El conjunto Z. Orden y representación

1 Expresa matemáticamente, con operaciones de enteros, los siguientesenunciados:

• Me dan 5 € de paga.

• Me gasto 12 € en un disco.

• Me llega una factura de 20 €.

• Mi hermana me perdona una deuda de 25 €.

• Acabo de perder los 10 € que me ha dado mi tío Nicolás.

• Mi madre no me va a dar la paga de 5 € del domingo.

•�5

•�12

•�(�20)

•�(�25)

•�(�10)

•�(�5)

2 Descontando los gastos, deudas y facturas que tiene Ricardo de sus in-gresos, haberes y ganancias, le quedan 1 580 €.

Si hoy su hermano le ha perdonado una deuda de 190 €, ¿cuál será su saldoen la actualidad?

1580� (�190)� ?

1 580� (�190)�1 580�190�1 770 €

3 Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números:

a)�13 b)�21 c)�1 d) 0 e)�8

a)�13 b)�21 c)�1 d) 0 e)�8

4 Ordena de menor a mayor:

a)�4, 0,�5,�9,�8,�2

b)�5,�3, 0,�1,�10,�2

c) 10,�3,�7,�5,�4, 6,�8

a) 0��2��4�5��8�9

b)�10��5��3 � �2 � �1 � 0

c) �8 � �7 � �4 � �3 � 5 � 6�10

5 Comprueba, con los números (�5), (�7) y (�4), que la suma es aso-ciativa:

a � (b � c)� (a � b) � c

(�5) � [(�7) � (�4)]� [(�5) � (�7)] � (�4)

(�5) � (�11) � (�2) � (�4)

�6 � �6

6 Quita paréntesis:

a) �(�5) b) �(�4) c) �(�6)

d) �(�8) e) �(�12) f ) �(�5)

g) �[�(�3)] h) �[�(�5)] i ) �[�(�7)]

a) �5 b) �4 c) �6

d) �8 e) �12 f ) �5

g) �3 h) �5 i) �7

7 Calcula:

a) 12 � 8 � 4 � 9 � 3 � 10

b) 5 � 9 � 7 � 4 � 6 � 8

c) �1 � 3 � 5 � 8 � 4 � 3 � 2

d) �6 � 9 � 4 � 12 � 15 � 21

a) 12 � 8 � 4 � 9 � 3 � 10 � 12 � 4 � 10 � (8 � 9 � 3) � 26 � 20 � 6

b) 5 � 9 � 7 � 4 � 6 � 8 � 5 � 4 � 8 � (9 � 7 � 6) � 17 � 22 � �5

c) �1 � 3 � 5 � 8 � 4 � 3 � 2 � 5 � 2 � (1 � 3 � 8 � 4 � 3) �

�7 � 19 � �12

d) �6 � 9 � 4 � 12 � 15 � 21 � 4 � 12 � 21 � (6 � 9 � 15) �

�37 � 30 � 7

8 Calcula:

a) (�5) � (�5) � (�5)

b) (�12) � (�6) � (�7)

c) (�6) � (�2) � (�5) � (�7)

d) (�18) � (�11) � (�10) � (�14)

e) (�8) � (�1) � (�3) � (�5) � (�9)

f ) (�2) � (�12) � (�11) � (�15) � (�5)

a) (�5) � (�5) � (�5) � (�5) � 5 � 5 � �5

b) (�12) � (�6) � (�7) � �12 � 6 � 7 � 13 � 12 � 1

c) (�6) � (�2) � (�5) � (�7) � 6 � 2 � 5 � 7 � 13 � 7 � 6

d) (�18) � (�11) � (�10) � (�14) � 18 � 11 � 10 � 14 � 29 � 24 � 5

e) (�8) � (�1) � (�3) � (�5) � (�9) � �8 � 1 � 3 � 5 � 9 �

�10 � 16 � �6

f ) (�2) � (�12) � (�11) � (�15) � (�5) � 2 � 12 � 11 � 15 � 5 �

�22 � 23 � �1

10 Calcula:

a) 10 � (8 � 4)

b) 6 � (3 � 12)

c) (5 � 7) � (2 � 8)

d) 18 � (3 � 5 � 2 � 8)

e) 15 � (8 � 2 � 6 � 1)

f ) (5 � 3 � 2) � (10 � 5 � 3 � 1)

a) 10 � (8 � 4) � 10 � 12 � �2

b) 6 � (3 � 12) � 6 � (�9) � 6 � 9 � 15

c) (5 � 7) � (2 � 8) � 12 � (�6) � 12 � 6 � 18

d) 18 � (3 � 5 � 2 � 8) � 18 � (�8) � 18 � 8 � 10

e) 15 � (8 � 2 � 6 � 1) � 15 � (1) � 14

f ) (5 � 3 � 2) � (10 � 5 � 3 � 1) � 4 � (3) � 1

11 Quita paréntesis, como se ha hecho en la primera expresión:

a) (�a) � (�b)�a � b b) (�a) � (�b)

c) (�a) � (�b) d) (�a) � (�b)

e) (�a) � (�b) f ) (�a) � (�b)

g) (�a) � (�b) h) (�a) � (�b)

