
2
� �
2 � �
2
Demostrar que sen � sen � �cos � cos �.
SOLUCIÓN
sen � sen � �cos� � � � cos� � �� Se aplica la identidad.
� �cos � cos � Se resuelven operaciones.
Luego, sen � sen � �cos � cos �5��6
��6
1�2
��3
��2
5��6
��6
1�2
��3
��2
��3
��2
1�2
��3
��2
5��6
��6
1�2
��3
��2
Ejercicio resuelto
Demostrar la identidad � �cot .
SOLUCIÓN
� Se aplica la identidad.
� � Se simplifica.
� �cot Definición de cotangente.
Luego, queda demostrado que � cot sen 4 � sen 6��cos 4 � cos 6
cos �sen
2 sen��6 �24
�� cos��6 �24
�������
�2 sen��6 �24
�� sen��6 �24
��sen 6 � sen 4��cos 6 � cos 4
sen 6 � sen 4���cos 6 � cos 4
Ejercicio resuelto
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ACTIVIDADES 11
EJERCITACIÓN. Expresar los siguientes productos como sumaso diferencias entre senos y cosenos.
1. sen 4x sen 6x 2. sen 4x cos 3x
3. 3 cos x sen 2x 4. sen sen 3u
5. 2 sen 9� cos 3� 6. 2 cos 5u sen 5u
7. 3 cos 4x cos 7x 8. 5 cos u sen 5u
9. 11 sen cos 10.
EJERCITACIÓN. Escribir como un producto las siguientes expre-siones.
11. sen 8x � sen 2x 12. sen 3x � sen 6x
13. cos 6t � cos 5t 14. cos u � cos 4u
15. cos 8t � sen t 16. sen 6x � sen 12x
EJERCITACIÓN. Expresar cada producto como una suma o dife-rencia de ángulos. Luego, hallar el valor exacto de cadaexpresión.
17. cos 75º sen 15º 18. sen 45º sen 15º
19. cos 135º sen 15º 20. cos 45º cos 15º
21. sen 135º sen 15º 22. sen 60º sen 30º
23. cos(�60º) cos(�30º) 24. cos 15º sen 15º
* PARA PENSAR.
25. Hallar la fórmula para sen 5 en términos de sen .
26. Expresar sen A � cos B como una suma.
EJERCITACIÓN. Calcular el valor de la suma o la diferencia sinusar calculadora.
27. sen 75º � sen 15º 28. cos 225º � cos 195º
29. cos � cos 30. cos 150º � cos 30º
MODELACIÓN. Demostrar las siguientes identidades.
31. � tan 2t
32. � tan
33. sen 2x � sen 4x � sen 6x � 4 cos x cos 2x sen 3x
34. � cot 4t
35. cos2 5x � sen2 5x � cos 10x
cos t � cos 4t � cos 7t���sen t � sen 4t � sen 7t
u � v�2
sen u � sen v��cos u � cos v
sen t � sen 3t��cos t � cos 3t
5��12
��12
x�2
x�4
2 tan 3x���1 � tan 3x tan 6x
u�2
36. sen 8x � 2 sen 4x cos 4x
37. � 1 � sec x csc x
38. 4(sen6 x � cos6 x) � 4 � 3 sen2 2x
39. � tan 3x
40. tan2� � � �
41. �
MODELACIÓN.Determinar una expresión más simple, g(x), talque la ecuación f(x) � g(x) se una identidad.
42. f(x) �
43. f(x) �
44. f(x) �
45. f(x) � sec x(sen x cos x � cos2 x) � sen x
46. f(x) �
PROBLEMAS. Las funciones f(t) � cos 11t y g(t) � cos 13t repre-sentan las funciones de sonidos muy cercanos de dos notasmusicales. Por ejemplo al pulsarse en una guitarra una notaseguida de otra, el sonido resultante es h(t) � f(t) � g(t).
47. Graficar la función h(t).
48. Comprobar que h(t) � 2 cos t cos 12t.
cos � cos 3 ��
2 cos 2
sen2 x � sen4 x���(1 � sec2 x) cos4 x
sen x � sen3 x���cos4 x � cos2 x sen2 x
sen 4 � sen 6 ��cos 4 � cos 6
cos 5x�cos 4x
sen 10x��sen 9x � sen x
1 � sen x��1 � sen x
��4
x�2
sen x � sen 5x��cos x � cos 5x
1�2
1 � sen 2x��sen 2x
* PARA PENSAR. Dado que � � � y � � � demostrar que
49. sen � sen � 2 sen� � cos� �50. sen � sen � 2 cos� � sen� �51. cos � cos � 2 cos� � cos� �52. cos � cos � �2 sen� � sen� � �
�2 � �2
� �2
� �2
� �2
� �2
� �2
� �2
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ACTIVIDADES 12
RAZONAMIENTO. Unir las expresiones de cada columna de talmodo que al igualarlas se forme una identidad.
1. cos 2 a.
2. tan b. 2 cos2
3. cos 2 � 1 c.
4. 2 sen cos d. cos2 � sen2
5. tan 2 e. sen 2
PROBLEMAS. Un prisma de vidrio tiene un ángulo en la cimade medida � y un ángulo de desviación de medida . El índi-ce de refracción, n, del prisma, es igual a
6. Mostrar que
����es una expresión equivalente para n, con n � 1.
PROBLEMAS. El esfuerzo F necesario para mantener una cajaen la rampa está dado por la expresión.
F �
donde w es el peso de la caja, � esel coeficiente de fricción. Si es elángulo de inclinación y � � tan .
7. Demostrar que F � w tan(� � )
PROBLEMAS. La distancia teórica d que un lanzador de balapuede alcanzar está determinada por la expresión
d �
donde v0 es la velocidad inicialde la bala que se lanza y es lamedida del ángulo que formala trayectoria de la bala con lahorizontal.
8. Escribir una fórmula en términos de sen usando unaidentidad apropiada.
2v02 sen cos
��g
w(sen � � � cos �)���cos � � � sen �
1 � cos � cos � sen � sen ����
1 � cos �
sen �� �2
�
��sen �
�2�
1 � cos ��sen
�2
2 tan ��1 � tan2
9. Escribir otra ecuación para d usando las identidades tri-gonométricas apropiadas.
MODELACIÓN. Demostrar las siguientes identidades.
10. tan x � cot x � sec x csc x
11. � � 2 sec2 x
12. tan (x � y) �
13. sen 2x(cot x � tan x) � 2
14. csc x sec x � 2 csc 2x
15. (1 � cos x)(csc x � cot x) � sen x
16. tan m � tan n �
17. � cot x
18. � � sec x
19. tan�x � � �
20. tan� � � �
21. �
22. cot �
23. cos 2x �
24. cot x �
25. sen2 x � (1 � cos 2x)
26. � sec 2x
27. cot x � tan x �4 cos2 x � 2��
sen 2x
1 � tan2 x��1 � tan2 x
1�2
sen 2x��1 � cos 2x
1 � tan2 x��1 � tan2 x
sen x��1 � cos x
x�2
sen x��1 � cos x
sen �2x�
�cos �2
x�
tan � �3���1 � �3� tan
��3
1 � tan x��1 � tan x
��4
cos 2x�cos x
sen 2x�sen x
sen 2x��2 sen2 x
sen(m � n)��cos m cos n
cot x � cot y��cot x cot y � 1
1��1 � sen x
1��1 � sen x
En las siguientes actividades se aplican todas las fórmulas vistas para identidades.
a
b
u
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MECÁNICA
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IDENTIDADES QUESIMPLIFICAN LAS CIENCIASINGENIERÍA
En ingeniería se tiene que la distanciahorizontal R por la que viaja un objeto,llamada alcance, está dada por
R � v0 sen � cos 1�16
a
F
W
r
Los gatos mecánicos de tornillo se utilizan para levantar casas o maquinaria pesada,deben diseñarse de manera que el tornillo no gire cuando soporta la carga.
El esfuerzo F necesario para mantener el equilibrio cuando el gato tiene un ángu-lo de inclinación en cada paso de su tornillo y se le aplica una carga w está dadopor la expresión
AF � wr tan(� � )2. Si � � 45º expresar F como una función de donde es el ángulo de fricción.3. ¿Cuál debe ser el valor de para que el gato se mantenga en equilibrio, sin
tener que aplicar esfuerzo alguno?
QUÍMICA
En la teoría de la difracción de rayos x se utiliza la expresión
L � 2A sen�� � � sen
4. Demostrar que la ecuación es equivalente aL � A[cos � � cos(� � )]
�2
�2
En ciencias como física, química,medicina o ingeniería muchas veces es necesario simplificar expresiones
trigonométricas complicadas y expresarlas con otras equivalentes
mucho más sencillas.
1. Simplificar la expresiónanterior.
2
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FÍSICALas montañas rusas constituyen una de las atraccionesmás importantes de los parques modernos.En muchas de ellas los trenes siguen trayectorias que, almenos en algunos de sus tramos, guardan estrecha rela-ción con las funciones seno y coseno.La altura alcanzada por un tren de la montañarusa se puede determinar mediante la expresión
h � vi sen t � 0,5gt2
donde h es la altura de tren, vi la velocidad inicial,g la aceleración producida por la gravedad y t eltiempo.
Algunas de las montañas más altas tienen longitudes de 1 600 metrosaproximadamente.
5. Simplificar la expresión h � y verificar que corres-
ponde a la expresión usada para calcular la altura.
6. Verificar que la expresión h � vit�1 ��cos � sen �2
� � gt2 es otra expresión equiva-lente para h.
1�2
x�2
x�2
vi cos t sec2 � cos t � 0,5gt2 tan
�����tan
En medicina un osciloscopio exhibe a menudo unacurva representada por la expresión
y � sen 2�x � sen 4�x
7. Demostrar que la expresióny � sen 2� cos2 �x
es equivalente a la expresión original.
Para prevenir daños a los órganos vitales de un pacien-te, el radiólogo debe dirigir los rayos según la expre-sión
y � 1 � cos 2x
8. Demostrar que esta expresión es equivalente a
y �2
��1 � tan2 x
1�4
1�2
MEDICINA
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ECUACIONESTRIGONOMÉTRICAS
4 En ocasiones se presentan ecuaciones que involucran funciones trigonométri-cas. Por ejemplo, sen2 x � 1 � 0 es una ecuación trigonométrica. En general,las ecuaciones que involucran funciones trigonométricas se resuelven median-te los métodos utilizados para resolver ecuaciones algebraicas.
4.1. Ideas preliminaresComo se ha estudiado, una identidad es una igualdad que incluye variables y secumple para cualquier valor de dichas variables, en tanto que, una ecuación esuna igualdad que incluye variables y sólo es cierta para algunos valores de lasvariables. Las soluciones de una ecuación son los valores de la incógnita paralos cuales se cumple la igualdad. Así, resolver una ecuación es encontrar sussoluciones.Para resolver ecuaciones se utilizan las siguientes reglas.• Si a dos miembros de una ecuación se les suma o resta una expresión (alge-braica o numérica), se obtiene una ecuación equivalente.
• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por el mismonúmero, diferente de cero, se obtiene una ecuación equivalente.
4.1.1. Solución de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es de la forma ax � b � c, con a � 0.
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ALGO IMPORTANTEPara comprobar si un número essolución de una ecuación bastasustituir la variable x por dichonúmero en ambos miembros yresolver las operaciones. Si encada miembro se obtiene el mismovalor, el número reemplazado essolución de la ecuación.
Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 3x � 8 � �10 b. � 7x � � 5x
SOLUCIÓN
a. 3x � 8 � �10
3x � �18 Se resta 8 en ambos miembros.
x � � Se dividen entre 3 ambos miembros de la ecuación.
x � �6
Se verifica si la respuesta satisface la ecuación. Así, 3(�6) � 8 � �10. Luego, x � �6 es la solución de la ecuación.
b. � 7x � � 5x
7x � 5x � � Se deja la variable en un solo miembro de la ecuación.
2x � Se resuelven las operaciones.
x � Se dividen entre 2 ambos miembros de la ecuación.1
�12
1�6
1�2
2�3
1�2
2�3
18�3
2�3
1�2
Ejercicio resuelto
Se verifica la solución. Así, � 7� � � � 5� � � .
Luego, La solución de la ecuación es x � .1�12
13�12
1�12
2�3
1�12
1�2
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4.1.2. Solución de ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática es de la forma ax2 � bx � c � 0, con a � 0.Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante factorización, com-pletando cuadrados o por medio de la fórmula cuadrática.
x ��b � �b2� �� 4�a�c����
2a
Las soluciones de la ecuaciónax2 � bx � c � 0 son los ceros dela función f(x) � ax2 � bx � c, esdecir, los valores de x en los cua-les f(x) corta al eje x.
RECORDAR QUE
ALGO IMPORTANTEEn una ecuación cuadrática cuan-do el trinomio no es factorizable,en los números enteros, se utilizala fórmula cuadrática para solu-cionarla.
Resolver las siguientes ecuaciones.a. x2 � 9 � 0 b. x2 � 5x � 6 � 0 c. x2 � 6x � 7 � 0 d. 2x2 � x � 1 � 0
SOLUCIÓN
a. Solución por factorización.x2 � 9 � 0
(x � 3)(x � 3) � 0 Diferencia de cuadrados.
x � 3 � 0 ó x � 3 � 0
x � �3 ó x � 3
Las soluciones de la ecuación son �3 ó 3.
b. Solución por factorización.x2 � 5x � 6 � 0
(x � 2)(x � 3) � 0 Se factoriza el trinomio.
x � 2 � 0 ó x � 3 � 0
x � �2 ó x � �3
Las soluciones de la ecuación son �2 ó �3.
c. Solución completando cuadrados.x2 � 6x � 7 � 0
(x2 � 6x � 9) � 7 � 9 Se suma 9 en ambos miembros para completar cuadrados.
(x � 3)2 � 7 � 9 Trinomio cuadrado perfecto.
(x � 3)2 � 16 Se suma 7 en ambos miembros de la ecuación.
x � 3 � � 4 Se extrae raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.
x � 3 � 4 ó x � 3 � �4
x � 1 ó x � �7
Las soluciones de la ecuación son 1 ó �7.
d. Solución mediante la fórmula cuadrática.2x2 � x � 1 � 0, luego, a � 2, b � 1, c � �1. Así,
x � � � Se remplaza.
x � � ó x � � �1
Las soluciones de la ecuación son ó �1.
Se deja como ejercicio al lector verificar cada una de las soluciones anteriores.
1�2
�1 � 3�
4
1�2
�1 � 3�
4
�1 � 3 ��
4�1 � �12� �� 4� �� 2� �� (���1)����
2 � 2�b � �b2� �� 4�a�c����
2a
Ejercicio resuelto
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4.2. Ecuaciones trigonométricas
4.2.1. Definición
Una ecuación trigonométrica es una ecuación en la cual intervienen funcionestrigonométricas de un ángulo y se satisface sólo para algunos valores de .Las soluciones de una ecuación trigonométrica son los valores del ángulo paralos cuales se cumple la igualdad.
Por ejemplo, una solución de la ecuación sen � 1 � 0 es x � , porque
sen � 1 � 0, puesto que sen � 1.
4.2.2. Solución de ecuaciones de la forma f(x) � k
Algunas ecuaciones trigonométricas son de la forma f(x) � k, donde f(x) es unafunción trigonométrica y k es una constante. Por ejemplo, tan x � 1 es de laforma f(x) � k, donde f(x) � tan x y k � 1. Este tipo de ecuaciones pueden tenerinfinito número de soluciones.
��2
��2
��2
UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
¿Cuáles son las soluciones de la
ecuación sec � ?1
�2
PARA RESPONDER
y
x
2
1
22
7p4
2 3p4
27p4
p4
5p4
Figura 8
Resolver las siguientes ecuaciones.a. tan x � 1 b. 2 cos x � 3 c. 2 sen x � �3� � 0, con 0 � x � 2�
SOLUCIÓN
a. Puesto que la función tan x es periódica, existen infinitos ángulos para los cualesel valor de la tangente es igual a 1, como se muestra en la figura 8.
La gráfica intersecta a la recta y � 1 en los valores de x iguales a …, � ,� ,
, , , …, es decir, en los valores de x de la forma � n�, donde n es
entero. Por tanto, las soluciones de la ecuación tan x � 1 son x � � n� conn � �.
b. La ecuación 2 cos x � 3 es equivalente a la ecuación cos x � . En la gráfica se
observa que la función y � cos x no se intersecta con la recta y � , luego, laecuación 2 cos x � 3 no tiene solución.
5��4
��4
3�2
3�2
��4
9��4
��4
3��4
7��4
Ejercicio resuelto
x
y
p 2
3p 2
p 2p
2
y= cos x
0 p2
2p3p2
y= 3/2
2 2
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4.2.3. Ecuaciones trigonométricas con forma cuadrática
Algunas ecuaciones trigonométricas tienen forma cuadrática, por tal razónpara su solución se utilizan los métodos descritos para la solución de la ecuacióncuadrática.
x
4p/3
5p/3
y
Figura 9
x
638269699
y
2438269699
1358
3158
Figura 10
c. La ecuación 2 sen x � 3� � 0 es de la forma f(x) � k y es equivalente a la ecua-
ción sen x � � .
En la siguiente gráfica se representa la función y� sen x para los valores de x talesque 0 � x � 2�.
La gráfica intersecta la recta y � � en los valores de x iguales a y
. Por tanto, las soluciones de la ecuación 2 sen x � 3� � 0 son x � ó
x � (figura 9).5� 3
4� 3
5� 3
4� 3
3� 2
3� 2
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de � tales que 0 � � � 2�.a. tan2 � � tan � � 2 � 0 b. cos2 � � 1 � 0
c. 2 cot2 � � cot � � 0 d. 2 sen4 � � sen2 � � 1 � 0
SOLUCIÓN
a. Se utiliza la fórmula cuadrática. Así,
a � 1, b � �1 y c � �2
tan � � � �
Por tanto, tan � � � 2 ó tan � � � �1
• Si tan � � 2, entonces el ángulo � tiene su lado final en el I o III cuadrante, pues latangente es positiva allí, por tanto, � � 63º 26’ 6” ó � � 243º 26’ 6”.
• Si tan � � �1, entonces el ángulo � tiene su lado final en el II o IV cuadrante, portanto, � � 135º ó � � 315º.
Luego las soluciones de la ecuación tan2 � � tan � � 2 � 0 son � � 63º 26’ 6”, � � 135º, � � 243º, 26’ 6” ó � � 315º (figura 10).
1 � 3
21 � 3
2
1 � 3
21 �(��1)�2��� 4� �� 1� �� (���2)�
2�b � b2� �� 4�a�c�
2a
Ejercicio resuelto
3p 2
p
1
21
p 2
y= senx
2p
4p 3
5p 3
22
3 2
y=-
Se remplaza.
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
x
y
2p
0
p
Figura 11
x
y
11683395499
29683395499
2708
908
Figura 12
x
y
1358
31582258
458
Figura 13
b. cos2 � � 1 � 0
(cos � � 1)(cos � � 1) � 0 Diferencia de cuadrados.
cos � � 1 � 0 ó cos � � 1 � 0
cos � � 1 ó cos � � �1
• Si cos � � 1, entonces � � 0, � � 2�
• Si cos � � �1, entonces � � �
Las soluciones de la ecuación cos2 � � 1 � 0 son � � 0, � � 2� y � � � (figura 11).
c. 2 cot2 � � cot � � 0
cot �(2 cot � � 1) � 0 Factor común.
cot � � 0 ó 2 cot � � 1 � 0
• Si cot � � 0, se tiene que, � � 90º ó � � 270º
• Si 2 cot � � 1 � 0, se tiene que, cot � � � . Por tanto, tan � � �2.
Luego, el ángulo � tiene su lado final en el II o IV cuadrante, por tanto, � � 116º 33’ 54” ó � � 296º 33’ 54”.
Las soluciones de la ecuación 2 cot2 � � cot � � 0 son � � 90º, � � 270º, � � 116º 33’54” ó � � 296º 33’ 54” (figura 12).
d. La ecuación 2 sen4 � � sen2 � � 1 � 0 es de forma cuadrática, pues es equivalen-te a
2(sen2 �)2 � (sen2 �) � 1 � 0, con a � 2, b � 1 y c � �1
Se aplica la fórmula cuadrática. Así,
sen2 � �
sen2 � � �
sen2 � � � ó sen2 � � � �1
• Si sen2 � � , se tiene que
sen � � ó sen � � �
— Si sen � � , entonces, � � 45º ó � � 135º
— Si sen � � � , entonces, � � 225º ó � � 315º
• Si sen2 � � �1, no hay solución, pues ningún número elevado al cuadrado da comoresultado �1.
Las soluciones de la ecuación 2 sen4 � � sen2 � � 1 � 0 son � � 45º, � � 135º, � � 225º ó � � 315º (figura 13).
2� 2
2� 2
2� 2
2� 2
1 2
�1 � 3
41
2
�1 � 3
4
�1 � 3
4�1 �12� �� 4� �� 2� �� (���1)�
2 � 2
�b � b2� �� 4�a�c�
2a
1 2
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1
21
p 2p
32
1
21
p 2p
32/ 1
21
p 2p
32
p/6
11p/6
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ACTIVIDADES 13
RAZONAMIENTO. Determinar si la solución dada verifica laigualdad. Justificar la respuesta.
16. 5 sen � � 3; � � n n � �
17. 2 cos � � 2�; � � � 2n� n � �
18. tan � � �1; � � � 2n� n � �
19. 2 csc � � 2; � � � n
20. sec � � 2; � � � 2n�
21. tan � � 1; � � � n
EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones para valoresde x en el intervalo [0, 2�].
22. 2 sen x � �1 23. sen2 x � sen x � 0
24. 2 sen2 x � 1 � 0 25. cot2 x � 3 � 0
26. 2 cos2 x � 1 � 0 27. tan2 x � 1
28. 2 � 8 cos2 t 29. sec2 x � 4 � 0
30. sen2 t � 4 sen t � �1 31. 4 cos2 x � 1 � 4 cos x
32. cos2 x � cos x � 2 33. sen2 x � 0,5 sen x � 0,5 � 0
RAZONAMIENTO. Determinar cuáles de las siguientes afirma-ciones son verdaderas. Justificar la respuesta.
