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Primer Curso ESO Ensenanza Secundaria Alumnas/os: entre 10 y 11 anos
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Áreas y perímetros de figuras sencillas
Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:
1 a) b)
a) S�3 m �3 m�9 m2 b) S��6 m �
21,8 m��5,4 m2
P�4 �3 m�12 m P�3�4�6�13 m
2 a) b)
a) S�π�32 dm2�28,26 dm2 b) S��9 cm
2�6 cm��27 cm2
P�2π�3 dm�18,84 dm P�6 cm�9 cm�10,8 cm�25,8 cm
3 a) b)
a) S��B�
2
b��h��
10
2
�6��6�48 cm2 b) S�30 m �17 m�510 m2
P�6�6�10�7,2�29,2 cm P� (17 �2) m� (30 �2) m�94 m
4 a) b)
a) S��D
2�d���
402�26��520 cm2 b) S��
23 �
213,8��158,7 dam2
P�23,9 �4 cm�95,6 cm P�18�23�18�59 dam
3 m 3 m 4 m1,8 m
6 m
6 cm
9 cm
10,8 cm3 dm
6 cm
10 cm
6 cm
7,2 cm 17 m
30 m
23,9 cm
40 cm
26 cm
18 dam
13,8 dam
23 dam
1
5 a) b)
a) S��74�
242
��27,8�1 612,4 m2 b) S��P
2�a���
(5 �42) �2,8��28 m2
P�74�42� (32 �2)�180 m P�5 �4�20 m
6 a) b)
a) S�5 �2,5�12,5 km2 b) S��π�
2r 2
���π�
252
��39,25 cm2
P� (2 �5)� (2 �3)�16 km P��2
2πr��2r�π�5�10�25,7 cm
7 a) b)
a) S��P
2�a���
(8 �62) �7,2��172,8 cm2
P�6 �8�48 cm
b) S��15,3
2�7��4�44,6 m2
P�5�15,3�12�7�39,3 m
8 a) b)
a) S�π�R 2�π�r 2�π�102�π�62�64 π�200,96 cm2
P�2 πR�2 π r�32 π�100,48 cm
2,8 m
4 m
74 m
42 m
27,8 m 32 m
5 km
2,5 km 3 km 5 cm
7,2 cm
6 cm5 m
7 m
4 m
15,3 m
12 m
10 cm
6 cm
10 m
3,5 m
7,1 m
7,9
m
2
b) S�SCUADRADO �SROMBO �100��14,
22 �7��50,3 m2
P�PCUADRADO �PROMBO �10 �4�7,9 �4�71,6 m
9 a) b)
a) S��π
3�
6r 2
0�
°α
���π�1
356
2
0�1°20°
��235,5 m2
P��2
3π6r0�
°α
��2r��2 π�
31650�
°120°
��30�61,4 m
b) S��6 �
25,2��15,6 m; P�6 �3�18 m
10 a) b)
a) S��π�R 2�
2π�r 2
���64π�
225�
392π
��61,23 m2
P��2 π
2
R���
2
2
π r��2 (R�r )�8π�5π�6�13π�6�46,82 m
b) S��15
2
�8��60 dam2; P�8�17�15�40 dam
Medir y calcular
En cada una de las siguientes figuras toma las medidas que creas necesarias y cal-cula su superficie y su perímetro.