a) (�a) � (�b) � a � b b) (�a) � (�b) � a � b

c) (�a) � (�b) � a � b d) (�a) � (�b) � a � b

e) (�a) � (�b) � �a � b f ) (�a) � (�b) � �a � b

g) (�a) � (�b) � �a � b h) (�a) � (�b) � �a � b

13 Calcula:

a) (4 � 6) � [(�2) � (�7)]

b) (�9) � [(�4) � (�2) � (�3)]

c) (�12) � [(�2) � (�7) � (�14)]

d) [(�12) � (�20)] � [(�6) � (5 � 9) � (16 � 8 � 11)]

a) (4 � 6) � [(�2) � (�7)] � �2 � [�2 � 7] � �2 � (�9) � �2 � 9 � 7

b) (�9) � [(�4) � (�2) � (�3)] � (�9) � [�4 � 2 � 3] �

� (�9) � (�5) � �9 � 5 � �14

c) (�12) � [(�2) � (�7) � (�14)] � (�12) � [2 � 7 � 14] �

� (�12) � (�19) � 12 � 19 � 31

d) [(�12) � (�20)] � [(�6) � (5 � 9) � (16 � 8 � 11)] �

� [�12 � 20] � [6 � (�4) � (�3)] � 8 � [6 � 4 � 3] � 8 � 5 � 3

14 Calcula los productos:

a) (�11) � (�7) b) (�5) � (�12)

c) (�3) � (�20) d) (�5) � (�15)

e) (�4) � (�2)� (�8) f) (�3) � (�1)� (�5)

g) (�2) � (�3)� (�2) h) (�5) � (�1)� (�2)� (�3)

a) 77 b) �60

c) �60 d) 75

e) 64 f ) �15

g) �12 h) 30

15 Halla el cociente:

a) (�48) : (�6) b) (�150) : (�3)

c) 300 : (�6) d) (�99) : (�11)

e) (�8) : (�1) f ) (�300) : (�12)

g) (�1000) : 25 h) (�1) : (�1)

a) �8 b) �50

c) �50 d) 9

c) 8 f ) 25

g) �40 h) 1

17 Calcula:

a) (�5) � (�4)� (�3)

b) (�5)� [(�4) � (�3)]

c) [(�45) : (�15)] : (�3)

d) (�45) : [(�15) : (�3)]

e) ([(�81) : (�3)] : (�9)) : (�3)

f) [(�81) : (�3)] : [(�9) : (�3)]

a) (�5)� (�4)� (�3) � (�20)� (�3) � �60

b) (�5)� [(�4) � (�3)] � (�5)� [�12] � �60

c) (�45) : (�15) : (�3) � (�3) : (�3) � 1

d) (�45) : [(�15) : (�3)] � (�45) : (�5) � 9

e) ([(�81) : (�3)] : (�9)) : (�3) � ((�27) : (�9)) : (�3) � (�3) : (�3) � 1

f ) [(�81) : (�3)] : [(�49) : (�3)] � [(�27)] : [(�49) : (�3)] → No tiene so-lución entera.

18 Calcula:

a) 20�5 � (6�9)

b) 18�3 � (4�2)

c) 4 � (2�6)�5 � (3�7)

d) 150 : (7�12)

e) (35�15) : (5�8)

f) (6�2�10) : (5�11)

a) 20 � 5 � (6 � 9) � 20 � 5 � (�3) � 20 � 15 � 5

b) 18 � 3 � (4 � 2) � 18 � 3 �6 � 18 � 18 � 0

c) 4 � (2 � 6) � 5 � (3 � 7) � 4 � (�4) � 5 � (�4) � �16 � 20 � 4

d) 150 : (7 � 12) � 150 : (�5) � �30

e) (35 � 15) : (5 � 8) � 20 : (�3) → No tiene solución entera.

f ) (6 � 2 � 10) : (5 � 11) � (�6) : (�6) � 1

20 Calcula:

a) (�2) � (�7) � (�5)� (�6)

b) (�4) � (�20) � (�2)� (�40)

c) (�5) � (�10) � (�4)� (�20)

d) (�5) � [(�3) � (�7)]

e) (�2) � [8 � (�4) � (�10)]

f ) [(�6) � (�3)]� [(�5) � (�2)]

a) (�2) � (�7) � (�5)� (�6) � (�14) � (�30) � 16

b) (�4)� (�20) � (�2)� (�40) � �80 � (�80) � �80 � 80 � 0

c) (�5) � (�10) � (�4)� (�20) � 50 � (�80) � 50 � 80 � 130

d) (�5) � [(�3) � (�7)] � (�5)� (�4) � 20

e) (�2)� [8 � (�4) � (�10)] � (�2)� [8 � 4 � 10] � (�2)�14 � �28

f ) [(�6) � (�3)]� [(�5) � (�2)] � (�6 � 3) � (5 � 2) � (�3)�7 � �21

22 Calcula:

a) (�5) � [(�5) � (�2) � (4 � 6 � 1)]

b) (�3)� (�2) � [(�5) � (�7) � (�1)]� (�3)

c) 3 � [(�4) � ( �6)] � (� 2) � [8 � (�4)]

d) 6 � (3 � 5 � 4) �2 � 3 � (6 � 9 � 8)

a) (�5)� [(�5) � (�2) � (4 � 6 � 1)] � (�5)� [�5 � 2 � (9)] �

� (�5)� (�12) � 60

b) (�3)� (�2) � [(�5) � (�7) � (�1)]� (�3) �

��6 � [�5 � 7 � 1] � (�3) �

� �6 � (�11)� (�3) � �6 � 33 � �39

c) 3 � [(�4) � (�6)] � (�2)� [8 � (�4)] � 3 � [4 � 6] � (�2)� [8 � 4] �

� 3 � (�2) � (�2)�4 � �6 � 8 � 2

d) 6 � (3 � 5 � 4) �2 � 3 � (6 � 9 � 8) � 6 � (2) �2 � 3 � (�5) �

�6 � 4 � 15 � �5

23 Calcula:

a) El cuadrado de (�10). b) El cuadrado de (�15).

