33
1 Haz corresponder cada enunciado con su expresión alge- braica: • La mitad de un número. • El triple de la mitad de un número. • La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60 km/h. • El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 /kilo. • La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60 años cuando nació Pedro. • El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros. • La mitad de un número 2 x • El triple de la mitad de un número 3 2 x • La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60 km/h 60x • El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 /kilo 1,3x • La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60 años cuando nació Pedro x – 60 • El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros 1, 2 3x 2 Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados: • Teresa tiene x años. • Su hija tiene 25 años menos que ella. • Su madre tiene doble edad que ella. • Su padre le saca 6 años a su madre. • Teresa tenía 8 años cuando nació su hermano Lorenzo. 1,3x 3x 2 x 2 1,3x 2 x – 60 60x 1

Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

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Nivel 1º Enseñanza Secundaria

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Page 1: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1 Haz corresponder cada enunciado con su expresión alge-braica:

• La mitad de un número.

• El triple de la mitad de un número.

• La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60km/h.

• El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo.

• La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tienex años, tenía 60 años cuando nació Pedro.

• El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros.

• La mitad de un número → �2x

• El triple de la mitad de un número → �32x�

• La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60 km/h → 60x

• El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo → 1,3x

• La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60años cuando nació Pedro → x – 60

• El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros → �1,

23x�

2 Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados:

• Teresa tiene x años.

• Su hija tiene 25 años menos que ella.

• Su madre tiene doble edad que ella.

• Su padre le saca 6 años a su madre.

• Teresa tenía 8 años cuando nació su hermano Lorenzo.

1,3x

3x2

x2

1,3x2

x – 60

60x

1

Page 2: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

3 Lee los enunciados y completa la tabla:

• Eva recibe, de paga semanal, x euros.

• A Leticia le faltan 10 € para recibir eldoble que Eva.

• Raquel recibe 50 € más que Leticia.

4 Completa:

5 Expresa algebraicamente las sucesivas transformaciones que sufre unnúmero, n, al ser sometido a la siguiente cadena de operaciones:

ENTRADA SALIDA

↓ ↓

Completa esta tabla de entradas-salidas para la anterior cadena de transforma-ciones:

EDAD

TERESA

LA HIJA

LA MADRE

EL PADRE

LORENZO

x

EDAD

TERESA

LA HIJA

LA MADRE

EL PADRE

LORENZO

x

x�25

2x

2x�6

x �8

PAGA SEMANAL

EVA

LETICIA

RAQUEL

ENTRE LAS TRES

x

PAGA SEMANAL

EVA

LETICIA

RAQUEL

ENTRE LAS TRES

x

2x�10

2x �40

2x �30

n 1 3 7 10 15 20

3n + 2

n 1 5 9 15 21 27

�n

2

+ 1�

n

5 11 23 32 47 62

1 3 7 10 15 20

3n + 2

n

1 3 5 8 11 14

1 5 9 15 21 27

�n

2

+ 1�

n 4n· 4→

+ 6→

: 2→

– 1→

ENTRADAS

SALIDAS

1 2 4 7 10 … n

4

2

Page 3: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

ENTRADA SALIDA

↓ ↓

6 Completa el valor que corresponde a un número cualquiera n :

Monomios y operaciones

7 Completa la tabla siguiente:

n 4n 4n�6· 4→

+ 6→

: 2→

– 1→2n�3 2n�2

ENTRADAS

SALIDAS

1 2 4 7 10 … n

4 6 10 16 22 … 2n�2

0 1 2 3 4

0 1 8 27 64

… n

2 4 8 16 20

2 3 5 9 11

… n

0 1 2 3 4

0 1 8 27 64

… n

… n3

2 4 8 16 20

2 3 5 9 11

… n

…�n2

� �1

MONOMIO 2x3 –5ax �2

3� x2y2 –x2y3

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

MONOMIO 2x3 –5ax �2

3� x2y2 –x2y3

2 –5 �23

� –1

x3 ax x2y2 x2y3

3 2 4 5

COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

8 Reduce las siguientes expresiones:

a) x�x�x�x�x b) 3x�2x

c) 10x�6x d) 3x�7

e) 3x�2x�x f) 10x�6x�2x

g) a�a�b h) 5a�3a�4b�b

i) a2�2a2 j) a2�a�a

3

Page 4: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

k) 3a�5a�2a2�4a2 l) 2a2 �6a �a2 �a2

a) x�x�x�x�x�5x b) 3x�2x�5x

c) 10x�6x�4x d) 3x�7 → No se puede reducir más.

e) 3x�2x�x�6x f ) 10x�6x�2x�6x

g) a�a�b�2a�b h) 5a�3a�4b�b�2a�5b

i) a 2�2a 2 �3a 2 j) a 2 �a�a�a 2�2a

k) 3a�5a�2a 2�4a 2�8a�6a 2 l) 2a 2�6a�a 2�a 2 �6a

9 Opera y reduce:

a) 2� (5a) b) (�4) � (3x)

c) (5x) � (�x) d) (2x) � (3x)

e) (2a) � (�5ab) f) (6b)���31

�b�g) ��

32

�x�� (3x) h) ��52

�x����25

�x 2�a) 2 � (5a)�10a b) (�4)� (3x)��12x

c) (5x)� (�x)��5x 2 d) (2x) � (3x)�6x 2

e) (2a)� (�5ab)��10a 2b f ) (6b)���31

�b��2b 2

g) ��32

�x�� (3x)�2x 2 h) ��52

�x����25

�x 2��x 3

10 Quita paréntesis:

a) 3� (1�x) b) 2a � (a� b)

c) (�3x)� (x�x 2) d) (�5) � (1�2a)

e) a2� (a�1) f) 3x � (2x�3y)

g) 5ab � (a�2b) h) a2b � (1�a�b)

