MATEMÁTICAS II

Soluciones del examen celebrado el día 25/11/2010

Importante

Las calificaciones se harán públicas en la página de la asignatura y en el tablón de anuncios del Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión, Módulo D, 3ª planta, el 10/12/2010 por la tarde. La revisión será el 13/12/10 y el 14/12/10 de 12-13 horas en el aula D-3.18.

Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejan en blanco no puntúan.

A B

1 a c

2 b c

3 b a

4 c c

5 c c

6 b b

7 b c

8 a a

9 b b

10 b c

11 a b

12 a b

13 b a

14 c a

15 b b

MATEMÁTICAS II 25/11/2010 Licenciatura en Economía, Licenciatura Administración y Dirección de Empresas y Diplomatura en Ciencias Empresariales

1. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden

n, B invertible, con 2 =A B B, entonces: a) A es invertible. b) A no es invertible. c) = nA I .

2. El número máximo de vectores linealmente independientes en el siguiente conjunto ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 4 0 1 1 2 1 1 2 2 1 0 1 0− − −, , , , , , , , , , , , , , , es:

a) 3. b) 2. c) 4.

3. El rango de la matriz 3 11 2 10 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

aA

es 3 para: a) 2= −a . b) 2≠ −a . c) 0≠a .

4. El sistema

2 3 01

3 4 1

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩

x y zx y zx y

a) Es compatible indeterminado y su solución es ( ){ }3 2− − ∈x, z ,z : x,z .

b) Es compatible determinado y su solución es ( )3 2 0−, , .

c) Es compatible indeterminado con solución ( ){ }4 3 3 2+ − − ∈z , z ,z : z .

5. Dado el sistema

1 1 11 1 01 1 1 1

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xyz

αα

a) Si 1= ±α el sistema es compatible determinado.

b) Si 1≠ ±α el sistema es compatible indeterminado.

c) Si 1≠ ±α el sistema es compatible determinado.

6. Cualquier solución del sistema

2 2 02 2 0− + − =⎧

⎨ + − + =⎩

x y z tx y z t

es combinación lineal de los vectores:

a) 5 4 1 03 3

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

, , , .

b) ( )3 4 1 0 0 1 0 15 5

⎧ ⎫⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

, , , , , , , .

c) ( )5 4 1 0 0 1 0 13 3

⎧ ⎫⎛ ⎞ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

, , , , , , , .

7. Sea 3 3×A una matriz diagonalizable con

valores propios 1λ con 1 2=α y 2λ . ¿Cuál es el rango de la matriz ( )2 3−A Iλ ? a) 1. b) 2. c) 3.

8. La matriz 1

0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ab

es diagonalizable

,∀ ∈a b , tales que: a) 0≥ab . b) 0<ab . c) 1 1= = −a ,b .

Tipo A

9. Indique cuál no es una matriz de paso para

diagonalizar la matriz 0 0 10 1 01 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A :

a) 1 0 10 1 01 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

b) 1 0 10 1 01 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

c) 1 0 10 1 01 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

10. La forma cuadrática ( )Q x,y,z,t con matriz

asociada 1 1 0 11 2 1 00 1 3 11 0 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

restringida al sistema 2 = + =x y t , z t : a) Es indefinida. b) Es definida positiva. c) Es definida negativa.

11. La función

2 2 2 2= + + − − −f ( x, y,z ) x y z z y xy

tiene en el punto 2 4 13 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, , un:

a) Mínimo local. b) Máximo local. c) Punto de silla.

12. Sea 3 3xA la matriz asociada a una forma

cuadrática ( )Q x,y,z . El determinante es 1=A , la traza ( )Traza 3=A , y uno de los valores propios es 1 1= .λ Entonces la forma cuadrática es: a) Definida positiva. b) Definida negativa. c) Indefinida.

13. Dado el problema de programación lineal,

1 2

1 2

1 2

1 2

6 5s.a: 7 2 10 4 0 ,

+− + ≥

+ ≤≥

min x xx xx xx ,x

se tiene que: a) Es no acotado. b) Es no factible. c) Tiene solución única.

