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MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO Nuevos recursos para el aula. JORNADA BUENAS PRÁCTICAS. BUENAS PRÁCTICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS. NUEVOS MATERIALES Y ENFOQUES INNOVADORES. - PowerPoint PPT Presentation
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 1
MATEMÁTICAS
EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO
Nuevos recursos para el aula
JORNADA BUENAS PRÁCTICAS
BUENAS PRÁCTICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.NUEVOS MATERIALES Y ENFOQUES INNOVADORES
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
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OBJETIVO DE ESTA CHARLA
Aportar enfoques complementarios a los estándar para introducir los contenidos de la programación de Matemáticas en Secundaria y Bachillerato.
(siendo este objetivo tan amplio, obviamente esta charla únicamente pretende trazar algunos caminos para alcanzar este objetivo).
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
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¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES?
En los rankings actuales desde no salimos favorecidos, y aunque no por sí mismos no son una justificación para el cambio, evidencian que las cosas, en nuestra enseñanza matemática, no van bien.
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
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¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES?
En los rankings actuales desde no salimos favorecidos, y aunque no por sí mismos no son una justificación para el cambio, evidencian que las cosas, en nuestra enseñanza matemática, no van bien.
Quizás así introducido, suena un poco alarmante, y creéis que hay que poner patas arriba la forma de enseñar matemáticas ...
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
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¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES?
Yo personalmente no lo creo. De hecho creo que NUNCA ANTES:
•Hubieron tan buenos materiales como ahora para explicar matemáticas (libros de textos, material didáctico, ordenadores, revistas docentes, etc).•Un grupo tan amplio y bien preparado de profesorado estuvo a disposición de la sociedad para ayudar a nuestros jóvenes.
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
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¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES?
Yo personalmente no lo creo. De hecho creo que NUNCA ANTES:
•Hubieron tan buenos materiales como ahora para explicar matemáticas (libros de textos, material didáctico, ordenadores, revistas docentes, etc).•Un grupo tan amplio y bien preparado de profesorado estuvo a disposición de la sociedad para ayudar a nuestros jóvenes.
¡sin embargo no dejamos todos de reconocer que los resultados no son los
deseables!
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
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Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales.
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
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Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales.
El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos.
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ ALZIRA (2008) 4ª sesión 9
Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales.
El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos.
Y esto hay que hacerlo por compromiso con la sociedad, …
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
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Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales.
El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos
Y esto hay que hacerlo por compromiso con la sociedad, …
pero también por nosotros
“Nada más estimulante para alguien que disfruta enseñando, que el estímulo de enseñar algo nuevo”
Por mi experiencia, la transmisión de nuevos enfoques supone en sí mismo algo estimulante para mi.
Y la ilusión SE CONTAGIA.JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
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ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES
INGREDIENTES
PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO
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ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES
PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO
INGREDIENTES
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
• Números• Álgebra• Funciones• Geometría• Probabilidad• Estadística• …
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ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES
INGREDIENTES
• Números• Álgebra• Funciones• Geometría• Probabilidad• Estadística• …
• Cabri• Derive• Geogebra• Excel• …
PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO
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ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES
INGREDIENTES
• Cabri• Derive• Geogebra• Excel• …
Pero además yo también incluiría …
PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO
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• Números• Álgebra• Funciones• Geometría• Probabilidad• Estadística• …
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ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES
INGREDIENTES
ESTRATEGIAS PARA
RESOLVER PROBLEMAS
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Además de otras especias que dependerán del menú específico que preparemos
PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO
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ESTRATEGIAS
PARA LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
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Problemas y ejercicios: dos quehaceres bien diferentes
¿Qué es un verdadero problema?
La mayoría de las actividades que encontramos al final de cada lección de los textos de secundaria y bachillerato de matemáticas son EJERCICIOS. Son cuestiones más o menos difíciles que, por su colocación dentro del libro, sabemos con qué conjunto de técnicas pueden ser resueltas.
En cambio, un PROBLEMA, es una situación que se te presenta en la que sabes, más o menos, adónde quieres ir, pero en principio no sabes cómo llegar. La principal dificultad consistirá entonces, en saber aclarar la situación y dar un camino adecuado para resolverla. En un verdadero problema no se sabe a priori qué técnica será la adecuada para resolverlo. Lo más probable es que no hayas visto nunca dicha técnica, más bien, tú, a partir de todos tus conocimientos, construyes el camino que resuelve el problema.