a) 3 � (1�x)�3�3x b) 2a � (a�b)�2a 2 �2ab

c) (�3x)� (x�x 2)��3x 2�3x 3 d) (�5) � (1�2a)��5�10a

e) a 2 � (a�1)�a 3�a 2 f ) 3x � (2x�3y)�6x 2 �9xy

4

Page 5: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

g) 5ab� (a�2b)�5a 2b�10ab2 h) a 2b � (1�a�b)�a 2b�a 3b�a 2b2

11 Reduce:

a) 5(1�2x)�5 b) 3(x�1)�2(x�1)

c) a (1�a)� (1�a2) d) a (a�b)�b (a�b)

e) 5x (2x�3)�4x (2x�3) f) ab � (1�a)�ab (1�b)

a) 5 (1�2x)�5�5�10x�5�10x

b) 3 (x�1)�2 (x�1)�3x�3�2x�2�x�5

c) a (1�a)� (1�a 2)�a�a 2 �1�a 2�a�1

d) a (a�b)�b (a�b)�a 2�ab�ba�b2�a 2�b2

e) 5x (2x�3)�4x (2x�3)�10x 2�15x�8x 2�12x�2x 2�3x

f ) ab (1�a)�ab (1�b)�ab�a 2b�ab�ab 2�ab2�a 2b

12 Opera y reduce:

a) (2x) : (2x) b) (6a) : (�3a)

c) (3b) : (6b) d) (15x2) : (3x)

e) (�8x) : (4x2) f) (a3b2) : (ab2)

g) (10x) : (5x3) h) (2a2b) : (4ab2)

a) �22xx� �1 b) �

6

3

aa

���2�

3�

3��

a�a�

���2

c) �3

6

bb���

3�

3��2

�b��b�

�� �1

2� d) �

1

3

5

xx 2

���3� �

3�

5

x�x� �x��5x

e)��

4x8

2

x���

2�2��

2�2��

x2�x��x�

��� �2x

� f ) �aa

3

bb

2

2

���a� �

a�a �

ab�

b�b�

�b���a 2

g) �150xx3���

5�

2�x��5�

�x�x��x

�� �x2

2� h) �24aab

2b2���

2�

2��2

�a��a��a

�b��b�

�b���

2ab�

Ecuaciones para resolver por tanteo

13 x 2�25

x � 5, x ��5

14 x 2 � 1 � 24

x � 5, x � �5

5

Page 6: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

15 x 2�10 � 35

x � 5, x � �5

16 x 2 � x � 30

x � 5, x � �6

17 (x � 1)2 � 36

x � 5, x � �7

18 (x � 1)2 � 100

x � 9, x � �11

19 ��2x

��2

� 4

x � 4, x � �4

20 (3x)2 � 81

x � 3, x � �3

21 x � (x � 1) � 30

x � 5, x � �6

22 x � (x � 1) � 20

x � 5, x � �4

23 x � (x � 2) � 120

x � 10, x � �12

24 x � (x � 2) � 80

x � 10, x � �8

25 �x� � 7

x � 49

6

Page 7: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

26 �x �1� � 7

x � 50

27 �x �9� � 4

x � 25

28 ��x �

28

��� 1

x � 10

29 2x � 1 � 21

2x � 20; x � �220�; x � 10

30 2x � x � 5

2x � x � 5; x � 5

31 7x � 15 � 1

7x � 1 � 15

x � ��174�

x � �2

32 4x � 1 � x �1

4x � x � 1 � 1

3x � 2

x � �23

33 2x � 3 �6x � 1

2x � 6x � 1 � 3

�4x � �2

x � ��

2

4�; x � �

1

2�

7

Page 8: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

34 2x � 5 � x � 4 � 2x

3x � 2x � 4 � 5

5x � �1; x � � �15

35 2�3x � 5 � x �5

3x � x � 5 � 2 � 5

2x � 8

x � 4

36 x � 8 � 2x � 18 � x

�x � x � 18 � 8

�2x � 10

x � ��120�; x � �5

37 9x � x � x � 4 � 7x

8x � 8x � 4

8x � 8x � 4

0x � 4 → No tiene solución.

38 6�5x � 9x � 4 � 6x

5x � 15x � �4 � 6

�10x � �10

x � ��

1

1

0

0�; x � 1

39 2x � 6 � 4x � 2 � 2x

2x � 6x � 8

8x � 8

x � �8

8�; x � 1

40 x � 2x � 4x � 14 � x � 2

7x � x � 2 � 14

6x � �12

x � ��162�; x � �2

8

Page 9: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

41 8x � 3 � 5x � x � 5 � 3x

3x � 2x � �5 � 3

5x � �8

x � � �85

42 5x � 8 � 7x � 3x � 9 � 7x

�2x � 4x � �9 � 8

2x � �17

x � ��127�

43 7x � 4 � x � 6x � x � 3 � x � 1

2x � 2x � �4 � 4

0 � 0

La ecuación tiene infinitas soluciones.

Ecuaciones con paréntesis

46 5 � (3x � 2) � 4x

5 � 3x � 2 � 4x

�3x � 4x � �5 � 2

�7x � �7

x � ��

77�

x � 1

47 8x � 11 � 6 � (3 � 7x)

8x � 11 � 6 � 3 � 7x

8x � 7x � 3 � 11

x � �8

9

Page 10: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

48 3(x � 2) � 18

3x � 6 � 18

3x � 12

x � �132�

x � 4

49 2(x � 1) � 5x � 3

2x � 2 � 5x � 3

2x � 5x � �3 � 2

�3x � �1

x � �13

50 6 � 2(x � 1) � 2

6 � 2x � 2 � 2

2x � 2 � 8

x � � �62

�; x � �3

51 5x � (1 � x) � 3(x � 1) � 2

5x � 1 � x � 3x � 3 � 2

6x � 3x � �1 � 1

3x � 0; x � 0

52 5(2x � 1) � 3x � 7(x � 1) � 2

10x � 5 � 3x � 7x � 7 � 2

7x � 7x � �5 � 5; 0 � 0 → La ecuación tiene infinitas soluciones.