c) El cubo de (�5). d) El cubo de (�10).

a) 100 b) 225

c) �125 d) �1 000

24 Calcula:

a) (�5)3 b) (�5)3

c) �53 d) (�5)4

e) (�5)4 f ) �54

a) �125 b) 125

c) �125 d) 625

e) 625 f ) �625

25 Calcula el valor de x, y, z y k:

a) (�x)3��8 b) (�y)4�81

c) z5��1 d) (�k)5��1

a) x � 2 → (�2)3 � �8

b) y � 3 → (�3)4 � 81

c) z � �1 → �15 � �1

d) k � �1 → [�(�1)]5 � (�1)5 � �1

26 Calcula, si existe:

a) �

b)

c)

d) �

a) � � 9 � 10 � �1

b) → No existe.

c) � � 15

d) � � 9 � 12 � 21

27 Calcula:

a) (�3)2 �(�3)

b) (�2)2� (�2)3

c) (�4)3 : (�4)2

d) (�5)4 : (�52)

a) (�3)2 �(�3) � 9 � (�3) � �27

b) (�2)2 � (�2)3 � 4 �8 � 32

c) (�4)3 : (�4)2 � (�4)3 � 2 � (�4)1 � 4

d) (�5)4 : (�52) � 625 : 25 � 25 � 52

28 Un día de invierno a las doce de la mañana, la temperatura en el patiodel colegio era de �4 °C, y en el interior de la clase, de 17 °C. ¿Cuál era ladiferencia de temperatura entre el interior y el exterior?

17 � (�4) � 21 °C

29 Ayer, la temperatura a las nueve de la mañana era de 15 °C. A mediodíahabía subido 6 °C, a las cinco de la tarde marcaba 3 °C más, a las nueve de lanoche había bajado 7 °C y a las doce de la noche aún había bajado otros4 °C. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a medianoche?

15 � 6 � 3 � 7 � 4 � 24 � 11 � 13 °C

√144√81

√225√81�144

√81�100

√100√81

√144√81

√81�144

√81�100

√100√81

30 La tabla expresa las temperaturas máxima y mínima de varias ciudadesen un día de julio.

¿Qué ciudad tuvo una variación de temperatura más brusca? ¿Cuántos gradossupuso esa variación?

Las variaciones de temperatura son:

Atenas → 36 � 25 � 11

Lisboa → 38 � 26 � 12

Londres → 25 � 18 � 7

Madrid → 38 � 21 � 17

Pequín → 28 � 20 � 8

Buenos Aires → 15 � 4 � 11

Santiago de Chile → 9 � (�2) � 9 � 2 � 11

La variación de temperatura más brusca corresponde a Madrid, con 17 °C dediferencia entre la máxima y la mínima.

31 Aristóteles, uno de los filósofos más influyentes de todos los tiempos,vivió entre los años 106 y 43 a.C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace deeso?

(�43) � (�106) � �43 � 106 � 63

Aristóteles murió a los 63 años de edad.

Si estuviésemos en el año 2002, de esto haría:

2002 � (�43) � 2 045 años

Si estuviésemos en el 2003, de esto haría:

2003 � (�43) � 2003 � 43 � 2 046 años

Etc.

MÁXIMA MÍNIMA

ATENAS 36 25

38 26

25 18

38 21

28 20

15 4

9 –2

LISBOA

LONDRES

MADRID

PEQUÍN

BUENOS AIRES

SANTIAGO DE CHILE

32 ¿En qué año nos situamos medio siglo antes del año 15 de nuestra era?

15 � 50 � �35

Nos situamos en el año 35 a.C.

33 En las vidas de Cicerón y Séneca encontramos numerosos rasgos comu-nes. Los dos eran ciudadanos de Roma, cultos, buenos oradores y metidos enpolítica, lo que a ambos les costó la vida.

Sin embargo, vivieron en distinta época:

• Cicerón nació en el año 106 a.C. y vivió 63 años.

• Séneca nació 47 años después de la muerte de Cicerón y vivió 61 años.¿En qué año murió Séneca?

Cicerón murió en el año 43 a.C., ya que:

�106 � 63 � �43

Séneca nació en el año 4 d.C., ya que:

�43 � 47 � �4

Séneca murió en el año 65 d.C., ya que:

4 � 61 � 65

34 El empresario de una estación invernal resume así la marcha de su ne-gocio durante el año pasado:

¿Cuál fue el balance final?

(3 875 �3) � (730 �3) � (355 �3) � (2 200 �3) �

� (3 875 � 730 � 355 � 2 200) �3 � 4 990 �3 � 14 970

El balance final es una ganancia de 14 970 €.