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Problemas y ejercicios: dos quehaceres bien diferentes
La RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS es un arte que sólo se aprende con considerable ESFUERZO, paciencia, sin angustias, aprendiendo de los propios errores, tratando de sacar partido a los fracasos iniciales y, observando y comparando nuestros modos de proceder con los de los expertos.
La RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS como parte de la Matemática es relativamente reciente. Y sus primeras contribuciones se deben a al brillante matemático húngaro GEORGE POLYA, quien prestó atención a esta parte de las Matemáticas en sus obras.
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Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas
1. FAMILIARÍZATE CON LA SITUACIÓN.
Actúa como Sherlock Holmes: recopila toda la información que puedas (por absurda que pueda parecer en un principio); juega con la información que tengas para familiarizarte con el problema.
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Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas
2. BUSCA ESTRATEGIAS.
Práctica el llamado brainstorming: dedica un tiempo a pensar en posibles formas de atacar el problema, sin importar las ideas que salgan (no descartes a priori ninguna). He aquí algunas:
• BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS
• EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL
• EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS
• HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES
• MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO
• ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN
• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA
• SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA?
• SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO
• PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, …
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Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas
3. APLICA LA ESTRATEGIA QUE ELIJAS.
• Lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la fase 2.
Hazlo una a una, sin aturullamientos, sin prisas, de forma relajada. Apunta todo lo que se te ocurra cada vez que pienses en una idea, aunque luego la descartes, esas ideas aparentemente inconexas pueden ser útiles.
• No te rindas fácilmente, pero tampoco te encabezones en una idea.
Si una idea parece que puede funcionar, aunque parezca difícil, no abandones. Tómate tu tiempo. Si se resiste demasiado, tal vez, sea mejor pasar a otra estrategia. Debes estar preparado a renunciar a una idea que hayas trabajado durante tiempo, porque puede que finalmente no funcione.
• ¿Lo resolviste?. ¿Seguro?. Analiza a fondo tu solución.
No te engañes a ti mismo, chequea de todas las formas posibles que esa solución es correcta.
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Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas
4. SACA JUGO AL PROBLEMA Y A TU EXPERIENCIA.
• Examina a fondo el camino que has seguido.
• Si lo conseguiste, ¿cómo llegaste a la solución?. En caso contrario, ¿por qué no lo lograste?
• ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Por qué no?
• ¿Habías intuido la estrategia correcta de la Fase 2? ¿Por qué no?
• ¿Cuál fue la clave para elegir bien el camino? ¿Por qué no diste con ella?
• Trata de entender por qué la cosa funciona.
Profundiza en las claves de la solución, te pueden ser útiles en más ocasiones.
• ¿Puedes hacerlo de forma más simple?
Normalmente la primera respuesta a un problema no es la que figura en los textos: quita la paja que hayas introducido, simplifica y depura tu solución, siempre se puede.
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Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas
4. SACA JUGO AL PROBLEMA Y A TU EXPERIENCIA.
• Analiza hasta dónde es útil el método seguido. Puede que sea útil no sólo en esta ocasión, sino en situaciones más generales.
Puedes tratar de inventar problemas que se resuelvan con la misma idea feliz.
• Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento seguido y saca consecuencias para el futuro.
Si te conoces a ti mismo (tus puntos fuertes y débiles sacarás una gran ventaja al resto cuando trates de enfrentarte a cualquier problema).
¡Ahora vamos a ilustrar algunas de las estrategias!
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• BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS
• EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL
• EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS• HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES
• MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO
• ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN
• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA
• SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA?
• SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO
• PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, …
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
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EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS
CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39?
¡este no es un verdadero problema si se usa el ordenador!
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Estrategias para la Resolución de Problemas
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EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS
¡este no es un verdadero problema si se usa el ordenador!
• La última cifra de 3723 es la misma que la de 723. Luego, el problema se reduce a estudiar las cifras finales de 123 , 223, …, 923.
• Experimentemos un poco y ordenemos los resultados:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n2 acaba en
n3 acaba en
n4 acaba en
n5 acaba en
n6 acaba en
CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39?
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Estrategias para la Resolución de Problemas
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
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EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS
¡este no es un verdadero problema si se usa el ordenador!