7 2
� 4
� 2
5� 3
� 2
� 2
7� 4
� 4
� 2
34. La ecuación cot2 � � 3 cot � � 2 � 0 no tiene soluciónen el intervalo 0 � � � 2�.
35. La ecuación tan2 x � 3 tan x tiene dos soluciones en elintervalo 0 � x � �.
36. La ecuación 4 sen2 x� 3 � 0 tiene soluciones en el pri-mer cuadrante y en el segundo cuadrante.
37. La ecuación sen2 x � 4 � 0 no tiene soluciones reales.
38. La ecuación sec5 x � 4 sec x tiene a como una de
sus soluciones.
RAZONAMIENTO. Marcar con � la solución que satisface laecuación.
39. (tan x � 3�)(cos x � 2) � 0
� � � k� � � � � �
40. cos � 1 � 0
� � 4k� � 2k�
41. sen2 x � 2 sen x � 3
� � 2k� � � k� � � � 2k�
42. 2 cos x � 1
� � 2k� � � 2k� � �k� 2
4� 3
5� 3
� 3
� 2
3� 2
k� 2
x 2
k� 3
� 3
k� 2
� 3
� 3
� 4
EJERCITACIÓN. Resolver cada ecuación en el intervalo [0, 2�].
1. tan � � 2� 2. 2 sen � � �2� 3. 3� csc � � �2
4. tan x � 2 � 1 5. 2 cos � � 1 � 0 6. 4 csc � � �12
7. 3 tan x � 2 � tan x 8. 2 cot x � 3 � 8 9. 2 sen2 x � 4 � 0
10. |cos x| � 0,5 11. (sen x � 0,5)(cos x � 1) � 0 12. cos2 x � 1
RAZONAMIENTO. Relaciona cada ecuación con la gráfica que representa su solución entre [0, 2�].
13. 2 cos x � 3� 14. 3 cos x � 2� 15. 3� cos x � 2
a. b. c.
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
x
y
2p
0p
Figura 14
x
y
2p
0
p/2
Figura 15
4.3. Ecuaciones trigonométricas con identidadesAlgunas ecuaciones trigonométricas requieren la aplicación de las identidadesfundamentales para su solución.
1. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para valores de � talesque 0 � � � 2�.a. cos � tan � � sen2 � � 0 b. sen � � cos � � 1
c. sen � � � 1 d. sec2 � � 3 tan � � 11 � 0
SOLUCIÓN
a. cos � tan � � sen2 � � 0
cos � � sen2 � � 0 Se aplica tan � � .
sen � � sen2 � � 0 Se simplifica.
sen �(1 � sen �) � 0 Factor común.
sen � � 0 ó 1 � sen � � 0
• Si sen � � 0, entonces, � � 0, � � � ó � � 2�.
• Si 1 � sen � � 0, entonces, sen � � 1, por tanto, � � .
Sin embargo, tan no está definida. Por lo tanto, � � no es solución de la ecua-
ción.
Las soluciones de la ecuación cos � tan � � sen2 � � 0 son � � 0, � � � ó � � 2� (figu-ra 14).
b. sen � � cos � � 1
sen � � 1 � cos �
�1��� c�o�s2� �� � 1 � cos � Se aplica sen2 � � cos2 � � 1.
1 � cos2 � �(1 � cos �)2 Se elevan al cuadrado ambos miembros.
1 � cos2 � � 1 � 2 cos � � cos2 � Se resuelve el cuadrado.
2 cos2 � � 2 cos � � 0
cos2 � � cos � � 0 Se dividen entre 2 ambos miembros de la ecuación.
cos �(cos � � 1) � 0 Factor común.
cos � � 0 ó cos � � 1 � 0
• Si cos � � 0, entonces � � ó � � . Sin embargo, � � no verifica la
igualdad sen � � cos � � 1.
• Si cos � � 1 � 0, entonces cos � � 1. Por tanto, � � 0, � � 2�.
Las soluciones de la ecuación sen � � cos � � 1 son � � 0, � � ó � � 2� (figura 15).
Aunque se ha resuelto la ecuación para los valores de � tales que 0 � � � 2�, las solucio-
nes generales de la ecuación son � � 2n� para n entero y � � � 2n� con n entero.�
2
� 2
3� 2
3� 2
� 2
� 2
� 2
� 2
sen � cos �
sen � cos �
1 sen �
Ejercicio resuelto
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c. sen � � � 1
� 1
sen2 � � 1 � sen �
sen2 � � sen � � 1 � 0
sen � �
sen � � �
La ecuación sen � � � 1 no tiene solución, ya que la ecuación cuadrática
no tiene solución.
d. sec2 � � 3 tan � � 11 � 0
tan2 � � 1 � 3 tan � � 11 � 0 pues sec2 � � tan2 � � 1
tan � � 5 � 0 ó tan � � 2 � 0
tan � � �5 ó tan � � 2
• Si tan � � �5, entonces el ángulo tiene su lado final en el II o en el IV cuadrante,por tanto,
� � 101º 18’ 36” ó � � 281º 18’ 36”
• Si tan � � 2, entonces el ángulo tiene su lado final en el I o en el III cuadrante, portanto,
� � 63º 26’ 6” ó � � 243º 26’ 6”
Las soluciones de la ecuación sec2 � � 3 tan � � 11 � 0 son � � 63º 26’ 6”, � � 101º 18’ 36”, � � 243º 26’ 6” ó � � 281º 18’ 36” (figura 16).
2. Determinar los valores de x en el intervalo [0, 2�], para los cuales se cum-ple que.a. sen x � cos x b. sec x � tan x
SOLUCIÓN
a. sen x � cos x
� 1, por tanto, tan x � 1
Así, los valores del ángulo en los cuales sen x � cos x son x � y x �
(figura 17).
b. sec x � tan x
� , por tanto, sen x � 1
Luego, x � 90º. Sin embargo, x � 90º no es solución de la ecuación porque tan 90º ysec 90º no están definidas. La ecuación sec x � tan x no tiene solución.
sen x cos x
1 cos x
5� 4
� 4
sen x cos x
1 sen �
1 ���3�
31 �(��1)�2��� 4� �� 1� �� 1�
2
�b �b2� �� 4�a�c�
2a
sen2 � � 1
sen �
1 sen �
x
y638269699
0
10181893699
2438269699
28181893699
Figura 16
x
y
p2
p4
5p4
3p2
p 2p
2
y= cos(x)
Figura 17
tan2 � � 3 tan � � 10 � 0(tan � � 5)(tan � � 2) � 0 Trinomio de la forma.
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ACTIVIDADES 14
EJERCITACIÓN. Encontrar la solución de cada ecuación en elintervalo [0, 2�].
1. 4 sen2 x tan x � tan x � 0
2. cos x tan x � cos x � 0
3. sen2 x � 2 sen x
4. 4 sen2 x � 16 � 0
5. tan2 x � 3� tan x � 0
6. 2 sen x cos x � cos x � 0
EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones usandoidentidades fundamentales.
7. sen x � �cos x
8. cos x tan x � sen2 x � 0
9. 2 cos2 x � sen x � 1
10. 3 sen2 x � cos2 x � 0
11. tan5 x � 9 tan x
12. sec x � tan x � cos x
13. 2 sen2 x � cos x � 1
14. 3 sec2 x � 4 cos2 x � 7
15. tan x � 3 cot x � 0
MODELACIÓN. Utilizar las fórmulas de suma o diferencia deángulos para determinar la solución de cada ecuación en [0, �].
16. sen 3t cos t � cos 3t sen t � �
17. sen 2t cos t � cos 2t sen t �
18. sen 3t cos t � cos 3t sen t � 0
19. cos t cos 2t � sen t sen 2t � 0,5
MODELACIÓN. Utilizar las fórmulas de suma o productos parahallar la solución de cada ecuación en el intervalo (0, 2�].
20. sen x � sen 3x � 0
21. sen 2x � sen 5x � 0
22. cos 5t � cos 7t � 0
23. sen 5t � sen 3t � cos 4t
RAZONAMIENTO. Determinar cuál de las siguientes afirmacio-nes es verdadera. Justificar la respuesta.
24. Toda identidad es una ecuación.
25. Toda ecuación es una identidad.
3� 2
1 2
* PARA PENSAR. Resolver la siguiente ecuación.
26. �
PROBLEMAS. La figura muestra el diseño de una canaleta paraaguas lluvias.
27. Expresar el volumen de la canaleta en función delángulo �.
28. Usar la expresión anterior para calcular el volumen delagua que puede contener la canaleta en una sección de 2 mde largo, a � 10 cm y � � 30º.
29. ¿Qué ángulo se requiere para que la canaleta puedaalbergar 5 litros de agua lluvia, si su largo es de 50 cm y ellado del triángulo es de 20 cm?
PROBLEMAS. Se sabe que elnúmero de horas en las queexiste claridad varía con losmeses del año. Esta varia-ción se puede aproximarcon una función seno. Enlos primeros meses del año,la claridad puede represen-tarse por la ecuación
c � 3 sen t � 12,
donde t es el número de días con claridad.
30. Determinar el número de días del año que presentanuna claridad de 12 horas diarias.
* PARA PENSAR. Resolver los siguientes sistemas de ecua-ciones en el intervalo [0, 2�).
31. �2 sen x � 2 sen y � 1
2 cos x � 2 cos y � 3�
32. �cos(x � y) � 0
cos(x � y) �3� 2
2� 365
sec x � 1 sec x � 1
tan x � sen x tan x � sen x
L
a
a
a
33. �sen x � sen y � 1,5
x � cos y � �3� 2
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x
yp/43p/4
5p/4 7p/4
2p0
p
Figura 18
x
y608
3008
Figura 19
4.4. Ecuaciones trigonométricas con identidadespara ángulos dobles y ángulos medios
Es posible plantear y resolver ecuaciones que involucran las identidades paraángulos dobles y ángulos medios.
Resolver las siguientes ecuaciones para 0 � � 2�.
a. sen 2 cos � sen � 0 b. cos � sen
SOLUCIÓN
a. sen 2 cos � sen � 0
2 sen cos cos � sen � 0 Se aplica sen 2 � 2 sen cos .
2 sen cos2 � sen � 0
sen (2 cos2 � 1) � 0
sen � 0 ó 2 cos2 � 1 � 0
• Si sen � 0, entonces � 0, � � ó � 2�
• Si 2 cos2 � 1 � 0
cos2 � , por tanto, cos � �
— Si cos � , entonces, � ó �
— Si cos � � , entonces, � ó �
Las soluciones de la ecuación sen 2 cos � sen � 0 son:
� 0, � �, � 2�, � , � , � ó � (figura 18).
b. cos � sen
cos � ��� Se aplica sen � ���.
cos2 � Se elevan al cuadrado ambos miembros.
2 cos2 � cos � 1 � 0
�cos � �(cos � 1) � 0
• Si cos � , entonces, � 60º ó � 300º
• Si cos � �1, entonces, � 180º. Sin embargo, � 180º no satisface la ecuación
cos � sen . 2
1 2
1 2
1 � cos
2
1 � cos
2
2
1 � cos
2
2
7� 4
5� 4
3� 4
� 4
5� 4
3� 4
2� 2
7� 4
� 4
2� 2
2� 2
1 2
2
Ejercicio resuelto
Las soluciones de la ecuación cos � sen son � 60º ó � 300º (figura 19). 2
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ACTIVIDADES 15
EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones.
1. tan 2x � cot x
2. sen 2x � cos x
3. 3 cos 2x � 5 cos x � 1
4. sen 2x sen x � cos 2x cos x � 1
5. cos 2x � 3 cos x � 1 � 0
6. 4 tan x � sen 2x � 0
7. sen 2x � 2 tan 2x
8. sen 2x � cos x � 0
9. tan � sen x � 0
10. cos 2x � cos x � 2
RAZONAMIENTO. Determinar si la solución dada satisface laecuación.
11. sen 4t cos t � sen t cos 4t, t � 0
12. sen 2t � sen2 � 1, t �
13. 2 � cos2 t � 4 sen2 , t �
14. cos x � cos 2x, x �
15. tan x � cot x � 4 sen 2x, x �
16. 2 cos2 � 3 cos �, � �
17. sen 2u� sen u, u �
PROBLEMAS. Un generador de corriente alterna produce unacorriente que se puede describir mediante la ecuación
I � 30 sen 120�t
donde t representa el tiempo en segundos, y I es la corrien-te en amperios.
� 6
� 2
5� 3
� 3
3� 2
t 2
� 2
t 2
2� 5
x 2
18. Encontrar el tiempo mínimo necesario para que se pro-duzca una corriente I de �10.
19. Encontrar el tiempo, de tal manera que la corriente seade 25 amperios.
* PARA PENSAR. Determinar si las siguientes ecuaciones tie-nen solución. Justificar la respuesta.
20. sen 4� � , el lado terminal de � está en el segundo
cuadrante.
21. tan �
EJERCITACIÓN. Determinar la solución de cada ecuación para0 � t � 2�.
22. 2 cos 3x � 1 23. 2 sen 3x � 1 � 0
24. 3� sen 2x � cos 2x 25. cos2 2x � sen2 2x � 0
26. tan � 1 � sec 27. sen 2x �
28. sen 3x � 29. cos 2x �
30. cos 2u � cos u � 0 31. cos 2x � sen2 x � 0
PROBLEMAS. Un filtro polari-zante de una cámara con-tiene dos discos paralelos devidrio polarizantes, dondeuno es fijo y el otro se puederotar. Si x es el ángulo de ro -tación desde la posición demáxima transmisión lumi-nosa, la intensidad de la luzI que sale del filtro es cos2 x veces la intensidad de la luz queentra al filtro.
32. Encontrar la medida del ángulo más pequeño x de talmanera que la intensidad de la luz que abandona el filtro esel 40% de la que entra.
33. Encontrar la medida del ángulo más pequeño de talmanera que la luz que abandona el filtro es el 70% de la queentra.
34. Si para tomar fotografías se requiere que la luz que entraen la cámara sea exactamente la mitad de la intensidad quesale. Hallar la medida del ángulo x.
35. Si para tomas en contraluz se requiere que la intensidadde la luz que entra sea el 30% de la que sale, hallar la medi-da del ángulo x.
1 2
1 2
2� 2
x 2
x 2
1 csc x � cot x
x 2
2 3
x
Entradaluz
Salida luz
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ALGO IMPORTANTE
Si tan�1 x � y
tan(tan�1 x) � tan y
x � tan y
a
11-x 2
x
Figura 20
b
1
1-4x 2
2x
Figura 21
4.5. Ecuaciones trigonométricas con funciones inversasEs posible plantear ecuaciones trigonométricas con funciones inversas. Para lasolución de dichas ecuaciones se utilizan las definiciones y las propiedades delas funciones inversas.
1. Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 3 tan�1 x � � b. arccos x � arccos 2x �
SOLUCIÓN
a. tan�1 x � Se dividen entre 3 ambos miembros de la ecuación.
x � tan �
Luego, la solución de la ecuación 3 tan�1 x � � es x � .
b. cos(arccos x � arccos 2x) � cos ⇒ cos(arccos x � arccos 2x) � 0
Se establece la siguiente sustitución: � � arccos x y � arccos 2x
Por tanto, cos(� � ) � 0
Luego, cos � � cos � sen � � sen � 0
Como � � arccos x, se tiene que cos � � x.
En la figura 20, se muestra un triángulo rectángulo, en el que cos � � x ysen � � 1��� x�2�Como � arccos 2x, se tiene que cos � 2x
En la figura 21, se muestra un triángulo rectángulo, en el que cos � 2xy sen � 1��� 4�x2�Como cos � � cos � sen � � sen � 0, se tiene que
x � 2x � 1��� x�2� 1��� 4�x2� � �0 Se remplaza.
4x�4��� 5�x2� �� 1� � 2x2
4x4 � 5x2 � 1 � 4x4 Se elevan al cuadrado ambos miembros.
�5x2 � 1 � 0
x � �
� no es solución de la ecuación porque
arccos�� � � arccos�� � � , luego,
la solución de la ecuación arccos x � arccos 2x � es x � .
� 2
5� 5
� 2
� 2
25�
5
5� 5
5� 5
5� 5
3� 3
3� 3
� 3
� 3
� 2
Ejercicio resuelto
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UNIDAD 7 • TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA
ad
a
a
d
a
Figura 22
2. En la figura 22 se muestra un rayo de luz que incide sobre una de las carasde un prisma de vidrio cuyo ángulo � mide 40°. Al salir del prisma, el rayoexperimenta una desviación con respecto a su dirección inicial represen-tada por el ángulo .El ángulo de desviación se relaciona con el ángulo � mediante la expresión
� 1,5.
Determinar la medida del ángulo .
SOLUCIÓN
� 1,5 Se remplaza � � 20º.
sen� � � 0,513 Se resuelve 1,5 � sen 20º.
sen�1�sen� �� � sen�1 0,513
� 30º 51’ 50” Se despeja .
� 21º 43’ 54”
El ángulo mide 21º 43’ 54”.
40º �
2
40º �
2
40º �
2
sen� 40º2� �
sen 20º
sen� � �2
�
sen
�2
ACTIVIDADES 16
EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones.
1. arccos 2x � arcsen x 2. arctan �
3. arcsen 2x � arccos x � 0
4. sen�1 x � sen�1 2x � 5. cos�1 x � cos�1� �6. tan�1 � 2 tan�1 x 7. 2 sen�1 x �
8. cos�1(2x2 � 1) � cos�1(1)
* PARA PENSAR.
9. Explicar la diferencia entre evaluar tan�1(�5 377) yresolver la ecuación tan x � �5 377.
10. ¿Es la expresión: tan(x � y) � tan x � tan y una ecua-ción o una identidad? Justificar la respuesta.
� 4
x 2
1 x
� 2
� 4
x 2
PROBLEMAS. El área del segmento circular de la figura vienedada por
A � R2(� � sen �)
donde � es la medida del ángulo enradianes.
11. Si el radio es de 20 cm y el área del segmento circular es300 cm2, calcular la medida del ángulo � en radianes.
12. ¿Qué sucede con la medida del ángulo � si el radio se re-duce 10 cm y el área del sector circular se reduce 260 cm2?
13. Describir el método empleado para resolver las ecua-ciones anteriores.
* PARA PENSAR. Calcular.
14. cos�2 arcsen � 15. sen arccos�
35 �
2
3 8
1 2
R
R
u
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
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LA NATURALEZA TRIGONOMÉTRICA
En cierta ciudad, la temperatura se comportasegún la expresión
y � 30 cos(5x � �) � 30
1. ¿En qué momento la temperatura de la ciu-dad es igual a 0º?
En un día claro con D horas de luz diurna, la inten-sidad I de la luz solar (en cal/cm2) se puede cal-cular aproximadamente mediante la fórmula
I � Im sen3 para 0 � t � D
donde t � 0 corresponde a la aurora, Im es laintensidad máxima.
2. Si D � 12, ¿aproximadamente cuántas horas
después de la salida del sol I � Im?
En los días nublados, una mejor aproximación dela intensidad I de la luz solar (o hélica) está dadapor
I � Im sen2
3. Si D � 12 ¿aproximadamente cuántas horasdespués de la salida del sol se cumple
I � Im?1 2
1 2
�t D
�t D
Por la incidencia directa de los rayos solares,debido al deterioro de la capa de ozono, losdermatólogos recomiendan protegerse de la luzsolar cuando la intensidad I es mayor que el 75%de la intensidad máxima.
Si D � 12 h, calcular el número aproximado dehoras para las que se requiere protección en
4. Un día despejado.5. Un día claro.
Es muy común que el comportamiento de fenómenos naturales sea descrito por medio de formulas trigonométricas.
FÍSICA
TEMPERATURA
RAYOS SOLARES
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233
Los sismos son perturbaciones en el interior de laTierra que producen vibraciones o movimientos enel suelo.
Se originan principalmente por la ruptura de rocasen las capas exteriores de la Tierra, debido a la acu-mulación de energía de fenómenos geológicos.
Un sismo tiene un desplazamiento horizontal totalde S metros a lo largo de su línea de falla. En esecaso, el movimiento horizontal M de un punto enla superficie terrestre a d kilómetros de la línea defalla se puede determinar por la expresión
M � �1 � tan�1 �donde D es la profundidad en kilómetros bajo lasuperficie terrestre del foco del sismo.
En el terremoto de San Francisco en 1906, S fue4 metros y D fue 3,5 km. Calcular aproximada-mente M para los siguientes valores de d.6. d � 1 km7. d � 4 km8. d � 10 km9. Calcular aproximadamente la profundidad D
del foco de un sismo en el cual S � 3 m, si unpunto en la superficie de la Tierra está a5 km de la línea de falla y se mueve 0,6 mhorizontalmente.
d�D
2��
S�2
SISMOS
PESO HUMANODebido al movimiento de rotación, la Tierra estáachatada en los polos y como consecuencia, elpeso de una persona varía en distintas latitudes yes directamente proporcional a la aceleración dela gravedad g.
Si � es la latitud, entonces g se puede aproximarmediante la expresión
g � 9,8066 (1 � 0,00264 cos 2�)
10. ¿A qué latitud g � 9,8?
11. Si una persona pesa 64 kg en el ecuador(� � 0º), ¿en qué latitud pesará 64,5 kg?
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234
RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 A 4 DE ACUERDO CONLA SIGUIENTE INFORMACIÓN.En la gráfica, la onda armónica se desplaza hacia la dere-cha con una velocidad v.
1. Una posible ecuación que describa el comportamientode la partícula es
A. y � sen x
B. y �
C. y �
D. y � 2 sen(2x)
2. Con respecto a la función anterior se puede afirmar que
A. el rango de la función es el conjunto de los núme-ros reales.
B. es periódica y de periodo �.
C. es par
D. es creciente en [0, �].
3. Si se desea restringir el dominio para obtener una fun-ción biyectiva, una opción sería
A. Dom f ��0, �B. Dom f �[�, 2�]
C. Dom f �� , �D. Dom f ��0, �
3�
4
5�
4
3�
4
� 2
sen x
2
sen(2x)
2
4. El valor de f (�) � f (2�) � f� � es
A. 0 C. �2
B. 1 D. 2
RESPONDE LAS PREGUNTAS 5 A 7 DE ACUERDO CONLA SIGUIENTE INFORMACIÓN.Entre una persona y su automóvil se encuentra un edificio,como lo muestra la figura
El edificio tiene 17 m de alto y se encuentra sobre unabase cuadrada de 5 m � 5 m
5. La distancia del edificio al automóvil es
A. 8,5 m, porque en todo triángulo rectángulo conángulo de 45°, un cateto mide la mitad del otro.
B. 34 m, porque en todo triángulo rectángulo conángulo de 45°, un cateto mide el doble del otro.
C. 17 m, porque en todo triángulo rectángulo conángulo de 45°, sus catetos son iguales.
D. 25,7 m, porque en todo triángulo rectángulo con un
ángulo de 45°, un cateto mide 1 veces más que
el otro.