11 a) b)
120°15 m
5,2
m
6 m
6 m
6 m
5 m8 m
17 dam
15 dam
8 da
m
3
a) b)
S�2,4 �2,4�5,76 cm2 S�π�1,22�4,52 cm2
P�4 �2,4�9,6 cm P�2 �π�1,2�7,54 cm
12 a) b)
a) b)
S�2,4 �2�4,8 cm2 S��3,5
2�2��3,5 cm2
P�2 �2,4�2 �2�8,8 cm P�2 �4�8 cm
13 a) b)
a)
S��(2,7�
21,6) �2��4,3 cm2
P�2,7�3�1,6�2�9,3 cm
2,4 cm 1,2 cm
2 cm
2 cm
3,5 cm
2 cm
2,4 cm
2,7 cm
2,3 cm2 cm
1,6 cm
4
b)
S� �3,01 cm2
P� �2 �1,2�7,42 cm
14 a) b)
a)
S�ATRIÁNGULO �ATRAPECIO �ASECTOR �
��1,8
2�3���
(3,2�12,7) �1,5���
π3�
610,8°
2
��60°�2,7�3,675�1,6956�
�8,07 cm2
P�1,8�3�1,6�3,2��23π6�
01°,8
��60�9,6�1,884�11,481 cm
b)
S�2,2 �1,5�3,3 cm2; P�2,2 �2�1,6 �2�7,6 cm
(2 �π�1,8�2 �π�0,6) �120°���
360°
(π�1,82�π�0,62) �120°���
360°
120°1,8 cm1,2 cm
60°
3 cm
1,8
cm
3,2 cm
1,6 cm
1,5 cm
1,8 cm
1,7 cm
1,5 cm
1,6 cm
2,2 cm
5
Calcular el elemento que falta
En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Paraello tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángu-lo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.
15 a) b)
a) b)
l��82�15�2� �17 cm c��132�5�2� �12 m
S��8 �
215��60 cm2 S��
122�5��30 m2
P�15�8�17�40 cm P�12�5�13�30 m
16 a) b)
a) b)
b��222�1�02��19,6 cm a��302 �2�02��22,4 m
S�10 �19,6�196 cm2 S��40 �
222,4��448 m2
P�10 �2�19,6 �2�59,2 cm P�30�30�40�100 m
13 m
5 m
8 cm
15 cm
40 m
30 m
10 c
m
22 cm
13 m
5 m8 cm
15 cm
b
10 c
m
22 cm
a
20 m40 m
30 m
6
17 a) b)
a) l��92�92��12,7 dam
S�12,72 �161,3 dam2
P�4 �12,7�50,8 dam
b) �D2
� ��202�1�32��15,2 m →
→ D�30,4 m
S��30,4
2�26��395,2 m2
P�4 �20�80 m
18 a) b)
a) b)
α �360° : 3�120° R��32�32��4,2 m
S��π�4
3
2
6�
01°20°
��16,7 m2 S�π�4,22�π�32�27,1 m2
P�4�4��2π�
346�
01°20°
��16,4 m P�2π�4,2�2π�3�45,2 m
20 m
26 m
18 da
m
3 m
4 m
l
l9 d
am9 dam
18 da
m
NOTA: En este ejercicio he-mos de tener en cuenta quel�9�2� y, por tanto,
S�(9�2�)2�162
pero no se puede poner a losalumnos de este nivel.
D
20 m
26 m
3 m
R4 m
120°
7
19
S�28 �32�8 �18�47 �34�2 638 m2
P�28�32�24�47�34�39�18�40�262 m
20 a) b)
a) b)
b��82�52��6,2 cm a��132 �1�22��5 cm
S�5 �6,2�31 cm2 S��12
2�5��2 �5�40 cm2
P�5 �2�6,2 �2�22,4 cm P�5�2�13�14�34 cm
32 m
39 m
47 m
34 m24 m
28 m
5 cm
8 cm
14 cm
2 cm13 cm
32 m
39 m
47 m
34 m24 m
28 m18
8
14 cm
2 cm
13 cma
12 cm5 cm
8 cmb
8
21 AB—
�CD—
�41 m
BC—
�53 m
AD—
�71 m
—AD�
—BC�18 m →
—AE�9 m
a��412�9�2� �40 m
S��(71�5
23) �40��2 480 m2
P�41�41�53�71�206 m
22OB—
�13,6 cm
AB—
�16 cm
a��13,62��82��11 cm
S� = 440 cm2
P = 16 · 5 = 80 cm
23MN–—
�6 dm
NP—
�4 dm
PQ—
�3,6 dm
a��42�2,�42��3,2 dm
S��(6�3,
26) �3,2��15,4 dm2
P�6�4�3,6�3,2�16,8 dm
80 · 112
A D
B C
A D
B C
a a
E
O
A
B
a8 cm
O
A
B
N
M Q
P
N
M Q
P2,4
a
9
24PQ—
= QR—
= RS—
= SP—
= 6,5 cm
PR—
= 12 cm
�2d
� ��6,52 ��62��2,5 cm → d�5 cm
S��5 �
212��30 cm2; P�6,5 �4�26 cm
25A∧
�60°
AB—
�10 m
a��102 �5�2� �8,7 m
ATRIÁNGULO ��10 �
28,7��43,5 m2
ASECTOR ��π�1
306
2
0�
°60°
��52,3 m2
A�ASECTOR �ATRIÁNGULO �8,8 m2
P = 10 + = 20,5 m
26AB—
�AC—
�BC—
�8 cm
BD—
�DE—
� �12
� BE
BE—
��82�42��6,9
BD—
�DE—
��62,9��3,45
DC—
��3,452��42��5,3
S��8 �
26,9���
8 �32,45��27,6�13,8�13,8 cm2
P�2 �8�2 �5,3�26,6 cm
2π · 10 · 60°360°
P S
Q Rd
P S
Q R
B
A
a
5B
A
B
D
A E C
10
27 Un hexágono regular está inscrito en una circun-ferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto com-prendido entre ambas figuras.