53 3(2x � 1) � 2(1 � 2x) � 5

6x � 3 � 2 � 4x � 5

2x � 5 � 1

x � �62

�; x � 3

10

Page 11: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

54 6(x � 2) � x � 5(x � 1)

6x � 12 � x � 5x � 5

5x � 5x � �5 � 12

0x � 7 → La ecuación no tiene solución.

55 4x � 2(x � 3) � 2(x � 2)

4x � 2x � 6 � 2x � 4

6x � 2x � 4 � 6

4x � �2; x � � �12

56 2(1 � x) � 3 � 3(2x � 1) � 2

2 � 2x � 3 � 6x � 3 � 2

�2x � 6x � 5 � 1

�8x � 6

x � � �68

� � � �34

57 6 � 8(x � 1) � 5x � 2(3 � 2x) � 5(3 � x)

6 � 8x � 8 � 5x � 6 � 4x � 15 � 5x

�2 � 13x � �9 � x

�13x � x � �9 � 2

�12x � �7

x � �172�

Ecuaciones con denominadores

58 �6x

� � 1 � 0

6��6x

� � 1� � 0

x � 6 � 0; x � 6

11

Page 12: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

59 �1x3� � �

153�

13��1x3�� �13��

153��

x � 5

60 �7x

� � 1 � �27

7��7x

� � 1� �7 � �27

x � 7 � 2; x � 9

61 �3x

� � �53

� � �73

3��3x

� � �53

�� �3 � �73

x � 5 � 7

x � 7 � 5; x � 2

62 x � 4 � �5x

5x � 5�4 � �5x

��5x � 20 � x

5x � x � 20

4x � 20; x � 5

63 6 � �3x

� � 2 � �53x�

3�6 � �3x

�� � 3�2 � �53x��

18 � x � 6 � 5x

�x � 5x � 6 � 18

�6x � �12

x � ��

162

�; x � 2

12

Page 13: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

64 �3x

� � 1 � �12

� � �23x�

6��3x

� � 1� � 6��12

� � �23x��

2x � 6 � 3 � 4x

2x � 4x � 3 � 6

6x � 9

x � �96

� � �32

65 �2x

� � �45

� � �25x� � 1

10��2x

� � �45

�� � 10��25x� � 1�

5x � 8 � 4x � 10

5x � 4x � 10 � 8

x � 2

66 x � �3x

� � �175� � �

23x�

15�x � �3x

�� � 15��175� � �

23x��

15x � 5x � 7 � 10x

10x � 10x � 7

0x � 7

La ecuación no tiene solución.

67 �2x

� � �14

� � 1 � �32x�

4��2x

� � �14

�� � 4�1 � �32x��

2x � 1 � 4 � 6x

2x � 6x � 4 � 1

8x � 5

x � �58

13

Page 14: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

68 �9x

� � �16

� � �29x� � �

12

18��9x

� � �16

�� � 18��29x� � �

12

��2x � 3 � 4x � 9

2x � 4x � �9 � 3

�2x � �6

x � 3

69 x � �14

� � �2x

� � �34

� � �2x

� � 1

4�x � �14

� � �2x

�� � 4��34

� � �2x

� � 1�4x � 1 � 2x � 3 � 2x � 4

2x � 2x � �1 � 1

0 � 0

La ecuación tiene infinitas soluciones.

Problemas para resolver con ecuaciones

70 El triple de un número, menos cinco, es igual a 16. ¿Cuál es el número?

Triple de un número → 3�x

3x � 5 � 16

3x � 16 � 5

3x � 21

x � 7

El número es el 7.

71 La suma de tres números consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números?

Tres números consecutivos → x, x � 1, x � 2

x � x � 1 � x�2 � 702

3x � 3 � 702

3x � 699

x � 233

Los números son 233, 234 y 235.

14

Page 15: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

72 Un número, su anterior y su posterior suman 702. ¿Qué números son?(Compara el enunciado de este ejercicio con el anterior. ¿Qué relaciones ves?)

� PRIMER NÚMERO → x � 1SEGUNDO NÚMERO → x CONSECUTIVOS

TERCER NÚMERO → x � 1

x � 1 � x � x � 1 � 702

3x � 702

x � 234 → Su anterior es 233

→ Su posterior es 235

Los números son 233, 234 y 235.

73 Al sumar un número natural con el doble de su siguiente, se obtiene44. ¿De qué número se trata?

Número natural → x

Doble de su siguiente → 2(x � 1)

x � 2(x � 1) � 44

x � 2x � 2 � 44

3x � 42; x � 14

Se trata del número 14.

74 Al sumarle a un número 60 unidades, se obtiene el mismo resultadoque al multiplicarlo por 5. ¿Cuál es el número?

x � 60 � 5x

x � 5x � �60

�4x � �60

x � ��

640

�; x � 15

Es el número 15.

75 Reparte 680 € entre dos personas de forma que la primera se lleve eltriple que la segunda.

La segunda se lleva x.

La primera se lleva 3x.

15

Page 16: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

x � 3x � 680

4x � 680

x � 170 → 3x � 510

La primera se lleva 510 € y la segunda, 170 €.

76 En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál elde mujeres, sabiendo que el de ellas sobrepasa en 17 al de ellos?

� HOMBRES → xMUJERES → x � 17TOTAL → 511

x � x � 17 � 511

2x � 511 � 17

x � �4924

� � 247 → x � 17 � 264

Hay 247 hombres y 264 mujeres.

