Matematicas Financieras 2011-2

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Escuela de Ciencias Administrativas Contables Econmicas y de Negocios

Contenido didctico del curso Matemticas Financieras

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CONTABLES ECONMICAS Y

DE NEGOCIOS

102007 MATEMTICAS FINANCIERAS

GIRARDOT

Enero de 2011

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LISTADO DE GRFICOS Y FIGURAS

Grfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas vencidas

39

Grfica 2. Liquidacin de intereses anticipados

49

Grfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas

50

Grfico 4. Distribucin Beta 2

119

Grfico 5. Distribucin Beta

127

Grfica 6. Comparacin VPN de dos proyectos

142




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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO El mdulo que se presenta hace parte del material didctico correspondiente al Curso Acadmico de Matemticas Financieras, es un rediseo al texto escrito por el Doctor Jorge S. Rosillo C. y editado por la UNAD en 2002. Se tom esta decisin con base en el levantamiento del estado del arte del material que se vena trabajando hasta enero de 2005; en los ltimos tres aos ha sido revisado continuamente por el director del curso virtual, Doctor Alexander Beltrn Echeverry quin se desempea como tutor en el CEAD de Girardot. El producto resultante de esta mediacin, tiene en cuenta los elementos estructurales del material didctico; por tanto est organizado de tal manera que sirva como soporte pedaggico al curso de Matemticas Financieras, el cual est estructurado por el sistema de crditos acadmicos. Como material didctico, su intencionalidad es apoyar el trabajo acadmico de los aprendientes en funcin del aprendizaje y el desarrollo cognitivo y meta-cognitivo de los aprendientes, en correlacin con las intencionalidades formativas del curso




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INTRODUCCIN

El administrador de empresas puede desenvolverse profesionalmente en el nivel operativo de la organizacin aplicando las cuatro funciones principales de la administracin: planeacin, organizacin, direccin y control; en el nivel medio como jefe de departamento o en la toma de decisiones a nivel institucional. En los tres niveles se encarga de que los recursos sean productivos y contribuyan al logro de las metas corporativas. La comprensin, interpretacin y aplicacin de los conceptos propios de las matemticas financieras le permiten al aprendiente el desarrollo de habilidades en el manejo de las herramientas financieras que le permitirn en el ejercicio profesional proponer con argumentos slidos alternativas de solucin a las problemticas se presenten y que tengan que ver con la toma de decisiones sobre evaluacin de alternativas de inversin o de uso y aplicacin de recursos financieros. Entre las posibilidades inmediatas de aplicacin de las diferentes herramientas financieras apropiadas mediante el estudio juicioso de las temticas que conforman el presente mdulo, se encuentran: el Proyecto de Desarrollo Empresarial (PDE) objeto del trabajo de grado y en la resolucin de problemas prcticos que se identifiquen en las actividades de proyeccin y apoyo a la comunidad en que se desenvuelven los aprendientes. Este es el mayor atractivo del estudio de esta rama de las matemticas aplicadas. Adems de las competencias bsicas, se pretenden desarrollar otras complejas y transversales que permitan al estudiante, identificar, apropiar y transferir los conceptos y las herramientas financieras aplicables en el anlisis y evaluacin de proyectos de inversin y aplicar ese conocimiento en situaciones de toma de decisiones en su gestin como empresario, como responsable del rea financiera de una organizacin o como miembro activo de su comunidad.




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CONTENIDO

Pg.

Introduccin 4

UNIDAD UNO COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO 7

Justificacin 7

Objetivo General 7

Objetivos Especficos 7

Captulo Uno. Inters 9

Leccin 1 Conceptos 9

Leccin 2 Concepto de inters simple 11

Leccin 3 Concepto de inters compuesto 22

Leccin 4 Tasas de inters 32

Leccin 5 Conversin de tasas 40

Ejercicios para profundizacin de las temticas 53

Capitulo Dos. Equivalencias con cuotas fijas 56

Leccin 6 Equivalencias entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas vencidas

56

Leccin 7 Equivalencias entre un valor presente y una serie de cuotas fijas vencidas

58

Leccin 8 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas fijas anticipadas

59

Leccin 9 Equivalencia entre un valor presente y una serie de cuotas fijas anticipadas

60

Leccin 10 Equivalencia entre un valor futuro y una serie de cuotas Fijas vencidas con inters anticipado

61

Capitulo Tres. Equivalencias con cuotas variables 63

Leccin 11 Gradientes Aritmticos y Geomtricos 63

Leccin 12 Equivalencia entre un valor presente y un Gradiente 69

Leccin 13 Gradiente Aritmtico Creciente y Decreciente 72

Leccin 14 Amortizaciones 78

Leccin 15 Perpetuidades 91

Resumen de la Unidad Uno 92





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UNIDAD DOS EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSION 95

Justificacin 95

Objetivo General 95

Objetivos Especficos 95

Capitulo Cuatro. Clases de evaluaciones y criterios de decisin

97

Leccin 16 Evaluacin de proyectos sociales 97

Leccin 17 Criterios para evaluar proyectos de inversin 103

Leccin 18 Valor Presente Neto VPN 106

Leccin 19 Tasa interna de Retorno TIR 108

Leccin 20 Costo Anual Uniforme Equivalente CAUE 111

Capitulo Cinco. Anlisis de Riesgos en los proyectos de inversin

113

Leccin 21 Sistemas de Anlisis 113

Leccin 22 Riesgo e Incertidumbre en Proyectos de Inversin 114

Leccin 23 Mtodos para Evaluar el Riesgo en la Evaluacin de proyectos de Inversin

116

Leccin 24 Distribucin Beta 2 122

Leccin 25 Distribucin Beta 130

Captulo Seis. Alternativas Mutuamente Excluyentes 135

Leccin 26 Alternativas Mutuamente Excluyentes 135

Leccin 27 Tasa Verdadera 138

Leccin 28 Tasa Ponderada 142

Leccin 29 Sensibilidad de los proyectos a diferentes tasas de Descuento

145

Leccin 30 Proyectos con vidas diferentes 149

Resumen de la Unidad Dos 151


Glosario 156

Bibliografa y Cibergrafa 160




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UNIDAD UNO

COSTO DEL DINERO EN EL TIEMPO

Justificacin Con el estudio de esta unidad el aprendiente apropiar una serie de conceptos como: inters, inters simple, inters compuesto, tasas de inters; asimismo comprender el principio de equivalencia financiera y conocer la manera de realizar todas las conversiones posibles entre las diferentes tasas de inters.

Objetivo General A partir de su reconocimiento y aplicacin en casos prcticos, deducir las frmulas de inters simple e inters compuesto y establecer los parmetros para su aplicacin en las cuestiones financieras.

Objetivos especficos Deducir las frmulas de inters simple e inters compuesto

Encontrar una tasa de inters efectiva equivalente a una tasa de Inters nominal dada o viceversa.