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n2 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1
n3 acaba en 1 8 7 4 5 6 3 2 9
n4 acaba en 1 6 1 6 5 6 1 6 1
n5 acaba en 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n6 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1
CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39?
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
• La última cifra de 3723 es la misma que la de 723. Luego, el problema se reduce a estudiar las cifras finales de 123 , 223, …, 923.
• Experimentemos un poco y ordenemos los resultados:
Estrategias para la Resolución de Problemas
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Estrategias para la Resolución de Problemas
EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS
• Las terminaciones de n3, n7, n11, n15, n19 y n23 coinciden. Luego la terminación de n3 y las de n23 son iguales.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n2 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1
n3 acaba en 1 8 7 4 5 6 3 2 9
n4 acaba en 1 6 1 6 5 6 1 6 1
n5 acaba en 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n6 acaba en 1 4 9 6 5 6 9 4 1
se repite
CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39?
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• BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS
• EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL
• EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS
• HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES
• MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO
• ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA
• SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA?
• SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO
• PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, …
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Estrategias para la Resolución de Problemas
ELIGE UNA BUENA NOTACIÓN
PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observa
¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos siempre es un cuadrado perfecto menos la unidad?
1193606543
1111205432
15244321
2
2
2
PARA PRACTICAR EN EL AULA
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Estrategias para la Resolución de Problemas
ELIGE UNA BUENA NOTACIÓN
PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observa
¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos siempre es un cuadrado perfecto menos la unidad?
1193606543
1111205432
15244321
2
2
2
Se puede intentar así: entero a),3a)(2a)(1a(a
PARA PRACTICAR EN EL AULA
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Estrategias para la Resolución de Problemas
ELIGE UNA BUENA NOTACIÓN
PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observa
¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos siempre es un cuadrado perfecto menos la unidad?
1193606543
1111205432
15244321
2
2
2
Se puede intentar así: entero a),3a)(2a)(1a(a
PARA PRACTICAR EN EL AULA
Pero es más fácil así:
enteros cuatro los de centro el es M,2
3M
2
1M
2
1M
2
3M
14
5M
2
3M
2
1M
2
1M
2
3M
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M
1
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Estrategias para la Resolución de Problemas
DIVIDE EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS
SUMA DE FACTORIALES. Calcula los dos últimos dígitos de la suma
!100!99!3!2!1
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Estrategias para la Resolución de Problemas
DIVIDE EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS
SUMA DE FACTORIALES. Calcula los dos últimos dígitos de la suma
• Calcula los dos últimos dígitos de 1!, 2!, 3!, …, 10!
!100!99!3!2!1
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!
1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800
• Justifica que a partir de la suma desde 1! hasta 10!, el resultado tiene siempre al menos dos ceros. Luego:
)!10!3!2!1cifras( últimas dos)!100!3!2!1cifras( últimas dos
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Estrategias para la Resolución de Problemas
DIVIDE EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS
SUMA DE FACTORIALES. Calcula los dos últimos dígitos de la suma
!100!99!3!2!1
94269001683709979260859834124473539872070722613982672442938359305624678223479506023400294093599136466986609124347432647622826870038220556442336528920420940313
4037913
13)!10!3!2!1cifras( últimas dos)!100!3!2!1cifras( últimas dos
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• BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS
• EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL
• EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS
• HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES
• MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO
• ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN
• SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA• SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA?
• SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO
• PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, …
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Estrategias para la Resolución de Problemas
APROVECHA LA SIMETRÍA
EL CAMINO MÁS CORTO. Una empresa tiene dos sedes en las ciudades A y B cerca de las cuales pasa una línea ferroviaria y a cuyo lado desea instalar un centro logístico. ¿Cuál debe ser su ubicación para que la distancia a recorrer por la flota de distribución sea mínima?
A
B
Línea ferroviaria
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Estrategias para la Resolución de Problemas
APROVECHA LA SIMETRÍA
EL CAMINO MÁS CORTO. Una empresa tiene dos sedes en las ciudades A y B cerca de las cuales pasa una línea ferroviaria y a cuyo lado desea instalar un centro logístico. ¿Cuál debe ser su ubicación para que la distancia a recorrer por la flota de distribución sea mínima?
