Matematicas II

GUA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO

MATEMTICAS II

ACADEMIA DE MATEMTICAS

2012-20

INDICE

BLOQUE 1 NGULOS, TRINGULOS Y RELACIONES MTRICAS

BLOQUE 2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS.

BLOQUE 3 SEMEJANZA DE TRINGULOS, TEOREMA DE TALES DE MILETO Y

TEOREMA DE PITGORAS.

BLOQUE 4 POLGONOS

BLOQUE 5 CIRCUNFERENCIA

BLOQUE 6 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

BLOQUE 7 APLICACIN DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

BLOQUE 8 LEY DE LOS SENOS Y LEY DEL COSENO

BLOQUE 9 ESTADSTICA ELEMENTAL

BLOQUE 10 CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD

BLOQUE 1 NGULOS, TRINGULOS Y RELACIONES MTRICAS.

1. Define qu se entiende por ngulo.

2. En qu unidades se miden los ngulos?

3. Define y haz dos grficas de rectas paralelas, dos ejemplos de rectas

perpendiculares y dos de rectas oblicuas.

4. Da 3 ejemplos de medidas de ngulos agudos, 3 de obtusos, 3 de entrantes.

5. Cuntos grados mide un ngulo recto?

6. Cuntos grados mide un ngulo llano?

7. Cuntos grados mide un ngulo de una vuelta?

8. Cundo se dice que dos ngulos son complementarios?

9. Cundo se dice que dos ngulos son suplementarios?

10. Si un ngulo mide 23 42 50 Cunto mide su complemento?

11. Si el suplemento de un ngulo mide 95 30 57 Cunto mide el ngulo?

12. Con ayuda de regla y transportador haz la grfica de dos ngulos adyacentes y

suplementarios si uno de ellos mide 135.

13. Haz la grfica de tres ngulos complementarios si dos de ellos miden 15 y 60.

14. Cuntos grados miden dos ngulos complementarios si uno es el triple del otro?

15. Si un reloj marca las 4:10 horas Cul es la medida del ngulo que forman las

manecillas? Realiza la grfica correspondiente.

16. De acuerdo con su medida como se denominan los ngulos siguientes?

220, 180, 23, 90, 360 y 115.

17. Encuentra el valor de los ngulos A y B de la figura siguiente:

4X ngulo de levante = 40

A =2x B

18. Da el valor de los ngulos A, B, C, D, E, F y G de la figura.

M Q

A C

B D E F

G 120

N R

Cmo se denominan los ngulos A y D; G y F?

Cmo se denominan los ngulos C y G; D y E?

Cmo se denominan los ngulos A y 120; B y F?

Cmo se denominan los ngulos A y E; G y B?

19. Calcula el valor de todos los ngulos de las grficas siguientes:

A B C D

F G

20. Dibuja en los espacios los tringulos solicitados:

Tringulo rectngulo Tringulo Obtusngulo Tringulo Escaleno

Tringulo issceles Tringulo acutngulo Tringulo equiltero

21. En el dibujo del tringulo obtusngulo del ejercicio 20 dibuja sus tres alturas y

seala con color rojo el ortocentro.

22. En el dibujo del tringulo equiltero del ejercicio 20 dibuja sus tres medianas y

seala con color rojo el baricentro.

23. En el dibujo del tringulo rectngulo del ejercicio 20 dibuja sus tres bisectrices y

seala con color rojo el incentro.

24. En el dibujo del tringulo acutngulo del ejercicio 20 dibuja sus tres mediatrices

y seala con color rojo el circuncentro.

25. tomando como referencia una lnea horizontal y con la ayuda de una regla y un

transportador grafica los ngulos siguientes:

15, 72.5, 53 30, 220, 335, , , .

26. Usando calculadora obtn el valor en el sistema sexagesimal de los ngulos

siguientes, dados en el sistema decimal:

47.4, 18.96, 50.5, 38.5.

27. Usando calculadora obtn el valor en el sistema decimal de los ngulos

siguientes, dados en el sistema sexagesimal:

454534, 965533, 60 30, 83 30.

28. Cuntos grados suman los tres ngulos internos de cualquier tipo de tringulo?

29. Dibuja un tringulo y demuestra lo establecido en el ejercicio anterior,

recordando que tambin un ngulo llano mide 180.

