Matematicas II

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Matemática II

MODALIDAD A DISTANCIA

GUÍA DIDÁCTICA

ELEMENTOS ESTRUCTURALES:

CARÁTULA

INTRODUCCIÓN

CARACTERIZACION DE LA ASIGNATURA

IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA

RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS

PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

PROGRAMACIÓN DE UNIDADES

BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA

ÍNDICE DE CONTENIDOS

EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL PRIMER HEMISEMESTRE

EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE DEL SEGUNDO HEMISEMESTRE



CARATULA

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS


CARRERA:

ADMINISTRACIÓN PÚBLICA

EJE DE FORMACIÓN: FORMATIVO

ASIGNATURA: MATEMÁTICA II

NÚMERO DE CRÉDITOS: 6

SEMESTRE: MARZO 2015 - SEPTIEMBRE 2015

PROFESOR:

Ing. Flavio Parra

MSc. María López.

MSc. César A. Yépez.



INTRODUCCION

CARACTERIZACIÓN DE LA ASIGNATURA

La Matemática II es una ciencia instrumental del saber humano, por lo tanto es indispensable en la

formación profesional de las carreras a nivel superior.

Se preocupa de impartir conocimientos sólidos de carácter práctico orientados a la toma de

decisiones gerenciales como: revisar balances, estados de cuenta, avance de proyectos, análisis

estadísticos, financieros, etc.

IMPORTANCIA PARA LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL.

Contribuye a la formación y estructura lógica del pensamiento humano y al desarrollo de valores

en los estudiantes.

Proporciona las herramientas fundamentales para la solución de problemas relacionados con las

diferentes carreras.

RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS

La Matemática II es prerrequisito para el desarrollo de las diferentes asignaturas del área, que se

impartirán en los siguientes niveles, tales como: Matemática Financiera y Estadística I y II;



constituye además, soporte para otras áreas académicas como: Economía, Contabilidad e

Informática.

PROGRAMACIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA.

Nombre de la Asignatura: MATEMÁTICA II

Competencia de la Asignatura: Al finalizar el semestre, el/la estudiante resuelve problemas

aplicados a las especializaciones de las tres carreras, mediante la implementación de modelos

matemáticos, con iniciativa, orden y precisión.

COMPETENCIAS UNIDADES

Resuelve problemas que involucran la solución

de sistemas de ecuaciones multivariables,

mediante métodos matriciales, con orden y

precisión.

PRIMERA UNIDAD: Algebra de Matrices.

Resuelve problemas de maximización y

minimización de funciones con el uso del

conocimiento de la programación lineal por el

método gráfico, con orden, precisión y claridad.

SEGUNDA UNIDAD: Desigualdades lineales

con dos variables

Resuelve problemas de continuidad con

funciones multivariables , aplicando las

propiedades de límites con orden y exactitud.

TERCERA UNIDAD: Límites y continuidad de

variable real

Resuelve problemas de rectas tangentes a una

curva, razones de cambio (marginales) e

índices conociendo los límites y derivación de

funciones utilizadas en la Administración y

Economía con iniciativa, orden y precisión.

CUARTA UNIDAD: Cálculo Diferencial



Resuelve problemas de razones de cambio e

índices, trazado de curvas, maximizar y

minimizar funciones algebraicas y

trascendentes utilizadas en la Administración y

Economía, organizadamente y con exactitud.

QUINTA UNIDAD: Trazado de curvas y

optimización de funciones

Resuelve problemas de área entre curvas,

excedentes de productores y consumidores

utilizadas en la Administración y Economía con

iniciativa y precisión.

SEXTA UNIDAD: Cálculo integral



9. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES DE COMPETENCIA UNIDAD I: ALGEBRA DE MATRICIAL OBJETIVO: Aplicar los conocimientos de Algebra de Matrices en la resolución de problemas empresariales.

UNIDAD DE COMPETENCIA

N° DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)

TRABAJO AUTÓNOMO TÉCNICAS/INSTRUMENTOS

DE EVALUACIÓN

CRITERIO DE VALORACIÓN

Reconoce acertadamente las concepciones y propiedades de matrices y aplica las herramientas tecnológicas en los cálculos de los procesos administrativos que tiene una empresa con orden y precisión

2

Definición y orden

Igualdad de matrices

Analizar datos y los estructura en un arreglo

de filas y columnas

Estudio de la Guía de apoyo y

planteamiento de inquietudes

mediante foros virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

3

Traspuesta de una matriz

Tipos de matrices

Definir la matriz traspuesta y los diferentes

tipos de matrices con ejemplos

Exposición dialogada del tema

en las tutorías virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

5

Operaciones con

matrices

Reducción de matrices

Realizar operaciones combinadas con

matrices.

Foro heurístico a través del

chat, en tiempo sincrónico

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

5

Sistema de ecuaciones

con matrices

Problemas de aplicación

Resolver sistemas de ecuaciones por el

método de matrices y aplica a la resolución

de problemas.

Trabajo cooperativo para la

solución de problemas, a

través de la utilización de

wikis.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

METODOLOGÍA: Aprendizaje a Base de Problemas, Preguntas y respuestas,

Tutorías individuales y Grupales, Lecturas

RECURSOS: Plataforma virtual, Texto Guía

Guía de estudios

BIBLIOGRAFÍA: Matemática para la

Administración y la Economía, Haussler

doceava Edición.

Resultado de Aprendizaje: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas que involucran la solución de sistemas de ecuaciones multivariables aplicando matrices.

Juicio de valor: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas que involucran la solución de sistemas de ecuaciones multivariables aplicando matrices con orden y

precisión.



UNIDAD II: DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES

OBJETIVO: Interpretar gráficamente un sistema de desigualdades lineales y/o cuadráticas con dos variables en su optimización para la toma de decisiones empresariales


N° DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)

TRABAJO AUTÓNOMO

TÉCNICAS/INSTRUMENTOS

DE EVALUACIÓN


Grafica desigualdades lineales y/o cuadráticas con dos variables e interpreta los resultados a fin de aplicarlos en la optimización de la toma de decisiones en una empresa con responsabilidad y honestidad.

3

Desigualdades lineales con

dos variables

Realiza trabajos aplicando modelos. Estudio de la Guía de apoyo y



Dominio

Avance

Proceso

Inicio

4

Solución gráfica de sistema

de desigualdades lineales

Determina gráficamente la solución de un

sistema de desigualdades.

Exposición dialogada del tema

en las tutorías virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

4

Fundamentos de

Programación lineal

Formula problemas de programación lineal Foro heurístico a través del

chat, en tiempo sincrónico

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

5


Expone la forma como resolver problemas

de programación lineal.

Trabajo cooperativo para la

solución de problemas, a

través de la utilización de

wikis.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

METODOLOGÍA: Aprendizaje a Base de Problemas

Enseñanza Problémica, Preguntas y Respuestas,

Tutorías individuales y Tutorías grupales


Guía de estudios

BIBLIOGRAFÍA: Matemática para la Administración y la Economía,

Haussler doceava Edición.

Resultado de Aprendizaje: Al término de la unidad el alumno será capaz de lantear y resolver problemas de maximización y minimización con los conocimientos de programación lineal por el método gráfico.

Juicio de valor: Al término de la unidad el alumno será capaz de plantear y resolver problemas de maximización y minimización con los conocimientos de programación lineal con orden y exactitud.



UNIDAD III: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE VARIABLE REAL

OBJETIVO: Comprender el significado de la aproximación de funciones a través de límites, para su aplicación en el ámbito financiero.


N° DE HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)

TRABAJO AUTÓNOMO

TÉCNICAS/INSTRUMENTOS DE

EVALUACIÓN


Aproxima resultados de funciones multivariables por medio de los límites y la continuidad, con el objeto de garantizar los cálculos financieros con exactitud.

2

Definición de límite de una

variable y una función

Explica la importancia de aplicar funciones y

límites


planteamiento de inquietudes mediante

foros virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

3

Teoremas sobre límites Demuestra los teoremas de límites en la

resolución de ejercicios propuestos

Exposición dialogada del tema en las

tutorías virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

4

Límites especiales

Indeterminaciones

Reconoce límites al infinito y límites

laterales de las funciones y evalúa los

resultados

Foro heurístico a través del chat, en

tiempo sincrónico

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

5

Continuidad aplicada a las

desigualdades

Distingue y explica los campos de

existencia de las funciones

Trabajo cooperativo para la solución

de problemas, a través de la utilización

de wikis.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio


Enseñanza Problémica, Preguntas y respuestas,

Tutorías grupales, Tutorías individuales.


Guía de estudios



Resultado de Aprendizaje: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas de índole comercial, financiero y económico aplicando la continuidad de funciones.

Juicio de valor: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas de índole comercial, financiero y económico aplicando la continuidad de funciones con exactitud y precisión.



UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL

OBJETIVO.- Resolver problemas de aplicación práctica con utilización de derivadas, y/o integrales, función marginal, máximos y mínimos, para perfeccionar el desarrollo de la empresa.


N° DE HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)

TRABAJO AUTÓNOMO


EVALUACIÓN


Interpreta y aplica la pendiente de la recta tangente a una curva, con el objeto de encontrar una función de la empresa que determine el comportamiento marginal de ella para optimizar recursos de una empresa con orden y precisión

2

Definición

Interpretación geométrica de

la derivada

Interpreta geométricamente la derivada

de una función


planteamiento de inquietudes mediante

foros virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

3

Reglas para derivar funciones

explícitas: suma,

producto, potencia, cociente

Presenta características de las distintas

formas de derivación.



Dominio

Avance

Proceso

Inicio

4

Derivadas de funciones

trascendentales:

Exponenciales y logarítmicas

Resuelve problemas de ingreso y costo

marginal aplicando derivadas

trascendentales.

Foro heurístico a través del chat, en tiempo

sincrónico

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

5

Derivadas de funciones

implícitas

Derivadas de orden superior

Obtiene derivadas sucesivas de orden

superior

Trabajo cooperativo para la solución de

problemas, a través de la utilización de

wikis.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio


Enseñanza Problémica


Guía de estudios



Resultado de Aprendizaje: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas de índole comercial, financiero y económico aplicando derivadas de funciones explícitas, implícitas y trascendentales.

Juicio de valor: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas de índole comercial, financiero y económico aplicando derivadas de funciones explícitas, implícitas y trascendentales con orden y precisión



UNIDAD V: DERIVADAS –TRAZADO DE CURVAS - OPTIMIZACION DE FUNCIONES- MAXIMOS Y MINIMOS OBJETIVO.- Resolver problemas de aplicación práctica con utilización de derivadas, y/o integrales, función marginal, máximos y mínimos, para perfeccionar el desarrollo de la empresa.


N° DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)

TRABAJO AUTÓNOMO


EVALUACIÓN


Desarrolla modelos matemáticos de optimización que indiquen el comportamiento factible de una empresa en equilibrio con orden y exactitud.

2

Trazado de curvas

Investiga los métodos para el

trazado de curvas

Estudio de la Guía de apoyo y planteamiento

de inquietudes mediante foros virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

3

Máximos y Mínimos

Puntos críticos

Presenta características de los

gráficos con máximos y mínimos

Exposición dialogada del tema en las tutorías

virtuales.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

2

Concavidad, puntos de

inflexión

Elabora gráficos claros y precisos Foro heurístico a través del chat, en tiempo

sincrónico

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

3

Optimización de costos

Resuelve problemas sobre costos e

ingresos marginales

Trabajo cooperativo para la solución de

problemas, a través de la utilización de wikis.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio


Enseñanza Problémica


Guía de estudios



Resultado de Aprendizaje: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas de costos utilizando máximos y mínimos.

Juicio de valor: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas de costos utilizando máximos y mínimos en forma rigurosa.



UNIDAD VI: CÁLCULO INTEGRAL

OBJETIVO: Identificar las posiciones de una curva, con el fin de inferenciar las oportunidades de maximizar ganancias y minimizar costos.


N° DE

HORAS

ELEMENTOS DE

COMPETENCIA

(contenidos)

TRABAJO AUTÓNOMO


EVALUACIÓN


Identifica las posiciones de una curva, con el fin de inferenciar las oportunidades de maximizar ganancias y minimizar costos con precisión.

3

-Diferenciales

-Fórmulas de integración

Utiliza las fórmulas de integración para

integrar funciones




Dominio

Avance

Proceso

Inicio

6

Técnicas de integración

Emplea diferentes técnicas de

integración

para integrar funciones



Dominio

Avance

Proceso

Inicio

6

Áreas entre las curvas

Aplica las fórmulas de integración para

determinar el área entre las curvas

Foro heurístico a través del chat, en

tiempo sincrónico

Dominio

Avance

Proceso

Inicio

5

Excedentes de consumidores

y productores

Resuelve problemas de excedentes y

consumidores utilizando la integración

Trabajo cooperativo para la solución

de problemas, a través de la

utilización de wikis.

Dominio

Avance

Proceso

Inicio


Enseñanza Problémica, Tutorías grupales, Tutorías

Individuales, Preguntas y Respuestas.


Guía de estudios



Resultado de Aprendizaje: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas utilizando integrales.

Juicio de valor: Al término de la unidad el alumno será capaz de resolver problemas utilizando integrales con orden y exactitud.



12

BIBLIOGRAFÍA Y NETGRAFÍA

TEXTO GUÍA: Ernest Hausler Jr. Y Richard PAUL “Matemáticas para

Administración, Economía”, décima segunda edición. Prentice Hall,

México 2008

TEXTO COMPLEMENTARIO 1: Margaret L. LIAL y Thomas W:

HUNGERFORD “Matemáticas para Administración y Economía en las

Ciencias Sociales, Naturales y de Administración”, séptima edición,

México 2000

TEXTO COMPLEMENTARIO 2: Jagdish C. Arya Y Robin W. Lardner

“Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía”, cuarta

edición, México 2000

NETGRAFÍA

DEFINICIÓN Y CLASES DE MATRICES:

https://www.youtube.com/watch?v=LY3p7Kl84vk

PRODUCTO DE MATRICES:

http://www.ematematicas.net/matrices.php?a=&tipo=4

MATRICES, CALCULO DIFERENCIAL:

http://www.zweigmedia.com/RealWorld/index.html

VIDEO DE MATRICES: http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us

CALCULO DIFERENCIAL:

https://www.youtube.com/results?search_query=profe+julio+calculo+diferencial

CALCULO INTEGRAL:

https://www.youtube.com/results?search_query=profe+julio+calculo+INTEGRAL

https://www.youtube.com/watch?v=LY3p7Kl84vk

http://www.ematematicas.net/matrices.php?a=&tipo=4

http://www.zweigmedia.com/RealWorld/index.html

http://www.youtube.com/watch?v=eRBuGozq6Us

https://www.youtube.com/results?search_query=profe+julio+calculo+diferencial

https://www.youtube.com/results?search_query=profe+julio+calculo+INTEGRAL



13

ÍNDICE

INFORMACIÓN GENERAL……………………………………………………………………………16

INFORMACIÓN GENERAL A LA GUÍA DIDÁCTICA……………………………………………...18

PRIMERA PARTE…………………………………………………………………………………...….21

UNIDAD I : ALGEBRA MATRICIAL………………………………………………………………….21

1. DEFINICIÓN Y ORDEN DE MATRICES………………………………………………………….21

2. IGUALDAD DE MATRICES………………………………………………………………………...22

3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ……………………………………………………………….22

4. TIPOS DE MATRICES………………………………………………………………………………23

5. OPERACIONES MATRICIALES Y PROPIEDADES…………………………………………....24

6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS MATRICIALES…………28

7. PROBLEMAS DE APLICACIÓN EN ADMINISTRACIÓN………………………………….…31

CONSULTAS EN EL TEXTO………………………………………………………………………….34

EJERCICIOS DE APLICACIÓN…………………………………………………………………..…..34

AUTO EVALUACIÓN…………………………………………………………………………………..36

CONSOLIDACIÓN…………………………………………………………………………………...…37

UNIDAD II: DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES……………………….…...38

1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES………………………………………38

2. PROGRAMACIÓN LINEAL (MÉTODO GRAFICO)……………………………………………..41


EJERCICIOS DE APLICACIÓN………………………………………………………………………49

AUTO EVALUACIÓN…………………………………………………………………………………..51

CONSOLIDACIÓN……………………………………………………………………………………...52

UNIDAD III: LÍMITES Y CONTINUIDAD…………………………………………………………..…53

1. LÍMITES, DEFINICIÓN………………………………………………………………………………53

2 LÍMITES DE LA FORMA 𝟎 𝟎 , 𝐊 𝟎⁄⁄ ; LÍMITES LATERALES…………………………..………55

3 CONTINUIDAD APLICADA A LAS DESIGUALDADES………………………………….……..58


EJERCICIOS DE APLICACIÓN…………………………………………………………………...….60

AUTO EVALUACIÓN…………………………………………………………………………………..61

CONSOLIDACION…………………………………………………………………………………...…62

UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL……………………………………………………………..63



14

1. LA DERIVADA……………………………………………………………………………………….63

2. REGLAS DE DERIVACIÓN ………………………………………………………………………66

3. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO………………………………………………...….68

4. REGLA DEL PRODUCTO Y COCIENTE……………………………………………………...…71

5. REGLA DE LA CADENA Y DE LA POTENCIA………………………………………………….73


EJERCICIOS DE APLICACIÓN…………………………………………………………………...….77

AUTO EVALUACIÓN…………………………………………………………………………………..79

CONSOLIDACIÓN……………………………………………………………………………………...80

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Primer trabajo a entregar)…………………………………...….81

SEGUNDA PARTE……………………………………………………………………………………..82

UNIDAD V: DERIVADAS - TRAZADO DE CURVAS - OPTIMIZACION DE FUNCIONES-

MÁXIMOS YMININOS………………………………………………………………………………….82

1. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS………………………………………………..82

2. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES………………………………………..……84

3. DERIVADA DE FUNCIONES DE BASE b………………………………………………………..85

4. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA ……………………………………………………………………86

5. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA……………………………………………………………….87

6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR ……………………………………………………………88

7. TRAZADO DE CURVAS……………………………………………………………………...…….88

7.1 EXTREMOS RELATIVOS, MÁXIMOS Y MÍNIMOS…………………………………………....88

7.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN…………………………………………………….89

7.3 PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA………………………………………………………94

8. APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS……………………………………………………….95


EJERCICIOS DE APLICACIÓN……………………………………………………………………....98

AUTO EVALUACIÓN………………………………………………………………………………...100

CONSOLIDACIÓN…………………………………………………………………………………….101

UNIDAD VI: INTEGRACIÓN…………………………………………………………………….…...102

1. INTEGRACIÓN………………………………………………………………………………….….102

1.2 DIFERENCIALES…………………………………………………………………………….…...102

1.2 INTEGRAL INDEFINIDA…………………………………………………………………….…..106

1.3 REGLAS DE INTEGRACIÓN…………………………………………………………….…….107



15

1.4 INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN…………………………….………107

1.5 INTEGRACIÓN CON DIVISIÓN PREVIA………………………………………………….….109

1.6 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES……………………………………….….110

2. LA INTEGRAL DEFINIDA…………………………………………………………………….…111

2.1 CÁLCULO DE ÁREAS……………………………………………………………………….…112

2.2 EXCEDENTE DE CONSUMIDORES Y DE PRODUCTORES………………………….…116

CONSULTAS EN EL TEXTO…………………………………………………………………….….118

EJERCICIOS DE APLICACIÓN………………………………………………………………….…118

AUTO EVALUACIÓN………………………………………………………………………….……..119

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Segundo trabajo a entregar)…………………………….……120

RESPUESTAS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y CONSOLIDACIÓN…………….……..121



16

INFORMACIÓN GENERAL

INTRODUCCIÓN:

En una empresa, los diferentes puestos requieren de conocimientos sólidos en matemáticas y

en los niveles de mayor responsabilidad o jerarquía, se precisan de amplios conocimientos. En

el nivel de alta dirección es mayor el compromiso de un conocimiento de carácter práctico y

sobre todo orientado a la toma de decisiones gerenciales.