� El lado del hexágono regular es igual al radio de su circun-ferencia circunscrita.
a��62�32��5,2 cm
SCÍRCULO �π�62�113,04 cm2
SHEXÁGONO ��36 �
25,2��93,6 cm2
S�SCÍRCULO �SHEXÁGONO �19,44 cm2
28 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 175 baldosas de 20 dm2
cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias pa-ra cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?
El área del patio es 175 �20�3 500 dm2
El área de la baldosa cuadrada es 50 �50�2 500 cm2�25 dm2
Por tanto, se necesitarán 3 500 : 25�140 baldosas.
29 El área de un rombo es 24 cm2. Una de sus diagonales mide 8 cm. Ha-lla su perímetro.
24��8
2�d� → d��
488��6 cm
l��42�32��5 cm
Por tanto, el perímetro es 4�5�20 cm.
30 Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm,calcula el radio del círculo inscrito y el radio del círculocircunscrito. Calcula el área de la zona coloreada.
El radio de la circunferencia inscrita esla mitad del lado del cuadrado, es de-cir, r�15 cm.
6 cm3a
ld
8 cm
r
R
11
El radio de la circunferencia circunscritaes:
R��152�1�52��21,2 cm
El área pedida es: A�AC. CIRCUNSCRITA �AC. INSCRITA �π�21,22�π�152�704,7 cm2
31 Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado.¿Qué longitud se obtendría si colocáramos en fila todos esos cuadraditos?
1 mm�0,001 m. Así, en el cuadrado de 1 m de lado hay:
1 m2 : 1 mm2�1 m2 : (0,001)2 m2�1 000 000 de cuadraditos de 1 mm de lado
Colocados en fila alcanzan una longitud de:
1 000 000 �1 mm�1 000 000 mm�1 000 m�1 km
32 ¿Es regular este octógono?
Calcula su área y su perímetro.
No es regular, porque los lados oblicuos son distintosa los otros cuatro.
Miden: l��12�12���2� �1
El área de cada triángulo es �12
� cm2.
Así, el área del polígono es: 5�4 � �12
� �7 cm2
Su perímetro es: 4�4 ��2� � 9,66 cm
33 Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Hemos deembaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado (se llaman losetas de20 × 20). ¿Cuántas losetas se necesitan?
La superficie de una loseta de 20 × 20 es:
20 �20�400 cm2�0,04 m2
Por tanto, necesitaremos 25 : 0,004�625 losetas.
R
15
15
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
1
1
l
12
34 Calcula la superficie de la zona colo-reada.
El área pedida es:
S�52�42�32��5 � (5�
24�3)��20 cm2
35 La figura azul no es un rombo, pero tiene las diago-nales perpendiculares. Justifica que también puedes calcu-
lar su área mediante la fórmula: �D
2�d�.
El área del cuadrilátero azul es la mitad que la del rectángulogrande, pues el área de cada triángulo azul es la mitad que ladel rectangulito que lo contiene.