Hallar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos

Establecer los parmetros que permitan la liquidacin de intereses sobre saldos mnimos

Encontrar los parmetros que permitan calcular las sumas presentes equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen en forma lineal

Determinar una expresin matemtica que calcule del valor de la primera cuota para con base en el sistema de amortizacin se puedan calcular las restantes

Elaborar tablas y grficas de amortizacin de amortizacin para sistemas de amortizacin diferentes




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CAPTULO UNO INTERS

El concepto de acumulacin tuvo su origen en la sociedad artesanal, la cual se caracteriz por la divisin del trabajo; esta sociedad estaba formada por carpinteros, panaderos, alfareros, herreros, albailes, ganaderos, agricultores, etc. Quienes no solamente producan para su consumo, sino que generaban excedentes, lo que les permita intercambiar otros productos para satisfacer sus necesidades de alimentacin, vivienda, vestuario y educacin. Por ejemplo, el productor de papa slo satisfaca parte de su necesidad de alimento y para que el producto de su trabajo le sirviera como medio de vida, deba intercambiar sus excedentes por otros productos, deba buscar otro individuo que estuviera interesado en adquirir su producto. Se requera la existencia de una necesidad recproca para poder realizar el intercambio, sin ella era imposible realizar la transaccin; una vez se encontraban los dos individuos se deba fijar cuntas unidades del producto A seran necesarias para adquirir el producto B, la relacin entre la cantidad de un producto que se entrega para obtener una unidad del otro, es el precio de un bien expresado en unidades del otro bien. Concepto de Inters El concepto de inters tiene su origen en las transacciones que realizan dos o ms actores por el intercambio de bienes y servicios. La necesidad de intercambiar de los individuos para satisfacer sus necesidades y las limitantes del intercambio que generaba la necesidad recproca, fue haciendo germinar el establecimiento de un bien que fuera aceptado por todos para negociar. Inicialmente, este bien fue el ganado y serva para expresar el precio de cualquier transaccin; poco a poco fueron surgiendo otros productos, el oro y la plata que se usaron como dinero cumpliendo funciones de unidad de valor y medio de cambio desplazando a otros sistemas de cambio por su fcil manejo hasta llegar a nuestro das con el papel moneda de aceptacin universal, como instrumento de intercambio.

LECCIN UNO CONCEPTOS

En la sociedad primitiva los seres humanos se autoabastecan: generalmente el hombre sala a cazar o pescar para conseguir alimento o vestido y la mujer se dedicaba a cuidar el fuego y a recoger frutos; no se cazaba ms de lo que se consuma.




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De la misma forma que en la sociedad artesanal se producan excedentes para poder intercambiar, en la sociedad contempornea los excedentes de dinero de los individuos que no se consumen se llaman AHORRO, los cuales pueden invertirse o cederse a otros en el instante del tiempo que los soliciten para satisfacer sus necesidades. El costo o el rendimiento de estas transacciones se llaman INTERS. Partamos de un ejemplo para fundamentar este concepto: supongamos que tenemos dos personas que tienen el mismo dinero para invertir y ambos son comerciante, el dinero disponible de cada uno de ellos es de $10 millones, pero tienen diferentes negocios; el primero de ellos se llama Linda Plata, es joyera e importa joyas de Panam y el segundo es don Armando Rico, quien ofrece al mercado perfumes importados de Francia. Mensualmente estos individuos adquieren $10.000,000 en mercancas, pero los dos obtienen resultados diferentes. Doa Linda obtiene una ganancia de $300.000 en el mes y don Armando $500,000 en el mismo lapso de tiempo. Observemos que teniendo la misma inversin reciben beneficios diferentes, podemos definir entonces el INTERS como la utilidad que se tiene sobre una inversin en X tiempo, o sea:

Siendo el inters del comerciante en joyas = 3% mensual y el inters

del comerciante en perfumes = 5% mensual.

Dado el caso de que una tercera persona, por ejemplo Justo Sin Plata, necesite $10.000.000 y se los solicite a don Armando, ste se los cedera solamente si le reconoce una tasa de inters igual a la que le rinden sus inversiones, es decir, al 5% mensual; de aqu nace otro concepto conocido con el nombre de TASA DE INTERS DE OPORTUNIDAD que quiere decir que cualquier inversionista est dispuesto a ceder su dinero, si se le reconoce una tasa de inters igual o superior a la que rinden sus inversiones.

Utilidad Inters =

Inversin




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LECCIN DOS INTERS SIMPLE Siendo el inters la utilidad sobre la inversin, se puede tomar el ejemplo anterior en el cual el comerciante en joyas doa Linda Planta de Rico, gana mensualmente $300.000 con $10.000.000 invertidos; si continuamos su anlisis indefinidamente, es decir, mes a mes, el resultado es el siguiente:

MES

DINERO

INVERTIDO

GANANCIA DINERO

ACUMULADO

1

2

3

.

.

N

$10.000.000

$10.000.000

$10.000.000

$10.000.000

$300.000

$300.000

$300.000

$300.000

$10.300.000

$10.600.000

$10.900.000

Si:

Utilidades = 3% x $10.000.000 = $300.000 en cada perodo, para este caso, cada mes. Lo anterior se puede presentar simblicamente de la siguiente forma: Dinero invertido = P Tasa de Inters = i

Utilidad Inters =

Inversin

Utilidad = Inversin x Tasa de inters

Utilidad = Pi




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MES

DINERO INVERTIDO

UTILIDADES

1

2

3

.

.

n

P

P

P

P

Pi

Pi

Pi

Pi

Lo anterior quiere decir que doa Linda Plata de Rico tiene unas utilidades (Pi) por perodo y si quiere saber cuntas utilidades ha generado su inversin desde el momento en que la realiz, simplemente deber multiplicar las utilidades de cada perodo por el nmero de ellos transcurridos a la fecha, desde el momento en que realiz la inversin. Generalizando a n los perodos, se tendran en este punto unas utilidades acumuladas Pin y el total de dinero acumulado sera igual a la inversin inicial ms las utilidades acumuladas; a esta suma se le conoce con el nombre de MONTO o VALOR FUTURO y en trminos simblicos se representa de la siguiente forma: P = Valor de la inversin valor actual F = Valor futuro n = Nmero de perodos % i = Tasa de inters

F = P + Pin

F = inversiones + Utilidades Acumuladas

F = p (1 + in)




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Ntese que en el ejemplo doa Linda Plata, no reinvirti las ganancias sino siempre invirti la misma cantidad ($10 millones); es decir, cuando no hay reinversin de las utilidades se conoce con el nombre de inversiones a INTERS SIMPLE. Ejemplo 1

Cunto dinero acumulara Juan Prez dentro de 5 aos, si invierte hoy

$4.000.000 a una tasa de inters simple del 3% mensual?

El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujo de la siguiente manera: Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos con una flecha hacia abajo, en una escala de tiempo que pueden ser aos, semestres, meses, das. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo perodo que est expresada la tasa de inters; en el ejemplo la tasa de inters est expresada en meses, por lo tanto los 5 aos se deben convertir a meses, o sea 60 meses.

F = P (1 + in)

F= $4.000.000 (1 + 0.03 (60))

F= $11.200.000

Lo anterior quiere decir que don Juan Prez se gan $7.200.000 en los 5 aos y adicionalmente tiene el dinero que invirti o sea $4.000.000. SUPUESTO: El inversionista no hace ningn retiro de dinero en el lapso de tiempo considerado.

i = 3% mensual F

60 meses P = 4.000.000




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Ejemplo 2 Armando Rico recibi hoy $3.450.000 del Banco de Bogot por una inversin que realiz hace tres semestres; si la tasa de inters es del 2% mensual, cunto dinero invirti don Armando? Como se explic anteriormente, el punto de partida es realizar el grfico o flujo de caja correspondiente; el problema quedara planteado as: En razn a que la tasa es mensual se deben expresar los tres semestres en meses, para que los elementos estn en la misma base.

Reemplazando en la ecuacin que relaciona estas variables se tiene: F = P (1 + in) F = $3.450.000 porque en este valor se consolidan la inversin y las utilidades I = 2% mensual N = 3 semestres = 18 meses Entonces, 3.450.000 = P (1 + 0,02 (18))

3.450.000 = P (1 + 0,36)

0

P

i=2% mensual F = 3.450.000

18 meses = 3 Semestres




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P = $2.536.764,71

Este es el valor que invirti don Armando hace 18 meses. Ejemplo 3

Patricia Fernndez recibi un prstamo de $3.000.000, que debe pagar en 18 meses; si al final del plazo debe cancelar $3.850.000, calcular la tasa de inters simple del prstamo.

