Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Límite de Sucesiones 4º ESO o 1º Bachiller

1

IDEA DE LÍMITE. Vamos a tomar una sucesión de término general Procedemos darle valores a “n” cada vez mayores y vamos a observar a que número real se van aproximando los términos correspondientes de la sucesión:

n an

1 a1=1

2 a2=1,33333

3 a3= 1,5

100 a100=1,980198

100.000 a100.000=1,99998

1.000.000 a1.000.000=1,999998

Parece que los términos de la sucesión se van acercando al número real 2. Si nosotros calculamos las diferencias existentes entre los términos de la sucesión y el número real 2, obtenemos lo siguiente:

2

A medida que “n” crece las diferencias se hacen cada vez menores. Estamos en disposición de afirmar que el límite de la sucesión es 2. Ahora vamos a tomar otra sucesión de término general bn = 2n. Asimismo, como en el caso anterior, vamos darle valores a “n”, cada vez mayores, obteniendo los siguientes términos:

n bn

1 b1=2

2 b2=4

3 b3= 6

10 b10=20

1.000 b1.000=2.000

1.000.000 b1.000.000=2.000.000

Observamos que los términos se hacen cada vez mayores. Sobrepasan cualquier número natural, por grande que este número natural sea. En este caso la sucesión no tiene límite real. Tomamos otra sucesión de término general: Cn = - 2n Por ser la sucesión opuesta a la anterior, la sucesión tampoco tiene límite real. Vamos a estudiar otra sucesión de término general:

3

Si procedemos a darle valores a “n” obtenemos los términos siguientes:

n dn

10 d10=0,1

100 d100=0,001

10.000 d10.000=0,00001

Observamos que cuando los valores de “n” son suficientemente grandes, los términos que obtenemos se van acercando cada vez más a 0. También observamos que a medida que “n” crece, las diferencias entre cada término y el límite se aproximan a cero. Podemos enunciar que las sucesiones de términos generales de la forma:

tienen todas de límite cero. Ahora vamos a observar las sucesiones de términos generales:

siendo k una constante. K = Es un número real cualquiera (siempre el mismo por ser constante) Observamos que cuando le vamos dando valores a “n”, ocurre lo siguiente: 1º.- El numerador permanece constante. 2º.- El denominador crece. Por tanto el cociente se va aproximando cada vez más a cero. Afirmaremos: El límite de estas sucesiones es cero.

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Observemos otra sucesión constante de término general an= k K = es una constante Es un número real cualquiera Al ser constante es siempre el mismo. La sucesión será: ( k, k, k, k, k, k, k, k, …………………k, …………..k, .. ) El límite de esta sucesión es k. Observemos otra sucesión de término general: Dándole valores a “n” y observando los términos obtenidos, comprobamos lo siguiente:

a1 - 2

a2 5,5

a3 1,333

a4 4,25

a11 2,4444

a12 3,4166

a1000 2,9995

a10.000 3,0005

a100.000 3,0000

a1.000.000

3,0000005

Los términos de la sucesión al darle valores a “n” suficientemente grandes se van aproximando al número natural 3. Cuando “n” es muy grande las diferencias ( an – 3 ) se van haciendo cada vez más pequeñas. A la vista del estudio de las sucesiones anteriores, podemos obtener una primera idea de lo que es el límite de una sucesión.

5

Una sucesión (an) tiene por límite el número real a, cuando:

- A medida que “n” toma valores cada vez mayores, ocurre:

Los términos de la sucesión se aproximan cada vez más al número real a. También lo podemos enunciar de la siguiente manera: Una sucesión (an) tiene por límite el número real a, cuando: Las diferencias entre los términos obtenidos y el límite: a.- Se hacen tan pequeñas como queramos, sin otra condición más que: b.- Darle a “n” valores tan grandes como sea necesario. Vamos a darle otro enfoque a esta definición, para ver que criterio nos queda más claro. Encontrar el límite de una sucesión es un problema que consiste en determinar a que número real (siempre y cuando exista – una sucesión puede “no” tener límite), se aproximan sus términos. En la sucesión: cuyo término general es, evidentemente Al aumentar el valor de “n” ( el número de orden) an está cada vez más cercano a cero.

