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Carlos Mario Morales C © 2012
Curso Matemáticas Financieras
Unidad de aprendizaje 3
Carlos Mario Morales C © 2012MATEM
ÁTIC
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FIN
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RA
S Contenido
Gradientes Definición de gradiente Gradiente aritmético Amortización con cuota creciente Gradiente aritmético infinito Gradiente geométrico Gradiente geométrico infinito Gradientes escalonados
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S GradientesDefinición de gradiente Serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones: Los pagos cumplen con una ley de
formación Los pagos se efectúan a iguales intervalos
de tiempo Todos los pagos se calculan a la mista tasa
de interés El número de pagos es igual al número de
periodos
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S Gradientes
Ley de Formación Gradiente Lineal o Aritmético Gradiente Geométrico
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S Gradientes
Gradiente Lineal o AritméticoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.
0 1 2 3 n
A
…
A +K
A +2KCuotas Periódicas
Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+KPeriodo 3 ---- A+2K….Periodo n ---- A+(n-1)K
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S
Valor Presente Gradiente Aritmético
𝑉 𝑝=𝐴1[ 1− (1+𝑖 )−𝑛
𝑖 ]+ 𝐾𝑖 [ 1−(1+𝑖)−𝑛
𝑖−
𝑛(1+𝑖 )𝑛 ]
Gradientes
0 1 2 3 n
A
…
A +K
A +2K
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S GradientesEjemplo 1Hallar el valor presente de la siguiente serie, considerando una tasa del 5%.
0 1 2 3 5
800
4
1000
1200
1400
16001800
6 7 8
0 1 2 3 4 65
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S GradientesEjemplo 1
1. Se calcula el valor presente en 2Vp2 = (800/0,05)(1-(1+0,05)-6)+(200/0,05)((1-(1+0,05)-6)/0,05)-
(6(1+0,05)-6)
Vp2 = 6456,55 Vp2 = 6456,55 + 800 Vp2 = 7256,55
2. Se calcula valor presente en 0 Vp0 = 800(1+0,05)-1 + 7256,55(1+0,05)-2
Vp0 = 7.343,80
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S GradientesValor Futuro Gradiente Aritmético
0 1 2 3 n
A
…
A +K
A +2K
𝑉 𝑓=𝐴1[ (1+𝑖 )𝑛−1𝑖 ]+ 𝐾𝑖 [ (1+ 𝑖 )𝑛−1
𝑖−𝑛 ]
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S GradientesEjemplo 2Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un crecimiento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo
0 1 2 3 4
1. Se calcula la cuota base (A)
100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
A = 13.339,66
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $13.345Periodo 2 ---- $25.345Periodo 3 ---- $37.345Periodo 4 ---- $49.345
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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 2)
Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital
0 0 100.000
1 13.345 8.000
5.345 94.655
2 25.345 7.572
17.773 76.882
3 37.345 6.151 31.194 45.688
4 49.345 3.655 45.690 (2)
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S GradientesEjemplo 3Se pacta pagar un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa del 8% y un decremento lineal de $USD12.000. Calcular la cuota para cada periodo
0 1 2 3 4
1. Se calcula la cuota base (A)
100.000 = (A/0,08)(1-(1+0,08)-4) +(-12000/0,08)((1-(1+0,08)-4)/0,08)-(4(1+0,08)-4)
A = 47.040,00
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $47.040Periodo 2 ---- $35.040Periodo 3 ---- $23.040Periodo 4 ---- $11.040
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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 3)
Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital
0 100.000
1 47.040
8.000 39.040
60.960
2 35.040
4.877 30.163
30.797
3 23.040
2.464 20.576
10.221
4 11.040
818 10.222
(2)
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S Gradientes
Gradiente Aritmético InfinitoSe produce un incremento lineal en pago de cada periodo.