6. Una expresión que permite calcular la distancia entre lapersona y el edificio es
A. x � C. x �
B. x � (17m) sen 30 D. x � (17 m) tan 30
7. La distancia de la persona al edificio es
A. 8,5 m C. 173� m
B. D. 34 m173�
3 m
17 m sen 30
5�
4
17 m
tan 30°
1 2
Identifica la respuesta adecuada.TIPO: SELECCIÓN MÚLTIPLE, RESPUESTA ÚNICA. Las siguientes preguntas están formadas por unenunciado y cuatro posibles respuestas de las cuales una es correcta.
y
y 5 f(x)
x
2
1
21
22
p4
p2
3p4
p 2p3p4
5p4
7p4 458
308
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RESPONDE LAS PREGUNTAS 8 A 11 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.La fórmula para hallar el área de un polígono regular vienedada por la expresión
A � tan�90° � �, para n � 3 donde n es el
número de lados del polígono y l la longitud de cada lado.
8. El área de un hexágono regular de 1 cm de lado es
A. cm2
B. cm2
C. cm2
D. cm2
9. Si se conoce la longitud del lado de un decágonoregular, para determinar su área basta conocer
A. el valor de sen(72°)
B. el valor de cos(40°)
C. el valor de sen(18°)
D. el valor de tan(50°)
10. La restricción n � 3 se debe a que
A. 180° es divisible entre 3.
B. la tan � es decreciente para ángulos mayores oiguales a 3.
C. sin importar el tipo de polígono, este debe tenertres o más lados.
D. todo polígono regular se puede descomponer entriángulos.
11. En el caso de un cuadrado, el valor trigonométrico rela-cionado en la expresión es
A.
B. 1
C.
D. 2
180°
n
2�
2
3�
2
23�
3
3
23�
33�
2
2
33�
nl2
4
RESPONDE LAS PREGUNTAS 12 A 14 A PARTIR DE LASIGUIENTE FIGURA.
12. Con base en la figura es falso afirmar que
A. la longitud del lado AC es x2 � 2
B. �A � �C � 90°
C. sen C �
D. los tres lados del triángulo se pueden expresar enfunción de x.
13. cot A es igual a
A.
B.
C.
D.
14. Para x � 1 se tiene que
A. la longitud de un lado del triángulo quedará expre-sada por una cantidad irracional.
B. el valor de la hipotenusa será igual a 5.
C. las longitudes de los lados AB, AC y BC serán res-
pectivamente 5�, 3 y 3.
D. los catetos serán iguales.
2x x4� �� 4�
2x x4� �� 4�
2x4� �� 4�
x
x4� �� 4�
2x
x 2x4� �� 4�
C
A B
2x
X 1 42
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236
RESPONDE LAS PREGUNTAS 20 A 22 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.La tabla muestra dos tipos de transacciones bancarias queregistra un cajero automático en un día promedio
20. Con base en la información anterior, es válido afirmarque
A. la probabilidad de que la transacción sea un retiro,dado que el cliente es hombre, es mayor que 0,5.
B. en promedio, más de 30 mujeres realizan transac-ciones en el cajero.
C. el cajero registra menos de 70 operaciones al día.
D. la probabilidad de que la transacción sea un retiroes mayor que la probabilidad de que sea una con-sulta.
21. Una pareja de esposos se acerca al cajero y realizanuna operación bancaria en sus respectivas cuentas
A. la probabilidad de que ella sólo consulte el saldo esinferior a 0,5.
B. la probabilidad de que hayan realizado operacionesdistintas es nula.
C. la probabilidad de que hayan realizado el mismotipo de transacción es superior a 0,4.
D. la probabilidad de que él haya realizado un retiro esinferior a 1.
22. Al llegar al cajero, un cliente descubre el recibo de latransacción de un sujeto que efectuó un retiro. Esposible afirmar que
A. no existe ningún criterio que permita determinarcon certeza si fue hombre o mujer.
B. es muy probable que la transacción la haya reali-zado una mujer.
C. la probabilidad de que haya sido una mujer estáentre 0,2 y 0,3.
D. existe un 0,75 de probabilidad de que haya sido unhombre.
Hombre 30 20
Mujer 12 15
RESPONDE LAS PREGUNTAS 15 A 19 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.Se realiza un juego que consiste en lanzar dos dados (unorojo, otro negro).
15. La cantidad de posibles parejas que se obtienen allanzar los dados es
A. 36 B. entre 30 y 40 C. 72 D. mayor de 40
16. Si el juego se gana al obtener 12 en la suma de losdígitos de los dados, la probabilidad de ganar es
A. mínima C. igual a
B. igual a D. igual a
17. La probabilidad de que la suma de los dígitos de losdados sea impar es
A. B.
C. mayor que la probabilidad de que la suma sea par.
D. igual a la probabilidad de que la suma sea par.
Se consideran dos eventos M y N en los lanzamientos delos dados
M: la suma de los números de los dados es 8.
N: el número que aparece en un dado es igual al del otro.
18. La probabilidad de que ocurra M o de que ocurra N es
A. C. P(M) � P(N) � P(M � N)
B. mayor que D. 0
19. Si se toman los eventos M y N, la probabilidad de queocurra M y N
A. es menor que C. es menor que 1
B. es mayor que D. es mayor que 9
36
1 36
1 12
5 36
7 36
12 36
10 36
1 2
1 4
1 6
TIPO: SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA VÁLIDA. Las siguientes preguntas cons-tan de un contexto y cuatro opciones de respuesta de las cuales dos son correctas. Marca en la hojade respuesta la opción que más se relacione con el contexto de la pregunta.
Tipo de transacción
Retiro Consulta
Gén
ero
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1.2 .3 .
SUCESIONES.
NOTACIÓN SUMATORIA.
PROGRESIONES.
No es tan difícil como se piensa...Se desea comprar un auto cuyo valor es de Bs. 26 000. El concesio-nario ofrece dos formas de pago.
Forma de pago 1
Cuota inicial de Bs. 6 200, el saldo en cuotas no fijas que, durante tresaños, tendrán un aumento mensual de Bs. 5. La primera cuota seráde $550.000.
Forma de pago 2
Cuota inicial de Bs. 5 000, el saldo en cuotas fijas de Bs. 700, duran-te tres años.¿Cuál forma de pago es más conveniente?
No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 177
8UNIDAD
Sucesionesy progresiones
• LA AUTODEMICACIÓN.• SUCESIÓN DE FIBONACCI.
TEMAS
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SUCESIONES1
1. Escribir los cuatro primeros términos de cada sucesión.
a. an � 2n � 3 b. an �
SOLUCIÓNPara hallar los cuatro primeros términos de la sucesión se remplaza n por 1,2, 3 y 4 en la fórmula del término general. Así,a. a1 � 2(1) � 3 � �1; a2 � 2(2) � 3 � 1;
a3 � 2(3) � 3 � 3; a4 � 2(4) � 3 � 5 Luego, la sucesión será {an} � {�1, 1, 3, 5, …}.
b. a1 � � 0; a2 � � ;
a3 � � ; a4 � � � 1.
Luego, la sucesión será {an} � �0, , , 1, …�.2. Encontrar el término a8 en cada sucesión.
a. an � b. an � n2 � 10
SOLUCIÓN
a. an � Se sustituye n por 8
a8 � � Luego, el término a8 es .
2�3
3 � 1�3
1�3
2 � 1�3
1 � 1�3
1�16
1�2(8)
1�16
1�2n
1�2n
1�3
2�3
3�3
4 � 1�3
n � 1�3
Una sucesión se dice conver-gente, si todos sus términos seacercan a un número L, en casocontrario, se dice que la suce-sión es divergente.Por ejemplo,
�1, , , , …�es una sucesión convergentepues al representar todos sustérminos sobre una recta numé-rica se observa que se acercana 0.
1�5
1�3
1�2
1.1. DefiniciónAl conjunto formado por las imágenes de una función definida de los �en los � ordenadas de forma que no exista la menor duda de cuál es laprimera, cuál es la segunda o cualquier otra, se le denomina sucesión.Por ejemplo, {2, 3, 4, 5, 6, …} es una sucesión, pues es el conjunto de imá-genes de la función f: � → � con expresión algebraica f(x) � x � 1.Para nombrar una sucesión se usa la expresión {an}. Así,
{an} � {a1, a2, a3, …, an …}donde a1 es el primer término de la sucesión y es la imagen del primerelemento, a2 es el segundo término de la sucesión y es la imagen delsegundo elemento, …, an es el enésimo término de la sucesión y es la ima-gen del n-ésimo elemento.El término an es llamado el término general de la sucesión. A él, se aso-cia una fórmula escrita en función de n mediante la cual se puede hallarcada uno de los términos de la sucesión.
ALGO IMPORTANTE
Ejercicio resuelto
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EJERCITACIÓN. Escribir los cinco primeros términos decada sucesión.1. an � n � 1 2. an � (2n � 1)(n � 3)3. an � n2 � 1 4. an � 2n3 � 1(2n)
5. an � n2 6. an � n3
7. an � (n � 1) 8. an �
9. an � 10. an � (�1)n � 1� �MODELACIÓN. Deducir la fórmula del término generalde cada sucesión.11. {an} � {2, 4, 6, 8, 10, …}12. {an} � {5, 10, 15, 20, 25, …}13. {an} � {4, 4, 4, …}14. {an} � {4, 9, 14, 19, 24, …}15. {an} � {0, 1, 2, 3, 4, …}16. {an} � {1, 4, 9, 16, 25, …}
17. {an} � �0, , 1, , 2, , 3, …�
RAZONAMIENTO. Determinar la regularidad de cadasucesión y construir el séptimo término.21. 1º 2º 3º 4º
•• • •
• • • • • •• • • • • • • • • •
22. 1º 2º 3º 4º• • • • • •
• • • • • • • • •23. 1º 2º 3º 4º
• • • •• • • • • • •
• • • • • • • • •• • • • • • • • • •
EJERCITACIÓN. Si an � � 3. Calcular.
24. 25.
* PARA PENSAR. Encontrar los números que faltan.26.
3(a10 � a8 � a6)���4
a3 � a4��10
n � 1�n2 � 1
5�2
3�2
1�2
2�n
n � 1�
n2
n2 � n�2
1�n2
8�3
1�3
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
b. an � n2 � 10 Se sustituye n por 8
a8 � (8)2 � 10 � 54 Luego, el término a8 es 54.
3. Determinar la fórmula del término general de cada sucesión.
a. {an} � {3, 6, 9, …} b. {an} � � , 1, , , …�SOLUCIÓNa. Cada término de la sucesión se obtiene al multiplicar cada número natural
por 3. Luego, an � 3nb. Cuando los términos de la sucesión están expresados como fracciones es
conveniente escribirlos con un denominador común
Así, � , , , , , …� luego, an �
2�3
4�3
5�3
n � 1�3
6�3
5�3
4�3
3�3
2�3
¿La sucesión
an �
es convergente o divergente?En caso de ser convergente, ¿aqué valor converge?
2n�3n � 1
PARA RESPONDER
ACTIVIDADES 1
27.
12 24 20 40 ? 563 18 5 30 ? 42
7 10 ? ? 19 ?2 5 8 11 ? 1720. {an} � �� , � , � , � , …�1
�25
�39
�413�5
18. {an} � {2, 5, 10, 17, 26, …}
19. {an} � �2, , , , , …�3�2
4�3
5�4
6�5
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LEONARDO DE PISA(1170-1250)
Mejor conocido como Fibonacci,fue el matemático más original yhábil de la época medieval.Introdujo el sistema hindo-arábi-go en Italia y en toda Europa,donde dio a conocer la matemá-tica entre mercaderes y comer-ciantes. La sucesión que lo hizofamoso es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …donde cada término es la suma delos dos términos inmediatamenteanteriores. ©
SA
NTI
LLA
NA
240
NOTACIÓNSUMATORIA
2
1. Expresar usando la notación de sumatoria.
a. 1 � 8 � 27 � 64 b. � � � �
SOLUCIÓNa. El término general de la sucesión {1, 8, 27, 64} es an � n3
pues 1 � 13, 8 � 23, 27 � 33 y 64 � 43.
Luego, 1 � 8 � 27 � 64 � �4
n � 1n3
b. El término general de la sucesión � , , , , � es an �
pues � ; � ; �
Luego, � � � � � �5
n � 1
2. Calcular el valor de cada sumatoria.
a. �3
n � 13n b. �
6
n � 2(n � 2)
SOLUCIÓNPrimero se hallan los términos que intervienen en cada expresión. Así,a. a1 � 3(1) � 3 a2 � 3(2) � 6 a3 � 3(3) � 9
Luego, �3
n � 13n � 3 � 6 � 9 � 18
b. a2 � 2 � 2 � 0 a3 � 3 � 2 � 1 a4 � 4 � 2 � 2a5 � 5 � 2 � 3 a6 � 6 � 2 � 4
Luego, �6
n � 2(n � 2) � 0 � 1 � 2 � 3 � 4 � 10
1�2n
1�2n
1�10
1�8
1�6
1�4
1�2
1�2(3)
1�6
1�2(2)
1�4
1�2(1)
1�2
1�10
1�8
1�6
1�4
1�2
1�10
1�8
1�6
1�4
1�2
¿A qué letra de nuestro alfabetocorresponde la letra griega �- ?
2.1. DefiniciónLa notación de sumatoria se utiliza para representar la suma de los tér-minos de una sucesión. Se utiliza la letra griega � (sigma). Por ejemplo,dada la sucesión {an} � {5, 10, 15, 20, 25, …} se puede representar lasuma de los cuatro primeros términos de an. Así,
�4
n � 1
an que se lee “sumatoria desde uno hasta cuatro de an”, y se cumple
que
PARA RESPONDER
Ejercicio resuelto
MATEMÁTICOSDEL SIGLO XIX…
�4
n � 1
an � a1 � a2 � a3 � a4.
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241
Hallar el valor de cada sumatoria.
a. �4
n � 1(n2 � 5) b. �
6
n � 1�n � �
SOLUCIÓN
a. �4
n � 1(n2 � 5) � �
4
n � 1n2 � �
4
n � 15 Por la propiedad 1.
� (12 � 22 � 32 � 42) � (4) � 5 Se desarrolla la primera sumatoria yla propiedad 4.
� 50 Se resuelven las operaciones.
b. �6
n � 1�n � � � �
6
n � 1n � �
6
n � 1Se aplica la propiedad 2.
� �6
n � 1n � 2 �
6
n � 1Se aplica la propiedad 3.
� (1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6) � 2�1 � � � � � �� Se resuelven las operaciones indicadas.
Es importante tener en cuenta que para la sumatoria de un producto, se tieneque:
�m
n � 1an � bn � � �
m
n � 1an�� �
m
n � 1bn�
�m
n � 1
�
�m
n � 1(an)c � � �
m
n � 1an�
c
�m
n � 1an
�
�m
n � 1bn
an�bn
161�10
1�6
1�5
1�4
1�3
1�2
1�n
2�n
2�n
2�n
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
¿ �m
m � 1(an)
c � c �m
n � 1an?
PARA RESPONDER
2.2. Propiedades de la sumatoria
�m
n � 1(an � bn) � �
m
n � 1an � �
m
n � 1bn �
m
n � 1(an � bn) � �
m
n � 1an � �
m
n � 1bn
�m
n � 1Can � C �
m
n � 1an �
m
n � 1C � mC
donde C es una constante. donde C es una constante.
1 2
3 4
Ejercicio resuelto
La sumatoria de un producto no esel producto de las sumatorias.
La sumatoria de un cociente no esel cociente de las sumatorias.
La sumatoria de una potencia noes la potencia de la sumatoria.
En general En símbolos
� �
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242
1. Hallar la suma de los 25 primeros números positivos terminadosen 8.
SOLUCIÓNSe halla la suma de los n-términos de la sucesión {8, 18, 28, …} donde a1 � 8y an � (10n � 2). Así,
�n
i � 1ai � Se remplaza a1 y an en
� Se reducen los términos semejantes.
� � (5n � 3)n Se factoriza y simplifica.
Como se desea hallar la suma de los primeros 25 números terminados en 8,se remplaza n por 25. Así:
�25
n � 1an � (5 � 25 � 3) � 25 � 3.200
En conclusión, la suma de los primeros 25 números positivos terminados en8 es 3.200.
2. Hallar la suma de los primeros 30 números positivos pares.
SOLUCIÓNSe halla la suma de los n-términos de la sucesión {2, 4, 6, …} donde a1 � 2 yan � 2n. Así,
�n
i � 1ai � Se remplaza a1 y an en .
� Se factoriza.
� (1 � n)n Se simplifica.
Para calcular la suma se remplaza n por 30. Así,
�30
i � 1ai � (1 � 30)30 � 930
Luego, la suma de los primeros 30 números positivos pares es 930.
(a1 � an)n��2
(a1 � an)n��2
2(1 � n)n��2
(2 � 2n)n��2
2(5n � 3)n��2
(10n � 6)n��2
(8 � 10n � 2)n��2
¿Cuál es la suma de los cua-renta primeros números posi-tivos múltiplos de siete?
PARA RESPONDER
2.3. Suma de los n-términos de una sucesión
El proceso realizado hasta el momento para calcular no es óptimo si setrata de una sucesión con muchos términos.En los casos en que la sucesión se forma con números naturales, es con-veniente usar la fórmula general para hallar la suma de los n-términos. Así,
�n
i � 1ai � . Sí a1, a2, … an � �.
(a1 � an)n��2
Ejercicio resuelto
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243
EJERCITACIÓN. Determinar la suma de los siete prime-ros términos de cada sucesión.1. {an} � {2, 4, 6, 8, …}2. {an} � {1, 3, 5, 7, …}
3. {an} � � , , , , …�4. {an} � {1, 4, 9, 16, 25, …}5. {an} � {3, 7, 11, 15, 19, …}6. {an} � {�1, �2, �3, �4, �5, …}7. {an} � {�2, �4, �6, �8, �10, …}
8. {an} � � , , , , , …�RAZONAMIENTO. Relacionar las series de la izquierda conlos valores de la derecha.
9. �5
n � 1n a. 96
10. �10
n � 7(2n � 1) b. 55
11. �6
n � 5(5 � n) c. 15
12. �17
n � 152n d. 135
13. �7
n � 3n2 e. 64
14. �10
n � 1n f. �1
EJERCITACIÓN. Calcular el valor de cada sumatoria.
15. �9
n � 1n 16. �
8
n � 3n � 7
17. �6
n � 02n � n 18. �
7
n � 4(n � 3)2
19. �5
n � 1 20. �
4
n � 2
21. �4
n � 1 22. �
7
n � 3� �
23. �8
n � 324. �
6
n � 2
RAZONAMIENTO.
Si �7
n � 1an � 8; �
7
n � 1bn � 10 y �
7
n � 1cn � �2. Calcular:
25. �7
n � 1(an � cn) 26. �
7
n � 12an � bn
27. �7
n � 13an � 5cn 28. �
7
n � 1[an � 4bn]
29. �7
n � 1(an � bn)
30. �7
n � 1an � 10bn � cn
31. � �7
n � 1an�
2� �
7
n � 12bn 32. � �
7
n � 1an � bn�
2
5�2
3�4
3�4
3n2��n3 � 3n � 1
(�1)n � 13n��2(n � 1)
5n�n2 � 1
n � 8�n
(�1)n��n
n�5
5�3
4�3
3�3
2�3
1�3
7�2
5�2
3�2
1�2
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
ACTIVIDADES 2
* PARA PENSAR. Si an � y bn � n3, marcar con � el valor de cada sumatoria.1�3n
PROBLEMAS. Escribir V, si la afirmación es verdadera, oF, si es falsa. Justificar la respuesta.37. La suma de los 40 primeros números impa-res es 1 600.38. La suma de los 60 primeros números termi-nados en 4 es 2 490.
39. La suma de los 70 primeros números múlti-plos de 2 es 1 490.40. La suma de los 20 primeros números divisi-bles entre 3 es 9 720.41. La suma de los primeros 100 números natu-rales es 5 050.
33. �4
n � 1bn � 33 � 34. �
3
n � 1� � �
�
1�3
100�3
an�n65
�162162�29
35. �3
n � 15(an � bn) � � � � 36. �
4
n � 1� � � � �
4 795�27
959�27
an � 1�2
142�81
142�81
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PROGRESIONES3 3.1. Progresiones aritméticas
La cantidad constante que se suma recibe el nombre de razón o diferen-cia, por ser igual a la diferencia entre un término cualquiera de la suce-sión y su anterior. Se puede representar con la letra d, donde
d � an � an � 1
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada térmi-no es igual al anterior más un número constante.
Identificar cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones arit-méticas. En caso afirmativo determinar la razón d.a. 5, 10, 20, 40, 80, … b. 2, �1, �4, �7, …
SOLUCIÓNa. La sucesión 5, 10, 20, 40, 80, … no es una progresión aritmética pues la
razón entre a1 y a2 es 5 pero, entre a2 y a3 es 10.b. La sucesión 2, �1, �4, �7, … es una progresión aritmética. La diferencia
d es �3, pues �1 � 2 � �4 � (�1) � �7 � (�4) � �3.
Ejercicio resuelto
Dada una progresión aritmética a1, a2, … an, es posible obtener la fórmuladel término enésimo, al escribir cada término en función del anterior así,a1a2 � a1 � da3 � a2 � d � (a1 � d) � d � a1 � 2da4 � a3 � d � (a1 � 2d) � d � a1 � 3d
De los términos encontrados se puede deducir la fórmula del términogeneral como
Ejercicio resuelto
an � a1 � (n � 1) d para n � 1.