A la vista de los resultados anteriores, podemos llegar a la siguiente conclusión: 1º.- Ningún término de la sucesión llega a valer cero. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN. a.- Vamos a considerar la sucesión de término general: Estudiaremos a partir de que término el valor absoluto(prescindimos del signo negativo) de las diferencias que se produzcan entre an y el límite 2 es menor que una centésima Tratamos de calcular dichas diferencias. La condición que hemos impuesto es an -2 ‹ 1/100

6

Sustituimos an por su valor

Como los términos los estudiamos con respecto a su valor absoluto, prescindiendo del signo menos:

Observamos que hemos fijado el entorno en el cual queremos calcular diferencias, que ha sido:

Por tanto existe un número natural n* = 99, tal que para todo n> 99, se verifica:

Vamos a practicar con otro ejemplo: b.-¿A partir de que términos las diferencias an-2 son menores que una milésima? El entorno en el cual queremos calcular las diferencias es: De acuerdo con el enunciado del ejercicio establecemos:

Sustituimos an por su valor

Como los términos a los cuales nos referimos son dados en valor absoluto, nos queda:

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hemos omitido el signo menos

Como habíamos establecido el criterio de

Existe un número natural n* = 999, tal que para todo n > 999 se verifica que:

También observamos que a medida que vamos fijando un entorno (ε) más pequeño

necesitamos un número natural “n*” mayor, para que se verifique que Podemos definir:

Una sucesión de números reales (an) tiene por límite el número real a, cuando:

Para todo número real positivo ε,”existe” un número natural n* tal que para todo

n > n*, se verifica que an – a ‹ ε Se simboliza: Vamos a definirlo de otra forma:

Dada una sucesión (an), se dice que (an) tiene por límite l, tiende a l o converge a l cuando n tiende a infinito (∞), y se simbolizará

8

o más simplificadamente (an) l

si para todo ε> 0 (épsilon) tan pequeño como se quiera, existe un subíndice n0

tal que para todo n ≥ n0, an pertenece al entorno (l - ε, l + ε). Es decir, a partir de un elemento en adelante todos caen en el entorno citado.

Esto significa que para n ≥ n0 | an - l | < ε Y recordando el significado de valor absoluto, | an - l | < ε se traduce en -ε < an - l < ε, y sumando l a los tres miembros de la desigualdad:

l - ε, < an < l + ε

EL número n0 que se ha de encontrar para cada ε, depende de éste.

En general, cuando más pequeño se tomo ε, mayor ha de ser el n0

correspondiente. Es muy importante que nos quede claro lo siguiente: a.- No importa que haya términos mayores o menores que el límite de la sucesión (a). b.- Lo que “si“ tiene que ocurrir es que a partir de un índice n*, las diferencias entre

los términos sucesivos y el límite sean menores que un valor previamente fijado ε. Sucesión convergente

Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente. Una sucesión (an) que tenga por límite l, se dirá que tiende a l o que converge a l. Decidir si la sucesión de término general: es convergente y, en caso afirmativo, calcular el límite. Para n =1, a

1 = -1/6 = -0,1666

Para n = 7, a

7 = 0,9166

Para n = 142, Para n =1200,

9

Para n =5000 a10 000

= 1,9997001; a30 000

= 1,9995667;... Todo parece indicar que el límite de esta sucesión, cuando n tiende a infinito, es 2. Para probarlo, se hará uso de la definición.

Se toma un entorno ε cualquiera.

Hay que ver a partir de qué n se cumple |an - 2| < ε

Hay que resolver la inecuación:

13 < ε (n + 5) = ε n + 5 ε 13 - 5 ε < ε n.

A continuación dividimos ambos miembros de la inecuación entre ε

Elegimos un entorno ε cualquiera. Basta con tomar:

Por ejemplo, si En consecuencia, a12 966, a12 997, a12 998, ... están todos contenidos en el entorno Primera propiedad de las sucesiones convergentes: a) Si una sucesión (an) tiene límite l positivo, existe un término a partir del

cual todos los términos de la sucesión son positivos.

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b) Si una sucesión (an) tiene límite l negativo, existe un término a partir del

cual los términos de la sucesión son negativos. c) Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión. Demostración: a) Si l es positivo, se toma y se considera el entorno Por definición de límite de una sucesión, existe un subíndice n0 tal que para

Esto quiere decir que lo que prueba que a partir de un término en adelante, los que se le siguen son positivos. b) Si l es negativo, se toma y se considera el entorno Por definición de límite de una sucesión, existe un subíndice n0 tal que para

El razonamiento es análogo al caso anterior. c) Basta con poner un ejemplo. La sucesión: cuyo término general es: converge claramente a cero y sus términos son alternadamente positivos y negativos. Sucesiones alternadas Son aquellas que alternan los signos de sus términos (positivo, negativo, positivo).