1er TRIMESTRE Ganancias de 3 875 € cada mes

2o TRIMESTRE Pérdidas de 730 € cada mes

3er TRIMESTRE Pérdidas de 355 € cada mes

4o TRIMESTRE Ganancias de 2 200 € cada mes

35 Azucena tenía el cinco de septiembre 187 € en su cuenta bancaria. Lacuenta ha sufrido las variaciones que se indican a continuación:

¿Cuál es su saldo el día quince de octubre?

187 � 18 � 3 � 1 084 � 93 � 53 � 520 � 590

El saldo de Azucena, el día 15 de octubre, es de 590 € a su favor.

Números negativos con calculadora

37 Utilizando los procedimientos del ejercicio anterior, escribe en la pan-talla de tu calculadora:

a) �6 b) �15 c) �585

a) 0 6 b) 0 15 c) 0 585

6 15 585

38 Fijándote en la operación que se da resuelta, di las soluciones de las quese te proponen.

Después, comprueba con la calculadora.

a) 243�256 b) 43�156

143�156��13

BANCO KOKO EXTRACTO DE MOVIMIENTOSnº de cuenta.....................................

FECHA D H CONCEPTO

10 - IX 18 € Extracción cajero

13 - IX 3 € Abono intereses cuenta

1 - X 1084 € Abono nómina

5 - X 93 € Recibo compañía telefónica

15 - X 53 € Gasto comercio

15 - X 520 € Préstamo hipotecario

c) 143�256 d) 543�556

e) (�32) : (�8) f) (�32) : (�8)

g) (�320) : (�80) h) (�320) : (�8)

143�156��13

a) 243 � 256 � �13 b) 43 � 156 � �113

c) 143 � 256 � �113 d) 543 � 556 � �13

320 : 80 � 4

e) (�32) : (�8) � 4 f ) (�32) : (�8) � 4

g) (�320) : (�80) � �4 h) (�320) : (�8) � 40

39 Dispones de:

• Una balanza con dos platillos, A y B.

• Tres pesas: una de 1 kg, otra de 3 kg yla tercera de 5 kg.

• Un saco de patatas.

Busca todas las cantidades de patatas que podrí-as pesar, con una sola pesada, usando la balanzay una, dos o las tres pesas.Por ejemplo: para pesar dos kilos de patataspuedes colocar la pesa de 5 kg en el platillo A yla de 3 kg, en el platillo B.Recoge tus resultados en una tabla como la queves a la derecha.

320 : 80�4

PATATAS

PESO(en kg)

PLATILLO A

PLATILLO B

1 1 0

2 5 3

3 … …

4 … …

5 … …

… … …

40 Supón que tienes una balanza y estas cuatro pesas.

¿Cómo pesarías con ellas las siguientes cantidades?

a) 6 kg b) 5 kg

c) 14 kg d) 29 kg

e) 30 kg f) 38 kg

PLATILLOA

PLATILLOB

1 0

5 3

3 0

5 1

5 0

1 + 5 0

PESO(en kg)

1

2

3

4

5

6

5 + 3 17

5 + 3 08

1 + 3 + 5 09

→ (también 5 en A y3 en B)

→ (también 1 + 3 enA y 0 en B)

PESO

(EN kg)

a) 6

PLATILLO

A

9

PLATILLO

B

3

b) 5 9 1 + 3

c) 14 27 1 + 3 + 9

d) 29 27 + 3 1

e) 30 27 + 3 0

f ) 38 27 + 9 + 3 1

41 Lee atentamente lo que Nuria puede hacer con sus tres pesas y una balanza:

¿Sabrías decir de cuántos kilos es cada una de las tres pesas de Nuria?

Nuria puede pesar, como máximo, 13 kg (menor que 14). Por tanto, la sumade sus pesos ha de ser de 13 kg.

Comprobamos que con pesas de 1 kg, 3 kg y 9 kg puede conseguirse:

Yo, con mis tres pesas, puedoapartar cualquier cantidad

exacta de kilos siempre que sea menor que 14.

PESO(EN kg)

1

PLATILLOA

1

PLATILLOB

0

2 3 1

3 3 0

4 1 + 3 0

5 9 1 + 3

6 9 3

7 9 + 1 3

8 9 1

9 9 0

10 9 + 1 0

11 9 + 3 1

12 9 + 3 0

13 9 + 3 + 1 0

4l c o n j u n t o . O r d e n y r e p r e s e n t a c i ó n

1 Expresa con la notación de los números enteros, como se hace en el ejemplo:• Antonio gana 15 € buzoneando propaganda 8 +(+15) = +15

a) A Rosa le llega una factura de teléfono de 57 €.

b) Por no hacer la tarea, pierdo los dos positivos que tenía en Matemáticas.

c) He resuelto un problema complicado. El profesor me quita los dos negativosque tenía.

a) +(–57) = –57

b) –(+2) = –2

c) –(–2) = +2

2 Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números:

a) +6 b) –9 c) 0 d) +8 e) –13

a) –6 b) +9 c) 0 d) –8 e) +13

3 Copia y completa.

a) |–1| = … b) |+5| = … c) |0| = …

d) |–7| = … e) |+12| = … f) |–15| = …

a) |–1| = 1 b) |+5| = 5 c) |0| = 0

d) |–7| = 7 e) |+12| = 12 f ) |–15| = 15

4 ¿Qué número corresponde a cada letra?:

A = –35 B = –10 C = +10 D = +20

M = –16 N = –10 K = –4 L = +2

5 Ordena de menor a mayor.

a) +6, +2, 0, +4, –7, +3

b) –7, –2, 0, –1, –5, –9

c) –4, 0, +6, –8, +3, –5

a) –7 < 0 < +2 < +3 < +4 < +6

b) –9 < –7 < –5 < –2 < –1 < 0

c) –8 < –5 < –4 < 0 < +3 < +6

0–20A B C D

0–20M N K L

E

46 Escribe un número entero para cada movimiento en la recta:

A = +4 B = –5 C = +7 M = –3 N = +5 K = –8

u m a y r e s t a

7 Quita paréntesis.

a) +(–7) b) –(–2) c) –(+8)

d) –(+1) e) +(+11) f) +(–14)

g) –[–(–5)] h) –[+(–9)] i) –[–(+2)]

a) +(–7) = –7 b) –(–2) = +2 c) –(+8) = –8

d) –(+1) = –1 e) +(+11) = +11 f ) +(–14) = –14

g) –[–(–5)] = –5 h) –[+(–9)] = +9 i) –[–(+2)] = +2

8 Calcula.

a) 9 – 4 b) 4 – 9 c) 10 – 8

d) 8 – 9 e) 11 – 7 f) 7 – 11

g) 5 – 11 h) 3 – 7 i) 1 – 6

j) 10 – 12 k) 11 – 15 l) 14 – 20

a) 9 – 4 = 5 b) 4 – 9 = –5 c) 10 – 8 = 2

d) 8 – 9 = –1 e) 11 – 7 = 4 f ) 7 – 11 = –4

g) 5 – 11 = –6 h) 3 – 7 = –4 i) 1 – 6 = –5

j) 10 – 12 = –2 k) 11 – 15 = –4 l) 14 – 20 = –6

9 Halla el valor de estas expresiones:

a) –2 + 6 b) –4 + 7 c) –1 + 9

d) –7 + 2 e) –8 + 5 f) –10 + 8

g) –12 + 5 h) –15 + 6 i) –15 + 14

a) –2 + 6 = 4 b) –4 + 7 = +3 c) –1 + 9 = +8

d) –7 + 2 = –5 e) –8 + 5 = –3 f ) –10 + 8 = –2

g) –12 + 5 = –7 h) –15 + 6 = –9 i) –15 + 14 = –1

10 Opera.

a) –1 – 1 b) –1 – 2 c) –2 – 3

d) –2 – 5 e) –4 – 3 f) –7 – 1

g) –6 – 6 h) –10 – 2 i) –3 – 12

S

A

C

K

NM

B

4a) –1 – 1 = –2 b) –1 – 2 = –3 c) –2 – 3 = –5

d) –2 – 5 = –7 e) –4 – 3 = –7 f ) –7 – 1 = –8

g) –6 – 6 = –12 h) –10 – 2 = –12 i) –3 – 12 = –15

11 Calcula.

a) +2 – 7 + 5 b) +12 – 5 – 8

c) 13 – 9 + 5 – 7 d) 6 – 8 – 6 + 5 + 4 – 6

e) –3 – 5 + 2 – 1 – 7 + 4 f) –8 – 7 + 2 + 9 – 10 + 18

a) +2 – 7 + 5 = 7 – 7 = 0 b) +12 – 5 – 8 = 12 – 13 = –1

c) 13 – 9 + 5 – 7 = 18 – 16 = +2 d) 6 – 8 – 6 + 5 + 4 – 6 = 15 – 20 = –5

e) –3 – 5 + 2 – 1 – 7 + 4 = 6 – 16 = –10

f ) –8 – 7 + 2 + 9 – 10 + 18 = 29 – 25 = 4

12 Quita paréntesis y opera.

a) (+3) – (+8) b) (–9) + (–6) c) (–7) – (–7) – (+7)

d) (–11) + (+8) – (–6) e) (+15) – (–12) – (+11) + (–16)

f) (–3) – (–2) – (+4) + (–7) + (+8) g) (+11) – (+7) + (–13) – (–20) + (–11)

a) (+3) – (+8) = 3 – 8 = –5

b) (–9) + (–6) = –9 – 6 = –15

c) (–7) – (–7) – (+7) = –7 + 7 – 7 = –7

d) (–11) + (+8) – (–6) = –11 + 8 + 6 = 14 – 11 = 3

e) (+15) – (–12) – (+11) + (–16) = 15 + 12 – 11 – 16 = 27 – 27 = 0

f ) (–3) – (–2) – (+4) + (–7) + (+8) = –3 + 2 – 4 – 7 + 8 = 10 – 14 = –4

g) (+11) – (+7) + (–13) – (–20) + (–11) = 11 – 7 – 13 + 20 – 11 = 31 – 31 = 0

13 Escribe una expresión que refleje los movimientos encadenados en cada rec-ta y halla el resultado:

a) +5 + 4 – 6 = +3

b) +3 – 9 + 4 = –2

FIN

PARTIDAa)

FIN

PARTIDAb)