77 Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayorque su hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tie-ne 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

� MARISA → xROSA → x �3ROBERTO → x � 1

x � x � 3 � x � 1 � 38

3x � 38 � 2

3x � 36

x � 12

Marisa tiene 12 años; Rosa, 15, y Roberto, 11 años.

78 Pedro, Pablo y Paloma reciben 1 200 € como pago por su trabajo desocorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro, yPaloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?

Pedro → xPablo → 3x

Paloma → 2�3x � 6x

x � 3x � 6x � 1 200

16

Page 17: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

10x � 1 200

x � 120 → 3x � 360 → 6x � 720

Pedro, 120 €; Pablo, 360 €, y Paloma, 720 €.

79 Marta gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y laquinta parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le que-dan 2,70 €?

Su dinero → x

Concierto → �2x

Hamburguesa → �5x

x � �2x

� � �5x

� � 2,7

10�x � �2x

� � �5x

�� � 10 �2,7

10x � 5x � 2x � 27

3x � 27

x � 9

Marta tenía 9 €.

80 En una granja, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. Es-tudia la tabla adjunta y traduce a lenguaje algebraico la siguiente igualdad:

CABEZAS PATAS

GALLINAS

CONEJOS

x 2x

20�x 4(20�x)

PATAS MÁS PATAS ES IGUAL A 52DE GALLINA DE CONEJO

¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?

2x � 4(20 � x) � 52

2x � 80 � 4x � 52

�2x � 52 � 80

�2x � �28

x � 14

Hay 14 gallinas y 6 conejos.

17

Page 18: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

81 Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es elprecio de cada uno si he pagado 2,6 € por cuatro naturales y seis de frutas?

Yogur natural → x

Yogur de frutas → x � 10

4x � 6(x � 10) � 260

4x � 6x � 60 � 260

10x � 200

x � 20

El yogur natural vale 20 céntimos y el de frutas, 30 céntimos.

83 Paz y Petra tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre, Ana, tiene 35años. ¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edadde la madre?

6 � x � 9 � x � 35 � x

2x � 15 � 35 � x

2x � x � 35 � 15

x � 20

Han de pasar 20 años.

84 Tengo en el bolsillo 13 monedas, unas de 2 céntimos y otras de 5 cénti-mos. Si las cambio todas por una moneda de 50 céntimos, ¿cuántas tengo decada clase?

2x � 5(13 � x) � 50

2x � 65 � 5x � 50

�3x � �15

x � 5

Tiene 5 monedas de 2 céntimos y 8 de 5 céntimos.

HOY DENTRO DE x AÑOS

PAZ

PETRA

ANA

6 6�x

9 9�x

35 35�x

MONEDAS DE

2 CÉNTIMOS

MONEDAS DE

5 CÉNTIMOS

NÚMERO

DE MONEDAS

VALOR

x 13�x

2x 5(13�x)

18

Page 19: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

85 Montse tiene el triple de cromos que Rocío. Intercambian 8 de Montse(fáciles) por 3 de Rocío (más difíciles). Ahora Montse tiene el doble queRocío.

¿Cuántos cromos tiene ahora cada una?

→ Montse, doble que Rocío.

3x � 5 � 2(x � 5)

3x � 5 � 2x � 10

3x � 2x � 10 � 5

x � 15

Rocío tenía 15 cromos y Montse, 45 cromos.

Ahora, Rocío tiene 20 cromos y Montse, 40 cromos.

86 En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta co-rrecta y quitan 3 puntos por cada fallo.

¿Cuántas preguntas ha acertado Mario si ha obtenido 68 puntos?

5x � 3(20 � x) � 68

5x � 60 � 3x � 68

8x � 128

x � 16

Mario ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4.

87 Un jardín rectangular es 6 metros más largo que ancho.

Si su perímetro mide 92 metros, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?

2x � 2(x � 6) � 92

2x � 2x � 12 � 92

4x � 80

x � 20

El jardín tiene 20 m de ancho y 26 m delargo.

ROCÍO MONTSE

TENÍAN

CAMBIAN

x 3x

x�3�8 3x�8�3

ACIERTOS FALLOS

NÚMERO

PUNTUACIÓN

x 20�x

5x �3(20�x)

x�6

x x

x�6

19

Page 20: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

Para realizar los ejercicios que te proponemos a continuación, aplica ordenada-mente esta estrategia:

88 Palillos y cuadrados

• ¿Cuántos palillos se necesitan para formar una tira de 5 cuadrados?

• ¿Y para una tira de 10 cuadrados?

• ¿Y para una tira de n cuadrados?

• Completa esta tabla:

El primer cuadrado se forma con 4 palillos, y para formar los siguientes hayque añadir 3 palillos al anterior.

4�4�3�4�3�3�4�3�3�3 …

Así, para hacer 5 cuadrados, por ejemplo, hay que poner:

4�3�3�3�3 palillos

el 3, 4 veces

Y para hacer n cuadrados se necesitarán

4�3�3�…�3 palillos

el 3, n�1 veces

La tabla queda así:

� 1�3n

ESTRATEGIA:

• Estudia, primeramente, los casos sencillos.

• Ordena en una tabla los datos que vayas obteniendo.

• Observa regularidades en esos datos y escribe la ley general.

4 PALILLOS 7 PALILLOS 10 PALILLOS

No DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

4 7 10

No DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

4 7 10 13 16 19 31 … 4�3(n�1)

20

Page 21: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

89 Palillos y parejas de cuadrados

Completa la siguiente tabla:

En este caso se necesitan, para la primera pareja de cuadrados, 7 palillos, y paralas siguientes, 5 más cada vez.