¿Por qué son importantes las matemáticas?

En el caso que nos ocupa, su formación en las especialidades de Administración de Empresas,

Administración Pública o Contabilidad y Auditoría, hará que se desempeñe en empresas e

instituciones en los niveles de dirección para la toma de decisiones, deberá revisar documentos

y emitir una opinión profesional decisiva y definitiva sobre estudios, proyectos o informes, que

necesariamente contendrán cálculos matemáticos.

¿En qué aplica las matemáticas?

Durante el trabajo profesional debe enfrentarse con el mundo de los números, por ejemplo

para revisar balances, estados de cuenta, avance de proyectos; para el muestreo estadístico

piedra angular en cualquier proceso de gestión, etc. En fin en la realización de su trabajo,

siempre estará conectado a las matemáticas y deberá necesariamente tener conocimientos

con bases sólidas. Aplicará el razonamiento en los cálculos, la agilidad mental para el

desarrollo lógico y la interpretación profesional de resultados. Todo esto debe demostrarle la

inmensa responsabilidad e importancia que para su futuro desempeño profesional tendrá la

ciencia matemática.

En conclusión, esperamos haberle demostrado que, durante su vida profesional no le será

posible “huir de las matemáticas”, por lo tanto, es mejor que se adapte a ella y procure “llevarse

bien con esta ciencia”. Esto lo que pretende el curso de Matemática Básica 2, que “pierda el

recelo a la matemática”, y se dé cuenta que no es difícil entenderla y aprender.



17

COMPETENCIAS DE LA MATERIA.

Al finalizar el curso está en capacidad de resolver problemas sobre situaciones relacionadas

con la Administración, la Economía, las Finanzas a nivel productivo y creativo, aplicando

métodos y modelos matemáticos sencillos. Trabajar en grupos, tomar decisiones, buscar las

mejores alternativas de solución de problemas, con solvencia, honestidad y rigurosidad

científica.

MACRO CONTENIDOS DE LA MATERIA

Desigualdades con dos variables (programación lineal)

Límites y derivación.

Integración.

MÉTODOS DE APRENDIZAJE SUGERIDOS:

Lectura comprensiva

Inductivo-deductivo

Analítico- sintético

Resolución de ejercicios de aplicación.

ESTRUCTURA DE LA GUÍA.

Esta guía le proporcionará una información secuencial de los pasos a seguir en su estudio, la

misma está conformada de dos partes; así:

PRIMERA PARTE

UNIDAD I: Capítulo 6: Algebra matricial

UNIDAD II: Capítulo 7: Desigualdades lineales con dos variables

UNIDAD III: Capítulo 10 : Límites y Continuidad

UNIDAD IV: Capítulo 11: Derivación

SEGUNDA PARTE

UNIDAD V: Capítulo 12 y 13: Trazado de curvas y optimización

UNIDAD VI: Capítulo 14: Integración



18

Cada una de las unidades contienen; su respectiva planificación didáctica como son:

competencias, contenidos, duración, ejemplificación, evaluación, auto evaluación y

orientaciones especiales.

BIBLIOGRAFÍA

TEXTO GUÍA: Ernest Hausler Jr. Y Richard PAUL “Matemáticas para Administración,

Economía”, décima segunda edición. Prentice Hall, México 2008

TEXTO COMPLEMENTARIO: Margaret L. LIAL y Thomas W: HUNGERFORD “Matemáticas

para Administración y Economía en las Ciencias Sociales, Naturales y de Administración”,

séptima edición, México 2000

TEXTO COMPLEMENTARIO: Jagdish C. Arya Y Robin W. Lardner “Matemáticas Aplicadas a

la Administración y a la Economía”, cuarta edición, México 2000



19

INFORMACIÓN GENERAL A LA GUÍA DIDÁCTICA

INTRODUCCIÓN

Pensando en Ud. como elemento productivo de la sociedad; se ha elaborado esta guía, que le

permitirá tener las facilidades para el estudio en la Modalidad de Estudios a Distancia. El éxito

que obtengamos dependerá principalmente de su dedicación, responsabilidad y honestidad con

que asuma este reto.

La matemática ha permitido el desarrollo de todas las ciencias, por lo que el conocimiento de

ésta, creará en Ud. la confianza para ser utilizada como una herramienta de trabajo, le

ayudará en el futuro a cumplir con los objetivos trazados, le permitirá tomar decisiones con

facilidad en su futura vida profesional.

El método de enseñanza diseñado en esta guía, garantiza el éxito en su estudio. Está dirigido

especialmente aquellas personas que poseen una auto confianza en la disciplina de estudio y

en la organización de actividades.

IMPORTANCIA DE LA GUÍA

La presente guía didáctica recoge todo un sistema de métodos y procedimientos elaborados

con criterios técnicos y metodológicos, se compone de ejercicios prácticos, como resultado de

una revisión y aplicación del texto base, textos complementarios y experiencias de los tutores,

que le permitirán aplicarlos en las tareas a presentarse como parte de su evaluación.

TIEMPO ESTIMADO DE ESTUDIO.

Para el proceso de aprendizaje de ésta guía se ha considerado un tiempo de 10 horas

semanales, para el conocimiento de la parte teórica y el desarrollo de ejercicios que le

permitirá afirmar el conocimiento.

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS

Debe orientar su estudio en el texto guía, de ser necesario en el texto complementario.

Estudie con detenimiento el marco teórico de cada capítulo, ejercicios resueltos y estará en

condiciones de resolver la evaluación de cada tema en estudio.



20

El texto base ha sido escogido por su presentación, claridad y gran variedad de ejercicios

de aplicación práctica, resueltos y propuestos en la Administración y Economía.

Cada capítulo inicia con una introducción del tema, en él se indica la utilidad práctica y la

competencia a conseguir. Continúa con la base teórica; aquí es necesario; que estudie

conceptos y fórmulas importantes. El texto presenta buena cantidad de ejercicios resueltos, le

sugiero que los vuelva a resolver, no únicamente revisarlos, de esta manera se familiariza con

términos y procesos de solución.

En los ejercicios propuestos empiece resolviendo ejercicios impares, la respuesta está al

final del texto, ésta práctica le permite afirmar su conocimiento teórico. Le recomiendo ir

solucionando los principios en práctica. Todo este proceso le permitirá realizar los ejercicios de

evaluación sin dificultad.

Al final de cada capítulo; tenemos un subcapítulo de repaso, en él se resumen conceptos y

fórmulas importantes, además de los ejercicios de auto evaluación en color celeste con su

respuesta, que le permite una retroalimentación en su conocimiento.

Los ejercicios de aplicación son ejercicios que debe realizar para afirmar su conocimiento

teórico, no debe enviar para su evaluación.

Los ejercicios de evaluación son los ejercicios que debe presentar en los horarios

establecidos por la Modalidad de estudios a Distancia.

Los trabajos deben presentarse con letra manuscrita, a esferográfico o tinta, pero nunca a

lápiz; de preferencia en papel cuadriculado y a una sola cara de la hoja. No utilice máquina de

escribir o computadora.

La solución de ejercicios o problemas numéricos que son parte de su trabajo, contendrá todo el

proceso de cálculo así: enunciado, planteamiento, fórmulas y simbología, sustitución numérica

de símbolos, tablas y gráficos, resultados con interpretación (si se solicita) que responda a las

inquietudes formuladas en el enunciado del ejercicio.

TRABAJOS. Debe presentar un trabajo por cada Hemi semestre valorado con 4 puntos y la

participación en el foro 2 puntos en las fechas determinadas en el cronograma de actividades.



21

EXÁMENES: Debe rendir 1 examen presencial por Hemi semestre valorado con 14 puntos en

día y hora señalados en el cronograma de actividades.

PRIMERA PARTE

UNIDAD I: ALGEBRA MATRICIAL

Competencia: Conocer el álgebra matricial, para la solución de problemas administrativos y

económicos con precisión y exactitud.

Contenido:

Definición y orden

Igualdad de matrices

Transpuesta de una matriz

Tipos de matrices

Operaciones con matrices y propiedades

Solución de sistemas de ecuaciones con métodos matriciales


VINCULACIÓN CON CONOCIMIENTOS ANTERIORES

Capítulo 0: Factorización

Capítulo 2: Ecuaciones e inecuaciones

Capítulo 3: Graficas en coordenadas rectangulares

1. DEFINICIÓN Y ORDEN DE MATRICES

Una matriz es un arreglo rectangular que consiste en m renglones o filas y n columnas;

denotada con una letra mayúscula y es una matriz de tamaño u orden mxn.

A =

[ a11 a12 … … a1na21 a22 … … a2n⋮⋮am1

⋮⋮am2

………

………

⋮⋮amn]



22

Para ubicar cualquier elemento de una matriz, se designa a i para la fila o renglón y con j para

la columna (aij)

Ejemplo: (a) Determine el orden de la matriz y (b) el valor de los elementos a13,a24, a33.

A= [

3 0 1 −2−2 5 7 52 6 −8 41 2 0 −3

]

(a) A4x4

(b) a13 = 1 ; a24 = 5 ; a33 = −8

2. IGUALDAD DE MATRICES

Las matrices A y B son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y cada elemento de la matriz

aij es igual a su correspondiente bij.

Ejemplo: Determine los valores de x, y, z para que las matrices sean iguales.

A= [

1 2 4 −10 3 𝑥 + 𝑦 −5−3 1 4 00 1 𝑥 − 𝑧 3

] B = [

1 𝑥 4 −10 3 2 −5−3 1 4 00 1 8 3

]

Observe que en la igualdad de matrices no solo intervienen valores numéricos, sino también

expresiones algebraicas.

x = 2

x + y = 2 2 + y = 2 y = 0

x − z = 8 2 − z = 8 z = −6

3. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La transpuesta de la matriz A de mxn, es la matriz denotada por ATde tamaño nxm. En otras

palabras es la matriz que tiene como filas las columnas de la matriz A.

𝐴 = [1 0 3 −22 −3 4 59 −6 4 3

] 𝐴𝑇 = [

1 2 90 −3 −63 4 4−2 5 3

]



23

4. TIPOS DE MATRICES

Matriz Cero. Es la matriz de mxn en que todas sus entradas son cero.

0 = [0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

]

Matriz Cuadrada. Es la matriz de mxn, donde el número de filas es igual al número de

columnas.

B = [2 5 −7−1 0 63 4 −8

]

Matriz diagonal. Es una matriz cuadrada, en que todas las entradas fuera de la diagonal

principal son cero, en este tipo de matriz tenemos también a la matriz identidad(I) en la cual

todas las entradas de la diagonal principal son 1.

𝐴 = [

1 0 0 00 −5 0 00 0 4 00 0 0 7

] 𝐼 = [1 0 00 1 00 0 1

]

MATRIZ DIAGONAL MATRIZ IDENTIDAD

Matriz triangular superior, es una matriz cuadrada si todas las entradas debajo de la diagonal

superior son cero y es una Matriz triangular inferior, si todas las entradas sobre la diagonal

superior son cero.

𝐴 = [

1 2 4 −10 −5 3 50 0 4 00 0 0 7

] 𝐴 = [

0 0 0 −10 0 3 50 6 4 72 −10 3 7

]

MATRIZ SUPERIOR MATRIZ INFERIOR

Vector renglón. Es una matriz que tiene exactamente un renglón o fila.

𝐴 = [1 −6 9 2]

Vector columna. Es una matriz que tiene solo una columna.

𝐴 = [

1−234

]



24

5. OPERACIONES MATRICIALES Y PROPIEDADES

5.1 Suma y resta de matrices. Sean A y B matrices de mxn, existe las operaciones de suma y

resta, si las dos matrices tienen el mismo orden o tamaño.

Ejemplo: Realice las siguientes operaciones matriciales: A + B; B − A

𝐴 = [

2 −3 04 1 82 4 5−3 4 0

] 𝐵 = [

0 9 −15 2 4−3 2 10 5 2

]

𝐴 + 𝐵 = [

2 + 0 −3 + 9 0 − 14 + 5 1 + 2 8 + 42 − 3 4 + 2 5 + 1−3 + 0 4 + 5 0 + 2

] = [

2 6 −19 3 12−1 6 6−3 9 2

]

𝐵 − 𝐴 = [

0 − 2 9 + 3 −1 + 05 − 4 2 − 1 4 − 8−3 − 2 2 − 4 1 − 50 + 3 5 − 4 2 − 0

] = [

−2 12 −11 1 −4−5 −2 −43 1 2

]

Sean A, B y O matrices del mismo orden de nxm, entonces las siguientes propiedades se

cumplen para la suma y resta de matrices.

1. A + B = B + A A − B = −B + A "Propiedad conmutativa"

2. A + (B + C) = (A + B) + C "Propiedad asociativa"

3. A + O = O + A = A "Propiedad de identidad"

5.2 Multiplicación por un escalar. Es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de

la matriz A de orden mxn por un número real k, obteniéndose una matriz kA de orden mxn.

Ejemplo: Realice las operaciones matriciales.

𝐴 = [2 −34 1

] B = [1 −23 5

] C = [1 −23 5

]

a) −2A

−2𝐴 = −2 [2 −34 1

] = [−4 68 −2

]



25

b) 3C − 2B + A

3 [1 −23 5

]- 2 [1 −23 5

] + [2 −34 1

]

= [3 −69 15

] - [2 −46 10

] + [2 −34 1

] = [3 −57 6

]

Sean A, B y O matrices del mismo orden de mxn y k, l números reales, las siguientes

propiedades se cumplen para la multiplicación de las matrices por un escalar.

1. k(A + B) = kA + kB

2. (k + l)A = kA + lA

3. k(lA) = (kl)A

4. OA = O

5. kO = O

6. (A + B)T = AT + BT

7. (kA)T = kAT

5.3 Producto matricial. Sean A una matriz de mxn y B una matriz de nxp.El producto AxB es

la matriz C de orden mxp. En otras palabras existe producto matricial si el número de columnas

de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

Cada entrada de C se obtiene de la suma de los productos de las entradas de la fila de la

primera matriz con las entradas de la columna de la segunda matriz.

Ejemplo: Realice las operaciones matriciales.

A = (1 −2 10 2 4−2 3 1

) B = (3 25 14 −3

)

a) A.B

AB = (

1(3) + (−2)(5) + 1(4) 1(2) + (−2)(1) + 1(−3)

0(3) + 2(5) + 4(4) 0(2) + 2(1) + 4(−3)

(−2)(3) + 3(5) + 1(4) (−2)(2) + 3(1) + 1(−3)

)

AB = (−3 −326 −1013 −4

)



26

A = (1 0 −2

−1 2 1) B = (

2 0 1−1 5 40 1 −3

) C = (1 3 −10 2 −4

)

b) H = A. B − 2C

H = (1 0 −2−1 2 1

)*(2 0 1−1 5 40 1 −3

) - 2 (1 3 −10 2 −4

)

H = (2 −2 7−4 11 4

) - H = (2 6 −20 4 4

) = H = (0 −8 9−4 7 8

)

La multiplicación de matrices satisface las propiedades siguientes, siempre y cuando las sumas

y los productos estén definidos.

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B + C) = AB + AC

3. (A + B)C = AC + BC

Ejemplo: Costos de suministros. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de

madera, ladrillos, concreto, vidrio y pintura de cualquiera tres proveedores. Los precios que

cada proveedor fija a cada unidad de estos cinco materiales están dados en la matriz A.

A = [

𝑴𝒂𝒅𝒆𝒓𝒂 𝑳𝒂𝒅𝒓𝒊𝒍𝒍𝒐 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒓𝒆𝒕𝒐 𝑽𝒊𝒅𝒓𝒊𝒐 𝑷𝒊𝒏𝒕𝒖𝒓𝒂8 5 7 2 49 4 5 2 59 5 6 1 5

] 𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑰𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑰𝑰𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑰𝑰𝑰

En esta matriz, cada renglón se refiere a un proveedor y las columnas a los materiales, en el

orden listado arriba. El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en

cualquier obra particular al mismo proveedor para minimizar los costos de transportación. Hay

tres obras en construcción actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de

ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades,

respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10 y 12 unidades, respectivamente. Disponga

esta información en una matriz B5x3 y forme la matriz producto AB. Interprete los elementos de

este producto y úselos con el propósito de decidir cuál proveedor debería usar en cada obra.



27

B =

[ 𝑶𝒃𝒓𝒂 𝑰 𝑶𝒃𝒓𝒂 𝑰𝑰 𝑶𝒃𝒓𝒂𝑰𝑰𝑰20 15 304 0 105 8 203 8 103 2 12 ]

𝑴𝒂𝒅𝒆𝒓𝒂𝑪𝒐𝒏𝒄𝒓𝒆𝒕𝒐𝑳𝒂𝒅𝒓𝒊𝒍𝒍𝒐𝒔𝑽𝒊𝒅𝒓𝒊𝒐𝑷𝒊𝒏𝒕𝒖𝒓𝒂

A.B = [

𝑶𝒃𝒓𝒂 𝑰 𝑶𝒃𝒓𝒂 𝑰𝑰 𝑶𝒃𝒓𝒂𝑰𝑰𝑰233 200 4984 0 4903 8 10

] 𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑰𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑰𝑰𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆𝒆𝒅𝒐𝒓 𝑰𝑰𝑰

Los resultados obtenidos indican el costo de los materiales de cada proveedor para

cada una de las obras, que nos conducen a determinar que lo conveniente es comprar

los materiales con el proveedor I.

5.4 Ecuaciones matriciales. Un sistema de ecuaciones lineales puede ser representado

mediante multiplicación de matrices.

Considere el sistema de ecuaciones lineales.

2x − 3y − z = −3

3x − 5y + 2z = 5

−2x + 4y + 7z = 0

El sistema de ecuaciones puede representarse en forma matricial.

[2 −3 −13 −5 2−2 4 7

] ∗ [𝑥𝑦𝑧] = [

−350]

Donde A es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas y B la matriz de las constantes o

términos independientes.

𝐀 ∙ 𝐗 = 𝐁 Ecuación Matricial: donde

A = [2 −3 −13 −5 2−2 4 7

] X = [𝑥𝑦𝑧] B = [

−350]



28

En los siguientes temas se estudia métodos para la solución del sistema de ecuaciones.

6. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON MÉTODOS

MATRICIALES.

6.1 Método de la matriz reducida. El método consiste en realizar operaciones elementales

sobre los renglones o filas, para que las entradas de la diagonal principal sea 1 y el resto de

entradas arriba y debajo de la diagonal principal sean ceros. Para lo cual debemos observar la

siguiente nomenclatura y reglas.

Nomenclatura:

Ri ↔ Rj Intercambiar renglones RiyRj

kRi Multiplicar el renglón Ri por una constante distinta de cero

kRi + Rj Sumar k veces el renglón Ri al renglón Rj(pero el Renglón Ri permanece igual).

Matriz reducida. Una matriz es reducida si se cumplen las siguientes reglas:

1. Todos los renglones cero están en la parte inferior de la matriz.

2. Para cada renglón diferente de cero, la entrada principal es 1, y todas las entradas en

la columna donde aparece la entrada principal son cero.

3. La entrada principal en cada renglón está a la derecha de la entrada principal de

cualquier renglón que esté arriba de él.

Ejemplo1: Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de la matriz reducida.

2x − 4z = 8

x − 2y − 2z = 14

x + y − 2z = −1

3x + y + z = 0

Formar la matriz aumentada, que consiste en la matriz de coeficientes y la de términos

independientes.

[

2 0 −41 −2 −21 1 −23 1 1

] |[

814−10

]

Realizar las operaciones sobre los renglones, aplicando la nomenclatura y reglas.



29

𝑅1↔𝑅2↔↔↔

[

1 −2 −22 0 −41 1 −23 1 1

] |[

148−10

]

↔−2𝑅1 + 𝑅2−𝑅1+𝑅3−3𝑅1 + 𝑅4

[

1 −2 −20 4 00 3 00 7 7

] |[

14−20−15−42

]

↔1

4R2↔↔

[

1 −2 −20 1 00 3 00 7 7

] |[

14−5−15−42

]

2𝑅2 + 𝑅1↔

−3𝑅2+𝑅3−7𝑅2 + 𝑅4

[

1 0 −20 1 00 0 00 0 7

] |[

4−50−7

]

2𝑅4 + 𝑅1↔↔

17⁄ 𝑅4

[

1 0 00 1 00 0 00 0 1

] |[

2−50−1

] Solución: x = 2 y = −5 Z = −1

Comprobación: Remplace los valores encontrados en cualquiera de las ecuaciones.

En ecuación (4): 3(2) + (−5) + (−1) = 0 0 = 0

Ejemplo2: Resuelva el sistema de ecuaciones.

x + 2y + z = 4

3x + 2z = 5

[1 2 13 0 2

] |[45]

↔−3𝑅1 + 𝑅2

[1 2 10 −6 −1

] |[4−7]

↔3𝑅 −1+ 𝑅2

[1 2 10 −6 −1

] |[4−7]

↔−1

6⁄𝑅2 [

1 2 10 1 1/6

] |[47/6

] −2𝑅2 + 𝑅1

↔[1 0 2/30 1 1/6

] |[5/37/6

]

Solución: Como no podemos seguir reduciendo la matriz, la solución es la siguiente:

x +2

3z =

5

3 y +

1

6z =

7

6

La solución de x, y depende del valor que tome z, es lo que se denomina una solución

paramétrica. Si z = r siendo r cualquier número real tenemos.

x = −2

3r +

5

3 y = −

1

6r +

7

6

Si r = 2 x =1

3 y =

5

6 z = 2



30

Comprobación en ecuación 2: 1

3+ 2(

5

6) + 2 = 4 4 = 4

Ejemplo 3: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

{

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −5𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −63𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1

(2 1 −3 ⋮ −51 1 −4 ⋮ −63 2 −1 ⋮ 1

)𝑅1 ↔ 𝑅2

→ (1 1 −4 ⋮ −62 1 −3 ⋮ −53 2 −1 ⋮ 1

)

−2𝑅1 + 𝑅2−2𝑅1 + 𝑅2

→(1 1 −4 ⋮ −60 −1 5 ⋮ 70 −1 11 ⋮ 19

)−𝑅1→ (

1 1 −4 ⋮ −60 1 −5 ⋮ −70 −1 11 ⋮ 19

)

−𝑅2 + 𝑅1𝑅2 + 𝑅3→

(1 0 1 ⋮ 10 1 −5 ⋮ −70 0 6 ⋮ 12

)𝑅3 (

1

6)

→(1 0 1 ⋮ 10 1 −5 ⋮ −70 0 1 ⋮ 2

)

−𝑅3 + 𝑅1−5𝑅3 + 𝑅2

→(1 0 0 ⋮ −10 1 0 ⋮ 30 0 1 ⋮ 2

) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 {𝑥 = −1𝑦 = 3𝑧 = 2

6.2 Método de la matriz inversa. El método es aplicable únicamente cuando el número de

ecuaciones es igual al número de incógnitas, es decir la matriz de coeficientes es una matriz

cuadrada.

Recuerde una ecuación matricial se expresa como: 𝐀. 𝐗 = 𝐁, la solución de la ecuación

matricial consiste en encontrar la matriz de incógnitas X, que viene dado por: 𝐗 = 𝐀−𝟏. 𝐁;

dónde:

X = Matriz de incógnitas

A−1 = Matriz inversa de A (coeficientes)

B = Matriz de términos independientes.

Para invertir la matriz A, formamos la matriz A/I, que consiste en la matriz A(coeficientes) y la

matriz I(identidad); por medio de operaciones sobre los renglones transformamos la matriz A en

I y simultáneamente la matriz I se convierte en 𝐀−𝟏.



31

Ejemplo: Resuelva el sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa.

x + 4y + 3z = 10

4x + 2y − 2z = −2

3x − y + z = 11

[1 4 34 2 −23 −1 1

] |[1 0 00 1 00 0 1

] −4𝑅1 + 2𝑅2−3𝑅1 + 𝑅3

[1 4 30 −14 −140 −13 −8

] |[1 0 0−4 1 0−3 0 1

]

−1/14𝑅2 [1 4 30 1 10 −13 −8

] |[1 0 02/7 −1/14 0−3 0 1

]

−4𝑅2 + R1

13𝑅2 + 𝑅3

[1 0 −10 1 10 0 5

] |[

−1/7 2/7 02/7 −1/14 05/7 −13/14 1

]

1/5𝑅3

[1 0 −10 1 10 0 1

] |[

−1/7 2/7 02/7 −1/14 01/7 −13/70 1/5

] 𝑅3 + R1−𝑅3 + 𝑅2 [

1 0 00 1 00 0 1

] |[

0 1/10 1/51/7 4/35 −1/51/7 −13/70 1/5

]

[𝑥𝑦𝑧] = [

0 1/7 1/51/7 4/35 −1/51/7 −13/70 1/5

] * [10−211] = [

2−14]

Solución: 𝐱 = 𝟐 𝐲 = −𝟏 𝐙 = 𝟒

Comprobación en ecuación (2):

4(2) + 2(−1) − 2(4) = −2 0 = 0

7. PROBLEMAS DE APLICACIÓN EN ADMINISTRACIÓN

Ejemplo 1: Un comerciante de televisores a color tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho

de 20, cuatro de 18 pulgadas y diez de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en $650

cada uno, los de 20 en $550 cada uno los televisores de 18 pulgadas en $500 cada uno y los

de 12 se venden en $300 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de

televisores como el producto de dos matrices.



32

Solución :

formamos la matriz renglón con el número de televisores (5 8 4 10)

formamos la matriz columna con los precios de los distintos tipos de televisores

(

$650$550$500$300

)

Luego el precio de venta de los televisores será

(5 8 4 10)(

$650$550$500$300

)

Ejemplo 2. La figura muestra el flujo del tránsito en el centro de una ciudad durante las horas

pico de un día hábil. Las flechas indican la dirección del flujo en cada calle de un sentido; el

promedio de vehículos que pasan por cada crucero por hora aparece al lado de cada calle.

Las avenidas 5 y 6 pueden aceptar hasta 2000 vehículos por hora sin congestionarse, en tanto

que la capacidad máxima de cada calle es de 1000 vehículos por hora. El flujo se controla por

semáforos instalados en cada crucero.

300

1200

500

800

1300

700400

1400

4 Calle 5 Calle

5 Avenida

6 Avenida

1x

4x2x

3x

(a) Escribir una expresión general con las tasas de flujo, x1, x2, x3, x4, y sugerir dos posibles

patrones de flujo que garanticen que no habrá congestionamientos.



33

(b) Supóngase que la parte de la calle 4 comprendida entre las avenidas 5 y 6 se

repavimentarán y que el flujo del tráfico entre los dos cruceros se reducirá a 300 vehículos por

hora. Determinar dos posibles flujos de tráfico que garanticen un flujo continuo de tráfico.

(a) Sistema de ecuaciones.

{

x1 + x4 = 1500x1 + x2 = 1300x2 + x3 = 1800x3 + x4 = 2000

(

1 0 0 1 ⋮ 15001 1 0 0 ⋮ 13000 1 1 0 ⋮ 18000 0 1 1 : 2000

) −𝑅1 + 𝑅2(

1 0 0 1 ⋮ 15000 1 0 −1 ⋮ −2000 1 1 0 ⋮ 18000 0 1 1 : 2000

)

−𝑅2 + 𝑅3(

1 0 0 1 ⋮ 15000 1 0 −1 ⋮ −2000 0 1 1 ⋮ 20000 0 1 1 : 2000

)

−𝑅3 + 𝑅4

(

1 0 0 1 ⋮ 15000 1 0 −1 ⋮ −2000 0 1 1 ⋮ 20000 0 0 0 : 0

)

Tenemos una solución paramétrica en función de 𝑥4.

𝑥1 + 𝑥4 = 1500 𝑥1 = 1500 − 𝑥4

𝑥2 − 𝑥4 = −200 𝑥2 = −200 + 𝑥4

𝑥3 + 𝑥4 = 2000 𝑥3 = 2000 − 𝑥4

𝑥1 = 1500 − 𝑡

𝑥2 = −200 + 𝑡

𝑥3 = 2000 − 𝑡

𝑥4 = 𝑡 200 ≤ 𝑡 ≤ 1000

(b) Si 𝑥4 = 𝑡 = 300 por repavimentación, se tendría los siguientes flujos de tráfico.

x1 = 1200 x2 = 100 x3 = 1700

Conclusión: El planificador de tránsito, puede realizar el estudio y correcciones de tráfico de

acuerdo a las necesidades, siempre que se mantenga el condicionante de que los flujos no

deben ser negativos (200), ni mayores a la mayor capacidad de 1000 vehículos por hora.



34

CONSULTAS EN EL TEXTO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Clasifique los enunciados como verdadero o falso. Si es falso de una razón.

1.1. En una matriz diagonal el número de filas no es igual al número de columnas. ( )

1.2. Sea A3x2 y B2x3. La matriz A+B es una matriz de 3filas y 3 columnas. ( )

1.3. Para que exista el producto matricial el número de columnas de la primera matriz es igual

al número de filas de la segunda matriz. ( )

1.4. El método de reducción de matrices se fundamenta en hacer ceros en las entradas de la

diagonal principal y el resto de entradas igual a 1. ( )

1.5. En el método de la matriz inversa, la matriz de coeficientes es una matriz cuadrada. ( )

CUESTIONAMIENTO DIRECTO

BASE DE LA

PREGUNTA

De las matrices dadas a continuación, identifique cual es la

traspuesta de la matriz A = [1 2 34 5 6

]

OPCIONES

DE

RESPUESTA

a 𝐴𝑇 = [4 5 61 2 3

]

b 𝐴𝑇 = [

1 42 53 6

]

c 𝐴𝑇 = [

2 41 53 6

]

d 𝐴𝑇 = [3 2 14 5 6

]

Estudie el texto guía, página 226 a 270



35

e 𝐴𝑇 = [

2 53 61 4

]

f 𝐴𝑇 = [2 3 45 6 1

]

ARGUMENTACIÓN

DE LAS

OPCIONES DE

RESPUESTA

La respuesta correcta es b porque en la matriz traspuesta se cambian

las filas por columnas.

BASE DE LA

PREGUNTA

Sean las matrices:

A = [0 1−1 2

] B = [1 −2 04 6 −1

] C = [1 0 0]

D = [2 3 07 0 −10 0 1

] E = [1−10] F = [

3 2 0 02 −1 3 11 1 2 12 −1 1 0

]

Identifique cuáles son las matrices cuadradas

OPCIONES

DE

RESPUESTA

a A, B, C

b A, B, D

c A, C, D

d A, D, E

e A, D, F

f A, B, D

ARGUMENTACIÓN

DE LAS

OPCIONES DE

RESPUESTA

La respuesta correcta es e, porque las matrices A, D y F tienen el mismo

número de filas y el mismo número de columnas.

BASE DE LA

PREGUNTA

Una matriz es simétrica si 𝐴 = 𝐴𝑇 , dadas las siguientes matrices

identifique cuáles son simétricas:

A = [2 −1 0−1 5 10 1 3

] B = [4 5 −3−1 5 1

] C = [2 −1 0−1 5 10 1 3

]



36

D = [−1 01 3

] E = [2 0−1 10 3

]

OPCIONES

DE

RESPUESTA

a A, B, C

b A, B, D

c A, B, E

d A, C, D

e A, C, E

f A, B , D

ARGUMENTACIÓN

DE LAS

OPCIONES DE

RESPUESTA

La respuesta correcta es d porque:

A = [2 −1 0−1 5 10 1 3

] y 𝐴𝑇 = [2 −1 0−1 5 10 1 3

]

C = [2 −1 0−1 5 10 1 3

] y 𝐶𝑇= [2 −1 0−1 5 10 1 3

]

D = [−1 01 3

] y 𝐷𝑇= [−1 01 3

]

AUTO EVALUACIÓN

¿Cómo se encuentra?, es el momento que reflexione sobre el avance de su estudio; se

trata de ir despacio, comprendiendo, Póngale “ganas”, interés, no estudie con desgano;

“recuerde nadie le obliga a estudiar”, lo hace por su propia decisión de mejorar, por ser

una persona íntegra y eso incluye la profesión que intenta alcanzar.

Sí contestó correctamente los ejercicios de aplicación y entiende los métodos de

solución, vamos por la ruta correcta; caso contrario; puede ser necesario que vuelva a

revisar los contenidos, no se desanime; recuerde tiene una ayuda importante; la

Universidad Central y sus tutores.

Acuda al tutor con dudas puntuales del tema en estudio, recibirá la ayuda necesaria, para que

continúe con el proceso de aprendizaje.



37

CONSOLIDACIÓN

Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía le proporciona un resumen de conceptos

y fórmulas importantes

Como un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio siguiente:

Administración: Un fabricante compra partes para sus dos plantas, una en Canoga Park,

California y la otra en Wooster, Ohio. Los proveedores tienen las partes en cantidades

limitadas.

Cada proveedor tiene 75 unidades disponibles, la planta en Canoga Park necesita 40 unidades

y la planta Wooster requiere 75 unidades. El primer proveedor cobra$70 por unidad entregada

a Canoga Park y $90 por unidad entregada a Wooster. Los costos correspondientes del

segundo proveedor son $80 y $120. El fabricante quiere ordenar un total de 75 unidades del

primer proveedor, menos caro, y las 40 unidades restante, del segundo proveedor. Si la

compañía gasta $10750 para comprar el número de unidades requerido para las dos plantas,

encuentre el número de unidades que deben ser compradas de cada proveedor para cada

planta de acuerdo a lo siguiente:

(a) Asigne variables a las cuatro incógnitas.

(b)Escriba un sistema de 5 ecuaciones con las 4 variables.

(c)Resuelva el sistema de ecuaciones.



38

UNIDAD II: DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES

Competencias: Utilizar la programación lineal para la optimización de recursos; solucionando

problemas de maximización y minimización en temas administrativos y económicos, con

precisión y rigurosidad científica.

Contenido:

Desigualdades lineales con dos variables

Solución gráfica de sistemas de desigualdades lineales

Fundamentos de Programación lineal, método gráfico

Problemas de Aplicación




Capítulo 3: Graficas en coordenadas rectangulares

1. DESIGUALDADES LINEALES CON DOS VARIABLES

Una desigualdad lineal con dos variables x , y puede escribirse en la forma:

) , , ( o 0cbyax

Donde a, b y c son constantes; a y b no son ambas igual a cero.

En forma geométrica la solución gráfica de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos

los puntos (x, y) en el plano, cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad.

La solución no es única, existe un número infinito de soluciones que consiste en un semiplano

o una región que satisface la desigualdad dada. Estudie los ejemplos del texto, no tendrá

dificultad en la comprensión del tema.

Ejemplo: Resolver la desigualdad 93y-2x

Despeje la variable y (recuerde las propiedades de las desigualdades lineales, pág55).

Encuentre las intersecciones con los ejes (eje x: 0y ; eje y: 0x )

0 , 29 3- , 0 3x3

2y



39

Grafique la recta. Como y es menor que 3x 32 ; la solución será todos los puntos que están

bajo la recta, que es la región solución.

La solución de un sistema de desigualdades: consiste en todos los puntos cuyas

coordenadas satisfacen simultáneamente todas las desigualdades dadas; geométricamente es

la región común para todas las desigualdades.

Ejemplo.

Resolver el sistema de desigualdades.

50y2x

30 y x

482yx

Despeje la variable y, encuentre las intersecciones.



40

0) , (25 50) , (0 2x -50 y

0) , (30 30) , (0 x -30y

0) , (48 24) , (0 2

x-24y

Grafique e identifique las rectas, realice un análisis de las desigualdades y encuentre la

solución si existe.

Ejemplo. Administración. Una compañía elabora dos productos, A y B. Cada uno de estos

productos requiere cierta cantidad de tiempo, en dos máquinas en su elaboración. Cada unidad

del producto A requiere 1 hora en la máquina I y 2 horas en la máquina II; cada unidad del

producto B demanda 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. La compañía dispone

de 100 horas en la semana en cada máquina. Si x unidades del producto A y y unidades del

producto B se producen a la semana, dé las desigualdades que satisfacen x y y. Represéntalas

en forma gráfica.

Organice la información de forma matricial.



41

Producto A Producto B Disponibilidad

(x) (y)

Máquina I 1 3 ≤ 100

Máquina II 2 2 ≤ 100

Establezca el sistema de desigualdades lineales

{

x + 3y ≤ 100 2x + 2y ≤ 100

x, y ≥ 0

La condición x , y ≥ 0; son condiciones de no negatividad pues productos, materiales, mano de

obra nunca pueden ser negativos.

Utilice el método para resolver un sistema de desigualdades.