BLOQUE 2 CONGRUENCIA DE TRINGULOS.

1. Cundo se dice que dos figuras geomtricas son congruentes?

2. Es suficiente que todos los lados de dos figuras geomtricas sean iguales para

que dichas figuras sean congruentes?

3. Es suficiente que todos los ngulos de dos figuras geomtricas sean iguales

para que dichas figuras sean congruentes?

4. Dibuja cinco pares de diferentes figuras geomtricas congruentes.

5. Menciona los tres teoremas, y haz dos grficas como ejemplos para cada uno,

para que se cumpla con la congruencia de dos tringulos.

6. Identifica y define, de acuerdo con sus vrtices, a cinco pares de tringulos

congruentes en la figura siguiente:

a b c

d e

f g h

i j

k l m

BLOQUE 3 SEMEJANZA DE TRINGULOS, TEOREMA DE TALES DE MILETO Y

TEOREMA DE PITGORAS.

1. Da la definicin de semejanza de dos figuras geomtricas.

2. Menciona los tres teoremas para definir la semejanza de tringulos.

3. Dibuja tres pares de tringulos semejantes e identifica en ellos a cada par de

lados que se corresponden.

4. Determina la proporcin que hay en las medidas de los lados correspondientes

del ejercicio anterior y comprueba que es la misma para cada par de lados en

cada tringulo.

5. Determina los valores que faltan en los dos pares de tringulos semejantes

siguientes:

10 8 12 7.5

c 4 8 6

6 a

6. Menciona el Teorema de Tales y haz el dibujo correspondiente.

7. Encuentra el valor de en la figura siguiente sabiendo que (construye

por separado los dos tringulos semejantes).

A

12 14

D E

28

B C

8. Para encontrar la longitud de la base de un cerro, se construy una pareja de

tringulos rectngulos semejantes como se muestra en la figura, en la que

, y Cunto mide la longitud de la base del

cerro?

A B

C D

P

9. Qu altura tiene un poste que proyecta una sombra de , al mismo tiempo

que un observador de de estatura proyecta una sombra de ? Haz la

grfica correspondiente.

10. A cierta hora del da un edificio de de altura proyecta una sombra de

Cul es la longitud de la sombra que proyecta un semforo de de altura a

la misma hora en la misma calle? (Haz el esquema de los tringulos

correspondientes)

11. Para calcular la anchura de un ro se forman los tringulos como se muestra

en la figura, en los que: , y Cuntos metros tiene

de anchura el ro?

B

A O D

C

12. Calcula la medida del diagrama siguiente:

2 2.4

10

13. Dibuja un tringulo rectngulo e indica cules son los catetos, cul es la

hipotenusa y cul es el ngulo recto. Define tambin con palabras los

elementos citados.

14. Enuncia el Teorema de Pitgoras, exprsalo matemticamente y haz un

diagrama que lo ejemplifique.

15. Anota 10 veces el Teorema de Pitgoras, ya despejada la hipotenusa para poder

calcularla.

16. Anota 10 veces el Teorema de Pitgoras, ya despejado cualquiera de los catetos

para poder calcularlo.

17. Calcula la medida de los lados que faltan en el tringulo rectngulo de la figura:

a) d)

b) e)

A C c) f)

B

18. Usando el Teorema de Pitgoras comprueba si el tringulo cuyos lados miden 7,

9 y 12 unidades, es o no un tringulo rectngulo.

19. Al abrir una escalera de pintor, se forma un tringulo issceles; la distancia

entre las bases es de 1 metro y los lados iguales miden 1.40 metros. Determina

la altura de la escalera (debes dividir el tringulo issceles en dos tringulos

rectngulos para poder utilizar el Teorema de Pitgoras)

20. Se tiene un terreno en forma de tringulo rectngulo cuyos catetos miden 300 y

800 metros Qu cantidad de malla se requiere para cercarlo? Haz un dibujo.

21. A qu altura llega una escalera de 10m de largo en un muro vertical, si su pie

est a 3 metros del muro? Haz la grfica correspondiente.

22. Un bombero coloca una escalera que mide 7.8 metros a una distancia de 2.1

metros de la base de un edificio en llamas A qu altura del edificio puede

llegar?