Ntese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que se est tomando como referente a Patricia Fernndez; al recibir el dinero del prstamo tienen un ingreso y cuando cancela el crdito ella tiene un desembolso, por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo. Si se toma como referente el prestamista, el grfico sera el siguiente:

P = 3.000.000

18 meses

F = 3.850.000 0

0

P = 3.000.000

F = 3.850.000

18 meses




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Reemplazando los datos de la ecuacin se tiene: F = P (1 + in) 3.850.000 = 3.000.000 (1 + i% (18))

Expresndolo en trminos porcentuales se tiene,

Ejemplo 4 Armando Mendoza recibi un prstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzn Solano, si cancel $10.500.000 y la tasa de inters fue del 2% mensual simple, calcular, cul fue el plazo del prstamo? Grfico para Armando Mendoza

P = 7.000.000 i = 2% mensual

F = 10.500.000

0




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Grfico para Beatriz Pinzn Solano

Reemplazando en la ecuacin se tiene: F = P (1 + in) 10.500.000 = 7.000.000 (1 +(2%)n)

Recuerde que 2% = 0,02

1,5 1 = 0,02n 0,5 = 0,02n

n = 25 meses

Ntese que la tasa de inters se expres en meses porque est dada en meses. Ejemplo 5 Sofa Vergara recibi un prstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un ao y $5.000.000 en ao y medio. Si la tasa de inters es del 10% semestral simple, determinar, cunto dinero le prest el Banco Santander a Sofa? Recordando que los perodos del plazo deben estar en el mismo perodo que la tasa de inters, se tiene:

0

P = 7.000.000

i = 2% mensual

F = 10.5000.000




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6 meses = un semestre Un ao = dos semestres Ao y medio = tres semestres Grfico para el Banco Santander

Grfico para Sofa Vergara

0

P

3.000.000

1

4.000.000 5.000.000

3 Semestre

s 2

i = 10% semestral

i = 10% semestral

0 1 2 3 Semestre

P 3.000.000

4.000.000 5.000.000




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Observando el grfico y el planteamiento del problema, se tiene una concepcin diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tena un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofa. La solucin de este tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro de manera independiente. Cada pago que hace Sofa, se considera dentro del total de la cuota, una parte correspondiente a intereses y otra un abono al prstamo. Para el Banco Santander, los intereses seran las utilidades y el abono al prstamo una devolucin de una parte de la inversin. Este concepto es congruente con la definicin de valor futuro, como el consolidado de la inversin ms las utilidades explicado al principio de este captulo; en este caso las utilidades y la inversin se devolvern al Banco en tres pagos y no en uno. F = P (1 + in)

Analizando cada pago independiente se tiene:

Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73

Pago 2 = P2 = = $3.333.333,33

Pago 3 = P3 = = $3.846.153,85

Por lo tanto el valor del prstamo sera: PT = P1 + P2 + P3

PT = $ 2.727.272,73 + $ 3.333.333,33 + $ 3.846.153,85

P T = $ 9.906.759,91




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Ejemplo 6 Natalia Pars desea realizar un viaje por el continente europeo de un ao y se propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueo: hoy, ahorra $1.000.000; dentro de tres meses, ahorrar $1.000.000; dentro de un semestre, ahorrar $1.500.000 y dentro de 10 meses, ahorrar $1.700.000. Cunto dinero tendr exactamente dentro de un ao, si la tasa de inters que le paga el Banco es del 1% mensual simple? Grfico para Natalia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

i = 1% mensual, 1% = 0.01 Se debe recordar que los desembolsos o ingresos deben estar expresados en el mismo perodo de tiempo que la tasa de inters. Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversin se trata de manera independiente por lo tanto se tiene: Ahorro o inversin #1 = F1

Ahorro o inversin #2 = F2



La inversin o ahorro de $1.000.000 que hace en el perodo #1 dura exactamente en el banco 12 meses, por lo tanto n = 12. F1 = P1 (1 + in) F1 = 1.000.000 (1 + 0,01(12)) = $1.120.000

meses

1.700.000 1.500.000

1.000.000 1.000.000

F = ?




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La inversin o ahorro de $1.000.000 que hace en el perodo #3 dura exactamente en el banco 9 meses (12 meses-3meses), por tanto n = 9. F2 = P2 (1 + in) F2 = 1.000.000 (1 + 0,01(9)) = $1.090.000 La inversin o ahorro de $1.500.000 que hace Natalia en el perodo #6 dura exactamente en el banco 6 meses (12 6 meses), por lo tanto n = 6. F3 = P3 (1 + in) F3 = 1.500.000 (1 + 0,01(6)) = $1.590.000 La inversin o ahorro de $1.700.000 que hace en el perodo # 10 dura exactamente en el banco 2 meses (12 meses 10 meses), por lo tanto n = 2. F4 = P4 (1 + in) F4 = 1.700.000 (1 + 0,01(2)) = $1.734.000 Por lo tanto, el dinero que tendra acumulado Natalia Pars dentro de un ao ser: F = F1 + F2 + F3 + F4 F = $5.534.000 Como conclusin final, podemos dejar despejadas cada una de las variables que intervienen en la ecuacin original de INTERES SIMPLE, quedando de la siguiente manera:




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VALOR FUTURO

VALOR PRESENTE

TASA DE INTERES

NUMERO DE PERIODOS




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LECCIN TRES INTERS COMPUESTO

En el caso de inters simple se consider que las ganancias eran iguales para todos los perodos, puesto que la inversin permaneca constante. Cuando se trata de inters compuesto, las utilidades no son iguales para todos los perodos puesto que la inversin vara de un perodo a otro, en razn de que las utilidades obtenidas en un perodo se reinvierten en el siguiente. Tomando nuevamente el ejemplo con el que se inici el captulo, donde la inversionista Linda Plata tena $10,000,000 disponibles; si doa Linda invierte estos dineros a una tasa del 3% mensual y reinvierte sus utilidades, se tendra el siguiente resultado:

MES

DINERO

INVERTIDO

GANANCIA

DINERO

ACUMULADO

1

2

3 . .

n

$10.000.000

$10.300.000

$10.609.000

10.000.000 * 0,03 = 300.000

10.300.000 * 0,03 = 309.000

10.609.000 * 0,03 = 318.270

10.00.000+300.000

=10.300.000

10.300.000+309.000 = 10.609.000

10.609.000+318.270

=10.927.270

Lo anterior lo podemos generalizar de la siguiente forma: P = Inversin % i = Tasa de Inters Utilidad = Inversin X i = Pi F = Valor futuro




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MES

DINERO INVERTIDO

GANANCIA

DINERO ACUMULADO

1

P

P (i)

P + Pi = P(1 +i)

2

P(1+i)

P(1+i) (i)

P (1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2

3

P(1+i)2

P(1+i)2(i) P(1+i)2+P(1+i) = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3

4

.

.

.

. . .

.

n

P(1+i)n

Generalizando, se concluye que cuando se reinvierten las utilidades (inters compuesto) el dinero acumulado a valor de futuro se puede definir como:

Si se aplica la anterior equivalencia al caso de doa Linda, se puede plantear el siguiente ejercicio: Cunto dinero acumular (valor futuro) doa Linda dentro de tres meses a una tasa de inters del 3% mensual, si invierte $10.000.000 inicialmente: F = P (1+i)n

F= $10.000.000 (1+0,03)3

F = $10.927.270 Valor que coincide con los $10.927.270 obtenidos en la primera tabla. En conclusin, la gran diferencia del inters compuesto radica en la reinversin de utilidades. Si se comparan los dineros acumulados en el tercer mes para el caso de doa Linda con una inversin de $10.000.000 al 3% mensual, se obtienen los siguientes resultados: Inters simple: dinero acumulado al tercer mes $10.900.000 Inters compuesto: dinero acumulado al tercer mes $10.927.270

F = P (1+i)n




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Ejemplo 1 Cunto dinero acumulara Juan Prez dentro de 5 aos, si invierte hoy $4.000.000 a una tasa de inters compuesto del 3% mensual? El primer paso para resolver el problema planteado es elaborar un diagrama de flujo de la siguiente manera: Considerar los ingresos de dinero con una flecha hacia arriba y los desembolsos con una flecha hacia abajo en una escala de tiempo que pueden ser aos, semestres, meses, das. La escala de tiempo debe estar expresada en el mismo perodo que est expresada la tasa de inters; en el ejemplo la tasa de inters est expresada en meses, por lo tanto los 5 aos se deben convertir a meses, o sea 60 meses.