𝑦 ≤100

3−𝑥

3 (0 ,

100

3) (100,0)

𝑦 ≤ 50 − 𝑥 (0 , 50)(50 , 0)

2. PROGRAMACIÓN LINEAL (MÉTODO GRAFICO)

Muchos problemas de Administración y Economía están relacionados con la optimización

(maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema de igualdades o

desigualdades. La función por optimizar es la función objetivo. Las funciones de utilidad y de

costo son ejemplos de funciones objetivo. El sistema de igualdades y desigualdades a las que



42

está sujeta la función objetivo reflejan las restricciones (por ejemplo, las limitaciones sobre

recursos como materiales y mano de obra) impuestas a la solución (o soluciones) del

problema.

Para resolver un problema de programación lineal estudie los ejercicios que se presentan, en

los primeros se analiza ejercicios ya planteados y a continuación aprenda a plantearlos.

Ejemplo 1: OBJETIVO" FUNCIÓN" y x Z: Minimizar

Sujeto a:

DNEGATIVIDA NO DE SCONDICIONE 0y x,

NESRESTRICCIO

8x

9911y9x

123y4x

0y- x

Las condiciones de no negatividad; son condiciones que nos indican que las variables x, y

siempre serán positivas; pues, los materiales, mano de obra e insumos en general no pueden

ser negativos.

Utilice su conocimiento en la solución de sistemas de desigualdades lineales.

8x

0 11, 9 , 0 x 11

9-9y

0 , 3 ,4 0 x 3

4-4y

2 , 2 0 , 0 x y

Grafique las rectas y haga un análisis de la región solución; llamada región factible.



43

Una región factible puede ser acotada, cuando puede estar contenida dentro de un círculo es

decir se encuentra totalmente delimitada; caso contrario es no acotada. Cuando una región

factible contiene al menos un punto, se dice que es no vacía; caso contrario es vacía.

La solución de maximización o minimización de la función objetivo se encuentra en los vértices

de la región factible. Encontremos los vértices de la región factible.

0 , 8 E 0 , 3 A

Para los vértices B, C y D; igualamos las rectas que se intersecan (encuentre x, para hallar y

reemplace el valor de x en cualquiera de las ecuaciones)

11

27 , 8

11

278

11

9-9y :D

20

99 ,

20

99

20

99y

20

99 x;x x

11

9-9 :C

7

12 ,

7

12

7

12y

7

12 x; xx

3

4-4 :B



44

Determinado los vértices procedemos a remplazar en la función objetivo las coordenadas

correspondientes.

Vértice

Z = x + y

Z

A 0 , 3 03 3

B 712 , 712 12/7 7/12 7/24

C 2099 , 2099 99/20 20/99 10/99

D 1127 , 8 11278 11/115

E 0 , 8 08 8

2.3. Solución: 0y 3 xcuando ; 3Z

Ejemplo 2: Maximizar: y10x4Z

Sujeto a:

0y x,

2yx2

4y4x

0 , 1 2- , 0 ; 2-2xy

0 , 4 1- , 0 ; 1- 4

xy



45

No tiene solución, no existe región factible.

Ejemplo 3: Producción. Un fabricante de cereales elabora dos tipos diferentes de cereal, A y

B. Cada libra de A requiere 0.6 libras de trigo y 0.2 libras de jarabe enriquecido con vitaminas, y

cada libra de B requiere 0.4 libras de trigo, 0.2 libras de azúcar, y 0,2 libras de jarabe

enriquecido con vitaminas. Los proveedores pueden entregar máximo 2800 libras de trigo, 800

libras de azúcar, y 1000 libras de jarabe enriquecido con vitaminas. Si las ganancias son de

$1.20 por cada libra de A y de $1.10 por cada libra de B, encuentre el número de libras de cada

cereal que debería producirse para obtener ganancias máximas. Encuentre las ganancias

máximas.

Lea el ejercicio con detenimiento y resuma la información como sigue:

Marca A

(x)

Marca B

(y)

Requerimientos

mínimos

Trigo 0.6 libras 0.4 libras 2800

Jarabe enriquecido 0.2 libras 0.2 libras 1000

Azúcar 0.2 libras 800

Ganancias $ 1.20 $1.10

Como está preguntando cuantas libras de cada marca de cereal se deben producir; entonces

debemos producir x unidades de marca A y y unidades de la marca B.



46

Planteamos el problema de programación lineal.

Maximizar: 1.10y x20.1Z “Función objetivo “

Sujeta a.

" d.negativida no de sCondicione " 0y x,

8000.2y

10000.2y0.2x

28000.4y0.6x

Despeje y, encuentre intersecciones.

4000y

0) (5000, ; 5000) , (0 ; x -5000y

0) , 3

14000( ; 7000) , (0 ;

2

3-7000y

x

Grafique y haga un análisis de la región solución.

4.1 Encuentre los vértices de la región factible.



47

0) ,3

14000( D 4000) , (0A

Para los vértices B y C, igualamos las rectas que se intersecan.

)(4000,1000 1000y 4000xx 2

3-7000x-5000 :C

)(1000,4000 4000y 1000 xx -50004000 :B

4.2 Determinado los vértices procedemos a remplazar en la función objetivo las coordenadas

correspondientes.

Vértice

Z = 1.2x + 1.1y

Z

A(0,4000) 1.2(0)+1.1(4000) 4400

B(1000,4000) 1.2(1000)+1.1(4000) 5600

C(4000,1000) 1.2(4000)+1.1(1000) 5900

D(14000/3,0) 1.2(14000/3)+1.1(0) 5600

4.3 Nuestra solución es el valor máximo de Z = $5900, cuando se produce A= 4000 libras y

B= 1000 libras.

Ejemplo 4: Política. Una candidata desea utilizar una combinación de anuncios de radio y

televisión en su campaña. Las investigaciones han demostrado que cada anuncio de 1 minuto

de televisión llega a 0.09 millones de personas y cada anuncio de 1 minuto en la radio llega a

0.006 millones de personas. La candidata considera que el anuncio debe llegar por lo menos a

2.16 millones de personas, y debe comprar un total de por lo menos 80 minutos de anuncios.

¿Cuántos minutos de cada medio se deberían utilizar para minimizar los costos si la televisión

tiene un costo de $500 por minuto y la radio tiene un costo de $100 por minuto?

Identificada la pregunta, esto es, minutos de televisión (x), minutos de radio (y); resuma

la información como sigue:

Televisión Radio Requerimientos

(x) (y)

Minutos 1 1 ≥80

Personas 0,09 0,006 ≥2,16

Costo minuto $ 500 $ 100



48

Plantee el problema de programación lineal.

0 y x,

2.160.006y0.09x

80yx

a Sujeto

100y500x Z:Minimizar

Despeje y, encuentre las intersecciones y grafique.

0 , 24 360 , 0 15x -360y

0 , 80 80 , 0 x -80y

4.- Encuentre los vértices y la solución.

0 , 80 C ; 360 , 0 A

60 , 20 B 60y ; 20-80y

20 x-28014x- ;x -8015x-360 :B Vértice



49

Vértice Z = 500x + 100y Z

A ( 0 , 360 ) 500 ( 0 ) + 100 ( 360 ) 36000

B ( 20 , 60 ) 500 ( 20 ) + 100 ( 60 ) 16000

C ( 80 , 0 ) 500 ( 8 0 ) + 100 ( 0 ) 40000

Solución: 60)y ( Radio 20 ) x ( Televisión ; 16000 $ Z



1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón.

1.1. Si y ≤ x ; significa que la solución está en y sobre la recta. ( )

1.2. La solución de un sistema de desigualdades es única. ( )

1.3. En un problema de programación lineal, la función por maximizar o minimizar se llama

función objetivo. ( )

1.4. Una región factible es acotada cuando se encuentra totalmente delimitada. ( )

1.5. Si una región factible es no acotada, y si la función objetivo tiene un valor máximo ocurre

en un vértice. ( )

ELECCIÓN DE ELEMENTOS

BASE DE LA

PREGUNTA

Elija la opción que contenga las expresiones que definen a una

desigualdad lineal

PUNTOS

CLAVE

1

Puede escribirse como 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

2

Puede escribirse como 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0

3

Estudie el texto guía; página 280 a 294



50

Puede escribirse como 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0

4

Puede escribirse como 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0

5

Puede escribirse como 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0

OPCIONES

DE

RESPUESTA

a 1, 2, 3, 4,

b 2, 3, 4, 5

c 1, 2, 4, 5

d 1, 3, 4, 5

e 1, 2, 3, 4

ARGUMENTACIÓN

DE LAS OPCIONES

DE RESPUESTA

La respuesta es el literal b porque una desigualdad lineal se puede

expresar de una de las siguientes formas: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 < 0

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 > 0 , 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≤ 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 ≥ 0

Ernest Haeussler, Matemática para la Administración y la Economía

Pág. 281

BASE DE LA

PREGUNTA

Seleccione la opción que identifique las características que debe tener

la gráfica que representa la solución de una desigualdad lineal con

dos variables

PUNTOS

CLAVE

1 Es una recta que consiste en todos los puntos(x ,y)en el plano cuyas

coordenadas satisfacen dicha desigualdad

2 Siempre es una recta vertical que contiene todos los puntos de la

solución

3 Siempre es una recta horizontal que contiene todos los puntos de la

solución

4 La recta misma que consiste en todos los puntos (x, y) cuyas

coordenadas satisfacen la ecuación y = mx + b

5 La región por encima de la recta que consiste en todos los puntos

(x, y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 𝑦 > 𝑚𝑥 + 𝑏

6 La región por debajo de la recta que consiste en todos los puntos

(x, y) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 𝑦 < 𝑚𝑥 + 𝑏

OPCIONES

DE

a 1, 2, 3,4

b 1, 4, 5, 6



51

RESPUESTA c 1, 3, 4, 5

d 1, 3, 4, 6

e 1, 2, 4, 6

ARGUMENTACIÓN

DE LAS OPCIONES

DE RESPUESTA

La respuesta es el literal b

Ernest Haeussler, Matemática para la Administración y la Economía

Pág. 281

AUTO EVALUACIÓN

¿Cómo se encuentra?, es el momento que reflexione sobre el avance de su estudio; se

trata de ir despacio, comprendiendo, Póngale “ganas”, interés, no estudie con desgano;

“recuerda nadie le obliga a estudiar”, lo hace por su propia decisión de mejorar, por ser

una persona íntegra y eso incluye la profesión que intentas alcanzar.

Sí contestó correctamente los ejercicios de aplicación y entiende los métodos de

solución, vamos por la ruta correcta; caso contrario; puede ser necesario que vuelva a

revisar los contenidos, no se desanime; recuerde tiene una ayuda importante; la

Universidad Central y sus tutores.

Acuda al tutor con dudas puntuales del tema en estudio, recibirá la ayuda necesaria,

para que continúe con el proceso de aprendizaje.



52

CONSOLIDACIÓN



Como un refuerzo en su conocimiento, realice el ejercicio siguiente:

Fabricación y costos de envío. La compañía Sony produce televisores a color de 19 pulgadas

en dos lugares: el I y el II.

La producción mensual en I es a lo más de 6.000 televisores y en el lugar II es a lo más de

5.000 televisores. Sony es el principal proveedor de televisores de la Corporación Pulsar, su

cliente principal, y el cual tiene prioridad para cubrir sus requisitos.

Cierto mes, Pulsar realizó pedidos de 3.000 y 4.000 televisores que se deben enviar a dos de

sus fábricas, localizadas en la ciudad A y B, respectivamente. Los costos de envío (en dólares)

por televisores desde las dos plantas de Sony hasta las dos fábricas de Pulsar son:

Encuentre un plan de envíos que cubra los requisitos de ambas compañías, manteniendo

mínimos los costos.

Desde Ciudad A Ciudad B

Sony(Lugar I) $ 3 $ 2

Sony(Lugar II) $ 4 $ 5

Costos de envío por cinescopio

A la fabrica Pulsar



53

UNIDAD III: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Competencias: Resuelve problemas de aplicación de rectas tangentes a curvas y de razones

de cambio (marginales) en la economía y administración mediante el uso de los fundamentos

de límites y derivación de funciones algebraicas, con iniciativa, orden y precisión.

Contenido:

Definición de límite

Límites de la forma 0/0, k/0; límites laterales

Continuidad aplicada a las desigualdades.


Para su estudio necesita recordar:



Capítulo3: Funciones

1. LÍMITES, DEFINICIÓN

El límite cuando x se acerca (o tiende) a a, es el número L, siempre que f(x) esté

arbitrariamente cercana a L para toda x lo suficientemente cerca, pero diferente de a.

L f(x)limax

En otras palabras; no estamos interesados en lo que le pasa a f(x) cuando x es igual a a, sino

lo que le sucede a f(x) cuando x está muy cerca de a.

Una función puede no estar definida, pero si puede existir el límite.



54

L

)(xfy

x

y

Derecha

Izquierda

ax

Podemos acercarnos a a; tanto por izquierda como por derecha, entonces para que exista

límite; el límite por izquierda y por derecha deben ser iguales, e igual a L.

Lf(x)límf(x)lím

si ; existe ; Lf(x)lim

-axax

ax

Para que entienda la definición de límite resuelva el ejercicio, en base al gráfico.

y

x

)x ( fy

1xf lím b) 2xf lím )a1 - x1 - x



55

6 x f lím d) existe No xf lím c)2 x 1 - x

xf lím f) 0 x f lím )e x 3- x

xf lím )g - x

Estudie las propiedades y ejercicios resueltos del texto base. Para el cálculo de límites veamos

los ejemplos siguientes:

09

0

18)3(3)3(2

33

813x-2x

3-x lím 4.

3030lím 3.

5

11

38

7)8(2

3-y

7y2lím 2.

-86100-3(-2)5(-2)100-3x5xlím 1.

223x

10x

22

8 y

22

2 - x

2. LÍMITES DE LA FORMA 𝟎 𝟎 , 𝐊 𝟎⁄⁄ ; LÍMITES LATERALES.

Cuando al remplazar el límite; se obtiene como resultado 0/0, (FORMA 0/0); significa que

debemos realizar manipulación algebraica o factorar.

Ejemplo1: 6-x-x

23xx lím

2

2

2- x

0

0 :Forma

0

0

622

2232

6-x-x

23xx lím

2

2

2

2

2- x

5

1

3-2-

12-

3-x

1x lím

2x 3-x

1x 2x lím

2- x 2- x



56

Ejemplo 2: 36x

6x lím

36 x

" 0

0FORMA "

0

0

3636

636

36x

6x lím

36 x

12

1

636

1

6x

1 lím

6x36x

36-x lím

6x36x

6x6x lím

36 x36 x36 x

Si al remplazar el límite se obtiene como resultado, una constante dividida para cero, (FORMA

K/0); para encontrar el límite; necesariamente debemos hacer el análisis de límites por

izquierda y por derecha.

Ejemplo 1:

0

8

22

42

2x

4x lím

22

2- x

0

K :Forma

2-

-1,999….99-2,000...001

DerechaIzquierda

0001.....000,0

8

20001....000,2

8

2x

4x lím

0001....000,0

8

2999....999,1

8

2x

4x lím

2

2x

2

2x

Como el límite por izquierda y por derecha, no son iguales, concluimos que:

existe No2x

4x lím

2

2x

Ejemplo 2.

0

9

33

13 3

3-x

1-3x lím

223 x

0

K :Forma



57

2 3 4

99....999,2 001....000,3

0010,000....0

8

010,000....0

8

3-013,000....0

8

3x

1-3x lím

2223 x

0010,000....0

8

010,000....0-

8

3-992,999....9

8

3x

1-3x lím

2223 x

3x

1-3x lím

23 x

Porque límite por derecha e izquierda son iguales.

A los límites por izquierda y por derecha se les denomina límites laterales.

Para el cálculo de límites al infinito; consideremos lo ejemplos siguientes:

1. El límite de un polinomio cuando x tiende a ∞ o a -∞; es el mismo del

término que involucra la mayor potencia de x.

Ejemplo 1:

32

x8x3x5x2lím

- 8)(88xlím 33

x

Ejemplo 2: -150150- lím

x

2. El límite de funciones racionales cuando x tiende a ∞ o a -∞, tomamos

el mayor de los exponentes, tanto del numerador como del denominador.

Ejemplo 1: 42

23

x 4x9x2x

263x5x8xlím



58

02

-x

2lím

4x

8xlím

x4

3

x

Ejemplo 2:

31-2x

57x lím

3

2

x

3303

2

73

2x

7 lím3

2x

7x lím

x3

2

x

3. CONTINUIDAD APLICADA A LAS DESIGUALDADES

En el capítulo 1.2; estudió desigualdades lineales, teniendo como resultado un intervalo. Ahora

resolveremos desigualdades no lineales; el método consiste en encontrar los ceros de la

función, es decir los puntos de intersección con el eje x y los puntos en los cuales la función no

está definida. Para explicar el método de solución , consideremos el ejemplo siguiente:

Ejemplo 1:

09-x

x2

Descomponemos en factores, si es posible la expresión.

3)-3)(x(x

xf(x)

Igualamos a 0; independientemente numerador y denominador. Los valores obtenidos, los

ubicamos en la recta de los reales y determinamos los intervalos,

3 x ; -3 x; 0x

3 0 3

3- , - 0 , 3- 3 , 0 , 3

De cada uno de los intervalos tomamos un valor no extremo y evaluamos en la función, en la

que no interesa el valor, sino el signo.

3- , - 0f(x) )()(

)(

))((

(-)f(-4)



59

0 , 3- 0f(x) )()(

)(

))((

(-)f(-2)

3 , 0 0f(x) (-)(-)

)(

))((

)(f(2)

, 3 0f(x) )()(

)(

))((

)(f(4)

Escogemos los intervalos que satisfacen la desigualdad 0 .

Solución: 3 , 0 3- , -

Ejemplo 2: Participación en talleres. Imperial Education Service (IES) está ofreciendo un

curso de procesamiento de datos a personal clave en la compañía Zeta. El precio por persona

es de $50 y la compañía Zeta garantiza que al menos asistirán 50 personas. Suponga que el

IES ofrece reducir el costo para todos en $0.50 por cada persona que asista después de las

primeras 50. ¿Cuál es el límite del tamaño del grupo que el IES aceptará, de modo que el

ingreso total nunca sea menor que lo recibido por 50 personas?

Planteamiento. Sea x , el número de personas adicionales que asistan al curso. El ingreso

total está dado por el número de personas que asistan al curso por el costo por persona.

" totalIngreso " $50 50 R

2500 personapor Precio x personas de Número

25000.50x-50x25x-2500 ; 2500 0.50x-50 x50 2

0x25x50.0 2

Utilice el método para la solución de desigualdades no lineales.

críticos" Puntos" 50 , 0 x; 250.50x-x x f

0 50



60

0 ) x ( f ) 51 ( f , 50

0 ) x ( f ) 1 ( f 50 , 0

Solución: 50 , 0

Comprobación: Pueden asistir hasta 100 personas con un precio de $25.


Estudia el texto base; páginas 448 a 477


Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso dé una razón.

