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Nivel 1º Enseñanza Secundaria
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Las relaciones de proporcionalidad
1 Indica los pares de magnitudes que son directamente proporcionales(D), los que son inversamente proporcionales (I) y los que no guardan rela-ción de proporcionalidad (X).
a) El gasto de energía de una bombilla y el tiempo que está encendida.
b) La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en cubrir el trayecto entredos ciudades.
c) El número de asistentes a una excursión y la cantidad que aporta cada unopara pagar el autobús.
d) El diámetro de la rueda de un coche y la velocidad que este alcanza.
e) El precio de un coche y el número de asientos que lleva.
f) El número de horas trabajadas y el salario percibido.
a) D. Cuanto más tiempo está encendida, más gasto de energía hay.
b) I. Cuanto mayor es la velocidad, menos tiempo tarda.
c) I. Cuantos más excursionistas, menos tendrá que pagar cada uno por el al-quiler del autobús.
d) X. No hay relación entre la velocidad de un coche y el diámetro de sus ruedas.
e) X. No hay relación entre el precio de un coche y el número de asientos quelleva.
f ) D. Cuantas más horas trabajadas, mayor será el salario percibido.
2 Completa estas tablas y di cuáles contienen pares de valores proporcio-nales:
a) b)
c) d)
a)Proporcionalidad directa.
1 2 3 4
0,2 0,4 0,6 ?
1 2 3 4
0,2 0,4 0,6 0,8
1 2 3 4 9
36 18 12 9 ?
12
?
0 3 10 11 20
5 8 15 16 25
21
?
1 2 3 4
1 8 27 ?
1
b) Los valores no son proporcionales.
Los de abajo se obtienen elevando al cubo los de arriba.
c)Proporcionalidad inversa.
d) Los valores no son proporcionales.
Los de abajo se obtienen sumando 5 a los dearriba.
3 Completa las tablas de forma que los pares de valores correspondientessean directamente proporcionales:
a) b)
a) b)
4 Completa las tablas para que los pares de valores sean inversamenteproporcionales:
a) b)
a) b)
5 Calcula en cada caso el término desconocido siguiendo el mismo proce-so que en el ejemplo resuelto:
a) �1220���
1x5� → 12�x�15�20
12�x�300 → x�300 : 12�25
b) �3450���
2x8� c) �
1235���
5x2�
d) �6359���
2x1� e) �
6x3���
5728�
1 2 3 4 9
36 18 12 9 4
12
3
0 3 10 11 20
5 8 15 16 25
21
26
1 2 3 4
1 8 27 64
3 6 9 21 30
5
3 6 9 18 36
1
3 6 9 21 30
5 10 15 35 50
3 6 9 18 36
1 2 3 6 12
10 20 30 5
6
15 30 60 5
12
10 20 30 5
6 3 2 12
15 30 60 5
12 6 3 36
2
f ) �3x1���
14746
� g) �1x2���
1126�
b) �3450���
2x8� → 35�x�40 �28 → 35�x�1 120 → x�1 120 : 35�32
c) �1235���
5x2� → 13�x�25 �52 → 13�x�1 300 → x�1 300 : 13�100
d) �6359���
2x1� → 65�21�39 �x → 1 365�39 �x → x�1 365 : 39�35
e) �6x3���
5728� → x�78�63 �52 → x�78�3 276 → x�3 276 : 78�42
f ) �3x1���
14746
� → 31�176�x �44 → 5 456�x �44 → x�5 456 : 44�124
g) �1x2���
1126� → x�16�12 �12 → x�16�144 → x�144 : 16�9
6 Completa esta tabla de valores directamente propor-cionales.
Escribe con ellos tres pares de fracciones equivalentes.
�26
� � �39
� �26
� ��142� �
39
� ��142� �
34
� ��192� …
7 Completa esta tabla de valores inversamente propor-cionales.
Escribe con ellos tres pares de fracciones equivalentes.
�26
� ��1
5
5� �
1
2
0���
1
3
5� �
1
6
0�� �
35
� …
Problemas de proporcionalidad
8 Resuelve mentalmente:
a) Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 €. ¿Cuánto cobrará por5 horas?
b) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros?
c) Trescientos gramos de queso curado cuestan 600 céntimos. ¿Cuánto cues-tan doscientos gramos?
d) Un camión, a 60 km/h, tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido.¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h?
2 3 4
6 9 ?
2 3 4
6 9 12
2 6 10
15 5 ?
2 6 10
15 5 3
3
a) 100 €
b) 3 horas
c) 400 céntimos
d) 20 minutos
10 Por 5 días de trabajo he ganado 390 €. ¿Cuánto ganaré por 18 días?
Proporcionalidad directa
�1
58�� �
39x0
� → 5�x�18 �390 → 5�x�7 020 → x�7 020 : 5�1 404
Por 18 días ganará 1 404 €.
11 Tres cajas de cereales pesan dos kilos y cuarto. ¿Cuánto pesarán cincocajas iguales a las anteriores?
Proporcionalidad directa
�35
� ��2 2
x50� → 3�x�5 �2 250 → 3�x�11250 → x�11 250 : 3�3 750
Las cinco cajas pesarán 3 kilos y tres cuartos.