Hallar el octavo término de las siguientes progresiones aritméticas.
a. , 1, , … b. 5, 7, 9, …
SOLUCIÓNEn cada caso se identifican los términos necesarios para remplazar en la fór-mula del término general.
a. En la progresión , 1, se tiene a1 � , n � 8, d � 1 � �
Luego, a8 � a1 � (n � 1) d
� � (8 � 1)� � � 4 Se remplaza n por 8.1�2
1�2
1�2
1�2
1�2
3�2
1�2
3�2
1�2
…
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A partir de la fórmula del término enésimo se pueden deducir las siguien-tes fórmulas.1. Primer término de una progresión. Si se conoce la razón y cualquier
otro término, se tiene que:a1 � an � (n � 1)d
2. La razón. Si se conocen el primer término y un término cualquiera, setiene que:
d �
3. Número de términos. Si se conoce la razón y el primer y último tér-mino de la progresión, se tiene que:
n � � 1 � an � a1 � d��d
an � a1��d
an � a1��n � 1
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
1. Completar la progresión aritmética 5, …, 32 si se sabe que 32 es eldécimo término.
SOLUCIÓNPara completar la progresión es necesario hallar d. De la progresión 5, …, 32se tiene que:a1 � 5, a10 � 32 n � 10
Luego, d � Por la fórmula 2.
d � � � 3
La diferencia d entre los términos es 3. Así, la progresión completa es:5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32
2. Hallar el número de términos de la progresión aritmética 1, 4, …, 34.
SOLUCIÓNEn la progresión 1, 4, …, 34 se tiene que:a1 � 1, an � 34 d � 4 � 1 � 3
Luego, n � Por la fórmula 3.
n � � � 12
Luego, el número de términos de la progresión es 12.
36�2
34 � 1 � 3��3
an � a1 � d��d
27�9
32 � 5�10 � 1
an � a1��n � 1
Ejercicio resuelto
b. En la progresión 5, 7, 9, … se tiene quea1 � 5, n � 8, d � 9 � 7 � 2Luego, a8 � a1 � (n � 1)d
� 5 � 7 � 2 � 19 Se remplaza n por 8.
Se remplaza y se resuelven las operacionesindicadas.
Se remplaza y se resuelven las operacionesindicadas
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3. Si en una progresión aritmética el quinto término es 17 y el novenotérmino es 33.a. Hallar el primer término y la razón de la progresión.b. Completar la progresión aritmética hasta el décimo término.
SOLUCIÓNa. Por la fórmula del término enésimo para a5 y a9, se tiene que:
�a5 � a1 � (5 � 1)da9 � a1 � (9 � 1)d
�17 � a1 � 4d33 � a1 � 8d Se remplaza a5 por 17 y a9 por 33
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que puede resol-verse por cualquiera de los métodos estudiados en la unidad 4. En este caso,se utiliza el método de reducción. Así,
17 � a1 � 4d Ecuación 1.
33 � a1 � 8d Ecuación 2.
�16 � �4d Se resta 2 de 1.
d � � 4 Se transponen términos.
Luego, se remplaza en la ecuación 1 el valor de d y se halla a1. Así,17 � a1 � 4 � 4 a1 � 17 � 16a1 � 1
b. Como la diferencia d entre los términos es 4, la progresión completa hastael décimo término es: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37.
4. Encontrar el octavo término de la progresión aritmética donde a3 � 75 y d � �8. Luego, completar la progresión hasta el octavotérmino.
SOLUCIÓNPrimero se halla el valor de a1.a3 � a1 � (n � 1)d75 � a1 � 2 � (�8) Se remplaza a1 y d.
a1 � 91
Se utiliza la fórmula del término general an � a1 � (n � 1)d para encontrarel término a8. Así,a8 � 91 � (8 � 1)(�8)a8 � 91 � 7 � (�8)a8 � 35Como d � �8, la progresión aritmética hasta el octavo término es:
91, 83, 75, 67, 59, 51, 43, 35
�16�
�4
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RAZONAMIENTO. Determinar si cada sucesión es o no unaprogresión aritmética, si lo es, encontrar la razón d.1. 1, 6, 11, 16, … 2. 3, 6, 9, 12, …3. 5, 3, 1, �1, �3, … 4. �7, �4, �1, 2, 5, …5. 4, 9, 14, 19, 20, 21, … 6. 2, 4, 6, 8, 16, 24, …7. 2, 3, 5, 7, 11, 13, … 8. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
9. , , , , … 10. , , , , , …
11. , , , , … 12. , , , , …
EJERCITACIÓN. Encontrar el término indicado en cadaprogresión aritmética.
13. Duodécimo término de �1, 1, 3, …
14. Octavo término de 2�5�, 4�5�, 6�5�, …
15. Noveno término de , , 1, , …
16. Undécimo término de 3,5; 3,8; 4,1; 4,4; …
17. Decimotercer término de ,� , � , , …
18. Décimo término de , 1, , � , � , …
19. Decimocuarto término de � , �1, , , , …
RAZONAMIENTO. Completar cada progresión aritméticahasta el noveno término.20. �4, ___, ___, ___, ___, 16, 20, ___, ___.21. ___, 7, ___, ___, ___, 19, 22, ___, ___.22. �14, ___, ___, ___, ___, ___, 10, ___, 18.
23. � , ___, ___, ___, ___, , , ___, ___.
24. , ___, ___, ___, , , ___, ___, ___.
MODELACIÓN. Completar las siguientes tablas.25.
26.
27. Determinar si las dos sucesiones anteriores sonprogresiones aritméticas. En caso afirmativo, hallar eltérmino n-ésimo.28. Hallar el término 25 en cada sucesión.29. Hallar el término 50 en cada sucesión.
MODELACIÓN. Completar la tabla que relaciona un polí-gono regular de n lados con su número de diagonales.30.
31. Hallar el número de diagonales que tiene un polí-gono regular de 18 lados.32. Obtener una fórmula que relacione el número delados de un polígono con su número de diagonales.33. Determinar si la sucesión anterior es una progre-sión aritmética.
PROBLEMAS. Resolver.34. Calcular el número de múltiplos de 3 comprendi-dos entre 100 y 200.35. Determinar cuántos múltiplos de 35 hay entre2 000 y 3 000.36. Hallar el número de múltiplos de 20 que tienentres cifras.37. Determinar cuántos múltiplos de 3 000 tienencuatro cifras.
*PARA PENSAR. Hallar la posición que ocupa el núme-ro 2 000.38.
91�6
38�3
8�3
23�2
19�2
1�2
9�3
5�3
1�3
7�3
7�5
3�5
1�5
9�5
5�8
3�8
1�8
1�8
4�3
2�3
1�3
9�8
7�6
5�4
3�2
7�6
6�5
5�4
4�2
4�2
4�2
3�2
2�2
1�2
7�2
5�2
3�2
1�2
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UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
ACTIVIDADES 3
Número3 4 5 6 7 8 9 10de lados
Cantidad1 2de triángulos
Polígono regularde n lados
3 4 5 6 7 8 9
Diagonalesde un polígono 0 2 5
Número 3 4 5 6 7 8 9 10de ladosSuma de losángulos internos 180º 360ºen grados
Cero diagonales Dos diagonales Cinco diagonales
1
2
4
3 5 6
7 8 14 15
9 10 12 13 16…
11
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1. Hallar la suma de los 15 primeros términos de la progresión arit-mética 1, �1, �3, …
SOLUCIÓNPrimero se halla el valor de a15.a15 � a1 � (n � 1)da15 � 1 � (15 � 1)(�2) � �27 Se remplaza a1 por 1, n por 15 y d por �2.
Luego, en Sn � Se sustituye.
S15 � � �195
Así, la suma de los 15 primeros términos es �195.
2. Si S8 � �60 y a1 � 3, hallar el valor de a8.
SOLUCIÓNEn la fórmula Sn � Se remplazan los valores conocidos.
�60 �
a8 � � 3 Se transponen términos.
a8 � �15 � 3 � �18 Se resuelven las operaciones indicadas.
Así, la suma de los ocho primeros términos es �18.
3. Calcular la suma de los n primeros múltiplos de 3.
SOLUCIÓNLa progresión dada es 3, 6, 9, … luego, a1 � 3, n � n, d � 3. Así,
an � a1 � (n � 1)dan � 3 � (n � 1)3 � 3n
en, Sn � Sn �(3 � 3n)n��2
(a1 � an)n��2
�120�8
(3 � a8)8��2
(a1 � an)n��2
(1 �(�27))15��2
(a1 � an)n��2
3.2. Suma de los términos de una progresión aritméticaLa suma de los términos de una progresión aritmética se nota Sn, donden indica la cantidad de términos de la progresión que se desean sumar.Por ejemplo, S6 indica la suma de los seis primeros términos de la pro-gresión.La fórmula que permite calcular la suma de los primeros n-términos deuna sucesión aritmética es:
Sn �(a1 � an)n��2
Ejercicio resuelto
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UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
¿Es posible encontrar algunos
medios aritméticos entre
y ? ¿Cuántos?2�3
1�3
PARA RESPONDER 3.3. Interpolación de medios aritméticosLos números que se encuentran entre dos términos de una progresiónaritmética reciben el nombre de medios aritméticos, por ejemplo, en laprogresión {5, 9, 13, 17} los términos 9 y 13 son dos medios aritméticosentre 5 y 17.Interpolar medios aritméticos significa encontrar los términos que vanentre dos números dados. Para ello, es suficiente encontrar la razón o dife-rencia y luego, formar la progresión aritmética.
Ejercicio resuelto
Se remplaza en la fórmula parahallar la razón.
Se remplaza
a1 � , a4 � y n � 422�3
10�3
a3 � � �� � � � y a4 � � �� � �7
�81
�86
�83
�43
�41
�85
�8
d � � � �an � a1��n � 1
�232� � �
130�
��4 � 1��132��
�34
�3
a2 � � �10�3
4�3
14�3
Se hallan los medios aritméticos
a3 � � � � 614�3
4�3
18�3
Luego, la progresión completa es: 2, , , 6, , , 1010�3
14�3
22�3
26�3
es �1, a2, a3, a4, �. Luego, a1 � 1, a5 � y n � 51�2
1�2
d � � � �an � a1��n � 1
�12� � 1�5
���12��
�4�1�8
2. Completar la progresión aritmética ___, , ___, ___, , ___, ___.
SOLUCIÓN
Se interpolan dos términos entre y
10�3
22�3
10�3
22�3
Luego, �1, , , , � es la progresión pedida.7�8
3�4
5�8
1�2
a2 � 1 � �� � � Se hallan los medios aritméticos.1�8
7�8
1. Interpolar tres medios aritméticos entre 1 y .
SOLUCIÓN
Como hay que interpolar tres términos entre 1 y , la sucesión que se tiene
1�2
1�2
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EJERCITACIÓN. Hallar la suma de los términos indicadosen cada progresión aritmética.1. Los primeros 20 términos de �19,�16, �13, �10, …2. Los primeros 28 términos de �10, �5, 0, 5, 10, …
3. Los primeros 10 términos de , , 1, , , …
4. Los primeros 15 términos de , , , 1, , …
5. Los primeros 50 números impares positivos.6. Los primeros 20 números múltiplos de cuatro.
EJERCITACIÓN. Hallar el valor de a30 que cumple la con-dición dada.7. S30 � 1 550 y a1 � 108. S30 � 1 650 y a1 � �39. S30 � �4.800 y a1 � �6
10. S30 � y a1 �
MODELACIÓN. Calcular el valor de los siete primeros tér-minos aritméticos.11. an � 3n � 7 12. an � �5n � 1213. an � �n � 1 14. an � �(n � 3)15. an � �4n � 3 16. an � 6n � 8
17. an � n � 5 18 an � �
EJERCITACIÓN. Encontrar los primeros seis términos decada progresión aritmética. Tener en cuenta los datosque se dan en cada caso.
19. a1 � 2 y d � 7 20. a1 � 8 y d � �5
21. a1 � �3 y d � 6 22. a1 � �2 y d �
23. a1 � y d � 3 24. a1 � y d �
RAZONAMIENTO. Interpolar.25. Cuatro medios aritméticos entre 3,2 y 98,2.26. Siete medios aritméticos entre �8 y 792.27. Ocho medios aritméticos entre 20 y 74.
28. Dos medios aritméticos entre � y � .
RAZONAMIENTO. Completar las siguientes progresionesaritméticas.29. 10, ___, ___, ___, ___, 2030. 10, ___, ___, ___, ___, 1131. 10, ___, ___, ___, ___, 032. 10, ___, ___, ___, ___, �15
33. , ___, ___, ___, ___, ___,
34. , ___, ___, ___,
35. � , ___, ___, ___, ___, ___, ___, �
36. 2,5, ___, ___, ___, 9,5
RAZONAMIENTO. Escribir verdadero o falso, según corres-ponda.37. Si a1 � �7 y d � �2, entonces, S7 � �91.38. Si a5 � 13 y a1 � �15, entonces, d � �7.39. Si a1 � 3 y S20 � 1 010, entonces, d � 5.40. Si a20 � �110 y d � �6, entonces, a1 � �4.41. Si a1 � 4 y S50 � �7 150, entonces,a50 � �290.
RAZONAMIENTO. Encontrar el término pedido en cadaprogresión aritmética.42. a1 � �3, a18 � 65, a30 � ?
43. a1 � � , a44 � 10, a22 � ?
44. a1 � , a9 � �3, a16 � ?
45. a1 � � , a8 � , a24 � ?
RAZONAMIENTO. Determinar el valor de las siguientesexpresiones.
Si {an} � {1, 2, 3, 4, 5, …}46. S50 � S30 47. S5048. S20 � S15 49. S3050. S10 � S8 51. S2052. A partir de lo anterior, ¿es posible deducir queSm � Sn � Sm � n? Justificar la respuesta.
11�4
3�4
1�5
1�4
1�2
27�5
1�5
19�5
3�5
11�2
1�2
4�7
1�5
1�2
2�5
3�2
6n�7
3n�5
3�2
1�2
2 895�2
5�4
3�4
1�2
1�4
5�3
4�3
2�3
1�3
ACTIVIDADES 4
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1. Se desea comprar un auto cuyo valor es de Bs. 26 000. El concesio-nario ofrece dos formas de pago.FORMA DE PAGO 1. Cuota inicial de Bs. 6 200, el saldo en cuotas no fijasdurante tres años tendrán un aumento mensual de Bs. 5 000. La primeracuota será de Bs. 550.FORMA DE PAGO 2. Cuota inicial de Bs. 5 000, el saldo en cuotas fijas de Bs. 700 durante tres años.¿Cuál forma de pago es más conveniente?
SOLUCIÓNInterpretación del enunciado.Para saber cuál es la forma de pago más conveniente, se debe determinar eltotal a pagar en cada una.
Planteamiento y solución del problema.FORMA DE PAGO 1Las cuotas que se deben pagar después de la cuota inicial forman una progre-sión aritmética donde a1 � 550 y d � 5.Así, para saber el total que se paga por las cuotas se halla la suma de la pro-gresión.Luego, se debe determinar el valor de la última cuota que corresponde a a36.a36 � 550 � (36 � 1) 5 Se remplaza en an � a1 �(n � 1)d
a36 � 725Luego, se remplaza en la fórmula de suma
S36 � � � 22 950
El valor total del auto es la suma de la cuota inicial y el total pagado en cuotas.Valor total � 6 200 � 22 950 � 29 150FORMA DE PAGO 2El valor total en cuotas es Bs. 700 � 36 � 25 200y el valor total del auto � 5 000 � 25 200 � 30 200.Luego, la mejor opción es la forma de pago 1, pues sólo se pagará Bs. 3 150 máspor el auto.
(550 � 725)36���2
(a1 � a36)n��2
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
3.4. Problemas de aplicación de progresiones aritméticasPara la solución de problemas de aplicación que requieren el uso de pro-gresiones aritméticas se deben tener en cuenta los siguientes pasos:1. Interpretación del enunciado. Identificar los datos conocidos.2. Planteamiento y solución del problema. Identificar la fórmula que rela-
ciona los datos dados, remplazarlos en ella y resolver.3. Comprobación de la solución. Verificar si la solución cumple el enun-
ciado del problema.
Ejercicio resuelto
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
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252
2. Los ahorros mensuales de Adolfo se pueden escribir como una pro-gresión aritmética. Si el primer mes ahorra Bs. 500 y al cabo de cua-tro meses tiene ahorrados Bs. 4 400, calcular la cantidad ahorradadurante cada mes.
SOLUCIÓNa1 � 500.000, n � 4 y S4 � 4 400 Se identifican términos conocidos.
Sn � Se identifica la fórmula.
4.400.000 � Se remplaza en la fórmula.
a4 � 1 700 Se despeja an.
Luego, se remplaza d en la fórmula. Así,
d � � � 400, entonces,
a2 � 500 � 400 � 900a3 � 900 � 400 � 1 300Luego, Adolfo ahorró Bs. 900 el segundo mes, Bs. 1 300 el tercer mes y Bs. 1 700el cuarto mes.Total ahorrado por Adolfo:Bs. 500 � Bs. 900 � Bs. 1 300 � Bs. 1 700 � Bs. 4 400, lo que muestra que lassoluciones halladas son correctas.
1 700 � 500���4 � 1
an � a1��n � 1
(500 � a4)4��2
(a1 � an)n��2
COMPRENDER EL ENUNCIADOSi un teatro tiene 12 asientos en la primera fila, 16en la segunda, 20 en la tercera y así sucesivamentehasta completar 20 filas.1. Hallar la cantidad de asientos que hay en la úl-
tima fila.2. Hallar el total de asientos del teatro.3. Si usted se sienta en la fila número 11, ¿cuántas
personas se pueden sentar en esa misma fila?
Una pelota se deja caer de forma vertical, desde loalto de un edificio. El primer segundo cae 4 m, enel siguiente, 24 m, en el tercer segundo 44 m y asísucesivamente.4. Hallar una expresión que permita calcular la
caída de la pelota en n segundos.5. ¿Desde qué altura se lanzó la pelota, si tarda 12
segundos en tocar el suelo?
6. Un batallón decide formar su tropa en triángulo,de tal manera que la primera fila tenga un sol-dado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesiva-mente. Si hay 1 225 soldados, ¿cuántas filas sepueden formar?
EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICA7. Hallar la longitud de la línea que conforme el
laberinto, si sus pasillos miden 1 m de ancho.
10 m1 m
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UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
EXTRAER INFORMACIÓNUna coleccionista de latas degaseosa, tiene apiladas sus latasen forma de pirámide.8. Si su pirámide es de 15 pisos,
¿cuántas latas de gaseosatiene en total?
9. La rueda pequeña gira de modo que su velocidadaumenta a razón de dos vueltas por minuto. Siparte del reposo, hallar el tiempo que tarda en dar4.692 vueltas.
10. ¿Cuántas baldosas se necesitan?11. De un depósito que contiene 80 kg de azúcar
se llenan bolsas de libra cada 10 minutos.
¿Cuánta azúcar quedará en el depósito despuésde dos horas?
1�2
4 cm 2 cm
Gran Rifa
Viaje a Margarita para dos personas, todo incluido 4 noches, 5 días
Valor Bs. 50
10002
1000
2
Nom
bre
___
____
____
___
Dir
ecci
ón _
____
____
____
Gran Rifa
Viaje a Margarita para dos personas, todo incluido 4 noches, 5 días
Valor Bs. 50
10004
1000
4
Nom
bre
___
____
____
___
Dir
ecci
ón _
____
____
____
Gran Rifa
Viaje a Margarita para dos personas, todo incluido 4 noches, 5 días
Valor Bs. 50
10006
1000
6
Nom
bre
___
____
____
___
Dir
ecci
ón _
____
____
____
Gran Rifa
Viaje a Margarita para dos personas, todo incluido 4 noches, 5 días
Valor Bs. 50
10008
1008
Nom
bre
___
____
____
___
Dir
ecci
ón _
____
____
____
Gran Rifa
Viaje a Margarita para dos personas, todo incluido 4 noches, 5 días
Valor Bs. 50
10010
1001
0
Nom
bre
___
____
____
___
Dir
ecci
ón _
____
____
____
1 2 3 4 5
… Mes
20135
19635
19135
18635
18135
Nú
mer
o de
hab
itan
tes
El valor a pagar por el boleto de una extraña rifa se establece a partir de los dos últimos números. Por ejem-plo, por el primer boleto se pagan Bs. 2 y por el quinto se pagan Bs. 10.
Un piso se debe decorar con baldosas de 12 cm � 12 cm.De modo que cada fila sucesiva tenga una baldosamenos que la anterior.
TOMAR DECISIONESLuis y Daniel hablan sobre un título de estudio quecomprarán sus padres.
EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICAEl siguiente diagrama muestra la población de unacolmena en los últimos cinco meses.
12. ¿Cuánto dinero se recoge si existen 200 boletos?
13. ¿Cuál es la mejor opción?14. Lina y Juan inician la lectura del mismo libro
así: Lina lee 50 páginas diarias y Juan lee 10páginas el primer día, 20 el segundo, 30 el ter-cero y así sucesivamente. Si inician la lectura el1º de julio, ¿qué día irán en la misma página?
15. ¿Cuál será la población al cabo de 10 meses?16. ¿Con qué rapidez disminuye el número de habi-
tantes de la colmena?17. De continuar presentándose esta disminución
constante en la población de la colmena, ¿encuántos meses se pronostica que puede desa-parecer?
120 cm
240 cm
Mi papá dará Bs. 20 000 ahora.Durante los próximos ocho añosdará cuotas. La primera será de
Bs. 1 200. y las siete restantes daráBs. 1 200 más que la anterior.
Mi mamá dará Bs. 10 000.Durante los próximos ochoaños pagará como tu papá
pero iniciando con Bs. 1 800.
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Identificar cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geo-métricas. En caso afirmativo determinar la razón r.
a. 2, 4, 6, 8, 10, … b. �1, , � , , …
SOLUCIÓNSe verifica si el cociente de cada término con el anterior es constante. Así,a. 4 � 2 � 6 � 4 � 8 � 6 � 10 � 8. Luego, la progresión no es geométrica.
b. � (�1) � �� � � � � �� � � �
Luego, la progresión es geométrica y r � � .1�3
1�3
1�9
1�27
1�3
1�9
1�3
1�27
1�9
1�3
A continuación se nombraránalgunas progresiones.• Papiro de Rhind (1650 a.C.) yen las tablillas babilónicas(1900-1600 a.C.) donde apare-cen adiciones como1 � 2 � 22 � … � 29
• El pueblo griego (500 a.C.) uti-lizó las proporciones continuasque son las mismas progresio-nes aritméticas.
• Euclides (365-300 a.C.) llamónúmeros en proporción conti-nua a las progresiones aritmé-ticas y números en proporcióndoble continua a las progre-siones geométricas.
• Arquímedes (287-212 a.C.) usóla serie
T � � � … �
para calcular el área de un seg-mento parabólico.