7�7�5�7�5�5�7�5�5�5 …

Para formar n parejas de cuadrados se necesitará este número de palillos:

7�5�5�…�5

el 5, n�1 veces

La tabla quedará así:

↓�2�5n

90 Palillos, bolas y cubos

Completa esta tabla:

Partiendo de 12 palillos para el primer cubo, para formar un nuevo cubo se ne-cesitan, cada vez, 8 palillos más.

No DE PAREJAS DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

7 12 17

No DE PAREJAS DE CUADRADOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

7 12 17 22 27 32 52 … 7�5(n�1)

7 PALILLOS 12 PALILLOS 17 PALILLOS

No DE CUBOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

12 20 28

No DE BOLAS 8 12 16

12 PALILLOS

8 BOLAS

20 PALILLOS

12 BOLAS

28 PALILLOS

16 BOLAS

21

Page 22: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

Partiendo de 8 bolas para el primer cubo, se necesitan, para formar nuevos cu-bos, 4 bolas más para cada uno.

Así, para formar n cubos necesitaremos:

12�8�8�…�8 palillos

n�1 veces

8�4�4�…�4 bolas

n�1 veces

La tabla queda así:

�4�8n

�4�4n

No DE CUBOS

No DE PALILLOS

1 2 3 4 5 6 10 … n

12 20 28 36 44 52 84 … 12�8(n�1)

No DE BOLAS 8 12 16 20 24 28 44 … 8�4(n�1)

22

Page 23: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s

1 Llamando x a un número indeterminado, asocia cada enunciado con la ex-presión que le corresponde:

a) El doble del número. b) El doble más cinco.

c) El doble del resultado de sumarle cinco. d) La mitad del número.

e) La mitad menos cinco. f) La mitad del resultado de restarle cinco.

a) 2x b) 2x + 5 c) 2(x + 5)

d) e) – 5 f )

2 Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica:

a) La distancia recorrida en x horas por un camión que va a 60 km/h.b) El coste de x kilos de peras que están a 0,80 €/kg.

c) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x metros.

d) La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que tenía 60 años cuando nació Pedro.

a) 60x b) 0,8 · x c) d) x – 60

3 Copia y completa la tabla, atendiendo a los siguientes enunciados:

• Cristina tiene x años.

• Alberto, su esposo, tiene 3 años más.

• Javier, su padre, le dobla la edad.

• Marta, su madre, tiene 5 años menos que su padre.

• Loli y Mar son sus hijas gemelas. Las tuvo con 26 años.

• Javi, el pequeño, tiene la mitad de años que las gemelas.

0,8x2

0,8 · x—2x – 6060x0,8x

x – 52

x2

x2

2 · (x + 5)x – 5—2

x—2

2xx— – 52

2x + 5

E

E D A D

C R I S T I N A xA L B E RT O

J AV I E R

M A RTA

L O L I Y M A R

J AV I

E D A D

C R I S T I N A xA L B E RT O x + 3J AV I E R 2xM A RTA 2x – 5

L O L I Y M A R x – 26

J AV Ix – 26—

2

23

Page 24: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

4 Lee y completa la tabla.

• El sueldo mensual de Pablo es de x euros.

• El gerente de la empresa gana el doble que Pablo.

• El ingeniero jefe gana 400 € menos que el gerente.

• El señor López gana un 10% menos que Pablo.

• Al señor de la limpieza le faltan 80 € para ganar las tres cuartas partes del suel-do de Pablo.

5 Copia y completa.

6 Observa, reflexiona y completa.

2 4 6 10 20 40 n

2 3 4 6 11 21n— + 12

1 2 3 5 8 10 n

3 5 7 11 17 21 2n + 1

2 4 6 10 20 40 n

2 3 4 6 11

1 2 3 5 8 10 n

3 5 7 11

n 1 2 3 4 5 8 11

2n – 1

3

13

1 53

73

3 5 7

n 1 2 3 4 5 10 100

5n – 3 2 7 12 17 22 47 497

n 1 2 3 4 5 8 11

2n – 1

3

13

n 1 2 3 4 5 10 100

5n – 3

E M P L E A D O PA B L O G E R E N T E I N G E N I E R O S R . L Ó P E Z S R . L I M P I E Z A

S U E L D O x 2x 2x – 400x

x – —10

3x— – 804

E M P L E A D O PA B L O G E R E N T E I N G E N I E R O S R . L Ó P E Z S R . L I M P I E Z A

S U E L D O x

24

Page 25: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

10o n o m i o s y o p e r a c i o n e s

7 Copia y completa la tabla siguiente:

8 Reduce.

a) x + x + x b) a + a c) 2x – x d) 5a + 2ae) 3x + x f) 8a – 5a g) 4x – 3x h) 4a + 5ai) 7x – 7x j) –3a + 4a k) 2x – 3x l) 3a – 7a

a) 3x b) 2a c) x d) 7ae) 4x f ) 3a g) x h) 9ai) 0 j) a k) –x l) –4a

9 Opera.

a) 3x + 2x + x b) 10x – 6x + 2x c) 5a – 7a + 3ad) a – 5a + 2a e) –2x + 9x – x f) –5x – 2x + 4x

a) 6x b) 6x c) ad) –2a e) 6x f ) –3x

10 Reduce todo lo posible.

a) x + x + y b) 2x – y – xc) 5a + b – 3a + b d) 3a + 2b + a – 3be) 2 + 3x + 3 f) 5 + x – 4

g) 2x – 5 + x h) 3x + 4 – 4xi) x – 2y + 3y + x j) 2x + y – x – 2y

a) 2x + y b) x – y

c) 2a + 2b d) 4a – be) 3x + 5 f ) x + 1

g) 3x – 5 h) 4 – x

i) 2x + y j) x – y

M O N O M I O 4a 2 ab /3 –3xy 4 –x 2y 2

C O E F I C I E N T E 4 1/3 –3 –1PA RT E L I T E R A L a2 ab xy4 x2y 2

G R A D O 2 2 5 4

M O N O M I O 4a 2 ab /3 –3xy 4 –x 2y 2

C O E F I C I E N T E 1/3 –1PA RT E L I T E R A L a2

G R A D O 5

M

25

Page 26: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1011 Reduce, cuando sea posible.