F = P (1 + i )n

F = 4.000.000 (1 + 0, 03)60 = $ 23.566.412,42 Este mismo ejemplo con tasa de inters simple, obtuvo un valor futuro de $11.200.000 Ejemplo 2 Armando Rico recibi hoy $3. 450.000 del Banco de Bogot por una inversin que realiz hace tres semestres: si la tasa de inters es del 2% mensual compuesto, Cunto dinero invirti don Armando? Como se explic anteriormente el punto de partida es realizar el grfico o flujo de caja correspondiente; el problema quedara planteado as: En razn de que la tasa es mensual, se deben expresar los tres semestres en meses, para que los dos elementos tengan la misma base:

i = 3% mensual F

60 meses

P = 4,000,000




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Reemplazando en la ecuacin que relaciona estas variables se tiene: F = P ( i + i) n F = $ 3.450.000, porque en este valor se consolidan la inversin y las utilidades i= 2% mensual n= 3 semestres = 18 meses Entonces, $ 3.450.000 = P (1 + 0.02) 18 $ 3.450.000 = P (1,42824624758)

P = $2.415.549,84 Este es el valor que invirti don Armando hace 18 meses. Ejemplo 3 Patricia Fernndez recibi un prstamo de $3.000.000 que debe pagar en 18 meses; si al final del plazo debe cancelar $3.850.000 calcular la tasa de inters del prstamo.

P = 3.000.000

0

P

i = 2% mensual F = 3.450.000

18 meses = 3 semestres

0

18 meses




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Ntese que se dibujaron los $3.000.000 con una flecha hacia arriba, puesto que se est tomando como referente a Patricia Fernndez; al recibir el dinero del prstamo tiene un ingreso y cuando ella cancela el crdito tiene un desembolso, por lo cual se dibuja con una flecha hacia abajo. Si se toma como referente al prestamista el grfico sera el siguiente:

Reemplazando los datos de la ecuacin se tiene

Hacemos la divisin y podemos sacar raz 18 a ambos lados

En trminos porcentuales, i = 1,3955% mensual Ejemplo 4 Armando Mendoza recibi un prstamo de $7.000.000 de Beatriz Pinzn Solano, si cancel $10.500.000 y la tasa de inters fue del 2% mensual compuesto, calcular, cul fue el plazo del prstamo?

F = 3.850.000

18 meses P = 3.000.000

0




27



Grfico para Armando Mendoza Grfico para Beatriz Pinzn Solano

Reemplazando en la ecuacin se tiene: F = P (1 + i ) n

2% = 0,02 10.500.000 = 7.000.000 (1 + 0.02) n

Aplicando logaritmos en base 10 a ambos lados de la ecuacin se tiene:

Por propiedades de logaritmos , la n pasa a multiplicar

0,17609125 = n . (0,0086001717)

P = $ 7.000.000

i = 2% mensual

F = $10.500.000

0

P = $ 7.000.000

i = 2 % mensual

F = $10.500.000

0




28



n = 20,47 meses Ntese que la respuesta se expres en meses porque la tasa de inters est dada en meses.

Ejemplo 5 Sofa Vergara recibi un prstamo del Banco Santander que debe pagar de la siguiente forma: $ 3.000.000 dentro de 6 meses, $ 4.000.000 dentro de un ao y $ 5.000.000 en ao y medio. Si la tasa de inters es del 10% semestral compuesto, determinar, cunto dinero le prest el Banco Santander a Sofa? Recordando que los perodos del plazo deben estar en el mismo perodo que la tasa de inters, se tiene: 6 meses = un semestre un ao = dos semestres : ao y medio = tres semestres Grfico para el Banco Santander

0 1 3 2

P

3.000.000

5.000.000

i = 10% semestral

semestres




29



Grfico para Sofa Vergara

Del problema, se tiene una concepcin diferente a la tratada en los ejemplos anteriores en los cuales se tena un solo ingreso y un solo pago o viceversa. Este ejemplo plantea tres desembolsos en el futuro para el caso de Sofa. La solucin de este tipo de problema se basa en el mismo concepto, simplemente se analiza cada ingreso o desembolso en el futuro de manera independiente. Cada pago que hace Sofa se considera dentro del total de la cuota una parte correspondiente a intereses y otra un abono al prstamo. Para el Banco Santander, los intereses seran las utilidades y el abono al prstamo una devolucin de una parte de la inversin. Este concepto es congruente con la definicin de valor futuro, como el consolidado de la inversin ms las utilidades explicado al principio de este captulo: en este caso las utilidades y la inversin se devolvern al Banco en tres pagos y no en uno.

Analizando cada pago independientemente se tiene:

Pago 1 = P1 = = $2.727.272,73

Pago 2 = P2 = = $3.305.705,12

Pago 3 = P3 = = $3.756.574

0 1 3 2

4.000.000 3.000.000

i = 10% semestral

semestres

P 5.000.000




30



Por lo tanto, el valor del prstamo sera:

P = P1 +P2 +P3

P = $ 9.789.631,86

Ejemplo 6

Natalia Pars desea realizar un viaje por el continente europeo dentro de un ao y se

propone el siguiente plan de ahorros para realizar su sueo: hoy, ahorra $1.000.000;

dentro de tres meses, ahorrar $ 1.000.000; dentro de un semestre, ahorrar $ 1.500.000 y

dentro de 10 meses, ahorrar $ 1.700.000.

Cunto dinero tendr exactamente dentro de un ao, si la tasa de inters que le paga el

Banco es del 1% mensual compuesto?

Grfico para Natalia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Retomando el ejemplo anterior, cada ahorro o inversin se trata de manera independiente, por lo tanto se tiene:

Ahorro o inversin # 1 = F1




1.500.000 1.000.000

meses

1.700.000

F =?

1.000.000




31



La inversin o ahorro de $1.000.000 que se hace en el perodo # 1 dura exactamente en el

banco 12 meses, por lo tanto n = 12

F1 = P1 (1+ i)n

F1 = 1.000.000 (1+0,01)12 = $1.126.825,03

La inversin o ahorro de $1.000.000 que hace en el perodo 3 dura exactamente en

el banco 9 meses (12 meses - 3 meses) por lo tanto n = 9

F2 = P2 (1+ i)n

F2 = 1.000.000(1+ 0,01)9 = $1.093.685,27

La inversin o ahorro de $ 1.500.000 que hace Natalia en el perodo 6 dura exactamente en

el banco 6 meses (12 meses - 6 meses) por lo tanto n = 6

F3 = P3 (1+ i)n

F3 = 1.500.000 (1 + 0,01)6 =$1.592.280,22

La inversin o ahorro de $1.700.000 que hace Natalia en el perodo 10 dura exactamente

en el banco 2 meses (12 meses - 10 meses) por lo tanto n = 2

F4 =P3 (1+ i)n

F4 = 1.700.000 (1 + 0,01)2 =$1.734.170

Por lo tanto, el dinero que tendr acumulado Natalia Pars dentro de un ao ser:

F = F1 + F2 + F3 + F4

F = $5.546.960,53




32



Como conclusin final, podemos dejar despejadas cada una de las variables que intervienen en la ecuacin original de INTERES COMPUESTO, quedando de la siguiente manera:

VALOR FUTURO

VALOR PRESENTE

TASA DE INTERES

NUMERO DE PERIODOS




33



LECCIN CUATRO TASAS DE INTERS

El concepto de tasa de inters, se aplica a la relacin entre el valor a pagar como inters y el capital recibido en prstamo por el cual se debe pagar ese inters en un tiempo determinado. Se expresa en trminos de porcentaje y su nomenclatura es: i%.