14. Dado el problema dual del problema de programación lineal de la cuestión anterior, se tiene que: a) Es no factible. b) Tiene solución múltiple. c) Es no acotado.

15. Si la solución óptima del problema de programación lineal,

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

3 2s.a: 2 2 3 0 ,

+ −

+ ≤+ + ≤

≥

max x x xx xx x xx ,x ,x

es ( ) ( )1 2 3 2 0 0=* * *x ,x ,x , , , entonces, la solución

dual es: a) ( ) ( )1 2 0 2=* *y , y , .

b) ( ) ( )1 2 3 0=* *y , y , .

c) ( ) ( )1 2 2 0=* *y , y , .

No olvide rellenar el cuadro de respuestas.

MATEMÁTICAS II 25/11/2010 Licenciatura en Economía, Licenciatura Administración y Dirección de Empresas y Diplomatura en Ciencias Empresariales

1. El rango de la matriz

3 11 2 10 1 1

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

aA

es 3 para: a) 0≠a . b) 2= −a . c) 2≠ −a .

2. El número máximo de vectores linealmente

independientes en el siguiente conjunto ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 4 0 1 1 2 1 1 2 2 1 0 1 0− − −, , , , , , , , , , , , , , , es:

a) 4. b) 3. c) 2.

3. El sistema 2 3 0

13 4 1

+ + =⎧⎪ + − =⎨⎪ + =⎩

x y zx y zx y

a) Es compatible indeterminado con solución ( ){ }4 3 3 2+ − − ∈z , z ,z : z .

b) Es compatible indeterminado y su solución es ( ){ }3 2− − ∈x, z ,z : x,z .

c) Es compatible determinado y su solución es ( )3 2 0−, , .

4. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden

n, B invertible, con 2 =A B B, entonces: a) A no es invertible. b) = nA I . c) A es invertible.

5. Cualquier solución del sistema

2 2 02 2 0− + − =⎧

⎨ + − + =⎩

x y z tx y z t

es combinación lineal de los vectores:

a) ( )5 4 1 0 0 1 0 13 3

⎧ ⎫⎛ ⎞ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

, , , , , , , .

b) 5 4 1 03 3

⎧ ⎫⎛ ⎞−⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

, , , .

c) ( )3 4 1 0 0 1 0 15 5

⎧ ⎫⎛ ⎞− −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

, , , , , , , .

6. Dado el sistema

1 1 11 1 01 1 1 1

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

xyz

αα

a) Si 1≠ ±α el sistema es compatible indeterminado.

b) Si 1≠ ±α el sistema es compatible determinado.

c) Si 1= ±α el sistema es compatible determinado.

7. La matriz 1

0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ab

es diagonalizable

,∀ ∈a b , tales que: a) 1 1= = −a ,b . b) 0<ab . c) 0≥ab .

8. Sea 3 3×A una matriz diagonalizable con

valores propios 1λ con 1 2=α y 2λ . ¿Cuál es el rango de la matriz ( )2 3−A Iλ ? a) 2. b) 3. c) 1.

Tipo B

9. Indique cuál no es una matriz de paso para

diagonalizar la matriz 0 0 10 1 01 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A :

a) 1 0 10 1 01 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

b) 1 0 10 1 01 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

c) 1 0 10 1 01 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

.

10. Sea 3 3xA la matriz asociada a una forma

cuadrática ( )Q x,y,z . El determinante es 1=A , la traza ( )Traza 3=A , y uno de los valores propios es 1 1= .λ Entonces la forma cuadrática es: a) Indefinida. b) Definida negativa. c) Definida positiva.

11. La función 2 2 2 2= + + − − −f ( x, y,z ) x y z z y xy

tiene en el punto 2 4 13 3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, , un:

a) Punto de silla. b) Mínimo local. c) Máximo local.

12. La forma cuadrática ( )Q x,y,z,t con matriz asociada

1 1 0 11 2 1 00 1 3 11 0 1 0

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

A

restringida al sistema 2 = + =x y t , z t : a) Es definida negativa. b) Es definida positiva. c) Es indefinida.