a) x2 + 2x2 b) x2 + x c) 3a2 – a – 2a2

d) a2 – a – 1 e) x2 – 5x + 2x f) 4 + 2a2 – 5

g) 2a2 + a – a2 – 3a + 1 h) a2 + a – 7 + 2a + 5

a) 3x2 b) x2 + x c) a2 – a

d) a2 – a – 1 e) x2 – 3x f ) 2a2 – 1

g) a2 – 2a + 1 h) a2 + 3a – 2

12 Suprime los paréntesis y reduce.

a) 3x – (x + 1) b) x + (2 – 5x) c) 4a – (3a – 2)

d) 2a + (1 – 3a) e) (x – 4) + (3x – 1) f) (6x – 3) – (2x – 7)

a) 3x – x – 1 = 2x – 1 b) x + 2 – 5x = 2 – 4xc) 4a – 3a + 2 = a + 2 d) 2a + 1 – 3a = 1 – ae) x – 4 + 3x – 1 = 4x – 5 f ) 6x – 3 – 2x + 7 = 4x + 4

13 Multiplica.

a) 2 · (5a) b) (– 4) · (3x) c) (–2a ) · a2

d) (5x) · (–x) e) (2a) · (3a) f) (–2x) · (–3x2)

g) (2a) · (–5ab) h) (6a) · b i) x · (3x)

a) 10a b) –12x c) –2a3

d) –5x2 e) 6a2 f ) 6x3

g) –10a2b h) 2ab i) 2x2

14 Divide.

a) (6x) : 3 b) (–8) : (2a) c) (–15a) : (–3)

d) (2x) : (2x) e) (6a) : (–3a) f) (–2x) : (– 4x)

g) (15a2) : (3a) h) (–8x) : (4x2) i) (10a) : (5a3)

a) 2x b) c) 5a

d) 1 e) –2 f )

g) 5a h) i)

15 Quita paréntesis.

a) 5 · (1 + x) b) (– 4) · (2 – 3a) c) 3a · (1 + 2a)

d) x2 · (2x – 3) e) x2 · (x + x2) f) 2a · (a2 – a)

a) 5 + 5x b) –8 + 12a c) 3a + 6a2

d) 2x3 – 3x2 e) x3 + x4 f ) 2a3 – 2a2

2a2

–2x

12

–4a

)23()1

3(

26

Page 27: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1016 Quita paréntesis y reduce.

a) x + 2(x + 3) b) 7x – 3(2x – 1)

c) 4 · (a + 2) – 8 d) 3 · (2a – 1) – 5ae) 2(x + 1) + 3(x – 1) f) 5 · (2x – 3) – 4 · (x – 4)

a) x + 2x + 6 = 3x + 6 b) 7x – 6x + 3 = x + 3

c) 4a + 8 – 8 = 4a d) 6a – 3 – 5a = a – 3

e) 2x + 2 + 3x – 3 = 5x – 1 f ) 10x – 15 – 4x + 16 = 6x + 1

c u a c i o n e s s e n c i l l a s

17 Resuelve estas ecuaciones:

a) 3x + 2 = 14 b) 3 – 2x = 5 c) 5x + 12 = 2

d) 3 = 4 – 3x e) 2x = x + 3 f) 5x – 2 = x + 1

a) x = 4 b) x = –1 c) x = –2

d) x = e) x = 3 f ) x =

18 Halla el valor de x en cada caso:

a) 2x – 3 = 2x + 1 b) 3x + 1 = 7x – 1 c) x + 8 + 2x = 6 – 2xd) 3 + 4x – 7 = x – 3 e) 5x – 1 = 3x – 1 + 2x f) 6 – 3x + 2 = x + 7

a) No tiene solución. b) x = c) x = – d) x =

e) Es una identidad. Cualquier valor de x cumple la igualdad. f ) x =

19 Resuelve.

a) 2x + 5 – 3x = x + 19 b) 7x – 2x = 2x + 1 + 3xc) 11 + 2x = 6x – 3 + 3x d) 7 + 5x – 2 = x – 3 + 2xe) x – 1 – 4x = 5 – 3x – 6 f) 5x = 4 – 3x + 5 – x

a) x = –7 b) No tiene solución.

c) x = 2 d) x = –4

e) Es una identidad. f ) x = 1

20 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) 3x – x + 7x + 12 = 3x + 9 b) 6x – 7 – 4x = 2x – 11 – 5xc) 7x + 3 – 8x = 2x + 4 – 6x d) 5x – 7 + 2x = 3x – 3 + 4x – 5

a) x = – b) x = –

c) x = d) No tiene solución.13

45

12

14

13

25

12

34

13

E

27

Page 28: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

10c u a c i o n e s c o n p a r é n t e s i s

22 Resuelve estas ecuaciones:

a) 4 – (5x – 4) = 3x b) 7x + 10 = 5 – (2 – 6x)

c) 5x – (4 – 2x) = 2 – 2x d) 1 – 6x = 4x – (3 – 2x)

a) 4 – (5x – 4) = 3x 8 4 – 5x + 4 = 3x 8 8 = 8x 8 x = 1

b) 7x + 10 = 5 – (2 – 6x) 8 7x + 10 = 5 – 2 + 6x 8 x = –7

c) 5x – (4 – 2x) = 2 – 2x 8 5x – 4 + 2x = 2 – 2x 8 9x = 6 8 x = =

d) 1 – 6x = 4x – (3 – 2x) 8 1 – 6x = 4x – 3 + 2x 8 4 = 12x 8 x = =

23 Resuelve.

a) x – (3 – x) = 7 – (x – 2)

b) 3x – (1 + 5x) = 9 – (2x + 7) – xc) (2x – 5) – (5x + 1) = 8x – (2 + 7x)

d) 9x + (x – 7) = (5x + 4) – (8 – 3x)

a) x – (3 – x) = 7 – (x – 2) 8 x – 3 + x = 7 – x + 2 8 3x = 12 8

8 x = = 4

b) 3x – (1 + 5x) = 9 – (2x + 7) – x 8 3x – 1 – 5x = 9 – 2x – 7 – x 8 x = 3

c) (2x – 5) – (5x + 1) = 8x – (2 + 7x) 8 2x – 5 – 5x – 1 = 8x – 2 – 7x 88 – 4 = 4x 8 x = –1

d) 9x + (x – 7) = (5x + 4) – (8 – 3x) 8 9x + x – 7 = 5x + 4 – 8 + 3x 8

8 2x = 3 8 x =

25 Halla x en cada caso:

a) 2(x + 5) = 16

b) 5 = 3 · (1 – 2x)

c) 5(x – 1) = 3x – 4

d) 5x – 3 = 3 – 2(x – 4)

e) 10x – (4x – 1) = 5 · (x – 1) + 7

f) 6(x – 2) – x = 5(x – 1)

g) 7(x – 1) – 4x – 4(x – 2) = 2

h) 3(3x – 2) – 7x = 6(2x – 1) – 10xi) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2)

32

123

13

412

23

69

E

28

Page 29: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

10a) 2(x + 5) = 16 8 2x + 10 = 16 8 2x = 6 8 x = 3

b) 5 = 3 · (1 – 2x) 8 5 = 3 – 6x 8 2 = –6x 8 x = – = –

c) 5 (x – 1) = 3x – 4 8 5x – 5 = 3x – 4 8 2x = 1 8 x =

d) 5x – 3 = 3 – 2(x – 4) 8 5x – 3 = 3 – 2x + 8 8 7x = 14 8 x = 2

e) 10x – (4x – 1) = 5 · (x – 1) + 7 8 10x – 4x + 1 = 5x – 5 + 7 8 x = 1

f ) 6(x – 2) – x = 5(x – 1) 8 6x – 12 – x = 5x – 1 8 0x = 11 No tiene solución.

g) 7(x – 1) – 4x – 4(x – 2) = 2 8 7x – 7 – 4x – 4x + 8 = 2 8 –x = 1 8 x = –1

h) 3(3x – 2) – 7x = 6(2x – 1) – 10x 8 9x – 6 – 7x = 12x – 6 – 10x 8 0x = 0Es una identidad.

i) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2) 8 4x + 2x + 6 = 2x + 4 8 4x = –2 8 x = – = –

26 Resuelve estas ecuaciones:

a) = 1 b) – 1 = 2 c) + = 1

d) + = x e) 4 = x + f) x = 1 –

a) = 1 8 x – 6 = 2 8 x = 8

b) – 1 = 2 8 x – 3 = 6 8 x = 9

c) + = 1 8 x + 1 = 5 8 x = 4

d) + = x 8 x + 2 = 7x 8 2 = 6x 8 x = =

e) 4 = x + 8 12 = 3x + x 8 12 = 4x 8 x = 3

f ) x = 1 – 8 5x = 5 – x 8 6x = 5 8 x =

r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n e c u a c i o n e s

27 Si triplicas un número y al resultado le restas 16, obtienes 29. ¿Cuál es el nú-mero?

3x – 16 = 29 8 3x = 45 8 x = 15

El número es 15.

P

56

x5

x3

13

26

27

x7

15

x5

x3

x – 62

x5

x3

27

x7

15

x5

x3

x – 62

12

24

12

13

26

29

Page 30: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1028 ¿Cuál es el número que sumado con su anterior y su siguiente da 117?

EL ANTERIOR ÄÄ8 x – 1

EL NÚMERO ÄÄ8 xEL POSTERIOR ÄÄ8 x + 1

(x – 1) + x + (x + 1) = 117 8 3x = 117 8 x = 39

El número es 39.

29 La suma de tres números consecutivos es 84. ¿Qué números son?

x + (x + 1) + (x + 2) = 81 8 3x = 81 8 x = 27

Los números son 27, 28 y 29.

30 Si a un número le restas 28 unidades, obtienes el mismo resultado que si lo divi-des entre 3. ¿Qué número es?

EL NÚMERO ÄÄ8 xEL NÚMERO MENOS 28 ÄÄ8 x – 28

EL NÚMERO DIVIDIDO ENTRE 3 ÄÄ8 x : 3

x – 28 = 8 3x – 84 = x 8 2x = 84 8 x = 42

El número es 42.

31 Si a este cántaro le añadieras 13 litros de agua, tendría el triple que si le sa-caras dos. ¿Cuántos litros de agua hay en el cántaro?

x + 13 = 3(x – 2) 8 x + 13 = 3x – 6 8 19 = 2x 8 x =

En el cántaro hay l de agua.

32 En mi colegio, entre alumnos y alumnas somos 624. El número de chicas su-pera en 36 al de chicos. ¿Cuántos chicos hay? ¿Y chicas?

CHICOS Ä8 x CHICAS Ä8 x + 36

+ = 624

x + x + 36 = 624 8 2x = 588 8 x = 294

Hay 294 chicos y 294 + 36 = 330 chicas.

CHICASCHICOS

192

192

+13

x x x

–2

= 3 ·

x3

30

Page 31: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1033 Sabiendo que un yogur de frutas es 5 céntimos más caro que uno natural, y

que seis de frutas y cuatro naturales me han costado 4,80 €, ¿cuánto cuesta un yo-gur natural? ¿Y uno de frutas?