12 Dos palas excavadoras hacen la zanja de una conducción de cable tele-fónico en 10 días. ¿Cuánto tardarían en hacer la zanja cinco palas?
Proporcionalidad inversa
�25
� ��1x0� → 2�10�5 �x → 20�5 �x → x�4
Las cinco palas tardarán en hacer la zanja 4 días.
13 Una fábrica de automóviles ha producido 8100 vehículos en 60 días. Sise mantiene el ritmo de producción, ¿cuántas unidades fabricará en un año?
Proporcionalidad directa
60 días → 8 100 vehículos365 días → x
2 palas → 10 días5 palas → x
3 cajas → 2 250 gramos5 cajas → x
5 días → 390 €18 días → x
4
�36605
���8 1
x00� → 60 �x�365 �8 100 → 60�x�2 956 500 → x�49 275
En un año fabricará 49 275 vehículos.
14 Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportarcierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesita para hacer el mismo porteotro camión que carga 5 toneladas? (1 t�1 000 kg).
Proporcionalidad inversa
�35
� ��1x5� → 3�15�5 �x → 45�5 �x → x�45 : 5�9
El camión de 5 toneladas necesita hacer 9 viajes.
15 Un conductor invierte tres horas y media en un recorrido de 329 km.¿Cuánto tiempo invertirá en otro recorrido, en condiciones similares al ante-rior, de 282 km de longitud?
Proporcionalidad directa
�322892
���3x,5� → 329�x�3,5 �282 → 329�x�987 → x�3
En recorrer 282 km tardará 3 horas.
16 Un taxi que va a 100 km/h necesita 20 minutos para cubrir la distanciaentre dos pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 80 km/h?
P. INVERSA
VELOCIDAD (km/h) TIEMPO (min)
100 20
80 x
Proporcionalidad inversa
�1
8
0
0
0���
2x0� → 100�20�80 �x → 2 000�80 �x → x�2 000 : 80�25
Si fuese a 80 km/h tardaría 25 minutos.
100 km/h → 20 minutos80 km/h → x
329 km → 3,5 horas282 km → x
3 toneladas → 15 viajes5 toneladas → x
5
17 Un camión, a una media de 70 km/h, ha tardado tres cuartos de horaen ir de la ciudad A hasta la ciudad B. ¿Cuál ha sido la velocidad media de uncoche que ha invertido 35 minutos en el mismo recorrido?
Proporcionalidad inversa
�7x0���
3455� → 70�45�x �35 → 3 150�x �35 → x�3 150 : 35�90
Su velocidad media ha sido de 90 km/h.
18 En el plano de una casa, el salón mide 10 cm de largo y 7 cm de ancho.Si en la realidad el salón tiene 5 metros de largo, ¿cuál es su ancho real?
Proporcionalidad directa
�170�� �
5x
� → 10�x�35 → x�3,5
En la realidad, el salón tiene un ancho de 3,5 metros.
19 Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuán-tas botellas llenará en hora y media?
Proporcionalidad directa
�24
x0
���2
9
0
0� → 240�90�x�20 → 21 600�x�20 → x�21 600 : 20�1 080
En una hora y media llenará 1 080 botellas.
20 ¿Cuántos metros por segundo recorre un coche que va a 120 kilómetrospor hora?
P. DIRECTA
TIEMPO DISTANCIA
1 hora → 120 km60 minutos
1 minuto→
120 : 60�2 km�2 000 m
60 segundos
1 segundo → ?
1 hora = 60 minutos → 120 km
240 botellas → 20 minutosx → 90 minutos
10 cm → 5 m7 cm → x
70 km/h → 45 minutosx → 35 minutos
6
1 minuto�60 segundos → 120 : 60�2 km�2 000 m
1 segundo → 2 000 : 60�33,3� m
120 km/h�33,3� m/s
21 Un ciclista recorre 4 metros en un segundo. ¿Cuál es su velocidad en ki-lómetros por hora?
1 segundo → 4 m
60 segundos = 1 minuto → 4 · 60 = 240 m
60 minutos = 1 hora → 240 · 60 = 14 400 m = 14,4 km
4 m/s = 14,4 km/h
22 Dos ciudades, A y B, separadas 85 km en la realidad, están a 34 cm dedistancia en un plano. ¿Cuál será la distancia real entre otras dos, M y N, se-paradas 12 cm en el plano?
Proporcionalidad directa
�8x5���
3142� → 85�12�x �34 → 1 020�x �34 → x�1 020 : 34�30
Las ciudades M y N, están separadas 30 km.
23 En un concurso televisivo, cada participante recibe una cantidad de di-nero inversamente proporcional al número de fallos cometidos. Un concur-sante que cometió cinco fallos se llevó 1 000 €.
¿Cuánto se llevará uno que solamente haya cometido dos fallos?
Proporcionalidad inversa
�5
2� ��
1 0x00� → 5�1 000�2 �x → 5 000�2 �x → x�2 500
El concursante se llevará 2 500 €.
24 Un padre le da la paga a sus tres hijas, de forma que a cada una le co-rresponde una cantidad directamente proporcional a su edad. La mayor tiene20 años y recibe 50 €.