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Sucesiones divergentes Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito

o a menos infinito (+ ∞ ó - ∞ ). Expresado de forma rigurosa Una sucesión (a

n) tiene por límite + ∞ ó diverge a +∞ si elegido un número k

tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no tal que para cualquier

n ≥ no , an > k Esto es equivalente a afirmar que para n ≥ no ,an está en el intervalo (k, +∞), es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera. Una sucesión (an) tiene por límite - ∞ ó diverge a -∞ si elegido un número k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice no tal que para cualquier

n ≥ no , an > -k Esto equivale a decir que para n ≥ no ,an pertenece al intervalo (-∞, k) Igual que en las sucesiones convergentes, para cada número k elegido, el subíndice no será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará no Sucesión oscilante Una sucesión (an) se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente.

Probar que la sucesión an = 5n2 - 9 diverge a + ∞

Resolución: Se elige un número k tan grande como se desee. Por ejemplo k = 108

Hay que encontrar los valores de n para los cuales a

n >108, es decir, 5n2

- 9

>108

En 5n2

- 9 > 108 se suma 9 a los dos miembros: 5n2 > 10

8 + 9 = 100 000

009. Se divide entre 5.

12

A partir del término a4 473

, an > 10

8

¿Tiene límite la sucesión an = (-1)

n ·3? Resolución: Los términos de esta sucesión son: -3, 3, -3,3, -3,3, ... La sucesión an = (-1)n ·3 es oscilante. Se ha de probar que no tiene límite: los posibles límites son 3 y -3. Supongamos que

Si se toma ε = 1, los términos impares a2n-1 = -3 no están en el intervalo

(l - ε, l + ε) = (2, 4). No se puede encontrar un n0 a partir del cual todos los

términos están dentro del intervalo (2, 4). Supongamos que

Si se toma ε = 1, los términos pares a2n =3 no se encuentran en (l - ε, l + ε) = (-4, 2). No se puede encontrar un n

0 a partir del cual todos los términos

estén dentro del intervalo (-4, 2). Es fácil observar que Por lo tanto la sucesión es oscilante. Es fácil caer en la tentación de tomar el intervalo (-4,10) y pensar que puesto que todos los términos de la sucesión pertenecen a él, la sucesión debería tener límite.

Sin embargo, la definición de límite obliga a que elegido un ε cualquiera todos, salvo una cantidad finita de términos, queden en el intervalo (l - ε, l + ε). Basta, pues, elegir un ε para el que no se cumpla esta premisa y concluir que la sucesión no tiene límite. Propiedades de los límites de sucesiones. Primera propiedad La suma de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la suma de los límites.

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Segunda propiedad La diferencia de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es la diferencia de los límites.

Tercera propiedad El producto de dos sucesiones convergentes es convergente y su límite es el producto de los límites.

Cuarta propiedad Si una sucesión (an) tiene límite L, distinto de 0, y tiene todos sus términos también distintos de 0, entonces la sucesión es

convergente y su límite es

Quinta propiedad Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones convergentes que tienen por límites L1 y L2.

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Si además bn ≠ 0 pata todo n y L2, la sucesión es convergente y tiene por límite

Sexta propiedad Si (a

n) es una sucesión que tiene límite a ≠ 0 y (b

n) es otra sucesión que

converge a cero, entonces:

SUCESIONES QUE TIENDEN A INFINITO. Vamos a estudiar la sucesión de término general an = n3. a1 = 1 a2 = 8 a3 = 27 a100 = 1.000.000 a1000 = 1.000.000.000 Observamos que los términos se van haciendo cada vez mayores. Por muy alto que fijemos un valor, podemos encontrar términos que lo superan. Vamos a fijar un valor muy alto, por ejemplo k = 100.000.000 Para cualquier valor de n mayor que 1.000 se verifica que los términos consecutivos son mayores que el valor previamente fijado, es decir: n3 > 100.000.000 para todo n > 1.000 Entonces, cuando por grande que sea el valor de k que fijemos, siempre encontraremos un valor del índice n a partir del cual los términos sucesivos serán mayores que k.