Tasa de Inters Nominal

Es la tasa de inters que generalmente se aplica a todas las operaciones financieras y

que aparece estipulada en los contratos. Cuando opera este tipo de tasa, se entiende

que las utilidades por intereses no se reinvirtieron en el periodo.

Tasa de Inters Efectiva

Los usuarios del sistema financiero se enfrentan a un problema en el diario vivir en las

transacciones personales o de empresa, pues usualmente en todas las operaciones que se

realizan se habla de tasa efectiva como referencia o criterio para tomar decisiones.

La mayora de ejecutivos en finanzas o ejecutivos comerciales de empresas del

sistema financiero, productivo o de servicios opinan que la tasa efectiva es equivalente

a la tasa real, es decir, segn ellos el inters que realmente se cobra al cliente. Ser

esto cierto?

Con el ejemplo siguiente se deducir el concepto de tasa de inters efectiva; supngase;

que doa Linda Plata de Rico tiene disponibles $100 millones, los cuales no necesita sino

hasta dentro de un ao, y desea invertirlos. Con este objetivo, se dirige al Banco de

Bogot y le plantea la situacin al seor Armando Bueno, gerente de la sucursal de Suba

y antiguo compaero de la universidad. l le ofrece que le pagar por los $100 millones

una tasa del 40% anual y que los intereses se liquidarn trimestre vencido, doa

Linda, administradora de empresas de gran prestigio profesional en la capital

colombiana, hace el siguiente clculo:




34



Plazo:

Un ao Tasa de inters:

40% anual

Liquidacin de inters:

Trimestre vencido Inversin:

$100 millones Nmero de liquidaciones por ao:

4 Tasa trimestral o del perodo:

40% / 4 = 10%

TRIMESTRE SALDO INICIAL INTERESES i = 10%

SALDO FINAL

1 100,00 $10,00 $ 110,00

2 110 $11,00 $ 121,00

3 121 $12,10 $ 133,10

4 133,10 $13,31 $ 146,41

TOTAL $46,41

La inversionista recuerda que: tasa de inters se define como utilidad sobre la inversin; en

este caso las utilidades seran la suma de la columna inters que es de 46,41 en el ao,

si la inversin fue de $100 millones quiere decir que se obtuvo un inters (%) o

rentabilidad de en un ao

Si el 40% de inters se hubiera liquidado solo al final del ao, doa Linda habra obtenido $40 de intereses, es decir, que lo que establece la diferencia es el nmero de liquidaciones de intereses que hay en el plazo fijado (para este caso son 4 las liquidaciones en el ao). Para deducir el concepto de tasa nominal y efectiva se toman varios casos, los cuales se derivan de considerar como punto de partida los $100 millones y el plazo de un ao pero con diferentes formas de liquidar los intereses por ejemplo, bimestralmente, semestralmente, etc.




35



TASA

FORMA DE LIQUIDACIONES

40%

Semestre vencido

40%

Trimestre vencido

40%

Bimestre vencido

40%

Mes vencido

40%

Da vencido

Para el primer caso 40% anual semestre vencido, lo primero que se tiene que definir es la tasa del perodo. En este caso es semestral, o sea que la tasa peridica (semestral) sera igual a 40% dividido entre los dos semestres del ao, lo que equivale a un 20% semestral; si se considera el plazo de un ao se puede hacer el clculo que se realiz para el 40% anual trimestre vencido, es decir:

Plazo:

Un ao Tasa de inters:

40% anual

Liquidacin de inters:

Semestre vencido Inversin:

$100 millones

Nmero de liquidaciones poao:

2 Tasa trimestral o del perodo:

SEMESTRE

SALDO INICIAL

INTERESES

SALDO FINAL

1

100

20

120

2

120

24

144

Total

44

Intereses primer trimestre = Saldo inicial x Tasa de inters Intereses primer trimestre = $100 x 20% = $20




36



Saldo final primer trimestre = Saldo inicial + Intereses Saldo final primer trimestre = 100 + 20 = 120 ; El saldo final del primer semestre pasa a ser el saldo inicial del segundo semestre. Intereses segundo semestre = 120 x 20% = $24 Saldo final del segundo semestre =120+ 24 = $144 Lo anterior quiere decir que los $ 100 millones invertidos, por el efecto de la reinversin de utilidades generaron $44 millones de intereses, lo que significa una rentabilidad del 44% es decir $44 millones de utilidad dividido entre los $100 millones de inversin. En relacin con lo anterior, se puede concluir que la tasa efectiva se obtiene por los efectos de la reinversin de las utilidades o intereses; cuando esto no se da, se obtiene lo que se llama tasa de inters nominal. Se puede deducir que existe un paralelo entre el inters simple y la tasa nominal y el inters compuesto y la tasa efectiva. En las dos primeras, no se tiene en cuenta la reinversin mientras que en las dos ltimas s. Con base en los ejemplos se obtiene una frmula para calcular la tasa efectiva, la cual se expresa de la siguiente forma:

ie = Tasa de inters efectiva ip = Tasa peridica n = Nmero de liquidaciones de intereses en el plazo fijado

Si se toman los ejemplos analizados anteriormente, se obtiene lo siguiente: 1) Si se tiene una tasa del 40% anual trimestre vencido, cul es la tasa efectiva anual?

Tasa peridica = ip

= 0,4641 o 46,41% efectivo anual

Tasa anual

ip = = 0,10 = 10 % trimestral # de perodos en el ao




37



Si se considera el mismo ejemplo, es decir 40% anual trimestre vencido, pero en lugar de calcular la tasa efectiva anual se calcula la tasa efectiva semestral

n = Nmero de liquidaciones en el perodo = 2 en un semestre ie = (1 + 0.10)

2 - 1 = 0,21 = 21% efectiva semestral

2) Si se tiene una tasa anual del 40% semestre vencido, calcular la tasa efectiva anual

n = nmero de liquidaciones = 2

ie= (1 + 0,20)2 - 1 = 0,44 44% efectiva anual

Con base en la siguiente informacin calcular la tasa efectiva anual:

TASA ANUAL

FORMA DE LIQUIDACIN DE INTERESES

NMERO DE LIQUIDACIONES

POR AO

i PERIDICA

40%

Semestre vencido

2

20% semestral

40%

Trimestre vencido

4

10% trimestral

40%

Bimestre vencido

6

6,67% bimestral

40%

Mes vencido

12

3,33% mensual

40%

Da vencido

360

0,11% diario

Las dos primeras tasas fueron calculadas anteriormente, a continuacin se obtienen las restantes: 40% anual bimestre vencido

Nmero de liquidaciones en un ao: 6

ie anual = (1+0,0667)6 - 1 = 0,4732




38



40% anual mes vencido


ie anual = (1+ 0,0333)12 - 1 = 0,4816 40% anual da vencido


ie anual = (1+ 0,001111)360 - 1 = 0,4914 De acuerdo con los clculos se obtuvieron las siguientes cifras: TASA ANUAL

FORMA DE LIQUIDACIN DE INTERESES

NUMERO DE LIQUIDACIONES

POR AO

TASA

EFECTIVA 40%

Semestre vencido

2

44,00%

40%

Trimestre vencido

4

46,41%

40%

Bimestre vencido

6

47,32%

40%

Mes vencido

12

48,16%

40%

Da vencido

360

49,14%

Como se observa en la tabla anterior, a medida que se aumenta el nmero de

liquidaciones se incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo tomando otros dos

casos, supngase que el gerente seor Armando Bueno le ofrece a doa Linda que le

liquidar intereses 2 veces al da o sea cada 12 horas o tres veces al da o sea cada

8 horas; veamos qu tasa efectiva anual se obtiene:




39



40% anual liquidando intereses cada 12 horas

ip = 0,40 / 720 = 0,0005555 n = 360 x 2 = 720 perodos

ie anual = (1 + 0,0005555)720 - 1 = 0,491659

Ahora analizando el caso del 40% anual liquidando intereses cada 8 horas

ip = 0,40 / 1080 = 0,00037037

n = 360 x 3 = 1.080 periodos

ie anual = (1 + 0,00037037)1080 - 1 = 0,491714

Como se observa, a medida que se aumenta el nmero de liquidaciones se

incrementa la tasa efectiva anual; sin embargo, este valor tiende a estabilizarse,

es decir, su comportamiento es exponencial como se observa en el grfico

siguiente.