5 fallos → 1 000 €2 fallos → x
85 km → 34 cmx → 12 cm
7
¿Cuánto corresponderá a la mediana y a la menor que tienen, respectivamen-te, 15 y 8 años?
Proporcionalidad directa
�2105���
5x0� → 20�x�15 �50 → 20�x�750 → x�750 : 20�37,5
�280���
5y0� → 20�y�8 �50 → 20�y�400 → y�400 : 20�20
A la mediana, de 15 años, le corresponden 37,5 € y a la pequeña, de 8 años,20 €.
25 En una granja, 20 vacas han consumido 1 000 kg de pienso en un mes.
a) ¿Cuánto pienso consumirán 10 vacas en dos meses?
b) ¿Cuánto pienso consumirán 10 vacas en cinco meses?
a) 20 vacas → 1 000 kg → 1 mes
10 vacas → 500 kg → 1 mes
10 vacas → 1 000 kg → 2 meses
Las 10 vacas consumirán, en 2 meses, 1 000 kg de pienso.
b) 10 vacas → 500 kg → 1 mes
10 vacas → 2 500 kg → 5 meses
Las 10 vacas consumirán, en 5 meses, 2 500 kg de pienso.
27 Con 60 kg de pienso se puede alimentar a 5 caballos durante 4 días.¿Cuánto tiempo se puede alimentar a 2 caballos con 120 kg de pienso?
60 kg → 5 caballos → 4 días
120 kg → 2 caballos → x
60 kg → 5 caballos → 4 días
60 kg → 1 caballo → 4�5�20 días
120 kg → 1 caballo → 20�2�40 días
120 kg → 2 caballos → 40 : 2�20 días
Con 120 kg de pienso se puede alimentar a 2 caballos durante 20 días.
20 años → 50 €15 años → x8 años → y
8
Porcentajes
28 Calcula mentalmente:
a) 10% de 2 500 b) 10% de 250
c) 10% de 25 d) 12% de 200
e) 12% de 50 f ) 12% de 250
g) 12% de 25 h) 12% de 125
i) 12% de 150 j) 30% de 500
k) 30% de 50 l) 30% de 20
a) 250 b) 25
c) 2,5 d) 24
e) 6 f ) 30
g) 3 h) 15
i) 18 j) 150
k) 15 l) 6
29 Calcula con lápiz y papel y después comprueba con la calculadora:
a) 15% de 380 b) 13% de 25 000
c) 120% de 450 d) 70% de 2 350
e) 6% de 65 f) 150% de 400
a) �1
1
0
5
0��380�57 b) �
1
1
0
3
0��25 000�3 250
c) �112000
��450�540 d) �17000
��2 350�1 645
e) �1600��65�3,9 f ) �
115000
��400�600
30 Calcula (si el resultado no es exacto redondea a las unidades):
a) 18% de 3 250 b) 12% de 17 000
c) 84% de 3 675 d) 3% de 27 200
e) 16% de 325 f) 11% de 1 386
g) 73% de 2 648 h) 67% de 5 680
9
a) �11080
��3 250�585 b) �11020
��17 000�2 040
c) �18040
��3 675�3 087 d) �1300��27 200�816
e) �11060
��325�52 f ) �11010
��1 386�152
g) �17030
��2 648�1 933 h) �16070
��5 680�3 806
31 Completa:
a) Para calcular el 50% dividimos entre…
b) Para calcular el 25% dividimos entre…
c) Para calcular el 20% dividimos entre…
d) Para calcular el 10% dividimos entre…
e) Para calcular el 5% dividimos primero entre 10 y después entre…
a) 2
b) 4
c) 5
d) 10
e) 2
32 Completa con el porcentaje adecuado en cada caso:
a) % de 50�250 b) % de 180�90
c) % de 160�40 d) % de 140�14
e) % de 83�8,3 f) % de 25�5
g) % de 400�300
b) 50% (90 es la mitad de 180)
c) 25% (40 es la cuarta parte de 160)
d) 10% (14�140 : 10)
e) 10% (8,3�83 : 10)
f ) 20% (5�25 : 5)
g) 75% �300� �34
� �400�
?
??
??
?50
10
34 El 12% de un número es 42,6. ¿Cuál es el número?
�10
x0
���4122,6� → 100 �42,6�x �12 → 4 260�x �12 → x�4 260 : 12�355
El número es el 355.
35 El 27% de un número es 621. ¿Cuál es el número?
�10x0
���622721� → 100�621�x�27 → 62100�x�27 → x�62100 : 27�2300
El número es el 2 300.
36 Completa:
a) 15% de …�63 b) 17% de …�76,5
c) 80% de …�140 d) 72% de …�522
a) �11050
���6x3� → 6 300�15 �x → x�6 300 : 15�420
15% de 420�63
b) �11070
���76
x,5� → 7 650�17 �x → x�7 650 : 17�450
17% de 450�76,5
c) �18000
���14
x0
� → 14 000�80 �x → x�14 000 : 80�175
80% de 175�140
d) �17020
���52
x2
� → 52 200�72 �x → x�52 200 : 72�725
72% de 725�522
Problemas con porcentajes
37 En una clase de 30 alumnos, el 60% son chicos y el 40%, chicas.¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay en la clase?