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Cuando se verifica esta condición, se dice que la sucesión (n3) tiende a + ∞ Podemos definir: Las sucesiones de números reales (an) tienden a infinito: Si para cualquier valor que fijemos de k, se puede conseguir Que todos los términos a partir de uno dado sean mayores que k, sin más condición que dar a n valores tan grandes como sea necesario. Lo simbolizamos: lim an = + ∞ ó también an + ∞ Cuanto mayor sea el valor de k, mayor tendrá que ser el índice n a partir del cual se consigue que an > k Vamos a estudiar la sucesión de término general an = - n2. a1 = - 1 a2 = -4 a3 = - 9 a4 = - 16 a5 = - 25 a6 = - 36 a7 = - 49 , …. Observamos que los términos se van haciendo cada vez menores. Por muy bajo que fijemos un valor, podemos seguir encontrando términos menores que él. Vamos a fijar un valor muy bajo, por ejemplo k = - 10.000 Para cualquier valor de n mayor que 100 se verifica que los términos consecutivos son menores que el valor previamente fijado, es decir: - n2 ‹ - 10.000 para todo n > 100 Por pequeño que sea el valor de k que fijemos, siempre encontraremos un valor del índice n a partir del cual los términos sucesivos serán menores que k. Decimos que la sucesión (n2) tiende a - ∞ Podemos definir: Las sucesiones de números reales (an) tienden a menos infinito: Si para cualquier valor que fijemos de k, se puede conseguir Que todos los términos a partir de uno dado sean menores que k, sin más condición que dar a n valores tan grandes como sea necesario. Lo simbolizamos: lim an = - ∞ ó también an - ∞

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SUCESIONES NULAS O INFINITÉSIMOS.

Una sucesión es un infinitésimo si es convergente y tiene por límite cero.

Por definición de límite: (an) es un infinitésimo si para todo ε existe un n0 tal que para todo n ≥ n0 , | an - 0 | = |an | < ε Propiedades de los infinitésimos 1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo

Si lim an = 0 y lim bn = 0 lim (an + bn ) = 0

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo. Si lim an = 0 y bn es acotada lim (an · bn ) = 0 3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo. Si lim an = 0 y lim bn = 0 lim(an· bn ) = 0 4. El producto de un número por un infinitésimo es un infinitésimo. Si lim an = 0 lim (k·an ) = 0 5. Si una sucesión (an) converge a L, la sucesión (an - L) es un infinitésimo. Si lim an = L lim (an- L) = 0

En la sucesión: cuyo término general es, evidentemente Al aumentar el valor de “n” (el número de orden) an está cada vez más cercano a cero.

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A la vista de los resultados anteriores, podemos llegar a las siguientes conclusiones:

1. Ningún término de la sucesión llega a valer cero.

2. Elegido un entorno centrado en cero, por pequeño que éste sea, siempre se encuentra un término tal que a partir de él todos los términos de la sucesión están dentro de ese entorno.

Por ejemplosí se elige el entorno (-0,0001;0,0001), a partir del término a10 000, todos los demás términos (a

n , n > 10 000) están en dicho entorno.

En efecto:

a10 000 = 0,0001. Coincide con uno de los extremos del intervalo y, por

definición, no tiene cabida en él.

Por tanto pertenece al intervalo: (-0,00001; 0,0001) Si n > 10 001, a

n < a10.001 < 0,0001

Se concluye que si n > 10 000, a

n ε (-0,0001; 0.0001).

Resolución:

Se toma un ε cualquiera (sin especificar más).

Hay que encontrar un no tal que para n≥ no , 0 - ε < an < 0 + ε

Como hay que encontrar un no tal que para n ≥ 0

se deduce, sin más que multiplicar por n,que 1 ‹ n ε De

Despejamos n Como n ≥ n0, basta elegir n0 de modo que n ≥ n0 >

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Así, si se elige el entorno

Efectivamente, si n ≥ no > 1000, De este modo se cumple que:

a partir del término n0 = 1001, Esto significa que elegido un entorno todos los términos de la sucesión se encuentran en el intervalo

De todo lo anterior se deduce que:

LOS SÍMBOLOS + ∞ Y - ∞. Con estos nuevos elementos se completa la recta real de modo que se conserva el orden de la misma. Una idea visual (gráfica) de este nuevo conjunto

- ∞ -1 0 +1 + ∞ + ∞ es mayor que cualquier número real.