1.1 Si el )x(flím)x(flímaxax

; afirmamos que, )x(flímax

, existe. ( )

1.2 Si al calcular un límite, el resultado es 0/0, entonces su respuesta es 0. ( )

1.3

80límx

( )

1.4 Si al calcular el límite se obtiene K/0, para determinar el límite es necesario determinar los

límites laterales. ( )

1.5 La solución de una desigualdad no lineal, se fundamenta en determinar los valores para los

cuales la función no existe. ( )

PREGUNTAS O REACTIVOS DE RELACIÓN DE COLUMNAS

CONCEPTOS

DEFINICIÓN

lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) a) 0

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) b) 1



61

lim𝑥→∞

1

𝑥

c) -1

lim𝑥→𝑎1

𝑥 d) ∞

OPCIONES

DE

RESPUESTA

a 1c, 2a, 3b, 4d

b 1b, 2d, 3c, 4ª

c 1a, 2b, 3d, 4c

d 1b, 2c, 3a, 4d

e 1 d, 2b, 3a, 4c

ARGUMENTACIÓN DE

LAS OPCIONES DE

RESPUESTA

La respuesta correcta es d porque son los teoremas de los límites al

infinito

AUTO EVALUACIÓN

Siga avanzando en su conocimiento. ¿Cómo se encuentras en el estudio del nuevo

tema? ¿Contestó correctamente los ejercicios de aplicación y procesos de solución?

Sí la respuesta es afirmativa; felicitaciones; siga adelante. Si no lo es; no se desanime;

vuelva a revisar los contenidos, aclare conceptos y métodos de solución en la guía de

estudios y texto base. Acuda a tutoría con dudas puntuales; que le detienen en el

estudio.



62

CONSOLIDACION



Como un refuerzo en su conocimiento, resuelva el ejercicio:

1. El día del juicio final. La población de cierta raza de conejos introducida en una isla está

dada por:

𝐏(𝐭) =𝟕𝟐

𝟗 − 𝐭 𝟎 < 𝑡 < 9

Donde t se mide en meses.

a. Calcule el número de conejos presentes en la isla en un principio.

b. Muestre que la población de conejos crece sin límite.

c. Trace la gráfica de la función P.



63

UNIDAD IV: CÁLCULO DIFERENCIAL

Competencias: Resuelve problemas de aplicación de rectas tangentes a curvas y de razones

de cambio (marginales) en la economía y administración utilizando las reglas de la derivación

de funciones algebraicas, con iniciativa, orden y precisión.

Contenido:

1. Definición

2. Interpretación geométrica de la derivada

2 .Reglas para derivar funciones


Para su estudio necesita recordar:



Capítulo3: Funciones

1. LA DERIVADA

Uno de los problemas principales que se ocupa el cálculo es el encontrar la pendiente de la

recta tangente en un punto sobre una curva. Consideremos los puntos P y Q de la curva y =

f(x) ; la línea PQ es la línea secante (une dos puntos de la curva); si Q se acerca hasta el límite

a P, 0 h ; entonces la línea secante tiende a ser tangente (toca en un solo punto a la

curva).

Q´

Q(x+h,f(x+h))

P(x,f(x))f(x)

f(x+h)

x x+h

x

y

h

Encontremos la pendiente de la línea secante PQ.



64

h

f(x)-h)f(xm

x-h)(x

f(x)-h)f(xm secsec

Si Q se acerca hasta el límite a P; la pendiente de la secante tiende a ser la pendiente de la

línea tangente, cuando h 0 . La pendiente de la línea tangente a la curva en el punto P, se

llama la derivada por la definición.

sec0h

tan mlímm

; h

f(x)-h)f(xlímy´

dx

dyf´(x)

0h

“derivada por la definición”

Ejemplo1: Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva; 5-4x-xy 2 ; en el punto (3

, -8).

Calculamos la derivada de la función.

h

5)-4x-x(5-h)4(x-h)(xlímf´(x)y

22

0h

h

54xx-5-4h-4x-h2xhxlímf´(x)y´

222

0h

4x240x2

h

4-h2xh lím

h

4h-h2xhlímf´(x)y´

0h

2

0h

Al remplazar el punto 8- , 3 en la derivada, encontramos la pendiente.

2m ; 24-2(3)f´(3)y´(3)

Con la pendiente (m = 2) y el punto (3, -8); encontramos la ecuación de la recta. Aplicamos la

forma punto-pendiente.

14-2x y

3)-2(x8y )x-m(xy-y 11



65

5x4xy 2

14x2y

y

x

8- , 3

Ejemplo 2: Encuentre la pendiente de la curva 1x3

2x fy

, en el punto 3 , 2- .

Recuerde la derivada, representa la pendiente de la línea tangente en un punto de la curva.

h

x fhx f lím x fý

0 h

h

13x 1-3h3x

1-3h3x 21-3x 2

límh

1x3

2

1hx 3

2

lím x fý0 h 0 h

h

13x 1-3h3x

26h-6x-2-6x

lím h

13x 1-3h3x

1-3h3x 21-3x 2

lím x fý0 h 0 h

13x 1-3h3x h

6h- lím

h

13x 1-3h3x

6h-

lím x fy0 h 0 h

13x 1-3h3x h

6h- lím

h

13x 1-3h3x

6h-

lím x fy0 h 0 h

1-3x 1-(0) 33x

6-

13x 1-3h3x

6- lím x fy

0 h



66

1-3x

6 x fy

2

Remplace la coordenada x en la derivada y determine la pendiente.

49

6m ;

1-(-2) 3

6-my´(-2)

2

2. REGLAS DE DERIVACIÓN

El proceso de derivación por medio de la definición; resulta un proceso largo y tedioso; por

fortuna existen reglas; que permiten efectuar la diferenciación en forma mecánica y eficiente.

Estas reglas las resumimos en 3.

2.1 Derivada de una constante.- La derivada de una constante es igual a 0

c)x(fy 0dx

dyf´(x)y´

2.2 Derivada de una potencia.- La derivada de una potencia es igual al exponente por la base

elevada al exponente menos 1

ncx)x(fy 1-nc.n.x

dx

dyf´(x)y´

2.3 Derivada de una constante por una función.- La derivada de una constante por una

función es igual a la constante por la derivada de la función.

(x) f cy f´(x) cý

Ejemplos: Determine la derivada de las funciones aplicando las reglas de derivación:

0f´(x)y´ 80- f(x)y

78 72xf´(x)y´ 9xf(x)y

235x-x2

3

x

x8-5xf(x)y

3 24 3

6

Exprese los radicales como exponentes: n/mn m xx (pag. 10 de texto guía)



67

235x-x2

385235x-

2x

3

x

x8-5xf(x)y 2/3-4/16

2/33/4

1/26 xx

5xx2x30)x´(fy 3/54/55

3-4x2x-7x 9y -53 Regla 3

)x´(fcý

410x21x 9y -62

5 2

4 3

x

1-2x xy

Transforme radicales en exponentes:

x

1-2x xy

2/5

3/4

x- x2y ; 1-2x xy 7/2027/20 7/20

x20

7- x

10

27 ý 13/20-7/20

y =2x3 − 6x + 7

8

y´ =6x − 6

8 y´ =

6(x − 1)

8 y´ =

3(x − 1)

4

Encontrar todos los puntos sobre la curva y =2

3x3 +

5

2x2 − 3x + 2en donde la recta tangente es

horizontal.

Recuerde, la pendiente de una recta horizontal es 0, entonces al derivar se encuentra la

pendiente en aquellos puntos donde la recta es horizontal.

y´ = 2x2 + 5x − 3 Como y´ = m = 0

2x2 + 5x − 3 = 0 (2x − 1)(x + 3) = 0



68

2x − 1 = 0 x =1

2(1

2 ,29

24)

x + 3 = 0 x = −3 (−3 ,31

2)

3. LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO

La interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la línea tangente a una curva.

Una aplicación importante de la derivada es determinar cómo una variable cambia en relación

con otra. Un hombre de negocios debe conocer cómo cambia su utilidad con respecto a la

variación de la producción; así como un médico le interesa conocer cómo reacciona un

paciente por el cambio en la dosis de un medicamento.

Una manera conveniente de interpretar la derivada como una razón de cambio es el

movimiento de un objeto en el tiempo.

Suponga que un objeto se mueve de acuerdo a la ecuación: 2t 2t fs ; que representa

una ecuación de movimiento, donde s representa a una función de posición.

)t(fs

t

2t2)t(fs

32

128

4t

96s



69

La variación de posición )s( respecto a la variación de tiempo )t( , se llama velocidad

promedio o velocidad media.

12 sss Variación de posición.

12 ttt Variación de tiempo.

t

f(t)-t)f(t

t

svprom

Al límite de la velocidad promedio cuando 0t ; se define como la velocidad instantánea.

t

f(t)-t)f(tlím

dt

dsv

0t

Para las condiciones expuestas, calculamos la velocidad promedio y la velocidad instantánea.

s. 448t

m/s 244

96

4

32-128

4

)4(2)8(2

4

f(4)-4)f(4

t

sv

22

prom

m/s 164(4) v(4) ;t 4dt

dsv

Si c = f(q); representa el costo total de producir y comerciar q unidades de un producto. La

razón de cambio de c con respecto a q se llama costo marginal. Y se define como el costo

aproximado de producir una unidad adicional.

dq

dcmarginal Costo

Ejemplo 1: Administración. El costo generado por la venta de q mesas está dado por:

500qq20)q(C 2

Encuentre el costo marginal cuando unidades 1000q

Determine el costo real por la venta de la mesa 1001



70

Compare las respuestas de los incisos (a) y (b). ¿Cómo se relacionan?

250

q20

dq

dC ;

500

q220

dq

dC

16250

100020)1000q(

dq

dC

1000-1001

C(1000)-(1001) C

q

C

15.99810001001

500

1000)1000(20

500

1001 -(1001) 20

q

C

22

El valor del costo marginal se aproxima al valor real del costo de producir la unidad 1001.

Ejemplo 2: Suponga que la función de demanda para un producto está dada por

25000

q50000p

, y la función de costo está dada por q25.02100c , donde

30000q0 . Encuentre la utilidad marginal para q=15000, 21875, 25000.

Recuerde: Utilidad = Ingreso total(r)-Costo total(c)

25000

qq2

25000

qq50000q

25000

q-50000r ; q.pr

22

210025000

qq75.1q25.02100

25000

qq2U

22

12500

q75.1

dq

dU ;

25000

q275.1

dq

dU



71

$0.25 12500

2500075.1)25000(

dq

dU

00.0$12500

2187575.1)21875(

dq

dU

55.0$12500

1500075.1)15000(

dq

dU

Del análisis de resultados puede determinar que si se venden más de 21875 unidades la

ganancia marginal es negativa. Esto indica que incrementar la producción más allá de ese

nivel, reducirá la ganancia.

Ejemplo 3. Ciencias Sociales. Los estándares de vida están definidos por la producción total

de bienes y servicios dividida entre la población total. En Estados Unidos, durante la década de

1980, el estándar de vida se aproximaba mucho por: 6.114.03.0023.0)( 23 xxxxf

, donde 0x corresponde a 1981. Use la derivada para encontrar la razón de cambio del

estándar de vida en los siguientes años.

años? esosen vidadeestándar del acerca (e)-(a) incisos los a respuestas susdicen le ¿Qué (f)

1990 (e) 1989 (d) 1988 (c) 1983 (b) 1980 (a)

4.0x6.0x069.0)x´(fdx

dy 2

-0.0160.4-0.6(8)-0.069(8)f´(8) (c)

0.7790.4-0.6(3)-0.069(3)f´(3) (b)

-0.40.4-0.6(0)-0.069(0)f´(0) (a)

2

2

2

-1.30.4-0.6(10)-0.069(10)f´(10) (e)

-0.5890.4-0.6(9)-0.069(9)f´(9) (d)

2

2

)f( Los resultados negativos nos hacen ver que el estándar de vida en esa década no fue

bueno.

4. REGLA DEL PRODUCTO Y COCIENTE

Si f y g son funciones diferenciables, entonces su producto f.g y su cociente f/g ; son también

diferenciables.



72

PRODUCTO" DEL REGLA" f(x).g´(x)f´(x).g(x)dx

dyy´ f(x).g(x) y

COCIENTE" DEL REGLA" (g(x))

f(x).g´(x)-f´(x).g(x)

dx

dyy´

g(x)

f(x)y

2

Ejemplos: Diferenciar las funciones.

1. 5x)-x)(3x(y 2

Transforme radicales a potencia: 5x)-3)(x(xy 21/2

5x - x x g 3x x f 22/1 ; Aplique regla del producto

5)-3)(2x(x5x)-(xx2

1y´ 1/221/2- ; Realice operaciones

15-x2

15-6xx

2

5y´ 1/23/2

2. 14x

2x-xy

2

2

14x x g ; 2x-x x f 22

22

22

1)x4(

)(8x)2x-(x-1)4x)(4x-(1y´

; Realice operaciones

22

2

1)(4x

14x- 4x-y´



73

3.

5

8)5x-3(2xy

23

Puede confundir con regla del cociente, considere: 85x-2x 5

3y 23

10x)-(6x5

3y´ ; x f´ c y´ ; x f cy 2

4. Ingresos en taquilla. Los ingresos totales en taquilla a nivel mundial de cierta película se

aproximan con la función 4x

x120)x(T

2

2

, donde T(x) se mide en millones de dólares y x son

los años posteriores al lanzamiento de la película, ¿Cuán rápido cambian los ingresos totales

uno, tres y cinco años después del lanzamiento de la película?

Le piden determinar la razón de cambio del ingreso (T) respecto a los años posteriores al

lanzamiento de la película (x)

2222

22

4x

x960

4x

x2x1204xx240)x´(T

dx

dT

millones 38.4

41

)1(960)1´(T

22

millones 71.5

45

)5(960)5´(T

millones 04.1743

)3(960)3´(T

22

22

Los resultados le permiten analizar el decrecimiento del ingreso en el tiempo.

5. REGLA DE LA CADENA Y DE LA POTENCIA

Para explicar estas reglas; utilicemos un ejemplo.

Encontrar la derivada de la función: 523 13)2x-9(3x y



74

Con las reglas conocidas, no podemos diferenciar directamente; utilizamos una sustitución.

523 9u y 132x-3x u

Nuestro objetivo es encontrar la derivada dx

dy; y está en función de u, realizamos esa derivada;

además u está en función de x, también realizamos esa derivada. Este proceso; se denomina

la regla de la cadena.

CADENA LA DE REGLA dx

du.

du

dy

dx

dy

4x)-.(9x45udx

dy 24

Volvemos a la sustitución original.

4x)-(9x13)2x-45(3xdx

dy 2423

Para la regla de la potencia, usamos la regla de la cadena directamente. Primero derivamos

la potencia, luego la función interna.

4x)-(9x13)2x-45(3xdx

dy 2423

Ejemplo 1: Encuentre la derivada de: 45x -1 . x2y

Aplique la regla del producto. )x´(g).x(f)x(g).x´(fý

25x-1 5x-1 2y´

x205x-1 5x-1 2y´ ; 5- 5x-1 4 2x.5x-1 2 y

3

334

Ejemplo 2: Encuentre la derivada de:

42 3x8

3x4y



75

Aplique la regla del cociente: 2)x(g

)x´(g).x(f)x(g).x´(fy

3x8

3x4x163x83-8x4

3-8x

x163x843x438x 4

y´82

232

242

3242

3-8x

3x48x564y´ ;

3-8x

48x64x-3-8x 4y´

52

2

52

22

Una de las aplicaciones importantes de la Economía, es el producto de ingreso marginal;

que es el ingreso aproximado que se recibe por emplear un trabajador adicional en la

producción y venta de un producto.

dm

dq .

dq

dr

dm

dr ; regla de la cadena.

Ejemplo 3: Si: 20

mm200q

2 , 70q1,0p , 40m . Donde q es el número total de

unidades producidas por día por m empleados de un fabricante, y p es el precio de venta por

unidad. Encuentre el producto de ingreso marginal para el valor dado de m.

1. Se pide determinar el producto de ingreso marginal: dm

dq.

dq

dr

dm

dr ; no

tiene la función de ingreso; recuerde: q.pr

70q-0,1qr ; q )70q1,0(r 2

70q20,0dq

dr

; Encuentre q: 32020

)40()40(200q

2

670)320(20,0)40(dq

dr



76

2. Calcule: dm

dq

620

)40(2200)40(

dm

dq ;

20

m2200

dm

dq

3. Calcule el producto de ingreso marginal.

36dm

dr ; )6)(6(

dm

dq.

dq

dr

dm

dr

El resultado obtenido significa; que el fabricante recibe un ingreso adicional de 36 unidades

monetarias, por el empleo del trabajador número 41.

Ejemplo 4: 2

2

1)-(3x

1)-2)(8x-(4xy ; utilice las reglas de diferenciación.

1. Tiene combinado la regla del cociente y del producto. Denominador al cuadrado, derive

numerador por el denominador menos el numerador por la derivada del denominador. Tome en

cuenta que el numerador es un producto cuando derive aplique la regla.

22

222

)1)-((3x

1)(3)1)(2)(3x2)(8x(4x1)(3x2)8(4x1)8x(8xy´

4

2322

)1x3(

2x16x4x3261x316x32x8x64)1x3(y

3

23223

)1x3(

12x96x24x19216x48x8x24x96x288y

3

23

)1x3(

4x56x96x96y

3

23

1)-(3x

1)14x24x-4(24xy´



77



Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso dé una razón.

1.1 Si )x(flím)x(flímaxax

; afirmamos que, )x(flímax

, existe. ( )

1.2 Si al calcular un límite, el resultado es 0/0, entonces su respuesta es 0. ( )

1.3

80límx

( )

1.4 Si al calcular el límite se obtiene K/0, para determinar el límite es necesario determinar los

límites laterales. ( )

1.5 La solución de una desigualdad no lineal, se fundamenta en determinar los valores para los

cuales la función no existe. ( )

1.6 )x´(f 1 es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de )x(fy , en el punto

))f(x , x( 11

( )

1.7 Si c)x(fy , la derivada 1dx

dy)x´(fy . ( )

1.8 dx

dy, significa dy dividido para dx. ( )

Estudia el texto base; páginas 480 a 525



78

1.9 Si )q(fc ; entonces dq

dc, es el costo marginal y significa el costo aproximado de producir

una unidad adicional.

1.10 Si )u(fy y )x(fu , entonces,dy

dx=

dy

du.du

dx, es llamada la regla del producto. ( )

1.11 Si f y g son diferenciables, )x(g).x(fy , la derivada )x´(g).x´(fý ( )

PREGUNTAS O REACTIVOS DE RELACIÓN DE COLUMNAS

CONCEPTOS

DEFINICIÓN

1. 𝑑

𝑑𝑥(𝑐)

a) Es a la unidad

2. 𝑑

𝑑𝑥(𝑥) b) Es la constante por derivada de la

función

3. 𝑑

𝑑𝑥(𝑐𝑥) c) Es igual al exponente por la base

elevada al exponente menos 1

4. 𝑑

𝑑𝑥(𝑥𝑛) d) Es igual al producto de la primera

función por la derivada de la segunda

más el producto de la segunda función

por la derivada de La primera

5. 𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) e) Es igual a CERO



79

OPCIONES

DE

RESPUESTA

a 1 a, 2b, 3c, 4d, 5e

b 1b, 2c, 3d, 4e, 5a

c 1e, 2a, 3b, 4c , 5 d

d 1c, 2d, 3a, 4c, 5ª

e 1 d, 2e, 3c, 4a, 5b

ARGUMENTACIÓN DE

LAS OPCIONES DE

RESPUESTA

La respuesta correcta es b porque son las fórmulas de la derivación

AUTO EVALUACIÓN

Sigue avanzando en tu conocimiento. ¿Cómo te encuentras en el estudio del nuevo

tema? ¿Contestaste correctamente los ejercicios de aplicación y procesos de solución?