�16000
��30� (30 �60) : 100�1 800 : 100�18
100 → 12x → 42,6
11
�14000
��30�1 200/100�12
Son 18 chicos y 12 chicas.
38 En una ciudad de dos millones de habitantes, el 82% son europeos; el9%, africanos; el 6%, asiáticos, y el resto, americanos. ¿Cuál es el porcentajede americanos? ¿Cuántos hay en cada grupo?
Los americanos son el 3% de la población.
Europeos → �18020
�� 2 000 000�20 000 �82�1 640 000
Africanos → �1
900��2 000 000�20 000 �9�180 000
Asiáticos → �1600��2 000 000�20 000 �6�120 000
Americanos → �1300��2 000 000�20 000 �3�60 000
39 Los habitantes de cierta ciudad se distribuyen según esta tabla:
¿Qué porcentaje supone cada grupo, respecto del total?
880 000�60 000�50 000�10 000�1 000 000
Europeos → 880 000�100 : 1 000 000�88 → 88%
Africanos → 60 000�100 : 1 000 000�6 → 6%
Americanos → 50 000�100 : 1 000 000�5 → 5%
Asiáticos → 10 000�100 : 1 000 000�1 → 1%
40 Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido amis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?
�11050
��15�2,25
15�2,25�17,25
82�9�6�97100�97�3
EUROPEOS 880 000
60 000AFRICANOS
50 000AMERICANOS
10 000ASIÁTICOS
12
La paga será de 17,25 €.
OTRO MÉTODO: Si le suben el 15%, le darán el 115%.
�11050
��15�17,25 €
41 Una cinta de música cuesta 11,35 €. ¿Cuánto pagaré si me hacen unarebaja del 40%?
�14000
��11,35�4,54
11,35�4,54�6,81
Pagará 6,81 € por la cinta.
OTRO MÉTODO: Si le rebajan el 40%, pagará el 60%.
�16000
��11,35�6,81 €
42 Un pantano contenía el mes pasado tres millones y medio de metroscúbicos de agua. ¿Cuál es su contenido actual si con las últimas lluvias ha ga-nado un 20%?
�12000
��3 500 000�20 �35 000�700 000
3 500 000�700 000�4 200 000
El pantano contiene ahora 4 200 000 m3.
OTRO MÉTODO:
Si ha ganado un 20%, ahora contiene un 120%.
�112000
��3 500 000�120 �35 000�4 200 000 m3
43 En una granja, el 15% de los animales son vacas. Sabiendo que hay 30vacas, ¿cuál es el número total de animales?
�11050
��x�30
�11050
���3x0� → 15�x�3 000 → x�3 000 : 15�200
En la granja hay 200 animales.
13
44 Ayer la barra de pan subió un 10%. Si ahora cuesta 55 céntimos, ¿cuálera el precio anterior?
Si ha subido un 10%, ahora cuesta un 110% de lo que costaba.
�15150
���10
x0
� → 5 500�110 �x → x�5 500 : 110�50
La barra de pan costaba 50 céntimos.
45 Un jersey, rebajado en un 20%, me ha costado 40 €. ¿Cuánto costabaantes de la rebaja?
Como se ha rebajado un 20%, por el jersey se ha pagado el 80% de su precioinicial.
�8400���
10x0
� → 80�x�4 000 → x�4 000 : 80�50
El jersey costaba 50 euros.
46 Un jersey costaba 50 € y he pagado 40 €. ¿Qué porcentaje me han re-bajado?
En este caso, 50 € es el 100% de su valor y 40 € es el porcentaje pagado por eljersey.
�15000
���4x0� → 50�x�4 000 → x�4 000 : 50�80
Por el jersey se ha pagado el 80%, luego lo han rebajado un 20%.
47 Por 3 kg de melocotones y 4 kg de peras he pagado 5 €. Si las peras es-tán a 0,8 €/kg, ¿cuánto cuestan 2 kg de melocotones y uno de peras?
1 kg de peras → 0,8 €
4 kg de peras → 0,8�4�3,2 €
3 kg de melocotones → 5 €�3,2 €�1,8 €
14
1 kg de melocotones → 1,8 : 3�0,6 €
2 kg de melocotones → 0,6�2�1,2 €
Por 2 kg de melocotones y 1 kg de peras, habrá que pagar:
1,2 €�0,8 €�2 €
48 Un trabajador cobra 60 € cada vez que trabaja de día, y 90 € cada vezque trabaja de noche. Si el próximo mes tiene 22 días hábiles y quiere ganarmás de 1 800 €, ¿cuántas jornadas de noche debe trabajar, como mínimo?
Trabajando de día cobrará, en los 22 días hábiles del mes:
22 �60�1 320 €
Hasta 1 800 € le faltan 1 800�1 320�480 €.
Para conseguir los 1 800 €, como mínimo, tiene que trabajar de noche:
480 : 90�5,3�
Es decir, un mínimo de 6 noches.
49 En un supermercado se venden naranjas a 1,5 €/kg, pero por cada cincokilos que compres y pagues, te regalan un kilo extra. El dueño de un restau-rante se lleva 12 kg de naranjas. ¿Cuánto habrá pagado por ellas? ¿Y si se hu-biera llevado 30 kilos?