0 2 4 6 8 10 12 14

NUMERO DE CAPITALIZACIONES

Grfica 1. Comportamiento tasa efectiva anual para diferentes capitalizaciones de tasas vencidas

T A S A S E F E C T I V A S

60.000%

50.000%

40.000%

30.000%

20.000%

10.000%

0.000%




40



Con lo anterior se explica lo que en matemticas se conoce con el nombre de inters

continuo, que se expresa as:

Que para el caso del 40% anual se obtiene:

Cifra que coincide cuando se liquidan 720 y 1080 veces en el ao. Si se siguen aumentando el nmero de liquidaciones, no se va a obtener una cifra mayor. La frmula anterior se conoce con el nombre de inters continuo o capitalizacin continua. Con base en los clculos realizados anteriormente, se concluye que la tasa de inters efectiva est ntimamente ligada con el inters compuesto, es decir, considera la reinversin de utilidades.

ie = ei - 1

i e = e0,40 -1 = 2 ,7182810,40 - 1

i e = 0,49182

La letra e es la sigla del nmero de Euler o constante de Napier, tan importante como

y es equivalente a 2,718281. (No confundir con la e de efectiva en ie )




41



LECCIN CINCO CONVERSIN DE TASAS El concepto de tasa efectiva permite convertir las tasas de un perodo a otro fcilmente; este concepto es de gran utilidad en Matemticas Financieras, por cuanto permite solucionar situaciones recurrentes, donde los perodos de los flujos de caja (ingresos y desembolsos) no coinciden con los perodos de las tasas de inters. Ejemplo 1 Con una tasa del 40% anual trimestre vencido, calcular la tasa semestral equivalente? Este ejercicio se puede resolver de varias formas: Primera forma

i= 40% anual trimestre vencido

i peridica = i anual / # perodos en el ao

i peridica = i trimestral = 0,40 / 4 =0,10 Con base en la tasa peridica se puede calcular la tasa efectiva anual

ie = tasa de inters efectiva anual Donde n es el nmero de liquidaciones en el ao. La tasa de inters est especificada inicialmente como i = 40% anual trimestre vencido, lo que quiere decir que los intereses se van a liquidar cada trimestre, o sea que al ao se liquidan 4 veces, una al final de cada trimestre, por lo tanto:

ie= (1+0,10)4-1 = 0,4641 Con base en el anterior resultado se puede calcular la tasa semestral partiendo de calcular la efectiva anual.

ie = ( 1 + ip )n - 1 0,4641 = ( 1 + isemestral ) 2 -- 1 n = 2, porque los intereses se liquidan 2 veces (1 ao = 2 semestres)




42



1,4641 = ( 1+ isemestral ) 2

1,21 = 1 + i semestral 1,21 -1 = i semestral 0,21 = 2 1 %

Segunda forma i = 40% anual trimestre vencido

i peridica = i trimestral = = 0,10

Obsrvese que el perodo toma como referencia el que est estipulado en la liquidacin de

intereses, para nuestro ejemplo es trimestre vencido. La forma de liquidacin siempre

aparece adyacente a la tasa de inters anual.

Con base en la tasa trimestral se puede calcular la semestral, utilizando la ecuacin de

tasa efectiva.

ie = (1+ip) n -1 i semestral = (1 + i trimestral ) 2 - 1 i semestral = (1 + 0,10 )2 - 1 = 0,21 Es el mismo resultado que se obtuvo en la primera forma. Ejemplo 2 Con una tasa del 30% anual bimestre vencido, calcular:

a. La tasa semestral equivalente. b. La tasa mensual equivalente.




43



a. Tasa Semestral

Primera forma

i = 30% anual bimestre vencido Bimestre = cada 2 meses

i peridica = i bimestral = = 0,05, dividido entre 6 porque hay 6 bimestres en un ao.

ie = (1+ ip ) n -1

ie = (1 + 0,05)6- 1 = 0,3400 Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la semestral

ie = (1+ ip) n -1

0,34 = (1+ i semestral )2-1

1,34 = (1+ i semestral)2

1,157625 =1+ i semestral 1,157625 -1 = i semestral 0,157625 = i semestral 15,7625% = i semestral




44



Segunda forma i = 30% anual bimestre vencido Bimestre = cada 2 meses

i peridica = i bimestral = = 0,05

ie = (1+ i peridica) n -1 i semestral =(1 + 0,05 )3- 1 = 0,157625 15,7625% n = 3, porque en un semestre hay 3 bimestres. b. Tasa mensual

Primera forma


ie = (1+ 0,05)6 - 1 = 0,3400 Con base en la tasa efectiva anual se puede calcular la tasa mensual

ie = 0,34 i = ( 1 + i peridica)n - 1 0,34 = (1 + i mes )12 - 1 n = 12 meses, porque un ao tiene 12 meses, y al ser la tasa mensual se liquidarn 12 veces en el ao. 1,34 = (1 + i mes )12

1,02469 = 1 +i mes 1,02469 1 = i mes 0,02469 = i mes 2,469% = i mes

La tasa mayor se asume como la tasa

efectiva, en este caso la semestral.




45



Segunda forma i = 30% anual bimestre vencido


Utilizando la frmula de tasa efectiva se tiene:

i e = (1 + i peridica) n - 1 0,05 = ( 1 + i mes )

2 1 1,05 = (1+ i mes)

2

1,02469 = 1 + i mes 1,02469 - 1 = i mes 0,02469 = i mes i mes = 2,469% Obsrvese que se consider la tasa del 5% bimestral como efectiva; la razn es muy sencilla, los meses estn contenidos dentro del bimestre. Lo mismo sucedera si se tuviera una tasa del 3% mensual y se preguntara la tasa quincenal; como la quincena est contenida dentro del mes, el 3% se tomara como efectiva. Ejemplo 3 Justo Pastor Malo recibi un prstamo del Banco Popular de $7.000.000 que debe pagar en una sola cuota dentro de 2 aos. Si la tasa de inters es del 24% anual semestre vencido, calcular el valor de la cuota que debe pagar Justo Pastor al Banco Popular?

P = 7.000.000

i = 24 % anual semestre vencido

2 aos

0 F = ?

La tasa mayor se asume como la tasa

efectiva, en este caso la bimestral.