36 Calcula las dimensiones y la superficie de las siguientes secciones de uncubo.
l��32�32��4,24 cm
Por tanto, es un rectángulo de 4,24 × 6, cuya área es:
S�4,24 �6�25,44 cm2
l'��32�62��6,7 cm
Por tanto, es un rectángulo de 6,7 × 6, cuya área es:
6,7 �6�40,2 cm2
37 Los lados de un triángulo miden: a�6 cm, b�7 cm y c�8 cm. La al-tura correspondiente al lado a mide ha�6,8 cm. Calcula la longitud de lasotras dos alturas.Haz el dibujo con precisión, toma medidas y comprueba la solución obtenida.
5 cm 4 cm 3 cm
8 m
15 m
6 cm
3 cml6 cm
6 cm
3 cm
6 cm
6 cml'
3 cm
a = 6 cm
hbhc
6,8 cm
c = 8 cm
b = 7 cm
13
El área del triángulo es �6 �
26,8��20,4 cm2
Por tanto:
20,4��7 �
2hb� → hb��
407,8��5,8 cm
20,4��8 �
2hc� → hc��
408,8��5,1 cm
38 Halla la superficie de cada una de las piezas de este tangram. Después,súmalas y comprueba que equivalen al área del cuadrado que forman todasjuntas:
� S� ��12
2�6��36 cm2
� S� �6 �3�18 cm2
� S� ��6
2
�6��18 cm2
�
��
�
�
� �
12 cm
12 cm
14
� S���6
2�3��9 cm2
� S���6
2�6��18 cm2
� S���12
2�6��36 cm2
� S���6
2�3��9 cm2
S��S��S��S��S��S��S��36�18�18�9�18�36�9�144 cm2
STOTAL �12 �12�144 cm2
Las áreas o perímetros que se piden a continuación son, todos ellos, mucho mássencillos de lo que parecen. Se encuentran con algo de imaginación y muy pocoscálculos.
39 Todos los arcos con los que se ha trazado esta fi-gura son iguales, pertenecen a circunferenciasde radio 6 m. Calcula su área.
Por tanto, S�12 �18�216 m2
12 m
18 m
15
40 Halla el área de este dibujo de un jarro.
Todos los arcos están hechos con un radio, r�8 cm.
Observando la igualdad de las superficies marcadas con �, �, �:
S�162�256 cm2
41 Halla el área y el perímetro de toda la figura.
Con esta figura podemos formar la siguiente:
Así, queda claro que el área es:
π�42�50,24 cm2
Los seis arcos completan una circunferencia. Por tanto, el perímetro de la figu-ra es:
2 �π�4�2 �4�33,2 cm
16 cm
16 cm
�
�
�
�
�
�
60°
4 cm
60°
4 cm
16
42 Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.
El área del rectángulo rojo es 40 �50�2 000 cm2
Dentro del rectángulo hay ocho losetas. Por tanto, el área de cada una de ellases:
�2 0
800��250 cm2
43 La base de este rectángulo mide 20 cm más que laaltura. Su perímetro es de 100 cm.
Calcula el área del cuadrilátero coloreado.
El área de cada uno de los dos triángulos blancos es la cuarta parte del área deltriángulo.
Por tanto, el área del cuadrilátero coloreado es la mitad de la del rectángulo.
40�4a�100 → a�15 cm → b�35 cm
50 cm
40 c
m
50 cm
40 c
m
b = 20 + a
b = 20 + a
a a
17
Área del rectángulo�15 �35�525 cm2
Área del cuadrilátero coloreado��5225
��262,5 cm2
44 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justificala respuesta.
Todos tienen la misma base y la misma altura.
Por tanto, tienen igual área.
45 A y B son puntos fijos. El punto C puede estarsituado en cualquier lugar de la circunferencia.
¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del trián-gulo ABC sea la mayor posible?
La altura tiene que ser la mayor posible.
Por tanto, el vértice hay que situarlo en el punto de lacircunferencia más lejano a la cuerda. Está situado enla mediatriz del segmento AB.
46 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuáles el perímetro del cuadrado negro exterior?
l5 es cuatro veces l1.
Por tanto el perímetro del cuadrado exterior es cuatro veces el del cuadrado in-terior, es decir, 128 cm.
C C
C
A BC
CC
C
A B
l5
l2
l4l3
l1
18
47 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunfe-rencia grande es de 6 cm.