T�4n
T�42
T�4
MATEMÁTICASDE LA ANTIGUEDAD…
3.5. Progresiones geométricasUna progresión geométrica es una sucesión de números tales que cadatérmino, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por unaconstante llamada razón. La razón se encuentra al dividir un término cual-quiera de la sucesión entre su anterior, es decir,
r �an�an � 1
Ejercicio resuelto
Ejercicio resuelto
Para obtener la fórmula del término enésimo, se utiliza la definición deprogresión geométrica y se escribe cada término de la progresión en fun-ción del anterior. Así,a1a2 � a1 � ra3 � a2 � r � (a1 � r)� r � a1 � r2
a4 � a3 � r � (a1 � r2)� r � a1 � r3
De los términos hallados se puede definir la fórmula del término generalde una progresión geométrica:
an � a1 � rn � 1 para n � 1
Hallar el quinto término de la progresión , , , …
SOLUCIÓNPrimero se identifican los elementos: a1 � , n � 5 y r � � �
Luego, an � a1 � rn � 1
a5 � � � �4
� Se remplaza en la fórmula.
Así, el quinto término de la progresión dada es .27�128
27�128
3�4
2�3
3�4
2�3
1�2
2�3
3�8
1�2
2�3
…
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A partir de la fórmula del término enésimo se pueden deducir otras fór-mulas para hallar los diferentes elementos de una progresión geométrica.1. Primer término. Si se conoce la razón y un término cualquiera se tiene
que:a1 �
2. La razón. Si se conocen el primer término de la progresión y un tér-mino cualquiera se tiene que:
r � ��3. Número de términos. Si se conoce la razón, el primer término y el últi-
mo término de la progresión se tiene que:
n � � 1Log� ���Log r
an�a1
an�rn � 1
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
¿Cómo se obtiene de la fórmuladel término general, la fórmulapara el número de términos deuna progresión geométrica?
PARA RESPONDER
an�a1
1. Hallar el primer término de una progresión geométrica cuyo quin-to término es 432 y su razón es 6.
SOLUCIÓNSe identifican los elementos: a5 � 432, r � 6 y n � 5
Así, a1 � � Se remplaza en la fórmula.
a1 � � . Luego, el primer término es .
2. Hallar la razón de la progresión geométrica cuyo primer término
es y su sexto término es .
SOLUCIÓNSe identifican los elementos: a1 � , a6 � y n � 6
Así, r � ��
r � Se remplaza en la fórmula.
r � �5 � �
Luego, la razón es r � .1�3
1�3
2�486
�4186�
��12�
an�a1
1�486
1�2
1�486
1�2
1�3
1�3
432�1.296
432�64
an�rn � 1
Ejercicio resuelto
5
n�1
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3. Hallar el número de términos de la progresión geométrica dondea1 � 2, an � 486 y r � 3.
SOLUCIÓNSe remplazan los elementos dados en la fórmula. Así
Luego, la progresión geométrica tiene seis términos.
4. En una progresión geométrica el término a3 � 18 y el términoa5 � 162, hallar a12.
SOLUCIÓNPor la fórmula del término general para a3 y a5 se tiene el sistema.
�18 � a1 � r2 Ecuación 1.
162 � a1 � r4 Ecuación 2.
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que puede resolver-se por cualquiera de los métodos vistos en la unidad 4. En este caso se utili-zará el método de igualación.
a1 � En la ecuación 1.
a1 � En la ecuación 2.
de donde, � Se iguala.
� Se simplifica.
r2 � 9, entonces, r � 3
Para hallar a1 se remplaza r en 1. Así,
a1 � � 2 Se simplifica.
Finalmente se halla a12. Así,
a12 � 2 � (3)12 � 1
a12 � 354.294
18�9
162�18
r4�r2
162�
r418�r2
162�
r4
18�r2
Se remplaza en la fórmula del términogeneral y se resuelven las operacionesindicadas.
n �
n � � 1Log� ���Log r
an�a1
Log��4826��
��Log 3� 1 � 6 Se resuelven las operaciones indicadas.
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RAZONAMIENTO. Identificar cuáles de las siguientes suce-siones son progresiones geométricas; si lo son, deter-minar la razón r.1. {�1, �2, �4, �8, �16, �32, �64, …}2. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
3. �� , � , � , � , � , � , …�4.
EJERCITACIÓN. Hallar el término indicado en cada pro-gresión geométrica.6. Duodécimo término de 3, �6, 12, �24, …7. Décimo término de 128, 64, 32, 16, …
8. Noveno término de 2, 3, , , …
9. Séptimo término de 4,2; 42; 420; …10. Séptimo término de 14,35; 143,5; 1.435; …
11. Décimo término de � , � , � , …
RAZONAMIENTO. Escribir geométrica o aritmética, segúncorresponda. Luego, escribir, la fórmula del términogeneral según el caso.12. �17, �11, �5, 1, es una progresión .13. 5, 15, 45, 135, es una progresión .
14. �3, � , � , � , es una progresión .
15. , , 0, � , es una progresión .
16. , 14, 140, 1.400, es una progresión .
MODELACIÓN. Encontrar la razón que da origen a lassiguientes progresiones geométricas.
17. 2x, , , … 18. 3w � 6, w � 2, , …
19. , y, y2,… 20. �4x2, 8x4, �16x6, …
21. 4x � , 12x2 � x, 36x3 � 3x2, …
RAZONAMIENTO. Escribir verdadero o falso según corres-ponda. Justificar la respuesta.
22. Si a8 � 30 y r � 2, entonces, a1 �
23. Si a1 � �2 y r � 3, entonces, a6 � �48624. Si a6 � 32 y r � 2, entonces, a1 � 4
25. Si r � y a5 � , entonces, a1 � 2
26. Si a1 � � y a6 � � , entonces, r �
EJERCITACIÓN. Calcular el valor de n para cada progresióngeométrica.
27. a1 � , an � 384, r � 2
28. a1 � 3, an � 81, r � 3
29. a1 � , an � 1.458, r � 3
30. a1 � , an � 9.375, r � 5
31. a1 � , an � 4.802, r � 7
PROBLEMAS. Resolver.
32. Determinar el primer término y la razón de unaprogresión geométrica, si se sabe que el cuarto térmi-
no es y el sexto es .
33. Determinar la razón de una progresión geométri-ca si se sabe que el primer término es y el cuar-to es 10.34. Un jugador, cada vez que apuesta su dinero pier-de la mitad de la cantidad anterior. ¿Qué fracciónrepresenta su pérdida en la séptima apuesta?
35. Un hombre triplica su consumo de agua cada día
durante una semana. Si el primer día bebió 2 vasos
* PARA PENSAR.36. Si an � 3n es el término enésimo de una sucesión,¿la sucesión es aritmética o geométrica? Justificar larespuesta.
1�2
1�1 000
2x�25
8�81
2�9
2�7
3�5
2�3
3�4
1�4
1�486
1�2
81�18
3�2
15�64
1�3
3�20
3�10
3�5
w � 2�3
2x�5
7�5
1�3
1�3
2�3
3�8
3�4
3�2
1�12
1�4
3�4
27�4
9�2
32�3
16�3
8�3
4�3
2�3
1�3
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
ACTIVIDADES 5
de agua, ¿cuántos vasos de agua toma aproximada-mente al finalizar la semana?
5. �6, 2, , , , …�2�3
6�9
8�27
� , , , , , , …�1�3
3�6
9�12
27�24
81�48
243�96
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EJERCITACIÓN. Determinar la suma de los términos quese indican en cada progresión geométrica.
1. Los primeros seis términos de 1, 4, 16, …2. Los cinco primeros términos de �2, 10, �50, …
3. Los cuatro primeros términos de , , , …
4. Los ocho primeros términos de , , , 5…
5. Los cuatro primeros términos de , , , …
RAZONAMIENTO. Escribir si la afirmación es falsa o ver-dadera. Justificar la respuesta.
6. En la progresión {3,2; 9,6; 28,8; 86,4; …} larazón aritmética es 6,4.
7. En la progresión �___, ___, , , � eltérmino a1 � , ya que la razón es .
8. La suma de los tres primeros términos de
9. Si en una progresión aritmética a1� 0 y la razónes mayor que 1, entonces, los siguientes términosserán menores que los anteriores.
RAZONAMIENTO. Sobre los puntos medios de un cuadra-do de 4 cm de lado se construye otro cuadrado. El pro-ceso se repite indefinidamente como se muestra en lafigura.
10. Determinar una progresión que indique el área decada cuadrado construido.11. ¿La progresión anterior es aritmética o geométri-ca? Justificar la respuesta.12. Determinar el área del cuadrado número 20 consus respectivos lados.13. ¿Es posible obtener un cuadrado cuyo lado mida
cm?1�16
3�4
3�4
81�32
27�16
9�8
1�12
1�6
1�3
5�2
5�4
5�8
12�5
6�5
3�5
3.6. Suma de los términos de una progresión geométricaLa suma de los términos de una progresión geométrica se nota Sn. La fór-mula para hallar la suma de los términos de una sucesión geométrica es
S � con r � 1a1(r
n � 1)��r � 1
Ejercicio resueltoHallar la suma de los diez primeros términos de la progresión geomé-trica �2, 4, �8, …
SOLUCIÓN
r � � �2 Se encuentra la razón.
Luego, S �.
Se remplaza n � 10, a1 � �2 y r � �2
Así, S � � � 682�2 046�
�3�2�(�2)10 � 1���(�2) � 1
a1(rn � 1)
��r � 1
4��2
ACTIVIDADES 6
la progresión �___, ___, ___, , , � es 21.3�2
3�4
3�8
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RAZONAMIENTO. Completar las tablas a partir de lasiguiente información.En un triángulo equilátero se marcan los puntosmedios de sus lados y se construye otro triángulo; asísucesivamente como se muestra a continuación.
14.
¿La progresión anterior es aritmética o geométrica?Justificar la respuesta.15.
¿La progresión anterior es aritmética o geométrica?Justificar la respuesta.16. Si un lado del segundo triángulo mide 20 cm,¿cuál será el perímetro del sexto triángulo?
17. Si el perímetro del quinto triángulo es 25 cm,¿cuál será el perímetro del primer triángulo?
RAZONAMIENTO. Relacionar las progresiones de laizquierda con algunas características de la derecha.
18. � , 6, 15, …� a. Razón 212�5
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
Triángulo 1 2 3 8
Área cm2 8 192
1 2
3 4
Triángulo 1 5 6 7 8
Perímetro cm 9
Interpolar dos medios geométricos entre 48 y 6.
SOLUCIÓNSe identifican los elementos a1 � 48, a4 � 6, n � 4.
r � � � �3 � Se halla la razón con la fórmula dada.
a2 � 48 � � 24 Se hallan los medios geométricos.
a3 � 24 � � 12. Luego, la progresión es 48, 24, 12, 6.1�2
1�2
1�2
6�48
an�a1
3.7. Interpolación de medios geométricosLos números que se encuentran entre dos términos de una progresióngeométrica reciben el nombre de medios geométricos.Interpolar medios geométricos significa encontrar los términos que vanentre dos números dados, para esto sólo se necesita conocer la razón r.
Ejercicio resuelto
n�1
19. � , 1, , …� b. Razón�3
1�5
9�5
21. � , 1, , …� d. Razón 3�5
5�3
5�3
22. {�2, �5, �8, …} e. a7 � 5
* PARA PENSAR. Si se tiene una sucesión en donde
a1 � y la razón es . Qué se puede afirmar sobre
el término a100, dadas las siguientes condiciones:23. Si la progesión es aritmética.24. Si la progresión es geométrica.
* PARA PENSAR. Descomponer el número 65 en tressumandos que cumplan la condición dada.25. Los sumandos forman una progresión geométricatal que el producto del primero por el tercero es 225.
3�5
4�5
20. � , , , …� c. Razón 48�5
96�5
192�5
5�2
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EJERCITACIÓN. Completar las siguientes progresionesgeométricas.1. 2, ___, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 5122. ___, ___, 3, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 384
3. , ___, ___, ___, ___, ___, 8, ___, ___
4. , ___, ___, ___, 56, ___
5. �6, ___, � , ___, � , ___, ___, ___
6. �2,5, ___, ___, ___, ___, �80
RAZONAMIENTO. Interpolar.7. Dos medios geométricos entre 3,1 y 310 000.8. Tres medios geométricos entre 2,6 y 41,6.9. Cuatro medios geométricos entre 3 y 9 375.
10. Cinco medios geométricos entre 32 y .
11. Cuatro medios geométricos entre y .
12. Siete medios geométricos entre y 4 374.
13. Tres medios geométricos entre y .
14. Dos medios geométricos entre 4 y 500.15. Siete medios geométricos entre 6 y 1 536.
RAZONAMIENTO. Escribir falso o verdadero, según corres-ponda. Justificar la respuesta.16. Para hallar los cuatro medios geométricos deuna progresión, se determina que la cantidad de tér-minos sean cuatro.
17. Para hallar la suma de los n primeros térmi-nos de una progresión geométrica también es posible
ble utilizar la fórmula Sn � .
18. Para calcular el primer término de una pro-gresión geométrica, es necesario conocer la razón ycualquier otro término.19. Para interpolar seis medias geométricas esnecesario conocer a1 y a6.
20. Para determinar el número de términos deuna progresión geométrica es necesario conocer el pri-mero y el último término.21. Si se tiene la razón común y el quinto térmi-no de una progresión geométrica, no es suficiente paradeterminar el primer término.
RAZONAMIENTO. Sobre unhexágono regular de área1.536 cm2, se construyenotros hexágonos con lospuntos medios de los trián-gulos equiláteros que la con-forman, y se continúa lamisma construcción indefi-nidamente.La figura, muestra esta situación.22. Escribir los cinco primeros términos de la progre-sión área del hexágono, si se sabe que el área del pri-mer hexágono es 1 536 cm2.23. ¿Cuál es el término n-ésimo de la progresión?24. Hallar el área del décimo hexágono.25. Hallar la suma de las áreas de los primeros cincohexágonos, si a1 � 384 cm2.26. ¿Cuál es la suma de las áreas de los primeros cin-cuenta hexágonos, si a1 � 384 cm2?27. Si el perímetro del hexágono más grande es6.144 cm, hallar el perímetro del cuarto hexágono.
28. Si el hexágono más grande tiene un área de 1,5 cm2
y el sexto hexágono un área de cm2. Hallar el
área del segundo, tercero y quinto hexágono.
Sugerencia: hallar cuatro medios geométricos entre
1,5 y .
* PARA PENSAR. Justificar las respuestas.
29. Si se tiene una progresión geométrica en donde
a1 � y r � ,
¿esta suma puede llegar a ser igual a 3?
1�5
1�2
1�162
1�162
(a1 � an) � n��2
7�162
7�2
2�3
128�1 215
4�5
1�128
32�27
8�3
7�2
1�8
ACTIVIDADES 7
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1. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que, al final decada mes, sólo queda la mitad de lo que había al inicio. Si al comen-zar el año se tenían 100 gramos de dicha sustancia, ¿cuántos gramosquedarán luego de seis meses?
SOLUCIÓNInterpretación del enunciado.Para dar solución al problema se debe hallar a6.
Planteamiento y solución del problema.
a1 � 100 gramos, n � 6 y r � Se identifican los elementos.
a6 � � 3,125 Se resuelven las operaciones indicadas.
Luego, a mitad de año quedan 3,125 gramos de sustancia radiactiva. La verifi-cación de la solución se deja como ejercicio al lector.
2. Rafael pide un préstamo de Bs. 1 000 y se compromete a pagar cadames, durante seis meses, el doble del mes anterior. Si la primera cuotaes de Bs. 50, ¿cuánto dinero pagará por el préstamo?, ¿cuál es el valorde la última cuota?
SOLUCIÓNPara saber el valor de la última cuota se halla a6.
a1 � 50; n � 6 y r � 2 Se identifican los elementos.
Luego,
a6 � 50(2)5 � 1 600 Fórmula del término general an � a1rn � 1
Así, el valor de la última cuota será de Bs. 1 600.
Para saber el total que paga por el préstamo se halla S6. Así,
S6 � � 3 150 Se remplaza en la fórmula.
Luego, Rafael paga en total Bs. 3 150 por el préstamo de Bs.1 000.
50(26 � 1)��2 � 1
25�8
1�2
UNIDAD 8 • SUCESIONES Y PROGRESIONES
3.8. Problemas de aplicaciónde las progresiones geométricas
Para solucionar problemas de aplicación de las progresiones geométricases conveniente tener en cuenta los pasos empleados en la solución de pro-blemas de progresiones aritméticas.
Ejercicio resuelto
a6 � 100� �5
Se remplaza en la fórmula an � a1rn � 1.1
�2
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EXTRAER DATOS DE UN DIBUJO
Se deja caer una pelota des-de cierta altura. Cada vezque la pelota golpea contra
el piso rebota de la altu-ra anterior.
1. ¿Cuál es la altura a la que rebota la pelota despuésde que pega por quinta ocasión en el piso?
2. ¿Cuál es la altura después del n-ésimo rebote?3. ¿Cuántos metros ha recorrido la pelota despuésde que toca el suelo por quinta vez?
4. ¿Cuántas veces necesita pegar en el piso la pelo-ta antes de que su altura sea menor de 36 m?
5. ¿La pelota dejará de rebotar en algún momento?Justificar la respuesta.
Se cuenta con un conjunto de recipientes como losque se muestran en la figura.
6. Si el primer recipiente tiene una capacidad de 100litros, ¿con cuántos recipientes, en orden, se puedellenar?
7. Si se supone que el segundo almacena la mitad delprimero, el tercero la mitad del segundo, el cuar-to la mitad del tercero y así sucesivamente, ¿esposible llenar el primer recipiente con el líquidode todos los demás? Justificar la respuesta.
COMPLETAR EL ENUNCIADO8. Si los ángulos internos de un triángulo están enprogresión geométrica de razón 2, ¿cuánto mideel ángulo menor?
9. Un baterista, al componer una melodía, toca losplatillos con sus baquetas una vez, luego, tresveces, luego nueve veces. Si su composicióntiene 8 ritmos, ¿cuántas veces tocará los platillos?
10. Una mujer ahorró Bs. 1 280 en junio, y de ahí enadelante sólo ha podido ahorrar la mitad de loque ahorró en el mes anterior. ¿Cuánto ha aho-rrado en el noveno mes y de cuánto es su aho-rro?
11. Se tiene un rollo de cuerda que mide 1 024 m yse corta la cuarta parte. Luego, se vuelve a cor-tar la cuarta parte de lo que queda y así sucesi-vamente. ¿Cuánta cuerda queda después deldécimo corte?
12. El número de bacterias de cierto cultivo, aumen-ta en 15% cada hora, si inicialmente hay 30 000bacterias, ¿cuántas bacterias habrá al cabo de 24horas? ¿En qué momento las bacterias se quin-tuplicarán?
13. La depreciación anual de cierto vehículo es del2%. Si el valor del vehículo es de Bs. 50 000,¿cuál es el valor del vehículo después de cincoaños? ¿en qué año el vehículo costará la mitad?
EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICAEn la siguiente gráfica se muestra la depreciación enel costo de un auto.
14. ¿En qué porcentaje se reduce el costo del auto?15. ¿Cuánto costará el auto en el año 2012?16. Si el precio del auto se estabiliza en 10 años,
¿cuál será su costo?
1�3
1019
100361
10006859
x litros x litros x litros x litros
2002 2008 2009 2010 Años
75
71,25
67,6875
64,303125
Pre
cio
en m
illon
es
1.458 m
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1. Hallar una fórmula para determinar el pesode una persona de acuerdo con la dosis enmg recomendada.
2. Hallar una fórmula que represente la can-tidad de miligramos suministrados delmedicamento por persona.
3. ¿Es posible hallar una fórmula que relaci-ne el peso en libras de una persona y lacantidad de miligramos suministrados?Escribirla.
4. ¿Es posible hallar una fórmula que repre-sente la cantidad de mililitros del medica-mento suministrado por persona? Escribirla.
5. La cantidad de medicamento en miligramosen cierto tipo de tratamiento, se debe dis-minuir de tal modo que al final de cadames, sólo se debe consumir la tercera partede la que se consumía al inicio. Si el trata-miento inicia con un consumo de 75 mg delmedicamento, ¿cuánto medicamento seestará consumiendo el quinto mes?
6. Cuando se baje de mg, el medicamen-
to anterior, ya no debe consumirse más.¿A partir de qué mes ya no consume másel medicamento?
1�2
DOSIS DE MEDICAMENTO
Peso del niño 22 33 44 55 66 77 88 libras
Cantidad total 1 1 2 2 3 3 4 mg
Líquido 1 1 1 1 2 cucharaditas
Tabletas 4 mg – – 1 1 tabletas1�2
1�2
1�2
1�2
1�2
3�4
1�2
2 mg�5 ml
1�2
1�2
1�2
* Dosis en el adulto 4 mg.
La toma de medicamentos para controlar cualquier dolor o molestia se haconvertido en una nueva tendencia dentro de la población. En muchas oca-siones, las personas se automedican sin consultar al especialista, auncuando pongan en riesgo su propia vida a causa de los efectos secundariosde estos medicamentos.Existen muchos medicamentos que son de venta libre, y otros que, por elcontrario, exigen de la fórmula médica para su venta. Sin importar el tipode medicamentos, existen unas dosis recomendadas que van de acuerdocon el peso, la edad o la necesidad de la molestia. Por ejemplo, en el casode un medicamento para niños se tiene la siguiente tabla, junto con las indi-caciones respectivas.
SALUD
(mg)
(cucharadita)
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El término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci se puede hallar median-te la ecuación:
fn � �� �n
� � �n
�7. Hallar el término número 13 de la sucesión de Fibonacci.8. Hallar el término número 16 de la sucesión de Fibonacci.9. Dado el valor de un término, ¿es posible hallar la ubicación de dichotérmino a partir de la fórmula? Justificar la respuesta.
10. Tomar la sucesión de Fibonacci y dividir cada término entre el ante-rior, a partir del segundo término, hasta completar 10 divisiones. ¿Aqué número se aproximan los resultados de cada división?
1 � 5���2
1 � 5���2
1�5�
TECNOLOGÍA
Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Número de parejas 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
Existen aspectos en la naturaleza que pueden ser representadosmediante la matemática.
Leonardo de Pisa, Fibonacci, explicó el desarrollo de fenómenos natu-rales de crecimiento por medio de una secuencia numérica, que des-pués fue muy conocida. Apareció por primera vez en el libro Liber abacirelacionado con la procreación de los conejos.
El problema consistía en determinar cuántos conejos se podían obte-ner de una pareja durante cada mes, teniendo en cuenta que ningúnconejo muere.