415 Calcula.

a) 13 – (6 + 5) b) 8 – (6 + 5)

c) (4 + 8) – (3 – 9) d) 10 + (8 – 15 + 2 – 6)

e) 12 – (7 + 11 – 14 – 8) f) (6 – 12 + 2) – (11 – 4 + 2 – 5)

a) 13 – (6 + 5) = 2 b) 8 – (6 + 5) = –3

c) (4 + 8) – (3 – 9) = +18 d) 10 + (8 – 15 + 2 – 6) = –1

e) 12 – (7 + 11 – 14 – 8) = 16 f ) (6 – 12 + 2) – (11 – 4 + 2 – 5) = –8

17 Calcula.

a) (5 – 7) – [(–3) + (–6)] b) (–8) + [(+7) – (–4) + (–5)]

c) (+9) – [(+3) – (3 – 12) – (+8)] d) [(+6) – (–8)] – [(–4) – (–10)]

e) [(2 – 8) + (5 – 7)] – [(–9 + 6) – (–5 + 7)]

a) (5 – 7) – [(–3) + (–6)] = +7

b) (–8) + [(+7) – (–4) + (–5)] = –2

c) (+9) – [(+3) – (3 – 12) – (+8)] = +5

d) [(+6) – (–8)] – [(–4) – (–10)] = +8

e) [(2 – 8) + (5 – 7)] – [(–9 + 6) – (–5 + 7)] = –3

u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n

18 Recuerda la regla de los signos y multiplica.

a) (+7) · (–8) b) (–6) · (–9) c) (+5) · (+11)

d) (+5) · (–12) e) (–3) · (+20) f) (–5) · (–15)

a) (+7) · (–8) = –56 b) (–6) · (–9) = +54 c) (+5) · (+11) = +55

d) (+5) · (–12) = –60 e) (–3) · (+20) = –60 f ) (–5) · (–15) = +75

19 Calcula.

a) (–5) · (+2) · (–3) b) (–4) · (–1) · (–7)

c) (+4) · (+5) · (–2) d) (+6) · (–3) · (–1)

a) (–5) · (+2) · (–3) = +30 b) (–4) · (–1) · (–7) = –28

c) (+4) · (+5) · (–2) = –40 d) (+6) · (–3) · (–1) = +18

20 Recuerda la regla de los signos y divide.

a) (+24) : (–8) b) (–140) : (+7)

c) (–130) : (–13) d) (+77) : (–7)

e) (–18) : (–1) f) (–156) : (–13)

a) (+24) : (–8) = –3 b) (–140) : (+7) = –20

c) (–130) : (–13) = +10 d) (+77) : (–7) = –11

e) (–18) : (–1) = +18 f ) (–156) : (–13) = +12

M

422 Opera como en el ejercicio resuelto anterior.

a) (–18) : [(+6) · (–3)] b) [(–18) : (+6)] · (–3)

c) (+54) : [(–6) : (+3)] d) [(+54) : (–6)] : (+3)

a) (–18) : [(+6) · (–3)] = (–18) : [–18] = +1

b) [(–18) : (+6)] · (–3) = [–3] · (–3) = +9

c) (+54) : [(–6) : (+3)] = (+54) : [–2] = –27

d) [(+54) : (–6)] : (+3) = [–9] : (+3) = –3

24 Efectúa como en el ejercicio resuelto anterior.

a) 2 · 7 – 3 · 4 – 2 · 3 b) 30 : 6 – 42 : 7 – 27 : 9

c) 3 · 5 – 4 · 6 + 5 · 4 – 6 · 5 d) 5 · 4 – 28 : 4 – 3 · 3

a) 2 · 7 – 3 · 4 – 2 · 3 = –4 b) 30 : 6 – 42 : 7 – 27 : 9 = –4

c) 3 · 5 – 4 · 6 + 5 · 4 – 6 · 5 = –19 d) 5 · 4 – 28 : 4 – 3 · 3 = 4

26 Resuelve explicando el proceso, igual que en el ejercicio resuelto anterior.

a) 16 + (–5) · (+4) b) 20 – (–6) · (–4)

c) (–2) · (–5) + (+4) · (–3) d) (–8) · (+2) – (+5) · (–4)

e) 10 + (–4) · (+2) – (+6) f) (–5) – (+4) · (–3) – (–8)

g) 14 – (+5) · (–4) + (–6) · (+3) + (–8)

h) (+4) · (–6) – (–15) – (+2) · (–7) – (+12)

a) 16 + (–5) · (+4) = 16 + (–20) = 16 – 20 = –4

b) 20 – (–6) · (–4) = 20 – (+24) = 20 – 24 = –4

c) (–2) · (–5) + (+4) · (–3) = (+10) + (–12) = 10 – 12 = –2

d) (–8) · (+2) – (+5) · (–4) = (–16) – (–20) = –16 – 20 = +4

e) 10 + (–4) · (+2) – (+6) = 10 + (–8) – (+6) = 10 – 8 – 6 = 10 – 14 = –4

f ) (–5) – (+4) · (–3) – (–8) = (–5) – (–12) – (–8) = –5 + 12 + 8 = 15

g) 14 – (+5) · (–4) + (–6) · (+3) + (–8) = 14 – (–20) + (–18) + (–8) =

= 14 + 20 – 18 – 8 = 8

h) (+4) · (–6) – (–15) – (+2) · (–7) – (+12) = (–24) – (–15) – (–14) – (+12) =

= –24 + 15 + 14 – 12 = –7

27 Calcula como en el ejemplo.

• (–4) · (2 – 7) = (–4) · (–5) = +20

a) 3 · (3 – 5) b) 4 · (8 – 6) c) 5 · (8 – 12)

d) (–2) · (7 – 3) e) (–4) · (6 – 10) f) (–5) · (2 – 9)

g) 16 : (1 – 5) h) (–35) : (9 – 2) i) (–14) : (5 + 2)

j) (2 – 8) : 3 k) (5 + 7) : (–4) l) (12 – 4) : (–2)