SZONA SOMBREADA �π�32 �7 �π�12� (9�7) π�6,28 cm2
19
REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS
Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:
1 a) b)
a) A = 52 = 25 dm2 b) A = = 8 cm2
P = 5 · 4 = 20 dm P = 8 + 5 + 4 = 17 cm
2 a) b)
a) A = π · 52 ≈ 78,5 dm2 b) A = = 60 m2
P = 2π · 5 ≈ 31,4 dm P = 15 + 8 + 17 = 40 m
3 a) b)
a) A = · 7 = 56 dm2 b) A = 10 · 5 = 50 mm2
P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm
4 a) b)
a) A = = 54 cm2 b) A = = 75,6 hm2
P = 9,5 · 4 = 38 cm P = 28 + 15 · 2 = 58 hm
28 · 5,42
18 · 62
15 hm
28 hm
5,4 hm
6 cm
18 cm
9,5 cm
11 + 52
5 m
m
10 mm
5 dm
11 dm
7 dm 9,2 dm
15 · 82
8 m17 m
15 m
5 m
8 · 22
5 cm4 cm2 cm
8 cm
2 cm5 dm
Á
20
5 a) b)
a) A = · 30 = 1 560 mm2 b) A = = 15,75 cm2
P = 57 + 47 + 2 · 30,4 = 164,8 mm P = 5 · 3 = 15 cm
6 a) b)
a) A = 9 · 4 = 36 dam2 b) A = ≈ 14,13 km2
P = 2 · 9 + 2 · 5 = 28 dam P = + 6 ≈ 9,42 dm
7 a) b)
a) A = = 172,8 cm2 b) A = · 12 = 474 cm2
P = 8 · 6 = 48 cm P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm
8 a) b)
a) A = π · 152 – π · 82 ≈ 505,54 m2 b) A = 72 – π · 3,52 ≈ 10,53 mm2
P = 2π · 15 + 2π · 8 ≈ 144,44 m P = 7 · 4 + 2π · 3,5 ≈ 49,98 mm
7 mm
15 m
8 m
43 + 362
8 · 6 · 7,22
12 cm20 cm15
cm
36 cm
43 cm
7,2 cm 6 cm
2π · 32
π · 32
2
6 km
4 dam5 da
m
9 dam
5 · 3 · 2,12
47 + 572
2,1 cm
3 cm
30 mm
57 mm
30,4 mm
47 mm
21
9 a) b)
a) A = – ≈ 17,43 km2 b) A = · 120 ≈ 235,5 mm2
P = + 4 + 4 + 9,9 ≈ 22,61 km P = · 120 + 15 + 15 ≈ 61,4 mm
10 a) b)
a) A = – ≈ 0,98 m2
P = + + 0,5 + 0,5 ≈ 4,92 m
b) A = + ≈ 37,12 hm2
P = + 8,6 + 5 + 7 ≈ 28,45 hm
E D I R Y C A L C U L A R Á R E A S Y P E R Í M E T R O S
En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…).
11 a) b)
a) A = 5,76 cm2 b) A = 4,52 cm2
P = 9,6 cm P = 7,54 cm
1,2 cm2,4 cm
M
2 · π · 54
π · 52
47 · 5
2
2π · 14
2π · 1,54
π · 12
4π · 1,52
4
5 hm 7 hm
8,6 hm1 m
0,5 m
2π · 15360
2 · π · 34
π · 152
360π · 32
47 · 7
2
120°8 mm
3 km
9,9 km
4 km
22
12 a) b)
a) A = 4,8 cm2 b) A = 3,5 cm2
P = 8,8 cm P = 8 cm
13 a) b)
a) A = 4,3 cm2 b) A = 1,77 cm2
P = 8,5 cm P = 8,41 cm
14 a) b)
a) A = 7,8 cm2 b) A = 3,3 cm2
P = 11,1 cm P = 7,4 cm
REAS Y PERÍMETROS DE F IGURAS PLANAS
15 Aquí tienes las áreas de varios cuadrados. Di, en cada caso, cuánto mide ellado.
ÁREA DEL CUADRADO LADO
16 cm2 4 cm
225 cm2 15 cm
36 mm2 6 mm
100 dam2 10 dam
ÁREA DEL CUADRADO LADO
16 cm2
225 cm2
36 mm2
100 dam2
Á
1,5 cm
2,2 cm
2,9 cm
3 cm
60°
1,6 cm
1,7
cm
1,6
cm
3,1 cm
1,5 cm
1,7 cm
1,8 cm0,5 cm
2 cm2,2 cm
1,6 cm
2,7 cm
2 cm
3,5 cm2,4 cm
2 cm
23
16 Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.