Esta sucesión también se hace presenteen la música. Por ejemplo, Beethoven, laempleó en el tema de su quinta sinfonía,y Béla Bartók la usó como técnica paradesarrollar una escala que llamó escalamusical de Fibonacci, en su honor.
Aunque hay más supuestos que posiblemente no se dan en la realidad, la sucesiónde Fibonacci, se encuentra en otros fenómenos naturales como: el caracol nautilos,los cuernos del cimarrón, forma en que nacen las ranas y hojas de algunas plantas,los girasoles entre muchos más.
(2) (3) (5) (8) (13)
ESCALA MUSICAL DE FIBONACCI
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1.2 .
GENERALIDADES.
OPERACIONES CON NÚMEROSCOMPLEJOS.
No es tan difícil como se piensa...Encontrar los valores de las letras a, b, c, d, e y f de la pirámide dela figura; de tal forma que al remplazarlos, el número de cada casi-lla sea igual al producto de las dos casillas inferiores.
No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 275
a
10i �1
5 b
e f
i c i 2 � i d�
� �1 � i
50 � 50i
�1�
� �
�
�
9UNIDAD
Números complejos
• FRACTALES.• LOS COMPLEJOS Y LA REALIDAD.
TEMAS
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Escribir los siguientes radicales como números imaginarios puros.
a. ���16� b. ���16�2� c. ���17�
SOLUCIÓN
a. ���16� � �16� �� (���1)�� �16� � ���1� Por la propiedad �a� �� b� � �a��b�.
� 4 � ���1� Cálculo de la raíz.
� 4 � i Se remplaza ���1� por i.
b. ���16�2� � �16�2���(��1)�� �16�2� � ���1� Por la propiedad �a� �� b� � �a��b�.
� �2���34� � ���1� Descomposición de 162 en factores primos.
� 32 � �2� � ���1� Cálculo de la raíz.
� 9�2�i Solución de la potencia y remplazo de ���1� por i.
c. ���17� � �17� �� (���1)�� �17� � ���1�� �17�i ©
SA
NTI
LLA
NA
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GENERALIDADES1 Dar respuesta a ecuaciones como x2 � a � 0, que no tienen solución enlos números reales, permitió el surgimiento del conjunto numérico de losnúmeros complejos o imaginarios. La principal característica de este con-junto consiste, en que, cualquiera de sus elementos elevado a un númeropar da como resultado un número negativo. La unidad principal o unidadimaginaria está representada por la letra i, y se define como i � ���1�.Los números imaginarios que pueden expresarse como el producto de un número real por la unidad imaginaria reciben el nombre de númerosimaginarios puros, y resultan al expresar raíces pares de cantidadesnega tivas.
ESTÁNDAR: PENSAMIENTO NUMÉRICO
Los números complejos aparecen en el momento en que diferentes matemáticosbuscan fórmulas para hallar las raíces exactas de polinomios de grados 2 y 3. Esasí como, en el siglo XVIII, surge la Teoría de números como una rama indepen-diente de la matemática. Durante este período, matemáticos como Halley,Lagrange, Fourier y, especialmente, Euler, proponen las reglas para trabajar connúmeros complejos.Sin embargo, no es sino hasta el siglo XIX cuando realmente el análisis complejotiene un desarrollo y una aplicación a partir de los aportes matemáticos destaca-dos como Gauss y Riemann, entre muchos otros. Actualmente, los números com-plejos son utilizados especialmente en el campo de la ingeniería electrónica, lamecánica cuántica y la relatividad es pacial.
LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA
¿Por qué la ecuaciónx2 � 2 � 0 no tiene soluciónen los números reales?
PARA RESPONDER
�nam� � a
RECORDAR QUE
Ejercicio resuelto
mn
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1.1. Potencias de iUtilizando las propiedades de la potenciación y la definición de i, se calcu -lan los valores de las cuatro primeras potencias denominadas potenciasbásicas de i. Así,
i1 � ii2 � (���1�)2 � �1i3 � i2 � i � �1 � i � �ii4 � i2 � i2 � (�1)(�1) � 1
A partir de la quinta potencia i5 los resultados se repiten en períodos dea cuatro. Así, para calcular el valor de una potencia de i con exponentemayor que cuatro se procede así:• Se divide el exponente de la potencia entre cuatro y se expresa de la for -
ma 4n�r, donde n es el cociente y r es el residuo de la anterior división.• Para calcular el resultado se aplican las propiedades de la potenciación
teniendo en cuenta las potencias básicas de i.
UNIDAD 9 • NÚMEROS COMPLEJOS
Si a bd c
entonces
a � b � c � da es el dividendob es el divisorc es el cociented es el residuo
RECORDAR QUE
¿Cuál es el orden en las opera-ciones de un polinomio dado?
PARA RESPONDER
1. Calcular las siguientes potencias de i.a. i13 b. i11
SOLUCIÓNa. i13 � i4 � 3 � 1 Pues 13 � 4 � 3 � 1.
� i4 � 3 � i1 Por la propiedad an � am � an � m.
� (i4)3 � i1 Por la propiedad (an)m � an � m.
� (1)3 � i Remplazando las potencias básicas.
� i Resolviendo las operaciones indicadas.
b. i11 � i4 � 2 � 3 Pues 11 � 4 � 2 � 3.
� i4 � 2 � i3 Propiedad an � am � an � m.
� (i4)2 � i3 Propiedad (an)m � an � m.
� (1)2 � (�i) Remplazando potencias básicas.
� �i Solución de operaciones indicadas.
2. Resolver las operaciones indicadas.a. 3i5 � 12i7 � 4i6 � 2i8 b. 3i(2i2 � 5i3)
SOLUCIÓNa. 3i5 � 12i7 � 4i6 � 2i8 � 3i � 12(�i) � 4(�1) � 2(1)
� 3i � 12i � 4 � 2� 15i � 6 � 6 � 15i
b. 3i(2i2 � 5i3) � 3i(2i2) � 3i(5i3) Propiedad distributiva.
� 6i3 � 15i4 Solución de operaciones indicadas.
� 6(�i) � 15(1) Cálculo de las potencias de i.
� �6i � 15 � 15 � 6i Solución de operaciones indicadas.
Ejercicio resuelto
Cálculo de las potencias de i.
Solución de operaciones.
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1.2. Números complejosLos números complejos son números de la forma a � bi, donde a, b � �.Al número a se le llama parte real del complejo y al número b se lellama parte imaginaria del complejo. Por ejemplo, en el número comple-jo �7 � 9i, la parte real es �7 y la parte imaginaria es 9i.
El conjunto de números complejos está formado por los números de la formaa � bi. Este se nombra con la letra �. Es decir
� � {a � bi / a, b � � e i � ���1�}.
De lo anterior se deduce que todo número real puede ser escrito como unnúmero complejo de la forma a � 0i � a. Por lo tanto, todo número reales un número complejo. Luego, � � �.Del mismo modo, todo número imaginario puro puede ser escrito comoun número complejo de la forma 0 � bi � bi. Por lo tanto, el conjunto delos números complejos contiene a los números imaginarios puros.
Expresar en forma cartesiana los siguientes números complejos.a. 5i b. 2 � 3i c. 9
SOLUCIÓNa. 5i puede ser expresado como 0 � 5i. Luego, su expresión cartesiana es (0, 5).b. 2 � 3i en su expresión cartesiana es (2, �3), parte real 2 y parte imagina-
ria �3.c. 9 es igual a 9 � 0i. Luego, su expresión cartesiana es (9, 0).
Ejercicio resuelto
Identificar en cada número complejo la parte real y la parte imaginaria.a. 9 ����16� b. �25� c. ���9�
SOLUCIÓNa. 9 ����16� � 9 � 4i Pues ���16� � �16����1� � 4.
Luego, la parte real es 9 y la parte imaginaria es �4.
b. �25� � 5 � 0i Pues �25� � 5.Luego, la parte real es 5 y la parte imaginaria es 0.
c. ���9� � 3i � 0 � 3i Pues ���9� � �9����1� � 3.Luego, la parte real es 0 y la parte imaginaria es 3.
Ejercicio resuelto
ALGO IMPORTANTEDos números complejos son igua-les si sus respectivas partes rea-les son iguales y sus respectivaspartes imaginarias son iguales.En símbolos a � bi � c � di,si y sólo si, a � c y b � d.
Todo número complejo se puede expresar de dos formas, así:• En forma binomial, como la suma o resta de la parte real y la parte
imaginaria. Por ejemplo, el número 5 � 3i está expresado en formabinomial.
• En forma cartesiana, como pareja ordenada donde la primera com-ponente es la parte real y la segunda componente es el coeficiente dela parte imaginaria.
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Eje imaginario
Plano complejo
Eje real0
1.4. Conjugado y norma de un número complejoEl conjugado de un número complejo es otro número complejo que sólodifiere con el anterior en el signo de la parte imaginaria.
El conjugado del número complejo z se denota z�.
Si z � a � bi entonces z� � a � bi
269
1.3. Representación gráfica de los números complejosTodo número complejo se puede representar geométricamente sobre elplano complejo (figura 1).El plano complejo está formado por dos rectas que se cortan en forma per-pendicular; la recta horizontal recibe el nombre de eje real, y sobre él selocaliza la parte real de los números complejos. La recta vertical se llamaeje imaginario, y en ella se localiza la parte imaginaria de los númeroscomplejos.Para representar números complejos en el plano complejo, es conve-niente expresarlos en forma cartesiana. De tal manera, que la primeracomponente se ubica en el eje real, y la segunda componente se ubicasobre el eje imaginario.
UNIDAD 9 • NÚMEROS COMPLEJOS
¿En qué lugar del plano com-plejo se localizan los númerosimaginarios puros?
PARA RESPONDER
¿En qué casos son iguales unnúmero complejo y su con-jugado?
PARA RESPONDER
Figura 1
Representar los siguientes números complejos sobre el plano complejo.
a. 2 � 3i b. � � 2i c. �3i d. 4
SOLUCIÓNLa expresión cartesiana de los númeroscomplejos dados es:
a. 2 � 3i � (2, 3)
b. � � 2i � �� , 2�c. �3i � (0, �3)
d. 4 � (4, 0)La ubicación de dichas parejasse muestra en el plano complejo.
32
32
32
Ejercicio resuelto
Hallar el conjugado de cada uno de los siguientes números complejos.a. 3 � 5i b. �4 � 2i c. �2 � i
SOLUCIÓNa. Si z � 3 � 5i, entonces, z� � 3 � 5i.b. Si z � �4 � 2i, entonces, z� � �4 � 2i.c. Si z � �2 � i, entonces, z� � �2 � i.
Ejercicio resuelto
Eje imaginario
Eje real
0
1
21
22
23
24
2
3
4
21 1 2 3 4 23 24 22
3 2 2 , 1 2 2
3 2 2
(2, 3)
(4, 0)
(0, 23)
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La norma de un número complejo z � a � bi denotada |z|, es la dis-tancia que hay desde el origen del plano complejo a la pareja ordena-da (a, b).Gráficamente, se observa que la norma es lahipotenusa de un triángulo rectángulo con cate-tos a y b. Por lo tanto, al aplicar el teorema dePitágoras se tiene que:|z|2 � a2 � b2, de donde|z| � �a�2��� b�2�
Si z � a � bi entonces |z| � �a�2��� b�2�
En todo triángulo rectángulose cumple que la hipotenusa alcuadrado es igual a la suma delos cuadrados de los catetos.
RECORDAR QUE
Hallar la norma de los siguientes números complejos.
a. z � �3 � 2i b. z � � � i
SOLUCIÓNa. Con a � �3 y b � 2 se tiene que
|z| � �(��3)�2��� (�2)�2� � �9��� 4� � �13�
b. Con a � � y b � � se tiene que12
13
12
13
Ejercicio resuelto
ACTIVIDADES 1
EJERCITACIÓN. Escribir como número imaginario cadauna de las siguientes raíces.1. ���9� 2. ����72� 3. ����25�
4. ���12� 5. � ���10�0� 6. ��EJERCITACIÓN. Reducir cada expresión y expresarlacomo un número imaginario.7. ���64� � ���22�5� 8. ���36� � ���49�9. ����25� � 5���9� 10. 0,7���14�4� � 0,6���16�9�
11. 12.
RAZONAMIENTO. Hallar el valor de la incógnita en lassiguientes ecuaciones.13. m2 � 2 � 0 14. y2 � 9 � 015. b2 � 5 � �11 16. �x2 � 1 � 5
17. � 1 � 0 18. � 6 � 0a22
3x24
4���50�7�5�
3���75��5�25�
�2536
25
67
EJERCITACIÓN. Calcular las siguientes potencias de i.19. i12 20. i17 21. i43
22. i231 23. i8.425 24. i4k
25. i6k � 1 26. i3n � 2 27. ( i16n)2
RAZONAMIENTO. Calcular.28. (4i3)2 29. (�2i5)4
30. (3i10)2/5 31. �6i2 � 32i15
32. (5i � 7i)2 � (5 � 6i)3 � (12i)4
33. 5i36 � 9i12 � i23 34. i16 � i14 � i12 � i10
35. � 6i21 36. � �
* PARA PENSAR. Calcular las siguientes sumas de núme-ros imaginarios.
37. i � i2 � … � i80 38. i4 � i8 � i12 � … � i72
39. i3 � i4 � i5 � … � i200 40. i100 � i101 � … � i180
5i6
i23i16
i74i18
i14i35i24
0 a
b
b
(a, b)
z
|z| � �� �2 � �� �2 � �� ���� � �� � �13�6
1336
14
19
12
13
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PROBLEMA. Determinar, en cada caso, qué barco se encuentra más cerca del tesoro. Justificar la respuesta uti-lizando la norma de un complejo para ello.76. 77. 78.
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271
RAZONAMIENTO. Escribir la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos. Luego, expre-sarlos en forma cartesiana.41. 4 � 7i 42. 25 � �2�i 43. �8 � �2� � 5i � �3�i 44. 7 � 9i � 4
45. � ���64� 46. � � ���25� 47. � �2� � �� 48. � ���827
97
�916
45
85
43
UNIDAD 9 • NÚMEROS COMPLEJOS
RAZONAMIENTO. Marcar con una � el conjunto al cualpertenece cada número.49.
RAZONAMIENTO. Unir cada número complejo con suconjugado.50. 6 � 3i a. �5 � �5�i51. �7 � i b. �9 � 5i52. �3 27� � ���16� c. �36� � ���9�
53. ��4
16� � ���9� d. � ���9�
54. �5 � ���5� e .
55. �33 � (�5)1/2 f. �27 � �5�i56. (3i)2 � ���25� g. �2 � 3i57. �3i h. 3 � 4i
03
RAZONAMIENTO. Escribir V, si la afirmación es verdade-ra o F, si es falsa. Justificar las respuestas.
58. �x2 � 1 � i; si x � i.
59. Toda raíz inexacta es un número imaginario.
60. Todo número i se puede expresar como unnúmero real.
61. El cociente entre dos números imaginariossiempre es otro número imaginario.
62. El conjunto de los números imaginarios es elcomplemento del conjunto de los números reales.
63. �z � z�EJERCITACIÓN. Representar en el plano complejo lossiguientes números.
64. 3 � 2i 65. � 5i
66. �2 � i 67. �3i
68. � i 69.
70. �6 � 3i 71. �1 � i
72. � � 4i 73. � i
74. �i � 5 75. 3i � 6
32
52
35
83
34
12
14
21 1 2 32223
21i
22i
23i
2i
3i
Tesoro
Barco
Barco
Barco
A
B
C
1i 1i
21 1 2 32223
21i
22i
3i
Tesoro
A
B
C
2i
23i
Barco
Barco
Barco
2i
22 2 4 62426
22i
26i
4i
6i
Tesoro
A
BC24i
Barco Barco
Barco
ImaginarioNúmeros � � � puro �
�9
4 � 0i
����2�3 � 7i
��49� � ���1�
(9 ����9�)�8 � �3�
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OPERACIONES CONNÚMEROS COMPLEJOS
2 2.1. Adición de números complejosPara sumar dos o más números complejos se suman, respectivamente, laspartes reales y las partes imaginarias.
Si z, w � � con z � a � bi y w � c � di, entoncesz � w � (a � c) � (b � d)i
2.2. Sustracción de números complejosPara restar dos o más números complejos se restan, respectivamente, laspartes reales y las partes imaginarias.
Si z, w � � con z � a � bi y w � c � di, entoncesz � w � (a � bi) � (c � di) � (a � c) � (b � d)i
BRAHMAGUPTAIndia (598-670)
Fue considerado el más grandematemático de la época.Vivió en el centro de la Indiadonde se encontraba el observa-torio más famoso del mundo, delcual fue su director.Una de sus obras más famosas fuesu libro Brahmasphutasiddhan ta,que contenía 25 capítulos.Los 10 primeros dedicados a laastronomía y los 15 restantes, ala matemática.Entre sus principales contribucio-nes se tienen: la fórmula parahallar el área de un cuadriláteroy la solución de ecuaciones cua-dráticas, incluyendo raíces posi-tivas y negativas.
MATEMÁTICOSDEL SIGLO VII…
¿A qué conjunto numérico per-tenece la diferencia de dosnúmeros complejos con igualparte imaginaria?
PARA RESPONDER
Resolver las operaciones indicadas.
a. (�3 � ���4�) � (2 � ���9�)b. (3 � 5i) � (7i)
c. � � � � � i�d. (2 � 5i) � (�4 � 3i) � (�3 � 6i)
SOLUCIÓNa. (�3 � ���4�) � (2 � ���9�) � (�3 � 2i) � (2 � 3i)
� (�3 � 2) � (2i � 3i)� �1 � i
b. (3 � 5i) � (7i) � (3 � 5i) � (0 � 7i)� (3 � 0) � (5i � 7i)� 3 � 12i
c. � � � � � i� � � � 0i� � � � i�
� � i
d. (2 � 5i) � (�4 � 3i) � (�3 � 6i)� (2 � (�4) � (�3)) � (�5i � 3i � (�6i)) � �5 � 8i
12
710
12
110
35
12
110
35
12
110
35
Ejercicio resuelto
Resolver las siguientes sustracciones.a. (2 � 5i) � (�3 � 6i)b. (3 � 4i) � 7i
c. � � i� � � i� � � �1314
13
12
Ejercicio resuelto
� � � � � �0i � i�12
110
35
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RAZONAMIENTO. Marcar con � el número complejo z que cumple la igualdad.
23. z � (5 � 3i) � �z � (6i � 20) � z � � � � z � � � � z � �
24. �8� � 3i � 2z � 14�2� � 7i � z � 6�2� � 5i � z � �6�2� � 5i � z � �6�2� � 5i
25. 5i � 10z � 4i � �9z � 8i � 6�3� � z � 6�3� � 17i � z � �6�3� � 17i � z � 6�3� � 17i
26. 0,8 � 7,3i � 0,4z � 6,4z � 8i � 1,6 � z � 0,4 � i � z � �0,4 � i � z � �0,4 � i
27. � 4i � 3z � i � z � � z � � � i � z � � i � z � � i
MODELACIÓN. Escribir el conjugado de cada uno de los siguientes complejos.28. �3 � i 29. (6, 3) 30. (�1, 4) 31. (��7�, 1)
32. �8� � 3�2�i 33. � , � � 34. ��5� � �i 35. 4 � �3�i
RAZONAMIENTO. Encontrar la expresión que hace verdadera la igualdad.36. (2 � 5i) � ____ � 5 � 9i 37. (8 � i) � (3 � 6i) � ____
38. (7 � 4i) � ____ � 2 � 7i 39. ____ � (�9 � 7i) � (�18 � i) � i
40. (7 � 4i) � ____ � 13 � 8i 41. ____ � (3 � 9i) � 3 � 12i
42. � i � ____ � � i 43. ____ � � i � � i
760
760
760
10�9�
34
65
�16�3
67
49
34
135
�2
�2
110
1724
110
1724
110
1724
52
185
13
3i2
252
3i2
252
3i2
252
UNIDAD 9 • NÚMEROS COMPLEJOS
SOLUCIÓNa. (2 � 5i) � (�3 � 6i) � 2 � 5i � 3 � 6i Se suprimen signos de agrupación.
� 5 � i Se reducen términos semejantes.
b. (3 � 4i) � 7i � (3 � 4i) � (0 � 7i) La parte real de un imaginario puro es 0.
� (3 � 0) � (�4i � 7i) Se restan las partes reales y las partes
� 3 � 11i imaginarias.
c. � � i� � � i� � � � � � � 0 � � � �� � � 0i� � � i712
16
1i4
1i3
13
12
13
14
13
12
¿Cómo deben ser dos númeroscomplejos para que su dife-rencia sea un número imagi-nario puro?
PARA RESPONDER
ACTIVIDADES 2
EJERCITACIÓN. Realizar las siguientes operaciones en trenúmeros complejos.1. (2 � 5i) � (�4 � 3i) 2. (�3 � 3i) � (5 � 2i)3. (7 � 6i) � (i � 4) 4. (9 � 8i) � 7,5i5. (4 � 6i) � (9 � i) 6. (12 � 3i) � (3 � 12i)7. (�5 � 15i) � (10 � 7i) 8. (0,2 � i) � (1,3 � 4i)
9. �� � 12i� � � � � � � � �83
43
5i2
26
4i3
MODELACIÓN. Sea a � 2 � 4i; b � �5 � i; c � 3 � 4i; d� 1 � i, calcular:11. (a � b) � c 12. (a � b) � (c � d)
13. (c�����a�) � (c � a) 14. a � (b � c � d)
15. a � (b � c) 16. (aa � cc) � (b� � d�)17. a � b � c � d 18. a� � b� � (a � b)
19. (a�����b�) � (c�����d�) 20. (a � c) � (b � d)
21. aa � b � cc � d 22. (aa � b� � c � d�)14
23
14
14
12
10. 2i � �8 � � � � � � � � � �i10
32
2i5
65
4i5
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2.3. Multiplicación de números complejosPara multiplicar dos números complejos se procede así:• Primero, se aplica la propiedad distributiva.• Luego, se resuelven las potencias de i.• Finalmente, se reducen términos semejantes.
ACTIVIDADES 1
RAZONAMIENTO. Para hallar la distancia entre dos puntos(x1, y1) y (x2, y2) en un plano, se hace uso de la
fórmula D � �(x�2��� x�1)�2��� (�y2� �� y�1)�2.� A partir de lafórmula anterior, y el plano complejo dado, determi-nar las siguientes distancias:46. A�B�47. D�B�48. A�C�49. B�C�50. D�C�51. A�D�
¿Cómo deben ser dos númeroscomplejos para que su produc-to sea un número real?