0 1 2 3 n
A
…
A +K
A +2KCuotas Periódicas
Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A+KPeriodo 3 ---- A+2K….Periodo n ---- A+(n-1)K
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S
Valor Presente Gradiente Aritmético Infinito (Valor Presente)
𝑉 𝑝=𝐴1𝑖
+ 𝐾𝑖2
Gradientes
0 1 2 3 n
A
…
A +K
A +2K
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S GradientesGradiente Geométrico Las cuotas crecen exponencialmente, con base en una tasa de crecimiento.
0 1 2 3 n
A
…
A(1+G)1
Cuotas Periódicas
Periodo 1 ---- APeriodo 2 ---- A(1+G)1
Periodo 3 ---- A(1+G)2
Periodo 4 ---- A(1+G)3
….Periodo n ---- A(1+G)n
A(1+G)2
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S GradientesValor Presente Gradiente Geométrico Se puede demostrar que el valor presente de una serie geométrica, se puede expresar como:
0 1 2 3 n
A
…
A(1+G)1
G = Tasa de crecimiento
A(1+G)2
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S GradientesValor Futuro Gradiente Geométrico Se puede demostrar que el valor futuro de una serie geométrica, se puede expresar como:
0 1 2 3 n
A
…
A(1+G)1
G = Tasa de crecimiento
A(1+G)2
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S GradientesEjemplo 4Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de la cuota del 10%
0 1 2 3 4
1. Se calcula la cuota base (A)
100.000=(A(1+0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (0,1-0,08)
A = 26.261
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- 26.261Periodo 2 ---- 26.261(1+0,1) =
$28.888Periodo 3 ---- 26.261(1+0,1)2=
$31.776Periodo 4 ---- 26.261(1+1,1)3=
$34.954
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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 4)
Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital
0 0 100.000
1 26.261
8.000 18.261
81.739
2 28.888
6.539 22.349
59.390
3 31.776
4.751 27.025
32.365
4 34.954
2.589 32.365
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S GradientesEjemplo 5Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un crecimiento geométrico de la cuota del 8%
0 1 2 3 4
1. Se calcula la cuota base (A), considerando que G = i
100.000=(Ax4)/ (1+0,08)
A = 27.000
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $27.000Periodo 2 ---- 27.000(1+0,08) = $29.160Periodo 3 ---- 27.000(1+0,08)2= $31.493Periodo 4 ---- 27.000(1+0,08)3= $34.012
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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 5)
Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital
0 0 100.000
1 27.000
8.000 19.000
81.000
2 29.160
6.480 22.680
58.320
3 31.493
4.666 26.827
31.493
4 34.012
2.519 31.493
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S GradientesEjemplo 6Elaborar la tabla de amortización de un crédito de USD$100.000 en 4 pagos, suponiendo una tasa efectiva del 8% y un decrecimiento geométrico de la cuota del 10%
0 1 2 3 4
1. Se calcula la cuota base (A), considerando que G ≠ i
100.000=(A(1-0,1)4(1+0,08)-4-1)/ (-0,1-0,08)
A = 34.766
2. Se calculan las cuotas por periodo.
Periodo 1 ---- $34.766Periodo 2 ---- 34.766(1-0,1) =
$31.289Periodo 3 ---- 34.766 (1-0,1)2=
$28.160Periodo 4 ---- 34.766 (1-0,1)3=
$25.344
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S GradientesTabla de Amortización (Ejemplo 6)
Periodo Pago Mensual Interés Cuota de capital Saldo de Capital
0 0 100.000
1 34.766
8.000 26.766
73.234
2 31.289
5.859 25.431
47.803
3 28.160
3.824 24.336
23.467
4 25.344
1.877 23.467
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S GradientesGradiente Geométrico Infinito (Valor Presente)
0 1 2 3 n
A
…
A(1+G)1
A(1+G)2
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S Gradientes
Ejemplo 7Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos que crecen un 10%, si la tasa de interés es del 20% y el primer pago es de $300
0 1 2 … n
Se calcula el valor Presente
Vp= 300/ (0,2- 0,1)
Vp = 3.000
Esto significa que si se colocan $3.000 al 20% podemos hacer infinitos retiros crecientes en un 10%, partiendo de uno de $300