13. Si la solución óptima del problema de

programación lineal, 1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

3 2s.a: 2 2 3 0 ,

+ −

+ ≤+ + ≤

≥

max x x xx xx x xx ,x ,x

es ( ) ( )1 2 3 2 0 0=* * *x ,x ,x , , , entonces, la solución

dual es: a) ( ) ( )1 2 3 0=* *y , y , .

b) ( ) ( )1 2 2 0=* *y , y , .

c) ( ) ( )1 2 0 2=* *y , y , .

14. Dado el problema de programación lineal,

1 2

1 2

1 2

1 2

6 5s.a: 7 2 10 4 0 ,

+− + ≥

+ ≤≥

min x xx xx xx ,x

se tiene que: a) Es no factible. b) Tiene solución única. c) Es no acotado.

15. Dado el problema dual del problema de programación lineal de la cuestión anterior, se tiene que: a) Tiene solución múltiple. b) Es no acotado. c) Es no factible.

No olvide rellenar el cuadro de respuestas.

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Titulación: Licenciatura en Economía

Titulación: Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas

Titulación: Diplomatura en Ciencias Empresariales

Problema Tipo A y B

Una empresa textil desea determinar las cantidades de tres tejidos A, B y C que debe utilizar en la elaboración de dos prendas de vestir M y N de manera que satisfaga la demanda del mercado al mínimo coste. Los costes por kilo de tejido son respectivamente 40, 30 y 20 u.m. De cada kilo de tejido A se obtiene una unidad de la prenda M y 4 de la prenda N, por cada kilo de tejido B se obtienen 3 unidades de la prenda M y 1 de la prenda N, y por cada kilo de tejido C se obtiene únicamente 1 unidad de la prenda N. La demanda del mercado es de 40 unidades de la prenda M y 10 unidades de la prenda N. 1. Formular el problema de programación lineal que resuelve la situación que plantea la empresa. (2

puntos) 2. Resolver el problema anterior, indicando las cantidades de A, B y C que se deben utilizar para minimizar

el coste, así como el valor del coste mínimo. (10 puntos) 3. Indicar cómo se modifica el coste mínimo si la demanda de la primera prenda disminuye en 3 unidades.

Indicar también cómo afecta al coste mínimo que la demanda de la segunda prenda aumente en 2 unidades. (4 puntos)

4. Supóngase que el coste del tejido A disminuye. Encontrar, ayudándose de la gráfica del problema dual, un valor de este coste para el cual la solución anterior del problema dual deja de ser la óptima. Indicar la nueva solución dual. (4 puntos)

Solución al Problema Tipo A y B

1. Definimos las variables del problema de la forma siguiente:

1

2

3

cantidad en kilos de tejido A que debe utilizarse cantidad en kilos de tejido B que debe utilizarse cantidad en kilos de tejido C que debe utilizarse.

xxx

===

Entonces la formulación del problema es la siguiente:

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

Min 40 30 20s.a. 3 40 4 10 , , 0.

z x x xx xx x x

x x x

= + ++ ≥+ + ≥

≥

En la formulación anterior, el problema está en forma canónica. La forma estándar del problema es:

Solución del Problema

1 2 3

1 2 1

1 2 3 2

1 2 3 1 2

Min 40 30 20s.a. 3 40 4 10 , , , , 0

z x x xx x hx x x h

x x x h h

= + ++ − =+ + − =

≥

donde 1 2,h h son las variables de holgura.

2. El problema incluye tres variables y dos restricciones, por lo que primeramente resolveremos el

problema dual de forma gráfica para, posteriormente, hallar las soluciones del primal a través de la condición de holgura complementaria. La forma canónica del problema dual es la siguiente:

1 2

1 2

1 2

2

1 2

40 10. . 4 40 3 30 20 , 0

Max w y ys a y y

y yy

y y

= ++ ≤+ ≤

≤≥

y su forma estándar es:

1 2

1 2 1

1 2 2

2 3

1 2 1 2 3

40 10. . 4 40 3 30 20 , , , , 0

Max w y ys a y y t

y y ty t

y y t t t

= ++ + =+ + =

+ =≥

donde 1 2 3, ,t t t son las variables de holgura del problema dual. La representación gráfica es

Avanzando sobre el conjunto factible en la dirección del gradiente, se deduce que la solución óptima se encuentra en el vértice P. Este punto se obtiene resolviendo el sistema:

P (10,0) (40,10)w∇ =

2y

1 23 30y y+ =

2 20y =

1 24 40y y+ =

1y (0,0)

Solución del Problema

2 * *1 2

1 2

010, 0.