Sí la respuesta es afirmativa; felicitaciones; sigue adelante. Si no lo es; no te desanimes;

vuelve revisar los contenidos, aclara conceptos y métodos de solución en la guía de

estudios y texto base. Acude a tutoría con dudas puntuales; que te detienen en tu

estudio.



80

CONSOLIDACIÓN

Al finalizar cada capítulo o tema tratado; el texto guía te proporciona un resumen de

conceptos y fórmulas importantes

Como un refuerzo en tu conocimiento, resuelva el ejercicio:

1. El día del juicio final. La población de cierta raza de conejos introducida en una isla

está dada por:

𝐏(𝐭) =𝟕𝟐

𝟗 − 𝐭 𝟎 < 𝒕 < 𝟗

Donde t se mide en meses.

a. Calcule el número de conejos presentes en la isla en un principio.

b. Muestre que la población de conejos crece sin límite.

c. Trace la gráfica de la función P.

2. Administración. El ingreso por la venta de q carteras está dado por

q2q 201)q(R 3 , para

80q4 . El costo de fabricar q carteras está dado por

40q5q1.0c 2 .

(a) Encuentre la función de ganancia. (b) ¿Cuál es la ganancia al vender q=10, 20, 30, 50

carteras? (c) Encuentre la función de ganancia marginal. (d) ¿Cuál es la ganancia

marginal para q=10, 20, 30, 50 carteras? (e) ¿Cuál es la relación entre sus respuestas en

los incisos (b) y (d)?

3. Publicidad y ventas. La venta diaria S(en miles de dólares) que se atribuye a una

campaña publicitaria está dada por:

donde t es el número de semanas que dura la campaña. (a)¿Cuál es la tasa de cambio de

las ventas para t = 8, t = 10? (b) ¿La campaña debe continuar después de la décima

semana? Explique.

2)3t(

18

3t

31S



81

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Primer trabajo a entregar)

UNIDAD I

a) En ejercicios 6.1 de páginas 231-232, ejercicios 10, 12, 30, 32

b) En ejercicios 6.2 de páginas 237-238, ejercicios 2, 12, 38, 46

c) En ejercicios 6.3 de páginas 248-249, ejercicios 2, 46, 58, 60

d) En ejercicios 6.4 de páginas 257-259, ejercicios 14, 20, 26, 32

e) En ejercicios 6.5 de páginas 231-232, ejercicios 12, 24

UNIDAD II

a) En ejercicios 7.1, página 284, ejercicios 8, 16,22, 28.

b) En ejercicios 7.2, páginas 291-293, ejercicios 4, 12, 18

UNIDAD III

a) En ejercicios 10.1, página 457-458, ejercicios 12, 24, 38


c) En ejercicios 10.4, páginas 475, ejercicios 10, 16,22

UNIDAD IV

a) En ejercicios 11.1, páginas 488-489, ejercicios 14, 24, 28


c) En ejercicios 11.4, páginas 513-515, ejercicios 12, 36, 40

d) En ejercicios 11.5, páginas 521-522, ejercicios 8, 18, 48, 66



82

SEGUNDA PARTE

UNIDAD V: DERIVADAS - TRAZADO DE CURVAS - OPTIMIZACION DE

FUNCIONES - MÁXIMOS YMININOS

Competencia: Resuelve problemas de aplicación como razones de cambio (marginales) e

índices mediante la derivación de funciones trascendentes: logarítmicas y exponenciales,

derivación implícita y de orden superior, trazado de curvas y maximización, minimización de

funciones como costo, ingreso, utilidad y otras; en la administración y economía con iniciativa y

exactitud.

Contenido:

Derivadas de funciones logarítmicas.

Derivadas de funciones exponenciales.

Diferenciación implícita.

Diferenciación logarítmica.

Derivadas de orden superior.

Trazado de curvas

Máximos y Mínimos

Concavidades



Capítulo 5: Funciones logarítmica y exponencial

Capítulo 10: Derivación

1. DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS.

La derivada de la función logarítmica es igual a la derivada de la función dividida para

la función

Si: y = ln u y u = f(x)



83

𝐲´ =𝐝𝐲

𝐝𝐱= 𝐟´(𝐱) =

𝟏

𝐮. 𝐮´(𝐱)

Ejemplo1: 5)6x-(3xln y 2

56x-3x

1)-6(xy´ 6)-(6x.

56x-3x

1y´

22

Para realizar derivadas que tengan logaritmos es necesario que recuerde sus propiedades.

y

xlogylog-xlog 2. xy logylogxlog .1 bbbbbb

01log. 4 x log m xlog. 3 bbm

b

x b 6. x blog 5.xlogx

bb

y xigualdadpor y log x log 7. bb

y xigualdadpor bb 8. yx

bln

ln xxlog 9. b

Ejemplo 2: Encontrar la derivada. 45

233

1)-(8x

)3x-(4.5)(2xln y

1. Exprese en términos de exponentes.

4/1

5

233

1)-(8x

)3x-.(45)(2xln y

2. Aplique propiedades.

1)-(8xln 5-)3x-(4ln 25)(2xln 34

1y 3

3. Diferencie o derive.

1-8x

40

3x-4

18x-

52x

6

4

1y´

1-8x

5(8)

3x-4

)2(-9x

5x2

3(2)

4

1y´

3

2

3

2



84

1-8x

20

3x-4

9x

52x

3

2

1y´

3

2

Ejemplo 3: Encuentre la derivada. 3x-1 ln

3x2y

x31ln

x31

3x23x31lnx312

y´ ; 3x-1ln

x31

3 . 3x23x-1ln . 2

y22

x31lnx31

3x23x31lnx312y

2

2. DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES.

La derivada de la función exponencial es igual a la función por la derivada del exponente

Si: 𝐲 = 𝐞𝐮 y 𝐮 = 𝐟(𝐱)

𝐲´ =𝐝𝐲

𝐝𝐱= 𝐟´(𝐱) = 𝐞𝐮. 𝐮´(𝐱)

EJEMPLOS

Encontrar la derivada. 35x-2x2

e y

5)-(4x edx

dy 35x-2x2

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝐲 = 𝟐𝐱. 𝐞𝟐𝐱−𝟏; en el punto(1 2⁄ , 1)

y´ = 2e2x−1 + 2x. e2x−1(2)

y´ = 2e2x−1(1 + 2x)

y´(1 2⁄ ) = 2e2(1

2)−1 (1 + 2 (

1

2)) = 4

y − y1 = m(x − x1) y − 1 = 4 (x −1

2)



85

y = 4x − 1

3. DERIVADA DE FUNCIONES DE BASE b

Para derivar funciones de base b, debe transformar la base b a base e, para luego derivar.

Se utiliza la igualdad 𝐛𝐱 = 𝐞𝐱.𝐥𝐧𝐛 o 𝐛𝐮 = 𝐞𝐮.𝐥𝐧𝐛

Si 𝐲 = 𝐛𝐮 y 𝐮 = 𝐟(𝐱) entonces la derivada se calcula así:

y = 𝐛𝐮 = eu.lnb

y´ =dy

dx= (eu.lnb). lnb. u´(x) Luego como: eu.lnb = bu

⟹ 𝐲´ =𝐝𝐲

𝐝𝐱= 𝐥𝐧𝐛. 𝐛𝐮. 𝐮´(𝐱)

Calcular la derivada de: 85x3

4 y

Transformamos la función exponencial de base 4 a base e: b𝑢 = e𝑢.lnb

Aplicando la fórmula 𝐲´ =𝐝𝐲

𝐝𝐱= 𝐥𝐧𝐛. 𝐛𝐮. 𝐮´(𝐱) se tiene:

y´ = (ln4). 45x3+8(15x2) y´ = 15ln4. x2. 45x

3+8

10

52q

e . q100c

, representa el costo total de producir q unidades de un producto.

Encuentre la función de costo marginal.

Debemos calcular la derivada del costo total, así:

10

2 .e . 100qe 100

dq

dcc

10

52q

10

52q

q5e 20 dq

dcc´ ; 20q100e

dq

dcc´

10

52q

10

52q



86

4. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA

La diferenciación implícita es una técnica para diferenciar funciones que no están dadas de la

forma usual y = f(x).

y = x2 + 3x -100 “EXPLÍCITA”

y2 + 3xy – 5x = 8 “ IMPLÍCITA”

Para la diferenciación implícita, tome en cuenta las recomendaciones del texto guía de página

544. En la función implícita, y implícitamente está en función de x.

Ejemplo. Encontrar la ecuación de la línea tangente a la curva 10x52xy 3xy3 , en el

punto ( 1 , 1 )

Recuerde, la derivada evaluada en un punto le proporciona la pendiente de la línea tangente a

la curva en ese punto.

1. Igualamos a cero la expresión: 010x- 52xy 3xy3

2. Diferenciamos:

0100dx

dy2x2y)

dx

dy3x(3y3y 23

3. Agrupamos los términos en dx

dy:

2y3y102x)(9xydx

dy 32

2x9xy

2y3y10

dx

dy2

3

4. Evaluamos la derivada en el punto para determinar la pendiente y aplicamos la ecuación de

rectas punto-pendiente.



87

11

5m ;

11

5

)1(2)1)(1(9

)1(2)1(310)1,1(

dx

dy2

3

11

6x

11

5y ; 1)-(x

11

51-y ; )xx(myy 11

5. DIFERENCIACIÓN LOGARÍTMICA.

Una técnica que simplifica la diferenciación de y = f(x); cuando f(x), contiene productos,

cocientes o potencias; es la técnica de diferenciación logarítmica. Para explicación del método

utilicemos un ejemplo.

Encontrar la derivada utilizando diferenciación logarítmica:

3 22

452

5)(x 3x

1)-(3x3)(x y

El método, inicia aplicando logaritmo natural a los dos lados de la igualdad

3 22

452

5)(x 3x

1)-(3x3)(x lnyln

Utilizamos las propiedades de logaritmos.

2/32452 5)(x3xln - 1)-(3x3)(xln y ln

5)(xln

3

2(3x)ln 2- 1)-(3xln 43)ln(x 5 y ln 2

lny = 5ln(x2 + 3) + 4ln(3x − 1) − 2 ln(3x) −2

3ln(x + 5)

Aplicamos reglas de derivación.

5)3(x

2(1)

3x

2(3)

13x

4(3)

3x

5(2x)

dx

dy.

y

12

y 5)3(x

2

x

2

13x

12

3x

10x

dx

dy.

2



88

3 22

452

25)(x 3x

1)-(3x3)(x

5)3(x

1

x

1

13x

6

3x

5x2

dx

dy

6. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivada de una función f(x) es f´(x) y es una función de x; si realizamos la derivada,

obtenemos la segunda derivada y así sucesivamente. Ejemplo.

Sí, 10013x 12x-14x3x y 235 ; encontrar y´´´.

1324x-42x15xy´ 24

24-84x60xy´´ 3

84180x y´´´ 2

7. TRAZADO DE CURVAS

El estudio del comportamiento gráfico de las ecuaciones es importante en las matemáticas;

utilizado en varias áreas de aplicación práctica. Para la comprensión del tema, se recomienda

la revisión de la base teórica expuesta en el texto guía.

Ejemplo1:Graficar:

2x10x2

11x2y 23

Intersecciones con los ejes. En el capítulo 3; gráficas en coordenadas rectangulares,

estudiamos estos conceptos, si tienes dudas revisa este tratamiento.

a) Intersección con eje x: y = 0

2x10x2

11x20 23

Por los métodos conocidos no es posible encontrar la intersección con el eje x.



89

b) Intersección con eje y: si x = 0 entonces:

) 2 , 0 ( ; 2y ; 2)0(10)0(2

11)0(2y 23

Simetría respecto a los ejes y al origen.

a) Simetría respecto al eje x: Sustituimos en la ecuación original y por –y; si la ecuación

resultante no cambia existe simetría al eje x (Sx).

Sx No 2x10x2

11x2y 23

b1) Simetría respecto al eje y. Sustituimos x por –x.

Sy No ; 2x10x2

11x2y ; 2)x(10)x(

2

11)x(2y 2323

b2) Simetría al origen. Sustituimos simultáneamente x por –x y y por –y.

So No 2x10x2

11x2y 23

Máximos y mínimos relativos. En este paso es fundamental que sus conocimientos de

derivación sean sólidos.

7.1 EXTREMOS RELATIVOS, MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Si, 0f´(x) para toda x en (a, b), entonces f es creciente en (a , b) y 0f´(x) , para toda x

en (a , b), entonces f es decreciente en (a , b).

) 2 3x ( ) 5-2x (y

10x11x6y´ 2

Igualamos a cero cada uno de los factores:



90

3

2- ,

2

5 x; 023x ; 05x2

“puntos críticos”

A estos valores los ubicamos en la recta de los reales y formamos intervalos. Evaluamos los

intervalos en la primera derivada.

32 25

Intervalos: ),25( ; )25,32(- ; )32,-(-

)( ) (- )(y´(-1) )32,-(- creciente

- -) 0 y´( )25,32(- decreciente

y´(3) ),25( creciente

Del análisis de los intervalos y naturaleza creciente y decreciente de la curva, concluimos que:

relativo Mínimo 25x

relativo Máximo 32-x

7.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Concavidad. Si f´´(x) > 0 para toda x en (a , b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a , b).

Si f¨´(x) < 0, para toda x en (a , b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a , b).

11x12´ý

Encontramos puntos críticos, igualando a 0 la segunda derivada:



91

1211 x; 011x12 “Punto crítico “

1211

Intervalos: ) ,1211 ( ; ) 1211 ,(

)(11)0(12y´´(0) ) 1211 ,( Cóncava hacia abajo.

)(11-12(2)y´´(2) ) ,1211 ( Cóncava hacia arriba.

En este paso; determinamos los puntos de inflexión, que es el punto donde cambia la

concavidad: 1211x “Punto de inflexión”

Graficación. Con la información obtenida graficamos.

a) Ubique las intersecciones: ( 0 , 2 )

b) Utilizando una tabla de valores para ubicar máximos, mínimos relativos y puntos de

inflexión.

x - 2/3 2,50 11/12

y 5,63 -26,13 -10,25

c) Haga un análisis de intervalos, en lo que se refiere a naturaleza creciente o decreciente de la

curva y a la concavidad.



92

x

y

2x10x2

11x2y 23

63.5,32

13.26,25

25.10,1211

Ejemplo 2: Crecimiento de organizaciones para la salud. Con base en los datos de la

GroupHealth Association of América, el número de personas que reciben atención en una

Organización para la conservación de la Salud desde el inicio de 1984 hasta 1994 es

aproximado mediante la función:

11 t 0 ; 6524.15t8147.6t853.0t0514.0f(t) 23 donde f(t)

proporciona el número de personas, en millones, y t se mide en años, con 0t

correspondiente al inicio de 1984.

Encuentre los máximos y mínimos relativos.

Encuentre los puntos de inflexión.

¿En qué momento del intervalo dado aumentaba con más rapidez la cantidad de personas

atendidas en una organización de este tipo?

Máximos y mínimos relativos

0f´(t) ; 6.81471.706t-0.1542tf´(t) 2

08147.6t706.1t1542.0 2

1542.02

6.8147 0.1542 4706.11.706- -t

2



93

0.3084

.1.29-1.706t

No existen máximos ni mínimos relativos.

Concavidad.

0f´´(t) ; 1.706-0.3084tf´´(t)

5.530.30841.706 t ; 0706.1t3084.0

53.5

abajo" hacia Cóncava" 706.1706.103084.0)0´´(f

arriba" hacia Cóncava" 14.0706.163084.0)6´´(f

inflexión" de Punto" 5.53t

11 , 5.53

Grafico

x 5,53 -1 0 1 6 7

y 35,9446 7,9333 15,6524 21,6655 36,935 39,1885



94

7.3 PRUEBA DE LA SEGUNDA DERIVADA.

Para encontrar máximos y mínimos relativos, no es necesario realizar todo el proceso

estudiado anteriormente, basta con evaluar los puntos críticos obtenidos de la derivación

igualada a cero. Si el resultado obtenido es positivo, se tiene un mínimo; caso contrario es un

máximo.

Ejemplo: Para y = f(x) = x3 + 2x2 − 4x − 8 . Determine los máximos y mínimos relativos.

y´ = 3x2 + 4x − 4 y´ = (3x − 2)(x + 2)

y´ = 0 x = −2,2

3 “Puntos críticos”

y´´ = 6x + 4

y´´(−2) = 6(−2) + 4 = −8 < 0 “Mínimo relativo”

y´´ (2

3) = 6 (

2

3) + 4 = 8 > 0 “Máximo relativo”



95

8. APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

En muchas aplicaciones de la vida real hay que hallar el valor máximo o mínimo absoluto de

una función dada; por ejemplo, un gerente está interesado en el nivel de producción que rinda

la máxima ganancia para una compañía; un agricultor, la cantidad correcta de fertilizante para

minimizar el costo de la cosecha.

Para resolver estas preguntas; se debe expresar la cantidad que se desea maximizar o

minimizar como función de alguna variable contenida en el problema. Luego realizamos las

pruebas de la primera y segunda derivada para determinar si es un máximo o un mínimo

absoluto.

Estudia los ejercicios resueltos del texto base y las recomendaciones de página 600 para la

solución de problemas de aplicación; además de los ejercicios de la guía de estudios.

Es necesario que recuerde y domine algunos conceptos importantes como:

Costo total: c = Cv + CF

Ingreso total: r = p.q

Utilidad: P = r – c

Costo promedio: q/cc

Utilicemos ejemplos para explicar el método de cálculo.

1. Utilidad. Los costos totales fijos de la empresa XYZ son de $1.200, los costos combinados

de material y mano de obra son de $2 por unidad y la ecuación de demanda es: q

100p

¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es

máxima?

Ponga atención; se le pide maximizar la utilidad. Debe plantear una ecuación de utilidad.

P = r – c



96

Realiza la derivada de la función de utilidad e igualamos a cero.

625q 0q

q2-50 2

q

50

dq

dP

Para el valor encontrado de q (punto crítico), encontramos la segunda derivada para verificar si

se trata de un máximo o un mínimo.

0016,0)625(25)625q(dq

Pd q25

dq

Pd 2/3

2

2

2/3

2

2

absoluto" Máximo" 0dq

Pd2

2

Contestemos el resto del problema.

Ejemplo 2. Administración. Un club local está organizando un vuelo a Hawai. El costo del

vuelo es de $425 por persona para 75 pasajeros, con un descuento de $5 por pasajero en

exceso de 75.

a) Encuentre el número de pasajeros que maximizará el ingreso obtenido del vuelo.

b) Encuentre el ingreso máximo.