- ∞ es menor que cualquier número real. Cuando se utilicen estos símbolos, se debe pensar que solamente son símbolos para

indicar números cada vez mayores (+ ∞) y números cada vez menores (- ∞)

LÍMITE DE SUCESIONES POLINÓMICAS. Cuando el término general es un cociente de polinomios en n.

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La indeterminación del tipo de estas sucesiones desaparece dividiendo el numerador y el denominador por la potencia máxima de n que haya en el denominador.

LÍMITE DE SUCESIONES RADICALES. Cuando el término general tiene expresiones radicales en n.

ó bien ∞ - ∞ de sucesiones con radicales desaparece La indeterminación multiplicando y dividiendo la función entre la expresión radical conjugada. La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

EXPRESIONES DE INDETERMINACIÓN.

0k ,

∞∞ , (4-4), (0@4), (14), (00),

(40)

SUMA

+ a + ∞ - ∞ b a+b + ∞ - ∞ + ∞ + ∞ + ∞ Indetermin

- ∞ - ∞ Indetermin - ∞

20

RESTA

- a + ∞ - ∞ b a-b + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ Indetermin - ∞

- ∞ + ∞ + ∞ Indetermin

PRODUCTO

X a 0 + ∞ - ∞

b ab 0

+ ∞ si b >0 - ∞

si b ‹0

- ∞ si b >0 +∞

si b ‹0

0 0 0 Indeter Indeter

+ ∞ + ∞

si a >0 - ∞

si a ‹0

Indeter + ∞ - ∞

- ∞ - ∞

si a >0 + ∞

si a ‹0

Indeter - ∞ + ∞

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COCIENTE

: a 0 + ∞ - ∞

b

0

+ ∞ si b >0 - ∞

si b ‹0

- ∞ si b >0 +∞

si b ‹0

0 Indeter Indeter Indeter Indeter

+ ∞ 0 0 Indeter Indeter

- ∞ 0 0 Indeter Indeter

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1.- Calcular:

Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios. Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo en un cociente de polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

Sabemos que Es un infinitésimo

2.- Calcular:

Efectuando operaciones en el numerador, ya que es un producto, nos queda la expresión:


23

Sabemos que Son infinitésimos

Estamos observando que las claves para resolver este ejercicio y el anterior se basan en: 1º.-Como deshacer la indeterminación (cociente de polinomios) Aplicar regla correspondiente. 2º.-Tener presente una vez deshecha la indeterminación, que el límite que se nos presenta es el de un infinitésimo. 3.- Calcular: Efectuando operaciones en el numerador, ya que es una resta, nos queda la expresión:

En este caso, no podemos deshacer la indeterminación. 4.- Calcular:

Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios. Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo en un cociente de

24

polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador. Sabemos que Son infinitésimos

5.- Calcular:


Sabemos que Son infinitésimos 6.- Calcular:

25

Nos encontramos con que el término general es una expresión radical. Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo o bien ∞- ∞ en una expresión radical, la hacemos desaparecer multiplicando y dividiendo la función entre la expresión radical conjugada. La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

Sabemos que Son infinitésimos

7.- Calcular:

Importante para tomar en cuenta:

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Haciendo operaciones resulta:

8.- Calcular: Efectuando la multiplicación de ambos términos, obtenemos:

Para introducir n(denominador en la 2ª fracción)en la raíz cuadrada del denominador de la 1ª fracción lo elevamos al cuadrado, y a continuación lo multiplicamos por cada uno de los términos que exista dentro de la citada raíz cuadrada.

Esto es la operación que hemos hecho en el paso Anterior.

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La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

Sabemos que Son infinitésimos 9.- Calcular: Efectuando la multiplicación de ambos términos, obtenemos:


Sabemos

Son infinitésimos

10.- Calcular:

28


Sabemos que Son infinitésimos 11.- Calcular los siguientes límites: a)

b)

c)

d.-

29

e)

Es un infinetésimo

f)

g)

h)

i)

30

j)

k) Primero efectuamos la operación indicada, es un producto, y obtenemos:

l) Primero efectuamos la operación indicada, es un producto, y obtenemos:

m)

n) Es un infinitésimo

o)

31

p)

q)

Es un infinitésimo 12.- Calcular los siguientes límites: a)

Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios.

Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo en un cociente de

polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

b)

32



polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador

c)




Son infinitésimos

33

13.- Calcular el siguiente límite:

Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo ∞- ∞ en una expresión radical, la hacemos desaparecer multiplicando y dividiendo la función entre la expresión radical conjugada. ¿Cuál es la expresión radical conjugada? Es la misma dada en el enunciado cambiando de signos: lo vemos gráficamente:

Expresión dada ¿Dónde está la diferencia? En el cambio de signo Expresión conjugada Ahora ya estamos en condiciones de proceder a multiplicar y dividir la expresión dada por la expresión radical conjugada:

Ahora efectuamos las operaciones y obtenemos:

Nos volvemos a encontrar con otra indeterminación del tipo: La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador. ¿Cuál es la potencia máximo que hay en el denominador?

Es √n2 = n En este caso ya dividimos n entre los términos de numerador y denominador

34

Son infinitésimos En este ejercicio, hemos visto las dos posibles variantes de indeterminación en los límites de sucesiones de expresiones radicales. 14.- Calcular el límite:



35

Ahora efectuamos las operaciones y obtenemos:

Recordar: Las funciones polinómicas toman el signo + o – del termino que contenga el mayor exponente. Nos volvemos a encontrar con otra indeterminación del tipo: La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador. ¿Cuál es la potencia máximo que hay en el denominador?

Es √n2 = n En este caso ya dividimos n entre los términos de numerador y denominador

Son infinitésimos 15.- Calcular el límite de:

36

Nos volvemos a encontrar con otra indeterminación del tipo:

La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador. ¿Cuál es la potencia máximo que hay en el denominador?

Es √n2 = n En este caso ya dividimos n entre los términos de numerador y denominador.


¿Porqué el numerador - ∞ y el denominador + ∞? Las funciones polinómicas toman el signo + o – del termino que contenga el mayor exponente. En el numerador el término de mayor exponente es -2n5. En el denominador el término de mayor exponente es +3n6. Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios.



Son todos infinitésimos excepto 3n6/n6

37

16 Calcular el límite: Haciendo operaciones, desarrollamos el numerador y la expresión nos queda:




Son infinitésimos 17.- Calcular el límite de: Haciendo operaciones, desarrollamos el numerador y el denominador y la expresión nos queda:




Es un infinitésimo

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18.-Calcular el límite de:




Es un infinitésimo

19.- Calcular el límite de: Efectuamos los productos del numerador y denominador, y obtenemos la expresión;

¿Porqué el numerador - ∞ y el denominador + ∞? Las funciones polinómicas toman el signo + o – del termino que contenga el mayor exponente. Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios.



Excepto estos dos términos el resto son infinitésimos

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20.- Calcular el límite de:

¿Porqué el numerador - ∞ y el denominador + ∞? Las funciones polinómicas toman el signo + o – del termino que contenga el mayor exponente. Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios.



Son infinitésimos


Es un infinitésimo


40




Son infinitésimos





Son infinitésimos


41








Son infinitésimos

Vamos a ver los tres casos de Indeterminación en un cociente de polinomios: 1º.- Si el exponente máximo de cualquier término del numerador es mayor que el máximo exponente que exista en el denominador, tendremos; a)

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b) 2º.- Si el exponente máximo de cualquier término del denominador es mayor que el exponente máximo que exista en el numerador, tendremos: 3º.- Que coincidan los exponentes máximos en cualquier término del numerador y en el denominador:

29.- Calcular el límite de: Nos encontramos ante el 1º caso de indeterminación, por tanto:




43

Las funciones polinómicas toman el signo + o – del termino que contenga el mayor exponente. La hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador Nos encontramos ante el 1º caso de indeterminación, por tanto:

Son infinitésimos


Nos encontramos ante el 2º caso de indeterminación, por tanto: La hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

Son infinitésimos

34.- Calcular el límite de: Nos encontramos ante el 3º caso de indeterminación, por tanto: La hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

44


Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo ∞- ∞ en una expresión radical, la hacemos desaparecer multiplicando y dividiendo la función entre la expresión radical conjugada.

¿Cuál es la expresión radical conjugada?

Es la misma dada en el enunciado cambiando de signos: lo vemos gráficamente:


Hacemos operaciones:


45


Es √n 2 = n En este caso ya dividimos n entre los términos de numerador y denominador.