17 Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura,10 cm.
A = · 10 = 160 cm2
El área del trapecio es 160 cm2.
18 Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m,c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área.
Área = · 4 = 42 m2
El área del trapecio es 42 m2
19 Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, yotro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura.
A = · 8 = 160 cm2
P = 26 + 14 + 2 · 10 = 60 cm
20 El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cmy c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.
P = 20 + 11 + 13 = 44 cm
6666 = 20 · a20 8 a20 = — = 3,3 cm20
6666 = 13 · a13 8 a13 = — ≈ 5,08 cm13
6666 = 11 · a11 8 a11 = — = 6 cm1120 m
a20
a11a13 13 m11 m
26 + 142
12 m
9 m
5 m4 m
12 + 92
12 + 202
40a = — = 8 m
5
La altura del rectángulo mide 8 m.
5 m
40 m2 a
24
21 Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calculasu área y la altura sobre la hipotenusa.
A = = 60 dm2
120 = 8 ah = ≈ 7,06 dm
22 Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.
A = = 93,6 mm2
P = 6 · 6 = 36 mm
23 En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm.Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondien-te es de 90°.
ATRIÁNGULO
= = 288 cm2
ACÍRCULO
= π · 242 ≈ 1 808,64 cm2
ASEGMENTO CIRCULAR
= ACÍRCULO
– ATRIÁNGULO
= – 288 = 164,16 cm2
24 Calcula el área de la zona coloreada.
A = 52 + 42 + 32 – = 20 cm2(5 + 4 + 3) · 52
5 cm 4 cm 3 cm
1 808,644
14
24 · 242
24 cm90° O34
cm
6 · 6 · 5,22
12017
17 · ah2
15 · 82
15 dm
17 dm8 dm ah
25
25 Calcula el área y el perímetro de las figuras coloreadas.
a)
A = 42 · 31 + 54 · 40 – 52 = 3 437 m2
P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m
b) A = ≈ 51,29 cm2
P = + 2 · 7 ≈ 28,65 cm
c) A = 5 · 5 = 25 m2
P = 2 · π · 2,5 · 2 ≈ 31,4 m
2π · 73
π · 72
3
54 m
40 m
49 m
26 m31 m
35 m
5 m
5 m
37 m
42 m
7 cm
54 m
40 m
a)
c)
b)
5 m
2,5 m
49 m31 m
35 m
37 m
26
26 Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras:
a)
b)
a) A = · 5 = 440 cm2
P = 2 · 8 · 5 = 80 cm
b) Como el triángulo es equilátero (ya que Aì
= 60°), AB—
= 2BC—
= 10 m.
A = · 60 – ≈ 8,83 m2
P = · 60 + 10 ≈ 20,47 m
27 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm.¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?
Como vemos en la observación, el lado del cuadrado rojo interior es la mitad deldel cuadrado azul. Por el mismo motivo, el lado del cuadrado negro exterior es eldoble del del cuadrado azul. Así, el lado del cuadrado negro es cuatro veces el ladodel cuadrado rojo. El perímetro del cuadrado negro será cuatro veces el perímetrodel cuadrado rojo, es decir, 32 · 4 = 128 cm.
l
lObservación:
2π · 10360
10 · 8,72
π · 102
360
2 · 8 · 112
ìA = 60°
AB = 10 mAC = 8,7 cm
A
BC
OB = 11 cmAB = 8 cm
O
A
B
27
28 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunfe-rencia grande es de 6 cm.
Radio circunferencia grande: R = 3 cm
Radio circunferencias pequeñas: r = 1 cm
A = π · 32 – 7 · π · 12 = 2π ≈ 6,28 cm2
29 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justificala respuesta.