• 12 kg de naranjas → 12� (5�1) �2
Ha comprado 10 kg (5 �2) y le han regalado 2 kg (1 �2).
Ha pagado 1,5 �10�15 €.
• 30 kg de naranjas → 30�6 �5� (5�1) �5 → 5 �5 compradas y 1 �5 rega-ladas
Habría comprado 25 kg y le habrían regalado 5 kg.
Coste de la compra: 25 �1,5�37,5 €
50 Por 200 gramos de jamón y tres cajas de quesitos he pagado 6,8 €. Si lacaja de quesitos está a 1,2 €, ¿a cuánto sale el kilo de jamón?
1 caja de quesitos → 1,2 €
3 cajas de quesitos → 1,2�3�3,6 €
200 g de jamón → 6,8 €�3,6 €�3,2 €
1 kg de jamón → 3,2�5�16 €
Un kilo de jamón cuesta 16 €.
15
51 Un granjero, cuando está solo, tarda una hora y cuarto en dar de comera su ganado. ¿Cuánto tardará si le ayuda su hijo, sabiendo que, en el mismotiempo, el hijo hace la mitad de trabajo que su padre?
En el mismo tiempo:
Si trabajan juntos, mientras que el padre hace los �23
� del trabajo, el hijo hace �13
�.
Cuando el padre está solo, tarda 75 minutos en hacer el trabajo entero.
Por tanto, en hacer �23
� del trabajo tardará:
�23
� �75�50 minutos
Entre los dos tardarán en hacer el trabajo entero 50 minutos.
PROBLEMAS DE ESTRATEGIA
52 Ana, Rosa, Marta y Pilar son cuatro amigas que en su tiempo libre practicandistintas aficiones: música, senderismo, jardinería y fotografía. Sabemos que:
a) Cada una practica dos de esas actividades.
b) Ninguna hace el par senderismo-música ni tampoco el par fotografía-jardi-nería.
c) Todas practican diferente par de aficiones.
d) Marta y Pilar no coinciden en sus gustos.
e) A Pilar no le gusta nada la jardinería.
f) Ana no es aficionada a la música, pero le encanta la jardinería.
¿Cuál es el par de actividades que practica cada una?
HACE EL PADRE HACE EL HIJO
16
Las tres parejas de actividades que quedan son:
jardinería – música / fotografía – música / senderismo – fotografía
Por la condición d), las opciones de Marta y Pilar son:
jardinería – música / senderismo – fotografía
Por la condición e), Pilar practica senderismo – fotografía.
Para Marta queda jardinería – música.
Y para Rosa, fotografía – música.
53 Tres amigos motoristas, Roberto Rojo, Bartolomé Blanco y Genaro Gris, sedisponen a salir de paseo:
• ¿Os habéis fijado —dice Roberto— que una de nuestras motos es roja, otrablanca y otra gris, pero en ningún caso el color coincide con el apellido deldueño?
• Pues no me había fijado —dice el de la moto blanca—, pero tienes razón.
¿De qué color es la moto de cada uno?
×
×
MÚSICA SENDERISMO JARDINERÍA FOTOGRAFÍA
MÚSICA ×SENDERISMO × × ANA
JARDINERÍA × × ×FOTOGRAFÍA × × × ×
×
APLICA ESTA ESTRATEGIA
Organiza los datos en una tabla que te permita manejarlos globalmente y teayude a establecer relaciones.
• Eliminamos las casillas de la diagonal y las de abajo, pues están repetidas. (×)• Eliminamos también las casillas que descarta la condición b) del enunciado. ( )• Observando las casillas restantes y atendiendo a la última condición del enun-
ciado f), deducimos que Ana practica senderismo y jardinería.Termina tú de completar la tabla, atendiendo a las condiciones d) y e) quese dan en el enunciado.
×
MÚSICA SENDERISMO JARDINERÍA FOTOGRAFÍA
MÚSICA × MARTA ROSA
SENDERISMO × × ANA PILAR
JARDINERÍA × × ×FOTOGRAFÍA × × × ×
×
17
Primero habla Roberto Rojo.
Contesta el dueño de la moto blanca, que no puede ser Bartolomé, luego esGenaro Gris.
Así, la moto roja es de Bartolomé Blanco y la gris es de Roberto Rojo.
Roberto Rojo → moto gris
Bartolomé Blanco → moto roja
Genaro Gris → moto blanca
18
9a s r e l a c i o n e s d e p r o p o r c i o n a l i d a d
1 Indica los pares de magnitudes que son directamente proporcionales (D),los que son inversamente proporcionales (I) y los que no guardan proporcionali-dad (X).
a) El tiempo que está encendida una farola y la cantidad de energía que gasta.
b) El número de páginas de un periódico y su precio.
c) La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en ir de Córdoba a Badajoz.
d) El peso de un queso y su coste.
e) El caudal de una fuente y el tiempo que tarda en llenar un cántaro.
f) El número de asas de un jarro y su capacidad.
a) D b) X c) I
d) D e) I f ) X
2 Completa esta tabla de valores directamente proporcionales:
Escribe con estos valores tres pares de fracciones equivalentes.