A
B
Línea ferroviaria
Conocer las herramientas adecuadas nos puede ayudar
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
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AB
Línea ferroviariaC
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
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AB
Línea ferroviariaC
A (a1 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , c2 )
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
41
AB
Línea ferroviariaC
A (a1 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , c2 )
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Asumimos coordenadas positivas
Desplazamos adecuadamente los ejes
Introducimos ejes cartesianos
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
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22
211
22
211
0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar
1
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Función objetivo:
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
43
22
211
22
211
0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar
1
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Función objetivo:
0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22
211
221
21
22
22 Puntos críticos:
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
44
22
211
22
211
0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar
1
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Función objetivo:
0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22
211
221
21
22
22 Puntos críticos:
22
211
22
211 ba
abc,
ba
abc
0baba)b()a( 22222
22
2 22 baSi
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
45
22
211
22
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0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar
1
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Función objetivo:
0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22
211
221
21
22
22 Puntos críticos:
0ba
abc,
ba
abc
22
211
22
211
0baba)b()a( 22222
22
2 22 baSi
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46
22
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0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar
1
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Función objetivo:
0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22
211
221
21
22
22 Puntos críticos:
0ba
abc,
ba
abc
22
211
22
211
0baba)b()a( 22222
22
2 22 baSi 22 baSi
2
bc 1
1
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
47
22
211
22
211
0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar
1
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Función objetivo:
0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22
211
221
21
22
22 Puntos críticos:
0baba)b()a( 22222
22
2 22 baSi 22 baSi
2
bc 1
1
¡esto tiene interpretación!
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
0ba
abc,
ba
abc
22
211
22
211
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
48
22
211
22
211
0c)b()cb()a()c()c(fMinimizar
1
A (0 , a2 )B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
Función objetivo:
0)a()b(c)a(b2)c()b()a( 22
211
221
21
22
22 Puntos críticos:
0baba)b()a( 22222
22
2 22 baSi 22 baSi
2
bc 1
1
Mínimo global¡esto tiene interpretación!
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
0ba
abc,
ba
abc
22
211
22
211
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
49
¡pero observemos que LA SIMETRÍA nos puede ayudar!
A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
22 baSi
2
bcsiendo 1
1
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
50
¡pero observemos que LA SIMETRÍA nos puede ayudar!
A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
22 baSi
2
bcsiendo 1
1
A’ (0 , - a2 )
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
51
¡pero observemos que LA SIMETRÍA nos puede ayudar!
A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
22 baSi
2
bcsiendo 1
1
A’ (0 , - a2 )
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52
¡pero observemos que LA SIMETRÍA nos puede ayudar!
A (0 , a2 ) B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
22 baSi
2
bcsiendo 1
1
A’ (0 , - a2 )
¿en cambia el razonamiento si no se cumple la condición ?
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
53
¡TODO FUNCIONA!
A (0 , a2 )
B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
22 baSi
A’ (0 , - a2 )
Por lo tanto el valor c1 se obtiene:
1.Calculando la ecuación de la recta que pasa por los puntos A’ (0 , - a2 ) y B (b1 , b2 )2.Calculando la intersección de esa recta con el eje de abscisas.
22
121
11
222212
ba
bac
0y:aferroviari línea la define que recta ec.
)bx(b
baby:)b,bB( , )(0,-aA' une recta ec.
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
54
¡TODO FUNCIONA!
A (0 , a2 )
B (b1 , b2 )
Línea ferroviariaC (c1 , 0 )
22 baSi
A’ (0 , - a2 )
Por lo tanto el valor c1 se obtiene:
1.Calculando la ecuación de la recta que pasa por los puntos A’ (0 , - a2 ) y B (b1 , b2 )2.Calculando la intersección de esa recta con el eje de abscisas.
22
121
11
222212
ba
bac
0y:aferroviari línea la define que recta ec.
)bx(b
baby:)b,bB( , )(0,-aA' une recta ec.
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55
Estrategias para la Resolución de Problemas
LA IMPORTANCIA DEL CONOCIMIENTO ESPECÍFICO
Las técnicas anteriores son de gran utilidad, pero en numerosos problemas, además de su uso, junto con la habilidad que se adquiere RESOLVIENDO PROBLEMAS, es de gran ayuda (y a veces, es de vital importancia) conocer resultados concretos que nos ayudarán a dar con la solución del problema. La adquisición del conocimiento específico tiene lugar ESTUDIANDO y en muchos casos teniendo la NECESIDAD al, precisamente, resolver problemas. De hecho la mayor parte de las teorías matemáticas han surgido así: ante la necesidad de dar respuesta a VERDADEROS PROBLEMAS.