PARA RESPONDER
1. Resolver las siguientes multiplicaciones.
a. i� � i� b. (5 � 2i)(3 � 4i)
SOLUCIÓNa. i� � i� � i � � i � i Propiedad distributiva.
� i � i2 Solución operaciones.
� i � (�1) Por ser i2 � �1.
� i � � � i
b. (5 � 2i)(3 � 4i) � 5(3 � 4i) � 2i(3 � 4i) Propiedad distributiva.
� 5 � 3 � 5 � 4i � 2i � 3 � 2i � 4i Se eliminan los paréntesis.
� 15 � 20i � 6i � 8i2 Solución de operaciones.
� 15 � 20i � 6i � 8(�1) Pues i2 � �1.
� 15 � 20i � 6i � 8 Solución de operaciones.
� 23 � 14i
110
23
23
110
23
110
23
110
109
35
16
35
109
16
35
109
16
35
Ejercicio resuelto
21 1 2 3 4 5 622232425262i
22i
23i
i
2i
3i
A
B
D
C
Eje imaginario
Eje real
RAZONAMIENTO. Completar los siguientes cuadradosmágicos. La suma de las filas, las columnas y las dia-gonales es igual.44.
�4 � i
3 � 3i
�3 � 2i 2 � 2i
45.
2 � i �5 � 3i
3 � 2i
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UNIDAD 9 • NÚMEROS COMPLEJOS
2. Encontrar los valores de las letras a, b, c, d, e y f de la pirámide dela figura 2; de tal manera que al remplazarlos, el número de cadacasilla sea igual al producto de las dos casillas inferiores.
SOLUCIÓNa � 2i Pues 2i � 5 � 10i.
b � i Pues i � i � i2 � �1.
c � 1 � i Pues (1 � i) i � i � i2 � i � 1 � �1 � i.
d � 2 � i Pues (2 � i)(2 � i) � 4 � i2 � 4 � (�1) � 5.
e � �10i Pues 10i � (�1) � �10i.
f � �5 � 5i Pues (�1 � i) � 5 � �5 � 5i.
Así, al realizar el producto e por f se verifica el valor de la cima de la pirá-mide.
a
10i �1
5 b
e f
i c i 2 � 1 d� � � �
� �1 � i
50 � 50i
5�
�
Figura 2
Propiedades de la adición y multiplicación de números complejos
Propiedad que relaciona la adición o sustracción de números complejos con la multipli-cación.Si z � �, m � � y n � � entonces z � (m � n)� z � m � z � n.
Adición
Si z � � y m � � entonces z � m � �. Laadición de dos números complejos siempreda como resultado un número complejo.
Si z � �, m � � y n � � entonces(z � m)� n � z � (m � n).Tres o más números complejos se puedenagrupar de diferente manera para sumarlosy el resultado no varía.
Si z � � y m � � entonces z � m � m � z.El orden en que se realiza la adición de dosnúmeros complejos no altera el resultado.
Existe 0 � � tal que 0 � z � z � 0 � z paratodo z � �.Todo número complejo sumado con cero dacomo resultado el mismo número comple-jo. Cero recibe el nombre de elementoneutro o módulo de la adición.
Para todo z � � existe �z � � tal quez � (�z) � 0.Todo número complejo sumado con suinverso aditivo da como resultado elmódulo de la adición.
Multiplicación
Si z � � y m � � entonces z � m � �.El producto de dos números complejossiem pre da como resultado un númerocomplejo.
Si z � �, m � � y n � � entoncesz � (m � n) � (z � m) � n.Tres o más números complejos se puedenagrupar de diferente manera para multipli-carlos y el resultado no varía.
Si z � � y m � � entonces z � m � m � z.El orden en que se realiza la multiplicaciónde dos números complejos no altera el pro-ducto.
Existe 1 � � tal que 1 � z � z � 1 � z paratodo z � �.Todo número complejo multiplicado por unoda como resultado el mismo número com-plejo. El uno recibe el nombre de elementoneutro o módulo de la multiplicación.
Para todo z � �, z � 0, existe z�1 � � talque z � z�1 � 1.Todo número complejo multiplicado con suinverso multiplicativo da como resultadoel módulo de la multiplicación.
Nombre dela propiedad
Clausurativa
Asociativa
Conmutativa
Elemento neutro
Invertiva
Distributiva
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
MAT1 U9(265-280):MAT9(59-74,267-294) 07/10/11 01:32 p.m. Página 275
� � �1 � 3i
101 � 3i
1 � 9(�1)
1 � 3i1 � 9i2
1. Resolver las siguientes divisiones.a. (3 � 2i) � (1 � i) b. (5 � 3i) � 2i
SOLUCIÓN
a. � �
�
� Al remplazar i2 por �1.
b. � �
� Sustitución de i2 por �1.
� �
2. Hallar el inverso multiplicativo de 1 � 3i.
SOLUCIÓN
(1 � 3i)�1 � Por la propiedad a�n � .
�
1an
1 � 3i12 � (3i)2
11 � 3i
3 � 5i2
6 � 10i4
�10i � 6(�1)
�4(�1)
�2i�2i
5 � 3i2i
5 � 3i2i
3 � 3i � 2i � 2(�1)2
3 � 1 � 3 � i � 2i � 1 � 2i � i1 � (�1)
1 � i1 � i
3 � 2i1 � i
3 � 2i1 � i
�3 � 3i � 2i � 2i22
�1 � 5i2
��10i � 6i2
�4i2
276
ALGO IMPORTANTESi z � a � bi entonces
z�1 � �
z�1 �a � bia2 � b2
a � bia � bi
1a � bi
Ejercicio resuelto
Al multiplicar el numerador y eldenominador por el conjugado de 1 � i.
Al multiplicar por el productonotable (a � b)(a � b) � a2 � b2.
Distributiva y remplazo de i2 por �1.
Solución de operaciones indicadas.
Reducción de términos semejantes.
Al multiplicar por el conjugado de 2i.
Distributiva y solución de operacionesindicadas.
Solución de operaciones indicadasy simplificación.
Al multiplicar por el conjugadode 1 � 3i.
Se solucionan las multiplicaciones.
Sustitución de i2 por �1 y soluciónde operaciones indicadas.
�3(1 � i) � 2i(1 � i)
12 � i2
� �1 � 3i1 � 3i
11 � 3i
2.4. División de números complejosPara dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divi-sor por el conjugado del divisor. Luego, se resuelven las operaciones in-dicadas.
Si z, m � � con z � a � bi y m � c � di entonces:
� � con c o d diferentes de 0.(a � bi)(c � di)(c � di)(c � di)
a � bic � di
zm
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Para simplificar expresiones con potencias de i, primero se deben resol-ver dichas potencias, luego, se reducen términos semejantes, y, si es nece-sario, se deben utilizar los productos notables.
UNIDAD 9 • NÚMEROS COMPLEJOS
(a � b)2 � a2 � 2ab � b2
(a � b)3 �a3 � 3a2b � 3ab2 � b3
RECORDAR QUE
Simplificar la siguiente expresión 4i3 � 3i2 � (2 � i)3.
SOLUCIÓN4i3 � 3i2 � (2 � i)3 � 4(�i) � 3(�1)(2 � i)3 Pues i3 � �i y i2 � �1.
� �4i � 3(2 � i)3 Solución de productos.
� �4i � 3(23 � 3(2)2(i) � 3(2)(i)2 � i3)� �4i � 3(8 � 12i � 6i2 � i3)� �4i � 3(8 � 12i � 6(�1) � (�i))� �4i � 24 � 36i � 18 � 3i Propiedad distributiva.
� 6 � 37i
Ejercicio resuelto
ACTIVIDADES 3
MODELACIÓN. a � 2 � 3i, b � 4 � i, c � �5 � 2i,d � �1 � 4i, hallar:12. a[(b � c) � d]13. (a � b) � (c � d)14. b � (a � c) � d15. c � [(a � b) � (a � d)] � (c � d)16. a � [(c � d) � (a � d)] � (b � c)
RAZONAMIENTO. Completar la siguiente tabla.
17.
18.
19.
20.
EJERCITACIÓN. Realizar las siguientes operaciones entre números complejos.1. (3 � 4i) � (5 � 2i) 2. (�2 � 3i) � (6 � i) 3. (�7 � 4i) � (3 � 4i) 4. (4 � 5i) � (7 � 3i)5. (3 � i) � (3 � i) 6. (a � 1 � i) � (a � 1 � i) 7. (5 � i) � (�4 � 5i) 8. (x � i) � (x � i)
9. �3 � � � �4 � i� � �2 � i� 10. 5i��3 � i� � � i � 12�� 11. � � i� � � � i� � (�i)47
12
23
54
65
36
4i3
34
52
MODELACIÓN. Observar la gráfica del producto(�4 � 3i)i.
Determinar gráficamente los siguientes productos yexplicar qué sucede con su ubicación en el plano.21. (8 � 9i)i 22. (�3 � 6i)i2
23. (6 � 4i)i3 24. (�3 � 5i)(�i)
25. � � �i 26. � � i�(�i)25
43
5i2
32
Solución de (2 � i)3.
i2 � �1 y i3 � �i.
� (3 � 2i) (1 � 4i) (4 � 2i) (1 � i)
(2 � 3i)
(�3 � 3i)
(4 � i)
(5 � 2i)
Eje imaginario
Eje real0
P
P9(24; 23)
(3; 24)
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ELEGIR DATOS QUE CUMPLAN UNA CONDICIÓNSeleccionar las dos expresiones que permitan gene-rar cada uno de los siguientes números complejos.1. 12 � 44i 2. 26i
3. � i 4. � i3215
715
38342
517
COMPRENDER EL ENUNCIADOEl primer cuadrado deltablero de ajedrez tiene elvalor de i y cada cuadradosiguiente va aumentandouna potencia de i, de lasiguiente forma: i, i2, i3,i4, … i64.
5. ¿Cuál es el valor de sumar todos los valores delos cuadrados?
6. ¿Cuál es el valor de multiplicar los valores de loscuadrados?
7. Una regla de radicales en los números reales es�a� �� b� � �a� � �b�, cuando a y b son no nega-tivos.Demostrar que esta regla no se cumple cuandoa y b son números negativos.
ACTIVIDADES 1
EJERCITACIÓN. Hallar el inverso multiplicativo de lossiguientes números complejos.39. 3i 40. 2 � 4i41. � i 42. � i
43. 0,6 � 0,8i 44. �1,7 � 4,5i45. �2� � �3�i 46. �5�5� � �7�i
MODELACIÓN. Si z � 2 � 3i. Calcular:
47. 48.
49. 50.z�z
z� � zz � z�
13
32
45
z� � i3 � i
z � z�3i
* PARA PENSAR. Proponer seis expresiones de tal formaque al ser ubicadas en el triángulo, el resultado de lasoperaciones sobre cada lado sea el mismo.51.
EJERCITACIÓN. Expresar el cociente de las siguientes divisiones de la forma a � bi.
27. 28. 29. 30.
31. 32. 33. 34. (5 � 8i)23 � 2i
�3 � 3i3i � 5
�3 � 3i
3i�5 � 12i2 � 2i
�8 � i
3i3 � 6i5 � 2i
14 � i
i7 � 2i4 � i
35. 36. 37. 38.�2� � i�2� � i
(2 � 4i) � (4 � 2i)
1 � i�7 � 4i�2 � 3i
8 � 5i
�7i
� i �3 � 2i
5 � i � 4i
4 � 6i 2 � i
� � i 4 � 8i15
12
32
23
143
17
A
BF
E D C
1 2
43
4 4
A B
C D
E F
G H
MAT1 U9(265-280):MAT9(59-74,267-294) 06/10/11 12:59 p.m. Página 278
Un fractal es un objeto geométrico cuya estructurabásica se repite en diferentes escalas. En muchoscasos, los fractales pueden ser generados por unproceso recursivo capaz de producir estructurasautosimilares independientemente de la escalaespecífica. El fractal conocido como el conjunto deMandelbrot, por ejemplo, se genera al aplicar unproceso iterativo, es decir, repetitivo de la expresión,cuya forma es:
z2 � c
donde z y c son números complejos, z varía y c per-manece constante.
Así, si el valor inicial de z es z0, se tiene que:
z1 � z20 � c y cada resultado se utiliza para el cálcu-
lo siguiente y así sucesivamente.
z2 � z21 � c
z3 � z22 � c
zn � z2(n � 1) � c
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Los números imaginarios sirven para describir las pro-piedades de fenómenos como las corrientes alternas,las vibraciones mecánicas, los ritmos cardiacos, laactividad cerebral y las ondas sísmicas.
En diseños artísticos de infinita complejidad, como losfractales, los números complejos han sido la herra-mienta. Un ejemplo de este hecho se observa en elfractal de Mandelbrot.
ACTUALIDAD
Los fractales son estructuras geométricas quecombinan irregularidad y estructura.
Fractales
1. Dada la expresión z2 � z � c con z y c núme-ros complejos donde c � 1 � i. Determinarcinco valores para z, de tal forma que laexpresión dé como resultado un número realy cinco valores para z, que arrojen comoresultado un número imaginario.
2. Sobre el plano complejo, asignar el colorazul a los números complejos que arrojaronun número real y asignar el color rojo a losnúmeros complejos que arrojaron un núme-ro imaginario.
3. Comparar la secuencia de puntos con las deotros compañeros. ¿Qué pueden concluir?
Para obtener imágenes fractales en el com-putador, sobre el plano complejo, se asignancolores a los puntos que se obtienen.
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Los complejos y la realidad
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En navegación, se usa el siguiente método para ubicar posi-ciones.Se divide el plano complejo ensemirrectas que pasan por elorigen y que están separadasentre sí 15º ó 30º. Luego, semarcan los puntos sobre estasrectas y se unen con el cur-vígrafo.En la gráfica se han represen -tado los puntos: (30, 30º),(60, 60º), (90, 90º) y (120, 120º).A este estilo de representaciónse le llama espiral.Representar como espiral los siguientes conjuntos de puntos.10. (20, 20º), (40, 40º), (60, 60º), (80, 80º), (100, 100º),
(120, 120º), (140, 140º), (160, 160º).
En la foto se muestra laconcha de un molusco. Es -ta presentación natural, esun ejemplo de las espiralesque existen en la natura -leza.
Otra forma de indicar laposición de un númerocomplejo son las coorde-nadas polares.Para esto, se parte de unpunto fijo O, llamado poloy de una semirrecta OM,llamada eje polar.La ubicación de un puntoS en el plano se determinapor las coordenadas (d, �),donde d es la distancia delpunto fijo p al punto fijo Sy � es el ángulo MOS.
El punto S de la gráfica tie -ne coordenadas (S, 60º).Graficar los siguientespuntos dados en coorde-nadas polares.4. (6, 30º)5. (4, 70º)6. (1, 120º)7. (5, 150º)8. (3, 290º)9. (2, 300º)
TECNOLOGÍA
(120,1208)(90,908)
(60,608)
(30,308)
608
S
0 Eje polar
Las coordenadas polares son muy útiles en la navegación y en la astronomía.
Los complejos y la realidad
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1 .2 .
CRIPTOARITMÉTICAS.
RAZONAMIENTO ABSTRACTO.
En el siguiente criptoaritmética, letras diferentes representan númerosdiferentes. Determinar el valor de cada letra.
LEOLEO
� LEOVEO
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
PROBLEMA RESUELTO PÁG. 283
10UNIDAD
Juegos con númerosy figuras
TEMAS
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CRIPTOARITMÉTICAS1 Muchas veces cuando los conceptos y procedimientos de matemáticas vanaumentando en complejidad y profundidad, se olvida que las cosas, aparente-mente elementales, que se aprendieron en la primaria y en los primeros añosde secundaria son el fundamento del razonamiento.Tales propiedades elementales serán estudiadas desde una óptica distinta en estaunidad.Por ejemplo, al plantear la expresión
A � B � 6y buscar valores para A y B se pueden determinar diferentes condiciones:• Si A � B entonces, sólo se puede plantear una solución: A � 3 y B � 3.• Si A � B entonces se pueden plantear varias soluciones:
A � 1 y B � 5 A � 2 y B � 4 A � 4 y B � 2A � 5 y B � 1 A � 0 y B � 6 A � 6 y B � 0
Este razonamiento resulta ser bastante sencillo y ocasionalmente evidente, perosi la expresión usa más operaciones y otras condiciones el razonamiento es dife-rente.
Determinar los valores que satisfacen cada expresión. Justificar en cada casola respuesta.a. Si AB es un número de dos dígitos, determinar las soluciones de la expresión
AB � B � 18. Tenga en cuenta que letras iguales representan dígitos iguales.
b. Si AB es un número de dos dígitos, determinar las soluciones de la expresiónAB � C � 18.
c. Si A, B y C son dígitos diferentes, ¿cuál es el mayor valor que puede tomar la expre-sión ABC � CBA?
SOLUCIÓN
a. En la expresión AB � B � 18 se debe buscar un número que sumado a sí mismo,dé 8. En este caso hablamos del número 4. Luego, B� 4; para A sólo existe la posi-bilidad A � 1. Luego,
AB � B � 18 es equivalente a 14 � 4 � 18
b. Aunque aparentemente la situación descrita es como la del literal a, en este casose tiene que al dígito B debe sumarse un dígito C que no necesariamente es iguala él. Por lo tanto, las soluciones posibles son:
A � 1 B � 0 C � 8 A � 1 B � 1 C � 7 A � 1 B � 2 C � 6
A � 1 B � 3 C � 5 A � 1 B � 3 C � 5 A � 1 B � 5 C � 3
A � 1 B � 6 C � 2 A � 1 B � 7 C � 1 A � 1 B � 8 C � 0
c. Los tres dígitos mayores son 9, 8 y 7. Como el valor de A representa la cifra de lasdecenas en el primer sumando, para que la suma sea máxima A debe ser 9.
Como B representa la cifra de las centenas, entonces B � 8 y C � 7.
Es decir, la suma máxima que se puede presentar en esta situación es 1776. Así, laexpresión correspondiente será:
ABC � CBA � 1.776 es equivalente a 987 � 789 � 1.776
Ejercicio resuelto
¿Cuál es el valor de las letrasA, B, C para que la suma ABC � CBA sea mínima?
PARA RESPONDER
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El término criptoaritmética viene del griego y está formado por:Criptos Aritmos
Escondido Número
Así, resolver una criptoaritmética es encontrar los números escondidos en unaexpresión.En el ejercicio resuelto presentado en la página anterior se plantearon tres crip-toaritméticas sencillas, pero el razonamiento deductivo se incrementa cuandoestas presentan estructuras diferentes y en ocasiones, hasta curiosas.Lo más importante en un ejercicio de criptoaritmética no es la solución sino elanálisis y la secuencia de razonamientos que deben proponerse.
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UNIDAD 10 • JUEGOS CON NÚMEROS Y FIGURAS
MATEMÁTICAREALIDAD Y CURIOSIDAD
Una importante aplicación del crip-toanálisis se relaciona con los méto-dos para proteger información. Porejemplo, en el caso de las grandescuentas bancarias o las bases dedatos.
Una criptoaritmética es una expresión en la cual se usan letras, operaciones y rela-ciones matemáticas que se verifican para determinados valores de números.
En la siguiente criptoaritmética, letras diferentes representan números dife-rentes. Determinar el valor de cada letra.
LEO
LEO
� LEO
VEO
SOLUCIÓN
En esta criptoaritmética intervienen cuatro números diferentes que están represen-tados por las letras L, E, O y V.
Para el caso de las unidades:• Se busca un dígito que sumado tres veces dé como resultado él mismo, lo cual sóloes posible para el número 0, pues para el resto de números se verifica que 3n � n,n � �.
• Otra opción es buscar un número que sumado tres veces consigo mismo dé unnúmero de dos dígitos cuya cifra de las unidades sea él.
El único dígito que verifica esta condición es el 5 pues: 5 � 5 � 5 � 15
Así que O � 5 ó O � 0.
Para el caso de las decenas:Hay que analizar las dos posibilidades halladas para el caso de las unidades. Así:
• Si O � 5, para las decenas se buscaría un número que sumado tres veces consigomismo y con uno dé el mismo número, lo cual no es posible pues 3n � 1 � n n � �. Así, es posible afirmar que O � 5 no puede ser una solución.
• Si O � 0, el valor de E puede ser 0 ó 5 (razonamiento anterior).
Así que, hasta el momento se tendrían dos opciones:
O � 0 y E � 0 O � 0 y E � 5
Para el caso de las centenas:Hay que analizar las dos posibilidades halladas en el caso de las decenas.• Si O � 0 y E � 0. Para el valor de L se busca un dígito que sumado tres veces con-sigo mismo dé como resultado otro dígito.
Ejercicio resuelto
No es tan difícil como se piensa...No es tan difícil como se piensa...
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Para el caso anterior sería posible limitar las soluciones poniendo condicionesadicionales al ejercicio.• Por ejemplo, solucionar la expresión si se sabe que VEO es un número menorque 500. En este caso, todas las opciones halladas no servirían y la solución selimitaría a:
O � 0 L � 1 E � 0 V � 3 y O � 0 L � 1 E � 5 V � 4Es decir;
100 150100 150
� 100 y � 150300 450
• Otra opción para variar el ejercicio podría ser la siguiente:Determinar una condición para que la criptoaritmética, tenga una única solución.En este caso, la condición podría ser que todos los números que la forman seanpares o cero. Así la única solución posible sería:
LEO 200LEO 200
� LEO es equivalente a � 200VEO 600
Es importante anotar que este estilo de actividades, además de poner a pruebael ingenio, permite verificar el nivel de aprendizaje y aplicación de los conoci-mientos adquiridos durante la primaria y la secundaria. ©
SA
NTI
LLA
NA
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Las posibilidades son:
1 � 1 � 1 � 3 2 � 2 � 2 � 6 3 � 3 � 3 � 9
Así que en este caso las soluciones posibles para la criptoaritmética son:
100 200 300100 200 300
� 100 � 200 � 300300 600 900
Si O � 0 y E � 5. Para el valor de L se busca un dígito que sumado consigo mismotres veces y con uno (pues la suma de las decenas fue 15), dé como resultado unnúmero diferente de él. Las posibilidades son:
1 � 1 � 1 � 1 � 4 y 2 � 2 � 2 � 1 � 7
Así que en este caso las soluciones posibles para la criptoaritmética son:
150 250150 250
� 150 � 250450 750
En conclusión, la criptoaritmética tiene cinco soluciones distintas.
Ejercicio resuelto• Una variación interesante y algo más complicada podría plantearse si en la solución,la suma de los dígitos que intervienen es un múltiplo de tres.
Para tal caso, la única solución que no verificaría la condición sería:250250
� 250750
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RAZONAMIENTO. Encontrar el valor de cada letra teniendo en cuenta que las letras diferentas corresponden a dígitos dife-rentes. Justificar la respuesta.
1. A A 2. A B 3. A B 4. A B 5. A B 6. AB CB A A B A B � C D � B A � A B C
� C A � B A E F C A C C ACD B B C D B C A
RAZONAMIENTO.Determinar la solución de cada criptoaritmética teniendo en cuenta las condiciones dadas. Letras diferentescorresponden a dígitos diferentes.
UNIDAD 10 • JUEGOS CON NÚMEROS Y FIGURAS
ACTIVIDADES 1
Los dígitos de cada adiciónson impares.
7. A 8. CA D
� B � DE A C
GHI es el mayor número detres dígitos.
9. A B C� D E F
G H I
DEEF es el mayor númeromenor que 2.000
10. A A BA A A
� A A CD E E F
AB es un cuadrado perfecto.EFG es un cubo perfecto.
11. A B� C DE F G
C � 2A y F � En, n � �
12. A B� C D
E F
A, B y C son dígitos cuadra-dos.
13. D E� F BA B C
AB es una potencia de 2.CD es un número primo.
14. A B� C D
F G
AB y CD son números pri-mos. C y D son consecutivos.
15. A B� C D
E F
C � 3A
16. A B� B CC D
PROBLEMAS. Explicar por qué las siguientes criptoaritméticas no tienen solución en español.
17. VIER � VIER � ACHT (Alemán) 18 MOI � MOI � NOUS (Francés)
CUATRO � CUATRO � OCHO YO � TU � NOSOTROS
RAZONAMIENTO. Resolver las criptoaritméticas. Justificar los razonamientos empleados.
19. J A B O N� A G U AL A V A R
20. V A C A� V A C AL E C H E
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Sus padres, nada contentos, le devolvieron el mensajediciéndole que mejor resolviera esta criptoaritmética.
S E N D� M O R EM O N E Y
¿Cuál es la solución? © S
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MODELACIÓN. Inventar una criptoaritmética teniendo en cuenta las condiciones dadas.
29. Con única solución. 30. Cuya solución tenga únicamente dígitos pares.
31. Cuya solución use sólo múltiplos de 3. 32. Con varias soluciones.
33. En la cual se puedan leer cuatro palabras en español. 34. En la cual se puedan leer tres palabras en ingles.
RAZONAMIENTO. El siguiente texto muestra la solución de una criptoaritmética. Justificar con un argumento matemáticocada razonamiento.
21. V A L O RV A L O R
� V A L O RÉ T I C A
22. U N O� U N OP A Z
23. T I C� T A CH O R A
24. T R E S� D O SC I N C O
ACTIVIDADES 1
25. H O J A� H O J AB L O C K
26. V O C E S� V O C E SR U I D O
27. Q U E S O� Q U E S OR A T Ó N
28. M Ú S I C A� M Ú S I C A
F I E S T A
A B� A BC A BB DE A B
RAZONAMIENTO. Resolver las siguientes criptoaritméticas.
RAZONAMIENTOS
35. A � 0, B � 0, C � 0 y E � 0. ¿Por qué?
36. EAB es un cuadrado perfecto. ¿Por qué?
37. A � 1 ó A � 2 ó A � 3. ¿Por qué?
Como las unidades de EAB son iguales a las unidades de AB,entonces, B � 1 ó B � 5 ó B � 6. ¿Por qué?
38. B � 1. ¿Por qué?
39. AB � 25 o AB � 26. ¿Por qué?
40. BD � 26. ¿Por qué?
En conclusión AB � 25 y EAB � 625
PROBLEMA. Resolver.
45. Un estudiante venezolano fue de intercambio a otropaís. Luego, de un semestre se le acabó el dinero que le die-ron sus padres, así que les escribió pidiéndoles más. Ledemostró a su familia que él para ahorrar no servía, peroque inglés sí había aprendido, así que el mensaje decía
SEND MORE MONEY
41. A B C 3 D� 9
E 7 F G 4
42. A A� A CA B C
43. A A B� C DE F D BF F B8 C D B
44. A B A� A AA B A
A B AA C C A
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RAZONAMIENTOABSTRACTO
2 Otro estilo de actividades en las cuales se aplica el razonamiento deductivo y losconceptos de trigonometría y geometría son las relacionadas con el cambio desecuencias que cumplen parámetros determinados.Tal y como se planteó en las criptoaritméticas, en la solución de este tipo de acti-vidades es mucho mas válido el proceso de razonamiento que la respuesta misma.
2.1. Razonamiento abstracto usando rotacionesPara el caso de las rotaciones, se debe tener en cuenta el sentido de la rotación.Las siguientes figuras muestran algunos ejemplos de rotaciones en diferentessentidos.
UNIDAD 10 • JUEGOS CON NÚMEROS Y FIGURAS
• Una rotación es positiva si sepresenta en sentido contrario alde las manecillas del reloj.
• Una rotación es negativa si sepresenta en el sentido de lasmanecillas del reloj.
RECORDAR QUE
Dibujar las figuras que faltan en cada secuencia. Explicar el cambio que se pre-senta entre una y otra y otra figura.
SOLUCIÓN
Como el círculo está dividido en 12 sectores circulares iguales se determina que entreuno y otro sector consecutivo se plantea un giro de 30º.
Entre la primera y la segunda casilla el movimiento es de siete sectores circulares, esdecir, 210º en el sentido de las manecillas del reloj.
Entre la segunda y la tercera casilla el movimiento también es de 210º en el sentidode las manecillas del reloj.
La secuencia completa se muestra a continuación:
Es posible completar la secuencia tomando el giro como 150º en sentido contrario alas manecillas del reloj. La secuencia completa sería:
Ejercicio resuelto
308Sentido negativo
458Sentido negativo
608Sentido positivo
1208Sentido positivo
1358Sentido positivo
1808Sentido positivo o sentido negativo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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2.2. Razonamiento abstracto usando traslacionesAl igual que con las rotaciones, es posible completar secuencias usando trasla-ciones.
2.3. Razonamiento abstracto sobre matricesEs posible analizar el comportamiento de este tipo de arreglos teniendo en cuen-ta que en ellos se plantean dos cambios a la vez.El siguiente arreglo es llamado una matriz y en ella es posible determinar dostipos de cambios: uno sobre las filas y otro sobre las columnas.
En la matriz se puede observar:• en las columnas la línea rota 120º en sentidopositivo.
• en las filas la línea rota 60º en sentido negati-vo.
La secuencia completa es la siguiente:
Completar la secuencia de figuras. Explicar el razonamiento empleado.
SOLUCIÓN
En la primera casilla los círculos están fuera del arreglo rectangular.
Entre la primera y la segunda casillas uno de los círculos se traslada a la parte supe-rior del arreglo. Si la secuencia continúa de esta manera, en la tercera casilla entraráel segundo círculo al segundo lugar del arreglo rectangular y en la cuarta entrará eltercer círculo a la parte inferior del arreglo.
En la quinta casilla, que ya está dibujada, se indica que la secuencia continúa, peroahora sacando uno a uno los círculos del arreglo rectangular.
La secuencia completa es:
Ejercicio resuelto
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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UNIDAD 10 • JUEGOS CON NÚMEROS Y FIGURAS
HACER UN DIBUJODibujar la figura que ocupa la posición que se indica.
9. Posición 7. 10. Posición 8.
11. Posición 10. 12. Posición 15.
13. Posición 30. 14. Posición 35.
15. Posición 100. 16. Posición 200.
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
DESCUBRIR EL PATRÓNCompletar cada secuencia. Explicar el razonamiento empleado.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
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PROBAR Y COMPROBAR
En cada caso explicar cómo cambia la figura en las columnas y filas. Luego, completar la matriz.
17. 18. 19.
20. 21. 22.
ENCONTRAR POSIBILIDADES
Elegir la figura que ocupa el lugar del interrogante.23. 24. 25.
26. 27. 28.
?
A B C D E
?
A B C D E
?
A B C D E
?
A B C D E
?
A B C D E
X X
X X X X
X
X
X X
X
X X
X
X X
X
X X X
X X X X X X
X X
X
?
28.
A B C D E
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RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 A 4 DE ACUERDO CONLA INFORMACIÓN DE LA TABLA.
1. Con respecto a la tabla, no es válido afirmar que
A. csc � 2 C. cot � � 2�2�
B. tan � � D. sen � sen � �
2. El valor de sen( � �) es
A. C.
B. D.
3. Si se sabe que , �, � son ángulos en el primer cua-drante, se puede afirmar que
A. � es el ángulo con mayor amplitud, puessen � � sen y sen � � sen �.
B. � tiene mayor amplitud que , pues sen � sen �.
C. es el ángulo con menor amplitud, puessen � sen � y sen � sen �.
D. � tiene menor amplitud que , puessen (�) � sen .
4. El valor del ángulo es
A. rad B. 30° C. 90° D. rad. �3
�4
4�3
4�3� � 3��
10
4 � 3�3���
104 � 3�3���
10
4�3� � 3��
10
11�10
RESPONDE LAS PREGUNTAS 5 A 7 DE ACUERDO CONLA SIGUIENTE INFORMACIÓN.La gráfica muestra un círculo con centro en el origen, deradio r � 1.
5. Si x � y, el ángulo � porque
A. sen � cos � x, únicamente en .
B. se determina a partir del radio del círculo,
x � y � �
C. tan�1� � � tan�1(1) �
D. se deduce de la relación x2 � y2 � r2 � 1
6. La expresión �1 � sen � 1 significa que
A. todos los valores de sen no están en el intervalo[�1, 1]
B. el ángulo es 1 � � �1
C. para todo valor de , sen no puede ser menor que�1 ni mayor que 1.
D. sen (�1) � � sen(1).
7. Si cos � x y sen � y, entonces, el punto de coor-
denadas � , � corresponde al ángulo compren-
dido entre
A. 0 � � C. 50° � � 60°
B. � � D. 40° � � 50° �3
�6
�4
�4
�4
�3��
2
1�2
�4
y�x
1�2
r�2
Identifica la respuesta adecuada.TIPO: SELECCIÓN MÚLTIPLE, RESPUESTA ÚNICA. Las siguientes preguntas están formadas por unenunciado y cuatro posibles respuestas de las cuales una es correcta.
ángulo Seno Coseno
�
�2�2��
3
1�3
4�5
3�5
�3��
2
1�2
Función
P(x, y)
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RESPONDE LAS PREGUNTAS 8 A 11 A PARTIR DE LASIGUIENTE ECUACIÓN.Se considera la ecuación
cos2 x � � 1
8. Con respecto a la ecuación anterior, es posible afirmarque
A. x � 0° no es solución de la ecuación, ya que alremplazar x por 0° no se obtiene una igualdad.
B. es posible resolver la ecuación si se aplica la iden-tidad
sen2 x � cos2 x � 1
para expresarla en términos de una sola relacióntrigonométrica.
C. x � 60° es solución de la ecuación, ya que al rem-plazar x por 60° se obtiene una igualdad.
D. no es posible expresar la ecuación en términos deuna sola relación trigonométrica.
9. Un conjunto de ángulos que satisface la ecuación esA. {x � 90° n � 180°, n � �}
B. {x � 180° n � 90°, n � �}
C. {x � 90° n, n � �}
D. {x � 180° n, n � �}
10. Un ángulo que satisface la ecuación esA. x � 300°
B. x � 270°
C. x � 180°
D. x � 90°
11. La ecuación tieneA. dos soluciones por transformarse en una ecuacióncuadrática.
B. infinitas soluciones porque existen infinitos ángu-los donde cos x � 1.
C. una solución porque sen x está elevado a la 1.
D. conjunto solución vacío.
RESPONDE LAS PREGUNTAS 12 A 14 A PARTIR DE LAINFORMACIÓN DE LA TABLA.Para estudiar la resistencia de las cucarachas a cierta bac-teria, se infecta una de ellas y, luego, se introduce en lacolonia. Tiempo después se registraron los siguientesdatos
sen x�2
12. A partir de la información anterior es posible afirmarque
A. entre la tercera y la cuarta hora la población decucarachas infectadas disminuyó en 250.
B. desde la primera hasta la tercera hora la poblaciónde cucarachas infectadas aumentó en 1 000.
C. la población de cucarachas infectadas crece arazón constante, conforme avanza el tiempo.
D. el mayor aumento en la población infectada se diodurante la primera hora.
13. Al observar el aumento del número de cucarachasinfectadas en la colonia durante cada hora, es posibleafirmar que el número de cucarachas infectadas a laquinta hora será
A. 3 875 cucarachas.
B. 4 000 cucarachas.
C. 3 800 cucarachas.
D. 3 850 cucarachas.
14. Uno de los científicos encargados del experimentoafirma que la cantidad de cucarachas infectadas en lacolonia en un periodo de tiempo t está dada por laexpresión
500t � 1 500
Esta afirmación es
A. verdadera. Porque para t � 1, se obtiene 2 000cucarachas infectadas.
B. falsa. Porque la cantidad de cucarachas infectadasno aumenta a la misma razón conforme trans-curre el tiempo.
C. verdadera. Porque la población ha aumentado enmúltiplos de 500.
D. falsa. Porque la población infectada ha disminui-do.
Tiempo transcurrido Cucarachas infectadas
1 hora 2 000
2 horas 3 000
3 horas 3 500
4 horas 3 750
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RESPONDE LAS PREGUNTAS 15 A 17 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.Para un determinado ángulo se verifican las siguientesecuaciones
3 cos � � 2 sen � �
�sen � � 5 cos � �
15. Para determinar los valores de sen � y cos � se debeA. dividir las dos ecuaciones entre cos �, para anulartal función y expresar sólo la función en términosde seno.
B. sumar a la segunda ecuación para que di-
cha ecuación quede con el mismo valor que laprimera.
C. tomar a � sen � y b � cos � y resolver el sistemaresultante.
D. multiplicar las ecuaciones por sen � y luego rem-plazar sen2 � por 1 � cos2 �.
16. Los valores de sen � y cos � son, respectivamente
A. y
B. y
C. y
D. y
17. Para el ángulo � se verifica
A. tan � �
B. tan � �
C. tan � �
D. tan � �2
�3
3�2
4�9
9�4
9��1�3�
4��1�3�
4��1�3�
9��1�3�
3��1�3�
2��1�3�
2��1�3�
3��1�3�
5��1�3�
7��1�3�
12��1�3�
RESPONDE LAS PREGUNTAS 18 A 20 DE ACUERDOCON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN.
Se construye una pirámide de base cuadrada cuyo lado esl y cuya altura es h; además se desea que el ángulo de incli-nación de los lados de la pirámide sea de 60°.
18. Dadas las condiciones del problema se debe verificarque
A. sen 60° � C. tan 60° �
B. cos 60° � D. cot 60° � 2hl
19. El volumen de la pirámide en función del lado de labase es
A. V � l 3 sen 60°
B. V �
C. V �
D. V � tan 60°
20. Es incorrecto afirmar queA. la altura siempre será mayor que la mitad del ladode la base.
B. si se aumenta la altura de la pirámide, la longituddel lado de la base disminuye.
C. es posible determinar el volumen de la pirámideen función de la altura.
D. si se disminuye la longitud del lado de la base, laaltura disminuye.
2h�
l
2l�h
2h�
l
l3�6
cot 60°�6l3
2l 3
��3 cos 60°
1�6
l
l
h
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AAmplitud de una función trigonométrica: semidife-rencia entre el valor máximo y el valor mínimo de unafunción trigonométrica.
Ángulo: unión de dos semirrectas con un origen encomún.
Ángulos complementarios: par de ángulos cuyas medi-das suman 90º.
Ángulo de depresión: ángulo formado por la horizontaly la visual de un observador que mira un objeto ubica-do por debajo de él.
Ángulo de referencia: ángulo agudo y positivo que formaun ángulo dado en posición normal, con el eje x.
Ángulos suplementarios: par de ángulos cuyas medidassuman 180º.
Arcocosecante: función inversa de la función cosecante.Se denota como arccsc o csc�1, y se define como:y � arccsc x o y � csc�1 x si y sólo si csc y � x.
Arcocoseno: función inversa de la función coseno. Sedenota como arccos o cos�1, y se define como:arccos x o y � cos�1 x si y sólo si cos y � x.
Arcotangente: función inversa de la función cotangente.Se denota como arccot o cot�1, y se define como:arccot x o y � cot�1 x si y sólo si cot y � x.
Arcosecante: función inversa de la función secante. Sedenota como arcsec o sec�1, y se define como:arcsec x o y � sec�1 x si y sólo si sec y � x.
Arcoseno: función inversa de la función seno. Se denotacomo arcsen o sen�1, y se define como:arcsen x o y � sen�1 x si y sólo si sen y � x.
Arcotangente: función inversa de la función tangente. Sedenota como arctan o tan�1, y se define como:arctan x o y � tan�1 x si y sólo si tan y � x.
Asíntota: recta a la cual se aproxima la curva de una fun-ción cuando toma valores cada vez más grandes de sudominio.
CCírculo: región del plano limitada por una circunferencia.Circunferencia: lugar geométrico de todos los puntos delplano que equidistan de un punto fijo, llamado centro.
Circunferencia unitaria: circunferencia con centro en elorigen del plano cartesiano, cuyo radio es igual a la uni-dad.
Codominio: conjunto que contiene el rango de una fun-ción.
Combinación: subconjunto de r elementos tomados deun conjunto de n objetos.
Cónica degenerada: cónica resultante cuando un planopasa por el vértice del cono en una superficie cónica derevolución. Puede ser un punto, una recta o dos rectasque se cortan.
Cosecante: razón entre la hipotenusa y el cateto opuestoa un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
Coseno: razón entre el cateto adyacente a un ángulo agu -do, y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
Cotangente: razón entre el cateto adyacente y el catetoopuesto a un ángulo agudo, y la hipotenusa en un trián-gulo rectángulo.
DDesplazamiento de fase: desplazamiento horizontal deuna función con respecto al eje x.
Directriz: recta que se encuentra a la misma distancia delvértice, que el vértice del foco, en una parábola.
Discriminante: número obtenido al realizar la operaciónB2 � 4AC, con los coeficientes de la ecuación general desegundo grado.
Dominio: conjunto que contiene todas las preimágenesde la relación entre dos conjuntos dados.
EEcuación: igualdad entre dos expresiones algebraicas,que es válida sólo para ciertos valores de las variables.
Ecuación trigonométrica: ecuación cuyas variables sonángulos.
Elipse: lugar geométrico de puntos en el plano cuya sumade las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, esconstante.
Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resul-tados que se pueden obtener en un experimento alea-torio.
Evento: subconjunto del espacio muestral.Experimento aleatorio: acción o proceso en el cual nohay certeza del resultado final.
FFunción: relación entre dos conjuntos llamados dominioy codominio, tal que a cada elemento del dominio lecorresponde uno y solamente uno de los elementos delcodominio.
Función a trozos: función descrita por dos o más fórmu-las en intervalos distintos.
Función circular: función que depende de las coordena-das de un punto de corte del lado final de un ángulodado en posición normal, con la circunferencia unitaria.
Función creciente: función cuyos valores aumentan amedida que los valores de su dominio crecen.
Glosario
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Función decreciente: función cuyos valores disminuyena medida que los de su dominio crecen.
Función impar: función cuya gráfica es simétrica conrespecto al eje x.
Función inversa: una función f es la inversa de una fun-ción dada g, si el rango de f es el dominio de g, y el domi-nio de f es el rango de g. Además, (f � g)(x) � x.
Función par: función cuya gráfica es simétrica con res-pecto al eje y.
Función periódica: función que se repite con las mismascaracterísticas después de cierto intervalo de valores desu dominio.
Función trigonométrica: función definida por la razónexistente entre los lados de un triángulo rectángulo.
Función uno a uno: función para la cual dos preimáge-nes distintas en su dominio tienen imágenes distintasen su rango.
GGeneratriz: curva cuya rotación alrededor de una recta
fija genera una superficie.Grado: unidad de medida de ángulos en el sistema sexa-
gesimal, equivale a de una revolución y se deno-
ta como 1º.
HHipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuyadiferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamadosfocos, es constante.
IIdentidad trigonométrica: igualdad entre dos expresio-
nes que involucran funciones trigonométricas, válidapara cualquier valor de los ángulos contenidos en ella.
LLey del coseno: teorema utilizado en la solución de trián-
gulos oblicuángulos, cuando se conocen dos lados y elángulo comprendido entre ellos, o cuando se conocentres lados.
Ley del seno: teorema utilizado en la solución de trián-gulos oblicuángulos, cuando se conocen dos lados y elángulo que se opone a uno de ellos, o cuando se cono-cen dos ángulos y el lado que se opone a uno de ellos.
MMedia: promedio entre los datos de una muestra estadís-
tica.Mediana: valor que ocupa el lugar central entre todos los
valores de una tabla de frecuencias en una muestraestadística.
Moda: valor que tiene la mayor frecuencia absoluta enuna distribución estadística.
PParábola: lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una rectafija llamada directriz.
Permutación: colocación de un conjunto de n objetos enun orden dado.
RRadián: unidad de medida de ángulos en el sistema cir-
cular. Corresponde a la medida de un ángulo central enuna circunferencia, subtenido por un arco de longitudigual al radio. Se denota 1 rad.
Rango: conjunto formado por las imágenes obtenidas alestablecer una relación entre dos conjuntos.
Razón trigonométrica: razón que se establece entre lasmedidas de los lados de un triángulo rectángulo.
SSecante: razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente
a un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.Sección cónica: curva que se obtiene al cortar un plano
con una superficie cónica de revolución.Seno: razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa para
un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.Solución de triángulos: proceso en el cual se utilizan los
teoremas de la trigonometría para determinar el valorde los tres lados y los tres ángulos de un triángulo.
Superficie de revolución: superficie generada por larotación de una curva alrededor de una recta fija.
TTangente: razón entre el cateto opuesto y el cateto adya-
cente a un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
VVector: segmento caracterizado por tener magnitud y
dirección.
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Fuentes consultadas
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