3 30y

y yy y

= ⎫⇒ = =⎬+ = ⎭

El valor máximo de la función objetivo es * * *

1 240 10 40 10 10 0 400.w y y= + = × + × = Como el valor óptimo del problema dual y el del primal coinciden, se deduce que el coste mínimo es 400 u.m. Los valores óptimos de las variables de holgura se obtienen despejando en la forma estándar del problema, estos valores son:

* * *1 1 2* * *2 1 2* *3 2

40 4 40 10 0 30

30 3 30 30 0 0

20 20 0 20.

t y y

t y y

t y

= − − = − − =

= − − = − − =

= − = − =

Como el conjunto factible es acotado, otra forma de hallar la solución óptima del problema es evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices del conjunto factible y elegir aquel donde se alcanza el mayor valor de la función objetivo. Para obtener la solución del problema primal aplicamos la condición de holgura complementaria.,

* *1 1* *2 2* *3 3

* *1 1* *2 2

0 30

0

0 20

0 10

0

x t

x t

x t

h y

h y

= ⇐ =

=

= ⇐ =

= ⇐ =

=

Los valores de las variables 2 2, x h en el óptimo se obtienen a partir de la forma estándar del problema primal (incluida en apartado 1) que, incorporando los valores * * *

1 3 10, x 0, 0,x h= = = da lugar al sistema

2 * *2 2

2 2

3 40 40 10, .10 3 3

xx h

x h= ⎫

⇒ = =⎬− = ⎭

Por tanto los kilos de los tejidos A, B y C que se han de utilizar son respectivamente

* * *1 2 3

400, , 0,3

x x x= = = y alcanzamos un coste mínimo de * *400 .w z= =

3. Si la demanda de la primera prenda disminuye en 3 unidades el problema se modifica de la

forma

Solución del Problema

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

Min 40 30 20s.a. 3 40 3 4 10 , , 0

z x x xx xx x x

x x x

= + +

+ ≥ −+ + ≥

≥

Entonces la variación del coste mínimo viene dada por ( )* *

1 1 10 3 30.z y b∆ = ∆ = ⋅ − = − Así el

coste mínimo será ** * 30 400 30 370.z z= − = − = Si la demanda de la segunda prenda aumenta en 2 unidades, el problema es:

1 2 3

1 2

1 2 3

1 2 3

Min 40 30 20s.a. 3 40 4 10 2 , , 0

z x x xx xx x x

x x x

= + +

+ ≥+ + ≥ +

≥

Ahora la variación del coste mínimo viene dada por * *

2 2 0 2 0.z y b∆ = ∆ = ⋅ = Así, el coste mínimo no cambia, manteniendo el valor de * 400.z =

4. Si el coste del tejido A disminuye, el problema dual queda modificado de la manera siguiente:

1 2

1 2

1 2

2

1 2

Max 40 10 s.a. 4 3 30 20 , 0

w y yy y ay y

yy y

= ++ ≤+ ≤

≤≥

Así, la recta 1 24 40y y+ = se desplaza hacia abajo ( )0 40 .a≤ < La gráfica siguiente ilustra el cambio en el óptimo al desplazar dicha recta,

Solución del Problema

Cuanto menor sea el valor del coste del tejido A (el valor de a), la arista del conjunto factible correspondiente a la recta 1 24 ,y y a+ = se encuentra más hacia abajo. El punto óptimo

(10,0)P = no se modifica para variaciones pequeñas. Cuando la recta 1 24y y a+ = pasa por (10,0),P = el valor de a es 10 4 0 10.a = + × = Por tanto, para valores menores que 10, el

conjunto factible no contiene el punto (10,0)P = y la solución óptima del problema cambia. Por ejemplo, para 5,a = el punto óptimo se encuentra en el corte de las rectas

2 1 20 e 4 5,y y y= + = que es:

2 * *1 2

1 2

05, 0.

