Por: Gelacio Martín Sánchez

OCTUBRE 19, 2012

DIPLOMADO EN

FINANZAS CORPORATIVAS

MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y

PORTAFOLIOS

1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

INTERÉS SIMPLE

1.2

INTERÉS COMPUESTO

1.3

TASA DE INTERÉS NOMINAL,

EFECTIVA Y EQUIVALENTE 1.4

CONTENIDO

DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS

FINANCIERAS 1.1

1.1 MATEMÁTICAS FINANCIERAS

DEFINICIÓN

Es una derivación de las matemática

aplicadas que estudia el valor del

dinero en el tiempo, combinando el

capital, la tasa y el tiempo, para obtener

un rendimiento o interés, a través de

métodos de evaluación que permiten

tomar decisiones de inversión.

Son una herramienta básica para

analizar e interpretar la operación de

los mercados financieros y el impacto

en los diferentes instrumentos, tanto

para los intermediarios, como para los

inversionistas y emisores. 4

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

Capital

Es la cantidad de dinero tomada en

préstamo o invertida a un determinado

plazo y con una tasa de interés pactada.

Generalmente está representada por la

letra «C» y se expresa en términos

monetarios.

El capital también se le conoce como

principal, Valor Presente o Valor

Actual. 5

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

Plazo o Tiempo

Se refiere al número de días u otras

unidades de tiempo que transcurren

entre las fechas inicial y final en una

operación financiera, y se representa

por la letra ‘n’ o ‘t’.

Tasa de Interés

Es la razón entre el interés I y el capital

C por unidad de tiempo, generalmente

está expresado en porcentaje.

La tasa de interés está dado por: 𝒊 =𝑰

𝑪

6

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

La tasa de interés por lo regular se

expresa en términos anuales, pero se

puede expresar en unidades de tiempo

menores a un año.

Cuando la tasa de interés se da en

porcentaje, sin especificar la unidad del

tiempo, se considerará que la tasa es

anual, a menos que se diga lo contrario:

Mensual;

Bimestral;

Trimestral;

Semestral; etc. 7

1.2 INTERÉS SIMPLE

ELEMENTOS CONCEPTUALES

Interés

El interés es el cambio en el valor del

dinero en el tiempo, se representa con I.

Es el pago que se realiza sobre el

préstamo de una cantidad monetaria

durante determinado tiempo.

El interés es el rendimiento que se tiene

al invertir el dinero y se expresan en

términos monetarios.

Si C es el capital de préstamo inicial y S

el monto que se paga al término del

periodo de préstamo, el interés se

expresa como: 𝑰 = 𝑺 − 𝑪 8

1.2 INTERÉS SIMPLE

DIAGRAMA CONCEPTUAL

FECHA INICIAL FECHA FINAL

CAPITAL

INTERESES

MÁS

CAPITAL

MONTO

PLAZO

=

TASA DE INTERES

9

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

Un empresario invierte en una institución financiera $40,000 y

al término de 1 año recibe $50,000 por su inversión.

C = $40,000

M = $50,000

T = 1 Año

Obtenga:

Intereses = I = 50,000 – 40,000 = 10,000

Tasa de Interés = i = 10,000 / 40,000 = 0.25 ó 25%

Monto = M= 40,000 + 10,000 = 50,000

Capital = C = 50,000 – 10,000 = 40,000

10

1.2 INTERÉS SIMPLE

DEFINICIÓN

Es la operación financiera donde

interviene un capital, un tiempo

determinado de pago y una tasa de

interés, para obtener un beneficio

llamado intereses, sin que éste último

se reinvierta.

El interés es simple cuando sólo el

capital gana intereses por todo el

tiempo que dura la transacción.

El interés simple se utiliza

principalmente en inversiones y

créditos a corto plazo, de un año o

menos. 11

1.2 INTERÉS SIMPLE

FÓRMULA GENERAL

La fórmula general para calcular el

Interés Simple es el siguiente:

𝑰 = 𝑪 ∗ 𝒊 ∗ 𝒏

Donde:

I = Interés

C = Capital o Valor Actual

i = Tasa de Interés

n = Plazo o periodo

Es importante que la tasa de interés y el

plazo estén expresados en las mismas

unidades de tiempo. 12

1.2 INTERÉS SIMPLE

MONTO SIMPLE

Es la suma del capital más el interés

simple ganado. También se le denomina

Monto o Valor Futuro y se simboliza con

la letra M o S.