Son infinitésimos






46

Son infinitésimos





Son infinitésimos




47


Son infinitésimos




polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador Son infinitésimos


48






49



Es n =√n 2 En este caso ya dividimos n entre los términos de numerador y denominador. Son infinitésimos



Es n =√n 2 En este caso ya dividimos n entre los términos de numerador y denominador.

Es un infinitésimo

50


La indeterminación de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador. ¿Cuál es la potencia máximo que hay en el denominador? En este caso ya dividimos n entre los términos de numerador y denominador.

Son infinitésimos

45.- Si una sucesión es estrictamente creciente, su límite ¿ es siempre infinito? No, porque puede ser 1 o bien cero. 46.- ¿Se puede calcular el límite si existe, de la sucesión: No, porque los términos pares tienden a 0 y los impares a + ∞ 47.-Si una sucesión tiene todos sus términos positivos,¿puede tener el mimos límite que otra sucesión cuyos términos sean todos negativos? Si es posible. Veamos un ejemplo:

51

48.- ¿Puede ser convergente una sucesión que tiene solamente dos términos distintos? Si es posible. Ejemplo: ( 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…………………. ) 49.- ¿Puede suceder que exista una sucesión acotada superiormente y que a la vez sea divergente? ¿Y una sucesión acotada inferiormente y con límite infinito? Si es posible en ambos casos. n = conjunto de los número naturales Ejemplo del caso 1º (an) = - n Ejemplo del caso 2º (an)= n 50.-¿Cuántas sucesiones distintas convergen al número 4? Escribir dos sucesiones que cumplan esta condición. Convergen infinitas.

51.- La sucesión de los números pares y la sucesión de los números impares,¿qué límite tienen?¿Qué se puede decir de la sucesión diferencia de ambas?¿Y de la sucesión diferencia de ambas? 1º.- Que su límite es infinito. 2º.- La sucesión diferencia es constante. 3º.- La sucesión diferencia de ambas, tiene de límite 1. 52.- Dadas las sucesiones cuyos términos generales son:

calcular los siguientes límites:

1º.-



52


Son infinitésimos

2º.-




Es un infinitésimo

3º.-



53


Son infinitésimos

4º.-




Es un infinitésimo

5º




Son infinitésimos

54

6º.-

n sube al numerador multiplicando




Son infinitésimos

53.- Definimos la sucesión cuyo término general tiene la siguiente expresión: ¿Es una sucesión monótona? ¿ Es convergente?

Una sucesión(an) es monótona creciente, cuando cada término es menor o igual que el término siguiente

Ejemplo: 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9 , ………… Una sucesión(an) es monótona decreciente, cuando cada término es mayor o igual que el término siguiente

Ejemplo: Las sucesiones que tienen límite real se llaman sucesiones convergentes, y se expresa:

La sucesión que tenemos, es la siguiente:

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Por tanto, llegamos a las siguientes conclusiones: a.- No es una sucesión monótona b.- No es convergente. 54.- Definimos la sucesión cuyo término general, tiene la siguiente expresión:

estudiar la acotación de esta sucesión y calcular alguna cota superior. ¿Se trata de una sucesión convergente?

Si, es una sucesión convergente, porque tiene como límite un número real. Vamos a calcular este límite:

La sucesión, será: Algunas cota superiores: 1, 2, 3, 55.-La sucesión: ¿Tiene límite? Si lo tiene calcúlalo. Calcular también el límite de la sucesión opuesta y el de la sucesión inversa.




Son infinitésimos

La sucesión opuesta es:

56




Son infinitésimos

La sucesión inversa es: Impares: Pares: Por tanto está sucesión no tiene límite. 56.- Si los términos de la sucesión an son siempre menores que los de la sucesión bn¿qué les ocurre a sus límites?¿Si la sucesión an tiene por limite ∞,¿qué se puede decir sobre el límite de la sucesión bn?¿Y sí lim bn = - ∞, se puede decir algo sobre la convergencia de an? 1º.- lim an ‹ lim bn

2º.- Que siempre será ( - ∞ ) tanto en an como en bn 3º.- Converge hacia - ∞ 57.- Calcular el límite si existe de las siguientes sucesiones: a.- 1, 1, 3, 1, 3, 5, 7, 1, 3,5, 7, 9, ………….. El límite es + ∞ b.- No tiene límite 58.- Demostrar que las sucesiones de término general que se detallan a continuación, carecen de límite:

57

Si n es par lim an =2 Si n es par lim an = 2 Si n es impar lim an = 0 Si n es impar lim an= 0 Si una sucesión tiene límite éste es único, Por tanto no tienen límite. 59.- En la sucesión de término general: hallar un término a partir del cual todos los siguientes disten de 3 menos de una milésima. Vamos a establecer el planteamiento:

1000 ‹ n Por tanto a partir del término 1001 (éste incluido) P = 1000 Quedan fuera 1.000 términos. 60.- En la sucesión de término general: hallar un término a partir del cual todos los siguientes disten de 3 menos de 1/170.