4 5y

y yy y

= ⎫⇒ = =⎬+ = ⎭

Ahora los valores óptimos de las variables de holgura son * * *

1 2 30, 15, 20,t t t= = = y el valor óptimo de la función objetivo es * 200.w = En general, para 0 10,a≤ < la solución óptima del problema es la intersección de las rectas

2 1 20 e 4 ,y y y a= + = que es el punto ( ),0 .a El valor óptimo (el coste mínimo) sería 40 .a

1 24y y a+ + =

2y

P (10,0)

1 23 30y y+ =

2 20y =

1 24 40y y+ =

1y (0,0)

MATEMÁTICAS II 25 / 11/ 2010 Tipo A Apellidos: ................................................. Nombre: ............................ DNI: ...................................

Titulación: Licenciatura en Economía

Titulación: Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas

Titulación: Diplomatura en Ciencias Empresariales

Problema con ordenador

Sea la siguiente matriz

1 00 11 00 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A .

1. Hallar la matriz 14

−= − t tB I A( A A ) A . ¿Es B idempotente 2 =( B B ) ?, ¿y antisimétrica? (5 puntos)

2. Discutir el sistema =Bx b , con 4 1×x y

1111

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

b . (3 puntos)

3. Hallar los valores propios de B y sus multiplicidades algebraicas. (2 puntos) 4. ¿Es B diagonalizable? Justificar la respuesta. (2 puntos) 5. Hallar los vectores propios de B. Escribir una matriz de paso, la matriz diagonal semejante y la relación

de semejanza. (5 puntos) 6. Clasificar la forma cuadrática 3= tQ( x ) x B x , con 4 1×x . (3 puntos) Nota: Justificar los resultados obtenidos indicando las instrucciones utilizadas y razonando las respuestas.

Solución del problema

1. Dada la matriz A,

„ 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 1 ¦ #1: ¦ ¦ ¦ 1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 1 ‡ La matriz 1

4 ( )t tB I A A A A−= − es, „ 1 0 † „ 1 0 † „ 1 0 †‚-1 „ 1 0 † ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 ¦ ¦¦ 0 1 ¦ ¦ 0 1 ¦¦ ¦ 0 1 ¦ #2: IDENTITY_MATRIX(4) - ¦ ¦·¦¦ ¦`·¦ ¦¦ ·¦ ¦` ¦ 1 0 ¦ ¦¦ 1 0 ¦ ¦ 1 0 ¦¦ ¦ 1 0 ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 0 1 ‡ … 0 1 ‡ … 0 1 ‡ƒ … 0 1 ‡ obteniendo

Solución del problema

„ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #3: ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡ Hallamos el cuadrado de esta matriz B, „ 1 1 †2 ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #4: ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡ obteniendo „ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #5: ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡ por lo que la matriz B es idempotente. Es también simétrica, no antisimétrica.

Solución del problema

2. Discutimos el sistema Bx b= a partir del rango de la matriz y su ampliada. El rango de B es „ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #6: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡ #7: 2 y el de la ampliada es „ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ #8: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— 1 ¦ … 2 2 ‡ #9: 3 que, como son diferentes, el sistema es incompatible. También puede resolverse aplicando ROW_REDUCE a la matriz ampliada.