Obsrvese que la tasa est estipulada en diferente perodo que el plazo, la primera en semestres y la segunda en aos; por lo anterior se debe efectuar la conversin: correspondiente. Primera forma Se debe hallar la tasa de inters efectiva anual para que coincida con el perodo del plazo que est dado en aos, por lo tanto: iea = (1+ i peridico) n -1

i peridica = i semestral = = 0,12

iea = (1+ 0,12)2 -1= 0,2544 F =P(1+ i ) n

F = 7.000.000 (1+ 0,2544)2

F = $11.014.635,52 Segunda forma i = 24% anual semestre vencido

i peridica = i semestral = = 0,12

Plazo = 2 aos = 4 semestres, por lo tanto el grfico puede expresarse de la siguiente manera: i = 12% semestral F =P(1+ i ) n

F = 7.000.000(1+ 0,12)4 = $ 11.014.635,52

0

1 2 3 4

P = 7.000.000

semestres

F = ?






Tasas anticipadas Para analizar este concepto se considera el siguiente caso hipottico; supngase que doa Linda Reina desea invertir $100 millones y se dirige al Banco Santander. Su gerente, el doctor Pastor Bueno le ofrece una tasa del 40% anual ao anticipado. Veamos cmo sera el comportamiento con un grfico, doa Linda no necesita el dinero sino hasta dentro de un ao. En el grfico puede observarse que el inversionista invierte $100 millones y en el mismo momento recibe los intereses correspondientes o sea $40 millones, es decir, que solo invirti $60 millones, lo cual puede resumirse en el siguiente grfico:

$100 millones 1 ao

$60 millones (Inversin)

En el grfico anterior se tiene un valor presente que son los $60 millones y un valor futuro dentro de un ao por un valor de $100 millones. Si se aplica la primera equivalencia (ver captulo 1) se puede hallar el inters:

F= P (1 + i)

n

F = $100.000.000,oo P = $60.000.000,oo n = 1 ao $100.000.000 = $60.000.000 ( 1 + i ) 1

= ( 1+ i )

1,6667 = 1+ i i = 1 , 6667 - 1 = 0,6667 = 66,67% anual

$ 40 millones hoy

Inters anticipado

$ 100 millones

inversin

$ 100 millones de devolucin

de la inversin en Un ao






Lo anterior quiere decir que para doa Linda Reina es equivalente el 40% anual ao anticipado el 66,67% anual ao vencido. Si se hace el anlisis utilizando la definicin dada en el primer captulo, en el cual se dice que inters es igual a utilidad sobre inversin se obtiene lo siguiente

i = = = = 0,6667 66,67%

Si se expresa en trminos porcentuales se tiene:

i = = = 0,6667 66,67% anual

De lo anterior podemos generalizar la siguiente frmula: donde: iv = i vencido ia = inters anticipado

i vencido =

Con base en la conversin anterior, se pueden calcular las tasas efectivas cuando son anticipadas. Consideremos las siguientes posibilidades como una tasa nica de 40% anual pero con diferentes modalidades de liquidacin de intereses y calculemos las tasas efectivas anuales correspondientes.

TASA ANUAL

LIQUIDACIN DE INTERESES

40%

Semestre anticipado

40%

Trimestre anticipado

40%

Bimestre anticipado

40%

Mes anticipado

40%

Da anticipado 40%

Cada 12 horas anticipado

ia i vencido = -----------------

(1- ia)






(1) 40% anual semestre anticipado

i peridica = i semestral anticipada = = 20% semestre anticipado

i semestre vencida = = = 0,25

i efectiva anual = (1 + 0,25)2 -1 = 0,5625 (2) 40% anual trimestre anticipado

i peridica = i trimestral anticipada = = 10% trimestre anticipado

i trimestre vencido = = 0,111111

i efectiva anual = (1+0,11111)4 -1 =0,524157 (3) 40% anual bimestre anticipado

i bimestral anticipado = = 6,67%

i bimestral vencida = = 0,07143

i efectiva anual = (1 + 0,07143)6 - 1 = 0,51282484 (4) 40% anual mes anticipado

i mes anticipado = = 0,03333

i vencida = = 0,03447919

i efectiva anual = (1 + 0,03447919)12 - 1 = 0,50196949 (5) 40% anual da anticipado

i da anticipado = = 0,001111

i vencida = = 0,00111235

i efectivo anual = (1 + 0,00111235)360 - 1 = 0,4921565 (6) 40% anual cada 12 horas anticipado

i cada 12 horas anticipado = = 0,00055556

i vencida = = 0,00055586

i efectiva anual = (1+ 0,00055586)

720 - 1 = 0,49199053






Los clculos anteriores se pueden resumir en la siguiente grfica:

Grfica 2. Liquidacin de intereses anticipados Con base en los clculos realizados anteriormente, sobre las tasas efectivas considerando diferentes sistemas de liquidacin de intereses y las tasas efectivas vencidas y anticipadas, se puede obtener el siguiente resumen

TASAS VENCIDAS

TASAS ANTICIPADAS

Tasa nominal

# de liquidaciones

por ao

T.E.A.

Tasa nominal

#de liquidaciones

por ao

T.E.A.

40% anual A. V.

1

40,00%

40% anual A. A.

1

66,67%

40% anual S.V.

2

44,00%

40% anual S.A.

2

56,25%

40% anual T.V.

4

46,41%

40% anual T.A.

4

52,42%

40% anual B.V.

6

47,32%

40% anual B.A.

6

51,28%

40% anual M.V.

12

48,16%

40% anual M.A.

12

50,20%

40% anual D.V.

360

49,14%

40% anual D.A.

360

49,22%

Con base en la tabla anterior se puede concluir lo siguiente: en las tasas vencidas a medida que aumenta el nmero de liquidaciones aumenta la tasa efectiva anual

logrando como tasa mxima la capitalizacin continua ( ie= ei - 1). El comportamiento






de las tasas anticipadas es inverso; a medida que aumenta el nmero de liquidaciones disminuye la tasa efectiva anual, es decir, se logra la tasa efectiva mxima en el caso de las anticipadas cuando es una sola liquidacin. En el grfico siguiente se ve el comportamiento de las dos modalidades, vencida y anticipada.

Grfica 3. Tasas efectivas correspondientes a tasas nominales vencidas y anticipadas

Tasas efectivas con tasa de inters anticipadas Este tipo de conversin es similar al descrito en los temas anteriores, simplemente incluye un paso adicional que consiste en convertir las tasas peridicas anticipadas en peridicas vencidas; en otras palabras, es hallar la tasa equivalente vencida a la anticipada.






Ejemplo Con una tasa del 20% anual trimestre anticipado, hallar la tasa mensual. Primera forma i = 20% anual trimestre anticipado

iperidica = itrimestral anticipada = =0,05

i vencido =

i trimestre vencido =

i trimestre vencido = =

i trimestre vencido = 0,052631578 iea = (1 + i peridica)

n- 1 iea = (1 + 0,052631578)

4 - 1 iea = 0,2277 o 22,77% Con base en la tasa efectiva anual se calcula la tasa mensual i ea = (1 + i peridica) n - 1 0,2277 = ( 1+ imes)

12 - 1 1,2277 = ( 1 + imes)

12

1,017244 = 1+ imes 1,017244 1 = imes

0,017244 = imes

imes = 1,7244%






Segunda forma i = 20% anual trimestre anticipado

iperidica = i trimestral anticipada = 0,20 / 4 = 0,05

i vencido = i anticipado / (1- i anticipado) i trimestre vencido = i trimestre anticipado / (1- i trimestre anticipado) i trimestre vencido = 0,05 / (1 0,05) = 0,05 / 0,95 i trimestre vencido = 0,052631578 Con base en la tasa trimestral vencida se puede calcular la tasa mensual y en razn a que el mes est contenido dentro del trimestre, la tasa trimestral se puede considerar como efectiva. i trimestre vencido = 0,052631578 i ea = (1 + i peridica) n- 1 0,052631578 = (1+ imes) 3- 1 1,052631578= (1+ imes) 3

1,017244 = 1+ i mes

0,017244 = i mes i mes= 1,7244%






EJERCICIOS PARA PROFUNDIZACIN DE LAS TEMTICAS 1. Sandra Muoz cancel hoy $7.560.000 al Banco de Bogot por un prstamo que le fue otorgado hace un ao. Calcular el dinero prestado a Sandra si:

a. La tasa de inters es del 3% mensual simple b. La tasa de inters es del 3% mensual compuesto c. La tasa de inters es del 4% mensual simple

2. Lady Noriega recibi un prstamo del Banco Santander de $10.000.000; si cancel $13.500.000 en un solo pago, calcular el plazo del prstamo si:

a. La tasa de inters es del 2% mensual simple. b. La tasa de inters es del 2% mensual compuesto. c. La tasa de inters es del 2,5% mensual simple.