𝑴 = 𝑪 + 𝑰

Sustituyendo 𝐼 por 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛 se tiene:

𝑀 = 𝐶 + (𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛)

Factorizando se tiene la fórmula general

del monto a interés simple:

𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏)

Donde: M = Monto; C = Capital Inicial;

i = Tasa de Interés y, n = Periodo. 13

1.2 INTERÉS SIMPLE

VALOR PRESENTE SIMPLE

Llamado también Valor Actual,

representado por VA o VP, de un monto,

M, que vence en fecha futura.

Es la cantidad de dinero que, invertida

hoy a una tasa de interés dada producirá

el M.

De la expresión, 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) despejamos C, para obtener el VA:

𝑪 = 𝑽𝑨 =𝑴

(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒕)

14

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

Un empresario tiene una deuda de $75,000 que deberá pagar

dentro de 5 meses. La operación esta pactada a una tasa de

interés simple del 18%.

C = $75,000

T = 5 Meses

i = 18% Anual; 1.5% Mensual

Obtenga:

Intereses = I = 75,000 * (18% / 12) * 5 = 5,625

Monto = M = 75,000 * [1+(18% / 12)*5] = 80,625

Monto = M = 75,000 + 5,625 = 80,625

Valor Presente = VP = 80,625/[1+(18% / 12)*5] = 75,000

Tasa de Interés = i = 5,625/75,000 =0.075/5 = 0.015 ó 1.5% 15

1.2 INTERÉS SIMPLE

DESCUENTO SIMPLE REAL

En el Interés Simple existen dos tipos de

Descuento Simple: Real y Comercial.

Descuento Real

Se calcula con base en al fórmula del

interés simple:

𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏)

Donde:

M = Además de ser el Valor Futuro, es el

Valor Nominal. Ejemplo: Pagaré

C = Capital Inicial

i = Tasa de Interés

n = Periodo 16

1.2 INTERÉS SIMPLE

DESCUENTO SIMPLE COMERCIAL

Descuento Comercial o Bancario

Se calcula restando al Valor Nominal un

Descuento. La adquisición de CETES es

el mejor ejemplo de inversiones a

Descuento Comercial, el cual se obtiene

multiplicando el Valor Nominal del

documento por el plazo y la tasa de

descuento. De lo anterior se tiene:

𝑫 = 𝑴 ∗ 𝒏 ∗ 𝒅

Donde: D = Descuento del Documento;

M = Valor Nominal, n = plazo en años y

d = Tasa de Descuento Simple Anual. 17

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

El descuento comercial de un documento

con Valor Nominal de $8,500 tres meses

antes de vencer, es decir n = 3/12 (plazo

en años) con un descuento del 10.40%

simple anual es:

De acuerdo a la fórmula: 𝐷 = 𝑀 ∗ 𝑛 ∗ 𝑑

D = $8,500*(3/12)*(0.1040) = $221

Si al valor nominal se le resta este

descuento, entonces se obtiene el Valor

Comercial o Valor Descontado P.

𝑷 = 𝑴−𝑫 ó 𝑷 = 𝑴(𝟏 − 𝒏 ∗ 𝒅)

P = $8,500 – $221 = $8,279 18

1.2 INTERÉS SIMPLE

INTERÉS SIMPLE EXÁCTO Y ORDINARIO

Interés Simple Exacto o Real

Se calcula sobre la base del año de 365

días o 366 en años bisiestos.

Interés Simple Ordinario o

Comercial

Se calcula sobre la base del año de 360

días, también es llamado año comercial o

bancario.

19

1.2 INTERÉS SIMPLE

EJEMPLO

Calcule el interés ordinario y exacto de una deuda por $28,500

a una tasa de interés simple anual del 22%, durante el periodo 6

de junio al 15 de diciembre de 2012.