3. Calculamos el polinomio característico de B, „ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ 2 2 ¦ #10: CHARPOLY ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡

Solución del problema 2 2 #11: w ·(w - 1)

por lo que los valores propios y sus multiplicidades algebraicas son 1 10, 2,λ α= = y 2 21, 2.λ α= = 4. La matriz B es diagonalizable porque es simétrica. 5. Calculamos los vectores propios asociados a 1 0,λ = „ 1 1 † ‚ ¦¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ #12: EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 0¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ ¦ … 2 2 ‡ ƒ #13: [[@1, @2, @1, @2]] por lo que (1,0,1,0) y (0,1,0,1) son dos vectores propios de B linealmente independientes asociados al valor propio 1 0.λ = Cualquier vector propio de B asociado a este valor propio es combinación lineal de estos dos vectores. Procediendo de la misma manera para 2 1,λ = „ 1 1 † ‚ ¦¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ #14: EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 1¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 2 2 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ ¦ … 2 2 ‡ ƒ #15: [[@3, @4, -@3, -@4]] deducimos que (1,0, 1,0) y (0,1,0, 1)− − son dos vectores propios de B linealmente independientes asociados al valor propio 2 1.λ = Cualquier vector propio de B asociado a este valor propio es combinación lineal de estos dos vectores.

Solución del problema

La matriz de paso es „ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #16: ¦ ¦ ¦ 1 0 -1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 1 0 -1 ‡ y la relación de semejanza „ 1 1 † ¦ ——— 0 - ——— 0 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ ¦ „ 1 0 1 0 †-1 ¦ 1 1 ¦ „ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 ——— 0 - ——— ¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ ¦ 2 2 ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #17: ¦ ¦ ·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 1 0 -1 0 ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 1 0 -1 0 ¦ ¦ ¦ ¦ - ——— 0 ——— 0 ¦ ¦ ¦ … 0 1 0 -1 ‡ ¦ 2 2 ¦ … 0 1 0 -1 ‡ ¦ ¦ ¦ 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— 0 ——— ¦ … 2 2 ‡ y se obtiene la matriz diagonal semejante „ 0 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 0 0 ¦ #18: ¦ ¦ ¦ 0 0 1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 1 ‡

6. La forma cuadrática 3( ) tQ x x B x= es semidefinida positiva, puesto que sus valores propios son 3

1 0,λ = 32 1.λ =

También se podría haber comprobado que la matriz 3B B= al ser B idempotente, ya que 3 2 2 .B B B BB B B= = = = De esta manera, la forma cuadrática es semidefinida positiva al ser

1 0,λ = 2 1λ = los valores propios de B.

MATEMÁTICAS II 25 / 11/ 2010 Tipo B Apellidos: ................................................. Nombre: ............................ DNI: ...................................

Titulación: Licenciatura en Economía

Titulación: Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas

Titulación: Diplomatura en Ciencias Empresariales

Problema con ordenador

Sea la siguiente matriz

1 10 11 11 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

M .

1. Hallar la matriz 14

−= −t tN M( M M ) M I . ¿Es N idempotente 2 =( N N )?, ¿y simétrica? (5 puntos) 2. Hallar los valores propios de N y sus multiplicidades algebraicas. (2 puntos) 3. ¿Es N diagonalizable? Justificar la respuesta. (2 puntos) 4. Hallar los vectores propios de N. Escribir una matriz de paso, la matriz diagonal semejante y la relación

de semejanza. (5 puntos)

5. Discutir el sistema =Nx b , con 4 1×x y

121

1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

b . (3 puntos)

6. Clasificar la forma cuadrática 5= tQ( x ) x N x , con 4 1×x . (3 puntos) Nota: Justificar los resultados obtenidos indicando las instrucciones utilizadas y razonando las respuestas.

Solución del problema

1. Dada la matriz M,

„ 1 1 † ¦ ¦ ¦ 0 1 ¦ #1: ¦ ¦ ¦ 1 -1 ¦ ¦ ¦ … 1 0 ‡ La matriz 1

4( )t tN M M M M I−= − es, „ 1 1 † „ 1 1 † „ 1 1 †‚-1 „ 1 1 † ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 ¦ ¦¦ 0 1 ¦ ¦ 0 1 ¦¦ ¦ 0 1 ¦ #2: ¦ ¦·¦¦ ¦`·¦ ¦¦ ·¦ ¦` - IDENTITY_MATRIX(4) ¦ 1 -1 ¦ ¦¦ 1 -1 ¦ ¦ 1 -1 ¦¦ ¦ 1 -1 ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ … 1 0 ‡ … 1 0 ‡ … 1 0 ‡ƒ … 1 0 ‡ obteniendo

Solución del problema

„ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #3: ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡ Hallamos el cuadrado de esta matriz N, „ 1 1 1 †2 ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #4: ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡ obteniendo „ 1 1 1 † ¦ ——— - ——— 0 - ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ - ——— ——— ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #5: ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 ——— ——— - ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ - ——— 0 - ——— ——— ¦ … 3 3 3 ‡ por lo que la matriz N no es idempotente. Sin embargo, es simétrica.