3. Pastor Bueno desea tener $20.000.000 dentro de 2 aos para la cuota inicial de un vehculo Audi, para lo cual se ha propuesto el siguiente plan de ahorros: Hoy, ahorra $1.000.000 Dentro de 2 bimestres, $ 3.000.000 Dentro de 8 meses, $ 5.000000 Dentro de 1 ao, $ 2.000.000 Dentro de ao y medio, $7.000.000 El Banco de Bogot le ha propuesto 3 planes: Plan A: i = 1% mensual simple Plan B: i = 2% mensual compuesto Plan C: i = 2,5% bimestral simple Nota: No olvidar que el plazo y la tasa de inters deben estar expresados en el mismo perodo

a. Determinar el dinero acumulado dentro de 2 aos de cada uno de los planes.

b. Cul es el mejor plan?

4. En los ejemplos 1 a 6 de inters simple y 1 a 6 de inters compuesto que se desarrollaron anteriormente en el mdulo, comparar el ejemplo 1 de inters simple con el ejemplo 1 de inters compuesto y as sucesivamente hasta el 6. Sacar las conclusiones respectivas para cada una de las 6 comparaciones y presentar un informe.






5. Con base en una tasa del 30% anual mes vencido calcular:

a. Tasa trimestral b. Tasa semestral

6. Con base en una tasa del 30% anual mes anticipado, calcular:

a. Tasa trimestral; b. Tasa semestral c. Tasa efectiva anual; d. Tasa trimestral anticipada

7. Calcular las tasas efectivas anuales de las siguientes tasas nominales, compararlas y graficarla en una hoja Excel. Obtener conclusiones:

a. 25% anual semestre vencido b. 25% anual trimestre vencido

c. 25% anual bimestre vencido d. 25% anual mes vencido

e. 25% anual da vencido f. 25% anual ao anticipado

g. 25% anual semestre anticipado h. 25% anual trimestre anticipado

i. 25% anual bimestre anticipado j. 25% anual mes anticipado

8. Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, calcular:

a. Tasa mensual

b. Tasa semestral

c. Tasa efectiva anual

d. Tasa trimestral 9. Cunto dinero tendr acumulado dentro de 5 aos Juan Prez si invierte hoy 5 millones en el Banco Santander, que le paga una tasa de inters del 20% anual semestre anticipado. 10. Linda Plata recibi un prstamo de su amigo Armando Rico hace 2 aos y medio. Si Linda pag hoy a Armando $12.133.450 y la tasa pactada fue del 28% anual mes vencido, calcular el valor el prstamo.






11. En el problema anterior Cul sera el valor del prstamo si la tasa de inters fuera del 32% anual bimestre anticipado? 12. Linda de Bonito planea adquirir un vehculo CITROEN dentro de 2 aos y se ha propuesto el siguiente plan de ahorros para este lapso de tiempo: Hoy, ahorra $1.500.000 Dentro de 2 bimestres, $4.000.000 Dentro de 2 trimestres, $6.000.000 Dentro de un ao, $3.000.000 Dentro de 18 meses, $5.000.000 Si la cuota inicial que se requiere para adquirir ese vehculo dentro de 2 aos es de $23.500.000 y la tasa de inters que le pagan por su dinero ahorrado es del 32% anual trimestre vencido, tendr doa Linda el dinero suficiente para la cuota inicial del vehculo?






CAPTULO DOS EQUIVALENCIAS CON CUOTAS FIJAS

Una de las formas ms utilizadas en nuestro sistema financiero es el pago de prs-tamos a travs de cuotas fijas, en el lenguaje de las Matemticas Financieras se les llama anualidades o rentas (no importa si la cuota fija es anual, semestral, trimestral o mensual, se seguir llamando anualidad). La relacin que existe entre las cuotas fijas y un valor presente o un valor futuro se conoce con el nombre de equivalencias.

LECCIN SEIS EQUIVALENCIAS ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS Cuotas fijas = A Valor futuro = F N = Nmero de perodos i% = Tasa de inters por perodo Para poder ver la relacin que existe entre una serie de cuotas fijas (iguales) y un : futuro F, considere que el seor Armando Casas tiene excedentes de liquidez cada perodo y quiere invertirlos para tener dentro de un lapso de tiempo n el suficiente dinero para adquirir una finca en la sabana de Bogot. Estos ahorros se harn al final de cada perodo a una tasa de inters del i %. Grficamente el comportamiento del problema sera el siguiente: 0 1 2 3 4 12 Con base en el grfico anterior, se puede considerar cada punto del tiempo en el cual se hace el ahorro como un valor presente en relacin con el perodo n en el cual se retirar el dinero para comprar la finca que en este caso sera el valor futuro. Por ejemplo, el ahorro que se hace en el perodo n-1 que tiene un valor de $A s se considera que estar invertido solo un perodo, su valor futuro correspondiente ser igual a A(1+i) (ver frmulas del captulo 1).

F

n-1

n

n-2






Si tomamos el ahorro de $A en el perodo n-2 su valor futuro ser A(1+i)2, para el perodo n-3 se obtendra A(1+i) 3, para el perodo n-4 se obtendra A(1+i) 4 y as sucesivamente hasta llegar al perodo 1; donde el valor futuro del ahorro A sera A(1+i)(n-1) y el ahorro que se hace en el perodo n, como coincide con el retiro del dinero no genera intereses, por lo cual su valor futuro sera A(1+i) 0 o sea A porque toda cantidad elevada a la cero es igual a uno. Si se suman todos los valores futuros de cada uno de los ahorros de cada perodo se obtiene: F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n-1) Ecuacin # 1 Si se multiplica esta ecuacin por (1+ i) y se le llama Ecuacin 2, se obtiene lo siguiente: F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + A(1+i)4 +......... + A(1+i)n Ecuacin # 2 Si restamos la ecuacin #1 de la ecuacin #2 se obtiene: Ec #2 F(1+i) = A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ......... + A(1+i) (n-1) + A(1+i)n

- Ec #1 F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + A(1+i)3 + ...... + A(1+i) (n-1)

F(1+i) - F = A(1+ i) n - A , despejando se tiene F + Fi - F = A(1+ i) n - A F + Fi - F = A [(1+i)n -1] Fi = A[(1+i)n -1]

La anterior ecuacin es la equivalencia entre un valor futuro y una cuota fija vencida o anualidad.

Frmula 1






LECCIN SIETE EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR PRESENTE Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS VENCIDAS La equivalencia entre un valor presente y una cuota fija se deduce de la frmula nmero 1 simplemente reemplazando F por P(1+i)n, que es la frmula base de las Matemticas Financieras.

De las frmulas 1 y 2 se puede calcular el valor de la cuota fija de la siguiente forma:

Frmula 2

Frmula 3

Frmula 4






LECCIN OCHO EQUIVALENCIA ENTRE UN VALOR FUTURO Y UNA SERIE DE CUOTAS FIJAS ANTICIPADAS Utilizando el procedimiento anterior, se pueden calcular las equivalencias entre cuotas fijas anticipadas y los valores presente y futuro; utilicemos el grfico que tomamos como referencia para calcular las equival

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Matematicas Financieras 2011-2