4a) 3 · (3 – 5) = –6 b) 4 · (8 – 6) = +8 c) 5 · (8 – 12) = –20

d) (–2) · (7 – 3) = –8 e) (–4) · (6 – 10) = +16 f ) (–5) · (2 – 9) = +35

g) 16 : (1 – 5) = –4 h) (–35) : (9 – 2) = –5 i) (–14) : (5 + 2) = –2

j) (2 – 8) : 3 = –2 k) (5 + 7) : (–4) = –3 l) (12 – 4) : (–2) = –4

28 Opera estas expresiones:

a) 35 + 7 · (6 – 11) b) 60 : (8 – 14) + 12

c) (9 – 13 – 6 + 9) · (5 – 11 + 7 – 4)

d) (6 + 2 – 9 – 15) : (7 – 12 + 3 – 6)

e) –(8 + 3 – 10) · [(5 – 7) : (13 – 15)]

a) 35 + 7 · (6 – 11) = 0

b) 60 : (8 – 14) + 12 = +2

c) (9 – 13 – 6 + 9) · (5 – 11 + 7 – 4) = +3

d) (6 + 2 – 9 – 15) : (7 – 12 + 3 – 6) = +2

e) –(8 + 3 – 10) · [(5 – 7) : (13 – 15)] = –1

30 Calcula, paso a paso, como en el ejercicio resuelto anterior.

a) (–3) · [(–9) – (–7)] b) 28 : [(–4) + (–3)]

c) [(–9) – (+6)] : (–5) d) (–11) – ( – 2) · [15 – (+11)]

e) (+5) – (–18) : [(+9) – (+15)]

f) (–4) · [(–6) – (–8)] – (+3) · [(–11) + (+7)]

g) [(+5) – (+2)] : [(–8) + (–3) – (–10)]

a) (–3) · [(–9) – (–7)] = (–3) · [–2] = +6

b) 28 : [(–4) + (–3)] = 28 : [–7] = –4

c) [(–9) – (+6)] : (–5) = [–15] : (–5) = +3

d) (–11) – ( – 2) · [15 – (+11)] = (–11) – (–2) · [+4] = –11 + 8 = –3

e) (+5) – (–18) : [(+9) – (+15)] = 5 – (–18) : [–6] = 5 – 3 = 2

f ) (–4) · [(–6) – (–8)] – (+3) · [(–11) + (+7)] = (–4) · [+2] – (+3) · [–4] =

= –8 + 12 = 4

g) [(+5) – (+2)] : [(–8) + (–3) – (–10)] = [+3] : [–1] = +3

31 Opera.

a) 8 + (4 – 9 + 7) · 2 + 4 · (3 – 8 + 4)

b) 4 · [(+5) + (–7)] – (–3) · [7 – (+3)]

c) (–3) · (+11) – [(–6) + (–8) – (–2)] · (+2)

d) (–6) · [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) · (+3)

a) 8 + (4 – 9 + 7) · 2 + 4 · (3 – 8 + 4) = 8

b) 4 · [(+5) + (–7)] – (–3) · [7 – (+3)] = 4

c) (–3) · (+11) – [(–6) + (–8) – (–2)] · (+2) = 9

d) (–6) · [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) · (+3) = –3

4o t e n c i a s y r a í c e s

32 Calcula:

a) El cuadrado de (–8). b) El cuadrado de (–20).

c) El cubo de (–8). d) El cubo de (–20).

a) 64 b) 400 c) –512 d) –8 000

33 Halla las potencias siguientes:

a) (+1)10 b) (–1)10 c) (–1)7

d) (–4)4 e) (+8)2 f) (–9)2

g) (–10)7 h) (+9)3 i) (–3)5

a) (+1)10 = 1 b) (–1)10 = 1 c) (–1)7 = –1

d) (–4)4 = 256 e) (+8)2 = 64 f ) (–9)2 = 81

g) (–10)7 = –10 000 000 h) (+9)3 = 729 i) (–3)5 = –243

34 Calcula.

a) (–3)3 b) (+3)3 c) –33

d) (–3)4 e) (+3)4 f) –34

a) (–3)3 = –27 b) (+3)3 = 27 c) –33 = –27

d) (–3)4 = 81 e) (+3)4 = 81 f ) –34 = –81

35 Averigua el valor de x en cada caso:

a) x3 = –125 b) (–x)3 = –125 c) x11 = –1

d) (–x)11 = –1 e) (–x)4 = 81 f) x 3 = –1 000

a) x = –5 b) x = 5 c) x = –1

d) x = 1 e) x = 3 f ) x = –10

36 Calcula, usando las propiedades de las potencias.

a) (–5)4 · (–2)4 b) (–4)4 · (–5)4 c) (–18)3 : (–6)3

d) (+35)3 : (–7)3 e) [(–5)3]2 : (–5)5 f) [(+8)4]3 : (–8)10

a) (–5)4 · (–2)4 = (–10)4 = 10 000 b) (–4)4 · (–5)4 = 204 = 160 000

c) (–18)3 : (–6)3 = 33 = 27 d) (+35)3 : (–7)3 = (–5)3 = –125

e) [(–5)3]2 : (–5)5 = (–5)6 – 5 = –5 f ) [(+8)4]3 : (–8)10 = 82 = 64

37 Opera estas expresiones:

a) (+12)3 : (–12)3 b) (–8)9 : (–8)8

c) [(–5)4 · (–5)3] : (+5)5 d) (–6)7 : [(+6)2 · (+6)3]

e) [(–2)7 : (–2)4] : (–2)3 f) (–2)7 : [(–2)4 : (–2)3]