Interés Simple Exacto o Real

I = 28,500 * 22% / 365 * 192 = 3,298.2

I = 28,500 * 22% / 365 * 189 = 3,246.7

Interés Simple Ordinario o Comercial

I = 28,500 * 22% / 360 * 192 = 3,344.0

I = 28,500 * 22% / 360 * 189 = 3,291.8

20

1.2 INTERÉS SIMPLE

CETES: DEFINICIÓN

Los Certificados de la Tesorería de la

Federación, son Títulos de Crédito que

emite el Gobierno Federal a través de la

Secretaría de Hacienda y Crédito

Público, y que coloca Banxico entre los

inversionistas por medio de subastas

semanales que se realizan cada martes.

La ganancia que obtiene el tenedor de

CETES es precisamente la diferencia

entre el precio pagado al adquirirlo y su

valor nominal al vencimiento.

21

1.2 INTERÉS SIMPLE

CETES: CARACTERÍSTICAS

Características principales:

Valor nominal: $10 pesos

Plazo: En días

Emisiones: 28, 91, 182 y 364 días

Rendimiento: A descuento

Garantía: son los títulos de menor

riesgo, ya que están respaldados por el

Gobierno Federal

Amortizables en una sola exhibición al

vencimiento del título

22

1.2 INTERÉS SIMPLE

CETES: EJEMPLO

Calcular el descuento y valor comercial de un Cete con

vencimiento a 28 días cuyo valor nominal es de $10.00 y la

tasa de descuento anual del 4.39%.

Descuento: D = M * n * d

D = (10 * 28/360 * 4.39%) = 0.0342

Valor Comercial o Precio: P = M - D

P = 10 – 0.0342 = 9.9659

Obtener la Tasa de Rendimiento:

𝑻𝑹 =𝑽𝑵

𝑷− 𝟏 ∗

𝟑𝟔,𝟎𝟎𝟎

𝑫𝑽 𝑻𝑹 =

𝟏𝟎

𝟗.𝟗𝟔𝟓𝟗− 𝟏 ∗

𝟑𝟔,𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟖= 4.4050%

23

1.3 INTERÉS COMPUESTO

DEFINICIÓN

Es la operación financiera en la cual el

capital aumenta al final de cada periodo

por adición de los intereses vencidos.

Una transacción trabaja a interés

compuesto cuando el capital inicial y

los intereses generados en cada periodo

ganan intereses en periodos

subsiguientes.

El interés compuesto es el interés

devengado por el principal al final de

un período y que devenga interés en el

período o períodos subsiguientes. 24

1.3 INTERÉS COMPUESTO PERIODO Y FRECUENCIA DE CONVERSIÓN

El tiempo entre dos fechas sucesivas, en

las que los intereses se agregan al capital,

se denomina periodo de capitalización o

periodo de conversión.

El número de veces por año en las que

los intereses se capitalizan se denomina,

frecuencia de conversión.

En las transacciones financieras que

implican interés compuesto, es

importante tener presente los conceptos

siguientes:

1) Capital Original: C

25

1.3 INTERÉS COMPUESTO

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

2) Tasa de Interés por Periodo:

𝒊𝒑 =𝒊

𝒇𝒄

3) Número de Periodos de Conversión:

𝒕𝒑𝒄 = 𝒇𝒄 ∗ 𝒕

Donde:

ip = Interés por Periodo

i = Tasa de Interés;

fc = Frecuencia de Conversión

tpc = Total de Periodos de Conversión;

t = Tiempo Total de la Transacción

Financiera. 26

1.3 INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULA GENERAL

El interés compuesto se deduce de la

forma siguiente:

Tenemos que: 𝑀 = 𝐶 + 𝐼

Sabemos que: 𝐼 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑡

Cuando 𝑡 = 1, 𝐼 = 𝐶 ∗ 𝑖

Por lo tanto: 𝑀 = 𝐶 + 𝐶 ∗ 𝑖

Factorizando: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)

Es notorio que el monto de un capital, al

final de un periodo, se obtiene

multiplicando por el factor 1 + 𝑖 .