BLOQUE 4 POLGONOS. 1. Da la definicin de polgono.

2. Da la definicin de polgono regular y la de polgono irregular; dibuja tres

polgonos irregulares y dibuja y da los nombres de seis polgonos regulares.

3. Seala con flechas cada una de las caractersticas del polgono regular de la

figura (hexgono)

a) Apotema

b) ngulo central

c) Centro

d) ngulo interno

e) Radio

f) ngulo externo

g) Vrtice

h) Lado

i) Diagonal

4. Cuntas diagonales se pueden trazar desde un vrtice cualquiera de un

pentgono?

Qu frmula utilizaste?

Haz la grfica correspondiente.

5. Cuntas diagonales se pueden trazar desde todos los vrtices de un hexgono?



6. Cuntas diagonales se pueden trazar desde un vrtice cualquiera de un

octgono?



7. Cuntas diagonales se pueden trazar desde todos los vrtices de un polgono de

52 lados?


8. Cuntos lados tiene el polgono en el que se pueden trazar en total 65

diagonales?

9. Cuntos lados tiene el polgono en el que se pueden trazar en total 14

diagonales?

10. Calcula la medida de un ngulo interior de un:

a) Pentgono.

b) Hexgono.

c) Octgono.

d) Nongono.

Qu frmula y que operacin final utilizaste?

11. Calcula la medida de un ngulo externo de un:

e) Hexgono.

f) Heptgono.

g) Decgono.

h) Enegono.

Cuntos grados suman los ngulos externos de cualquier polgono?

12. Cul es el polgono regular cuyos ngulos internos suman 1440?

13. Cuntos lados tiene un polgono regular cuyos ngulos internos son de 120

cada uno?

14. Escriba las frmulas para obtener los permetros y las reas del tringulo, el

cuadrado, el rectngulo, el rombo y la circunferencia.

15. Calcula el rea de un tringulo cuyos lados miden 10, 8 y 6 cm. respectivamente

(debes usar la frmula de Hern que utiliza el semi-permetro del tringulo).


16.

Cuntos metros cuadrados de tela se necesitan para forrar una caja con forma

de prisma cuadrangular si sus lados miden .40 m, .30 m y .20 m?


17. Calcula el rea del pentgono de la figura (Debes usar primero el Teorema de

Pitgoras para calcular el apotema del pentgono)

18. Calcula el rea de la superficie sombreada en la figura siguiente:

BLOQUE 5 CIRCUNFERENCIA

1. Da la definicin de circunferencia y haz la grfica correspondiente.

2. Seala con flechas cada una de las caractersticas de la circunferencia de la

figura.

a) Arco

b) Secante

c) Radio

d) Tangente

e) Cuerda

f) Centro

g) Dimetro

3. Da la definicin de crculo y haz una grfica representativa del mismo.

4. Calcula el permetro de las circunferencias cuyos datos se dan a continuacin:

a) ; b) ; c) ; d)

5. Calcula las reas de los crculos cuyos datos se dan a continuacin:

a) ; b) ; c) ; d)

6. Investiga cmo se obtiene el valor de y cul es su valor.

7. Dibuja un tringulo inscrito en un cuadrado.

8. Dibuja una circunferencia circunscrita a un tringulo.

9. Dibuja un tringulo inscrito en una circunferencia.

10. Calcula el valor del rea sombreada en las figuras siguientes:

4.6 cm

10 m

4.6 cm

r = 8

11. Calcula el rea del crculo mayor si el radio del crculo menor es igual a 4 cm.

12. Calcula cuantos grados mide el arco de circunferencia correspondiente a un

ngulo central de 45.

13. Define y da un ejemplo de: ngulo central, ngulo inscrito, ngulo exterior y

ngulo circunscrito.

14. Si , determina los valores de y .

B

C A

O

15. Calcula el valor de formado por las secantes, si:

C

E A

B D

16. Determina la medida del , si:

C

A

B

17. , determina el valor del ngulo que forman las rectas tangentes

T

S

O

S

A T

BLOQUE 6 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

1. Indique a cuntos grados equivale un radin y qu se entiende por radian.

2. Convertir a grados:

a) radianes

b) radianes

c) radianes.