= ; = ; =
3 Completa esta tabla de forma que los pares de valores sean inversamenteproporcionales:
Escribe con estos valores tres pares de fracciones equivalentes.
= ; = ; = 360
120
46
1015
1260
15
1 5 10 15 20 30
60 12 6 4 3 2
1 5 10 15 20 30
12 6
1025
820
820
410
410
25
1 2 3 4 5 8 10 15
2,5 5 7,5 10 12,5 20 25 37,5
1 2 3 4 5 8 10 15
5 10
L
19
94 Calcula en cada caso el término desconocido:
a) = b) = c) = d) = e) =
f) = g) = h) = i) = j) =
a) 50 b) 32 c) 72 d) 46 e) 45
f ) 51 g) 4 h) 1,8 i) 28 j) 2,4
5 Resuelve mentalmente.
a) Dos cajas de galletas cuestan 4 €. ¿Cuánto costarán tres cajas?
b) Doscientos gramos de mortadela cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan 300 gramos?
c) Dos jardineros siegan un parque en 3 horas. ¿Cuánto tardaría uno solo? ¿Y tresjardineros?
d) Un ciclista, a 20 km/h, tarda 30 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tarda-rá una moto a 60 km/h?
a) 6 €
b) 2,70 €
c) Un jardinero tardará 6 h. Tres jardineros tardarán 2 h.
d) La moto tardará 10 minutos.
6 Cuatro cajas de galletas pesan 2,4 kg. ¿Cuánto pesarán cinco cajas iguales alas anteriores?
CAJAS KILOS
4 2,4
5 xSon magnitudes directamente proporcionales. Así:
= 8 x = = 3
Las 5 cajas pesan 3 kg.
7 Una fuente arroja 42 litros de agua en 6 minutos. ¿Cuántos litros arrojaráen 15 minutos?
MINUTOS LITROS
6 42
15 xSon magnitudes directamente proporcionales. Así:
= 8 x = = 105
Arroja 105 l de agua.
15 · 426
42x
615
5 · 2,44
2,4x
45
2,7x
0,630,56
35x
32,4
1x
59
1881
x18
1317
39x
6591
x63
x69
1421
51x
1724
28x
2124
30x
610
20
98 Dispongo de tres grifos iguales para llenar un depósito. Si abro uno, el de-
pósito se llena en 12 minutos. ¿Cuánto tardará en llenarse si abro dos grifos? ¿Y siabro los tres?
Son magnitudes inversamente proporcionales:
• 2 grifos son el doble; por tanto, tardarán en llenarlo 12 : 2 = 6 minutos.
• 3 grifos son el triple; por tanto, tardarán en llenarlo 12 : 3 = 4 minutos.
9 Cuatro segadores cortan un campo de heno en tres horas. ¿Cuánto tardaráun solo segador? ¿Y seis segadores?
Son magnitudes inversamente proporcionales. Así:
• Un segador es un cuarto; por tanto, tardará 3 · 4 = 12 h.
• Seis segadores es 6 veces 1. Por tanto, tardarán 12 : 6 = 2 h.
10 Un empleado recibió la semana pasada 60 € por 5 horas extraordinarias detrabajo. ¿Cuánto recibirá esta semana por solo 3 horas?
HORAS EUROS
5 60
3 xComo son directamente proporcionales:
= 8 x = = 36
Le darán 36 €.
11 En una bodega con dos máquinas embotelladoras se envasa la cosecha devino en 15 días. ¿Cuánto se tardaría teniendo una máquina más?
MÁQUINAS DÍAS
2 15
3 xComo son inversamente proporcionales:
= 8 x = = 10
Tardarán 10 días.
12 En un taller de confección se han fabricado 5 880 vestidos en 21 días. Si semantiene el ritmo de producción, ¿cuántos vestidos se fabricarán en los próximos15 días?
DÍAS VESTIDOS
21 5 880
15 xComo son directamente proporcionales:
= 8 x = = 4 200
Se fabricarán 4 200 vestidos.
15 · 5 88021
5 880x
2115
2 · 153
x15
23
3 · 605
60x
53
21
913 Un jardinero necesita 20 macetas para sembrar los bulbos que tiene si coloca
3 de ellos en cada maceta. ¿Cuántas necesitaría si colocase 4 bulbos en cada una?
Tiene un total de 20 · 3 = 60 bulbos, que puede sembrar en = 15 macetas, decuatro en cuatro.
PÁGINA 176
14 Un besugo de un kilo y doscientos gramos ha costado 14,40 €. ¿Cuántocostará otro besugo de ochocientos gramos?
KILOS EUROS
1,200 14,40
0,800 xSon directamente proporcionales:
= 8 x = = 9,6
Costará 9,60 €.
15 Un autobús de línea, a 80 km/h, tarda 25 minutos en cubrir la distanciaentre dos pueblos. ¿Cuánto tardaría si fuera a 100 km/h?
Como son inversamente proporcionales:
= 8 x = = 20
Tardará 20 minutos.
16 En el plano de una casa, el salón mide 10 cm de largo por 7 cm de ancho.Si en la realidad el largo es de 5 m, ¿cuál es la anchura del salón?