Al final del segundo periodo se tiene:

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)(1 + 𝑖) → 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 27

1.3 INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULA GENERAL

Al final del tercer periodo se tiene:

𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)2 1 + 𝑖 →𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)3

Generalizando para n periodos de

capitalización, la formula general del

monto a interés compuesto está dada por:

𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏

Donde: M = Monto o Valor Futuro; C =

Capital Original; i = Tasa de Interés por

Periodo de Capitalización; y, n = Número

Total de Periodos de Capitalización.

Es importante mencionar que la definición

de periodo debe ser la misma para 𝑖 y 𝑛. 28

1.3 INTERÉS COMPUESTO

VALOR PRESENTE COMPUESTO

El Valor Presente o Valor Actual, en una

inversión a interés compuesto, es el

capital que invertido ahora, a una tasa de

interés dada, alcanzará un monto

determinado después de un cierto número

de periodos de capitalización.

Permite obtener el valor que tiene en el

momento actual un conjunto de

cantidades que han de vencer en el

futuro.

Su fórmula es la siguiente:

𝑽𝑨 =𝑴

(𝟏 + 𝒊)𝒏

29

1.3 INTERÉS COMPUESTO

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

Monto Compuesto:

𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏

Interés:

𝑰 = 𝑴 − 𝑪

Capital Original o Valor Actual:

𝑽𝑨 =𝑴

(𝟏 + 𝒊)𝒏

Tasa de Interés:

𝒊 =𝑴

𝑪

𝟏𝒏

− 𝟏

Plazo o Tiempo:

n=𝑳𝒐𝒈(𝑴)−𝑳𝒐𝒈(𝑪)

𝑳𝒐𝒈(𝟏+𝒊)

30

1.3 INTERÉS COMPUESTO

EJEMPLO

Un empresario tiene una deuda de $100,000 que deberá pagar

dentro de 1 año. La operación esta pactada a una tasa de interés

compuesto del 12%, capitalizable semestralmente.

C = $100,000

T = 1 Año

i = 12% Anual, capitalizable semestralmente.

Obtenga:

M = 100,000* (1+12% / 2)^2 = 112,360

I = 112,360 – 100,000 = 12,360

VP = 112,360 / (1+ 12% / 2)^2 = 100,000

i = [(112,360/100,000)^(1/2)]-1 = 0.06 * 2 = 0.12 ó 12%

n = [ln(112,360) – ln(100,000)] / ln(1+12% / 2) = 2 31

1.3 INTERÉS COMPUESTO

CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Los periodos de capitalización pueden ser

tan pequeños como se quiera, llegando a

tasas de capitalización instantánea.

Aunque no es muy común su uso, se

presenta la fórmula de cálculo:

𝑴 = 𝑪 ∗ 𝒆(𝒊∗𝒏)

Donde:

M = Monto

C = Capital Original

e = 2.71828…

i = Tasa de Interés por Periodo de Capitalización

n = Número Total de Periodos de Capitalización

32

1.3 INTERÉS COMPUESTO

EJEMPLO: CAPITALIZACIÓN CONTINUA

Calcule el monto con la fórmula de capitalización continua;

considere un capital inicial de $8,000, una tasa de interés anual

del 22%, capitalizable semestralmente durante dos años.

S = C*e^(i*t)

Capital = $8,000

e = 2.718281828

i = 22%

t (Años) = 2

S = 8,000 * 2.71828^(22% / 2*4) = 12,421.66

33

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

Si un capital invertido a interés

compuesto se capitaliza cada año, el

monto compuesto al final del primer año

es igual al interés simple a un año.

Si la capitalización se efectúa más de una

vez al año, el monto compuesto al final

de un año es mayor que el obtenido por

interés simple.

Cuando se realiza una operación

financiera, se pacta una tasa de interés

anual, esta tasa aplicable a una inversión

o aun préstamo a interés compuesto se

denomina Tasa de Interés Nominal. 34

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

TIN = (Tasa de Interés)*(Núm. Periodos)

Ejemplo:

Una tasa de interés del 2.5% mensual, se

expresa como el 7.5% nominal

trimestral o 30% nominal anual;

Una tasa de interés del 6% trimestral le

corresponde el 24% nominal anual;

Una tasa de interés del 10% semestral,

se expresa como el 20% nominal anual.