3. Convertir a radianes:

a) 130

b) 55

c) 284

4. Dibuja un tringulo rectngulo e identifica en l a la hipotenusa y a los catetos.

5. En el tringulo de la figura identifica el cateto adyacente y el cateto opuesto;

primero para el ngulo y despus para el ngulo .

M L

Q

6. Define que se entiende por ngulo de elevacin y por ngulo de depresin.

7. Dibuja un tringulo rectngulo, asgnale letras a los catetos, a la hipotenusa y a

los dos ngulos agudos y define las 3 funciones trigonomtricas directas y las 3

recprocas para dos ngulos agudos.

8. Un leador ubicado a 200 pies de la base de una secoya, observa que el ngulo

entre el suelo y parte superior del rbol es de 60. Calcula la altura del rbol.

Dibuja el tringulo rectngulo correspondiente antes de solucionar el problema.

9. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 pies de la base de una torre, el ngulo

de elevacin a la parte ms alta de la torre es 5720. Calcula la altura de la

torre. Dibuja el tringulo rectngulo correspondiente antes de solucionar el

problema.

10. Desde lo alto de un edificio que mira al mar, un observador avista una lancha

que navega directamente hacia l edificio. Si el observador est a 100 pies (sobre

el nivel del mar) y el ngulo de depresin de la lancha cambia de 25 a 40

durante el periodo de observacin, calcula la distancia que recorre la lancha. Haz

el esquema correspondiente antes de solucionar el problema.

11. Si es un ngulo agudo, y , calcula los valores de las otras 5

funciones trigonomtricas.

12. Si es un ngulo, y , calcula los valores de .

13. Da los valores del Seno, el Coseno y la Tangente para los ngulos de

, auxilindote para ello de los respectivos tringulos.

14. Calcula el permetro y el rea de un pentgono cuyos lados miden 10 cm cada

uno. Haz la grfica correspondiente.

15. La base de un tringulo issceles mide 25.3 cm y sus dos ngulos iguales miden

29 Cunto mide su altura y cunto sus lados?

16. Calcula la altura de un edificio cuya sombra se proyecta a 12m con un ngulo de

depresin de 34.

BLOQUE 7 APLICACIN DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

1. Dibuja un plano cartesiano, identifica y numera los 4 cuadrantes; dibuja una

circunferencia con centro en el origen y dentro de la circunferencia dibuja cuatro

tringulos horizontales con vrtice de uno de los ngulos agudos en el origen.

2. Haz una tabla que contenga los signos que tiene las funciones Seno, Coseno y

Tangente para los cuatro cuadrantes.

3. Determina las funciones trigonomtricas del ngulo agudo formado por el punto

y el eje horizontal del plano cartesiano.

4. Calcula las funciones trigonomtricas para el ngulo si se sabe que y

.

5. Calcula las funciones trigonomtricas del ngulo agudo formado por el

punto y el eje horizontal de los ejes coordenados.

6. Sobre el plano cartesiano ubica los ngulos . Notars que al

coincidir estos ngulos con los ejes, los tringulos que se pudieran formar se

desvanecen al valer un cateto 0. Bajo estas condiciones calcula el valor de las 6 funciones trigonomtricas para cada uno de los ngulos mencionados.

7. Con la ayuda de la grfica, demuestra que:

a)

b)

(Recuerda lo que establece el Teorema de Pitgoras)

8. Haz las grficas de las funciones Seno, Coseno y Tangente en el plano cartesiano.

BLOQUE 8 LEY DE LOS SENOS Y LEY DEL COSENO

1. Enuncia la Ley de los Senos y establece su frmula.

2. Para la solucin de qu tipo de tringulos se utiliza la Ley de los Senos?

3. Enuncia la Ley del Coseno y establece su frmula.

4. Para la solucin de qu tipo de tringulos se utiliza la Ley del Coseno?

5. Resuelve los tringulos siguientes usando la Ley de los Senos:

14 4

12

6. Resuelve los tringulos siguientes usando primero la Ley del Coseno:

15 m 45 50

70

B 18 m

32

7. Un observador est en un punto P que dista de dos edificios, 250 m y 380 m

respectivamente. Si el ngulo formado por los dos edificios y el observador

es de

38 20; calcula la distancia entre ambos edificios.