Todos los triángulos tienen la misma área ya que la base y la altura son iguales paratodos ellos.
30 A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugarde la circunferencia.
¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?
Pondremos C en el punto más alto de la circunferenciapara que el área sea lo mayor posible. Esto es porque conla misma base, cuanto mayor sea la altura, mayor será elárea del triángulo.
C
A B
C C
C
A B
28
REAS Y PER ÍMETROS UT I L I ZANDO E L T EOREMA DE P ITÁGORAS
En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Sino es exacto, halla una cifra decimal.
31 a) b)
a) a = = = 5,5 m
A = = 13,8 m2
P = 2 · 6 + 5 = 17 m
b) x = = = 24 m
A = = 84 m2
P = 24 + 7 + 25 = 56 m
32 a) b)
a) a = = = 12 m
A = 12 · 5 = 60 cm2
P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm
b) x = = = 28 m
A = = 2 520 m2
P = 53 · 4 = 212 m
33 a) b)
15 cm99 m
53 m
x
45 m2 · 28 · 90
2
√784√532 – 452
13 cm 5 cm
x
√144√132 – 52
90 m
53 m
5 cm 13 cm
7 m 25 m
x
24 · 72
√576√252 – 72
2,5 m
6 ma
6 · 5,52
√29,75√62 – 2,52
7 m 25 m
5 m
6 m
Á
29
a) x 2 + x 2 = 992 8 2x2 = 9 801 8
8 x2 = 4 900,5 8 x = ≈ 70 m
A = 702 = 4 900 m2
P = 70 · 4 = 280 m
b) x = = ≈ 21,2 cm
A = π · 21,22 – π · 152 ≈ 704,7 cm2
P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm
34 a) b)
a) x = = = 48 cm
A = = 5 280 cm2
P = 4 · 73 = 292 cm
b) x = = = 39
A = · 39 = 2 262 cm2
P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm
35 a) b)
a) x = = = 40 dam
A = · 40 = 2 480 dam2
P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam
b) x = = = 3,2 dm
A = · 3,2 ≈ 21,8 dm2
P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm
2,4 dm
5,6 dm
4 dm
x 8 + 5,62
√10,24√42 – 2,42
71 dam
41 dam
53 dam
9 dam
x53 + 71
2
√1 600√412 – 92
8 dm5,6 dm
4 dm
71 dam
41 dam
41 d
am
53 dam
98 cm
89 cm
80 cm
18 cm
x18 + 98
2
√1 521√892 – 802
73 cm
55 cmx
110 · 48 · 22
√2 304√732 – 552
98 cm
89 cm
18 cm
73 cm
110 cm
15 cm
15 cmx
√450√152 + 152
99 m
x
x√4 900,5
30
36 a) b)
a) x = = ≈ 8,2 m
A = · 5 = 246 m2
P = 12 · 5 = 60 m
b) x = = = 7 cm
A = = 336 cm2
P = 4 · 25 = 100 cm
37 a) b)
a) x = = ≈ 8,7 m
A = · 60 – ≈ 8,8 m2
P = · 60 + 10 ≈ 20,5 m
b) (2x)2 + x2 = 82 8 5x2 = 82 8 x ≈ 3,6 mm
A = – ≈ 13 mm
P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm
38 Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro.
l = 28 : 4 = 7 cm
x = = ≈ 9,9 cm
La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.
7 cm
7 cm
x √98√72 + 72
8 mm
x x
x
x 3,6 · 2 · 3,62
3,6 · 2 · 3,6 · 22
10 m
5 m
x
2π · 10360
10 · 8,72
π · 102
360
√75√102 – 52
8 mm
x x
x
x
10 m60°
25 cm
25 cm24 cm
x
48 · 7 · 22
√49√252 – 242
12 m
6 m
10,2 mx
12 · 8,22
√68,04√10,22 – 62
25 cm
25 cm48 cm
12 m
10,2 m
31
39 Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.
l = = = 29 cm
P = 4 · 29 = 116 cm
40 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el ladooblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.
x = = = 39 m
A = · 39 = 2 730 m2
P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m
41 Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro.
l = 60 : 3 = 20 dam
x = = ≈ 17,32 dam
A = = 173,2 dam2
42 Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba si es ono un triángulo rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.