La tasa de interés nominal facilita que el

público pueda controlar su depósitos

mediante la aplicación de la formula de

interés simple. 35

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

Si el interés se capitaliza en forma

semestral, trimestral o mensual, la

cantidad efectiva pagada o ganada es

mayor que si se compone en forma anual.

Cuando esto sucede, se puede determinar

una Tasa Efectiva de Interés.

La tasa efectiva por periodo es la tasa de

interés que efectivamente se aplica en

cada periodo de capitalización, se obtiene

al dividir la tasa nominal anual entre el

número de periodos de capitalización que

hay en un año. 𝒊𝒆𝒑 =𝒊

𝒎

36

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

La tasa de interés efectiva se determina con

base en la formula de interés compuesto. La

fórmula de calculo para la Tasa de Interés

Efectiva Anual es:

𝒊𝒆 = 𝟏 +𝒊

𝒎

𝒎

− 𝟏

Donde:

𝑖𝑒 = Tasa de Interés Efectiva Anual

i = Tasa de Interés Nominal Anual

m = Número de periodos de capitalización

al año

La tasa efectiva es independiente del capital

invertido y del tiempo que dura la inversión. 37

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

Ejemplo:

¿Cuál es la tasa efectiva que se recibe de un depósito bancario de

$10,000 pactada al 20% de interés anual capitalizable

mensualmente?

M = 10,000 * (1 + 20% / 12)^12 = 12,193.9

I = 12,193.9 – 10,000 = 2,193.9

Tasa Efectiva: i = 2,193.9 / 10,000 = 0.2194 ó 21.94%

Comprobación:

Tasa Efectiva = [(1 + i/m)^m – 1]

Tasa Efectiva = [(1+(20%/12))^12)-1]

Tasa Efectiva = 0.2194 ó 21.94 %

A una tasa nominal del 20%, se recibe de un deposito bancario una

tasa efectiva del 21.94%. 38

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL,

EFECTIVA Y EQUIVALENTE

Dos tasas de interés anuales con

diferentes periodos de capitalización

serán Equivalentes si al cabo de un año

producen el mismo interés compuesto.

39

1.4 TASA DE INTERÉS NOMINAL, EFECTIVA

Y EQUIVALENTE

Ejemplo

Un inversionista desea colocar un capital de 10,000 USD a una

tasa de interés del 8% anual convertible trimestralmente

durante un año. Calcule la tasa de interés efectiva anual.

C = 10,000

i = 8% Anual. Capitalizable Trimestralmente = 2%

T = 1 Año

S = 10,000 * [(1 + 8% / 4)^4] = 10,824.3

T.N. = [(10,824.3/10,000)^(1/4)]-1 = 0.02 * 4 = 0.08 ó 8%

T. E. = [(10,824.3/10,000)^1]-1 = 0.0824 ó 8.24%

S = 10,000*(1 + 8% / 4)^4 = 10,824.3

S = 10,000*(1 + 8.24%)^1 = 10,824.3 40

1) Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel.

Matemáticas Financieras. CENGAGE.

2) Villalobos, José L. Matemáticas Financieras.

Editorial Prentice Hall, México.

3) Díaz Mata, Alfredo y Aguilera Gómez,

Víctor M. Matemáticas Financieras. Editorial Mc

Graw Hill, México.

4) Baca Urbina, Gabriel. Fundamentos de

Ingeniería Económica. Editorial Mc Graw Hill,

México.

5) Guzmán Plata, Ma. de la Paz. El Modelo

Portafolio Aplicado a la BMV. UAM-Azcapotzalco.

6) Markowitz, Harry. Portfolio Selection. Cowles

Foundation for Research in Economics at Yale

University.

7) Instituto Panamericano de Alta Dirección de

Empresa, México. Introduction to Portfolio Theory.

IPADE

BIBLIOGRAFÍA

41

DATOS DE CONTACTO:

Web: www.universidadfinanciera.mx

Nota: Los conceptos presentados en esta presentación fueron tomados de la bibliografía señalada y las imágenes fueron bajadas de Internet.