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
56
Bibliografía sobre Resolución de Problemas
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
57
Bibliografía sobre Resolución de Problemas
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
58
Bibliografía sobre Resolución de Problemas
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
59
INGREDIENTES
ESTRATEGIAS PARA
RESOLVER PROBLEMAS
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO
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60
MODELIZACIÓN
MATEMÁTICA
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
61
Para empezar me gustaría advertir que por lo que yo sé, la bibliografía existente al respecto orientada para Secundaria y Bachillerato no es muy abundante …
Una de las fuentes más adecuada es: La Matemática aplicada a la vida cotidiana de Fernando Corbalán (Ed. Graó)
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
62
No obstante, en las publicaciones periódicas de las Sociedades de Profesores de Matemáticas como SUMA, EPSILON, etc. se encuentran cada vez con más frecuencia contribuciones en este sentido
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
63
Los matemáticos, físicos, economistas, ingenieros, etc. saben bien que las Matemáticas son sorprendentemente efectivas en la
resolución de problemas reales aparentemente intratables.
Como docentes deberíamos esforzarnos en llevar al aula situaciones cotidianas para nuestros alumnos donde se
evidenciara la efectividad de las matemáticas
Matemáticas y Consumo: una oportunidad docente
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
64
UN EJEMPLO PARA TRABAJAR A DIFERENTES NIVELES
¿Cuánto mide el rollo de papel de aluminio que he comprado en el supermercado?
¡Dejemos a los alumnos que hagan su propia propuesta!
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
65
Notación
• r = radio del cilindro de cartón sobre el cual va arrollado el papel de aluminio.
• R = radio del cilindro que delimita el rollo de papel de aluminio al comprarlo.
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Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
66
Notación
• r = radio del cilindro de cartón sobre el cual va arrollado el papel de aluminio.
• R = radio del cilindro que delimita el rollo de papel de aluminio al comprarlo.
hipótesisCada vuelta que da el papel alrededor del cilindro es una circunferencia
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Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
67
Notación
Más notación
• n = nº de capas (o vueltas) del papel alrededor del cilindro de radio r.
• li = longitud de la capa i-ésima (es la de una circunferencia de radio r + (i – 1/2)e, para i = 1,2, …, n). ¡aproximación!
• e = espesor de cada capa de papel de aluminio.
• r = radio del cilindro de cartón sobre el cual va arrollado el papel de aluminio.
• R = radio del cilindro que delimita el rollo de papel de aluminio al comprarlo.
hipótesisCada vuelta que da el papel alrededor del cilindro es una circunferencia
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Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
68
Notación
• n = nº de capas (o vueltas) del papel alrededor del cilindro de radio r.
• li = longitud de la capa i-ésima (es la de una circunferencia de radio r + (i – 1/2)e, para i = 1,2, …, n). ¡aproximación!
• e = espesor de cada capa de papel de aluminio.
• r = radio del cilindro de cartón sobre el cual va arrollado el papel de aluminio.
• R = radio del cilindro que delimita el rollo de papel de aluminio al comprarlo.
hipótesisCada vuelta que da el papel alrededor del cilindro es una circunferencia
¿L = longitud del rollo de papel?
Más notación
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Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
69
e2
1nr2l
e2
7r2l
e2
5r2l
e2
3r2l
e2
1r2l
n
4
3
2
1
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Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
70
e2
1nr2l
e2
7r2l
e2
5r2l
e2
3r2l
e2
1r2l
n
4
3
2
1
nner22
ne2
1nre
2
1r
2e2
1ir2lL
n
1i
n
1ii
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
71
e2
1nr2l
e2
7r2l
e2
5r2l
e2
3r2l
e2
1r2l
n
4
3
2
1
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CUIDADO:
esto está en términos de n
nner22
ne2
1nre
2
1r
2e2
1ir2lL
n
1i
n
1ii
Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
72
nner22
ne2
1nre
2
1r
2e2
1ir2lL
n
1i
n
1ii
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Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
73
rRnee
rRn
nner22
ne2
1nre
2
1r
2e2
1ir2lL
n
1i
n
1ii
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Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
74
Primer enfoque: Secundaria-Bachillerato (contenidos: progr. aritméticas)
rRnee
rRn
e
rR
e
rRrR
e
rRrRr2L
22
nner22
ne2
1nre
2
1r
2e2
1ir2lL
n
1i
n
1ii
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
75
Enfoque alternativo: ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
eh
L
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comparemos
volúmenes
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
76
Enfoque alternativo: ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
pedoparalelepíVolumen eLhh)rR(huecocon cilindroVolumen 22
eh
L
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comparemos
volúmenes
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
77
Enfoque alternativo: ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
¡el mismo resultado que antes!