250 m 380 m

3820

P

8. Se inscribe un octgono regular de lado 1 en una circunferencia, determine el

rea del crculo.

9. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ngulo de 7423.

Despus de una hora uno de ellos est a 225 Km de la ciudad, mientras que el

otro est a 300 Km de sta Cul es la distancia entre ambos aviones? (antes de

resolver el problema haz un diagrama)

10.

BLOQUE 9 ESTADSTICA ELEMENTAL

1. Define que se entiende por Estadstica.

2. Define los trminos poblacin, muestra, dato, frecuencia absoluta, frecuencia

relativa.

3. Un edificio tiene 45departamentos con el siguiente nmero de inquilinos:

2 1 3 5 2 2 2 1 4 2 6 2 4 3 1

2 4 3 1 4 4 2 4 4 2 2 3 1 4 2

3 1 5 2 4 1 3 2 4 4 2 5 1 3 4

Elabora una tabla de frecuencias y haz un histograma (diagrama de barras).

4. En un examen de estadstica se obtuvieron las calificaciones siguientes:

74 80 65 85 95 72 76 72 93 84

75 75 60 74 75 63 78 87 90 70

Halla la frecuencia cuando los datos se clasifican en cuatro clases: 60-70, 70-80,

80- 90 y 90-100, y representa los resultados en un histograma (si un nmero cae

en el lmite de clase, colcalo en la clase superior).

5. Define que se entiende por medidas de tendencia central.

6. Define las tres medidas de tendencia central siguientes: media, mediana y moda.

7. Para una semana dada, la temperatura media diaria ha sido de 35, 33, 30, 36,

40, 37 y 38 grados. Calcula la media, la mediana y la moda de dichas

temperaturas.

8. Define que se entiende por medidas de dispersin.

9. Define las medidas de dispersin siguientes: rango, varianza y desviacin tpica.

10. Durante un periodo de 30 das, el nmero diario de autos alquilados por una

agencia fue la siguiente:

7 10 6 7 9 4 7 9 9 8 5 5 7 8 4

6 9 7 12 7 9 10 4 7 5 9 8 9 5 7

Calcule la media, la varianza y la desviacin tpica.

11. La siguiente distribucin nos da el nmero de horas extras durante un mes de

los empleados de una empresa:

Horas extra (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Empleados 10 2 4 2 6 4 2 4 6 2 8

Calcule la varianza y la desviacin tpica.

BLOQUE 10 CONCEPTOS BSICOS DE PROBABILIDAD

1. Define qu se entiende por probabilidad.

2. Define que se entiende por evento determinstico y qu por evento aleatorio. Da

tres ejemplos de cada tipo de evento.

3. Define qu se entiende por espacio muestral.

4. Cul es la frmula para calcular la probabilidad clsica?

5. Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un cinco?

6. Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda al mismo

tiempo sala (sol, 4).

7. Cul es la probabilidad de que al lanzar un dado y una moneda al mismo

tiempo saga (sol, 4) (guila, 2).

8. Cul es la probabilidad de que al lanzar dos dados salgan (6,1) 5,3)?

9. Cuntos mens se pueden hacer con 3 tipos de sopa, 2 de guisado y 3 de

postres? Haz un diagrama de rbol que ejemplifique el problema.

10. De cuntas maneras diferentes se pueden sentar 6 personas en una fila que

tiene 6 sillas?

11. Un vendedor necesita acomodar 12 libros en un exhibidor de siete lugares De

cuntas maneras puede hacerlo?

12. Si un profesor quiere formar una escolta con 25 nios de un grupo Cuntas

combinaciones puede obtener?

13. Si se lanza una moneda 4 veces Cul es la probabilidad de que en todas salgan

soles?

BIBLIOGRAFA:

Matemticas II con enfoque en competencias.

Autores: Patricia Ibez Carrasco y Gerardo Garca Torres.

Editorial: CENGAGE Learning, Ao 2010.

Matemticas II Enfoque por Competencias.

Autor: Arturo Mndez Hinojosa.

Editorial Santillana, 2009.

Construyendo competencias en matemticas 2 hacia una formacin integral.

Autor: Carlos Alberto Quezada Maya.

Editorial: GES, Ao 2009.

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Matematicas II