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Matematicas ejercicios resueltos de integrales

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  • 1. TABLA DE INTEGRALESINTRO. LA INTEGRAL DEFINIDAEn los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivasde una funcin, descubriendo distintos procedimientos para elclculo de primitivas, es decir, se han encontrado las integralesindefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan claros nisu significado ni su utilidad. stos son los objetivos de este tema,para lo cual se dar la interpretacin que Riemann, matemticoalemn, dio a conocer en el siglo XIX.El clculo de reas de figuras como el cuadrado, el rectngulo, el rombo,etc., adems de sencillo tiene un claro significado: el rea de una figuraes un nmero que coincide con el de cuadrados de lado unidad querecubren exactamente la figura. Se puede cuestionar entonces sicualquier figura tiene rea y cmo se calcula.

2. Para responder a esta cuestin se puede empezar por tomar una funcinmuy sencilla, por ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejescartesianos y tratar de calcular el rea de la superficie limitada por lafuncin, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la abscisa x= 1.Evidentemente, la superficie es un tringulo rectngulo de base 1 y alturatambin la unidad, por tanto su rea es 1/2.Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, sepuede aprovechar su simplicidad para intentar obtener algo til en otroscasos menos sencillos. Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de iguallongitud: [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectnguloscomo se observa en la figura, la suma de las reas de los rectngulosrayados es menor que el rea del tringulo; mientras que la suma de lasreas de los rectngulos punteados, exceden al rea del tringulo.Calculando estas reas se obtiene:Al rea por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el rea porexceso, 0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5. Ahora bien, si se divide en muchas ms partes el intervalo [0, 1],parece lgico que las diferencias que han resultado en el caso anterior,tendern a disminuir. Si se divide ahora el intervalo [0, 1] en n intervalosde longitud 1/n, la superficie que se desperdicia es menor, si n > 4.rea por defecto :rea por exceso: 3. Como los numeradores son progresiones aritmticas, el resultado es: Adems,Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en unnmero infinitamente grande de intervalos iguales, el rea por defectocoincide con el rea por exceso y ambas con el rea del recinto que seest calculando.Particin de un intervalo [a, b]Una particin del intervalo [a, b] es una coleccin de intervaloscontenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningn punto en comn) ycuya unin es [a,b]. La particin de un intervalo queda determinada porlos extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la particin se sueleexpresar nombrando dichos extremos. En la figura, la particin de[a, b] es:Estos extremos se suelen escribir en orden creciente,a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b Ejemplo de particinFuncin escalonadaSea f una funcin definida en un intervalo [a, b ] y tomando valores en 4. R, f:[a,b] R;f es una funcin escalonada cuando existe una particindel intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interiorde cada uno de los intervalos de la particin. Ejemplos de funciones escalonadas 1. La funcin f: [-3, 4] R definida por:La particin asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo lafuncin es constante. Obsrvese que para cada funcin escalonada existe una infinidad departiciones asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra particinasociada a f, ya que la funcin toma valores constantes en cada intervalode la particin.2. El ejemplo ms representativo de funcin escalonada es la funcinparteLa imagen de un nmero cualquiera mediante E[x] es el mayor nmeroentero que es menor o igual que el nmero del que se parte.As, E [3,105] = 3 E [5] = 5 E [-3,001] = -4 E [-1,5401] = -2 E [7,32] = 7 E [-1,52] = -2 De una funcin escalonada slo van a interesar los valores que tomaen el interior de cada intervalo que compone la particin, noconsiderando el valor que toma en los extremos.INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADASea f una funcin escalonada definida en [a, b], y P = {a = x 0, x1, x2, ...,xn = b} una particin de [a, b]. Si m i es el valor que toma la funcin f enel intervalo (xi-1, xi) (es decir, si x (xi-1, xi), f(x) = m i ), se llamaintegral de la funcin f en [a, b] al nmerom 1(x1 - x0) + m 2(x2 - x1) + m 3(x3 - x2) + ... + m n(x n - xn-1)Este nmero se simboliza por: 5. A los nmeros a y b se les llama lmites de integracin, y la anteriorexpresin se lee integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x.Propiedades de la integral definida de una funcin escalonada La integral definida de una funcin escalonada no depende de laparticin elegida.Esto significa que si se consideran dos particiones P y P de una funcin Si los lmites de integracin, en una integral definida de una funcinescalonada, coinciden, entonces Si en una integral definida se intercambian los lmites de integracin, elvalor de la i ntegral cambia de signo:Ejercicio: clculo de integrales definidas de funciones escalonadasResolucin: Se toma la particin asociada P = {-3, -1, 2, 4}Resolucin: 6. Se toma, por ejemplo, la particin P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Por definicin,INTEGRAL DE RIEMANNAhora se va a definir la integral de una funcin cualquiera definida enun intervalo[a, b] con la nica condicin de que est acotada, es decir, que exista unnmero M > 0, de forma que la funcin, en el intervalo [a, b], siempretome valores entre -M y M.Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesariorecordar que para el clculo del rea de un tringulo se tomaronfunciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) f(x) para cualquier x [a,b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) h(x) si x [a, b]. Detodo ello resultaba que: En general, para una funcin f(x) acotada, se toman todas lasfunciones escalonadas g(x) por defecto, y todas las funcionesescalonadas por exceso, es decir, g(x) f(x) h(x) cuando x [a, b]. Enestas condiciones, si existe un nico nmero I que cumplapara cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) f(x) h(x)six [a, b], al nmero I se le llama integral de f(x) entre a y b. 7. y se lee integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x.Significado de la integral definida de una funcin Si una funcin positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable(existe su por la grfica de la funcin, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. Si la funcin y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la grfica de lafuncin quedara por debajo del eje de abscisas.En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y pordefecto, sus integrales correspondientes seran negativas, y puesto queelrea de la regin que determina una funcin negativa es:Este hecho no debera llamar la atencin si se tiene presente cmo estdefinida la integral de una funcin escalonada: la suma de las reas delos rectngulos que determina con el eje de abscisas, si la funcinescalonada es positiva y la suma de las reas de los rectngulos quedetermina con el eje de abscisas con signo menos, si la funcinescalonada es negativa. Finalmente, si la grfica de una funcin queda parte por encima, yparte por debajo del eje de abscisas, la integral se descompondr envarios sumandos cuando se quiera calcular el rea de la regin quedelimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b].En la figura adjunta, se ve claramente que: 8. La definicin de integral de Riemann poco ayuda a su clculo, pues esimposible encontrar todas las funciones escalonadas por defecto y porexceso de otra funcin dada. Hay, no obstante, criterios que son muchoms tiles de cara a decidir si una funcin acotada es integrable o no.Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostracin seomite por escapar de los objetivos de este libro.TeoremaToda funcin continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.Si y = f(x) es una funcin continua definida en un intervalo [a, b ],entonces f(x) esCon este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones comosen x, cos x, de cualquier funcin polinmica y, en general, de cualquierfuncin continua.An as, todava no hay nada que permita calcular de una manera rpidala integral de una funcin f(x) definida en un intervalo [a, b].TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULOSea una funcin y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tienesentido y existeA partir de f(x) se define una nueva funcin G de la siguiente forma:Obsrvese que se ha llamado t a la variable de la funcin G para noconfundirla con la variable x de la funcin f.En estas condiciones, si t0 [a, b] es un punto en el que la funcin f escontinua, la funcin G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0es G(t0) = f(t0). Es decir, la derivada de la funcin G en un punto 9. coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si lafuncin f es continua, la funcin G es una primitiva de la funcin f.El teorema fundamental del clculo pone todo a punto para encontrar unmtodo que permita resolver las integrales definidas de un modosencillo. Basta, para ello, con utilizar la importante consecuencia que del se deriva y que se conoce como Regla de Barrow.Regla de BarrowSi y = f(x) es una funcin continua en el intervalo [a, b], y F(x) unafuncin definida en [a,b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F(x) = f(x)para cualquier x (a, b), entoncesEste resultado es conocido, frecuentemente, por segunda parte delteorema fundamental del clculo. Es obligado hacer notar que, pararesolver una integral definida de una funcin continua, basta conencontrar una primitiva de la funcin, sustituir en ella los lmites deintegracin superior e inferior respectivamente y restar ambos valores.Claro es que, aunque la regla de Barrow d un mtodo para el clculo deintegrales definidas, no siempre es fcil encontrar las primitivas de unafuncin.Conviene observar tambin que como F(b) - F(a) es un nmero, es decir,no depende de la

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