170 ‹ n Por tanto a partir del término 171 (éste incluido) P = 170 Quedan fuera 170 términos. 61.- Dada la sucesión de término general: ¿se puede encontrar un término a partir del cual todos los siguientes disten de 1 menos de 0,8?

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5 ‹ 24 n Por tanto a partir de un “ n ” igual a 1, lo cumplen: 1,2,3,4,5, ……… 62.- Dada la sucesión de término general ¿eres capaz de calcular algunos términos que disten 1 menos de 2/3?

Por tanto los cumplen todos los términos cualquiera que sea el valor de n. ¿A partir de que término los siguientes distan de 1 menos de 2/3? Del primero. 63.- En la sucesión de término general: calcular un término a partir del cual todos los siguientes disten de 3 menos de 10-4.

80.000 ‹ n+1 79.999 ‹ n P = 79.999 Por tanto a partir del término 80.000 éste incluido 64.- Calcular el límite de:




Son infinitésimos

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65.- Calcular el límite de: Es un infinitésimo


67.- Calcular el límite de: Sacamos factor común n2.



60




Son infinitésimos


Es un infinitésimo

71.- Calcular el límite de: La base es un cociente de polinomios del mismo grado Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios.



Son infinitésimos

El exponente es también un cociente de dos polinomios en los que el grado del denominador es menor que el del numerador. Las funciones polinómicas toman el signo + o – del termino que contenga el mayor exponente. En el numerador el término de mayor exponente es -3n5. En el denominador el término de mayor exponente es n.

61

La base es un cociente de polinomios del mismo grado Nos encontramos con que el término general es un cociente de polinomios.



Son infinitésimos

Por tanto: 72.- Calcular el límite de: Efectuando operaciones en el numerador y en el denominador, la expresión (producto de polinomios), nos queda de la siguiente forma:




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Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo ∞- ∞ en una expresión radical, la hacemos desaparecer multiplicando y dividiendo la función entre la expresión radical conjugada.

¿Cuál es la expresión radical conjugada? Es la misma dada en el enunciado cambiando de signos: lo vemos gráficamente:


74.- Calcular el límite de: Efectuamos operaciones (producto de polinomios) y la expresión, nos queda:




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Son infinitésimos


Vamos a multiplicar di dividir por √n


La indeterminación ∞/∞ de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador. ¿Cuál es la potencia máximo que hay en el denominador?


Son infinitésimos

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Son infinitésimos





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La indeterminación ∞/∞ de funciones con radicales desaparece dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador. ¿Cuál es la potencia máximo que hay en el denominador?

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Es un infinitésimo



Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo en un cociente de polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador Las funciones polinómicas toman el signo + o – del termino que contenga el mayor exponente. En el numerador el término de mayor exponente es –n3. En el denominador el término de mayor exponente es 7n2.

Son infinitésimos

81.- Calcular el límite de: Efectuamos operaciones en el numerador (producto de polinomios) y nos queda:

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Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo en un cociente de polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador

Son infinitésimos


Cada factor del numerador, excepto el primero y el último, han sido sustituidos por números mayores:

n es el conjunto de los números naturales.

Por tanto 83.- Calcular el límite de: 1º.- Vamos a efectuar operaciones con la base de la potencia:

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Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo ∞/∞ en un cociente de polinomios,la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la

potencia máxima de n que haya en el denominador. Son infinitésimos

2º.- Hacemos operaciones con el exponente:

Habíamos estudiado que la indeterminación del tipo ∞/∞ en un cociente de polinomios, la hacemos desaparecer dividiendo numerador y denominador entre la potencia máxima de n que haya en el denominador.

Son infinitésimos

Por tanto:

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Matematicas Ejercicios Resueltos Soluciones Límite de Sucesiones 4º ESO o 1º Bachiller