LARGO (cm) ANCHO (cm)
10 7
500 xSon directamente proporcionales:
= 8 x = = 350
El ancho mide 350 cm = 3,5 m.
500 · 710
7x
10500
80 · 25100
x25
80100
VELOCIDAD (km/h) TIEMPO (min)
80 25
100 x
P. INVERSA
0,8 · 14,41,2
14,4x
1,20,8
604
22
917 Dos ciudades A y B separadas 85 km en la realidad, están a 34 cm de dis-
tancia en un plano. ¿Cuál será la distancia real entre otras dos ciudades M y N se-paradas 12 cm en el plano?
PLANO (cm) REALIDAD (cm)
34 8 500 000
12 xSon directamente proporcionales:
= 8 x = = 3 000 000
Están a 3 000 000 cm = 30 km.
18 Con un depósito de agua, se abastece una cuadra de 20 caballos durante 15días. ¿Cuánto duraría el depósito si se vendieran 8 caballos?
CABALLOS DÍAS
20 15
12 xSon inversamente proporcionales:
= 8 x = = 25
El depósito durará 25 días.
19 Un jardinero, con su máquina cortacésped, siega una parcela de 200 me-tros cuadrados en 18 minutos. ¿Qué superficie puede segar en hora y media?
MINUTOS METROS CUADRADOS
18 200
90 xSon directamente proporcionales:
= 8 x = = 1 000
Podrá segar 1 000 m2.
20 Un grifo, con un caudal de 12 litros por minuto, ha tardado tres cuartos dehora en llenar un depósito. ¿Cuál deberá ser el caudal para llenar el mismo depó-sito en 20 minutos?
MINUTOS LITROS/MINUTO
45 12
20 xSon inversamente proporcionales:
= 8 x = = 27
Se necesitan 27 l/min.
45 · 1220
x12
4520
90 · 20018
200x
1890
20 · 1512
x15
2012
12 · 8 500 00034
8 500 000x
3412
23
921 Dos socios montan un negocio aportando 20 000 € y 15 000 €, respecti-
vamente. Para compensar la diferencia, cada uno se compromete a trabajar unnúmero de horas inversamente proporcional a la cantidad aportada.
Si el primero dedica al negocio 3 horas al día, ¿cuántas horas al día debe dedicarel segundo?
HORAS EUROS
3 20 000
x 15 000
Son inversamente proporcionales:
= 8 x = = 4
El segundo socio debe trabajar 4 horas diarias.
22 Un empresario premia a tres empleados con un incentivo económico direc-tamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa.
El mayor, que lleva 20 años, recibe 500 euros.
¿Cuánto recibirán los otros dos, que llevan en la empresa 15 años y 8 años, res-pectivamente?
AÑOS EUROS
20 500
15 x8 x
Son directamente proporcionales:
= 8 x = = 375
= 8 x = = 200
El segundo cobrará 375 €, y el tercero, 200 €.
23 Copia y completa las casillas vacías, teniendo en cuenta los datos iniciales:
Cinco caballos, en cuatro días, consumen 60 kilos de pienso.
CABALLOS DÍAS KILOS
5 ÄÄ8 4 ÄÄ8 60 kg
5 ÄÄ8 1 ÄÄ8 kg
1 ÄÄ8 1 ÄÄ8 kg
8 ÄÄ8 1 ÄÄ8 kg
8 ÄÄ8 15 ÄÄ8 kg
8 · 50020
500x
208
15 · 50020
500x
2015
3 · 20 00015 000
20 00015 000
x3
24
9CABALLOS DÍAS KILOS
5 ÄÄ8 4 ÄÄ8 60
5 ÄÄ8 1 ÄÄ8 = 15
1 ÄÄ8 1 ÄÄ8 = 3
8 ÄÄ8 1 ÄÄ8 3 · 8 = 24
8 ÄÄ8 15 ÄÄ8 24 · 15 = 360
24 En un comedor escolar de 75 comensales, se han consumido 230 kilos depescado en dos meses.
a) ¿Cuántos kilos de pescado consumirán 150 comensales en un mes?
b)¿Cuántos kilos consumirán 150 comensales en tres meses?
COMENSALES MESES KILOS
75 ÄÄ8 2 ÄÄ8 230
75 ÄÄ8 1 ÄÄ8 = 115
150 ÄÄ8 1 ÄÄ8 115 · 2 = 230
150 ÄÄ8 3 ÄÄ8 230 · 3 = 690
a) Consumirán 230 kg.
b) Consumirán 690 kg.