comparemos
volúmenes
e
)rR(L
22
eh
L
pedoparalelepíVolumen eLhh)rR(huecocon cilindroVolumen 22
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
78
El análisis como consumidores (e = 0.0015 cm)
MARCA FÓRMULA ENVASE % ENGAÑOA (R = 2.1cm; r =
1.5cm)45.2201
m50 m 9.5598
B (R = 2.45cm; r = 2cm)
41.9260 m
50 m 16.148
C (R = 1.9cm; r = 1.5cm)
28.4712 m
30 m 5.096
D (R = 2.36cm; r = 2.1cm)
24.2866 m
30 m 19.0447
e
)rR(L
22
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
79
El análisis como consumidores (e = 0.0015 cm)
MARCA FÓRMULA ENVASE % ENGAÑOA (R = 2.1cm; r =
1.5cm)45.2201
m50 m 9.5598
B (R = 2.45cm; r = 2cm)
41.9260 m
50 m 16.148
C (R = 1.9cm; r = 1.5cm)
28.4712 m
30 m 5.096
D (R = 2.36cm; r = 2.1cm)
24.2866 m
30 m 19.0447
e
)rR(L
22 Algunas
conclusiones
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
80
INGREDIENTES
ESTRATEGIAS PARA
RESOLVER PROBLEMAS
MODELIZACIÓN MATEMÁTICA
Además de otras especias que dependerán del menú específico que preparemos
PROGRAMACIÓNMATEMÁTICASSECUNDARIA Y BACHILLERATO
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
81
Hablamos ahora de otros ingredientes especias para aderezar el menú
DEMOSTRACIONES
SIN PALABRAS
Ejercicios de pensamiento visual
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
82
1. Proporcionar una justificación de la deducción de fórmulas matemáticas que se presentan en Secundaria o Bachillerato, basada en una figura o un dibujo adecuado que pretende impactar al lector frente a la demostración clásica (y rigurosa), por su elocuencia gráfica.
2. Desde el punto de vista del proceso de enseñanza-aprendizaje, muchas de las actividades basadas en las demostraciones sin palabras, son auténticos retos, porque se requiere un esfuerzo adicional y diferente al tipo de actividades que se trabajan usualmente en el aula, para desvelar qué pretende demostrar una figura dada, y es esta línea de trabajo con el alumno, la que debe ser el objetivo (a través de ejercicios de clase) del enfoque que a continuación se presenta.
OBJETIVO
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
83JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
Distancia de un punto a una recta
2m1
bcma
1
d
R.L. Eisenman
¿POR QUÉ?
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
84JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
Distancia de un punto a una recta
2m1
bcma
1
d
R.L. Eisenman
¿POR QUÉ?
la prueba (“sin palabras”) está basada
en la semejanza de triángulos rectángulos
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
85
J.H. Webb
A
¿POR QUÉ?
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Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de 0 < razón < 1
r1
aar
r1
ar
r/1
ararara
0n
n32
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
86
Progresiones geométricas (P.G.)
116
1
8
1
4
1
2
1
• Introducción de la serie infinita de los infinitos términos de una P.G.con una hoja de papel.
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
87
Progresiones geométricas (P.G.)
116
1
8
1
4
1
2
1
• Introducción de la serie infinita de los infinitos términos de una P.G.con una hoja de papel.
• Demostración sin palabras
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
88
Progresiones geométricas (P.G.)
116
1
8
1
4
1
2
1
• Introducción de la serie infinita de los infinitos términos de una P.G.con una hoja de papel.