NATURAL Ä8 x € FRUTAS Ä8 (x + 0,5)€

4x + 6(x + 0,05) = 4,8 8 4x + 6x + 0,30 = 4,80 8 10x = 4,50 8 x = 0,45

Un yogur natural cuesta 0,45 €. Uno de frutas cuesta 0,45 + 0,05 = 0,50 €.

34 Roberta tiene un año menos que su hermana Marta, y ya tenía cinco cuan-do nació Antonio, el más pequeño. ¿Cuál es la edad de cada uno, sabiendo que en-tre los tres, ahora, suman 35 años?

ROBERTA 8 x MARTA 8 x + 1 ANTONIO 8 x – 5

x + x + 1 + x – 5 = 35 8 3x = 39 8 x = 13

Roberta tiene 13 años; Marta, 14, y Antonio, 8.

35 En una ferretería se venden clavos en cajas de tres tamaños diferentes. La cajagrande contiene el doble de unidades que la mediana, y esta, el doble que la peque-ña. Si compras una caja de cada tamaño, te llevas 500 unidades. ¿Cuántos clavostiene cada caja?

x + 2x + 4x = 500 8 7x = 500 8 x = 71,49

Obviamente hay un error en el enunciado, puesto que el número de clavos tieneque ser un número entero.

36 Un kilo de chirimoyas cuesta el doble que uno de naranjas.

Por tres kilos de chirimoyas y cuatro de naranjas se han pagado 11 €. ¿A cómo es-tán las unas y las otras?

NARANJAS Ä8 x CHIRIMOYAS Ä8 2x

4x + 3(2x) = 11 8 4x + 6x = 11 8 10x = 11 8 x = 1,1

Naranjas 8 1,10 €/kg

Chirimoyas 8 2 · 1,10 = 2,20 €/kg

37 Una bolsa de kilo de alubias cuesta lo mismo que tres bolsas de kilo de len-tejas. Por dos bolsas, una de cada producto, he pagado 6 €. ¿Cuánto costaba cadabolsa?

x + 3x = 6 8 4x = 6 8 x = = 1,5

Bolsa de lentejas 8 1,50 €

Bolsa de alubias 8 3 · 1,50 = 4,50 €

64

°§¢§£

Caja pequeña: x clavosCaja mediana: 2x clavosCaja grande: 4x clavos

31

Page 32: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1038 Un granjero ha contado, entre avestruces y caballos, 27 cabezas y 78 patas.

¿Cuántos caballos hay en la granja? ¿Y avestruces?

+ =

4x + 2(27 – x) = 78 8 4x + 54 – 2x = 78 8 2x = 24 8 x = 12

Hay 12 caballos y 27 – 12 = 15 avestruces.

39 En una cafetería, entre sillas y taburetes hemos contado 44 asientos con 164patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?

4x + 3(44 – x) = 164 8 4x + 132 – 3x = 164 8 x = 32

Hay 32 sillas y 44 – 32 = 12 taburetes.

40 Irene ha sacado de la hucha 14 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 10céntimos. Entre todas valen dos euros. ¿Cuántas ha sacado de cada clase?

10x + 20(14 – x) = 200 8 10x + 280 – 20x = 200 8 80 = 10x 8 x = 8

Ha sacado 8 monedas de 10 cént. y 14 – 8 = 6 monedas de 20 cént.

41 En un concurso de 50 preguntas, dan tres puntos por cada acierto y quitandos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado un concursante que ha obteni-do 85 puntos?

ACIERTOS Ä8 x FALLOS Ä8 50 – x

3 · – 2 · =

3x – 2(50 – x) = 85 8 3x – 100 + 2x = 85 8 5x = 185 8 x = 37

Ha acertado 37 preguntas.

PUNTOS

OBTENIDOSFALLOSACIERTOS

78PATAS DE

AVESTRUZ

PATAS DE

CABALLO

C A B E Z A S PATA S

C A B A L L O S x 4xAV E S T R U C E S 27 – x 2 · (27 – x)

N Ú M E R O VA L O R

x 10x14 – x 20(14 – x)

(200 cént.)

32

Page 33: Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1043 Mónica tiene 12 € más que Javier y esperan que mañana les den 5 € de paga

a cada uno. En ese caso, Mónica tendrá mañana el doble que Javier. ¿Cuánto tie-ne hoy cada uno?

= 2 ·

x + 12 + 5 = 2(x + 5) 8 x + 17 = 2x + 10 8 x = 7

Javier tiene 7 €, y Mónica, 19 €.

44 Victoria tiene 50 sellos más que Aurora, y si le diera 8 sellos, aún tendría eltriple. ¿Cuántos sellos tiene cada una?

Aurora 8 x sellos

Victoria 8 (x + 50) sellos

(x + 50) – 8 = 3(x + 8) 8 x + 42 = 3x + 24 8 18 = 2x 8 x = 9

Aurora tiene 9 sellos, y Victoria, 9 + 50 = 59 sellos.

45 Una parcela rectangular es 18 metros más larga que ancha, y tiene una vallade 156 metros. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

x + 18 + x + x + 18 + x = 156 8 4x = 120 8 x = 30

La parcela mide 30 metros de ancho y 30 + 18 = 48 m de largo.

46 Los dos lados iguales de un triángulo isósceles son 3 cm más cortos que ellado desigual, y su perímetro es de 48 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

x + 2(x – 3) = 48 8 x + 2x – 6 = 48 8 3x = 54 8 x = 18

Los lados miden 18 cm, 15 cm y 15 cm.

x

x – 3 x – 3

x

x + 18

DINERO DE

JAVIER MAÑANA

DINERO DE

MÓNICA MAÑANA

H OY M A Ñ A N A

J AV I E R x x + 5M Ó N I C A x + 12 x + 8 + 5

33