25 Calcula mentalmente.
a) 10% de 340 b) 10% de 4 800
c) 50% de 68 d) 50% de 850
e) 25% de 40 f) 25% de 2 000
g) 20% de 45 h) 20% de 500
i) 32% de 50 j) 80% de 50
a) 34 b) 480 c) 34 d) 425 e) 10
f ) 500 g) 9 h) 100 i) 16 j) 40
26 Calcula con lápiz y papel y, después, comprueba con la calculadora.
a) 15% de 360 b) 11% de 3 400
c) 8% de 175 d) 60% de 1 370
e) 45% de 18 f) 84% de 5 000
g) 150% de 80 h) 120% de 350
a) 54 b) 374 c) 14 d) 822
e) 8,1 f ) 4 200 g) 120 h) 420
2302
155
604
25
927 Calcula y, si el resultado no es exacto, redondea a las unidades.
a) 16% de 470 b) 14% de 288 c) 57% de 1 522
d) 7% de 3 640 e) 6% de 895 f) 92% de 2 630
g) 115% de 94 h) 120% de 751
a) 75,2 ≈ 75 b) 40,32 ≈ 40 c) 867,54 ≈ 868
d) 254,8 ≈ 255 e) 53,7 ≈ 54 f ) 2 419,6 ≈ 2 420
g) 108,1 ≈ 108 h) 901,2 ≈ 901
28 Completa cada casilla con un número decimal y, después, calcula el resul-tado:
a) 20% de 560 = · 560 = … b) 16% de 1 250 = · 1 250 = …
c) 72% de 925 = · 925 = … d) 9% de 700 = · 700 = …
e) 2% de 650 = · 650 = …
a) 0,2 · 560 = 112 b) 0,16 · 1 250 = 200 c) 0,72 · 925 = 666
d) 0,09 · 700 = 63 e) 0,02 · 650 = 13
29 Completa con el porcentaje adecuado en cada caso:
a) % de 70 = 35 b) % de 230 = 115
c) % de 800 = 200 d) % de 370 = 37
e) % de 56 = 5,6 f) % de 30 = 6
a) 50% de 70 = 37 b) 50% de 230 = 115
c) 25% de 800 = 200 d) 10% de 370 = 37
e) 10% de 56 = 5,6 f ) 20% de 30 = 6
30 Calcula mentalmente.
a) El 50% de un número es 16. ¿Cuál es el número?
b) El 25% de un número es 9. ¿Cuál es el número?
c) El 75% de un número es 15. ¿Cuál es el número?
d) El 20% de un número es 7. ¿Cuál es el número?
a) 16 · 2 = 32 b) 9 · 4 = 36 c) (15 : 3) · 4 = 20 d) 7 · 5 = 35
31 Calcula.
a) El número cuyo 30% es 222.
b) El tanto por ciento que hay que tomar de 390 para obtener 156.
a) = 740 b) = 40%156 · 100390
222 · 10030
26
932 En mi clase somos 30, el 40% chicos y el 60% chicas. ¿Cuántos chicos y
cuántas chicas hay en mi clase?
Chicos 8 30 · 0,4 = 12
Chicas 8 30 · 0,6 = 18
33 En una caja hay cuatro docenas de bombones, de los que el 25% están en-vueltos en papel de plata. ¿Cuántos van envueltos?
25% de 48 = 6 bombones.
34 En una barriada viven 400 familias, de las que el 75% están pagando la hi-poteca del piso. ¿Cuántas familias tienen hipoteca?
75% de 400 = 300 familias.
35 Un barco pesquero ha capturado dos toneladas de pescado, de las que el35% es merluza. ¿Cuántos kilos de merluza lleva el barco?
35% de 2 000 = 700 kilos de merluza.
36 El camión de reparto deja en el supermercado 580 cajas de leche. El 15 %son de leche desnatada. ¿Cuántas cajas de leche desnatada se han recibido?
15% de 580 = 87 cajas de leche desnatada.
37 El banco me hace esta oferta: si deposito 4 000 euros durante un año, medan un 4,5% de intereses. ¿Qué beneficio obtendría en la operación?
4,5% de 4 000 = 180 € de beneficio.
38 Un equipo de baloncesto ha ganado esta temporada el 65% de los encuen-tros disputados. Sabiendo que ha ganado 52 partidos, ¿cuántos encuentros ha ju-gado en total?
= 80 partidos disputados.
39 Marisa ha tirado 20 veces a canasta y ha metido 12. ¿Cuál es su porcentajede aciertos?
= 60% de aciertos.
40 Un agencia de viajes saca en oferta un crucero de vacaciones y en la prime-ra semana vende 156 plazas, lo que supone el 30% del total. ¿De cuántas plazasdispone el crucero?
= 520 plazas.156 · 10030
12 · 10020
52 · 10065
27
941 Un sofá que costaba 890 euros se ha rebajado un 40%. ¿Cuál es el precio
tras la rebaja?
890 · 0,60 = 534 €.
42 Un embalse tenía, al finalizar el verano, 2,4 hectómetros cúbicos de agua.En otoño las reservas han aumentado en un 25%. ¿Cuánta agua tiene al comen-zar el invierno?
2,4 · 1,25 = 3,6 hectómetros cúbicos.
43 Por un videojuego que costaba 60 € he pagado 48 €. ¿Qué porcentaje mehan rebajado?
Porcentaje pagado = = 80%
Rebaja 8 20%
44 He pagado 34 € por una camisa que estaba rebajada un 15%. ¿Cuántocostaba la camisa sin rebaja?
La camisa costará = 40 €.
45 Un mayorista compra un camión de 5 000 kg de melocotones, los seleccio-na y los envasa para venderlos al detalle. Si en la selección desecha un 15%,¿cuántos kilos quedan para la venta?
Quedarán el 85% de los melocotones, es decir, = 4 250 kg.5 000 · 85100
34 · 10085
48 · 10060
28
