MATEMÁTICAS BÁSICAS el caso en que t sea negativo el punto P(x,y) se obtiene como se ilustra en la siguiente gráﬁca. Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas Podemos

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Margarita Ospina PulidoJeanneth Galeano Peñaloza

Universidad Nacional de ColombiaSede Bogotá

Departamento de Matemáticas

13 de agosto de 2012

Razones trigonométricas

Considere los triángulos rectángulos △ABC y △MNR contodos sus ángulos congruentes.

A B

C

M N

R

c

ba

mn

r


Entonces △ABC ∼ △MNR, por lo tanto

am

=bn

=cr

De los cual se deduce que

ab

=mn

,cb

=rn

,ac

=mr

Por lo tanto las razones ab , c

b , ac NO dependen del

tamaño del triángulo.


Las razones trigonométricas del ángulo A, considerando el△ABC, se definen como

sen A = cateto opuestohipotenusa csc A = hipotenusa

cateto opuesto

cos A = cateto adyacentehipotenusa sec A = hipotenusa

cateto adyacente

tan A = cateto opuestocateto adyacente cot A = cateto adyacente

cateto opuesto


EjercicioDemuestre que

sen2 A + cos2 A = 1

tan A = sin Acos A

tan2 A + 1 = sec2 A


En un triángulo rectángulo isósceles los ángulos no rectosdeben ser congruentes luego cada uno mide 45◦ Si tomamoscomo longitud de los catetos 1 el valor de la hipotenusa es

√2.

1

1

√2

45◦

45◦

Las razones trigonométricas son:

sen 45◦ = cos 45◦ =

√2

2tan 45◦ = cot 45◦ = 1sec 45◦ = csc 45◦ =

√2

Considere el triángulo equilátero de longitud de lado 2, al trazarsu altura se divide en dos triángulos rectángulos. Sus ángulosagudos miden 30◦ y 60◦ y los catetos 1 y

√3

1

22√

3

60◦ 60◦

30◦

Las razones trigonométricas son:

sen 30◦ = cos 60◦ =12

sen 60◦ = cos 30◦ =

√3

2

tan 30◦ = cot 60◦ =

√3

3tan 60◦ = cot 30◦ =

√3

EjercicioEncuentre las demás razones trigonométricas.

Resolución de triángulos rectángulos

En un triángulo rectángulo podemos desconocer las longitudesde algunos de sus lados o la medida de sus ángulos, resolverel triángulo es encontrar la medida de todos sus lados y todossus ángulos.Se utiliza el teorema de Pitágoras y los valores de las"funciones"trigonométrias de ángulos de 0◦ a 90◦ queconocemos o que pueden ser halladas usando unacalculadora.

Ejemplo 1

Consideremos el siguiente triángulo

12

a

bA

B

C

30◦

Claramente ∡B mide 60◦.

sen 30◦ =a12

luego a = 12 sen 30◦ = 12(

12

)

= 6

cos 30◦ =b12

luego b = 12 cos 30◦ = 12

(√3

2

)

= 6√

3

Ejercicios

1.Expresar x y y en términos de las razones trigonométricasde θ.

28

y

x

θ

Ejercicios

2. Un árbol proyecta una sombra de 6 metros cuando el soltiene una inclinación de 60◦,cuál es la altura del árbol?

Ejercicios

3. Una escalera de 8 metros se apoya en un edificio formandocon el suelo un ángulo de 70◦, qué altura alcanza? A quédistancia del edificio está su base?

Para resolver cualquier triángulo, no necesariamenterectángulo, contamos con los dos siguientes teoremas:


Ley del senoEn cualquier triángulo ABC con lados a, b, c se cumple que

sen Aa

=sen B

b=

sen Cc


EjercicioEn la figura se desea conocer la longitud del segmento BA.Dado que C = 112, 90◦, A = 31, 10◦ y b = 347, 6 pies.

B C

A

b=347,6

112,90◦

31,10◦


Ley del cosenoEn cualquier triángulo ABC con lados a, b y c se tiene

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C


EjercicioResuelva el triángulo ABC si A = 42, 3◦, b = 12, 9 metros yc = 15, 4 metros.

A B

C

b=12,9m

42, 3◦

c=15,4m

Radián

Un radián es la medida de un ángulo central que subtiende unarco de longitud r en una circunferencia de radio r .

r

Radián

ObservaciónPuesto que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πrse tiene que

2πradianes = 360◦

A menudo se acostumbra a omitir la palabra radianes y seescribe simplemente

2π = 360◦

Radián

Ejercicio

Expresar en radianes cada uno de los siguientes ángulos:0◦, 45◦, 30◦, 90◦, 135◦, 210◦

Expresar en grados cada uno de los siguientes ángulos:π

3 , 5π

4 , 5π

6 , 3π

2 , 11π

4 , 11π

6

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas se definen usando lacircunferencia unitaria

C1 = {(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}

y la rectaR = {(1, t) ∈ R

2 : t ∈ R}como sigue:


Si t es un número real y P(x , y) es el punto, en lacircunferencia unitaria C1, sobre el cual cae el punto (1, t)después de enrollar el segmento de recta (1, 0)(1, t) sobre C1,manteniendo fijo el punto (1, 0).



Entonces,

cos(t) = x

sen(t) = y


En el caso en que t sea negativo el punto P(x , y) se obtienecomo se ilustra en la siguiente gráfica.



Podemos observar que

−1 ≤ cos(t) ≤ 1

−1 ≤ sen(t) ≤ 1


Además, tenemos la identidad fundamental

cos2(t) + sen2(t) = 1.

Aún más:

Si 0 < t <π

2entonces cos t > 0 y sen t > 0.

Siπ

2< t < π entonces cos t < 0 y sen t > 0.

Si π < t <3π

2entonces cos t < 0 y sen t < 0.

Si3π

2< t < 2π entonces cos t > 0 y sen t < 0.

Ejercicio

Escriba el valor de sen t y cos t para t = 0;π

2;π;

3π

2; 2π.

Encuentre el valor de sen t y cos t para

t =5π

6;

5π

4;

11π

6;3π

4;7π

4;2π

3;4π

3;7π

6;5π

3.

Como además, cada vez que se da una vuelta a lacircunferencia se vuelve sobre los mismos puntos, los valoresde las funciones trigonométricas se repiten y tenemos:

sen t = sen (t + 2π) y cos t = cos(t + 2π)

en general:

sen t = sen (t +2kπ) y cos t = cos(t +2kπ) para todo k entero.

DefiniciónUna función f se dice PERIÓDICA DE PERÍODO a, si a es elmenor real positivo para el que se cumple:Si x está en el dominio de f entonces x + a también está en eldominio de f y además f (x) = f (x + a).

EjemploLas funciones seno y coseno son funciones períodicas deperíodo 2π.

y = sen x

y = cos x

Amplitud y desplazamiento de fase

Si y = a sen(bx + c) o y = a cos(bx + c) para números realesa, b y c diferentes de cero, entonces

La amplitud es |a|, el periodo es 2π

|b| y el desplazamientode fase es − c

b .

Se puede encontrar un intervalo que contengaexactamente un ciclo resolviendo la desigualdad

0 ≤ bx + c ≤ 2π.





b .


0 ≤ bx + c ≤ 2π.





b .


0 ≤ bx + c ≤ 2π.

Gráficas

EjercicioTrace la gráfica de las siguientes funciones, encuentre dominio,rango, amplitud y desplazamiento de fase.

1 y = sen x + 22 y = 4 − cos x3 y = | cos 4x |4 y = 2 sen(x − π

4 )

5 y = |1 − 3 sen(2x − π)|


A partir de las funciones seno y coseno definimos las otras:

tan(t) =sin(t)cos(t)

sec(t) =1

cos(t)

cot(t) =cos(t)sin(t)

csc(t) =1

sin(t)

Ejercicio

Encontrar dominio y rango de éstas funciones trigonométricas.

y = tan x

y = cot x

y = sec x

y = csc x

Ecuaciones

EjemploEncuentre todas las soluciones de la ecuación 4 cos t − 2 = 0.

4 cos t − 2 = 0

cos t =12

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


4 cos t − 2 = 0

cos t =12

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


4 cos t − 2 = 0

cos t =12

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


4 cos t − 2 = 0

cos t =12

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


4 cos t − 2 = 0

cos t =12

t =π

3,

5π

3,

7π

3, . . .

t =π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones

EjemploEncuentre todas las soluciones de la ecuación√

3 + 2 sen β = 0.√

3 + 2 sen β = 0

sen β = −√

32

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,11π

3, . . .

t =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


3 + 2 sen β = 0.√

3 + 2 sen β = 0

sen β = −√

32

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,11π

3, . . .

t =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


3 + 2 sen β = 0.√

3 + 2 sen β = 0

sen β = −√

32

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,11π

3, . . .

t =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


3 + 2 sen β = 0.√

3 + 2 sen β = 0

sen β = −√

32

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,11π

3, . . .

t =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones


3 + 2 sen β = 0.√

3 + 2 sen β = 0

sen β = −√

32

β =4π

3,

5π

3,

10π

3,11π

3, . . .

t =4π

3+ 2kπ,

5π

3+ 2kπ, k ∈ Z

Ecuaciones

EjemploEncuentre todas las soluciones en el intervalo [0, 2π]

2 − 8 cos2 t = 0

cos2 t =14

cos t = ±12

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3

Ecuaciones


2 − 8 cos2 t = 0

cos2 t =14

cos t = ±12

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3

Ecuaciones


2 − 8 cos2 t = 0

cos2 t =14

cos t = ±12

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3

Ecuaciones


2 − 8 cos2 t = 0

cos2 t =14

cos t = ±12

t =π

3, t =

2π

3, t =

4π

3, t =

5π

3

Ecuaciones


sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4

Ecuaciones


sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4

Ecuaciones


sen x − cos x = 0

sen x = cos x

x =π

4, x =

5π

4

Ecuaciones

EjemploEncuentre todas las soluciones de la ecuaciónsen 2x(csc 2x − 2) = 0 en el intervalo [0, 2π].

sen 2x(csc 2x − 2) = 0,

entoncessen 2x = 0 ∨ csc 2x − 2 = 0

sen 2x = 0

2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π

Ecuaciones


sen 2x(csc 2x − 2) = 0,


sen 2x = 0

2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π

Ecuaciones


sen 2x(csc 2x − 2) = 0,


sen 2x = 0

2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π

Ecuaciones


sen 2x(csc 2x − 2) = 0,


sen 2x = 0

2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π

Ecuaciones


sen 2x(csc 2x − 2) = 0,


sen 2x = 0

2x = 0, 2x = π, 2x = 2π, 2x = 3π, 2x = 4π,

x = 0, x =π

2, x = π, x =

3π

2, x = 2π

Ecuaciones

Ejemplo

csc 2x − 2 = 0

csc 2x = 2

sen 2x =12

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12

Ecuaciones

Ejemplo

csc 2x − 2 = 0

csc 2x = 2

sen 2x =12

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12

Ecuaciones

Ejemplo

csc 2x − 2 = 0

csc 2x = 2

sen 2x =12

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12

Ecuaciones

Ejemplo

csc 2x − 2 = 0

csc 2x = 2

sen 2x =12

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12

Ecuaciones

Ejemplo

csc 2x − 2 = 0

csc 2x = 2

sen 2x =12

2x =π

6, 2x =

5π

6, 2x =

13π

6, 2x =

17π

6

x =π

12, x =

5π

12, x =

13π

12, x =

17π

12

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