La pregunta es maximizar el ingreso obtenido por el vuelo.

Ingreso (R) = (número de personas)(costo por persona)

x = número de personas.

12002q c 100.qr .qq

100r 1/2

2-q.50dq

dP 1200-2q-100.qP 1/2-1/2

4$25

100p



97

Encontramos la primera derivada e igualamos a cero.

Comprobamos con la segunda derivada.

Respondemos la segunda pregunta.

3. Utilidad. Un fabricante vende sacos de alta calidad a una cadena de tiendas. La ecuación de

la demanda para esos sacos es q50400p , donde p es el precio de venta (en dólares por

saco) y q la demanda (en miles de sacos). Si la función de costo marginal del fabricante está

dada por 5q

800

dq

dc

, demuestre que existe una utilidad máxima y determine el número de

sacos que deben venderse para obtener esta utilidad máxima.

Recuerda: La utilidad máxima ocurre cuando el ingreso marginal es igual costo marginal

dq

dc

dq

dr

Encuentra el ingreso y el ingreso marginal.

q100400dq

dr ; 50q-400qr ; 50q).q-(400r ; pqr 2

Iguala ingreso marginal con el costo marginal.

8005)q)(q-100(4 ; 5q

800q100400

31.87550x5x- R 5x)-x)(425(75R 2

5 x 05010x- 50x10dq

dR

absoluto" Máximo" 0 5dx

Rd2

2

$33.6005)*5-5)(425(75R



98

3q , -4q ; 03)-4)(q(q ; 012qq2

Deben venderse 3000 sacos para obtener la utilidad máxima.



1. Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón.

1.1 log(x. y) = logx . logy ( )

1.2. Si x

3

dx

dyy´ ; xlogy 3 ( )

1.3 La expresión; ; x5ylnxyy 2 está en forma implícita y define a y como una función

diferenciable de x. ( )

1.4. Sí; 53x5x3 2y´ , 2y ( )

1.5. ylogxlogn)y

xlog( n ( )

1.6. Si al evaluar la primera derivada en un intervalo ( a , b), el resultado es un número real

positivo; significa que ese intervalo la curva es decreciente. ( )

1.7. Si f´(x) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por xo (punto crítico),

entonces f tiene un mínimo relativo cuando x = xo. ( )

1.8. Si al evaluar la segunda derivada en un intervalo ( a , b), el resultado es un número real

negativo; significa que en ese intervalo la curva es cóncava hacia abajo. ( )

1.8 Para maximizar o minimizar una función cualquiera, es suficiente con encontrar los puntos

críticos obtenidos al igualar a cero la primera derivada. ( )

Estudia el texto guía; página 528 a 611



99

1.9 La utilidad máxima, se produce cuando el costo marginal es igual al ingreso marginal. ( )

MULTIREACTIVO

Un fabricante vende sacos de alta calidad a una cadena de tiendas. La

ecuación de la demanda para esos sacos es 𝒑 = 𝟒𝟎𝟎 − 𝟓𝟎𝒒, donde 𝒑 es el

BASE DE LA PREGUNTA

¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad?

OPCIONES DE RESPUESTA

a q = 500

b q = 600

c q = 5000

d q = 6000

ARGUMENTACIÓN DE LAS OPCIONES

DE RESPUESTA

La respuesta correcta es el literal a, porque el ingreso (r), es igual al producto del número de unidades (q ) por el precio (p) . Esto es r = p. q 𝒓 = (𝟖𝟓 − 𝟎, 𝟎𝟓𝒒)𝒒 𝒓 = (𝟖𝟓𝒒 − 𝟎, 𝟎𝟓𝒒𝟐) Utilidad = Ingreso total – Costo total

𝑈 = (85 − 0,05𝑞2) − (600 − 35𝑞) 𝑈 = −0,05𝑞2 + 50𝑞 − 600

𝑈′ = −0,1𝑞 + 50 −0,1𝑞 + 50 = 0

𝑞 = 500

BASE DE LA PREGUNTA

¿A qué precio ocurre esto?


a $50

b $40

c $60

d $80


DE RESPUESTA

La respuesta correcta es el literal c, 𝑈′′ = −0,1 𝑈′′(500) = −0,1 < 0 Cóncava hacia abajo, por lo tanto tiene un MAXIMO , cuando q = 500, luego el precio es: p = 85- 0,05(500) ; p = 85-25 ; p = $60

Para el producto de un monopolista, la función de demanda es 𝑝 = 85 − 0,05𝑞 y la función de

costo es 𝑐 = 600 + 35𝑞



100

BASE DE LA PREGUNTA

¿Cuál es la utilidad?


a $10000

b $5000

c $12500

d $11900


DE RESPUESTA

La respuesta correcta es el literal d, reemplazamos q en la ecuación de la utilidad: 𝑈 = −0,05𝑞2 + 50𝑞 − 600

𝑈 = −0,05(5002) + 50(500) − 600 𝑈 = $11900

AUTO EVALUACIÓN

Le felicito, se encuentra en la segunda parte de su estudio, ya recibió las calificaciones

de su primera evaluación; sí su calificación es buena, persevere lo está haciendo

correctamente.

Sí sus calificaciones no son buenas, consulte con su tutor, sobre sus errores, para que

rectifique.

Continúe, no desmaye, siga. Conoce el proceso de estudio, tenga presente siempre, que

tiene la ayuda de tutoría.



101

CONSOLIDACIÓN



Como un refuerzo en tu conocimiento, realiza el ejercicio siguiente:

1. Administración. La función de demanda para q unidades de un producto es

qln10100p , 20000q1

; donde m6q

y m es el número de empleados que

producen el producto.

(a) Encuentre la función de ingreso. (b) Encuentre la función de ingreso marginal. (c) Evalúe e

interprete el producto de ingreso marginal cuando q = 20 empleados.

2. Administración. Una cadena nacional ha encontrado que la publicidad genera ventas, pero

que demasiada publicidad de un producto tiende a alejar a los consumidores, de manera que

las ventas se reducen. Con base a experiencias pasadas.

La cadena espera que el número N(x) de cámaras vendidas durante una semana se relaciona

con la cantidad gastada en publicidad por medio de la función:

; donde x, es la cantidad gastada en

publicidad en decenas de miles de dólares.

a) Realiza el gráfico que describa la situación.

b) Como un futuro Administrador, emite un criterio técnico, en lo que se refiere a la inversión de

publicidad.

3. Administración. En la planeación de un pequeño restaurante, se estima que se tendrá una

ganancia de $5 por asiento si el número de éstos es entre 60 y 80 inclusive. Por otra parte, la

ganancia en cada asiento disminuirá en 5ctvs. por cada asiento en exceso de 80.

a) Encuentre el número de asientos que producirá la ganancia máxima.

b) ¿Cuál es la ganancia máxima?

4.Ingreso máximo. Un restaurante especializado en carnes determina que al precio de $5 por

platillo de carne tendrán en promedio 200 clientes por noche, mientras que si lo vende a $7 el

número de clientes bajará a 100. Determine la relación de demanda suponiendo que es lineal.

Encuentre el precio que maximiza el ingreso

5x0 20x20x5x20.0)x(N 234



102

UNIDAD VI: INTEGRACIÓN

Competencias: Resuelve problemas de área entre curvas, excedente de productores y

consumidores en la Economía y Administración, utilizando la integración con iniciativa y

precisión.

Contenido:

Integración

Diferenciales

Integral indefinida

Reglas de integración

Integración por método de sustitución

Integración con división previa

Integración con condiciones iniciales

Integral definida

Cálculo de Áreas

Excedente de productores y consumidores



Capítulo 3: Gráficas en coordenadas rectangulares

Capítulo 10: Reglas de la derivación

1. INTEGRACIÓN.

1.1 DIFERENCIALES

Definición.- Sea 𝒚 = 𝒇(𝒙) una función diferenciable en x y sea ∆𝒙 un cambio en x, donde ∆𝒙

puede ser cualquier número real. Entonces, la diferencial de y, que se denota por dy o d(f(x))

está dado por:

𝒅𝒚 = 𝒇´(𝒙). ∆𝒙

Ejemplo 1: Encuentre el diferencial dy para y = f(x) = 2x3 + 6x2 − 3x + 2cuando x = 1 y ∆x =

0.003

dy = f´(x). ∆x



103

dy = (6x2 + 12x − 3)∆x

dy = (6(1)2 + 12(1) − 3)(0.003) = 0.0045

Si 𝐲 = 𝐱 ; y aplicamos diferenciales tenemos:

dy = dx → dx = f´(x)∆x → dx = 1∆x → 𝐝𝐱 = ∆𝐱

De acuerdo a esta conclusión tenemos que: 𝐝𝐲 = 𝐟´(𝐱)𝐝𝐱que es la expresión del diferencial

que utilizaremos de aquí en adelante.

Ejemplo 2: Si y = f(x) = 2√x23

. Encuentre el diferencial dy.

dy = f´(x)dx y = 2x2

3

dy =4

3x−

2

3dx dy =4

3x2

3

dx

dy =4

3√x23 dx

Por medio de diferenciales podemos estimar el valor de una función, para lo cual

hagamos el siguiente análisis.



104

.

.

x

y

dy

y=f(x)

y

x x+dx

f(x+dx)

f(x)

f(x+

dx

)-f(

x)

P

Q

Si por el punto P(x , f(x)), pasa una línea tangente y damos un incremento a x, dx; tendremos

el punto Q(x + dx, f(x + dx), entonces la variación en y está dado por:∆y = f(x + dx) − f(x).

Pero si dx → 0, entonces ∆y y dy son prácticamente iguales, por lo que:

∆y = f(x + dx) − f(x) ; si dx → 0 ∆y ≈ dy

dy ≈ f(x + dx) − f(x) ; f(x + dx) ≈ f(x) + dy

𝐟(𝐱 + 𝐝𝐱) ≈ 𝐟(𝐱) + 𝐟′(𝐱)𝐝𝐱 “Fórmula para estimar el valor de una función”

Ejemplo3: Un centro de salud del gobierno examinó las historias clínicas de un grupo de

individuos que fueron hospitalizados por una enfermedad particular. Se encontró que la

proporción total P que fue dada de alta al final de t días está dada por:

𝐏 = 𝐏(𝐭) = 𝟏 − (𝟑𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟎 + 𝐭)𝟑

Use diferenciales para estimar el cambio de t = 300 a t = 305

dP = P´(t)dt t = 300 ∆t = dt = 5



105

dP = −3 (300

300 + t)2

(0 − 300(1)

(300 + t)2)dt

dP = 33003

(300 + t)4 dt

dP = 33003

(300 + 300)4(5) = 0.0031

Determine el cambio verdadero de P (∆p)

∆P = P(305) − P(300)

∆P = [1 − (300

300 + 305)3

] − [1 − (300

300 + 300)3

] = 0.00307

Conclusión: ∆P ≈ dP

Ejemplo 4: Use diferenciales para estimar el valor de √16.34

Asumimos como y = f(x) = √x4

f(x + dx) ≈ f(x) + dy f(x + dx) ≈ f(x) + f´(x)dx

y = f(x) = x1

4 x = 16 dx = 0.3

f(x + dx) ≈ f(x) +1

4x−

3

4dx

f(16 + 0.3) ≈ √164

+1

4(16)−

3

4(0.3) ≈ 2,0009375

Ejemplo 5: La ecuación de demanda para un producto es p =10

√q . Por medio de diferenciales

estime el precio cuando se demandan 24 unidades.

f(q + dq) = f(q) + f¨(q)dq



106

p = 10q−1

2 q = 25 dq = −1

f(q + dq) ≈ f(q) − 5q−3

2dq

f(25 − 1) ≈ 10

√25− 5(25)−

3

2(−1)

f(24) ≈ 2 + 0.0425 = 2.0425

1.2 INTEGRAL INDEFINIDA.

En los temas anteriores ha estudiado la derivación, ahora vamos a tratar el proceso inverso

que se denomina integración; esto es, dada una derivada se debe encontrar la función original.

Cuando conocemos la derivada de una función, el proceso de encontrar la función original

recibe el nombre de antidiferenciación. Por ejemplo, si la derivada de una función es 2x3 ,

sabemos que la función podría ser 3x)x(f porque

23

x3dx

)x(d . Pero, la función también

podría ser 10x)x(f 3 porque 2

3

x3dx

)10x(d

. Es evidente que cualquier función de la

forma Cx)x(f 3 , donde C es una constante arbitraria, tendrá 2x3)x´(f como su

derivada.

La función resultante del proceso de integración se conoce como integral indefinida. Podemos

expresar la integral indefinida de una función f(x); como dx)x(f . Por consiguiente,

escribimos dxx3 2 para indicar la antiderivada general de la función f(x)=3x

2. La expresión se

lee se lee como: “la integral de 3x2 respecto a x”. En este caso 3x

2 se llama integrando. El

signo de integral, , indica el proceso de integración y la dx indica que se toma la integral

respecto a x; entonces:

Cxdxx3 32



107

1.3 REGLAS DE INTEGRACIÓN

Como en el caso de derivación, en la integración es necesario que conozca y domine sus

reglas.

Cxlnx

dx .4

Cedxe .3

C1n

xkkx .2

Ckxkdx .1

xx

1nn

Ejemplos.

Cx5dx5

Cx6

7C

15

x7dxx7 6

155

dx )100x9x

3

5

x 89x (

5 2

4 33

dx)100x9x3x5

8x9( 5/24/33

; aplique las reglas.

Cx1002

x9

5/3

x3

4/7

x.

5

8

4

x9

25/34/74

Cx100x2

9x5x

35

32x

4

9 25/34/74

1.4 INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Cuando no es posible aplicar directamente las reglas de integración, como en todo proceso

matemático, se realiza una sustitución. Ejemplos:



108

dx)5x3.(x2 62

Como no puedes aplicar directamente las reglas de integración; recurra a la sustitución.

6

duxdx

C)5x3(21

1 xdx6du

C7

u.

6

2)

6

du(u2 5x3u

72

762

Proceso: Determine 5x3u 2 , calcule el diferencial xdx6du . Sustituya: es preferible

que las constantes salgan de la integral xdx.u2 6, le queda por sustituir xdx , que lo

encuentra en el diferencial, despeja 6

duxdx , tiene )

6

du(u2 6

Con las reglas conocidas ya

puede integrar.

2.

dx 5x2x2

1x33

2

2

dudx ) 1-3x (

dx)1x3(2du

C 5x2x2 ln dx)2x6(du

C u ln2

1

u

(du/2) 5x2x2u

2

2

32

3

3.

dx

2x6x

x4x

23

2

Transforma el radical en exponente dx )2x6x(

x4x2/123

2



109

dx)2x6x)(x4x( 2/1232

3

dudx)x4x(

dx)x4x(3du

C) 2x6x(3

2 dx)x12x3(du

C2/1

u.

3

1)

3

du(u 2x6xu

2

2

1/2232

2/11/2-23

1.5 INTEGRACIÓN CON DIVISIÓN PREVIA

Cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, utilice la

división previa, que facilita el proceso de integración. Ejemplo.

dx x2x

1x7x4x2x2

234

1x7x4x2x 234 x2x2

4x2 34 x2x

x8x4 2

1x

x2x

1x)4x(

D

RC

2

2

dx)

x2x

1x4x(

2

2

dx x2x

1xx4

3

x2

3



110

2

dudx)1x(

dx)1x(2du

C x2x ln2

1 dx)2x2(du

Cu ln2

1

u

(du/2) x2xu

2

2

C2x xln2

1x4

3

x 23

1.6 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES

El objetivo es encontrar el valor de la constante C, luego que se ha encontrado la integral. Ésta

se puede determinar para valores en particular, que son las condiciones iniciales. Ejemplos:

Encuentre y para las condiciones dadas: 3y(0) 2y´(1) ; 5x2´ý

C5xxy´ ; dx)5x2(y 2

4-5xxy¨ ; -4C ; C)1(5)1(2 22

Cx4x2

5

3

xy ; dx)4x5x(y 2

32

3x4x2

5

3

xy ; 3C ; C)0(4)0(

2

5

3

)0(3 2

32

3

Si 5q034.0q000102.0dq

dc 2 es una función de costo marginal y el costo fijo de $10000.

Encuentre el costo total para q = 100.

Kq5q017.0q000034.0c ; dq)5q034.0q000102.0(dc 232

10000q5q017.0q000034.0c 23



111

1036410000)100(5)100(017.0)100(000034.0)100(c 23

2. LA INTEGRAL DEFINIDA.

Teorema fundamental del cálculo integral. Si f es continua en el intervalo b , a y F es

cualquier antiderivada de f en el intervalo, entonces:

b

a)a(F)b(Fdx)x(f

Ejemplos:

1

0

332 dx)1x(x2

3

dudxx

) 1-x(6

1 dx 3xdu

u6

1

4

u

3

2)

3

du(u2 1-xu

2

432

44

33

6

11)-(0

6

11)-(1

6

1 4343

Demografía. Para cierta población, suponga que s es una función tal que s(x) es el número de

personas que alcanzan la edad x en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de

vida. Bajo condiciones apropiadas, la integral nx

xdt)t(s da el número esperado de gente en

la población que tiene entre exactamente x y x + n años, inclusive. Si x10010000)x(s

, determine el número de personas que tienen exactamente entre 36 y 64 años, inclusive. Dé

su respuesta al entero más cercano, ya que una respuesta fraccionaria no tiene sentido.

64

36dx x10010000



112

dudx

)x100(3

20000 dxdu

3/2

u-10000(-du)u10000 x100u

2/3

3/21/2

2/32/3 )36100(

3

20000)64100(

3

20000

197333333,34133331440000

2.1 CÁLCULO DE ÁREAS

Una de las aplicaciones del teorema fundamental del cálculo integral, es encontrar el área bajo

una curva. Para determinar áreas es conveniente hacer un esbozo de la región implicada.



113

Para encontrar el área en el intervalo b , a bajo la curva, se debe realizar la sumatoria de

todas las áreas de los rectángulos o sea b

a

)x(f.x ; si la sumatoria llevamos al límite

entonces tenemos: b

adx)x(f .

En general para el área bajo una curva tendríamos: b

ainfsup dx)yy( . En palabras, cuando

trabajamos con elementos verticales x , tenemos la diferencia entre la curva superior y la

curva inferior. Ejemplos.

Encontrar el área limitada por las curvas: 2x9y y 0y

Utilice la fórmula: b

ainfsup dx)yy(A

Encuentre los límites a y b, o sea la intersección de las 2 curvas; que los obtiene igualando las

ecuaciones.