P

4a) (+12)3 : (–12)3 = –120 = –1

b) (–8)9 : (–8)8 = (–8)1 = –8

c) [(–5)4 · (–5)3] : (+5)5 = –57 – 5 = –25

d) (–6)7 : [(+6)2 · (+6)3] = –67 – 6 = –6

e) [(–2)7 : (–2)4] : (–2)3 = (–2)3 – 3 = 1

f ) (–2)7 : [(–2)4 : (–2)3] = (–2)7 – 1 = 64

38 Halla, si existe, el resultado exacto o aproximado.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

a) +11 y –11 b) No tiene solución. c) +15 y –15

d) +15 < < +16 e) No tiene solución. f ) +20 y –20

–16 < < –15

g) No tiene solución. h) +31 < < +32 i) +100 y –100

–32 < < –31

o s n ú m e r o s n e g a t i v o s e n l a c a l c u l a d o r a

40 Utilizando los procedimientos del ejercicio resuelto anterior, escribe en lapantalla de tu calculadora:

a) –3 b) –12 c) –328 d) –1 000

a) 4 - 7 = 8b) 12 8c) 1 - 329 = 8d) 1 000 8

41 Realiza con la calculadora las operaciones siguientes:

a) 26 – 50

b) –126 – 84

c) (–43) · (–15)

d) 1 035 : (–45)

a) 26 - 50 = 8b) 126 84 8c) 43 1 - 16 =* = 8d) 45 1 035 / = 8

L

√1 000

√1 000

√250

√250

√(+10 000)√(+1 000)√(–900)

√(+400)√(–250)√(+250)

√(+225)√(–121)√(+121)

442 En una industria de congelados, la temperatura en la nave de envasado es de

12 °C, y en el interior del almacén frigorífico, de 15 °C bajo cero. ¿Cuál es la di-ferencia de temperatura entre la nave y la cámara?

La diferencia es de 12 – (–15) = 12 + 15 = 27 grados.

43 Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del medio-día la temperatura había subido 8 grados, y hasta las cinco de la tarde subió 3 gra-dos más. Desde las cinco a medianoche bajó 5 grados, y de medianoche al alba,bajó 6 grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día?

–2 + 8 + 3 – 5 – 6 = 11 – 13 = –3

Amaneció a tres grados bajo cero.

44 Un buzo que hace trabajos en una obra submarina se encuentra en la plata-forma base a 6 m sobre el nivel del mar y realiza los desplazamientos siguientes:

a) Baja 20 metros para dejar material.

b) Baja 12 metros más para hacer una soldadura.

c) Sube 8 metros para reparar una tubería.

d) Finalmente, vuelve a subir a la plataforma.

¿Cuántos metros ha subido en su último desplazamiento hasta la plataforma?

6 – 20 – 12 + 8 = 14 – 32 = –18

–18 + 24 = +6

En el último desplazamiento sube 24 metros.

45 Alejandro Magno, uno de los más grandes generales de la historia, nació en 356a.C. y murió en 323 a.C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace de eso?

(–323) – (–356) = 356 – 323 = 33

Murió a los 33 años.

Para calcular cuánto tiempo hace que murió Alejandro Magno, se suman 323 añosal año actual.

46 El empresario de un parque acuático hace este resumen de la evolución de susfinanzas a lo largo del año:

ENERO-MAYO 8 Pérdidas de 2 475 € mensuales.

JUNIO-AGOSTO 8 Ganancias de 8 230 € mensuales.

SEPTIEMBRE 8 Ganancias de 1 800 €.

OCTUBRE-DICIEMBRE 8 Pérdidas de 3170 € mensuales.

¿Cuál fue el balance final del año?

(–2 475) · 5 + 8 230 · 4 + 1 800 – (–3 170) · 3 = 12 835

En el año ganó 12 835 €.

447 Estudia los movimientos de la cuenta y calcula el saldo que tenía el 6 de noviem-

bre, sabiendo que el 15 de octubre se cerró con un saldo de 250 €.

Su saldo era de 250 – (150 + 84 + 100 + 572 + 65) + (2 + 1 284) = 565 €.

BANCO KOKO EXTRACTO DE MOVIMIENTOSnº de cuenta.....................................

FECHA D H CONCEPTO

16 - X 150 € Extracción cajero

25 - X 2 € Devolución comisión

31 - X 1284 € Abono nómina

2 - XI 84 € Gasto tarjeta comercio

3 - XI 100 € Extracción cajero

3 - XI 572 € Préstamo hipotecario

5 - XI 65 € Recibo luz