Solución del problema

2. Calculamos el polinomio característico de N, „ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #6: CHARPOLY ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡ 2 2 #7: w ·(w + 1) por lo que los valores propios y sus multiplicidades algebraicas son 1 10, 2,λ α= = y

2 21, 2.λ α= − = 3. La matriz N es diagonalizable porque es simétrica. 4. Calculamos los vectores propios asociados a 1 0,λ = „ 1 1 1 † ‚ ¦¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 2 1 ¦ ¦ ¦¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ #8: EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, 0¦ ¦¦ 1 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 2 ¦ ¦ ¦¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ ¦ … 3 3 3 ‡ ƒ #9: [[@5, @6, @5 - 2·@6, @5 - @6]] por lo que (1,0,1,1) y (0,1, 2, 1)− − son dos vectores propios de N linealmente independientes asociados al valor propio 1 0.λ = Cualquier vector propio de N asociado a este valor propio es combinación lineal de estos dos vectores.

Solución del problema

Procediendo de la misma manera para 2 1,λ = − „ 1 1 1 † ‚ ¦¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 2 1 ¦ ¦ ¦¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ #10: EXACT_EIGENVECTOR¦¦ ¦, -1¦ ¦¦ 1 1 1 ¦ ¦ ¦¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ ¦¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦¦ 1 1 2 ¦ ¦ ¦¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ ¦ … 3 3 3 ‡ ƒ #11: [[@7, @8, @7 + @8, - 2·@7 - @8]] deducimos que (1,0,1, 2) y (0,1,1, 1)− − son dos vectores propios de N linealmente independientes asociados al valor propio 2 1.λ = − Cualquier vector propio de N asociado a este valor propio es combinación lineal de estos dos vectores. La matriz de paso es „ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #12: ¦ ¦ ¦ 1 -2 1 1 ¦ ¦ ¦ … 1 -1 -2 -1 ‡ y la relación de semejanza „ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ „ 1 0 1 0 †-1 ¦ 1 2 1 ¦ „ 1 0 1 0 † ¦ ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ 0 1 0 1 ¦ #13: ¦ ¦ ·¦ ¦·¦ ¦ ¦ 1 -2 1 1 ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 1 -2 1 1 ¦ ¦ ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ ¦ … 1 -1 -2 -1 ‡ ¦ 3 3 3 ¦ … 1 -1 -2 -1 ‡ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡ y se obtiene la matriz diagonal semejante „ 0 0 0 0 † ¦ ¦ ¦ 0 0 0 0 ¦ #14: ¦ ¦ ¦ 0 0 -1 0 ¦ ¦ ¦ … 0 0 0 -1 ‡

Solución del problema

5. Discutimos el sistema Nx b= a partir del rango de la matriz y su ampliada. El rango de N es „ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #15: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— ¦ … 3 3 3 ‡ #16: 2 y el de la ampliada es „ 1 1 1 † ¦ - ——— ——— 0 ——— 1 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 2 1 ¦ ¦ ——— - ——— - ——— 0 2 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ #17: RANK ¦ ¦ ¦ 1 1 1 ¦ ¦ 0 - ——— - ——— ——— -1 ¦ ¦ 3 3 3 ¦ ¦ ¦ ¦ 1 1 2 ¦ ¦ ——— 0 ——— - ——— 1 ¦ … 3 3 3 ‡ #18: 3 que, como son diferentes, el sistema es incompatible. También puede resolverse aplicando ROW_REDUCE a la matriz ampliada.

6. La forma cuadrática 5( ) tQ x x N x= es semidefinida negativa, puesto que sus valores propios son

51 0,λ = 5

2 1.λ = −