3 x; 0x9 2

dx )0()x9(A3

3

2

2333

u 363

)3()3(9()

3

)3()3(9(

3

xx9A



114

Encuentre el área limitada por las curvas 1xy 2 y 3xy

-1 x, 2 x; 01)2)(x-(x ; 02-x- x; 3x1x 22

2

1

22

1-

2 2)dxx-(x dx )1x()3x( A



115

))1(2

3

)1(

2

)1(())2(2

3

(2)

2

(2) (x2

3

x

2

xA

323232

2u2

92

3

1

2

14

3

82A

Cuando y no esta definida como en el caso de la ecuación 5yx 2 ; para facilitar el cálculo

de áreas es conveniente utilizar elementos horizontales y , entonces:

2y

1ydy )xizqxder(A

Ejemplo: Encontrar el área limitada por las curvas x2y2 y 4xy .

Expresa las ecuaciones de 4-y x; y-2 x; )y(fx 2

2y , -3y ; 02)-3)(y(y ; 06-yy ; y24y 22



116

dy y-y-6dy 4yy2 A2

3-

22

3

2

3

)3(

2

)3()3(6

3

)2(

2

)2()2(6

3

y

2

y-6yA

323232

2u 6

1259

2

918

3

8212A

2.2 EXCEDENTE DE CONSUMIDORES Y DE PRODUCTORES

El cálculo de áreas tiene su aplicación en la economía. Sea )g(fp una curva de demanda y

)q(gp una curva de oferta. El punto oo p , q en las que las curvas se intersecan se llama

punto de equilibrio. Donde op es el precio por unidad al que los consumidores comprarán la

misma cantidad oq de un producto que los productores desean vender a ese precio.

El área EC es el excedente de consumidores y representa la ganancia total de los

consumidores que están dispuestos a pagar más que el precio de equilibrio.



117

dqp)q(fECoq

0

o

El área EP es el excedente de productores y representa el beneficio de los productores ya

que están dispuestos a suministrar el producto a precios menores que po.

dq)q(gpEPoq

0

o

Ejemplo: La ecuación de demanda para un producto es: 80010q20p y la ecuación

de oferta es: 030p2q

a. Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando 20p y 10q

2010q

800)q(fp

“demanda”

2

30q)q(gp

“oferta”

10q30q10q20-8002 ; 2

30q20

10q

800

-90q , 10q ; 010q90q ; 0900q80q2

20p ; 2

3010p

b. Determine el excedente de los consumidores y productores bajo el equilibrio de mercado.

dq4010q

800 dq2020

10q

800 EC

10

0

10

0

52.154)10ln(800)10(40)20ln(800q40qln800EC 100



118

10

0

210

0

q302

q

2

1q20dq

2

30q20EP

254

10)10(5

4

qq5EP

210

0

2



Clasifica los enunciados como verdadero o falso. Si es falso da una razón.

1.1 Cuando conocemos la derivada de una función, al proceso de encontrar la función original

se denomina antidiferenciación o integración. ( )

1.2 Cedxe x3x3 ( )

1.3 dqp)q(fECoq

0

o es el excedente de productores y representa el beneficio de los

productores están dispuestos a vender el producto a precios menores al precio de equilibrio.

( )

1.4 Para el cálculo de un área entre dos funciones y y no está en función de x, se utiliza la

fórmula:

dyxxA2

1

y

y

IZQDER ( )

MULTIREACTIVO

Estudia el texto guía; página 685 a 721

𝑝 =50

𝑞 + 5

𝑝 =𝑞

10+ 4,5

En el siguiente sistema, la primera ecuación es de demanda y la segunda es de oferta de

un producto



119

BASE DE LA PREGUNTA

Encuentre el punto de equilibrio


a Punto de equilibrio ( 4 ; 5)

b Punto de equilibrio ( 5 ; 5)

c Punto de equilibrio (- 4 ; 5)

d Punto de equilibrio ( -5 ; 5)


DE RESPUESTA

La respuesta correcta es el literal b 50

𝑞 + 5=𝑞

10+ 4,5

𝑞2 + 50𝑞 − 275 = 0

(𝑞 + 55)(𝑞 − 5) = 0

𝑞 = −55 , 𝑞 = 5

𝑝 =50

10= 10

P.E = ( 5, 5 )

BASE DE LA PREGUNTA

Determine el excedente del consumidor


a 50𝑙𝑛|2| − 25

b 25𝑙𝑛|2| − 50

c 50𝑙𝑛|25| − 2

d 25𝑙𝑛|50| − 25

e 50𝑙𝑛|2| + 25


DE RESPUESTA

La respuesta correcta es el literal a

𝐸𝐶 = ∫ [50

𝑞+5− 5] 𝑑𝑞

5

0

𝐸𝐶 = [50 ln(𝑞 + 5) − 5𝑞] {50

𝐸𝐶 = 50𝑙𝑛|2| − 25

AUTO EVALUACIÓN

¿Cómo se siente?. Déjeme opinar, estoy seguro que muy bien, ha logrado vencer el

curso de Matemática Básica 2 con éxito. Su auto evaluación constante, ha sido, una

buena práctica.

FELICITACIONES……



120

EVALUACIÓN A DISTANCIA (Segundo trabajo a entregar)

UNIDAD V

En ejercicios 12.1 de páginas 533-534, problemas14, 18, 30

En ejercicios 12.2 de páginas 537-538, problemas 10, 30, 36



En ejercicios 12.7 de página 560, problema 8, 12, 20,


En ejercicios 13.3 de páginas 586-587, problemas 18, 42

En ejercicios 13.4 de página 589, problema 4, 8

En ejercicios 13.6 de páginas 607-611, problemas 12, 16

UNIDAD VI

En ejercicios 14.1 de páginas 622-623, problemas 12, 38.

En ejercicios 14.2 de páginas 628-629, problemas 20, 30, 40, 50

En ejercicios 14.3 de página 633, problema 4, 8, 14

En ejercicios 14.4 de páginas 639-640, problemas 4, 14, 52, 80



En ejercicios 14.10de páginas 673-675, problemas 10, 20, 30

En ejercicios 14.11 de páginas 677- 678, problemas 2, 4



121

RESPUESTAS DE EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y CONSOLIDACIÓN

PRIMERA PARTE

UNIDAD I


1.1 (F) Para que sea una matriz diagonal debe ser cuadrada, donde el número de filas es igual

al número de columnas.

1.2 (F) La suma o resta de matrices solo está definida para matrices del mismo orden.

1.3 (V)

1.4 (F) La diagonal principal son 1 y el resto de entradas cero.

1.5 (V)

CONSOLIDACIÓN

(a) Esquema y asignación de variables.

Proveedor 1

(75)

Wooster

(75)

Canoga

(40)

Proveedor 2

(75)

1x 2x

3x 4x

70$ 90$

80$120$

(b) Sistema de ecuaciones.



122

{

𝑥1 + 𝑥2 = 75𝑥3 + 𝑥4 = 40𝑥2 + 𝑥4 = 75𝑥1 + 𝑥3 = 40

70𝑥1 + 90𝑥2 + 80𝑥3 + 120𝑥4 = 10750

(c) Solución por el método de reducción.

1 1 0 0 75

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

1 0 1 0 40

70 90 80 120 10750

1 1 0 0 75

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

.-R1+R4 0 -1 1 0 -35

.-70R1+R5 0 20 80 120 5500

1 1 0 0 75

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

.-R2+R4 0 -1 0 -1 -75

.-80R1+R5 0 0 0 40 2300

.-R3+R1 1 0 0 -1 0

0 0 1 1 40

0 1 0 1 75

R3+R4 0 0 0 0 0

.-20R3+R5 0 0 0 20 800

R5+R3 1 0 0 0 40

.-R5+R2 0 0 1 0 0

.-R5+R3 0 1 0 0 35

0 0 0 0 0

1/20 R5 0 0 0 1 40

Solución: 𝑥1 = 40 𝑥2 = 35 𝑥3 = 0 𝑥4 = 40



123

UNIDAD II

1.1 (F). La solución se encuentra en y bajo la recta.

1.2 (F). La solución es un conjunto de valores, representados por una región.

1.3 (V)

1.4 (V)

1.5 (F). No porque existe un infinito número de puntos que maximizan la función objetivo.

CONSOLIDACIÓN

a) De la lectura y comprensión del ejercicio; se trata minimizar el costo de trasporte de los

televisores; de los lugares I y II a las ciudades A y B. Resumamos la información como sigue:

Lugar I (6000)

Lugar II (5000)

Ciudad A(3000) Ciudad B (4000)

xy

3000-x4000-y

Sea x el número de televisores del lugar I hacia A y x3000 del lugar II hacia A.

Sea y el número de televisores del lugar I hacia B y y4000 del lugar II hacia B.

b) Planteamos la función objetivo. El costo de transporte está dado por el costo unitario de

transporte por el número de unidades enviadas.



124

320003y--xC ; )y4000(5)x3000(4y2x3C

c) Restricciones: La cantidad máxima de televisores que se pueden enviar de los lugares I y II

son 6000 y 5000 respectivamente

2000yx ; 5000)y4000()x3000(

6000yx

d) Condiciones de no negatividad: Las cantidades no pueden ser negativas.

4000y 0y-4000 ; 3000 x0x-3000 ; 0y,x

e) Planteamos el problema de programación lineal.

0y x,

4000y

3000 x

2000yx

6000yx

a. Sujeto

320003y--x C :Minimizar

f) Utilizamos el conocimiento de programación por el método grafico para solucionar.

g) Encontramos región factible y vértices.

0) (2000, 2000) , (0 x2000y

0) , (6000 6000) , (0 x6000y

0) , 3000 F( 4000) , C(0 2000) , 0 B( 0) , (2000A :Vértices

4000) , D(2000 ; 2000 x; 4000x-6000 :D Vértice

) 3000 , 3000 ( E 30003000-6000y :E Vértice



125

h) Minimizar función objetivo.

Vértice C= -x -3y +32000

A ( 2000 , 0 ) 30000

B ( 0 , 2000 ) 26000

C ( 0 , 4000 ) 20000

D ( 2000 , 4000 ) 18000

E ( 3000 , 3000 ) 20000

F ( 3000 , 0 ) 29000

Solución: C = $18.000

LUGAR A B

I 2000 4000

II 1000 0



126

UNIDAD III


1.1 (V)

1.2 (F). Si se obtiene el resultado en la forma 0/0, significa que debes realizar manipulación

algebraica o factorar.

1.3 (F). Es igual a 80, porque el límite de una constante es la misma constante.

1.4 (V)

1.5 (F) El método se fundamenta en encontrar todos los valores para los cuales la función es

cero o no existe.

1.6 (V)

1.7 (F). 0)´(´

dx

dyxfy

1.8 (F). dx

dy, significa la razón de cambio de y respecto al cambio de x.

1.9 (F)- Se denomina la regla de la cadena.

1.10 (F). Si )x(g).x(fy

, la derivada )x´(g).x(f)x(g).x´(fý

CONSOLIDACIÓN

(a) 𝑃(0) =72

9−0= 8

(b) lim𝑥→9−72

9−8.99…….999= lim𝑥→9−

72

0,0000…..0001= ∞



127

(c)

t

t9

79)t(P

)t(P

(d) Conclusión: a partir del mes 9 los conejos se reproducen indefinidamente, para frenar ese

crecimiento, para que no solo existan conejos hay que comerlos.

1. Administración.

a) Encuentra la función de ganancia.

b) ¿Cuál es la ganancia de vender 10, 20, 30 y 50 carteras?

)40q5q1,0()q2x201()q(C)q(R)q(P 23/1

40q3q1,0q201)q(P 23/1

04,35340)10(3)10(1,0)10(201)10(P 23/1



128

c) Encuentre la función de ganancia marginal.

d) ¿Cuál es la ganancia marginal de vender 10, 20, 30 y 50 carteras?

e) ¿Cuál es la relación entre sus respuestas de los incisos b) y d)?

Para el valor de el análisis; q = 20 carteras; se produce la ganancia máxima y para q = 30

comienza a disminuir. El costo marginal para esos valores refleja esa situación, el valor

negativo no significa que se tiene pérdida, sino que la ganancia disminuye; pero igual se tiene

ganancia.

Publicidad y ventas.

Le piden determinar la razón de cambio de la venta diaria respecto al número de semanas;

recuerde la derivada es una razón de cambio.

60,40540)20(3)20(1,0)20(201)20(P 23/1

55,40440)30(3)30(1,0)30(201)30(P 23/1

49,30040)50(3)50(1,0)50(201)50(P 23/1

3q2,0q67dq

dP ; 3q2,0q

3

201

dq

dP 3/23/2

43,93)10(2,0)10(67)10(dq

dP 3/2

09,23)20(2,0)20(67)20(dq

dP 3/2

06,23)30(2,0)30(67)30(dq

dP 3/2

06,83)50(2,0)50(67)50(dq

dP 3/2



129

32

32

21

2

3t

36

3t

3

dt

ds ; 3t363t3

dt

ds

3t183t31S ; 3t

18

3t

31S

254,21000x002254,038

36

38

38t

dt

ds

32

1365,11000x001365,0310

36

310

310t

dt

ds

32

La campaña publicitaria no debe continuar a partir de la décima semana pues las ventas van

disminuir.

SEGUNDA PARTE

UNIDAD V

EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

1.1 (F). Si ylogxlog)y.xlog(

1.2 (F). Si xlogy 3 . Para derivar previamente transforma en logaritmos naturales.

3ln

xlny , la derivada,

x.3ln

1

x

1.

3ln

1ý

1.3 (V)

1.4 (F). Si5x32y

. Transforma a base e, 2ln)5x3(ey

. La derivada,

53x2ln)5x3(2ln)5x3( 2 2)ln3(e.2ln3)3(2lne.y

1.5 (V)



130

1.6( F ). Si al evaluar la primera derivada en un intervalo (a , b ), el resultado es positivo; la

curva es creciente en ese intervalo.

1.7( V )

1.8( V )

1.9( F ).

Para maximizar o minimizar una función cualquiera, se iguala a cero la primera derivada,

obteniéndose puntos críticos que pueden ser máximos o mínimos, lo que se comprueba al

evaluar esos valores en la segunda derivada. Si el resultado es positivo es un mínimo; y si es

negativo es un máximo.

1.10 ( V )

CONSOLIDACIÓN

1) Administración.

qln10100p “oferta” m6q “unidades producidas”

Se pide determinar el producto de ingreso marginal: dm

dq.

dq

dr

dq

dr

10q.lnq-100qr ; 10lnq).q-(100r ; q.pr

qln1090dq

dr ; )

q

1.q10qln10(100

dq

dr

13,42)120ln(1090)120q(dq

dr ; 120)20(6q

78,252)6)(13,42(dm

dr ; 6

dm

dq



131

Representa el ingreso adicional por emplear al trabajador 21 en la producción.

1. Administración: 20x20x5x20,0)x(Ny 234

a) Realiza el gráfico que describa la situación.

1. Intersección con los ejes.

1.1 Intersección con el eje x. y = 0

020x20x5x20,0 234

No podemos encontrar las intersecciones algebraicamente, utilizamos un método aproximado,

que consiste en calcular los valores funcionales, si cambia de signo, es un intervalo donde

existe una intersección con el eje x.

x N(x)

0 20

1 35,2

2 63,2

3 81,2

4 71,2

5 20

No existe cambio de signo entre 0 y 5; no hay intersección con el eje x en el intervalo.

1.2 Intersección con el eje y. x = 0

(0,20) ; 20)0N( ; 20)0(20)0(5)0(20,0)0(N 234

2. Simetría respecto a los ejes y al origen.

2.1 Simetría respecto al eje x. Cambiamos y por –y.

Sx No ; 20x20x5x20,0y 234

2.2 Simetría respecto al eje y. Cambiamos x por –x.

20)x(20)x(5)x(20,0y 234

Sy No ; 20x20x5x20,0y 234

2.3 Simetría respecto al origen. Cambiamos x por –x; y; y por –y.

So No ; 20x20x5x20,0y 234

3. Máximos y mínimos relativos.

0N´(x) ; x40x15x80.0)x´(Ny 23

04015x-0,80x ; 0 x; 0)40x15x80,0(x 22



132

1,60

9715x ;

)80,0(2

)40)(80,0(42)15(15x

22,31,60

97-15 x; 53,15

60,1

9715x 21

0 522.3

)(40(1)15(1)-0,80(1)N´(1) ) 3.22 ,0 ( 23 creciente

)(40(4)15(4)-0,80(4)N´(4) ) 5 , 3.22 ( 23 decreciente

22.3x Máximo relativo.

5. Concavidad.

0N´´(x) ; 40x30x40,2)x´´(N´ý 2

80,4

51630

)40,2(2

)40)(40,2(42)30(30 x; 040x30x40,2 2

53,14,80

516-30 x; 98,10

80,4

51630x 21

0 553.1

)(4030(1)-2,40(1)2N´´(1) ) 1.53 ,0 ( Conc. hacia arriba

)(4030(2)-2,40(2)2N´´(2) ) 5 , 53.1( Conc. hacia abajo

53.1 x Punto de inflexión

6. Con los datos obtenidos, graficamos.



133

b) La máxima inversión en publicidad esta determinada; ahora se debe hacer un análisis de la

distribución de la publicidad en la semana y en los horarios convenientes. Recuerde una

saturación de publicidad reduce las ventas.

2. Administración

a) Ganancia = Número de asientos x costo por asiento

x = aumento de asientos

)x05,05)(x80(P

22 0,05x-x400P ; x05,0x5x4400P

10x ; 00,10x-1 ; 0dx

dP ; x10,01

dx

dP

Máximo 10,0dx

Pd2

2

Número de asientos = 80+10 = 90



134

b) ¿Cuál es la ganancia máxima?

405 $)10(05,0)10(400P 2

3. Ingreso máximo

a) Como la demanda es lineal, tienes que encontrar 2 puntos ( q , p ); encuentra la ecuación

de la demanda. (100,7) )5,200(

50

1

100

2

200100

57m ;

qq

ppm

12

12

100)-(q 50

17-p ; )qq(mpp 11

9q50

1p

“Ecuación de oferta”

b) Encuentra la ecuación de ingreso y el proceso para maximización.

q9q50

1-r ; q).9q

50

1(-r ; q.pr 2

225q ; 0dq

dr ; 9q

50

2

dq

dr

25

1

dq

rd2

2

“Máximo”

50.4$9)225(50

1p

UNIDAD VI


1.1. ( V)

1.2. (F) No es una integral directa, debes utilizar el método de sustitución que da como

resultado: Ce3

1 x3



135

1.3. (F) Representa el excedente de consumidores y es la ganancia total de los consumidores

que están dispuestos a pagar sobre el precio de equilibrio.

1.4. (V)

CONSOLIDACIÓN

1(a) Tenemos que encontrar el área bajo la curva de razón de ahorros, entre las rectas x = 5, x

= 0 y el eje x.

40)0()0(3)5()5(3)xx3(dx)x23(A 225

0

50

2

Los ahorros totales en 5 años son de $40, por lo que la máquina no se pagará por sí misma en

este periodo.

1(b) Se pide calcular el tiempo en que la máquina por si misma, entonces el ahorro debe ser

igual $70.

t

0

t0

2 70)x3x ( ; 70dx)x23(

-10 t, 7t ; 07t10t ; 070t3t 2

La máquina se pagará en 7 años.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

S(x) = 3 + 2x

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Matematicas II