532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2
Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.
A = = 630 cm2
630 = 53 · ah 8 ah = ≈ 11,9 cm
La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.
43 Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio.Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.
63053
45 · 282
10 dam
20 damx
20 · 17,322
√300√202 – 102
110 m
30 m
80 m
89 mx 30 + 1102
√1 521√892 – 802
20 cm
21 c
m l√841√212 + 202
32
a = = ≈ 5,2 cm
AHEXÁGONO
= = 93,6 cm2
ACÍRCULO
= π · 62 ≈ 113,04 cm2
ARECINTO
= ACÍRCULO
– AHEXÁGONO
= 19,44 cm2
44 ¿Es regular este octógono?. Calcula su área y su perímetro.
El octógono no es regular ya que algunos lados miden 1 cm y otros ≈ 1,4 cm.
El área de un cuadrado de 1 cm de lado es 1 cm2. El octógono está formado por 5cuadrados de 1 cm2 y cuatro mitades. Esto es:
Área = 5 · 1 + · 1 = 7 cm2
45 Calcula el perímetro y el área de esta figura:
x = = ≈ 10,77 m
ARECTÁNGULO
= 18 · 8 = 144 m2
ATRAPECIO
= · 4 = 52 m2
A 1/2 CÍRCULO= ≈ 25,12 m2
ATOTAL
= ARECTÁNGULO
+ ATRAPECIO
– A 1/2 CÍRCULO= 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2
P = 18 + 8 + 10,77 + + 12 ≈ 61,33 m2π · 42
18 m
10 m
8 m
8 m
4 mx
4 m
π · 42
2
8 + 182
√116√102 + 42
18 m
8 m
8 m12 m
42
√2
1 cm
1 cm
3 cm
6 cm
a
6 · 6 · 5,22
√27√62 – 32
33
46 Halla el perímetro y el área de esta figura:
x = = = 24 dm
ATRIÁNGULO
= = 120 dm2
A 1/2 CÍRCULO GRANDE= ≈ 226,08 dm2
A 1/2 CÍRCULO PEQUEÑO= ≈ 39,25 dm2
ATOTAL
= 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2
P = 26 + + ≈ 79,38 dm
47 Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones deun cubo:
a) x = = ≈ 4,24 cm
A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2
P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm
b) x = = ≈ 6,71 cm
A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2
P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cmx
6 cm √45√62 + 32
x
6 cm
√18√32 + 32
6 cm
3 cm
3 cm
3 cm 6 cm
6 cm
6 cm6 cma) b)
2π · 122
2π · 52
π · 52
2
26 dm10 dm
x
π · 122
2
24 · 102
√576√262 – 102
26 dm
10 dm
34
48 Determina el perímetroy el área de la siguiente figura:
x = = = 3
y = = = 12
z = = = 12,5 m
A① = = 6 m2; A② = = 30 m2; A③ = = 21 m2
A = 6 + 30 + 21 = 57 m2
P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m
49 La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonalesperpendiculares. Justifica que también puedes calcular su áreamediante la fórmula:
ARECTÁNGULO
= D · d = 8 · 15 = 120 m2
Como vemos, A① = A②; A③ = A④; A⑤ = A⑥; A⑦ = A⑧
Por esto el área de la figura roja es la mitad del área del rectángulo. Así:
AFIGURA
= = = = 60 m21202
D · d2
ARECTÁNGULO
2
8 m
15 m
D · d2
3,5 · 122
5 · 122
4 · 32
√156,25√122 + 3,52
√144√132 – 52
√9√52 – 42
13 m4 m
3,5 m
5 m
13 m4 m
3,5 m
5 m
x
z
y
2
3
1
2
d = 8 m
D =
15
m
1
3
6 4
7
8
5
35
50 Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlocon losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántaslosetas son necesarias?
ALOSETA
= 25 · 25 = 625 cm2
ASALÓN
= 50 m2 = 500 000 cm2
Para cubrir el salón se necesitan = 800 losetas.
51 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2
cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cu-brir el patio, idéntico, de la casa vecina?
El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2.
La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2.
Por tanto, se necesitan = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.324 000400
500 000625
36