• Demostración sin palabras
• Generalización
Sunday A. Ajose
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CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
89
• Suma de P.G. u otras series por generación geométrica de procesos infinitos
Suma de series por generación geométrica de términos
d1
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• Ejemplo anterior
• ¡A jugar!. Creamos el proceso infinito siguiente:
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
90
Suma de series por generación geométrica de términos
221 1x2
221
23 ))xx(1(x2
• Suma de P.G. u otras series por generación geométrica de procesos infinitos• Ejemplo anterior
• ¡A jugar!. Creamos el proceso infinito siguiente:
21
22 )x1(x2
21n
1ii
2n x1x2
d1
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
91
Suma de series por generación geométrica de términos
221 1x2
221
23 ))xx(1(x2
• Suma de P.G. u otras series por generación geométrica de procesos infinitos
21
22 )x1(x2
2
21rrazónPGx1n
2
2x
x12
2x
n
1
1n
1iin
21n
1ii
2n x1x2
d1
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• Ejemplo anterior
• ¡A jugar!. Creamos el proceso infinito siguiente:
Sabemos sumar la serie primer término x1 y razón 1: la
suma es 1
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
92
Suma de series por generación geométrica de términos
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
93
Suma de series por generación geométrica de términos
)43(2
1
46
1R1)RR2R21()R1(
)32(2
1
43
1R1)RR21()R1(
)21(2
1
4
1R1)R1()R1(
322
3212
3
222
212
2
122
12
1
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
94
Suma de series por generación geométrica de términos
)43(2
1
46
1R1)RR2R21()R1(
)32(2
1
43
1R1)RR21()R1(
)21(2
1
4
1R1)R1()R1(
322
3212
3
222
212
2
122
12
1
hipotenusas
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
95
Suma de series por generación geométrica de términos
1n)1n(n2
1Rn
1n1
)1n(n
11R2
1n1nn
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
)43(2
1
46
1R1)RR2R21()R1(
)32(2
1
43
1R1)RR21()R1(
)21(2
1
4
1R1)R1()R1(
322
3212
3
222
212
2
122
12
1
hipotenusas
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
96
Suma de series por generación geométrica de términos
1n)1n(n2
1Rn
1n1
)1n(n
11R2
1n1nn
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
)43(2
1
46
1R1)RR2R21()R1(
)32(2
1
43
1R1)RR21()R1(
)21(2
1
4
1R1)R1()R1(
322
3212
3
222
212
2
122
12
1
hipotenusas
ESTA METODOLOGÍA PUEDE DEPARARNOS SORPRESAS: QUE LOS ALUMNOS SUMEN SERIES TELESCÓPICAS
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
97
Patologías algebraicas con el infinito
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
S21)2168421(212168421S nn
1SS21S
MORALEJA
Hay que tener mucho cuidado
cuando se manejan algebraicamente
cantidades que pueden ser infinitas
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
98JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
Bibliografía sobre “Demostraciones sin palabras”
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
99
C. Alsina, R.B. Nelsen (2009): When less is more: visualizing basic inequalities. Dolciani Mathematical Expositions
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
Bibliografía sobre “Demostraciones sin palabras”
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
100
Para terminar, me gustaría destacar algunas de las direcciones web más interesantes que conozco donde se pueden encontrar numerosas actividades para los estudiantes y documentación para el profesorado. La lista no es exhaustiva, pero las direcciones que aquí aparecen son de gran interés.
JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
Algunas referencias IMPRESCINDIBLES en la web
LEER.ES (contiene textos para fomentar la lectura y analizarla con crítica matemática)
http://docentes.leer/materiales/?nivel=153
PROYECTO GAUSS (en palabras de algunos compañeros “lo contiene casi todo”)
http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/eso/actividades/novedades.htm
ILLUMINATIONS (página francesa para enamorarse de las matemáticas. No os perdáis los juegos con el tangram)
http://illuminations.nctm.org/Activities.aspx?grade=4
MATEMAGICAS (para disfrutar con la parte más lúdica de las matemáticas)
http://descartes.cnice.mec.es/mathsmagiques/index.htm
CURSO: MATEMÁTICAS INTERTEMÁTICAS
101JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011
Algunas referencias IMPRESCINDIBLES en la web
MATEMÁTICAS VISUALES
http://www.matematicasvisuales.com/html/geometria/geometria.html
GEOMETRÍA DINÁMICA de J.A. Mora
http://geometriadinamica.es/
Y dos direcciones más con contenidos de geometría que valen la pena: